7/25/2019 Mtodos de Euler y Runge-Kutta

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Mtodos de Eul

Runge-KuttaCarlos Andres Medina Linares

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Mtodo de Euler

Este mtodo se aplica para encontrar la solucin a ecudiferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la funcin insolo una variable independiente:

nterpretando la e!d!o! como un campo de direcciones en e" la condicin inicial como un punto de dic#o plano, papro$imar la funcin solucin por medio de la recta tan%emisma &ue pasa por ese punto:

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Mtodo de Euler

Consiste en dividir los intervalos &ue va de a en subintervaanc#o o sea:

De manera &ue se obtiene un conunto discreto de punt

intervalo inters ara cual&uier de estos puntos se cumple

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Mtodo de Euler

La condicin inicial , representa el punto por donde pasa lsolucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cdenotar* como

+a teniendo el punto se puede evaluar la primara derivadaese punto por lo tanto:

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Mtodo de Euler

Con esta informacin setra-a una recta, a&uella &uepasa por " de pendienteEsta recta apro$ima en unavecindad de ! .mese larecta como reempla-o de "local/cese en ella (la recta)el valor de correspondientea Entonces, podemosdeducir se%0n la %r*1ca:

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Mtodo de Euler

2e resuelve para

Es evidente &ue la ordenada calculada de esta manera no a pues e$iste un pe&ue3o error! 2in embar%o, el valor sir

&ue se apro$ime en el punto " repetir el procedimiento an

1n de %enerar la sucesin de apro$imaciones si%uientes:

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Mtodo de Euler

!

!

!

!

!

!

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Eemplo

Calculamos el valor de tomando en cuenta &ue el vdivisiones es de por lo tanto &uedar/a as/:

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Eemplo

Antes de aplicar el mtodo, veamos un es&uema detrabaar/a el mtodo en este caso concreto:

Los valores iniciales de " vienes dados por:

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Eemplo

.eniendo dic#os valores podemos comen-ar con el mto#ar*n apro$imaciones de #asta trece decimales! La funcise evaluara en %rados!

or lo &ue el resultado obtenido es:

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Eemplo

osteriormente procederemos a encontrar el valor relativo valor e$acto de la ecuacin &ue es

4inalmente se calcula el error relativo:

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Mtodo de Euler Meorado

Meoremos el mtodo de Euler

5ecordemos &ue nuestra anti%ua ecuacin era:

La idea del mtodo de Euler consist/a en reempla-ar el inte%

por (apro$imar la inte%ral por medio de un *rea de un rect*

A#ora proponemos reempla-ar el inte%rando por

As/ tenemos

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Mtodo de Euler Meorado

El problema con la ecuacin propuesta consiste en &ue sedesconoce, debido a &ue desconocemos la solucin e$acta!

Lo &ue podemos #acer es reempla-ar por su valor apro$imadeterminado por el mtodo de Euler

5epresentemos este nuevo valor por medio de

As/ la ecuacin se convierte

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Mtodo de Euler Meorado

En %eneral nuestro es&uema de recurrencia es

En el cual

Este mtodo &ue recibe el nombre de mtodo meorado de mtodo de 6eun, primero predice " lue%o corri%apro$imacin de

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Mtodo de Euler Meorado

4iado es posible obtener apro$imaciones de la solucproblema de valores iniciales

En los puntos donde

Mediante el mtodo recurrente

Donde

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Eemplo

Apli&uemos el mtodo de Euler meorado a la EDO

7tili-ando un incremento de lon%itud " midamos la mee$actitud con respecto al mtodo ordinario de Euler

Exacto

8!8 9!88888 9!88888 8

8! 9!;888 9!;?@ 8

8!@ !8=9?8 !8;;; 8

8!< !@=8@? !@>98< 8

9!8 =!;8>; =!;=@>@ 8

Exacto

8!8 9!88888 9!88888 8

8! 9!;888 9!;?@ 8

8!@ !8=9?8 !8;;; 8

8!< !@=8@? !@>98< 8

9!8 =!;8>; =!;=@>@ 8

El error %lobaldetruncamientodel mtodo esdel orden de

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Eemplo

El valor apro$imado obtenido para "(9) es =!;8>;! El error es del 9B, mientras &ue con el mtodo de Euler es del 9=B

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Mtodo de 5un%eutta

Meoremos el mtodo de Euler meorado

5ecordemos &ue nuestra anti%ua ecuacin era

La idea del mtodo de 5un%eutta consiste en apro$

inte%ral sustitu"endo el inte%rado por una par*bola

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Mtodo de 5un%eutta de cuarto orden

4iado es posible obtener apro$imaciones de la solucproblema de valores iniciales

En los puntos donde

Mediante el mtodo recurrente

Donde

El error %lobal del truncamiento del mtodo es del orden de

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Eemplo

Apli&uemos el mtodo de 5un%eutta a la EDO

7tili-ando un incremento de lon%itud

Exacto

8!8 9!88888 9!88888 8!888888! 9!;

8!< !@>98; !@>98< 8!889>

9!8 =!;=@>8 =!;=@>@ 8!889?

Exacto

8!8 9!88888 9!88888 8!888888! 9!;

8!< !@>98; !@>98< 8!889>

9!8 =!;=@>8 =!;=@>@ 8!889?

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Conclusin

El Mtodo de 5un%eutta es meor &ue el mtodo de Eulea0n as/ es posible aumentar la precisin ac#icando losentre los puntos o implementando el mtodo de orden sup

El mtodo m*s utili-ado para resolver numricamente prode ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones

es el mtodo de 5un%eutta, el cual proporciona un pmar%en de error con respecto a la solucin real del problef*cilmente pro%ramable en un softare para reali-ar iternecesarias!