Modélisation des maladies transmissibles

Séminaire sur les maladies transmissiblesJournée DES du 3 octobre 2011

Caroline Savalle Nicolas Griffon

22

DéfinitionModéliser, c’est convertir un problème concret, issu

du monde réel, en termes de nature mathématiquesPour lui appliquer les outils, les techniques et les

théories mathématiques…Et trouver des solutions concrètes !

Nécessité d’alimenter le modèle : ObservationsHypothèses

33

Différents types de modèles

x Susceptibles

y Infectés

α z Retirés β

τ: immunité temporaire

γ : vaccination

δ1

δ2 δ3

Mort

Naissance

ν

44

Le modèle SIR

α le taux d’infectionΒ le taux de retrait

x Susceptibles

y Infectés

α z Retirés β

)()()(

)()()()()(

)()()()(

tttt

tttttt

ttttt

yzzyyxyy

yxxx

55

Situation épidémiqueUne épidémie suppose une augmentation du

nombre de personnes infectées :

Théorème de seuil

1)(

)(

)()()(

t

t

ttt

xx

yyx

66

Taux de reproduction

C’est le nombre de cas secondaires directement infectés par une unique personne infectieuse,

placée dans une population totalement susceptible à la maladie.

)(

)(t

txR

NR

0

77

Enrayer une épidémie Augmenter β :

Traiter les casDiminuer α :

Port de masqueLavage des mains

Diminuer x(t)Vacciner la population :

011R

CV

88

Exemples empiriquesMaladie R0 Couverture vaccinale

d’enrayementGrippe 1,5-

2,533%-60%

SRAS 2-3 50%-67%Rougeole 15-

2093%-95%

Variole 4-5 75%-80%Chikungunya

3-5 67%-80%

Ebola 3-4 67%-75%

99

Intervalle intergénérationnelDurée D entre la

survenue d’un cas index et la survenue des cas fils

Estimation de l’incidence : DtRI /

0

D D D D

1010

Exemples empiriquesMaladie R0 Intervalle

intergénérationnel (jours)

Grippe 1,5-2,5 2-4Rougeole 15-20 15SRAS 2-3 10Variole 4-5 20Chikungunya 3-5 10-15Ebola 3-4 8-10

EXEMPLES

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Exemple 1 : Bernouilli et la variole

Tenter de savoir si l'inoculation de la maladie présente plus d'avantages que de risques pour la population sujette à cette épidémie.

12

Étape 1 : retenir les hypothèses« Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite

vérole, pour ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette maladie, qu’en la supposant d’un huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant »

« Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je l’ai un peu diminué, en le faisant d’un huitième »

...

1313

Étape 2 : mettre en équations Modèle SIR avec mortalité

1414

)()()()()1(

)()()()()1(

81

8181

ttttt

ttttt

xmxNN

xmxxx

Étape 3 : résoudre les équations

Laissons faire les mathématiciens...

1515

Étape 4 : analyser les résultats et la validité de la modélisation Impact de l’éradication de la maladie :

4 années d'espérance de vie supplémentaires« … je me suis attaché surtout, à exposer dans une même Table les deux états de l’humanité, l’un tel qu’il est effectivement, et l’autre tel qu’il serait si on pouvait affranchir de la petite vérole tout le genre humain. J’ai pensé que le parallèle de ces deux états en expliquerait mieux la différence et le contraste, que ne ferait le plus ample commentaire… »

Plaidoyer pour la variolisationRisque individuel et bénéfice collectif

1616

Exemple 2 : Ross et le paludisme2 camps s’affrontent :

Éradiquer les moustiques éradiquer le palu

Éradiquer les moustiques éradiquer le palu

R Ross modélise le paludisme pour étayer sa théorie

1717

Étape 1 : formulation d'hypothèsesModèle SI double

1818

Étape 2 : mise en équation

1919

Étape 4 : conclusionsThéorème du moustique de Ross :

Réduction de la population de moustiques pour combattre le paludisme

Éradication des moustiques non nécessaireDiminuer le R0

R0 dépend de beaucoup d'autres facteurs que le nombre de moustique

Lutte anti-vectorielle et disparition du paludisme dans certaines régions

2020

2121

Bibliographiehttp://lertim.timone.univ-mrs.fr/Ecoles/infoSante/

2007/supports_ppt/lundi%2016%20juillet/Flahault_Corte_0707.pdf

http://mbb.univ-montp2.fr/MBB/uploads/sallet.pdf

Boelle PY. La modélisation des épidémies de maladies émergentes : les exemples du chikungunya et de la pandémie grippale. Responsabilité & Environnement. 2008(07);51:49-55

Dartois Y. Modélisation des épidémies. IREM

« Un exemple de modélisation » par Annette Leroy2222