Principe des interférencesVibrations lumineuses

Augustin Fresnel a été le premier à expliquer les phénomènes de l'optique physique en admettant que la lumière est constituée par des vibrations transversales; il assimilait les vibrations lumineuses aux vibrations élastiques transversales des solides. Cette dernière hypothèse aboutit à de nombreuses contradictions qui ont conduit à remplacer la théorie mécanique de Fresnel par la théorie électromagnétique de Maxwell. Dans celle-ci la lumière apparaît comme due à la propagation simultanée d'un champ électrique et d'un champ magnétique, les vibrations du champ électrique représentant la vibration lumineuse dans l'espace où se propage la lumière.

Une vibration lumineuse en un point de l'espace est représentée par un vecteur ayant ce point pour origine: l'extrémité de ce vecteur décrit une certaine courbe dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation, et sa projection sur un axe de ce plan est une fonction périodique du temps. La fonction périodique la plus simple est la fonction sinusoïdale, et l'on représentera la vibration lumineuse par une fonction sinusoïdale du temps. Elle pourra s'écrire, à l'origine du temps:

où a est l'amplitude de la vibration,  = 2  N = 2 /T la pulsation, N lafréquence et T la période. Au point M d'abscisse z, la vibration est à l'instant t ce qu'elle était au point O au temps t - (z/V), si V est la vitesse de propagation.

On aura donc:

VT = n est la longueur d'onde de la vibration. En posant  = 2  z/n, on peut écrire:

 étant la différence de phase entre la vibration en M et la vibration en O.

La longueur d'onde n est caractéristique d'une radiation donnée dans un milieu déterminé. Si une même radiation change de milieu, sa fréquence reste fixe, mais sa longueur d'onde varie. On caractérise souvent les radiations par leur longueur d'onde dans le vide c = c/N avec c = 3 . 108m/s. Dans un milieu d'indice de réfraction n où se propage la vibration de fréquence N, sa longueur d'onde sera n = V/N = c V/c = c/n. L'indice nétant toujours plus grand que 1, les longueurs d'onde sont plus courtes dans les milieux matériels que dans le vide.

La relation précédente s'écrit:

Le produit  = nz est le chemin optique entre O et M ou encore ladifférence de marche entre ces deux points. Les différences de phase sont reliées aux différences de marche  par l'expression:

On utilisera par la suite la notation , longueur d'onde dans l'air, qui diffère très peu de c.

Production des interférences

Lorsque deux ou plusieurs ondes lumineuses se superposent, on ne peut pas, en général, décrire d'une manière simple les phénomènes observés. Pour préciser les conditions auxquelles deux faisceaux lumineux doivent satisfaire pour pouvoir interférer, il faudrait connaître le mécanisme de l'émission par une source lumineuse. Ce mécanisme n'est pas encore complètement élucidé, mais il semble pouvoir être admis, pour les problèmes que l'on aura à traiter, que les ondes électromagnétiques ne sont pas émises de façon continue, mais «par paquets», c'est-à-dire par trains d'ondes provenant des divers atomes. Les atomes n'émettent que pendant un temps limité ; si l'on attend un temps important par rapport à, les vibrations observées à l'instant initial auront disparu, d'autres auront pris le relais, mais elles n'auront plus aucune relation avec les vibrations initiales. La vibration d'un atome peut être représentée par l'expression:

Au bout d'un temps supérieur à , la vibration précédente cesse, soit par amortissement, soit parce qu'il y a eu choc avec d'autres atomes. Lorsque l'atome réémet une vibration, l'amplitude a et la phase  ont complètement changé. Le phénomène se reproduit ainsi un très grand nombre de fois par seconde.

Considérons un point qui reçoit deux vibrations d'amplitude a et bprovenant de deux atomes. À l'instant où la différence de phase est , le carré de l'amplitude résultante A est:

mais, pendant l'observation, A varie un très grand nombre de fois par suite des variations de a, b, et . L'intensité perçue est la valeur moyenne du carré A2 de l'amplitude prise sur un intervalle de temps pendant lequel la différence de phase  varie un très grand nombre de fois et prend toutes les valeurs possibles. Le terme en cos  prend donc autant de fois des valeurs positives que des valeurs négatives et s'élimine en moyenne. Des atomes différents émettent des vibrations qui ne peuvent interférer et que l'on appellera des vibrations incohérentes. Il ne

pourrait y avoircohérence que si les phénomènes étaient observés dans un temps nettement inférieur à . Cela est pratiquement impossible avec les sources ordinaires pour lesquelles le temps  est toujours très petit, mais peut être réalisé avec les lasers. On peut rapprocher ce dernier cas des phénomènes acoustiques produits par deux diapasons différents qui peuvent donner des interférences simplement parce qu'on a le temps de les observer avant qu'il soit nécessaire de relancer l'un d'eux.

Dans le cas des sources thermiques, les interférences résultant de la composition de deux ou plusieurs vibrations ne peuvent se produire que dans des conditions déterminées: les vibrations doivent provenir d'une même source (sauf pour les lasers) et être parallèles. Un appareil interférentiel a donc pour rôle essentiel de diviser l'onde incidente en deux ou plusieurs ondes qui, après avoir parcouru des chemins différents, se superposent en donnant lieu à des phénomènes d'interférences. Il existe beaucoup de types différents de diviseurs d'ondes. En particulier, les lames biréfringentes dédoublent un rayon incident en deux rayons, l'un ordinaire, l'autre extraordinaire, qui accomplissent des chemins optiques différents puisque l'indice de la lame n'est pas le même pour les deux rayons. Dans la région où ils se superposent, ils peuvent interférer à condition que les vibrations soient cohérentes, ce qui s'obtient à l'aide d'un polariseur placé avant la lame, et qu'elles soient parallèles, ce qui est possible en plaçant un analyseur après la lame. En sélectionnant le type de cristal employé et la façon dont il est taillé, on observera de très belles figures d'interférences.

Interférences à deux ondesFranges de Young

Considérons deux trous très petits A1 et A2

identiques, percés dans un écran opaque et équidistants de la source lumineuse S. D'après les lois de l'optique géométrique, on devrait voir seulement deux taches lumineuses en A'1 et A'2. En fait, chaque petite ouverture diffracte la lumière qui s'étale dans le plan P. Tout se passe comme si A1 et A2 étaient de véritables sources, mais les vibrations qu'elles diffractent sont dues à une source unique S et sont par conséquent cohérentes. C'est dans la région M1M2 où se superposent les faisceaux diffractés que l'on peut observer les franges d'interférences. En un point quelconque M de l'écran P la différence de marche  est:

en considérant les triangles A1A2H et COM, et en posant CO = D, OM = y, A1A2 = 2 a, on a:

Comme les ouvertures A1 et A2 sont identiques, elles diffractent le même flux, et dans l'expression (7) les amplitudes a et b sont pratiquement égales. La variation de l'intensité lumineuse dans le plan P est donnée par:

En première approximation, les franges sont des droites parallèles et équidistantes. Elles sont dirigées perpendiculairement au plan de la figure 2b. La formule (10)

montre que les maximums de lumière, c'est-à-dire les franges brillantes, sont donnés par:

Le rapport k = / est appelé ordre d'interférence. Pour les franges sombres:

on a une frange brillante en O puisque y =  = 0.

Phénomènes en lumière blanche

Considérons une source ponctuelle de lumière blanche. À chaque radiation monochromatique correspond un système de franges, et tous ces systèmes s'ajoutent en intensité dans le plan d'observation.

Supposons que toutes les radiations aient même énergie et traçons sur un graphique les variations de I en fonction du nombre d'ondes  = 1/que l'on mesure en cm-1. Pour tracer convenablement le graphique, il faudrait tenir compte de la sensibilité spectrale de l'œil; on supposera simplement que la partie utile est comprise entre  = 13 000 cm-1 ( = 0,8m, rouge) et  = 25 000 cm-1 ( = 0,4 m, bleu). Pour chaque radiation l'intensité est donnée, à un facteur constant près, par la relation (10).

Au point O (fig. 2) sur la frange centrale,  = 0 pour toutes les radiations et la courbe I = f () est une droite parallèle à l'axe des abscisses;

en O la frange centrale est blanche. À faible distance du centre O ( = ), la courbe de l'intensité est une sinusoïde très allongée; l'intensité est plus faible pour les courtes longueurs d'onde que pour les grandes longueurs d'onde; le violet est plus atténué que le rouge, et la teinte résultante est rougeâtre. Plaçons-nous en un point du plan P tel que  = 0,28 m. D'après (10), I = 0 si  = /2, c'est-à-dire si  = 2 = 0,56 m; la sinusoïde est tangente à l'axe des abscisses au point  = 18 000 cm-

1 ( = 0,565m) correspondant au jaune vert; au point considéré, on aurait la première frange noire si la source émettait seulement la radiation  = 0,565 m. La courbe montre que l'intensité reste partout faible, sauf aux extrémités du spectre visible, auxquelles l'œil est très peu sensible. Dans la région considérée du plan P, le champ est un peu lumineux et il présente une teinte pourpre, mélange de rouge et de violet.

Écartons-nous très peu de cette position en nous rapprochant de O. La différence de marche devient  = 0,28 m - . La couleur est plus riche en rouge et moins riche en violet, la teinte pourpre vire au rouge. En un point plus éloigné de la frange centrale  = 0,28 m + , la teinte est plus bleue (indigo). Un léger changement de  fait virer rapidement la teinte pourpre, et l'œil est très sensible à ce changement de teinte. La teinte correspondant à  = 0,28 m est appelée teinte sensible du premier ordre.

Pour  = 0,4 m:

la courbe présente un minimum dans le rouge ( = 13 000 cm-1,  = 0,8m) et un maximum dans le violet ( = 25 000 cm-1,  = 0,4 m). La teinte résultante est bleue. On peut ainsi observer toute une série de teintes qui présentent des colorations très vives si l'on ne s'écarte pas trop loin de la frange centrale. À chaque valeur de  correspond une teinte déterminée. Ces teintes sont données dans une table dite échelle des teintes de Newton. La frange centrale est blanche: on a l'échelle des teintes à centre blanc. Dans d'autres expériences, la frange centrale est noire et l'on obtient une autre échelle des teintes de Newton dite échelle à centre noir.

Pour des valeurs croissantes de , la sinusoïde de la figure 3 se resserre de plus en plus, on a une série de maximums et de minimums. Les colorations cessent d'être visibles dès que  dépasse 3 ou 4 m: l'œil perçoit une impression de blanc, appelé blanc d'ordre supérieur. Par ailleurs, lorsque  augmente, des radiations de plus en plus nombreuses s'éteignent dans le spectre: si on reçoit du blanc d'ordre supérieur dans un spectroscope, le spectre apparaît sillonné de cannelures noires (spectre cannelé).

Franges d'égale inclinaison par réflexion sur une lame à faces parallèles

Considérons une lame à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice n:

éclairée par une source étendue S de lumière monochromatique. Un rayon incident S1I1 se dédouble en I1 sur la première face de la lame et donne naissance à un rayon transmis I1J1 et à un rayon réfléchi I1L1. Le rayon I1J1 se réfléchit en J1 sur la seconde face de la lame et sort suivant K1L1 parallèlement à I1L1. Les deux rayons parallèles I1L1 et K1L'1 se rencontrent en F dans le plan focal de l'objectif O et ils interfèrent. Soit S2un autre point de la source S; parmi les rayons émis par S2, considérons le rayon S2I2 parallèle au rayon S1L1. Le même phénomène se reproduit, et les deux rayons J2L2 et K2L'2 aboutissent au même point F où ils interfèrent. Il est facile de voir que les différences de marche

sont égales. Les phénomènes d'interférence produits en F par S1 et S2sont incohérents, mais, comme ils sont identiques, la visibilité du phénomène reste la même. Cela est vrai pour tous les rayons émis par les différents points de la source S qui sont parallèles à S1I1: ils donnent le même phénomène au point F. Les rayons incidents parallèles correspondant à une autre inclinaison aboutissent en un autre point du plan focal.

Les phénomènes d'interférences produits par une lame à faces parallèles observés dans le plan focal d'un objectif sont nets quelle que soit l'étendue de la source. Dans ce qui précède, on a négligé les rayons plusieurs fois réfléchis car, par suite de la décroissance rapide de leurs amplitudes, ils ne produisent que des perturbations négligeables. En effet, si l'on prend l'amplitude incidente égale à l'unité, les formules de Fresnel donnent alors, pour les amplitudes des rayons réfléchis et transmis successifs, les valeurs portées sur la figure 5b. Les amplitudes sont pratiquement négligeables à partir du troisième rayon, et il suffit de faire intervenir les rayons (1) et (2). Par ailleurs, on étudiera les phénomènes sous une incidence voisine de l'incidence normale. Calculons la différence de marche en F. Soit un rayon incident SI faisant avec la normale l'angle d'incidence i (fig. 5c). Après réflexion sur les deux faces de la lame, on a les deux rayons IL et KL'. Ces deux rayons provenant du même rayon incident SI, leur différence de phase reste constante à partir de K et H, H étant le pied de la perpendiculaire abaissée de K sur IL. Entre I et KH, le rayon IL accomplit le trajet IH dans l'air et le rayon KL' le trajet IJK dans le milieu d'indice n. La différence de marche est donc  = 2n IJ - IH. Mais le rayon IL se réfléchit de l'air sur le verre, c'est-à-dire d'un milieu moins réfringent sur un milieu plus réfringent, tandis que le rayon JKL se réfléchit du verre sur l'air, soit d'un milieu plus réfringent sur un milieu moins réfringent. On montre qu'il faut alors ajouter un retard supplémentaire égal à /2 et la différence de marche s'écrit:

L'étude géométrique de la figurec conduit au résultat suivant:

 = Cte si i' = Cte: les franges sont des anneaux ayant pour axe la normale à la lame. L'observation peut se faire suivant le schéma de la figure 6.

La source S est une source étendue de lumière monochromatique envoyant des rayons diversement inclinés sur la lame l après réflexion sur la lame semi-transparente G inclinée à 450. En faisant coïncider la normale à l avec l'axe optique de l'objectif O, on observe dans le plan focal  des anneaux de centre F. Tous les points d'un anneau correspondent à une même valeur de l'inclinaison des rayons incidents sur la normale. On appelle ces anneaux des franges d'égale inclinaison.

Les rayons correspondant au même angle d'incidence i sur la lame coupent le plan focal suivant une circonférence de rayon FM. Pour tous les points de cette circonférence, l'ordre d'interférence est constant et égal à:

Si p = k entier, on aura un anneau brillant et pour p = k + (1/2) un anneau noir. Au centre F, l'ordre d'interférence est:

Si l'on s'éloigne de ce point, l'ordre d'interférence diminue et, au point M, il est:

K (entier ou fractionnaire) représentant le nombre de franges que l'on voit entre F et

M. En supposant les angles petits: cos i'   1 - (i'2/2), i   ni', les formules (15), (16) et (17), donnent:

Si l'on a une frange noire en F, cette formule donnera le rayon du K-ième anneau noir. Les rayons des anneaux correspondant au même état d'interférence que le

centre varient comme les racines carrées des nombres entiers. Ils se resserrent à mesure que l'on s'écarte du centre F.

Franges d'égale épaisseur en faisceau parallèle, par réflexion

Cas général

Soit maintenant une lame d'épaisseur variable. Supposons que les variations d'épaisseur de la lame soient faibles et l'incidence voisine de l'incidence normale. La lame est éclairée en faisceau parallèle par une source ponctuelle à l'infini.

Considérons deux rayons incidents parallèles (1) et (2). Le rayon (1) suit le trajet SIJKL1, le rayon (2) le trajet SKL2. Puisqu'on opère en incidence presque normale, les points I et K sont très rapprochés et l'on peut donc considérer que la lame a une épaisseur e bien définie dans la région IJK. L'objectif O donne en K' une image de la lame. Il peut s'agir simplement de l'œil de l'observateur qui accommode sur la lame, le cristallin constituant l'objectif O et la rétine étant alors en K'.

Entre K et K', les chemins optiques des deux rayons sont égaux. Il suffit de considérer la différence de marche entre K et la source S. Il est facile de voir que la différence de marche, géométriquement, est 2 ne en incidence presque normale;

comme précédemment, il faut ajouter un retard supplémentaire égal à /2. La différence de marche en K (ou en K') entre les rayons (1) et (2) devient:

Les rayons qui interfèrent ont pratiquement la même amplitude a et l'intensité lumineuse au point K vaut:

Pour un autre point K sur la lame, l'épaisseur e n'est plus la même et l'intensité varie. L'indice de réfraction n étant supposé constant, la différence de marche  est fonction seulement de l'épaisseur e. En regardant la lame, on voit des franges qui en dessinent les lignes d'égale épaisseur (franges de Fizeau). Les franges brillantes sont données par:

et les franges noires par:

Les franges noires correspondent aux épaisseurs e = K/2 n et, lorsqu'on passe d'une frange à la suivante, l'épaisseur de la lame varie de /2n. Par exemple, avec une lame d'air comprise entre deux lames de verre, et pour = 0,6 m, on a /2 n = 0,3 m.

On peut aussi observer les phénomènes par transmission, mais ils sont peu visibles et moins intéressants.

Coins d'air

On utilise une lame mince d'air comprise entre deux lames de verre formant un petit angle .

Les franges sont localisées sur la lame et dessinent les lignes d'égale épaisseur: ce sont des droites parallèles à l'arête du coin. Quand on passe d'une frange à la suivante (deux franges de même type), l'épaisseur varie de /2.

Anneaux de Newton

Posons une surface sphérique S (lentille plan-convexe de grand rayon) sur une surface de verre plane P.

Observons par réflexion les interférences produites par la lame d'air mince située entre les deux surfaces. Les franges qui dessinent les lignes d'égale épaisseur sont

ici des cercles centrés sur le point de contact de la lentille et de la surface de verre: ce sont les anneaux de Newton.

Si R est le rayon de courbure de la surface sphérique S, et K un nombre entier quelconque, le rayon du K-ième anneau noir est donné par:

Interféromètre de Michelson

L'interféromètre de Michelson

comporte essentiellement deux miroirs orthogonaux (M1 et M2) et une lame de verre (G1), inclinée à 450 par rapport aux normales aux deux miroirs. La première face de la lame G1, appelée séparatrice, est semi-réfléchissante: elle réfléchit autant de lumière qu'elle en transmet.

Prenons une source ponctuelle S au foyer d'un objectif O1; l'interféromètre est éclairé par un faisceau de rayons parallèles. L'un de ces rayons, SA, se dédouble lorsqu'il arrive en A sur la face semi-réfléchissante de la séparatrice G1. Le rayon réfléchi sur G1 frappe le miroir M1 en B1, revient sur lui-même, traverse G1 sans déviation et

pénètre dans l'objectif O2. L'autre rayon traverse G1, se réfléchit en B2 sur le miroir M2, revient en arrière, se réfléchit sur la face semi-réfléchissante A de G1 et se superpose au premier rayon pour traverser l'objectif O2. Le premier rayon ne traverse qu'une fois la séparatrice G1 alors que le deuxième la traverse trois fois. Pour rendre les trajets parcourus aussi identiques que possible, on interpose une lame G2, dite compensatrice, sur le premier rayon. Cette lame doit avoir la même épaisseur et être faite du même verre que la lame G1. Comme une égalité rigoureuse des épaisseurs de G1 et G2 est très difficile à réaliser, on peut compenser la très faible différence éventuelle en inclinant légèrement la compensatrice G2.

Par réflexion sur la face semi-réfléchissante A de la séparatrice G1, le miroir M2 a une image en M'2. Tout se passe comme s'il y avait des interférences produites par une

lame d'air comprise entre M1 et M'2. Si l'image M'2 n'est pas parallèle à M1, il s'agit d'un coin d'air. Si les différentes pièces optiques constituant l'appareil sont parfaites, les franges sont alors rectilignes, parallèles et équidistantes. Pour les voir, on place

la pupille de l'œil au foyer F de l'objectif O2.

Si l'image M'2 est rigoureusement parallèle à M1, on peut observer les anneaux à l'infini de la lame d'air ainsi formée. On examine alors au moyen d'une loupe le plan focal F où ils sont localisés. L'ensemble de l'objectif O2 et de la loupe constitue une lunette visant à l'infini, dont le grossissement sera choisi en fonction du diamètre angulaire des anneaux observés. Il faut remplacer la source ponctuelle S par une source étendue. On peut d'ailleurs supprimer le collimateur et le remplacer par une grande surface diffusante éclairée par une source monochromatique. En déplaçant l'un des miroirs parallèlement à lui-même, on fait varier à volonté le diamètre des anneaux. Si les deux lames G1 et G2 sont bien parallèles, on constate que les anneaux à l'infini sont parfaitement circulaires. Ils se déforment lorsqu'on incline G2 par rapport à G1: d'abord elliptiques, ils deviennent hyperboliques si l'on augmente encore l'inclinaison.

Interféromètre de Mach-Zehnder

Comme l'interféromètre de Michelson, l'interféromètre de Mach-Zehnder est un interféromètre à deux ondes.

La lame S1 sépare le faisceau initial en deux. Après réflexion sur les miroirs M1 et M2, les faisceaux lumineux sont réunis grâce à la lame semi-réfléchissante S2.

Quand les miroirs M1 et M2 ne sont pas rigoureusement parallèles, les deux faisceaux forment un petit angle et il apparaît un système de franges d'interférences rectilignes. Un réglage convenable permet de localiser ces franges entre M1 et S2. L'interposition, en cet endroit, d'un objet déphasant qui ne modifie que l'un des faisceaux déforme le système de franges. La disposition des miroirs permet de séparer largement les faisceaux lumineux et d'étudier des objets volumineux au prix de difficultés accrues pour les réglages initiaux et le maintien de la stabilité mécanique et thermique de l'ensemble.

Cet interféromètre est d'utilisation courante pour la mesure des variations de pression dans l'air s'écoulant autour d'une maquette. Ces variations se traduisent par des modifications d'indice de l'air et, donc, par des déformations de franges. Il est ainsi possible de mettre en évidence et de mesurer les particularités de l'écoulement de l'air.