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MIAS 2 - Chap III - page 1

III Phénomène de propagation

III.1 Définition

On dit qu’une grandeur f scalaire ou vectorielle fonction des variables d’espace (x, y, z) et du

temps (t) se propage si sa valeur en un point de l’espace (x0, y0, z0) à l’instant (t0) se retrouve en

un point quelconque (x, y, z) à l’instant (t) et en vérifiant :

c

rdttdt 0

De plus f vérifie l’équation d’Alembert :

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff :par défini Laplacien le f avec

7 t,z,y,xt,z,y,xft

t,z,y,xf

c

1

s

L’équation (7) s’appelle aussi équation de propagation ou équation d’onde :

f est aussi appelée fonction d’onde


Dans l’équation d’onde :

c représente la vitesse de propagation de l’onde f.

s(x, y, z, t), appelé second membre, matérialise la source locale génératrice de f.

Dans tous les problèmes on se place loin des sources ce qui permet de ramener le problème à une

équation homogène [c-à-d s(x, y, z, t) =0 ]. Afin de simplifier notre étude nous nous placerons

toujours dans ce cas pour la suite du chapitre.

Dans le chapitre précédent, nous avons vu l’écriture la plus simple de l’équation (7) appelé cas

unidimensionnel :

t,z,y,xt,z,y,xft

t,z,y,xf

c

12

2

2 s

2

2

2

2

2 x

t,xu

t

t,xu

c

1

On a donc une onde si :

c

x

c

xt,xut,xu

c

xt

t,xut,xu0

0

00


III.2 Résolution de l’équation de propagation

En choisissant convenablement x0 et t0 :

c

xtft,xu

Remarque : dans les problèmes de propagation les

éléments physiques (oscillateur, corde, ...) ne se déplace pas,

ils ne font qu'osciller autour de leur position d’équilibre.

L’équation de propagation générale (7) est impossible à résoudre de façon analytique. On peut

tout de même remarquer que l’équation est linéaire par rapport à f.

PRINCIPE DE SUPERPOSITION

toute combinaison linéaire de solutions est elle même solution de l’équation homogène.

Remarque : il est très important de bien prendre connaissance de toutes les conditions aux

limites(spatiales et temporelles) afin de simplifier au maximum le problème.


III.2.1 Equation de propagation à une dimension

III.2.1.1 Coordonnées cartésiennes

L’équation d’Alembert (7) sans second membre s’écrit : 8 x

t,xf

t

t,xf

c

12

2

2

2

2

On fait le changement de variable suivant :c

xtvet

c

xtu

Il faut donc réécrire l’équation (8) avec les nouvelles variables u et v :

vu2

uvc

1

x

vuc

1

uc

1

vc

1

vuc

1

c

1

x

vux

v

ux

u

vx

v

vux

u

c

1

x

uvxc

1

x

uvc

1

vx

v

ux

u

x

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

vu2

uvt

vuuvvut

vut

v

ut

u

vt

v

vut

u

t

uvvt

v

ut

u

t

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2


Donc l’équation (8) devient:

0u

t,xf

v

ou

0v

t,xf

u

0vu

t,xf4

2

: (8) desolution

comme finalement On trouve .v de teindépendanfonction uneest u

t,xf que vient il ,commutatifest

partielle dérivéeopérateur l' Comme .u de teindépendanfonction uneest v

t,xf que déduireen peut On

c

xtG

c

xtF

vGuFt,xf

La solution pourrait aussi s’écrire :

kc avec

kxtGkxtFt,xf

ou

xctGxctFt,xf


III.2.1.2 Coordonnées sphériques

Ce système de coordonnées est très souvent utilisé dans les problèmes physiques, notamment

pour décrire l’émission d’une source ponctuelle dans l’espace par exemple. Le Laplacien a une

écriture différente dans ce système de coordonnées :

2

2

2222

2

f

sin.r

1fsin

sin.r

1

r

fr

rr

1t,,,rf

Donc en se limitant à une dimension (7) devient : 9 r

fr

rr

1

t

f

c

1 222

2

2

Pour intégrer l’équation (9) on fait le changement de variable suivant : t,rrft,rg

2

22

2

r

t,rgrt,rg

r

t,rgr

rr

fr

r

r

t,rgr

t,rgr

r

t,rg

rr

t,rf

2

2

2

2

22

2

22

2

2 r

t,rg

t

g

c

1

r

t,rgr

r

1

t

g

r

1

c

19

2

2

2

2

t

t,rg

r

1

t

t,rf

t

t,rg

r

1

r

t,rg

tt

t,rf


On se ramène donc à la même équation que précédemment, les solutions sont :

kc avec krtGkrtFr

1

rctGrctFr

1

c

rtG

c

rtF

r

1t,rf

c

rtG

c

rtFt,rg

III.2.2 Solution générale : solution à variables séparées

Dans ce cas on recherche une solution où les variables d’espace sont découplées du temps,

mathématiquement on peut écrire :

t

z,y,xGF

t

tGF

t

z,y,xFGtGz,y,xF

tt

fx

z,y,xFG

x

tGF

x

z,y,xFGtGz,y,xF

xx

f

F

Fc

dt

Gd

G

17 2

2

2

tGz,y,xFt,z,y,xf


Dans l’égalité précédente les différents termes sont des fonctions de variables indépendantes.

Par conséquent, ils ne peuvent être égaux qu’a une même constante. Notons cette constante et

examinons les différentes possibilités :

10.b 0Fc

FF

Fc

10.a 0Gdt

Gd

dt

Gd

G

1

22

2

2

2

2

Les solutions de l’équation (10.a) sont connues et sont dépendante de :

t.2

t.1 eGeGtG0 Si

G1 et G2 sont des constantes. On veut décrire des phénomènes physiques donc les solutions ne

peuvent pas diverger G2 =0. G(t) est alors décrite par une fonction évanescente sans grand

intérêt.

battG0 Si

G(t) ne peut pas diverger donc a=0, mais limiter G(t) à une constantes est un trop restrictif. La

solution =0 sans grand intérêt.


Maintenant que l’aspect temporel a été traité, regardons l’aspect spatial du problème. L’équation

(10.b) vérifiée par F s'écrit donc :

2t.j2

t.j1 avec t.cosAeGeGtG0 Si

Cette solution parait très satisfaisante car une fonction sinusoïdale est bornée donc aucun

problème de divergence. De plus on peut remarquer que le cas =0 est aussi décrit par cette

solution cela revient à prendre =0.

0Fc

F2

Cette équation ne peut être résolue analytiquement dans le cas général.

tcos.z,y,xFt,z,y,xfLa solution générale s'écrit :


III.3 Ondes planesLes ondes planes sont les ondes les plus simples que l’on peut rencontrer. Elles sont solutions de

l’équation d’onde unidimensionnelle :

2

2

2

2

2 x

t,xf

t

t,xf

c

1

D’après le paragraphe précédent, nous savons que les solutions de cette équation sont :

c

xtG

c

xtFt,xf

On peut remarquer que la fonction F reprend à l’abscisse x+l et à l’instant t+l/c la valeur qu’elle

avait à l’abscisse x et l’instant t. L’onde représentée par F se propage dans le sens des x

croissants à la vitesse c. Le même raisonnement conduirait à montrer que l’onde représentée

par la fonction G se propage dans le sens des x décroissants.

c

lx

c

ltG

c

xtG

c

lx

c

ltF

c

xtF


III.3.1 Surfaces d’onde

Définition : On appelle surface d’onde, les surfaces pour lesquelles la fonction F (par exemple)

prend la même valeur. Elles sont définie par la relation :

teCF

Déterminons donc les surfaces d’onde des ondes planes :

ctCx

Cc

xtuCF

te

tete

A un instant t fixé, l’équation précédente représente des plans normaux à l’axe x’x. La

propagation de F peut être vue comme le déplacement de ces plans dans l’espace.

Ondes Planes

III.3.2 Ondes sinusoïdales

r.ktcosA

c

r.utcosA

c

r.utF

r.ktcosA

c

r.utcosA

c

r.utG

On parle d’ondes planes progressives ou régressives

sinusoïdales ou harmoniques si leur fonction associée

s’écrit :


F possède donc une double périodicité, une dans le temps (de période T) et une dans l’espace (de

période ).

représente, à un instant donné, la distance séparant deux plans d’onde.

T représente la durée nécessaire pour qu’un plan d’onde remplace le précédent.

On peut aussi dans les calculs utiliser la notation complexe pour simplifier l’écriture. On associe

donc à la fonction réelle F, la fonction complexe :

position. vecteur leest r n.propagatio dedirection la de unitaire vecteur leest uet uc

=k Avec

Grandeurs caractérisant les ondes planes sinusoïdales :

k

2

2

T

La longueur d’onde (période spatiale)

La période temporellec

=k =k

eFF

et

eF=F

avec FRe=Fj

00

r.k-tj0


III.3.3 Généralisation d’une onde plane

On peut montrer facilement que toute fonction de la forme :

kk

ck= avec r.ktFt,z,y,xf

est une solution de l’équation d’Alembert.

Pour revenir au cas particulier précédent on

peut prendre Ox pour la direction de

propagation.kxr.k

Définition : On appelle vitesse de phase, la

vitesse avec laquelle les surfaces d’ondes (plans

ici) se déplacent dans le milieu.

c=k

v

dt

dxv

C=kx-t constante phase onded’plan

phase

C=kx-tphase

te

te


III.4 Ondes sphériquesDans ce cas on veut décrire une onde se propageant de façon isotrope depuis une source

ponctuelle O. Il est forcément plus intéressant de prendre les coordonnées sphériques.

tr,r.f=tr,g avecr

t,rg

t

g

c

12

2

2

2

2

c

rtG

c

rtF

r

1t,rf

L’équation d’onde unidimensionnelle est :

Surface d’ondectC=r C

c

r-t tete

Donc à un instant t donné les surfaces d’onde sont des sphères de centre O.

c=k

v

dt

drv

C=kr-t constante phase

phase

C=kr-tphase

te

te

Vitesse de phase


III.5 Ondes stationnaires

Les ondes stationnaires sont les solutions de l’équation d’onde à variables séparées. Comme leur

nom l’indique, elles ne se propagent pas. Elles s’écrivent généralement :

tcos.z,y,xFt,z,y,xf

tGz,y,xFt,z,y,xf

Comme nous l’avons vu précédemment la solution générale est :

Dans le cas à une dimension (ou ondes planes), la partie spatiale vérifie l’équation suivante :

0xFkdx

xFd encoreou 0xF

cdx

xFd 22

22

2

2

La solution est : kxcosAxF

tcoskxcosAt,xf

Ondes stationnaires

.0=f valeur même lant indéfinimegardent Ils

fixes.sont entier, n avec 2

1n2kx

équationl’ érifieposition v ladont point les

Remarque :


III.5.1 Noeuds de vibration

On appelle noeud de vibrations les points où l’amplitude de l’onde est nulle :

222

1n

22

11nxxx

22

1n

21n2

k

1x

entier n avec 2

1n2kx0tcoskxcosAt,xf,t Si

n1n

n

Entre deux noeuds il y a donc: 2

III.5.2 Ventres de vibration

On appelle ventre de vibrations les points où l’amplitude de l’onde est maximum :

22n

21nxxx

2n n

k

1x

entier n avec nkxftcoskxcosAt,xf,t Si

n1n

n

max

Entre deux ventres il y a donc: 2


III.5.3 Ondes stationnaires et ondes progressives

Une onde plane stationnaire est définie par : tcoskxcosAt,xf

En utilisant les relations trigonométriques connues on obtient :

kxtcos2

Akxtcos

2

At,xf


Onde plane stationnaire Superposition de deux ondes planes

progressives se propageant en sens différents

Il vient aussi qu’une plane progressive est la superposition de ondes stationnaires :

2kxcos

2tcosAkxcostcosA

kxtcosAt,xf si

III.6 Modes Propres

Prenons comme exemple une corde de longueur finie (L) et fixée à ses deux extrémités.

L’équation régissant les vibrations transversales de la corde (voir chapitre II) est :

F

=c avec x

t,xy

t

t,xy

c

12

2

2

2

2

y

y(x,t)

équilibre

F

L


La corde étant fixée à ses extrémités, la solution de l’équation précédente doit vérifier les

conditions aux limites. Les points de fixation apparaissent naturellement comme des noeuds,

donc nous allons chercher une solution sous la formes d’ondes stationnaires.

La solution générale est :

c=k avec tcoskxcosAt,xy

Les conditions aux limites s’écrivent :

0tcoskLcosA0t,Ly:droite de Extrémité

0tcoscosA0t,0y:gauche de Extrémité

Ces conditions doivent être vérifies à tous instant :

n

L2

k

2 encoreou

L

nknkL

0kLsinm2

kLcos

0kLcos : droite de Extrémité

m2

0cos

0cos : gauche de Extrémité

nnn


Etant donné que la constante A est indéterminée, on peut toujours rebaptiser A par -A.sin().

Donc lorsque les relations précédentes seront vérifiées on sera en présence d’un mode propre

de pulsation :

L

cncknn

nnn t

L

cncosx

L

nsinAt,xy

Le mode fondamental correspond à n=1

L

2c

2T

L

cck

1n

1

111


III.7 Décomposition spectrale : Série et Transformée de Fourier

En vertu du théorème de Fourier, toute fonction périodique f, à condition qu’elle soit continue

par morceaux, peut être considérée comme une série de fonction sinusoïdales de périodes sous

multiples entières de la période T de f. On peut la représenter de différentes manières :

III.7.1 Décomposition spectrale d’une fonction périodique : Séries de Fourier

n

1n

n

1nnn

0

n

1nnn0

n

n

tjnn

tnsinbtncosa2

a

ou

tncosAC

ou

eC

tfT

2= avec


Cette série, complexe ou sinusoïdale, est unique. Les coefficients étant donné par les relations

suivantes :

n

nn

2n

2nn

Tt

t

tjnn

Tt

t

n

Tt

t

n

a

btg

baA

dtetfT

1C

dttnsintfT

2b

dttncostfT

2a

0

0

0

0

0

0

Pour une fonction réelle, ce qui est le cas le plus fréquent en physique seuls les Cn sont

complexes, à l’exception de C0. Cn et C-n sont conjugués.

L’ensemble des An constitue alors le spectre d’amplitude de la fonction f(t) et l’ensemble des n

constitue le spectre de phase.

Remarque : la borne inférieure d'intégration t0 peut être quelconque puisque l’intégration porte sur une période entière


Tt

t

0

0

0

dttfT

1CLa moyenne de f est donné par :

Le terme suivant de Cn tel que n0, s’appelle le fondamentale. Le fondamentale a la fréquence

la plus basse et de même période que la fonction f. Chacun des autres termes, caractérisé par

l’entier n, est appelé harmonique d’ordre n.

Quelques propriétés intéressantes

Fonction paire :

nnnn

n

aAet aC donc aOn

nulssont b les

Fonction impaire :

nnnn

n

bAet jbC donc aOn

nulssont a les


Exemple : La fonction créneau


On peut considérer une fonction non périodique comme un fonction périodique pour laquelle sa

période T tendrait vers l’infini. On doit donc pouvoir la décomposer elle aussi en une somme de

fonctions sinusoïdales, dont les coefficients sont calculés non sur une période mais sur son

domaine de définition.

III.7.2 Décomposition spectrale d’une fonction non périodique : Transformée de Fourier

Pour que la transformée de Fourier existe il faut que la fonction f soit de carré sommable

convergerdoit dttf2

Dans ce cas là on parle non plus de série de Fourier mais de transformée de Fourier et elle est

définie :

dtetff̂ tj2

La fonction inverse ou transformée de Fourier inverse est définie :

dtef̂tf tj2

tf de phase de spectreson constitue f̂Arget tf de amplituded’ spectre le constitue f̂

tf dans fréquence de du terme importancel’ représente C à équivalent f̂ n


Remarque : Les spectres d’amplitude et de phase sont continus à la différence de ceux des fonctions périodiques

Il existe aussi d’autres écritures :

dtef̂2

1tf

dtetf2

1f̂

tj

tj

2= avec

Exemple : La fonction créneau


Pour la transformée de Fourier on trouve :

(Série de Fourier)

f̂


III.7.3 Conséquences de l’analyse de Fourier

On vient de voir que toute fonction peut être décomposer en une superposition de fonction

sinusoïdales, à condition qu’elle soit périodiques ou de carré sommable.

Appliquons ces résultats au fonction d’argument (i.e. des ondes)r.kt

Si F est périodique : Représentable sous forme de série de Fourier

1nnnn0

1nnn0

r.ktncosAC

c

r.utncosAC

c

r.utF

npropagatio dedirection la de unitaire vecteur leest uet uc

n=k avec n

Toute onde plane progressive périodique est une superposition

d’ondes planes progressives sinusoïdales

Si F n’est pas périodique : Représentable sous forme d’une intégrale de Fourier

dr.ktcosc

r.utF

0

F est donc la somme d’une infinité de fonctions sinusoïdales

Spectre d’amplitude de F Spectre de phase de F


Conclusion :

Solution générale en ondes planes = superposition d’ondes sinusoïdales d’amplitude et de

fréquences différentes, et se propageant dans un sens ou dans l’autre. Lorsque les ondes se

propagent dans un même sens on parle d’un groupe ou d’un paquet d’ondes. Le train d’ondes est un

paquet d’ondes ayant un intervalle spectral plus restreint.

Excitation de la corde

Spectre de l’excitation

Décomposition sur les modes propres

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