Modélisation du comportement d’un axe vissé chargé par un effort transversal

Conception et Production Intégrées CPI’2007, pages 1 à 16

Modélisation du comportement d’un axe vissé chargé par un effort transversal Etude numérique Sylvain Ruiz – Alain Daidié – Zouhair Chaib Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse (INSAT) Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT) 135 Avenue de Toulouse – 31077 Toulouse France RÉSUMÉ. Cet article présente la démarche qui nous a permis d’élaborer un modèle de calcul destiné à vérifier un assemblage fileté au desserrage sollicité par un effort transversal en porte-à-faux. Pour ce faire, un modèle Eléments Finis 2D spécifique a été réalisé. Ce modèle est constitué d’un super-élément poutre pour la vis et d’éléments quadrangles plan, auxquels une épaisseur équivalente est associée de manière à conserver la rigidité en flexion de l’assemblage, pour l’entretoise. Le contact unilatéral entre le socle et l’entretoise fut l’objet d’une étude afin de programmer une méthode numérique de pénalité pour le contact. Une étude comparative entre un logiciel d’éléments finis 3D et notre modèle 2D programmé a permis de valider notre approche.

ABSTRACT. This paper presents an original numerical approach for dimensioning self-loosening screw assemblies subjected to transverse loading. A numerical model is built up from a two dimensional simplified finite elements model replacing respectively the screw and the plate with beam and shell elements. In this framework, shell elements are associated an equivalent thickness for an accurate representation of the overall assembly bending stiffness. The study of unilateral contact is implemented in a numerical direction method using the penalty algorithm. A comparative study is conducted with 3D finite element results for validation.

MOTS-CLÉS : vis, précontrainte, effort transversal, fatigue, modélisation EF3D, desserrage. KEYWORDS: screw, preload, transverse loading, fatigue, finite element modelling, self loosening.

Modélisation du comportement d’un axe vissé chargé par un effort transversal 2

1. Introduction

Les facteurs qui engendrent le dévissage spontané sont bien connus. On peut citer, en dehors des erreurs de dimensionnement ou de montage, les chocs, les vibrations (Zadok et al. 1997), les variations de température (Zhang et al. 2007), … De nombreuses techniques sont employées depuis longtemps par les constructeurs pour empêcher le dévissage (goupille, rondelle frein ou déformable, colle,...). La multiplication même de ces techniques témoigne de la complexité du problème, et de la difficulté à le résoudre de façon à la fois sûre et économique. Il arrive même que le dispositif censé éviter le dévissage conduise à la rupture de l’assemblage par dépassement du serrage acceptable sur un élément, ou à la détérioration des pièces par un matage superficiel ou lors du démontage. La norme (NF E25-005 2005) distingue le dévissage de l’assemblage, obtenu par une rotation relative des filetages intérieur et extérieur dans le sens d’une séparation des éléments, et le desserrage qui peut résulter d’une diminution de tension dans l’assemblage. Le dévissage s’accompagne toujours d’une diminution de tension, tandis que le desserrage ne s’accompagne pas forcément du dévissage. Le desserrage est un phénomène plus général que le dévissage. Il est discret, car il ne se remarque généralement pas tant que les pièces restent assemblées. Pourtant, même s’il n’est pas accompagné d’un dévissage, ses effets sont souvent dommageables puisque, en diminuant la tension issue de la précharge, il facilite le mouvement relatif des pièces assemblées, et il augmente la probabilité d’une rupture en fatigue. Plusieurs auteurs ont tenté de le modéliser avec plus ou moins de succès (Zadok et al. 1997), (Aziz 2003), (Reid et al. 2005), (Izumi et al. 2005), (Nassar et al. 2006).

Au cours de la vie d’un mécanisme, il arrive fréquemment qu’un assemblage boulonné soit soumis à des variations de sollicitations de couple de rotation, de charge axiale et/ou transversale. Ces sollicitations, superposées aux efforts issus du vissage initial et de la précharge, peuvent engendrer un glissement relatif dans le sens du dévissage. Une étude bibliographique menée par (Aziz 2003) a montré que le dévissage spontané le plus couramment rencontré se produit sous l'effet de sollicitations transversales, quand le déplacement des pièces serrées est suffisant pour que la tête de vis glisse sur sa surface d'appui. Selon la loi de frottement de Coulomb, une force tangentielle minimum, proportionnelle à la force normale d’appui, est nécessaire pour permettre un glissement ; mais si un glissement est déjà imposé par ailleurs aux pièces en contact, une faible force tangentielle suffit à dévier la direction de ce glissement.

L’objectif de l’étude consiste à développer un outil de calcul pour mieux appréhender le dimensionnement d’un assemblage élancé soumis à un chargement transversal en porte-à-faux et modélisé par la Figure 1. Exploitable en bureau d’études à un niveau haut de recherche de solutions, le concepteur anticipera le risque d’un éventuel desserrage. En fonction de la position de l’effort, la structure peut fléchir ou bien glisser. Le comportement mécanique de cet ensemble dépend fortement de la géométrie de la pièce serrée (hauteur de pièce serrée : hP, diamètre


d’appui : DP), du serrage de la vis (précontrainte : F0) et des conditions de contact au niveau du plan de l’interface entre l’entretoise et le support d’appui considéré comme rigide (pression de contact : pc et coefficient d’adhérence : f). Les souplesses en compression de la pièce (δP) et de la vis (δB), ont un rôle fondamental pour le filtrage de l’effort extérieur et ont fait l’objet de plusieurs travaux de publication (Guillot 1987), (E25-030 1988), (Fukuoka et al. 2003). La recommandation VDI (VDI2230 2003) a généralisé le calcul des souplesses pour des assemblages cylindriques. Pour des structures prismatiques Alkatan (Alkatan 2007) applique une formulation qui se ramène à un diamètre de pièce équivalente et propose une nouvelle formule de calcul de souplesse de pièce basée sur l’énergie de déformation.

FT

y

x

Entretoise

Vis

Support

h

DP

hP

dS

FT FT

Figure 1. Modèle d’un assemblage fileté et cas industriel : tendeur de courroie

2. Le modèle 2D

Pour se rapprocher au mieux du comportement de l’assemblage, on développe un modèle de calcul numérique basé sur la théorie de l’élasticité plane. Ce choix permet de concilier le phénomène de compression lié à la précontrainte et la prise en compte de la flexion liée à la position de FT. On considère que le comportement de l’assemblage admet un plan de symétrie (plan de chargement x0y). Une étude comparative réalisée avec un logiciel d’éléments finis 3D permettra de mesurer la fidélité de l’analyse 2D et donc de valider notre approche.

Le modèle présenté sur la Figure 2 est réalisé sur la base d’un squelette identifié par des nœuds appelés principaux. Ces nœuds délimitent le contour de chaque sous-ensemble (entretoise, vis et socle d’appui). Dans un intervalle limité par deux nœuds principaux, on déploie un ensemble de nœuds secondaires associés à des éléments 2D pour l’entretoise et des éléments 1D pour la vis. Le comportement relatif au contact est réalisé grâce à l’interposition d’éléments ressort dont la particularité est de ne travailler qu’en compression. Nous présentons plus en détail le maillage de l’assemblage dans la section suivante.


x y

0

dh

Maillage principal

FT

h h P

DP dW

Maillage secondaire

Nœuds principaux

F0 Ressorts de raideur K

Socle

Vis Entretoise

Zone de contact

Nœuds secondaires

Super élément vis 1D

Elément plaque 2D

Nœud entretoise

Nœud socle

uuee vvee

uuss == 00vvss == 00

Elément de contact

Figure 2. Modèle 2D

2.1. Le maillage de l’entretoise

Le maillage est formé d’éléments quadrangles linéaires (Rockey 1983), dont les côtés de l’élément sont définis précédemment par le nombre de nœuds secondaires. Afin de se rapprocher du modèle 3D, on associe à chaque élément une épaisseur équivalente relative au secteur modélisé. La Figure 3 représente le découpage sectoriel qui permet d’établir l’épaisseur équivalente pour chaque colonne d’éléments. Les éléments au centre du tube délimité par dh représentent la partie du tube où intervient le trou de passage pour le corps de la vis. Les autres éléments du tube, de part et d’autre de dh, représentent au contraire la partie « pleine » du tube de diamètre extérieur DP.

x

z 0

Secteur Ssec iIsec i

x

z

0

Rectangle Ri

Epaisseur é quivalente

Partie correspondant au trou

dh

DP

dh

DP

Gi Gi

dsec i drec i

Secteur Srec i Irec i

Figure 3. Secteurs réels et rectangles modélisés


La plaque maillée correspond à la section médiane qui passe par l’axe de l’entretoise. Sa largeur est égale au diamètre du cylindre extérieur DP, et sa hauteur est équivalente à hP. Afin de se rapprocher de l’analyse 3D du problème et notamment de la forme de l’entretoise, il est nécessaire de donner une épaisseur équivalente à chaque élément du maillage. On discrétise l’entretoise par des plans parallèles pour obtenir un ensemble de secteurs Ssec i. On associe à chacun de ces secteurs une épaisseur équivalente ei qui est fonction du moment quadratique de la section réelle afin de conserver les mêmes caractéristiques de raideur en flexion de la structure. Ainsi, appartenant à un même secteur Ssec i, les éléments d’une même colonne de la plaque ont la même épaisseur. Ces épaisseurs sont calculées à l’aide des moments quadratiques de chaque secteur d’après la relation suivante :

z0/i secz0/i rec II = [1]

avec : - Irec i/0z est le moment quadratique du rectangle i équivalent par rapport à 0z. - Isec i/0z est le moment quadratique du secteur i par rapport à 0z.

En faisant intervenir les moments quadratiques locaux, cette relation devient, d’après le théorème de Huygens :

2i seci secGiz/i sec

2i reci recGiz/i rec dSIdSI ×+=×+ [2]

où : - Irec i/Giz et Isec i/Giz sont respectivement le moment quadratique local du rectangle et le moment quadratique local du secteur i.

- Srec i et Ssec i sont respectivement les surfaces du rectangle i et du secteur i. - drec i et dsec i sont les distances des centres de gravité du rectangle i et du

secteur i par rapport à l’axe central de l’entretoise.

En combinant les expressions du moment quadratique [3] et de la surface i du rectangle i [4], où li est la largueur du rectangle i, on détermine l’épaisseur équivalente ei des éléments associés au secteur i à partir de la relation [5].

12el

I i3

ii rec

×= [3]

iii rec elS ×= [4]

2i reci

3i

2i seci secGiz/i sec

i

dl12l

dSIe×+

×+= [5]

La longueur li étant une dimension prédéfinie par le maillage, on calcule Isec i/Giz, Ssec i, dsec i, et drec i à partir des relations géométriques de base. Cette procédure peut facilement s’étendre à d’autres formes de section (carrée, rectangulaire, profilés en H, U, ...), dans la mesure où il existe un plan de symétrie passant par le vecteur effort FT et l’axe de la vis.


2.2. Modélisation de la vis

La vis est modélisée par un super-élément poutre à deux nœuds, à qui on affecte une matrice de rigidité particulière (Figure 4). Chaque nœud comporte trois degrés de liberté u, v, θ (allongement, flèche et rotation). Le découpage en plusieurs éléments n'est pas nécessaire, les déplacements aux extrémités permettent de calculer les contraintes dans chaque section, c'est-à-dire pour nous, l'effort axial FB de la vis et le moment de flexion MFB. La matrice de rigidité [KB] de la vis intègre la même raideur axiale en traction que le boulon réel en tenant compte d’un calcul d’une section équivalente Ab [6]. La raideur de flexion est calculée à partir d’une valeur Ib équivalente [7] qui intègre la forme du boulon.

hP

1

2

Assemblage réel Super-élément poutre vis avec [KB] = f(Eb, hP, Ab, Ib)

l s + α G

Md

l 0 +

0.4.

d

d

ds

d

l s l 0

d

ds

Modèle pour le calcul de Ab

Modèle pour le calcul de Ib

As

A0

DP

v

u

[KB]

1

2

u2 v2

θb2

u1 v1

θb1

I0

Isx

y [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

P

bb

B

hIE

hIE

hIE

hAE

hIE

hIE

hIE

hIE

hIE

hIE

hIE

hAE

hAE

K

4

612

00

2604

6120612

0000

23

2

2323

2

1

Figure 4. Modèle super-élément vis

Le problème général consiste donc à établir la matrice de rigidité d’une poutre équivalente de longueur hP (hauteur de serrage), de section circulaire Ab, pour un matériau de module d’élasticité Eb (celui de la vis) et ayant les mêmes caractéristiques de raideur que l’assemblage réel. Le calcul de la souplesse en compression [8] intègre l’influence de la tête et de la vis dans le taraudage (αGM = 0.8) (Fukuoka 1994), (VDI 2003), (Feras 2007). La détermination de l’aire de la section équivalente Ab [6] est déduite du calcul de l’expression [8]. En additionnant les souplesses de flexion de chaque tronçon cylindrique, on obtient l’expression de la souplesse équivalente en flexion [9]. Cette relation permet d’en déduire le moment quadratique équivalent Ib [7].

s

GMs

0

0P

b

Adl

Ad4.0l

hA⋅+

+⋅+

=α

[6]

0ss0

s0b IlIl

III+⋅

= [7]

bb

P

s

GMs

0

0

b

PB A.E

hA

dlA

d4.0lEh

≡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+

+⋅+

=αδ [8]

bb

P

s

s

0

0

bFB I.E

hIl

Il

E1

≡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=δ [9]


La liaison entre le super-élément poutre vis et l’entretoise est réalisé au moyen d’éléments rigide, au niveau du nœud supérieur de la vis et des nœuds supérieurs des éléments quadrangles limités à la zone d’appui de la tête de la vis (dW).

2.3. Modélisation du contact

Au niveau de l’interface entre l’entretoise et le support rigide on interpose des éléments de contact pour prendre en compte le comportement de l’adhérence et le décollement éventuel à l’interface. Tout cela est en vue du dimensionnement de l’assemblage vissé. Sur la base des différents travaux (Curnier 2000), (Khenous 2005), plusieurs approches ont été abordés pour appréhender la gestion du contact. Notamment, la mise en œuvre d’une méthode numérique directe dite de Signorini et une autre méthode dite de pénalité. Pour notre d’étude, le faible nombre d’éléments de contact à gérer a montré que la deuxième méthode était plus efficace en temps de calcul. La procédure basée sur une méthode de pénalité gère les ressorts actifs ou inactifs en vérifiant le sens de l’effort normal sur chaque ressort. La section suivante détaille cette procédure.

2.3.1. Méthode de Pénalité

La méthode de pénalité est une méthode numérique pour le contact qui a déjà été éprouvée pour d’autres types de modèles de calcul d’assemblages boulonnés (Leray 2002), (Vadean 2006). Elle se décompose en deux parties. La première est la prise en compte du contact unilatéral uniquement sous l’effet de l’effort de précontrainte. La seconde associe le couplage entre le contact unilatéral et le frottement existant à l’interface de contact entre le socle et l’entretoise.

Des éléments de contact ne travaillant qu’en compression sont créés entre les nœuds du socle et les nœuds de l’entretoise. Ces éléments sont assimilables à des ressorts de raideur Kressort (voir la Figure 2). Pour chaque élément nous avons les relations suivantes :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

i Te

i Ts

i e

i s

ressort Tressort T

ressort Tressort T

FF

uu

KKKK

[10]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

i Ne

i Ns

i e

i s

ressort Nressort N

ressort Nressort N

FF

vv

KKKK

[11]

Le principe de cette méthode consiste à ajouter ou supprimer des éléments de contact après avoir vérifié l’existence ou non d’un contact entre ces deux pièces. Nous vérifions les statuts de contact par un test sur les conditions de déplacement des nœuds de l’entretoise. Si en un nœud de contact de l’entretoise la condition de déplacement est positive alors la liaison est supprimée. Il n’y a donc pas contact entre les deux pièces en ce nœud. A l’inverse, si en un nœud de contact de l’entretoise la condition de déplacement normale est négative, il existe un contact (ou une pénétration), la liaison entre les deux nœuds est conservée. On a donc


contact entre les nœuds de l’entretoise et du socle. On boucle jusqu’à ce que les mêmes statuts de contact soient obtenus à deux itérations successives.

2.3.2. Remarques sur la procédure

Quelques itérations suffisent à atteindre la convergence du système. Toutefois, dans le cas où la zone de contact est maillée avec des éléments trop grands, le statut du système de résolution peut osciller entre décollement et contact. Dans notre contexte, la simplicité de la géométrie de base permet d’accepter un raffinement du maillage et ainsi supprimer le défaut.

3. Conditions aux limites

Une première étape consiste à appliquer une force verticale descendante sur le nœud inférieur de la poutre de manière à simuler la mise en précontrainte de l’assemblage vissé (Figure 5). En récupérant le déplacement associé à cet effort initial, dans une deuxième étape, on ajuste la précharge de la vis souhaitée en calculant le nouveau déplacement associé u0, grâce à une règle de proportionnalité (étude dans le domaine élastique). Ce nouveau déplacement servira de conditions limites lors de la résolution pour le cas de chargement correspondant à la force transversale.

Le chargement de l’effort transversal FT est localisé sur un nœud situé sur la génératrice de l’entretoise à la hauteur h. L’effet de cet effort ponctuel va provoquer une déformation locale importante. Comme, l’objectif final consiste à examiner l’influence de ce chargement sur le comportement global de la pièce et de la vis, les résultats finaux ne seront pas affectés par cette déformation très localisée.

Vis

Entretoise

Socle 2

1

Etape 2 : Déplacements imposés

Force transversale FT

Etape 1 : Précontrainte F0 imposée

v2 = 0u2 = u0θ2 = 0

Vis

Entretoise

Socle 2

1

h

F0

Figure 5. Conditions aux limites


4. Programme de calcul

Les inconvénients du modèle 3D (temps de préparation d’un modèle, accessibilité à un code éléments finis,...), nous ont poussé à créer un modèle 2D grâce à un programme interactif capable de vérifier le comportement de l’efficacité du serrage de l’assemblage sous une sollicitation d’un effort transversal statique et éventuellement sous un chargement dynamique (tenue à la fatigue).

Les grandes étapes de l’ensemble du programme sont schématisées par l’organigramme de la Figure 6. L’acquisition des données et la lecture des résultats sont réalisées à partir d’une interface graphique développée en langage Visual Basic.

Variables d’entrées

Variables de sorties

Fichier texte de données

Fichier texte de résultats

Interface : axe chargé transversalement

Assemblage des matrices élémentaires

Interface : axe chargé transversalement

Programme C

Lecture des données

Maillage des sous-ensembles

Calcul avec CL et Gestion du contact

Ecriture des Résultats

Figure 6. Organigramme du programme

5. Le modèle 3D

Un modèle éléments finis 3D a été réalisé avec le logiciel IDEAS (UGS 2006), prenant en compte le contact entre l’entretoise et le socle. Le modèle a été conçu de manière à ce qu’il soit associatif avec une géométrie paramétrée pour explorer plusieurs configurations géométriques et de hauteurs de chargement. Le modèle représente un demi-assemblage avec une condition limite de symétrie dans le plan du chargement (plan x0y). Le chargement transversal correspond à demi-chargement de l’effort FT du modèle 2D programmé. Les conditions de mise en œuvre de la précharge sont similaires à celles qui sont préconisées dans le programme de calcul. La vis est modélisée en volumique et sa base est bloquée suivant les directions x et z. Un déplacement imposé négatif u0, suivant l’axe y, simule le chargement initial F0. Le maillage de l’entretoise et du socle est réalisé avec des éléments


hexaédriques. A l’interface de contact, il existe le même nombre d’éléments de part et d’autre des pièces afin d’assurer un meilleur comportement de la gestion du contact. Le matériau modélisé pour l’entretoise est de l’acier dont les propriétés mécaniques sont similaires à celle de la vis (Module d’élasticité longitudinal : EP = Eb = 206800 MPa et coefficient de poisson : νP = νb = 0,29).

Entretoise

Vis

Socle dS

DP

dhh

k y

x

hP FFTT//22dW

Plan de symétrie

Zone de contact

Encastrement de la base du socle

uu00

Figure 7. Modèle 3D et conditions aux limites

Le temps de réalisation du modèle 3D et le temps de calcul sont relativement longs (environs 20 minutes avec un PC P4 CPU de 2,04 GHz et 1024 Mo de mémoire RAM).

6. Etude comparative

6.1. Domaine d’étude

Données du calcul Vis H M10 Q10.9 Vis H M12 Q10.9 dW = 20 mm dW = 20 mm k = 6.5 mm k = 7.5 mm dS = 8.593 mm dS = 10.358 mm (σ0 = 441 MPa soit 50% Revis) F0 = 25575 N F0 = 37160 N DP = 20 mm dh = 11 mm hP = 40 mm FT : variable (1 à 10 kN) h : variable (6 – 20 – 35 mm) Coefficient d’adhérence : f = 0.2

z

x

Pression de contact (MPa)

FT/2 = 2 kN h = 35 mm

Contrainte normale σyy (MPa)

FT/2

Zone décollée

Exemple pour une Vis M10

Figure 8. Modèle 3D de calcul


Une série de tests a été réalisée en faisant varier la hauteur d’application de la force transversale et son intensité. Tout d’abord, la force transversale est placée proche de la tête de la vis donc la flexion devrait être prédominante. Ensuite, la force transversale est placée dans un cas intermédiaire avec une hauteur de force représentant la moitié de la hauteur de l’entretoise. Et pour finir, nous avons fait un test avec une position basse de la force transversale, à proximité de la zone de contact. Dans ce cas, le risque de glissement devrait être élevé. Les caractéristiques de l’assemblage retenu sont données par le tableau de la Figure 8.

6.2. Analyse et discussion des résultats

L’objectif de notre étude est de vérifier le dimensionnement de l’élément fileté. Pour chaque modélisation, on souhaite comparer les résultats de l’effort normal de la vis Fb, le moment de flexion au niveau du bas du corps de la vis (équivalent au 1er filet en prise), donnés par notre programme et ceux obtenus par le logiciel éléments finis. Afin de mieux identifier le comportement de la vis, nous nous intéressons aux suppléments d’effort (ΔFb = Fb-F0) et de moment de flexion (ΔΜFb = MFb-MF0) dans la vis. Comme la structure est complètement symétrique, le moment de flexion dans la vis, sous la seule sollicitation de la précontrainte, est nulle (MF0 = 0 N.mm). Le choix de travailler en suppléments permet de mieux mettre en évidence l’évolution non linéaire des sollicitations tout en évaluant la cohérence du comportement global du programme de calcul.

6.2.1. Evolution des suppléments des charges en fonction de FT

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2000 4000 6000 8000 10000

ΔFb EF int (h=35 mm)

ΔFb prog (h=35 mm)


ΔFb prog (h=20 mm)


ΔFb prog (h=6 mm)

Limite adhérence

Δ Fb (N)

FT (N)

Domaine du Glissement

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 2000 4000 6000 8000 10000

ΔFb EF int (h=35 mm)ΔFb prog (h=35 mm)ΔFb EF int (h=20 mm)ΔFb prog (h=20 mm)ΔFb EF int (h=6 mm)ΔFb prog (h=6 mm)Limite adhérence

ΔΜFb (Nmm)

FT (N)


a : Supplément d’effort ΔFb b : Supplément de moment ΔMFb

Figure 9. Evolution des sollicitations dans la vis pour h = 35, 20 et 6 mm

Les courbes de la Figure 9 montrent l’évolution des suppléments d’effort suivant l’axe des ordonnées y dans la vis et des suppléments de moments de flexion autour de l’axe z, en fonction de la force transversale et de la position h. Nous appliquons une précontrainte de 441 MPa, soit 50% de la limite élastique d’une vis de classe 10.9. On applique un chargement transversal progressif de 1000 à 10000 N. On constate que ces suppléments de chargement dans la vis évoluent d’une manière non


linéaire. Les courbes des suppléments d’effort du programme corrèlent bien les courbes issues du calcul 3D. Dans le cas des suppléments de moment de flexion dans la vis, les allures sont similaires aux courbes du calcul 3D, mais avec un écart plus important que pour les suppléments d’effort. La raison provient du choix de la modélisation retenue pour la liaison entre la tête de la vis et de la pièce. La tête de la vis est matérialisée par des poutres rigides dont les nœuds sont couplés avec ceux de la pièce. Par conséquent, le comportement en flexion sous tête s’en trouve légèrement sous-estimé. On remarque également que la position de l’effort transversal a une grande influence sur la variation de l’effort dans la vis. Pour un h faible donc proche du plan de contact, l’évolution de ΔFb est quasi-linéaire, à l’inverse des autres positions d’application de FT.

6.2.2. Etude en statique

Pour un calcul en charge maximale ou en charge exceptionnelle (cas statique), l’expression de la contrainte normale dans la vis [12], correspond à la somme de la précontrainte et du supplément de contrainte normale [13].

b0b σΔσσ += [12]

3s

b2s

bb

d MF32

d F4

πΔ

πΔσΔ += [13]

La Figure 10 présente le comportement en contrainte normale σb pour deux diamètres de vis (M10 et M12) et deux valeurs de précontrainte σ0 (50 et 70% Re). Le choix de s’intéresser à ces deux valeurs de précontrainte est en accord avec les moyens de serrage couramment utilisés dans les ateliers de production (visseuse et clé dynamométrique). Ces valeurs représentent les bornes effectives liées à la dispersion de l’outil de serrage.

Si l’on s’intéresse aux deux cas extrêmes de position de FT, on remarque sur la Figure 10 que pour la position basse (h = 6 mm) le supplément de contrainte est faible. La contrainte normale dans la vis, sous sollicitation, est proche de la valeur de la précontrainte σ0 et elle reste très éloignée de la limite élastique. Pour cette position de chargement, le risque prépondérant de défaillance est le glissement. Les marques orange ombrées de la Figure 10 matérialisent la limite d’adhérence. Pour la vis M10, le changement de précontrainte permet de repousser cette limite de 5000 N à 7000 N. Le passage à une vis supérieure (M12), avec une précontrainte de 50 % de Re, permet d’augmenter cette limite à 9000 N. Le risque de glissement est même supprimé pour un serrage à 70% de la limite élastique, pour la plage de FT étudiée.

Pour une position haute de l’effort transversal (h = 35 mm), la flexion est prépondérante. Cela se traduit par un supplément de contrainte élevé qui peut nuire à la tenue de l’assemblage. Si l’on analyse les courbes de la Figure 10, il existe deux risques de défaillance : le glissement si la contrainte normale dans la vis est


inférieure à la limite élastique et la plastification lorsque le diamètre de la vis et la précontrainte sont élevés (cas vis M12, σ0 = 70% Re).

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Limite statique (Re=882 MPa)σb prog M12 (σ0=70%Re)σb prog M12 (σ0=50%Re)σb prog M10 (σ0=70%Re)σb prog M10 (σ0=50%Re)

σb (MPa)

FT (N)

h =6 mm

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Limite statique (Re=882 MPa)σb prog M12 (σ0=70%Re)σb prog M12 (σ0=50%Re)σb prog M10 (σ0=70%Re)σb prog M10 (σ0=50%Re)

σb (MPa)

FT (N)

h =35 mm

Figure 10. Evolution de la contrainte normale σb en fonction de σ0 pour deux diamètres de vis (M10 et M12)

6.2.3. Etude en fatigue

Si l’on souhaite introduire un comportement dynamique en faisant varier l’effort transversal (0 ≤ FT ≤ FTmax), l’étude en fatigue de la vis conduit à calculer la contrainte alternée (σac). Des travaux sur le comportement en fatigue des vis de qualité standard (Guillot 1987), (VDI 2003), (Fares 2006), ont montré que la contrainte alternée était quasi indépendante de la valeur de la contrainte moyenne (dans notre cas, la valeur de l’état précontraint). A partir de la connaissance du supplément de contrainte dans la vis (Δσb) on calcule σac par l’expression [14]. La limite de tenue à la fatigue est déterminée grâce à l’expression [15] issue de la Recommandation VDI (VDI 2003). La courbe horizontale bleue sur les graphes de la Figure 11 représente cette limite admissible en fatigue σS.

2b

acσΔσ = [14]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=≤ 45

d15085.0sac σσ [15]

Pour une vis de type M10 et pour un nombre de cycles Nc ≥ 3.106, la contrainte alterné (ou ½ supplément de contrainte normale Δσb) doit être inférieure à une valeur proche de 50 MPa. Les valeurs qui se situent au-delà de cette limite ne sont intéressantes que pour vérifier la bonne cohérence de l’évolution des courbes dans le cadre de la validation du programme. Les résultats du modèle 2D sont très cohérents avec ceux donnés par le modèle 3D (Figure 11). Pour cet exemple, le risque de défaillance en fatigue est prépondérant pour une position haute du chargement.


0

50

100

150

200

0 2000 4000 6000 8000 10000

σac b EF (h=35 mm)σac b prog (h=35 mm)σac b EF (h=6 mm)σac b prog (h=6 mm)Limite fatigueLimite adhérence

σac (MPa)

FT (N)


Vis M10

0

50

100

150

200

250

300

0 2000 4000 6000 8000 10000

Limite fatigue σs (VDI 2003)σac b prog M12 (σ0=70%Re)σac b prog M12 (σ0=50%Re)σac b prog M10 (σ0=70%Re)σac b prog M10 (σ0=50%Re)

σac (MPa)

FT (N)

Figure 11. Evolution de la contrainte alternée σac

6.2.4. Analyse de l’évolution du contact

La connaissance des efforts nodaux au niveau des éléments de contact, permet d’identifier l’intensité de l’effort transversal qui correspond à la limite d’adhérence. Pour l’exemple de la Figure 8 (Vis M10), le programme de calcul définit une limite d’adhérence à 5000 N. Au-delà de cet effort transversal, l’entretoise glisse. Ce comportement est corrélé avec les éléments finis 3D où l’on constate que la pression de contact est restreinte à moins de la moitié de la zone d’appui (voir Figure 8). Dans cette configuration géométrique de pièce élancée avec une zone d’appui faible, cette valeur de limite d’adhérence est retrouvée pour l’ensemble des hauteurs d’application de l’effort extérieur.

DP (mm) F0 F1KN F2KN F3KN F4KN F5KN F6KN F7KN F8KN F9KN F10KN-10 G G G G G G G G G G D

G G G G G A A A A A AG A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A GA A A A A A A A A G GA A A A A A A A A G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G G

0 A A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A G G G

A A A A A A A A A G GA A A A A A A G G G G

A A A A A G G G G G GA A A G G G G G G G G

G G G G G G G G G G GG G G G G G G G G G G

10 G G G G G G G G G G G

A A A A A A A A G G GComportement global

Comportement local

F0 F1KN F2KN F3KN F4KN F5KN F6KN F7KN F8KN F9KN F10KNG G G G G G D D D D DG G G G G G D D D D DG G G G G G G D D D DA A A A A A A G D D DA A A A A A A A D D DA A A A A A A A A D DA A A A A A A A G G DA A A A A A A G G G DA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A G G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A G G GA A A A A A A A A G GA A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A GG G G G G G G G G G GG G G G G G G G G G GG G G G G G G G G G G

A A A A A A A A G G GComportement global

Comportement localF0 F1KN F2KN F3KN F4KN F5KN F6KN F7KN F8KN F9KN F10KNG G G G D D D D D D DG G G G D D D D D D DG G G G D D D D D D DA A G G G D D D D D DA A A A G D D D D D DA A A A A D D D D D DA A A A A G D D D D DA A A A A A D D D D DA A A A A A D D D D DA A A A A A G D D D DA A A A A A A D D D DA A A A A A A D D D DA A A A A A A D D D DA A A A A A A G D D DA A A A A A A G D D DA A A A A A A A D D DA A A A A A A A G D DA A A A A A A A A D DA A A A A A A A A G DA A A A A A A A A A GA A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A AG G A A A A A A A A AG G G G G G G G G G GG G G G G G G G G G G

A A A A A A A A A G GComportement global

Comportement local

h = 6 mm h = 20 mm h = 35 mm

Figure 12. Evolution du contact Pour une vis M10 précontrainte à σ0 = 70%Revis

La Figure 12 concerne la même configuration d’assemblage, mais avec une précontrainte de σ0 = 617 MPa. Elle représente des cartographies de la distribution et de l’évolution du contact pour trois positions du chargement. Les lignes de chaque carte représentent le comportement nodal au contact (A : Adhérence ; G : Glissement ; D : Décollement). Les colonnes concernent l’état de chargement sur la


pièce. La progressivité du chargement, depuis l’état précontraint (F0) à l’état final (F10kN), donne une allure de l’évolution des zones actives (en adhérence) et des zones inactives (glissement ou décollement). La ligne inférieure de chaque carte représente le comportement global de l’assemblage. On remarque que, dans ce cas, la limite d’adhérence se situe pour un FT de 7000 N, pour une position basse et médiane de l’effort d’application. Cette limite s’est déplacée à 8000 N pour une position haute de l’effort. Ce dernier cas favorise la flexion de l’assemblage tandis que les deux premiers cas sont plus sensibles au glissement.

7. Conclusion

Cette étude a permis de réaliser un programme de calcul rapide permettant de dimensionner un assemblage fileté. Il est destiné à une recherche de solutions d’assemblage dès la phase de conception préliminaire. L’attribution d’une épaisseur à un élément plaque en contrainte plane et le calcul de cette épaisseur de façon à conserver la rigidité en flexion de l’assemblage est validé. On observe une bonne approximation du comportement de l’assemblage. La hauteur d’application de la force transversale h ainsi que la précontrainte F0 sont des paramètres déterminant dans le comportement de la structure. Une force transversale appliquée au voisinage de la tête de la vis génère un supplément de contrainte important et favorise la flexion. Pour des charges transversales élevées la zone de décollement est importante et favorise la perte d’adhérence. Ce supplément de contrainte peut être diminué par l’application d’une précontrainte plus élevée. Cependant, il est nécessaire de vérifier qu’il n’existe pas un risque de plastification de la vis. La position basse de l’effort FT minimise la flexion, mais le risque de glissement est prépondérant. Les résultats obtenus sont en accord avec les lois de la mécanique et sont aussi comparables aux résultats donnés pour une modélisation 3D de l’assemblage. Notre étude a porté essentiellement sur une entretoise de type cylindrique ou rectangulaire, mais notre programme est utilisable pour toutes les formes géométriques d’entretoise avec un plan de symétrie dans le plan d’application de l’effort FT.

6. Bibliographie

Alkatan F., Stephan P., Sartor M., Guillot J., « Raideurs équivalentes des pièces prismatiques assemblées », CPI 2005, 09-11 nov 2005, Casablanca, Maroc, p. 1-11.

Alkatan F., Stephan P., Daidié A., Guillot J., “Equivalent Stiffness of Various Components in Bolted Joints Subjected to Axial Loading”, Finite Elements in Analysis and Design, vol. 43, n° 8, 2007, p. 589-598.

Aziz H., Etude du dévissage spontané des assemblages boulonnés, Thèse de Doctorat N° 685, INSA de Toulouse, 2003, p. 1-251.


Curnier A., « Méthodes numériques en Mécaniques des solides », Presse Polytechniques et Universitaires Romandes, ISBN: 2-88074-247-1, 2000, p. 1-352.

Fares Y., Chaussumier M., Daidié A., Guillot J., “Determining the life cycle of bolts using a local approach and the Dang Van criterion”, Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, vol 29, n° 8, 2006, p. 588-596.

Fukuoka T., “Analysis of the Tightening Process of Bolted Joint with a Tensioner Using Springs Elements”, ASME J. Pressure Vessel Technology, vol 116, 1994, p. 443-448.

Guillot J., « Assemblage par éléments filetés ; modélisation et calculs », Ed. Techniques de l’ingénieur, Tome 1 B5560 à B5562, 75006, Paris, 1987, p. 1-56.

Izumi S., Takashi Y.; Iwasaki A.; Sakai S., “Three-dimensional finite element analysis of tightening and loosening mechanism of threaded fastener”, Engineering Failure Analysis, vol. 12, n° 4, 2005, p. 604-615.

Khenous H. B., Problèmes de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élastostatique et élastodynamique, Etude mathématique et résolution numérique, Thèse de Doctorat N° 801, INSA de Toulouse, 2005, p. 1-134.

Leray D., Outil de dimensionnement de fixation boulonnée de couronnes d'orientation, Thèse de Doctorat N°673, INSA de Toulouse, 2002, p. 1-163.

Nassar S. A., Housari, B. A., “Effect of thread pitch and initial tension on the self-loosening of threaded fasteners”, ASME Journal of Pressure Vessel Technology, vol. 128, n° 4, 2006, p. 590-598.

Norme E25-005, , Elements de fixation – Méthodes d’essai, AFNOR Publications, novembre 2005, ICS 21.060.01, p. 1-23.

Norme E25-030, August 1984, Fasterners. Threaded connections. Design, calculation and mounting conditions, AFNOR Publications, 2nd version, February 1988, ICS 21.060.01, p. 1-73.

Reid J. D., Hiser N. R., “Detailed modeling of bolted joints with slippage”, Finite Elements in Analysis and Design, v 41, n 6, March, 2005, pp 547-562.

Rockey L., Evans R., Griffiths W., Nethercot D., The finite element method: A basic introduction, 2nd edition, New York, Halsted Press, 1983, ISBN B000ID1FGM, p. 248.

UGS PLM Solutions Inc., I-DEAS Simulation Product Software, Release 11, 2006, 5400 Legacy Drive, Plano, Texas 75024, http://www.ugs.com.

Vadean A., Leray D., Guillot J., “Bolted joints for very large diameter bearings - Numerical model development”, Finite Elements in Analysis and Design, vol. 42, n° 4, 2006, p. 298-313.

VDI 2230 BLATT 1. Systematische berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen Zylindrische Einschraubenverbindungen, VDI Richtlinien, ICS 21.060.10, VDI-Gesellschaft Entwicklung Konstruktion Vertrieb, Fachberuch Konstruktion, Ausschuss Schraubenverbindungen, Février 2003, p. 1-169.

Zadoks R.I, Yu X, “An investigation of the self-loosening behavior of bolts under transverse vibration”, Journal of Sound and Vibration, vol 208, n 2, 1997, p. 189-209.

Zhang M., Jiang Y., Lee C-H, “Finite element Modeling of self-loosing of bolted joints”, ASME J. Mech. Design, vol. 129, n° 2, 2007, p. 218-226.

Modélisation du comportement d’un axe vissé chargé par un effort transversal

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