Suites Numériques :

Définition 1 : Une suite numérique notée (��)� ∈ � ou (��) est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels IN

.L’image de tout nombre n de IN par cette suite est un nombre réel noté �(�) ou �� et appelé terme d’indice n de la suite . On

note

La suite (��) est une succession ordonnée de nombres réels et . est appelé le terme général de la suite ().

Vocabulaire :

• Dans un repère du plan, la représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points ��(�; ��) pour tout

nombre n de IN.c’est un nuage de points

• La suite (

) est définie pour tout nombre � ≥1 de IN.On dit qu’elle est définie « à partir du rang 1 ».

• La suite (√� − 3) est définie pour tout nombre � ≥ 3 de IN.On dit qu’elle est définie « à partir du rang 3 ».

Exemples :

• Soit la suite () : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ,…….

• Soit la suite (�) : 4 , 8 , 16 , 32 ,64 , 128 ,…….

• Soit la suite (�): 1 , 3 , 7 , 15 ,31 , 63 , … ….

Différentes façons pour définir une suite :

A. Avec une formule explicite de la forme �� = �(�)

Une suite () est définie de façon explicite lorsque le terme général s’exprime en fonction de n ∶ = !(�)

Exemple 1 : la suite () définie sur IN par =

"� − 1 ici = !(�) avec ! fonction affine

"� − 1

On peut calculer directement n’importe quel terme de cette suite :

# = !(0) =

"× 0 − 1 = −1 = !(1) =

"× 1 − 1 = −0,5

" = !(2) = 0 ' = !(3) = 0,5 " = !(12) =

"× 12 − 1 = 5

Le nuage de point point représentant la suite ()est l’ensemble des

points situés sur la courbe Cf qui ont pour abscisse un nombre entier (dans IN) .

Exemple 2 : la suite (�) définie sur IN par � =()'

* calcul de � # : � # =

(#)'

#* =

'+

B. Avec une relation de récurrence de la forme ��*, = �(��) :calcul d’un terme à partir du terme précédent

Une suite () est définie par récurrence lorsqu’elle chaque terme s’obtient à partir du terme précédent ,

elle est connue par une relation du type * = !() et la donnée d’un terme de la suite (# -. etc…)

Exemple : On considère la suite ()définie par : # = −1 et pour tout nombre n de N , * =

" − 1

Déterminer ; " ; '.

=

" # − 1 =

"× (−1) − 1= −

"−

"

"= −

'

"= −1,5 " =

" − 1 =

"× (−

'

") − 1= −

'

(−

(

(= −

+

(= −1,75

' =

" " − 1 =

"× (−

+

() − 1= −

+

/−

/

/= −

0

/= −1,875

Le nuage de point point représentant la suite ()est un ensemble de points qui ont pour abscisse un nombre entier mais qui ne

sont pas forcément situés sur la courbe Cf.

# ' ( 0 2

1 3 5 7 9 11 �# � �' �( �0 �2

1 3 5 7 9 11

�# � �' �( �0 �2

1 3 7 15 31 63

C. Avec un algorithme

Exemple 1 :Proposer un algorithme qui calcule et affiche les quatre premières valeurs de pour la suite définie par # = 1 34 * = 3 ×

Exemple 2 : Proposer un algorithme qui calcule � à partir de la valeur de n donnée par l’utilisateur pour la suite définie par

�# = 1 et �* = 3 × � affiche tous les termes de la suite de �# à �

Il faut introduire une instruction d’affichage pour

voir les résultats :

Exemple 3 : Proposer un algorithme qui pour la suite ( 5) définie par récurrence par 5* = 0,8 × 5 avec 5# = 400

Calcule l’indice n à partir duquel le terme 5 sera inférieur ou égal à 120, affiche cet indice et la valeur du terme

5 correspondant.

D. Avec des motifs géométriques :

Applications directes :

Activités d’introduction à chercher : (réponses plus bas)

3°) Activité coronavirus : Suites géométriques :

Activité: coronavirus : (Suites géométriques ) :

Le professeur JF Timsit chef du service de réanimation et des maladies infectieuses, à l’hôpital Bichat, a déclaré

aux journalistes lors d’une interview, à la fin du mois d’Avril 2020 :« Actuellement, la contamination par le

coronavirus est de un pour trois, il faudrait qu’elle passe à un pour un. Pour la grippe, c’est de un pour à 0,5 c’est

pourquoi l’épidémie de grippe s’éteint d’elle-même ».

Mais qu’a-t-il voulu dire ? : nous allons utiliser un modèle mathématique pour modéliser la situation, mais il nous appartient

ensuite d’interpréter les résultats.Par exemple, ce modèle ne prend pas en compte le fait que dans une région donnée, ce sont toujours

les mêmes personnes qui se côtoient et que parmi les nouveaux contaminés, il peut y en avoir des anciens.

Soit n= 0 le jour de départ de contamination à partir d’une personne porteuse du virus. Chaque jour, on observe que chaque

personne contaminée contamine trois personnes uniquement car elle est de suite mise en quatorzaine. On peut schématiser

la situation de la façon suivante :

On définit ainsi une fonction V qui à chaque nombre entier naturel (numéro du jour de contamination n) associe le

nombre de nouveaux contaminés issus des contaminés de la veille �. Cette fonction s’appelle une suite

numérique, on la note (�) , les parenthèses signifient que l’on représente toutes les images � prises par la

fonction V, et � s’appelle le terme général de la suite.

Représentation graphique de la suite :

La représentation graphique d’une suite (Vn) est le nuage de points formés par tous les points (n ; Vn)

Les termes Vn de la suite se lisent sur l’axe des ordonnées car Vn est fonction de n : Vn est donné de façon explicite en fonction de n .

Pour entier naturel n , on a Vn =V(n)= ;� soit V(n)= �(�) <=>? � @é�B�B> CDE ℝ G<E �(H) = ;H

En regardant l’arbre ci-dessus ,on observe que le nombre de personne contaminées le jour de rang n s’obtient en multipliant

par trois , les contaminés de la veille , c’est-à-dire ,jour de rang n-1 .On écrit I� = ;I�), n étant le jour suivant du jour n-1 et

n+1 le suivant de n ,

on écrit alors I�*, = ;I� cette relation qui permet de calculer chacun des termes de la suite en fonction du précédent s’appelle une

relation de récurrence .

Lorsque chaque terme de la suite s’obtient en multipliant le terme précédent un même nombre q (ici q=3)

,appelé raison de la suite, on dit que c’est une suite géométrique de raison q (ici q=3)

Calculons �5 . Pour cela ,il faut connaître �( car �5 = 3�4 mais il faut aussi connaître �3 car �4 = 3�3 mais il faut aussi connaître �2

car �3 = 3�2 mais il faut aussi connaître �2 car �2 = 3�1 mais il faut aussi connaître �1 car �1 = 3�0 et il faut connaître IJ premier

terme de la suite .

Attention : si je change le premier terme de la suite , tous les termes sont changés , et on obtient alors une suite différente .

POUR CALCULER UN TERME DE LA SUITE, IL FAUT ABSOLUMENT CONNAITRE LE PREMIER TERME IJ POUR COMMENCER LE

CALCUL ET LA RELATION DE RECCURRENCE I�*, = ;I� QUI TOUTE SEULE N’EST PAS SUFFISANTE POUR CALCULER IK

La suite (I�) est totalement définie par son premier terme IJ et la relation de récurrence I�*, = ;I�

L� @BM ND> O< CDBM> >CM @é�B�B> G<E O< E>O<MBP� @> E>?DE>�?> I�*, = Q(I�) Avec g telle que Q(H) = ;H

Attention : Une suite définie par une relation de récurrence ne se comporte pas comme la fonction g qui la définit

En effet la suite suit une fonction exponentielle alors que la fonction g est une fonction linéaire .

On a alors : IJ = ,

I, = ; × IJ = 3 × IJ = 3 × 1 = 3

IR = ; × I, = 3 × 3 × IJ = ;² × IJ=3²

I; = ; × IR = 3 × 32 × IJ = ;; × IJ=33

IT = ; × I; = 3 × 33 × IJ = ;T × IJ=34

On voit que la suite (Vn) croit très vite.

Graphiquement, on lit sur l’axe des

ordonnées les valeurs des termes Vn

de la suite, et on voit que les termes

sont de plus en plus haut donc de plus

en plus grands .Cette suite suit la

courbe d’ une fonction

exponentielle,c’est pourquoi on dit

que la croissance de cette suite est

exponentielle.

Remarque : une suite bâtie explicitement

sur une fonction linéaire, par exemple dont

le terme général serait Un= 2n a une

croissance que l’on dit linéaire

Une suite (Vn) est dite strictement

croissante si et seulement si pour tout

entier naturel n, Vn+1 >Vn

Autrement dit pour tout indice n, le terme

suivant est strictement supérieur au terme

précédent Vn

IK = ; × IT = 3 × 34 × IJ = ;K × IJ = 35 IL y aura le cinquième jour ;K =243 nouvelles contaminations .

IK = ; × IT = ; × ; × I; = ; × ; × ; × IR = ; × ; × ; × ; × ; × I, = ; × ; × ; × ; × ; × IJ = ;K × IJ

Je souhaite connaître le nombre de nouvelles contaminations qui auront lieu le 14 ieme jour :

Le calcul de proche en proche (en bleu ) par récurrence serait trop long. Je vois apparaître (en vert) dans les calculs ci -dessus

IK = ;K × IJ IT = ;T × IJ etc…. soit la formule suivante I� = ;� × IJ n étant le rang ou l’indice du terme cherché <=>? IJ = ,

Cette formule I� = ;� va me permettre de calculer directement I,T sans calculer tous les termes précédents : I,; , I,R. . >M?..

I,T = ;,T = T _`R aba soit le 14 ieme jour , 4 782 969 nouveaux cas .

On dit que la suite (I�) est définie explicitement G<E I� = ;� IJ = ;�.

On dit que la suite (I�) est définie explicitement par la relation I� = �(�) avec f telle que f(x)=;H.

La suite se comporte comme la fonction définie sur R par c(d) = ;H. mais ne prend pour x que des valeurs

entières (voir le nuage de points).

On souhaite compter le nombre de personnes contaminées en 14 jours : j’additionne les contaminés du 1er jour, du 2nd, etc….

Soit La somme e = , + ;, + ;R + … … … … … … … … … … … … … … . . ;,; + ;,T

Une astuce de calcul pour me conduire à une formule

;e =3× ( , + ;, + ;R + … … … … … … … … … … … … … … . . ;,; + ;,T ) = ;, + ;R + … … … … … … … … … … … … … … . . ;,; + ;,T +;,K

e − ; e = (, + ;, + ;R + … … … … . . ;,; + ;,T )- (;, + ;R + ⋯ … … . . ;,; + ;,T +;,K) = 1- ;,K

e(, − ; ) = 1- ;,K d’où e = ,) ;,K

,); le calcul donne : 7 174 453 contaminés en 14 jours

remarque : en multipliant par (-1) numérateur et dénominateur on a aussi e = ;,K),

;),

Remarque :avec IJ ?P�M<hB�éC au départ, soit IJ arbres on obtient : IJ × e ?P�M<hB�éC >� � + , iPDEC

IJ (NJ + N, + NR + … … … … . . N�−, + N�) = IJ × , − N�+,

, − N

Soit IJ NJ + IJN, + IJNR + … … … … . . IJN�−, + IJN� = IJ × ,− N�+,

,−N

Pour la grippe : c’est une suite géométrique de raison q=0,5 le même raisonnement conduit à

e = , + J, K, + J, KR + … … … … . . +J, K,; + J, K,T = ,) J,K,K

,)J,K le calcul donne S≈ R contaminés en 14 jours

Correction de l’activité : Evolutions successives à accroissement constant ou suites arithmétiques :

Correction de l’activité:Evolutions successives à taux de variation constant ou suites géométriques :

Activité coronavirus à voir aussi elle explique tous les points essentiels du cours :

Attention : connaître la raison de la suite géométrique ne suffit pas , pour la définir , il faut connaitre le premier

terme (ou un terme) Exemple : deux suites de raison deux différentes ci-dessous : la premiere admet 1 pour premier terme

et la seconde admet 3 pour premier terme : 1ere suite 1 -2 - 4 – 8- 16 etc………2nde suite : 3 – 6- 12- 24 - 48 etc………………

Autres formules utiles pour le calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Exercices d’applications à chercher :

Formule expliquée