Modélisation et résolution dun problème intégré de planification et dordonnancement Cathy...

Modélisation et résolution d’un problème intégré de

planification et d’ordonnancement

Cathy WOLOSEWICZ1,2

Stéphane DAUZERE-PERES1, Riad AGGOUNE2

1 Ecole des Mines de Saint Etienne France - 2 Université du Luxembourg

Réunion du groupe Bermudes 17 novembre 2006 Université du

Luxembourg

Légende ……Réunion du groupe Bermudes – 17 novembre 2006 2

Plan

Contexte

Problématique

Nouvelle modélisation

Méthode de résolution: relaxation Lagrangienne

et recuit simulé

Résultats expérimentaux Conclusion et perspectives


ContexteGestion de production : ensemble de décisions permettant une organisation efficace de la production

Comprend les choix d’infrastructure

Planification de la production, des stocks, de l’approvisionnement …

Ordonnancement des activités de production, stockage et transport

+ le niveau est élevé

+ l’horizon de temps est

long

+ modèles sont agrégés

Niveau Tactique

Niveau Opérationnel

Niveau Stratégique


Contexte

Niveau Planification

Calcul d’un plan de production

Objectifs: Déterminer les périodes de production et les quantités à produire Minimiser les coûts (de production, de stockage ….)

Contraintes: Capacités de production Stocks

Niveau Ordonnancement

Mise en œuvre des moyens opérationnels afin de suivre

le plan de production


Description de la problématiqueModèles mathématiques au niveau planification :

Capacité agrégée Contraintes opérationnelles non prises en compte

Objectif :Objectif : Développer une approche intégrée en planification et ordonnancement

Intégrer des contraintes plus précises de l’ordonnancement au niveau de la planification

→ Pas de garantie de solution réalisable au niveau ordonnancement

→ Conséquences : • Retard et/ou en cours importants lorsque la capacité est sur estimée• Sous-utilisation de la capacité lorsque celle-ci est sous estimée


Exemple 2 produits A et B 3 machines M1, M2, M3 T = 60 unité de temps Durée de production par unité de produit :

PA(M1) = 2 PA (M2) = 1 PA (M3) = 1

PB(M1) = 3 PB (M2) = 1 PB (M3) = 2

Xi = quantités à produire de l’article i Contraintes de capacité agrégées:

Plan de production « réalisable »: XA = XB = 10

6032 BA XX

60 BA XX

602 BA XX


Exemple Cas A séquencé avant B

Cas B séquencé avant A


État de l’art Problèmes de dimensionnement de lots à courtes périodes

(Drexl and Kimms, 1997), (Fleischmann,1990)

Problèmes considérant des coûts et temps de préparation qui dépendent du séquencement sur les ressources (Fandel and Stammen-Hegene, 2005), (Hasse and Kimms, 2000)

Intégration des décisions de dimensionnement de lots et ordonnancement (Giglio et Minciardi, 2002), (Sikora et al., 1996), (Kimms, 1999)

(Dauzère-Pérès et Lasserre, 1994 et 2002) ont proposé un modèle intégré (MDL) qui calcule un plan de production réalisable et détermine une séquence des opérations


Méthode de résolution itérative

Calcul d’un plan de production

optimal pour une séquence fixée

Détermine un meilleur

ordonnancement pour un plan de production fixé

Ordonnancement

Plan réalisable

NIVEAU PLANIFICATION

NIVEAU ORDONNANCEMENT

Module PlanificationModule Planification

Module OrdonnancementModule Ordonnancement


Limites de l’approche précédente

Limites au niveau du module planification : résolu par un logiciel standard de programmation mathématique

→ Difficultés pour intégrer les coûts et temps de préparation


Modèle et méthode de résolution Nouvelle modélisation :

Modélisation explicite des chemins du graphe conjonctif

Prise en compte des temps et coûts de préparation

Séquence fixée des opérations sur les ressources

Méthode de résolution : Relaxation Lagrangienne : calcul les quantités à

produire Recuit simulé : amélioration de la séquence


Graphe conjonctif

Sommets : représentent les différentes opérations composants des jobsArcs de précédences : Entre 2 opérations d’un même job (en noir) Entre 2 opérations de job différents utilisant la même machine (en couleur)

M1

M1

M1

M2

M2

M2

M3

M3

M3

Représentation des solutions d’un problème d’ordonnancement


Graphe conjonctif

Chaque chemin du graphe correspond à une séquence d’opérations du nœud source au nœud puit

Contrainte pour chaque chemin :

M1

M1

M1

M2

M2

M2

M3

M3

M3

Somme des durées des opérations d’un chemin Date de fin au plus tard de

dernière opération du chemin

)(

1)()()()( )( )(

ol

ll

cooloi

t

ooloi

u

o

f

c cYsXpor


Nouvelle modélisation

liYIIX ilililil ,1,00,,

Objectif: minimiser l’ensemble des coûts

liil

s

ili

il

back

iil

inv

ili

il

p

i YcIcIcXc,,,

)(

iliDSj

Ljlijililililil DXgXIIIIj

)(11

Équation d’équilibrage des stocks

CccYsXporol

ll

cooloi

t

ooloi

u

o

f

c

)(

1)()()()( )( )(

liYDX il

T

kikil ,)(

1

Contraintes sur les chemins

Contraintes de lancement de la production

Contraintes de non négativité


Méthode de résolution

Modélisation de l’ensemble des chemins du graphe

→ Nombre exponentiel de contraintes de capacités

Méthode de résolution : relaxation Lagrangienne

Principe : relâcher des contraintes difficiles pour se ramener à des problèmes facile à résoudre

Application à des problèmes à un niveau


1. Résolution du problème relaxéEnsemble de sous problèmes à un produit sans contraintes de capacité de type Wagner-Whitin

2. Construction d’une solution réalisableDeux types d’heuristique de lissage développés:

CSR1 : Lissage d’avant en arrière sur l’horizon de temps

Points clés de l’heuristique Lagrangienne


Construction d’une solution réalisable

Opération critique appartenant à un chemin violé

Produit 3

Produit 1

Produit 2

Job qui doivent être terminés en période 1




1. Résolution du problème relaxéEnsemble de sous problèmes à un produit sans contraintes de capacité de type Wagner-Whitin

2. Construction d’une solution réalisableDeux types d’heuristique de lissage développés:

CSR1 : Lissage d’avant en arrière sur l’horizon de temps

CSR2 : Recherche le produit le plus critique



Construction d’une solution réalisable

Opération critique appartenant à un chemin violé

Produit 3

Produit 1

Produit 2






3. Mise à jour des multiplicateurs Lagrangiens Étant donné le nombre exponentiel de

contraintes, il n’est pas possible de mettre à jour tous les multiplicateurs Lagrangiens

Initialiser tous les multiplicateurs Lagrangiens à 0

Choisir un ensemble de multiplicateurs à augmenter parmi l’ensemble des chemins les plus violés dans le graphe

Mise à jour de ces multiplicateurs par la méthode des sous-gradients


Résultats expérimentaux

Jeux de données générés aléatoirement de façon uniforme

Nombre de produits : 6, 10 et 20 Variations de différents paramètres :

Période entre 5 et 50; Capacité entre 0.45 et 0.70; Coût de préparation (setup) entre 5 et 100;

Problème du job shop: 6x6 (6 jobs, 6 opérations par jobs et 6 machines); 10x10 (10 jobs, 10 opérations par jobs et 10 machines); 20x 5 (20 jobs, 20 opérations par jobs et 5 machines).


Variation de la capacité

Job T Capacité

Heuristique Lagrangienne

Xpress-MP après 10 minutes

shop BI BS Gap Temps BI BS Gap Temps

5 0.45 1732.65 1753 1.17 0.50 1745 1745* 0,00 0,56

6x6 0.70 1730 1730* 0.00 0.00 1730 1730* 0,00 0,17

30 0.45 9408 9678 2.83 2.47 9367,1 9561 2,05 654,48

0.60 9409.61 9442 0.34 0.78 9379,19 9420 0,43 666,89

10 0.45 5362 5365 0.06 0.00 5362 5362* 0,00 2,97

0.60 5362 5362* 0.00 0.00 5362 5362* 0,00 2,45

10x10 0.45 25923 25937 0.05 0.20 25470,8 25959 1,90 650,97

50 0.50 25923 25929 0.02 0.09 25462,9 25960 1,93 657,47

0.70 25923 25923* 0.00 0.05 25474 25947 1,84 659,06

20 0.45 21479 21483 0.02 0.83 21415,7 21482 0,31 698

0.55 21475 21475* 0.00 0.00 21420,3 21478 0,27 722,44

20x5 30 0.45 31335 31353 0.06 0.11 30910,6 31383 1,52 668,2

0.55 31335 31335* 0.00 0.03 30903,6 31379 1,53 667,19


Variation de la capacité

Job T Capacité


Xpress-MP après 10 heures


6x6 30 0.45 9408 9678 2.83 2.47 9404,72 9552 1,55 40484,2

0.60 9409.61 9442 0.34 0.78 9411,67 9418 0,07 43048,1

0.45 25923 25937 0.05 0.20 25518,7 25944 1,65 38530.7

10x10 50 0.50 25923 25929 0.02 0.09 25505,4 25945 1,71 38700.2

0.70 25923 25923* 0.00 0.05 25518 25944 1,66 38770.3

20 0.45 21479 21483 0.02 0.83 21450 21481 0,14 40661,2

20x5 0.55 21475 21475 0.00 0.00 21456,6 21475 0,09 45213,8

30 0.45 31335 31353 0.06 0.11 30954,6 31363 1,31 41162

0.55 31335 31335* 0.00 0.03 30947,1 31365 1,34 41602,7


Variation du setupJob T Setup Heuristique Lagrangienne Xpress-MP après 10 minutes


5 15 1730.42 1731 0.03 0.06 1731 1731* 0,00 0,25

6x6 50 2222.33 2290 3.00 0.33 2275 2275* 0,00 0,67

50 20 16676.1 16923 1.47 6.45 15910,8 16889 5,96 683,99

100 23941.3 29497 20.79 22.81 19323,2 41322 72,55 657,42

30 15 16358 16358* 0.00 0.03 16270,3 16359 0,54 661,22

10x10 50 20594.5 21108 2.46 5.84 18183,6 21206 15,35 663,8

50 50 32759.8 33802 3.13 24.11 26947,1 34087 23,40 639,36

100 39321.8 42525 7.83 76.63 29208,1 69362 81,47 641,52

10 20 11050 11050* 0.00 0.02 11050 11050* 0,00 5,81

50 13537.6 13601 0.47 1.22 13465,4 13574 0,80 684,09

20x5 100 16607.2 17115 3.01 1.69 16372 16901 3,18 625,59

15 21475 21475* 0.00 0.00 21420,3 21478 0,27 722,44

20 20 22490 22490* 0.00 0.02 22005,6 22525 2,33 696,3


Variation du setup

Job T Setup




6x6 50 20 16676.1 16923 1.47 6.45 15965,5 16866 5,49 41283.7

100 23941.3 29497 20.79 22.81 19639,2 41322 71,14 39351.2

30 15 16358 16358 0.00 0.03 16309,7 16358 0,30 40504,5

10x10 50 20594.5 21108 2.46 5.84 18331,6 21107 14,07 38841

50 50 32759.8 33802 3.13 24.11 27095,7 33934 22,41 38563.2

100 39321.8 42525 7.83 76.63 29459,4 43383 38,23 37874.2

10 50 13537.6 13601 0.47 1.22 13498,6 13560 0,45 41565,3

20x5 100 16607.2 17115 3.01 1.69 16486,9 16831 2,07 38097,5

20 15 21475 21475* 0.00 0.00 21456,6 21475 0,09 45213,8

20 22490 22490 0.00 0.02 22060,7 22513 2,03 42146,3


Variation de la demande

Job T Demande Heuristique Lagrangienne Xpress-MP après 10 minutes


5 [5,15] 1730.42 1731 0.03 0.06 1731 1731* 0,00 0,25

[10,50] 4110 4110* 0.00 0.00 4110 4110* 0,00 0,09

6x6 [4,8] 6149.65 6297 2.37 3.39 5808,9 6232 7,03 700,77

30 [5,15] 9410.63 9488 0.82 1.53 9357,29 9439 0,87 667

[10,50] 23373 23373* 0.00 0.02 23373 23373* 0,00 0,98

20 [4,8] 6841 6847 0.09 0.02 6603,47 6876 4,04 684,33

10x10 [5,15] 10909 10909* 0.00 0.02 10909 10909* 0,00 209,53

50 [4,8] 17033 17048 0.09 0.16 15456,9 17214 10,76 642,17

[5,15] 25923 25923* 0.00 0.05 25467 25948 1,87 657,33

10 [4,8] 6870.54 6884 0.20 0.61 6872 6872* 0,00 23,72

[5,15] 10524 10524* 0.00 0.02 10524 10524* 0,00 2,33

20x5 [4,8] 20433.1 20452 0.09 1.06 18764,1 20612 9,39 664,47

30 [10,80] 118020 118020* 0.00 0.02 118020 118020* 0,00 3,92

[10,100] 135978 135978* 0.00 0.02 135978 135978* 0,00 3,66


Variation de la demande

Job T Demande




6x6 30 [4,8] 6149,65 6297 2.37 3.39 5856,42 6232 6,21 40504,5

[5,15] 9410,63 9488 0.82 1.53 9389,92 9437 0,50 42815,7

20 [4,8] 6841 6847 0.09 0.02 6637,07 6859 3,29 40798,4

10x10 50 [4,8] 10149 10152 0.03 0.03 9563,4 10197 6,41 39746,5

[5,15] 16358 16358* 0.00 0.03 16309,7 16358 0,30 40504,5

20x5 30 [4,8] 20433,1 20452 0.09 1.06 18813,8 20583 8,98 38968,4


Recuit simulé

Le précèdent modèle permet de calculer un plan de production pour une séquence fixée des opérations sur les machines.

Afin de résoudre le problème intégré, nous appliquons l’algorithme du recuit simulé afin d’améliorer la séquence.

Choix de la méthode : trouver une nouvelle séquence proche de la séquence initiale sans changer complètement la solution courante.


Résultats expérimentaux

Job T BI Avant le recuit simulé Après le recuit simulé

shop absolue BI BS BI BS

2592 2852.18 3328 2811.49 3227.00

5 2592 2819.7 3101 2814.30 3001.00

1681 2009.94 2175 PA PA

3256 3269.5 3316 3261.87 3292.00

6x6 10 4671 4934.54 5560 PA PA

3252 3252.84 3283 3252.37 3268.00

6312 6313.63 6331 6312.24 6315.00

20 6625 6630.07 6669 6627.60 6628.00

7966 8050.65 8629 8041.25 8537.00


Conclusions

Approche intégrant planification et ordonnancement

Nouvelle formulation

Combinaison de la relaxation Lagrangienne et du recuit simulé pour résoudre le problème intégré

Résultats numériques encourageants


Perspectives

Amélioration de l’heuristique de construction d’une solution réalisable

Extension de la méthode pour les problèmes à plusieurs niveaux (chaîne logistique)

Amélioration de la séquence par la méthode itérative proposé par Dauzère-Pérès et Lasserre

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