Atelier pédagogique Printemps de lécriture 24 octobre 2012 Marie Kieffer EMF – Michelle Weeber CPC.
Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire IRISA Eric Darve 13 Décembre 2006 TexPoint...
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Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire IRISA Eric Darve 13 Décembre 2006
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Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire
IRISA
Eric Darve
13 Décembre 2006
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Plan de l’exposé
Adaptive Biasing Force pour le calcul d’énergie libre
Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples
Méthodes multipôles
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La dynamique moléculaire modélise les protéines à l’aide de champs de forces empiriques
Les protéines forment une classe particulièrement importante de molécules dans le corps:
Tissus musculaires, ligaments, transport d’oxygène, fonctions hormonales…
Chaque protéine est définie par une séquence de 20 acides aminés: Glycine, Alanine, Valine…
Chaque protéine adopte une structure 3D adaptée à sa fonction.
Les interactions interatomiques sont modélisées à l’aide de champs de forces empiriques incluant:
Liaisons chimiques, forces électrostatiques, Lennard-Jones
Protéine membranaire
MscL
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La coordonnée de réaction est utilisée pourmodéliser des phénomènes en temps longs
Définition: une coordonnée de réaction est une fonction de la position de chaque atome qui mesure la progression d’une réaction chimique au sens large
Elle est souvent associée à un changement de conformation de la molécule
Exemple:
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L’énergie libre décrit le comportement thermodynamique de la coordonnée de réaction
Densité de probabilité de la coordonnée de réaction :
Définition de l’énergie libre:
Un potentiel moyenné fonction de seulement.
Ensemble canonique: la densité de probabilité est définie par:
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La méthode de l’histogramme n’est utilisable que si l’échantillonnage est relativement uniforme
-0.5 0 0.5 1 1.5 20
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Etats de transition
Bar
rière
d’é
nerg
ie li
bre
Etats métastables
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La méthode d’intégration thermodynamique utilise la dérivée de l’énergie libre
La relation entre quantité de mouvement et énergie est généralisée à une coordonnée arbitraire :
Dans la méthode d’intégration thermodynamique, l’énergie libre est calculée à partir de sa dérivée dA/d.
La dérivée s’interprète comme une force moyenne agissant sur .
Extension multidimensionnelle:
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Adaptive Biasing Force (ABF) ajoute une force de biais pour améliorer l’échantillonnage
-0.5 0 0.5 1 1.5 20
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
Si la force suivante est ajoutée:
l’échantillonnage devient uniforme.
Cette force n’est pas accessible au début de la simulation mais on l’approxime de la façon suivante:
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La méthode de Jarzynski utilise des simulations hors d’équilibre
Transformation adiabatique
Avec une vitesse de transformation finie, à cause des effets hors d’équilibre, on a seulement:
L’équation de Jarzynski est exacte même en présence d’effets hors d’équilibre:
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Déviation standard pour ABF:
Croissance linéaire avec la déviation standard de la force
Déviation standard pour la méthode de Jarzynski :
Croissance exponentielle avec la déviation standard du travail
L’erreur statistique est très faible comparée avec la méthode de Jarzynski
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Energie libre 2D avec ABF: alanine dipeptide
Coordonnées de réaction
Fenêtres utilisées pour le calcul
Energie libre 2D
Angles pour une hélice α
Angles pour une β sheet
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L’intégration du champs de force est obtenue par une méthode d’optimisation
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ABF a été appliquée à l’étude des protéines membranaires
Peptide amphipathique qui présente à la fois des régions hydrophobes et des régions hydrophiles.
La séquence est donnée par (LSLLLSL)3.
Leucine est non-polaire
Serine est polaire et interagit fortement avec l’eau
Leucine en rose (non-polaire)
Serine en jaune (polaire)
Liaisons hydrogènes
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Les résultats numériques indiquent une asymétrie dans le peptide
Energie libre kcal / mol
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ABF permettra d’étudier des canaux membranaires pour le toucher
L’énergie mécanique libérée par le toucher ouvre des canaux dans les neurones sensorielles de la peau.
Un collaborateur, Miriam Goodman, a montré que des mutations affectant les gènes qui encodent les canaux peuvent bloquer leur fonctionnement.
L’objectif: comprendre le mécanisme d’ouverture du canal suite à un changement de stress.
ABF permettra de comprendre le mécanisme d’ouverture et l’effet des mutations.
Figure du haut : normal; le canal reste ferméFigure du bas : mutant; le canal reste principalement ouvert
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Plan de l’exposé
Adaptive Biasing Force pour le calcul d’énergie libre
Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples
Méthodes multipôles
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Le principe d’Hamilton discret permet de construire des intégrateurs symplectiques
Principe d’Hamilton: une trajectoire est un extremum de l’intégrale d’action:
Principe discret: extremum de l’intégrale d’action discrète
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Cette classe d’intégrateurs peut être étendue aux intégrateurs asynchrones
Choix indépendant du pas temps pour chaque potentiel:
Principe variationnel conduit nécessairement à un intégrateur symplectique
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L’implémentation d’une méthode asynchrone d’ordre 2 est très simple
Tem
ps
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En dynamique moléculaire, un pas de temps est choisi pour chaque type de potentiel
Liaison chimique
Angles entre deux liaisons et angle de torsion avec trois liaisons
Lennard-Jones
Electrostatique à courte et longue distance
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L’intégrateur en temps est du second ordre
108
109
10-8
10-7
10-6
Nombre de forces calculées
Erreu
r
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Un problème modèle permet d’étudier la stabilité d’un intégrateur synchrone (r-RESPA)
Problème modèle:
r-RESPA correspond au choix:
Condition de stabilité:
L’intégrateur est instable quand:
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L’extension au cas asynchrone est possible pour certains rapports de pas de temps
Rapport rationnel:
On définit la matrice suivante:
L’intégrateur est instable si une des valeurs propres est plus grande que 1.
Ceci permet un calcul numérique des pas de temps instables.
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Le diagramme de stabilité révèle certaines structures
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L’instabilité est présente si le temps de synchronisation est un multiple de la demi-période
Démontré:
Ces équations conduisent à un ensemble de points discret.
Conjecture:
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Démontré: il existe une famille de courbes composées de points instables
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Courbes rouges:
Quatre courbes sont clairement visibles sur la figure
Courbes vertes:
Courbes magentas:
Courbes cyans:
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L’intégrateur peut être stabilisé dans le contexte d’une équation de Langevin
Les équations de Langevin sont utilisées pour simuler un système à température constante.
C’est une équation stochastique donnée par:
L’étude précédente permettra de déterminer la valeur minimale de qui garantit un intégrateur stable.
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Plan de l’exposé
Adaptive Biasing Force pour le calcul d’énergie libre
Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples
Méthodes multipôles
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La méthode multipôle multi-fréquence est stable et convergente
La méthode multipôle « conventionnelle » avec un développement en ondes planes n’est pas convergente
Les erreurs d’arrondi deviennent dominant à ordre élevé
Ceci devient un problème dans deux contextes:Basse-fréquence
Précision élevée
Une formulation stable et arbitrairement précise a été créée
Basée sur un développement différent utilisant des ondes évanescentes et propagatrices
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La méthode haute-fréquence a été accélérée à l’aide d’un développement de Fourier
La transformation des développements multipolaires en développements locaux domine habituellement le temps de calcul
Quand le nombre de termes devient grand, les opérations d’interpolation et de lissage pour changer de niveau deviennent couteuses:
Le passage d’un développement en harmonique sphérique à développement de Fourier permet de réduire ce coût:
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L’algorithme original est modifié de manière minimale
Développement multipolaire haute-fréquence:
Un développement de Fourier est utilisé au lieu des harmoniques sphériques:
Collaboration avec George Papanicolaou.
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Une méthode multipôle en ondes planes a été créée pour réduire le temps de calcul sur machine parallèle
La technique classique pour calculer les forces électrostatiques en dynamique moléculaire est Particle Mesh Ewald.
Elle nécessite des transformées de Fourier rapides, difficiles à paralléliser.
La méthode multipôle avec ondes planes se parallélise aisément : on décompose non pas le domaine mais les indices des coefficients multipolaires
Une seule réduction en parallèle à la fin est nécessaire.
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Conclusion
Méthodes numériques pour la dynamique moléculaireEnergie libre, pas de temps multiples
Méthode multipôle pour l’électromagnétisme, l’acoustique et la dynamique moléculaire
Autres sujets de recherche:Processeurs de streaming pour le calcul scientifique
Fluides de Stokes avec particules qui sédimentent
Micro-canaux et electroosmose
Méthodes directes pour matrices creuses
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