Méthode de calcul des rideaux de palplanches

Etude bibliographique H.JOSSEAUME

Ingénieur ENSM Attaché de recherches

Département des sols et fondations Laboratoire central

L ES r ideaux de palplanches constituent une importante catégorie d'ouvrages de soutènement. Ils sont principalement utilisés dans les ouvrages portuaires et dans ceux construits dans le cadre de l'aménagement des rivières et des canaux : murs de quai , bajoyers d'écluse, batardeaux, etc.

Dans l a p lupart des cas, l a hauteur des terres retenues est telle que le r ideau doit être ancré en tête.

L'étude d u r ideau comporte alors les phases suivantes : — détermination d'une valeur de la fiche compatible avec la sécurité de l 'ouvrage et l'éco­

nomie du projet,

— détermination de la force d'ancrage et dimensionnement des tirants d'ancrage,

— détermination d u moment fléchissant max ima l et dimensionnement du r ideau.

L'évaluation des efforts exercés par le sol sur le r ideau est généralement faite à part ir des théories classiques de poussée et de butée et ne fait alors intervenir que les paramètres de cisaillement du sol, la flexibilité d u r ideau et la compressibilité du sol reflétée par son module de réaction n'étant pas prises en compte.

Des constatations faites sur ouvrages réels et des études exhaustives sur modèles ayant mis en évidence le rôle de ces deux paramètres sur le dimensionnement des rideaux, des théories et des méthodes de ca lcul ont été élaborées pour en tenir compte.

Après avoir rappelé les méthodes classiques de ca lcul , on expose les pr inc ipaux résultats expéri­mentaux obtenus dans le domaine des rideaux ancrés et on décrit succinctement les méthodes et théories récentes.

U n r ideau de palplanches assure l a stabilité des parois d'une fouil le ou d 'un remblai . Sur sa face côté terre (face amont) s 'applique l a poussée des terres équilibrée par l a réaction du sol au-dessous d u fond de fouil le et par la tract ion dans le t irant si le r ideau est ancré en tête. L a d istr ibut ion des contraintes de poussée sur le r ideau dépend de la nature d u sol, de sa stratif ication, des condit ions hydrauliques, etc., aussi étudierons-nous les condit ions d 'appui du r ideau dans le sol en supposant pour simplifier qu ' i l est sollicité uniquement par une force horizontale F croissante.

I — CONDITIONS D'APPUI D'UN RIDEAU DANS LE SOL

177

Bull. Liaison Labo. P. et Ch. - 72 - juil.-août 1974 - Réf. 1495

1.1 — R I D E A U RIGIDE

Si le rideau n'est pas ancré en tête, il subit une rotation autour d'un centre de rotation situé au-dessous du fond de fouille. Le moment développé par la force F est équilibré par les efforts de butée et de contre-butée mobilisés de part et d'autre du centre de rotation (fig. la).

Si le rideau est ancré en tête, la contre-butée ne peut se développer en arrière du rideau. Seuls des efforts de butée s'exercent sur toute la hauteur en fiche. La rupture se produit par rotation autour du point d'ancrage lorsque la butée maximale est mobilisée (fig. lb).

Ancrage

F

a) Libre en tête. b) Ancré en tête.

Fig. 1 - Équilibre d'un rideau rigide.

1.2 — R I D E A U F L E X I B L E ANCRÉ E N TÊTE

Les conditions d'appui dans le sol sont beaucoup plus complexes que dans le cas d'un rideau rigide et l'allure de la distribution des efforts sur la partie en fiche varie considérablement suivant l'intensité de F.

Fig. 2 - Comporte­ment d'un rideau an­cré en tête soumis à une force horizontale croissante (dans cha­que cas on a repré­senté de gauche à droite la distribution des contraintes, la courbe des moments fléchissants et la dé­

formée).

178

Pour des valeurs F l très faibles de F , la réaction du sol est proport ionnel le aux déplacements du r ideau et le sol se comporte comme u n mi l ieu pseudo-élastique (fig. 2 a).

A part ir d'une valeur F 2 , la réaction du sol sur le r ideau se réduit à une butée et à une contre-butée (fig. 2 b). Tant que F est inférieur à une valeur F 3 i l n 'y a pas déplacement du pied du r ideau.

Lorsque F atteint la valeur F 3 , le pied du rideau se déplace vers l 'amont et ce déplacement mobil ise la contre-butée maximale. L e moment d'encastrement passe par un max imum et l ' on dit qu ' i l y a encas­trement complet dans le sol (fig. 2 c).

Lorsque F continue à croître, la butée augmente tandis que la contre-butée d iminue ; le rideau est dit partiellement encastré. En f in pour la valeur F 4 la contre-butée disparaît et l a butée maximale est mobilisée sur toute la hauteur en fiche. Le r ideau qu i est alors en équilibre l imite est dit simplement buté en pied (fig. 2 d). Remarquons que la réaction d u sol est la même que dans le cas d 'un rideau rigide ancré en tête (fig. l b ) .

E n pratique la fiche adoptée pour u n r ideau flexible est généralement comprise entre la fiche correspondant à l 'encastrement complet et celle correspondant à la butée simple.

Bibliographie consultée [/].

II — MÉTHODES DE CALCUL CLASSIQUES DES RIDEAUX

D e u x méthodes sont couramment utilisées pour le ca lcul des rideaux. L 'une suppose le r ideau simplement buté en pied, l 'autre considère le r ideau complètement encastré.

I I . l — R I D E A U A N C R É S I M P L E M E N T BUTÉ E N P I E D

L a fiche du rideau est suffisamment faible pour que des efforts de contre-butée ne puissent se développer en amont du rideau et pour que le déplacement en pied permette la mobi l isat ion de la butée maximale. Dans ces condit ions la poussée l imite s'exerce sur la face amont du rideau. Le diagramme des efforts agissant sur le r ideau est représenté figure 3 dans le cas d 'un matériau pulvérulent.

T

Fig. 3 - Efforts appliqués à un rideau travaillant en butée simple.

L e problème est de déterminer la fiche D du rideau et la tract ion T dans le t irant d'ancrage.

L a fiche est obtenue en écrivant que le moment par rapport au point d'ancrage de l'ensemble des forces appliquées au r ideau est nu l . O n aboutit à une équation du troisième degré en D .

D étant alors connu, la poussée P et la butée B résultantes peuvent être calculées et T s'obtient en projetant sur u n axe hor izonta l :

T = P — B

L a méthode est également applicable aux rideaux battus dans l 'argile. Suivant que l ' on étudie le r ideau à long terme ou à court terme, on calcule la poussée et la butée à part ir des paramètres de cisaillement intergranulaire c ' et 9 ' ou de la cohé­sion non drainée C u .

L a fiche ainsi calculée est celle correspondant à l'équilibre l imite c'est-à-dire à un coefficient de sécurité F = 1. I l est généralement conseillé d'adopter une fiche D ' = D V 2 P o u r u n r ideau battu dans un sable ce qu i revient à prendre u n coefficient de sécurité u n peu inférieur à 2 sur la butée. Lorsque le r ideau est fiché dans un sol purement cohérent on obtient un coefficient de sécurité de 2 en doublant la fiche calculée.

Remarque: Un rideau calculé en butée simple, en tenant compte d'un coefficient de sécurité de 2 sur la butée, travaille dans des conditions différentes de celles du calcul sauf s'il s'agit d'un rideau parfaitement rigide. Dans ce cas la butée mobilisée est celle représentée figure 4a.

A u contraire, une contre-butée se développe en arrière d'un rideau flexible qui se comporte alors comme un rideau partiellement ou complètement encastré (fig. 4b).

D' Butée mobilisée

Butée mobilisée

a) Rideau rigide. b) Rideau souple.

F i g . 4 - Condit ions de travail d 'un rideau calculé en butée simple.

II.2 — R I D E A U ENCASTRÉ

II.2.1 — Rideau non ancré en tête

U n r ideau n o n ancré subit une rotat ion autour d 'un point situé dans sa partie en fiche. L a figure 5 représente les déplacements et les efforts correspondant à cette rotat ion.

L e ca lcul est fait sur la base des hypo­thèses simplificatrices suivantes (fig. 6) :

— les efforts appliqués au r ideau au-dessus de l 'axe de rotat ion correspondent à la poussée et à la butée maximales données par les théories classiques;

— la hauteur sur laquelle s'exerce les efforts de contre-butée est égale à 20 % de la hauteur de butée f0

— les efforts de contre-butée peuvent être remplacés par une force C appliquée au niveau du centre de rotat ion O.

poussée

butée z£ i i

i-— b u t é e

4= poussée

Contraintes. Déplacement du rideau.

F i g . 5 - R ideau non armé, efforts et déplacement.

F i g . 6 - Hypothèses admises pour le calcul d 'un rideau non ancré.

1. Certains projeteurs adoptent comme hauteur de contre-butée la valeur 0,2 f ce qui conduit à une fiche un peu supérieure.

180

Les deux inconnues d u problème sont alors f c et C ; f0 est déterminé en écrivant l'équilibre des moments autour du point O : on obtient une équation du troisième degré en fD.

L a fiche du rideau est alors D = f + 0,2 fG.

L a contre-butée s'obtient en projetant sur u n axe hor izonta l

C = B ' — P '

L a fiche ainsi calculée correspond à l'équilibre l imite du rideau. E n pratique on affecte u n coeffi­cient de sécurité de 2 au coefficient de butée pris en compte dans les calculs.

II.2.2 — Rideau encastré ancré en tête

II.2.2.1 — Méthode de la ligne élastique

O n admet pour le calcul que la pression des terres se distribue le long du r ideau de la même façon que dans le cas d 'un r ideau n o n ancré (fig. 7).

L e problème comporte alors trois inconnues, la force d'ancrage T , la contre-butée C et la fiche D . Ces inconnues ne pouvant être obtenues uniquement à part ir des équations de la statique une condi t ion supplémentaire doit être imposée.

Fig. 7 - Efforts pris en compte dans le calcul d'un rideau encastré, ancré en tête.

Cette condi t ion fait intervenir la déformée d u rideau ou ligne élastique; on admet que le r ideau est complètement encastré lorsque la tangente à la ligne élastique au point d 'appl icat ion O de la contre-butée est verticale, c'est-à-dire que la rotat ion du r ideau est nulle au point O.

E n pratique, le calcul est fait par approximatives successives. O n se donne une valeur D de la fiche, on détermine les valeurs de T et de C correspondantes au moyen des équations d'équilibre. O n en déduit le diagramme des moments fléchissants et, par une double intégration, la déformée d u rideau (les deux constantes d'intégration sont déterminées en écrivant que le po int d'ancrage et le point O ne subissent aucun déplacement). O n calcule ensuite l a rotat ion en O, qu i n'est généralement pas nulle au premier essai.

O n recommence le ca lcul avec d'autres valeurs de D jusqu'à ce que la condi t ion de rotat ion nulle soit vérifiée.

Cette méthode qui conduit à des calculs longs et fastidieux est assez peu employée.

II.2.2.2 — Méthodes dans lesquelles le point de flexion nulle est déterminé approximativement

L'étude des résultats obtenus par l a méthode de l a ligne élastique a permis de dégager deux méthodes de calcul simplifiées des r ideaux ancrés.

L a première méthode, fondée sur la constatation que le point U de contrainte résultante nulle est vo is in d u po int de moment fléchissant nu l , admet que ces deux points sont confondus. Les deux parties

L

S U et U O d u r ideau peuvent alors être considérées comme deux poutres sur appuis simples auxquelles sont appliqués les efforts représentés figure 8.

Les équations d'équilibre appliquées à la partie supérieure permettent de déterminer la force d'ancrage T et l a réaction R.

D e l'équilibre de l a poutre inférieure on tire les relations

4 f0 B ' = fo C , C = | B ' et R = B ' — C = 3 3 J

L a d is t r ibut ion des contraintes dans la partie en fiche étant connue, fD se déduit immédiatement de B ' .

¿1 ¿ 1

Fig. 8 - Calcul d'un rideau encastré, ancré en tête dans l'hypothèse où les points de flexion nulle et de contrainte résultante nulle sont confondus.

L a seconde méthode utilise une re lat ion établie par B l u m entre l a pos i t ion d u po int de moment fléchissant n u l et l 'angle de frottement interne du sol. Cette re lat ion est représentée figure 9.

Le po int de moment fléchissant nu l étant connu, le r ideau peut être découpé en deux éléments que l ' o n étudie comme des poutres sur appui simple. Le ca lcul est alors conduit comme précédemment.

x h

Po in t de m o m e n t

fléchissant nu l

0,25

0 ,20

0 ,15

0 ,10

0 ,05

Fig. 9 - Relation entre la cote du point de flexion nulle et l'angle de frottement interne.

35 4 0

<P ( degré )

182

H.2.2.3 — Remarques importantes

Les méthodes de ca lcu l des r ideaux encastrés ancrés en tête ne sont applicables que dans le cas des sols pulvérulents.

Les résultats obtenus par ces méthodes ne sont pas affectés d 'un coefficient de sécurité.

Les méthodes de ca lcul des r ideaux ancrés rappelées dans le chapitre précédent ne tiennent pas compte des paramètres tels que l a flexibilité du r ideau, l a compressibilité d u sol dans lequel i l est fiché, le déplacement d'ancrage, etc., paramètres qu i déterminent pour une large part le comportement du rideau.

A u s s i u n certain nombre de constatations sur ouvrages et d'expérimentations sur modèles de plus ou moins grandes dimensions ont-elles été entreprises au cours des dernières décennies dans le but de préciser le rôle de ces paramètres. O n rend compte dans ce qu i suit des études expérimentales de TschebotariofT et de Rowe, en insistant tout particulièrement sur les travaux de Rowe, plus récents et dont les résultats présentent u n intérêt considérable.

III.1 — EXPÉRIENCES D E T S C H E B O T A R I O F F

U n des objectifs des travaux réalisés par TschebotariofT entre 1943 et 1948 pour le Bureau o f D o c k s and Y a r d s était d'étudier les pressions latérales exercées par divers sols sur u n rideau flexible ancré.

Les essais ont été faits sur des modèles réduits de grandes dimensions (la hauteur d u rideau était de l 'ordre de 1,50 m). A u cours de ces essais, les contraintes agissant sur les fibres extrêmes et la défor­mat ion du r ideau ont été mesurées à différents niveaux. L a d istr ibut ion de la pression des terres a été déterminée par le ca lcul sur la base de ces mesures. Divers types de sols ont été étudiés : sable, argile, mélanges sable-argile. N o u s nous bornerons à mentionner les pr inc ipaux résultats obtenus dans le cas des sables.

Les essais ont tout d 'abord mis en évidence l ' importance du mode de sol l ic i tat ion du rideau :

— lorsque le sol retenu est mis en place derrière u n r ideau préalablement battu dans le sol en place (rideau remblayé) la pression des terres se distribue suivant le diagramme triangulaire classique (fig. 10 a et b ) ;

— au contraire si le r ideau est entièrement battu dans le sol en place et est ensuite partiellement dégagé sur une de ses faces (rideau dragué) l a d istr ibut ion de la poussée peut être différente de l a dis­t r ibut ion classique. S i le po int d'ancrage ne subit aucun déplacement, les contraintes de poussée se concentrent au voisinage d u fond de fouil le et d u point d'ancrage en ra ison de l'effet de voûte qu i se développe entre ces deux niveaux (fig. 10 d). E n revanche u n déplacement d'ancrage provoque la redis­t r ibut ion de la poussée comme l ' indique l a figure 10 c.

Bibliographie consultée [1, 2, 3, 4],

III - ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DES RIDEAUX ANCRÉS

argile plastique (a) (b)

avec déplacement ancrage

sans déplacement ancrage

Rideaux remblayés.

Fig. 10 - Résultats obtenus par TschebotariofT.

1 8 3

L 'a l lure de la d is t r ibut ion des efforts de butée mesurés dans l a partie en fiche est généralement celle admise pour u n r ideau encastré mais la butée résultante s'applique beaucoup plus près d u fond de fouil le que ne l 'admet la méthode classique de ca lcu l des r ideaux encastrés.

A part i r de ces expériences Tschebotariof f a développé une méthode pratique de ca lcu l des r ideaux ancrés. M a i s cette méthode, fondée sur des expériences faites dans des cas b ien part icul iers, n'est pas appl icable à tous les problèmes de r ideaux; aussi ne sera-t-elle pas exposée dans ce rapport .

IIL2 — EXPÉRIENCES D E R O W E E N M I L I E U PULVÉRULENT

Les principales expériences de Rowe intéressent le comportement de r ideaux ancrés en mi l i eu pulvérulent. Ces expériences réalisées sur modèles réduits visaient u n double but :

— déterminer l a forme de la d is t r ibut ion de la pression de terres sur le r ideau;

— étudier l ' influence de l a flexibilité d u r ideau sur les efforts qu i lu i sont appliqués et pr incipale­ment sur les moments fléchissants.

I1I.2.1 — Distribution de la pression des terres

U n e première série d'essais a été réalisée sur u n modèle rigide de r ideau d 'env iron u n mètre de hauteur selon le mode opératoire suivant :

— l'écran était tout d 'abord noyé dans le sable lâche utilisé pour les essais, l a surface du sable affleurant au sommet d u r ideau,

— le sable était ensuite enlevé par étapes à l ' ava l d u r ideau jusqu 'au niveau de dragage chois i , le po int d'ancrage étant maintenu fixe,

— le t irant d'ancrage était relâché progressivement jusqu'à ce que le moment fléchissant atteigne sa valeur maximale .

Dans l a p lupart des essais une surcharge uni forme a été appliquée à la surface d u sable retenu par le r ideau. A u cours de l'expérimentation, différentes valeurs de l a surcharge et différents niveaux d 'an­crage ont été adoptés (les paramètres définissant la géométrie des modèles sont définis figure 11).

A u x divers stades d 'un essai les mesures sui­vantes étaient effectuées :

— mesure directe de l a pression d u sol au moyen de capteurs,

— mesure de l a tension d u t irant d'ancrage,

— mesure d u déplacement d u po int d'ancrage et d u déplacement vert ical au moyen de comparateurs,

— mesure des contraintes dans le r ideau au moyen de jauges de contraintes.

Les essais ont donné les résultats suivants :

— avant tout dragage la d istr ibut ion de la poussée est tr iangulaire et la résultante des efforts de pression est celle donnée par l a théorie de C o u ­l omb pour u n écran lisse (l 'angle de frottement sur le sol-r ideau S = 0) ;

— au fur et à mesure d u dragage, tant que le po int d'ancrage est maintenu fixe, les contraintes de poussée augmentent dans la zone d u niveau d'ancrage et d iminuent au mi l i eu de l a portée l ibre : u n effet de voûte ( 2 ) se développe en effet entre le point d'ancrage fixe et le fond de fouil le. Pour des valeurs de a de l 'ordre de 0,6 à 0,8, la poussée résultante est égale à la valeur calculée par l a théorie de

2 C o u l o m b pour 8 = — <p (9, angle de frottement interne) ;

L L L L L U - L q — tJH

Fig. 11

H longueur du rideau a H profondeur de la fouille (3H profondeur du tirant par rapport au terre-plein y poids spécifique apparent du sol

q yH surcharge verticale uniforme appliquée sur toute la surface du terre-plein.

2. Le rideau se comporte approximativement comme une poutre sur appuis fixes (le point d'ancrage et le fond de fouille). La déflexion de cette poutre sous l'action de la poussée engendre des efforts de cisaillement horizontaux dans le sol, ce qui a pour effet de reporter une partie de la poussée sur les appuis.

— le déplacement du point d'ancrage détruit l'effet de voûte et provoque la redistribution des contraintes de poussée suivant un diagramme triangulaire, la poussée résultante demeurant inchangée.

Cette redistribution se produit pour un déplacement du point d'ancrage au plus égal à c'est-à-dire

— les contraintes de butée augmentent lorsque la fiche du rideau diminue. La butée résultante passe de la valeur donnée par la théorie de Coulomb pour 8 = 0 lorsque a est voisin de 0,7 à la valeur

2 correspondant à S = — <p au moment de la rupture tandis que le déplacement du pied de rideau croît de

— au moment de la rupture une force de cisaillement horizontale très importante se développe en pied de rideau.

Rowe a également remarqué, qu'avant tout déplacement d'ancrage, le moment fléchissant maxi­mal mesuré est égal au moment fléchissant maximal calculé en butée simple affecté d'un coefficient réducteur déterminé expérimentalement par Stroyer (cité par Rowe [6] et Toth [5]). Ce coefficient tient compte de l'effet de voûte qui se développe entre l'attache du tirant et l'appui du rideau dans le sol.

III.2.2 — Influence de la flexibilité du rideau

III2. 2.1. — L'influence de la flexibilité du rideau a été étudiée à partir d'essais sur dix modèles de hau­teur et d'inertie différentes (hauteur comprise entre 50 cm et 1 m environ). Leurs caractéristiques ont

H 4 <3> été choisies de façon à obtenir des coefficients de flexibilité p = — dont le logarithme croît en progression arithmétique, dans un domaine suffisamment étendu pour couvrir tous les cas pouvant être rencontrés en pratique.

pour une valeur du déplacement relatif presque toujours obtenue en pratique;

5 H , 5H (à la rupture le diagramme de butée est triangulaire) ;

10000 a 1000

R I D E A U R I G I D E R I D E A U F L E X I B L E

Déplacement négligeable en pied. Déplacement négligeable en pied.

Coulomb 8 = 0

La butée calculée par la théorie de Coulomb pour S = 0 est mobilisée.

Pas de déplacement en pied.

Déplacement sensible du pied de rideau.

Frottement sol-rideau entièrement mobilisé.

Rupture en butée simple a > 0,9.

Fig. 12 - Comportement de deux rideaux, l'un rigide et l'autre flexible à différents stades du dragage.

3. Rowe exprime p en lb i n 2

(hauteur H en ft, module d'élasticité E en lb/in 2,1 moment d'inertie en in4/ft).

185

Les essais ont été réalisés comme indiqué précédemment en faisant varier la fiche, le niveau d'ancrage, et la surcharge c'est-à-dire les coefficients a, (3 et q. Divers sols pulvérulents mis en place dans u n état dense et dans un état lâche ont été utilisés.

L 'ensemble des essais a été effectué en permettant u n déplacement d'ancrage.

L'étude expérimentale a tout d 'abord montré :

— qu'à la rupture, le r ideau travail le en butée simple et qu 'en outre, une force horizontale de cisail lement considérable (due principalement à la composante verticale de la poussée) se mobi l ise en pied de r ideau, cela quelle que soit la flexibilité ;

— qu 'un r ideau flexible dans u n sable lâche et un r ideau rigide dans u n sable dense ne subissent de déplacement sensible en pied que pour des valeurs très faibles de la fiche (inférieures aux valeurs adoptées en pratique).

Ces résultats apparaissent sur le schéma de la figure 12 qu i représentent le comportement d ' u n r ideau rigide et d ' u n r ideau flexible.

Par ai l leurs, l'interprétation des essais a été principalement centrée sur l a var ia t ion des moments fléchissants et de la force d'ancrage en fonct ion de la flexibilité d u rideau.

-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 »•

Sable compacté au-dessus de 0,6 H

(3 = 0, q = 0

F ig . 13 - Influence de la flexibilité sur la distribution des moments fléchissants le long d 'un rideau pour des valeurs différentes de la fiche.

III.2.2.2 — Moments fléchissants

Les courbes reportées sur la figure 13, représentent, pour trois valeurs de la fiche, l a d is t r ibut ion du moment fléchissant réduit

T = ^ le l ong d u r ideau pour

différentes valeurs de lg p (la valeur affectée à chaque courbe est la valeur de l g p) dans le cas d 'un sable lâche et d 'un sable dense. El les montrent que les moments fléchissants max imaux sont d 'au­tant plus faibles que lg p est plus élevé c'est-à-dire que le r ideau est plus flexible.

Cette d im inut i on des mo­ments fléchissants lorsque p croît résulte principalement du fait que la d is t r ibut ion de la butée à l 'ava l d u r ideau est liée pour une grande part à la flexibilité. Ce l a est i l lus­tré par les courbes de la figure 14 qu i représentent l a d is t r ibut ion de l a butée pour trois r ideaux de même hauteur mais de flexibilité différentes : on remarque que plus le r ideau est flexible, plus le point d 'appl icat ion de l a butée résul­tante se rapproche du fond de fouil le.

I l s'ensuit une d im inut i on de la portée d u r ideau qu i se comporte comme une poutre appuyée au niveau d'ancrage et au po int d 'appl icat ion de la butée résultante. Cette d im inut i on de la portée se traduit par une réduc­t ion importante des moments fléchissants, ceux-ci var iant comme le cube de l a portée.

186

a) Rideau peu flexible.

b) Rideau flexible.

c) Rideau très flexible.

Fig. 14 - Influence de la flexibilité du rideau sur la distribution des contraintes de butée.

Rowe a procédé à une compara ison systé­matique des moments max imaux réduits T (moments fléchissants max imaux rapportés à H 3 ) calculés à part i r des mesures et des moments max imaux réduits x m a x calculés en butée simple pour une même valeur des paramètres a, p, q, en admettant u n frottement sol-r ideau tel que

L'étude a montré que le rapport T max

est une fonct ion décroissante de lg p et est prat i ­quement indépendante de ¡3 et de q (fig. 15). Les

courbes lg p dépendent seulement du T max

paramètre a et de la compacité du sol, mais l ' influence de a étant assez faible pour les va­leurs usuelles de la fiche (0,6 < a < 0,8), Rowe considère les courbes correspondant à a = 0,7 comme représentatives d 'un sol de compacité donnée.

L'ensemble des résultats correspondant à a = 0,7 obtenus pour tous les sols essayés est représenté figure 16.

Selon Rowe les courbes moyennes obtenues pour les sols denses d'une part, et pour les sols peu compacts d'autre part, peuvent être utilisées en prat ique pour déterminer le moment fléchis­sant max ima l que supporte effectivement u n r ideau ancré. I l estime également que ces courbes (courbes de réduction des moments fléchissants) établies pour des sols secs sont applicables aux sols saturés, que l a surface de la nappe soit au même niveau de part et d'autre du rideau (nappe statique) ou qu ' i l existe une dénivellation (écou­lement autour d u rideau <4>).

(a) q : 0-0.1-0.2

-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 lg p

-3 .5 -3.0 -2 .5 -2 .0 lg p

m

N a = 0,8

••Sa

0 = 0 q

<5»k— : O

—

-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 lg p

Fig. 15 - Variations du rapport r/xmax = M/M max en fonction de l g p pour différentes valeurs des paramètres

étudiés.

n i - 4 . 0 | - 3 ,5 | -3 ,0 1 - | j | —2, Q

• • p l a c e m e n t d ' a n c r a a * ? — '9 P 1 0 0 0

Fig. 16 - Variations en fonction de lg p du coefficient de réduction des moments fléchissants calculés en butée simple.

187

il

III.2.2.3 — Force d'ancrage

Les forces d'ancrage T mesurées au cours des essais ont également été comparées aux valeurs T b calculées par la méthode d u rideau simplement buté, pour les mêmes valeurs de a, p et q.

o o

100

, 80

60

40

100

» 8 0

60

40

B:0 q \ = 0 à 0.2'

\ ^ a=o.8

^ { 0 = 0.7 ^ { a = 0.6

• -a=ô78 -

O=0.7 Lo = 0.6-

4.0 -3.5 -3,0 •2,5 -2, ig

1 ^ P : 0 q : oà 0.2

—_ £.= 0.8 O s 0.7 V * —_ £.= 0.8 O s 0.7

—

¿=0.6 «= 0.8~~ d=~0.7 -3=0.6

Fig. 17-Influence de la flexibi­lité sur la tension du tirant.

-4 0 -3 5 -30 -2,0 "g p

Si l ' on prend l a valeur T b comme référence i l apparaît que :

— T/Tb diminue lorsque l a flexibilité d u r ideau augmente (fig. 17);

— T/Tb décroît peu pour les déplacements d'ancrage qu i se produisent en prat ique;

— T/Tb peut augmenter considérablement au niveau d 'un t irant (de 20 à 50 %) d u fait d'éven­tuels déplacements différentiels des ancrages;

— T/Tb croît avec la surcharge appliquée à la surface d u sol qu i se transmet au tirant lorsque le sol tasse.

Bibliographie consultée [3, 5, 6].

IV - ÉTUDE THÉORIQUE APPROFONDIE DES RIDEAUX SOUPLES AVANT LA RUPTURE

L'étude théorique d 'un r ideau souple travai l lant dans des condit ions différentes de l a rupture impl ique la connaissance de la relat ion existant entre la réaction d u sol et le déplacement d u r ideau. L a p lupart des auteurs ayant étudié les rideaux souples de façon approfondie ont admis une relat ion linéaire entre ces deux paramètres et ont fondé leurs calculs sur l'équation générale des poutres reposant sur sol élastique.

B l u m (cité par Rowe [7]), Rowe [7, 8], R i char t [9], Ménard, B o u r d o n et G a m b i n [11, 12] ont abordé le problème d'une façon quelque peu différente dans la forme mais admettent également u n comportement élastique du sol.

D a n s ce qu i suit, o n rappelle les pr inc ipaux résultats concernant le module de réaction, paramètre qui relie la réaction d u sol et le déplacement du r ideau et l ' on expose les grandes lignes des travaux théoriques de Rowe (théories et résultats) ainsi que la méthode de ca lcu l préconisée par Ménard et B o u r d o n .

4. On verra dans ce qui suit que des restrictions ont été ultérieurement apportées par Rowe à l'utilisation des courbes de réduction dans certains cas d'écoulement.

IV . l — M O D U L E D E RÉACTION

IV.1.1 — Définition

Considérons u n écran prenant appui sur u n massif de sol, et soit p la pression de contact sol-écran. L e module de réaction k d u sol est le rapport de la pression p au déplacement y de l'écran résultant de l 'appl icat ion de p.

Lorsque l'écran est hor i zonta l , par exemple dans le cas d'une fondat ion superficielle, le dépla­cement de l'écran est lié au module de réaction vertical k s .

Dans le cas d 'un rideau de palplanches c'est le module de réaction hor izonta l k h du sol qu i détermine le déplacement du r ideau.

Considérons le r ideau ancré représenté figure 18, dont la fiche est suffisamment faible pour qu ' i l subisse u n déplacement sensible.

Dès que le rideau a subi u n déplacement très faible, la poussée minimale des terres est mobilisée à gauche du r ideau. Ce petit déplacement provoque une augmentation de la réaction d u sol sur la partie droite d u r ideau, réaction init ialement égale à l a pression des terres au repos. Cette augmentat ion étant insuffisante pour équilibrer la poussée des terres, le r ideau continue de se déplacer, mobi l isant des contraintes de butée supplémentaires jusqu'à ce que l'équilibre soit atteint.

Soient en u n point M situé à la profondeur z au-dessous du fond de fouil le

— p a l a contrainte de poussée;

— y 0 le déplacement nécessaire à la mobi l isat ion de la poussée;

— CTh, c v les contraintes horizontale et verticale en u n point du so l ;

— K = o h / a v ;

— p 0 = K'oYZ > K 0 y z la contrainte de butée correspon­dante;

— K 0 le coefficient de pression des terres au repos ;

— K'0 la valeur de K à l 'ava l d u rideau ;

— y le déplacement total ;

— p b l a contrainte de butée correspondante.

Négligeant y Q par rapport à y, le module de réaction du sol à la profondeur z est défini par l 'expression

, _ Pb — P o K-h —

y

IV.1.2 — Étude

L a forme du module de réaction, ses variations avec la profondeur, avec l a fiche d u r ideau, etc., ont été étudiées par plusieurs auteurs parmi lesquels Terzaghi, Rowe, Ménard, B o u r d o n et H o u y .

— Terzaghi [3] admet en première approx imat ion que le module de réaction est indépendant de la pression de contact, ce qu i revient à considérer que le sol se comporte de façon élastique.

I l étudie l ' influence de la fiche d u rideau en considérant deux écrans de fiches différentes, D i et D = n D i placés dans le même sol (fig. 19) et se déplaçant parallèlement à leur posi t ion init iale. L e déplacement nécessaire pour mobi l iser la même pression p à l a même profondeur le l ong des deux r ideaux est dans le rapport des fiches. E n effet les dimensions de la zone de sol intéressée par le dépla­cement d 'un r ideau (bulbe des pressions) varient proport ionnel lement à la fiche et le module d'élasti­cité du sol est constant sur une même horizontale ; i l s'ensuit que le déplacement y de l'écran de fiche D est

y = n y i y i : déplacement de l'écran de fiche D i .

189

y a t l y , Fig. 19 - Bulbes des pressions de deux

rideaux de fiches différentes.

D a n s ces condit ions

fciu _^ y i = n _ D k h p D /

k h = k h l ^

L e module d'élasticité d'une argile raide étant pratiquement indépendant de l a profondeur, le module de réaction est constant sur toute la hauteur de l'écran pour une fiche donnée. S i k h l est le module de réaction le long d 'un écran type tel que D i soit égal à l'unité de longueur (Terzaghi prend D i = 1 ft) k h a pour expression

k h = k h l p

L e module d'élasticité d 'un sable variant linéairement avec la profondeur i l en est de même du module de réaction le long d 'un écran de fiche donnée et l ' on a

k h = m h z

Compte tenu de l'hypothèse sur l'élasticité du sol est indépendant de p et ne dépend que des propriétés du sol.

D a n s ces condit ions z z kh = m h i D i — = l h ^ avec l h

m h i est la valeur de mh correspondant à une fiche D i prise égale à l'unité de longueur.

mm D ]

Dans le cas des rideaux encastrés schématisés figure 20 dont le pied ne subit aucun déplacement (sables denses) ou un déplacement vers la gauche (argile raide), Terzaghi propose les expressions sui­vantes de k h :

3

Sable

Z < Zi, k h = l h z/D

z > zi , kh très grand

F ig . 20

Argile raide

z < D ' , k h = khi 1/D' z > D ' , k h = k s = k s l / D "

k s l étant le module de réaction verticale mesuré sous u n écran hor i zonta l de largeur unité (1 ft).

190

— Selon Rowe [7], l'expérience et la théorie qu ' i l a établie concernant l a l o i de comportement des mil ieux granulaires [14] montrent que dans le cas des sables la pression p développée par le mou­vement de l'écran n'est pas une fonct ion linéaire de z et y mais doit être de la forme

P = m z y n

n étant un coefficient inférieur à l'unité. Cependant, pour les besoins du calcul pratique, i l préconise de prendre n = 1 étant entendu que m décroît pour de fortes augmentations de z et de y. Dans ces condit ions le module de raideur m correspond au coefficient l h de Terzaghi .

Rowe propose d'adopter pour les argiles l 'expression établie par Terzaghi

T P.:

M .

— Ménard, B o u r d o n et H o u y [10] relient le module de réaction au module pressiométrique.

L a relat ion entre le déplacement moyen d 'un écran et la pression p uniforme qu ' i l exerce sur le sol est représentée fig. 21. Cette courbe met en évidence une phase de déformation pseudo-élastique qui correspond aux valeurs de p habituellement utilisées dans les projets.

Partant de cette constatation, Ménard, B o u r d o n et H o u y déduisent le module de réaction k du module pressiométrique E en calculant la pression p néces­saire pour provoquer un déplacement unité du r ideau. Pour ce faire ils considèrent le r ideau et son symétri­que par rapport à la surface d u sol comme une fonda­t ion superficielle verticale s 'appuyant sur le massif semi-infini représenté figure 22.

L ' app l i ca t i on de l a formule d u tassement d 'une fondat ion superficielle à part ir d u module pressio­métrique conduit à l 'expression

O l'z phase élastique

Pc P,. phase pseudo-élaslique

P e P, phase plastique

F i g . 21 - Courbe du déplacement moyen en fonction de la pression d 'un rideau vertical exerçant une pression

uniforme sur le sol.

Fondat ion équiva lente

1

kh

ah . T

13 (0,09 h ) 2

h étant la fiche d u r ideau,

a u n coefficient caractéristique d u sol égal à — pour

1 2 les sables et graves, — pour les l imons et — pour les

2 h T T T T T T

Massif semi - infini à surface verticale

argiles.

Cette formule montre que le rapport E/k h croît avec la fiche du r ideau, c'est-à-dire que k h décroît lorsque la fiche augmente.

IV.1.3 — Evaluation

IV.1.3.1 — Matériaux pulvérulents

Terzaghi [13] donne pour les sables de diverses compacités des valeurs de lh déduites d'observations sur ouvrages. Ces valeurs de l h , regroupées dans le tableau I correspondent à l ' intervalle de contraintes (fig. 23) définies par

Ko < K < - K p

F ig . 22 - Principe du calcul du module de réaction par la méthode pressiométrique.

F i g . 23 - Courbe du rapport des contraintes en fonction du déplacement pour un rideau de fiche D battu dans du

sable.

avec

— K = — rapport des contraintes horizontale et Tz

verticale à l ' ava l d u rideau (fig. 24);

— K ' 0 valeur de K pour la valeur du très faible déplacement nécessité pour la mobi l i sa t ion de la poussée ;

K p coefficient de butée. Fig . 24

T A B L E A U I

Compacité Lâche Moyenne Dense

K ' o 0,4 0,8 1,2

lh sable sec (t/m3) ou humide 80 256 640

l h sable immergé (t/m3) 51 160 415

Rowe [7] a évalué de différentes manières le module de raideur m de différents sols pulvérulents :

— en exploitant les résultats de ses essais sur modèles au moyen de la méthode de ca lcul des rideaux q u ' i l a établie ;

— à part ir d'essais réalisés au moyen de plaques rigides. U n e plaque de profondeur minimale 30 cm et de largeur minimale 60 cm est placée dans un échantillon d u sol à étudier. O n lu i applique en tête un effort de renversement qu i provoque la rotat ion de l'écran et l ' on déduit la valeur approchée de m de la courbe moment-angle de rotat ion. L a formule d'où l ' on tire m (fig. 25) est établie à part ir de la théorie de Rowe concernant la lo i de comportement des sols pulvérulents [14] ;

— en appl iquant cette théorie au ca lcul direct du module de raideur sur la base des courbes con­traintes-déformations obtenues à part ir d'essais tr iaxiaux ou de cisail lement direct.

I l a également utilisé une méthode indirecte dans laquelle i l déduit m d u module de raideur d 'un sol type par l'intermédiaire d'essais de cisail lement ou œdométrique (sur œdomètre spécial de grandes dimensions) réalisés sur le sol type et le sol étudié.

Ces différentes méthodes ont donné des résul­tats concordants dont les valeurs moyennes sont récapitulées dans le tableau II.

Ces valeurs sont considérablement plus fortes que celles données par Terzaghi.

Fig . 25

M 36a m = —• •

D-1 r avec M = Fx x 1 D 3 ( 1 — a )

a étant le rapport de la profondeur de la fouille à la longueur du rideau.

T A B L E A U II

Type de sol lg m

(m en lb/ft3) m (t/m3)

Sable dense 6,10 20 000

Sable lâche 4,75 900

( 90 % sable Melange ]

( 10 % mica 4,45 450

L i m o n sec lâche 4,08 190

Cendres lâches 3,77 90

192

Rowe [7] a également abordé le problème de l a détermination du module de raideur des sols pulvérulents immergés et soumis ou non à un écoulement. I l a montré que l ' on peut admettre en pre­mière approx imat ion que le module de raideur est sensiblement proport ionnel en poids spécifique effectif du sol.

ïi = Y' — ÏTw

i est le gradient hydraul ique moyen le long du parement aval du rideau, y ; le poids spécifique effectif du sol, y ' le poids spécifique déjaugé du sol et y w le poids spécifique de l 'eau.

Sur le p lan pratique i l préconise de déterminer le module m des couches immergées à partir d'essais de pénétration, l 'appareillage ayant été préalablement étalonné dans des couches de sols secs de diffé­rentes compacités et dont le module de raideur a été déterminé en laboratoire par une des méthodes exposées ci-dessus.

IV.1.3.2 — Argiles raides à très raides

Terzaghi [13] préconise d'évaluer k h pour ces argiles à part ir de leur module de réaction verti­cale k s i :

k h = ^ ^ (rideau simplement buté)

^ h = 3 LV (rideau encastré)

(les notations sont celles de la figure 20)

k s l étant le module de réaction verticale du sol chargé par une semelle de grande longueur et de un pied de large.

Des valeurs caractéristiques de k s J sont données dans le tableau III. Elles ont été obtenues après consol idat ion complète de l 'argile sous les charges appliquées.

T A B L E A U III

Consistance de l 'argile Ra ide Très raide Dure

C u (t/m.2) 5 - 10 10 - 20 20

Plage de var iat ion de k s l (t/m3) 1600-3200 3200-6400 > 6400

Va leur proposée de k s l (t/m3) 2400 4800 9600

Rowe [8] a repris les formules de Terzaghi dans lesquelles i l fait apparaître les paramètres a , D et D ' caractérisant l a géométrie du rideau et le nombre

C de stabilité S = —- (notations de la figure 26).

yh

E n admettant la re lat ion k s l = 320 C u tirée des valeurs proposées par Terzaghi i l obtient l 'expres­s ion suivante

n i y ' 1

320 avec n = y ' pour u n r ideau simplement buté

320 , D et n = - j - y — pour u n rideau encastre.

L e nombre n variant peu, k h dépend essentielle­ment d u nombre de stabilité S.

S = C J y h a = D / H

Fig. 26

193

1

IV. 1.3.3 — Évaluation à partir de Y'essai pressiométrique

Dans le cas d 'un r ideau simplement buté de fiche h , Ménard et B o u r d o n [11] tirent k h de l a formule établie pour u n r ideau exerçant une pression uni forme sur le sol

j _ _ 1

k h ~ Ë ^ + 13 (0,09 h ) -

Pour u n r ideau encastré, ils déterminent k h dans la zone en butée au moyen de la même formule, en substituant à h la fiche équivalente a (distance entre le fond de fouil le et le centre de rotat ion du

2 r ideau, c'est-à-dire la hauteur de butée, généralement de l 'ordre de - h).

L a valeur de E prise en compte est E q ou module moyen entre les profondeurs 0,5 m et 0,7 h comptées à part i r du fond de fouil le (la réaction du sol est négligée sur le premier demi-mètre pour tenir compte forfaitairement de la décompression du sol en fond de fouille)

1 »0,7 h E q = pr^r-, ttt E (z) dz

M 0,7 h — 0 , 5 J o,5 w

L a valeur k h 2 de kj, en contre-butée est supérieure à la valeur k h ( en butée. Leur rapport x, qu i peut être très supérieur à 2, est généralement pris égal à 3 dans les calculs.

IV .2 — ÉTUDE T H É O R I Q U E D ' U N R I D E A U A N C R É B A T T U D A N S U N S O L P U L V É R U L E N T H O M O G È N E ( THÉORIE D E R O W E )

IV.2.1 — Théorie

IV.2.1.1 — Hypothèses et principe du calcul

Rowe a étudié le comportement d 'un rideau battu dans u n sol pulvérulent homogène à part i r de l'équation des poutres sur appui cont inu élastique appliquée à la partie en fiche du r ideau

d 4 y d x 4

• Pb = f (x, y)

o u

— E module d'élasticité du r ideau,

— I moment d'inertie du r ideau,

— y déplacement du r ideau à l a profondeur x,

— P a contrainte résultante de poussée à l a pro fon­deur x, Fig. 27

— P b contrainte de butée à la profondeur x,

— x = E D profondeur d 'un point du r ideau compté par rapport au fond de fouille.

C o m m e on l ' a vu précédemment, Rowe djj admet pour la réaction de sol l 'expression

Pb mxy 15"

m étant le module de raideur du sol . D = (1-cOH

Surcharge qYH U 1 1 U U U

= h

X S E D

P b

P H

Tirant

mxy

L'équation devient alors

P T çHy

* d x 4 _ P a (1—«)H

avec les notat ions de la figure 27.

Rowe écrit l'équation de la déformée d u rideau dans sa partie en fiche sous l a forme d ' u n e série

a i x a 2 x 2 + a 3 x 3 + . a n x "

194

dont les 31 premiers termes sont pris en compte dans les calculs. O n en déduit, par dérivation, les

dy d 2 y d 3 y d 4 y expressions de -r-> 7—„> T V T - ; -

dx d x 2 d x 3 d x 4

d 4 y Reportant les expressions de y et - j - ^ dans l'équation différentielle de la déformée, i l vient

6 ! 4 ! a 4 + 5 ! a 5 x + 2 - j a 6 x 2

mx E l (1 — oc) H E I

( a 0 + a1x + a 2 x 2 . . . )

E n identifiant les coefficients des termes en x, x 2 , . . . x n dans les deux membres de l'équation pré­cédente on remarque que les coefficients a 5 , a 6 . . . , a n s 'expriment en fonct ion de ao, a i , aa, a3, a4 et

dy d 2 y que les expressions y, -Y-> -^—2 ne font intervenir que ces c inq coefficients. dx d x 2

Par exemple, si l ' on pose A m

(1 — oc) H E I on obtient pour y

y = a 0 [ l - - x * - 1 1 0 ! 5 , 6 ' \ / 2 ! 7 ! 12 !

A 2 x 1 0 . . . ) + a x x ( 1 — g-j A x 5 + . , . A 2 x " . . . 11 ! 6 !

x 2 ^1 /. 3 ! . 8 ! 3 !

7 ! A X 5 + Î 2 ^ - | A 2 x i ° . . . j + a 3 x 3 ^

41 9 1 4 I + a 3 x 3 ( 1 - - A x * + ^ j j j ^ A 2 x " . .

5 ' 10 1 5 1

a i X 4 , 1 _ _ A x 5 + _ ! _ A 2 x l o

I l est en outre intéressant d'écrire A x 5 sous la forme

A x 5 = ( l - a ) H E I [*0 - « ) H ] " = 5 1 m (1 - a)4 E 5 = m p ( i _ a ) 4 £ 5

faisant ainsi apparaître le coefficient de flexibilité d u r ideau p = H 4

E l '

Les coefficients ao, a i , a 2 , a3, ai sont déterminés à part ir des condit ions aux limites.

L'étude d 'un rideau ancré (fig. 28a) est faite en deux étapes.

O n étudie tout d 'abord le comportement d u r ideau supposé non ancré, dans les trois cas suivants (fig. 28) :

— le r ideau est soumis à une force horizontale T en tête,

— le r ideau est soumis à la poussée des terres (répartition triangulaire),

— le r ideau est soumis à l a poussée des terres apportée par une surcharge uniforme appliquée à la surface d u sol (répartition rectangulaire).

ta)

(a - p ) H

' . / /

K / K a /

Y \

\ K 0

\ \

(b)

a 'd

(C)

Li ! 1 1q7H,

q K a 7 H

Fig. 28 - Décomposition des efforts appliqués à un rideau ancré battu dans un sable homogène. K a coefficient de poussée.

195

O n détermine les efforts et les déplacements d u rideau non ancré sous l 'ac t ion simultanée de l a force — T , de l a poussée des terres et de l a surcharge (c'est-à-dire les efforts et les déplacements du r ideau ancré considéré initialement) en combinant les résultats obtenus pour les trois cas de charge précédents.

IV.2.1.2 — Première étape

Dans chacun des trois cas considérés, les coefficients a2, a3, a4 sont déterminés respectivement par les valeurs du moment fléchissant, de l'effort tranchant et de l a contrainte de poussée résultante au niveau du fond de fouil le, c'est-à-dire pour x = o.

• Premier cas (fig 28 a)

h (e5 ) . . „ - * h t - a>

L a pression des terres au repos agissant sur chaque face du r ideau, la contrainte P a de poussée résultante est nul le, d'où :

• Deuxième cas (fig. 28 b)

E l (W\ - K * Y ( a H ) 3

E l

d x ^ x = 0 6

'&y\ - K » T ( A H ) 2

d x 3

E n admettant que l a pression des terres au repos agissant sur la face externe du r ideau équilibre la poussée des terres situées au-dessous d u niveau de dragage appliquée à la face interne, l a poussée résultante est constante et égale à P a = K a yh.

• Troisième cas (fig. 28 c)

L a poussée q K a y h étant une poussée supplémentaire (dans la suite des calculs elle s'ajoutera à la poussée tr iangulaire considérée précédemment) n'est pas équilibrée par la pression des terres au repos. O n a donc : p a = q K a y h

E I (S )_ = q K ^ h -Les coefficients a 0 et a i sont déterminés dans chaque cas en écrivant que le moment fléchissant et

l'effort tranchant sont nuls en p ied de r ideau.

Les paramètres ao, a i , a2, a3, a4 étant déterminés pour chacun des cas de charge considérés, les valeurs de y et de ses dérivées successives sont connues et par suite les moments fléchissants et les dépla­cements de la partie en fiche.

Les composantes d u déplacement yg du point situé à la cote d'ancrage peuvent alors être calculées

(fig. 29)

ye = yd + y s + y b

avec

— Yd = (y) x = 'o> déplacement au niveau du fond de fouil le,

196

0 H

Fig . 29

y s = (a p) H ( — } ' déplacement dû à la \dxy x = o

rotat ion au niveau d u fond de fouil le, — y b , déformation de la partie hors fiche entre le

fond de fouille et la cote du point d'ancrage.

Suivant le cas de charge considéré on obtient les expressions :

— du déplacement [y&]r sous l 'act ion de T ,

— du déplacement [y p ] p sous l 'act ion de la poussée des terres,

— du déplacement [y p] s sous l 'ac t ion de la sur­charge.

IV.2.1.3 — Deuxième étape

O n calcule les moments fléchissants dans le r ideau ancré et les déplacements qu ' i l subit, en ajou­tant respectivement les valeurs de ces paramètres obtenues dans les trois cas de charge considérés pré­cédemment.

M a i s si les moments fléchissants et les déplacements correspondant aux deuxième et troisième cas de charge peuvent être calculés (les efforts appliqués au rideau sont connus) i l n'en est pas de même de ceux correspondants au premier cas, qu i dépendent de la force T . Pour déterminer T , on écrit que le déplacement résultant au niveau du po int d'ancrage

[ y p ] p + [yp]s — [ y p ] T

Y A

est égal au déplacement Y A de l 'ancrage sur lequel on doit faire une hypothèse en pratique ~ < \ r i 1000

U n e fois T déterminé, les valeurs du déplacement, de la réaction du sol et d u moment fléchissant peuvent être calculées en tout point d u r ideau.

IV.2.2 — Résultats

Sur la base de l a théorie précédente, Rowe a étudié l ' influence du module de raideur et de la H 4

flexibilité égale à g j sur le moment fléchissant max ima l dans le r ideau et sur la tract ion dans

le t irant. L'étude a été faite pour les valeurs usuelles des paramètres mp, a, p et q ainsi que pour diverses valeurs du déplacement d'ancrage Y A -

Les principales conclusions sont les suivantes :

— pour u n déplacement d'ancrage nu l et dans le cas d 'un rideau parfaitement rigide on obtient pour le moment fléchissant max ima l et pour la tract ion dans le t irant sensiblement les mêmes valeurs que lorsque le r ideau est calculé en butée simple (à 2 % près) ;

— comme dans l'étude expérimentale dont i l est rendu compte précédemment, Rowe rapporte le moment fléchissant max ima l M et la tract ion T dans le t irant aux valeurs correspondantes M m a x

et T m a x obtenues en butée simple.

L e diagramme de l a figure 30 montre que M

M m a :

est une fonct ion décroissante de lg mp <5). Les

paramètres p et q n'ayant qu'une influence négligeable et celle de a restant faible dans le domaine des valeurs usuelles de ce paramètre (0,65 < a < 0,75) Rowe propose d'uti l iser la courbe moyenne corres­pondante à a = 0,7 pour les besoins d u ca lcu l prat ique. D e même pour l a courbe représentant les

T variat ions de - — en fonct ion de lg mp (fig. 31);

5. p est exprimé en ft5

lb in : et m en lb/ft3.

197

i

F ig . 30 - Var iat ion en fonction de l g m p de M/Mmax pour diffé­rentes valeurs des para­mètres oc, ¡3 et q.

o 100 o

X ro -E 80

60

x

2Ê 40

20

r 60 % r

/ „ 4 .

Pas de déplac sment , d ancrage

1.0 2.0 3.0 4,0 lg mo

Fig . 31 - Var iat ion en fonction de l g m p des coefficients de réduc­tion moyens applica­bles au moment fléchis­sant et à la tension dans le tirant calculés en

butée simple. (1) Courbe moyenne de réduction du moment

fléchissant. (2) Courbe moyenne de réduction de la traction

dans le tirant.

les rapports M

et étant indépendants de K a y Amax A max

les courbes de l a figure 31 peuvent être appliquées aux sols stra­tifiés et soumis au marnage;

— l'étude de l ' influence des déplacements d'ancrage montre que les faibles valeurs de Y A admises dans les projets affectent peu M et T . D e ce fait o n peut admettre dans les calculs que Y A

est nu l . L a figure 32 représente les courbes de moment fléchis­sant obtenues pour différentes valeurs de mp et pour Y A = o.

F i g . 32 - Distr ibution des moments fléchissants le long du rideau pour différentes valeurs de l g m p et dans le cas d 'un déplacement d'ancrage nul .

198

IV.2.3 — Comparaison de la théorie avec l'expérience

Les résultats d'essais sur modèles (points expérimentaux de la figure 30) montrent que la théorie et l'expérience donnent des résultats concordants dans le cas des sols relativement compressibles; on note des écarts plus importants dans le cas des rideaux battus dans des sols denses.

Ces écarts peuvent être dus :

— aux variations de K a y résultant du déplacement du rideau, — aux efforts de cisaillement qui se développent au niveau du fond de fouille en amont du rideau, — au fait que, dans certains cas, les valeurs de la butée calculées au voisinage du fond de fouille

sont supérieures à la butée limite du sol.

Bibliographie consultée [7],

IV.3 — ÉTUDE THÉORIQUE D 'UN R I D E A U ANCRÉ FICHÉ D A N S U N E A R G I L E (THÉORIE D E ROWE)

IV.3.1 — Généralités

L'étude d'un rideau battu dans une argile est plus complexe que celle d'un rideau battu dans un sable du fait de l'évolution du comportement de l'argile dans le temps.

Par exemple, dans le cas d'une fouille étayée par un rideau, le dragage provoque une diminution des pressions interstitielles dans l'argile, due à la tendance du sol à se dilater (léger mouvement du rideau vers l'aval, déchargement du fond de fouille). Pendant une courte période suivant la fin du dragage les pressions interstitielles ne varient pas sensiblement et l'argile ne subit pas de variations de volume (comportement à court terme). Au bout d'un temps qui peut être long, les pressions intersti­tielles ont évoluées vers les valeurs correspondant au régime hydraulique permanent, indépendantes des contraintes appliquées à l'argile (comportement à long terme). Cette évolution correspond à une augmentation des pressions interstitielles par rapport à la phase « court terme » et par suite à une expansion de l'argile.

Un rideau battu dans l'argile doit donc en principe être étudié à court terme et à long terme.

A court terme, les efforts de poussée et de butée sont évalués à partir de la cohésion non drainée C u du matériau. Le calcul est fait en contraintes totales.

A long terme, l'étude est faite en contraintes effectives à partir des paramètres de cisaillement intergranulaire c' et 9' et des pressions interstitielles correspondant au régime permanent.

IV.3.2 — Profondeur limite de la fouille

Le diagramme des contraintes de poussée et de butée agissant à court terme sur un rideau en équilibre limite et battu dans une argile homogène est représenté figure 33 a. Le diagramme de la figure 33 b montre qu'au-dessus du niveau du dragage la contrainte résultante est égale à 4 C u — yh.

P o u r que le r ideau soit stable i l faut donc que

4 C u — y h > o

ou encore que le nombre de stabilité S égal à dans le cas particul ier considéré soit supérieur à 0,25. yh

Si le sol situé en amont du r ideau supporte une surcharge uniforme d'intensité q ' yh et que l ' on tienne compte de l'adhérence argile-rideau C w l 'expression d u nombre de stabilité devient

S = c u

yh (1 + q')

1 + — étant généralement pris égal à 1,25. C u

Le nombre de stabilité doit être supérieur à 0,25 pour que la fiche du r ideau ne soit pas inaccep­table et l ' on admet qu 'en pratique S doi t être au moins égal à 0,30.

I l n'est donc possible d 'ouvr i r dans une argile une fouille de profondeur donnée, étayée par u n r ideau, que lorsque C u atteint une valeur minimale . Rowe a en outre montré que l ' on n'obtient une fiche économiquement acceptable que lorsque la cohésion atteint une valeur nettement supérieure à cette valeur minimale .

IV.3.3 — Comportement à long terme

Compte tenu de ce qu i précède, la so lut ion r ideau ancré ne se justifie économiquement, dans le cas de fouilles de profondeur moyenne à grande, que pour des argiles suffisamment surconsolidées dont la cohésion n o n drainée varie peu avec la profondeur sur la hauteur en fiche.

Dans ces condit ions, le calcul à long terme donne les résultats les plus défavorables. L e compor­tement de l 'argi le d u po int de vue de l a résistance au cisail lement se rapproche alors de celui d ' u n sable et l ' o n peut penser que les mêmes principes de calcul peuvent être appliqués.

Cependant, les condit ions d u calcul à l ong terme classique ne se réalisent pas nécessairement. I l peut arriver que dans le cas d 'un r ideau remblayé, le sol n 'ait pas la possibilité d'augmenter de volume à l 'aval auquel cas les efforts de butée ne varient pas sensiblement par rapport au court terme. Selon Rowe , si l 'argi le en place n'est pas remaniée par le battage et le remblaiement, les contraintes de butée n'évolueront pas dans le temps. E n revanche u n dragage en pied de r ideau provoquera le ramoll issement de l 'argi le (surtout si elle est fissurée) et l'établissement progressif des condit ions à l ong terme.

I V.3.4 — Étude théorique d'un rideau remblayé fiché dans un matériau de résistance et de module de réaction constants

Cette théorie étudie le comportement à court terme d 'un r ideau remblayé par u n matériau pulvé­rulent fiché dans une argile raide ainsi que son comportement à long terme lorsque cette argile ne subit pas de gonflement dans le temps.

Les calculs intéressent le r ideau schématisé figure 34 et s 'appuient sur l'équation générale

m d 4 y E I d x " 4

= P a k h y U l t l t t U l IT H

avec

— Pa = Yh — 2 C u , contrainte de poussée résultante dans l 'argi le,

- k h = k h l L = n I S (cf. IV.1.3.2) D y 1 + a

module de réaction de l 'argile.

L a so lut ion de cette équation est obtenue par l a même méthode que dans le cas des sables.

L 'essentiel de l'étude consiste à comparer le moment fléchissant max ima l M calculé en tenant Fig. 34 - Rideau remblayé.

200

100.

80

60

40

20

c u /7^ 1/2 0.0

^ X V

^ — -

-2 85 -1.85 085 0.15 V ' i g K , .

l-'ig. 35 - Variation en fonc­tion de lg k n p du coefficient de réduction des moments fléchissants calculés en butée

simple.

Fig. 36 - Redistribution des contraintes de butée lorsque l'équilibre limite est atteint au niveau du fond de fouille.

I S 80

a=o,:

•

0,0 0 . 3 0,5

o 100 o

i * 80

Is 60

40

20

0

S = ^ V 1 + C W / C U

*

1 0,0 0 . 3 0,5

7h ( 1 + q' )

Fig. 37 - Variation en fonction du nombre de stabilité du coefficient de réduction des moments fléchissants lorsque la contrainte de butée au niveau du fond de fouille est

égale à 2 C u .

2 loo.

60.

40. 0 0

100

•

c l \ \

* T —

. « - 0 , 8

* T —

1

0 3

05

lg p = -3 ,1 10 1 5 20

C

7h JL / î + c T c

V w u

S = £ V 1 + C ™ / C u yh

S = — J l + C IC yh V w u

Fig. 38 - Variation du coefficient de réduction des moments fléchissants en fonction du nombre de stabilité et du coefficient a pour trois valeurs usuelles du coefficient de

flexibilité.

compte des déformations respectives d u sol et d u r ideau au moment max ima l M m a x obtenu à part i r d ' u n ca lcul en butée simple.

L e d iagramme de l a figure 35 représente les variat ions de M / M m a x en fonct ion de l g k h p ( 6 ) pour différentes valeurs de paramètres a, ¡3 et q. I l montre en part icul ier que, pour les valeurs usuelles de khP, M / M m a x prend sensiblement la même valeur, que le rideau soit battu dans un sable o u dans une argile, p o u r v u que mp et khp soient égaux. D 'aut re part p et q n'affectent pas sensiblement M / M m a x .

Cependant les valeurs de M utilisées pour tracer les courbes de l a figure 35 peuvent correspondre à une d is t r ibut ion des efforts de butée incompatibles avec la résistance au cisail lement de l 'argi le. P a r exemple l a d is t r ibut ion 1 de l a figure 36 condui t à une rupture locale de l 'argi le sur l a hauteur A B et l a charge correspondant à l 'aire hachurée A B C se redistribue suivant l a l igne 2.

P o u r tenir compte de cette incompatibilité, Rowe a procédé à une étude des moments fléchissants dans le cas où la contrainte de butée appliquée au niveau d u fond de fouil le atteint l a valeur 2 C u . I l en a déduit le diagramme de l a figure 37 représentant la var iat ion de M / M m a x en fonct ion d u nombre de stabilité S. C o m m e précédemment M / M m a x est peu affecté par l a variété des coefficients p et q .

Des résultats représentés figure 35 et de ceux tenant compte d'une l im i ta t i on de l a butée au niveau d u fond de fouil le (fig. 37), Rowe déduit les variat ions de M / M m a x en fonct ion de S, p et <x étant fixés (fig. 38).

Remarque : Bien que l'étude ait été faite pour une argile se comportant comme un sol purement cohérent, Rowe estime que les courbes de la figure 35 s'appliquent dans le cas où l'argile a pu gonfler librement c'est-à-dire dans les conditions du long terme classique. Rowe appuie cette assertion sur la similitude des courbes obtenues pour le sable et l'argile.

Bibliographie consultée [8].

IV.4 — C A L C U L D ' U N R I D E A U ANCRÉ PAR L A MÉTHODE D E MÉNARD, B O U R D O N E T G A M B I N

IV.4.1 — Hypothèses

Le r ideau est soumis :

— à l a poussée calculée par les théories classiques, qu i s'exerce sur sa face amont ;

— aux réactions d u sol qu i s'exercent sur l a partie en fiche.

Dans l a zone en butée le module de réaction kh est supposé constant, sa valeur étant calculée à part i r d u module pressiométrique moyen par l a formule

1 _ 1 « | + 13(0,09 a)»

2 a étant égal aux - de la fiche (cf. IV.1.3.3).

Dans la zone en contre-butée le module de réaction est supposé constant et égal à X k h .

Les calculs sont faits dans l'hypothèse où le sol reste dans l'état pseudo-élastique.

IV.4.2 — Principe de la méthode

Ménard, B o u r d o n et G a m b i n [11, 12] considèrent tout d 'abord séparément l a partie d u r ideau au-dessus d u niveau d'encastrement et l a partie en fiche ( 7 ) . Ils évaluent séparément, en fonct ion des paramètres inconnus (traction dans le t irant, déplacement en tête d u r ideau, etc.) les efforts agissant sur les deux parties d u r ideau ainsi que les déformations et les déplacements correspondants. Les para­mètres inconnus sont obtenus en écrivant l a continuité des efforts internes (moments fléchissants, efforts tranchants) des déplacements et des rotations au po int de j onc t i on des deux parties d u r ideau c'est-à-dire au niveau d'encastrement.

6. k h est exprimé en lb/ft3 et p en ^2>

7. On considère dans le calcul que le niveau d'encastrement se trouve à 0,50 m au-dessous du fond de fouille pour tenir compte du remaniement du sol dû à l'excavation et au battage du rideau.

202

U n calcul uti l isant les solutions de l'équation différentielle générale des r ideaux s 'appuyant sur u n matériau élastique est ensuite nécessaire pour déterminer les efforts dans l a partie en fiche.

IV.4.3 — Étude de la partie hors fiche

Sur la partie supérieure du r ideau agissent la poussée des terres et la tract ion X dans le t irant qu i est inconnue.

O n calcule en tout point de la partie hors fiche :

— l'effort tranchant et le moment fléchissant en fonct ion de X ,

— l a rotat ion en fonct ion de X et de l a rotat ion ùa en tête du rideau qu i est inconnue,

— le déplacement en fonct ion de X , de 0 0 et du déplacement y 0 en tête d u r ideau qu i est inconnu.

IV.4.4 — Étude de la partie en fiche

El l e consiste à déterminer les déplacements (linéaire et angulaire) d u r ideau au niveau d'encastre­ment en fonct ion des efforts (moment fléchissant et effort tranchant) à ce niveau, dus à la réaction d u sol sur l a partie en fiche.

L e ca lcul se fait en deux étapes.

O n calcule tout d 'abord les déplacements au niveau d'encastrement en supposant que la réaction d u sol est celle que l ' on obtiendrait si le r ideau était parfaitement rigide.

L e ca lcul montrant généralement que le rideau subit des déformations propres non négligeables, on évalue l a réaction supplémentaire du sol résultant de ces déformations qu i est alors prise en compte dans le ca lcul des déplacements.

Les notations utilisées au cours de l'étude sont celles de l a figure 39.

Niveau d'encastrement

j3 rotation du rideau u déplacement d'ensemble au niveau d'encastrement v déplacement au niveau d'encastrement dû à la flexibilité

du rideau. oj rotation au niveau d'encastrement due à la flexibilité du

rideau.

Zone en butée

p=kt ap(z-j„)

Zone en contre-bute'e

p=Xkt BP(z-z.)

y = u + v déplacement au niveau d'encastrement Î2 = /3 + CO rotation au niveau d'encastrement M moment fléchissant au niveau d'encastrement T effort tranchant au niveau d'encastrement

Fig. 39 - a) Notations utilisées pour l'étude de la partie en fiche, b) Réaction du sol sur un rideau rigide.

IV.4.4.1 — Rideau supposé rigide

L a déformation élastique v étant supposée négligeable devant u les contraintes exercées par le sol sur le r ideau ont pour expressions (fig. 39 b) :

zone en butée -> z > z 0 , module de réaction k : p = k tg (3 (z — z 0 ) ,

zone en contre-butée -» z < z 0 , module de réaction k : p = X k tg p (z — z 0 ) .

203

Posant que les efforts et les déformations sont nuls en pied de r ideau on établit facilement, en tout point de l a partie en fiche, les expressions d u moment fléchissant, de l'effort tranchant ainsi que d u déplacement et de la rotat ion liés à l a déformation d u r ideau.

O n obtient au niveau d'encastrement (z = h) dans l'hypothèse X = 3

n T = k h 2 tgp JA — ¡1

M = k h 3 t g P f g - | - IX* + ^

= _ k h * tgp fl_ _ E l \^24

k h 5 t g p / 1 J A

E l \ 120 24

6 2 + 3 12

_ ( J L

2 . ^L. i ^ l

6 + 6 12 + 60

avec [A = — h

O n remarque en outre que u = (h — z 0 ) tg p = (h — z 0 ) p soit :

u = ( l — ( z ) h p

Posant M = o, on tire de (1) l a valeur de p que l ' on reporte dans (3), (4) et (5).

D e même, posant T = o, on tire de (2) l a valeur de p que l ' on reporte dans (3), (4) et (5).

O n obtient pour p, co, u et v les expressions suivantes

T = o M = o

k h s

T h 2

co = — 0,096 — r = co, T E l

u = - 3 ' 6 1 F h = u ' T

v = - 0 , 0 4 — = v x T

M p = - 7 ' 5 k h 5 = P 2 M

. M h co = 0,53 — = c o 2 M

, n M U = 4 ' 7 k P = U 2

M h 2

v = 0,182-p^r- = v 2 M E l

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

O n a ainsi décomposé le système des efforts (T, M ) au niveau du fond de fouille en deux systèmes auxil iaires (T, M = o) et (T = o, M ) .

P o u r obtenir la valeur d 'un des paramètres p, co, u o u v i l suffira d'ajouter les valeurs de ce para­mètre correspondant respectivement à chacun des systèmes auxil iaires considérés.

Exemple : p = ^ T + p 2 M .

I l en résulte que l a rotat ion et le déplacement d u r ideau au niveau d'encastrement ont pour expression

a = T ( p x + C Ù J ) + M ( p 2 + « g )

y = T ( u 1 + v 1 ) + M ( u 2 + v 2 )

IV.4.4.2 — Rideau flexible

L a déformation d u r ideau n'étant généralement pas négligeable dans l a moitié supérieure de l a partie en fiche, l a d istr ibut ion des efforts de butée sera différente de celle considérée précédemment. Pour déterminer la nouvelle d is tr ibut ion, Ménard et B o u r d o n assimilent la déformée d u r ideau à une ligne brisée dont les deux segments font entre eux u n angle p ' i et se coupent au mi l i eu de l a partie en fiche (fig. 40 a). Les contraintes de butée et de contre-butée se distr ibuent alors comme indiqué sur le diagramme de l a figure 40 b.

204

a) Déformée de la partie en fiche. b) Diagramme des efforts de butée et de contre-butée.

F ig . 40 - Rideau flexible.

Les efforts dans le r ideau (moment fléchissant et effort tranchant) et les déformations corres­pondantes peuvent être calculés en ajoutant :

— les efforts et les déformations correspondant à la partie non hachurée d u diagramme, donnés au niveau d'encastrement par les expressions (1) (2) (3) et (4);

— les efforts et les déformations correspondant à l a partie hachurée d u diagramme. Ils ont pour expression au niveau d'encastrement

h 3 tg Sî h 5

L 48 E l 3840

2 v avec tg ß,. = — - j p

Ut i l i sant l 'expression de v obtenue en supposant le r ideau rigide (équation 4) i l vient

2 k h 4

t g p i = — t g p A ( u )

. , s 1 y- y2 . y3 i * 4 , t* 5

avec A ( l 0 = _ _ y + T _ _ + _

L 'expression des efforts et des déformations au niveau d'encastrement pour u n rideau flexible est donc

r i 1 kh 4 1 T = k h * t g p | j - i * - i ^ - i ^ j A G O j

[" J y_ j i l i J i l — 4 — A ( ï l

[ 2 4 6 2 + 3 12 192 E l W J kh 4tgß

E l

/. 1 k h 4 \ k h 5 t g p v = (1 + ï92ôÊr)^ËT- A ( [ x )

O n a en outre u = (1 — u,) h p

Décomposant comme précédemment le système ( M , T) en deux systèmes auxiliaires ( M , T = o) k h 4

et ( M = o, T) o n obtient en éliminant p et en faisant apparaître le coefficient p = -g j - (flexibilité

relative)

205

1

M = o

P = j ^ i (4,7 - 0,033 P) = (h + A P l ) T

T h 2

M = i r ( 0 ' 0 9 6 + 1 ' 6 - 1 0 _ 4 p ) = ( w i + A w i ) T

u = s ( - 3,61 + 0,028 P) = ( U l + Auj) T

Th» v = — 0,04 — (1 + 5,3. 10- 4 P/ = (v t + A V l ) T

T = o

M P = ( - 7,5 + 0,134 P) = (p 2 + Ap 2 ) M

. , . M h co = — 0,54 — = t o 2 M

u = ^ (4,7 - 0,104 P ) = ( u 2 + A u 2 ) M

M h 2

v = 0,182 — ( l + 5,4. ÎO" 4?) = (v a + Av 2 ) M

L a ro tat ion et le déplacement au niveau d'encastrement ont alors pour expression

T (p x + Ap 1 + cox + AcoJ + M (p2 + Ap 2 + co2)

y = T (uj_ + A u r - f v x + A v J + M ( u 2 + A u 2 + v 2 + Av 2 )

IV.4.5 — Détermination des efforts et des déplacements au niveau d'encastrement

O n écrit l a continuité des efforts et des déformations à ce niveau.

L'étude de l a partie hors fiche fournit les expressions d u moment fléchissant M , de l'effort t ran­chant T , de la rotat ion £2 et du déplacement y au niveau d'encastrement.

T = T (X)

M = M (X)

n = (X, n 0)

y = y (X, Ci0, y0)

L'étude de la partie en fiche fournit les expressions de l a rotat ion et d u déplacement au niveau d'encastrement.

a = a (T, M )

y = y ( T , M )

D'où le système linéaire en X , M , T , £20, y 0

T = T (X )

M = M (X )

Q (X , Q 0 ) = n (T, M )

y (X , Û O , y D ) = y (T, M )

soit u n système de 4 équations pour 5 inconnues.

O n se donne une équation supplémentaire en fixant le déplacement y i d u rideau au niveau de l 'ancrage d u tirant, y i est une fonct ion linéaire de y Q et de fiQ. O n l u i impose soit une valeur fixée (par exemple 0), soit une valeur dépendant linéairement de X .

L a résolution du nouveau système ainsi obtenu permet de déterminer :

— l a tension dans le t irant et par suite le moment max ima l dans la partie hors fiche,

— le moment fléchissant et l'effort tranchant au niveau d'encastrement,

— le déplacement au niveau d'encastrement qui doit être inférieur à environ 2 cm. E n effet, selon Ménard et B o u r d o n [11] o n reste dans le domaine pseudo-élastique, quelle que soit l a résistance du sol , lorsque le déplacement d u r ideau ne dépasse pas cette valeur.

L e ca lcu l d u moment max ima l dans l a partie en fiche nécessite cependant u n ca lcu l spécial, du moins dans le cas des rideaux flexibles.

1V.4.6 — Calcul du moment fléchissant maximal dans la partie en fiche

L e ca lcul est effectué à part ir des équations différentielles de l a déformée d u r ideau

206

9 y E l — r = — ky zone en butée

ez 2

j,4y E l —5 = — X hy zone en contre-butée

ez 2

dont les intégrales générales sont de l a forme

y x = e^i^Ajt C O S Y ! z + Bx sinyj^ z) + e -^ i z ( C x C O S Y I Z + D± sinYï z)

et y 2 = e Y2 z ( A 2 cos Y2 z + B 2 s in Y 2 z) + e - Y 2 z ( C 2 cos Y2 z + D 2 sin y2 z)

a v e c Y ^ V ^ e t Y ^ V ^ V 4 E I T 2 V 4 E I

Les rotations, moments fléchissants et efforts tranchants dans les zones en butée et en contre-butée,se déduisent de ces expressions par intégration.

L e problème est donc de déterminer A i , B i , C i , D i , A2, B2, C2, D 2 et z Q .

O n obtient un système de 9 équations ayant ces paramètres pour inconnues en écrivant :

— qu 'au niveau d'encastrement M et T ont des valeurs connues,

— que pour z = z c , y i = y2 = o et q u ' i l y a continuité pour l a rotat ion, le moment fléchissant et l'effort tranchant,

— qu'en pied de r ideau le moment fléchissant et l'effort tranchant sont nuls.

Bibliographie consultée [11, 12].

V - APPLICATION DES ÉTUDES THÉORIQUES ET EXPÉRIMENTALES AU CALCUL DES RIDEAUX

V . l — C A L C U L C L A S S I Q U E

Les travaux de Rowe ont apporté une somme considérable de renseignements sur le comporte­ment des r ideaux ancrés. Ils ont été conduits dans l 'opt ique d'améliorer les méthodes classiques de dimensionnement ; de ce fait leurs résultats, exprimés par référence au ca lcu l en butée simple, peuvent être facilement pris en compte lors de l'étude des projets courants.

V . l . l — Milieux pulvérulents

Sur la base de ses expériences en mi l ieu pulvérulent, Rowe propose l a méthode de ca lcul suivante applicable aux sols comportant plusieurs couches de caractéristiques différentes :

— détermination de la fiche et de la force d 'an­crage d u r ideau par u n ca lcul en butée simple prenant en compte :

• la poussée P a calculée par la théorie de C o u ­l omb avec u n angle de frottement sol-rideau

égal a 8 = — <?,

• l a butée P p calculée par l a méthode de C o u ­l omb avec S = o et affectée du coefficient de sécurité F = 1,5,

• une force de cisail lement horizontale T s app l i ­quée en pied de r ideau et ayant pour intensité

T s = [(Pa — P P ) tgS + w s] tg8

( P a — P p ) tgS étant la différence des composantes verticales de l a poussée et de la butée (fig. 41) et w s

2 le poids propre d u rideau. 8 est pris égal à - cp.

207

P p t»ô

J Fig. 41

Il

L a résultante des forces P p et T s est supposée appliquée a u tiers inférieur de l a partie en fiche;

— prise en compte pour le dimensionnement des tirants de la force d'ancrage calculée T , l ' in f lu­ence favorable de l a flexibilité d u r ideau pouvant être compensée par l'effet des déplacements différen­tiels des ancrages;

— prise en compte pour le dimensionnement du r ideau d u moment fléchissant m a x i m a l calculé en butée simple affecté d u coefficient minorateur r d déterminé expérimentalement. L e coefficient r d est déterminé en fonct ion de la flexibilité p d u r ideau et de l'état de compacité d u sol au moyen des courbes de la figure 16. E n prat ique, le dimensionnement se fait en essayant plusieurs modules de palplanches caractérisés chacun par une valeur de p. Les courbes relatives à des compacités intermédiaires entre l'état dense et l'état lâche peuvent être interpolées par rapport à l ' indice de densité.

D a n s le cas d'ancrages fixes, Rowe préconise d 'appl iquer le coefficient minorateur rd au moment 2 K

fléchissant en butée simple déjà affecté du coefficient ~ ^ ( K a étant le coefficient de poussée pour

S = o) défini par Stroyer (cité par Rowe [6]).

R o w e a tout d 'abord considéré que le moment fléchissant max ima l calculé en butée simple pouvai t être affecté d u coefficient r d , déterminé dans les expériences sur sol sec, quelles que soient les condit ions hydraul iques au voisinage d u r ideau. Des travaux ultérieurs concernant l ' influence des condit ions hydraul iques sur le module de raideur l 'ont condui t à revoir le cas du r ideau bat tu dans u n sol immergé.

L a méthode ci-dessus a été appliquée à u n certain nombre de r ideaux concurremment à d'autres méthodes appliquées en minorant le moment fléchissant max ima l calculé (méthode de la butée simple avec appl icat ion d u coefficient de Stroyer, méthode du r ideau encastré avec appl icat ion de la moitié d u coefficient de Stroyer ou une réduction forfaitaire des moments de 25 %). L a compara ison des résultats a montré que l a méthode de Rowe peut donner des moments fléchissants du même ordre que les autres méthodes, voire u n peu supérieurs, mais qu'elle conduit généralement à des fiches plus petites. E l l e condui t de toute façon à des résultats beaucoup plus intéressants au p lan économique que les méthodes classiques appliquées sans réduction des moments.

L a théorie établie par Rowe pour les rideaux ancrés en mi l i eu pulvérulent permet de généraliser les résultats obtenus expérimentalement en faisant intervenir directement le module de raideur du so l et n o n plus seulement l'état de compacité : les courbes de l a figure 30 permettent de déterminer le coeffi­cient de réduction r d des moments fléchissants si le module de raideur m d u sol est connu.

L a théorie de R o w e a également permis d'étudier l ' influence des condit ions hydraul iques. L e module de raideur var iant sensiblement comme le poids spécifique effectif d u sol est plus faible lorsque le fond de fouil le est baigné par une nappe statique o u en mouvement que l o rsqu ' i l n'est pas saturé. L e pro ­duit mp d iminue et entraîne une augmentation de r d (fig. 30).

Cependant lorsque le niveau d'eau est le même de chaque côté d u r ideau et est proche de l a sur­face d u sol à l'extérieur de la fouil le, r d n'est pas modifié par rapport au cas d u sol sec : tout se passe comme si l ' o n avait u n so l sec de poids spécifique y.

Lorsque la différence de niveau d'eau entre l ' amont et l ' ava l reste faible (de l 'ordre d u dixième de la longueur d u rideau) et si le niveau d'eau amont est relativement proche d u sommet d u r ideau, le coefficient r d déterminé pour u n sol sec peut être appliqué : le module de raideur m est plus faible que celui d 'un sol sec mais l'équilibre d u r ideau impose une fiche plus grande et l a d im inut i on de m est com­pensée par l a d im inut i on de a (voir fig. 30).

E n revanche dans le cas d 'un bâtardeau (fig. 42) l a d im inut i on de a ne compense plus celle de m et l a valeur de r d est supérieure à celle résultant des expé­riences ou de l a théorie de Rowe . Fig. 42

Commentaire

L a prise en compte d 'un effort hor i zonta l de cisaillement T s en p ied de r ideau compl ique assez sérieusement le ca lcu l en butée simple et ne semble pas en modifier sensiblement le résultat. A u s s i est-il plus simple de négliger T s ce qu i va d'ai l leurs dans le sens de la sécurité.

Les méthodes de détermination d u module de raideur m préconisées par Rowe sont relativement complexes et semblent se prêter assez ma l à une appl icat ion courante. D 'autre part Rowe a signalé des divergences entre théorie et expérience dans le cas des sables denses. Dans ces condit ions on aura intérêt à déterminer ra à part ir des courbes expérimentales de Rowe lorsqu 'on aura affaire à des sables ou à des graves.

V.1.2 — Cas des argiles

Rowe préconise d'étudier les rideaux ancrés fichés dans l 'argile (rideaux remblayés et rideaux dragués) à part ir d 'un ca lcul en butée simple.

A court terme i l peut être tenu compte de l'adhé­rence argile-rideau, ce qui revient à mult ip l ier la cohé­

sion n o n drainée par le coefficient

égal à 1,25.

pris

A long terme la poussée est calculée en tenant compte d 'un angle de frottement sol-rideau égal à

2

S = - <p' et la butée est calculée dans l'hypothèse S = o

et est affectée d 'un coefficient de sécurité 1,5.

L e moment fléchissant max ima l calculé en butée simple est affecté du coefficient r d :

— l u sur une des courbes de la figure 38 en fonc­t ion du nombre de stabilité S lo rsqu 'on étudie la stabilité immédiate;

— l u sur les courbes de l a figure 35 en fonct ion de k h p dans le cas d ' u n ca lcul à long terme. Dans ce cas l a détermination du module de réaction k h des argiles raides ne présente pas de difficulté puisque k h

est calculé en fonct ion de S. L e module de réaction des argiles molles est si faible que le r ideau peut a peu près toujours être considéré comme rigide auquel cas r d est égal à l'unité.

Planche I - Rideau fiche dans un sol pulvérulent.

Réduction du moment fléchissant maximal calculé en butée simple en fonction de 1g p = lg H 4/EI

(H exprimé en m, E en kg/mm2 et I en cm*/m).

100.

7h

100.

S = — J 1 + c IC 7 h V + w u

Dans le cas des argiles raides, le ca lcul à long terme classique c'est-à-dire qu i admet u n gonflement de l 'argi le en pied de r ideau est le plus défavorable. L'éventualité, signalée par Rowe , dans laquelle i l n'y a pas de d im inut i on sensible de la butée avec le temps, ne semble pouvo i r se produire que dans le cas d 'un r ideau remblayé et lorsque le sol situé au-dessus du fond de fouil le (en amont d u rideau) est entièrement hors d'eau. Dans de tels cas, la prise en compte de la butée init ia le dans u n calcul de stabilité à l ong terme ne devra pas être envisagée avant que l'expérience ait b ien montré la réalité de la conservation de la butée dans le temps.

Nota : Les courbes de Rowe pouvant être utilisées dans u n calcul pratique sont reproduites sur les planches I, II, III, IV , dans u n système d'unités décimales.

2 0

s = — , / 1 + c le „ , V ^ w u

Planche II - Rideau fiche dans une argile.

(stabilité à court terme)

Réduction du moment fléchissant maximal calculé en butée simple en fonction du nombre de stabilité pour 3 valeurs

caractéristiques de lg p = El

(H est exprimé en m.

E en kg/mm 2 et I en cm 4 /m).

209

Planche III - Rideau fiche dans une argile (stabilité

à long terme).

Réduction du moment flé­chissant maximal calculé en butée simple en fonc­tion de

l g k h p = 1g k hH*/EI (kh exprimé en t/m3, .H en m, E en kg/mm1 et I en

cm4/m).

20.

o I I L I - 2 85 - 1 , 8 5 - 0 , 8 5 0,15 1,15

la i v

Planche IV - Rideau fiche dans un sol pulvérulent.

Réduction du moment flé­chissant maximal calculé en butée simple en fonction de lg m p = lg mH 4/EI (m exprimé en t/m3, H en m, E en kg/mm2 et I en

cm4/m).

- 2 , 8 5 -1,85 - 0 , 8 5 0,15 1,15

lg mp

V . 2 — C A L C U L A P A R T I R D E S RÉSULTATS PRESS IOMÉTRIQUES

L a détermination du module de réaction d 'un sol à part ir de mesures au pressiomètre est une méthode facilement applicable en prat ique puisqu'el le fait appel aux résultats d 'un essai courant. Le module de réaction étant évalué à part ir de la formule établie par Ménard pour le ca lcul des tasse­ments, la validité d u procédé est donc comparable à celle de la méthode de prévision des tassements au pressiomètre, qu i semble donner des résultats assez satisfaisants dans le cas des sols peu compressibles.

L a méthode de ca lcul des rideaux proposée par Ménard, B o u r d o n et G a m b i n diffère des calculs classiques des r ideaux publiés antérieurement, et notamment du ca lcul de Rowe , par les points suivants :

— Ménard et B o u r d o n considèrent u n module de réaction uniforme dans la zone en butée d'une part (k h ) et dans l a zone en contre-butée d'autre part (xk h ) alors que les théories antérieures prennent en compte une var iat ion régulière des modules dans la partie en fiche (variat ion linéaire avec la pro fon­deur pour u n sable);

— dans l ' app l icat ion de la méthode, les auteurs ne tiennent apparemment pas compte des efforts de poussée qu i s'exercent au-dessous d u niveau d'encastrement sur l a face amont du rideau (Sols-Soils, 12, p. 28 à 31, Sols-Soils, 22-23, p. 28).

Ces efforts sont, en général l o in d'être négligeables si l ' on considère comme Rowe (cf. IV.2.1.2) que la poussée des terres au repos s'exerçant sur la face aval du rideau, équilibre la poussée propre des terres

210

situées au-dessous du niveau de dragage en amont d u r ideau. Les contraintes résultantes de poussée se distribuent alors uniformément le l ong de la partie en fiche (fig. 43) et ont pour intensité K a y ( H —h) .

I l semble donc q u ' i l y ait lieu de tenir compte de cette poussée dans l'évaluation de moment fléchissant, de l'effort tranchant, de la rotat ion et du déplacement au niveau du fond de fouil le lors de l'étude de la partie en fiche.

Sur le p lan pratique l'étude d 'un r ideau se fait en considérant successivement plusieurs valeurs du module des palplanches et plusieurs valeurs de la fiche. Des abaques et un programme de calcul ont été établis.

K o 7 h K a 7 ( H - h ) K a 7 h

VI - CONCLUSIONS

Dans ce qu i précède on a passé en revue les pr inc ipaux travaux classiques concernant le calcul des rideaux de palplanches ancrés entrepris au cours des trente dernières années.

I l apparaît que les études expérimentales les plus fructueuses ont été les essais sur modèles réduits réalisés par Rowe . Ces essais ont permis de bien comprendre le comportement d 'un rideau ancré et de se caler par rapport aux théories classiques de calcul .

I l apparaît également que les théories ou méthodes de calculs développées au cours de cette période (Rowe, R ichar t , Ménard...) s 'appuient sur les mêmes bases : le r ideau est soumis sur sa face amont à des efforts de poussée conformes aux théories classiques (Cou lomb, Rankine ) et dans sa partie en fiche aux réactions élastiques du sol liées à un module de réaction indépendant d u déplacement, variable ou n o n en fonct ion de la profondeur. Les études théoriques de Rowe ont en particul ier permis de confirmer et de généraliser les résultats de ses expériences.

Sur le p lan du calcul pratique ces travaux ont été exploités différemment.

Rowe propose d'affecter les résultats du calcul en butée simple de coefficients correctifs qu ' i l a déterminé expérimentalement ou à part ir de ses travaux théoriques. Cette méthode, facilement appl i ­cable, est utilisée depuis plus de quinze ans dans de nombreux pays et conduit à un dimensionnement sûr et économique des rideaux ancrés. E n particul ier elle condui t en général à u n dimensionnement plus économique que la méthode classique du rideau encastré.

Ménard, B o u r d o n et G a m b i n préconisent une ut i l isat ion directe de leur théorie, les calculs étant facilités par un j eu d'abaques et un programme des calculs. O n utilise une valeur moyenne du module de réaction déterminé à part ir des valeurs du module pressiométrique. L a méthode est relativement récente et l ' on dispose d'assez peu d'élément de comparaison avec d'autres procédés de calcul .

A l 'heure actuelle un certain nombre de travaux sont entrepris pour tenir compte d 'un compor­tement d u sol plus proche de la réalité que le comportement élastique. Des calculs de rideaux ancrés uti l isant l a méthode des éléments finis et tenant compte des relations contraintes-déformations obtenus en laboratoire, ont déjà été publiés. B jerrum, F r i m a n n Clausen et D u n c a n [15] mentionnent un calcul de ce type dont les résultats sont très proches de ceux obtenus par l a théorie de Rowe.

B I B L I O G R A P H I E

[ 1 ] H O U Y A . , Calcul des ouvrages en palplanches métalliques, Wendel-Sidelor ( 1 9 7 0 ) .

[ 2 ] C O S T E T J . , S A N G L E R A T G . , Cours pratique de Mécanique des Sols, Dunod ( 1 9 6 9 ) .

[ 3 ] L E O N A R D S G . A . , Les fondations (Chapitre 5 « Ouvrages de soutènement »), Dunod ( 1 9 6 8 ) .

[ 4] T E R Z A G H I K . , Mécanique théorique des sols, Dunod .

[ 5] T O T H , Nouvelles possibilités dans l 'u t i l i sa t ion des palplanches métalliques, Construction ( juin-jui l . 1956).

[ 6] R O W E P. W., Anchored sheet-pile wal ls , Inst i tut ion of C i v i l Engineers, Proceedings, V o l . 1, London (janv. 1952).

[ 7] R O W E P. W. , A theoretical and experimental analysis of sheet-pile walls, Inst i tut ion of C i v i l Engineers, Pro­ceedings, V o l . 4, London (janv. 1955).

[ 8] R O W E P . \\\, Sheet-pile walls i n clay, Inst i tut ion of C i v i l Engineers, Proceedings, V o l . 7, London ( jui l . 1957).

[ 9] R I C H A R T F . E . , Analys is for sheet-pile retaining walls, Transaction ASCE, V o l . 122 (1957).

[10] M E N A R D L. , B O U R D O N G . , H O U Y A . , Étude expérimentale de l 'encastrement d 'un rideau en fonction des carac­téristiques pressiométriques du sol de fondation, Sols-Soils, 9 (juin 1964).

[11 ] M É N A R D L . , B O U R D O N G . , Calcul des r ideaux de soutènement. Méthode nouvelle prenant en compte les conditions réelles d'encastrement, Sols-Soils, 12 (mars 1965).

[12] M É N A R D L. , B O U R D O N G . , G A M B I N M . , Méthode générale de calcul d 'un rideau ou d 'un pieu sollicité horizontale­ment en fonction des résultats pressiométriques, Sols-Soils, 22-23.

[13] T E R Z A G H I K . , Eva lua t i on of coefficients of subgrade reaction, Geotechnique, V o l . 4 (déc. 1955).

[14] R O W E P. W. , A stress-strain theory for cohesionless soil w i th appl icat ion to earth pressures at rest and moving wal ls, Geotechnique, V o l . 4, 2 ( juin 1954).

[15] B J E R R U M L. , F R I M A N N C L A U S E N C. J . , D U N C A N .1. M . , Poussées el butées sur des ouvrages souples. Étal actuel des connaissances. Rapport général, C. R . du 5 e Congrès européen de Mécanique des Sols et des T ravaux de Fonda­tions, Madr id , V o l . II (1972).

Autres ouvrages consultés

T E R Z A G H I K . , Anchored Bulkeads and discussions, Proceedings ASCE, V o l . 79 (1953).

212

L'établissement de ce document a été grandement facilité par le travail de recherche et d'analyse des documents bibliogra­phiques effectué par T.I. SOW, ingénieur civil des Ponts et Chaussées, au cours de son stage au Laboratoire Central .