microéconomie-demande

8/14/2019 microconomie-demande

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LA DEMANDE :

ANALYSE MICROCONOMIQUE APPLIQUE

Christian BIALESProfesseur de Chaire Suprieureen conomie et Gestionau Lyce Mermoz de Montpellier

La demande est un thme majeur de l'analyse microconomique traditionnelle et constitue cetitre un moment important du programme d'conomie gnrale des classes prparatoires"tertiaires" : les classes prparatoires conomiques et commerciales, option technologique, etles classes prparatoires "ENS-Cachan". L'article ci-dessous propose une prsentation

pdagogique de la thorie de la demande, illustre par un exemple.

En analyse microconomique, la demande individuelle d'un bien est une fonction dpendant deplusieurs variables, en particulier le prix du bien et le revenu du consommateur.L'analyse de la demande en fonction du prix donne traditionnellement lieu d'abord la

dfinitionde la fonction de demande par rapport au prix et l'explication de celle-ci au travers de ladcomposition de l'effet-prix (premire partie), puis la dtermination de deux typesd'indicateurs, essentiels en conomie : des lasticits et des indices (deuxime partie).

Notre prsentation de ces notions importantes s'appuie sur une application trs simple.

DONNES DE L'APPLICATION :

Soit un consommateur et deux biens X et Y.

Fonction d'utilit du consommateur : U = x+ y + xy, avec x la quantit du bien X et yla quantit du bien Y => courbes d'indiffrence d'quation : y = (U - x) / (1 + x).

Revenu du consommateur : R = 1000

Vecteur de prix pour la priode de base (0) : Pi(0)

= (12 ; 6) pour i = X et Y Vecteur de prix pour la priode courante (n) :


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Situation 1 : Pi(n) = (8 ; 6) pour i = X et Y.

Situation 2 : Pi(n) = (8 ; 10) pour i = X et Y.

PREMIRE PARTIE : L'ANALYSE DE LA DEMANDE

1) La fonction de demande.

A- La dfinition de la fonction de demande

La thorie microconomique traditionnelle dfinit la fonction de demande comme tantla relation entre la quantit optimale demande d'un bien et les valeurs possibles des variablesqui la dterminent.

Cette dfinition appelle plusieurs commentaires :- La relation que la fonction tablit concerne la quantit optimale demande du bienconsidr en ce sens qu'elle vise le meilleur choix de consommation que le consommateur peutfaire de ce bien en tenant compte non seulement de ses prfrences mais aussi de la contrainte

budgtaire que le prix des biens et que son revenu limit lui imposent.- La fonction de demande est une fonction plusieurs variables parce que le choix de

consommation dpend de plusieurs variables : le prix du bien considr, le prix des autresbiens, le revenu du consommateur, ses gots et prfrences, sa richesse, etc.

- L'analyse microconomique lmentaire de la fonction de demande privilgie les troispremires variables : le prix du bien, le prix des autres biens et le revenu du consommateur.Cela revient considrer les autres variables comme constantes, et par consquent raisonner

"ceteris paribus", c'est--dire toutes choses gales par ailleurs : en particulier, les gots etprfrences du consommateur tels que les dcrit sa fonction d'utilit sont considrs commestables.

Remarque : La notion de demande doit tre distingue de celle de consommation. Alors que la premire est unenotion ex ante (en termes de projets), la seconde est une notion ex post (en termes de ralisations) : la fonction dedemande indique par exemple quelle serait la demande optimale du consommateur pour tel bien si le prix decelui-ci, affich par le march, tait de tel ou tel montant ; la fonction de consommation montre comment a volula consommation effectivement constate de tel bien en fonction par exemple des diffrentes valeurs que le prix apu prendre.

B- La dtermination de la fonction de demande

La demande optimale de X, comme celle de Y, se dtermine partir des meilleurschoix de consommation dicts au consommateur par la maximisation de son utilit -sasatisfaction- sous la contrainte du budget dont il dispose et des prix des deux biens ; autrementdit, partir des diffrents quilibres du consommateur selon les valeurs prises par son budgetet par les prix des biens qui doivent composer son panier.

L'quilibre du consommateur se dfinit de la manire gnrale suivante :

Max U = U(x, y)sous R = PX * x + PY * y

Remarques :


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1- Nous ne dtaillons pas ici les hypothses poses par la microconomie traditionnelle pour le calculconomique du consommateur (rationalit absolue du consommateur, fonction d'utilit continue, drivable etdfinie une transformation monotone croissante prs, convexit des prfrences, non-saturation des besoins,agent preneur de prix, analyse statique,...).Prcisons seulement que l'expression de la contrainte budgtaire (galit du revenu et de la somme dpense enbiens X et Y) signifie que le consommateur est suppos consommer la totalit de son revenu.La reprsentation graphique de la contrainte budgtaire dans le repre d'axes (x ; y) est une droite, dite droite debudget ou droite d'isocot puisque tous les paniers des deux biens dont elle est le lieu gomtrique ont un cotidentique, gal au revenu du consommateur. Cette droite a pour quation :

y = - (PX / PY) * x + R / PYGraphiquement parlant, comme le revenu est pleinement consomm, le panier optimal correspond ncessairementl'un des points de la droite de budget (au-del de la droite, les paniers ne peuvent tre achets faute d'un revenusuffisant, et en-de de la droite, le revenu du consommateur n'est pas pleinement utilis).

2- On parle d'quilibre du consommateur parce qu'il s'agit de la situation que celui-ci recherche et qu'iln'aplus intrt modifier une fois qu'il l'a trouve ; cette situation est, rationalit oblige, celle qui lui procure lemaximum de satisfaction, compte tenu de sa contrainte budgtaire.

1) La rsolution mathmatique du problme d'optimisation.

Mathmatiquement, le problme de la dtermination du meilleur choix pour le consommateur,

du meilleur panier pour lui, est un problme d'optimisation sous contrainte, autrement dit celuide la dtermination d'un "extremum li". Ce problme peut tre rsolu par la mthode dite desubstitution mais on lui prfre en gnral la mthode dite de Lagrange.

La mthode de Lagrange (ou mthode du lagrangien ou encore mthode du multiplicateur deLagrange, multiplicateur not ) consiste former partir de la fonction objectif f(x,y) et de lacontrainte g(x,y) -qui doit tre du type g(x,y) = 0- la fonction L (x,y,) = f(x,y) + g(x,y).

Les conditions d'optimalit sont de deux ordres :- D'abord, les conditions de premier ordre, qui sont les conditions ncessaires : les

drives partielles premires de la fonction L doivent tre nulles :L / x = 0 L / y = 0 L / = 0

- Ensuite, les conditions de second ordre, qui sont les conditions suffisantes : ledterminant de la matrice hessienne borde de la fonction f doit tre positif pour qu'il s'agissed'un maximum (il doit tre ngatif en cas de minimisation). Ce dterminant est appel "hessien

bord".Prcisons que la matrice hessienne borde, note H, est la matrice des drives partiellessecondes de la fonction f ; c'est une matrice symtrique.

2L / xx 2L / xy 2L / x

H (x,y,) = 2L / yx 2L / yy 2L / y

2L / x 2L / y 2L /

Dans notre exemple, le lagrangien s'crit :L = x + y + xy + (R - PX x - PY y)

Les conditions de premier ordre s'crivent :dL / dx = 1 + y - PX = 0 (I)dL / dy = 1 + x - PY = 0 (II)dL / d = R - PX x - PY y= 0 (III)

1re rsolution : on divise les deux premires drives partielles l'une par l'autre.(I) / (II) => (1+y) / (1+x) = PX / PY = PX / PY


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2me rsolution : on tire des deux premires drives partielles.(I) => 1+y = PX => = (1+y) / PX

}=> (1+y) / PX = (1+x) / PY(II) => 1+x = PY => = (1+x) / PY

Les conditions de second ordre s'crivent par l'intermdiaire de la matrice hessienne borde H :

2L / xx 2L / xy = 1 2L / x = - PX

= 2L / x2 = 0

H (x,y,)= 2L / yx = 1 2L / yy 2L / y = - PY

= 2L / y2 = 0

2L / x = - PX 2L / y = - PY 2L /

= 2L / 2 = 0

Dt H = - PX [(-PY) + 0] + PY [0 + PX] = PX * PY + PX * PY = 2 PX PYComme les prix de X et de Y sont positifs, Dt H est lui-mme toujours positif : la

solution trouve l'issue des conditions de premier ordre correspond donc bien un maximum.

Remarques sur la fonction d'utilit.

1- La fonction d'utilit considre ici pourrait tre appele "fonction d'utilit ordinaliste partienne" : d'abord pour mettre l'accent sur le fait qu'elle se fonde sur la conceptionordinaliste et non cardinaliste de l'utilit, conception que Pareto a dveloppe, et ensuite pourla distinguer de la "fonction d'utilit de Von Neumann et Morgenstern" mise en uvre quand ils'agit d'tudier le comportement de l'individu en situation d'incertitude.

2- La fonction d'utilit traduit en gnral les diffrentes hypothses retenues pour la relation deprfrence :

- Monotonie ou non-saturation : le consommateur prfre avoir plus que moins => lescourbes d'indiffrence sont dcroissantes et plus on va en direction du nord-est de la carte

d'indiffrence plus on atteint des niveaux d'utilit levs.- Convexit : le consommateur prfre les mlanges => un point situ sur la corde

joignant deux points appartenant une mme courbe d'indiffrence traduit un "mlange" de cesdeux paniers qui ont mme utilit et correspond un niveau d'utilit suprieur. (Attention : unefonction d'utilit qui traduit une convexit des prfrences -et qui est donc reprsente par descourbes d'indiffrence convexes- est dite quasi-concave).

-Dsirabilit: chaque bien vis par la fonction d'utilit est dsirable en ce sens que leconsommateur prfre tout panier en comportant au moins une certaine quantit -mmeinfinitsimale- tout panier qui n'en comporterait aucune => les courbes d'indiffrence sontasymptotes chacun des deux axes.

ces proprits d'ordre conomique, on ajoute aux fonctions d'utilit la proprit decontinuitpour permettre l'application du calcul diffrentiel.


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Lorsqu'une relation de prfrence prsente toutes ces conditions, les courbesd'indiffrence sont de type hyperbolique. C'est le cas usuel et en particulier celui des fonctions

d'utilit de type Cobb-Douglas (U = x * yavec > 0 et > 0 ; dans ce cas, TMS = y / x).Il peut exister d'autres cas o les hypothses poses prcdemment ne sont pas toutes

vrifies. En particulier, la convexit peut tre vrifie sans que pour autant la dsirabilit ne lesoit. Les courbes sont alors bien convexes mais elles ne sont pas asymptotes aux axes.Il en est ainsi dans deux cas remarquables, correspondant tous deux des fonctions dites

"additivement sparables" :- Les fonctions linaires de la forme U = ax + by avec a> 0 etb> 0 ; dans ce cas,

TMS = a / b.

- Les fonctions quasi linaires de la forme U = ax + by avec et compris entre 0 et

1 et a et b strictement positifs ; dans ce cas, TMS = ax1 / by1.Dans ces deux cas, ncessairement dans le premier, ventuellement seulement dans le second,on peut avoir affaire une "solution en coin" en ce sens que l'optimum correspond un pointo l'une des courbes d'indiffrence coupe l'un des axes.Mais le plus important considrer ici est qu'en toute rigueur la rsolution par le lagrangien"simple" utilise plus haut ne convient pas ces cas particuliers. Il faut lui substituer une

mthode de rsolution plus gnrale, celle dite de Khn et Tcker.Cette mthode tend la mthode du multiplicateur de Lagrange aux situations o l'optimisationdoit tenir compte de plusieurs contraintes prenant la forme d'ingalits : elle associe chacuned'elles un multiplicateur. Lorsque la fonction d'utilit est "additivement sparable", il y a nonseulement le multiplicateur attach la contrainte budgtaire comme dans le lagrangientraditionnel mais autant de multiplicateurs j attachs aux contraintes d'exclusion gj : ici, x 0et y 0 (donc, j = 1 et 2) pour liminer toute solution o les quantits optimales seraientngatives Le lagrangien gnralis s'crit alors : L = U (x, y) + (R - PX x - PY y) + j gj.Les conditions de Khn et Tcker d'optimisation sont de trois sortes :

1) Annulation des drives partielles de L par rapport aux biens X et Y :dL / dx = 0 et dL / dy = 0.

2) Annulation des conditions d'exclusion : (R - PX x - PY y) = 0j gj = 0 pour tout j.

3) Tous les multiplicateurs et j doivent tre positifs ou nuls.

Dans notre exemple, la fonction d'utilit est prcisment "additivement sparable".Il faudrait donc en toute rigueur lui appliquer la mthode de Khn et Tcker de la manire suivante.

Les contraintes sont au nombre de trois : R = PX x + PY y ; x 0 et y 0, et le lagrangien s'crit :

L = x + y + xy + (R - PX x - PY y) + 1 x + 2 y(avec les trois multiplicateurs non ngatifs).

Les premires conditions s'crivent :dL / dx = 1 + y - PX + 1 = 0 (I)

dL / dy = 1 + x - PY + 2 = 0 (II)Les conditions d'exclusion s'crivent :

( R - PX x - PY y) = 0 (III)

1 x = 0 (IV)

2 y = 0 (V)

On a donc affaire un systme de 5 quations 5 inconnues : x, y, , 1, 2.

Comme il peut y avoir une solution en coin, il faut explorer3 hypothses :

-1- On a la fois x > 0 et y > 0.


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Alors, 1 et 2 sont nuls, et par consquent est non nul en fonction des relations (I) et (II). La relation(III) indique alors que l'on a bien R = PX x + PY y.On en revient alors au systme trois quations du lagrangien simple :

1 + y - PX = 0

1 + x - PY = 0R - PX x - PY y= 0

partir des deux premires quations, on obtient : (1+y) / (1+x) = PX / PY partir de la troisime, on en dduit directement : y = - (P

X/ P

Y) * x + R / P

Y

Par substitution, on obtient :y = [PX + R - PY] / 2PY

pour avoir y > 0, il faut R > PY - PXx = [PY + R - PX] / 2PX

pour avoir x >0, il faut avoir R > PX - PYAutrement dit, pour avoir x > 0 et y > 0, il faut R > | PX - PY |

-2- On a x > 0 et y = 0.Alors, 1 = 0, > 0 et R - PX x - PY y = 0Et comme y = 0, on a R = PX x, soit x = R / PX.

Mais il convient de vrifier que sont satisfaites les deux conditions premires et celle du signe de 2 :

La premire condition s'crit : 1 + y - PX = 0 => = (1 + y) / PXPar substitution dans la seconde, on obtient :

2 = ( PY - R - PX ) / PX et pour avoir2 0, il faut R < PY - PX.

-3- On a x = 0 et y > 0.Alors, 2 = 0, > 0 et R - PX x - PY y = 0Et comme x = 0, on a R = PY y, soit y = R / PY

Il faut aussi vrifier que sont satisfaites les deux conditions premires et celle du signe de 1 :

La deuxime condition s'crit : 1 + x - PY = 0 => = (1+x) / PYPar substitution dans la premire, on obtient :

1 = ( PX - R - PY ) / PY et pour avoir1 0, il faut avoir R < PX - PY.

En rsum,si R < PY - PX, y = 0 et x > 0 (x = R / PX)si R < PX - PY, x = 0 et y > 0 ( y = R / PX)si R > | PX - PY | , x > 0 et y > 0.

2) Le raisonnement conomique pour la dtermination de l'quilibre

Le raisonnement conomique peut tre conduit de deux faons selon la manire dont on nonceles conclusions de l'optimisation :

a) Pour le consommateur, son quilibre est atteint quand son tauxpsychologique d'change des deux biens, que donne le taux marginal de substitution de X Y(TMS X,Y), est gal au taux objectif d'change fourni par le march au travers du rapport des

prix de ces deux biens. Le consommateur atteint donc son quilibre quand le taux auquel ilveutchanger les deux biens l'un contre l'autre est gal au taux auquel ilpeutconcrtement leschanger sur le march.Le TMS X,Y est le rapport -pos comme positif- de la quantitt de Y que le consommateuraccepte de sacrifier et la quantit -infinitsimale- de X qu'il dsire avoir en plus, tout enconservant le mme niveau d'utilit : TMS X,Y = - dy / dx . Le TMS est par consquent gal,en valeur absolue, la pente de de la courbe d'indiffrence au point considr.On dmontre aussi que TMS X,Y = U'X / U'Y , rapport des utilits marginales des deux biens.

Cela explique d'ailleurs, ct de la dmonstration graphique, que le TMS dcroisse au fur et


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mesure que l'on substitue du X du Y puisque progressivement l'utilit marginale de Xdiminue pendant que celle de Y augmente (1re loi de Gossen).

Remarques :

1- En dfinissant le TMSX,Y par le rapport - dy / dx, on indique tout aussi bien quelle quantit de Y ilfaut sacrifier pour avoir une "toute petite quantit" - disons une unit - de plus de X (tout en conservant le mmedegr de satisfaction) que la quantit de Y que l'on peut avoir en plus en abandonnant une "toute petite quantit" -

disons une unit - de X (tout en conservant le mme degr de satisfaction). Si on dfinissait par contre le TMSpar le rapport - dx / dy, que l'on noterait alors TMSY,X, on indiquerait tout aussi bien quelle quantit de X il fautsacrifier pour avoir une "toute petite quantit" - disons une unit - de plus de Y (tout en conservant le mme dgrde satisfaction) que la quantit de X que l'on peut avoir en plus en abandonnant une "toute petite quantit" -disons une unit - de Y (tout en conservant le mme dgr de satisfaction). Chacun de ces deux TMS estvidemment gal l'inverse de l'autre : ainsi, TMSY,X = 1 / TMSX,Y.

2- Le TMS peut tre galement dfini comme tant la "propension marginale payer", en ce sens que lavaleur de TMS X,Y indique la quantit de l'un des deux biens que le consommateur est dispos fournir en"paiement" d'une quantit infinitsimale de l'autre, niveau d'utilit inchang.

3- L'galit du TMS et du rapport des utilits marginales est tablie mathmatiquement par ladiffrenciation totale de la fonction d'utilit :

De manire gnrale, U = f (x,y) => dU = (U / x) * dx + (U / y) * dy.Pour le calcul du TMS, on conserve par dfinition le mme niveau d'utilit => dU = 0

=> (U / x) * dx + (U / y) * dy = 0=> (U / x) * dx = - (U / y) * dy=> (U / x) / (U / y) = - dy / dx

U'X / U' Y = TMS X,Y

l'quilibre, on a : TMS X,Y = PX / PY ,

Et comme TMS = U'X /U'Y ,on a l'quilibre : U'X /U'Y = PX / PY ,

soit : (dU/dX) / (dU/dY) = PX / PYrapport des = rapport des prixutilits marginales

b) Selon la deuxime loi de Gossen, le consommateur atteint sonquilibre avec le panier de biens qui galise les utilits marginales pondres par les prix desdiffrents biens :

U'X / PX = U'Y / PYexpression partir de laquelle on peut videmment retrouver l'galit prcdente.

Remarque : Ds que le nombre de biens considrs est suprieur 2, mieux vaut utiliser la 2me loi de Gossen.

Dans le cadre de notre application, on a :

Max U = x + y + xysous R = PX * x + PY * y = 1000

Alors, (dU/dX) / (dU/dY)= PX / PY=> (1 + y) / (1 + x) = PX / PY (1)

ou U'X / PX = U'Y / PY=> (1+y) / PX = (1+x) / PY (1')

Donc, (1) ou (1') => y = [PX / PY * (1 + x)] - 1 (2)(1) ou (1') => x = [PY / PX * (1 + y)] - 1 (3)


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Remarques importantes :

1- Pour des niveaux de prix donns, les relations (2) et (3) expriment l'quation du"chemin d'expansion du consommateur" (courbe de consommation-revenu ou eutope). Pardfinition, le chemin d'expansion est le lieu gomtrique des points dont le TMS est gal aurapport des prix des biens ; c'est donc aussi le lieu gomtrique des quilibres du

consommateur pour un mme rapport de prix et diffrents niveaux de revenu.2- Chacune de ces interprtations correspond l'un des deux modes de rsolution du

lagrangien prsents plus haut. On peut tablir en quelque sorte la correspondance suivante :1re rsolution du lagrangien par division des deux premires drives partielles

galit du rapport des utilits marginales (donc, du TMS) avec le rapport des prix ;2me rsolution du lagrangien partir de la valeur du multiplicateur galit des

utilits marginales pondres par les prix (deuxime loi de Gossen).

3) L'expression des fonctions de demande

Le panier optimal recherch correspond l'un des points du chemin d'expansion qui vientd'tre trouv. Mais il doit satisfaire aussi la contrainte de budget : nous avons dj prcis queson point reprsentatif est ncessairement sur la droite de budget. Par consquent, le panieroptimal est gomtriquement dcrit par le point de concours entre le chemin d'expansion et ladroite de budget.

Comme R = PX * x + PY * y,PX * x = R - PY * y => x = [R - PY * y] / PX (4)PY * y = R - PX * x => y = [R - PX * x] / PY (5)

(2) et (4) => y = PX/ PY [1 + (R - PY y) / PX] -1= PX/ PY + (R - PY y) / PY - (PY / PY)= [PX + R - PY y - PY] / PY

=> y PY = PX + R - PY y - PY=> 2y PY = PX + R - PY

=> y = [PX + R - PY] / 2PY(Fonction de demande du bien Y)

(3) et (5) => x = PY / PX * [1 + (R - PX x] / PY)] - 1= PY / PX + (R - PX x) / PX - (PX / PX)

= [PY + R - PX x - PX] / PX=> x PX = PY + R - PX x - PX2x PX = PY + R - PX

=> x = [PY + R - PX] / 2PX(Fonction de demande du bien X)

Conclusion : La demande de chacun des deux biens dpend ainsi du prix du bien considr, duprix de l'autre bien et du revenu du consommateur.Plus prcisment, chacune de ces fonctions vrifie la double loi microconomique de lademande :

- la demande d'un bien est normalement une fonction dcroissante du prix de ce bien ;- la demande d'un bien est normalement une fonction croissante du revenu duconsommateur.


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Remarques :

1- La double loi microconomique de la demande souffre quelques exceptions remarquables :- la demande est une fonction croissante du prix du bien sous trois effets possibles :

l'effet Giffen : la demande crot avec le prix quand le bien est de premire ncessit(l'effet de revenu fait plus qu'annihiler l'effet de substitution : voir plus loin) ;

l'effet Veblen : la demande des biens de luxe peut crotre avec le prix cause ducomportement ostentatoire de certains consommateurs ;

l'effet d'anticipation : en situation d'incertitude, la demande peut crotre lorsque lesconsommateurs nourrissent des anticipations inflationnistes ; cet effet peut tre renforc par un effet despculation (acheter d'autant plus maintenant que l'on espre pouvoir vendre plus cher plus tard).

- la demande est une fonction dcroissante du revenu du consommateur pour les biens de typeGiffen cause de l'effet qualit : la croissance de son revenu amne le consommateur substituerprogressivement aux biens de qualit mdiocre des biens de qualit suprieure (voir plus loin).

2- Ces deux fonctions de demande sont des fonctions homognes de degr 0, ce qui traduit l'hypothsed'absence d'illusion montaire du consommateur.Une fonction conomique est dite homogne de degr k si, en multipliant ses variables dterminantes par la mme

valeur positive , la fonction est multiplie park:

On a bien pour la fonction y : [PX + R - PY] / 2PY = [PX + R - PY] / 2PY, soit y * 0.

De mme pour la fonction x.Dire que les fonctions de demande de X et de Y sont homognes de degr 0 et que le consommateur n'est doncvictime d'aucune illusion montaire revient considrer ces fonctions de demande comme dpendant de variablesrelles : des prix relatifs des biens et du revenu rel du consommateur ; on retrouve l l'analyse dichotomique.

3- tant linaires par rapport l'ensemble des prix et du revenu, ces deux fonctions de demandeappartiennent la catgorie des fonctions dite des "fonctions de Stone".

4- Une fonction est dite homogne linaire quand k = 1. L'adjectif linraire s'applique "homogne" etnon "fonction" : une fonction peut tre en effet homogne sans tre linaire.En thorie de la production, une fonction de production homogne linaire correspondent des rendementsd'chelle constants et des courbes de cots moyens et marginaux de longue priode qui sont horizontales etconfondues.

La fonction de production homogne linraire le plus souvent utilise est la fonction dite de Cobb-Douglas : elles'crit Q = L K1- avec 0


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A la priode (0), l'quilibre du consommateur E(0) est dfini par les valeurs suivantes :

x(0) = [6 + 1000 - 12] / (2*12) = 41,4167y(0) = [12 + 1000 - 6] / (2*6) = 83,8333U(0) = 3596,8486

A la priode (n), l'quilibre du consommateur E(n) est dfini par les valeurs suivantes :

Situation 1 : Situation 2 :

x(n) = 62,375 x(n) = 62,625y(n) = 83,50 y(n) = 49,90U(n) = 5354,1875 U(n) = 3237,5125

Les schmas nos 1 et 2 dcrivent la rsolution graphique.

L'volution des prix des deux biens fait donc tout logiquement varier l'quilibre duconsommateur. Le dplacement de celui-ci correspond ce que l'on appelle l'"effet-prix".Pour mieux comprendre la relation qui existe entre la demande et le prix, il convient d'analysercet effet-prix.

Remarques importantes :

1- On appelle fonction d'utilit indirecte la fonction d'utilit (V) obtenue en remplaant les argumentsde la fonction d'utilit directe par l'expression des fonctions de demande (marshalliennes) des biens. Dans le cadrede notre application, on a :

V = x + y + x y= [PY + R - PX] / 2PX + [PX + R - PY] / 2PY + [PY + R - PX] / 2PX * [PX + R - PY] / 2PY

Aprs dveloppement et simplification, on trouve :

V = [PY2 + 2RPY - 2PXPY + 2PX2 + 2RPX + R2] / 4 PXPY.Cette fonction d'utilit indirecte prcise l'utilit maximale que l'on peut atteindre pour des niveaux donns de prixdes biens et de revenu du consommateur ; elle prouve aussi s'il en est besoin que l'utilit est une fonctiondcroissante des prix et une fonction croissante du revenu.La drive de cette fonction par rapport R mesure ce que l'on appelle l'"utilit marginale du revenu".On a ici : dV / dR = [2PX + 2PY + 2R] / 4 PXPYEn fonction des valeurs de la priode (0), on obtient : dV / dR = 7,0694, ce qui correspond l'utilit apporte parla dernire unitaire montaire dpense.Cette drive de la fonction d'utilit indirecte par rapport au revenu est gale au multiplicateur de Lagrange puisque dL / dR = . On vrifie cela dans notre application en reportant par exemple les valeurs de la priode (0)dans les expressions du multiplicateur de Lagrange trouves lors de la rsolution mathmatique du problmed'optimisation :

on a bien = (1+y) / PX = (83,8333 + 1) / 12 = 7,0692 et = (1+x) / PY = (41,4167 + 1) / 6 = 7,0695.Par consquent, le multiplicateur de Lagrange reprsente l'utilit marginale du revenu : il mesure dans quelle proportion l'utilit du consommateur s'amliore lorsque sa contrainte budgtaire se desserre suite uneaugmentation de son revenu.

2- La remarque prcdente tablit l'galit, pour les valeurs optimales, entre la drive de la fonctiond'utilit indirecte par rapport au revenu et la drive galement par rapport au revenu de la fonction lagrangiennetablie partir de la fonction objectif initiale (la fonction d'utilit directe). Ce rsultat peut tre gnralis auxautres variables que sont les prix des biens : les deux drives partielles par rapport aux prix de la fonctiond'utilit indirecte sont gales au drives du lagrangien par rapport ces prix.Autrement dit, dV / dPi = dL / dPi, o dL / dPX = - x et o dL / dPY = - y.

Comme = dL / dR, on peut crire : x = - (dV / dPX) / (dV / dR) et y = - (dV / dPY) / (dV / dR).

Ces deux quations expriment ce que l'on appelle l'identit de Roy.


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On en conclut que les demandes des deux biens peuvent tre obtenues par l'intermdiaire des drives de lafonction d'utilit indirecte : plus prcisment, la demande du bien i est gale, au signe prs, au rapport desdrives de la fonction d'utilit indirecte par rapport au prix de i et par rapport au revenu.

Le fait que la drive de la fonction d'utilit indirecte par rapport l'un de ses paramtres soit gale la drivedu lagrangien de la fonction objectif initiale par rapport ce paramtre value au point extremum, correspond ce que l'on appelle le thorme de l'enveloppe ; parce qu'on l'applique au premier chef au calcul du producteurpour expliquer que la drive du cot de longue priode (CLP) est gale la drive de la fonction de cot decourte priode (CCP) condition d'valuer celle-ci au point optimal : les courbes de CCP et la courbe de CLP dite

prcisment courbe enveloppe ont la mme tangente lorsqu'elles se touchent.

2) La dcomposition de l'effet-prix : l'quation de Slutsky.

tudions le cas du seul bien X et considrons la situation 1 o, lors de la priode (n), iln'y a que le prix de X qui varie (en passant de 12 8), ceteris paribus : R = 1000 et PY(n) = 6.

Pour expliquer le passage de E(0) E(n), situation 1, on dcompose l'effet-prix total endeux sous-effets : l'effet de substitution et l'effet de revenu (qu'il vaudrait d'ailleurs mieuxappeler effet de revenu rel ou effet de pouvoir d'achat).

L'effet de revenu correspond la variation de la quantit demande suite la variationdu pouvoir d'achat qu'entrane la variation du prix du bien.

L'effet de substitution, quant lui, rsulte du fait que, indpendamment de la variationdu pouvoir d'achat qu'entrane la variation du prix du bien, celle-ci modifie, ceteris paribus, lerapport des prix des deux biens en prsence et que, partir du moment o ces deux biens sontrelativement substituables, cela va inciter le consommateur raliser une substitution entre lesdeux biens.

L'explicitation des effets de substitution et de revenu peut tre faite gomtriquement etalgbriquement.Qu'il s'agisse de l'analyse gomtrique ou de l'analyse algbrique, le raisonnement peut tretenu de deux faons diffrentes quant la manire de mettre en vidence l'effet de substitution,c'est--dire l'effet de la modification de prix sur la demande en supposant le revenu relconstant.La "mthode de Slutsky" consiste raisonner pouvoir d'achat constant tandis que la"mthode de Hicks" consiste raisonner utilit constante. Les deux mthodes s'opposent endfinitive sur la dfinition de la notion de revenu rel : pour Slutsky, le revenu rel est constantlorsqu'il permet d'acqurir le mme panier de biens qu'initialement, en dpit de la variation du

prix du bien et indpendamment de la carte d'indiffrence du consommateur, alors que pourHicks, le revenu rel est constant lorsqu'il permet de conserver le mme niveau d'utilitqu'initialement.Pour gnraliser, on pourrait dire que la mise en vidence de l'effet de substitution se fait "richesse" du consommateur constante, cette richesse pouvant tre value tout aussi bien parun panier donn de biens que par un certain niveau d'utilit.

Remarque : Contrairement la mthode de Hicks, la mthode de Slutsky ne ncessite pas la connaissance de lacarte du consommateur. Cela explique qu'elle soit d'application conomtrique plus facile et qu'elle ait t adoptepar P. Samuelson, le thoricien des "prfrences rvles" (on donne d'ailleurs souvent le nom de cet conomisteamricain la mthode de Slutsky).

A- La mthode de E. Slutsky : mise en vidence de l'effet de substitution pouvoird'achat constant.

1) La dcomposition slutskienne de l'effet-prix.

a) L'effet de substitution.


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Ch. BIALS12

Par dfinition PX varie. Supposons que le consommateur dsire malgrtout accder au mme panier optimal qu'en priode (0), c'est--dire bnficier du mme

pouvoir d'achat. Pour cela, il faudrait une modification de son revenu nominal et que celui-cipasse de R R(S) (dans notre application, comme nous le chiffrerons plus loin, la diminutiondu prix de X fait que R(S) est en diminution par rapport R) :

R(S) = PX(n) x(0) + PY(n) y(0)Comme R = PX(0) x(0)+ PY(0) y(0)

__________________________On a : R(S) - R = x(0) * (PX(n) - PX(0)), puisque PY(n) = PY(0)

Soit : R = x(0)* PX (les deux variations sont de mme sens). R est la variation du revenu nominal qu'il faudrait que le consommateur enregistre pour

pouvoir se procurer exactement le panier optimal initial malgr la variation du prix de X.

L'effet de substitution de Slutsky sur la demande de X est la quantit

optimale de ce bien qui serait demande par le consommateur s'il disposait du revenu R(S), entenant compte du nouveau rapport de prix entre X et Y.Gomtriquement, cet effet se traduit par la rotation de la droite de budget B(0) autour de E(0)

pour prendre une pente gale au nouveau rapport de prix ; et la quantit x(S)correspondant cet effet est donne par l'abscisse du point E(S) de tangence de cette droite de budgettransitoire avec l'une des courbes d'indiffrence de la carte du consommateur. Voir schma n3.

Algbriquement, on peut crire :

x(Ds) = x(D) [PX(n) ; PY(n) ; RS] - x(D) [PX(0) ; PY(0) ; R]

Prcisons le sens de nos notations : x(Ds) = effet de substitution sur la demande de X ;x(D) [PX(n) ; PY(n) ; R(S)] = la demande du bien X est

fonction du prix des deux biens lors de la priode (n) ainsi que du revenu R(S).

Dans l'application, on a : R = 41,4167 * (8 - 12) = - 165,67 => R(S) = 1000 - 165,67 = 834,33

x(Ds) = x(D) [8 ; 6 ; 834,33] - x(D) [12 ; 6 ; 1000] = x(S) - x(0)= 52,0206 - 41,4167= 10,6039

et y(S) = 69,6942D'o un niveau d'utilit U(S) = x(S)+ y(S) + x(S)y(S) = 3747,2489

L'effet de substitution est toujours "ngatif" en ce sens qu'il induit unevariation de la demande de sens inverse la variation du prix.

L'effet de substitution est souvent appel "variation de la demandecompense" parce que la variation du prix du bien est compense ici par une variation durevenu juste suffisante pour permettre au consommateur d'acheter le panier initial. L'effet desubstitution correspond ainsi un effet de compensation.

b) L'effet de revenu (rel)


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Ch. BIALS13

Gomtriquement, l'effet de revenu se traduit par le dplacement, paralllement elle-mme, de la droite de budget de sa position provisoire aprs le jeu del'effet de substitution jusqu' sa position finale. On passe ainsi de E(S) E(n) en ce quiconcerne l'quilibre et de x(S) x(n) en ce qui concerne les quantits de X. Voir schma n 3.

Comme l'effet de revenu correspond la variation de la demande de Xquand le revenu du consommateur passe de R(S) R, algbriquement, il s'crit :

x(Dr) = x(D) [PX(n) ; PY(n) ; R] - x(D) [PX(n) ; PY(n) ; R(S)]

L'effet de revenu peut oprer sur la demande du bien dans les deux sens :dans le mme sens que le revenu quand le bien est normal et en sens oppos quand le bien estinfrieur.

Dans l'application, on a : x(Dr) = x(D) [8 ; 6 ; 1000] - x(D) [8 ; 6 ; 834,33]

= 62,375 - 52,0206 = + 10,3544(X est "normal")

=> x passe donc de 52,0206 62,375,On a de mme : y (Dr) = y(D) [8 ; 6 ; 1000] - y(D) [8 ; 6 ; 834,33]

= 83,50 - 69,6942 = + 13,8058Ces augmentations de consommation sont rendues possibles par l'amlioration du pouvoird'achat [R - R(S)] = + 165,67.On vrifie effectivement que : (10,3544 * 8) + (13,8058 * 6) = 165,67.

2) La variation de la demande

a) La variation de la demande en valeur absolue.

Par dfinition, on a : x(D) = x(D) [PX(n) ; R] - x(D) [PX(0) ; R]

Dans l'application, x(D) = 62,375 - 41,4167 = 20,9583

Aprs dcomposition, on a : x(D) = x(Ds) + x(Dr)algbriquement : 20,9583 = 10,6039 + 10,3544graphiquement :x(0)->x(n) x(0)->x(S) x(S)->x(n)

En remplaant les effets de substitution et de revenu par leur expression respective, on obtient :

x(D) [PX(n) ; R] - x(D) [PX(0) ; R]

= [x(D) [PX(n) ; R(S)] - x(D) [PX(0) ; R]] + [x(D) [PX(n) ; R] - x(D) [PX(n) ; R(S)]]

Et aprs simplification, cette galit devient une identit, dite identit de Slutsky.

Remarque sur le jeu des deux sous-effets selon la nature du bien X :

x(D) = x(Ds) + x(Dr)Effet total = Effet de subst. + Effet de

revenuBien normal et suprieur - - -

Bien infrieur mais normal - - +Bien infrieur de type Giffen + - ++


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Ch. BIALS14

b) La variation de la demande en taux de variation.

Appelons x(DR) l'oppos de x(Dr) : x(DR) = - x(Dr) = x(D) [PX(n) ; R(S)] - x(D) [PX(n) ; R]Alors, x(D) = x(Ds) - x(DR)

Et en divisant par PX :

x(D) / PX = [ x(Ds) / PX]PA constant- x(DR) / PXI-------------------------------I

taux de variation quand le prix varie et quele revenu est ajust pour que le pouvoir d'achatreste constant de manire permettre au consom-mateur de garder son panier optimal initial.

Par ailleurs, R = x(0) * PX => PX = R / x(0)Alors, x(D) / P

X= [x(Ds) / P

X]PA constant- x(DR) / [ R / x(0)],

soit la relation suivante, dite quation de SLUTSKY :

x(D) / PX = [ x(Ds) / PX]PA constant - ( x(DR) / R) * x(0)(1) (2) (3)

(1) -> x(D) / PX = [x(D) [PX(n) ; R] - x(D) [PX(0) ; R]] / PX = taux de variation de lademande de X quand le prix du bien varie, ceteris paribus. Cela correspond la pente de lacourbe de demande en fonction du prix = effet-prix total.(2) -> x(Ds) / P

X= [x(D) [P

X(n) ; R(S)] - x(D) [P

X(0) ; R]] / P

X= taux de variation de

la demande de X quand son prix varie et que le revenu est ajust pour laisser le pouvoir d'achatconstant de manire rendre accessible le panier initial = effet de substitution de Slutsky. Celacorrespond la pente de la courbe de demande compense de Slutsky.(3) -> ( x(DR) / R) * x(0)= x(0) * [x(D) [PX(n) ; R(S)] - x(D) [PX(n) ; R]] / [R(S)-R] = taux de variation de la demandequand le pouvoir d'achat varie sous l'effet de la variation du prix du bien, dans le cadre dunouveau rapport de prix = effet de revenu, d'autant plus fort que la demande initiale X estimportante.

Dans notre application, on a bien :

20,9583 / 4 = 10,6039 / 4 - (10,3544 / - 165,67) * 41,4167, soit : 5,2396 = 2,6510 + 2,5886

B- La mthode de J. Hicks : mise en vidence de l'effet de substitution utilitconstante.

Pour ne pas alourdir ce texte, on se contentera d'indiquer les diffrences entrel'analyse d'Hicks et celle de Slutsky sans refaire tous les dveloppements, en prsentant ladcomposition hicksienne de l'effet-prix et en reformulant l'quation de Slutsky dans le cadrede cette dcomposition.

1) La dcomposition hicksienne de l'effet-prix.


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Ch. BIALS15

La diffrence essentielle entre les analyses de Slutsky et de Hicks est que l'effetde substitution est isol par le premier pouvoir d'achat constant alors qu'il l'est par le second utilit constante.

Gomtriquement, rappelons que l'effet de substitution de Slutsky est obtenu par rotation de ladroite de budget autour de E(0), point d'quilibre initial, pour prendre une pente correspondantau nouveau rapport de prix et entrer en tangence avec une autre courbe d'indiffrence -U(S)- de

la carte du consommateur, dterminant ainsi un quilibre transitoire E(S). Dans l'analyse deHicks, l'effet de substitution est mis en vidence en traant une droite de budget transitoire

parallle la nouvelle droite de budget -pour traduire le nouveau rapport de prix- qui entre entangence avec la courbe d'indiffrence initiale correspondant par consquent au niveau d'utilitde dpart U(0). On obtient ainsi un quilibre transitoire E(H) caractris par le maintien duniveau initial d'utilit au prix d'une substitution entre les deux biens selon l'volution de leurs

prix relatifs et d'une modification corrlative du revenu nominal que le consommateur devraitentregistrer.Le passage de E(H) E(n) traduit l'effet de revenu. Voir le schma n 4.

Algbriquement, l'analyse hicksienne aboutit aux rsultats suivants lorsqu'on l'applique notreexemple :

a) Effet de substitution de Hicks :A l'quilibre transitoire E(H), on a l'galit entre la pente de la courbe

d'indiffrence U(0) et la pente de la droite de budget transitoire qui est par construction lamme que celle de la droite de budget de la priode (n), autrement dit gale au nouveau rapportde prix :

Pente de la courbe U(0) d'quation y = (3596,8486 - x) / (1 + x) :- (U(0) + 1) / (1 + x)2 = - 3597,8486 / (1 + x)2

Pente de la droite de budget de la priode (n) : - 8 / 6Egalit des deux pentes => - 3597,8486 / (1+x)2 = - 8 / 6 = - 1,3333=> x(H) = 50,946 (+9,5293)=> y(H) = (3596,8486 - 50,946) / (50,946 + 1) = 68,2613 ( - 15,572)=> R(H) = (50,946 * 8) + (68,2613 * 6) = 817,1358R(H) - R = - 182,8642

Remarque : Deux autres raisonnements peuvent tre tenus.

1- Le premier se fonde sur le fait que x(H) correspond l'abscisse du point de concours de la courbe

d'utilit initiale U(0)

avec le chemin d'expansion (lieu gomtrique de tous les quilibres du consommateur pourun certain rapport de prix) calcul pour le nouveau rapport de prix :On a :

pour quation de U(0) = x + y + xy = 3596, 8486pour quation du chemin d'expansion : y = [PX / PY * (1 + x)] - 1 avec PX / PY = 8/6 = 4/3Donc, par substitution, on peut crire : x + [4/3 *(1+x) -1] + x * [4/3 *(1+x) -1] = 3596,8486

Soit : 4 x2 + 8 x - 10789,5456 = 0, quation du second degr dont il faut chercher la racine positive.

= b2 - 4 ac = 64 + 172632,7296 => = 415,568

x(H) = (-b + ) / 2a = (-8 + 415,568) / 8 = 50,946.

2- Le second raisonnement consiste minimiser le revenu sous contrainte d'utilit :Min R = x PX + y PY avec PX = 8 et PY = 6

s/c : U = x + y + xy = 3596,8486Cette mthode revient en fait utiliser la fonction de demande compense : voir la remarque la fin de cettepremire partie (second point).


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b) Effet de revenu de Hicks :x passe de 50,946 62,375, soit + 11,429 ;y passe de 68,2613 83,50, soit + 15,2387 ;lesquelles augmentations de consommation sont rendues possibles par

l'amlioration du pouvoir d'achat qu'a permise la diminution du prix de X, ceteris paribus.On vrifie en effet que : (11,429 * 8) + (15,2387 * 6) = R - R(H) = 182,8642

2) L'quation de Slutsky applique l'analyse hicksienne de l'effet-prix.

Par analogie avec l'quation de Slutsky tablie dans le cadre de l'analyseslutskienne, on peut crire :

x(D) / PX = [ x(Ds) / PX]U constante - ( x(DR) / R) * x(0)(1) (2) (3)

(1) -> x(D) / PX = [x(D) [PX(n) ; R] - x(D) [PX(0) ; R]] / PX = taux de variation de la

demande de X quand le prix du bien varie, ceteris paribus. Cela correspond la pente de lacourbe de demande en fonction du prix = effet-prix total.(2) -> x(Ds) / PX = [x(D) [PX(n) ; R(H)] - x(D) [PX(0) ; R]] / PX = taux de variation dela demande de X quand son prix varie et que le revenu est ajust pour laisser l'utilit gale celle de la situation initiale = effet de substitution de Hicks. Cela correspond la pente de lacourbe de demande compense de Hicks.(3) ->( x(DR) / R) *x(0)= x(0) * [x(D) [PX(n) ; R(H)] - x(D) [PX(n) ; R]] / [R(H)-R] = taux de variation de la demandequand le pouvoir d'achat varie sous l'effet de la variation du prix du bien, dans le cadre dunouveau rapport de prix = effet de revenu, d'autant plus fort que la demande initiale X est

importante.Dans notre application, on obtient :

20,9583 / 4 = 9,5293 / 4 - (11,429 / - 182,8642) * 41,41675,2396 # 2,3823 + 2,5885

Remarque finale, de nature terminologique:

Selon ses besoins d'analyse, la thorie microconomique est amene donner au concept de demande plusieursacceptions.

Quatre distinctions mritent d'tre faites.

1- Demande individuelle et demande collective.

La fonction de demande individuelle du bien

Les fonctions de demande collective du bienLa f. de demande collective du bien la firme

La f. de demande collective au march

Les fonctions de demande collective se dduisent des fonctions de demande individuelles des diffrentsconsommateurs par agrgation horizontale.

2- Demande non compense et demande compense.Cette distinction concerne la demande individuelle.


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Ch. BIALS17

La fonction de demande non compense correspond la fonction de demandetraditionnellement dfinie (d'o le fait qu'elle soit galement appele demande normale) et qui peut treconcrtement observe, celle qui donc tient compte la fois de l'effet de substitution et de l'effet de revenu (rel).Certains auteurs appellent "demande marhallienne" la demande normale, par opposition la demande compense(voir remarque 3 ci-aprs).

Lafonction de demande compense est la fonction hypothtique qui ne prend en considrationque l'effet de substitution : c'est donc celle que le consommateur exprimerait si son revenu tait ajust -compens-de sorte que, en dpit de la variation du prix du bien, il conserve un mme revenu rel constant (avec les deux

dfinitions possibles, celle de Hicks et celle de Slutsky ; d'o les expressions de demande hicksienne ouslutskienne).Graphiquement, la courbe de demande compense a ncessairement une pente plus forte que celle de la demandenon compense puisque la premire exclut contrairement la seconde l'effet de revenu ; autrement dit, lademande compense est moins lastique que la demande non compense.Algbriquement, les fonctions de demande compenses, celle de y et celle de x, peuvent tre dtermines enminimisant la dpense pour un niveau de revenu rel donn. Si on prend la dfinition hicksienne, il s'agit deminimiser la dpense sous la contrainte du niveau d'utilit initiale. On peut alors crire :

L = x PX + y PY + [ U - (x + y + xy)]

dL/dx = PX - - y = 0 ()

dL/dy = PY - - x = 0 ()

dL/d = U - x - y - xy = 0 (III)(I)/(II) -> PX/PY = (1+y) / (1+x) (IV)

(IV) -> x = (PY / PX) (1+y) - 1 (V) (IV) -> y = (PX / PY) (1+x) - 1 (VI)(III) et (V) (III) et (VI)-> U =(PY/PX) (1+y)-1+y+[(P/PX) (1+y)-1] y -> U =x+(PX/PY) (1+x)-1+x [(PX / PY) (1+x)-1]

= (PY/PX) (1+y)2 - 1 = (PX/PY) (1+x)2 - 1

=> (1+y)2 = (U + 1) (PX / PY) => (1+x)2 = (U + 1) (PY / PX)

=>y = (U + 1)0,5 (PX / PY)0,5 - 1 => x = (U + 1)0,5 (PY / PX)0,5 - 1

(fonction de demande compense de y) (fonction de demande compense de x)

On peut utiliser de telles relations, lors de la dcomposition de l'effet-prix, pour dterminer l'effet de substitution.

Ainsi, dans notre application, on a U(0) = 3596,8486.La quantit de x optimale correspondant l'effet de substitution est directement donne par l'expression de la

demande compense : x = (3596,8486 + 1)0,5 (6/8)0,5 - 1 = 50,946.

On peut galement dterminer la fonction de revenu compens ou fonction de dpense, qui dpend de PX, de PY

et de U. Dans l'hypothse de la dcomposition hicksienne de l'effet-prix, ce revenu compens a dj t not R(H)et on peut crire :

R(H) = PX * x + PY * y = PX [(U + 1)0,5 (PY / PX)0,5 - 1] + PY [(U + 1)0,5 (PX / PY)0,5 - 1]

=> R(H) = 2 (U + 1)0,5 PX0,5 PY0,5 - PX - PY

En appliquant cette relation aux valeurs de la priode initiale, on retrouve la valeur R(H)

= 817,13.On dmontre par ailleurs (lemme de Shephard) que la drive de la fonction de revenu compens par rapport auprix de l'un des biens est gale la demande compense de ce bien. On a ainsi la demande compense de X lors

de la variation de son prix de 12 8 : dR / dPX = (U + 1)0,5 PX-0,5 PY0,5 -1 = 50,946.

Enfin, c'est thoriquement la notion de demande compense et non celle de demande non compense qui doit tre la base du calcul du surplus du consommateur ainsi qu' la base de la mesure de la variation de ce surplus au furet mesure que le prix change.La mesure du surplus par la demande non compense ne peut en effet n'tre qu'une approximation parce qu'ellefait intervenir l'effet de revenu : le surplus est alors calcul par sommation des surplus apports par les unitssuccessivement demandes du bien mais exprims avec une unit montaire dont l'utilit marginale diminueprogressivement cause prcisment de l'effet de revenu ; or, il convient de sommer des surplus exprims en

units montaires de valeur constante, ce que permet prcisment de raliser la demande compense.En ce qui concerne la variation du surplus lorsque le prix de l'un des biens change, elle correspond la variation

du revenu compens (mthode de la variation compensatoire), que nous avons prcdemment calcule : R(H) - R


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Ch. BIALS18

= - 182,86 : le consommateur accepte que son revenu soit diminu de 182,86 si le prix de X passe de 12 8.La variation du surplus pourrait tre galement value avec pour situation de rfrence non pas la priode initialemais la priode terminale (mthode de la variation quivalente) : le raisonnement est alors mener partir de

R(H ') et de la diffrence R(H ') - R(H)pour prendre la notation utilise plus loin lors de la prsentation de l'indicerciproque du cot de la vie

3- Demande marshallienne versus demande hicksienneLe calcul du consommateur revient toujours, en dfinitive, dterminer un panier optimal.Seulement, ce panier optimal peut tre dtermin dans deux situations diffrentes :

DTERMINATION DU PANIER OPTIMAL

1re situation 2me situation

Maximisation de la fonction d'utilit Minimisation du revenu dpenssous contrainte du niveau de revenu sous contrainte du niveau d'utilit

L = U(x,y) + [ R - x PX + y PY ] L = x PX + y PY + [ U - U(x,y) ]

Quand on laisse prix et revenu sous Quand on laisse prix et utilit sousforme de variables, on peut exprimer forme de variables, on peut exprimerles fonctions de demande : les fonctions de demande :

x = f (PX ; PY ; R) x = f (PX ; PY ; U)y = f (PX ; PY ; R) y = f (PX ; PY ; U)

= demandes marshalliennes de x et y = demandes hicksiennes de x et y

La fonction de demande dfinie au dbut correspond au type "marshallien", ce qui est le cas habituel.

En ce qui concerne la demande hicksienne, remarquons que la mthode utilise pour l'exprimer est celle que nousavons employe pour dterminer la demande compense ainsi que dans la dcomposition hicksienne de l'effet-prix.Remarques :

1- Considrant que les deux mthodes de dtermination du panier optimal consistent renverser lesdonnes du problme -la fonction objectif est dans un cas l'utilit maximiser et dans l'autre la dpense minimiser et la contrainte est dans un cas le budget et dans l'autre le niveau d'utilit-, le problme du choix duconsommateur prsente donc la proprit de dualit. Par consquent, comme en programmation linraire, on peut parler de programme primalpour la premire mthode, celle qui aboutit aux fonctions de demandesmarshalliennes, et de programme dualpour la deuxime mthode, celle qui aboutit aux fonctions de demandehicksiennes (l'analyse que propose Hicks dans son fameux ouvrage "Valeur et capital" publi en 1946 est repriseet gnralise par W. E. Diewert en 1982).

2- La demande hicksienne correspond la version par dfinition hicksienne de la demande compense

prsente plus haut.4- Demande marshallienne versus demande walrasienne.La fonction de demande normale est elle-mme parfois qualifie de "marshallienne" ou de "walrasienne"

: cette distinction peut tre alors entendue de trois manires. Selon que la variable dpendante est le prix ou la quantit, la fonction de demande est dite :

- "marshallienne" : la courbe de demande dcrit les diffrents prix maxima qui seraient accepts pourdiffrents niveaux de quantits, d'o l'explication de la prsentation de la courbe avec les quantits en abscisse etles prix en ordonne (la relation exprimant le prix en fonction de la quantit est dite "fonction de demandeinverse") ;

- "walrasienne" : cela correspond au raisonnement dominant qui consiste exprimer la quantit optimaledemande en fonction du prix ("fonction de demande directe") mais on garde malgr tout par habitude lareprsentation graphique due Marshall.

Selon que la demande est tudie dans le cadre d'une analyse d'quilibre partiel (on ne tient pascompte des interdpendances entre marchs) ou dans celui d'une analyse d'quilibre gnral (on tient compte deces interdpendances), la fonction de demande est :


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- "marshallienne" : on se limite la relation entre la quantit optimale demande d'un bien et le prix de ceseul bien ;

- "walrasienne" : la demande individuelle du bien dpend du prix de tous les biens.La fonction de demande "walrasienne" (analyse d'quilibre gnral) peut tre elle-mme brute ou nette :La demande brute correspond la demande totale exprime par la fonction de demande issue du calculd'optimisation ; elle indique donc la quantit que le consommateur souhaite consommer.La demande nette est gale la demande brute diminue de la dotation initiale du consommateur dans le bienconsidr ; elle indique donc la quantit que le consommateur souhaite acheter (ou vendre : la demande nette peuttre ngative et correspond alors une offre). Soulignons par ailleurs que la fonction de demande nette est

fonction des seuls prix des biens (cris par le commissaire-priseur) dans la mesure o le revenu du consommateurest lui-mme fonction de ces prix ; le revenu est en effet gal la valeur globale des biens de la dotation initialedu consommateur.

Selon que l'on s'intresse la demande ordinaire ou la demande vise par la loi de Walras, lafonction de demande est :

- "marshallienne" quand elle correspond la demande brute, autrement dit la demande totale ;- "walrasienne" quand on considre la demande nette globale pour un bien, c'est--dire la diffrence entre

la demande et l'offre de l'ensemble des consommateurs pour ce bien, autrement dit l'agrgation des demandesnettes individuelles (dfinies dans le paragraphe prcdent) qu'expriment tous les consommateurs pour ce bien.Rappelons ici l'nonc de la loi de Walras et son corollaire :- nonc : l'quilibre concurrentiel, la somme en valeur des demandes nettes pour tous les marchs est nulle (onretrouve la loi de J.-B. Say) ;- corollaire : lorsque tous les marchs sauf un sont en quilibre, le dernier l'est aussi (on retrouve le principe de

l'analyse dichotomique et son postulat de neutralit de la monnaie).


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Ch. BIALS20

DEUXIME PARTIE : LES INDICATEURS DE LA DEMANDE

1) Les lasticits de la demande

L'lasticit est un indicateur de sensibilit : elle donne le sens et mesure l'intensit de laraction d'une fonction la variation de sa variable dterminante.

Si on a la fonction y = f(x), l'lasticit de y par rapport x est :

ey/x= (dy / y) / (dx / x) = (dy / dx) * (x / y)

Remarque : La dfinition de l'lasticit que nous posons ici est celle de l'"lasticit-point" qui se diffrencie del'lasticit d'arc que l'on calcule lorsque les variations ne sont pas infinitsimales.

L'lasticit est le rapport de deux variations relatives (celle de la fonction et celle de lavariable) pour en faire un nombre indpendant des units de mesure.L'lasticit prend un signe positif ou ngatif selon que y et x varient dans le mme sens ou

non, et sa valeur absolue est d'autant plus grande que la raction de y la variation de x estforte, l'lasticit unitaire servant de seuil entre demande rigide et demande lastique.

lasticitde lademandedu bien X

par rapport au prix

par rapport au revenu

prix du bien X : lasticit-prix directe

prix du bien Y : lasticit-prix croise

: lasticit-revenu

L'lasticit-prix de la demande prend deux formes selon que l'on envisage de tester la ractionde la demande d'un bien donn la variation du prix de ce bien ou celle du prix d'un autre

bien : on parle d'lasticit-prix directe dans le premier cas et d'lasticit-prix croise dans lesecond. Le signe des deux lasticits est important pour qualifier la nature des biens en cause :l'lasticit-prix directe est normalement ngative et elle prend un signe positif en casd'exception la loi de la demande (effet Giffen, effet Veblen) ; l'lasticit-prix croise estquant elle positive, nulle ou ngative selon que les deux biens sont substituables,indpendants ou complmentaires.

On peut ainsi crire, dans le cas de notre application, avec nos notations prcdentes et

en nous limitant au cas de la demande de X :

Elasticit-prix directe de X(D) = (dx / dPX) * (PX / x), avec x = [PY + R - PX] / 2PX,d'o le calcul d'une drive partielle de type u/v, qui, aprs simplification aboutit l'expressionsuivante : - (PY + R) / (PY + R - PX)Pour les valeurs en priode 0, PX = 12, PY = 6 et R = 1000, on trouve dans notre application :

lasticit-prix directe de X(D) = - 1,0121Le signe ngatif signifie que le bien X a une demande normale par rapport au prix.La valeur absolue lgrement suprieure 1 indique une demande plutt lastique, ce que

prouvent d'ailleurs les rsultats obtenus prcdemment quand le prix de X passe de 12 6.

Elasticit-prix croise de X(D) = (dx / dPY) * (PY / x)


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Ch. BIALS21

= PY / (PY + R - PX)= + 0,006 dans notre application.

Le signe positif signifie que X et Y sont substituables.La valeur presque nulle nous indique une quasi-insensibilit de la demande de X toutevariation du prix de Y (ce que montrent d'ailleurs les rsultats de la situation 2 de la priode n

par rapport ceux de la situation 1 de cette mme priode, quand le prix de Y passe de 6 10).Remarque : Il y a substituabilit brute du bien X au bien Y quand, lorsqu'il y a augmentation du prix de Y, lademande de X augmente par la domination de l'effet de substitution sur l'effet de revenu. Pour qu'il en soit ainsi,on doit avoir la fois :

dx / dPX < 0 et dx / dPY > 0 et galement dy / dPY < 0 et dy / dPX > 0Autrement dit, il y a substituabilit brute lorsque les effets directs des variations de prix sont ngatifs et que leseffets croiss sont positifs.Ces relations sont vrifies dans l'application considre : X et Y sont des substituts bruts.Dans la thorie de l'quilibre gnral, pour que l'quilibre soit unique, les biens doivent tre des substituts bruts.Autrement dit, il faut qu'ils ne soient pas fortement complmentaires ; ou encore, que les marchs ne soient pastrop interdpendants : sur le march de X, l'influence d'une variation du prix de X doit tre plus forte quel'influence que les prix de tous les autres biens peuvent avoir sur ce march.

Elasticit-revenu de X(D) = (dx / dR) * (R / x)= R / (PY + R - PX)

= + 1,006 dans notre application.Le signe positif signifie que le bien X est "normal" en ce sens que sa demande est une fonctioncroissante du revenu du consommateur.La valeur absolue voisine de 1 nous indique que la demande volue grosso modo

proportionnellement au revenu nominal du consommateur.

Remarques terminales sur l'lasticit :

1- lasticit et drive logarithmique.L'lasticit en un point d'une fonction drivable peut tre exprime partir de la drive logarithmique :

e (y/x) = (dy / dx) * (x / y)= y ' * (x / y)= ( y ' / y ) * x= [d (ln y) /dx] * x

2- lasticit et quation de Slutsky.Reprenons par exemple l'quation de Slutsky applique l'analyse hicksienne pour le bien X :

x(D) / PX = [ x(Ds) / PX]U constante - ( x(DR) / R) * x(0)

Si on multiplie les deux membres de cette galit par le rapport (PX / x) et le dernier terme du membre de droiteen plus par (R/R), on obtient :

( x(D) / PX)* (PX / x)

= [ x(Ds) / PX]U constante * (PX / x) - [( x(DR) / R) * x(0) *(PX / x) * (R/R)]

= [ x(Ds) / PX]U constante * (PX / x) - [( x(DR) / R) * R / x * PX x / R]Donc :lasticit-prix directe de la demande (marshallienne)= lasticit-prix de la demande compense - lasticit-revenu * part du revenu consacre la dpense en X.

3- Lois d'Engel et typologie des biens selon la valeur de l'lasticit-revenu de leur demande.Les lois d'Engel concernent l'volution des principaux postes de dpense des mnages quand augmente

leur revenu : par rapport au revenu, les dpenses de consommation alimentaire, celles lies l'habillement et aulogement et celles enfin consacres l'hygine, la sant, l'ducation et aux loisirs, ont tendance progresserrespectivement moins que proportionnellement, proportionnellement et plus que proportionnellement.Cela amne dresser une classification des biens selon la valeur de leur lasticit-revenu :


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Ch. BIALS22

0 +1- +Biens infrieurs de Giffen

Biens infrieurs Biens suprieurs(non Giffen)

Biensneutres

B i e n s a n o r m a u x B i e n s n o r m a u x

D'aprs les lois d'Engel, les biens alimentaires sont des biens infrieurs, certains tant de type Giffen quand ilssont de premire ncessit, les biens concernant l'habillement et l'habitation des biens neutres et la sant,l'ducation, les loisirs des biens suprieurs.

2) Les indices de prix.A- Les indices du cot de la vie.

1- L'indice "vrai" du cot de la vie.

On part de E(0) sur U(0).On appelle indice "vrai" du cot de la vie l'indice not V et calcul partir du

rapport entre le revenu dont il faudrait que le consommateur dispose pour rester sur U (0) en priode (n), donc avec le nouveau vecteur de prix Pi(n), c'est--dire le revenu R(H), et le

revenu nominal effectif R :

V = [R(H) / R] * 100

V > 100 => R(H) > R => il y a augmentation du cot de la vie entre (0) et (n) ;V < 100 => R(H) < R => il y a augmentation du pouvoir d'achat entre (0) et (n).

Dans l'application, on a :

Situation 1 V = (817,1358 / 1000) * 100 = 81,71 => le pouvoir d'achat s'est

amlior.Situation 2 V = (1054,992 / 1000) * 100 = 105,49 => le cot de la vie s'est accru.

N.B. : Egalit du rapport des utilits marginales avec celui des prix, autrement dit galit des

deux pentes => - 3597,8486 / (1+x)2 = - 8/10 = - 4/5 = - 0,8

=> x = 66,062 (comme prcdemment, notons cette valeur x(H))

=> y = (3596,8486 - 66,062)/67,062 = 52,6496 (notons cette valeur y(H))

=> R(H) = (66,062 * 8) + (52,6496 * 10) = 1054,992

2- L'indice rciproque du cot de la vie.

On part de E(n) sur U(n).


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Ch. BIALS23

On appelle indice rciproque du cot de la vie l'indice not W et calcul partirdu rapport entre le revenu nominal effectif R et le revenu qu'il aurait fallu au consommateur

pour tre sur U(n) avec le vecteur de prix initial Pi(0) ; appelons R(H') ce revenu. Parconsquent,

W = [R / R(H')] * 100

Dans l'application, on a :

Situation 1 W = (1000 / 1223,8914) * 100 = 81,71


deux pentes => - 5355,1875 / (1+x)2 = - 12/6 = - 2

=> x = 50,7455 (notons cette valeur x(H'))

=> y = 102,4909 (notons cette valeur y(H'))

=> R(H') = (50,7455 * 12) + (102,4909 * 6) = 1223,8914

Situation 2 W = (1000 / 948,0504)*

100 = 105,48


deux pentes => - 3238,5125 / (1+x)2 = - 12/6 = - 2=> x = 40,24 (x(H'))

=> y = 77,5284 (y(H'))

=> R(H') = (40,24 * 12) + (77,5284 * 6) = 948,0504

Remarque : Que l'on parte de E(0) ou de E(n), on trouve tout logiquement les mmes valeurs d'indices de cot dela vie.

B- Les indices synthtiques de Laspeyres et de Paasche.

Priode 0 Priode n

Situation 1 Situation 2

Q P Q P Q P

BIEN X 41,4167 12 62,375 8 62,625 8

BIEN Y 83,8333 6 83,50 6 49,90 10

1- L'indice de prix de Laspeyres

L'indice de prix de Laspeyres (LP) est la moyenne arithmtique, pondre parles valeurs globales de la priode de base, des indices lmentaires de prix :

LP = 100 * [ Pi0 Qi0* (Pin / Pi0)] / Pi0 Qi0

LP = 100 * Pin Qi0 / Pi0 Qi0

Application, situation 1 :


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Ch. BIALS24

LP = 100 * [(8 * 41,4167) + (6 * 83,8333)] / [(12 * 41,4167) + (6 * 83,8333)]= 100 * 834,3334 / 1000 => LP = 83,4333

Application, situation 2 :LP = 100 * [(8 * 41,4167) + (10 * 83,8333)] / [(12 * 41,4167) + (6 * 83,8333)]

= 100 * 1169,9666 / 1000 => LP = 116,9667

L'indice de Laspeyres adopte la consommation de la priode (0) comme consommation deprfrence : si on le compare alors avec l'indice vrai du cot de la vie qui est calcul partir dela mme base, on constate qu'il lui est suprieur.

On peut crire avec nos notations de dpart :LP = 100 * [PX(n) x(0) + PY(n) y(0)] / [PX(0) x(0) + PY(0) y(0)]

V = 100 * [R(H) / R] = 100 * [PX(n) x(H) + PY(n) y(H)] / [PX(0) x(0) + PY(0) y(0)]

LP et V ont le mme dnominateur mais un numrateur diffrent : le numrateur de LP

correspond au revenu ncessaire l'achat du panier [x(0) ; y(0)] procurant l'utilit U(0) avec levecteur de prix de la priode (n), tandis que le numrateur de V est le revenu minimal qu'ilsuffit d'avoir pour obtenir aux mmes conditions de prix la mme utilit U(0) puisque lesquantits x(H) et y(H) sont optimales. Il ne peut y avoir, pour un certain vecteur de prix, deux

points d'quilibre sur la mme courbe d'indiffrence : avec Pi(n), il n'y a que E(H). Lenumrateur de V est donc toujours infrieur celui de LP.

Conclusion : L'indice de prix de Laspeyres est toujours suprieur l'indice vrai du cot de lavie.

Remarque : Notre illustration aboutit d'ailleurs un rsultat contradictoire : alors que l'indice vrai du cot de la

vie indique un gain de pouvoir d'achat, l'indice de Laspeyres fait au contraire tat d'une augmentation du cot dela vie.

2- L'indice de prix de Paasche

L'indice de prix de Paasche (PP) est la moyenne harmonique, pondre par lesvaleurs globales de la priode courante, des indices lmentaires de prix :

PP = 100 * Pin Qin / [ Pin Qin * (Pi0 / Pin)]

PP = 100 * Pin Qin / Pi0 Qin

Application, situation 1 :PP = 100 * [(8 * 62,375) + (6 * 83,50)] / [(12 * 62,375) + (6 * 83,50)]= 100 * 1000 / 1249,50 => PP = 80,032

Application, situation 2 :PP = 100 * [(8 * 62,625) + (10 * 49,90)] / [(12 * 62,625) + (6 * 49,90)]

= 100 * 1000 / 1050,90 => PP = 95,1565

L'indice de prix de Paasche adopte la consommation de la priode (n) comme consommationde rfrence : si on le compare alors l'indice rciproque du cot de la vie qui est calcul surla mme base, on constate qu'il lui est infrieur.

On peut crire avec nos notations de dpart :


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Ch. BIALS25

PP = 100 * [PX(n) x(n) + PY(n) y(n)] / [PX(0) x(n) + PY(0) y(n)]

W = 100 * [R / R(H')]= 100 * [PX(n) x(n) + PY(n) y(n)] / [PX(0) x(H') + PY(0) y(H')]

PP et W ont le mme numrateur mais un dnominateur diffrent : le dnominateur de PP

correspond au revenu ncessaire l'achat du panier [x(n) ; y(n)] procurant l'utilit U(n) avec levecteur de prix de la priode (n), tandis que le dnominateur de W est le revenu minimal qu'il

suffit pour obtenir aux mmes conditions de prix la mme utilit U(n) puisque les quantitsx(H') et y(H') sont optimales. Il ne peut y avoir, pour un certain vecteur de prix, deux pointsd'quilibre sur la mme courbe d'indiffrence. Le dnominateur de W est donc toujoursinfrieur celui de PP.

Conclusion : L'indice de prix de Paasche est toujours infrieur l'indice rciproque du cot dela vie.

Remarque : On dfinit l'indice de Fisher comme tant gal la moyenne gomtrique des deux indices deLaspeyres et de Paasche : F = (L*P)Quand les coefficients de la fonction d'utilit sont gaux, on dmontre que l'indice de Fisher est gal aux indices

vrai et rciproque du cot de la vie.On vrifie cette proprit dans l'application :- situation 1 : FP = ( 83,4333 * 80,032) = 81,715 = V = W ;- situation 2 : FP = (116,9667 * 95,1565) = 105,4995 = V = W.


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