1

MESURE, INCERTITUDE &

MODÉLISATION

Philippe Breuil, janvier 2018

MODÉLISATION

2/62

Détermination à partir de données

expérimentales d’une fonction

mathématique mono ou multi-variables

permettant de « reproduire » un phénomène

2

DANS TOUS LES CAS, IL EST NÉCESSAIRE DE

FAIRE APPEL AUX STATISTIQUES…

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30temps

signa

l

3/62

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30temps

signa

l

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30temps

signa

l

0

2

4

6

8

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12

14

16

0 10 20 30temps

signa

l

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30temps

signa

l

MESURE, INCERTITUDE & MODÉLISATION

Stats de la mesure Rappels Calcul de l’incertitude

Modélisation Objectifs Méthodes

3

LA MESURE ET SON INCERTITUDE:

5/62

Aspect « crédibilité de

la mesure »

Aspect légal et

normatif

MÉTROLOGIE, CHAINE DE MESURE

6

Laboratoire National

d’Essais

NIST (US), PTB (D), NPL (UK)…

EtalonsCGPM: tous les 4 ans

Comite Français d’accréditation

4

QUELQUES RAPPELS SUR L'ERREUR ET L'INCERTITUDE…

Erreur systématique: eB

Systematic error

Erreur accidentelle ou aléatoire: eA

Random or accidental error

7

Mesure x d’une variable de valeur réelle xR:

ABRxx ee Erreur: variable e=xR-x

)(xExR (espérance de x)

Expectation

CARACTÉRISATION DE LA MESURE (ET DE L’ERREUR

ALÉATOIRE):

Moyenne estimée de n mesures d'une même valeur xR

8

n

ixn

x1

1

xR = valeur réelle

)()lim( xExR

n

x

(loi des grands nombres)

Estimated mean

Law of large numbers

(espérance de x)

Expectation

(Si erreur aléatoire)

5

ECART-TYPE DE L'ERREUR ALÉATOIRE:

9

n

i xxn

s1

2)(1

1Ecart-type estimé de

l'erreur aléatoire

Variance (de l’erreur aléatoire) :

xr

Ecart type

relatif :

n

ii xExn

xEx1

22))((

1)(

Valeur réelle,

À priori inconnue…

Standard deviation of random error

Variance (of random error)

Ecart-type de

l'erreur aléatoire V

et s ont même espérance…

2RxxV

QUELQUES CALCULS, JUSTIFICATION DU TERME (N-1)

10

Soit la grandeur: 2222 1)( xxxx

nxxxv

i

i

2222)( xExExxEvE

)()()()()( 22 xVxExVxEvE

)(1

)(1

)()()()( 22 xVn

nxV

nxExVxEvE

i

i xxn

xvn

n 2

1

1)(

1Donc le terme a pour espérance V(x)…

22222)()()()(2)()( xExExExxExExExExV

)()()( 22 xVxExE

)()( xExE

théorème de la moyenne, démo + loin, propag erreur

n

xVxV

)()(

6

DISTRIBUTIONS D’ERREURS

Gaussienne ou normale*,

Uniforme,

Poissonnienne,

Etc…

11* La plus répandue, grâce au Théorème central limite…

e

0

P(e)

Courbe de probabilité de l'erreur

Distributions of errors

Gaussian or normal*,

Uniform,

Poissonnian,

LA DISTRIBUTION GAUSSIENNE (OU NORMALE)

12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

3 2 0 2 3Ecart à la moyenne x-x = écart-type

: 68.3% des valeurs

2: 95.5% des valeurs

3: 99.7% des valeurs

2

2

1

2

1)(

xx

exF

7

THÉORÈME CENTRAL LIMITE

Si une variable est la résultante d'un grand nombre de causes, petites, àeffet additif, cette variable tend vers une loi normale.

C'est à cause de cette interprétation que la loi normale est très souventemployée comme modèle (malheureusement pas toujours à raison).

13Demo

Central Limit Theorem

TP1

DISTRIBUTION DE POISSON

Ex: comptage d’évènements aléatoires non

simultanés (désintégration radioactive,

queue…)

14

Moyenne: m

Variance: m

demo

8

LES TESTS D’HYPOTHÈSE

15

Significance tests

Tests d’une hypothèse (« null hypothesis », ex: 2 échantillons ont même

moyenne) à partir d’un nombre fini d’échantillons, entachés d’erreur aléatoire.Le résultat du test n’est pas absolu mais est une probabilité qui est une aide à la validation ou non de l’hypothèse initiale, il ne constitue donc jamais une preuve.

Tests paramétriques(hypothèse sur distribution + ou – nécessaire)

1-sample T-test Comp. Échantillon à valeur de référence, intervalle de confiance

2-samples T-test Comparaison de 2 échantillons

F-Test Comparaison de la variance de 2 échantillons

ANOVA Analyse de variance: analyse des variances de K échantillons, comparaison

des moyennes (n≥2)

Chi-Square test Utilisation notamment pour vérifier une hypothèse de distribution

Grubbs’ test Détection des valeurs aberrantes (« outliers »)

Tests non paramétriques(pas d’hypothèse sur distribution)

Test Wilcoxon.M.W Comparaison de 2 échantillons, méthode de rang

En rouge: tests décrits + loin, sinon voir biblio ou google

ONE-SAMPLE T-TEST « SIMPLIFIÉ »

16

95%

1.96s

Comparaison de la mesure X d’un échantillon à une valeur de référence R, on suppose que la distribution est normale.

Hypothèses:• « X est différent de R »?• « X est significativement différent de R »?

Cette hypothèse de différence H1 est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple) (ou si la probabilité d’égalité est inférieure à 5% (H2)

1 mesure: X, écart-type estimé de la mesure: s, distr. gaussienne

X R

-3s -2s –s 0 s 2s 3s

Hypothèse retenue si:

stRX .

si s est calculable « précisément *»:

(t=coef de Student)

H1: 95% (ou

H2: 5%)

H1: 99% (ou H2:

1%)

H1: 99.9% (ou

H2: 0.1%)

t 1.96 2.56 3.28

Oui, quasiment toujours, à cause de l’erreur aléatoire…

• « La différence entre X et R n’est pas due qu’à l’erreur aléatoire »

*n>20, sinon, tableau des coefs de Student…

X

9

17

TABLEAU DES COEFFICIENTS « t » DE STUDENT

P N=5 N=10 N=20 N> 100

50 % 0,73·σ 0,70·σ 0,69·σ 0,67·σ

68 % 1·σ

70 % 1,16·σ 1,09·σ 1,06·σ 1,04·σ

87 % 1,5·σ

90 % 2,02·σ 1,81·σ 1,73·σ 1,65·σ

95 % 2,57·σ 2,23·σ 2,09·σ 1,96·σ

99 % 4,03·σ 3,17·σ 2,85·σ 2,56·σ

99,7 % 3·σ

99,9 % 6,87·σ 4,59·σ 3,85·σ 3,28·σ

99,999 999 8 % 6·σ

.tXXprobaP R

=1-LOI.STUDENT.BILATERALE(t;N)

• N = nb degré de liberté (nb

échantillons utilisés pour le

calcul de -1)

• P = probabilité

Utilisation lorsque l’écart-type est calculé à partir d’un nombre faible (<20) d’échantillons

Sinon, t~2, 95%...

=LOI.STUDENT.INVERSE.BILATERALE(P, N)

CALCUL PROBABILITÉ:

ONE-SAMPLE T-TEST « OFFICIEL »

18

95%

Comparaison de la moyenne d’un échantillon à une valeur de référence R, on suppose que la distribution est normale*.Hypothèse: « la différence entre la moyenne de n mesures et une valeur de référence n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

Cette hypothèse est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple)

n mesures: moyenne m, écart-type estimé de chaque mesure: s

On montre (+ loin…) que l’écart-type estimé de la moyenne est: n

ss '

m R

-4s’ -3s’ -2s’ –s’ 0 s’ 2s’ 3s’ 4s’

Hypothèse retenue si:

n

stR m

si s est calculable « précisément »:

(t=coef de Student)

H1: 95% (ou

H2: 5%)

H1: 99% (ou H2:

1%)

H1: 99.9% (ou

H2: 0.1%)

t 1.96 2.56 3.28

10

ONE-SAMPLE T-TEST, EXEMPLE

Hypothèse: « la différenceentre la moyenne de npesages d’une masse étalonde 1 kg et la valeur de cettemasse n’est pas due qu’auxerreurs aléatoires »

n

stR .m

?

n

s

Rt

m

1 1.04946993

2 1.11917309 Etalon R (kg) 1.0000

3 0.99865798

4 1.01040713

5 1.14655592

6 0.97054733

7 1.14894136

8 1.08005111 moyenne µ: 1.04614199

9 1.03044121 Ecart-type s: 0.05326172

10 0.98202478

11 1.05094267 0.0461

12 1.06252219

13 1.02608401

14 1.04961426 0.02381937 (t=2)

15 1.03483134 (n=20)

16 1.03475702

17 0.98306671

18 1.09287381

19 0.97490694

20 1.07697103

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st .

Il existe un « biais »…

TWO-SAMPLE T-TEST

20

Comparaison de 2 moyennes de 2 échantillons, on suppose que la distribution est normale.Hypothèse: « la différence entre les 2 moyennes n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2

Ecart type estimé s1 s2

Moyenne estimée m1 m2

Comparaison de m1 et m2:Peut se ramener à un 1-sample-test en comparant |m1-m2| à 0

On prend alors, comme écart-type de |m1-m2| :

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss

(démontré dans partie « lois de propagation de l’erreur »)

Et le nombre de degrés de liberté est en 1ere approx: n1+n2-2

st.21 mmHypothèse retenue si:

Cette hypothèse est retenue si sa probabilité est supérieure à 95% (par exemple)

2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

11

TWO-SAMPLE T-TEST: EXEMPLE

2

2

2

1

2

121 .

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

3.59385514 3.49673556 moyenne µ 3.54463973 3.55551443

3.58810682 3.50481358 écart-type s 0.04510027 0.04809217

3.53371004 3.47201328

3.52760094 3.553306 |µ1-µ2| 0.01087473.44867115 3.57512954

3.51024893 3.55717682

3.60880932 3.62969549

3.53927667 3.66487781 0.01393613.55719746 3.54702026

3.52552333 3.54598904 n: 43 t=2

3.49798625 3.48741103

3.49706929 3.56409401 s.t: 0.02787228

3.56771949 3.56622487

3.59781434 3.54564972

3.54032574 3.50388551

3.57799787 3.65577103

3.49003712 3.55839436

3.57276739 3.53637213

3.61263276 3.57229694

3.50544464 3.56392763

3.60261554

3.52637678

3.5652033

3.58384532

3.50903522

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

3.55

3.6

3.65

3.7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss

Hypothèse: « la différence entre les moyennes de pesages d’une même masse par 2 opérateurs n’est pas due qu’aux erreurs aléatoires »

?

1 2

Il existe un « biais entre les 2 opérateurs»…

TP2

INTERVALLE DE CONFIANCE

22

L'intervalle de confiance à p (95%) d’une mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabilité centrée p (95%) de contenir la vraie valeur xR du paramètre estimé.

xx ,

La calcul de et en fonction de la probabilité P (généralement 95%) dépend de la loi de

distribution de l'erreur

0

et = incertitude à p (95%)

Distribution symétrique:

• =

•Valeur moyenne de la mesure

= la plus probable0

Confidence interval

2/1)()( pxxPxxP RR

Distribution normale

12

INTERVALLE DE CONFIANCE, CAS DE LA DISTRIBUTION NORMALE:

23

L'intervalle de confiance à p (95%) d’une mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabilité centrée p (95%) de contenir la vraie valeur xR du paramètre estimé.

stxstx .,.

• Choix de la probabilité: 95% usage…

• Choix de t: si distrib. Normale et s calculé « confortablement » (n>20), t~2

ÉCRITURE D’UNE MESURE (DISTRIBUTION NORMALE)

24

Loi normale:

95%

Le résultat d’une mesure doit comporter 4 éléments :Ex : CNO = 125.3 ppb 1.7 ppb (à 95% ou t=2)

1 2 3 41 : Valeur numérique avec un nombre correct de décimales2 : Unité3 : Incertitude élargie = t.4 : Le coefficient d’élargissement t utilisé

Probabilité en % pour que la mesure

soit dans l’intervalle tsxtsx ,

1 : Numerical value with a correct number of decimals2 : Unit3 : expanded uncertainty = t.s4 : Coverage factor t

Si pas précisé:t=2 et 95%

13

ÉVALUATION DE L’INCERTITUDE :

Évaluation par analyse statistique de séries de mesures (« type A »)

(généralement mesure, mais aussi simulation)

25

Évaluation par calcul de l’effet sur l’incertitude finale des différentes

sources d’incertitude (« type B »: « par tout autre moyen »!), elles même

évaluées :

par une méthode de type A,

par des données constructeur, d’étalonnage etc…

Il est alors nécessaire de connaître les lois de propagation de

l’erreur…

QUELLE EST LA PESÉE LA PLUS PRÉCISE?

(les erreurs sont aléatoires)

14

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES DES ERREURS ALÉATOIRES

INDÉPENDANTES (1)

27

Exemple de la somme: s=a+b

es

eb

ea

es=ea+ebRappel: les erreurs s’ajoutent algébriquement:

Et leur écart-type?

combined standard uncertainty for random & independant errors

a b a+b2.82 1.51 4.33

2.61 1.71 4.32

2.64 1.68 4.32

3.45 2.02 5.48

3.32 1.90 5.23

2.79 2.08 4.88

3.17 1.55 4.72

2.70 2.09 4.79

3.10 1.86 4.96

3.40 1.56 4.95

moyenne 3.00 1.80 4.80 4.80 somme moyennes

variance 0.11 0.05 0.16 0.16 somme variances

ecartype 0.33 0.23 0.39 0.55 somme écart-types

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES DES ERREURS ALÉATOIRES

INDÉPENDANTES (2)

28

Exemple de la somme: s=a+b

Erreur aléatoire:

)()()( bas

combined standard uncertainty for random & independant errors

)()()( bVaraVarbaVar

Les écart-types (et donc les incertitudes) ne s’ajoutent pas!!

Mais les variances si!!*

22baba 222

baba

Les écart-types s’ajoutent quadratiquement*

*si les erreurs sont indépendantes et aléatoires

15

QUELLE EST LA PESÉE LA PLUS PRÉCISE?

ÉCART TYPE DE L'ERREUR ALÉATOIRE DE LA SOMME DE

VARIABLES

30

Exemple de la somme: s=a+b (suite)

Variance: 2

1

1)(

aa

naVar i

21

1)(

bb

nbVar i

21

1)(

bbaan

sVar ii

bbaabbaan

iiii 21

1 22

)()( aVarbaVar

Somme quadratique des écart-types

22baba

=0 si erreurs indépendantes

)(bVar ),(2 baCov

Les variances s’ajoutent,

Et les écarts-types?

16

RAPPEL: LOI DE PROPAGATION D’UNE « PETITE » ERREUR

31

n

i

i

xx

fy

1

)(

,..),..( 1 ixxfy Fonction quelconque:

)(xfy xdx

dfxfxxf .)()(

xdx

dfy .

Cas particulier, produit:2/1

3..

d

cbay

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

2/13

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES, CAS GÉNÉRAL

32

)()(1

2

2

2

i

n

i

xx

fy

,..),..( 1 ixxfy Fonction quelconque:

Ecart-type:Si erreurs indépendantes…

Donc si les lois de distribution sont connues, on peut en déduire la loi de propagation des incertitudes:

Exemple, distr. Gaussienne et I=2:

)()(1

2

2

2

i

n

i

xx

fy II

17

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES DES ERREURS ALÉATOIRES

INDÉPENDANTES (4)

33

Ex: somme ou différence:

cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i

ii xay 22 ))(()( Combinaison linéaire:

Application fondamentale en instrumentation: La moyenne

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES DES ERREURS ALÉATOIRES

INDÉPENDANTES (5)

34

n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2

Application fondamentale en instrumentation: La moyenne

DemoLoi "des grands nombres"

Théorème de la moyenne:Si une série de mesures a une erreur aléatoire et indépendante d’écart-type , alors la moyenne de n de ces mesures a une erreur aléatoire dont l’écart-type est divisé par racine carrée de n.

Theorem of the mean

18

LOIS DE PROPAGATION DES INCERTITUDES DES ERREURS ALÉATOIRES (6)

35

Produits et puissances :

i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y22

)()(

Somme quadratique des écart-types relatifs

x

x)(Propriété intéressante des écart-types relatifs:

2/1

3..

d

cbay

2222)(

2/1)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple:

TP3

CALCUL DE L’INCERTITUDE PAR SIMULATION DE L’ERREUR ALÉATOIRE

36/62

Ex: y=f(x1,x2),

x1 et x2 ont des erreurs aléatoires indépendantes caractérisées par leur écart-type s1 et s2

•Simuler un certain nombre d’expériences avec les

mêmes valeurs x1 et x2 + erreur aléatoire

yi=f(x1+e1,x2+e2) N fois

•Calcul de l’écart type des yi

•Les ei sont calculés à l’aide d’un générateur de nombre

aléatoires à distribution adéquate (généralement normale*)

) Rnd'2cos* Ln(Rnd)2 π(e

* Excel: =LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA();0;écart-type)Ou Algorithme de Box-Müller:

0e 1)( eRnd et Rnd’: distributions uniformes 0-1 TP4

19

L’INCERTITUDE DUE À LA DISCRÉTISATION :

La discrétisation intervient lorsque les valeurs

finales constituent un ensemble discret.

Résolution d du système d’acquisition, à ne

pas confondre avec l’incertitude, ou la

sensibilité.

00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1

0 0.05 0.1

Ten

sion

aff

ichée

Tension réelle

37/62

d

V

L’INCERTITUDE DUE À LA DISCRÉTISATION : (2)

38/62

dd

3.032d

Ecart type de l’erreur due à la discrétisation:

22 )()( dxX Ecart type de l’erreur totale:

5d 6d 7d

Erreur maxi: d/2

Incertitude à 95% (de discrétisation):

Id = 0.475 q (≠ 2d=0.58q car non gaussien)

Id # q/2

Incertitude totale: )(2)( XXI (approximation…)

20

LE « DITHERING »

39/62

La présence d’erreur aléatoire permet ici d’améliorer la « précision » de la mesure !!!

Pas de « bruit », pas de moyennage Pas de « bruit », moyenne 50

signaux

« bruit », pas de moyennage « bruit », moyenne 50 signaux

La méthode du moyennage peut réduire aussi l’erreur de discrétisation (= quantification):

On peut gagner 1 bit de résolution chaque fois que l’on multiplie par 4 la fréquence d’échantillonnage…

… à condition que le signal avant numérisation contienne un bruit (aléatoire et indépendant) de valeur efficace supérieure à la résolution initiale…

demo

L’INCERTITUDE DUE À LA DISCRÉTISATION : (3) LES DÉCIMALES

SIGNIFICATIVES

40/62

Ecriture d’un nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discrétisation

Pour une mesure, l’écart type de l’erreur introduite doit être petit devant celui

de l’erreur de mesure initiale

Ex: mesure = 438.2659872 Écart-type mesure = 0.55 (soit 0.125 % en relatif)

Doit-on écrire:

438.2659872 ?

438.265 ?

438 ?

Mais les systèmes numériques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifs…

21

L’INCERTITUDE DUE À LA DISCRÉTISATION : (3) LES DÉCIMALES SIGNIFICATIVES:

EXEMPLE

Mesure affichée

résolution

E.T. erreur discrétisation

E.T. erreur finale % d’erreur due à la discrétisation

438.265987

0.000001

2.9 . 10-7 0.55 < 10-3 %

438.27

0.01

2.9 . 10-3 0.550008 10-3 %

438.3

0.1

0.029 0.5506 0.14 %

438

1

0.29 0.62 13 %

440

10

2.89 2.94 434 %

41/62

32

d d

22 )()( dxX

Ex: mesure = 438.2659872 Écart-type mesure = (x)= 0.55 (soit 0.125 % en relatif)

•On peut choisir la résolution immédiatement plus petite que l’écart-type de la mesure.

•L’écart-type (ou l’incertitude) affiché ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs.

MESURE, INCERTITUDE & MODÉLISATION

Stats de la mesure Rappels Calcul de l’incertitude

Modélisation Objectifs Méthodes

22

MODÉLISATION

43/62

Modèle = fonction mathématique mono ou multi-variables

permettant de « reproduire » un phénomène

1: Modèle de connaissance:à partir d'une base théorique connue (ex: équations physico-chimiques),

Le plus connu des chercheurs…

2: Modèle de comportement: modèle « boite noire », le seul but est de reproduire « au mieux » des

expériences

Démarche expérimentale Etalonnage, prédiction

DÉMARCHE EXPÉRIMENTALE

(RECHERCHE)

44/62

expériences

Théorie(approximations)

Modèle(approximations)

Mesures + erreurs

?Généralement modèle de connaissance…… car objectif = connaissance

Modèle de connaissance

23

VALIDITÉ DU MODÈLE DE CONNAISSANCE

45/62

Mesures

Calculs

Erreurs de mesure

Théorie

Valide?

•Crédibilité du modèle

Modèle

Valide?

Approximations

simplificatrices

Compatibilité?

•(in)validation statistique

Expériences

Variables d'entrée

(ex: temps, tension,

température etc…)

Valide?

CRÉDIBILITÉ DU MODÈLE

46/62Principe de parcimonie…

COMPLEXITE

PROBABILITE

Données expérimentalesInformations

Erreurs aléatoires

Beaucoup de modèles possibles, • du plus simple au plus complexe, • du plus crédible au plus loufoque…

24

ETALONNAGE &

PRÉDICTION

47/62

Etalons Y

Mesures signaux capteurs X

Modèle ഥ𝒀 = 𝑭(𝑿)

Modèle F

Mesures signaux capteurs XMesures

pH

mV

mV

pH

Etalonnage…

… Prédiction

Généralement modèle de comportement…

ത𝑌

Modèle de comportement

ETALONNAGE: MODÈLE D’UN MULTICAPTEURS

48/62

XYYvariables:- Variables d’état du système- Difficiles à mesurer- (ex: concentrations…)

« Multicapteur »

Xvariables:- Variables issues du capteur- faciles à mesurer- (ex: signaux électriques…)

X conséquence de Y…

… modélisation de connaissance X=f(Y) possible …

… mais peu utile

Car ici objectif = calculer Y en fonction de X…

25

ETALONNAGE = MODÈLE DIT « INVERSE »

49/62

X=F(Y): F fonction univoque, calculable par modèle de connaissance (physico-chimie)

Mais, utilisation du multicapteur (« prédiction ») = Calcul de Y à partir de X

X Y« Modèle de

prédiction »

Donc modèle généralement comportemental (boite noire) dont l’obtention est alors obtenue à partir d’expériences et à l’aide des statistiques…

Problème dit du « modèle inverse », plus complexe (inverse à relation cause – effet, relation éventuellement multivoque)

49

MODÈLE DE COMPORTEMENT -1-

Modélisation de type « boite noire »

But = prédire une variable

Approche 100% statistique

Modélisation = étalonnage

Les expériences d'étalonnage doivent comprendre tous les cas possibles

(extrapolation risquée…)

50/62

?

26

EXEMPLE: LA PRÉVISION MÉTÉOROLOGIQUE:

OBJECTIF = PRÉDICTION

Approche "connaissance" Approche "comportement"

51/62

qq k

m

espace

sol

Échanges:

•Énergie

•Matière

•Qtité mouvement

Mise en équation…

Acquisition conditions

initiales…

Calculs colossaux…

Modélisation des données

météo et de leur évolution à

partir de statistiques

"Telle situation va statistiquement

aboutir à telle prévision"

Il faudrait des centaines

d'années de données fiables

et fines pour pouvoir prévoir

tous les cas, notamment

les extrêmes.

Mesures

météorologiques

J-5 à J

prévisions

météorologiques

J+1 à J+10

Modèle

Découpage atmosphère en briques élémentaires:

SUR ET SOUS MODÉLISATION

52/62

Sous-modélisation: modèle trop simple par rapport aux expériences et à la

réalité

Sur-modélisation: modèle correct avec les expériences mais trop complexe par

rapport à la réalité, on a modélisé des particularités des expériences (erreur

aléatoire) alors que le modèle doit être universel

Demo

Excel

Adaptation de la complexité du modèle à la réalité du phénomène…

Modèle: fonction paramétrée Y=F(X, A)

•Y=mesures "Yvariables"

•X=variables d'entrée "Xvariables"

•A= paramètres d'ajustement

F

A

X YEx: Y=a0+a1.X1+a2.X2

Le problème est qu’on ne connait pas forcement la réalité…

Principe de parcimonie!

Modèle de comportement

& connaissance

27

SUR ET SOUS MODÉLISATION

53/62

Y

X

loi physique

p=1

sous-modélisation

p=5

sur-modélisation

p=2

OK

Complexité du modèle adapté à la complexité du phénomène …

Nécessité de vérifier la répétabilité des expériences avant de modéliser…

Exemple Excel

SENSIBILITÉS DU MODÈLE(CONNAISSANCE & COMPORTEMENT)

AA

YY

S p

54/62

Modèle: fonction paramétrée Y=F(X, A)

•Y=mesures

•X=variables d'entrée

•A= paramètres "d'ajustement"

F

A

X Y

Sensibilité du

modèle:

Aux paramètres:

X

A

Y

XX

YY

SX

Ex: Y=a0+a1.X1+a2.X2

Aux variables d'entrée,

Et donc aux erreurs aléatoires:

Un bon modèle doit être universel,Et donc peu sensible aux « perturbations »

« on montre » que la sensibilité augmente avec la complexité du modèle

aa

YY

Sa

Principe de parcimonie!

Modèle de comportement

& connaissance

28

SENSIBILITÉ: EXEMPLE, MODÈLE MÉTÉO

55/62

MÉTHODES MATHÉMATIQUES DE MODÉLISATION

56/62

Ajustement de courbe (curve fitting "fittage")

Détermination de la fonction mathématique F décrivant "au

mieux" les points expérimentaux

FXvariables

d'entrée

Yvariables

de sortie

Paramètres d'ajustement

1: choix du type de fonction (ex: mono ou

multivariable, droite, polynôme de degré 3,

exponentielle…) Partie « Connaissance »

2: détermination par calculs statistiques des

paramètres d'ajustement (ex: coefs du

polynôme) ajustant "au mieux" les résultats Y

aux valeurs expérimentales.

Moindres carrés

29

LES MOINDRES CARRÉS (1)

57/62

Modélisation de données expérimentales à l’aide d’une fonction mathématique:

Y

X

Détermination d’un fonction représentant « au mieux » les points expérimentaux

•Choix du type de fonction (ex: polynôme de degré 3)

•Détermination des paramètres (ex: coefficients du polynôme)

« au mieux »:•Tenir compte du principe de parcimonie•Tenir compte des connaissances•Choix d’une distance

LES MOINDRES CARRÉS (2)

58/62

),,..,(),( 1 ipi xaafyXAFYE

On veut modéliser: Y = f(X), en fait, généralement la courbe ne

passe pas par tous les points, on a donc:

Y = f(X) + E où E = « résidu » ou erreur à « minimiser »

),,..,(2

1 i

ipj xaafy

On utilise généralement la distance Euclidienne, on minimisera donc son carré:

« minimale »

Y=(y1…yn)

X=(x1…xn)A=(a1…ap)

N points

expérimentaux

P paramètres

de la fonction f

Trouver les a1..ap tels que:

TP5

30

LA RÉGRESSION LINÉAIRE

Monovariable (y=f(x) ) + hypothèse linéaire (y=ax+b)

2 cas:

59/62

X

Minimisations des erreurs sur Y

Régression de y/x:

ybaxy e

Régression de x/y:

xbyax e ''ˆ'

'

'

1ˆ

a

bx

ay

Attention, une régression de y/x avec des

erreurs sur x (ou l’inverse), entraîne une

erreur systématique sur la pente…

Y

Minimisation des erreurs sur X

X

Y

LA RÉGRESSION LINÉAIRE: Y/X OU X/Y?

60/62

Attention, une régression de y/x avec des erreurs sur x (ou l’inverse), entraîne

une erreur systématique sur la pente…

Différence négligeable dans une majorité de cas…

y = 1.0036x - 0.0354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 0.6669x + 1.6244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

Régression Y/X Régression X/Y

31

RÉGRESSION Y/X: QUELQUES FORMULES…

Estimations de a et b:

61/62

)(

),(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb

Minimisations des erreurs

sur Y

baxy ˆ

Y

Ecart-types:

2n

)y(yi

2

ii

y/x

s

i

xyss

2

i

/

a

)x(x

Des résidus…

De la pente…

MESURE DE LA QUALITÉ D'AJUSTEMENT D'UNE RÉGRESSION

LINÉAIRE:

Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e

information totale = information modélisée + information résiduelle

62/62

Coef. De détermination:

totale)Var(info

modélisée) Var(infodR

)()(

),(

YX

YXCovRc

Coef. de corrélation:

Rd=Rc2

Y

32

LE COEF. DE CORRÉLATION,

UTILISATION:

63/62

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=0.75

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=0.75

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=0.75Le cœfficient de corrélation

ne sert à quantifier que les

relations linéaires entre X et

Yvariables

RÉGRESSION LINÉAIRE: EXAMEN DES RÉSIDUS

Graphe des résidus: mesure - droiteregr.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

courant (mA)

ten

sio

n (

mV

)

64/62

Vérification linéarité

A corriger

éventuellement avec

régression non linéaire

Détection points

aberrants

A éliminer après

vérification et avec

précautions…

Valeurs mesurées

y = 0.5045x - 29.385

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

courant (mA)

ten

sio

n (

mV

)

Ri=yi-(a.xi+b)

Résidu = information non

modélisée, idéalement

erreur aléatoire

TP6

33

RÉGRESSION MULTIVARIABLES LINÉAIRE (MLR):

n Xvariables, p expériences

pnnpp

nn

xaxay

xaxay

,,11

1,1,111

...

...

65/62

p<n: pas de solution…

A=Y.XT.(X.XT)-1

p>n: X non carrée…Mais peut-être quand même une solution au sens des moindres carrés!

XT.(X.XT)-1 est appelée "pseudo-inverse de X

Y= A.X+eyÉcriture matricielle pour les p expériences: À minimiser

•Utiliser fonction "DROITEREG" d'Excel

p=n: peut-être une solution: A= Y.X-1 Résidu ey nul…

(Ex: 2 points pour déterminer 1 droite…)

Demo

Excel TP7

BIBLIO & LIENS UTILES

66/62

Bouquins:

"Statistics for analytical Chemistry" 3 rd ed. J.C. Miller and J.N. Miller John Wiley & Sons, 1998.

"Multivariate Statistical Methods, A Primer" B.F.J. Monley, Chapman & Hall 1986.

"Modélisation et estimation des erreurs de mesure", M Neuilly, CETAMA, Lavoisier, Paris 1993.

Sites WWW: (la plupart en anglais…)

http://www.emse.fr/%7Epbreuil/capmes/index.html: Ce document + exercices sous Excel

http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html: excellent site simple et succinct mais de référence

sur la calcul des incertitudes, ce document s'en est beaucoup inspiré. Un cours plus complet de

statistiques est disponible à : http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/

http://www.agro-montpellier.fr/cnam-lr/statnet/cours.htm: Cours en Français sur les techniques de la

statistique

https://www.predictiveanalyticstoday.com/top-free-statistical-software/: Freewares sur les stats

http://www.deltamu.com/fr/Publications : Deltamu PME de métrologie offrant de nombreuses

ressources

http://www.asqualab.com/documents/qualite/metrologie/19-unites_pifometriques.pdf: Norme pifométrique…

34

LA NORME AFNOR LA PLUS UTILISÉE:

67/62http://www.qualiteonline.com/norme_afnor_pifometrique.pdf