Mémoire présenté le : 17/12/2014 - Frédéric PLANCHET · des frais médicaux des assurés, que...

Mémoire présenté le : 17/12/2014

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : Delvigne Yann

Titre : Maintien d’une couverture santé collective : Tarification et

provisionnement

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus.

Membres présents du jury de l’IA Signature Entreprise

Mme Ecary Brigitte Nom : Deloitte TR&B

M Gastebois Pierre Signature :

Membres présents du jury de l’ISFA Directeur de mémoire en entreprise

Nom : Richard, Fabien

Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels

(après expiration de l’éventuel délai de

confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Secrétariat : Signature du candidat

Mme Christine DRIGUZZI

Bibliothèque :

Mme Patricia BARTOLO

http://www.institutdesactuaires.fr/gene/main.php

Mémoire d’actuaire : Tarification et provisionnement des frais de santé


Résumé.

L’objectif de ce mémoire est de déterminer le coût pour une entreprise de la mise en

place d’un régime de frais de santé et de son maintien pour les retraités. Nous

présenterons d’abord l’intérêt et la nécessité de proposer des couvertures complémentaires

tant pour les salariés que leur maintien pour les retraités. Nous avons ensuite détaillé les

différentes méthodes de mise en place ainsi que les charges et taxes s’appliquant sur ces

régimes. Nous avons ensuite utilisé un historique de prestations versées par une mutuelle

afin de déterminer un tarif à l’aide de modèles linéaires généralisés pour une entreprise.

Nous l’avons comparé aux résultats obtenus par des coûts moyens sur des segments de la

population. Dans la dernière partie du mémoire, nous avons réalisé le calcul de la provision

que l’entreprise devra constituée au titre du régime. Si de tels plans sont souhaités par les

salariés, nous constaterons que le coût pour l’entreprise est très élevé et que pour

développer ce type de plan, il conviendrait d’encourager l’Etat à proposer des incitations

financières.

Mots clés : Frais de santé, ANI, Modèles linéaires Généralisés, Tarification, Couverture

Complémentaires, Retraités, Provisionnement, IAS 19.

Abstract

The goal of this essay is to determine the cost for a company to set up a medical coverage

plan and maintaining it for pensioners. We will start first with the reason and the need to

offer top up agreements for full time employees as well as keeping them for pensioners. We

then detailed different methods of setting up and the charges and taxes applied on those

regimes. We used the data from a local insurer in order to establish a pricing for a company.

In the last part of this essay, we have determinate the provisions the company should

create to address the risk, in compliance with the international accounting standards (IAS

19R). Although such plans should be beneficial for the employee and would help decrease

the social security costs, the cost for the enterprise will be too high in lack of financial

incentives.

Key words: Medical coverage plan, Generalized Linear Models, Pricing, IAS 19R, Claiming.


Remerciements

Je tiens à remercier tous les personnes du service Deloitte TR&B pour leurs

conseils et encouragements. Plus particulièrement je tiens à remercier Fabien Richard et

Ketty Nissan Daloy pour leurs avis éclairés et relectures attentives ainsi que Babacar

Ndiaye pour avoir pris le temps de m’aider à élaborer ce mémoire.

Je remercie également Florence Chatelle pour avoir sacrifié ces soirées d’été à

travailler son mémoire avec moi.

Pour finir je tiens à remercier mes parents pour leur sollicitude/inquiétude/optimisme

et dont le sempiternel « et ton mémoire ? » m’a fortement encouragé à me lancer.


0. INTRODUCTION ......................................................................................................................6

1. LA PROTECTION MEDICALE EN FRANCE ............................................................................7

1.1 REGIME GENERAL DE L’ASSURANCE MALADIE .............................................................................7 1.2 LES COUVERTURES COMPLEMENTAIRES .................................................................................. 10 1.3 L’ANI .................................................................................................................................. 15 1.4 MAINTIEN DE LA PARTICIPATION DE L’EMPLOYEUR POUR LES RETRAITES. .................................... 18

2. TARIFICATION ...................................................................................................................... 21

2.1 METHODE DIRECTE ............................................................................................................... 21 2.3 GLM POUR LA FREQUENCE (MODELE LOG IT) .......................................................................... 29

3. APPLICATION DE LA TARIFICATION .................................................................................. 34

3.1 METHODE DIRECTE ET PRESENTATION DES DONNEES ............................................................... 34 3.2 GLM : CHOIX DES MODELES .................................................................................................. 37 3.3 COMPARAISON DES MODELES ET CONCLUSION ......................................................................... 45

4. COTISATION EN CAS DE MAINTIEN POUR LES RETRAITES. ........................................... 48

4.1 PRESENTATION DU PROBLEME ............................................................................................... 48 4.2 DETERMINATION DES HYPOTHESES DEMOGRAPHIQUES ............................................................. 48 4.3 CALCUL DE L’ENGAGEMENT DE L’ASSUREUR ............................................................................ 55 4.4 CALCUL DE L’ENGAGEMENT DE L’ENTREPRISE ET DES SALARIES ................................................. 57 4.5 DETERMINATION DE LA COTISATION ........................................................................................ 58

5. PROVISIONNEMENT PAR L’ENTREPRISE .......................................................................... 60

5.1 NORME IAS 19 R ................................................................................................................. 60 5.2 METHODE D’EVALUATION ....................................................................................................... 62 5.3 LES HYPOTHESES ACTUARIELLES ........................................................................................... 65 5.4 DURATION ........................................................................................................................... 68 5.5 FORMULATION DES MONTANTS DE PROVISIONNEMENT .............................................................. 69 5.6 RESULTATS .......................................................................................................................... 71 5.7 SENSIBILITES ....................................................................................................................... 73 5.8 DIMINUTION DE L’EXPOSITION ................................................................................................. 78 5.9 ACTIF DE COUVERTURE ......................................................................................................... 80

6. CONCLUSION ....................................................................................................................... 81

7. BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 82

8. ANNEXE ................................................................................................................................ 83


0. Introduction

Les dépenses en santé sont un sujet d’actualité sensible. En effet le gouvernement

vient de publier une estimation du déficit de la sécurité sociale égal à 11,7 Mds € en 2014.

De l’autre côté les prix et le nombre de soins ne cessent d’augmenter et les couvertures

complémentaires atteignent des montants records et grèvent parfois lourdement les

ménages les plus modestes, notamment les retraités. En effet ceux-ci se retrouvent

souvent démunis au moment de choisir une couverture individuelle après des années

passées au sein d’un régime collectif. Alors que des aménagements législatifs ont été

réalisés pour obliger les entreprises à proposer une couverture comprenant un panier

minimum de soins et que des exonérations de charge ont été décidées afin de favoriser les

contrats responsables et solidaire, la question se pose de profiter de l’instauration

obligatoire d’un régime afin de proposer un maintien aux salariés lors de leur départ à la

retraite. Une telle solution serait bien entendu bénéfique pour les ex-salariés ainsi que pour

les assureurs, mais nous verrons également quels seraient les avantages pour les

entreprises et les raisons qui pourraient encourager l’Etat à accorder des avantages fiscaux

lors de l’instauration de tels régimes.

Nous nous intéresserons d’abord au contexte économique et social dans lequel

interviennent les couvertures complémentaires. Nous expliciterons ensuite la méthode de

tarification d’un tel régime, l’Accord National Interprofessionnel ayant instauré un panier

minimum obligatoire, nous nous intéresserons au tarif d’une couverture assurant des

prestations supérieures à ce panier tout en respectant les conditions des contrats

responsables et solidaires. Dans la dernière partie, nous déterminerons les montants

qu’une entreprise devrait provisionner pour faire face à cet engagement.


1. La protection médicale en France

En France, le système de protection médicale est clairement réparti en deux : d’un côté

l’assurance maladie de la sécurité sociale et de l’autre les couvertures complémentaires qui

viennent couvrir la partie non-prise en charge par le régime général.

1.1 Régime général de l’assurance maladie

1.1.1 Bref historique

Historiquement, les premiers systèmes de protection sociale sont nés au sein de

compagnies privées à la fin du 19ème siècle tandis que les premières lois sur la protection

sociale datent des années 30 et que la Sécurité Sociale est née en 1945. Les dates ci-

dessous récapitulent les moments importants de la couverture maladie en France :

Ancien régime : Premiers dispositifs de protection sociale

1850-1920 : Apparition des sociétés du secours mutuel et des caisses d’épargne, et

des initiatives paternalistes du patronat

1945 : Création de la Sécurité Sociale et des institutions de prévoyances

1946 - 1986 : Généralisation du système de protection sociale et création des

régimes spéciaux et des complémentaires d’entreprises

1999 : Création de la Couverture Maladie Universelle (CMU)

2007 : Création de la Couverture Maladie Universelle Complémentaire

(CMU-C)

2013-2014 : Accord National Interprofessionnel

1.1.2 Les remboursements de l’assurance maladie

Le régime général de l’assurance maladie a pour but de rembourser tout ou partie

des frais médicaux des assurés, que ceux-ci résultent d’une maladie ou de la conséquence

d’un accident de l’assuré ou d’un de ses ayants-droit. L’Assurance Maladie ne peut en

aucun cas rembourser plus que les frais réels engagés. Cependant certaines dépenses de

santé ne sont pas couvertes par l’assurance maladie1.

Pour chaque acte, l’Assurance Maladie détermine un tarif de responsabilité de la

sécurité sociale TRSS, déterminé par voie réglementaire ou par accord entre les parties

concernées. La différence entre le TRSS et les frais réels est appelée le dépassement

1 Voir article L. 321-1 du code de la sécurité sociale pour la liste des dépenses remboursées.


d’honoraire DH. Le TRSS est divisé en deux parties, le ticket modérateur et le

remboursement de la sécurité sociale, celui-ci est exprimé en pourcentage du tarif de

responsabilité. Le ticket modérateur correspond à la partie du tarif de responsabilité qui

n’est pas pris en charge par l’Assurance Maladie, il sert à responsabiliser les

consommateurs et freiner l’augmentation des dépenses de santé. Dans certaines situations

médicales, l’assuré est exonéré du ticket modérateur, notamment pour les patients atteints

d’affectation de longue durée (ALD) dont nous reparlerons plus tard.

Le graphique ci-dessous récapitule la répartition des dépenses et remboursements :

Frais réels

Dépassement

d’honoraires

Dépassement

d’honoraires Reste à charge

Tarif de responsabilité

de la Sécurité Sociale

Ticket Modérateur

Remboursement Sécurité

Sociale

Remboursement

Sécurité Sociale

Les dispositifs d’assurance complémentaires servent donc à rembourser le ticket

modérateur et les dépassements d’honoraires.

1.1.3 Franchises

Afin de limiter les dépenses de santé, des dispositions ont été prises. Tout d’abord

des franchises non-remboursables par les complémentaires ont été introduites afin de

responsabiliser les assurés. Ainsi la franchise médicale qui est déduite des

remboursements de la sécurité sociale et porte sur les médicaments (50 centimes par

boîte), les transports médicalisés (2 €) et les actes paramédicaux (50 centimes par actes).

Une participation forfaitaire de 1 € a également été introduite sur chaque consultation chez

un médecin généraliste ou spécialiste.

Certaines franchises laissées à la charge des assurés sont cependant

remboursables par les complémentaires santés, comme le forfait de 18 € qui concerne

certains actes (notamment ceux dont le montant de remboursement par la sécurité sociale


dépasse 120 €). Le forfait journalier hospitalier de 18 € est demandé pour tout sé jour de

plus de 24h au sein d’un hôpital ou d’une clinique (13,5 € pour les établissements

psychiatriques).

Sous certaines conditions, notamment en cas d’affectation de longue durée, ces forfaits ne

sont pas dus.

1.1.4 Le parcours de soins coordonnés

Le parcours de soins coordonnés a été introduit par la loi Douste-Blazy en 2004, ce

dispositif repose sur la désignation d’un médecin traitant et d’un dossier médical personnel.

Le médecin traitant est chargé de :

coordonner les soins

orienter dans le parcours de soins coordonnés

connaître et gérer le dossier médical

établir un constat d’entrée en affection de longue durée et un protocole

de soins

assurer une prévention personnalisée

En cas de non-respect du parcours de soins (par exemple consultation d’un

spécialiste sans la recommandation du médecin traitant) le ticket modérateur est majoré de

40%. Pour certains spécialistes en consultation directe, il n’est pas obligatoire de passer

par le médecin traitant (par exemple les dentistes, les sages-femmes …).


1.1.5 Montants et statistiques

La santé prend une part de plus en plus importante des dépenses des ménages et

de l’état. Le montant total des dépenses courantes de santé en 2012 est de 243 milliards

d’euros, soit environ 12% du PIB. La dépense courante de santé correpond à l’ensemble

des efforts financiers fait par l’ensemble des intervenants (Sécurité Sociale, Etat,

collectivités locales, ménages, assureurs….) au titre de la santé.

1.2 Les couvertures complémentaires

La sécurité sociale ne couvre qu’une partie des frais médicaux engagés par les

assurés, et les frais restant à charge peuvent être très conséquents (notamment en soins

dentaires ou optiques). Les assurés doivent se couvrir via une complémentaire santé s’il

veulent pouvoir subvenir à leurs besoins médicaux. Pour cela, ils doivent souscrire une

couverture complémentaire.

1.2.1 La Couverture Maladie Universelle Complémentaire

La CMU-C est accessible sur critères sociaux, elle permet la prise en charge totale

du tarif de responsabilité de la sécurité sociale. De plus la CMU-C comprend des forfaits

pour les soins dentaires, auditifs et les dispositifs de corrections visuels pour lesquels les

tarifs de remboursement de la sécurité sociale sont particulièrement faibles (voir tableau

page « 16 » ). Pour bénéficier de la CMU-C, il faut remplir trois critères : Il faut résider en

9,00

9,50

10,00

10,50

11,00

11,50

12,00

12,50

Dépenses de santé en % du PIB


France de façon régulière, stable (c’est-à-dire de façon ininterrompue depuis plus de 3

mois).De plus les revenus du foyer ne doivent pas dépasser un certain seuil :

Nombre de personnes dans le foyer Plafond de revenu

1 8 645 €

2 12 967 €

3 15 560 €

4 18 153 €

5 21 611 €

Par personne supplémentaire 3 458 €

Le bénéficiaire a le choix de faire gérer cette complémentaire par l’Assurance

Maladie ou par n’importe lequel des autres acteurs autorisé à opérer sur le marché de la

complémentaire santé.

1.2.2 L’Aide complémentaire Santé (ACS)

Une aide supplémentaire a été mise en place en 2004 (applicable au 1er janvier

2005) pour aider les ménages dont le revenu pris en compte pour l’attribution de la CMUC

est compris entre le dit plafond et 135% du plafond. Sous ces conditions, une aide comprise

entre 100 € et 500 € par personne est directement versée à l’organisme assureur et vient

en déduction de la cotisation. Il est à noter que cette aide est très largement méconnue, on

estime qu’environ seulement 30% des bénéficaires éligibles font une demande à l’ACS.

1.2.3 Les autres acteurs

Les particuliers peuvent se tourner vers trois types d’organismes agréés à proposer

des assurances complémentaires santé (loi Evin du 31/12/1989) :

Les mutuelles régies par le Code de la Mutualité sont des organismes à but non-

lucratif. Leur mission est de répondre aux attentes de leurs adhérents en

collaboration avec ceux-ci. Elles sont construites sur modèle de gouvernance de

type « mutualiste » avec un certain nombre de bénévoles (les administrateurs par

exemple ne sont pas rémunérés).

Les mutuelles ont la particularité de ne pas pouvoir opérer de discrimination entre

leurs adhérents selon leur situation médicale à la souscription.


Les institutions de prévoyance régies par le Code de la Sécurité Sociale ont

pour objectif de couvrir les salariés, ex-salariés et ayants-droit. Elles sont gérées

paritairement par les employeurs et les syndicats de salariés et sont également à

but non-lucratif. Elles sont soumises aux mêmes règles techniques que les

compagnies d’assurances.

Les compagnies d’assurances (et sociétés d’assurances mutuelles)

dépendent du Code des Assurances. Elles sont gérées de façon capitaliste et

peuvent faire appel au marché des actionnaires pour se financer. Elles ont

également la possibilité de distribuer leurs produits via des intermédiaires (agents

généraux ou courtiers d’assurances).

L’ensemble de ces acteurs ont financé environ 51 milliards d’euros de dépenses en

soins et biens médicaux2 sur un total de 188,5 milliards versés.

On notera que la part restant à charge des particuliers est significative, non pas tant

en proportion des montants totaux mais que cela correspond à un montant de l’ordre de 20

milliards d’euros. Ce marché n’est pas saturé et nombre de salariés de petites entreprises

n’ont pas de couverture complémentaire collective et n’ont pas non plus de couverture

individuelle. C’est le sens de l’Accord National Interprofessionnel du 11 janvier 2013,

2 Chiffres FFSA 2013

68%

12%

10%

2% 8%

Prestations versées en dépenses de soins et biens médicaux

Sécurité Sociale

Assurance

Mutuelles

Instituts de prévoyance

Reste à charge


retranscrit dans la loi de sécurisation de l’emploi du 14 juin 2013 qui est la dernière loi

s’appliquant à ce domaine.

Dans le cadre de ce mémoire nous allons nous concentrer sur les mutuelles

d’entreprise. Ces contrats, dits collectifs, doivent remplir un certain nombre de conditions

dictées par le législateur.

1.2.4 Mise en place d’un régime complémentaire

Il y a trois façons de mettre en place un régime complémentaire :

a. Convention ou accord collectif

Un accord collectif est un accord conclu entre un employeur (ou un regroupement

d’employeurs) et une ou plusieurs organisations syndicales ayant pour objet de fixer des

règles relatives aux conditions de travail, à l’emploi et aux garanties sociales des salariés.

Un régime de frais de santé appartient clairement à la troisième catégorie.

b. Ratification par la majorité d’un projet proposé par le chef d’entreprise

Dans ce cas, un projet est soumis au vote des salariés. Le comité d’entreprise a un

avis consultatif. Les termes du projet doivent être clairement précisés. Le vote se fait à

bulletins secrets et le projet est adopté s’il est ratifié par la majorité des salariés concernés.

c. Décision unilatérale de l’employeur

La décision unilatérale de l’employeur est un document rédigé par l’employeur qui

accorde à ses salariés un avantage supplémentaire par rapport à ce que prévoient les

accords collectifs ou les contrats de travail. Un décision unilatérale ne donne pas lieu à une

négociation entre les parties concernées. Dans le cadre de la mise en place de garanties

collectives de santé la déclaration unilatérale doit impérativement préciser les garanties

concernées et les modalités de mise en place du régime, notamment les points suivants :

La nature des prestations

Les bénéficiaires (employés, ayants-droit…)

La durée de l’engagement (souvent annuel et renouvelable)

Le montant des cotisations

La proportion laissée à la charge du salarié

La possibilité ou non de maintien du contrat après la rupture du contrat de travail

Les modalités de dénonciation et de révision de la décision


1.2.5 La loi Evin

La loi Evin du 31 décembre 1989 pose les premiers principes du marché de

l’assurance santé complémentaire et harmonise les règles imposées aux trois grandes

catégories d’acteurs décrites précédemment dans le cadre d’un régime mis en place selon

un des trois processus ci-dessus. Voici les principaux articles s’appliquant directement aux

salariés :

L’article 2 précise que lors de l’établissement d’un contrat collectif, l’assureur doit

obligatoirement prendre en charge les conséquences d’états pathologiques

antérieurs à la création du contrat. Cet article précise également qu’aucune

pathologie couverte par l’assurance maladie du régime général ne peut être exclue

du contrat. L’article précise enfin que ces dispositions s’appliquent aux salariés

actuels ainsi qu’aux anciens salariés éligibles au contrat.

L’article 4 précise les conditions et obligations de l’assureur lors de la proposition

de continuité de couverture aux ex-salariés retraités. Il est également précisé par

décret que le tarif appliqué aux retraités pour la même couverture ne doit pas

excéder de plus de 50% le tarif payé au moment de leur cessation d’activité.

L’article 9 précise que les sommes remboursées par l’organisme assureur ne

peuvent pas dépasser les frais réellement engagés par l’assuré et précise les

dispositions en cas de multi-couverture.

L’article 11 indique que dans le cas d’une mise en place par décision unilatérale de

l’employeur, les employés présents dans l’entreprise avant la mise en place n’ont

pas l’obligation de souscrire au contrat.

Les articles 12 et 15 précisent les conditions et obligations d’information de

l’assureur auprès des salariés (sur l’étendue de la couverture) et de l’employeur

(sur la santé financière du régime).

1.2.6 La loi Douste-Blazy

La loi Douste-Blazy (2004 mais appliquée en 2006) crée la notion de franchise sur

les consultations, et impose le parcours de soin avec le choix d’un médecin traitant. Cette

loi introduit également la notion de contrat responsable.


Définition : Un contrat est dit responsable lorsqu’il encourage le parcours de soins,

couvre un certain nombre de garanties complémentaires et ne couvre pas les

dépassements de soins et autres participations forfaitaires et franchises.

Les contrats non-responsables sont soumis à une taxation de 14% (initialement fixé à

7%, ce taux a été fixé à 14% en 2013) au lieu de 7% pour les contrats responsables au titre

de la taxe spéciale sur les conventions d’assurances.

1.3 L’ANI

D’un côté l’absence de complémentaire santé est la principale raison de renoncement

aux soins3, et de l’autre les niveaux de couverture trop élevés ont été désignés comme

responsables de l’inflation des prix médicaux (notamment en optique et en dentaire), il a été

décidé de mettre en place panier minimum pour tous les salariés et d’instaurer des

incitations fiscales et sociales pour instaurer des plafonds de remboursement.

1.3.1 Présentation

L’accord, signé en janvier 2013 par la majorité des partenaires sociaux, prévoit

l’instauration d’une couverture collective à adhésion obligatoire en matière de

remboursement complémentaires de frais de santé pour tous les salariés (via des contrats

collectifs d’entreprise ou de branches) d’un panier minimum composé des soins définis ci-

dessous :

100% de la base de remboursement des consultations, actes techniques et

pharmacie en ville

100% de la base de remboursement des consultations, actes techniques et

pharmacie à l’hôpital et du forfait journalier hospitalier

125% de la base de remboursement des prothèses dentaires

Un forfait optique de 100 € par an

3 Source : Enquête santé protection sociale (ESPS) 2012.

http://www.irdes.fr/recherche/enquetes/esps-enquete-sur-la-sante-et-la-protection-sociale/actualites.html


Les tableaux ci-dessous rappellent les bases de remboursement de la sécurité sociale en

2013 (année dont nous disposons les données dans la suite de ce mémoire) :

Prothèse dentaire Base de

remboursement

Taux de

remboursement

Montant

Remboursement

Couronne (2) 107,50 € 70 % 75,25 €

Inlay-core 122,55 € 70 % 85,78 €

Inlay-core à clavette 144,05 € 70 % 100,83 €

Appareil dentaire 64,50 € 70 % 45,15 €

Appareil dentaire complet 182,50 € 70 % 127,75 €

Bridge de trois éléments 279,50 € 70% 195,65 €

Optique Base de

remboursement

Taux de

remboursement

Montant

Remboursement

Verres (selon spécificités) 2-24 € 60 % 1,2-14,4 €

Monture 2,84 € 60 % 1,7 €

Au vu des faibles montants remboursés par la sécurité sociale, il apparait primordial

de proposer une couverture optique à tous, c’est ce que fait l’ANI. L’employeur doit prendre

en charge au moins 50% du panier de soins. De plus les contrats signés devront respecter

la définition des contrats dits solidaires et responsables nécessaire pour bénéficier de la

réduction de la taxe de 14% à 7%.

Définition : Un contrat de complémentaire santé est dit solidaire lorsque l’organisme ne

fixe pas la cotisation en fonction de l’état de santé des individus couverts et ne recueille

aucune information d’ordre médical.

1.3.2 Avantages fiscaux et sociaux des contrats responsables et solidaires.

Nous allons récapituler ici, les différents avantages applicables dans le cas où le

contrat collectif respecte bien la définition d’un contrat solidaire et responsable :


Les cotisations payées par l’entreprise sont inclues dans les frais du personnel,

elles viennent donc en déduction du résultat annuel imposable. Le taux

d’imposition sur les sociétés est de l’ordre de 33%.

Les cotisations sont également déductibles de l’impôt sur les revenus,cette

déduction se fait dans la limite de 5 % du Plafond Annuel de la Sécurité Sociale

(PASS4) plus 2 % du salaire annuel en ne dépassant pas 16 % du PASS.

Les cotisations payées par l’entreprise sont exonérées de charges sociales dans la

limite de 6 % du PASS plus 1,5 % du salaire annuel dans la limite de 12% du PASS.

Si le contrat est responsable alors la taxe spéciale sur les conventions d’assurance

(TSCA) est de 7 % (contre 14 % si le contrat ne l’est pas).

Un forfait social de 8 % sur la cotisation patronale non-réintégrée est appliqué que

le contrat soit solidaire et responsable ou non pour les entreprises de plus de 10

salariés.

La Contribution Sociale Généralisée (C.S.G) et la Contribution au Remboursement

de la Dette Sociale (C.R.D.S) sont dues sur les cotisations au régime de santé aux

taux de 7,5 % pour la CSG et 0,5 % pour la CRDS appliquées sur 98,25 % du

revenu.

La taxe de solidarité additionnelle aux cotisations d’assurance (TSA) servant à

financer la CMU s’élève à 6,27% des primes ou cotisations émises que le contrat

soit responsable et solidaire ou pas.

En résumé, dans le cas d’un contrat non-solidaire et non-responsable, il n’y a pas

d’exonération de charges sociales, la TSCA est de 14% et il y a également application du

forfait social de 8% Par contre, dans le cadre d’un contrat solidaire et responsable, il y a

exonération de charges sociales, la TSCA est de 7% mais le forfait social et la taxe de

solidarité additionnelle aux cotisations d’assurance sont dus en totalité.

Au vu de ces avantages, il apparaît très avantageux de proposer un contrat collectif

responsable et solidaire. Nous allons maintenant nous intéresser au cas où l’entreprise

s’engage à continuer de subventionner la mutuelle des salariés après leur départ à la

retraite.

4 37 548 € en 2014.


1.4 Maintien de la participation de l’employeur pour les retraités.

Les tarifs actuels des complémentaires santé sont particulièrement élevés pour les

retraités : la pension de retraite moyenne est de 1 700 € pour les hommes et 950 € pour les

femmes, une mutuelle pour un retraité est aux alentours de 100-120 € par mois. Il apparaît

donc clairement que ces montants grèvent lourdement le budget des retraités et que

certains ne peuvent y avoir accès et ne se couvrent pas et rentrent donc plus rapidement

dans la catégorie Affection de Longue Durée (ALD) ce qui entraine des dépenses lourdes

pour la Sécurité Sociale.

Ce système est toujours présent au sein de certaines entreprises pour des raisons

historiques, cependant au cours des années de nombreux plans ont été fermés. Nous

verrons dans ce paragraphe quels sont les avantages pour les parties concernées de

l’instauration d’un tel régime.

1.4.1 Avantages pour les salariés

Pour les salariés, il est effectivement important de bénéficier d’une mutuelle

d’entreprise permettant de faire face à la hausse des dépenses de santé et la baisse des

remboursements de santé. Cependant, au départ à la retraite, le nouveau retraité se

retrouve à financer tout seul le montant des cotisations.

On a donc vu que les montants de cotisations demandés peuvent être relativement

importants par rapport à leurs revenus. La prise en charge par l’entreprise (et un tarif

mutualisé) entraînerait donc une hausse du niveau de vie des salariés et un meilleur état de

santé pour ceux qui ne pouvaient s’offrir une couverture a minima ne permettant pas la

réalisation de tous les actes médicaux. Il semble qu’avec les récents débats sur la vieillesse

(notamment sur la dépendance) les salariés seront plus réceptifs à ces plans que dans les

20 dernières années (quand ces plans ont été fermés pour offrir des avantages plus court

terme).

1.4.2 Avantages pour l’entreprise

Pour une entreprise mettant en place un maintien de sa couverture pour les

retraités, l’avantage est d’abord d’un point de vue du dialogue social. En effet, de par les

avantages qu’en retireront les futurs-retraités un tel plan peut être un bon argument,

notamment sur des profils séniors. En échange celle-ci doit provisionner cet engagement.


La revue du provisionnement et des ordres de grandeur seront donnés dans la partie 5 de

ce mémoire.

Il apparaît également qu’en période de tensions fiscales, il peut être intéressant pour

une entreprise de rémunérer ses salariés par un tel plan plutôt que par une rémunération

monétaire. Cependant cet argument ne concerne que les salariés proches de la retraite. Le

fait que la part patronale n’est maintenue que dans le cas où le salarié reste dans

l’entreprise jusqu’à son départ en retraite peut également être un moyen de diminuer les

démissions au sein d’une entreprise. Grâce à l’ANI, l’entreprise ne s’engage que sur des

montants encadrés et ainsi son risque n’est pas démesuré.

1.4.3 Avantages pour la mutuelle

Pour la mutuelle, l’intérêt principal est une hausse des cotisations (afin de mutualiser

les salariés et les retraités) qui s’accompagne d’une hausse des chargements. De plus, le

portefeuille d’assurés d’une entreprise se retrouve fidélisé et le pilotage d’une telle

population est plus facile que pour des couvertures individuelles. Une attention particulière

doit tout de même être apportée au risque de concentration de certaines, ce qui peut inciter

les mutuelles à mettre en place des mesures de prévention (par exemple pour les métiers

physiques).

1.4.4 Avantages pour la Sécurité Sociale

En 2012 près de 5% des foyers appartenant au 1er quintile de revenu (largement

peuplé de retraités aux pensions faibles) n’ont délibérément pas réalisé d’examens

médicaux en raison de leur coût5, entraînant des détections tardives d’affections. Ce chiffre

atteint 10% pour les soins dentaires et optiques.

L’Assurance Maladie prend en charge à 100% les patients atteints d’Affection

longue durée. Une liste de 30 affections de longue durée a été établie par décret à laquelle

s’ajoute un certain nombre d’affections « hors liste » correspondant à des maladies graves

nécessitant des soins longs et couteux, ainsi que la plupart des maladies orphelines. Sous

certaines conditions, les personnes atteintes de poly-pathologies ont également accès au

statut de l’ALD.

5


Le nombre de patients en ALD est d’environ 9 millions de personnes en 2012. Les

principales affections en termes d’effectifs sont les suivantes :

Libellé de l’ALD Effectif Age Moyen

Diabète de type 1 et diabète de type 2 2 142 682 66

Tumeur maligne 1 988 252 67

Affections psychiatriques de longue durée 1 155 525 50

Hypertension artérielle sévère 1 135 738 73

Maladie coronaire 1 008 198 71

Insuf. cardiaque, cardiopathies valvulaires, congénitales graves 814 413 72

Le coût moyen d’une personne en ALD est de l’ordre de 9 000 € par an, les

prestations versées aux personnes en ALD représentent environ 80% des dépenses totales

de la Sécurité Sociale. L’objectif n’est pas d’exclure des pathologies mais de réduire le

nombre de malades, et ceci à l’aide d’une meilleure prévention et d’un meilleur suivi grâce à

des visites plus régulières chez les praticiens.

Les limites des contrats responsables et solidaires ont en partie étaient instaurées

afin de diminuer les dépenses de la Sécurité Sociale, celle-ci a donc intérêt à ce que le plus

possible de personnes utilisent ce genre de contrat (y compris les salariés).


2. Tarification

Dans la suite de cette partie nous retenons une approche « coût- fréquences » pour

tarifer la couverture santé. Cette approche consiste à estimer séparement pour chaque

individu sa probabilité de consommation et le montant de cette consomation, puis de faire le

produit de ces deux quantités pour obtenir les prestations attendues. Nous présenterons

d’abord la méthode empirique (dite directe) puis les modèles linéaires généralisés (GLM).

2.1 Méthode directe

2.1.1 Tarification

La méthode directe se base sur une méthode empirique. Les coûts moyens et

probabilités de consommation sont déterminés par moyenne sur des segments de la

population étudiée.

Avant d’établir les estimateurs, il convient de segmenter la population selon les

paramètres de chaque individu. Cependant cette étape doit être effectuée avec précaution.

En effet, une trop forte segmentation entraîne des effectifs trop faibles par segment ,a

contrario une segmentation trop faible ne permet pas une vue suffisamment précise de la

réalité des données. Il n’existe pas de critères permettant de déterminer la segmentation

« parfaite », celle-ci doit se faire de façon intuitive.

Ainsi, on détermine K segments couvrant l’ensemble de la population, notons 𝐽𝑘 le

kème segment. Notons 𝐵𝑖 la variable aléatoire binaire prenant la valeur 1 si l’assuré i a

consommé et 0 sinon. Alors nous obtenons :

∀𝑖 ∈ 𝐽𝑘 ; 𝔼[𝐵𝑖] = 𝐵𝑘 =𝑚𝑘

𝑛𝑘

Avec 𝑚𝑘 le nombre d’assurés ayant consommé dans le segment k et 𝑛𝑘 le nombre

d’assurés dans le segment k

De la même façon nous pouvons déterminer l’estimateur du montant de la

consommation par :

𝐶𝑘 = ∑ 𝐶𝑖𝑖∈𝐽𝑘

𝑚𝑘

Avec 𝐶𝑖 la consommation annuelle de l’assuré i.


Nous pouvons alors en déduire la prime pure pour les assurés de chaque segment par :

𝑃𝑃𝑘 = 𝐵𝑘 × 𝐶𝑘

𝑃𝑃𝑘 = 𝑚𝑘

𝑛𝑘×∑ 𝐶𝑖𝑖∈𝐽𝑘

𝑚𝑘

𝑃𝑃𝑘 =∑ 𝐶𝑖𝑖∈𝐽𝑘

𝑛𝑘

Avec la méthode directe, il arrive que les primes soient significativement différentes

d’une catégorie voisine à l’autre. Pour éviter cela et encourager la solidarité entre les

générations nous allons lisser les primes selon l’âge. Nous allons pour cela utiliser une

méthode de lissage paramétrique et une non-paramétrique.

2.1.2 Lissage paramètrique par spline cubique

L’idée du lissage par splines est de découper la fonction à ajuster en plusieurs sous-

intervalles puis d’ajuster sur chaque intervalle une fonction continue s’ajustant le mieux

possible aux données. Certaines conditions doivent tout de même être vérifiées aux bornes

des sous-intervalles. Dans la pratique, les polynômes de degré 3 sont souvent retenus, on

parle alors de splines cubiques.

Nous allons imposer comme condition aux points de jonction l’égalité des dérivés

premières et secondes (donc une continuité des pentes et courbures).

Posons le spline composé des deux polynômes 𝑃1 et 𝑃2 avec jonction au point polynomes

𝑥1 recomposant la fonction des primes, notée 𝑞𝑥.

𝑞𝑥 = {𝑃1(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1𝑃2(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2

Avec 𝑥0et 𝑥2 les bornes de la fonction.

Les contraintes au point de jonction sont :

{

𝑃0(𝑥1) = 𝑃1(𝑥1)𝑑

𝑑𝑥𝑃0(𝑥1) =

𝑑

𝑑𝑥𝑃1(𝑥1)

𝑑2

𝑑𝑥2𝑃0(𝑥1) =

𝑑

𝑑𝑥𝑃1(𝑥1)

Il vient directement l’écriture des polynômes :

{𝑃0(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 + 𝑐3𝑥3

𝑝1(𝑥) = 𝑝0(𝑥) + 𝑐5(𝑥 − 𝑥1)3

Le problème se résout donc en déterminant les 5 inconnues, correspondantes aux 8

coefficients des polynômes moins les 3 critères de régularité. Sa résolution se base sur la


méthode des moindres carrés ordinaires ou pondérés (qui sera succinctement décrite plus

tard dans ce mémoire.

2.1.3 Lissage non-paramétriques

Le lissage de Whitaker-Henderson permet de rendre les tarifs plus fiables en tenant

compte des effectifs présents dans chaque tranche d’âge et de tenir compte de la régularité

des données réelles. Nous allons définir un terme de fidélité et un terme de régularité de

l’ajustement.

Notons (𝑞1, … . 𝑞𝑛) les valeurs réelles et (𝑝,… , 𝑝𝑛) les valeurs ajustées. Le terme de

fidélité est décrit par :

𝐹 =∑𝑤𝑖(𝑞𝑖 − 𝑝)2

𝑛

𝑖=1

Où les 𝑤𝑖 sont des poids accordés à chaque point. Le terme de régularité est défini par :

𝑆 = ∑(∆𝑧𝑝𝑖)2

𝑛−𝑍

𝑖=1

Où ∆𝑧𝑠𝑖 = ∑ (𝑧𝑘)(−1)𝑧−𝑘𝑝𝑖+𝑘

𝑍𝑘=0 et z est un paramètre du modèle.

Notre objectif est de minimiser la valeur𝑀 = 𝐹 + ℎ𝑆, h se lit comme que le poids

relatif de la régularité dans l’ajustement du modèle. M est une fonction des valeurs(𝑝,… 𝑝𝑛),

nous allons chercher les valeurs qui minimisent M, nous noterons ces valeurs (𝑝1∗,… , 𝑝𝑛

∗).

Notons :

𝑄′ = (𝑞1, … , 𝑞𝑛)

𝑃′ = (𝑝1,… , 𝑝𝑛)

𝑊 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑤1, … , 𝑤𝑛) La matrice diagonale des poids.

𝐾𝑧 telle que Kz𝑃 = (∆𝑧𝑝1…∆𝑧𝑝𝑛

)

Il vient alors l’écriture matricielle des quantités F et S par :

{𝐹 = (𝑃 − 𝑄)′𝑊(𝑃 − 𝑄)

𝑆 = (𝐾𝑧𝑃)′(𝐾𝑧𝑃)

Et donc 𝑀 = (𝑃 − 𝑄)′𝑊(𝑃 − 𝑄) + ℎ𝑃′(𝐾𝑧′𝐾𝑧)𝑃, le problème revient donc à annuler la

dérivée matricielle suivante :


𝑑𝑀

𝑑𝑃=

𝑑

𝑑𝑃[𝑃′𝑊𝑃− 𝑃′𝑊𝑄− 𝑄𝑊𝑃 − 𝑃𝑊𝑄 + ℎ𝑃′(𝐾𝑧

′𝐾𝑧)𝑃]

= 2𝑊𝑃 −𝑊𝑄 −𝑊𝑄 + 2ℎ(𝐾𝑧′𝐾𝑧)

= 2(𝑊𝑃 −𝑊𝑄 + ℎ(𝐾𝑧′𝐾𝑧))

Car les matrices W et (𝐾𝑧′𝐾𝑧) sont symétriques. Le vecteur 𝑃∗ qui annule la dérivée est

donné par :

𝑃∗ = (𝑊 + ℎ(𝐾𝑧′𝐾𝑧))

−1𝑊𝑃

Une fois le coefficient h posé et la matrice des poids déterminée nous avons les valeurs

lissées respectant le mieux possible nos conditions de régularité et de fidélité. Dans la

partie application de ce mémoire, le lissage a été réalisé par cette méthode via VBA.

2.2 Modèles linéaires généralisés

2.2.1 Modèle linéaire simple

a. Description

Comme leur nom l’indique, les modèles linéaires généralisés sont des extensions du

modèle linéaire simple. Nous allons donc dans un premier temps présenter le modèle

linéaire simple.

Supposons que l’on veuille déterminer la variable Y en fonction des k

variables (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘) = 𝑋. L’idée est de supposer que la variable à expliquer peut

s’écrire comme une fonction affine des variables explicatives, soit l’existence d’un vecteur

𝛽 = (𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑘) tel que :

𝑌 = 𝛽𝑋 + 휀

Cela revient à écrire : ∀𝑖 ∈ {1. . 𝑛} 𝑌𝑖 = ∑ 𝛽𝑗. 𝑋𝑖𝑗𝑘

𝑗=1 + 휀𝑖. Avec 휀 le vecteur des résidus.

Les coefficients de régression (c.à.d. le vecteur β) sont définis par la méthode des moindres

carrés ordinaires.

2.2.2 Les moindres carrés ordinaires

Posons �� = 𝛽𝑋 l’estimateur de Y par le modèle linéaire simple. Notre objectif est de

déterminer le « meilleur » β possible. La méthode des moindres carrés ordinaires propose

de minimiser la distance entre Y et Y. Cela revient à trouver les coefficients de β qui

minimise la quantité suivante :


∑[𝑌𝑖 −∑𝛽𝑗. 𝑋𝑖𝑗

𝑘

𝑗=1

]

2𝑛

𝑖=1

= (𝑌 − 𝛽𝑋)′(𝑌 − 𝛽𝑋)

= (𝑌′𝑌 − 𝛽𝑋)′(𝑌 − 𝛽𝑋)

Nous allons donc chercher le vecteur 𝛽 qui annule la dérivée de cette expression par

rapport à 𝛽.

𝑑 ((𝑌−𝛽𝑋)′(𝑌−𝛽𝑋))

𝑑𝛽=

𝑑 (𝑋′𝛽′𝛽𝑋−2𝑋′𝛽𝑌+𝑌′𝑌)

𝑑𝛽= 2𝑋′𝑋𝛽 − 2𝑋′𝑌 = 0

Et donc nous obtenons : �� = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑌

La justesse du modèle repose sur l’observation du vecteur des résidus. Il est courant de

supposer un modèle correct si les résidus sont centrés, homoscédastiques (de même

variance) et non-corrélés entre eux, i.e. si et seulement si :

{∀𝑖 𝔼(휀𝑖) = 0

∀𝑖, 𝑗 𝑐𝑜𝑣(휀𝑖 , 휀𝑗) = 𝛿𝑖,𝑗 × 𝜎2

2.2.3 Modèle linéaire généralisé (GLM)

a. Description

Les modèles généralisés sont des versions plus souples du modèle linéaire simple. Un

modèle linéaire généralisé est un objet mathématique composé de trois éléments :

Une variable à expliquer, ici Y, suivant une loi aléatoire.

Des variables explicatives (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘) = 𝑋 et un ensemble de paramètres

𝛽 = (𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑘)

Une fonction de lien g définie par :

𝑔(𝔼(𝑌𝑖)) = ∑ 𝛽𝑗. 𝑋𝑖𝑗𝑘

𝑗=1 = 𝛽𝑋𝑖

Par la suite nous noterons 𝜇𝑖 = 𝔼(𝑌𝑖) la moyenne de 𝑌𝑖 et 𝛾𝑖 = 𝛽𝑋𝑖 le prédicateur linéaire

de 𝑌𝑖, il vient alors : 𝑔(𝜇𝑖) = 𝛾𝑖.

La première étape est de déterminer la loi que suit la variable Y, ou du moins de décider

parmi quel ensemble de lois nous allons chercher la loi de Y. L’ensemble choisi dans la

pratique est la famille exponentielle.


b. La famille exponentielle

Nous allons donc choisir la loi de Y au sein de la famille exponentielle. Une loi

appartient à la famille exponentielle si sa fonction de densité s’écrit de la façon suivante :

𝑓𝜃,∅(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝 (𝜃𝑦 − 𝑏(𝜃)

𝑎(∅)+ 𝑐(𝑦, ∅))

Avec : 𝜃 le paramètre naturel de la loi

∅ Le paramètre de nuisance

a, b et c sont des fonctions

Les lois que nous utiliserons par la suite appartiennent toutes à la famille exponentielle (la

loi Normale, la loi de Bernoulli, la loi Binomiale, la loi de Poisson, la loi Binomiale Négative,

La loi Gamma et la Gaussienne inversée) ;

Nous remarquerons de plus qu’il est possible d’écrire la densité et la variance de la loi

seulement par la fonction b et les deux paramètres6:

{𝔼(𝑌) = 𝑏′(𝜃)

𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑏"(𝜃) × ∅

La fonction b" est appelée fonction variance (notée aussi V), de plus cette fonction peut être

exprimée en fonction de l’espérance de la loi par : V = b"([b′]−1(μ)) × ∅.

Dans la pratique, on retient souvent 𝑎(∅) = ∅

𝑤𝑖 avec 𝑤𝑖 qui représente le « poids » de

l’observation i. Dans notre cas, nous allons prendre ∀ 𝑖 𝑤𝑖 = 1, en effet toutes les données

ont le même poids dans notre étude.

c. La fonction lien canonique

S’il est en théorie possible de choisir n’importe quelle fonction g bijective pour

caractériser le modèle GLM, dans la pratique la fonction retenue dépend de la loi choisie.

On parle de fonction lien canonique quand l’équation suivante est vérifiée :

𝑔(𝜇) = 𝛾 = 𝜃

6 Preuves en annexe.


Autrement dit, la fonction lien canonique relie l’espérance de la loi à son paramètre naturel.

Le tableau ci-dessous récapitule les fonctions liens canoniques pour les principales lois de

la famille exponentielle :

Loi Fonction lien cannonique

Normale Identité

Poisson 𝒈(𝝁) = 𝐥𝐨𝐠 (𝝁)

Gamma 𝒈(𝝁) =

𝟏

𝝁

Inverse Gaussienne 𝒈(𝝁) =

𝟏

𝝁𝟐

Binomiale 𝒈(𝝁) = 𝐥𝐨𝐠 𝐢𝐭 (𝝁)

d. Ajustement par maximum de vraisemblance

Soit (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) une observation de n-réalisations indépendante de la variable Y de

paramètre (𝜃,∅) et de densité f discrète. Nous allons déterminer des estimateurs des 𝛽,

notés (𝛽1, 𝛽2… . 𝛽�� ) ef du paramètre de dispersion ∅ .

Nous n’avons pas besoin d’estimer 𝜃, en effet on sait que 𝜃=g(𝜇) , on aura donc un

estimateur de 𝜃 par 𝜃 = 𝑔(��). Appelons E l’expérience qui consiste à observer les

(𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛), 𝐸 = {[𝑌1 = 𝑦1], [𝑌2 = 𝑦2],… , [𝑌𝑛 = 𝑦𝑛]}.

Soit 𝐿(𝜃, (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)) la vraisemblance de l’expérience, qui est la probabilité que

l’expérience ait eu lieu et est définie comme suit :

𝐿(𝜃, (𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛)) = 𝑃𝜃[𝐸] = 𝑃[{[𝑌1 = 𝑦1], [𝑌2 = 𝑦2],… , [𝑌𝑛 = 𝑦𝑛]}]

𝐿(𝜃, (𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛)) = 𝑃𝜃[𝐸] = 𝑃[𝑌1 = 𝑦1] × 𝑃[𝑌2 = 𝑦2] × …× 𝑃[𝑌𝑛 = 𝑦𝑛]

L’expérience E ayant été réellement observée, il est naturel de chercher le paramètre qui

maximise la vraisemblance. Par analogie avec le cas discret, nous obtenons pour une

densité continue :

𝐿(𝜃, (𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛)) =∏𝑓𝜃(𝑦𝑖)

𝑛

𝑖=1

Afin de maximiser L, il suffit de chercher la valeur qui annule la dérivée de la

vraisemblance. En effet la Log-vraisemblance est une fonction strictement concave, donc


s’il y a un extremum c’est un maximum et il est unique. Cependant il est plus facile de

dériver une somme qu’un produit, nous allons utiliser la log-vraisemblance notée l :

𝑙(𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛, 𝜃) = 𝑙𝑛(𝐿(𝜃, 𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛))

𝑙(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛, 𝜃) =∑𝑓𝜃(𝑦𝑖)

𝑛

𝑖=1

De plus, la fonction logarithme étant bijective, le maximum de la log-vraisemblance (s’il

existe) est également le maximum de la vraisemblance. Dans la suite, nous déterminerons

donc les estimateurs en cherchant les valeurs qui annulent la dérivée de la log-

vraisemblance.

Intéressons-nous plus particulièrement à la log-vraisemblance des lois de la famille

exponentielles, soit Y une loi de densité f appartenant à la famille exponentielle.

𝑙(𝑦, 𝜃, ∅) = 𝑙(𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛, 𝜃, ∅) =∑[𝜃𝑦𝑖 − 𝑏(𝜃)

∅+ 𝑐(𝑦𝑖 , ∅)]

𝑛

𝑖=1

Nous cherchons donc les estimateurs des 𝛽 qui annulent les dérivées de la log-

vraisemblance. Les équations de vraisemblance sont les suivantes ∀𝑗 𝑑𝑙(𝜃(𝛽),𝑦,∅)

𝑑 𝛽𝑗= 0

𝑑𝑙(𝜃(𝛽), 𝑦𝑖 , ∅)

𝑑 𝛽𝑗=𝑑𝑙(𝜃(𝛽), 𝑦𝑖 , ∅)

𝑑 𝜃𝑖×𝑑𝜃𝑖𝑑𝜇𝑖

×𝑑𝜇𝑖𝑑 𝛽𝑗

Or

{

𝑑𝑙(𝜃(𝛽),𝑦𝑖,∅)

𝑑 𝜃𝑖=

𝑦𝑖−𝑏′(𝜃𝑖)∅

𝑤𝑖

= 𝑦𝑖−𝜇𝑖∅

𝑤𝑖

𝑑𝜃𝑖

𝑑𝜇𝑖= 𝑏′′(𝜃𝑖)

𝑑𝜇𝑖

𝑑 𝛽𝑗=

𝑑𝜇𝑖

𝑑 𝛾𝑖×𝑑 𝛾𝑖

𝑑 𝛽𝑗=

𝑑𝜇𝑖

𝑑 𝑔(𝜇𝑖)× 𝑥𝑖𝑗 =

𝑥𝑖𝑗

𝑔′(𝜇𝑖)

Les équations deviennent donc:

∀𝑗 ∑𝑤𝑖(𝑦𝑖 − 𝜇𝑖)𝑥𝑖𝑗

𝑏′′(𝜃𝑖)𝑔′(𝜇𝑖)= 0

𝑛

𝑖=1

Dans le cas où la fonction lien est la fonction canonique, on a :

𝛾𝑖 = 𝜃𝑖 = 𝑥𝑖′𝛽

𝑑𝜇𝑖𝑑 𝛾𝑖

=𝑑𝜇𝑖𝑑 𝜃𝑖

= 𝑑 𝑏′(𝜃𝑖)

𝑑𝜃𝑖= 𝑏′′(𝜃𝑖)

Et les équations deviennent donc :

∀𝑗 ∑𝑤𝑖(𝑦𝑖 − 𝜇𝑖)𝑥𝑖𝑗 = 0

𝑛

𝑖=1


Il s’agit d’équations non-linéaires en 𝜷, nous n’avons donc pas de solution explicite, la

résolution va se faire selon la méthode de Fisher Scoring (aussi appelée IRLS pour Iterative

Reweighted Least Squares).

Le principe est de minimiser la fonction –l en partant d’un choix arbitraire de 𝛽 = 𝛽𝑂 et

d’itérer à chaque étape 𝛽𝑘+1 en fonction de 𝛽𝑘 « dans le sens de la descente de la fonction

l» jusqu’à ce que (𝛽𝑘) ≈ 𝑙(𝛽𝑘+1) , donc |𝛽𝑘 − 𝛽𝑘+1| ≈ 0.

L’opérateur indiquant le « sens de la descente » est le vecteur gradient, noté ∇l. On écrit

donc :

𝛽𝑘+1 = 𝛽𝑘 +𝑀𝑘∇l

Avec 𝑀𝑘 une matrice de pas, la méthode IRLS (Iterative Reweighted Least Squares) ou

méthode de régression pondérée recommande de prendre comme matrice de poids 𝑀𝑘

définie comme suit :

𝑀𝑘 = −(𝐸(∇2lk))

−1 avec ∇2lk =

[ 𝑑2𝑙

𝑑𝛽1𝛽1

𝑑2𝑙

𝑑𝛽1𝛽𝑘⋮ ⋮𝑑2𝑙

𝑑𝛽𝑘𝛽2

𝑑2𝑙

𝑑𝛽𝑘𝛽𝑘]

∇l est le vecteur gradient. L’initialisation se fait en posant 𝛽0 = 𝛾0 .

Dans le logiciel R, c’est cette méthode qui est retenue. L’intérêt de cette méthode est sa

rapidité de convergence. Dans les modèles ci-dessous, nous obtenons une convergence

entre 5 et 8 itérations.

2.3 GLM pour la fréquence (modèle Log It)

Nous avons dans la partie précédente présenté le modèle GLM permettant de

déterminer le coût attendu pour un individu selon ses caractéristiques. Dans cette partie, la

variable modélise la consommation, ou non, de l’individu. La variable à expliquer est donc

une variable binaire (égale à 0 : pas de consommation ou 1 : consommation). Pour cela

nous allons utiliser le modèle de régression logistique.

2.3.1 Constat

Posons 𝑌 = (𝑌1,𝑌2,… , 𝑌𝑛) notre variable à expliquer. Y est une variable binomiale à

valeurs comprises dans {0,1}. De même posons 𝑋 = (𝑋1,𝑋2,… ,𝑋𝑛) la variable explicative,

avec 𝑋 ∈ ℝ𝑛.


Notre objectif est de trouver une fonction f permettant d’estimer les 𝑌�� de la façon suivante :

∀𝑖 ∈ {0, 𝑛} 𝑌𝑖 = {1 𝑠𝑖 𝑓(𝑋𝑖) = 𝑃(𝑌𝑖 = 1 |𝑋𝑖) > 𝜃

𝑂 𝑠𝑖 𝑓(𝑋𝑖) = 𝑃(𝑌𝑖 = 1 |𝑋𝑖) ≤ 𝜃

Avec ɵ un paramètre compris entre 0 et 1 (souvent pris égal à 0,5). La fonction f se lit alors

comme une probabilité et le paramètre ɵ comme un seuil de décision.

Dans un cas de régression linéaire classique, nous cherchons la fonction f telle que :

𝑌 = 𝑓(𝑋), avec 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Cependant, dans un tel cas il n’est pas possible d’imposer

𝑓 ∈ [0,1] et donc d’assimiler f à une probabilité. Le graphe ci-dessous, réalisé sur un

exemple, illustre bien le problème7.

3.3.2 La fonction logistique

Pour garder les valeurs de f dans l’intervalle [0,1], nous allons utiliser la fonction logistique.

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥+𝑏

𝑒𝑎𝑥+𝑏 + 1

Cette fonction nous assure de rester dans [0,1], elle est de plus bijective. La recherche des

coefficients a et b par les moindres carrés ordinaires pour notre exemple nous permet

d’obtenir la courbe suivante.

7 Ce modèle correspond à la détermination par les moindres carrés ordinaires des coefficients de la

fonction linéaire.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-6 -4 -2 0 2 4 6

P(Y=1| X)

X


Il apparaît clairement que cette courbe permet de mieux représenter notre nuage de points.

De plus la formule de la fonction logistique fait ressortir un terme linéaire a+𝑏 , or nous

savons calculer une régression pour une fonction linéaire (cf. partie ci-dessus). Nous allons

donc chercher la fonction permettant de « transformer » la fonction logistique en une

fonction linéaire. En posant 𝐴(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, il arrive facilement le résultat suivant que la

solution est la fonction logit.

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥

1 − 𝑥)

Preuve

𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡 (𝑒𝑎𝑥+𝑏

𝑒𝑎𝑥+𝑏 + 1) = 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡 (

𝑒𝐴(𝑥)

𝑒𝐴(𝑥) + 1)

= 𝑙𝑛(

𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥)

1−𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥)

)

= 𝑙𝑛(

𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥) − 𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥)

)

= 𝑙𝑛(

𝑒𝐴(𝑥)

1 + 𝑒𝐴(𝑥)

11 + 𝑒𝐴(𝑥)

)

= 𝑙𝑛(𝑒𝐴(𝑥))

= 𝐴(𝑥)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-6 -4 -2 0 2 4 6

P(Y=1| X)

X


Ces résultats sont bien entendu toujours vrais dans le cas où Y dépend de plusieurs

variables.

La fonction logit projette notre problème dans un espace linéaire, c’est donc la fonction lien

que nous allons retenir dans ce modèle. Nous noterons de plus que la fonction logit

correspond à la fonction de lien canonique de la loi Binomiale.

2.3.2 La loi Binomiale

Pour introduire la loi binomiale de paramètres (n,p), il faut d’abord introduire la

notion d’expérience de Bernoulli. Une expérience de Bernoulli de paramètre p consiste en

la réalisation d’une expérience ayant une probabilité p de succès, par exemple le lancer

d’une pièce de monnaie (avec succès en cas de résultat égal à pile) correspond à une

expérience de paramètre 0,5. De même, l’opération de tirage d’une boule dans une poche

contenant 9 boules noires et 1 boule rouge avec comme succès le tirage d’une boule noire

correspond à une expérience de Bernoulli de paramètres p. Donc en notant X la variable

aléatoire indiquant si l’expérience est un succès ou non, on obtient : 𝑃[𝑋 = 𝑥] = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑥,

avec 𝑥 ∈ {0,1}

La loi Binomiale de paramètres (n,p) est la loi qui correspond à la réalisation de n

expériences de Bernoulli indépendantes (exemple n tirages avec remise). La densité de la

loi Binomiale s’écrit :

𝑃[𝑋 = 𝑘] = (𝑛

𝑘) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘

Avec (𝑛𝑘) le nombre de combinaison de k parmi n, qui vaut (𝑛

𝑘) =

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!.

Il est possible de factoriser la densité de la loi binomiale afin de faire apparaître les

éléments caractéristiques d’une loi de la famille exponentielle.

𝑃[𝑋 = 𝑘] = (𝑛

𝑘) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘

𝑃[𝑋 = 𝑘] = (𝑛

𝑘) 𝑒𝑘 ln(𝑝)𝑒(𝑛−𝑘) ln(1−𝑝)

𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = (𝑛

𝑘) 𝑒𝑘 ln(𝑝)+(𝑛−𝑘) ln(1−𝑝)

𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = (𝑛𝑘)𝑒𝑘(ln(𝑝)−ln(1−𝑝))+𝑛 ln(1−𝑝)

𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = (𝑛

𝑘) 𝑒

𝑘(ln(𝑝1−𝑝

)+𝑛𝑙𝑛(1−𝑝)


Nous reconnaissons une fonction de la famille exponentielle, de paramètre naturel ɵ =

ln𝑝

1−𝑝. La loi de Bernoulli qui correspond au cas n=1 est également une loi de la famille

exponentielle.Dans la suite nous utiliserons prioritairement la loi Binomiale et la fonction de

lien Logit pour déterminer nos modèles GLM sur les fréquences de coût.


3. Application de la tarification

Dans cette partie, nous allons déterminer les cotisations demandées par l’assureur pour

faire face aux prestations au cours de l’année. Nous ne parlerons pas ici des différents

chargements demandés par l’assureur, nous ne déterminerons que la prime pure. Nous

allons également nous focaliser sur deux garanties optique, les verres et les montures, ainsi

que sur deux garanties dentaire, les prothèses dentaires mobiles et les fixes.

3.1 METHODE DIRECTE ET PRESENTATION DES DONNEES

3.1.1 Les données

Les données de la mutuelle sur les quatre garanties sont basées sur une population

de 85 583 personnes âgées de 18 à 104 ans. Pour chaque individu, nous avons l’âge, la

situation maritale et le sexe renseignés ainsi que les frais réels avancés par les individus

pour chaque catégorie le cas échéant.

Dans cette partie nous nous intéressons au financement de la partie supérieure au panier

minimum. Nous avons soustrait des frais réels les montants remboursés par le panier

minimum. De plus, les frais dépassant les montants maximum de la définition d’un contrat

solidaire et responsable ont été plafonnés au-dit montant. Le tableau ci-dessous récapitule

les données utilisées :

Base de données mutuelle

Descriptif

Effectif 85583

Famille 63%

% de femmes 60%

Cout moyen

Verres 213

Prothèse Mobile 675

Monture 207

Prothèse Fixe 614

Fréquence de consommation

Verres 17,6%

Prothèse Mobile 5,8%

Monture 17,3%

Prothèse Fixe 9,0%


3.1.2 La méthode directe

La méthode directe a été réalisée en choisissant une segmentation sur 10 déciles,

c’est-à-dire que chaque intervalle représente 10% de la population, et ensuite le coût

moyen et la fréquence moyenne sont déterminés.

Le tableau ci-dessous indique les tarifs obtenus en appliquant la méthode directe :

Méthode directe

Age < [17,22[ [22,25[ [25,27[ [27,31[ [31,34[ [34,38[ [38,43[ [43,51[ [51,61[ [61, [

Verres 24 9 9 12 22 27 35 67 87 81

Monture 26 11 15 20 30 39 47 65 58 45

Mobile 15 11 17 28 42 45 33 40 59 96

Fixe 28 14 22 37 63 69 73 84 78 76

Total 93 45 62 96 157 181 189 256 281 298

Le tableau ci-dessous, affiche les mêmes résultats.

A la vue de ces données, il apparaît qu’il faut appliquer un lissage. En effet, un individu de

37 ans devra régler 45 € pour sa couverture prothèse mobile et 33 l’année suivante. Nous

allons donc lisser les tarifs à l’aide de la méthode de Whittaker-Henderson décrite

précédemment. Pour cela, il nous faut déterminer le coefficient h qui est le poids relatif de

la régularité dans l’ajustement du modèle. Pour étudier l’impact de la sensibilité de ce

0

50

100

150

200

250

300

350

[0 ; 22[ [22 ; 25[ [25 ; 27[ [27 ; 31[ [31 ; 34[ [34 ; 38[ [38 ; 43[ [43 ; 51[ [51 ; 61[ [61 ; 110[

Prime méthode directe

Verres

Monture

Mobile

Fixe

Total


paramètre, nous allons nous concentrer sur une seule garantie (arbitrairement nous

prenons la garantie Mobile).

Nous voyons donc que plus le paramètre h est élevé, plus la courbe lissée est régulière et à

l’inverse plus le paramètre est faible plus la courbe se rapproche des résultats obtenus par

la méthode directe non lissée. Le graphique suivant représente la prime totale lissée

comparée par rapport à la prime non lissée avec le choix d’un paramètre égal à 25.

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

60,00

65,00

70,00

[31 ; 34[ [34 ; 38[ [38 ; 43[ [43 ; 51[ [51 ; 61[

Primes Mobile selon h

Directe

h=5

h=10

h=150

0

50

100

150

200

250

300

350

[0 ; 22[ [22 ; 25[ [25 ; 27[ [27 ; 31[ [31 ; 34[ [34 ; 38[ [38 ; 43[ [43 ; 51[ [51 ; 61[ [61 ; 110[

Prime totale

Total-Lissé

Total non-lissé


3.2 GLM : CHOIX DES MODELES

3.2.1 Test de student et p-value (choix des variables)

a. Théorie

Le test de Student est utilisé pour tester la nullité des coefficients 𝛽𝑖 dans la régression

linéaire. Posons 𝛽�� l’estimateur par moindres carrés du coefficient. Dans le cas où les

résidus sont normaux, ou si le nombre de données est suffisant (ce qui est le cas) par le

théorème central limite :

𝛽�� − 𝛽𝑖

√𝑉𝑎𝑟(𝛽��)

~ 𝑁(0,1)

Il n’est pas possible de déterminer la variance de l’estimateur, nous allons utiliser

l’estimateur empirique de la variance, les travaux de Gosset8 nous indique que la variable :

𝑇 = 𝛽��−𝛽𝑖


suit une loi de Student de degré de liberté n-1 avec n le nombre de variables

explicatives. Le test consiste à tester la non-nullité du paramètre, et donc à tester

l’hypothèse H0 :

𝐻0 ∶ 𝛽𝑖 = 0

Sous l’hypothèse H0, nous obtenons que 𝑇 = 𝛽��


suit une loi de Student à n-1 degrés

de liberté, et donc l’hypothèse H0 est acceptée si la valeur de T n’est « pas trop loin de

zéro ». Une fois la valeur de T déterminée, on détermine la probabilité qu’une loi de Student

atteigne la valeur T, cette quantité s’appelle la p-value du test et est donnée par

𝑃[𝑡𝑛−1 > |𝑇| ]. Dans la pratique, nous accepterons l’hypothèse de non-nullité du paramètre

si la p-value est inférieure à 5%, autrement dit si la probabilité que le coefficient soit nul est

inférieure à 5%.

8 Cf. Biblio


Le graphique ci-dessous représente la densité d’une loi de Student et les quantiles d’ordres

2,5% et 97,5 % :

b. Résultats

Le tableau suivant récapitule les t-values des indicateurs dont nous disposons. Nous

rappelons que ces valeurs doivent être inférieures à un certain seuil pour pouvoir être

acceptées comme variables explicatives.

Résultat des t Values pour les coûts

Verres Monture Fixe Mobile

Age 2,0E-16 0,82 0,20 5,7E-05

Famille 1,4E-07 0,02 6,4E-04 0,247

Sexe 0,43 0,76 0,79 0,345

Au vu de ce tableau nous allons retenir les variables explicatives suivantes :

- Pour la garantie Verres : Age et Famille

- Pour la garantie Monture : Famille

- Pour la garantie Fixe : Famille

- Pour la garantie Mobile : Age

Nous observons que le sexe n’est jamais significatif dans la détermination du coût des

actes étudiés, celui-ci interviendra cependant dans la détermination de la fréquence de

soins.


Le tableau suivant récapitule les p-values observées pour les modèles de fréquence des

actes.

Résultat des p Values pour les fréquences


Age 2E-16 2E-16 2E-16 2E-16

Famille 2E-16 2E-16 2E-16 2E-16

Sexe 0,40 0,44 0,04 0,25

Au vu de ce tableau nous allons retenir les variables explicatives suivantes :

- Pour la garantie Verres : Age et Famille

- Pour la garantie Monture : Age et Famille

- Pour la garantie Fixe : Age, Famille et Sexe

- Pour la garantie Mobile : Age et Famille

3.2.2 Critère AIC (choix de la fonction lien)

a. Théorie

Une fois que nous connaissons les variables explicatives, il nous faut déterminer les

modèles à utiliser. Pour cela, nous allons utiliser le critère d’information d’Akaike (AIC). Ce

critère se base sur la notion de vraisemblance (notée L) décrite précédemment. Le critère

d’Akaike s’écrit de la façon suivante :

𝐴𝐼𝐶 = 2𝑘 − 2 × ln(𝐿) = 2𝑘 − 2 × 𝑙

Le critère est donc de choisir le modèle dont la vraisemblance (et donc sa log-

vraisemblance) est la plus élevée en intégrant une pénalité selon le nombre de variables

retenues.

Il est à noter que certains logiciels affiche la quantité –AIC au lieu de AIC, il est donc

conseillé de tester un modèle aberrant afin de savoir dans quelle sens le critère est

renseigné. Le logiciel R affiche la valeur AIC.

b. Résultats

Le tableau ci-dessous affiche les résultats du test AIC pour les modèles de coût testés.

Nous avons choisi de ne retenir que les couples loi/fonction lien canonique. Pour le modèle

des coûts, nous avons retenu le modèle Gaussien, le modèle Gamma et le modèle

Gaussienne Inverse.


Critère d'AIC


Gaussienne 205189 188572 114137 69398

Gamma 196162 181417 110899 65951

Gaussienne inverse 190723 187363 112650 114137

Nous allons donc retenir les modèles suivants pour les coûts :

- Pour la garantie Verres : Loi Gaussienne Inverse avec fonction lien 𝑔(𝜇) = 1𝜇2⁄

- Pour la garantie Monture : Loi Gamma et fonction lien 𝑔(𝜇) = 1 𝜇⁄

- Pour la garantie Fixe : Loi Gamma et fonction lien 𝑔(𝜇) = 1 𝜇⁄

- Pour la garantie Mobile : Loi Gamma et fonction lien 𝑔(𝜇) = 1 𝜇⁄

Le tableau ci-dessous affiche les résultats du test AIC pour les modèles de fréquence

testés. Nous avons choisi de ne retenir que les couples loi/fonction lien canonique. Pour le

modèle des fréquences, nous avons retenu le modèle Binomiale et le modèle de Poisson.

Critère d'AIC


Poisson 72382 75614 50408 61342

Binomiale 76397 71804 49500 59761

Nous retenons donc pour les quatre garanties le modèle Binomiale avec sa fonction lien

canonique (la fonction Logistique).

3.2.3 Validation des modèles a posteriori

Pour valider nos modèles a posteriori nous allons utiliser deux méthodes, les qq-plots et

l’analyse des résidus.

a. Théorie qq-plots

Le qq-plot (diagramme quantile-quantile) est un diagramme qui sert à comparer la

distribution théorique à la distribution du modèle. Pour cela les quantiles théoriques et

empiriques sont tracés sur un même diagramme. Posons F la fonction de répartition

théorique, notons 𝑦𝑖∗ = 𝐹−1 (

𝑖

𝑛+1) le ième quantile théorique (avec n le nombre


d’observations) et 𝑦𝑖 les quantiles observés. Il suffit ensuite de tracer le diagramme des

points (𝑦𝑖∗, 𝑦𝑖). Plus les points sont alignés plus l’ajustement selon la distribution théorique

est pertinent.

b. Résultats qq-plots

Les deux qq-plots ci-dessous représentent les quantiles observés et théoriques pour les

coûts de la garantie fixe et pour la loi Gamma et pour la loi Normale :

Les deux graphiques ci-dessus nous confortent dans le choix de retenir la loi Gamma pour

cette garantie. Les deux qq-plots suivants présentent les mêmes résultats pour la garantie

Mobile :

Là encore, le choix du modèle Gamma est bien justifié. De même les deux qq-plots

suivants représentent les résultats obtenus pour les garanties Verres et Monture.


Ces deux graphiques nous confortent dans le choix des modèles retenus.

Nous allons maintenant nous intéresser aux choix des modèles de fréquences, et pour cela

nous allons utiliser les résidus de Pearson.

c. Statistique de Pearson

Les résidus représentent la différence entre les observations et les données estimées.

Notons 𝑌�� la valeur estimée de la ième observation 𝑌𝑖, alors le résidu classique est égal à

𝜖𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌��. Ces résidus sont hétéroscedastiques, nous allons les normaliser et on pose

𝑟𝑖 =𝑌𝑖−𝑌��.

√𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑖). Dans le cas des GLM, on obtient 𝑟𝑖 =

𝑌𝑖−𝜇𝑖

√𝑉(𝜇𝑖) avec V la fonction variance dans le

cas où les lois retenues appartiennent à la famille exponentielle. Pour s’assurer de la bonne

validité du modèle, il est nécessaire que les résidus soient centrés autour de l’axe des

abscisses. Dans nos modèles de fréquences nous avons choisi la loi Binomiale, dont la

variance s’écrit 𝑉(𝜇) = 𝜇(1 − 𝜇). Ainsi les résidus de Pearson s’écrivent 𝑟𝑖 =𝑌𝑖−𝜇𝑖

√𝜇𝑖(1−𝜇𝑖). Le

tableau ci-dessous présente les résidus obtenus pour la modélisation de la fréquence de la

garantie Monture selon l’âge des individus.


Nous constatons que pour un âge donné, il y a quatre valeurs possibles pour les résidus,

selon la situation maritale et la consommation réelle ou non de prestations Monture. Au vu

de la forme de ce graphique il nous semble difficile de conclure sur la validité ou non du

modèle. Nous allons donc utiliser la statistique de Pearson.

La statistique de Pearson est égale à la somme des carrés des résidus de Pearson, en

notant X2 cette statistique, et la statistique de Pearson converge9 vers une loi du Chi 2 de

degré de liberté n-p-1 avec n le nombre d’observation et p le nombre de paramètres. Nous

allons comparer la statistique de Pearson de chaque modèle avec le quantile d’ordre 1−𝛼

d’une loi du chi-2 de degré de liberté n-p-1, en sachant que plus la valeur de la statistique

est faible meilleur le modèle est.

Pour la garantie Monture, nous obtenons X2 = 82 946 et la fonction de répartition d’une loi

du Chi-2 de 85 580 degrés de liberté nous indique que la probabilité qu’une telle loi prenne

une valeur aussi faible est inférieur à 1% (le quantile à 1% de cette loi est de 84 620). Nous

pouvons donc conclure que notre modèle est acceptable. Pour les 3 autres modèles, nous

pouvons également accepter les modèles avec un seuil supérieur à 98 %.

9 Dans le cas où les données sont bien groupées, voir réfé Ricco Rakotomalala


3.2.4 Tableau des paramètres

Dans les tableaux ci-dessous, nous allons répertorier les coefficients du prédicteur linéaire

et la formule permettant de déterminer la valeur estimée de la prime pure.

a. Estimation des coûts

Nous pouvons donc déterminer le prédicteur linéaire de l’individu i 𝛾𝑖𝑐𝑜𝑢𝑡 (en notant 𝛽

les paramètres présentés dans le tableau ci-dessous)

𝛾𝑖𝑐𝑜𝑢𝑡 = 𝛽0 + 𝛽𝑎𝑔𝑒 × 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 × 𝛿𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒


Constante 5,43E-05 5,02E-03 1,74E-03 1,82E-03

Age -5,11E-07 - - -4,90E-06

Famille -6,31E-06 -2,16E-04 -1,24E-04 -

Où 𝛿𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 est le symbole de Kroeneker :

𝛿𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 = {1 si l′assuré a pris le forfait famille

0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

On obtient alors les estimateurs de nos coûts en inversant la fonction lien g, donc pour un

individu i nous obtenons :

{

Pour la garantie Verres ∶ 𝐶�� = g

−1(𝛾𝑖𝑐𝑜𝑢𝑡) = √

1

𝛾𝑖𝑐𝑜𝑢𝑡

= √1

𝛽0 + 𝛽𝑎𝑔𝑒 × 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒

Pour les autres garanties ∶ 𝐶�� = g−1(𝛾𝑖

𝑐𝑜𝑢𝑡) =1

𝛾𝑖𝑐𝑜𝑢𝑡

= 1

𝛽0 + 𝛽𝑎𝑔𝑒 × 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒

b. Estimation des fréquences

Le tableau suivant affiche les coefficients utilisés pour les modèles de fréquences :


Constante - 3,56 - 3,47 - 3,70 - 4,46

Age 0,02 0,01 0,01 0,02

Famille 1,68 1,75 1,17 0,71

Sexe - - - 0,04 -

Nous pouvons donc déterminer le prédicteur linéaire 𝛾𝑖𝑓𝑟𝑒𝑞

(en notant α les paramètres ci-

dessus)


𝛾𝑖𝑓𝑟𝑒𝑞

= 𝛽0 + 𝛽𝑎𝑔𝑒 × 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 × 𝛿𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑙𝑒 + 𝛽𝑆𝑒𝑥𝑒 × 𝛿𝑆𝑒𝑥𝑒=𝑀

Les quatre garanties ont leur fréquence modélisée par un modèle binomial, nous pouvons

donc écrire l’estimateur de la fréquence de consommation par :

𝐹�� = g−1(𝛾𝑖

𝑓𝑟𝑒𝑞) =𝑒𝛾𝑖

𝑓𝑟𝑒𝑞

𝑒𝛾𝑖𝑓𝑟𝑒𝑞

+ 1

c. Détermination de la prime pure

Nous allons maintenant déterminer la prime pure totale pour les quatre couvertures d’un

salarié i :

𝑃𝑃𝑖 = ��𝑖𝑉𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠 × ��𝑖

𝑉𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠 + ��𝑖𝑀𝑜𝑛𝑡𝑢𝑟𝑒 × ��𝑖

𝑀𝑜𝑛𝑡𝑢𝑟𝑒+��𝑖𝑀𝑜𝑏𝑖𝑙𝑒 × ��𝑖

𝑀𝑜𝑏𝑖𝑙𝑒+��𝑖𝐹𝑖𝑥𝑒 × ��𝑖

𝐹𝑖𝑥𝑒

3.3 COMPARAISON DES MODELES ET CONCLUSION

Dans cette partie nous allons comparer les résultats obtenus par la méthode GLM et

les résultats obtenus par la méthode directe. Tout d’abord nous noterons qu’en appliquant

les deux méthodes sur les données de la mutuelle nous obtenons le même total de

prestations :

Prestations

Directe 13 820 795

GLM 13 769 803

Différence -0,37%


Le graphique ci-dessous représente la prime pure totale dans le cas direct et celles

obtenues par la méthode GLM :

On remarquera cependant que l’application d’une ou de l’autre a un impact si on

choisit une autre population que celle sur laquelle le tarif a été effectué. En appliquant les

deux méthodes sur la population de l’entreprise présentée dans la partie provisionnement

nous obtenons les résultats suivants.

Somme des prestations

Méthode directe 172 501

Méthode GLM 143 135

Différence -17%

L’objectif de ce mémoire est de tarifer les garanties décrites ci-dessus tant pour les salariés

actuels que de déterminer une estimation de leur consommation future, c’est pourquoi nous

avons retenu l’ensemble de la population pour la détermination de ce tarif. S’il l’on ne

s’intéresse qu’aux actifs, le tarif aurait été établi sur la population des personnes en âge de

travailler.

Nous allons maintenant nous intéresser à la cotisation qui va être demandée à

chaque salarié. La législation nous autorise à ne faire de distinctions que par catégorie

objective de salariés. Nous allons ici séparer les cotisations selon la situation familiale, nous

allons donc déterminer une cotisation Famille et une cotisation Isolé.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

171921232527293133353739414345474951535557596163656769717375

Pri

me p

ure

Age

Marié

Isolé

Poly. (Direct)


Les cotisations sont déterminées de façon à couvrir l’ensemble des prestations

attendues. Les chiffres ci-dessous ne prennent pas en compte d’éventuels chargements

commerciaux de l’assureur et ne concerne que les quatre garanties décrites. Nous avons

déterminé deux tarifs, un en % du salaire et un montant fixe.

Famille Isolé

Montant fixe 212 € 55 €

% du salaire 0,7% 0,2%

La différence entre les deux catégories est particulièrement marquée pour cette

population.Dans la pratique la cotisation est souvent déterminée en % du salaire. Nous

constatons que la cotisation isolé est égale à 30% de la cotisation famille. Dans la suite

cette proportion sera notée 𝛼. En accord avec la législation, l’entreprise et les salariés

régleront chacun la moitié de cette cotisation soit un montant de 8,8 € et de 2,3 € par mois

respectivement pour ceux ayant la cotisation famille et isolée. Pour information, la cotisation

appelée pour couvrir le panier minimim est comprise en 9 et 12 € par salarié et par mois.

Dans la pratique et pour assurer une certaine solidarité, il est souvent observé que la

cotisation famille ne dépasse pas 200% de la cotisation isolé. En respectant cette condition,

le tarif proposé serait de 7,9 € et 3,9 € par mois et par salarié.


4. Cotisation en cas de maintien pour les

retraités

4.1 PRESENTATION DU PROBLEME

Nous nous plaçons dans le cas où la société souhaite garantir à ses salariés le

versement de 50% de leur cotisation même après leur départ à la retraite. Pour cela, il nous

faut déterminer les prestations des salariés jusqu’à leur mort. Les prestations ne sont dues

que dans le cas où le salarié reste au sein de l’entreprise jusqu’à son départ à la retraite et

tant que celui-ci reste en vie (nous excluront le cas d’une réversion de cet engagement).

Pour déterminer la valeur actuelle probable des prestations futures, nous allons devoir faire

un certain nombre d’hypothèses actuarielles. Nous allons utiliser les mêmes hypothèses

que celles qui seront utilisées pour le provisionnement plus tard, et donc les choisir en

conformité avec la norme IAS 19 révisée.

4.2 DETERMINATION DES HYPOTHESES DEMOGRAPHIQUES

4.2.1 Table de turn-over

Pour déterminer la provision, nous devons déterminer des taux de sorties (Turn-

Over). Les hypothèses retenues sont disponibles dans les annexes. Nous avons retenu une

courbe décroissante avec l’âge avec des taux nuls pour les salariés de plus de 55 ans

comme le recommande les principaux cabinets d’audit dans le cadre du provisionnement

IAS 19.

De plus les taux sont légèrement supérieurs pour les cadres en accord avec les taux

observés dans la pratique. Considérons un salarié d’âge x, de catégorie socio-

professionnelle CSP. En notant 𝑡𝑥𝐶𝑆𝑃 la probabilité de sortie d’un individu d’âge x, la

probabilité de présence pendant k années du salarié est donné par :

𝑝𝑥𝑘 = ∏(1 − 𝑡𝑥+𝑖

𝐶𝑆𝑃 )

𝑘

𝑖=0

On remarque que

{∀ 𝑥 > 54 ∀𝑘 > 0 ; 𝑝𝑥

𝑘 = 1

∀𝑥 ∀𝑘 > 𝑥𝑟𝑒𝑡 − 𝑥 ; 𝑝𝑥𝑘 = 1


4.2.2 Les tables de mortalité

La deuxième hypothèse démographique est la mortalité. Afin de déterminer la mortalité

des individus, nous utilisons des tables de mortalité. Il y a deux types de tables de

mortalité :

- Les tables du moment sont des tables élaborées à partir d’une population fictive

englobant une zone. On fixe généralement arbitrairement le nombre d’individus à

𝐿0 = 100 000, ensuite on détermine le pourcentage de décès par âge x pendant

l’année sur la population, noté 𝑞𝑥, il est ainsi possible de déterminer les quantités

suivantes :

𝐿𝑥 = 𝐿𝑥−1 × (1 − 𝑞𝑥−1) la population d’âge x-1.

𝑄𝑥 = 𝐿𝑥 × 𝑞𝑥 le nombre de décès d’âge x.

𝑝𝑥 = (1 − 𝑞𝑥) la probabilité de survie des individus d’âge x.

𝑘𝑝𝑥 =𝐿𝑥+𝑘

𝐿𝑥 la probabilité de survie pendant k années d’un individu

d’âge x.

𝐸𝑥 = ∑ 𝑡𝑝𝑥𝜔𝑡=1 l’espérance de vie d’un individu d’âge x.

Une table de mortalité se présente usuellement de la façon suivante10 :

Sexe masculine Sexe féminin

Age x L(x) Q(x, x+1) E(x) L(x) Q(x, x+1) E(x)

0 100 000 420 76,91 100 000 331 83,99

1 99 580 36 76,24 99 669 30 83,26

2 99 544 23 75,26 99 639 17 82,29

….

- Les tables générationnelles (ou prospectives) sont des tables élaborées en

observant les niveaux réels de mortalité par génération. Une table générationnelle

est en fait composée de plusieurs tables (une par génération). Ainsi la table TGH/F

05 est composée d’autant de tables qu’il y a d’années entre 1900 et 2005).

L’élaboration d’une table générationnelle est plus longue, il faut en théorie attendre

que toute une génération soit décédée avant de l’établir11.

Dans les deux cas, les tables font généralement une distinction par sexe. Pour

l’évaluation des engagements IAS 19, la position des principaux cabinets d’audit (que nous

10

La table présentée ici est la table Insee 2006. 11

Ainsi la table TGH/F 05 concerne les générations nées entre 1900 et 2005


reprendrons dans ce mémoire) est de ne prendre en compte que les tables

générationnelles, une sensibilité au choix de la table de mortalité sera présentée dans la

partie provisionnement de ce mémoire.

4.2.3 Construction d’une courbe de taux d’actualisation.

Dans cette partie nous allons déterminer une courbe de taux d’actualisation

équivalent AA fonction de la duration des régimes évalués par bootstrap sur les obligations,

a. Collecte des données

Pour commencer nous allons obtenir les taux de références. Il est généralement

admis que la norme IAS 19 Révisée impose de retenir les taux Corporate AA de la zone

considérée. En Europe, il est ainsi possible de recueillir les obligations de l’indice Iboxx

Corporate AA via des plates-formes spécialisées (Markit, Merril Lynch, Bloomberg…).

Nous excluront ainsi les obligations avec les caractéristiques suivantes : callables,

putables et sinkables. La raison sous-jacente est que les options sur obligations ont par

définition une maturité variable liée à l’exercice de l’option. Nous ne retenons donc que les

obligations ayant une maturité certaine.

Pour chaque obligation, nous disposons des données suivantes :

La maturité de l’obligation (i, e. la durée avant le paiement du coupon) notée : T.

Le nominal de l’obligation noté N.

Le taux d’intérêt nominal noté i.

Une obligation de paramètres (N,T,i) délivre un coupon obligataire d’un montant égal à

𝑖 × 𝑁 à chaque anniversaire de souscription et (1 + 𝑖) × 𝑁 à la date T. Les obligations étant

cotées sur le marché obligataire, il est possible de connaître le prix actuel de l’obligation

(P), nous pouvons alors déterminer le rendement à l’échéance de l’obligation. Notons �� ce

rendement, il est solution de l’équation :

𝑃 = ∑𝑖 × 𝑁

(1 + �� )𝑡+

𝑇

𝑡=1

𝑁

(1 + �� )𝑡

Il n’existe pas d’expression analytique du rendement, celui-ci est déterminé par des

méthodes de résolutions itératives. �� est un rendement discret, nous souhaitons obtenir le

rendement à la maturité sous sa forme continue R. R est solution de l’équation suivante :


(1 + �� )𝑇 = 𝑒𝑅𝑇

On peut donc écrire 𝑅 = ln (1 + �� ) le rendement à l’échéance de l’obligation.

b. Création d’une courbe de taux spot par régression linéaire

Nous allons ensuite établir un lien direct entre le rendement (R) des obligations AA

et leurs maturités (T) via la formule :

𝑅𝑇 = 𝑎4𝑇4 + 𝑎3𝑇

3 + 𝑎2𝑇2 + 𝑎1𝑇 + 𝑏

Les coefficients 𝑎𝑘 de l’équation sont déterminés par régression linéaire sur les

rendements et les maturités (en temps continu) de chaque obligation de l’univers. Le

principe de cette méthode est de minimiser la distance entre la courbe de taux et les

rendements des obligations de l’univers des obligations non-risquées. Afin d’améliorer la

précision de notre modèle, nous allons exclure les obligations dont l’écart entre la vraie

valeur et la valeur estimée par ce modèle (le résidu) est supérieur à 2 fois l’écart type. Une

fois ces obligations exclues, nous faisons retourner la régression pour obtenir des

nouveaux coefficients. Nous obtenons ainsi une courbe de taux spot continus, notée

(𝑅𝑇)𝑇>0

c. Transformation en une courbe de taux zéro-coupon.

A partir de cette courbe, nous allons construire une courbe en courbes de taux zéro-

coupon via la méthode « bootstrapping »12 . Notons 𝑟𝑇 le taux zéro-coupon de maturité T.

Nous allons les construire de façon récursive.

On a de façon immédiate 𝑟0 = 0 𝑒𝑡 𝑟1 = 𝑒𝑅1 − 1.

Cas T= 2.

Créons une obligation de maturité de 2 ans, de nominal 100€, versant un coupon de

10€. Le rendement de cette action est de 𝑅2 tel que calculé ci-dessus. Nous pouvons

déterminer son prix par : 𝑃 = 10

1+𝑅2 +

110

(1+𝑅2)2.

12

cf. Options, futures et autres actifs dérivés – John Hull - pages 78-79


Echéance du

flux Montant Flux Taux ZC du flux

Valeur actuelle

du flux

1 10 𝑟1 10

1 + 𝑟1

2 110 ? 𝑃 −10

1 + 𝑟1

Le taux zéro-coupon deux ans est donc la solution de l’équation suivante :

110 = (𝑃 −10

1 + 𝑟1) × (1 + 𝑟2)

2

La même méthode s’applique ensuite pour une maturité 3 ans, puis 4 ans…

Cas général.

Nous allons d’abord introduire la notion de facteur d’actualisation 𝛽𝑇 = (1 + 𝑟𝑇)−𝑇, le

facteur d’actualisation correspond au facteur qui doit être appliqué au coupon d’échéance T

pour déterminer sa valeur actuelle.

Plaçons nous dans le cas d’une obligation cotée au pair13 de nominal 1et délivrant un

coupon d’un montant 𝑅𝑇 tous les ans pendant T années. Par absence d’opportunité

d’arbitrage, le prix d’une telle obligation est de 1. En effet, la valeur de l’obligation 𝑃𝑇 est

solution de l’équation suivante :

𝑃𝑇 = ∑𝑅𝑇

(1 + 𝑅𝑇)𝑡+

𝑇

𝑡=1

1

(1 + 𝑅𝑇)𝑇

𝑃𝑇 = 𝑅𝑇

1 + 𝑅𝑇×1 − (1 + 𝑅𝑇)

−𝑇

1 −1

1 + 𝑅𝑇

+1

(1 + 𝑅𝑇)𝑇

𝑃𝑇 = 𝑅𝑇

1 + 𝑅𝑇×1 + 𝑅𝑇𝑅𝑇

(1 − (1 + 𝑅𝑇)−𝑇) +

1

(1 + 𝑅𝑇)𝑇

𝑃𝑇 = 1 −1

(1 + 𝑅𝑇)𝑇+

1

(1 + 𝑅𝑇)𝑇= 1

Et donc les facteurs d’actualisation doivent respecter l’égalité suivante :

1 = 𝑅𝑇 × 𝛽1 + 𝑅𝑇 × 𝛽2 +⋯+ 𝑅𝑇 × 𝛽𝑇 + 1 × 𝛽𝑇

13

Le prix de l’obligation est égale à son nominal.


Soit,

𝛽𝑇 = (1− ∑ 𝑅𝑇

𝑇−1𝑖=1 ×𝛽𝑖)

1+𝑅𝑇

𝛽𝑇 = (1−

𝑅𝑇𝑅𝑇−1

∑ 𝑅𝑇−1𝑇−1𝑖=1 ×𝛽𝑖)

1+𝑅𝑇

Or si l’on considère une obligation cotée au pair d’une valeur 1 et délivrant un coupon d’un

montant 𝑅𝑇−1 tous les ans pendant T-1 années, son prix sera également de 1 et défini

comme suit :

1 = 𝑅𝑇−1 × 𝛽1 + 𝑅𝑇−1 × 𝛽2 +⋯+ 𝑅𝑇−1 × 𝛽𝑇−1 + 1 × 𝛽𝑇−1

On reconnaît donc ici ∑ 𝑅𝑇−1𝑇−1𝑖=1 × 𝛽𝑖 = (1 − 𝛽𝑇−1), et finalement l’équation suivante

indique le facteur d’actualisation de maturité T en fonction du facteur de maturité T-1.

𝛽𝑇 = 1 −

𝑅𝑇𝑅𝑇−1

(1 − 𝛽𝑇−1)

1 + 𝑅𝑇

On en extrait le taux zéro-coupon de maturité T par :

𝑟𝑇 = e−ln(𝛽𝑇)

𝑇 − 1,

4.2.4 Application

Le tableau ci-dessous récapitule les taux utilisés dans la suite de ce mémoire14 :

Duration Taux couponné continu

Par régression

Facteur d'actualisation

(Bootstrap)

Taux ZC actuariel

1 0,37% 0,996 0,37%

2 0,54% 0,989 0,54%

3 0,71% 0,979 0,71%

4 0,91% 0,964 0,92%

5 1,12% 0,945 1,13%

6 1,33% 0,923 1,35%

7 1,53% 0,897 1,56%

8 1,72% 0,870 1,76%

9 1,90% 0,841 1,95%

10 2,06% 0,810 2,13%

14

Ces taux sont donnés à titre indicatif.


4.2.5 Détermination de l’inflation médicale

L’inflation médicale doit être divisée en deux parties, un effet prix et un effet volume.

a. L’effet prix

L’effet prix correspond à la hausse des prix des biens médicaux. Ce taux est

indépendant du comportement des assurés. Pour modéliser cet indicateur nous avons

utilisé la série INSEE d’indice de consommation médicale en France, la série est

représentée dans le tableau ci-dessous.

A partir de ces données nous déterminons le coefficent moyen de l’inflation médicale

annuelle moyenne en excluant les 5 % variations plus élevées.

86

88

90

92

94

96

98

100

102

104

106

Indice consommation médicale


Au vu des données nous allons simplement retenir le taux moyen. L’effet prix sera donc

retenu égal à 0,5 % dans la suite de ce mémoire.

b. L’effet volume

L’effet volume correpond à la hausse du nombre de biens médicaux consommés,

cet effet est dû au nouvelles technologies, à l’allongement de la durée de vie et aux efforts

de prévention. Pour déterminer cet effet nous avons utiliser les données du DREES et en

nous basant sur un historique de 6 ans nous retiendrons un taux de 3,5 %.

Le taux total de l’inflation médicale retenu est donc de 4%

4.3 CALCUL DE L’ENGAGEMENT DE L’ASSUREUR

La VAPF (Valeur actuelle des prestations futures) est l’engagement de l’assureur.

Celui-ci est de régler les prestations des salariés assurés pendant qu’ils sont salariés et

après leur départ à la retraite s’ils sont encore présent au sein de l’entreprise à la date de

départ. Grace à la partie « Tarification » de ce mémoire nous sommes capables de

déterminer les prestations consommées par un individu en fonction de son âge, de son

sexe et de son statut marital jusqu’à sa mort. Ces prestations doivent être revalorisées de

l’inflation médicale. Ainsi en notant 𝑃𝑃𝑥𝑘 la prime pure demandée pour un individu d’âge x

dans k années on obtient

𝑃𝑃𝑥𝑘 = 𝑃𝑃𝑥+𝑘 × (1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒)

𝑘

Le tableau ci-dessous indique l’évolution des prestations selon l’âge (pour un homme avec

l’option famille) et en tenant compte du facteur temps.

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

Variation annuelle de l'indice


Cependant, ce montant doit être probabilisé par la probabilité de présence dans l’entreprise

et de survie du salarié à chaque année. La valeur probable de la prestation d’un ind ividu

d’âge x pendant l’année k est donnée en respectant les notations précédentes par :

𝑃𝑃𝑥𝑘 × 𝑝𝑥

𝑘 × 𝑘𝑝𝑥. Le graphique ci-dessous présente les prestations probables.

On observe bien l’effet de l’hypothèse de sortie du salarié qui vient diminuer le montant

jusqu’à 55 ans, et passé 90 ans la probabilité de décès est plus élevée que le coefficient

d’inflation médicale ce qui vient également diminuer le montant.

0

100

200

300

400

500

600

700

80040

43

46

49

52

55

58

61

64

67

70

73

76

79

82

85

88

91

94

97

100

Prestations en fonction de l'âge

0

100

200

300

400

500

600

700

800

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80

84

88

92

96

100

Prestations en fonction de l'âge

Prestation

Presta Probable


Il ne nous reste plus qu’à déterminer la valeur actuelle probable de la prestation, pour cela

nous allons utiliser la courbe déterminée au paragraphe 6.3.2, ainsi la valeur actuelle

probable des prestations consommées par l’individu x en l’année k est de :

𝑘𝑝𝑥 × 𝑃𝑃𝑥+𝑘 × (1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒)𝑘 × 𝑝𝑥

𝑘 × (1 + 𝑟𝑘)−𝑘

Le graphique ci-dessous récapitule les trois montants ci-dessus.

On obtient ainsi la valeur actuelle probable des prestations futures d’un individu i d’âge x

par

𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖 = ∑ 𝑘𝑝𝑥 . 𝑃𝑃𝑥+𝑘 . (1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒)𝑘 . 𝑝𝑥

𝑘 . (1 + 𝑟𝑘)−𝑘

103−𝑥

𝑘=0

L’engagement total de l’assureur est donc égal à 𝑉𝐴𝑃𝐹𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 = ∑ 𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖𝑖∈𝐼

4.4 CALCUL DE L’ENGAGEMENT DE L’ENTREPRISE ET DES SALARIES

En échange de cette couverture, l’assureur va demander à l’employeur et aux

salariés de lui payer des cotisations. Dans la suite nous allons partir du principe que les

parties concernées se sont mises d’accord pour déterminer un montant de cotisation

aujourd’hui et qui sera réévalué tous les ans de l’inflation médicale.

Nous noterons C la cotisation demandée pour l’année 0 pour un salarié ayant choisi la

formule famille, pour une personne isolée ce montant est de (1 − 𝛼)𝐶. De la même façon

que pour l’engagement de l’assureur, nous allons déterminer l’engagement des salariés et

de l’employeur. Ceux-ci se sont engagés à payer les cotisations tant que le salarié est

0

100

200

300

400

500

600

700

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Valeur actuelle probable des prestations

Prestation

Presta Probable

Valeur actuelleProbable


présent dans l’entreprise, puis lors de sa retraite s’il reste dans l’entreprise jusque-là. Pour

respecter les contraintes d’un contrat responsable et solidaire on impose les conditions

suivantes :

Il n’y a que deux cotisations différentes en période d’activité du salarié, une isolée et

une pour famille

Lors du passage à la retraite la cotisation totale n’augmente que de 50 %

L’employeur va prendre en charge 50% de la cotisation

Ainsi pour un individu i, l’engagement de l’employeur vis-à-vis de l’assureur est égal à la

valeur actuelle des cotisations futures (en respectant les notations précédentes)

𝑉𝐴𝐶𝐹𝑖 = ∑(1 − 𝛼. 𝛿𝑖)𝐶

2.𝑘 𝑝𝑥 . (1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒)

𝑘 . 𝑝𝑥𝑘 . (1 + 𝑟𝑘)

−𝑘

𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥

𝑘=0

+ ∑1,5. (1 − 𝛼. 𝛿𝑖)𝐶

2.𝑘 𝑝𝑥 . (1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒)

𝑘 . (1 + 𝑟𝑘)−𝑘

103−𝑥𝑟𝑒𝑡

𝑘=𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥+1

Avec 𝛿𝑖 = 1 si le salarié i a choisi l’option famille et 0 sinon.

Nous avons choisi de supposer que les individus gardent le forfait famille après leur retraite,

car ces régimes étant particulièrement rares et intéressants pour les retraités, il apparait

probable que les salariés préféreront continuer à couvrir leur conjoint.

Et donc pour l’ensemble de ses salariés, l’engagement de l’entreprise est égal à la somme

des valeurs actuelles des cotisations futures de tous les salariés.

𝑉𝐴𝐶𝐹𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑦𝑒𝑢𝑟 = ∑ 𝑉𝐴𝐶𝐹𝑖𝑖 ∈𝐽 .

4.5 DETERMINATION DE LA COTISATION

Le montant de la cotisation C est déterminé en respectant le principe d’égalité des

engagements entre les parties. Et donc C est solution de l’équation :

𝑉𝐴𝑃𝐹𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒𝑢𝑟 = 2 𝑉𝐴𝐶𝐹𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑦𝑒𝑢𝑟


En résolvant cette équation sur notre population, nous obtenons les résultats suivants :

Intitulé Montant €

VAPF Prestations 1 844 822

VAPF Cotisations 5 342

C famille 345

C isolé 100

Ces montants correspondent à une cotisation mensuelle de 14 € et 4 €. Pour rappel, dans

le cas où il n’y avait pas de maintien pour les retraités et où les cotisations ne servaient qu’à

couvrir les prestations pour l’année, on avait des cotisations de 8,8 € et 2,3 €. Nous allons

maintenant déterminer la cotisation dans le cas où la formule famille ne peut pas être plus

de deux fois plus chère que la formule isolée, cela revient à faire le même calcul en prenant

𝛼 égal à 50% et les résultats sont de 11,2 € et 5,6 € contre 7,9€ et 3,9€ auparavant La

différence de tarif représente la part servant à financer le régime pour les retraités.


5. Provisionnement par l’entreprise

Dans cette partie nous nous intéresserons aux cotisations nécessaires pour obtenir une

protection globale, une approche similaire à celle développée ci-dessus devra être menée

sur l’ensemble des garanties. Nous avons déterminé les montants ci-dessous15 par collecte

d’information :

Famille Isolé

Part mensuelle retraité 90 45

Part mensuelle actif 60 30

Ces montants, bien qu’indicatifs, montrent bien l’ordre de grandeur des cotisations

demandées dans ce type de régime. On remarque immédiatement que les montants sont

très sensiblement inférieurs à ceux demandés pour des retraités (de plus de 70%

moindres). Cela s’explique bien entendu par la prise en charge par l’employeur de 50% du

montant ainsi que par les « réserves » constituées sur les cotisations précédentes.

Nous nous intéressons ici à la prise en charge des cotisations des salariés une fois que

ceux-ci ont atteint l’âge de départ à la retraite. En effet les cotisations payées par

l’employeur sont vues comme une partie de la rémunération et ne nécessitent pas

d’évaluation. En théorie la différence de tarif entre le cas avec maintien et le cas sans

mantien pendant la période d’activité doit également être provisionnée. Cependant, en

pratique cette distinction n’est pas faite et nous la ferons pas non plus dans la suite de ce

mémoire.L’engagement de l’employeur est donc de verser une rente égale à la partie prise

en charge par l’employeur jusqu’à la mort du salarié à partir de son départ à la retraite.

Cette rente sera versée à condition que le salarié reste dans l’entreprise jusqu’à la fin de sa

carrière. Cet engagement envers les salariés doit être provisionné par l’entreprise selon la

norme IAS 19 Révisée16.

5.1 NORME IAS 19 R

La norme IAS 19 Révisée fait partie des normes élaborées par l’IASB (International Accounting

Standards Board), les normes émises ont pour objectif d’uniformiser les états comptables des

15

Chiffres indicatifs 16

Nous nous plaçons ici dans le référentiel comptable international.


entreprises sur une échelle internationale. Ces normes sont applicables officiellement en Europe

depuis 2002.

La norme IAS 19R est la norme s’appliquant à la comptabilisation des avantages du

personnel, la norme donne cette définition des avantages du personnel : « Toute forme de

contrepartie donnée par une entité au titre des services rendus par son personnel ». Les avantages

qui sont basés sur le cours d’une action ne sont pas traités dans IAS 19 R mais sont traités dans

IFRS 2. Les avantages du personnel concernés par IAS 19R sont réunis selon les catégories

suivantes :

Les indemnités de fin de contrat de travail (Termination Benefits), il s’agit des sommes

perçues par le salarié en raison de la rupture du contrat de travail avant la date de départ en

retraite, que ce départ soit à l’initiative de l’entreprise ou du salarié.

Les avantages à court terme (short term benefits) correspondent aux avantages obtenus

dans les 12 mois qui suivent l’acquisition des droits nécessaires à l’obtention de l’avantage.

Ex : Congés payés, congés maladie, salaires, primes, avantages en nature…

Les avantages postérieurs à l’emploi (post-employment benefits), correspondent aux

avantages perçus après la période d’activité.

Ex : Régime de retraite, mutuelle post-emploi, indemnités de fin de carrière…

Les autres avantages à long-terme (other long-term benefits), cette catégorie regroupe les

avantages qui ne’entrent pas dans une des catégories ci-dessus.

Ex : Congés liées à l’ancienneté, gratifications pour ancienneté, primes…

Les régimes de frais de santé pour les salariés en activité appartiennent à la catégorie des

avantages court-terme alors qu’ils intègrent la catégorie des avantages postérieurs à

l’emploi pour les ex-salariés retraités et bénéficiant de leur mutuelle. On distingue au sein

des régimes post-emploi les régimes à cotisations définies ou les régimes à prestations

définies.

5.1.1 Régimes à cotisations définies

Dans le cadre d’un régime à cotisations définies, l’entreprise s’engage à verser un

montant donné à l’organisme chargé de s’occuper du régime mis en place en contrepartie

des services rendus par les adhérents du régime à l’entreprise. Les prestations seront donc

financées par les sommes versées par l’entreprise (et les adhérents le cas échéant).

L’entreprise n’est engagée que sur les montants prédéfinis, autrement dit son

exposition est limitée et elle n’est pas redevable de l’équilibre du régime dont la gestion est

à la seule charge de l’organisme gestionnaire. L’entreprise n’est donc engagée que sur une

obligation de moyen.


La norme IAS 19R impose une comptabilisation directe de ces engagements, et n’apparaît

dans les états financiers que les montants versés pour l’exercice. Ces régimes sont évalués

sans aucun recours à des hypothèses actuarielles, le risque actuariel ne repose que sur

l’organisme gestionnaire.

5.1.2 Régimes à prestations définies

Dans le cadre d’un régime à prestations définies, l’entreprise s’engage à assurer

une prestation à chaque bénéficiaire du régime. Dans ce cas, l’engagement de l’entreprise

dépend d‘un certain nombre d’hypothèses actuarielles et il apparaît donc un risque actuariel

pour l’entreprise. Le risque actuariel est défini comme le risque que les cotisations

demandées par l’organisme gestionnaire pour faire face aux prestations soient plus élevées

que prévues. L’entreprise est donc tenue par une obligation de résultat.

Ces régimes sont les seuls nécessitant une évaluation actuarielle, la suite de la

présentation d’IAS 19 R se concentrera uniquement sur ces régimes. De plus, nous nous

intéresserons plus tard à un régime de complémentaire santé pour les retraités entrant

dans cette catégorie.

5.2 METHODE D’EVALUATION

5.2.1 Détermination de la valeur de l’engagement

Avant de comptabiliser l’engagement, il convient de déterminer la valeur de cet

engagement. En rappelant que nous nous sommes placés dans le cas d’un régime à

prestations définies, l’entreprise doit déterminer pour chaque individu la valeur actuelle

probable des prestations futures (VAPF).

Plaçons-nous en l’instant t = 0 (moment de l’évaluation de l’engagement) pour

l’individu 𝒊 ∈ 𝑰, avec I l’ensemble des adhérents au régime. L’entreprise s’est engagée à

verser un montant 𝐹𝑖𝑡 à l’instant t>0 à l’individu i (dans la suite nous parlerons

indifféremment de flux). Cependant il n’est pas sûr que le salarié reçoive le flux à la date t, il

faut donc probabiliser ce montant par la probabilité que la personne ait le droit à la

prestation en t (condition de présence dans l’entreprise jusqu’au départ à la retraite par

exemple) et la probabilité que la personne demande cette prestation (probabilité de décès

et probabilité de demande).


Notons donc 𝑃𝑖𝑡,𝑡𝑜 la probabilité vue de t0 que l’individu i reçoive la prestation en t. Il

ne nous reste plus qu’à l’actualiser pour obtenir la VAPF. En effet, la valeur de

l’engagement en t n’est pas la même qu’en t0, il nous faut donc appliquer un taux

d’actualisation que nous appellerons indifféremment r ou 𝑟𝑡.

Ainsi la VAPF de notre individu pour la prestation versée en t et vu en t=0 est déterminée

par l’équation ci-dessous :

𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖𝑡,𝑡0 = 𝑃𝑖

𝑡,𝑡0 × 𝐹𝑖𝑖 × (1 + 𝑟𝑡)

𝑡0−𝑡

Par la suite nous supposerons pour faciliter les notations que t0 = 0.

Il ne nous reste plus qu’à déterminer la VAPF totale de l’individu qui est égale à la somme

des VAPF pour l’ensemble des années à venir.

𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖 = ∑ ∑ 𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖𝑡

𝑡>𝐷𝑎𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑖𝑡𝑒

La VAPF représente donc la somme des engagements futurs de l’entreprise envers son

salarié. Ce n’est pas ce montant qui est reconnu au bilan de l’entreprise mais la valeur

actuelle de l’obligation (DBO)

5.2.2 Détermination de la DBO

La norme IAS 19R ne reconnaît qu’une seule méthode de détermination de la DBO,

il s’agit de la méthode des unités de crédit projetés ou Projected Unit Credit Method

(PUC). L’engagement est basé sur les droits accumulés à la date d’évaluation et doit

augmenter au fur et à mesure que les participants accumulent des droits (le plus souvent

avec l’ancienneté) , la méthode précise que chaque période de service doit donner droit à

une unité supplémentaire de droits à prestations, cette unité supplémentaire engendre une

hausse de l’engagement à chaque période, c’est le coût des services.

Il vient donc naturellement la formule de détermination de la DBO pour l’individu

i relative à la prestation due en t :

𝐷𝐵𝑂𝑖𝑡,𝑡0 = 𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖

𝑡,𝑡0 ×𝑎𝑛𝑐𝑖

𝑡0

𝑎𝑛𝑐𝑖𝑇

Avec : 𝑎𝑛𝑐𝑖𝑡0 L’ancienneté actuelle du salarié i


𝑎𝑛𝑐𝑖𝑇 L’ancienneté au départ à la retraite du salarié.

Ensuite à l’instar de ce qui a été fait pour la VAPF, il suffit de sommer les DBO pour obtenir

la DBO finale pour le salarié i :

𝐷𝐵𝑂𝑖 = ∑𝐷𝐵𝑂𝑖𝑡

5.2.3 Détermination de la charge (produit)

L’entreprise doit évaluer en début d’année la charge comptable attendue

a. Le normal cost (NC)

Le normal cost correspond au coût des services rendus par le salarié au cours de

l’année, i.e. il représente la valeur des droits acquis par le salarié par sa présence une

année supplémentaire dans l’entreprise. Il se détermine selon les équations suivantes :

𝑁𝐶𝑖 = 𝐷𝐵𝑂𝑖𝑎𝑛𝑐𝑡0

=𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖𝑎𝑛𝑐𝑇

× (1 + 𝑟)

b. L’interest cost (IC)

L’interest cost représente le coût financier de l’augmentation de l’engagement. L’IC

se calcule selon la formule suivante :

𝐼𝐶𝑖 = (𝐷𝐵𝑂𝑖 −𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

2) × 𝑟

Cette formule correspond à l’hypothèse que les prestations soient versées en milieu de

l’année, il s’agit de l’hypothèse le plus souvent retenue dans la pratique.

c. Estimation de l’engagement et écarts actuariels sur la DBO

Une fois ces trois quantités déterminées pour chaque individu, nous les sommons

pour obtenir la DBO totale de l’entreprise pour l’année t0, notée𝐷𝐵𝑂𝑡0, de même nous

déterminons un IC et un NC pour l’entreprise. Il est alors possible d’estimer l’engagement

de l’entreprise pour la fin de l’année N+1 :

𝐷𝐵𝑂𝑁+1 = 𝐷𝐵𝑂𝑁 +𝑁𝐶𝑁+1 + 𝐼𝐶𝑁+1 − 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑁+1


Il sera donc possible en fin d’année N+1 de comparer l’engagement estimé avec

l’engagement évalué. Cet écart est appelé écart actuariel sur la DBO et est séparé en

deux parties :

Tout d’abord les écarts d’expérience qui correspondent aux écarts nés de la

différence entre les hypothèses actuarielles fixées en début d’exercice et de

l’évolution effective de l’entreprise (Ex : Mortalité plus/moins élevée, hausse des

salaires plus élevée que prévu…)

Viennent ensuite les écarts d’hypothèses qui naissent du réajustement de

certaines hypothèses actuarielles (Ex : Allongement de la durée de cotisation,

évolution des taux d’actualisation etc…)

Les écarts actuariels (on parle de gains actuariels ou de pertes actuarielles) sont

comptabilisés directement en capitaux propres et n’apparaissent pas dans le compte de

résultat pour les régimes postérieurs à l’emploi.

d. Actif de couverture

Dans le cas où un actif de couverture existe, la juste de valeur de ce fonds vient

réduire la provision du régime. Ainsi des gains/pertes actuariels peuvent naître de la

différence entre le rendement attendu de l’actif (la norme IAS 19 impose un taux de

rendement attendu égal au taux d’actualisation) et le rendement réel de l’actif. Dans la suite

de ce mémoire, nous ne traiterons pas la présence d’un actif de couverture.

e. Conclusion

En conclusion, nous retiendrons que l’entreprise doit avoir en provision le montant

de la DBO (moins la juste valeur d’un éventuel actif de couverture) et passe en charge 𝐼𝐶 +

𝑁𝐶 + 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑃𝑎𝑦é𝑒𝑠 ± 𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑟𝑖𝑒𝑙𝑠. La DBO est donc constituée par la somme

des charges payées par l’entreprise depuis l’arrivée du salarié dans l’entreprise. On

observera qu’à la date de paiement de la prestation ou de départ du salarié on doit avoir

égalité entre la DBO et la VAPF.

Nous nous intéresserons donc tout particulièrement à ces indicateurs dans la partie

consacrée au choix du régime.

5.3 LES HYPOTHESES ACTUARIELLES


Nous l’avons vu, pour déterminer les montants ci-dessus nous sommes obligés de

faire un certain nombre d’hypothèses. Les principes généraux s’appliquant à cette norme

sont les suivants :

Les hypothèses doivent être non-biaisées (ni imprudentes ni trop conservatrices),

elles doivent être mutuellement compatibles (par exemple elles doivent refléter les

interactions économiques entre l’inflation et les augmentations de salaires), elles doivent

être basées sur des références de marché et tenir compte de la durée et de la devise des

engagements.

Elles doivent également représenter la meilleure estimation du management, être

cohérentes d’un régime à l’autre et enfin les hypothèses actuarielles doivent être établies

sur le long terme.

Nous allons ici les lister rapidement, en opérant une distinction entre les hypothèses

financières et démographiques. Dans la partie pratique de ce mémoire nous montrerons

comment les déterminer.

5.3.1 Les hypothèses financières

a. Le taux d’actualisation

La première hypothèse financière est le taux d’actualisation. Ce taux a un impact

significatif sur l’engagement d’un régime IAS 19. La norme (§ 78) précise que le taux

d’actualisation doit correspondre au rendement des obligations de « haute qualité » et doit

être fonction de la date de clôture, de la duration de l’engagement évalué et enfin de la

devise du plan.

Dans la pratique, on retient généralement les obligations d’entreprises ayant reçues une

des deux meilleures notations (AA ou AAA) par une agence de notation ou en l’absence de

telles entreprises dans le pays les emprunts d’Etat servent de référence.

b. Les autres hypothèses financières

L’autre hypothèse financière de marché est l’inflation, afin de déterminer les flux futurs,

il est nécessaire d’avoir une estimation de l’inflation. Par exemple dans le cadre des frais de

santé on parlera d’inflation médicale.


Enfin les taux de revalorisation des salaires (ou des pensions) qui vont être

appliqués par l’entreprise dans le futur doivent également être déterminés. Ces taux doivent

être cohérents avec l’inflation.


5.3.2 Les hypothèses démographiques

a. Les taux de rotation

La première hypothèse démographique est la présence ou non du salarié dans

l’entreprise à un moment donné, on parle de taux de rotation (ou Turn-Over). Ce taux doit

faire l’objet d’une étude sur l’historique de l’entreprise. Il est communément admis que les

taux de rotations ne doivent refléter que les départs volontaires de l’entreprise (pas les

licenciements ni les ruptures conventionnelles). Dans la pratique les tables obtenues sont

fortement décroissantes avec l’âge du salarié, on peut également opérer une distinction

selon la catégorie socio-professionnelle, le sexel etc…

b. Les âges de départ à la retraite

Pour faire une évaluation actuarielle des engagements, il nous faut également estimer

l’âge de départ à la retraite de nos salariés. Ce critère est généralement difficile à calibrer

tant il dépend de la situation de chaque individu et des changements législatifs. En absence

d’études statistiques au sein de l’entreprise à ce sujet, il est conseillé de retenir l’âge

d’attribution du taux plein de la Sécurité Sociale.

Selon les régimes et les données disponibles, on peut également être amené à faire des

hypothèses sur la proportion de personnes mariées, sur le nombre d’enfants par individu

etc…

5.4 DURATION

Une des caractéristiques principales est la duration du régime. La duration est définie

comme la durée de vie moyenne des flux actualisés. Dans le cadre des engagements

sociaux, la duration sert principalement à déterminer le taux d’actualisation et à choisir la

maturité d’un actif de couverture couvrant l’engagement.

Nous allons d’abord déterminer la notion de taux d’actualisation équivalent du régime.

Notons 𝑟𝑒𝑞 le taux d’actualisation équivalent du régime, défini par :

𝐷𝐵𝑂𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒 =∑𝐷𝐵𝑂𝑖,𝑡(1+ 𝑟𝑒𝑞)𝑡0−𝑡

(1 + 𝑟𝑡)−(𝑡0−𝑡)

𝑖,𝑡


Il s’agit donc du taux d’actualisation qu’il faut appliquer à chaque flux pour conserver la

valeur de la DBO globale du régime.

A l’instant t0, l’entreprise doit prendre en compte la valeur probable de la prestation

multipliée par le facteur d’ancienneté, et donc la duration du régime (D) est déterminée par :

𝐷 =

∑ 𝑃𝑖𝑡,𝑡0 × 𝐹𝑖

𝑖 ×𝑎𝑛𝑐𝑖

𝑡0

𝑎𝑛𝑐𝑖𝑇 × (1 + 𝑟𝑒𝑞)

𝑡0−𝑡× (𝑡 − 𝑡0)𝑖,𝑡

∑ 𝑃𝑖𝑡,𝑡0 × 𝐹𝑖

𝑖 ×𝑎𝑛𝑐𝑖

𝑡0

𝑎𝑛𝑐𝑖𝑇 × (1 + 𝑟𝑒𝑞)

𝑡0−𝑡𝑖,𝑡

On reconnait la DBO au numérateur, ce qui nous permet d’écrire l’égalité suivante :

𝐷 = 𝑑 𝐷𝐵𝑂

𝑑𝑟𝑒𝑞× −

1+𝑟𝑒𝑞

𝐷𝐵𝑂 =

𝑑 𝐷𝐵𝑂

𝐷𝐵𝑂× −

𝑑𝑟𝑒𝑞

1+𝑟𝑒𝑞

La duration peut donc être considérée comme l’élasticité de la valeur de l’engagement au

taux d’actualisation, on déduit de la formule suivante cette expression de la duration :

𝐷 = −𝑑 ln (𝐷𝐵𝑂𝑟𝑒𝑞)

𝑑𝑙𝑛(1 + 𝑟𝑒𝑞)

Cette dernière formulation va nous permettre de déterminer la duration de façon simple.

Soit ε > 0 , D ≈ln (𝐷𝐵𝑟𝑒𝑞) − ln(𝐷𝐵𝑂𝑟𝑒𝑠+𝜀 )

ln(1 + 𝑟𝑒𝑞 + 휀) − ln(1 + 𝑟𝑒𝑞)=

ln (𝐷𝐵𝑟𝑒𝑞) / ln(𝐷𝐵𝑂𝑟𝑒𝑠+𝜀 )

ln(1 + 𝑟𝑒𝑞 + 휀) / ln(1 + 𝑟𝑒𝑞)

Plus le paramètre ε est petit, plus l’approximation sera bonne.

5.5 FORMULATION DES MONTANTS DE PROVISIONNEMENT

Nous allons utiliser ici les notations déjà introduites dans la partie 4. La VAPF pour un

salarié est égale à l’engagement de l’employeur de régler la moitié des cotisations après le

départ à la retraite de celui-ci sous condition de présence dans l’entreprise jusqu’à son

départ à la retraite. Et donc nous obtenons la formule suivante :

𝑉𝐴𝑃𝐹𝑖 = 𝑝𝑥𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥 ×𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥 𝑝𝑥 ∑

1,5. (1 − 𝛼. 𝛿𝑖)𝐶

2.𝑘 𝑝𝑥 . (

1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑀é𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒1 + 𝑟𝑘

)𝑘∞

𝑘=𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥+1


Pour rappel 𝑝𝑥𝑥𝑟𝑒𝑡−𝑥 est la probabilité que le salarié ne quitte pas son poste avant l’âge de

retraite. Nous en déduisons ensuite la DBO, le Normal Cost et le Service Cost comme

déterminé ci-dessus.


5.6 RESULTATS

5.6.1 Présentation des données

Afin de pouvoir étudier l’impact de la mise en place d’un tel plan, nous allons faire

une application sur une population de 1000 salariés dont les caractéristiques sont

présentées ci-dessous :

Effectif 1 000,00

Age moyen 38,83

Ancienneté moyenne 15,01

% de famille 63,4%

% de femmes 26 %

Salaire moyen 2 528,25

Il s’agit d’une population majoritairement masculine, d’un âge moyen, avec des

salaires plutôt faibles et une ancienneté élevée au regard de l’âge de la population.

5.6.2 Premiers résultats

Le tableau suivant récapitule les résultats obtenu à l’aide de l’ensemble des paramètres

utilisés dans la partie 4 (inflation médicale de 4%, coube des taux de la page 54 et table de

rotation du personnel en annexe)

Résultats initiaux

VAPF 13 674 219 DBO 6 609 522

Normal Cost 381 138 Interest Cost 178 757

Ces chiffres sont très élevés au regard de la taille de l’entreprise, la DBO représente

ainsi plus de 20% de la masse salariale, et la charge annuelle correspond à 1,85% de la

masse salariale.


En considérant que l’entreprise ne s’engage qu’à assurer les mêmes services pour

ces salariés après leur départ à la retraite, nous pouvons décider que l’engagement de

l’entreprise ne sera soumis qu’à l’effet prix de l’inflation médicale. Les chiffres suivants

représentent les résultats obtenus en prenant comme inflation un taux de 0,5% au lieu de

4%(les autres hypothèses restent inchangées):

Résultats

VAPF 5 415 554 DBO 2 961 712

Normal Cost 153 521 Interest Cost 72 811

Les résultats obtenus nous indiquent une dette actuarielle de près de 3 millions

d’euros et une charge sur l’année de 226 k€. A l’instauration du régime, l’entreprise doit

comptabiliser l’ensemble de la dette actuarielle, la première année via une charge

comptable. Dans notre cas, cela correspond à 9,8 % de la masse salariale au titre de la

reconnaissance du coût des services passés et à 0,75 % au titre des services rendus au

cours de l’année (NC+IC). Il est important de noter que ces montants sont également

soumis à l’impôt sur les sociétés dans le cas où l’entreprise dégage des bénéfices. Au vu

de ces montants, il apparaît clairement que la mise en place d’un tel régime nécessite un

effort financier important et que sa mise en place ne doit venir que des négociations avec

les partenaires sociaux. Pour information, la hausse moyenne des salaires (et donc la

hausse des coûts de personnel) pour l’année 2014 est de 2%17

5.6.3 Duration et taux équivalent

Nous avons ensuite déterminé la valeur du taux équivalent, celui-ci est de 3,03 %. La

formule d’approximation de la duration avec ε = 0,2 % nous donne une duration de 14,4 ans

tandis que le calcul de la duration selon sa description renseigne une duration de 14,1 ans.

L’écart est assez minime et nous permet donc de valider la formule de l’approximation. La

courbe des taux d’actualisation nous indique que le taux de 3 % correspond à une duration

de 15 ans. Dans la suite de cette étude, un taux de 3% est retenu.

17

Source : Etude Deloitte


5.7 SENSIBILITES

Nous allons dans cette partie effectuer des sensibilités par rapport aux principales

hypothèses réalisées.

5.7.1 Sensibilité au taux d’actualisation

Le paramètre de taux d’actualisation est le plus observé, il a un impact important et

résulte des taux appliqués sur le marché. Nous allons dans les graphiques ci-dessous

présenter l’impact sur la DBO (qui est dans notre cas la charge de l’entreprise à la mise en

place du régime) et sur la charge comptable qui devra être passée chaque année (i.e.,

NC+IC).

Le graphique ci-dessous illustre bien la sensibilité de la DBO à la valeur du taux

d’actualisation.

Le taux d’actualisation est de plus relativement volatile sur les dernières années, par

exemple le taux iboxx corporate AA 10+ souvent retenu dans les évaluations de passifs

sociaux est passé de 5% au 30/11/2011 à 1.8% à la fin aout 2014. Cet écart représente

dans notre cas une augmentation de 1.230 k€ de la DBO (passage de 2,290 k€ à 3,520

k€) soit 53% de la DBO. Un écart actuariel ayant un impact direct en capitaux propres (via

le poste OCI), une telle variation a un impact non-négligeable sur le bilan d’une entreprise.

200

250

300

350

400

450

2 000

2 500

3 000

3 500

4 000

4 500

Sensibilité de la DBO et de la charge annuelle (en k€)

DBO

NC+IC


Il faut également noter que plus la duration du régime est élevée plus la DBO est

sensible aux variations du taux d’actualisation.

5.7.2 Impact du changement d’âge de départ à la retraite

Le choix des hypothèses d’âge de départ à la retraite est un choix compliqué. Celui-

ci doit en effet dépendre de la réalité observée au sein de l’entreprise mais également des

textes législatifs. Un choix par défaut, et que nous avons fait ici, est de retenir comme

hypothèse que les salariés quittent l’entreprise lors de l’attribution du taux plein de la

sécurité sociale, le tableau suivant récapitule les âges retenus selon la catégorie socio-

professionnelle et la date de naissance.

Année de naissance Cadres Non cadres

< 1953 63 60

>1952 63,25 60

>1954 64,5 61

> 1956 64,5 61

>1960 65 61

>1963 66,25 62

> 1966 66,5 63

>1969 66,75 63

> 1972 67 63

Dans la pratique on constate que l’âge de départ est inférieur à ces âges. Une

diminution de l’âge de départ à la retraite entraîne une hausse de l’engagement de par le

fait qu’une annuité de plus devra être versée au retraité sans service en retour et à

également un impact sur la DBO, dont le rapport d’ancienneté est supérieur. Le tableau ci-

dessous récapitule les impacts de baisse de l’âge de départ à la retraite pour notre

population :

VAPF DBO Charge Impact DBO

Initial 5 415 554 2 961 712 226 333

- 1an 5 710 488 3 197 810 241 017 6,5%

- 2an 6 004 438 3 441 976 256 121 13,2%


5.7.3 Sensibilité au taux de turn-over.

Nous allons dans ce paragraphe déterminer la sensibilité de la valeur de

l’engagement et de la charge du régime par rapport à l’hypothèse de taux de sortie des

salariés. Nous allons dans un premier temps étudier l’impact de la baisse et de la hausse

des taux pour tous les âges. Le graphique ci-dessous récapitule les impacts observés.

VAPF DBO Charge DBO / Initial Charge / Initial

-3% 6 651 541 3 367 831 310 662 13,7% 37,3%

-2% 6 287 588 3 264 762 295 664 10,2% 30,6%

-1% 5 959 925 3 168 272 281 985 7,0% 24,6%

Initial 5 415 554 2 961 712 226 333 0,0% 0,0%

1% 4 591 009 2 592 691 219 458 -12,5% -3,0%

2% 3 914 440 2 278 631 187 860 -23,1% -17,0%

3% 3 356 203 2 010 300 161 565 -32,1% -28,6%

Les impacts ci-dessus ne sont symétriques car dans le cas de la baisse nous avons

minimisé les taux à 0.

Une pratique courante et de retenir des taux nuls après 55 ans, c’est le choix qui a

été fait dans notre cas. Le choix du taux pour ces catégories a un fort impact. Nous

présentons dans la suite l’impact de la prise en compte d’une hypothèse de taux de rotation

de 2%, et nous la comparerons à une hausse dans la même proportion pour la tranche

d’âge 20-30 ans. Le tableau ci-dessous indique les résultats obtenus :

VAPF DBO Charge DBO / Initial Charge / Initial

Initial 5 415 554 2 961 712 226 333 0,0% 0,0%

+2% 55 ans 4 661 112 2 577 755 221 905 -13,0% -2,0%

+2% 20-30 ans. 5 403 818 2 960 685 257 256 -0,03% 13,7%


5.7.4 Impact du changement de la table de mortalité

Nous avons vu dans la description des hypothèses qu’il existe des tables de

mortalité du moment et des tables générationnelles. Nous allons ici déterminer l’impact du

changement de la table de mortalité en utilisant d’abord les tables du moment de l’INSEE

puis un table générationnelle (TGHF-05) qui est la table retenue dans ce mémoire.

DBO Charge Ecart DBO Ecart Charge

Insee 02-04 2 199 848 165 642

Insee 03_05 2 221 436 167 322 1% 1%

Insee 04-06 2 248 499 169 431 1% 1%

Insee 07-09 2 293 680 172 980 2% 2%

Insee 08-10 2 305 034 173 867 0% 1%

TGHF-05 2 961 712 226 333 28% 30%

Nous observons que la table de mortalité a un impact non-négligeable sur les

montants considérés. En effet, il semble que pour les tables du moment plus la table est

récente et plus les montants sont élevés. L’effet du passage à une table générationnelle est

encore plus impressionnant.

Nous allons essayer d’expliquer ces écarts à l’aide du tableau suivant qui récapitule

la probabilité moyenne de survie jusqu’à l’âge de départ à la retraite et l’espérance de vie

moyenne à la retraite de notre population :

Espérance de vie Probabilité de survie Ecart-Espérance Ecart-Probabilité

Insee 0204 21,63 0,91

Insee 0305 21,84 0,92 1% 0%

Insee 0406 22,19 0,92 2% 0%

Insee 0709 22,62 0,92 2% 0%

Insee 0810 22,62 0,92 0% 0%

TGHF-05 29,69 0,97 31% 5%

Nous constatons ici que la raison principal de l’écart de montant entre l’utilisation de

la table générationnelle et d’une table du moment est liée à l’espérance de vie à la retraite

des salariés. En effet, la probabilité de survie jusqu’à l’âge de retraite n’a un impact que de

5%, et cet impact se répercute directement dans la DBO.

L’espérance de vie explique donc les 26% restant. Ce résultat n’est pas surprenant,

en effet les tables du moment par définition ne s’intéressent qu’à la mortalité constatée sur


leur période d’observation tandis que les tables générationnelles ont une vocation

prospective.

5.7.5 Ajout d’une hypothèse de réversion

On observe régulièrement dans les régimes d’avantages postérieurs à l’emploi une

clause de réversion envers le conjoint en cas de décès du bénéficiaire. Pour cela, nous

allons devoir faire plusieurs hypothèses :

Nous estimons que les personnes dans la situation famille ont au moins un enfant à

charge et donc qu’après le décès du bénéficiaire les cotisations seront toujours

basées sur le tarif famille, le montant de réversion sera égal à 60 % du tarif.

La réversion sera due uniquement en cas de décès après le départ en retraite.

Quand la date de naissance du conjoint n’est pas renseignée, nous estimons que la

différence d’âge entre les conjoints est de 2 ans, avec les hommes plus vieux que

les femmes.

L’instauration d’une clause de réversion va modifier la VAPF des individus appartenant

à la catégorie famille, dans la formulation de la VAPF il nous faut ajouter un terme

correspondant à la survie du conjoint et au décès du bénéficiaire, notons y l’âge du

conjoint :

𝑽𝑨𝑷𝑭𝒊 = 𝒑𝒙𝒙𝒓𝒆𝒕−𝒙 .𝒙𝒓𝒆𝒕−𝒙𝒑𝒙 ∑

𝟏,𝟓. (𝟏 − 𝜶.𝜹𝒊)𝑪

𝟐(.𝒌 𝒑𝒙 +𝟔𝟎% (𝟏−𝒌𝒑𝒙).𝒌 𝒑𝒚.𝒙𝒓𝒆𝒕−𝒙 𝒑𝒚)(

𝟏+ 𝑰𝒏𝒇𝒍𝑴é𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝟏+ 𝒓𝒌

)

𝒌∞

𝒌=𝒙𝒓𝒆𝒕−𝒙+𝟏

Il est à noter que les autres quantités se déduisent de la même façon que précédemment.

Les résultats obtenus sont les suivants :


2 961 711 226 333

3 388 257 257 605 14,4% 13,8%

L’instauration entraînerait une hausse d’environ 14,4 % de la DBO, à l’instauration

un montant de 400 k€ devra être ajouté à la provision et les charges annuelles seront

augmentées dans les mêmes proportions.


La hausse constatée sur les personnes dans le choix famille est en moyenne égale

à 15,5 %, ceux-ci étant les plus nombreux dans la base et de plus leur DBO moyenne étant

plus élevée comme vu ci-dessus, ce résultat n’est pas étonnant.

Dans les parties précédentes nous avons montré que le coût de la mise en place est

important, il parait donc peu probable d’instaurer directement une possibilité de réversion.

5.8 DIMINUTION DE L’EXPOSITION

Les résultats ci-dessus nous indiquent une charge très élevée l’année de mise en place

du régime (près de 10% de la masse salariale), nous allons dans ce paragraphe proposer

des solutions afin de diminuer cette charge et de permettre une mise en place du régime.

Dans cette partie, les impacts seront déterminés de façon cumulée.

5.8.1 Désindexation par rapport à l’inflation

La première solution est de désindexer les prestations de l’inflation. Si cette

hypothèse ne correspond pas à la réalité attendue, les régimes de maintien de la

couverture santé n’étant pas obligatoire, il est possible d’instaurer une telle clause. Un

avenant pourra être réaliser dans les années qui suivent pour réinstaurer une indexation

avec le surcout présenté ci-dessous :


Résultats Initiaux 2 961 712 226 333

Pas d'inflation 2 661 452 200 590 -10,1% -11,4%

Sous ces conditions, le montant de la DBO et donc de la charge qui devra être

passée la première année correspond à 8,5 % de la masse salariale. Un changement de

régime dans les années suivantes pour introduire une hypothèse d’inflation pourra être

effectué en échange d’une charge de 300 k€.

5.8.2 Prestation proportionnelle à l’ancienneté

Nous avons constaté que les salariés auxquels ils restent peu de temps d’activité

ont des engagements très élevés, en effet la dette estt étalée selon les années séparant la

date d’évaluation de la date de début de paiement. Ainsi pour un salarié quittant l’entreprise

à la fin de l’année, le montant de la DBO est égale à la somme actualisée des prestations

futures (16 k€), alors que le salarié n’aura cotisé que pendant une seule année. Nous

proposons ici de n’accorder le maintien qu’ à partir de 5 années d’ancienneté et que le


montant soit proportionnel à l’ancienneté entre 5 et 10 ans d’ancienneté, soit 50% de la

prime pour 5 ans, 60 % pour 6 ans ect… Le tableau ci-dessous récapitule l’impact de cette

modification du régime.



Pas d'inflation 2 661 452 200 590 -10,1% -11,4%

Proportionnelle 2 304 505 185 562 -13,4% -7,5%

La DBO ne représente plus que 7 % de la masse salariale, cependant ce montant

est encore significatif.

5.8.3 Sortie en capital

Les régimes de couverture santé pour les retraités sont assez rares en France,

cependant ils sont courants aux Etats Unis et dans le Royaume Uni. Afin de réduire leurs

engagements et leur exposition aux risques inflationnistes et de dérive de longévité les

entreprises proposent à leurs employés une sortie en capital en lieu et place des

versements annuels. En pratique, le salarié renonce au bénéfice de cotisations futures au

profit d’un capital au départ à la retraite.

L’intérêt pour l’entreprise est bien entendu de s’entendre sur un capital inférieur au

capital constitutif des rentes demandé par l’assureur. En se basant sur des pratiques

marchées dans les pays anglo-saxons nous retiendrons un capital égal à 75 % du capital

consécutif des rentes. L’intérêt pour le salarié est de disposer d’un capital certain lors de

son départ à la retraite.

La population Non-cadres est la plus susceptible d’accepter l’accord. En effet, pour

cette population la valeur du capital versé est plus importante par rapport au salaire. Nous

retiendrons un taux d’acceptation de 90 % pour cette population. Les individus ont tendance

à manifester une méfiance vis-à-vis des assureurs et malgré les récentes discussions

publiques pour sensibiliser la population aux problématiques de santé (notamment pour les

séniors) on peut s’attendre à un taux assez élevé d’acceptation pour les Cadres également.

Nous retiendrons un taux de 50 % pour cette population en raison de leur, supposée,

meilleure compréhension des problématiques d’inflation et de durée de vie.


Pour information pour un individu partant à la fin de l’année 2014, la valeur actuelle

des prestations futures, qui est égale à la somme actualisée des cotisations futures versées

par l’entreprise, est de 16 k€ pour une personne famille et de 8 k€ pour une personne

célibataire. Un montant de 13 k€, ou de 6,5 k€, sera donc proposé au nouveau retraité.

Le tableau ci-dessous récapitule les résultats obtenus en incluant une clause de sortie en

capital :



Pas d'inflation 2 661 452 200 590 -10,1% -11,4%

Proportionelle 2 304 505 185 562 -13,4% -7,5%

Sortie en capital 1 750 728 140 885 -24,0% -24,1%

Le résultat final correspond à une charge de 5,7 % de la masse salariale, suivi d’une

charge annuelle de 0,5 % tous les ans. Ces montants bien que élevés sont plus réalistes.

Nous attirons quand même l’attention sur le fait que la possibilité de sortie en capitale

permet de diminuer l’engagement de l’entreprise mais annihile les effets espérés du

maintien de la couverture médicale sur la population.

5.9 ACTIF DE COUVERTURE

Dans un tel régime, les ex-salariés sont tributaires de la future bonne santé financière

de l’entreprise qui est elle-même sensible à un risque de longévité de ses salariés. Pour

compenser ces deux effets, il est possible de déléguer le versement des cotisations à un

assureur. A cet effet, l’entreprise versera le capital consécutif d’une rente de montant égal à

la cotisation lors du départ à la retraite du salarié à l’assureur qui prendra ensuite en charge

le paiement des cotisations. Ce montage réduit la durée de l’engagement de l’entreprise

mais pas les montants en jeu et entraîne une lourde charge l’année de départ à la retra ite.


6. Conclusion

Nous avons dans ce mémoire déterminé les enjeux et le contexte des complémentaires

santés en France. Dans un contexte d’instauration d’un panier minimum de soins nous

avons cherché à déterminer le tarif correspondant à une couverture supérieure à ce panier

pour les garanties les plus courantes et les plus onéreuses (à savoir le dentaire et

l’optique).La première question portait sur le coût pour une entreprise de la mise en place

d’un tel type de régime au profit de ses salariés. Nous avons clairement montré que les

contrats solidaires et responsables permettent de diminuer sensiblement les coûts et que

les entreprises ont tout intérêt à proposer des contrats de cette catégorie à leurs salariés.

Les montants obtenus pour couvrir les prestations supérieures au panier minimum sont de

plus raisonnables pour les entreprises et pour les salariés (8 € et 4 € par mois et par

employés selon la situation familiale).

Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au cas des retraités. En

effet dans la majeure partie des cas ceux-ci perdent leur droit au régime collectif

d’entreprise entraînant ainsi des hausses significatives de la part de leur budget consacré à

la santé. Nous nous sommes attachés ensuite à déterminer les implications du maintien du

régime pour les ex-salariés partis en retraite tant pour

Le retraité lui-même, que les impacts pour les dépenses de la sécurité sociale et que pour

l’entreprise.

En déterminant les montants de provisions nécessaires afin de faire face à cet engagement

(évaluation respectant les principes de la norme IAS 19R), il apparaît que la charge lors de

la mise en place d’un tel régime est particulièrement élevée et que seules des entreprises

en très bonne santé financière pourront mettre en place de tels régimes. De plus ces

problématiques ne sont pas encore très présentes dans l’opinion et donc l’efficacité du point

du vue du dialogue social de ces plans n’est pas optimale. Pour que de tels régimes

revoient le jour en France, il faudrait des conditions fiscales et sociales plus favorable


7. Bibliographie

Hull J (2007) Options, futures et autres actifs dérivés. Pearson Education.

PERRONNIN M (2013), Effet de l’assurance complémentaire santé sur les consommations

médicales : entre risque moral et amélioration de l’accès aux soins. Thèse.

Rakotomalala R (2011).Tests de normalité, Techniques empiriques et tests statistiques.

Supports de cours, Université Lumière Lyon 2.

Masiello E (2013), Modèles linéaires généralisés, Support de cours, ISFA

Planchet F (2013), Modèles de durée : Méthodes de lissage et d’ajustement. Supports de

cours. ISFA.

Crabbé B (2011), Régression Logistique. Supports de cours. Université Paris Diderot.

IASB (2013), International Financial Reporting Standard. IFRS

Ghammarte L (2013), Impact du vieillissement sur les dépenses de santé, Mémoire

d’actuaire. ISUP.

IRDES (2013), La protection sociale complémentaire en France, Synthèse.

Ministère de l’économie et des Finances, Rapport : La protection sociale en France et en

Europe en 2011- Edition 2013.


8. Annexe

Taux de turn over utilisés :

Age Cadres Non

cadres

15 10% 8% 16 10% 8% 17 10% 8% 18 10% 8% 19 10% 8% 20 12% 10% 21 12% 10% 22 12% 10% 23 12% 10% 24 12% 10% 25 12% 10% 26 12% 10% 27 12% 10% 28 12% 10% 29 12% 10% 30 12% 10% 31 7% 5% 32 7% 5% 33 7% 5% 34 7% 5% 35 7% 5% 36 7% 5% 37 7% 5% 38 7% 5% 39 7% 5% 40 7% 5% 41 4% 4% 42 4% 4% 43 4% 4% 44 4% 4% 45 4% 4% 46 4% 4% 47 4% 4% 48 4% 4% 49 4% 4% 50 1% 1% 51 1% 1% 52 1% 1% 53 1% 1% 54 1% 1% 55 1% 1%

>55 0% 0%

Mémoire présenté le : 17/12/2014 - Frédéric PLANCHET · des frais médicaux des assurés, que...

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