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Modélisation Mathématique Modélisation Mathématique de l’Athérosclérosede l’Athérosclérose
Nader EL KHATIB
Villeurbanne le 29/05/2009
Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées dirigée parStéphane Génieys & Vitaly Volpert
1
SommaireSommaireIntroduction.Mécanisme biologique.Modèle Inflammatoire:
◦Modèle 1D.◦Modèle 2D.
Modèle d’interaction sang-plaque.
Conclusion et perspectives.
2
MURRAY JL, LOPEZ ADAlternative projections of mortality and disability by cause 1990 - 2020 : Global Burden of Disease Study.
Lancet 1997 ; 349 : 1498-504.
IntroductionIntroduction
3
IntroductionIntroduction
4
Artériosclérose: vieillissement de l’artère.
Athérosclérose: du grec athérê qui signifie bouillie. Est un dépôt lipidique, non passif inflammatoire.
Mécanisme biologiqueMécanisme biologique
5
Mécanisme biologiqueMécanisme biologique
B. ØSTERUD and E. BJØRKLIDRole of Monocytes in Atherogenesis. Physiol. Rev. 83: 1069-1112, 2003.
6
Mécanisme biologiqueMécanisme biologique
R Ross. Atherosclerosis. An inflammatory disease, N Engl J Med 340 (1999), pp. 115-126.
7
Modèle Inflammatoire 1D Modèle Inflammatoire 1D (paroi)(paroi)
8
Sans diffusionSans diffusion
1
11
)()(
Af
MAF
)()(
2
22 Af
AMAF
Isoclines
dt
dAdt
dM MAf 11 )(
AMAf 22 )(
Sans diffusion
NE
M
A
NE
M
A
E
NE
M
A
E
9Cas bistable Cas monostable
1
1
0α
NE ,λ
1F
2F
1F
2F 1F
2F
Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas bistable: effet
seuil
10
Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas bistable: effet
seuil
11
Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas monostable
12
Interprétation biologiqueInterprétation biologique
Faibles concentrations de cholestérol: pas de réponse inflammatoire chronique.
Concentrations intermédiaires de cholestérol: réponse inflammatoire chronique possible, effet de seuil.
Hautes concentrations de cholestérol: même une petite perturbation entraine une réponse inflammatoire chronique.
13
Avec diffusionAvec diffusion
14
Existence de solutionExistence de solution
15
Résultats numériquesRésultats numériquesCas bistable: effet seuil
16
M
A
Résultats numériquesRésultats numériquesCas bistable: effet seuil
17
M
A
Résultats numériquesRésultats numériquesCas monostable: même une petite perturbation
initiale conduit à une propagation
18
M
A
Apport du modèle 1DApport du modèle 1DEnchainement des cas : au cours de la
vie augmente et donc l’organisme devient sensible aux inflammations.
Description en tant que front de propagation. Similaire à Poston et al. : la plaque est le résultat d’un processus de propagation auto-amplifiée véhiculée par les monocytes.
19
1α
Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2D
h
Flux sanguin
Intima
Recrutement de cellules immunitaires
20
Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2DExistence de solution
21
Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2D
On définit le cas monostable : il existe un état enflammé stable, un état non-enflammé instable. ◦ Etude du signe de la valeur propre principale du système linéarisé
autour de l’équilibre non-enflammé.
Existence de fronts, non classique, car condition au bord non-linéaire.◦ On démontre la positivité des solutions.◦ On en déduit un principe de comparaison.
22
Existence de solutions de type ondes progressives dans le cas monostable
Existence d’onde Existence d’onde progressiveprogressive
23
Existence de solutions de type ondes progressives dans le cas monostable
c
Résultats numériquesRésultats numériques
24
Résultats numériquesRésultats numériques Convergence du modèle 2D vers le modèle 1D quand 0h
25
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Zhi-Yong Li, Simon P.S. Howarth, Tjun Tang and Jonathan H. Gillard. How Critical Is Fibrous Cap Thickness to Carotid Plaque Stability?: A Flow-Plaque Interaction Model, Stroke 2006 ; 37 ; 1195-1199, 2006.
26
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
2
12
0
))(1(
)(
n
2
))2()()2(( 222yxyx vvuu
Courbes représentant plusieurs modèles de viscosités. (Réf. Shibeshi et Collins, The Rheology of Blood Flow in a Branched Arterial System, Appl Rheol. 2005).
27
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
onpénalisatiICICw )3()3( 201110
Un corps est dit élastique si la relation tenseur de contraintes-tenseur de déformations est linéaire (loi de Hooke).
Un corps est dit hyperélastique si cette relation n’est pas linéaire. Elle se fait à travers une énergie qui est une fonction des contraintes.
Les déformations sont obtenues par dérivation de l’énergie par rapport aux contraintes.
21 et II : deux premiers invariants du tenseur de Cauchy
28
Le modèle de Mooney-Rivlin modifié pour les corps hyperélastiques formule l’énergie en fonction des invariants du tenseur de Cauchy.
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Paramètres utilisés dans nos simulations
Dépôt lipidique
Chape fibreuse
Sang
Ref. Li et al. Stress analysis of carotid plaque rupture based on in vivo high resolution MRI J. Biomech., 2006; Tang et al. 3D MRI-Based Multicomponent FSI Models for Atherosclerotic Plaques, A. Biomed. Eng., 2004.
29
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Cas test: Newtonien
30
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Cas test: Non-Newtonien
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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Plaque longue et fine: Cas Newtonien
32
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Plaque longue et fine: Cas Non-Newtonien
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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Petite plaque: cas Newtonien
34
Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque
Petite plaque: cas Non-Newtonien
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Conclusion (modèle Conclusion (modèle d’interaction)d’interaction)
Modèle de référence: non-Newtonien.
Le modèle Newtonien surestime les recirculations et sous-estime les contraintes: globalement moins visqueux.
36
Perspectives: modèle 3DPerspectives: modèle 3D
37
Modèle 3DModèle 3D
38
Extension: modèle 3DExtension: modèle 3D
39
Modèle 3D issu de Modèle 3D issu de l’imageriel’imagerie
40Collaboration avec FORTH, Héraklion, Crète.
Modèle 3D issu de Modèle 3D issu de l’imageriel’imagerie
41
Merci!Merci!
42
Спасибо !
Obrigado !Thank you !
شكرا