19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009

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MODELISATION DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UNE TETE DE PERCAGE VIBRATOIRE

F. FORESTIERa, V. GAGNOLa, P. RAYa, H. PARISb

a. Laboratoire de mécanique et ingénieries (LaMI), UBP et IFMA, Campus des Cézeaux, 63175 AUBIERE b. Laboratoire des Sciences pour la Conception, l’Optimisation et la Production (GSCOP), 46 Av Felix

Viallet, 38031 GRENOBLE

Résumé : Le procédé de forage grande vitesse vibratoire permet de tripler la productivité des perçages profonds de petits diamètres. Les vibrations axiales auto-entretenue, de la partie mobile de la tête vibratoire, permettent de fractionner le copeau, et facilitent ainsi son évacuation. Pour anticiper d’éventuels risques liés à ces vibrations, un modèle global du comportement dynamique du système {tête vibratoire – électrobroche} est réalisé à partir d’un assemblage de ces constituants. L’un des enjeux de ce modèle est de prendre en compte le comportement réel des interfaces reliant ces composants. Pour cela, dans cet article, une technique d’identification de comportement dynamique des interfaces est étudiée : le couplage de réceptance. Cette méthode, après être rappelée, est utilisée expérimentalement, en traction-compression, pour identifier le comportement dynamique de l’interface entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire. Les paramètres identifiés sont ensuite introduits dans un modèle éléments finis traduisant le comportement dynamique global de la tête vibratoire.

Abstract : High speed vibratory drilling increases the productivity of small diameters deep holes. Self-sustained vibrations of the mobile part of the vibratory head, breaks up chips and ensures their disposal. To anticipate potential risks associated with these vibrations, a global model of the dynamic behavior of the system (head vibratory - spindle) will be performed on a realistic assembly of these constituents. One of the challenges of this model is to take into account the real behavior of interface between these components. In this article, a technique for identifying the dynamic behavior of interace is investigated : the receptance coupling method. This method is first recalled, and is used experimentally in tension-compression, to identify the dynamic behavior of the interface between the mobile and fixed part of the vibratory head. The identified parameters are then introduced into a finite element model of the dynamic behavior of the overall head vibration.

Mots clefs : Forage Grande Vitesse Vibratoire, comportement dynamique, modélisation d’interface, couplage de receptance, Eléments finis.

1 Introduction Dans le forage grande vitesse vibratoire, l’instabilité de la coupe fait vibrer axialement le foret avec une amplitude supérieure à l’avance par dent ce qui permet la fragmentation des copeaux. Les copeaux étant de petite taille, ils peuvent être évacués sans cycle de débourrage ni lubrification. Le forage vibratoire permet ainsi d’augmenter la productivité d’un facteur 3 par rapport aux techniques traditionnelles. Cependant, l’excitation générée par la coupe peut aussi être une source d’endommagement de la tête vibratoire et plus en amont de l’électrobroche sur laquelle elle est montée. C’est pourquoi l’industrialisation du procédé de forage grande vitesse vibratoire nécessite de prédire les conséquences des vibrations sur la machine et plus particulièrement sur les électrobroches. Dans ce but, un modèle du comportement dynamique de l’ensemble {tête vibratoire – électrobroche UGV} sera élaboré à partir d’un assemblage réaliste des différentes entités (Figure 1). Cet article s’intéresse tout particulièrement à l’identification du comportement dynamique de l’interfaces reliant la partie fixe à la partie mobile de la tête vibratoire pour l‘intégrer au modèle éléments finis précisant le comportement dynamique du système global. Les premiers résultats de simulation du

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modèle dynamique de la tête vibratoire sont présentés.

Figure 1 : Décomposition du système {Tête vibratoire - Electrobroche}

De nombreux travaux portent sur l’identification du comportement dynamique des interfaces. Ils peuvent être classés en trois grandes catégories en fonction de la méthode utilisée. On trouve ainsi les méthodes dites modales [1-2], les méthodes temporelles [3-5] et les méthodes utilisant les Fonctions de Réponse en Fréquence (FRF) [6-7], en particulier la méthode du couplage de réceptance [8-14]. Le principe de l’identification du comportement dynamique des interfaces grâce à cette dernière méthode repose sur le fait que la différence entre le comportement dynamique d'un système assemblé et le comportement dynamique de chacun de ses composants est due à l'interface. Parmi les travaux relatifs au couplage de réceptance, on trouve là encore différentes approches. Ren propose de résoudre un système d’équations [9] faisant intervenir un traitement du signal élaboré pour minimiser l’influence des erreurs de mesure. Schmitz et Movahhedy ramènent l’identification à un problème d’optimisation non-linéaire sous contrainte [10-11]. Enfin, Erturk et Ozsahin étudient l’influence des paramètres dans le but de comprendre le rôle de chacun pour ensuite pouvoir les identifier [12-13], débouchant ainsi sur une nouvelle méthode d’indentification [14]. Dans cet article, les équations du couplage de réceptance, reliant le comportement dynamique d’un système assemblé au comportement dynamique de ses composants, sont rappelées. Ces formules de couplage de réceptance sont ensuite inversées pour appliquer la méthode d’identification du comportement des interfaces proposée par Ozsahin. Puis une application à l’identification du comportement de la liaison interne de la tête vibratoire, en traction-compression, est détaillée. Enfin, les résultats issus de cette identification sont intégrés aux nœuds de couplage d’un modèle éléments finis de dynamique des rotors représentatif de la tête vibratoire assemblée.

2 Le couplage de réceptance

2.1 Présentation de la méthode

La notation : jkF

AExtj

ai

AExtk

Fx

≠∀=→

→

=,0

,,

)()(

)(ω

ωωijA désigne la fonction de transfert complexe, appelée

réceptance du système A, dont la sortie est un déplacement en i et l’entrée est un effort en j. Comme l’ont montré Bishop et Johnson [8], en exprimant le déplacement des extrémités des sous systèmes A et B et du système AB en fonction des efforts extérieurs, puis en introduisant des conditions d’assemblage et de compatibilité, on peut exprimer le comportement dynamique du système assemblé ABij en fonction du comportement dynamique de ses composants Aij, Bij et de l’interface H (Figure 2) :

[ ] 212211121111 AHABAAAB 1−++−= (2)

[ ] 211

22112121 BHABAAB −++= (3)

[ ] 211

2211122222 BHABBBAB −++−= (4)

[ ] 121

22111212 BHABAAB −++= (5)

Avec H définie par : A,BFxx →=− 2a2b1 H (6)

Electrobroche

Tête vibratoire

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Figure 2 : Couplage de réceptance de deux solides avec interface

2.2 Identification du comportement des interfaces par couplage de réceptance A partir des équations précédentes, et en s’inspirant de la méthode proposée par Ozsahin [14], en réarrangeant le système, on aboutie aux équations suivantes :

[ ] 112221111112 BAAABAAH −−−= −1 (7)

[ ] 11222112 BABABAH −−= −121 (8)

[ ] 112221222212 BABABBBH −−−= −1 (9)

[ ] 112211 BABABAH −−= −2

1212 (10)

Ces équations montrent, que la connaissance des FRF expérimentales des entités (Aij, Bij) et du système assemblé ABij permet d’extraire le comportement dynamique de l’interface H. Elles sont utilisées dans la partie « Résultats » pour identifier le comportement de l’interface entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire.

3 Elaboration du modèle de comportement dynamique de la tête vibratoire La tête vibratoire est composée de quatre éléments principaux (Figure 3):

- le foret, solidaire de la partie mobile grâce à un système d’attachement. - la partie mobile : masse porte-outil qui possède un mouvement de vibration axiale. - la partie fixe de la tête vibratoire, comprenant entre autre le cône HSK 63A. - un ressort et une douille à bille reliant la partie fixe et la partie mobile.

Figure 3 : Décomposition de la tête vibratoire et modèles poutre de ces deux entités principales

La partie mobile de la tête vibratoire est guidée en translation par l’intermédiaire d’une douille à bille. La rigidité de cette liaison est contrôlée par le ressort. La transmission du couple se fait par obstacle. Dans la suite de cet article, la tête vibratoire est décomposée en deux entités principales : la masse mobile et le foret d’un coté, la partie fixe de l’autre ; reliées par une interface : le ressort de liaison. Cette décomposition a été privilégiée car le comportement de l’interface retenue (le ressort) peut être identifié de deux façons différentes (cf. paragraphe 4.1) permettant ainsi de quantifier la précision de l’identification par la méthode du couplage de réceptance.

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La modélisation numérique de la tête vibratoire s’appuie sur deux volets : - La modélisation par la méthode des éléments finis précisant le comportement dynamique des deux

entités que sont la partie fixe et la partie mobile de la tête vibratoire. - L’assemblage de ces deux modèles élémentaires, en prenant en compte le comportement dynamique

de l’interface identifié par la méthode du couplage de réceptance. La modélisation par la méthode des éléments finis de la partie mobile et de la partie fixe de la tête vibratoire repose sur un modèle de type poutre de Timoshenko. En effet, en raison des dimensions des sections les déformations de cisaillement doivent être prises en compte. Les fonctions de forme utilisées sont cubiques de façon à éviter des verrouillages dus au cisaillement. Le recalage de chaque entité se fait en ajustant le module d’Young, le module de cisaillement et si nécessaire la géométrie des pièces dans le but de minimiser l’écart entre les FRF numériques et celles mesurées expérimentalement sur les composants réels. L’assemblage des deux modèles poutres se fait ensuite bout à bout, par l’intermédiaire d’un élément ressort uniaxial. La raideur de la liaison est celle identifiée grâce à la méthode de couplage de réceptance. La compilation des matrices de rigidité est ensuite effectuée permettant ainsi d’aboutir à une matrice de rigidité globale.

4 Résultats

4.1 Identification du comportement de la liaison entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire

Dans cette partie, nous allons utiliser l’équation (7) pour identifier le comportement dynamique de l’interface reliant la partie mobile de la tête vibratoire à la partie fixe. D’après le paragraphe 2.1, une fonction de transfert traduisant le comportement dynamique de l’interface doit être introduite. La fonction )(1)( ωω cik +=théoriqueH retenue pour l’interface est celle d’un ressort de raideur constante, couplé à un amortisseur en parallèle. L’identification des variables k et c de la fonction de transfert Hthéorique est réalisée en deux temps :

- Tout d’abord la raideur du ressort k est identifiée en recalant la fonction Hthéorique par rapport à la fonction Hexpérimentale (eq. 7). Les résultats de cette identification sont présentés sur la Figure 4a. On peut remarquer, sur la Figure 4b, que la valeur de k retenue est celle qui fait coïncider la fréquence du premier mode propre de la courbe AB11-directe (mesurée directement sur le système assemblé AB) et la fréquence du premier mode propre de la courbe AB11-reconstruite (obtenue à partir des réceptances Aij, Bij et Hthéorique grâce à la formule (2)).

- Le facteur d’amortissement c est ensuite identifié dans le but de minimiser l’écart en amplitude entre la courbe AB11-directe et la courbe AB11-reconstruite. (Figure 5).

Les valeurs identifiées, par la technique de couplage de réceptance, des raideurs des ressorts pour différentes configurations de la tête de perçage vibratoire sont comparées avec des valeurs expérimentales. Les valeurs expérimentales sont obtenues à partir de l’étude du système : {masse de la partie mobile(m1)-ressort

spécifique(k)-masse de la partie fixe(m2)} qui a pour fréquence propre :214

2120 mm

mmkf⋅

+=

π. La fréquence

propre f0 est mesurée lors d’un essai de sonnage et les masses m1 et m2 ont été pesées. Le Tableau 1 récapitule les raideurs identifiées, les raideurs mesurées expérimentalement ainsi que l’erreur relative entre ces deux données.

Ressort 1 Ressort 2 Ressort 3

Valeurs identifiées par couplage de réceptance (N/m) 1.13*106 1.04*106 2.94*105

Valeurs mesurées expérimentalement (N/m) 1.07*106 9.73*105 2.81*105

Erreur relative (%) 4.8 % 6.3 % 4.4 %

Tableau 1 : Comparaison des raideurs identifiées par couplage de réceptance et mesurées expérimentalement

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Figure 4a : Module de Hthéorique et Hexpérimentale Figure 4b : Module de AB11-reconstruite et AB11-directe

Figure 5 : Identification du paramètre c

4.2 Comportement dynamique de la tête vibratoire La valeur de la rigidité, de la liaison entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire, identifiée par couplage de réceptance, permet de définir la raideur de l’élément ressort réalisant l’assemblage des deux modèles poutres. Actuellement, l’amortissement n’est pas pris en compte. Les simulations issues du modèle assemblé sont ensuite comparées aux mesures expérimentales. Sur la Figure 6 : Comparaison entre les FRF, en bout d’outil numériques et expérimentales, des FRF numériques (FRF de traction, ayant pour entrée un effort en bout d’outil et pour sortie le déplacement de ce même point) obtenues pour différentes valeurs de k sont comparées à la même FRF obtenue de façon expérimentale. Les courbes numériques montrent que la liaison entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire ne contrôle que le premier mode du système assemblé. On remarque à nouveau que la valeur de k retenue lors de l’identification est celle qui fait coïncider la fréquence du premier mode propre de la courbe AB11-

expérimentale (mesurée directement sur le système assemblé AB) et la fréquence du premier mode propre de la courbe AB11-numérique (obtenue à partir de l’assemblage des deux modèles poutres). Le pic à 5900Hz correspond au premier mode propre de la partie mobile de la tête vibratoire. Tous les autres modes correspondent à des modes de flexion que notre modèle ne prend actuellement pas en compte.

Figure 6 : Comparaison entre les FRF, en bout d’outil numériques et expérimentales

_ _ : Hexpérimentale / AB11-directe __ : Hthéorique / AB11- reconstruite k=0.5*106 N/m __ : Hthéorique / AB11- reconstruite k=2*106 N/m __ : Hthéorique / AB11- reconstruite k=1.13*106 N/m

__ : AB11- reconstruite

_ _ : AB11-directe

zoom

_ _AB11-expérimentale

__ AB11- numérique k=1.13*106 N/m

__ AB11- numérique k=0.5*106 N/m

AB11- numérique k=2*106 N/m

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5 Conclusion Les équations du couplage de réceptance ont été rappelées. Une technique d’identification du comportement dynamique des interfaces a été développée, puis a été appliquée pour identifier le comportement dynamique de la liaison entre la partie mobile et la partie fixe de la tête vibratoire. Une raideur et un amortissement équivalent ont ainsi été obtenus. Par ailleurs, la raideur identifiée, pour la liaison interne de la tête vibratoire, a été intégrée dans un modèle éléments finis permettant de simuler le comportement dynamique de la tête vibratoire en traction-compression. Les simulations montrent que cette liaison a une influence restreinte au premier mode de traction. Le comportement de la liaison entre le porte outil et l’électrobroche doit maintenant être identifié pour étudier son influence et pour l’intégrer dans le logiciel élément fini permettant ainsi d’obtenir un modèle du système {tête vibratoire – électrobroche} complet. L’exploitation d’un tel modèle permettra de connaître le niveau de sollicitation transmis par le système aux organes sensibles de l’électrobroche. Des règles de conception du système vibratoire et d’optimisation de son utilisation pourront être établies garantissant à la fois la productivité des opérations et la tenue en service des équipements.

Remerciements Ces travaux de recherche s'inscrivent dans le cadre du projet Forage Grande Vitesse Vibratoire (FGVV) de la Fédération de Recherche TIMS/CNRS 2856 financé par le conseil régional d'Auvergne et le Fonds Unique Interministériel (FUI) de la Direction Générale des Entreprises.

Références [1] M.R. GOOD, D.J. MARIOCE. “Using experimental modal analysis to characterize automobile body joints and improve finite element analysis”, Acte de: 7th International Modal Analysis Conference,1989. [2] A.S. NOBARI, D.A. ROBB, D.J. EWINS. “A new modal-based method for structural dynamic model updating and joint identification”, Acte de: 10th International Modal Analysis Conference, 1992. [3] S.F. MASRI, T.K. CAUGHEY. “A non parametric identification technique for non linear dynamic problems”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 46, 1979, pp.433-447. [4] S.F. MASRI, T.K. CAUGHEY. “Non parametric identification of nearly arbitrary non linear systems”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 49, 1982, pp. 619-628. [5] E.F. CRAWLEY, K.J. O'DONNELL. “Force-state mapping identification of nonlinear joints”, American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, Vol. 25, 1987, pp. 1003-1010. [6] J.E. MOTTERSHEAD, R. STANWAY. “Identification of structural vibration parameters by using a frequency domain filter”, Journal of Sound and Vibration, Vol.109, 1986, p.495-506. [7] J.S. TSAI, Y.F. CHOU. “The identification of dynamic characteristics of a single bolt joint”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 125, 1988, pp. 487-502. [8] R.E.D. BISHOP, D.C. JOHNSON. “The Mechanics of Vibration”, Cambridge University Press, 1960. [9] Y. REN, C.F. BEARDS. “Identification of joint properties of structure using FRF data”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 186, 1995, pp.567-587. [10] T.L. SCHMITZ, R. DONALDSON. “Predicting high-speed machining dynamics by a substructure analysis”, Annals of CIRP, Vol. 49, 2000, pp. 303-308. [11] M. MOVAHHEDY, J. GERAMI. “Prediction of spindle dynamics in milling by sub-structure coupling”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 46, 2006, pp. 243-251. [12] A. ERTURK, H.N. OZGUVEN, E. BUDAK. “Analytical modelling of spindle tool dynamics on machine tools using Timoshenko beam model and receptance coupling for the prediction of tool point FRF”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 46, 2006, pp.1901-1912. [13] A. ERTURK, H.N. OZGUVEN, E. BUDAK. “Effect analysis of bearing and interface dynamics on tool point FRF for chatter stability in machine tools by using a new analytical model for spindle tool assemblies”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 47, 2007, pp. 23-32. [14] O. OZSAHIN, A. ERTURK, H.N. OZGUVEN, E. BUDAK. “A Closed-form approach for identification of dynamical contact parameters in spindle-holder-tool assemblies”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 49, 2009, pp. 25-35.