Modélisation des amplificateurs optiques `a semi-conducteur

PASCAL LEMIEUX

Modelisation des amplificateurs optiques a

semi-conducteur

Application au traitement des signaux optiques

Memoire presentea la Faculte des etudes superieures de l’Universite Laval

dans le cadre du programme de maıtrise en genie electriquepour l’obtention du grade de Maıtre es Sciences (M.Sc.)

FACULTE DES SCIENCES ET DE GENIEUNIVERSITE LAVAL

QUEBEC

Aout 2006

c©Pascal Lemieux, 2006

ii

Resume

Les reseaux de telecommunications optiques metropolitains pourraient beneficier de

l’utilisation de sources optiques incoherentes a large bande, car elles sont peu couteuses.

Par contre, leur bruit d’intensite limite les performances des systemes. Il a ete demontre

que l’utilisation d’un amplificateur optique a semi-conducteur (SOA) pour effectuer un

traitement du signal optique a la detection diminue le taux d’erreur. C’est dans ce

contexte que la modelisation des sources optiques incoherentes est etudiee. La distribu-

tion de son bruit d’intensite est comparee aux donnees experimentales. Par la suite, des

modeles de simulation des SOAs de differents niveaux de complexite sont presentes. En

prenant comme reference un modele detaille, un nouveau modele simplifie est developpe.

Des approximations permettent de reduire le systeme d’equations differentielles par-

tielles du modele detaille a une seule equation differentielle ordinaire (ODE) basee sur

une quantite globale, le reservoir. Cette quantite est proportionnelle au nombre total de

porteurs de charge dans l’amplificateur. Les resultats de simulation des quatre modeles

bases sur l’ODE du reservoir sont alors compares a ceux provenant du modele detaille

ainsi qu’a des mesures experimentales. Le modele du reservoir permet de diminuer le

temps de calcul du modele detaille par un facteur 20, tout en conservant une tres bonne

correspondance avec les mesures experimentales.

Abstract

Optical access networks could benefit from the use of inexpensive broadband inco-

herent light sources. However, their high level of intensity noise reduces the achievable

level of performance. It was demonstrated that the use of semiconductor optical ampli-

fier (SOA) for signal processing on the receiver side can greatly reduce the bit error rate

(BER). In this context, the modeling of incoherent light sources was studied and their

intensity distribution was compared with experimental data. In addition, various SOA

models of different complexity levels are presented. Taking a detailed space-resolved

model as a reference, a new model was developed. Different approximations are used to

reduce the system of coupled partial differential equations of the detailed model to a

single ordinary differential equation (ODE) describing a global variable called the reser-

voir. This quantity is proportional to the total number of useful carriers in the amplifier.

Simulation results from four versions of the reservoir model are compared to the results

obtained with the detailed model and with experimental data. While providing a good

match with experimental data, the use of the reservoir model can reduce computation

time by a factor of 20.

iii

Avant-Propos

Je tiens tout d’abord a remercier le Dr Leslie A. Rusch, pour ses conseils avises

et pour m’avoir donne l’opportunite de travailler dans un environnement dynamique

et stimulant. Je remercie egalement mes collegues et amis, surtout Walid Mathlouthi

pour avoir rendu mes pauses-cafe a la fois fructueuses et divertissantes. Je remercie

mes parents et mes amis pour leur soutient inestimable. A titre posthume, je tiens

a remercier specialement mon pere, qui est pour moi une source d’inspiration et de

motivation encore aujourd’hui.

iv

« In the real dark night of the soul it is

always three o’ clock in the morning,

day after day. »

Francis Scott Fitzgerald

Table des matieres

Table des matieres v

Liste des tableaux viii

Table des figures ix

Liste des acronymes xi

Liste des symboles xiii

1 Introduction 1

1.1 Systemes de telecommunication optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 SOA au recepteur d’un systeme SSWDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Performance des systemes SSWDM utilisant un SOA au recepteur . . . 3

1.4 Plan du memoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Modelisation des sources incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2 Modelisation des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Modelisation des sources optiques incoherentes 8

2.1 Intensite integree et SNR selon le modele de Goodman . . . . . . . . . 9

2.2 SNR d’une source optique filtree arbitrairement . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Distribution de l’intensite integree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Modelisation dans le domaine frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Resume du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Modelisation des amplificateurs optiques a semi-conducteur 23

3.1 Schema de reduction du bruit d’intensite utilisant la XGM . . . . . . . 24

3.2 Fondements physiques des semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Modeles analytiques des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Gain materiel dans le modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Equation de propagation du modele detaille . . . . . . . . . . . 34

3.3.3 Equation d’evolution du modele detaille . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.4 Equation d’evolution dans le modele du reservoir . . . . . . . . 37

Table des matieres vi

3.3.5 Equation de propagation dans le modele du reservoir . . . . . . 38

3.3.6 ASE dans le modele du reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Modeles numeriques des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2 Modele du reservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage 46

3.4.4 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes intrinseques 48

3.4.5 Modele du reservoir en cascade avec canal d’ASE equivalent . . 49

3.5 Extraction des parametres de gain du modele de simulation . . . . . . . 51

3.5.1 Homogeneite du gain des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.2 Linearisation du gain materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.3 Choix de la matrice de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


4 Resultats experimentaux 58

4.1 Mesures de BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1 Source incoherente accordable en longueur d’onde de largeur spec-

trale variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.2 PDFs des sources optiques incoherentes . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.3 Mesures du BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Extraction des parametres du modele numerique de simulation . . . . . 63

4.2.1 Spectre de l’ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2 Dimension du milieu de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Mesures des cas de figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Mesure de la saturation du gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.2 Mesure du spectre de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.3 Mesure de la forme d’un pulse optique amplifie . . . . . . . . . . 69


5 Resultats de simulation 73

5.1 Simulation du BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Ergodicite des sources incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2 Estimation du facteur M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.3 PDF de l’intensite integree parametrisee par M . . . . . . . . . 76

5.1.4 BER parametrise par M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Modelisation des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.2 Modele du reservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.3 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage 86

5.2.4 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes intrinseques 89

5.2.5 Modele du reservoir en cascade avec canal equivalent . . . . . . 92

Table des matieres vii

5.2.6 Pulses optiques amplifies sur quatre canaux WDM . . . . . . . . 96

5.3 Comparaison des modeles de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


6 Conclusion 100

Bibliographie 103

A Modelisation des sources avec la decomposition de Karhunen-Loeve 107

A.1 Fondements theoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.2 Application au spectre lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.3 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B Parametrisation du modele detaille 115

C Liste des publications de l’auteur 116

Liste des tableaux

1 Acronymes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

2 Symboles introduits au chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

3 Symboles introduits au chapitre 3 (partie 1) . . . . . . . . . . . . . . . xv

4 Symboles introduits au chapitre 3 (partie 2) . . . . . . . . . . . . . . . xvi

5 Symboles introduits au chapitre 3 (partie 3) . . . . . . . . . . . . . . . xvii

6 Symboles introduits au chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

3.1 Masses effectives des porteurs de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Signification physique des termes de l’equation d’evolution . . . . . . . 36

3.3 Modeles de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Notation des coefficients du gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Correspondance entre les sections des chapitres 3, 4 et 5 . . . . . . . . 58

4.2 Facteurs M obtenus pour les mesures du BER . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Parametres de simulation pour le modele du reservoir sans ASE . . . . 84

5.2 Parametres de simulation pour le modele du reservoir en cascade avec

ASE et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


ASE et pertes intrinseques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


canal equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5 Parametres de simulation pour le modele les deux parametrisations du

modele du reservoir avec quatre canaux WDM . . . . . . . . . . . . . . 98

5.6 Temps de calcul des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.1 Parametrisations du modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Table des figures

2.1 Schema du modele developpe par Duan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Approximation de l’intensite integree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Distribution de l’intensite en fonction des deux parametres . . . . . . . 19

3.1 Representation simplifiee de la region active d’un SOA . . . . . . . . . 23

3.2 Modele schematique de la XGM dans un SOA . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Modele des bandes dans un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Gain materiel et gain pur pour une densite de porteurs fixe . . . . . . . 32

3.5 Schema structurel du modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Schema structurel du reservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Schema structurel du reservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage 46

3.8 Schema structurel du reservoir en cascade avec ASE et pertes intrinseques 49

3.9 Schema structurel du reservoir avec un canal d’ASE equivalent . . . . . 50

3.10 Linearisation du gain gmat(λ, n) a 1550 nm . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11 Matrice du coefficient de gain materiel gmat(λ, n) . . . . . . . . . . . . . 54

3.12 Representation spectrale des parametres du gain obtenus a l’aide deux

methodes de linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1 Montage experimental utilise pour obtenir la source large-bande . . . . 59

4.2 Spectres optiques de la source incoherente large-bande . . . . . . . . . 60

4.3 Schema du montage experimental utilise pour la conversion de longueur

d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Mesure du BER pour une source optique de 5 GHz . . . . . . . . . . . 63



4.7 Densite spectrale de puissance de l’ASE du SOA Optospeed . . . . . . 65

4.8 Franges d’interference observees sur le spectre d’ASE . . . . . . . . . . 66

4.9 Saturation et comportement asymptotique du gain . . . . . . . . . . . 68

4.10 Schema du montage experimental utilise pour les mesures de gain . . . 69

4.11 Spectre de gain a faible signal de l’amplificateur . . . . . . . . . . . . . 70

4.12 Montage experimental de la mesure des pulses optiques . . . . . . . . . 71

4.13 Pulses mesures a l’entree et a la sortie du SOA . . . . . . . . . . . . . . 72

Table des figures x

5.1 Distribution de l’intensite de la source incoherente sans filtrage . . . . . 74

5.2 Distribution de l’intensite du signal amplifie par le modele du reservoir 75

5.3 Comparaison du spectre optique autocorrele et de la fonction de transfert

electrique en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Histogramme normalise de l’intensite optique d’un signal incoherent sans

modulation (CW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Histogramme normalise de l’intensite optique d’un signal incoherent mo-

dule (OOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6 Simulations du BER pour un systeme SSWDM utilisant une bande op-

tique de 10 GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7 Saturation du gain obtenue avec le modele detaille . . . . . . . . . . . . 81

5.8 Spectre de gain obtenu avec le modele detaille . . . . . . . . . . . . . . 83

5.9 Pulse amplifie obtenu avec le modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.10 Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir sans ASE . . . 84

5.11 Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir sans ASE . . . . . . 85

5.12 Pulses optiques amplifies obtenus avec le modele du reservoir sans ASE 86

5.13 Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade (cinq

sections) avec ASE et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.14 Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.15 Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.16 Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade avec

ASE et pertes intrinseques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.17 Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes intrinseques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.18 Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes intrinseques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.19 Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade avec

canal equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.20 Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec canal

equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.21 Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modele du

reservoir avec pertes intrinseques (parametres de l’Optospeed) . . . . . 97

5.22 Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modele du

reservoir avec pertes intrinseques (parametres de Connelly) . . . . . . . 97

A.1 PSD de la source incoherente modelisee a l’aide d’une decomposition de

Karhunen-Loeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.2 Histogramme normalise de l’intensite optique de la source incoherente

modelisee a l’aide d’une decomposition de Karhunen-Loeve . . . . . . . 113

Liste des acronymes

Liste des acronymes xii

Acronyme Signification (francais) Signification (anglais)

AC Courant alternatif Alternating current

ASE Emission spontanee amplifiee Spontaneous amplified emission

BER Taux d’erreur binaire Bit error rate

BERT Equipement de mesure Bit error rate tester

du taux d’erreur binaire

CB Bande de conduction Conduction band

CW Forme d’onde continue Continuous waveform

DC Courant coutinu Direct current

EDFA Amplificateur a fibre Erbium-doped fiber

dopee a l’erbium amplifier

FEC Correction d’erreur par codage Forward error correction

ISI Interference inter-symbole Inter-symbol interference

MGF Fonction generatrice des moments Moment-generating function

OCDMA Acces multiple Optical code-division

par codage optique multiple access

ODE Equation differentielle ordinaire Ordinary differential equation

OOK Modulation d’amplitude On-Off keying

binaire

OSA Analyseur de spectre optique Optical spectrum analyser

PDE Equation differentielle partielle Partial differential equation

PDF Densite de probabilite Probability density function

PON Reseau optique passif Passive optical network

PRBS Sequence pseudo-aleatoire binaire Pseudo-random binary sequence

PSD Densite de puissance spectrale Power spectral density

RE Rapport d’extinction Extinction ratio

RIN Bruit d’intensite relatif Relative intensity noise

SDH Reseau numerique hierarchique Synchronous digital hierarchy

synchrone

SNR Rapport signal a bruit Signal-to-noise ratio

SOA Amplificateur optique Semiconductor optical amplifier

a semi-conducteur

SONET Reseau optique synchrone Synchronous optical networks

SSWDM Multiplexage en longueur Spectrum-sliced wavelength

d’onde de sources a large bande division multiplexing

TF Transformee de Fourier Fourier transform

VB Bande de valence Valence band

WDM Multiplexage en longueur d’onde Wavelength division multiplexing

XGM Modulation de gain croisee Cross-gain modulation

Tab. 1 – Acronymes

Liste des symboles

Liste des symboles xiv

Symbole Description

αkAmplitude aleatoire des composants

spectraux du champ electrique

ΓE(τ) Fonction d’autocorrelation du champ electrique

ΓI(τ) Fonction d’autocorrelation de l’intensite optique

γI(τ) Degre de coherence de l’intensite optique

κDecroissance de la fonction d’autocorrelation

d’un processus stochastique de spectre lorentzien

φkPhase aleatoire des composants

spectraux du champ electrique

σ2W Variance de l’intensite integree

ϑk(0, 1)Variables aleatoires gaussiennes

centrees reduites

τc Temps de coherence de la source optique

ξ(t)Fonction de la base utilisee lors

de l’expansion de Karhunen-Loeve

ψnValeurs propres associees aux fonctions ξn(t)

dans l’expansion de Karhunen-Loeve

Bo(ω) Enveloppe du spectre optique

Be(ω)Enveloppe du filtre electrique

en puissance

E(t) Champ electrique

I(t) Intensite optique

IIntensite optique moyenne

(processus ergodique)

i Courant du photodetecteur

i′ Courant du photodetecteur filtre electriquement

i Courant moyen du photodetecteur

M Facteur M (SNR)

MI(ω) Fonction generatrice des moments de l’intensite

Nb Dimension de la base fonctionnelle

P (t) Puissance optique

R Responsivite du photodetecteur

ρDegre de polarisation de la

source incoherente

SASE(ω) Spectre optique de l’ASE

T Periode d’integration du photodetecteur

ToPeriode d’observation de la

realisation temporelle

W (t) Intensite integree

W Intensite integree moyenne

Tab. 2 – Symboles introduits au chapitre 2

Liste des symboles xv

Symbole Description

0 Symbole logique zero

1 Symbole logique un

α(n) Coefficient de pertes par diffusion

αsCoefficient d’attenuation dans le modele du

reservoir avec pertes de couplage

β Constante de propagation

∆νASEPas de discretisation de l’ASE

en frequence

Γ Facteur de confinement

γj

Pente du coefficient de gain pur a la

longueur d’onde λj provenant de

la linearisation de gres(λ, n)ηsp Coefficient d’emission spontanee

η0,k

Densite de porteurs a la transparence

a la longueur d’onde λk provenant de

linearisation de gmat(λ, n)

ν Frequence optique

σk

Pente du coefficient de gain a la

longueur d’onde λk provenant de

la linearisation de gmat(λ, n)

τeq Temps de vie equivalent des porteurs

τR Temps de vie radiatif des porteurs

AAire de section transverse de la region

active de l’amplificateur

ak

Pente du coefficient de gain a la

longueur d’onde λk provenant de

la linearisation de gres(λ, n)

cVitesse de la lumiere dans le vide

(2.998 · 108 m/s)

caddCoefficient de couplage intermediaire du modele

du reservoir avec pertes de couplage

cin Coefficient de couplage a l’entree du SOA

cout Coefficient de couplage a la sortie du SOA

dDimension de la region active du SOA

perpendiculaire a l’axe de propagation

EaNiveau d’energie minimal de

la bande de conduction

EbNiveau d’energie maximal de

la bande de valence

EfcNiveau d’energie de Fermi

de la bande de conduction

Tab. 3 – Symboles introduits au chapitre 3 (partie 1)

Liste des symboles xvi

Symbole Description

EfvNiveau d’energie de Fermi

de la bande de valence

Eg Energie de gap a la temperature Tc

Eg0 Energie de gap au zero absolu

fASE(ν, n)

Fonction decrivant la diminution de la

densite de porteur causee par l’ASE dans

le modele detaille

fc(ǫ)Distribution de Fermi-Dirac

pour la bande de conduction

fv(ǫ)Distribution de Fermi-Dirac

pour la bande de valence

G Gain global de l’amplificateur

gmat(λ, n) Coefficient de gain materiel

g′mat(λ, n) Coefficient de gain materiel pur

g′′mat(λ, n) Coefficient d’absorption materielle

hConstante de Planck

(6.626 · 10−34 J·s)~ Constante de Planck divisee par 2π

Ibias Courant d’injection du SOA

K0Valeur minimale des pertes

de porteurs par diffusion

K1Coefficient de variation des pertes

de porteurs par diffusion

Kg Facteur de retrecissement du gap energetique

kBConstante de Boltzmann

(1.381 · 10−23 J/K)

me Masse effective de l’electron dans le cristal

mdh Masse effective d’un trou

mhh Masse d’un trou lourd

mlh Masse d’un trou leger

n(z, t)Densite de porteurs moyenne sur le

plan transverse a la propagation

n1Indice de refraction intrinseque

de la region active

neqIndice de refraction equivalent

de l’amplificateur

n0,k

Densite de porteurs a la transparence du gain

materiel a la longueur d’onde λk provenant

de linearisation de gres(λ, n)

n1,j

Densite de porteurs a la transparence du gain

pur a la longueur d’onde λj provenant de

linearisation de gres(λ, n)


Liste des symboles xvii

Symbole Description

NkNombre de photons d’energie equivalente

a une puissance optique a λk

NsNombre de signaux entrant

simultanement dans l’amplificateur

NzNombre de sections dans la

modelisation de l’amplificateur

qCharge de l’electron

(1.602 · 10−19 C)

QASE(ν, r)

Fonction decrivant la diminution de la

densite de porteur causee par l’ASE dans

le modele du reservoir

rReservoir, relie a la quantite totale de porteurs

de charge dans la region active du SOA

r0 Reservoir a la transparence

r1 Reservoir associe a la transparence du gain pur

R(r) Diminution spontanee de la densite de porteurs

RspCoefficient de generation

de l’emission spontanee

Tc Temperature du cristal

TcohTemps de vie des interactions coherentes

entre photons et electrons

V Volume de la region active de l’amplificateur

wDimension de la region active du SOA

perpendiculaire a l’axe de propagation


Symbole Description

Psat Puissance optique de saturation du SOA

G0 Gain du SOA observe a faible puissance d’entree

GsatGain du SOA observe a la puissance de

saturation

H(ω) Reponse en frequence du filtre electrique

Tab. 6 – Symboles introduits au chapitre 4

Chapitre 1

Introduction

1.1 Systemes de telecommunication optiques

A l’heure actuelle, les fibres optiques jouent un role predominant dans les communi-

cations a haut debit. Plus de 100 millions de kilometres de fibre optique sont deployes

dans le monde [1] et servent d’epine dorsale a un reseau complexe qui relie les grandes

agglomerations urbaines. Des dizaines de cables de fibres optiques sont egalement uti-

lises pour relier les continents entre eux. Une fibre optique a elle seule peut soutenir

plus de 600 000 communications telephoniques, ce qui est tres loin de la quantite que

peut supporter un cable de cuivre.

Pour pouvoir observer le fulgurant essort des communications optiques a grande

echelle, il a fallu attendre le perfectionnement d’un composant essentiel : l’amplificateur

optique a fibre dopee a l’erbium (EDFA) en 1987 [1]. En effet, malgre l’utilisation de

fibres optiques a faible perte, une distance de propagation maximale de quelques dizaines

kilometres ne permettait pas le deploiement de reseaux optiques de grande envergure.

Avec l’arrivee des EDFAs, les communications optiques sur de grandes distances sont

devenues possibles, ce qui a provoque l’essor des reseaux de transfert de donnees a haut

debit. Cependant, le cout initialement eleve des fibres et des composants optiques n’a

pas facilite le developpement des reseaux d’acces. C’est d’ailleurs cette derniere partie du

reseau, situee entre le client et le centre local du fournisseur de services Internet, qui est

typiquement le maillon faible de la chaıne. Avec une bande passante permettant un taux

de transfert d’environ 2.5 Mb/s, il s’agit du goulot d’etranglement entre les ordinateurs

personnels qui communiquent a 100 Mb/s ou 1 Gb/s et les reseaux continentaux bases

sur les standards SONET ou SDH a 2.5 et 10 Gb/s [1, 2, 3].

Chapitre 1. Introduction 2

Au cours des dernieres annees, l’attention du monde des telecommunications s’est

donc tournee vers les reseaux de fibres optiques reliant entre eux les immeubles d’une

meme agglomeration. Meme si le nombre de domiciles connectes par fibre optique dans le

monde est actuellement faible, les grands joueurs de l’industrie des telecommunications

voient la distribution du type triple-jeu comme un marche potentiel important. Selon

ce modele de distribution, la fibre optique est utilisee pour fournir a la fois un signal de

television de haute definition, une ligne telephonique et un acces rapide a l’internet. Pour

y parvenir, differentes architectures de reseaux optiques passifs (PON) sont actuellement

etudiees.

Lors du deploiment d’un lien d’acces entre un immeuble et le centre de service

du distributeur, une grande partie du cout est attribuable aux differents composants

optiques, comme les sources, les modulateurs, les amplificateurs, etc. L’utilisation de

sources optiques incoherentes presente deux avantages majeurs : elle est moins couteuse

qu’un laser stable et elle peut etre partagee entre plusieurs usagers, ce qui n’est pas le

cas d’une source laser.

De plus, la meme source pourrait etre utilisee par le centre de service pour envoyer

de l’information a plusieurs domiciles, dans le cadre d’un reseau utilisant des sources a

large bande multiplexees en longueur d’onde (SSWDM) ou d’un reseau d’acces multi-

plexe par code (OCDMA) [4]. Les sources optiques incoherentes presentent cependant

un inconvenient important : leur niveau de bruit d’intensite eleve. Ce bruit resulte du

battement des composants spectraux du champ electrique. Le bruit de battement, ou

bruit d’intensite, est lie a la photodetection et limite les performances malgre l’augmen-

tation de la puissance optique. Un compromis entre la performance du systeme SSWDM

et son cout passe peut-etre par l’ajout d’un amplificateur optique a semi-conducteur

(SOA) au systeme.

1.2 SOA au recepteur d’un systeme SSWDM

En amplifiant le signal optique a l’aide d’un SOA avant la detection, nous pouvons

diminuer le bruit d’intensite et ameliorer les performances du systeme. Il existe plusieurs

methodes basees sur ce principe : la detection du signal amplifie [5, 6], la detection

de l’emission spontanee amplifiee (ASE) modulee par le passage des donnees [7], ou

encore la conversion de longueur d’onde du signal incoherent vers un signal coherent

[4]. Cette derniere solution presente plusieurs avantages. Par exemple, cette technique

est basee sur un phenomene rapide, car la conversion fait appel a la dynamique interne

de l’amplificateur. Il a ete demontre experimentalement qu’un SOA concu pour cette


application peut changer la longueur d’onde dans un systeme WDM utilisant des taux

de transmission tres eleves, allant meme jusqu’a 320 Gb/s [8]. Les systemes SSWDM

ne sont pas aussi performants, mais des transmissions sans erreur ont ete demontrees

a des taux acceptables pour l’acces metropolitain. D’ailleurs, cette technique a permi

d’obtenir des resultats experimentaux impressionnants pour le SSWDM a des taux de

622 Mb/s, 1.25 Gb/s et 2.5 Gb/s pour une source optique d’une largeur de bande

relativement faible (≤ 100 GHz). La conversion de longueur nous force a reconsiderer

l’efficacite spectrale et le niveau de performance des reseaux SSWDM.

De plus, l’utilisation d’une source laser locale dans un schema de conversion de

longueur d’onde au detecteur permet de reduire le cout du systeme. En effet, l’ajout d’un

laser local au recepteur n’engendre pas une augmentation majeure des couts du systeme,

car le laser local ne necessite pas de stabilisation en longueur d’onde. Il peut donc s’agir

d’un laser de faible qualite, contrairement au laser servant comme source lumineuse au

transmetteur, qui doivent etre puissants et stables. Ce sont ces differentes raisons qui

nous poussent a continuer l’etude des performances des systemes de communication

SSWDM avec conversion de longueur d’onde au recepteur.

En effet, l’utilisation de la conversion de longueur d’onde a la detection (decrite a la

section 3.1) ameliore substantiellement les performances des systemes. En particulier, le

taux d’erreur binaire (BER) est diminue par plusieurs ordres de grandeur, passant dans

certains cas de 10−3 a 10−7. Il s’agit d’un changement significatif, puisqu’un systeme

dont le BER est de 10−3 supporte difficilement l’utilisation de codes correcteurs d’er-

reurs (FECC). Apres le passage dans le SOA, les FECC pourraient etre utilises pour

augmenter les performances du systeme encore d’avantage. Par contre, le mecanisme

physique derriere la diminution du taux d’erreur n’est toujours pas parfaitement com-

pris. Ce memoire presente certains outils analytiques et numeriques qui decrivent de la

dynamique interne des SOA et qui permettront peut-etre une meilleure comprehension

du phenomene physique menant a l’amelioration du BER.

1.3 Performance des systemes SSWDM utilisant un

SOA au recepteur

Pour quantifier le changement des performances d’un systeme SSWDM grace a

l’utilisant d’un SOA a la detection, il faut disposer de deux modeles. Le premier modele

sert a decrire la source optique incoherente et le deuxieme a decrire le comportement

dynamique du SOA. Lorsque ces deux elements sont disponibles, il devient possible


d’evaluer en simulation la performance du systeme avant et apres le SOA. Le critere

le plus juste pour evaluer la performance d’un systeme de communication est le BER,

mais il est difficile a evaluer. Il existe deux facon de proceder :

1. en procedant a l’integration de la densite de probabilite (PDF) de l’intensite du

signal apres la photodetection [3, 9, 10],

2. en employant une simulation entierement numerique de type Monte-Carlo qui

compte directement les erreurs.

Dans le premier cas, obtenir une expression analytique de la distribution de l’inten-

site du signal module a la sortie du SOA est difficile. Il faudrait etre capable de solu-

tionner le systeme d’equations differentielles partielles (PDE) couplees qui regissent le

comportement dynamique du SOA. La resolution analytique de ce systeme sans aucune

approximation n’a pas ete demontree a la connaissance de l’auteur. Il est cependant

possible de faire des simplifications, mais la source incoherente a l’entree du SOA est

decrite par un processus stochastique. Meme dans ce cas, la resolution d’une ODE

comprenant une variable de nature aleatoire reste delicate.

L’approche entierement numerique pour estimer le BER apres le SOA est donc

adoptee. Pour quantifier l’amelioration du BER, il faut etre capable de l’estimer pour

le systeme SSWDM normal et pour le systeme SSWDM apres un certain traitement

fait par l’amplificateur. Cependant, il est important de mentionner qu’une simulation

de type Monte-Carlo necessite le traitement d’un tres grand nombre d’echantillons

temporels. En effet, comme le BER attendu est relativement faible (de l’ordre de 10−9),

le nombre de bits traites doit etre tres eleve. De plus, comme chaque bit comporte

plusieurs echantillons temporels, le nombre total de ces derniers devient rapidement tres

grand (plusieurs milliards). La rapidite des simulations est donc un critere fondamental

dans l’analyse des differents modeles de SOA.

1.4 Plan du memoire

1.4.1 Modelisation des sources incoherentes

La premiere partie de ce memoire est consacree a la presentation de la theorie

entourant les sources optiques incoherentes. Notre objectif est d’obtenir un modele de

la distribution d’intensite (PDF) de ces sources. On propose a la section 2.3 un modele

simple, base sur des considerations physiques pour estimer la PDF de l’intensite. D’apres


ce modele, la distribution de l’intensite optique peut etre decrite par une loi Gamma,

qui contient deux degres de liberte. Les deux parametres de cette loi Gamma ont une

signification physique tres importante : ils representent la moyenne de l’intensite et son

rapport signal-a-bruit (SNR). Donc, avant de presenter la demonstration de la PDF,

on commence par presenter deux approches pour obtenir le SNR apres photodetection

qu’on appelle facteur M. A la section 2.1, le modele de Goodman permet d’obtenir une

expression du SNR optique. Comme cette methode manque de generalite, il devient

necessaire d’introduire celle de Duan, a la section 2.2. L’avantage de la methode de

Duan sur celle de Goodman est qu’elle permet de decrire le SNR d’une source optique

ayant une forme quelconque.

Par la suite, deux methodes mathematiques permettant de simuler un signal d’in-

tensite d’une source thermique sont presentees, l’une dans le domaine frequentiel et

l’autre dans le domaine temporel. La premiere methode, presentee a la section 2.4,

decrit le champ electrique de la source optique comme une serie de composants spec-

traux discrets ayant certaines proprietes d’amplitude et de phase. Elle utilise ensuite

une transformee de Fourier inverse pour retrouver le champ dans le domaine du temps.

La forme de l’intensite optique I(t) est ensuite obtenue en prenant le module carre du

champ.

La deuxieme methode considere le champ electrique comme un processus stochas-

tique dans le domaine temporel. Le processus est exprime sur une base de fonctions

orthogonales a l’aide d’une decomposition de Karhunen-Loeve [11, 12], tel que presente

a l’annexe A.1. La projection du processus sur une base de fonctions orthogonales est

similaire a une transformation de Fourier. Cependant, le processus decompose respecte

le spectre, et donc la fonction d’autocorrelation [13], du processus stochastique original.

Pour certaines applications numeriques, manipuler la decomposition peut s’averer plus

simple que de manipuler l’expression originale du processus.

1.4.2 Modelisation des SOA

Dans un deuxieme temps, une description de la modelisation des amplificateurs a

semi-conducteur est presentee au chapitre 3.2. Tout d’abord, la theorie des materiaux

semi-conducteurs est brievement expliquee. Elle mene directement aux equations du

gain materiel de l’amplificateur, qui sont presentees a la section 3.3.1. Cette descrip-

tion est ensuite utilisee dans un modele detaille des SOA. Seuls la phase et quelques

phenomenes ultra-rapides ne sont pas consideres par ce modele. A priori, l’abandon

de l’information sur la phase est justifiee par le fait que le systeme utilise une source

incoherente a large-bande. Meme s’il serait plus juste de conserver l’information sur


la phase, elle rend les simulations plus longues et la parametrisation du modele plus

difficile.

Le modele detaille presente a la section 3.4.1 est le premier des cinq modeles de

SOA etudies. Diverses approximations relatives a la propagation, aux pertes et a la

distribution des porteurs dans le SOA servent a reduire le systeme de PDE regissant la

dynamique du SOA. On obtient en definitive une seule equation differentielle ordinaire

(ODE), uniquement fonction d’une variable nommee reservoir. Cette variable globale,

commune a tous les canaux, est proportionnelle a la quantite totale de porteurs de

charge dans le SOA. En utilisant toujours la meme ODE, differents modeles numeriques

de plusieurs niveaux de complexite et de performance sont mis en place.

Dans la version la plus simple de ces algorithmes, on considere l’amplificateur comme

un seul bloc, un seul reservoir, qui n’emet pas d’ASE (section 3.4.2). Les simulations

indiquent cependant que l’ASE est necessaire, puisqu’elle introduit une saturation a

faible signal. Pour remedier a cette lacune, deux autres modeles sont introduits aux

sections 3.4.3 et 3.4.4. Ils incluent une description originale de l’ASE qui est calculee a

plusieurs longueurs d’onde. Pour augmenter la fiabilite des simulations, l’amplificateur

est aussi divise en plusieurs sections, ayant chacune leur propre reservoir de porteurs. La

difference entre ces deux modeles reside dans la description du gain materiel, qui change

le spectre de gain. Finalement, un modele avec un canal equivalent remplacant l’ASE

distribuee est presente a la section 3.4.5. Ce canal fictif remplace l’ASE et est traite

comme un signal a part entiere. Ce canal a pour objectif de reproduire la saturation

causee par l’ASE dans le modele, mais en accelerant le calcul. Le nombre limite de

parametres de ce dernier modele a pour avantage de faciliter l’optimisation de leur

valeurs et la rapidite de la simulation.

Meme lorsqu’il est discretise spatialement, le modele du reservoir reste toujours

different du modele detaille. En effet, il ne considere jamais les interactions entre les

sections. Il s’agit en realite d’un modele s’approchant plus d’une cascade d’amplifica-

teurs, dont le flux de photons est toujours oriente dans la meme direction. L’abscence

de retroaction evite de devoir converger vers une solution globale, ou les tranches sont

a l’etat d’equilibre les unes avec les autres.

Le developpement d’un algorithme base sur le modele du reservoir pour les SOA

est une originalite de ce travail. Jusqu’ici, le modele avait ete demontre seulement

pour les EDFA [14]. Il existe cependant une difference majeure entre les EDFA et

les SOA dans le calcul du gain. En effet, le calcul du gain pour un EDFA est base

sur les sections efficaces d’emission et d’absorption de l’erbium, qui sont des quantites

fixes d’un amplificateur a l’autre. Par contre, pour les semi-conducteurs, le gain est


determine par un calcul base sur les proprietes du milieu de gain. Comme ce sont

des proprietes variables, elles rendent inutilisable l’approche precedente basee sur les

sections efficaces. Une deuxieme innovations de ce travail consiste a obtenir la valeur du

gain en se servant de la description du modele detaille. Pour respecter les hypotheses

mathematiques du reservoir, le gain materiel est linearise a chaque longueur d’onde.

Deux methodes d’extraction des coefficients du gain sont etudiees, et leur influence sur

la forme du spectre de gain est expliquee. La validite de la majeure partie des resultats

de simulation presentes dans ce memoire est analysee en prenant comme point de repere

les resultats experimentaux correspondants.

Chapitre 2

Modelisation des sources optiques

incoherentes

Les systemes de communication metropolitains par fibres optiques destines a l’acces

du grand public pourraient beneficier de l’utilisation de sources optiques peu couteuses.

Parmi les possibilites se trouvent les sources incoherentes a large bande obtenues a par-

tir du spectre d’ASE d’un amplificateur optique. De telles sources sont peu couteuses et

peuvent etre partagees entre plusieurs usagers. Le desavantage de ces sources optiques

est leur de bruit d’intensite eleve, qui augmente proportionnellement a l’intensite op-

tique.

Les sources optiques incoherentes, considerees comme des sources thermiques [11],

sont obtenues en selectionnant (filtrant) une partie du spectre d’ASE d’un amplificateur

optique. On traite ici de coherence temporelle, puisque la source est confinee a une fibre

optique. Comme il est presente dans ce chapitre, tous les composants spectraux de la

source sont consideres independants. Donc, une source plus large spectralement a un

temps de coherence plus faible. Pour estimer les performance d’un systeme de commu-

nication utilisant une source thermique et un SOA, il faut detenir un modele decrivant

adequatement le signal d’intensite I(t) de la source. Cette modelisation doit posseder

deux caracteristiques importantes : le bon spectre et la bonne stastique d’intensite.

Chapitre 2. Modelisation des sources optiques incoherentes 9

2.1 Intensite integree et SNR selon le modele de

Goodman

Lors de la photodetection d’un signal optique, la rapidite des variations mesurables

est determinee par la bande passante du detecteur. Cette limite dans la reponse en

frequences du detecteur est equivalente a un filtrage dans le domaine temporel en sinus

cardinal dont la largeur est inversement proportionnelle a la bande passante. L’intensite

integree W (t) a l’avantage d’etre une quantite mesurable, contrairement a l’intensite

instantanee I(t). Par definition, on ecrit

W (t) ,

∫ t+T/2

t−T/2

I(ζ) dζ . (2.1)

Experimentalement, il est possible d’obtenir un histogramme de la distribution de

W (t), equivalent a une mesure de sa PDF, ce qui permet une validation de la theorie de

Goodman [11] presentee dans cette section. Comme on suppose que la lumiere provient

d’une source thermique, qu’elle est ergodique et stationnaire, un instant arbitraire (dans

ce cas t = 0) est choisi pour evaluer l’intensite integree.

W =

∫ T/2

−T/2

I(ζ) dζ (2.2)

La PDF de W (t) est importante, puisqu’elle donne beaucoup d’information sur le

niveau de bruit du signal, qui influence les performances du systeme de communication.

En continuant le developpement comme en [11], on procede au calcul du rapport signal

a bruit optique (SNRrms), qui est defini comme la moyenne du signal divisee par son

ecart-type.

SNRrms ,E [W ]

σW

(2.3)

La moyenne de l’intensite integree est obtenue en prenant l’esperance de l’expression

2.2. La moyenne etant la meme a tous les instants du temps, on s’accorde le droit de la

calculer a t = 0. De plus, en supposant l’ergodicite du processus on ecrit


W , E [W ] =

∫ T/2

−T/2

Idζ = IT . (2.4)

A l’equation 2.4, on fait l’hypothese de l’ergodicite du processus stochastique W (t).

L’hypothese est justifiee dans la mesure ou le processus est stationnaire et qu’il est

possible de demontrer en simulation l’ergodicite de la source (voir section 5.1.1). Dans

tous les calculs qui suivent, les moyennes temporelles et d’ensemble sont supposees

equivalentes. On note la moyenne temporelle en surlignant la variable et la moyenne

d’ensemble par l’operateur esperance note E. Supposer l’ergodicite est essentiel pour

verifier la correspondance entre la theorie et les mesures experimentales. Ces dernieres

sont faites en echantillonant l’intensite dans le temps un tres grand nombre de fois,

mais pour une seule realisation du processus. Meme en supposant l’etude d’un proces-

sus stationnaire, effectuer la meme experience un grand nombre de fois (pour obtenir

plusieurs realisations) n’est pas possible avec l’equipement experimental disponible.

L’etape suivante dans le calcul du SNR en moyenne quadratique consiste a obtenir

la variance de l’intensite integree. En appliquant la relation

σ2X , var [X] = E

[X2]− (E [X])2 (2.5)

au processus stationnaire W (t) dont la moyenne est constante, on obtient

σ2W = E

(∫ T/2

−T/2

I(ζ − t) dζ

)2−W

2(2.6)

(2.7)

En l’evaluant a t = 0, la variance prend alors la forme


σ2W = E

(∫ T/2

−T/2

I(ζ) dζ

)2−W

2(2.8)

=

∫ T/2

−T/2

∫ T/2

−T/2

I(ζ)I(η) dζdη −W2

(2.9)

=

∫ T/2

−T/2

∫ T/2

−T/2

ΓI(ζ − η) dζdη −W2

(2.10)

ou ΓI est la fonction d’autocorrelation de l’intensite optique instantanee I(t). L’integrand

de l’equation 2.10 est une fonction paire du temps et les deux integrales sont bornees

sur une periode d’observation T . Il est alors possible de recrire l’equation 2.10 comme

[11] :

σ2W =

∫∞

−∞

∫∞

−∞

Rect

(t+ τ

T

)Rect

(t

T

)ΓI(t, t+ τ) dt dτ −W

2(2.11)

ou la fonction Rect(t/T ) est une fenetre rectangulaire de duree T centree a l’origine et

de hauteur unitaire. Comme une fonction triangulaire resulte du produit de convolution

de deux fonction rectangulaires, l’equation 2.10 prend alors la forme

σ2W = T

∫∞

−∞

Λ( τT

)ΓI(τ) dτ −W

2(2.12)

ou la fonction triangulaire Λ(τ/T ) est definie comme

Λ( τT

)=

1 − |τ | −T ≤ τ ≤ T

0 ailleurs(2.13)

Tel que mentionne par Goodman, la fonction d’autocorrelation de l’intensite est

equivalente a une fonction de coherence du quatrieme ordre des champs electriques

E(t) [11] car par definition I(t) ≡ E(t)E⋆(t). La fonction d’autocorrelation de l’intensite

optique s’exprime de maniere generale comme


ΓI(τ) = E [E(t1)E⋆(t2)E(t3)E

⋆(t4)] (2.14)

ou E⋆(t) represente le complexe conjugue du champ electrique E(t). En supposant la

stationarite du processus aleatoire, la fonction d’autocorrelation de l’intensite s’exprime

de maniere generale comme

ΓI(τ) = E [E(t)E⋆(t)E(t+ τ)E⋆(t+ τ)] . (2.15)

Pour une source thermique, les champs electriques sont modelises par des variables

aleatoires gaussiennes circulaires [11, 12]. Une discussion de la nature de ces variables

est presentee a l’annexe A.1. Le theoreme suivant, propres aux variables gaussiennes

[11, 13]

E [E(t1)E(t2)E⋆(t3)E

⋆(t4)] = ΓE(t1, t3)ΓE(t2, t4) + ΓE(t2, t3)ΓE(t1, t4) (2.16)

peut etre utilise pour obtenir, dans le cas d’un processus stationnaire,

ΓI(τ) = I2 [

1 + |γ(τ)|2]

(2.17)

=

(W

T

)2 [1 + |γ(τ)|2

]. (2.18)

La variable γ(τ) = ΓE(τ)/ΓE(0) represente le degre de coherence de l’intensite. Pour

une source parfaitement polarisee, la variance est exprimee par

σ2W = (W )2

[1

T

∫∞

−∞

Λ( τT

)|γI(τ)|2 dτ

]. (2.19)

Pour augmenter la generalite de la demarche, il est possible de refaire le developpement

dans le cas d’une source partiellement polarisee. Pour y arriver, on decompose l’intensite

sur deux polarisations orthogonales


I(t) = I1(t) + I2(t) . (2.20)

On obtient alors une expression similaire de la variance, qui inclut le degree de

polarisation note ρ :

σ2W =

1 + ρ2

2(W )2

[1

T

∫∞

−∞

Λ( τT

)|γI(τ)|2 dτ

]. (2.21)

Dans le cas d’une source parfaitement polarisee, ρ = 1 et l’equation 2.21 revient a

l’equation 2.19. Lorsque ρ = 0, on revient a la moitie de l’equation 2.19 car chaque po-

larisation contient la moitie de la puissance selon l’equation 2.20. La definition du SNR

en moyenne quadratique est presentee de maniere explicite aux equations suivantes.

SNR =W

σW

(2.22)

=W√

1+ρ2

2(W )2

[1T

∫∞

−∞Λ(

τT

)|γI(τ)| dτ

] (2.23)

=

[2

1 + ρ2M] 1

2

(2.24)

En obtenant l’expression du SNR, on definit le facteur M, qui a une signification

physique tres importante. Sa definition est donnee par

M ,

[1

T

∫∞

−∞

Λ( τT

)|γI(τ)| dτ

]−1

. (2.25)

dans le cas d’un filtre electrique integrateur (integrate and dump). Avec cette definition

il devient possible de relier la distribution d’intensite d’une source, le SNR et M, tant

au niveau experimental qu’au niveau theorique. On peut alors formuler un estimer de

M pour une source incoherente particuliere.

Le facteur M a une interpretation physique importante, qui nous permet a la section

2.3 d’obtenir une approximation de la PDF de l’intensite integree W (t). A la prochaine


section, on voit que l’intensite est distribuee selon une loi gamma (sous certaines condi-

tions). Selon [11], le facteur M represente le ratio du temps d’observation T sur le

temps de coherence de la source. Autrement dit, il s’agit du nombre d’intervalles de

coherence de la lumiere compris dans un intervalle d’observation, qui correspond au

filtrage electrique. Cette interpretation devient claire lorsqu’on observe les deux cas

extremes T ≫ τc et T ≪ τc. L’equation 2.25 prend alors les valeurs [11] suivantes

M =

T/τc T ≫ τc

1 T ≪ τc(2.26)

Le cas ou M = 1 signifie que l’intervalle d’observation contient au moins un intervalle

de coherence de la lumiere. Cependant, dans le cadre d’un systeme SSWDM, les sources

large-bande incoherentes ont un temps de coherence tres court et l’approximation T ≫τc est valide. Elle provient du fait que l’on traite le temps de coherence τc comme l’inverse

de la largeur spectrale du filtre optique et le temps d’observation T comme l’inverse de

la largeur du filtre electrique (lui-meme determinee par le taux de transmission). Alors,

le facteur M peut etre estime en utilisant la relation suivante

M ≈ Bo

Be

(2.27)

pour les sources optiques non-polarisees avec Bo ≫ Be. A la section 2.2, une equation

alternative est developpee pour le SNR d’une source large-bande incoherente qui est

filtree optiquement, detectee et filtree electriquement. On se rappelle que l’equation 2.24

developpee par Goodman [11] est valide pour un filtre integrateur, c’est-a-dire un filtrage

en sinus cardinal. A la prochaine section, on developpe une expression mathematique

pour le SNR d’une source incoherente qui tient compte d’un filtrage non-ideal. On

developpe une expression pour le facteur M basee sur l’equation 2.24 qui depend seule-

ment du spectre optique de la source large-bande filtree et de la fonction de transfert

du filtre electrique.

A la section 2.3, on utilise l’interpretation physique de M pour estimer la distri-

bution de W (t) comme une loi Gamma dont les parametres sont le facteur M et la

moyenne W du processus W (t).


2.2 SNR d’une source optique filtree arbitrairement

Le SNR est crucial dans l’analyse des sources thermiques et il est indispensable

de pouvoir l’extraire des donnees experimentales. L’approche de Duan [15] reprise par

Mathlouthi [16] permet d’obtenir des formulations de la PSD electrique du photocourant

et du facteur M generales et pratiques.

Par construction, on suppose qu’une source large-bande est utilisee pour generer

de l’ASE, par exemple un amplificateur optique sans signal d’entree. Cette source est

ensuite filtree optiquement et la sortie du filtre est incidente sur un photodetecteur

sensible a l’intensite de la lumiere. On suppose E(t) le champ electrique complexe de la

source filtree optiquement et E(ω) sa transformee de Fourier. La puissance optique est

reliee au champ electrique E(ω) par la relation E(ω) =√S(ω) exp(jφ(ω)) ou ω = 2πf .

Le schema de la figure 2.1 illustre le systeme tel que decrit par Duan, avec f comme

variable de frequence.

On fait tout d’abord l’hypothese que le photocourant i varie lineairement avec la

puissance optique. La constante de proportionnalite R represente la responsivite du

photodetecteur, qui ne fournit aucun courant sans signal lumineux. On fait ici une sim-

plification importante, car en realite le photocourant depend de l’efficacite du detecteur

et de son aire efficace. On suppose ici que ces deux quantites sont constantes sur la

plage spectrale d’interet et on les inclut dans la responsivite R. Donc, en se basant sur

l’equation 2.17, on obtient l’autocorrelation du photocourant donnee par [15]

Γi(τ) = I2R2

[1 +

|ΓE(τ)|2∣∣i∣∣2

](2.28)

ou ΓE(τ) est l’autocorrelation du champ definie comme ΓE(τ) = E[E(t)E⋆(t + τ)].

Duan obtient aussi une expression decrivant la fonction d’autocorrelation de l’intensite

identique a l’expression 2.17. On peut reecrire l’equation 2.28 sous la forme

Source d’ASE large-bande

Filtre optique

Filtre électrique

) ( f S ASE

) ( ) ( f B f S o ASE

) ( f i ) ( ' f i

Fig. 2.1 – Schema du modele developpe par Duan


Γi(τ) = I2R2 +

(R

2π

)2 ∫ ∞

−∞

∫∞

−∞

SASE(ω)Bo(ω)·

· SASE(ω′)Bo(ω′) exp [j(ω − ω′)τ ] dω dω′ (2.29)

En procedant au changement de variable Ω , ω−ω′ et en distribuant les constantes,

on obtient

Γi(τ) = I2R2 +

R2

2π

∫∞

−∞

[1

2π

∫∞

−∞

SASE(ω)Bo(ω) ·

· SASE(ω + Ω)Bo(ω + Ω) dω] exp [jΩτ ] dΩ . (2.30)

Pour obtenir la PSD du photocourant a partir de Γi(τ), il faut donc prendre la

transformee de Fourier de l’equation 2.30. On annulle ainsi la transformee de Fourier

inverse (en Ω) du second terme et la PSD du photocourant Si(Ω) prend alors la forme

Si(Ω) = 2πI2δ (Ω) +

R2

2π

∫∞

−∞

SASE(ω)Bo(ω)SASE(ω + Ω)Bo(ω + Ω) dω (2.31)

ou δ(Ω) est la fonction delta de Dirac. Le premier terme de droite est la partie continue

(DC) de la PSD du photocourant, associe au niveau de puissance moyen de l’ASE qui

est dans ce cas notre signal. Le deuxieme terme de droite de l’equation 2.31 represente

la puissance du bruit (le contenu AC). Apres le filtrage electrique, le contenu AC du

bruit est le produit de la fonction de transfert du filtre Be(Ω) avec le second terme

de l’equation 2.31. La variance du bruit est l’aire sous la PSD du photocourant apres

filtrage i′.

σ2i′ =

R2

2π

∫−∞

∞

[∫∞

−∞

SASE(ω)Bo(ω)SASE(ω + Ω)Bo(ω + Ω)dω

]Be(Ω) dΩ . (2.32)

Dans la plupart des cas, la largeur de la source d’ASE SASE(ω) est beaucoup plus

importante que la largeur du filtre optique, determinee par Bo(ω). On fait donc l’ap-

proximation que SASE(ω) est constante sur la largeur du filtre optique Bo(ω), et on

l’evalue a ω = ωc pour la sortir de l’integrale, ce qui donne


σ2i′ = S2

ASE(ωc)R2

2π

∫−∞

∞

[∫∞

−∞

Bo(ω)Bo(ω + Ω)dω

]Be(Ω) dΩ . (2.33)

On obtient le SNR du photocourant pour en extraire le facteur M en utilisant une

demarche similaire a celle presentee a la section 2.1. En pratique, le numerateur est le

meme que qu’en 2.33, mais sans la dependance en Ω sur Bo(ω). Comme l’integrale de la

fonction de trasfert du filtre electrique a une valeur unitaire par definition, on obtient

la definition generale du facteur M presentee a l’equation suivante.

M ,

[∫∞

−∞Bo(ω)dω

]2

∫∞

−∞

[∫∞

−∞Bo(ω)Bo(ω + Ω)dω

]Be(Ω) dΩ

(2.34)

Cette expression de M est la forme generale de l’equation 2.25, car elle est valide

pour des filtres electrique et optique de formes arbitraires. De plus, il est possible

d’obtenir au laboratoire une mesure de la forme du spectre optique Bo(ω) et d’obtenir

une caracterisation de la fonction de transfert en puissance du filtre electrique Be(ω).

Cependant, dans la plupart des cas, on modelise le filtre electrique comme un filtre

Bessel-Thompson de quatrieme ordre [9]. Il s’agit d’un modele de filtre dont la reponse

en frequence se rapproche de celles des filtres utilises au laboratoire.

2.3 Distribution de l’intensite integree

Cette section presente une methode pour obtenir la densite de probabilite de l’inten-

site optique integreeW (t) des sources incoherentes. Elle est basee sur l’approximation de

l’intensite instantanee I(t) par une serie de valeurs discretes, tel qu’illustre a la figure 2.2.

Cette approche du boxcar averaging divise la periode d’observation T en M differentes

sections, de la meme maniere que le ferait un bloqueur d’ordre zero (sample and hold).

Il s’agit du meme facteur M developpe precedemment. On l’interprete ici comme le

nombre de periodes de coherence de la source optique dans l’intervalle d’integration du

photodetecteur.

Comme le champ electrique est suppose gaussien, son module est alors distribue

selon une loi de Rayleigh [13]. L’intensite optique est proportionnelle au module carre

du champ, et donc elle suit une distribution de probabilite de la forme exponentielle


temps

I(t)

Approximation de W(t)

-T/2 T/2

Fig. 2.2 – Approximation de l’intensite integree

negative. Pour faciliter les calculs, l’intensite I(t) est alors decrite par une fonction

continue par parties dont les M sections ont chacune une duree ∆t.

W =

∫ T/2

−T/2

I(ζ)dζ (2.35)

∼=M∑

i=1

Ii ∆t =T

M

M∑

i=1

Ii (2.36)

Le signal est considere sur l’intervalle [−T/2, T/2], ce qui revient a l’approximation

de la reponse impulsionnelle rectangulaire proposee par Goodman [11]. Comme le filtre

optique est large, le temps de coherence du champ electrique τc est court et on peut

supposer que l’integration electrique sur T inclut plusieurs fois le temps de coherence.

Alors, on suppose qu’il y a M = T/τc segments d’intensites independantes Ii sur

[−T/2, T/2].

En connaissant la densite de probabilite de chaque variable aleatoire Ii, on peut

retrouver la distribution de W (t). On fait l’hypothese que les variables Ii(t) sont

independantes et identiquement distribuees suivant une oi exponentielle negative. A

partir de la fonction generatice des moments (MGF), nous pouvons chercher la den-

site de probabilite de la somme des variables Ii(t). Il est possible de demontrer que la

variable I(t) possede une MGF de la forme [11] :

MGFI(ω) =1

1 − jωI. (2.37)

La MGF d’une somme de variables aleatoires independantes est le produit des MGFs,


donc

MGFW (ω) ∼=[

1

1 − jω ITM

]M(2.38)

∼=[

1

1 − jωWM

]M(2.39)

En prenant la transformee de Fourier inverse pour retourner au domaine des proba-

bilites, on obtient la distribution de W (t)

pw(W ) ∼=[MW

]M WM−1 exp(−MW/W

)

Γ(M)(2.40)

ou Γ(M) est ici la fonction Gamma. Ce resultat est significatif, en ce sens qu’il donne

une description de la PDF de l’intensite d’un signal incoherent de moyenne constante

(CW). La figure 2.3 presente la forme que prend cette expression en fonction des deux

parametres, la moyenne W et le facteur M. La correspondance entre la theorie et les

donnees experimentales est presentee aux figures 5.4 et 5.5. Ces figures indiquent aussi

que pour une moyenne fixe, la PDF se ressere autour de la valeur moyenne lorsque le

facteur M augmente.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intensité (U.A.)

Fré

quen

ce R

elat

ive

Moy. = 0.7Moy. = 1Moy. = 2Moy. = 3

M = 2

(a) Moyenne fixe.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Intensité (U.A.)

Fré

quen

ce R

elat

ive

M = 1M = 2M = 5M = 10

Moyenne = 2

(b) Facteur M fixe.

Fig. 2.3 – Distribution de l’intensite en fonction des deux parametres


2.4 Modelisation dans le domaine frequentiel

Il existe deux methodes numeriques pour generer une realisation de l’intensite I(t)

du signal optique emise par une source thermique. La methode la plus simple pour

generer un signal dont la bande spectrale est parfaitement limitee consiste a construire

le champ electrique dans le domaine des frequences. Il est alors possible de lui assigner un

spectre strictement limite. On prend ensuite la transformee de Fourier pour retrouver le

champ dans le domaine temporel, puis le module carre du champ pour obtenir le signal

d’intensite I(t).

Goodman suggere une modelisation du champ comme la somme de phaseurs ayant

des amplitudes et des phases aleatoires [11] :

Ep(ω) =1√Nb

Nb∑

k=1

αkejφk . (2.41)

En procedant ainsi, Goodman fait l’hypothese que tous les composants spectraux

sont a la meme frequence ce qui permet de faire la somme des phaseurs. Pour obtenir

une meilleure signification physique, on introduit un certain etalement spectral, comme

le montre l’equation 2.42. De plus, Goodman pose trois conditions sur les variables

aleatoires αk et φk :

– Les amplitudes et les phases doivent etre independantes entre elles.

– Les variables αk doivent etre identiquement distribuees pour toutes les valeurs des

indices. α est la moyenne et α2 est le moment d’ordre deux des variables αk.

– Les phases φk doivent etre uniformement distribuees sur l’intervalle (−π, π).

La modelisation utilisee est en realite le cas le plus simple qui respecte ces trois pro-

prietes. En prenant les amplitudes constantes, on respecte les conditions sur la moyenne

et le moment d’ordre deux. Selon Goodman, l’utilisation des amplitudes constantes est

justifiee dans la mesure ou le nombre de composants spectraux est relativement eleve

[11]. Dans notre modele frequentiel, le champ electrique se definit comme

E(ω) =

Nb∑

k=1

A√Nb

δ(ω − k∆ω) ejφk (2.42)


ou Nb represente le nombre de fonctions qui forment la base. Les phases φk sont des va-

riables aleatoires independantes distribuees uniformement entre −π et π. Cette equation

represente un peigne de fonctions delta de Dirac (assimilees a des lasers) regulierement

espacees formant une bande optique rectangulaire, puisque l’amplitude est la meme

pour toutes les frequences. On peut aussi adapter la simulation a une autre forme de

filtrage optique, comme par exemple gaussien tronque ou lorentzien tronque.

Il ne reste qu’a prendre la transformee de Fourier inverse pour obtenir le signal

temporel E(t) = TF−1 E(ω).

E(t) =

∫∞

−∞

Nb∑

k=1

A√Nb

ejφkδ(ω − k∆ω)ejωt dω (2.43)

En utilisant les proprietes de la fonction delta et en supposant que l’ordre des operations

peut etre inverse, on obtient

Ep(ω) =A√Nb

Nb∑

k=1

ejφk ej k∆ω t . (2.44)

En faisant quelques hypotheses [11], on peut supposer que tous les phaseurs sont a la

meme frequence. On obtient donc la correspondance avec le resultat de Goodman, mais

dans un cas particulier tres simple

Ep(ω) =A√Nb

Nb∑

k=1

ejφk . (2.45)

Il s’agit bien d’un cas particulier ou les amplitudes ne sont pas aleatoires. Il a ete

verifie a l’aide de simulations numeriques que la fonction I(t) = |E(t)|2 ainsi obtenue

respecte la forme de la distribution de l’intensite et la PSD. Une investigation de la

modelisation de ces sources et de l’effet de la distribution de probabilite des variables

aleatoires αk et φk est presentee par Vannucci et Teich [17].


2.5 Resume du chapitre

Au chapitre 2, une description de l’intensite integree d’une source de lumiere ther-

mique a ete developpee en se basant sur la notion d’intensite instantannee. L’intensite

integree a l’avantage d’etre mesurable au laboratoire, ce qui n’est pas le cas de l’intensite

instantannee. Pour obtenir l’expression de l’intensite integree, differentes suppositions

sont faites au sujet de la source. Elle doit etre thermique, stationnaire et ergodique.

A partir de cette definition, on peut developper une expression pour le facteur M, le

SNR de la source optique apres photodetection. Deux methodes sont presentees : celle

de Goodman, qui est valide pour un filtre integrateur, et celle de Duan, qui requiere

seulement que les formes de filtres soient integrables.

Par la suite, une modelisation simple de la source thermique est faite pour obtenir

une distribution de l’intensite integree de la source. En supposant que les temps de

coherence de la source optique sont independants et que leurs intensites respectives

sont identiquement distribues selon une loi exponentielle negative, il est possible de

determiner la distribution de l’intensite d’une source incoherente. Mathematiquement,

on obtient que l’intensite est distribuee selon une loi Gamma dont les parametres sont

la moyenne et le facteur M.

Dans la derniere section du chapitre, une modelisation numerique de la source in-

coherente est presentee. La source est modelisee dans le domaine frequentiel comme

un peigne de fonctions delta de Dirac a des frequences regulierement espacees. Toutes

ces frequences pures ont la meme amplitude, mais des phases aleatoires reparties uni-

formement entre 0 et 2π.

Chapitre 3

Modelisation des amplificateurs

optiques a semi-conducteur

Ce chapitre introduit les principaux concepts utilises lors de la modelisations des

SOA. Le mecanisme de XGM, a la base de ce travail, est presente. Puis, on retrouve

une introduction a la physique des solides necessaire a la comprehension du calcul du

gain materiel de l’amplificateur. Par la suite, cinq modeles de simulations numeriques

pour les SOA sont presentes.

Pour simplifier les calculs, la region active du SOA est decrite geometriquement par

un prisme a base rectangulaire. L’aire de section transverse A est donnee par le produit

des dimensions perpendiculaires a l’axe de propagation de la lumiere d et w. Selon l’axe

de propagation z, l’amplificateur est de longueur L, tel qu’illustre sur le schema 3.1.

d

L

w

0

z

Fig. 3.1 – Representation simplifiee de la region active d’un SOA

Pour raffiner le modele, il est possible de diviser egalement la longueur L en Nz

Chapitre 3. Modelisation des amplificateurs optiques a semi-conducteur 24

sections comme illustre a la figure 3.1. La densite de porteurs n(z, t), constante par

parties, peut alors etre determinee pour chaque section. Elle depend principalement

du pompage de l’amplificateur et des signaux d’entree du SOA. La densite n(z) est

representee schematiquement par les zones ombragees sur la figure 3.1. En effet, pour

obtenir un gain sur l’intensite du signal, on force un courant electrique (la pompe) a

passer a travers le SOA. On suppose que la densite de porteurs est uniforme sur la

section transverse, et on utilise une valeur moyenne decrite par

n(z, t) =1

wd

∫−d/2

d/2

∫−w/2

w/2

n(x, y, z, t) dx dy . (3.1)

Dans les modeles presentes, la densite de porteurs n(z, t) joue un role essentiel. Elle

depend de la puissance des signaux optiques aux instants tn et tn−1. Le gain des signaux

optiques depend a son tour de n(z, t), ce qui influence la puissance des signaux optiques.

Le systeme doit etre resolu de maniere iterative. Si les signaux entrent par la meme

extremite du SOA, ils sont dits co-propageants. Sinon, ils sont contre-propageants. Pour

harmoniser la notation, l’indice k est utilise pour identifier les Ns signaux, tandis que

l’indice j refere aux NASE longueurs d’onde de l’emission spontanee amplifiee (ASE).

3.1 Schema de reduction du bruit d’intensite utili-

sant la XGM

Une des caracteristiques les plus prometteuses des SOA en plus de l’amplification

est leur capacite a changer les proprietes du signal optique [6, 18, 19, 20]. On peut s’en

servir pour diminuer le bruit d’intensite des sources incoherentes, et ainsi ameliorer

les performances d’un systeme de communication SSWDM. L’efficacite de plusieurs

techniques a ete etudiees, certaines utilisant un SOA au transmetteur [5, 6] et d’autres

au recepteur [4, 7, 21].

Une des methodes pour exploiter les proprietes des SOA au recepteur est l’utilisation

de la conversion de longueur d’onde en contre-propagation. Elle est etudiee car elle per-

met d’obtenir une diminution tres importante (de plusieurs ordres de grandeur) du BER

par rapport a un systeme de communication SSWDM simple. Dans cette configuration,

le SOA est utilise pour changer la longueur d’onde d’un signal de communication op-

tique. Le tranfert des donnees d’un signal laser a λ1 vers un autre a λ2 a ete demontre

experimentalement [18, 21]. De plus, Menif et al. ont demontre que la conversion de


longueur d’onde d’une source incoherente vers un laser ameliore les performances [4].

C’est le point de depart de l’etude de l’utilisation des SOA pour le traitement du si-

gnal optique. Les mesures presentees a la section 4.1.3 montrent les ameliorations des

performances obtenues avec ce mecanisme.

Pour effectuer la conversion, il suffit en pratique de faire passer deux signaux de

longueurs d’onde differentes en meme temps dans le SOA. Le canal 1, a la longueur

d’onde λ1 contient l’information originale. Ce canal module en amplitude (OOK) entre

par un port du SOA et est assez fort pour saturer l’amplificateur. Il est illustre en rouge

sur la figure 3.2. Pour un systeme SSWDM, il s’agit de la source incoherentes contenant

l’information. Le signal centre sur λ1 peut etre soit un laser, soit une source large-bande

que l’on note par sa longueur d’onde centrale pour alleger la notation. La definition du

rapport d’extinction d’un signal module par OOK est [3]

RE =P (1 logique)

P (0 logique). (3.2)

Ce canal saturant d’une puissance optique elevee affecte la dynamique interne de

l’amplificateur. En particulier, le canal 1 affecte la densite de porteurs n(z, t), qui est

commune a tous les canaux. De plus, la section 3.3.1 montre que le gain a n’importe

quelle longueur d’onde G(λ) depend fortement de n(z, t). Donc, le gain a toutes les lon-

gueurs d’onde est affecte par la puissance optique du signal saturant et par sa longueur

d’onde.

Pour pouvoir transferer l’information vers une autre longueur d’onde, on introduit

un deuxieme signal a une longueur d’onde λ2. Ce canal sonde, represente en bleu sur

la figure 3.2, est initialement continu (CW). Comme il passe dans un amplificateur, sa

puissance de sortie est influencee par le gain, un facteur G(λ2). Donc, la puissance de

sortie du signal sonde P outdB (λ2) est influencee par la puissance du canal saturant grace

au gain du SOA selon la relation

P outdB (λ2) = P in

dB(λ2) +G0,1dB(λ2, P

in(λ1)) . (3.3)

Une augmentation de la puissance optique du signal a λ1 diminue le gain du signal

sonde a λ2, et vice versa. Comme le canal a λ1 a deux puissances possibles (deux etats

logiques), le gain G(λ2) prend lui aussi deux valeurs differentes. Elles sont decrites par


SOA

Signal Saturant (modulé OOK)

Signal Sonde (modulé par XGM)

Signal Sonde (CW)

Signal Saturant Amplifié

RE

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0

1 Logique RE

Gain Gain

0 Logique

0 1 1 0 1 0

Longueur d’onde Longueur d’onde

Fig. 3.2 – Modele schematique de la XGM dans un SOA

GdB(λ2) =

G 1

dB(λ2) si P (λ1) = P (1 logique)

G 0dB(λ2) si P (λ1) = P (0 logique)

(3.4)

ou G0(λ2) ≥ G1(λ2). La variation de puissance sur le canal saturant est causee par le

format de modulation employe (OOK).

En observant seulement le canal sonde a λ2, on peut recuperer les donnees binaires

initialement presentes sur canal saturant a λ1. On remarque que le rapport d’extinction

sur le canal 2 depend de la variation du gain G(λ2) entre ses deux etats G0(λ2) et

G1(λ2). Les donnees binaires sont inversees par le processus de conversion de longueur

d’onde.

3.2 Fondements physiques des semi-conducteurs

Ayant decrit l’utilisation specifique du SOA qui nous interesse, on procede a l’analyse

necessaire pour modeliser son comportement. Pour comprendre la modelisation des

SOA, il est necessaire de presenter les fondements de la physique des solides. Ce survol

rapide permet d’introduire les principales interactions optiques des SOA : l’absorption,

l’emission stimulee et l’emission spontanee.

Les electrons lies a un atome (dans un potentiel constant) occupent uniquement


certains niveaux d’energie discrets. L’interaction entre les atomes d’un cristal affecte les

niveaux energetiques possibles des electrons. La resolution de l’equation de Schrodinger

pour un potentiel periodique montre que les niveaux energetiques se regroupent pour

former des bandes quasi-continues [22, 23, 24, 25] qui sont schematisees a la figure 3.3.

E

k

E b

E a

E fc

E vc

CB

VB Trous légers

Trous lourds

Fig. 3.3 – Modele des bandes dans un semi-conducteur

Entre ces bandes se trouve un gap energetique, c’est-a-dire une collection de niveaux

energetiques qui ne sont pas des solutions acceptables de l’equation de Schrodinger et

qui sont par consequent interdits. Dans le cas d’un cristal semi-conducteur, les bandes

sont nommees bande de conduction (CB) et bande de valence (VB), cette derniere

contenant les niveaux de moindre energie. Un electron qui veut passser d’une bande

a l’autre doit necessairement absorber ou emettre au moins un quanta d’energie. La

relation entre l’energie et la frequence de l’onde optique associee a un photon est donnee

par la relation

E = hν (3.5)

attribuee a De Broglie. Par definition, les bandes d’un semi-conducteur non-degenere

ne se recouvrent pas. Donc, a la temperature de la piece les electrons remplissent la

bande de valence presque completement et peuplent faiblement la bande de conduction

[23]. Pour estimer le nombre d’electrons dans la bande de conduction, on utilise la

distribution developpee par Fermi et Dirac. La probabilite de retrouver un electron a

un niveau d’energie ǫ quelconque est obtenue en evaluant [22, 23, 24]


f(ǫ) =1

e(ǫ−Ef )/kBTc + 1(3.6)

ou kB est la constante de Boltzman et Tc la temperature du cristal. Dans le cas d’un

semi-conducteur non-degenere, le niveau de Fermi Ef se situe a l’interieur du gap

energetique, i.e. entre Ea et Eb tel que presente a la figure 3.3. Le niveau de Fermi

de chaque bande est note Efv et Efc, pour les bandes de valences et de conduction res-

pectivement. On calcule la probabilite de presence d’un trou, c’est-a-dire de l’abscence

d’electron a un niveau d’energie ǫ de la VB, a l’aide de la relation [23, 24].

1 − fv(ǫ) =1

e(Efv−ǫ)/kBTc + 1(3.7)

Un electron qui quitte la bande de valence (presque pleine) laisse donc derriere lui

un trou, qui agit comme un porteur de charge a part entiere. Seule sa masse effective

n’est pas necessairement la meme que celle de l’electron. Les trous sont divises en deux

categories, selon la force de leur interaction avec le reseau. On les nomme trous legers

et trous lourds. Leurs masses ont les memes dimensions que la masse de l’electron (kg),

mais elles considerent l’interaction entre le porteur de charge et le reseau cristallin. La

masse effective des trous, noteemlh oumhh, peut differer de la masse de l’electron a l’etat

libre par un facteur 10. Les masses des porteurs de charges utilisees dans ce memoire [26]

sont donnees a la table 3.1. Elles ont ete obtenues pour un alliage InGaAsP de maniere

experimentale [26]. Comme nous ne sommes pas capable de mesurer ces valeurs pour

l’alliage utilise dans notre amplificateur, nous ferons la supposition que la composition

exacte de l’alliage utilise n’influence pas fortement la valeur des masses effectives.

Tab. 3.1 – Masses effectives des porteurs de charge

Porteur Symbole Masse (10−31 kg)

Electron libre - 9.11

Electron me 0.41

Trou leger mlh 0.51

Trou lourd mhh 4.19

En utilisant une approximation parabolique pour la relation entre l’energie et le

vecteur d’onde [22], on obtient une expression simple de la valeur du gap energetique.

Ce dernier est defini comme la difference entre les niveaux Ea et Eb, c’est-a-dire la

difference entre le niveau de la bande de conduction (Eb) qui est le plus rapproche


d’un niveau de la bande de valence (Ea). Dans le cas d’un semi-conducteur a transition

directe, le gap se situe a l’origine du graphique 3.3 car aucun phonon n’est necessaire

a la transition. Il s’agit d’un des avantages des alliages InGaAsP. Les niveaux Ea et Eb

sont approximes par

Ea = (ǫ− Eg(n))mhh

mhh +me

(3.8)

Eb = (Eg(n) − ǫ)me

mhh +me

(3.9)

ou l’energie de gap Eg(n) est une fonction de la densite de porteurs n. Un photon

d’energie suffisante peut etre absorbe par un electron de la VB. L’electron est alors

propulse dans la CB. Un electron peut aussi emettre un photon en passant de la CB

a la VB, une interaction utilisee pour amplifier les signaux optiques. Il suffit d’avoir

une probabilite superieure de stimuler la transition vers la VB pour obtenir un gain

sur l’intensite de signal et donc un amplificateur optique. En resume, ce modele a deux

bandes suppose l’existence de trois formes d’interaction electron-photon, capables de

creer ou d’annihiler une paire electron-trou.

1. Absorption. Les photons du signal sont absorbes par les electrons de la VB

stimulant ainsi une transition vers la CB.

2. Emission stimulee. Un photon du signal provoque la transition d’un electron

vers la VB. La mecanique quantique nous assure que le photon ainsi emis sera

un clone de celui ayant stimule la transition. Les deux photons sont coherents

spatialement et temporellement [27].

3. Emission spontanee. Un electron fait la transition de la CB vers la VB de lui-

meme, generant alors un photon. La phase des composants spectraux du champs

electrique est aleatoire [11, 28].

A cause de l’energie de gap, il existe une longueur d’onde de coupure [22, 26]. Selon

sa direction, un photon emis spontanement peut etre guide par le semi-conducteur [22].

Ce photon est alors amplifie et c’est ce qui cause l’emission spontanee amplifiee (ASE).

Pour pouvoir amplifier, il faut cependant forcer les electrons vers la CB dans le but

de provoquer des recombinaisons electron-trou radiatives. Pour se faire, on applique une

difference de potentiel sur le cristal. C’est la methode la plus frequente pour pomper les

SOA. A fort pompage, le SOA a un gain eleve et peut generer plus de 10 mW d’ASE au

total. Pour eviter l’effet laser, on utilise des cristaux semi-conducteurs dont les facettes

ont une tres faible reflectivite.


3.3 Modeles analytiques des SOA

Cette section presente tout d’abord la formulation du coefficient de gain materiel qui

est utilise dans tous les modeles presentes. Cette description du gain a ete introduite par

Yariv [26, 29] et est utilisee dans le modele detaille. Ce modele est base sur la resolution

de deux PDEs couplees qui decrivent la propagation du signal optique et l’evolution de

la densite de porteurs. Par la suite, la description du gain est reprise a l’interieur de

modeles simples bases sur le reservoir. Ces modeles se resolvent rapidement, puisqu’ils

sont bases sur une seule ODE.

3.3.1 Gain materiel dans le modele detaille

Le coefficient de gain materiel gmat(λ, n) est la quantite la plus fondamentale d’un

SOA. Il etablit la correspondance entre la densite de porteurs et le gain observe par

un signal optique. A partir des probabilites de presence des porteurs, il est possible de

formuler une expression generale pour gmat(λ, n) [26], qui peut etre calculee avant meme

de connaıtre la puissance des signaux optiques. Lors d’une simulation numerique, il est

donc possible de generer prealablement la matrice gmat(λ, n). Elle peut etre utilisee

comme une table de reference (lookup table) pour une interpolation, ou elle peut etre

linearisee pour reduire le temps d’execution.

La premiere etape du calcul du coefficient de gain materiel consiste a obtenir une

valeur de l’energie de gap effective. Pour l’obtenir, on introduit une legere correction

sur l’energie de gap au zero absolu, comme suggere par Adachi [25, 26] :

Eg(n) = Eg0 − q Kg n1/3 (3.10)

ou q est la charge de l’electron, Eg0 l’energie de gap au zero absolu et n la densite

de porteurs de charge. La dependance de Eg(n) sur la densite de porteurs est faible,

en raison du facteur de retrecissement du gap Kg (bandgap shrinkage coefficient) qui

est lui-meme petit. On calcule ensuite les valeurs des niveaux de Fermi qui servent a

obtenir la probabilite de presence des porteurs dans chacune des bandes. Pour simplifier

les calculs, les relations empiriques de Nilsson [26, 30] sont utilisees


Efc =

ln δ + δ

[64 + 0.05524 δ (64 +

√δ)]− 1

4

kBTc (3.11)

Efv = −

ln ǫ+ ǫ[64 + 0.05524 ǫ (64 +

√ǫ)]− 1

4

kBTc (3.12)

Les indices c et v referent aux bandes de conduction et de valence respectivement. Les

variables δ et ǫ sont definies comme δ ≡ n/nc et ǫ ≡ p/nv. Les densites n et p sont celles

des electrons et des trous respectivement, mais en pratique on fait l’approximation que

p ∼= n. Les coefficients de normalisation nc et nv sont decrits par les relations suivantes.

nc = 2

(mekBTc

2π~2

) 3

2

(3.13)

nv = 2

(mdhkBTc

2π~2

) 3

2

(3.14)

On remarque que la dependance des niveaux de Fermi par rapport aux masses effectives

(me et mdh) est inverse, ce qui signifie que l’augmentation du lien entre l’electron et le

reseau cristallin reduit la mobilite des charges (et augmente la masse effective). L’in-

teraction augmente la valeur effective du gap et provoque une reduction de la largeur

du spectre de gain. La variable mdh represente la masse effective de tous les trous de la

VB. Elle s’exprime comme

mdh =(m

3/2hh +m

3/2lh

)2/3

. (3.15)

Les valeurs des masses effectives ont ete obtenues experientalement [26] pour un

crital InGaAsP. Comme l’illustre la figure 3.4, une tres faible variation des valeurs

presentees a un impact majeur sur la forme du spectre de gain materiel gmat(λ). La figure

presente le gain materiel pour les masses originales ainsi que pour les memes masses aug-

mentees de 20%. Elles ne doivent donc pas etre utilisees comme parametres d’ajustement

servant a faire correspondre les simulations numeriques aux mesures experimentales.

Le coefficient de gain materiel gmat(ν, n) est obtenu a l’aide de la relation suivante,

proposee par Yariv [26, 29]


1400 1450 1500 1550 16001

2

3

4

5

6

7x 10

4

Longueur d’onde (nm)

g mat

(λ)

(m−

1 )

gmat

gmat

’

me → 120% × m

e

n = 1.5 1024 m−3

Fig. 3.4 – Gain materiel et gain pur pour une densite de porteurs fixe

gmat(ν, n) =c2

4√

2π3/2n21τRν

2

(2memhh

~(me +mhh)

) 3

2

·

·∫ 0

∞

√ν ′ − Eg(n)

~(fc(ν

′) − fv(ν′))

[2Tcoh

1 + (2πTcoh)2(ν ′ − ν)2

]dν ′ (3.16)

dans laquelle c est la vitesse de la lumiere, n1 l’indice moyen de refraction du materiau,

τR le temps de vie radiatif des porteurs et Tcoh le temps de vie des interactions coherentes

entre un electron et un champ monochromatique (de l’ordre de la picoseconde). Les

distributions de la probabilite de presence dans les bandes sont donnees par les relations

suivantes [26].

fc =

exp

(Ea − Efc

kBTc

)+ 1

−1

(3.17)

fv =

exp

(Eb − Efv

kBTc

)+ 1

−1

(3.18)

Le terme entre parentheses carrees de l’equation 3.16 a une largeur spectrale beaucoup

plus faible que les autres termes. On fait alors l’approximation


[2Tcoh

1 + (2πTcoh)2(ν ′ − ν)2

]≃ δ(ν − ν ′) (3.19)

pour obtenir une expression simplifiee du coefficient de gain materiel

gmat(ν, n) =c2

4√

2π3/2n21τRν

2

(2memhh

~(me +mhh)

) 3

2

√ν − Eg(n)

~(fc(ν) − fv(ν)) . (3.20)

Pour en extraire le sens physique, on divise l’expression 3.20 en deux parties : le

coefficient d’absorption g′′mat(λ, n) et le coefficient de gain pur g′mat(λ, n). Le gain pur

represente le gain que verrait un signal si les photons n’avaient pas la possibilite de sti-

muler une dissociation electron-trou. L’absorption intrinseque seule, notee g′′mat(λ, n),

est l’inverse du gain pur, car elle considere uniquement la possibilite que le photon

stimule une dissociation. Comme le gain materiel considere les deux possibilites (sti-

muler une recombinaison ou une dissociation), il peut etre exprime par la relation

gmat = g′mat − g′′mat. Le gain pur seul est defini a l’equation suivante.

g′mat(ν, n) =c2

4√

2π3/2n21τRν

2

(2memhh

~(me +mhh)

) 3

2

√ν − Eg(n)

~fc(ν)(1 − fv(ν)) (3.21)

Tel que mentionne a la section 3.2, la probabilite de presence est importante pour

determiner si l’amplificateur fournit un gain sur l’intensite du signal. A l’equation 3.21,

on retrouve le produit de la probabilite de presence d’un electron dans la CB fc(ν) et de

la probabilite de presence 1 − fv(ν) d’un trou dans la VB. Ce sont les deux conditions

necessaires pour que la recombinaison electron-trou soit possible. Par ailleurs, la valeur

du coefficient d’absorption g′′mat est decrite par

g′′mat(ν, n) =c2

4√

2π3/2n21τRν

2

(2memhh

~(me +mhh)

) 3

2

√ν − Eg(n)

~fv(ν)(1 − fc(ν)) . (3.22)

Les coefficients de gain gmat(λ, n) et de gain pur g′mat(λ, n) sont tres significatifs. Il sont

relies au coefficient d’emission spontanee ηsp presente par Becker et Olsson [1]. Cette

relation est discutee a la section 3.3.6, qui presente la description de l’ASE dans le

modele du reservoir.


3.3.2 Equation de propagation du modele detaille

Ayant obtenu l’equation du gain materiel gmat, on peut proceder au developpement

de l’equation de propagation de la lumiere. Elle regit la propagation de la lumiere dans

l’amplificateur, en fonction du gain materiel et des pertes de porteurs par diffusion.

Pour debuter, on decompose le champ electrique dans le domaine des frequences selon

les deux directions de propagation dans l’amplificateur ± z :

E(λk, n(z)) ≡ Ek(z) = E+(λk, z) + E−(λk, z) . (3.23)

L’indice k refere aux composantes spectrales du champ aux Ns longueurs d’onde

des signaux entrant dans l’amplificateur et on note E(λk, z) , Ek(z). L’equation de

propagation du champ electrique incluant la phase est donnee pour une longueur d’onde

λk par la relation [26, 31]

dE±

k (z)

dz=

[∓jβk ±

1

2(Γgmat(λk, n) − α(n))

]E±

k (z) . (3.24)

Le gain materiel gmat(λ, n) a ete obtenu a la section 3.3.1 et la constante de propaga-

tion β = 2πneqλk est definie pour un indice de refraction effectif neq variant faiblement

avec la densite de porteurs. On introduit egalement a l’equation precedente un facteur

de confinement normalise Γ similaire a celui utilise pour les fibres optiques [32, 33].

Le terme de perte par diffusion α(n) depend de la densite de porteurs, mais il est

different du coefficient d’absorption g′′mat(λ, n) de l’equation 3.22. Il ne considere que les

pertes attribuables a des mecanismes comme la diffusion des porteurs dans le substrat

[34], et n’est pas relie directement a la probabilite de presence. On utilise une description

lineaire des pertes α(n) en fonction de la densite n [26]

α(n) = K0 + ΓK1 n (3.25)

ou K0 et K1 sont les coefficients de la linearisation en fonction de la densite de

porteurs n. En raison de la nature quantique des interactions photoelectriques, il faut


etablir une equivalence entre le champ electrique Ek de l’onde optique et le nombre de

photons Nk. On utilise la relation suivante [22, 27, 35] pour un signal a une longueur

d’onde w en considerant une surface unitaire et une impedance ajustee

∣∣E±

w

∣∣2 =hc

λw

N±

w = P±

w . (3.26)

Une simplification importante de tous les modeles etudies [26, 35, 36] consiste a

considerer seulement le flux de photons. En basant les equations de propagations sur la

relation 3.26, qui suppose qu’il est possible d’ecrire le champ comme E =√P exp(jφ), il

est possible de separer 3.24 en une equation pour la puissance et une pour la phase [37].

En procedant ainsi, on obtient donc l’equation differentielle de la puissance suivante

dP±

k (z)

dz= ±

[Γgmat(νk, n) − α(n)

]P±

k (z) . (3.27)

Dans le modele detaille, on neglige implicitement les produits de termes dont les

frequences sont differentes. La modelisation de l’elargissement spectral lie a la propa-

gation dans le SOA est impossible avec les modeles etudies. L’approximation de la

puissance s’exprime mathematiquement de la maniere suivante

∣∣E±

total

∣∣2 =

∣∣∣∣∣∑

k

E±

k +∑

j

E±

j

∣∣∣∣∣

2

≈∑

k

∣∣E±

k

∣∣2 +∑

j

∣∣E±

j

∣∣2 (3.28)

ou l’indice k indique les signaux et j les longueurs d’onde d’ASE. Il est important de

noter que la puissance d’ASE obeit a une equation de propagation legerement differente

de celle des signaux

dP±

j (z)

dz= ± (Γgmat(λj, n) − α(n))P±

j (z) +Rsp(λj, n)hc

λj

(3.29)

ou le terme Rsp(λj, n) represente les photons generes spontanement dans l’ampli-

ficateur. Il s’ajoute directement a l’equation 3.27 decrivant la propagation du signal

amplifie [26, 34]. Il ne contient pas de terme de confinement puisque les photons d’ASE

emis ne sont pas guides a priori.


Tab. 3.2 – Signification physique des termes de l’equation d’evolutionTerme de l’equation d’evolution Signification physique

dn(z, t)/dtvariation temporelle de la

densite de porteur au point z

I/qVdensite de porteurs injectes

par le biais du courant d’injection

R (n(z))

decroissance de la densite de porteurs

par les recombinaisons spontanees

(radiatives et non-radiatives)

3e terme de droitediminution de la densite de

porteurs causee par l’amplification des signaux

fASE(λ, n(z))

fonction decrivant l’influence de

l’ASE sur la densite de porteurs

(varie selon les modeles)

3.3.3 Equation d’evolution du modele detaille

L’equation d’evolution de la densite de porteurs (rate equation) etablit la valeur

de la densite n(z, t) en fonction de la puissance des signaux optiques qui entrent dans

l’amplificateur. L’equation d’evolution 3.30 et les equations de propagation 3.27 et 3.29

doivent etre resolues simultanement.

∂n(z, t)

∂t=Ibias

qV−R (n) − Γ

A

Ns∑

k=1

gmat(νk, n)(N+

k +N−

k

)− fASE(ν, n) (3.30)

La signification physique de chacun des termes de l’equation 3.30 est presentee au

tableau 3.3.3. La diminution de la densite de porteurs fASE(ν, n) causee par la puissance

de l’ASE dans le modele detaille est decrite par [26, 34]

fASE(ν, n(z)) =2Γ

A

∑

j

gmat(νj, n(z))(N+

j (z) +N−

j (z)). (3.31)

Le facteur 2 de l’equation precedente considere les deux polarisations orthogonales de

la lumiere.


3.3.4 Equation d’evolution dans le modele du reservoir

Le modele du reservoir [14] est base sur une quantite reliee a la quantite totale de

porteurs de charge utiles dans l’amplificateur. Cette valeur est obtenue en integrant la

densite de porteurs n(z, t) sur la longueur L de l’amplificateur. Le reservoir est donc un

modele entree-sortie dans lequel la densite de porteurs selon l’axe z n’est pas recherchee.

En pratique, la densite n(z, t) est supposee moyenne selon les axes x et y et on utilise

la relation

r(t) ,

∫ L

0

n(z, t) dz = n(t)L . (3.32)

Il s’agit d’un modele ponctuel, c’est-a-dire qu’il ne considere pas la dimension sur

laquelle s’affectue la propagation. Un tel modele a deja ete explore par Genest et Cham-

berland [38] ainsi qu’Agrawal [37], qui considere cependant le gain integre comme

quantite integree. Le gain integre n’est pas une quantite physique interessante pour

les systemes WDM, en ce sens qu’elle n’est pas commune a tous les canaux. Chaque

canal WDM percoit un gain different des autres. Donc, l’approche par la densite de

porteurs totale est interessante, car il s’agit vraiment d’une quantite commune a toutes

les longueurs d’onde, a tous les canaux.

L’equation 3.30 decrivant l’evolution de n(z, t) dans le modele detaille peut etre

reecrite en terme de la puissance optique pour devenir

∂n(z, t)

∂t=Ibias

qV−R (n(z, t)) − Γ

A

Ns∑

k=1

λk

hcgmat(λk, z)Pk(z, t)

− 4Γ

A

∑

j

1

hλk

gmat(λj, z)PASEj (z) (3.33)

en supposant que la lumiere se propage dans une seule direction. Le facteur 2 addi-

tionel (qui donne un 4 devant le dernier terme de sommation) est du aux 2 directions

de propagation. On les traite comme si elles se propageaient dans la meme direction

pour faciliter le calcul. Pour obtenir l’equation d’evolution du reservoir r(t), on integre

l’equation 3.33 sur la longueur de l’amplificateur.


∫ L

0

∂n(z, t)

∂tdz =

∫ L

0

Ibias

qVdz −

∫ L

0

R (n(z)) dz−

Γ

A

Ns∑

k=1

λk

hc

∫ L

0

gmat(λk, n(z))Pk(z) dz

− 4Γ

A

∑

j

λj

hc

∫ L

0

gmat(λj, n(z))PASEj (z) dz . (3.34)

L’equation d’evolution du reservoir prend alors la forme

dr(t)

dt=Ibias

qA− r(t)

τeq− Γ

A

Ns∑

k=1

λk

hc

∫ L

0

Pk(z, t) gmat(λk, n) dz +QASE(λ, r) . (3.35)

Le quatrieme terme de droite est remplace par QASE, dont la definition est donnee a la

section 3.3.6. Lors de l’integration, le terme R(n) representant la diminution spontanee

de la densite de porteurs a ete remplace par une fonction lineaire en r (le reservoir)

dont la pente est l’inverse du temps de vie des porteurs τeq.

∫ L

0

R(n(z)) dz ≈ r

τeq(3.36)

Meme si R(r) est une fonction polynomiale selon le modele suggere par Connelly

[26], l’approximation est justifiee dans la mesure ou la plage des valeurs physiquement

acceptables de r est restreinte [26, 36]. La valeur de τeq peut etre determinee a l’aide

d’un algorithme d’optimisation numerique.

Des simplifications sont possibles pour les deux derniers termes du cote droit de

l’equation 3.35. La simplification sur le terme exprimant la contribution des signaux est

presentee a la section 3.3.5 tandis que celle s’appliquant sur le dernier terme, decrivant

la generation des photons d’ASE, est presentee a la section 3.3.6.

3.3.5 Equation de propagation dans le modele du reservoir

Les SOA sont concus de maniere a eviter toute forme de resonnance, qui se traduirait

par un effet laser. Typiquement, la reflectivite des facettes est environ de 10−5. Le


modele du reservoir suppose que les reflexions sont negligeables et que la lumiere se

propage dans une seule direction, d’ou l’utilisation de l’approximation de l’amplificateur

single-pass. On ecrit alors

∂Pk(z, t)

∂z=

[Γgmat(λk, n(z)) − α(n)

]Pk(z, t) (3.37)

de laquelle on elimine temporairement le terme de perte α(n) puisque les pertes sont

normalement tres inferieures au gain dans un amplificateur [36, 37]. Si le terme α(n)

est conserve, la solution de l’equation globale du reservoir ne prend pas une forme aussi

simple. On obtient un terme supplementaire qu’il faut integrer numeriquement, ce qui

augmente le temps de calcul. Une methode simple et elegante pour reintroduire les

pertes par diffusion α(n) est introduite a la section 3.5.2. En regroupant les termes de

l’equation 3.37 et en integrant, on obtient

Γ

∫ L

0

Pk(z, t) gmat(λk, n(z)) dz =

∫ L

0

∂Pk(z, t) . (3.38)

Pour alleger l’ecriture, on ecrit desormais gk(z) pour representer le gain materiel

gmat(λk, n(z)). On constate immediatement qu’il est possible de remplacer l’integrale

du gain a l’equation 3.35. Il est possible de reecrire la partie de droite de maniere plus

explicite

Γ

∫ L

0

Pk(z) gk(z) dz = P outk − P in

k (3.39)

ou P outk , Pk(z = L) represente la puissance du signal a la sortie et P in

k , Pk(z = 0)

la puissance a l’entree du SOA. En remplacant l’equation precedente dans l’equation

3.35, on obtient

dr(t)

dt=Ibias

qA− r(t)

τeq− 1

A

Ns∑

k=1

λk

hc

[P out

k − P ink

]+QASE (3.40)


Pour obtenir une expression de Pout en fonction du gain, gk(n) ≡ gmat(λk, n) est

suppose lineaire en fonction de la densite de porteurs pour chaque longueur d’onde.

Donc, on pose gk∼= ak [n(z, t) − n0,k] et l’equation 3.39 devient facilement integrable.

ln

(Pout(t)

Pin(t)

)= Γak

∫ L

0

n(z) dz + Γ

∫ L

0

ak n0,k dz (3.41)

Les termes ak et n0,k sont obtenus a la section 3.5.2, ou la validite de la linearisation

de gk(n) est aussi verifiee. Avec un gain lineaire en n, il devient possible d’ecrire

P outk = P in

k exp [Γak (r(t) − r0,k)] . (3.42)

Par definition, r0,k = n0,k L represente le reservoir a la transparence, c’est-a-dire

lorsque le gain est unitaire. En utilisant cette relation, l’equation 3.40 prend la forme

dr(t)

dt=Ibias

qA− r(t)

τeq− 1

A

Ns∑

k=1

λk

hc

[eΓak(r(t)−r0,k) − 1

]+QASE(λ, r) . (3.43)

Une des faiblesses du modele du reservoir directement transpose de son equivalent

pour les EDFAs [14] est son incapacite a estimer les valeurs de ak et r0,k. Pour les EDFAs,

le gain est fonction de parametres mesurables communs a tous les amplificateurs, mais

ce n’est pas le cas des SOA. La section 3.5.2 presente deux methodes utilisee pour pallier

a cette lacune.

3.3.6 ASE dans le modele du reservoir

L’emission spontanee amplifiee est un aspect tres important des amplificateurs op-

tiques, puisqu’elle introduit une saturation meme en l’abscence de signal a l’entree. La

formulation de l’ASE utilisee dans le modele du reservoir pour les SOA a ete proposee

conjointement avec Mathlouthi [36].

Dans un intervalle de frequences ∆νASE centre sur νj, la puissance d’ASE pour une

seule polarisation obeit a l’equation de propagation


dPASEj

dz= Γgres

j (n)PASEj (n) +

hc

λj

Rsp(n) . (3.44)

Le gain gresj (n) ≡ gres(λj, n) peut etre separe en deux parties : le gain pur g′j et

l’absorption g′′j comme a la section 3.3.1. On utilise la notation g′j(n(z)), mais il s’agit

en realite du gain pur associe a gain contenant les pertes intrinseques gres(λ, n) (voir

section 3.5.3). On fait ce choix dans la mesure ou l’on developpe ici une expression

propre au modele du reservoir [36]. La relation entre Rsp(n) et le coefficient de gain pur

s’exprime a l’aide de [34]

Rsp(n(z)) = g′j(n(z)) ∆νASE . (3.45)

L’equation differentielle complete prend la forme

dPASEj

dz= Γgj(n(z))PASE

j (n) + hνj g′

j(n(z)) ∆νASE . (3.46)

La solution a ce type d’equation differentielle est obtenue analytiquement et prend la

forme suivante [39].

PASEj,out (n) = exp

[∫ L

0

Γgj(n(z)) dz

]·

· hνj ∆νASE

∫ L

0

g′j(n(z′)) exp

[−∫ z′

0

Γgj(n(z)) dz

]dz′ (3.47)

Pour permettre l’integration de g′j(n(z)), on fait l’hypothese que le coefficient de

gain pur peut etre linearise selon

g′j(n(z)) ∼= γj(n(z) − n1,j) . (3.48)

La variable n1,j represente la densite de porteurs a la transparence du coefficient

de gain pur a la longueur d’onde λj. En utilisant 3.48, la solution pour PASEj,out (n) est

donnee par


PASEj,out (n) = ΓGj(r)hνj∆νASE

∫ L

0

γj(n(z′) − n1,j)

exp Γaj(r(z′) − r0,j(z′))dz′ . (3.49)

ou Gj(r) , exp [Γaj(r − r0,j)]. L’equation 3.49 a pour solution

PASEj,out (r) =

γj

aj

r − r1,j

r − r0,j

Gj(r)hνj ∆νASE

(Gj(r) − 1

). (3.50)

Parallelement, en integrant directement l’equation 3.46 on reconnaıt la similitude

du terme∫ L

0Γgres

j PASEj dz qu’on isole de l’equation pour obtenir

Γ

∫ L

0

gresj PASE

j dz = PASEj,out (r) − γj(r − r1,j)hνj ∆νASE . (3.51)

Le terme du cote gauche de 3.51 est important, car il apparaıt a l’equation du

reservoir 3.34. On cherche a l’exprimer d’une maniere pratique en remplacant le premier

terme du cote droit de l’equation par son equivalent obtenu a l’equation 3.50 :

Γ

∫ L

0

gresj PASE

j dz =γj

aj

r − r1,j

r − r0,j

Gj(r)hνj ∆νASE

[1

Gj(r)− 1

]

− Γγj(r − r1,j)hνj ∆νASE (3.52)

Cette equation se simplifie pour donner la forme compacte

Γ

∫ L

0

gresj PASE

j dz =4∆νASE

A

∑

j

γj(r − r1,j)

aj(r − r0,j)

[Gj(r) − 1 − ln(Gj(r))

]. (3.53)

Le facteur 4 considere les deux polarisation, mais aussi les deux directions de propaga-

tion de l’ASE emise. En utilisant l’equation 3.53 pour exprimer QASE(λ, n) de l’equation

3.35, on obtient la forme complete de l’ODE du modele du reservoir :


dr(t)

dt=Ibias

qA− r(t)

τ− 1

Ahc

Ns∑

k=1

λkPink

[eak(r−r0,k) − 1

]

− 4∆νASE

A

∑

j

γj(r − r1,j)

aj(r − r0,j)[Gj(r) − 1 − ln(Gj(r))] . (3.54)

Par similitude avec la description de l’ASE pour les EDFAs [1], on utilise la notation

suivante pour le coefficient d’emission spontanee.

ηsp,j∼= γj(r − r1,j)

aj(r − r0,j)(3.55)

En pratique, il est utile de faire l’approximation que la densite a la transparence n0 du

coefficient de gain materiel et celle du coefficient de gain pur n1 ont la meme valeur,

c’est-a-dire ηsp,j ≈ γj/aj. La faible variation de la densite de porteurs de charge rend

cette hypothese acceptable pour la plupart des situations physiques etudiees.

3.4 Modeles numeriques des SOA

Plusieurs algorithmes de modelisation des SOA ont fait l’objet d’etude par le passe

[26, 31, 35, 36]. Cette section en presente deux types : d’une part un algorithme de

modelisation detaille [26] et d’autre part quatre formes d’algorithmes rapides bases sur

le modele reservoir [36]. La table 3.3 met en evidence les caracteristiques de chaque

modele.

3.4.1 Modele detaille

Le modele detaille suggere par Connelly [26] fournit une methode pour obtenir une

solution numerique precise de la distribution des porteurs dans l’amplificateur en regime

dynamique et stationnaire. La densite de porteurs est determinee pour chacune des Nz

sections (tranches) de l’amplificateur. Chaque tranche emet aux longueurs d’onde des

signaux et aux longueurs d’onde d’ASE dans les directions ±z. Il existe une retroaction

entre les tranches et il faut donc converger vers une solution globale, dans laquelle


Tab. 3.3 – Modeles de simulation

ModeleDiscretisation

ASEMatrice de

Sectionspatiale (Nz) gain materiel

Detaille 20 distribuee gmat(λ, n) 5.2.1

Reservoir sans ASE 1 - gres(λ, n) 5.2.2

Reservoir avec pertes5 distribuee gmat(λ, n) 5.2.3

de couplage

Reservoir avec pertes5 distribuee gres(λ, n) 5.2.4

intrinseques

Reservoir avec canal5 1 canal gres(λ, n) 5.2.5

equivalent

chaque tranche est en equilibre avec les tranches adjacentes. Les equations de propaga-

tion 3.27 et 3.29, ainsi que l’equation d’evolution 3.30 sont resolues simultanement. Le

schema structurel du modele detaille est presente a la figure 3.5.

n 1

Tranche 1

P in

n N

Tranche N z

P out

ASE + ASE -

z L

n j

… …

Tranche j

z

Fig. 3.5 – Schema structurel du modele detaille

De plus, des conditions de reflectivite aux facettes sont imposes sur la premiere et sur

la derniere tranche. La densite de porteurs de chaque tranche doit satisfaire l’equation

d’evolution, en considerant que la tranche recoit des photons venant des deux directions

(± z). La resolution de ce systeme d’equations est relativement longue, ce qui est un

probleme pour les simulations Monte-Carlo. De plus, la grande quantite de parametres

du modele rend difficile d’en estimer correctement les valeurs. Une explication complete

du modele de simulation detaille est presentee dans la litterature [26, 34].

3.4.2 Modele du reservoir sans ASE

Pour simplifier la resolution numerique, une variable globale nommee reservoir a ete

introduite. Il s’agit d’une propriete de l’amplificateur commune a tous les canaux, ce qui

la differencie du gain integre presente par Agrawal [37]. Elle facilite le developpement


de modeles simples pour decrire les systemes WDM. En negligeant l’ASE, on procede

a la resolution numerique de l’equation suivante

dr(t)

dt=Ibias

qA− r(t)

τeq− 1

Ahc

Ns∑

k=1

λkPink [Gk(r) − 1] . (3.56)

En regime dynamique, on resoud cette ODE a l’aide d’un algorithme de premier ordre

pour obtenir une comparaison juste avec le modele detaille. L’utilisation d’un algorithme

de Runge-Kutta de quatrieme ordre est aussi possible, mais elle est un peu plus exigeante

sur le temps de calcul et ne donne pas de resultats tres differents. La puissance de sortie

du signal est calculee a chaque instant du temps a l’aide de la relation

Gk = exp [Γak (n(t) − n0,k) L] . (3.57)

Les valeurs du gain a et n0 sont obtenue en linearisant le gain materiel gres. La procedure

est introduite a la section 3.5.3.

Il est important de mentionner que pour les simulations en regime dynamique, la va-

leur du reservoir au premier echantillon temporel r(t = 0) est obtenue en suivant une

procedure speciale. On resoud le systeme en regime stationnaire dr(t)/dt = 0 avec

comme entree un signal d’une valeur egale a celle du premier echantillon temporel

P (t = 0) [40].

r

Tranche Unique

P in P out +

z L

Fig. 3.6 – Schema structurel du reservoir sans ASE


3.4.3 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes de

couplage

Le modele du reservoir en cascade avec pertes de couplage tire son nom de l’utili-

sation d’un algorithme en plusieurs sections (tranches) sans retroaction. Entre chaque

tranche, on introduit une perte de couplage αs, c’est-a-dire une diminution de la puis-

sance egale pour toutes les longueurs d’onde qui ne varie pas selon la densite de porteurs.

r 1

Tranche 1

P in

z

r Nz

Tranche Nz

L / Nz

r 2

Tranche 2

L / Nz L / Nz

P out

ASE out

…

Fig. 3.7 – Schema structurel du reservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage

La structure du modele, illustree a la figure 3.7, est decrite mathematiquement par

l’equation 3.58. Les zones ombragees representes les pertes de couplage αs. Les fleches

rouges representent la propagation du signal. Les fleches doubles bleues representent

l’amplification de l’emission spontannee et indiquent la generation d’un nouveau com-

posant d’ASE dans la section. Il s’agit de la representation schematique du terme Rsp

de l’equation 3.29. La modelisation de l’ASE est realisee sur 20 longueurs d’onde cou-

vrant tout le spectre de gain de l’amplificateur. Comme les reflectivites des facettes sont

nulles, il n’y a aucune retroaction entre les sections et les flux de photons sont diriges

dans une seule direction (selon +z).

dri(t)

dt=Ibias

qA− ri(t)

τeq− 1

Ahc

Ns∑

k=1

λkPink,i [Gk(r) − 1]

− 1

Ahc

NASE∑

s=1

λsPins,i [Gs(ri) − 1]

− 4∆νASE

A

NASE∑

j=1

ηsp,j(ri) [Gj(ri) − 1 − lnGj(ri)] . (3.58)

La sommation supplementaire (en s) de l’equation 3.58 represente les composants

spectraux d’ASE emis aux sections precedentes et qui sont amplifies a la section i. Une


des particularites de ce modele est d’utiliser la matrice de coefficient de gain gmat(λ, n)

discutee a la section 3.3.1. Les coefficients σ(λ) (la pente) et η0(λ) (l’abscisse) qui

proviennent de la linearisation de cette matrice sont utilises dans la relation suivante

pour obtenir le gain de la section i a la longueur d’onde λk.

Gk,i = exp

[Γσk(ni − η0,k)L

Nz

](3.59)

Il est important de mentionner que les coefficients σk et η0,k sont differents de ceux

utilises dans le modele precedent. L’utilisation de ces coefficients est discutee a la section

3.5.3.

Pour pouvoir adapter les resultats de simulation aux donnees experimentales, Ober-

mann suggere d’introduire des pertes de couplage entre les sections [35]. En modifiant

legerement le coefficient de couplage a l’entree

cin =cincadd

(3.60)

et en appliquant une transformation « inverse » a la sortie, incluant un terme de cor-

rection supplementaire

cout = cout cadd e−αsL (3.61)

Obermann a demontre de bons resultats [35]. Le parametre de couplage cadd a ete defini

arbitrairement comme

cadd ≈ e−0.32αsL . (3.62)

Le parametre αs est variable, mais Obermann suggere d’utiliser des valeurs du pro-

duit αsL inferieures a 4 [35]. Donc, la valeur de la puissance effective entrant dans

l’amplificateur est donnee par


Pin =cincadd

Pin (3.63)

et la puissance de sortie de la section i est donnee par

P outi =

[cout cadd e

−αsL/Nz]P out

i . (3.64)

Evidemment, on doit utiliser les valeurs Pin et Pout lors de la resolution de l’equation

3.58, meme si les tildes ont ete enleves pour simplifier la notation.

3.4.4 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes in-

trinseques

Ce modele est en tous points similaire a celui de la section 3.4.3, sauf pour deux

aspects importants.

– Les pertes de couplages αs ne sont pas introduites.

– Les coefficients a(λ) et n0(λ) provenant de la linearisation de gres(λ, n) sont uti-

lises.

Evidemment, il devient alors necessaire de calculer le gain en fonction de la densite de

porteurs en utilisant l’equation suivante

Gk,i = exp

[Γak(ni − n0,k)L

Nz

](3.65)

ouNz represente toujours le nombre de sections (tranches) utlilisees dans la modelisation.

En utilisant le gain materiel gres(λ, n), les pertes sont supposees intrinseques, c’est-a-

dire qu’elles sont directement inclues dans la matrice de gain. Avant la linearisation du

gain materiel, on retranche les pertes de diffusion α(n) directement. Le gain gres(λ, n) =

gmat(λ, n)−α(n)/Γ est donc linearise pour obtenir les coeficients ak et n0,k. La difference

est marquee au niveau spectrale, comme le montre les resultats de la sections 5.2.3.

La table 3.4 presente la correspondance entre les differentes matrices de gain et les

coefficients de la linearisation.


r 1

Tranche 1

P in

z

r Nz

Tranche Nz

L / Nz

r 2

Tranche 2

L / Nz L / Nz

P out

ASE out

…

Fig. 3.8 – Schema structurel du reservoir en cascade avec ASE et pertes intrinseques

Tab. 3.4 – Notation des coefficients du gain

Modele avec Modele avec

pertes de couplage pertes intrinseques

Matrice du coefficientgmat(λ, n) gres(λ, n)

de gain

Pente du coefficientσk ak

de gain

Densite de porteursη0,k n0,k

a la transparence

3.4.5 Modele du reservoir en cascade avec canal d’ASE equivalent

L’ASE joue un role important dans la modelisation de l’amplificateur, puisqu’elle

affecte son niveau de saturation et sa reponse dynamique. Cependant, modeliser un

ensemble de canaux d’ASE distribues sur tout le spectre optique peut augmenter le

temps de calcul.

Pour accelerer la resolution numerique, on introduit un canal fictif ayant une puis-

sance arbitraire a l’entree de l’amplificateur. On note a la figure 3.9 que l’ASE distribuee

sur 20 canaux n’est pas calculee dans la simulation. Ce canal a pour but d’augmenter

artificiellement la saturation de l’amplificateur, repliquant ainsi l’effet de l’ASE. Il s’agit

d’une approche similaire a celle utilisee pour les EDFA [41]. Pour une modelisation de

l’amplificateur en plusieurs sections, on resoud l’ODE 3.66 :


dri(t)

dt=Ibias

qA− ri(t)

τeq− 1

Ahc

Ns∑

k=1

λkPink,i(t) [G(r) − 1]

− λASE

AhcP in

ASE,i [GASE(ri) − 1] (3.66)

ou le gain du canal du signal est obtenu en utilisant les coefficients tires de la linearisation

de gres(λ, n). En pratique, on utilise l’equation

GASE,i = exp

[ΓaASE (ni − n0,ASE)L

Nz

]. (3.67)

pour obtenir la puissance de sortie du signal apres la section i.

r 1

Tranche 1

P in

z

r Nz

Tranche Nz

L / Nz

r 2

Tranche 2

L / Nz L / Nz

P out

P in ASE P out

ASE

Fig. 3.9 – Schema structurel du reservoir avec un canal d’ASE equivalent

La longueur d’onde utilisee pour la description du canal n’a pas de signification

physique. On la fixe a 1560 nm et on utilise une optimisation numerique pour determiner

la valeur des parametres suivants :

– la puissance d’entree P inASE,

– le gain (a travers aASE et r0,ASE)

– le coefficient de couplage a la sortie cout.

En pratique, on utilise un algorithme qui ajuste un ensemble de parametres pour

minimiser le carre de la difference entre le vecteur de sortie d’une fonction et un vecteur

de reference. Les resultats experimentaux servent de reference dans la plupart des cas,

sauf lorsqu’il n’y a pas de mesures disponibles. Dans ce cas, on utilise le modele detaille

pour generer une reference pour l’optimisation. La fonction de minimisation est donnee

a l’equation 3.68. Cet algorithme utilise une methode de Newton reflective, qui permet

de borner la valeurs des parametres x. Cette condition s’est montree necessaire pour

assurer la convergence.


minx

1

2|F (x, xdata) − ydata|2 =

1

2

m∑

i=1

(F (x, xdata,i) − ydata,i)2 (3.68)

En particulier, le vecteur des x est forme a partir des parametres qui doivent etre

optimises, c’est-a-dire P inASE , aASE, n0,ASE, cout. Les vecteurs de donnees d’entree et

de sortie du modele, respectivement xdata et F (x, xdata), sont compares au vecteur des

donnees de reference ydata. La reference choisie est la forme du pulse optique, puisqu’elle

contient a la fois des informations sur le gain en regime permanent et sur la reponse

dynamique. Donc, le vecteur des xdata contient la forme du pulse optique mesure a

l’entree du SOA. Le vecteur F (x, xdata) donne l’estime du pulse amplifie (par le modele

du reservoir) et il est compare au vecteur ydata qui contient la forme du pulse optique

amplifie mesuree experimentalement.

3.5 Extraction des parametres de gain du modele

de simulation

On presente dans cette section les methodes numeriques utilisees pour determiner la

valeur de certains parametres de simulation. Tout d’abord la methode de linearisation

de la matrice du coefficient de gain est expliquee. Ensuite, le choix d’inclure (ou non)

les pertes par diffusion dans cette matrice est discute.

3.5.1 Homogeneite du gain des SOA

Avant d’entreprendre la description des techniques utilisees pour decrire le gain

mathematiquement, il importe de discuter l’homogeneite de celui-ci. Les amplifica-

teurs optiques a semi-conducteurs sont generalement consideres comme des materiaux

donnant un gain tres homogene [26, 34, 37]. Experimentalement, cette homogeneite a

egalement ete verifiee dans plusieurs conditions pour l’amplificateur optique a semi-

conducteur qui a ete utilise principalement pour ce travail. En particulier, nous avons

etudie l’influence d’un signal laser CW a une longueur d’onde fixe sur la saturation du

gain aux longueurs d’onde d’interet, en considerant differents espacements spectraux.

L’homogeneite du gain des SOA est une des proprietes physiques importantes dans

cette etude. En effet, cette caracteristique est essentielle, puisqu’elle permet de relier


directement le gain a n’importe quelle longueur d’onde a une seule quantite : le nombre

de porteurs de charge. Le modele du reservoir suppose un gain parfaitement homogene,

puisqu’un signal affecte completement tous les autres signaux a travers la quantite de

porteurs disponibles pour leur amplification. Dans le modele du reservoir, l’espacement

des canaux n’a aucune importance, seul le gain observe par les canaux est important.

3.5.2 Linearisation du gain materiel

Le modele du reservoir a ete developpe initialement pour modeliser les EDFA [14].

Son equivalent pour les SOA est sensiblement different, surtout en ce qui concerne la

description du gain de l’amplificateur. Le gain de l’erbium peut etre calcule a partir des

section efficaces qui sont des parametres mesures et tabules [1, 32, 41, 42]. Ce sont des

proprietes intrinseques de l’erbium qui ne changent pas d’un amplificateur a l’autre. Le

gain des semi-conducteurs ne peut pas etre decrit de la meme facon.

Une expression du gain materiel a ete presentee a la section 3.3.1. Elle provient du

modele suggere par Connelly [26, 34] et on souhaite l’appliquer au modele du reservoir.

On ne peut cependant pas transposer directement cette description du gain vers le

modele du reservoir, car le gain est non-lineaire ce qui contredit les hypotheses faites a

la section 3.3.5. Le gain a ete suppose lineaire en n dans le modele du reservoir pour

nous permettre d’obtenir l’equation 3.54.

La solution adoptee est simple : utiliser la formulation du gain proposee a la section

3.3.1 pour obtenir gmat(λ, n), puis lineariser numeriquement le gain a chaque longueur

d’onde. On obtient ainsi les vecteurs de la pente du coefficient de gain σ(λ) et l’abscisse a

l’origine η0(λ) qui sont utilises a l’equation 3.59 pour resoudre l’equation 3.58. L’abscisse

a l’origine a pour signification physique la densite de porteurs a la transparence η0(λk) =

η0,k qui rend le gain gmat(λk, n) nul.

gmat(λk, η0,k) , 0 (3.69)

Il est suppose que l’estime des η0,k(λ) provenant de la linearisation est adequat pour

decrire la densite de porteurs a la transparence. On peut constater a la figure 3.10 la

tres bonne correspondance entre l’approximation lineaire et le gain original gmat(λ, n)

a 1550 nm. Dans les calculs qui suivent, on utilise toujours l’estime η0,k.

Pour le calcul du gain, il est necessaire de travailler avec n, puisque les equations


1 1.5 2 2.5 3 3.5−5

0

5

10

15

20

Densité de porteurs (1024 m−3)

g mat

(10

4 m−

1 )

1 2 3

100

101

Approximation linéaireDirectement du modèle détaillé

σk

η0,k

Fig. 3.10 – Linearisation du gain gmat(λ, n) a 1550 nm

decrivant gmat(λ, n) ne sont pas definies fonction du reservoir. L’equation 3.32 est utilisee

pour etablir la correspondance entre les deux, c’est-a-dire r(t) = n(t) · L. En pratique,

il faut aussi determiner une plage des valeurs de n sur laquelle lineariser le gain. Pour

que la linearisation soit en general valide, on determine les valeurs extremes nmin et

nmax correspondant aux deux situations suivantes :

1. une puissance d’entree (-40 dBm) donnant une densite de porteurs elevee (nmax),

2. une puissance d’entree (0 dBm) donnant une densite de porteurs faible (nmin).

La figure 3.11 illustre les deux valeurs de la densite de porteurs specifiees sur la

matrice du gain materiel gmat(λ, n). La densite de porteurs est commune a toutes les

longueurs d’onde, et ce sont donc les memes bornes pour chacune d’elles.

La linearisation du gain presente deux avantages majeurs. Tout d’abord, elle accelere

la resolution numerique de l’ODE du reservoir (equation 3.54). Il n’est pas necessaire

d’interpoler dans la table gmat(λ, n) de la figure 3.11 pour des valeurs de λ et n arbi-

traires. Le calcul direct de Gk = exp(Γak(n−n0,k)) est plus rapide. Ensuite, elle permet

de respecter les hypotheses fondamentales du modele du reservoir.


1520

1540

1560

1580

1600

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0

2

4

6

L o n g u e u r d ’ o n d e

( n m )

D e n s i t é d e p o r t e u r s ( 1 0 2 4 m - 3 )

g m a

t ( 1

0 4

m - 1

)

n min

n max

Fig. 3.11 – Matrice du coefficient de gain materiel gmat(λ, n)

3.5.3 Choix de la matrice de gain

Cette section presente deux techniques permettant de reintroduire les pertes α(n)

dans l’amplificateur sans les inclure directement a l’equation de propagation 3.37. Meme

dans un modele simple, il est interessant de considerer les pertes pour pouvoir observer

certains effets relies a la XGM [43]. Le probleme est donc de demeurer dans les limites

fixees par les hypotheses initiales du reservoir. On se propose d’etudier l’efficacite des

deux approches suivantes.

1. Pertes de couplage (section 3.4.3). Cette methode consiste a lineariser la ma-

trice de gain gmat(λ, n) provenant du modele detaille pour en extraire σ(λ) et

η0(λ).

2. Pertes intrinseques (section 3.4.4). L’alternative est de soutraire les pertes di-

rectement du gain pour obtenir gres(λ, n) et d’en extraire a(λ) et n0(λ).

A l’aide d’une grande quantite de donnees experimentales, il aurait ete possible

de determiner les valeurs des vecteurs de coefficients (ak, n0,k) ou (σk, η0,k) a l’aide


d’une optimisation numerique. L’utilisation d’une approche aussi directe pour estimer

separement chaque parametre s’avere cependant trop lourde pour etre envisageable. On

doit donc se resoudre a utiliser l’une ou l’autre des methodes.

1. Pertes de couplage

Il s’agit du traitement direct de la matrice de gain gmat(λ, n) obtenue a la section

3.3.1. Apres chaque tranche du SOA de la figure 3.7, la puissance optique est multipliee

par une constante comprise entre 0 et 1 (les pertes de couplage αs) a la sortie de la

tranche. Des simulations utilisant cette methode ont ete realisees suivant l’algorithme

avec pertes de couplage presente a la section 3.4.3. Les resultats presentees a la section

5.2.3 montrent la mauvaise correspondance entre la mesure et la simulation du spectre

de gain.

2. Pertes intrinseques

La deuxieme methode tente de compenser pour l’abandon des pertes a l’equation

3.37 en generant une nouvelle matrice de gain gres(λ, n) definie comme

gres(λ, n) , gmat(λ, n) − α(n)

Γ(3.70)

Cette methode pour considerer les pertes a des consequences differentes sur les deux

vecteurs de coefficients a(λ) et n0(λ).

– La pente du coefficient de gain materiel. Comme les pertes sont lineaires, la

difference entre les pentes pour le gain materiel (ak) provenant des deux methodes

est la valeur de K1, de telle sorte que ak = σk −K1 (voir equation 3.25).

– La densite de porteurs a la transparence. En appliquant la transformation

3.70, on change la courbe de croisement tracee par l’intersection de gmat(λ, n) et

du plan xy. Par le fait meme, on change la forme spectrale des coefficients n0(λ).

En realite les pertes α(n) ne sont pas lineaires en n et la plus grande consequence

de l’equation 3.70 est de changer l’estime de la densite de porteurs a la transparence.

On presente a la figure 3.12 les vecteurs a(λ) et n0(λ) extraits en utilisant directement

gmat (carres rouges) ou en linearisant gres (cercles bleus).


1530 1540 1550 1560 1570 1580 15904

5

6

7

8

9

10

11

12

longueur d’onde (nm)

pent

e (1

0−20

m2 )

a(λ) : linéarisation de gres

σ(λ) : linéarisation de gmat

a(λ)

σ(λ)

(a) Pente du gain materiel

1530 1540 1550 1560 1570 1580 15900.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5


dens

ité à

la tr

ansp

aren

ce (

1024

m−

3 )

n0(λ) : linéarisation de g

res

η0(λ) : linéarisation de g

mat

n0(λ)

η0(λ)

(b) Densite a la transparence

Fig. 3.12 – Representation spectrale des parametres du gain obtenus a l’aide deux

methodes de linearisation

Tel que prevu, la forme de la courbe a(λ) ne change pas, elle est simplement abaissee

par la constante K1. Par contre, la forme de la courbe n0(λ) change considerablement.

Puisque le changement des a(λ) est constant spectralement, la difference de courbure

des n0,k explique le decalage spectral du gain observe a la figure 5.14. On y constate

aussi que n0(λ) > η0(λ), ce qui signifie que le gain du modele utilisant gmat(λ, n) est

plus important. L’application des pertes de couplage αs est alors justifiee pour ramener

le gain a un niveau plus realiste.


Au chapitre 3, la modelisation des SOA a ete mise en contexte. Il a ete explique que

les SOA sont etudies pour leur propriete de reduction du bruit d’intensite des sources

optiques decrites au chapitre precedent. Leur application dans un systeme SSWDM,

principalement au niveau de la conversion de longueur d’onde, a ete discutee.

De plus, les fondements physiques et la theorie des bandes des materiaux semi-

conducteurs ont permi d’obtenir une description du gain materiel des SOA. Cette ap-

proche permet d’obtenir une matrice de gain, c’est-a-dire une valeur du gain materiel

pour une densite de porteurs et une longueur d’onde fixe.

Par la suite, les equations decrivant la dynamique des SOA, a savoir les equations

d’evolution de la densite de porteurs et l’equation de propagation, ont ete reduites a une


seule equation differentielle ordinaire. Cette ODE forme la base du modele du reservoir.

Ce chapitre presente differentes versions de ce modele qui ont ete implementees. Le gain

materiel qui est utilise dans le modele du reservoir est obtenu plus tard dans le chapitre,

en procedant a la linearisation de l’expression du gain materiel formulee precedemment.

Chapitre 4

Resultats experimentaux

Les mesures experimentales presentees dans ce chapitre visent a valider les modeles

de simulation presentes au chapitre 3. Chacune des sections de ce chapitre correspond

directement a une section du chapitre des resultats de simulation. Les relations entre

les sections sont presentees a la table suivante.

Tab. 4.1 – Correspondance entre les sections des chapitres 3, 4 et 5

Section des Section des

resultats resultats

experimentaux de simulation

BER 4.1 5.1

Extraction des parametres 4.2 3.5

Cas de figure 4.3 5.2

Les mesures du BER sont la motivation principale de l’etude des SOA. Elles ont

ete prises avec des sources thermiques de differentes largeurs spectrales et a plusieurs

taux de transmission. Le mecanisme de conversion de longueur d’onde par XGM a ete

presente a la section 3.1, tandis que les resultats de simulations du BER des sources

thermiques seules sont presentes a la section 5.1.4.

D’autres mesures servent a estimer la valeur de certains parametres du modele

detaille et du modele du reservoir. Il est parfois possible de determiner directement

la valeur des differents parametres a l’aide de mesures experimentales.

La derniere section de ce chapitre porte sur la mesure des cas de figure. Ce sont des

caracteristiques cles du SOA (gain statique, reponse dynamique, etc.) qui servent de

Chapitre 4. Resultats experimentaux 59

balises pour evaluer l’exactitude des modeles de simulation. Une description plus etoffee

des ces criteres est presentee a la section 4.3.

Sauf indication contraire, tous les resultats experimentaux sont obtenus avec un

SOA de la compagnie « Optospeed » de modele « 1550MRI X1500 ». Il est controle en

temperature et son courant d’injection est toujours fixe a 500 mA.

4.1 Mesures de BER

4.1.1 Source incoherente accordable en longueur d’onde de

largeur spectrale variable

Dans le but de connaıtre les performances d’un systeme SSWDM, il faut etre ca-

pable de produire au laboratoire une source optique incoherente accordable en longueur

d’onde. On veut egalement une source de largeur spectrale variable, mais relativement

faible pour faciliter les simulations Monte-Carlo. Pour obtenir cette source, on utilise

le montage presente a la figure 4.1. Les deux EDFA servent a augmenter la puissance

de sortie, car la source large-bande initiale ne donne pas une densite de puissance tres

elevee sur tout le spectre. Les filtres optiques intermediaires servent quant a eux a

concentrer le gain des EDFA sur la region spectrale d’interet. Ils sont tous deux ac-

cordables et centres a la meme longueur d’onde que le monochromateur, c’est-a-dire

1550 nm. Ce sont les filtres JDS Uniphase TB9 de 0.25 nm et JDS Uniphase TB15B

de 1.2 nm qui ont ete utilises lors de l’experience. Le monochromateur est en fait un

analyseur de spectre optique (OSA) de marque Hewlett-Packard et de modele 70951A

qui peut etre utilise comme une filtre accordable d’une tres faible largeur spectrale.

Source large-bande

Filtre accordable

1.2 nm EDFA

Mono- chromateur

EDFA Filtre

accordable 0.25 nm

Fig. 4.1 – Montage experimental utilise pour obtenir la source large-bande

Il est possible de remarquer deux etages d’amplification optique a la figure precedente.

Ils servent a augmenter la puissance de la source, mais n’influencent pas sensiblement

ses proprietes statistiques. En effet, les amplificateurs EDFA utilises ont un temps de

reponse tres lent (de l’ordre de la milliseconde) par rapport aux variations tres rapides

de la sources elle-meme (de l’ordre de la nanoseconde). Le gain est donc tres lineaire

pour la source originale et ses proprietes statistiques ne sont pas affectees.


Les spectres optiques obtenus dependent du monochromateur, mais aussi du filtre

de sortie. Dans le systeme, seul le le monochromateur a une largeur spectrale variable.

La largeur des spectres obtenus (a 3 dB) est d’environ 5, 10 et 20 GHz. Ces spectres

sont presentes a la figure suivante.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Fréquence référencée à 1550 nm (GHz)

PS

D (

dBm

/nm

)

5 GHz10 GHz20 GHz

Fig. 4.2 – Spectres optiques de la source incoherente large-bande

4.1.2 PDFs des sources optiques incoherentes

La premiere mesure experimentale a pour but de verifier la distribution d’intensite

des sources incoherentes proposee par Goodman [11] et presentee a la section 2.3. On

utilise la source representee a la figure 4.1 pour generer un signal optique qu’on detecte

a l’aide d’un photodetecteur Agilent 86105A. Un oscilloscope Agilent 86100A sert a

faire l’acquisition des echantillons temporels de W (t) dont l’histogramme donne une

approximation de la PDF. Deux histogrammes sont presentes aux figures 5.4 et 5.5

du chapitre suivant (section 5.1.3) parce qu’ils contiennent egalement des resultats de

simulations.


4.1.3 Mesures du BER

Des mesures experimentales du taux d’erreur ont ete realisees avec les combinaisons

formees a partir de trois bandes optiques Bo et de trois bandes electriques Be. Ces

combinaisons donnent quatre valeurs du rapport Bo/Be distinctes, qui sont presentees a

la table 4.1.3. En pratique, la bande electrique est determinee par le taux de transmission

des donnees, car le filtre electrique est toujours selectionne pour que sa largeur a 3 dB

corresponde a environ 70 % de ce taux.

Tab. 4.2 – Facteurs M obtenus pour les mesures du BER

Facteur M Bo Be

M ≈ Bo/Be

5.45 GHz 933 MHz

10 GHz 1.87 GHz

10.7

5 GHz 467 MHz

10 GHz 933 MHz

20 GHz 1.87 GHz

21.410 GHz 467 MHz

20 GHz 933 MHz

42.8 20 GHz 467 MHz

Ces trois formes de spectre optique combinees aux trois largeurs de filtre electrique

donnent des valeurs de M comprises entre 5 et 43. Ce sont des valeurs significatives,

puisqu’elles correspondent a differents regimes. Lorsque M est faible (≈ 5), le signal

est tres degrade et le BER est eleve. Par contre, lorsque M est eleve (≈ 43), le BER

est assez faible et la distribution de l’intensite tend vers le cas gaussien. On considere

generalement acceptable l’approximation gaussienne de la PDF lorsque M approche

100. Ces combinaisons ont ete selectionnees dans le but d’avoir un BER eleve, puisqu’il

est plus facile de faire des simulations de type Monte-Carlo lorsque les performances

sont mauvaises. Les erreurs sont plus frequentes et le nombre de bits requis pour obtenir

un nombre fixe d’erreurs est donc moins eleve (en probabilite).

Les mesures de BER sont prises avec un signal SSWDM a 1550 nm seul et en conver-

sion de longueur d’onde vers un signal coherent a 1521 nm. Le montage experimental

de la figure 4.3 utilise un laser Agilent 8164A, un photodetecteur Agilent 11982A. Le

systeme BERT Agilent 70004A comprend un generateur de signal Agilent 70340A et

un detecteur d’erreurs Agilent 70843C. Des filtres electriques Picosecond Pulse Labs

a 467 MHz (5915-100-467MHz), 933 MHz (5915-110-933MHz) et 1.87 GHz (5915-110-

187GHz) ont ete utilises. Exceptionnellement, un pre-amplificateur optique a semi-


Source incohérente @ 1550 nm

Mesure du BER

Générateur PRBS 2 15 -1

Photodiode

Filtre Électrique 0.7 x Taux

Laser accordable @1521 nm

Oscilloscope

SOA

Filtre optique 0.25 nm @ 1521 nm

1 2

3

Atténuateur variable

Contrôleur de polarisation

Courant: 130 mA

Modulateur EO

Électrique

Optique

Fig. 4.3 – Schema du montage experimental utilise pour la conversion de longueur

d’onde

conducteur de marque Kamelian a ete utilise pour les mesures de BER au lieu du

modele de SOA Optospeed utilise pour toutes les autres experiences. Il s’agissait du

seul amplificateur disponible au moment ou ces mesures ont ete faites.

Les figures 4.4 a 4.6 ont ete tracees de maniere a faciliter l’interpretation en terme

de spectre optique et de taux binaire. Pour chaque taux, la courbe du haut (noire) est

mesuree avec la source incoherente seule et la courbe du bas (rouge) est mesuree avec

un schema de conversion de longueur d’onde. Les courbes a 622 Mb/s sont representees

par des triangles, a 1.25 Gb/s par des carrees et a 2.5 Gb/s par des cercles. Dans un

contexte de communications numeriques, on peut faire l’interpretation suivante :

1. Pour une meme bande optique : le BER croıt avec le taux de transmission,

car en augmentant la bande electrique on laisse passer plus de bruit.

2. Pour une meme bande electrique : le BER diminue si on augmente la bande

optique, car le facteur M augmente aussi.

Comme il est possible de le constater en observant les distributions de probabilite

de la figure 2.3, plus les sources incoherentes ont un spectre etroit, plus elles sont

bruyantes puisque leur facteur M associe diminue. Il est donc raisonnable d’obtenir de

moins bonnes performances pour la source optique de 5 GHz que pour la source de 20


−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Puissance Optique (dBm)

BE

R

BR

= 622 Mb/s

BR

= 1.25 Gb/s

Fig. 4.4 – Mesure du BER pour une source optique de 5 GHz

GHz ceteris paribus. A la figure 4.4, on remarque l’abscence de la courbe de 2.5 Gb/s,

qu’il n’a pas ete possible d’obtenir experimentalement etant donne le niveau de bruit

eleve. Les performances (i.e. le BER) etaient trop mauvaises pour etre adequatement

mesurees.

On remarque que le BER est ameliore par le schema de conversion de longueur

d’onde par pres de quatre ordres de grandeurs dans certains cas. Cette amelioration

ouvre la voie a differentes solutions pour augmenter encore davantage les performances,

comme par exemple l’utilisation de certains codes correcteurs.

4.2 Extraction des parametres du modele numerique

de simulation

On presente dans cette section les mesures faites pour determiner la valeur de cer-

tains parametres physiques utilises dans les differents modeles de simulations.


−20 −15 −10 −5 0 510

−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Puissance optique (dBm)

BE

R

BR

= 2.5 Gb/s

BR

= 622 Mb/s

BR

= 1.25 Gb/s


−20 −15 −10 −5 0 510

−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Puissance Optique (dBm)

BE

R

BR

= 2.5 Gb/s

BR

= 1.25 Gb/s

BR

= 622 Mb/s



4.2.1 Spectre de l’ASE

Pour pouvoir caracteriser l’ASE emise par l’amplificateur, une mesure de son spectre

de puissance a ete effectuee a l’aide d’un OSA Ando AQ6317B. Il s’agit d’une mesure

simple a realiser qui permet d’obtenir la distribution de puissance totale a la sortie

de l’amplificateur. La mesure permet aussi de connaıtre la puissance de l’ASE emise

en l’abscence de signal, soit l’integrale de la PSD. On obtient des puissances de 7.0 et

7.2 dBm a chacune des sorties du SOA Optospeed. La figure 4.7 montre la distribution

spectrale de la puissance de l’ASE.

1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0


Pui

ssan

ce (

dBm

/nm

)

1560 1560.5 1561

Fig. 4.7 – Densite spectrale de puissance de l’ASE du SOA Optospeed

4.2.2 Dimension du milieu de gain

La mesure du spectre d’ASE permet d’obtenir un estime de la longueur du mi-

lieu de gain de l’amplificateur. En effet, il subsiste toujours une legere resonnance a

l’interieur du milieu actif malgre l’utilisation de couches anti-reflets. Par analogie avec

un resonateur de type Fabry-Perot, il est possible de deduire la longueur de la cavite.

Pour la mesure des dimensions d’un resonateur passif, on peut utiliser une source de

lumiere large-bande pour eclairer la cavite. Le spectre de la lumiere a la sortie de la ca-

vite comporte des franges causees par l’interference a certaines longueurs d’onde. Dans


le cas du SOA, la source de lumiere large-bande est interne : c’est l’ASE generee par le

milieu actif qui eclaire la cavite. On estime la dimension optique du milieu de gain en

observant l’espacement des franges d’interference sur le spectre presente a la figure 4.8.

L’encadre est un agrandissement d’une portion du spectre et sert a identifier clairement

les franges.

1560 1560.15 1560.3 1560.45 1560.6 1560.75 1560.9 1561−5.2

−5.15

−5.1

−5.05

−5

−4.95

−4.9

−4.85

Longueur d’onde

Pui

ssan

ce (

dBm

/nm

) ∆ λ

Fig. 4.8 – Franges d’interference observees sur le spectre d’ASE

Pour obtenir la longueur de la cavite, il faut determiner l’espacement en frequence

des maxima locaux du spectre. Comme ce dernier est presente sur une echelle de lon-

gueur d’onde, il suffit de differencier la relation de dispersion de la lumiere c0 = λν

pour obtenir

|∆ν| =c0 |∆λ|λ2

(4.1)

On remplace alors cette equation dans la relation classique decrivant l’interference dans

une cavite Fabry-Perot [22]

∆ν =c

2L=c0/neq

2L(4.2)


ou la vitesse de la lumiere dans le vide c0 est divisee par l’indice de refraction moyen neq

du milieu de gain. On obtient donc la relation entre l’espacement en longueur d’onde

et la longueur optique de la cavite :

L =λ2

2 ∆λ neq

. (4.3)

En utilisant 0.2 nm comme valeur d’espacement spectral, la longueur du chemin op-

tique est estimee a environ 1.9 mm. Par contre, une erreur de 0.05 nm sur l’espacement

entraıne une erreur de 0.47 mm sur la longueur optique de la cavite. Divise par l’indice

de refraction moyen, la longueur de la cavite L est estimee a 0.9 mm. La meilleure cor-

respondance entre les donnees experimentales et les resultats de simulation est obtenue

avec une valeur de L = 1.3 mm.

4.3 Mesures des cas de figure

On presente les mesures realisees pour obtenir les trois figures de merite fixees comme

balises dans l’analyse des modeles de simulations. Ces resultats sont repris a la section

5.2 pour valider les simulations numeriques.

Les mesures experimentales faites avec un signal dont l’intensite est constante dans

le temps sont dites statiques. Il s’agit de la saturation du gain (section 4.3.1) et du

spectre de gain (section 4.3.2).

Les formes d’un pulse optique, avant et apres son amplification par le SOA, ont aussi

ete mesurees. Il s’agit de mesures dynamiques visant a valider la reponse du modele

aux variations brusques de puissance optique du signal a l’entree. Les resultats sont

presentes a la section 4.3.3.

4.3.1 Mesure de la saturation du gain

La courbe de saturation du gain presente le gain global de l’amplificateur G(Pk, λk)

pour plusieurs puissances optiques fixes. Typiquement, la courbe comporte deux asymp-

totes lorsqu’elle est tracee en echelle logarithmique :


– Faible Signal. Lorsque le signal d’entree a une puissance tres faible, le gain est

presque constant autour d’une valeur G0. Il s’agit du gain a faible signal.

– Fort Signal. Dans le cas ou la puissance d’entree est tres elevee, la puissance de

sortie tend vers une valeur fixe [27].

La figure 4.9 presente la courbe de gain obtenue experimentalement a 1560 nm. Les

deux asymptotes decrites precedemment y sont representees.

−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt. in (dBm)

Gai

n (d

B)

λ = 1560 nm

Gain à faible signal

Diminution du gain à fort signal

Fig. 4.9 – Saturation et comportement asymptotique du gain

Pour realiser la mesure du gain a une longueur d’onde precise, il est imperatif d’uti-

liser une source optique de faible largeur spectrale (quelques MHz). Dans ce cas, un

laser Agilent 8164A est utilise.

Les mesures de puissance des signaux d’entree et de sortie se font a l’aide du meme

instrument de maniere a conserver la reference de puissance. On utilise un analyseur de

spectre optique (OSA) Ando AQ6317B. Cet instrument permet de mesurer le niveau

du bruit (ASE) autour de la longueur d’onde du signal a la sortie du SOA. On se

sert de cette valeur pour eliminer l’effet du bruit (ASE) et ainsi obtenir le gain a

la longueur d’onde du signal [44]. La correction est importante lorsque la puissance du

signal d’entree est faible, car la puissance d’ASE est alors elevee. Le schema experimental

est illustre a la figure 4.10.


Laser Accordable

SOA OSA

Isolateur Contrôleur de polarisation


Fig. 4.10 – Schema du montage experimental utilise pour les mesures de gain

La courbe de saturation du gain donne acces a une valeur importante : la puissance

de saturation Psat de l’amplificateur. En pratique, on la definit comme la puissance

optique d’entree qui observe un gain equivalent a la moitie du gain a faible signal.

Autrement dit, G(Psat) , G0/2. Dans toutes les mesures, la polarisation est ajustee de

maniere a maximiser le gain.

4.3.2 Mesure du spectre de gain

Le spectre de gain G(λ) est obtenu en mesurant le gain a plusieurs longueurs d’onde

en gardant la puissance optique a l’entree du SOA fixe. La methode de mesure, le

montage et les instruments sont les memes que pour la saturation du gain. Le spectre

de gain presente a la figure 4.11 a ete obtenu pour une puissance d’entree de -25 dBm.

4.3.3 Mesure de la forme d’un pulse optique amplifie

Le critere choisi comme element de comparaison en regime dynamique est la forme

d’un pulse optique apres son passage dans l’amplificateur. Bien que cette mesure ne

soit pas representative du regime dynamique complet, elle a l’avantage d’etre facile a

realiser au laboratoire.

La mesure de la forme temporelle du pulse amplifie faite au laboratoire utilise un

oscilloscope a echantillonnage Agilent 86100A. On fait cette mesure a la sortie de l’am-

plificateur, mais egalement a l’entree de ce dernier pour differents niveaux de puissance.

La mesure du pulse a l’entree est importante, car les echantillons temporels obtenus

servent de signal d’entree aux modeles de simulation.

En pratique, le montage presente a la figure 4.12 comprend un laser accordable

Agilent 8164A, centre a une longueur d’onde de 1560 nm. Le signal est module de

maniere interferometrique (modulateur electro-optique du type Mach-Zender). Le rap-


1530 1540 1550 1560 1570 15800

5

10

15

20

25

30


Gai

n (d

B)

Poptique

= −25 dBm

Fig. 4.11 – Spectre de gain a faible signal de l’amplificateur

port d’extinction obtenu est d’environ 10 dB apres le filtre electrique, mais il varie

legerement avec les differents niveaux de puissance comme il est possible de le consta-

ter a la figure 4.13. On detecte le signal avec une photodiode Agilent 11982A et on

enregistre la forme a l’aide d’un oscilloscope a echantillonnage Agilent 86100A dont la

bande passante est superieure a 20 GHz.

Les pulses sont mesures aux quatre puissances (moyennes temporelles) suivantes :

– une puissance superieure a la puissance de saturation (Pin = −9dBm > Psat),

– une puissance comparable a la puissance de saturation (Pin = −13dBm ≈ Psat),

– deux puissances inferieures (Pin = −18,−22 dBm < Psat).

Un filtre electrique est place entre le modulateur et le generateur de patrons pseudo-

aleatoires. Il sert a eliminer les oscillations rapides introduites sur les donnees binaires

par le systeme de mesure (BERT) lors des transitions (0 vers 1 et 1 vers 0). Ces

oscillations proviennent des harmoniques du signal d’horloge et sont problematiques

lors de la modelisation. Les transitions du signal electrique envoyees au modulateur sont

moins franches, mais elles ne comportent pas d’oscillations parasites. Meme si le filtre

electrique reduit la largeur de bande du stimulus envoye au SOA, l’objectif premier de

cette experience est d’obtenir un modele adequat pour les systemes de communications

metropolitains. Nous estimons qu’en ce sens, utilise un pulse filtre est representatif de


PRBS 2 7 -1 @ 1 Gb/s

Filtre Électrique

Oscilloscope

EO Modulateur

LASER @ 1560 nm

SOA Photodiode Contrôleur

de polarisation


Isolateur Optique

Liens optiques

Liens électriques

(trigger)

Fig. 4.12 – Montage experimental de la mesure des pulses optiques

la fiabilite du modele. On remarque egalement sur le montage de la figure 4.12 qu’il

n’y a pas de filtrage optique avant le photodetecteur. Un tel filtrage est problematique

pour deux raisons :

1. Le niveau d’ASE est important pour valider les simulations numeriques. Filtrer

pour ne conserver que le signal ne permettrait pas d’obtenir une grande certitude

quand a la modelisation de l’ASE dans les simulations numeriques.

2. Ajouter un filtre optique modifie la forme des pulses optiques enregistre par le

photodetecteur. Les SOA introduisent un glissement de frequence ou chirp im-

portant sur le signal de sortie [45]. Utiliser un filtre introduit une distortion du

pulse, un phenomene comparable a la demodulation d’un signal FM [8, 44, 46].

La plus grande subtilite de cette mesure est d’identifier correctement le pulse sur la

sequence binaire pseudo-aleatoire (PRBS) de 127 bits. Pour que les effets dus au patron

soient les memes a l’entree et a la sortie, il faut mesurer le bit au meme endroit de la

sequence dans les deux mesures. En pratique, on choisit un pulse isole, c’est-a-dire un

1 precede et suivi de plusieurs 0.


Au chapitre 4, differents aspects experimentaux sont presentes. Tout d’abord, les

mesures de la forme spectrale de la source incoherente sont presentees. De plus, la


0 0.5 1 1.5 2−30

−25

−20

−15

−10

−5

temps (ns)

Pop

t. (dB

m)

Pmoy

= −9.1 dBm

Pmoy

= −13.1 dBm

Pmoy

= −17.8 dBm

Pmoy

= −22.1 dBm

(a) A l’entree

0 0.5 1 1.5 23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

temps (ns)

Pop

t. (dB

m)

Pmoy

= −8.2 dBm

Pmoy

= −13.1 dBm

Pmoy

= −17.8 dBm

Pmoy

= −22.1 dBm

(b) A la sortie

Fig. 4.13 – Pulses mesures a l’entree et a la sortie du SOA

distribution d’intensite de la source est presentee. Ensuite, des mesures du taux d’erreur

binaires sont presentees pour differentes bandes optiques.

Par la suite, des mesures du spectre d’ASE emise par le SOA sont presentees. Elles

sont utilisees pour obtenir des informations sur les dimensions physiques des SOA,

specialement la longueur optique de la region active.

En dernier lieu, on presente trois types de mesures servant de points de repere pour

la comparaison des modeles de simulation. Ces mesures sont la saturation du gain, le

spectre de gain et la reponse a un pulse. La comparaison des resultats de simulation

avec ces trois mesures est faite au chapitre suivant.

Chapitre 5

Resultats de simulation

Dans le but d’estimer les performances d’un systeme de communication SSWDM

utilisant la conversion de longueur d’onde a la reception, il est necessaire de modeliser

correctement la source incoherente et le SOA. Tout d’abord, les proprietes statistiques

des sources incoherentes ont ete etudiees et les resultats obtenus servent a developper un

modele semi-analytique pour estimer le BER. Ensuite, la correspondance des resultats

de simulation avec les resultats experimentaux sont etudiees pour les cinq modeles

numeriques de SOA introduits au chapitre 3.

5.1 Simulation du BER

Cette section porte sur la modelisation des sources incoherentes. On verifie d’abord

que le modele theorique est adequat en comparant les histogrammes experimentaux

aux PDFs predites par le modele. On etudie egalement certaines proprietes statis-

tiques des modeles de sources thermiques. Par la suite, on utilise ce resultat pour

estimer le taux d’erreur associe a l’utilisation d’une source incoherente dans le contexte

d’un systeme de communication. Ce modele semi-analytique est ensuite valide avec les

courbes experimentales du BER qui ont ete presentees a la section 4.1.3.

5.1.1 Ergodicite des sources incoherentes

On se propose tout d’abord de verifier l’ergodicite du processus lorsqu’on utilise

le modele frequentiel pour decrire les sources incoherentes. Lors du developpement

Chapitre 5. Resultats de simulation 74

presente a la section 2.1, l’esperance mathematique a ete interchangee librement avec la

moyenne temporelle. Meme s’il est impossible de le faire au laboratoire, on peut facile-

ment verifier numeriquement l’ergodicite du processus I(t). En simulation, il est facile

de realiser la meme experience un grand nombre de fois. On utilise le modele presente

a la section 2.4 pour obtenir des echantillons de deux manieres differentes :

1. Statistiques temporelles. La distribution de l’intensite est obtenue sur une

seule realisation en considerant tous les echantillons.

2. Statistiques d’ensemble. La distribution de l’intensite est formee d’echantillons

obtenus a un seul instant du temps pour un grand nombre de realisations du

processus W (t).

La figure 5.1 compare les deux hypotheses precedentes. D’une part, elle montre la

distribution de l’intensite obtenue en presumant l’ergodicite pour 100 000 echantillons

temporels. D’autre part, la figure montre les distributions prises a trois differents ins-

tants d’echantillonnage (ts = 150, 250 et 450) en supposant la deuxieme hypothese. Les

trois instants d’echantillonnage ont ete choisis arbitrairement pour verifier que le com-

portement statistique est le meme sur tout l’intervalle. Ce devrait etre le cas, puisque

la modelisation est en partie basee sur la stationnarite de la source. La figure en echelle

logarithmique montre des effets de discretisation pour les evenements rares. Un plus

grand nombre d’echantillons est requis pour obtenir un histogramme plus lisse a des

frequences relatives faibles.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Intensité (W)

Fré

quen

ce R

elat

ive

ts = 150

ts = 250

ts = 450

supposant erg.

(a) Echelle lineaire

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0110

−1

100

101

102

103

Intensité (W)

Fré

quen

ce R

elat

ive

ts = 150

ts = 250

ts = 450

supposant erg.

(b) Echelle logarithmique

Fig. 5.1 – Distribution de l’intensite de la source incoherente sans filtrage

La figure 5.1 montre une tres bonne correpondance entre les deux hypotheses. On

peut aller encore plus loin dans la verification et montrer qu’en simulation, le signal

amplifie semble aussi ergodique. Ce resultat est presente a la figure 5.2. Evidemment,


cette demonstration de l’ergodicite est limitee au modele numerique, en l’occurrence le

modele du reservoir. La demonstration de l’ergodicite du processus, du moins selon les

simulations numeriques, pourrait faciliter une approche analytique du probleme. Elle

donne une certaine confiance en l’hypothese de l’ergodicite du processus a la sortie du

SOA.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

20

40

60

80

100

120

Intensité (W)

Fré

quen

ce R

elat

ive

ts = 150

ts = 250

ts = 450

Ergodique


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.02510

−2

10−1

100

101

102

103

Intensité (W)

Fré

quen

ce R

elat

ive

ts = 150

ts = 250

ts = 450

Supposant erg.


Fig. 5.2 – Distribution de l’intensite du signal amplifie par le modele du reservoir

5.1.2 Estimation du facteur M

Pour obtenir une description complete du bruit d’intensite selon le modele propose

par Goodman, il faut detenir deux informations : la moyenne de l’intensite et le facteur

M. La moyenne est facile a obtenir, mais ce n’est pas le cas du facteur M du signal.

On utilise la definition proposee a la section 2.2 :

M =

[∫∞

−∞Bo(ω)dω

]2

∫∞

−∞

[∫∞

−∞Bo(ω)Bo(ω + Ω)dω

]Be(Ω)dΩ

Le spectre optique de la source incoherente est utilise pour extraire le facteur Met ainsi deduire la PDF de l’intensite. La puissance du signal (au numerateur) et celle

du bruit (au denominateur) sont calculees independamment en utilisant la procedure

suivante.

1. Puissance du signal :


(a) La PSD mesuree de la source est convertie en echelle lineaire pour obtenir

SASE(λc)Bo(λ).

(b) La PSD SASE(λc)Bo(λ) est ensuite convertie dans le domaine des frequences

pour obtenir SASE(ωc)Bo(ω).

(c) La PSD est ensuite recentree sur la frequence optique correspondant a son

maximum (ωc) pour obtenir Bo(ω).

(d) La puissance totale du signal est obtenue en integrant la PSD finale.

2. Puissance du bruit :

(a) L’axe des frequences optiques est interpole sur un vecteur lineaire pour faci-

liter le calcul de la fonction d’autocorrelation.

(b) On determine une fonction de transfert electrique Bessel-Thompson de qua-

trieme ordre notee H(ω) [9]. Cette forme de filtre est choisie parce qu’elle

approxime corectement le filtre utilise dans le montage de la figure 4.3.

(c) La fonction d’autocorrelation du spectre optique est multipliee par le filtrage

en puissance Be(ω) = |H(ω)|2.(d) Une integration numerique de l’etape precedente permet d’obtenir la puis-

sance du bruit.

3. Le facteur M est obtenu en divisant la puissance du signal par celle du bruit,

suivant l’equation 2.2.

On presente a la figure 5.3 un exemple comparatif de la largeur de la fonction d’auto-

correlation du filtre optique (en bleu) et du module carre de la reponse en frequence (en

noir) de la fonction de transfert du filtre electrique. Pour un facteur M faible (environ

5), la forme de la bande optique est relativement importante, meme si le resultat du pro-

duit (cercles rouges) ne s’ecarte pas beaucoup de la reponse Be(ω) du filtre electrique

(trait plein noir). Il semble evident que pour une bande optique suffisamment large,

seule la valeur du DC de l’autocorrelation du filtre optique est reellement importante.

La valeur du facteur M est determinee principalement par la forme du filtre electrique.

5.1.3 PDF de l’intensite integree parametrisee par M

Pour en verifier l’exactitude du modele propose par Goodman [11], on realise un

histogramme de l’intensite integree W (t) du signal. On presume de maniere impli-

cite l’ergodicite du processus puisque les echantillons sont recueillis les uns apres les

autres pour une seule realisation. L’histogramme normalise est obtenu avec la source

de 5 GHz donnant un facteur M ≈ 5.7 lorsqu’elle est employee avec un filtre electrique

de 933 MHz.


−6 −4 −2 0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence (GHz)

Rép

onse

(u.

a.)

Auto−corr.

|H(f)|2

Acorr ⋅ |H|2

Fig. 5.3 – Comparaison du spectre optique autocorrele et de la fonction de transfert

electrique en puissance

Pour obtenir la correspondance de la figure 5.4, il faut cependant tenir compte

des diverses sources de bruit a la detection. La somme des bruits de detection est

modelisee comme une seule variable aleatoire gaussienne de moyenne nulle dont la

variance est obtenue experimentalement. L’expression theorique de la PDF (equation

2.40) est convoluee avec la PDF de la variable gaussienne representant les bruits de

detection.

Pour faire la transposition des signaux continus vers les signaux modules OOK

utilises dans les systemes SSWDM, il faut faire l’hypothese que l’approche theorique

tient toujours pour les niveaux logiques 0 et 1 pris independamment. La moyenne

de chacun des niveaux est mesuree sur l’histogramme directement. Il est possible de

constater a la figure 5.5 que l’extension de la theorie de Goodman vers les signaux

modules OOK semble adequate.

5.1.4 BER parametrise par M

En prenant pour hypothese que les sources thermiques modulees OOK peuvent

etre decrites par le modele presente a la section 2.3 [11], il est alors possible d’estimer


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Puissance optique (mW)

Fré

quen

ce r

elat

ive

simulationexpérimental

M ≈ 5.7P

moy = − 5.5 dBm

Fig. 5.4 – Histogramme normalise de l’intensite optique d’un signal incoherent sans

modulation (CW)

numeriquement le BER. La procedure decrite plus bas consiste a utiliser la PDF de

l’intensite sur les niveaux logiques 0 et 1 independamment. On introduit ensuite les

bruits de detection et on obtient le BER en integrant numeriquement l’intersection des

deux PDFs. La procedure est detaillee plus bas.

1. Structure des donnees. Pour tenir compte de l’interference inter-symbol (ISI)

engendree par le filtrage electrique, nous supposons un canal avec une memoire

de deux bits. On genere huit vecteurs de trois bits a 40 echantillons par bit,

correspondant aux 23 combinaisons possibles des symboles logiques [3].

2. Filtrage electrique. Pour obtenir la forme des sequences de donnees apres fil-

trage, on filtre les sequences de bits de l’etape precedente.

3. Distribution d’intensite des niveaux logiques. Chacune des huit sequences

de bits a une moyenne differente, mais le meme facteur M. On calcule la PDF de

chaque sequence en utilisant comme moyenne sa valeur au moment d’echantillonnage.

On desire obtenir deux PDFs : une sur le niveau logique 1 et une sur le niveau

logique 0. Pour ce faire, on moyenne la PDF de chacune des quatre sequences sur

le 0 et sur le 1, c’est-a-dire


0 500 1000 1500 2000 2500

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

Puissance optique (µW)

Fér

quen

ce r

elat

ive

MesureSimulation 0 logiqueSimulation 1 logique

M ≈ 6.55Taux binaire = 2.5 Gb/s

Fig. 5.5 – Histogramme normalise de l’intensite optique d’un signal incoherent module

(OOK)

p0(W ) =1

22

4∑

j=1

p0,j(W ) (5.1)

p1(W ) =1

22

4∑

j=1

p1,j(W ) . (5.2)

4. Autres sources de bruit. La PDF moyennee de chaque niveau logique est multi-

pliee par la responsivite mesuree du detecteur, puis convoluee avec la distribution

gaussienne du bruit du photocourant. On fait la supposition que la somme des

bruits peut etre representee par une variable gaussienne independante du signal

optique.

5. Calcul du BER. Une fois que la PDF finale a ete determinee pour chacun des

niveaux logiques, le BER est calcule a partir de la definition pour une modulation

de type OOK [3, 9, 10] :

BER =1

2

∫ Ith

0

p1(ζ) dζ +1

2

∫∞

Ith

p0(ζ) dζ (5.3)


−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

10−2

10−1

Puissance optique (dBm)

BE

RLe modèle permet de prédire un plancher de bruit à 4 ⋅ 10−3

Modèle semi−analytiqueDonnées expérimentales

Fig. 5.6 – Simulations du BER pour un systeme SSWDM utilisant une bande optique

de 10 GHz

ou Ith , R ·Wth est le seuil de decision du photocourant. Ces simulations permettent

de predire les planchers de bruit, qui ne sont pas toujours faciles a mesurer. Le choix

des parametres de cette simulation (un M ≈ 5 et un taux de transmission de 2.5 Gb/s)

a ete fait de maniere a obtenir des taux d’erreur eleves, comme l’indique la figure 5.6

qui illustre les resultats obtenus avec ce modele semi-analytique.

La difference observee a faible puissance entre la prediction du modele et la mesure

experimentale s’explique principalement par le manque de precision de la mesure a

faible puissance. Lorsque le taux d’erreur est tres eleve, le BERT ne parvient plus a

donner une mesure fiable puisqu’il perd sa synchronisation. Le taux d’erreur devrait,

tel que predit par le modele, tendre vers 0.5 puisque la probabilite a priori d’obtenir

un des deux symboles est 0.5.

5.2 Modelisation des SOA

Dans cette section, on presente les resultats de simulation obtenus avec le modele

detaille (section 3.4.1) et avec les quatre variantes du modele du reservoir (sections 3.4.2


a 3.4.5). Pour comparer la validite des modeles, on fixe trois differents cas de figure [36] :

1. La saturation du gain (statique)

2. Le spectre de gain (statique)

3. La reponse a un pulse (dynamique)

On compare les resultats de simulation avec les resultats experimentaux de la section

4.3 pour chacun des trois cas de figure.

5.2.1 Modele detaille

Saturation du gain

Le modele detaille suggere par Connelly, presente a la section 3.4.1, permet d’obtenir

une correspondance fidele avec les mesures de saturation du gain de la section 4.3.1. La

comparaison est presentee a la figure 5.7. Les valeurs des parametres du modele sont

listees par Mathlouthi [36] et repetees en annexe.

−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt.

(dBm)

Gai

n (d

B)

modèle détaillémesures

λ = 1560 nm

Fig. 5.7 – Saturation du gain obtenue avec le modele detaille


Spectre de gain

Comme le montre la figure 5.8, le modele detaille predit bien le spectre de gain. Il est

cependant important de mentionner que le modele a ete developpe pour la modelisation

des amplificateurs en regime stationnaire [26]. Son extension vers le regime dynamique

a deja ete realisee [34].

Pulse optique amplifie

La plus grande difficulte avec le modele detaille reside dans l’estimation de la valeur

des parametres de simulation. La figure 5.9 montre que le modele predit tres bien les

valeurs experimentales aux niveaux de puissance P1 et P0 = P1/RE, ou RE est le

rapport d’extinction. On definit le niveau P1 comme la puissance de sortie du SOA

apres le regime transitoire (le surdepassement), c’est-a-dire la valeur du plateau tel

qu’indiquee sur la figure 5.9 qui correspond au 1 logique. La puissance P0 est la puissance

equivalente, mais sur le niveau logique 0. La puissance moyenne est definie par la relation

Pmoy , (P1 + P0)/2.

On constate que la correspondance est relativement bonne sur le surdepassement, au

debut du pulse. Cependant, le modele ne tient pas compte des effets ultra-rapides qui se

font principalement sentir principalement a ce moment [47]. Pour simuler numeriquement

les communications a des taux binaires relativement faibles (inferieurs a 10 Gb/s), le

modele est suffisamment precis.

5.2.2 Modele du reservoir sans ASE

Saturation du gain

Dans cette section, on examine la version du modele du reservoir qui neglige l’ASE.

On constate que l’ASE est essentielle a la bonne description de la saturation du gain.

A faible signal, l’ASE provoque une saturation auto-induite (self-saturation) de l’am-

plificateur. En utilisant un modele sans ASE, la prediction du gain a faible signal est

beaucoup trop elevee, comme on l’indique la figure 5.10.

La matrice de gain gres(λ, n) linearisee a ete utilisee dans ce cas, et les parametres

d’optimisations sont presentes a la table 5.1. Les coefficients listes dans la table pour


1530 1540 1550 1560 1570 1580 15900

5

10

15

20

25

30


Gai

n (d

B)

modèle détaillémesures

Fig. 5.8 – Spectre de gain obtenu avec le modele detaille

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 23

4

5

6

7

8

9

temps (ns)

Pop

t. (m

W)

mesuremodèle détaillé

P1

P0

Fig. 5.9 – Pulse amplifie obtenu avec le modele detaille


−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt.

(dBm)

Gai

n (d

B)

rsvr sans ASE, 1 sectionmesures

Pulse avecP

moy = −18

dBm

Pulse avecP

moy = −9 dBm

P1

P1

P1

P0

P0

Fig. 5.10 – Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir sans ASE

a(λ) et n0(λ) sont des constantes qui multiplient les vecteurs de la figure 3.12 obtenus

lors de la linearisation de la matrice du coeffcient de gain materiel.

Tab. 5.1 – Parametres de simulation pour le modele du reservoir sans ASE

Parametre Valeur

section 1

τeq 305 ps

a 1.000×n0 0.965×cout 0.400

αsL -

ηsp -

Spectre de gain

En observant la figure 5.11, on constate que le spectre de gain est surestime par le

modele sans ASE. Il aurait ete possible de le deduire directement de la figure 5.10 en

observant le gain a faible signal, qui est lui aussi surestime. En effet, le spectre de gain


1530 1540 1550 1560 1570 1580 15900

5

10

15

20

25

30


Gai

n (d

B)

rsvr sans ASE, 1 sectionmesures

Pin

= −27 dBm

Fig. 5.11 – Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir sans ASE

a ete mesure pour une puissance de -27 dBm qui est nettement inferieure a la puissance

de saturation. Malgre le fait qu’il soit trop eleve, le spectre de gain du modele sans ASE

a un maximum pres de 1560 nm, comme celui de la courbe de gain experimentale.


On presente les resultats de simulation pour l’amplification de pulses optiques avec le

modele sans ASE. Pour examiner l’influence de la puissance du signal sur la saturation,

on considere deux regimes d’operation : a faible puissance optique et a forte puissance

optique. L’abscence de l’ASE introduit une deviation majeure entre les resultats de

simulation et les donnees experimentales. Le pulse de droite de la figure 5.12 illustre

bien le phenomene pour deux raisons. Tout d’abord, son rapport d’extinction est trop

eleve. Ensuite, les niveaux logiques sont tous deux decales vers les bas, ce qui s’explique

par l’abscence de la puissance d’ASE.

On constate a la partie gauche de la figure 5.12 qu’a plus forte puissance optique,

la correspondance avec les donnees experimentales est meilleure. Cet effet s’explique

par le fait que la puissance de l’ASE est moins elevee lorsque l’amplificateur est sature.

On surestime toutefois legerement le niveau du 1 logique, comme l’indique la fleche a


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

14

16

Pop

t (m

W)

temps (ns)

mesurersvr sans ASE

Pmoy

= −9 dBm

(a) Pmoy = −9 dBm

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Pop

t (m

W)

temps (ns)

mesurersvr sans ASE

Pmoy

= −18 dBm

(b) Pmoy = −18 dBm

Fig. 5.12 – Pulses optiques amplifies obtenus avec le modele du reservoir sans ASE

l’extreme droite de la figure 5.10.

Ce comportement peut etre explique a l’aide de la figure 5.10, qui montre aussi les

excursions de puissance (de P0 a P1) pour deux pulses d’entree ayant comme puissance

moyenne -9 et -18 dBm. Ces deux formes de pulse, presentes a la figure 5.12, illustrent

bien l’influence de l’ASE sur le niveau de saturation. Les parametres de simulation

ayant servis a generer la figure 5.10 ont ete ajustes pour minimiser l’erreur dans la

region entre -15 et -25 dBm. C’est dans cette region que se situe la puissance du pulse

(Pmoy = -18 dBm) servant a la comparaison de tous les modeles [36]. Il s’agit d’une

faiblesse du modele sans ASE, qui ne parvient pas a faire correspondre a la fois le gain

a forte et a faible puissance optique.

5.2.3 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes de

couplage

Pour augmenter la correspondance entre les simulations numeriques et les donnees

experimentales, un modele avec ASE est developpe. Il utilise plusieurs sections d’ampli-

fication et introduit des pertes entre chacune d’elles, tel que decrit a la section 3.4.3. Ce

modele a de particulier qu’il utilise les coefficients provenant de la matrice gmat(λ, n).

Les parametres de simulations sont donnees a la table 5.2.


Tab. 5.2 – Parametres de simulation pour le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes de couplage

Parametre Valeur

sections 5

τeq 320 ps

σ 1.050×η0 0.965×cout 0.175

αsL 1.000

ηsp 0.500×

Saturation du gain

La saturation du gain est adequatement modelisee par le simulateur avec pertes

de couplages. Il est possible d’ajuster la valeur des pertes en fonction du nombre de

sections pour obtenir une tres bonne correspondance a 1560 nm, comme le montre la

figure 5.13 realise en utilisant un modele a 5 sections.

Spectre de gain

A la figure 5.14, on presente le spectre de gain du modele avec pertes de couplage

pour une et cinq sections. En linearisant la matrice du coefficient de gain gmat(λ, n),

on obtient un spectre de gain qui ne correspond pas aux mesures experimentales. En

effet, le spectre est fortement decale en longueur d’onde, comme le montre la figure

5.14. L’encadre de la figure montre le gain en echelle lineaire et illustre l’importance

de la difference entre la valeur mesuree et la valeur simulee. On constate que pour

toutes les longueurs d’onde superieures a 1560 nm, le gain modelise est beaucoup trop

important. L’ASE emise a ces longueurs d’onde est donc trop puissante, ce qui sature

le SOA indument.

Le spectre de gain est faiblement affectee par l’utilisation d’un modele utilisant une

propagation en plusieurs etapes (en cascade). On constate que le niveau de saturation

estime pour une seule (longue) section est legerement different de celui estime sur cha-

cune des cinq sections utilisees pour cette simulation. C’est ce qui explique la difference

sur le niveau du gain G(λ) aux bords du spectre.


−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt.

(dBm)

Gai

n (d

B)

rsvr avec gmat

(λ,n), 5 sections

mesures

λ = 1560 nm

Fig. 5.13 – Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade (cinq

sections) avec ASE et pertes de couplage

Il est important de noter qu’en utilisant seulement la courbe de saturation du gain

a la longueur d’onde du signal (a 1560 nm) comme critere, il aurait ete impossible de

detecter le decalage du gain. En effet, les ajustements font en sorte que les courbes

experimentales et numeriques se croisent a 1560 nm. Le fait de diviser l’amplificateur

en plusieurs sections ne deplace pas le spectre.

Cette difference du spectre vient de la maniere dont le modele du reservoir avec

pertes de couplage prend en consideration les pertes par diffusion. Le modele introduit

des pertes independantes de la longueur d’onde et de la densite de porteurs, ce qui

n’est pas tres physique. En utilisant le modele du reservoir avec pertes intrinseques,

les pertes de diffusion sont calculees selon la densite de porteurs pour chaque longueur

d’onde et les resultats obtenus sont plus realistes. Il aurait ete possible de changer la

valeur du gap energetique pour deplacer artificiellement le spectre de gain, mais cela

aurait eu pour effet de changer completement le gain gmat(λ, n) du SOA. Nous tenions

a conserver la parametrisation du SOA qui donne un gain materiel acceptable et de

bons resultats avec le modele detaille.



A la figure 5.15, on presente la forme du pulse amplifie predite par le modele du

reservoir avec pertes de couplage. La figure presente la contribution a la longueur d’onde

du signal (losanges), l’ASE totale emise sur les 20 canaux (tirets) et la somme des deux

qui represente le signal total incident sur la photodiode (cercles). Ce dernier est compare

aux valeurs experimentales (trait plein).

Les resultats de simulation pour le regime dynamique sont egalement affectes par

l’ASE emise aux longueurs d’onde superieures a 1560 nm. Malgre l’ajustement du co-

efficient d’emission spontanee ηsp a la moitie de sa valeur originale, l’ASE est toujours

dominante. La forme du pulse presente a la figure 5.15 illustre egalement que l’amplifi-

cateur est sature. En effet, contrairement aux resultats obtenus avec les autres modeles,

le pulse ne presente pas de surdepassement lors de la transition du niveau logique 0

vers le niveau logique 1.

5.2.4 Modele du reservoir en cascade avec ASE et pertes in-

trinseques

Dans le but de corriger la forme du spectre de gain et la puissance trop elevee

de l’ASE, on utilise les coefficients du gain provenant de la matrice gres(λ, n). L’algo-

rithme utilise le modele en cascade (plusieurs sections) presente a la section 3.4.4. Les

parametres de simulations sont presentes a la table 5.3.

Tab. 5.3 – Parametres de simulation pour le modele du reservoir en cascade avec ASE

et pertes intrinseques

Parametre Valeur

sections 5

τeq 320 ps

a 1.050×n0 0.965×cout 0.230

αsL -

ηsp 0.700×


1530 1540 1550 1560 1570 1580 1590−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50


Gai

n (d

B)

1530 1560 15900

500

1000

1500

rsvr avec gmat

(λ,n) 1 section

rsvr avec gmat

(λ,n) 5 sections

mesures

Fig. 5.14 – Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE et

pertes de couplage

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

Pop

t (m

W)

temps (ns)

experimentalASE onlysignal onlytotal signal

Fig. 5.15 – Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE et

pertes de couplage


Saturation du gain

Pour toutes les variantes du modele du reservoir incluant l’ASE, la saturation du

gain a faible signal est correctement modelisee. On remarque a la figure 5.16 que la

saturation du gain predite par le modele du reservoir avec pertes intrinseques a cinq

sections est comparable a celle observee experimentalement. Elle se compare aussi tres

bien a la saturation predite par le modele detaille de la figure 5.7.

−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt.

(dBm)

Gai

n (d

B)

rsvr avec gres

(λ,n), 5 sections

mesures

λ = 1560 nm

Fig. 5.16 – Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade avec

ASE et pertes intrinseques

Spectre de gain

Comme le montre la figure 5.17, la correspondance du spectre de gain est meilleure

lorsque la matrice gres(λ, n) est utilisee. Le spectre de gain est correctement positionne

et le niveau d’ASE est acceptable.

On constate que le nombre de sections d’amplification affecte les bord du spectre.

En effet, comme le gain est faible dans ces zones, la justesse de l’estimation du niveau

de saturation devient plus importante. Cette deviation aux abords du spectre ne joue

cependant pas un grand role, puisque la majeure partie de la puissance d’ASE est

concentree autour de 1560 nm.



L’introduction d’un modele utilisant 20 canaux d’ASE (distribues de 1530 nm a 1590

nm) et une propagation sur cinq tranches permet d’obtenir une bonne correspondance

avec les donnees experimentales. On constate que le signal a λ = 1560 nm represente

par des losanges sur la figure 5.18 est similaire a celui de la figure 5.12. Par contre, en

lui additionnant la puissance de l’ASE provenant des 20 canaux, on obtient un pulse

dont la forme correspond a celle du pulse experimental.

D’une part, la simulation decrit a la fois des niveaux moyens (0 et 1 logiques)

representatifs des courbes statiques du gain (saturation et spectre). D’autre part, elle

permet egalement de decrire le surdepassement d’une maniere qui se compare avanta-

geusement a celle du modele detaille.

5.2.5 Modele du reservoir en cascade avec canal equivalent

Dans le but d’accelerer la resolution de l’ODE du reservoir, il est possible de rem-

placer les 20 longueurs d’onde d’ASE par un seul canal equivalent dote d’une puissance

a l’entree fixe. La table 5.4 presente les parametres utilises lors de la simulation. Les

constantes PASE, aASE et n0,ASE sont optimisees numeriquement tandis que le nombre

de sections et la constante de temps sont fixes pour permettre la juste comparaison avec

les autres modeles.

Tab. 5.4 – Parametres de simulation pour le modele du reservoir en cascade avec canal

equivalent

Parametre Valeur

sections 5

τeq 320 ps

PASE -5.54 dBm

aASE 5.937 · 10−20 m2

n0,ASE 1.341 · 1024 m−3

cout 0.201

αsL -

ηsp -


1530 1540 1550 1560 1570 1580 15900

5

10

15

20

25

30


Gai

n (d

B)

rsvr avec gres

(λ,n), 1 section

rsvr avec gres

(λ,n), 5 sections

mesures

Fig. 5.17 – Spectre de gain obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE et

pertes intrinseques

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Pop

t (m

W)

temps (ns)

signalsignal + ASEASEexpérimental

Fig. 5.18 – Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec ASE et

pertes intrinseques


Saturation du gain

On presente a la figure 5.19 la courbe de saturation du gain obtenue avec ce modele.

Le choix de la longueur d’onde du canal equivalent, fixee a 1560 nm, n’influence pas

la courbe de saturation du gain. En effet, changer la longueur d’onde change le flux

de photons a travers la relation PASE = hcNk/λASE. Cependant, comme la puissance

PASE est ajustee arbitrairement, une variation du choix de λASE est compensee par

l’algorithme d’optimisation.

−50 −40 −30 −20 −10 010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Popt.

(dBm)

Gai

n (d

B)

mesuresrsvr avec canal équivalent d’ASE, 5 sections

λ = 1560 nm

Fig. 5.19 – Saturation du gain obtenue avec le modele du reservoir en cascade avec

canal equivalent

Il apparaıt clair que la courbe de saturation ne permet par d’obtenir une tres bonne

correspondance avec les donnees experimentales pour toutes les puissances. Il faut donc

fixer une region de travail et ajuter les proprietes du canal equivalent en consequence.

Dans le cas present, l’optimisation a ete faite pour la plage -15 a -25 dBm.

Spectre de gain

Lors du developpement de l’algorithme utilisant un canal equivalent presente a la

section 3.4.5, l’accent a ete mis sur la rapidite de simulation. Les valeurs de a(λ) et


de n0(λ) qui n’etaient pas necessaires n’ont pas ete inclues dans le modele. Pour cette

raison, le spectre de gain a ete volontairement omis.


La puissance du canal equivalent est fixee par l’algorithme d’optimisation presente

a la section 3.4.5. A l’entree elle est d’environ -6 dBm et la longueur d’onde λASE est

fixee arbitrairement a 1560 nm. L’algorithme numerique converge vers un ensemble de

valeurs qui donnent un resultat physiquement acceptable.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Pop

t (m

W)

temps (ns)

signalsignal + canal eq.canal equivalentexpérimental

Fig. 5.20 – Pulse amplifie obtenu avec le modele du reservoir en cascade avec canal

equivalent

Il est rassurant de noter que la puissance du canal equivalent amplifie de la figure

5.20 a la meme forme et les memes valeurs que la somme des 20 canaux d’ASE de

la figure 5.18. A priori, l’utilisation d’un canal equivalent (semblable a un laser) peut

paraıtre etrange, car l’ASE est par nature tres bruyante. Par contre, comme on considere

une tres grande largeur spectrale, la variance de l’intensite de l’ASE est somme toute

faible. Avec une bande optique de pres de 60 nm, le facteur M est tres eleve et cette

modelisation semble adequate.


5.2.6 Pulses optiques amplifies sur quatre canaux WDM

Des simulations supplementaires ont ete realisees pour verifier la validite du modele

pour le cas de quatre canaux multiplexes en longueur d’onde (WDM). La verification

est cependant sommaire : les canaux sont modules simultanement et seule la sequence

logique 010 a ete etudiee.

Aucune mesure experimentale n’a ete faite et ce sont les resultats de simulation

du modele detaille (courbes noires) qui servent de reference au modele du reservoir

(courbes bleues). L’algorithme du reservoir avec pertes intrinseques a ete utilise pour

les simulations. Le modele du reservoir utilise comprend 20 canaux d’ASE distribues

de 1530 nm a 1590 nm et les longueurs d’onde des canaux WDM sont 1550, 1553, 1556

et 1559 nm. Les valeurs des parametres de simulation utilises sont presentees a la table

5.5. La puissance moyenne est toujours de -18 dBm, mais elle est repartie egalement

sur les quatre canaux.

Pour etudier l’effet du choix de la matrice de gain, on presente deux ensembles

de courbes aux figures 5.21 et 5.22. Il s’agit de deux parametrisations differentes. Les

resultats pour les parametres correspondants au SOA Optospeed sont presentes a la

figure 5.21 tandis que ceux correspondants aux parametres de l’article de Connelly [26]

sont presentes a la figure 5.22.

Le resultat est significatif, puisqu’il indique que l’utilisation de la matrice gres(λ, n) ≡gmat(λ, n)−α(n)/Γ n’est pas limitee au cas du SOA etudie. La correspondance entre les

modeles du reservoir et detaille est tres bonne pour les deux ensembles de parametres,

tant au niveau des plateaux que des surdepassements (overshoots). La methode semble

assez robuste pour decrire des amplificateurs ayant des dimensions et des proprietes

physiques differentes.

5.3 Comparaison des modeles de simulation

A partir des resultats presentes pour chacun des modeles aux sections 5.2.1 a 5.2.5,

il est possible de constater que certains modeles sont plus realistes que d’autres. On

elimine d’emblee le modele sans ASE, car il ne modelise pas correctement le rapport

d’extinction en regime dynamique. L’ASE ne doit donc pas etre negligee.

Dans le cas du modele avec pertes de couplage, la dependance du gain en longueur


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (ns)

Pop

t (m

W)

λ = 1550 nm

λ = 1553 nm

λ = 1556 nm

λ = 1559 nm

Paramètre de l’Optospeed

Fig. 5.21 – Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modele du reservoir

avec pertes intrinseques (parametres de l’Optospeed)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps (ns)

Pop

t (m

W)

λ = 1559 nm

λ = 1556 nm

λ = 1553 nm

λ = 1550 nm

Paramètre de Connelly

Fig. 5.22 – Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modele du reservoir

avec pertes intrinseques (parametres de Connelly)


Tab. 5.5 – Parametres de simulation pour le modele les deux parametrisations du

modele du reservoir avec quatre canaux WDM

ParametreParametrisation de Parametrisation de

l’Optospeed Connelly

section 1 1

τeq 320 ps 320 ps

a 1.020× 1.010×n0 0.964× 0.963×cout 0.180 0.188

αsL - -

ηsp 1.000× 1.010×

d’onde est incorrecte. Le gain d’un signal a une longueur d’onde autre que 1560 nm n’est

pas decrit adequatement. De plus, le spectre de gain influence la puissance d’ASE emise,

ce qui rend difficile (voir meme impossible) de modeliser correctement l’amplification

des signaux optiques modules.

Tab. 5.6 – Temps de calcul des modeles

NombreModele Modele du reservoir Modele du reservoir

de pointsdetaille avec pertes intrinseques avec canal equivalent

(s) (s) (s)

1350 11.95 4.26 2.75

(rapidite relative) (1.00×) (2.81×) (4.35×)

50 000 432.54 196.51 94.89

(rapidite relative) (1.00×) (2.20×) (4.56×)

Pour differencier les trois modeles restant, il faut introduire un critere de plus. On

choisit le temps de calcul, puisqu’il s’agit d’une donnee imporante pour les simulations

Monte-Carlo. Pour un nombre fixe d’echantillons temporels, on compare le temps de

calcul requis par chacun des modeles. Les resultats sont presentes a la table 5.6.

On constate que les temps de calcul augmentent lineairement avec le nombre de

points pour tous les modeles. De plus, les deux variantes du modele du reservoir

montrent une amelioration au niveau du temps de calcul qui varie entre 2.20× et 4.55×par rapport au modele detaille. Cependant, pour accelerer encore davantage le calcul, il

est possible de reduire le nombre de sections utilisees dans le modele du reservoir avec

canal d’ASE equivalent. En utilisant une seule section, les resultats sont relativement

similaires. Par contre, le temps de calcul chute a 19 secondes pour 50 000 points, ce qui


est 22.7× plus rapide que le modele detaille. Ces modeles simples ouvrent la voie a des

simulations Monte-Carlo impossibles a realiser avec le modele detaille.


Au chapitre 5, des resultats de simulations sur la distribution d’intensite des sources

incoherentes seules (sans SOA) ont ete presentes. Par la suite, une technique permettant

d’estimer le facteur M d’une source optique a partir de mesures experimentales est

utilisee pour predire le taux d’erreur d’une source d’ASE modulee (dans un systeme

SSWDM par exemple).

Par la suite, les resultats de simulation pour cinq modeles de SOA sont presentes. On

constate qu’un modele complet, en l’occurence celui propose par Connelly [26], donne

d’excellent resultats. Cependant, il est difficile de determiner la valeurs des nombreux

parametres que le modele considere.

Les quatre versions du modele du reservoir sont ensuite comparees aux resultats

experimentaux. Pour un modele a un seul etage (une seule section) sans ASE, le

gain a faible signal est surestime. L’ASE est ensuite consideree dans les modeles sui-

vants sous differentes formes. Tout d’abord, le modele avec ASE et pertes de couplage

donne de bons resultats pour la saturation du gain, mais il donne un spectre de gain

decale en longueur d’onde. Un nouveau modele est alors introduit, soit le modele du

reservoir avec ASE et pertes intrinseques. Les resultats sont aussi bons que ceux du

modele complet, mais sa parametrisation est plus facile. Pour simplifier encore da-

vantage la parametrisation et accelerer les calculs, le modele du reservoir avec canal

d’ASE equivalentest introduit. Il s’agit d’une maniere differente de traiter l’ASE, en la

considerant comme un canal distinct ce qui prend en compte l’effet de saturation du a

l’ASE. Ce dernier modele donne egalement de bons resultats.

Le modele du reservoir est ensuite comparer a celui de Connelly pour un systeme

WDM et les resultats sont tres similaires. Pour raffiner encore davantage la comparaison,

on utilise un critere supplementaire : le temps de calcul. Les differentes versions du

reservoir sont beaucoup plus rapides, specialement le modele du reservoir avec canal

d’ASE equivalent. Ce modele peut etre rendu plus de 20 fois plus rapide que le modele

detaille.

Chapitre 6

Conclusion

Les resultats presentes dans ce travail ont deux principaux objectifs. Le premier

objectif est la verification de la modelisation des sources optiques incoherentes. Le

second objectif est d’etudier la performance de certains algorithmes rapides servant a la

modelisation dans le regime dynamique des amplificateurs optiques a semi-conducteur.

Dans les deux cas, on verifie la modelisation en comparant les resultats numeriques avec

les resultats experimentaux.

Dans un premier temps, il a ete demontre qu’il etait possible de predire la distri-

bution d’intensite des sources optiques incoherentes temporellement avec un modele

theorique, non seulement pour les signaux CW mais aussi pour les signaux modules

OOK. Ces resultats ont ete utilises pour developper un modele semi-analytique permet-

tant de predire le BER des sources incoherentes, estimant ainsi les performances d’un

systeme SSWDM. Les resultats de simulation concordent avec les donnees experimentales.

Pour faire la modelisation des sources incoherentes, deux approches ont ete etudiees.

La premiere utilise une description dans le domaine frequentielle. Il a ete demontre

qu’il s’agit d’un cas particulier d’un modele propose dans la litterature [11]. Une etude

approfondie de la modelisation de ces sources est requise, surtout au niveau de l’influence

de la distribution de la phase et de l’amplitude des champs electriques. Une seconde

methode basee sur une decomposition de Karhunen-Loeve a egalement ete presentee. La

description temporelle pourrait s’averer rapide pour les simulations utilisant un grand

nombre de realisations du meme processus stochastique.

Le second objectif principal de ce memoire est de transposer la methode du reservoir

developpee pour les EDFA [14] vers les SOA [36]. La correspondance entre les resultats

numeriques et experimentaux a ete verifiee pour les trois criteres servant a valider les

Chapitre 6. Conclusion 101

algorithmes : la saturation du gain, le spectre de gain et la forme d’un pulse optique

amplifie.

Comme le modele du reservoir ne contient pas de description du gain materiel des

semi-conducteurs, on utilise la description du gain materiel proposee par Yariv [?, Yariv]

Deux methodes sont ete etudiees pour determiner la maniere dont on linearise ce gain

materiel, en conformite avec les hypotheses du modele du reservoir.

La premiere methode utilise une linearisation du gain materiel tel que decrit par

Yariv. Cette parametrisation est implantee dans un algorithme avec pertes de couplage

et donne un spectre decale en longueur d’onde. Cette methode ne permet pas non plus

une modelisation adequate de la saturation du SOA introduite par l’ASE. La deuxieme

methode, originale a ce travail et propre au modele du reservoir, soustrait les pertes

de diffusion du gain materiel, ce qui donne un spectre de gain correct. Cependant, le

modele avec pertes de couplage ne doit pas etre elimine d’emblee. Il pourrait etre utile

lors de l’etude de l’influence de la modulation de gain croisee. Il a ete suggere dans la

litterature que les pertes de couplage sont necessaires a une bonne description de ce

mecanisme [43].

A travers l’etude des differentes variantes du modele du reservoir, il a aussi ete

demontre que l’ASE est indispensable non seulement a la modelisation du regime sta-

tique, mais aussi a la modelisation de la dynamique temporelle du SOA. Une description

nouvelle de l’ASE a ete proposee [36], posant l’hypothese de la linearite du coefficient

de gain materiel et du coefficient de gain pur. En utilisant cette description, il a ete

demontre que le modele du reservoir avec ASE sur 20 canaux permet de decrire le com-

portement du SOA selon les criteres fixes prealablement. De plus, ce modele se compare

avantageusement au modele detaille au niveau du temps de calcul.

Pour augmenter encore davantage la rapidite des simulations, la description de l’ASE

a ete modifiee. Un canal equivalent dote d’une puissance d’entree fixe remplace l’ASE

sur 20 canaux. Il a ete demontre que cette description est adequate pour les trois cas

de figure utilises, mais que sa description des phenomenes dans le domaine spectral est

assez limitee.

Evidemment, tous ces modeles ne considerent que l’intensite du signal optique. Du

travail reste a faire pour verifier l’effet de la phase dans la modelisation des SOA.

L’analyse des modeles de sources incoherentes suggere que la description de la phase

est une propriete cruciale. Si l’on cherche a predire les proprietes des sources thermiques

amplifiees par les SOA, il faut s’assurer que la phase du signal ne joue effectivement

aucun role majeur. Sinon, un nouveau modele introduisant la phase devra etre mis en

Chapitre 6. Conclusion 102

place pour bien modeliser le phenomene physique. L’etude du chirp a la sortie du SOA

pourrait permettre l’estimation de certains parametres propres a la propagation des

champs electriques [18, 31].

Le modele du reservoir ouvre egalement la voie a une approche analytique. En

reduisant les PDE couplees des SOA a une seule ODE, le modele du reservoir rend pos-

sible l’utilisation de methodes mathematiques. Il serait interessant de tenter la resolution

de l’equation differentielle selon une approche stochastique, meme si des approximations

supplementaires sont requises. Determiner analytiquement la distribution d’intensite du

signal incoherent amplifie serait utile pour la prediction de l’amelioration du BER.

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Annexe A

Modelisation des sources avec la

decomposition de Karhunen-Loeve

A.1 Fondements theoriques

Une methode alternative pour generer une realisation du processus d’intensite I(t)

consiste a decomposer le champ electrique E(t) sur une base de Nb fonctions temporelles

orthogonales. Travailler avec le champ electrique est plus pratique, et il est facile de

retrouver l’intensite optique I(t) en prenant le module carre du champ electrique E(t).

L’aspect aleatoire du processus est contenu dans le poids que l’on accorde a chaque

fonction de la base, car il est multiplie par une variable aleatoire gaussienne [12, 48].

L’utilisation d’une expansion de Karhunen-Loeve est justifiee pour la modelisation d’un

processus aleatoire circulaire gaussien [11]. Un tel processus aleatoire a pour propriete

d’etre distribue selon une symmetrie circulaire, c’est-a-dire que le contour de probabilite

constante ne depend que du module de la somme des variables au carre. Par exemple,

en deux dimensions la relation s’exprime comme [13]

f(x, y) = g(r) (A.1)

ou x et y sont des variables aleatoires et r =√x2 + y2. Sachant que les variables

aleatoires sont independantes, un tel processus est necessairement conjointement gaus-

sien de moyenne nulle [13]. Le champ electrique d’une source optique thermique est

circulaire gaussien [11]. Dans ce cas, nous somme assures de l’existence d’une base or-

Annexe A. Modelisation des sources avec la decomposition de Karhunen-Loeve 108

thogonale et le processus E(t) peut etre decompose sur une base qui respecte les deux

proprietes suivantes :

1. La base doit etre construite de maniere a respecter la fonction d’autocorrelation

du processus aleatoire [11, 12].

2. Les poids des fonctions de la base doivent etre aleatoires et independants. Il est

inutile de devoir generer des coefficients correles.

On nomme ξ1(t), ξ2(t), . . . , ξn(t), . . . la base des fonctions orthogonales qui decrivent

le processus, tel que

E(t) = limNb→∞

Nb∑

n=1

bnξn(t) (A.2)

pour un temps t compris dans l’intervalle [−To/2, To/2] ou To est la periode sur laquelle

on observe le processus. En pratique, on utilise une base de dimension finie respectant

le critere de l’equation A.17. Pour une base orthogonale, nous avons

∫ To/2

−To/2

ξm(t)ξ⋆n(t) dt = δmn (A.3)

ou δmn est le delta de Kroenecker defini par l’expression suivante.

δmn =

1 si m = n

0 si m 6= n(A.4)

Le poids bn associe a la fonction de la base ξn est obtenu en faisant la projection du

processus E(t) sur la fonction ξ⋆n, c’est-a-dire

bn =

∫ To/2

−To/2

E(t)ξ⋆n(t) dt . (A.5)


L’esperance de chaque coefficient s’exprime alors comme la partie de l’esperance du

champ electrique E(t) attribuee a chacune des fonctions ξn(t) :

E [bn] =

∫ To/2

−To/2

E [E(t)] ξ⋆n(t) dt = 0 (A.6)

L’esperance de chaque bn est nulle etant donnee l’esperance nulle du processus stochas-

tique lui-meme. Il ne s’agit pas d’une condition tres restreignante, puisqu’on modelise

le champ electrique d’une onde optique. Donc, par definition

E [bnb⋆m] =

∫ To/2

−To/2

∫ To/2

−To/2

E [E⋆(t1)E(t2)] ξ⋆n(t2)ξm(t1) dt1 dt2 (A.7)

=

∫ To/2

−To/2

[∫ To/2

−To/2

ΓE(t1, t2)ξm(t1) dt1

]ξ⋆n(t2) dt2 (A.8)

ou ΓE(t1, t2) = E [E⋆(t1)E(t2)] est l’autocorrelation du champ. Lorsque la decomposition

existe, les valeurs propres ψm sont donnees par la relation suivante

∫ To/2

−To/2

ΓE(t1, t2)ξm(t1) dt1 = ψm ξm(t2) . (A.9)

Alors, l’esperance des bn prend la forme

E [bnb⋆m] = ψmδmn . (A.10)

et il est possible de verifier la solution en inserant l’equation A.9 dans l’equation A.8.

A.2 Application au spectre lorentzien

En pratique, pour pouvoir utiliser une expansion de Karhunen-Loeve, il faut etre

capable de decrire les fonctions de base et d’obtenir les valeurs propres. Une forme de


spectre tres utile et simple a representer est le spectre lorentzien, qui apparaıt dans

les systemes utilisant une cavite Fabry-Perot [48] comme filtre optique. Ce spectre est

decrit par la relation suivante [12, 22, 27]

E(ω) =2κP

ω2 + κ2. (A.11)

ou κ et P sont des parametres de largeur et d’amplitude respectivement. Pour un pro-

cessus aleatoire stationnaire de spectre lorentzien, la fonction d’autocorrelation prend

la forme suivante [12, 13]

ΓE(τ) = P exp (−κ |τ |) . (A.12)

En observant la forme de l’equation differentielle qui est le resultat de la derivee seconde

de l’equation integrale du kernel A.9, les ξn(t) doivent etre de forme harmonique [12]

tel que

ξ(t) = c1ejbt + c2e

−jbt. (A.13)

Il est possible de montrer que les poids bn des fonctions ξn(t) sont determines a partir

de l’equation transcendentale suivante [12]

(tan bTo +

b

κ

)(tan bTo −

κ

b

)= 0 (A.14)

ce qui impose en definitive la forme suivante aux produits des fonctions par les poids.

bn · ξn(t) =

1

T1/2

o (1+ sin 2bnTo2bnTo

)1/2

cos(bnt) si n impairs

1

T1/2

o (1− sin 2bnTo2bnTo

)1/2

sin(bnt) si n pairs(A.15)


Jusqu’ici, tout le traitement est deterministe. Pour donner un caractere aleatoire a la

realisation de E(t), on multiplie chaque coefficient bn par une realisation ϑ d’une variable

aleatoire gaussienne centree reduite [48]. Les projections de E(t) sur les fonctions ξn(t)

sont donnees par ϑn bnξn(t) et la solution globale est donc

E(t) = limN→∞

N∑

k=1

ϑk bkξk(t) . (A.16)

Il est important de mentionner que le nombre de fonctions propres formant la base varie

selon la periode d’observation du signal To et selon sa largeur spectrale Bo. Le nombre

de fonctions de base Nb requis est donne par la relation [12]

Nb ≥ 2BoTo + 1 (A.17)

dans certains cas particuliers. On considere toutefois cette relation comme un es-

time fiable du nombre de fonctions requises. Le cas du filtrage optique rectangulaire,

equivalent a la modelisation en frequences de la section 2.4, n’est pas presente. Il

necessite une base difficile a manipuler : les fonctions prolates spheroıdales. Une intro-

duction a cette famille de fonctions est presentee par Van Trees [12] et Goodman [11],

qui se basent tous deux sur une serie d’articles de Slepian, Landau et Pollak [49, 50, 51].

A.3 Resultats de simulation

Cette section presente la methode utilisee pour generer plusieurs realisations du

processus I(t) ainsi que quelques resultats de simulation. La procedure pour obtenir

une realisation du processus se divise en cinq etapes :

1. Determiner la dimensionNb de la base de fonctions necessaire pour decrire adequatement

le processus stochastique a l’aide de l’equation A.17.

2. Calculer les valeurs propres associees a la forme du spectre du processus.

3. Sauvegarder les valeurs propres dans un fichier.

4. Multiplier chacune des projections du processus par une realisation d’une variable

aleatoire gaussienne centree reduite.


5. Prendre le module carre de la somme des champs electriques pour obtenir l’inten-

site optique.

Pour obtenir une realisation differente, il est necessaire de repeter les etapes 4 et 5

seulement, ce qui est tres rapide. La partie la plus longue, l’etape 2, est la resolution

numerique de l’equation transcendantale A.14 servant a obtenir les valeurs propres.

Cette approche peut s’averer plus rapide que de prendre a repetition la transformee de

Fourier de longs vecteurs (section 2.4), mais les formes de filtrage possibles sont plus

limitees. En effet, determiner les fonctions de base et les valeurs propres ne sont pas

des operations triviales.

PSD de la source

La figure A.1 montre la PSD de l’intensite optique obtenue avec cette methode

pour une base de 1000 fonctions et une bande Bo de 10 GHz. La duree de l’intervalle

d’observation To est de 40 ns. Dans ce cas, l’equation A.17 nous indique que la dimension

de la base est adequate, comme le montre le calcul suivant.

−5 0 5

x 1010

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

PS

D (

dB/n

m)

PSDMoyenne locale

Fig. A.1 – PSD de la source incoherente modelisee a l’aide d’une decomposition de

Karhunen-Loeve


Nb ≥ 2BoTo + 1

≥ 2 (1 · 1010) (4 · 10−8) + 1

≥ 801

On observe sur la figure A.1 que le spectre lorentzien n’est pas strictement limite, et

que sa largeur depasse la dimension initiale de 10 GHz. Une discussion sur la dimension

de la base Nb necessaire a la modelisation dans le cas des systemes en bande passante

strictement limitee (ou non) est proposee par Landau et Pollak [51].

Distribution de l’intensite integree

La distribution d’intensite est aussi en accord avec la theorie de la source incoherente

sans filtrage (temps d’integration nul). La figure A.2 compare la distribution theorique

(exponentielle negative) avec l’histogramme obtenu numeriquement. La correspondance

est excellente, ce qui signifie qu’on respecte la distribution de l’intensite.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Intensité (mW)

Fré

quen

ce r

elat

ive

numériquethéorique


0 1 2 3 4 5 6 710

−3

10−2

10−1

100

Log

( fr

éque

nce

rela

tive

)

Intensité (mW)

numériquethéorique


Fig. A.2 – Histogramme normalise de l’intensite optique de la source incoherente

modelisee a l’aide d’une decomposition de Karhunen-Loeve

La distribution d’intensite du signal obtenue avec cette methode respecte la distri-

bution theorique, mais les proprietes spectrales de ce modele restent toujours a valider.

Pour le moment, le spectre obtenu avec cette methode n’est pas strictement limite ce

qui rend delicate la comparaison avec la modelisation en frequence presente au chapitre

2. Il existe cependant une base de fonctions qui permet la description d’un spectre


strictement limite : les fonctions prolates spheroıdales. Il serait interessant d’exploi-

ter la decomposition de Karhunen-Loeve sur cette base pour obtenir une comparaison

formelle entre les approches temporelle et frequentielle.

Annexe B

Parametrisation du modele detaille

Symbole ParametresValeur Valeur

Optospeed de Connelly

L Longueur de la region active (µm) 1300 600

d Largeur de la region active (µm) 0.7 0.4

w Epaisseur de la region active (µm) 0.7 0.4

Kg Retrecissement du gap (eVm) 0.1 · 10−10 0.9 · 10−10

R1 Reflectivite de la facette d’entree 0.9 · 10−6 5 · 10−5

R2 Reflectivite de la facette de sortie 0.5 · 10−6 5 · 10−5

K0 Pertes de diffusion independantes (m−1) 6000 6200

K1 Pente des pertes de diffusion (10−24m2) 6000 7500

Arad Recombinaison lineaire3.5 · 108 1.0 · 107

radiative (s−1)

Brad Recombinaison bimoleculaire4.0 · 10−16 5.6 · 10−16

radiative (m3s−1)

Anrad Recombinaison lineaire7.5 · 108 3.5 · 108

non-radiative (s−1)

Bnrad Recombinaison bimoleculaire7.5 · 10−16 0

non-radiative (m3s−1)

Caug Recombinaison Auger (m6s−1) 0.2 · 10−42 3 · 10−41

Eg0 Energie de gap (Joules) 1.237 · 10−19 1.245 · 10−19

Tab. B.1 – Parametrisations du modele detaille

Annexe C

Liste des publications de l’auteur

1. P. Lemieux, W. Mathlouthi, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,

« New Gain Parameterization for Fast Semiconductor Optical Amplifier Model »,

SPIE Photonics North, Quebec, en attente de publication, 2006.

2. M. Salsi, A. Vannucci, A. Bononi, W. Mathlouthi, P. Lemieux et L. A. Rusch,

« A Reservoir Dynamic Model for Linear Optical Amplifiers », LEOS, Montreal,

soumis pour publication, 2006.

3. W. Mathlouthi, P. Lemieux, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,

« A Novel Model for SOAs in WDM Networks », LEOS, Montreal, soumis pour

publication, 2006.

4. W. Mathlouthi, P. Lemieux et L. A. Rusch, « Optimal SOA-based Noise Reduc-

tion Schemes for Incoherent Spectrum-Sliced PONs », European Conference on

Communications (ECOC), Cannes, en attente de publication, 2006.

5. W. Mathlouthi, P. Lemieux, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,

« Fast and Efficient Dynamic Semiconductor Optical Amplifier Model for Metro

Access », IEEE Journal of Lightwave Technology, en attente de publication, 2006.

6. M. Abtahi, P. Lemieux, W. Mathlouthi et L. A. Rusch, « Suppression of Tur-

bulence Induced Noise on Free-space Communication Systems using Saturated

Optical Amplifiers », IEEE Journal of Lightwave Technology, en attente de publi-

cation, 2006.

Annexe C. Liste des publications de l’auteur 117

7. P. Lemieux, W. Mathlouthi, M. Roy and L. A. Rusch, « Noise Reduction in

an Incoherent-to-Coherent Wavelength Conversion using SOA », International

Conference on Sciences of Electronics, Telecommunications and Information Tech-

nologies (SETIT), Tunis, 2005.

8. M. Menif, W. Mathlouthi, P. Lemieux, L. A. Rusch et M. Roy, « Error-free

Transmission for Incoherent Optical Communications Systems using Incoherent-

to-Coherent Wavelength Conversion », IEEE Journal of Lightwave Technology,

pp. 287-294, 2005.

9. L. A. Rusch, P. Lemieux et W. Mathlouthi, « Intensity Noise in Non-coherent to

Coherent Wavelength Conversion in Semiconductor Optical Amplifiers », IEEE

ASILOMAR Conference on Signals, Systems and Computers, Monterey, MA5b-3,

2004.

10. M. Menif, P. Lemieux, W. Mathlouthi et L. A. Rusch, « Incoherent-to-Coherent

Wavelength Conversion using Semiconductor Optical Amplifiers », IEEE Interna-

tional Conference on Communications (ICC), Paris, vol. 27, no. 1, pp. 1740-1744,

2004.

Modélisation des amplificateurs optiques `a semi-conducteur

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