mercure-X

5/11/2018 mercure-X - slidepdf.com

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LE MOUVEMENT DE PRECESSIONDU PERIHELIE DE MERCURE :UNE SIMULATION INFORMATIQUE

RESUME :Cet article propose les résultats d’une simulation informatique du déplacement du périhélie de

Mercure dans le cadre de la mécanique Newtonienne. Il évoque également les différents modèles proposés pour rendre compte de l’avance résiduelle de 43’’ par siècle non expliquée par un calcul perturbatif standard1.

Introduction :

En première approximation, le mouvement d’une planète se résume aux interactions gravitationnellesréciproques entre le Soleil et cette planète, problème classique que l’on nomme le problème à deux corps. Laforce de gravitation entre deux corps massifs sphériques et homogènes est toujours attractive et la valeur decette force s’écrit :

G est la constante universelle de la gravitation G = 6.67 10 -11 SI, M1 et M2 les masses des deux corpsqui interagissent et r la distance séparant les centres de gravité de ces deux corps supposés parfaitementsphériques et homogènes.

On connaît les trois lois de Kepler qui sont issues de la mécanique Newtonienne :

Loi 1 : la planète décrit une orbite elliptique2 fixe dont le Soleil occupe l’un des foyers.

Loi 2 : le rayon vecteur reliant la planète au soleil décrit des aires égales dans des tempségaux.

Loi 3 : le rapport du carré de la période (sidérale) au cube du demi-grand axe de l’orbiteelliptique est constant.

Pourtant, toutes les planètes du système solaire subissent des perturbations gravitationnelles dues àleurs voisines plus ou moins proches et massives ( l’influence de Jupiter est donc prépondérante), et lemouvement réel s’éloigne du mouvement défini par les lois de Kepler et le modèle à deux corps.

Dans cette étude, nous avons choisi de suivre le mouvement de Mercure, la planète la plus proche duSoleil . Nous mettrons en évidence le mouvement de précession de son périhélie 3, en faisant une étude desdifférentes théories qui ont été historiquement proposées pour expliquer la différence entre la valeur calculéeet la valeur mesurée de cette précession. Rappelons enfin, que la seule explication retenue aujourd’hui

concernant cette différence a été avancée par A. Einstein en 1916, dans le cadre de la Relativité Générale.

I- Précession du périhélie et problème à N corps :

1 L’étude qui suit a nécessité l’écriture d’un programme en PASCAL, le traitement des données et les figuresont été obtenus à l’aide du logiciel MATLAB™ , et le texte a été écrit grâce au logiciel WORD7™.2 Une ellipse est une courbe conique fermée que l’on caractérise par son excentricité e ( nombre compris entre0 et 1) , son demi-grand axe a - distance entre le centre de l’ellipse et le périhélie ( ou l’aphélie) - et ses deuxfoyers F et F’ . Lorsque ces deux foyers sont confondus, e vaut 0 , et l’ellipse se ramène à un cercle de rayon a.3 Rappelons que le périhélie est le point de l’orbite où la planète est au plus près du Soleil - qui est un desfoyers de l’orbite -. L’aphélie est a contrario le point de l’orbite le plus éloigné du soleil. Aphélie et périhélieforment une droite que l’on nomme ligne des apsides.

1

2

21

r

M GM F =



Sous l’effet de perturbations gravitationnelles dont on précisera la forme un peu plus loin, une planète peut voir son orbite elliptique altérée de façon plus ou moins importante. Pour de faibles perturbations, ce quiest la règle dans le système solaire4, l’orbite parfaite de la première loi de Kepler va « s’ouvrir » et tourner dans son plan. On peut caractériser ce mouvement en suivant la lente dérive du périhélie au fil des révolutionsde la planète. On peut aussi dire que la ligne des apsides - formée par le périhélie et l’aphélie de l’orbite -tourne au long des révolutions de la planète. On présente une illustration de ce mouvement sur la figure 1 : les

échelles de distances sont arbitraires , l’excentricité e vaut environ 0.85, et la précession est rapide, puisqu’ilsuffit de 8 = 7+1 révolutions pour que l’aphélie A retrouve sa position initiale ( on note A i les positionssuccessives de l’aphélie, point de l’orbite où la distance soleil-planète est maximale). Cela correspond à unevitesse de précession de 360/8 = 45 ° par révolution. Le centre du repère correspond au soleil.

Il convient donc de déterminer quels sont les corps célestes qui contribuent le plus à ces perturbationssur le mouvement Keplerien de Mercure : il ne peut s’agir que des planètes, les astéroïdes étant d’une masse par trop faible , même s’ils s’approchent parfois dangereusement de l’orbite de Mercure. Dans le tableau quisuit sont présentées les principales caractéristiques des planètes du système solaire, la dernière colonnedonnant le rapport de la force gravitationnelle du couple Mercure/planète sur la force gravitationnelleMercure/Soleil. Plus cette valeur est faible, plus la perturbation apportée par la planète en question sera petite.Ce calcul est effectué en considérant la distance planète/Mercure minimale, ce qui revient à dire que Mercureest à son aphélie et la planète en question à son périhélie, le Soleil, Mercure et la planète étant alignées .

Remarquons encore que ce quotient sans dimension s’écrit :

les indices p, S et M représentent respectivement la planète, le Soleil et Mercure.D est la distance minimale entre le corps considéré et Mercure.

Tableau 1 : le système solaire

MASSE (KG) R PERIHELIE

(106 KM)EXCENTRICITÉ

VPERIHELIE

(KM/S)FP/FS

Soleil 1.991 1030 ----- ------ ----- 1Mercure 3.181 1023 46.04 0.2056 58.921 ----Vénus 4.883 1024 107.37 0.0068 35.256 1.38 10-6

Terre 5.979 1024 147.07 0.0167 30.272 6.23 10-7

Mars 6.418 1023 206.56 0.0934 26.490 2.65 10-8

Jupiter 1.904 1027 740.48 0.0484 13.700 4.20 10-6

Saturne 5.684 1026 1349.5 0.0543 10.177 3.56 10-7

Uranus 8.682 1025 2738.3 0.0460 7.1161 1.275 10-8

Neptune 1.027 1026 4463.0 0.0082 5.4723 5.60 10-9

Du tableau précédent il ressort que les principales perturbations sont apportées par Vénus, la Terre etJupiter. Nous laissons volontairement de côté la contribution de Saturne (un peu plus faible que celle de laTerre), ainsi que celles de Mars, Uranus et Neptune ( de 10 à 100 fois plus faible que celle de la Terre). Notons que nous n’avons pas fait apparaître Pluton dans les données.

De façon à simuler le mouvement de précession du périhélie de Mercure nous devons donc tenir compte des interactions réciproques Soleil/Mercure, Soleil/Vénus, Soleil/Terre, Soleil/Jupiter en y ajoutant lesinteractionsVénus/Mercure, Terre/Mercure et Jupiter/Mercure. Nous simplifions le problème en n’introduisant pas lesinteractions des différents couples formés par Vénus, la Terre et Jupiter.Cela signifie que ces trois corps sont supposés décrire des orbites parfaitement Kepleriennes, puisqueseulement soumis à l’action du Soleil. Il s’agit , dans cette étude, de simuler un problème à cinq corps.

Figure 1 : précession du périhélie : un exemple.

4 Mais pas dans un système binaire d’étoiles de masses similaires.

2

pM S

SM p

S

p

Dm

Dm

F

F

2

2

=



II- La méthode utilisée : Nous utilisons une simulation numérique itérative qui peut donner des résultats précis, dans la mesure

où la discrétisation des mouvements est suffisamment fine. Le principal intérêt de cette méthode c’est qu’elleest non perturbative et traite donc d’un seul coup les différentes contributions5 au mouvement de Mercure.

Nous donnons ci-après une description rapide de la technique utilisée :

♦ Le mouvement des corps retenus : Mercure, Vénus, Terre, Jupiter sera calculé dans le référentielhéliocentrique, ayant comme centre celui du Soleil et constitué de 3 axes pointant vers des directions fixes( axes notés Ox , Oy, Oz, le plan Oxy représentant le plan de l’écliptique).

♦ Seule la planète Mercure subit les interactions gravitationnelles du Soleil, de Vénus, de la Terre etde Jupiter. Les trois autres planètes ont des orbites parfaitement Képlériennes, puisqu’on les supposeseulement assujetties à l’action du Soleil.

♦ A l’instant initial ( t =0 ) les planètes sont placées dans le plan de l’écliptique à leur périhélie 6, parfaitement alignées sur l’axe Ox, avec la vitesse correspondante, et en tenant compte des inclinaisonsrespectives des orbites. On donne dans le tableau 2 les valeurs initiales retenues.

Tableau 2 : conditions initiales.

MERCURE VÉNUS TERRE JUPITER X(périhélie) 106

km

46.04 107.37 147.07 740.48

V(périhélie) km/s 58.921 35.25 30.29152 13.7Vx km/s 0 0 0 0Vy km/s 58.921*cos(7.0028°) 35.25*cos(3.4°) 30.29152 13.7*cos(1.309°)Vz km/s 58.921*sin(7.0028°) 35.25*sin(3.4°) 0 13.7*sin(1.309°)inclinaison (°) 7.0028° 3.4° 0 1.309°

♦ Pendant un intervalle de temps ∆t les corps sont considérés comme se mouvant avec leurs vitessesinitiales, puis on évalue les accélérations subies en utilisant le principe fondamental de la dynamique 7 . Cecalcul permet de d’obtenir les nouvelles positions et vitesses de chaque planète pendant la durée ∆t suivante, et

5 On peut consulter [1] pour trouver un exemple de cette méthode appliquée au mouvement lunaire.6 Cette configuration n’a rien d’exceptionnel, simplement nous nous plaçons à cet instant particulier.7 En tenant compte d’une ou plusieurs actions gravitationnelles selon la planète étudiée.

3

Ai



l’on réitère le processus autant de fois que nécessaire. On peut résumer cela en posant qu’à l’instant t n = n*∆tles vitesses et positions sont données par les 6 relations récurrentes :

t vr r

t avv

nnn

nnn

∆×+=

∆×+=

−−

−−

11

11

L’accélération est donnée par le principe de la dynamique :

Bien entendu la précision sera d’autant plus grande que l’intervalle ∆t sera plus petit. En pratique, nous avonsfait varier ce paramètre entre 766 secondes au maximum et 255 secondes au minimum8. Nous en verronsl’influence plus loin. Le temps informatique utilisé ici correspond à un temps parfaitement stable, c’est-à-direle Temps Dynamique Terrestre TDT et non le Temps Universel UT.

♦ En étudiant pas à pas le mouvement de la planète Mercure, on peut assez facilement déterminer chacun de ses passages sur l’axe Ox ( donc les valeurs successives de sa période sidérale T) , la valeur de ladistance Soleil/Mercure au moment du passage au périhélie P, celle de l’excentricité e de l’orbite, et surtoutl’angle formé par la droite SP ( formée par le Soleil et le périhélie de Mercure) à chaque révolution par rapport à la position à l’instant initial9 t =0 s (axe Ox) . les résultats obtenus sont discutés dans le paragraphesuivant.

♦ Le programme de simulation est écrit en Pascal et comporte environ 500 lignes, dont 200 relativesà la simulation proprement dite ( les autres permettent de déclarer les variables, de concaténer les données etde les mettre en fichier compact). Une simulation portant sur 3 siècles avec un pas de ∆t de 300 secondes prend environ3 heures de simulation sur un processeur Pentium II 400 Mhz.

III- Les résultats de la simulation du mouvement de Mercure :

La figure 2 représente l’évolution de l’angle de précession du périhélie de Mercure (en °, en haut àgauche). Cette valeur est calculée à chaque passage au périhélie ( n° de révolution en abscisse). On trouve ladurée de révolution sidérale ( en jours), révolution après révolution, en bas à droite. On constate que cettegrandeur est tout à fait stable, avec une valeur de : T = 87.71 jours moyens terrestres10. De même, on areprésenté l’excentricité (grandeur sans dimension, en bas à gauche), calculée à chaque passage au périhélie,qui elle aussi est remarquablement constante et vaut : e ≈ 0.204 . Enfin, a été représentée la distanceSoleil/Mercure au périhélie, estimée chaque révolution, quantité qui vaut : R p = 46.0 millions de kilomètres.

La constance de ces trois grandeurs, période sidérale T , excentricité e et distance du périhélie R pmontre que la méthode choisie est fiable, dans la mesure où ces paramètres orbitaux sont constants au cours dela simulation. Elle doit permettre une bonne estimation de la dérive du périhélie, calculable à partir du premier graphique.

Pour cela nous avons simplement utilisé une régression linéaire, la précession étant obtenue par lecoefficient directeur A de la meilleure droite au sens des moindres carrés : y = Ax +B. On trouve

numériquement :

A = ∆ω = 533.37 secondes d’arc par siècle +/- 0.01 sstatistique

Cette valeur est obtenue avec ∆t = 255 s sur un temps total de simulation de 728 ans environ. L’erreur statistique sur les données est calculée sur la pente de la droite (voir [2] p173 et ss). Rappelons par ailleursqu’il y a 3600’’ dans un degré, et qu’un siècle dure 36525 jours moyens de 24 h.

Le coefficient directeur de la droite des moindres carrés s’écrit, en notant X les abscisses et Y lesordonnées des points expérimentaux (Xi,Yi), avec un total de N couples:

8 Ce qui revient à discrétiser l’orbite de Mercure en 30000 points au maximum et en 10000 points auminimum.9 Il suffit d’utiliser les relations habituelles entre les angles et les arêtes d’un triangle quelconque.10 Rappelons qu’un jour moyen terrestre contient 24 h soit 86400 secondes.

4

∑=corps

n gravitatio F M

a 1



∑ ∑

∑ ∑∑

−

−

=

i iii

i ii

iiii

x x N

y x y x N

A22

)(

.

et l’incertitude s’écrit :∑ ∑

∑

−−

−−

=

i i

ii

i

ii

A x x N N

Ax B y N

))()(2(

)(

22

2

σ

Figure 2 : données relatives à la précession

La valeur ∆ω obtenue plus haut n’est qu’une valeur moyenne, et qui doit en plus être affectée d’uneerreur systématique liée à la méthode de simulation. Il est clair que l’essentiel de l’erreur systématique doit provenir :

♦ de la simplification due à l’ « oubli » de certaines planètes (Saturne en particulier), ainsi que de lanon prise en compte des interactions réciproques des planètes autres que Mercure entre elles.

♦des caractéristiques de la discrétisation, en particulier la valeur de ∆t ainsi que du temps total de

simulation.

Dans ce qui suit, nous essayons d’estimer cette erreur. Pour cela nous avons évalué ∆ω pour trenteconditions numériques initiales différentes. La figure 3 représente les variations de ∆ω, selon le nombre de

révolutions simulées de Mercure en y ( de 500 à 3000 avec un pas de 500 pour deux points successifs), selonle nombre de points numérisant une révolution de Mercure en x ( de 10000 à 30000 avec un pas de 5000 pour deux points successifs ).

Figure 3 : évolution de la valeur de précession selon les cond. initiales

5



On donne dans le tableau suivant les valeurs représentées sur la figure 3( itérations = ligne, nombre de révolution =colonne):

Tableau 3 : numérisation.

ITERATION/TOURS

10000 15000 20000 25000 30000

500 474.9 519.6 525.6 527.8 532.41000 477.6 514.45 523.8 529.8 532.81500 478.4 512.1 524.45 530.45 533.12000 479.2 512.0 524.6 530.8 533.452500 478.8 513.0 525 530.7 533.43000 478.5 512.7 524.9 530.6 533.4

Il apparaît, au vu du tableau précédent, que le paramètre de numérisation essentiel est le nombred’itérations effectuées pour une révolution de Mercure. La valeur de la précession du périhélie est de plus en plus proche de la valeur expérimentale ( voir le paragraphe IV), toutes choses égales par ailleurs, lorsqu’onnumérise de 10000 jusqu’à 30000 points.

Le nombre de révolutions ( le temps total de simulation) semble être un paramètre moins important, àcondition de disposer d’au moins 1000 à 1500 révolutions successives de Mercure.

La figure 4 montre justement que la valeur de l’angle de précession converge vers une valeur limiteque l’on peut prendre égale à 533.4 secondes d’arc par siècle. Les ordonnées représentent l’angle de précession, et en abscisse on trouve la numérisation de l’orbite de Mercure ( 1 10000 points …. 5 30000 points). Les différentes courbes correspondent chacune à un nombre total de révolutions différents.

On trouve dans la littérature une valeur de 532’’ par siècle, [3] et [4], ce qui permet d’estimer l’erreur systématique à 1.4’’ par siècle, soit 2.6 pour mille.

6



On pourrait diminuer encore cette valeur en introduisant Saturne dans la simulation, en augmentantencore le nombre d’itération par révolution de Mercure et en tenant compte des effets perturbatifs sur lesautres planètes du système solaire.

On trouve au final la valeur :A = ∆ω = 533.4+/- 0.01statistique +/-1.4systematique secondes d’arc par siècle.

figure 4 : importance de la numérisation

IV- L’avance du périhélie de Mercure :a-Les résultats expérimentaux :

L’étude expérimentale du mouvement de Mercure met en évidence la précession de son périhélie. Lavaleur observée est : ∆ωobs = 5600.73 +/- 0.41 secondes d’arc par siècle ( voir [4] pp 198 ). Il faut retrancher àcette valeur 5026’’ par siècle quantité due à la précession des équinoxes 11, c’est-à-dire en dernière analyse liéeau référentiel terrestre. Cela nous donne une valeur observée de :

11 Rappelons que la précession des équinoxes est liée à un lent mouvement rétrograde du point vernal de50’’26 par an.

7



∆ωobs = 574.73’’ par siècle

La valeur calculée dans le cadre de mécanique Newtonienne est ( compte tenu des perturbations des planètes du système solaire et l’éventuel aplatissement du soleil) :

∆ω Newtonien = 532’’ par siècle.

Il reste donc un résidu estimé à [3] : ∆ωresidu = 42.56’’ +/- 0.94’’ par siècle

Rappelons que la valeur obtenue par simulation dans cette étude est :

∆ωinformatique =533.3’’ par siècle.

L’existence d’un reliquat inexpliqué de 43’’ est connue depuis 1850 ( Leverrier), de nombreux modèles ont été proposés pour en rendre compte. Remarquons également que les autres planètes (Vénus et la Terre entreautres) possèdent aussi un résidu inexpliqué de l’avance de la longitude du périhélie. Cependant les valeursassociées sont beaucoup plus faibles que dans le cas de Mercure, tout simplement parce que ces planètes sont plus éloignées du Soleil.

b- L’hypothétique planète Vulcain :

La première possibilité qui vient à l’esprit est qu’une planète - baptisée Vulcain - très proche duSoleil, au point qu’on ne puisse la voir dans la mesure où sa lumière est masquée par la luminosité du Soleil, perturbe le mouvement de Mercure de façon à expliquer la valeur résiduelle de 43’’ par siècle d’avance de lalongitude du périhélie de Mercure.

Il convient donc d’introduire cette planète dans notre modèle, pour une distance au Soleil et unemasse donnée et estimer la nouvelle valeur de la précession, et cela jusqu’à obtenir un accord avec la valeur observée. Pour des raisons de simplicité, on va supposer dans la suite que Vulcain décrit une orbite dans le plan de l’écliptique et parfaitement circulaire.

Pour estimer grossièrement le rayon de son orbite on rappelle d’abord que le pouvoir séparateur del’œil ( nu !) est d’environ 1’ d’arc soit 0.0166 °. Vu la brillance du Soleil on peut sans difficulté multiplier cette quantité par 10 – voire 50 - et considérer que si Vulcain n’est jamais vue, depuis la Terre, sous un angle plus important, elle sera toujours invisible à un observateur terrestre12.

De plus le Soleil a un rayon apparent - vu depuis la Terre à son périhélie - d’environ 0.28 ° soit 17’.Pour préciser les choses, notons également que l’angle α sous lequel on voit au plus Mercure depuis la Terreest de l’ordre de α = 28° soit 1680 ’ ( Figure 5).

Figure 5 : angle de visibilité de Mercure depuis la Terre.

l’angle α est maximum dans la situation présentée ci-contre, avec Mercure à sonaphélie et la Terre à son périhélie :(la droite Terre/Mercure est tangenteà l’orbite de Mercure)

sin(α) = R aphélie/R periTerre

soit sin(α ) = 6.97/ 14.707

12 En tous les cas sans appareil astronomique. Cela expliquerait pourquoi Vulcain n’aurait jamais été observéedans les temps pré-Galiléen. Depuis l’apparition des lunettes et télescopes au XVIIeme siècle on peut aussiargumenter en disant que la luminosité du soleil continue à être un obstacle difficilement surmontable.

8

Soleil



soit α ∼ 28°17’ au maximum

On estime donc que pour rester invisible, Vulcain ne doit pas s’écarter du centre du Soleil d’un anglede10+17’=27’=0.45°. Cette valeur permet de calculer la distance Soleil/Vulcain correspondante ( en considérantla Terre à son périhélie), on trouve DSV = 1.15 106 km soit 2.5% de la valeur du périhélie de Mercure. Nous serons amené à multiplier cette valeur par un facteur 5 dans la suite.

La figure 6 montre la valeur de la précession en secondes d’arc par siècle quand on inclut la planète Vulcain dans le modèle. Les deux courbes représentent ∆ω en ordonnée ( en échelle logarithmique) eten abscisse le rayon de l’orbite en fraction du périhélie de Mercure ( 4.604 10 7 km). Les points expérimentauxsont représentés par des cercles ou des croix. Chaque graphe correspond à une masse donnée de Vulcain.Compte tenu de l’erreur sur la mesure13, une loi linéaire paraît pouvoir rendre assez bien compte des données.Une régression linéaire donne les résultats suivants :

courbe du haut : ln (A)=1.49(+/-0.03) D + 6.18(+/-0.01 ( masse : 3.33 masses terrestres )

courbe du bas : ln (A)=0.45(+/-0.01) D + 6.249(+/-0.008) ( masse : 5.83 masses terrestres)

A est l’angle de précession en seconde d’arc par siècle, tandis que D est le rayon de l’orbite circulaire de la planète vulcain lorsqu’on l’exprime en unité du périhélie de Mercure ( rappelons que P Mercure = 46.04 106 km).

Dans le cas d’une masse égale à 3.33 masses terrestres, la planète Vulcain semble donc devoir se placer à une distance D = 0.116 fois la distance du périhélie de Mercure, soit 5.37 10 6 km.

Dans le cas d’une masse égale à 5.83 masses terrestres, on trouve D = 0.23 soit 10.6 10 6 km.

Cette étude semble montrer que la masse de Vulcain n’est pas directement proportionnelle à la valeur de A,mais dépend d’une expression complexe. Remarquons de plus que pour ces masses et ces distances, Vulcainaurait nécessairement été détectée visuellement dès l’apparition des premières lunettes. Ce qui bien sûr n’a pasété le cas ! !

Figure 6 : précession à masse constante.

13 Dans cette étude, le pas temporel choisi est de ∆t = 383 s, ce qui permet de décomposer l’orbite elliptique deMercure en 20000 points. Cependant l’orbite de Vulcain, compte tenu de sa distance au soleil, seraapproximée par une ligne polygonale d’environ 560 points ( dans le cas de la distance 5.37 millions de km).Cela ne peut qu’introduire une erreur supplémentaire non négligeable sur la caractérisation de l’orbite deVulcain. Cette valeur de 560 points est en effet à comparer aux 20000 qui précisent l’orbite de Mercure ! ! !

9

Terre/périhélie

Mercure /aphélie

Angle α



Figure 7 : précession à distance constante.

La figure 7 montre l’évolution de la précession du périhélie de Mercure en secondes d’arc par siècle

pour la planète Vulcain, située à une distance donnée et avec une masse variable ( en abscisse en unité demasse terrestre, soit 6 1024 kg environ).

On obtient pour les deux courbes :

10

106 km

5 106 km



♦ celle du haut : A = -0.0 (+/-0.3) M +528 (+/-2) ( distance 106 km)

♦celle du bas : A = 9.885 (+/-0.007) M + 524.1 (+/-0.2) ( distance 5 106 km)

les masse M sont exprimées en unités de masses de la Terre (soit 6 10 24 kg) et l’angle de précession A enseconde d’arc par siècle.

Dans le premier cas on constate que A est constant, ce qui signifie qu’à la distance choisie et pour lagamme de masses étudiée, Vulcain n’a quasiment aucune influence sur la précession.Dans le second cas on obtient clairement une loi linéaire, qui permet , pour une distance au Soleil de 5

106 km de retenir une masse M = 5.122 soit 3.0 1025 kg soit environ 5 fois la masse de la Terre, pour une précession totale de 574.73’’ par siècle.

Les valeurs des constantes des relations linéaires sont révélatrices des paramètres de calcul, en effetces données ont été collectées avec 1500 révolutions orbitales de Mercure et une itération de 20000 points par révolution. D’après le tableau 3 cela correspond à une valeur de précession sans Vulcain de 525’’ par siècle, cequi est tout à fait cohérent avec ce que nous venons d’obtenir.

Il faut préciser que de larges erreurs systématiques ( non calculées) doivent entacher cette partie del’étude, dans la mesure où une distance au soleil de 10 6 km fait que l’orbite de Vulcain est numérisée par 45 points seulement14 ! !

Il serait nécessaire de diminuer le pas temporel utilisé dans la simulation, cependant cela ne pourraitqu’accroître le temps de calcul.

Cependant cette première étude a le mérite de fixer les ordres de grandeurs.

c- Les autres théories Newtoniennes :

♦ L’aplatissement du Soleil : en restant dans le cadre de la mécanique newtonienne, on peut aussienvisager que le Soleil présente un aplatissement au niveau de ses pôles du fait de sa rotation sur lui-même, cequi aura pour effet de changer l’expression de son champ de gravitation et donc altérera le mouvement deMercure15, entre autres. Ce problème est très semblable à celui d’un satellite terrestre orbitant dans le champde gravitation de notre planète ( qui est assimilable à un ellipsoïde de révolution caractérisé par la différencedes rayons terrestres aux pôles et à l’équateur et rapporté au rayon équatorial α = (R eq-R pole)/R eq= 1/298).L’aplatissement du globe terrestre entraîne ainsi une déplacement du périgée du satellite 16.

Cependant les mesures de l’aplatissement des pôles solaires sont de 5 pour 100000( par rapport à unesphère parfaite) [7], ce qui selon S Weinberg [4] n’entraîne un accroissement de la précession que de 3.4’’ par siècle, ce qui est très insuffisant.

L’effet d’aplatissement existe bien, mais il est trop faible pour expliquer le reliquat de 43’’ par siècle.

♦ la matière zodiacale : S. Newcomb suggéra à la fin du XIXeme siècle que l’avance de 43’’ par siècledu périhélie de Mercure pouvait être due -d ans la mesure où aucune planète intérieure à l’orbite de Mercuren’avait été découverte - à de la matière diffuse autour du soleil, à l’intérieur de l’orbite de Mercure. Cettematière est à l’origine de la lumière zodiacale, parfois visible depuis la Terre, au coucher ou au lever du Soleil,dans le plan de l’écliptique. H. Seeliger apporta d’autres raffinements à ce modèle, pourtant nous savonsaujourd’hui qu’il y a trop peu de matière diffuse interplanétaire pour qu’elle soit en quantité suffisante pour expliquer l’avance de la longitude du périhélie de Mercure.

♦ correction à la loi de la gravitation : au début du XXeme siècle, certains avaient suggéré que la loide la gravitation nécessitait peut-être une correction, en écrivant une dépendance en 1/r 2+α avec α≠0.Cependant si cette altération pouvait expliquer l’avance du périhélie de Mercure, elle fut malgré toutabandonnée, dans la mesure où la mécanique newtonienne (α = 0 ) rendait compte correctement de tous lesautres résultats expérimentaux, en dehors de ce phénomène d’avance de précession.

e-L’explication de la Relativité Générale :

14 A cette distance la période de révolution de vulcain est de T = 4.78 heures et le pas de numérisation est icide 383 s.15 On pourra consulter [5]16 On pourra consulter [5] et [6].

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Albert Einstein a fondé en 1916 la théorie de la Relativité Générale dont l’un des premiers tests devalidité fut de donner une explication et une valeur correcte au déplacement moyen du périhélie de Mercure( ainsi d’ailleurs que pour Venus, la Terre et Mars). Rappelons que cette théorie géométrique sort du cadre dela mécanique newtonienne et se base sur le principe dit d’équivalence. Celui-ci stipule que l’on peutremplacer le mouvement d’une particule massive soumise à un champ de force de gravitation par lemouvement d’une particule libre dans un espace Riemannien ( i.e non euclidien). Il s’agit donc d’une théorie

géométrique liant le concept de courbure du 4-espace/temps et le concept d’énergie/masse. La particule suitalors une géodésique de cet espace, c’est-à-dire une trajectoire dont la longueur est extrémale ( minimale oumaximale). Remarquons d’ailleurs l’analogie avec les principe de Fermat (optique) et de Maupertuis ( enmécanique).

La résolution des équations d’Euler-Lagrange dans la métrique de Schwarzschild donne une avancedu périhélie de Mercure pour une révolution :

(en radian/ révolution orbitale)

où c est la vitesse de la lumière, a le demi-grand axe de l’orbite de Mercure et e son excentricité. Numériquement on trouve :

∆ω = 42.9’’ par siècleEinstein trouva ainsi une confirmation éclatante de sa théorie, puisqu’elle expliquait un fait

difficilement explicable autrement ( inexistence de la planète Vulcain, très faible aplatissement du soleil ...). Notons aussi que de nombreux autres faits et prévisions observées ont confirmé depuis la théorie de larelativité générale : gauchissement de la lumière par la masse du soleil ( 1919), découverte des lentillesgravitationnelles, effets relativistes dans les couples binaires pulsar/étoile ....

V- Conclusion :Cette étude a permis de vérifier qu’une simulation informatique simple permet de retrouver l’effetnewtonien de précession du périhélie de Mercure, et de formuler des hypothèses sur l’existence du reliquatde 43’’ par siècle. Il faut par ailleurs prendre garde aux erreurs introduites du fait du processus itératif retenu . Notons que la planète Vulcain évoquée abondamment ici n’existe pas ! Nous avons également fait un tour d’horizon des différents modèles qui ont été historiquement avancés

pour rendre compte des résultats expérimentaux. Rappelons enfin que ce phénomène fut une confirmationéclatante de la Relativité Générale de A. Einstein, toutes les autres explications ayant été renduescaduques.

VI- Bibliographie :

[1] : « Le mouvement Lunaire » L’Astronomie Juin 1999 vol 113 T.Alhalel

[2] : « Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques » Dunod J.Taylor 2000

[3] : « Gravitation relativiste » InterEditions/CNRS Editions R. Hakim 1994

[4] : « Gravitation and cosmology » Wiley S. Weinberg 1972

[5 ] : « Essais sur le mouvement des corps cosmiques » V. Bélestski Mir édition de Moscou 1986

[6] : « Le mouvement perturbé d’un satellite terrestre » L’astronomie nov/dec 1998 vol 112 T Alhalel

[7] : Physical. Review. Letters 18-3131- 1967 R. Dicke et H. Goldenberg.

VII- Mini-glossaire :

aphélie : point de l’orbite elliptique où la planète est la plus éloigné du soleil. La vitesse s’écrit :

])1[/()21( 22 eaeeGM v soleil −−+= , lorsqu’on néglige la masse de la planète devant celle

du soleil.

Apsides ( ligne des ) : ligne imaginaire joignant le périhélie et l’aphélie d’une orbite elliptique.

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aec

GM soleil

)1(

622

−=

π δω



Coniques ( courbes) : On les définit mathématiquement en disant qu’il s’agit de l’ensemble des points M du plan tels que le rapport des distances à un point F appelé foyer et à une droite D est constant. On écritmathématiquement FM/HM = e ( excentricité). Les différentes coniques sont l’ ellipse ( e entre 0 et 1 exclu) ,la parabole ( e =1) et l’hyperbole ( e > 1). Le cercle est un cas particulier d’ellipse.

ellipse : Courbe fermée plane de la famille des coniques. On la construit en considérant qu’il s’agit del’ensemble des points M du plan tels que la somme à deux point F et F’ ( les deux foyers) est constante, ce quel’on écrit : FM + F’M = 2a. On démontre en mécanique classique que dans le système solaire, lorsqu’on selimite au problème à deux corps ( le soleil et une planète), la planète étudiée décrit une orbite elliptique fixedont le soleil occupe l’un des deux foyers ( 1 ere loi de Kepler). Dans le cas d’une comète l’orbite peut êtreelliptique, parabolique ou hyperbolique, selon les conditions initiales. Une ellipse est caratérisée par ses deuxfoyers F et F’, son excentricité e, son demi-grand axe a et son demi-petit axe b.

excentricité : paramètre sans dimension noté e et compris entre 0 et 1 (valeur exclue) pour une ellipse.La relation entre périhélie, aphélie et excentricité s’écrit e = (D a-D p)/(Da-D p), où D indique ladistance soleil/périhélie ou soleil/aphélie. La valeur nulle de e correspond à un cercle de rayonDa=D p.

foyer : voir ellipse et conique.

périhélie : point de l’orbite elliptique où la planète est la plus proche du soleil. La vitesse de la planète s’écrit :

])1[/()21( 22 eaeeGM v soleil −++= , lorsqu’on néglige la masse de la planète devant celle

dusoleil.

Principe de Fermat : on définit en optique une quantité L = n ds, le chemin optique entre deux points A et Bdistants de ds ( n est l’indice de réfraction ). Pour une trajectoire lumineuse, ce chemin représente, lorsqu’on lemultiplie par c ( vitesse de la lumière dans le vide) le temps mis par la lumière pour aller de A en B. Le principe de Fermat s’énonce en disant que pour aller de A en B , la lumière suit un trajet tel que le cheminoptique L est stationnaire ( maximal ou minimal).

Principe de Maupertuis : ( dit aussi principe de Hamilton) On définit une quantité S = L dt que l’on nommel’action. L est le lagrangien, une fonction de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’une particule oud’un système de particule , dt est l’intervalle de temps considéré. On énonce qu’entre deux instants t1 et t2 lemouvement du système matériel est tel que l’action S est stationnaire ( maximale ou minimale).

Temps Dynamique Terrestre TDT : temps utilisé par les astronomes, dont le déroulement est parfaitementrégulier. Rappelons que le mouvement de rotation de Terre, dont on se sertcouramment pour le décompte du temps est entaché de multiples

irrégularités.

Temps Universel UT : temps civil du méridien de Greenwich ( Royaume Uni). Le temps moyen local dépenddonc de la longitude du lieu considéré.

période sidérale T : temps nécessaire à un corps céleste décrivant une orbite elliptique pour réoccuper la

même position par rapport à la sphère des étoiles fixes. Il s’agit donc la quantité donnée par la

troisième loi de Kepler soleil GM aT /4 322π = . a est le demi-grand axe de l’orbite

elliptique, et on néglige la masse de la planète devant celle du soleil.

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