Mémoire de Magister -...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA-BOUMERDES

Faculté de Science de l’Ingénieur

Mémoire de Magister

Présenté par :

DJOUABI Nourredine

En vue de l’obtention du diplôme de MAGISTER en :

Filière : Maintenance Industrielle

Option : Maintenance des Systèmes Mécaniques

TITRE DU MEMOIRE

ANALYSE DE L’ENDOMMAGEMENT DE PLAQUES

COMPOSITES EN VERRE/ EPOXY SOUMISES A LA

FATIGUE PAR CHOCS

Devant le jury composé de :

Mr NECIB Kamel Professeur EMP Président

Mr SERIDI Ahcene Professeur UMBB Encadreur

Mr ADJERID Smail Maitre de Conf.A UMBB Examinateur

Mr ARBAOUI Ahcene Maitre de Conf.B CUMO Examinateur

Année Universitaire 2011/2012

Remerciement

Tout d’abord, je remercie le Bon Dieu le Tout Puissant de m’avoir donné la volonté et

le courage pour accomplir ce travail de recherche.

Qu’il me soit permis ici de dire ma gratitude à ceux qui m’ont donné beaucoup de soin à

l’élaboration de ce modeste travail et m’ont guidé sur le bon chemin, en espérant que ce

mémoire soit le reflet de la bonne formation que j’ai reçue.

Je tiens à remercier vivement mon encadreur Monsieur SERIDI Ahcene, Professeur à

l’Université de M’Hamed Bougara de BOUMERDES, de m’avoir gracieusement fait

bénéficié, tout le long de ce travail, le soutien et l’aide qu’il n’a jamais manqué de

m’apporter, aussi pour ses conseils et ses orientations durant l’élaboration de ce travail.

Je suis profondément honoré que Monsieur NECIB Kamel, Professeur à l’EMP, ait accepté

de présider le jury de soutenance. Je lui en suis très reconnaissant.

Je souhaite exprimé ma profonde gratitude à Monsieur ADJERID Smail, Maître de

Conférences à l’Université de BOUMERDES, d’avoir accepté d’examiner ce modeste travail.

Que Monsieur LABAOUI Ahcene, Maître de Conférences à CUMO, trouve ici l’expression de

mes sincères remerciements pour l’intérêt qu’il a voulu porter à ce travail en acceptant de

l’examiner.

En fin, Je tiens à remercier tous ceux qui, de près ou de loin, m’ont soutenu et aidé à réaliser

ce travail.

ملخص:

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Résumé :

Ce travail a pour objectif de contribuer à analyser le comportement mécanique d’un

matériau stratifié sous chargement par impacts dynamiques. Le composite étudié

verre/époxyde à été soumis a divers sollicitations mécaniques à savoir la fatigue par chocs

répétés et la flexion statique. Des résultats expérimentaux dans la littérature sont analysés

pour déterminer les paramètres qui décrivent la chute de rigidité de matériau lors d’un essai de

fatigue par chocs.

La détermination de paramètres d’endommagement se fait à l’aide des résultats obtenus par la

simulation numérique en utilisant le code de calcul ABAQUS.

Dans le cas d’un chargement de fatigue à déplacement imposé, une analyse relative à

l’évolution de l’endommagement en fonction de la charge appliquée lors d’un essai de flexion

du matériau sain et endommagé est présentée avec interprétation des résultats.

Mots-clés :

Matériaux composites, Stratifié, Endommagement, Fatigue, Choc.

Abstract:

This work aims to help analyze the mechanical behavior of laminated material

subjected to impact loading. The studied composite made of glass / epoxy was subjected to

various mechanical loading, fatigue by repeated impacts and static bending.

Experimental results in the literature are analyzed for the determination of parameters that

generate the decrease of stiffness in a test of fatigue by impacts.

The determination of parameters of damage is carried out by using the results of the

numerical simulation by a means of a computer code ABAQUS.

In controlled displacement fatigue loading, an analysis on the evolution of the damage

function of load applied during a bending test of the material in intact and damaged state is

presented and results reported.

Keywords:

Composite materials, laminate, Damage, Fatigue, shock.

http://arabic.alibaba.com/suppliers/epoxides-supplier.html

NOTATIONS UTILISEES

NOTATIONS UTILISEES

Symbole Signification

Matrice d’élasticité

Elément de tenseur de déformation d’ordre deux

Elément de tenseur de contrainte

Variation d’énergie interne volumique

Tenseur des constantes d’élasticité de rang 4

Énergie libre par unité de volume F

Variation d’énergie libre volumique

Constantes d’élasticité isothermes du 2ème ordre

Modules d’Young adiabatique

Modules d’Young isotherme

Coefficients de Poisson adiabatique

Coefficients de Poisson isotherme

Température

Chaleur spécifique à pression constante

Coefficient de dilatation thermique

Modules d’Young

Modules de cisaillement

Coefficient de Poisson

Matrice des complaisances

Matrice des constantes d’élasticité

Constantes de Lamé

Déformations en cisaillement transverse

NOTATIONS UTILISEES

Résultantes en membrane

Moments de flexion et de torsion

Matrice de rigidité en membrane

Matrice de rigidité en flexion

Matrice de couplage membrane-flexion-torsion

Matrice de rigidité réduite

Matrice de rigidité réduite d’une couche k

Section de résistance effective

Contrainte effective

Variables d’endommagement

Variable d’endommagement total

Variable d’endommagement quasi statique

Variable d’endommagement dû à la fatigue

Vitesse d’endommagement

Rigidité initiale résiduelle en flexion du matériau non endommagé

Rigidité résiduelle en flexion du matériau endommagé

Module d’Young du matériau dans son état initial

Module d’Young du matériau dans son état endommagé

Energie de déformation à l'état initial

Energie de déformation à l'état endommagé

Nombres de cycles de fatigue

Fraction de vie

Potentiel thermodynamique

Variables thermodynamiques associées à l’endommagement

Potentiel de dissipation

TABLE DES MATIERES

TABLE DES MATIERES

NOTATIONS UTILISEES

INTRODUCTION GENERALE 1

CHAPITRE I : MATERIAUX COMPOSITES ET COMPORTEMENT MECANIQUE

I.1. GENERALITIES 5

I.2. PRESENTATION DES MATERIAUX COMPOSITES 7

I.2.1. Définition 7

I.2.2. Classification des composites 7

I.3. Comportement élastique 9

I.3.1. Loi de comportement élastique : approche thermodynamique 9

a. Transformation adiabatique 9

b. Transformation isotherme 11

c. Comparaison entre une transformation isotherme et une transformation

adiabatique 12

I.3.2. Anisotropie du comportement élastique 13

I.4. THEORIE CLASSIQUE DES STRATIFIES 17

I.4.1. Définition 17

1.4.2. Hypothèses de la théorie classique des stratifiés 18

I.4.3. Équation constitutive 18

I.4.4. Matrice de rigidité 19

I.4.5. Stratifiés symétriques 20

a. Cas général 20

b. Stratifiés symétriques dont les axes principaux de

toutes les couches coïncident avec les axes du stratifié 20

c. Stratifiés croisés symétriques 22

I.4.6. FLEXION DES PLAQUES STRATIFIEES ORTHOTROPES 23

a. Expressions générales 23

b. Cas d’une charge distribuée sur un rectangle 25

I.5. CONCLUSION 27

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE II : L’ENDOMMAGEMENT PAR FATIGUE

II.1. INTRODUCTION 28

II.2. Définition de l’endommagement 28

II.3. Variable d’endommagement 29

II.4. Types d’approches de modélisation de l’endommagement en fatigue de matériaux

composites 31

II.4.1. Approches empiriques 31

II.4.2. Approches basées sur la résistance résiduelle 31

II.4.3. Approches basées sur des critères de rupture en fatigue 32

II.4.4. Approches micromécaniques 32

II4.5. Approches macroscopiques 32

II.5. Principaux modèles de l’endommagement en fatigue 32

II.5.1. Loi linéaire de Miner 33

II.5.2. Modèle de Chang 35

II.5.3. Modèle de Van Paepegem et Degrick 35

II.5.4. Modèle d’Azouaui 36

II.5.5. Modèle de HediNouri 38

II.5.6. Modèle de Najar 43

II.5.7. Modèle d’Orfila 45

II.6. CONCLUSION 47

CHAPITRE III : ANALYSE DU COMPORTEMENT MECANIQUE DE

COMPOSITE

III.1. CONTEXTE 48

III.2. Présentation de cibles 48

III.2.1. Flexion des plaques VEUD 49

a. Description du matériau de l’essai 49

b. Conditions de l’essai 49

c. Dans le cas où la plaque est en appuis simples 50

TABLE DES MATIERES

III.3.1. Comportement de la plaque par simulation 53

III.3.2. Choix de l’élément 54

III.3.3. Résultats de l’essai

III.4. Modélisation de l’essai de fatigue par chocs 57

III.4.1 Aperçu sur l’essai d’Azouaoui [AZOU 04] 57

III.4.2. Comportement de la plaque impactée par la simulation 59

III.5. Conclusion 65

CHAPITRE IV : PARAMETRES D’ENDOMMAGEMENT DU COMPOSITE PAR

CHOCS

VI.1. Introduction 66

IV.2. Approche d’endommagement en fatigue par chocs de composites 67

IV.3. Conclusion 81

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 82

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 84

ANNEXE 88

INTRODUCTION GENERALE

1


Les progrès des sciences et des techniques des matériaux ont incité les

concepteurs à développer le matériau en fonction de son application finale et des

performances recherchées. Le matériau est alors conçu et optimisé simultanément avec

la pièce. La notion de matériau perd alors petit à petit de sa valeur au profit de la

structure. Celui-ci n’existe plus en tant que tel. Il ne prend forme que dans la structure et

dans le rôle de celle-ci. Une rupture des frontières entre les différents domaines de la

recherche, que sont : l’expérimentation, la modélisation, la conception, ..., est alors

nécessaire.

Figure.1. Exemple d’applications composites dans l’aéronautique, l’aérospatiale,

l’offshore et l’automobile

Du fait des nombreux avantages qu'offrent les composites par rapport aux

matériaux métalliques conventionnels, leur utilisation comme matériaux de structure


2

dans les différents domaines (Figure.1.) a nettement augmenté durant ces dix

dernières années. Parmi ces avantages, on cite en premier lieu leur grand rapport

raideur/masse, qui permet un allégement conséquent des structures, particulièrement

recherchées dans les domaines précités. A titre d'exemple, dans l'aviation civile,

l'usage des composites plastiques renforcés de fibres (de verre, de carbone ou

d'aramide) permet une réduction de la masse des pièces de 20% pour une raideur

structurale égale voire même supérieure. Cela induit une économie estimée à 6% sur

la masse totale de l'avion, sachant que dans un Airbus A340, une réduction de 1% de

la masse structurale représente une économie estimée à au moins 600 tonnes de

carburant pour un service de 20 à 25 années [Schiller et al. 1999].

L’utilisation croissante des composites thermodurcissables renforcés par

des fibres de verre (TDR) dans l’industrie est liée à leurs nombreux avantages. Leur

résistance exceptionnelle à la fatigue et aux chocs, leurs caractéristiques et

propriétés mécaniques, ainsi que leur faible poids comparativement aux alliages

d’acier et d’aluminium sont autant d’éléments favorisant leur utilisation pour une

pénétration des applications structurales dans l’industrie aéronautique, navale et

celle des équipements sportifs. Dans le but de répondre aux exigences d’allégement,

tout en améliorant la tenue en service des structures.

De manière générale, la fatigue des matériaux composites à hautes

performances dépend de la nature des fibres et des résines ainsi que du procédé de mise

en forme, adopté.

L’étude du comportement des structures en matériaux composites sollicitées

en fatigue par chocs est une problématique encore largement ouverte. Sous

chargement cyclique, l’analyse du comportement mécanique de l’endommagement

puis de la ruine du matériau et de la structure dépendent fortement de

phénomènes complexes apparaissant à l’échelle microscopique : localisation de la

déformation, amorçage, propagation de microfissures, etc. La compréhension et la

modélisation de ces phénomènes représentent un enjeu scientifique et industriel

important. A cela s’ajoutent les impératifs économiques. Le coût de fabrication des

pièces de structures en composites thermodurcissables renforcés est relativement

élevé. Dans un souci de réduction des coûts de développement, les industriels

cherchent à minimiser le nombre d’essais et la phase de prototypage. Alors, la

modélisation du comportement avec endommagement et son implémentation dans


3

les codes de calcul de structure trouvent ici tout leur intérêt et deviennent

indispensables dans la phase de conception.

Depuis les années 60-70 plusieurs travaux de grande qualité ont été

entrepris. Les modèles proposés ont été mis en place pour la prédiction de

l’endommagement en fatigue. La difficulté majeure de ces approches se situe

surtout au niveau de la prise en compte de la cinétique d’endommagement,

spécifique aux thermodurcissables renforcés par des fibres de verre, et à la

stratégie d’identification des paramètres gouvernant le comportement avec

endommagement.

Dans le cadre de ce travail, nous proposons une démarche dédiée à l’analyse

de l’endommagement de composite en verre-époxy et à la modélisation de la

cinétique de dégradation des caractéristiques mécaniques du matériau soumis à la

fatigue par chocs répétés. L’analyse expérimentale de l’endommagement a contribué

à alimenter la base d’une modélisation phénoménologique du comportement élastique

endommageable, capable de restituer toutes les phases d’évolution de

l’endommagement caractéristiques des matériaux étudiés. Elle a permis également de

mettre en place deux stratégies d’identification inverse du modèle exploitant des

configurations d’essais cycliques.

Ce mémoire s’articule en quatre chapitres présentés brièvement ci-dessous.

Le premier chapitre a pour objectif de dresser un état de l’art de matériaux

composites thermodurcissables renforcés par des fibres de verre, leur comportement

mécanique global et local, et la mise en évidence de la théorie classiques des stratifiés,

à savoir l’essai de flexion statique.

Le deuxième chapitre présente l’approche expérimentale adoptée pour la

caractérisation du comportement élastique endommageable en statique et en fatigue

des composites, les principaux modèles de la littérature dédiés à la simulation de la

fatigue des composites, l’évolution des propriétés mécaniques en termes d’élasticité et

de rupture ainsi que les cinétiques d’endommagement.

Le troisième chapitre est consacré à l’analyse de comportement mécanique d’un

stratifié en verre-époxy soumis aux diverses sollicitations mécaniques, à savoir la


4

flexion statique et l’essai d’impact, à la lumière de la théorie classique des stratifiés et

la simulation numérique à l’aide du code de calcul ABAQUS, une comparaison de

divers approches avec les résultats expérimentaux de la littérature est aussi présenté.

Le dernier chapitre est consacré au développement du modèle

phénoménologique proposé pour la prédiction de l’endommagement en fatigue de

thermodurcissables renforcés par des fibres de verre. Ce chapitre comporte trois

parties. Une première partie présente les principaux modèles de la littérature dédiés à la

simulation de l’endommagement en fatigue des composites de l’étude. La deuxième

partie concerne le développement d’une nouvelle approche d’endommagement en

fatigue par chocs, permettant la prédiction du cumul d’endommagement. La troisième

partie est consacrée d’une part à l’identification de paramètres d’endommagement.

d’autre part, à l’analyse de sensibilité du comportement à ces paramètres. Des résultats

de l’approche sont présentés afin de montrer ses potentialités de prédiction : courbes

d -N, cas de chargement à amplitudes constante …

Ce travail s’achève par une discussion et une conclusion générale.

CHAPITRE I : Matériaux composites et comportement mécanique

5

CHAPITRE I

Matériaux composites et comportement mécanique

I.1. GENERALITIES

Il existe différentes familles de matériaux : les métaux, les plastiques, les composites,

etc. Ces derniers seront traités dans ce chapitre.

Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes

caractéristiques spécifiques. Néanmoins, leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore

élevé.

Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grandes diffusions

(GD) et les composites hautes performances (HP).

Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou

des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie

n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux

constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec

des fibres de verre (+ de 99% des renforts utilisés). Renforts et matrices sont à des coûts

voisins.

Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les renforts sont

plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui

influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont

largement supérieures à celles des métaux, contrairement aux GD.

Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développées pour les HP.

Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce mémoire. Il faudra toujours tenir compte du

fait que l'élaboration de la structure est liée à celle du matériau, que pour les pièces

travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres longues et à matrice organique et pour

les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés.


6

Un matériau composite plastique est une association de deux constituants :

Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la traction et

rigidité). Souvent de nature filamentaire (des fibres organiques ou inorganiques).

La matrice : lie les fibres renforts, répartis les efforts (résistance à la compression ou à

la flexion), assure la protection chimique. Généralement c'est un polymère ou une résine

organique. En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure

la compatibilité renfort-matrice, qui transmet les contraintes de l'un à l’autre sans déplacement

relatif. Des produits chimiques entrent aussi dans la composition du composite, et peuvent

jouer sur le comportement mécanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul

de structure composite [BAHLN].

Dans la suite de cette étude, nous aborderons la théorie classique des stratifies

composites. C’est pourquoi, nous rappelons dans un premier temps, une définition et une

classification de ces matériaux. L’utilisation des matériaux composites, préférentiellement

aux matériaux traditionnels (polymères, céramiques, métaux et alliages métalliques), se

justifie tout d’abord par de meilleures propriétés spécifiques d’élasticité (modules et limite

d’élasticité rapportés à la masse volumique). La conception de pièces en matériaux

composites dimensionnées en rigidité, permet donc un allégement des structures et donc une

consommation d’énergie rationalisée. Un autre avantage des matériaux composites est la

possibilité d’adaptation de l’anisotropie de ces pièces de structure pour répondre au mieux à la

sollicitation envisagée. Il est alors fondamental pour le concepteur de connaître précisément

les propriétés d’élasticité anisotropes du matériau composite employé. Selon l’arrangement

des différentes phases constituantes, le matériau composite présentera en effet une certaine

anisotropie à l’échelle macroscopique. Cette anisotropie se traduit mécaniquement par une

dépendance de la réponse élastique vis-à-vis de la direction de sollicitation. La loi de

comportement élastique linéaire des matériaux, présentée dans un deuxième temps, fait

intervenir le tenseur des constantes d’élasticité. Selon les symétries matérielles des matériaux

composites, le nombre de constantes d’élasticité indépendantes pour décrire leur

comportement élastique varie. Pareillement, nous explicitons la forme de la matrice associée

au tenseur d’élasticité pour différents types de symétries, abordées dans la suite de l’étude. Le

comportement des matériaux réels s’écarte généralement des modèles linéaires de

comportement élastique ou visqueux, pour adopter un comportement mixte, appelé

viscoélastique. Nous présentons, à la fin de cette deuxième partie, quelques caractéristiques de


7

ce comportement. Celui-ci concerne notamment les matériaux polymères, qui interviennent

dans la fabrication des composites à matrice polymère. Les constantes d’élasticité, utilisées

dans les codes de calcul de dimensionnement de structures, peuvent évoluer au cours du

temps. Il est alors nécessaire de prendre en compte le développement des défauts, présents dès

l’étape d’élaboration ou induits par les sollicitations, et à l’origine de l’endommagement.

Nous présentons, dans la dernière partie de ce chapitre, l’approche phénoménologique de la

théorie de l’endommagement et un modèle d’évolution de celui-ci, qui considère la matrice

d’élasticité comme la variable interne d’endommagement.

I.2. Présentation des matériaux composites

I.2.1. Définition

Un matériau composite peut être défini comme l’assemblage de plusieurs matériaux de nature

différente à l’échelle microstructurale. Les composites sont le plus souvent constitués d’une

matrice dans laquelle on a dispersé de façon contrôlée des renforts. La matrice maintient les

renforts et assure les transferts de charge, tandis que les renforts apportent principalement

leurs caractéristiques mécaniques élevées (modules et limite d’élasticité, résistance

mécanique…) [GAY, 1991]. Cette association a pour but d’obtenir un matériau dont les

propriétés spécifiques (propriétés mécaniques rapportées à la masse volumique) sont

supérieures à celles de la matrice non renforcée. Le concept de matériau composite, par le

choix des constituants et de leurs proportions respectives, ainsi que par le choix de la forme,

des dimensions et de la disposition des renforts, permet donc de concevoir un matériau

présentant les caractéristiques spécifiques recherchées.

I.2.2. Classification des composites

La nature du matériau constituant la matrice permet de répertorier trois grandes classes de

composites, considérées ici par ordre croissant de tenue en température : les composites à

matrice polymère (C.M.P.), les composites à matrice métallique (C.M.M.) et les composites à

matrice céramique (C.M.C.). Il est alors possible d’associer à ces trois types de matrice soit

des renforts discontinus, dont toutes les dimensions sont très inférieures aux dimensions de la

pièce, soit des renforts continus, dont au moins une dimension est du même ordre de grandeur

qu’une dimension de la pièce. Les matériaux utilisés comme renforts présentent de bonnes

propriétés mécaniques intrinsèques (carbone, alumine, silice, bore, kevlar, acier, nitrure et

carbure de silicium…). Parmi les renforts discontinus, on trouve des fibres courtes


8

monocristallines (wiskers) d’une longueur comprise entre 20 et 100 micromètres et des

particules (billes, plaquettes, éclats…) caractérisées par un rapport d’élancement inférieur à

5et une taille qui peut varier du micromètre à quelques centaines de micromètres. Les renforts

continus ou fibres longues ont quant à eux un diamètre qui varie selon leur nature entre

quelques micromètres à plus d’une centaine de micromètres. Selon l’application envisagée,

l’assemblage de ces fibres longues peut être unidimensionnel (plis unidirectionnels),

bidimensionnel (plis tissés, mats à fibres coupées de quelques centimètres ou à fibres

continues) ou tridimensionnel (tissus multidimensionnels) [GAY, 1991].

Les fibres longues sont largement associées aux matrices polymères. La fabrication des

composites à matrice polymère (C.M.P.) emploie deux types de matrices : les résines

thermodurcissables qui représentent 3/4 des C.M.P. actuels (époxyde, polyester, vinylester,

polyuréthane…) et les résines thermoplastiques (polypropylène, polyamide…) qui sont moins

utilisées mais en pleine progression du fait notamment d’une plus grande recyclabilité

(réutilisation après broyage). Les matrices polymères renforcées par des fibres de verre,

employées notamment dans les produits de grande diffusion, sont d’une grande importance

industrielle. Les fibres de carbone et de kevlar sont utilisées dans une moindre mesure pour

des applications hautes performances dans l’aéronautique et l’aérospatiale. D’autres types de

renforts sont employés tels que des billes (verre, élastomère …) et des charges (fibres

broyées, écailles, poudres…). Les pièces en composite à matrice polymère prennent des

formes variées (coques, plaques, pièces de révolution…) grâce aux nombreux procédés de

formage mis au point (moulage, pultrusion, estampage…) [REYN, 1995]. Ces composites

permettent un allégement des pièces de structure habituellement fabriquées en alliages

métalliques. Les composites à matrice polymère présentent néanmoins un vieillissement sous

l’action de l’eau et de la chaleur [CHAT, 1991], [CHAT, 1992], [CHAT, 1994], [CHAT,

1995] [VAUT, 1996]. L’utilisation des C.M.P. reste limitée au domaine de températures

inférieures à 200°C.

Pour des applications à plus haute température, on fait appel aux composites à matrice

métallique (C.M.M.) jusqu’à 600°C. Les métaux ou alliages métalliques, utilisés dans la

fabrication des C.M.M., sont généralement choisis en fonction de leurs propriétés spécifiques

dans l’état non renforcé [CLYN, 1993]. Ainsi, l’aluminium, le titane et le magnésium sont les

métaux les plus couramment utilisés. Les procédés de fabrication des C.M.M. diffèrent selon

que la matrice se trouve, lors de l’introduction des renforts, à l’état liquide (forgeage liquide

[CARD, 1997], fonderie moyenne pression [SCHN, 1994], [SANT, 1996], procédé


9

OspreyTM [MAIR, 1995]…), dans un état semi-solide (rhéomoulage) ou dans l’état solide

(métallurgie des poudres) [SURE, 1993]. Les C.M.M. présentent de bonnes caractéristiques

mécaniques spécifiques, une bonne résistance en température et aux chocs thermiques ainsi

qu’une bonne résistance à l’usure et à l’abrasion. Toutes ces aptitudes sont mises à profit dans

la fabrication de pièces de structure (carters, inserts…) et d’organes fonctionnels (bielles,

soupapes…) travaillant à haute température [MAIR, 1995].

Enfin, lorsque les températures d’utilisation sont supérieures à 1000°C, on a recours aux

composites à matrice céramique. Dans ce type de composite, le renfort est généralement

constitué de fibres longues en carbone, en silice ou en carbure de silicium, assemblées par

tissage multidimensionnel. Ce renfort poreux est infiltré par la matrice (carbone, silice,

carbure de silicium) qui se trouve soit en phase liquide soit en phase gazeuse. La dernière

étape d’élaboration consiste à densifier le composite par frittage sous haute pression à haute

température [CHER, 1993]. Ces matériaux sont développés essentiellement dans le domaine

aérospatial en tant que structure thermique (disques de frein, tuyères, volets, tuiles

ablatives…) en raison de leur haute résistance thermomécanique spécifique [DALM, 1997],

[DALM, 2000].

I.3. Comportement élastique

Pour décrire la loi de comportement d’un matériau donné, la mécanique des milieux continus

s’applique au-delà d’une certaine échelle à partir de laquelle le milieu réel est considéré

comme continu [LAND, 1967], [MAND, 1974]. Les propriétés, supposées homogènes dans

tout le volume considéré, sont représentées par des variables qui définis sent l’état

thermodynamique du milieu [LEMA, 1988], [FRAN, 1991]. Lorsqu’un tel milieu subit une

déformation , des contraintes prennent naissance en son sein. Les contraintes sont alors

reliées aux déformations par une loi de comportement qui est en général thermo-élasto-

visco-plastique. Nous traitons ici la partie élastique qui est typiquement la partie

instantanément réversible du comportement.

I.3.1. Loi de comportement élastique : approche thermodynamique

La loi de comportement élastique diffère selon le type de transformation, adiabatique

ou isotherme, que subit l’élément de volume considéré.


10

a. Transformation adiabatique

Considérons tout d’abord le cas d’une transformation sans échange de chaleur dans

l’hypothèse des petites déformations élastiques réversibles . La variation d’énergie interne

volumique résulte alors de la transformation d’un petit élément de volume représentatif.

Elle s’écrit comme la différence entre la quantité de chaleur reçue et le travail fourni lors de la

déformation [BRUH, 1968] :

(1.1)

Dans l’hypothèse d’une déformation sans échange de chaleur ( ), on déduit de

l’équation 1.1 la loi de comportement adiabatique [LAND, 1967], [FRAN, 1991] :

(1.2)

Nous pouvons alors utiliser, un développement limité de l’énergie interne volumique au

deuxième ordre autour de l’état non déformé :

(1.3)

Ce développement limité étant effectué autour de l’état non déformé qui correspond à l’état

d’équilibre thermodynamique ( ), le premier terme s’annule et l’équation 1.3

devient :

(1.4)

L’expression 1.4 définit les composantes du tenseur des constantes d’élasticité adiabatiques

du 2e ordre, comme la dérivée seconde de l’énergie interne à entropie constante par rapport

aux composantes du tenseur des déformations :

(1.5)

Le tenseur de rang 4 des constantes d’élasticité compte 81 composantes. Dans le cas

Le plus général, seules 21 constantes indépendantes sont nécessaires à la description du


11

comportement élastique d’un matériau homogène anisotrope. Cela résulte des propriétés de

symétrie des tenseurs des contraintes et des déformations [AULD, 1973], [GAY, 1991]. En

substituant l’équation 1.4 dans l’équation 1.2, nous obtenons la loi de comportement du

milieu continu élastique homogène :

(1.6)

L’expression tensorielle 1.6 de la loi de Hooke au 1er ordre en déformation, peut s’exprimer

sous forme matricielle, en utilisant la notation contractée reportée dans le tableau 1.1[FRAN,

1991].

Tableau 1.1. Changements d’indices de la notation contractée

Sous forme matricielle, la loi de comportement 1.6 devient :

(1.7)

Le tenseur des constantes d’élasticité adiabatiques d’ordre 2 prend alors la forme d’une

matrice 6x6 qui dans le cas général s’écrit :

(1.8)

b. Transformation isotherme

Dans le cas d’une transformation isotherme, il faut cette fois-ci introduire l’énergie libre par

unité de volume . Dans l’hypothèse des petites déformations élastiques réversibles , la

11 22 33 23 13 12

1 2 3 4 5 6


12

variation d’énergie libre volumique qui résulte d’une transformation d’un petit élément de

volume représentatif, s’écrit sous la forme [BRUH, 1968] :

(1.9)

Dans l’hypothèse d’une déformation à température constante ( ), on déduit de

l’équation 1.8 la loi de comportement isotherme [LEMA, 1988], [FRAN, 1991] :

(1.10)

Le calcul peut être mené de la même manière que dans le cas d’une transformation

adiabatique (§1.3.1.1). Il conduit cette fois à définir les constantes d’élasticité isothermes du

2ème ordre comme la dérivée seconde de l’énergie libre à température constante :

(1.11)

Le tenseur des constantes d’élasticité isothermes d’ordre 2 peut être représenté dans les

mêmes conditions que précédemment par une matrice (§1.3.1.1).

c. Comparaison entre une transformation isotherme et une transformation adiabatique

La relation entre les constantes d’élasticité isothermes et adiabatiques n’est pas simple à

établir dans le cas général des matériaux anisotropes. Celle-ci fait en effet intervenir des

paramètres difficilement mesurables. Le tenseur de dilatation thermique du second ordre en

est un exemple.

Dans le cas des matériaux isotropes ou très faiblement anisotropes, des considérations

thermodynamiques [BRUH, 1968] permettent d’établir les relations suivantes [DUBU,

1996] :

(1.12)

(1.13)


13

et représentent les modules d’Young respectivement adiabatique et isotherme. et

sont les coefficients de Poisson respectivement adiabatique et isotherme. est la température,

la chaleur spécifique à pression constante rapportée à l’unité de volume et est le

coefficient de dilatation thermique.

Dans le cas d’alliages d’aluminium faiblement anisotropes, il a été montré que les écarts entre

les valeurs adiabatiques et isothermes ne dépassent pas 0,05% pour les modules d’Young et

0,2% pour les coefficients de Poisson. Ces écarts restent bien inférieurs aux précisions que les

mesures ultrasonores ou mécaniques permettent d’atteindre [DUBU, 1996].

I.3.2. Anisotropie du comportement élastique

Les propriétés mécaniques macroscopiques des matériaux dépendent de leur microstructure.

L’organisation microstructurale, plus ou moins régulière, conduit souvent à une anisotropie au

niveau macroscopique, soit en relation à des caractéristiques d’anisotropie du protocole

d’élaboration, soit en relation à la microstructure propre du matériau. Cette anisotropie

setraduit mécaniquement par une dépendance de la réponse élastique vis-à-vis de la direction

de sollicitation.

Dans le cas des monocristaux, l’origine de l’anisotropie vient de l’organisation des atomes au

sein d’une maille élémentaire. Le tableau 1.2 reprend les sept systèmes cristallins et le nombre

de constantes d’élasticité indépendantes, nécessaires à la description de leur comportement

élastique.

Tableau 1.2. Systèmes cristallins

Système Côtés de la

maille

Angles

Triclinique

21

Monoclinique

13

Orthorhombique

9

Rhomboédrique

7-6

Tétragonale

7-6

Hexagonale

5

Cubique

3

Isotrope 2


14

La description de l’organisation microstructurale des matériaux composites est plus délicate.

Selon l’arrangement des différentes phases constituantes, le matériau composite présentera ou

non une certaine anisotropie à l’échelle macroscopique [FRAN, 1991]. On distinguera les

anisotropies volontairement introduites des anisotropies résultant de manière incontrôlée de

l’élaboration d’un matériau.

Dans le cas particulier des composites unidirectionnels, la matrice est renforcée par des fibres

longues, alignées suivant un même axe. Selon l’arrangement de ces fibres, orientées dans

notre cas selon l’axe 1, les composites unidirectionnels présentent différents degrés de

symétrie (figure 1.1).

Figure 1.1. Effet de l’arrangement des fibres sur la symétrie

L’hypothèse d’orthotropie du comportement correspond à celui d’un milieu homogène

équivalent de symétrie orthorhombique. Ces matériaux dits orthotropes présentent trois plans

de symétrie orthogonaux dont les intersections définissent les axes principaux d’orthotropie

[LEMA, 1988], [FRAN, 1991], [GAY, 1991]. On montre alors que neuf constantes

Arrangement carré

Matériauxorthotrope Matériauxquadratique

Matériauxisotrope transverse

Arrangement hexagonal Arrangement au hasard

Arrangement rectangulaire


15

d’élasticité indépendantes sont nécessaires à la description du comportement élastique de ce

type de matériau. Dans les axes principaux d’orthotropie, la matrice d’élasticité prend la

forme suivante :

(1.14)

Les constantes dites de l’ingénieur – modules d’Young , modules de cisaillement et

coefficients de Poison – s’expriment en fonction de la matrice des complaisances soit

l’inverse de la matrice des constantes d’élasticité . Dans le repère principal d’orthotropie,

la matrice symétrique des complaisances s’écrit, en fonction des constantes de l’ingénieur,

de la manière suivante [LEMA, 1988], [GAY, 1991] :

(1.15)

Les composites isotropes transverses admettent quant à eux, les mêmes symétries qu’un

milieu homogène équivalent de symétrie hexagonale [LEMA, 1988], [FRAN, 1991], [GAY,

1991]. L’axe des fibres est assimilé à un axe de symétrie d’ordre six. Tous les plans passant

par cet axe principal sont équivalents. Les deux autres axes principaux orthogonaux sont

identiques et se situent dans le plan isotrope perpendiculaire à l’axe sénaire. Le nombre de

constantes d’élasticité indépendantes, nécessaires à la description du comportement élastique

de ce type de matériau, est alors réduit à cinq. Dans les axes principaux d’isotropie transverse,

en prenant l’axe 1 comme axe sénaire, la matrice d’élasticité prend la forme suivante :


16

(1.16)

Les constantes dites de l’ingénieur se déduisent de la matrice symétrique des

complaisances . Celle-ci s’exprime dans le repère principal d’isotropie transverse de la

même manière que dans le cas orthotrope, en tenant compte des égalités suivantes [LEMA,

1988], [GAY, 1991] :

Enfin, lorsque la réponse d’un matériau est indépendante de la direction de sollicitation, le

matériau est dit isotrope [LEMA, 1988], [FRAN, 1991], [GAY, 1991]. Le nombre de

constantes d’élasticité indépendantes est alors réduit à deux et la matrice d’élasticité s’écrit :

(1.17)

Compte tenu du nombre réduit de constantes d’élasticité dans cette représentation matricielle,

il est préférable d’utiliser soit les coefficients de Lamé et , soit les constantes dites de

l’ingénieur , et . Il existe d’ailleurs des relations simples entre ces différentes constantes

[LEMA, 1988] :


17

I.4. THEORIE CLASSIQUE DES STRATIFIES

I.4.1.Définition

Les stratifiés sont constitués (Figue 2.1) de couches successives (appelées par fois plis) de

renforts (fils, stratifils, mats, tissus, etc.) imprégnés de résines.

Les stratifiés à base de fils ou de tissus unidirectionnels constituent un type de stratifié de base

auquel peut se ramener en théorie tout autre type de stratifié. Ces stratifiés sont constitués de

couches de fils ou de tissus unidirectionnels, dont la direction est décalée dans chaque couche

[JEAN-M,2005].

Figure1.2. Constitution d’un stratifié.


18

1.4.2. Hypothèses de la théorie classique des stratifiés

La théorie classique des stratifiés utilise un schéma de déformation du premier degré

[JEAN-M, 2005]. Elle fait ensuite une hypothèse supplémentaire qui consiste à négliger le

cisaillement transverse. Dans ce schéma, les déformations en cisaillement transverse sont

donc nulles, soit :

et

Figure 1.3.Schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés.

I.4.3. Équation constitutive

L'équation constitutive d'une plaque stratifiée exprime les résultantes et moments en fonction

des déformations en membrane et des courbures :

(1.18)


19

Cette équation constitutive peut également être écrite sous forme contractée suivant :

Les termes des matrices introduites A, B et D peuvent être également exprimés, en

introduisant l'épaisseur et la cote du centre de la couche k, sous la forme :

(1.19)

Ou est la matrice de rigidité réduite de la couche k :

(1.20)

I.4.4. Matrice de rigidité

La matrice intervenant dans l'expression (1.18) est la matrice de rigidité du stratifié,

décrivant le comportement élastique macroscopique du stratifié (Figure 1.2) au

point .

La matrice A est la matrice de rigidité en membrane, D est la matrice de rigidité en flexion et

B la matrice de couplage membrane-flexion-torsion. Ce couplage existe même si les

matériaux des couches sont isotropes. Il résulte de la structure en couches de matériaux de

caractéristiques mécaniques différentes. Le couplage est nul (B = 0), seulement dans le cas où

le stratifié est symétrique. La symétrie implique une symétrie des propriétés des couches, de

leurs cotes et de leurs orientations [JEAN-M,2005].

Divers couplages peuvent être observés et mis en évidence. Le couplage traction-cisaillement

provient des termes et . Le couplage membrane-flexion résulte des termes ,

et , alors que le couplage membrane-torsion résulte des termes et . Enfin, le

couplage flexion-torsion résulte des coefficients et .


20

I.4.5. Stratifiés symétriques

a. Cas général

Un stratifié est symétrique si le plan moyen est plan de symétrie.

Deux couches symétriques ont :

- la même matrice de rigidité réduite ,

- la même épaisseur ,

- des cotes opposées et .

Il en résulte que les coefficients de la matrice de rigidité du stratifié sont nuls. L’équation

constitutive est de la forme générale :

(1.21)

b. Stratifiés symétriques dont les axes principaux de toutes les couches coïncident avec

les axes du stratifié

La matrice de rigidité réduite de chaque couche est dons ce cas de la forme :

(1.22)

Où les coefficients de rigidité réduite s’expriment en fonction des modules de l’ingénieur de

chaque couche suivant les relations :

,

,


21

Dans le cas d’un stratifié symétrique, dont les axes principaux ne sont pas confondus avec les

axes de référence de la plaque, on remplace les coefficients de rigidité réduite par

en terme général, avec θ est l’angle entre les axes principaux et les axes de

référence :

Les coefficients de rigidité du stratifié s’exprime suivant :

, , ,

, ;

, , (1.23)

, = 0 ,

, ,

L’équation constitutive du stratifié est donnée par :

(1.24)

Nous retrouvons l’équation d’un stratifiés orthotrope [JEAN-M,2005]. Outre l’absence de

couplage membrane-flexion/torsion, il y a également absences de couplages en traction-

cisaillement et en torsion-flexion.


22

c. Stratifiés croisé symétriques

Dans le cas d’un stratifié croisé symétrique (nombre impair de couches), les termes sont

nuls conformément aux propriétés des stratifiés symétriques.

L’équation constitutive de ce type de composite est identique avec celle d’un stratifiés

symétriques dont les axes principaux de toutes les couches coïncident avec les axes du

stratifié (§2.5.2).

Un stratifié croisé est constitué de couches dont les directions principales sont orientées

alternativement à 0° et 90° par rapport aux directions de référence du stratifié, les matrices de

rigidité réduites des couches à 0° et 90° sont :

, (1.25)

Dans le cas où les couches à 0° ont la même épaisseur, les couches à 90° ayant également la

même épaisseur :

, , ,

, , ,

= épaisseur totale des couches à 0°,

= épaisseur totale des couches à 90°,

= épaisseur de stratifié .

i, j= 1, 2, 6.

Avec


23

On peut exprimer aussi les coefficients de rigidité en fonction des rapports et et n tel

que :

, ,

,

, .

, i, j= 1, 2, 6.

(1.26)

,

.

,

Avec :

= rapport entre l’épaisseur totale des couches orientées à 0° et l’épaisseur totale des

couches orientées à 90°.

= rapport entre les modules.

I.4.6. FLEXION DES PLAQUES STRATIFIES ORTHOTROPES

a. Expressions générales

On considère une plaque rectangulaire soumise à une charge transverse répartie : ,

dans le cas d’un stratifié orthotrope, les relations fondamentales s’écrivent :

. (1.27)

. (1.28)

. (1.29)


24

Les conditions aux frontières pour une plaque de côté a et b en appuis simples sur les quatre

cotés s’écrivent :

- appuis et : , (1.30)

- appuis et : , (1.31)

Dans le cas général, la charge transverse peut être développée suivant une double série de

Fourier :

, (1.32)

Où les coefficients sont exprimés par :

(1.33)

Les solutions du problème de flexion de la plaque peuvent alors être recherchées en écrivant

les déplacements sous forme de séries doubles de Fourier, satisfaisant aux conditions aux

frontières :

, (1.34)

, (1.35)

(1.36)

Les expressions de et des relations (1.34) et (1.35) impliquent que et ,

les déplacements en membrane sont identiquement nuls : , .

L’expression du coefficient est obtenue en remplaçant l’expression (1.36) de dans la

relation (1.29) et en exprimant la charge à l’aide de (1.30).

Nous obtenons :

(1.37)

La flèche au point s’écrit donc :

. (1.38)

Où : . (1.39)

En introduisant le rapport longueur sur largeur de la plaque : .


25

b. Cas d’une charge distribuée sur un rectangle

Un cas intéressant du chargement est celui d’une charge P uniformément répartie sur un

rectangle de centre et de côtés c et d. Dans ce cas les coefficients s’écrivent :

(1.40)

La densité de charge est constante, soit :

(1.41)

Le cas d’une charge P concentrée au point s’obtient en faisant tendre c et d vers zéro :

(1.42)

L’expression de la flèche s’écrit :

(1.43)

Les contraintes en membrane dans chaque couches k de stratifié sont :

(1.44)

(1.45)

(1.46)

Dans la théorie classique de stratifiés, la distribution de contraintes dans l’épaisseur n’est pas

continue, les résultats d’un calcul en utilisant cette théorie ont abouti à des valeurs de

contraintes pour chaque couche du stratifié

Un exemple de cette distribution [JEAN-M, 2005], une plaque rectangulaire simplement

appuyée sur ces quatre cotés soumise à une charge transverse répartie (Figure 1.4.)


26

Figure 1.4.Plaque rectangulaire soumise à une pression uniforme.

Figure 1.5.Distributions des contraintes au centre de la plaque.


27

I.5. CONCLUSION

Les cas traités précédemment mettent en évidence la nécessité d’avoir recours à des essais

mécaniques d’une part pour caractériser les matériaux étudiés et d’autre part pour valider les

lois de comportement mécanique de la structure.

Les approches analytiques permettent d’évaluer rapidement l’influence des divers paramètres

telles que les caractéristiques mécaniques des constituants, la structure du matériau en

fonction de l’empilement des couches, etc.

Le comportement mécanique global et local de la structure est ensuite évalué par la simulation

mécanique tout en calant les résultats obtenu avec les résultats expérimentaux. Une fois cette

évaluation effectuée, l’analyse analytique sera effectuée en utilisant le type de modélisation le

mieux adaptée aux matériaux considérés.

CHAPITRE II : L’endommagement par fatigue

28

CHAPITRE II

L’endommagement par fatigue

II.1. INTRODUCTION

L’étude du comportement mécanique d’un matériau conduit souvent à prendre en compte la

détérioration progressive qui mène à sa rupture macroscopique. Cet endommagement peut

trouver son origine dans le développement de défauts, présents dés l’étape d’élaboration ou

induits par des sollicitations diverses lors de son utilisation. L’évolution du comportement

mécanique d’un matériau, depuis son état initial jusqu’à sa rupture, est décrit par la théorie de

l’endommagement [LEMA, 1988], [CHAB, 1988], [FRAN, 1993], [LEMA, 1996]. Après

avoir rappelé la définition de l’endommagement, issue de l’approche phénoménologique

initiée par Lemaitre et Chaboche [LEMA, 1978], nous expliquerons dans quelle mesure

l’évolution des constantes d’élasticité constituent un bon indicateur de l’endommagement.

II.2. Définition de l’endommagement

Considérons un élément de volume d’un matériau endommagé, c’est à dire au sein duquel on

trouve des microfissures et des cavités dans des proportions notables alors que dans l’état

initial du même matériau non endommagé ces microfissures et cavités sont imperceptibles

[LEMA, 1988]. Soit une section d’aire S de cet élément de volume repérée par sa normale n

(figure 1.2). Dans cette section, il apparaît des discontinuités de formes diverses d’aire totale

.

Figure. 2.1. Élément de volume endommagé.

n


29

L’aire de résistance effective s’écrit alors comme la différence entre l’aire de la section et

l’aire totale de l’ensemble des défauts présents dans la surface :

(2.1)

L’endommagement dans la direction notée est alors défini comme le rapport entre

et [LEMA, 1988], [CHAB, 1988] :

(2.2)

Ainsi, la variable d’endommagement représente l’aire relative des microfissures et des

cavités coupées par le plan défini par sa normale. Mathématiquement, lorsque tend vers 1,

représente la densité surfacique des discontinuités de la matière dans le plan de normale ,

varie de 0 à 1 entre l’état initial non endommagé et la rupture de l’élément de volume

considéré selon un plan normal à :

(2.3)

(2.4)

Dans le cas d’un endommagement anisotrope, constitué de microfissures et de cavités

orientées, la valeur de dépend de la direction de la normale [CHAB, 1990]. Un

endommagement isotrope présente au contraire, une distribution uniforme des microfissures

et des cavités. Dans ce cas, la variable est indépendante de la direction et le scalaire

décrit complètement l’état d’endommagement. Une des limites d’utilisation de cette variable

d’endommagement, vient de la difficulté expérimentale à connaître avec précision la

morphologie des défauts pour calculer ou [LEMA, 1988].

II.3. Variable d’endommagement

La définition d’une variable d’endommagement représentative de l’état de détérioration d’un

matériau, peut être reliée à la mesure des propriétés globales d’élasticité grâce à la notion de

contrainte effective introduite par Kachanov et Rabotnov [LEMA, 1978]. Ainsi, dans le cas

d’un chargement uniaxial, la force s’applique sur la section . représente alors la

contrainte usuelle. En présence d’un endommagement isotrope de mesure, la section de

résistance effective est :

(2.5)


30

La contrainte effective est alors définie comme la force rapportée à la section de résistance

effective

(2.6)

peut alors s’exprimer en fonction de la contrainte usuelle et de la variable

endommagement [CHAB, 1988] :

(2.7)

L’hypothèse supplémentaire d’équivalence en déformation suppose que le comportement à la

déformation du matériau n’est affecté par l’endommagement que sous la seule forme de la

contrainte effective. Cette hypothèse simplificatrice, permet d’obtenir la loi de comportement

du matériau endommagé, en remplaçant la contrainte usuelle par la contrainte effective dans

la loi de comportement du matériau non endommagé (état initial) [LEMA, 1988].

Dans le cas d’un endommagement isotrope, l’utilisation de l’hypothèse d’équivalence en

déformation, permet d’exprimer en fonction de , qui désigne le module d’Young du

matériau dans son état initial non endommagé, et de , module d’Young du matériau après

endommagement :

(2.8)

Parmi les différentes approches proposées dans le cas d’un endommagement anisotrope

[CHAB, 1990], nous adopterons le modèle original initié par El Guerjouma et Baste [EL GU,

1989] et formalisé par Baste et Audoin [BAST, 1991], qui considère la matrice d’élasticité

comme la variable interne d’endommagement. L’état d’endommagement est alors déterminé

par la mesure des différences entre les constantes d’élasticité au cours de

l’endommagement, et les constantes d’élasticité du matériau dans son état initial non

endommagé :

(2.9)

Ainsi, la variation de la matrice d’élasticité, normée par les constantes d’élasticité ,

décrit l’évolution de l’endommagement grâce aux relations [BAST, 1991] :

(2.10)


31

(2.11)

Dans le cas d’un matériau orthotrope, , et quantifient respectivement

l’endommagement suivant les axes principaux 1, 2 et 3 tandis que , et

caractérisent respectivement l’endommagement des plans principaux de cisaillement (2,3),

(1,3) et (1,2). Enfin, , et précisent respectivement la variation du couplage entre

les directions 2 et 3, 1 et 3, 1 et 2 au cours de l’endommagement.

II.4. Types d’approches de modélisation de l’endommagement en fatigue de

matériaux composites

Le développement d’un modèle d’endommagement en fatigue pour la prédiction de durée de

vie comprend deux étapes importantes. La première phase consiste à identifier les

mécanismes d’endommagement et à définir les variables associées suite aux observations

expérimentales. Tandis que la deuxième phase comprend la formulation de la cinétique

d’endommagement.

Les modélisations de l’endommagement en fatigue se distinguent par la démarche adoptée.

Cinq types d’approches peuvent être adoptées :

II.4.1. Approches empiriques : Ces modèles reposent sur les résultats expérimentaux

obtenus pour des sollicitations et des modèles spécifiques. Néanmoins, le comportement en

fatigue doit être évalué afin de vérifier la fiabilité du matériau et justifier son utilisation

comme composant de structure déjà en service. C’est ainsi que l’usage de théories empiriques

permet une obtention rapide des courbes contrainte en fonction du nombre de cycles (S-N).

Cependant, l’utilisation de ces théories doit être faite avec précaution dans certaines

configurations d’essais, où le champ de contraintes est complexe.

II.4.2. Approches basées sur la résistance résiduelle : Ils sont classés en deux

catégories : les modèles probabilistes et les modèles phénoménologiques.

Concernant les modèles probabilistes, on peut citer Hahn et Kim [HAHN, 1977], Chou et

Croman [CHOU, 1979], Whitney [WHIT, 1981], Sendeckyj [SEND, 1981] et les travaux de

Yang et ses coauteurs [YANG ,1977]. Les modèles phénoménologiques ont été proposés par

Reifsneider et Stinchcomb [STINCH, 1986], Daniel et Charewicz [DANIEL, 1986], Roten


32

[ROTEM, 1981], Whitworth [WHIT, 1981], Spearing et Beaumont [SPEAR, 1982], et Haris

avec ces coauteurs [HARRIS, 1986]. Ces modèles ont été développés dans le cas uniaxial, et

ne prennent pas en compte le comportement des composites sollicités sous chargements

complexes.

II.4.3. Approches basées sur des critères de rupture en fatigue : Ils dérivent d’un

critère quadratique habituellement utilisé pour le cas de chargement statique. Les paramètres

d’ajustement de ces modèles sont fortement dépendants du niveau de contraintes appliqué.

Les études réalisées par Sims et ses coauteurs [SIMS, 1977], montrent l’efficacité de ces

critères. Parmi les auteurs qui ont proposé un critère de fatigue tridimensionnel pour les

composites unidirectionnels, on cite Hahn et Sims [SIMS, 1977].

II.4.4. Approches micromécaniques : Ces approches sont basées sur les observations

de mécanismes d'endommagement et les mesures locales à l'échelle de la microstructure

(densité et géométrie des microfissures, microcavités, etc.). Le comportement global du

matériau endommagé est obtenu par des techniques d'homogénéisation sur le V.E.R (volume

élémentaire représentatif) comportant un micro-défaut de géométrie et d'orientation définies.

Selon la distribution des micro-défauts, l'homogénéisation peut se faire selon un schéma auto-

cohérent [HERVÉ ,1995] ou bien par des méthodes numériques d'homogénéisation

périodique telles que les travaux de Lené [94] qui proposa un modèle micromécanique

d'endommagement par fatigue des composites ultras dures.

II.4.5. Approches macroscopiques : Ces approches sont généralement basées sur la

thermodynamique des processus irréversibles. Elles utilisent des variables d'état internes

définies sur un élément de volume représentatif, qui constitue l'échelle de la modélisation

[LEMA, 2001]. Le comportement du matériau endommagé est obtenu par équivalence en

énergie ou en déformation avec un matériau homogène équivalent. En outre, ces approches

restent globales et ne font pas de distinction entre les différents processus d’endommagement

ainsi que leur interaction.

Plusieurs travaux ont été effectués sur les matériaux composites et ont traité le problème de

l'anisotropie de l'endommagement. Les approches macroscopiques de modélisation de

l’endommagement ont montré leur intérêt notamment en termes de calcul de structures.


33

II.5. Principaux modèles de l’endommagement en fatigue

Dans ce paragraphe des modèles d’endommagement en fatigue sont présentés, sans entrer

dans le détail de calcul mais en insistant sur leurs hypothèses de base et leurs apports sur le

plan de la prédiction. Ces modèles cherchent à prédire le comportement de la structure

endommagée en fonction d’une variable d’endommagement. Ils sont développés et présentés

pour le cas de matériaux composites à matrice organique à l’exception de la loi de cumul de

Miner valable pour divers matériaux endommageables.

II.5.1. Loi linéaire de Miner [MINER, 1945]

La loi linéaire de Miner [MINER, 1945] a été la première formulation mathématique proposé

pour décrire l’endommagement en fatigue. Les hypothèses de cette loi sont les suivantes

- Le chargement est sinusoïdal,

- Le travail absorbé par le matériau entraine sa rupture par fatigue,

- La propagation d’une fissure macroscopique est l’indicateur de l’endommagement

total du matériau,

- Le comportement expérimental du matériau est représenté par le diagramme

d’endurance et par la droite de Goodman modifiée.

L’endommagement du matériau après application de cycles identiques (figure 2.2)

est basé sur la fraction du travail total absorbé par le matériau.

(2.12)

(2.13)

Figure.2.2. Types de chargement, (a) chargement composée de plusieurs blocs de

sollicitations, (b) nombre de cycles ni du ième bloc, (c) courbe S-N (amplitude de contrainte

en fonction du nombre de cycles).


34

Le matériau est totalement endommagé lorsque d vaut 1. Il s’ensuit l’expression suivante de

la fraction de vie résiduelle au niveau, après application de blocs de cycles de

contrainte :

(2.14)

Où et sont respectivement le nombre de cycles appliqués au niveau et le nombre

de cycles à la ruine par fatigue du matériau sous ce type de chargement. L’application de

l’équation (2.14) au cas d’un chargement à deux niveaux de contrainte donne :

Où et sont les fractions de vie aux niveaux 1 et 2 respectivement.

La représentation graphique de la loi de Miner, dans le repère des fractions de vie , est

une droite diagonale (dite droite de Miner) indépendante du niveau de la sollicitation (figure

III.3).

Figure. 2.3. Courbe des fractions de vie de la loi de Miner (chargement à deux niveaux) [16].

La loi de Miner nécessite uniquement la courbe S-N du matériau. Elle n’a aucun paramètre à

identifier. De ce fait cette loi est la plus simple à appliquer. Elle ne tient pas compte du niveau

d’endommagement du matériau pour la description du dommage engendré par un cycle et elle

ne tient pas compte de l’histoire du chargement. Cette loi ne décrit donc aucun effet de

séquence, elle ne prend pas en compte l’effet d’endommagement des cycles d’amplitude

inférieure à la limite d’endurance du matériau. En fait, cet endommagement n’est pas cumulé

même si les amplitudes appliquées après que l’endommagement du matériau soit initié par un

ou plusieurs cycles d’amplitude supérieure à la limite d’endurance.


35

II.5.2. Modèle de Chang [CHANG, 1980]

Le modèle proposé par Chang est un modèle monodimensionnel d’un composite

unidirectionnel sollicité en traction cyclique [CHANG, 1980]. Il utilise une approche

thermodynamique couplé à la cinétique de l’endommagement fragile en fatigue. Dans le cas

monodimensionnel, la description de l’endommagement par une variable scalaire d est

suffisante. Cette variable est liée au comportement par la relation :

(2.15)

Avec et le module d’Young du matériau endommagé et celui du matériau vierge.

Ce modèle est basé sur le potentiel d’énergie libre qui s’écrit dans le cas d’un matériau

endommagé :

(2.16)

Où est une variable cumulative. En introduisant le critère d’amorçage de

l’endommagement, l’endommagement, la loi d’évolution s’écrit de la manière suivante :

(2.17)

Où est le seuil d’initiation de l’endommagement et (m, n) un couple de paramètres

matériaux identifiés expérimentalement. Dans le cas d’un essai de traction périodique et dans

le cas où d varie très peu au cours de chaque cycle, cette loi devient :

(2.18)

Où A et b sont des paramètres du matériau. Ils sont influencés par le rapport R, la fréquence f

et le niveau de chargement imposé. L’équation 2.16 montre qu’à déformation constante

( ) l’endommagement évolue linéairement. Le modèle ne permet pas de reproduire les

trois stades d’endommagement des thermodurcissables renforcés par des fibres de verre

[CHANG, 1980].

II.5.3. Modèle de Van Paepegem et Degrick [PAEP, 2003]

Van Paepegem et Degrieck ont proposé un modèle monodimensionnel de fatigue basé sur

l'approche résiduelle phénoménologique [27-29]. Ce modèle permet de simuler


36

l’endommagement dû à la fatigue de pièce ou de structure en composite. La figure 2.4 montre

la dégradation du module de Young normalisé ( étant le module de Young initial) en

fonction du nombre de cycles normalisé ( étant le nombre de cycle à rupture)

obtenue par le modèle de Van Paepegem et Degrick [PAEP, 2003], Il y est mis en évidence 3

stades dans l’évolution de . Dans une première partie correspondant à l’initiation de

l’endommagement dans un composite, le rapport diminue rapidement, puis on constate

une évolution quasi linéaire avec une cinétique d’endommagement moins importante et enfin

une dernière étape caractérisée par la chute brutale de et correspondant à l’apparition de

fissures macroscopiques responsables de la ruine de la structure.

Figure. 2.4. Evolution du module de Young normalisé en fonction du nombre de cycles

normalisé caractéristiques d’un composite renforcé par des fibres.

II.5.4. Modèle d’Azouaui [AZOU, 2004]

L’étude concerne le comportement aux chocs des plaques en matériau composite Verre/

Epoxy tissu satin de 8, constituées d’un empilement de tissus de verre E et satin de 8-résine

époxy [AZOU, 2004], encastré en deux cotés et impacté par un projectile cylindrique de tète

hémisphérique.

Sous impacts répétés avec déférentes énergies d’impacts, les éprouvettes sont soumises à des

essais de flexion statiques dont le but de comparer la rigidité des plaques endommagées par

chocs et la rigidité initiale.


37

Les courbes charge – déplacement des plaques composites, montrent des pentes distinctes

caractérisant l’endommagement irréversible des matériaux. Chacune des courbes de charge -

déplacement correspond à un certain nombre d’impacts.

Figure. 2.5. Diagramme Charge - déplacement d’un verre/époxy [AZOU 2004].

Le modèle proposé par Azouaoui est basé sur la loi d’évolution de l’endommagement de

Mankowsky [32], donnée par la relation non-linéaire :

(2.19)

Avec : - paramètre d’endommagement,

- temps normalisé (temps à un instant / temps de rupture ),

a, b et c - paramètres du matériau.

La variable d’endommagement D traduit la perte de rigidité qui subissent les plaques

composites. Celle-ci renseigne sur l’état général de la structure composite à l’état

endommagé, la variable scalaire D est donnée par la relation :

(2.20)

: Rigidité initiale résiduelle en flexion du matériau non endommagé


38

Rigidité résiduelle en flexion du matériau endommagé pour un nombre d’impacts

Avec : (2.21)

Représente respectivement la charge et le déplacement à .

La loi d’évolution de l’endommagement en fonction de la fraction de vie est donnée sous la

forme d’une courbe en « S » caractérisé par la relation non-linéaire [AZOU 04] :

(2.22)

: Fraction de vie (nombre d’impacts Ni/ nombre d’impacts à la rupture Nr)

a, b, c : Constantes expérimentales dépendant du matériau et de l’énergie d’impact.

II.5.5. Modèle de Hedi Nouri [NOURI et al. 09]

Ce modèle [NOURI et al. 07] est développé dans le cadre de la thermodynamique des

processus irréversibles. L’énergie volumique de déformation élastique considérée comme

potentiel thermodynamique est donnée par [Ladevèze et al.98] pour les matériaux orthotropes:

En introduisant les variables d’endommagement dans l’expression, nous obtenons l’équation

qui représente l’énergie de déformation endommagée :

Les variables thermodynamiques Yij associées aux variables d’endommagement dij sont donc

définies par : (2.25)

(2.23)

(2.24)


39

Le potentiel de dissipation a un rapport avec la cinétique de l’endommagement :

(2.26)

Les lois d’évolution de l’endommagement peuvent ainsi être en fonction du nombre de cycles

pour décrire la vitesse de l’endommagement :

(2.27)

Un autre model développé par Hedi Nouri [NOURI et al. 09] explique l’endommagement

total d’une éprouvette soumise à un essai de fatigue comme étant la somme de deux

composants, la première liée à la montée quasi statique pour atteindre l’amplitude maximum

appliquée pour une deuxième partie qui est due à la fatigue par chargement cyclique répété N

cycle.

(2.28)

Ce modèle s'applique au cas de déformations volumiques de plaques minces (σzz = 0) et

l’énergie de déformation à l'état initial dans le cas des contraintes planes est donnée par :

(2.29)

À l’état endommagé l’énergie devient :

𝜉𝑑 =1

2

1

1 − 𝜈𝐿𝑇𝜈𝑇𝐿 𝐸𝐿𝐿

0 1 − 𝑑𝐿𝐿𝑓 𝜀𝐿𝐿 𝜀𝐿𝐿 + 𝜈𝑇𝐿𝜀𝑇𝑇 + + 𝐸𝐿𝐿

0 𝜀𝐿𝐿 𝜀𝐿𝐿 + 𝜈𝑇𝐿𝜀𝑇𝑇 −

+ 𝐸𝑇𝑇0 1 − 𝑑𝑇𝑇

𝑓 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 + + 𝐸𝑇𝑇0 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 −

+ 4𝐺𝐿𝑇0 1 − 𝑑𝐿𝑇

𝑓 𝜀𝐿𝑇2 + 4𝐺𝐿𝑍

0 1 − 𝑑𝐿𝑍𝑓 𝜀𝐿𝑍

2 + 4𝐺𝑇𝑍0 1 − 𝑑𝑇𝑍

𝑓 𝜀𝑇𝑍2

Les variables duales associées à l’endommagement, sont définies par :

(2.31)

(2.30)


40

(2.32)

Avec : (2.33)

Les variations des modules avec l’endommagement sont décrites par :

(2.34)

Avec

Le taux de variation de l’endommagement:

(2.35)

L’utilisation du modèle dans le cadre d’une analyse bidimensionnel nécessite une

identification de douze paramètres , et

.


41

La mesure de l’endommagement a été faite dans le cas d’un déplacement quasi statique et

pour un chargement cyclique.

Figure. 2.6. Variation du déplacement en fonction du temps pour les essais de fatigue à

déplacement imposé [NOURI et al 09].

Les résultats des essais réalisés sur des éprouvettes usinées dans la direction longitudinale et

transversale permettent d’identifier et , et comme étant les moyennes dues à

la montée quasi statique.

-direction longitudinale-

Figure.2.7. Comparaison entre les résultats expérimentaux et les résultats obtenus par

simulation du modèle [NOURI et al 09]

L’identification des paramètres du modèle dans les directions L et T nécessite une méthode

d’identification inverse, Cette procédure consiste à minimiser l’écart entre l’endommagement

donné par l’expérience, et celui calculé numériquement :

t


42

(2.36)

(2.37)

Avec est la fonction objective, basée sur la méthode de Levenberg- Marquardt.

La figure 2.8. montre une comparaison entre le model de Nouri (le nouveau modèle sur la

figure) et le model proposé par Sedrakian [SEDR 06].cette figure présente l’évolution de

l’endommagement et la variation de l’endommagement en fonction du

nombre de cycles N pour deux types de chargements. Le premier chargement appliqué est à

déplacement imposé et le deuxième chargement appliqué est à effort imposé. Dans le cas d’un

déplacement imposé diminue rapidement pour atteindre une valeur constante. Ceci

peut être par exemple expliqué par l’équation (2.35), Y est donc constant. Et l’évolution de

l’endommagement se fait en deux phases.

Le deuxième cas correspond à un chargement à effort imposé, Y n’est alors plus constant, et

croit quand N augmente, et le taux devient plus important avec l’apparaition de la

troixieme phase de l’endommagement [NOURI et al 09].

Figure 2.8. Schématisation de l’endommagement en fonction du nombre de cycles et de la

cinétique de l’endommagement du modèle proposé par Sedrakian.


43

II.5.6. Modèle de Najar [Najar et al 98]

La potentielle thermodynamique est une fonction scalaire, continue, concave par rapport à la

température et convexe par rapport aux autres variables d’état : l’endommagement β(x) et le

vecteur e(x) des 6 composantes du tenseur de déformation élastique ;

(2. 38)

Le second principe de la thermodynamique exprimé par l’inégalité de Clausus-Duhem permet

d’écrire les lois d’états associées au vecteur s(x) des 6 composantes du tenseur des

contraintes, l’entropie et à la force thermodynamique associée à

l’endommagement .

(2. 39)

Pour le cas isotherme et pour un chargement mécanique fonction du temps, la différentielle de

l’énergie spécifique s’écrit

(2. 40)

Où δWs correspond à l’incrément du travail extérieur fourni pour de > 0 et où δWy = y dβ

représente l’incrément de l’énergie Wy dissipée par le système pour dβ > 0. L’intégration de

l’équation de sur la durée du processus de chargement permet d’écrire

(2. 41)

Cette expression exprime l’équilibre entre le travail extérieur fourni lors du processus de

chargement et la somme de l’énergie libre avec celle dissipée par le système. Pour des

conditions initiales données, l’énergie libre spécifique ne dépend que des valeurs finales de la

déformation élastique et de l’endommagement alors que Ws et Wy dépendent de l’histoire du

chargement.

La matrice de rigidité du matériau endommagé est définie par

(2. 42)


44

Elle s’exprime en fonction de l’endommagement et elle décroît linéairement avec β(x) à partir

d’une valeur initiale [A0] = [A](1 − β0(x)). L’endommagement initial β0 correspond à une

déformation initiale nulle e(x) = 0. Ceci représente de point de vue phénoménologique la

présence de micro défauts et de micro fissures à l’état initiale du chargement (micro-défauts

initiaux.

Figure. 2.7. Model de Najar [Sakji et al 06].

Pour un processus de chargement mécanique donné, l’énergie libre s’écrit

(2. 43)

Où ∆Φ(β(x)) = Φ(β(x)) – Φ(β0) correspond à l’incrément de la fonction de dissipation

associée à la variable d’endommagement β(x).

A partir de l’équation précédente on peut extraire une expression de l’endommagement

(2. 44)

Où W perf (x) = < [A] e(x), e(x) > est l’énergie élastique du matériau n’ayant pas subi un

processus d’endommagement.


45

Cette expression met en évidence l’énergie élastique de déformation du matériau endommagé

qu’on note W e(x) = ψ + ∆Φ(β(x)). Soit ∆W e(x) la variation de l’énergie élastique de

déformation par rapport à l’état non endommagé tel que

∆W e(x) = W perf (x) − W e(x) (2. 45)

On obtient une expression définissant la variable d’endommagement β(x) en fonction de la

variation de l’énergie élastique au cours du processus de chargement mécanique et en fonction

de l’énergie du même matériau n’ayant pas subi un processus d’endommagement

(2. 46)

II.5.7. Modèle d’Orfila [Orfila et al 06]

Ce modèle est basé sur la détermination de l'influence de l'anisotropie de flexion sur

l'endommagement d'impact à basse vitesse de composites stratifiés carbone/époxy. Quatre

stratifications de 24 couches sont étudiées. Elles possèdent des propriétés diverses d’isotropie

ou d’anisotropie en membrane et en flexion. L'endommagement d'impact est étudié par

méthode ultrasonore (C-Scan) et par thermographie infrarouge. Les résultats montrent que la

forme et la surface des délaminages ne sont pas affectées par les propriétés d’anisotropie de

membrane. En revanche, l’endommagement est sensiblement plus important pour les stratifiés

fortement anisotropes en flexion, et présente une orientation caractéristique des symétries du

matériau. Ces résultats permettent de mettre en lumière l'importance de la prise en compte des

propriétés de flexion dans la conception des stratifiés.

Tableau 2.1. Séquence d’empilement de matériaux d’étude.


46

Figure 2.8. Diagramme polaire des rigidités pour les quatre séquences étudiées (membrane en

trait plein et flexion en trait pointillé)


47

II.6. CONCLUSION

L’endommagement est associé à la détérioration d’une propriété mécanique qui sert

d’indicateur d’endommagement.

Une normalisation permet de définir un endommagement nul pour le matériau vierge et un

endommagement égal à l’unité pour le matériau rompu.

L’évolution de l’endommagement en fonction du nombre de cycle est souvent non linéaire,

contrairement à la loi de Miner.

Des lois d’évolution continument croissantes, telles celles d’Azouaoui, Van Paepegem et

Nouri peuvent être utilisées.

Plusieurs modèles d’endommagement anisotropes ont été proposés dans la littérature, faisant

intervenir des tenseurs d’ordre deux ou supérieur, mais qui restent très compliqués quant à

leur utilisation, et ce qui est le ca en général aux problèmes de l’endommagement.

Cela nous a permis de choisir, parmi les modèles étudiés, ceux qui nous ont parus les plus

adaptés aux développements envisagés dans ce travail.

CHAPITRE III : Analyse du comportement mécanique de composite

48

CHAPITRE III

Analyse du comportement mécanique de composite

III. 1. CONTEXTE

L’objectif de ce chapitre est de dégager différentes caractéristiques du comportement

d’un composite stratifié unidirectionnel soumis à des essais de flexions, en exploitant l’outil

informatique pour caractériser le matériau élaboré analytiquement et par une simulation

numérique, à l’aide du logiciel ABAQUS.

Les résultats de l’étude sont comparés avec ceux obtenus dans le model d’Azouaoui [AZOU

2004] pour un matériau non endommagé, qui nous sert de référence pour l’analyse de modèle

d’endommagement de fatigue par chocs.

Pour cela nous suivons deux démarches pour la caractérisation de l’endommagement du

matériau en étude, commençant par la détermination d’un programme Mathématica susceptible

de nous renseigner sur l’état de plaque composite sein et endommagé, après avoir exploitant la

courbe charge-déplacement obtenue par l’essai de fatigue par chocs d’Azouaoui [AZOU 04] .

III.2. Présentation de cibles

Il s’agit des plaques composites en verre-époxy (VEUD), fabriquées à partir de nappes

pré-imprégnées unidirectionnelles dans lesquelles ont été découpés des plis qui sont ensuite

empilés suivant une séquence donnée. Ce composite est constitué de 9 plis (Figure 3.1) répartis

selon la configuration . La surface des plaques est de 280x 180mm², pour une

épaisseur de 5,4mm. Ces éprouvettes ont été fabriquées par la société MOC SA [AZOU 04].

Figure. 3.1. Nappes unidirectionnelles (VEUD).


49

III.2.1. Flexion des plaques VEUD

2.1.1. Description du matériau de l’essai

Il s’agit de flexion des plaques composites en matériaux stratifiés d’empilement symétrique

croisé de séquence , pour lesquels il n’existe pas de couplage en membrane-

flexion/torsion (§ 2.5.3), les termes sont nuls ( ), une simplification est apportée dans

le cas où il n’existe pas de couplage flexion torsion : les termes et sont nuls

( ). Le comportement d’un stratifié croisé symétrique est donc identique au

comportement d’une plaque orthotrope rapportée à ses axes principaux.

Les caractéristiques mécaniques de composites unidirectionnels à matrice époxyde-fibres de

verre de type E sont données dans le tableau A1 (voir l’annexe 1) :

Pennons les modules de l’ingénieur dont on a besoin pour évaluer les résultats de l’essai de

flexion :

Tableau 3.1 Les modules de l’ingénieur du VEUD.

On considère une plaque rectangulaire soumise à une charge concentré au centre (le cas de

l’essai d’Azouaoui), l’expression de la flèche en tout point de la plaque est donnée pas la relation

(3.15), qui nous permet d’évaluer les valeurs de la flèche au centre de la plaque ( ) et les

comparer avec celles obtenues par l’expérience.

Ensuite la plaque est encastrée aux deux extrémités, pour cela il est nécessaire de résoudre

l’équation différentielle obtenue.

Les solutions approchées du problème de flexion avec encastrement seront calculées par le code

Mathematica.

2.1.2. Conditions de l’essai

L’essai de flexion s’est réalisé grâce à une machine conventionnelle de traction-compression de

type INSTRON (voir l’annexe 2)

Les plaques ont été sollicitées par une flexion statique (à petite vitesse pour éviter l’effet

viscoélastique).

46 10 4,6 0,31


50

La charge P est appliquée au centre de la plaque ( ), qui est encastrée en deux cotés

(Figure 3.2.)

Figure. 3.2. Dimensions du VEUD

Les dimensions de la plaque sont rapportées dans le tableau suivant :

Tableau 3.2. Dimensions du VEUD.

Dans le cas où la plaque est en appuis simples :

On considère la plaque en appuis simple sur les quatre cotés, avec une charge concentrée

(Figure.3.2.), la flèche au point est donnée par la relation (3.15)

Avec :

Les valeurs de la flèche en tout point du stratifié sont calculées à l’aide d’un programme

Mathématica (programme de résolution, Annexe 3)

Le programme a été évalué pour nous permettre d’estimer la valeurs approchée de la flèche avec

différentes valeur de m et n.

Les valeurs de la flèche maximale pour différentes valeurs de n et m introduites dans

l’équation (3.15) avec une charge de 1kN, Tableau 3.3.

280 180 5,4 9


51

Tableau 3.3. Valeurs de la flèche maximale.

Cette somme converge vers la valeur : .

Figure. 3.3. Cartographie de la flèche

Dans ce cas, le problème de flexion est résolu en explicitant les résultats exacts des équations

fondamentales vérifiant les conditions aux frontières d’appuis simples (1.30) et (1.31).

1 1 0,001818

2 2 0,001818

3 3 0,001886

4 4 0,001886

5 5 0,001899

6 6 0,001899

7 7 0,001904

8 8 0,001904

9 9 0,001905

10 10 0,001905

20 20 0,001907

100 100 0,001908

200 200 0,001908


52

La distribution des contraintes dans l’épaisseur est discontinue (§I.4.6.b), les résultats obtenus de

et sont en fonction de l’épaisseur et de la matrice de rigidité de chaque couche du

stratifié, (voir équation 1.44 et 1.45).

Dans le cas général, la théorie classique considère la surface inferieure de la plaque ( )

comme étant un plan de référence, alors on abouti à des valeurs positives de contraintes, (voir

§I.4.6.b, Figure 1.5.)

Au centre de la plaque, les valeurs des contraintes sont données dans les figures.3.4 et 3.5.

Figure. 3.4. Distribution de la contrainte dans l’épaisseur.



53

La théorie classique des stratifiés repose sur l’hypothèse de la nullité des cisaillements

transverse, qui néglige les effets de bords et fait appelle à la condition de Kirchhoff pour un bord

libre, il est donc nécessaire de procéder une méthode plus efficace, à savoir les méthodes

énergétiques (Ritz) ou les éléments finis (simulation numérique).

La résolution du système d'équations pour la théorie classique des stratifiés avec prise en compte

de cisaillement transverse pour une plaque rectangulaire à bord libres ne peut être résolu,

qu’avec des simplifications pour quelques cas analytiques simples suppose une écriture sous

forme énergétique de relations fondamentales de stratifiés. Ce qui nous amène à résoudre ce

problème par la méthode des éléments finis, pour cela l’utilisation d’un code de calcul s’impose,

le logiciel ABAQUS sera utilisé dans ce travail.

III.3.1. Comportement de la plaque par simulation :

La plaque modélisée par éléments finis a les mêmes caractéristiques avec celle de l’essai

pratique Tableau 3.2. subit un chargement P à son centre et encastrée à deux extrémités, la

figure. 3.3. décrit les conditions de l’essai avec le chargement appliqué.

Les modules de l’ingénieur du matériau composite utilisé (VEUD) sont spécifiés Tableau 3.1.

avec la séquence d’empilement .

Une étude est faite sur le maillage de la structure pour atteindre la convergence spatiale de la

discrétisation et obtenir ainsi des résultats numériques indépendants du maillage (taille et

nombre d’éléments).

Figure. 3.5. Géométrie de la plaque VEUD, chargement et maillage.


54

Afin de simuler au mieux l’essai de flexion quasi-statique, les deux extrimitées de la plaque sont

encastrées et tous les nœuds y sont bloqués en translation et en rotation.

III.3.2. Choix de l’élément

Il y a plusieurs éléments de coque dans ABAQUS, dont chacun est placé dans une des trois

catégories : coques d'usage général (S3R, S4R), coques épaisses (S8R, S8RT), et coques minces

(STRI3, STRI35, S4R5, STRI65, S8R5, S9R5). Les coques d'usage général sont recommandées

pour les déformations dues à l'effort de cisaillement transverse. Les coques minces doivent être

utilisées seulement si la déformation en cisaillement transverse est négligeable, dans ce cas, les

éléments satisfont l'hypothèse de Kirchhoff à travers l'analyse. Les coques épaisses prennent

compte de la déformation en cisaillement transverse et devraient être utilisées quand cette

déformation est importante dans le modèle.

Les petites déformations des éléments (S3R, S4R) permettent à l'épaisseur de l'élément de

changer lors de l'analyse. Les épaisseurs de la petite déformation des éléments (STRI3, STRI35,

S4R5, STRI65, S8R, S8RT, S8R5, S9R5) ne changent pas durant l'analyse. Afin d'obtenir un

modèle totalement non-linéaire, la petite déformation des éléments doit être utilisée.

L'élément S4R montré sur la Figure.3.6. permis de réduire la quantité de temps CPU nécessaire

pour l'analyse du modèle, et il fournit généralement des résultats qui sont plus précis.

Figure. 3.6. L’élément S4R.

Le maillage est d’éléments à dominante quadrilatères avec une taille globale approximative des

éléments de la plaque de 5 mm (Approximate global size =5), les éléments sont de type S4R.


55

III.3.3. Résultats de l’essai

Figure. 3.7. Distribution de la flèche sur la plaque.

Le comportement du matériau charge-déplacement suit une loi linéaire, ce qui implique que la

rigidité est constante en flexion, et les résultats numériques par la simulation se confondent avec

l’expérience, ce qui justifié le choix de maillage.

Pour une charge de 1kN, la flèche vaut 1,755mm.

Figure. 3.8. Courbe charge déplacement.


56


Figure. 3.10. Distribution de la déformation dans l’épaisseur.


57

On fait un choix d’un élément quelconque de la plaque pour voir la distribution des contraintes

et des déformations le long de l’épaisseur, les résultats trouvés après chargement montrent que

les contraintes suivant les directions longitudinales, transversale et le cisaillement s’annulent au

niveau du plan moyen ( ), et sont toujours positives au niveau de la surface inferieure et

s’oppose au chargement de la surface supérieure, la contrainte est nulle ( ), ce qui

confirme le comportement de plaque avec la prise en compte de l’hypothèse des contraintes

planes dans notre étude.

Les déformations sont aussi positives au niveau de la surface inférieure, on constate alors qu’il

ya une compression au niveau de la surface du chargement et une traction dans la surface

opposée, ce qui nous donne une tendance de comportement de la plaque au cours d’un essai de

fatigue par impacts.

III.4. Modélisation de l’essai de fatigue par chocs

Afin de modéliser l’essai de l’impact par chocs sur le code Abaqus, il est recommandé de faire

une description de l’essai de fatigue par chocs répétés sur des plaques de VEUD dans le but de

déterminer les conditions de l’essai expérimental, la géométrie du projectile de l’impact, ainsi

que les résultats obtenus.

III.4.1 Aperçu sur l’essai d’Azouaoui [AZOU 04]

La machine de fatigue par chocs se caractérise par son system bielle-manivelle, qui transforme le

mouvement de rotation continue en un mouvement de translation alternatif, et qui permet de

fournir des impacts cycliques. Ce système est entrainé par un moteur alternatif, qui permet de

modifier la fréquence des chocs (jusqu’à 10Hz), la vitesse de projectile et par conséquent la

force d’impact [AZOU 04].

L’éprouvette est maintenue sur la machine de fatigue par chocs grâce à un montage spécifique.

La plaque est encastrée sur deux bords dans ce montage (Figure 3.11) qui lui-même, est fixé sur

bâti de la machine de fatigue par chocs, ce montage est conçu de telle sorte à être utilisé sur la

machine universelle de traction afin de contrôler la rigidité de plaque impactée. Sans avoir

recoure au démontage de l’éprouvette.


58

Figure. 3.11. Montage d’essai de l’éprouvette.

Le cylindre projectile, de 35mm de diamètre, possède une tête hémisphérique pesant 5kg pour

assurer un contact ponctuel lors de l’impact.

Les essais de fatigue par chocs sont interrompus à des intervalles de temps réguliers afin

d’examiner les variations de rigidités des éprouvettes, le contrôle des rigidités se fait grâce à un

essai de flexion sur une machine conventionnelle de traction-compression pour évaluer les

courbes de charge-flèche au point d’impact.

Figure. 3.12. Courbe charge-flèche pour différents nombre d’impacts.


59

Figure. 3.13. Pics de déformation de VEUD pour différentes vitesses d’impact.

III.4.2. Comportement de la plaque impactée par la simulation :

On prend la même plaque modélisée par éléments finis pour l’essai de flexion, avec les

mêmes caractéristiques, et les conditions aux frontières.

La plaque est impactée par un projectile dont les caractéristiques sont les mêmes que

ceux de l’essai expérimental Tableau 3.3.

Le projectile est en acier de forme cylindrique avec une tete hémisphérique, dont la

géométrie satisfait un poids de 5kg avec un volume de , Figure 3.14.

Tableau 3. 3. Caractéristiques de projectile.

Figure 3.14. Géométrie du projectile (l’impacteur)

210 0,31 35 5


60

Le type de maillage est Tet (tetrahedral elements) avec une taille globale approximative des

éléments de la plaque de 5 mm (Approximate global size =5), les éléments sont de type S4R.

Figure 3.15. Position du projectile

Le projectile est placé au centre de la plaque, dont l’axe du cylindre est perpendiculaire avec la

surface latérale de la plaque, afin d’avoir un impact ponctuel, le projectile situé à une distance de

10mm avant de percuter la plaque.

On fait varier la vitesse du projectile dont le but d’impacter la plaque avec différentes énergies.

La densité d’énergie de déformation est proportionnelle au carré de la vitesse suivant la relation

de l’énergie cinétique du projectile :

Avec : la vitesse du projectile suivant l’axe (oz).

: la masse du projectile.

Sous impact unique, l’énergie d’impact dépend de la masse et la vitesse du projectile.

La flèche maximale de la surface d’impact et post-impact de plaque composite dans un temps

de 16 ms, pour une vitesse de 1 m/s, est montrée dans la Figure 3.16. a et b.


61

a- La surface de l’impact.

b- La surface post-impact

Figure 3.17. La flèche maximale dans la plaque VEUD.


62

Les déformations d’un élément de la plaque situé au point de l’impact au cours de l’essai suivant

les trois directions LL, TT et LT est montré dans la Figure 3.18.

Figure 3.18. Courbe de déformations au cours de l’impact.

Les déformations dans les directions LL, avec déférentes vitesses d’impact : 0,8m/s, 1m/s et

1,3m/s pour une durée de 16 ms, Figure 3.19.

Figure 3.19. Pics de déformation de VEUD pour différentes vitesses d’impact.


63

L’énergie de déformation élastique des plaques augmente avec l’augmentation de la vitesse

d’impact, Figure 3.20.

Figure 3.20. L’énergie élastique pour différentes vitesses d’impact.

Il en résulte que l’énergie de déformation élastique est proportionnelle au carré de la vitesse

suivant la relation de l’énergie cinétique du projectile, Figure 3.21. :

Figure 3.20. L’énergie cinétique pour différentes vitesses d’impact.


64

Pour un matériau non endommagé, une grande partie de l’énergie cinétique du projectile se

convertit en énergie élastique de déformation pour les trois vitesses d’impacts.

Des dissipations de l’énergie de l’impact sont dues au frottement du projectile avec la plaque,

ainsi que l’effet viscoélastique du matériau pris en considération par le code de calcul ABAQUS

(voir Figure 4.1. et Figure 4.2. de l’annexe IV)

Les effets viscoélastiques sont négligeables devant l’énergie cinétique du projectile lors de

l’impact, alors que la dissipation en frottement peut diminuer considérablement l’énergie

d’impact.


65

III.5. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons effectué une synthèse nécessaire à l’analyse du modèle de

comportement de composite à la fatigue par chocs à l’aide de la simulation numérique, ainsi que

l’évolution de la flèche d’une plaque soumise à l’essai de flexion, analytiquement et par la

simulation.

Cela nous a permis de comparer les comportements mécanique du composite dans le cadre de la

théorie classique de stratifiés, et par la simulation numérique.

La comparaison des résultats obtenus par les tests [AZOU 2004], nous a conduit de les utiliser

pour analyser des différents modèles de la fatigue des composites pour aboutir à une approche

convenable à notre étude.

.

CHAPITRE IV : Paramètres d’endommagement du composite par chocs.

66

CHAPITRE IV

Paramètres d’endommagement du composite par chocs

VI.1. Introduction :

Dans cette partie, nous nous intéressons à la modélisation du comportement du

matériau composite, unidirectionnel ou stratifié, dans le but de prévoir les propriétés

mécaniques en continu au cours de sollicitations mécaniques de la fatigue par chocs, et ceci

pour les conditions de l’essai déjà vues dans les chapitres précédents, afin de pouvoir

généralisé l’approche de l’évaluation de l’endommagement. Nous abordons tout d’abord dans

ce chapitre une présentation brève de la forme de l’énergie de déformation élastique d’un

matériau composite, afin d’exploiter la courbe charge-déplacement de composite verre-époxy

endommagé ou non, pour différentes valeurs de nombre d’impacts, obtenue par l’essai de

fatigue par chocs de Azouaoui (Figure 4.1.).

Figure 4.1. Courbe charge déplacement [Azouaoui 04].


67

IV.2. Approche d’endommagement en fatigue par chocs de composites

L’énergie de déformation élastique d’un matériau composite soumis à des

sollicitations externes avec divers conditions aux limites est assez compliquée à évaluer dans

le cadre de la théorie classique des stratifiés .

Des solutions approchées sont proposées pour définir cette énergie dans le cas de stratifiés

orthotropes [Jack R et al. 04], dont le problème de flexion ne peut être résolu qu’avec des

méthodes d’approximation. La méthode de Ritz définit l’énergie de déformation comme suit :

(4.1)

Les termes sont en fonction de modules d’élasticité ( , et ), du nombre de plis,

l’épaisseur, l’orientation et la séquence des couches du composite (§I.4.5.c).

Dans le cadre des contrainte planes, la plaque sollicitée doit être maintenue en deux

dimensions, on définit le composite (VEUD) comme étant un milieu continu homogène.

On fait appel à la théorie de l’énergie de déformation et la densité de l’énergie [Arthur P B et

al. 96]. L’énergie interne U pour un volume V dans un solide élastique est exprimée par :

(4.2)

La variation de l’énergie interne devient :

(4.3)

L’énergie de déformation par unité de volume, ou la densité de l’énergie de déformation,

dépend généralement dans le cas des contraintes planes, en négligeant l’effet viscoélastique et

de la température, de déformations élastiques :

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)


68

Figure 4.2. Courbe de l’énergie de déformation [Arthur P B et al. 96].

Où exprime l’énergie complémentaire.

Pour un matériau non endommagé, l’énergie de déformation s’écrit :

𝜉𝑑0 =

1

2

1

1 − 𝜈𝐿𝑇𝜈𝑇𝐿

𝐸𝐿𝐿0 𝜀𝐿𝐿 𝜀𝐿𝐿 + 𝜈𝑇𝐿𝜀𝑇𝑇 + + 𝐸𝐿𝐿


+ 𝐸𝑇𝑇0 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 + + 𝐸𝑇𝑇

0 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 − + 4𝐺𝐿𝑇0 𝜀𝐿𝑇

2

(4.8)

Dans le cas d’un matériau ayant subi un endommagent par fatigue, l’énergie de déformation

diminue (§ II.5.5.) :

𝜉𝑑 =1

2

1

1 − 𝜈𝐿𝑇𝜈𝑇𝐿 𝐸𝐿𝐿

0 1 − 𝑑𝐿𝐿𝑓 𝜀𝐿𝐿 𝜀𝐿𝐿 + 𝜈𝑇𝐿𝜀𝑇𝑇 + + 𝐸𝐿𝐿


+ 𝐸𝑇𝑇0 1 − 𝑑𝑇𝑇

𝑓 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 + + 𝐸𝑇𝑇0 𝜀𝑇𝑇 𝜀𝑇𝑇 + 𝜈𝐿𝑇𝜀𝐿𝐿 −

+ 4𝐺𝐿𝑇0 1 − 𝑑𝐿𝑇

𝑓 𝜀𝐿𝑇2

L’évolution de l’endommagement est supposé positive dans le cas où le matériau est sollicité

en traction (l’ouverture de fissures), et nulle dans en cas de compression

L’endommagement évolue toujours dans le cas d’un cisaillement (LT)

(4.9)


69

Dans les cas de l’essai de flexion, les contraintes considérées sont positives dans la surface

inférieure au chargement (§ III.3.3.)

Najar a proposé un modèle en se basant sur l’évolution de l’énergie de déformation élastique

au cours du processus de chargement mécanique jusqu’à l’endommagement, et en fonction de

l’énergie du même matériau n’ayant pas subi un processus d’endommagement (§II.5.6.)

Dans un essai de flexion, l’énergie de déformation élastique varie dans les trois directions

Figure 4.3. Variation de l’énergie de déformation élastique

En résumé, à l’état endommagé et non endommagé d’un matériau homogène orthotrope,

l’énergie de déformation s’écrit successivement sous la forme suivante :

𝜉𝑑 =1

2 𝜎𝐿𝐿 + 1 − 𝑑𝐿𝐿

𝑓 𝜀𝐿𝐿 + 𝜎𝐿𝐿 −𝜀𝐿𝐿 + 𝜎𝑇𝑇 + 1 − 𝑑𝑇𝑇𝑓 𝜀𝑇𝑇 + 𝜎𝑇𝑇 −𝜀𝑇𝑇

+ 2𝜎𝐿𝑇 1 − 𝑑𝐿𝑇𝑓 𝜀𝐿𝑇

(4.11)

(4.10)


70

Les rapports entre les énergies de déformations expriment les paramètres d’endommagement

dans la direction chaine, trame et cisaillement, ces variations dépendent des états initiaux du

matériau. La relation (2. 46) du modèle de Najar peut être exprimée sous la forme :

(4.12)

Avec : la contrainte à l’état non endommagé.

Dans cette expression, on aboutit au principe d’équivalence des déformations et le couplage

endommagement-élasticité dans le cas de l’élasticité linéaire unidirectionnelle de Lemaitre,

Ainsi que le concept de la contrainte effective de Chaboche (§ II.3.)

On prend la plaque en VEUD soumis aux mêmes conditions de l’essai d’Azouaoui, encastrées

en deux cotés et chargée au centre (§III.3.1.), et on fait un choix de trois éléments 1, 2 et 3

quelconques de la plaque dans le but d’évaluer les contrainte dans la surface qui s’oppose au

chargement en flexion (Figure 4.4.).

Figure 4.4. Choix d’éléments de la plaque composite.

La distribution de contraintes et déformation le long de l’épaisseur pour les trois éléments

choisis pour une charge de 1KN est montrée sur les figures ci-dessous (Figure 4.5.)

2

1

3


71

Elément 01

Elément 02

Elément 03

Figure 4.5. Distribution de contraintes, déformations dans l’épaisseur.


72

Les contraintes et les déformations dans les directions LL et TT sont toujours positives dans la

face arrière du chargement, ce qui favorise l’endommagement sur cette face.

Pour la direction LT, l’endommagement est toujours établi quelque soit le signe de la

contrainte et de la déformation.

Figure 4.6. L’évolution de la charge-flèche.

A l’état endommagé, la chute de la rigidité du matériau en VEUD s’accompagne par une

chute du niveau de chargement de P0 (chargement à l’état non endommagé) à P pour le même

déplacement W.

Rappelons que la forme de l’énergie de déformation pour un matériau à l’état initial et après

endommagement par fatigue est donnée par la forme suivante :

Dans le cas d’un essai de fatigue par chocs à effort imposés, les déformations dans les trois

directions LL, TT et LT restent constantes avec une chute de rigidité de après un

nombre N de cycles d’impacts.

W

P0

P


73

(4.13)

Les courbes contrainte- déformation dans la direction LL des trois éléments choisis de la

plaque après un nombre de cycles de N (N=2430 impacts) sont montrées sur la figure 4.7, en

utilisant les valeurs de contraintes et déformations

Figure 4.7. Les courbes contrainte- déformation en fonction du nombre de cycles.

Les contraintes et les déformations dans les trois éléments sont considérablement différentes

en tenant compte de leurs positions sur la plaque.

La relation des paramètres d’endommagement en fonction des contraintes à l’état initial du

matériau, et après endommagement permet de quantifier numériquement la chute de rigidité

suivant les trois directions LL, TT et LT.


74

À partir de l’équation (4.10), les paramètres de l’endommagement peuvent être déterminés

en fonction de la charge appliquée, en utilisant un calcul Excel pour ce travail, les résultats

obtenus sont les suivants (Figure 4.8.) :

Figure 4.8. L’évolution de la charge-flèche.

Les paramètres dépendent de contraintes avant et après l’endommagement avec les mêmes

déformations (Figure 4.7), ce qui nous conduit à connaitre l’influence du niveau de

chargement en flexion sur ces paramètres.

Les résultats de calcul obtenus montrent que les ces paramètres dépendent essentiellement du

niveau de chargement de la plaque en flexion, et n’ont pas un rapport avec la direction (L, T et

LT) et la position (les éléments 1, 2 et 3).

En tout point de la plaque le paramètre de l’endommagement est unique pour un niveau de

chargement donné :

L’égalité des paramètres d’endommagement s’explique par la variation uniforme de la flèche

au cours de l’histoire du chargement cyclique au centre de la plaque, ce qui implique que la

variation de la rigidité de la plaque ne dépend que de la charge appliquée (Figure 4.9)


75

Figure 4.9. La distribution de la flèche dans la plaque impactée.

La forme circulaire de la flèche peut être dépendre aussi de la séquence d’empilement du

stratifié composite (§ II.5.7.), ce qui favorise un comportement isotropique de la plaque en

flexion.

Il suffit donc de calculer un seul paramètre d’endommagement correspondant aux trois

directions chaine, trame et cisaillement de la plaque composite.

Il existe une linéarité entre les paramètres d’endommagement et la charge appliquée en

flexion, cette linéarité est traduite par une fonction de premier ordre de la forme :

La relation entre le paramètre d’endommagement est la charge appliquée peut être écrite sous

la forme :

(4.14)

Avec a, b deux paramètres dépendant du nombre de cycles d’impacts par fatigue et des

caractéristiques du matériau composite.

Le paramètre b peut décrire l’endommagement du matériau avec un chargement nul pour

l’essai de flexion à N nombre d’impacts donné.


76

Figure 4.10. Variation du paramètre d’endommagent en fonction de la charge appliquée.

Les expressions de paramètres d’endommagement déterminées analytiquement en utilisant la

fonction courbe de tendance du logiciel Microsoft Excel, permettent de connaitre les

caractéristiques du matériau endommagé pour chaque nombre de cycle d’impact avec

différents niveaux de chargement en flexion.

L’évolution des paramètres d’endommagement avec le nombre de cycles de fatigue indique

bien le type du chargement dans cet essai, qui est un chargement piloté à déplacement imposé,

Figure 4.11.

Dans ce cas, le troisième stade de l’évolution n’apparait qu’avec un très grand nombre de

cycles, du fait que le déplacement maximum du projectile reste constant avec la déformation

maximale de la plaque au cours de l’essai de fatigue.


77

N(impacts)

P= 0 P= 0,5 KN P= 1 KN P= 1,5 KN P= 2 KN

0

0 0 0 0 0

2430

0,2215 0,2098 0,1982 0,1865 0,1749

6425

0,4393 0,3878 0,3364 0,2849 0,2335

215979

0,6526 0,5826 0,5127 0,4427 0,3728

233987

0,7459 0,6771 0,6083 0,5395 0,4707

337883

0,7282 0,6867 0,6453 0,6038 0,5624

387301

0,8251 0,7792 0,7333 0,6874 0,6415

436956

0,8215 0,7864 0,7513 0,7162 0,6811

486378

0,8285 0,7997 0,7709 0,7421 0,7133

535547

0,8712 0,8472 0,8232 0,7992 0,7752

560471

0,8559 0,8475 0,8392 0,83085 0,8225

572018

0,8403 0,8464 0,8526 0,85875 0,8649

Tableau 4.1. Paramètres d’endommagement en fonction de la charge appliquée et du nombre

de cycles de fatigue.

Figure 4.11. Evolution de paramètres d’endommagement en fonction de la charge appliquée

et du nombre de cycles de fatigue.


78

0 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

La figure (Figure 4.11) présente l’évolution de l’endommagement par fatigue en fonction

de nombre de cycles pour différents niveaux de chargement , dans ce cas le chargement

est à déplacement imposé et la cinétique de l’endommagement se fait en deux phase : une

augmentation rapide non linéaire, suivi d’une croissance linéaire.

Dans le cas d’un déplacement imposé, la valeur de Y est constante (§II.5.5) contrairement au

cas d’un chargement imposé.

L’évolution de l’endommagement ce fait alors en deux phases : une augmentation rapide

non linéaire, suivi d’une croissance linéaire. En utilisant la fonction ( ) ou

bien la fonction ( ) du code de calcul Mathematica, pour estimer les paramètres du modèle.

Figure 4.12. L’évolution de paramètres du model d’endommagement.

Nombre de cycles d'impacts (N)


79

Pour une charge P de 1KN, les paramètres du model sont alors :

Tableau 4.2. Paramètres du model

La linéarité entre les paramètres d’endommagement et la charge appliquée dans l’essai de

flexion statique après avoir effectué N nombre de cycles de fatigue, permet d’évaluer les

courbes charge-déplacement.

Les relations charge-déplacement à l’état initial et endommagé sont :

(4.15)

(4.16)

: sont respectivement la charge appliquée, la rigidité initiale en flexion et la

flèche de la plaque à l’état initial.

Du tableau 4.1, on peut évaluer les courbe charge déplacement, en utilisant les expressions

analytiques de chargement en fonction du paramètre d’endommagement et du nombre de

cycles d’impacts pour vérifier la tendance des courbes déterminées analytiquement avec

l’expérience.

La figure 4.13 illustre la variation de la flèche en fonction de la charge appliquée pour

différents nombres d’impacts.


80

Figure 4.13. Courbes charge-déplacement analytiquement et par l’expérience.

IV.4. Conclusion

L’endommagement en fatigue de composites thermodurcissable renforcés par des fibres de

verre dans le cas d’un chargement à déplacement imposé est caractérisé par deux phases

d’endommagement. L’èvolut ion de l’endommagement en fonction du nombre de cycles

commence à èvoluer à partir d’une valeur d’endommagement b dû aux impacts répétés.

Cette phase correspond à l’adoucissement. Ensuite l’endommagement continu à croitre

linéairement avec une pente croissante, cette évolution linéaire ou quasi- linéaire correspond à

la deuxième phase de cumul de l’endommagement, la troisième phase n’apparait qu’partir

d’un nombre de cycles très élevé.

La non linéarité de courbes charge déplacement explique que la rigidité de matériau varie au

cours du chargement de flexion à partir d’une valeur initiale (1-b)R0.

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

82


Devant l’utilisation croissante des matériaux composites, le développement de moyens de

caractérisation structurale et mécanique fiables est devenu un enjeu important sur le plan

scientifique et technologique. En effet, la connaissance précise des propriétés mécaniques des

constituants, de leur morphologie et de leur arrangement ainsi que la mesure précise des

propriétés effectives des matériaux composites, sont des conditions nécessaires à la résolution

d’un grand nombre de problèmes reliant le comportement global à la microstructure. Par

ailleurs, l’évolution des propriétés effectives en fonction des conditions d’utilisation en

service peut permettre la caractérisation de l’endommagement de ces matériaux, afin

d’optimiser leur utilisation et d’évaluer leur durée de vie.

Ce travail a été effectué afin de mettre en évidence l’effet des essais de fatigue par chocs sur

le comportement mécanique en flexion des stratifiés composites en verre/époxy (VEUD).

L’analyse du comportement de matériau lors d’un essai de fatigue par chocs répétés constitue

une contribution à la compréhension et à la modélisation de la cinétique d’endommagement

dans les thermodurcissables renforcés par des fibres de verre sous chargements cycliques.

Une synthèse a été effectuée en se basant sur l’étude de différents modèles de comportement

de composites soumis à la fatigue par chocs, à l’aide de la simulation numérique, ainsi que

l’évolution des caractéristiques mécaniques de VEUD lors d’un essai de flexion, à savoir la

rigidité et la flèche déterminées analytiquement dans le cadre de la théorie classique des

stratifiés .

L’endommagement en fatigue de composites thermodurcissable renforcés par des fibres de

verre dans le cas d’un chargement à déplacement imposé est caractérisé par deux phases.

L’èvolution de parametres d’endommagement en fonction du nombre de cycles de fatigue

commence à èvoluer à partir d’une valeur d’endommagement b dû aux impacts répétés.

Cette phase correspond à l’adoucissement. Ensuite l’endommagement continue à croitre

linéairement avec une pente croissante, cette évolution linéaire ou quasi- linéaire correspond à


83

La deuxième phase de cumul de l’endommagement, la troisième phase n’apparaisse qu’partir

d’un nombre de cycles très élevé.

La non linéarité de courbes charge déplacement indique que la rigidité du matériau n’est pas

constante pour un nombre de cycles de fatigue donné.

Parmi les différents problèmes qui restent à étudiés dans la perspective de la continuation de

cette études on peut citer :

- Implémenter l’approche de l’endommagement de stratifiés unidirectionnels dans le

code de calcul ABAQUS.

- Trouver la relation existante entre les coefficients liants les paramètres

d’endommagement et la charge appliquée lors d’un essai de flexion, avec les

paramètres du modèle.

- Développer analytiquement la forme de la rigidité lors d’un essai de flexion de

composite soumis à divers conditions aux limites, à savoir le cas d’un bord libre.

- Faire une décomposition énergétique des différentes énergies mise en jeu lors de

l’impact.

84

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88

Annexe I

Dénomination des composants du composite

2.1 La matrice époxy

Les réseaux époxy appartiennent à la classe des thermodurcissables. Ces polymères sont des

composés macromoléculaires formant un réseau tridimensionnel après réaction chimique. Ces

réseaux époxy résultent de la réticulation d’un polymère ou résine de type époxy

(prépolymère) et d’un durcisseur (agent de réticulation).

2.2 Le renfort de fibre de verre

Le renfort se compose de fibres de verre de type E, qui constituent la quasi totalité de la

fabrication de verre textile produit actuellement. Il est fourni par la société Hexcel Composite.

89

TABLEAU A1. Caractéristiques mécaniques mesurées sur divers composites matrice

époxyde-fibres unidirectionnelles [Jean-Marie 05]

Verre

E R

Carbone

HM HR

Kevlar

49

Propriétés

mesurées sur des

monofilaments

Masse volumique (kg/m3)

Module d’Young (GPa)


Contrainte à la rupture (MPa)

Allongement à la rupture (%)

2600 2550

73 86

0,22 0,22

3400 4400

4,5 4,5

1950 1750

380 260

2200 2500

0,6 1,0

1450

135

3500

2,5

Caractéristiques

mesurées sur un

composite

unidirectionnel à

matrice époxyde

Fraction volumique

Masse volumique (kg/m3)

Module d’Young

Longitudinal (GPa)

Module d’Young

Transversal (GPa)

Module de cisaillement

longitudinal (GPa)


Contrainte de rupture

en traction (MPa)


en flexion (MPa)


en compression (MPa)


en cisaillement (MPa)

Caractéristiques

spécifiques (MN m/kg)

(MN m/kg)

0,60 0,60

2040 2010

46 52

10 13,6

4,6 4,7

0,31 0,31

1400 1900

1500 1500

910 970

70 70

22,5 25,9

686 945

0,60 0,60

1650 1550

230 159

14,4 14,3

4,9 4,8

0,32 0,32

800 1380

1250 1850

900 1430

70 80

139 103

485 890

0,60

1370

84

5,6

2,1

0,34

1400

280

70

61

1022

Matrice époxyde : , , , .

90

Annexe II

PLAQUES RECTANGULAIRES EN APPUIS SIMPLES SUR DEUX COTES [Jean-

Marie 05]

Cas d’une charge quelconque

On considère, le cas d’une plaque rectangulaire, soumise à une charge transverse répartie

et encastré sur deux cotés : le coté et . Les conditions sur les cotés

et sont pas précisées, les conditions de chargement sont identique avec celles de

la figure (1.4), la charge est développée suivant une double série de Fourier (1.32), et nous

recherchons une solution de la forme :

(II.1)

Ou est une fonction à déterminer, le deuxième terme est la solution trouvée en (1.38)

pour une charge concentrée au centre de la plaque.

L’expression (II.1) satisfait les conditions sur les deux encastrements. En reportant

l’expression (II.1) dans l’équation (1.29), nous obtenons :

(II.2)

Cette expression est vérifiée si est une solution de l’équation différentielle :

(II.3)

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :

(II.4)

L’équation permettant de trouver le coefficient s’obtient en reportant (II.3) dans (II.4),

soit :

(II.5)

Qui constitue l’équation caractéristique. Les racines sont de la forme :

91

.

La forme finale de dépond de la nature des racines

Cas des racines complexes

Dans le cas des racines complexes :

et , avec

La fonction s’écrit :

(II.6)

La flèche s’écrit alors :

𝑤0 𝑥, 𝑦 = 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋 𝑟2

𝑥

𝑏+ 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑟2

𝑥

𝑏 cosh 𝑛𝜋𝑟1

𝑥

𝑏

∞

𝑛=1

+ 𝐶𝑛 cos 𝑛𝜋 𝑟2

𝑥

𝑏+ 𝐷𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑟2

𝑥

𝑏 sinh 𝑛𝜋𝑟1

𝑥

𝑏

+𝑎4

𝜋4

𝑞𝑚𝑛

𝐷𝑚𝑛

∞

𝑛=1

∞

𝑚=1

sin 𝑚𝜋𝑥

𝑎sin 𝑛𝜋

𝑦

𝑏

(II.7)

92

Annexe III

Programme de résolution (cas d’appuis simples sur les quatre cotés)

a=0.28;

b=0.18;

El=46*(10^9);

Et=10*(10^9);

Glt=4.6*(10^9);

Nult=0.31;

ep=0.6*(10^-3);

s=9;

i=1;

j=2;

Nieme=1;

Mieme=1;

Do[

Do[

ClearAll[x,y,P,e0,e90,e,R,RE,RQ,alpha,Q11,Q12,Q22,Q66,D11,D12,D22,D66,Dmn,Q

mn,W0];

e0=ep*(s+1)/2;

e90=ep*(s-1)/2;

e=e0+e90;

R=a/b;

RE=e0/e90;

RQ=Et/El;

alpha=(1/((1+RE)^3))+(RE*(s-3)*(RE*(s-1)+2*(s+1))/(((s^2)-

1)*((1+RE)^3)));

Q11=El/(1-((Nult^2)*Et/El));

Q12=Nult*Et/(1-((Nult^2)*Et/El));

Q22=Et/(1-((Nult^2)*Et/El));

Q66=Glt;

Q11'=Q22;

Q12'=Q12;

Q22'=Q11;

Q66'=Q66;

D11=(((RQ-1)*alpha)+1)*Q11*(e^3)/12;

D12=Q12*(e^3)/12;

D22=(((1-RQ)*alpha)+RQ)*Q11*(e^3)/12;

D66=Q66*(e^3)/12;

Dmn=(D11*(m^4))+(2*(D12+2*D66)*(m^2)*(n^2)*(R^2))+(D22*(n^4)*(R^4));

Qmn=4*P (Sin[m*Pi/2]*Sin[n*Pi/2])/(a*b);

W0=((a^4)/(Pi^4))*Sum[Sum[(Qmn/Dmn)*Sin[m*Pi*x/a]*Sin[n*Pi*y/b],{m,1,Mieme,

1}],{n,1,Nieme,1}];

ClearAll[x,y,P];

x=a/2;

y=b/2;

P=1000;

Print["pour n=",Nieme,", W0max= ",W0],{Nieme,200,200,1}]

,{Mieme,200,200,1}]

Do[

xx[i]=((a^2)/(Pi^2))*i*ep*Sum[Sum[(Qmn/Dmn)*(((m^2)*Q11)+(n^2)*(R^2)*Q12)*

Sin[m*Pi*x/a]*Sin[n*Pi*y/b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

yy[i]=((a^2)/(Pi^2))*i*ep*Sum[Sum[(Qmn/Dmn)*(((m^2)*Q12)+(n^2)*(R^2)*Q22)*Sin[m*Pi*x/a]*Sin[n*Pi*y/b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

93

xy[i]=-

2*((a^2)/(Pi^2))*R*Q66*i*ep*Sum[Sum[m*n*(Qmn/Dmn)*Cos[m*Pi*x/a]*Cos[n*Pi*y/

b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

Print[yy[i]],{i,1,s,2}]

Do[

xx[j]=((a^2)/(Pi^2))*j*ep*Sum[Sum[(Qmn/Dmn)*(((m^2)*Q11')+(n^2)*(R^2)*Q12'

)*Sin[m*Pi*x/a]*Sin[n*Pi*y/b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

yy[j]=((a^2)/(Pi^2))*j*ep*Sum[Sum[(Qmn/Dmn)*(((m^2)*Q12')+(n^2)*(R^2)*Q22'

)*Sin[m*Pi*x/a]*Sin[n*Pi*y/b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

xy[j]=-

2*((a^2)/(Pi^2))*R*Q66'*j*ep*Sum[Sum[m*n*(Qmn/Dmn)*Cos[m*Pi*x/a]*Cos[n*Pi*y

/b],{m,1,Mieme,1}],{n,1,Nieme,1}];

Print[yy[j]],{j,2,s-1,2}]

Plot3D[W0,{x,0,a},{y,0,b},ColorFunction Function[{x,y,z},Hue[z]]]

ClearAll[W0,a,b,s,i,ep,El,Et,Glt,Nult];

94

Programme de résolution (cas de deux appuis opposés, et deux encastrements)

In[1] ≔

a = 0.28;

b = 0.18;

El = 46*10^9;

Et = 10*10^9;

Glt = 4.6*10^9;

Nult = 0.31;

ep = 0.6/10^3;

s = 9;

Nieme = 1;

Mieme = 1;

Do[Print["pour n=", Nieme, ", Wmax= ", Wmax]*

Do[ClearAll[x, y, , r1, r2, P, e0, e90, e, R, RE, RQ, alpha, Q11, Q12, Q22, Q66, D11, D12, D22, D66, Dmn, Qmn, FD, Wmax,

dWmax, Wmax0, dWmax0, Wmaxa, dWmaxa, SFD, SWmax, An, Bn, Cn,

Dn]; e0 = (1/2)*ep*(s + 1); e90 = (1/2)*ep*(s - 1);

e = e0 + e90; R = a/b; RE = e0/e90; RQ = Et/El;

alpha = (RE*(s - 3)*(RE*(s - 1) + 2*(s + 1)))/

((RE + 1)^3*(s^2 - 1)) + 1/(RE + 1)^3;

Q11 = El/(1 - (Et*Nult^2)/El);

Q12 = (Et*Nult)/(1 - (Et*Nult^2)/El);

Q22 = Et/(1 - (Et*Nult^2)/El); Q66 = Glt;

D11 = (1/12)*e^3*Q11*(alpha*(RQ - 1) + 1);

D12 = (e^3*Q12)/12; D22 = (1/12)*e^3*Q11*(alpha*(1 - RQ) +

RQ); D66 = (e^3*Q66)/12;

Dmn = D11*m^4 + 2*m^2*n^2*R^2*(D12 + 2*D66) + D22*n^4*R^4;

Qmn = (4*P*(Sin[(Pi*m)/2]*Sin[(Pi*n)/2]))/(a*b);

= E^((Pi*n*x*)/b); ClearAll[x];

FD = (D22*(Pi^4*n^4)*)/b^4 - (2*(Pi^2*n^2)*(D12 + 2*D66)*

D[, {x, 2}])/b^2 + D11*D[, {x, 4}];

SFD = Solve[FD == 0, ]; /. SFD[[4]];

r1 = Re[ /. SFD[[4]]]; r2 = Im[ /. SFD[[4]]]; ClearAll[Wmax, dWmax];

Wmax = (a^4*Sum[Sum[(Qmn*Sin[(Pi*m*x)/a]*Sin[(Pi*n*y)/b])/

Dmn, {m, 1, Mieme, 1}], {n, 1, Nieme, 1}])/Pi^4 +

Sum[Cosh[(Pi*n*r1*x)/b]*(An*Cos[(Pi*n*r2*x)/b] +

Bn*Sin[(Pi*n*r2*x)/b]) + Sinh[(Pi*n*r1*x)/b]*

(Cn*Cos[(Pi*n*r2*x)/b] + Dn*Sin[(Pi*n*r2*x)/b]),

{n, 1, Nieme, 1}]; N[Wmax]; dWmax = D[Wmax, x];

ClearAll[x, P, Wmax0, dWmax0, Wmaxa, dWmaxa]; x = 0;

Wmax0 = N[Wmax]; dWmax0 = N[dWmax]; Clear[x]; x = a;

Wmaxa = N[Wmax]; dWmaxa = N[dWmax]; Clear[x];

SWmax = NSolve[{Wmax0 == 0, dWmax0 == 0, Wmaxa == 0,

dWmaxa == 0}, {An, Bn, Cn, Dn}]; An = An /. SWmax[[1]];

Bn = Bn /. SWmax[[1]]; Cn = Cn /. SWmax[[1]];

Dn = Dn /. SWmax[[1]]; ClearAll[x, y, P]; x = a/2; y = b/2;

P = 1000; Print["pour m=", Mieme, ", Wmax= ", Wmax],

95

{Mieme, 1, 10, 1}], {Nieme, 1, 10, 1}]

Plot3D[Wmax, {x, 0, a}, {y, 0, b}]

ClearAll[a, b, s, ep, El, Et, Glt, Nult];

Annexe IV

Figure 4.1. Dissipation par frottement pour vitesses déférentes.

96

Figure 4.2. Dissipation par l’effet viscoélastique pour vitesses déférentes.

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