Modèle dynamique d'un robot

UFR des Sciences, Département EEA

M1 EEAII Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

E-mail: [email protected]!

Année Universitaire 2014/2015

http://home.mis.u-picardie.fr/~fabio/Teaching.html

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Plan du cours

Chapitre 1 : Généralités

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot

1.3 Classification des robots

1.4 Caractéristiques d’un robot

1.5 Les générations de robot

1.6 Programmation des robots

1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Degrés de liberté - Architecture

2.1 Positionnement

• Rotation et représentation de la rotation

• Attitude et matrices homogènes

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Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un robot

2.2 Cinématique

• Vitesse d’un solide

• Vecteur vitesse de rotation

• Mouvement rigide

• Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

• Convention de Denavit-Hartenberg

• Modèle géométrique direct

• Modèle géométrique inverse

3.2 Modèle cinématique

• Jacobien direct d’un robot

• Jacobien inverse d’un robot

3.3 Modèle dynamique

• Equation d’Euler-Lagrange

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• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour: • La simulation du mouvement

• Analyser la structure d’un robot

• Le développement d’algorithmes de contrôle

Modèle dynamique d’un robot

• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange • Conceptuellement simple et systématique

2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

• Elle produit un modèle de façon récursive • Plus avantageuse du point de vue computationnel que la formulation de Lagrange

• De manière similaire au cas cinématique, on peut encore définir: • Un problème dynamique direct (trouver les accelerations )

• Un problème dynamique inverse (trouver les couples articulaires ) τ (t)

q̈(t)

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• Le modèle dynamique d’un manipulateur nous permet de décrire la relation entre les couples des actionneurs sur les articulations et le mouvement de la structure.

• Lorsque les variables

• Avec la formulation de Lagrange les équations de mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du référentiel que nous avons choisi.

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

ont été fixées (elle décrivent la position des segments d’un manipulateur à n DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées, de la manière suivante:

qi, i ∈ {1, . . . , n} “coordonnées généralisées”

Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale

L

L = T − U

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• Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:

• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:

où


• Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:

• Les couples des actionneurs sur les articulations • Les forces de frottement sur les articulations • Les couples sur les articulations générées par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement

d

dt

∂ L∂ q̇i

− ∂ L∂ qi

= ξi, i ∈ {1, . . . , n}

ξi qiest la force généralisée associée à la coordonnée généralisée

où, pour un manipulateur (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires q

d

dt

�∂ L∂ q̇

�T

−�∂ L∂ q

�T

= ξ

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• Les équations de Lagrange:

• Ces équations nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système

nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur, et les positions, vitesses et accelerations des variables articulaires, c’est-à-dire


d

dt

∂ L∂ q̇i

− ∂ L∂ qi

= ξi, i ∈ {1, . . . , n}

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

qi, q̇i, q̈i, i ∈ {1, . . . , n}

ξi

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θ

θmmoteur

: longueur de la tige

: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation et son coefficient de frottement visqueux

: moment d'inertie de la tige et son coefficient de frottement visqueux

r

rm

: rayon des engrenages côté tige et côté moteur

: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas)

: couple engendrée par le moteur

: masse de la tige et accélération de la pesanteur

�Im, Fm

I, F

r, rm

θ, θm

m, g

cm

kr = r/rm : braquet

θ = 0

Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]

F

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θ

θmmoteur

Si on choisit comme coordonnée généralisée, l’énergie cinétique du système est:

r

rm

θ

T =1

2I θ̇2 +

1

2Im k2r θ̇

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En outre, l’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:

U = mg � (1− cos θ)

F

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Le lagrangien du système est donc:

Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange suivante (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):

L = T − U =1

2I θ̇2 +

1

2Im k2r θ̇

2 − mg � (1− cos θ)

d

dt

∂ L∂ θ̇

− ∂ L∂ θ

= ξ

on trouve:

θ

(I + Im k2r) θ̈ + mg � sin θ = ξ

La force généralisée est donnée par plusieurs de contributions: la couple d’actionnement au côté tige, et les couples de frottement visqueux , (la dernière couple a été reportée au côté tige):

ξ−F θ̇ −Fm k2r θ̇

ξ = τ − F θ̇ − Fm k2r θ̇


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Conclusion: Nous trouvons ainsi le modèle dynamique complet du système, sous la forme d’une équation différentielle ordinaire du second ordre:

On verra la prochaine leçon comment calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’un un manipulateur générique avec n segments rigides, pour trouver son modèle dynamique (les “équations du mouvement’’) avec la formulation de Lagrange.

(I + Im k2r) θ̈ + (F + Fm k2r) θ̇ + mg � sin θ = τ

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