Mélanges des gaz

20 mars 2003 Gnralits et mlanges de gaz parfaits 320

12 Mlanges de gaz

On sest principalement limit jusqu prsent ltude des substances pures. Or,bon nombre de problmes thermodynamiques font intervenir des mlanges desubstances pures.

On sintressera dans ce chapitre aux proprits thermodynamiques des mlangesde gaz, et plus particulirement des mlanges de gaz parfaits. Ceci nous conduira considrer un modle simplifi pour des mlanges de gaz dont un est condensablecomme le mlange dair et de vapeur deau.

12.1 Gnralits et mlanges de gaz parfaits

Soit un mlange de ns constituants, chacun tant une substance pure. La masse et lenombre de moles totaux sont respectivement

m = m1 + m2 + . . . + mns =

mi

n = n1 + n2 + . . . + nns =

ni

JJ J Contents Back I II Mlanges de gaz


On caractrise ce mlange par le titre ou fraction molaire

yi =nin

(12.1)

ou par le titre ou fraction massique

zi =mim

(12.2)

Ces deux grandeurs sont videmment lies. En effet, puisque mi = niMi o Mi estla masse molaire du constituant i,

zi =niMin jM j

=yiMiy jM j

(12.3)

Inversment,

yi =nin=

mi/Mim j/M j

=zi/Miz j/M j

(12.4)

La masse molaire du mlange vaut, elle

M =mn=

yiMi =

1zi/Mi

(12.5)



On considre plusieurs quantits de gaz de nature diffrente la mme pression et la mme temprature. On les met en contact, et on les laisse diffuser jusqu cequils forment un mlange homogne. Ce faisant, on constate que les deux loissuivantes sont vrifies.

12.1.1 Premire loi des mlanges

Le mlange de gaz seffectue sans variation de volume si la pression et la tempraturene varient pas.

En pratique, le volume total tant constant au cours de la transformation, onconstate que ni pression ni temprature ne varient au cours du mlange.

Par consquent, Vi tant le volume occup initialement par le constituant i, et Vtant le volume total

V =

Vi (12.6)

Il en rsulte quun mlange de gaz parfaits obit la loi de BOYLE-MARIOTTE. Eneffet,

pV =

pVi =

niRT =

miRiT = f (T )



12.1.2 Deuxime loi des mlanges

Lnergie interne dun mlange de gaz parfaits est gale la somme des nergies

internes de chacun des constituants la mme temprature.

En pratique, on constate que le mlange seffectue dans change de chaleur (par uneexprience analogue celle de JOULE p. ex.), et donc sans variation dnergieinterne (puisquil ny a pas de travail reu non plus).

U =

Ui =

niui =

miui (12.7)

On en dduit que, puisque lnergie interne de chaque constituant ne dpend quede la temprature, il en va de mme de lnergie interne du mlange.

Puisque le mlange de gaz parfaits obit aux lois de JOULE et de BOYLE-MARIOTTE,il constitue galement un gaz parfait : il obit la loi des gaz pV = nRT , et sesproprits sont calculables pour autant que lon connaisse lune des chaleursmassiques.



12.1.3 Enthalpie dun mlange

Comme H = U + pV , il rsulte des deux lois de mlanges que

H =

Hi =

nihi =

mihi (12.8)

12.1.4 La pression partielle dun constituant

Considrons un mlange de gaz parfaits de composition connue une pression p etune temprature T donnes et occupant un volume V donn. Si chaque constituanttait seul occuper le volume, sa pression vaudrait

piV = niRT = pVi (12.9)

o Vi serait le volume occup par le constituant i la pression p et la tempratureT . Par consquent, en vertu de la premire loi des mlanges

piV = p

Vi

pi = p (12.10)

rsultat connu sous le nom de loi de Dalton. On donne ds lors la grandeur pi lenom de pression partielle du constituant i.



Il en rsulte quepip=

ViV=

nin= yi (12.11)

12.1.5 Chaleurs massiques dun mlange

En divisant les quations (12.712.8) par la masse globale du mlange, on obtient lesvariantes massiques

u =

ziui h =

zihi

do, en drivant par rapport la temprature

cv =

zicv,i cp =

zicp,i (12.12)

12.1.6 Entropie dun mlange

Lentropie dun gaz parfait est fonction non seulement de la temprature, mais ausside la pression. Comme chaque constituant est sa pression partielle,

S =

ni si(T, pi) (12.13)



On peut tirer de cette relation la variation dentropie au cours de lopration de

mlange considre en dbut de section. Chaque constituant tant initialement

pression p et aprs mlange sa pression partielle pi,

S b S a =

ni(si(T, pi) si(T, p)) = R

ni ln(

pip

)= R

ni ln yi (12.14)

Une conclusion intressante est que la variation dentropie ne dpend que du

nombre de mles de chaque constituant, et non de leur nature. Ainsi,

laugmentation dentropie due au mlange dune mole dazote avec une mole

doxygne est identique celle due au mlange dune mole dazote avec une mole

dhydrogne. Mais dautre part, il est clair quil ny a pas de variation dentropie si

lon mlange une mole dazote avec une autre mole dazote ! La variation dentropie

dpend donc de notre capacit distinguer les gaz mlangs.


20 mars 2003 Modle simplifi dun mlange dun gaz et dune vapeur condensable 327

12.2 Modle simplifi dun mlange dun gaz et dune vapeur condensable

12.2.1 Gnralits

On considre prsent le cas dun mlange dun gaz avec une vapeur condensable.Lexemple le plus familier est le mlange dair et de vapeur deau que lon rencontredans les problmes de conditionnement dair et de schage. Dans certainescirconstances, la vapeur se condense partiellement, et est donc en quilibre avecune phase liquide (ou solide).

Ce genre de problmes sanalyse aisment en faisant les hypothses suivantes :

1. la phase liquide ou solide ne contient aucun gaz dissous ;

2. la phase gazeuse peut tre considre comme un mlange de gaz parfaits ;

3. lquilibre entre la phase liquide et le mlange une pression et unetemprature donnes nest pas influenc par la prsence de lautre constituant.Il sensuit qu lquilibre, la pression partielle de vapeur est gale la pressionde saturation la temprature du mlange.



Considrons tout dabord un mlange gaz-vapeur une temprature T suprieure la temprature de saturation correspondant la pression partielle de la vapeur, desorte que la vapeur est surchauffe. Corollairement, la pression partielle estinfrieure la pression de saturation la temprature donne.

Si lon refroidit le mlange pression constante, alors la vapeur va se condenserlorsque la temprature atteint la temprature de saturation correspondant lapression partielle de la vapeur. On appelle cette temprature la temprature derose du mlange. La situation est illustre dans le diagramme T s de la vapeurci-dessous.



12.2.2 Lhumidit relative

Si la pression partielle de vapeur est prcisment gale la pression de saturation

la temprature considre, le mlange est appel mlange satur ( air satur pour

le mlange air-vapeur deau).

On dfinit lhumidit relative comme le rapport entre la fraction molaire de la

vapeur celle dun mlange satur la mme temprature et la mme pression

globale. Comme la fraction molaire est gale au rapport pression partielle/pression

globale, on a donc

=pvpsat

(12.15)

Par exemple, dans le cas reprsent dans le diagramme prcdent,

1 =p1p4



12.2.3 Lhumidit absolue

Lhumidit absolue dun mlange air-vapeur deau est le rapport de la masse devapeur deau la masse dair

=mvma

(12.16)

La dfinition sappique galement tout autre mlange gaz-vapeur, et lindice adsigne le gaz non condensable. Lhumidit absolue est directement lie au titremassique en vapeur. Comme z = mv/m, et m = ma + mv,

=zvza=

zv1 zv

zv =

1 +

tablissons prsent la relation entre humidits absolue et relative.

=mvma=

pvpa

RaRv=

pvp pv

MvMa=

MvMa

psatp psat

(12.17)

et dans le cas de lair humide, Mv/Ma = 0, 622. En inversant cette relation, on



obtient

=

MaMv

1 + MaMv

ppsat

(12.18)

12.2.4 Remarques complmentaires

Considrons nouveau le refroidissement isobare dun mlange gaz-vapeur.

Au-dessus de la temprature de rose, la

pression partielle de vapeur reste constante.

Lorsque la temprature atteint la tempra-

ture de rose, la vapeur atteint ltat de sa-

turation 2, et il apparat un condensat liquide

satur en quilibre avec la vapeur (tat 4). Si

on continue abaisser la temprature, alors

la pression partielle de vapeur diminue et les

phases liquide et vapeur se dplacent sur la

cloche de saturation.


20 mars 2003 Transformations de lair humide 332

12.3 Transformations de lair humide

On considre des transformations dans des systmes ouverts stationnaires faisantintervenir un mlange gaz-vapeur tel que lair humide. Pour analyser ce type dedispositifs, on utilise la loi de conservation de la masse (pour chaque constituant) etle premier principe.

12.3.1 Chauffage isobare

Comme il sagit dun chauffage, la vapeur

ne peut se condenser, et par consquent

2 = 1. Le premier principe, scrit

(maha2 + mvhv2) (maha1 + mvhv1) = Q

En divisant par le dbit dair ma, on ob-

tient

(ha2 + 2hv2) (ha1 + 1hv1) =Qma



La grandeur ha + hv est lenthalpie du mlange par kg dair sec. Pour faciliter

lcriture, on la dsigne par le symbole ha. Semblablement, on dsigne par le

symbole qa la quantit de chaleur reue par kg dair sec. Lexpression prcdente

devient alors

ha2 ha1 = qa

Lair et la vapeur tant supposes se comporter comme des gaz parfaits,

qa = (cp,a + cp,v)(T2 T1)

Remarquons enfin que, puisque la pression de saturation augmente, lhumidit

relative diminue.

2 =pv

psat,2< 1 =

pvpsat,1



12.3.2 Mlange adiabatique

Considrons le mlange adiabatique de

deux flux dair humide. La conservation

de la masse dair et de vapeur scrivent

ma1 + ma2 = ma3

ma11 + ma22 = ma33

et lon obtient lhumidit absolue du m-

lange de sortie3 partir de la deuxime

quation.Dautre part, vu que le mlange est adiabatique, le premier principe scrit

ma1ha1 + ma2h

a2 = ma3h

a3

relation qui permet de dterminer la temprature de sortie T3.



12.3.3 Asschement par refroidissement

On suppose que la temprature de sor-

tie est infrieure la temprature de

rose du mlange dentre. Dans ces

conditions, une partie de la vapeur se

condense.On suppose que le liquide condens est en quilibre avec la vapeur dans ltat desortie. Les quations de conservation de la masse sont ds lors

ma1 = ma2 = ma

ma11 = ma22 + ml2 ml2ma= 1 2

Appliquons prsent le premier principe

maha2 + ml2hl2 maha1 = Q = Q

En divisant par le dbit massique dair sec, on obtient lexpression de la quantit de



chaleur extraire par kg dair sec

qa = ha1 ha2 (1 2)hl2

que lon peut encore dvelopper comme suit

qa = ha1 ha2 + 1hv1 2hv2 (1 2)hl2= ha1 ha2 + 2(hv1 hv2) + (1 2)(hv1 hl2)= ha1 ha2 + 2(hv1 hv2) + (1 2)(hv1 hv2 + hv2 hl2

=L

)

et sous cette forme, la quantit de chaleur extraite apparat comme la somme de la partie correspondant au refroidissement de lair sec, ha1 ha2, la partie correspondant au refroidissement de la vapeur rsiduelle, 2(hv1 hv2),

et la partie correspondant au refroidissement suivi de la condensation de la vapeur

qui se condense.



12.3.4 Saturation adiabatique

La saturation adiabatique est un processus par lequel un mlange air-vapeur deauest mis en contact avec une masse deau dans une canalisation bien isole.

Si le mlange entrant nest pas satur, de leau svapore et la temprature dumlange diminue. La temprature de sortie lorsque le mlange de sortie est saturest appele temprature de saturation adiabatique.

Les quations de conservation de la masse sont semblables celles de la sectionprcdente, de sorte que

mlma= 2 1

Si lon suppose que le liquide vapor est temprature T2 (en quilibre thermique



avec le mlange de sortie), le premier principe donne

maha2 mlhl2 maha1 = 0

ou encore, en divisant par le dbit dair sec

ha2 = ha1 + (2 1)hl2

expression que lon peut dvelopper comme suit

ha1 ha2 = 2hv2 1hv1 (2 1)hl2= 2L 1(hv1 hl2) = 1(hv1 hv2) + (2 1)L (12.19)

Une conclusion intressante de cette relation est que la temprature de saturationadiabatique ne dpend que de la temprature et de lhumidit du mlange dentre(et bien sr de la pression) puisque, le mlange de sortie tant satur, 2 estfonction de la temprature T2. Par consquent, lhumidit du mlange dentre peuttre dtermine en mesurant la temprature dentre et de sortie.


20 mars 2003 Le psychromtre 339

12.4 Le psychromtre

Comme on la vu la section prcdente, le phnomne dvaporation de leau aucontact dun air humide non satur peut tre mis profit pour dterminerlhumidit de cet air. On effectue habituellement ce type de mesure laide dunpsychromtre tel que reprsent dans le schma suivant, constitu dunthermomtre sec et dun thermomtre humide placs au sein dun coulement dair.

Le mlange ntant pas satur, une partie de leau de la mche svapore, ce quientrane une chute de la temprature de leau de la mche. Il en rsulte un transfert


20 mars 2003 Le psychromtre 340

de chaleur de lair et du thermomtre vers la mche jusqu ce quun tat dquilibre

dtermin par les taux dvaporation et de transfert de chaleur soit atteint.

Comme le taux dvaporation dpend de lhumidit du mlange initial, il sensuit

que la temprature dquilibre est dautant plus faible que lhumidit du mlange

initial est faible, et donc la diffrence de temprature entre les deux thermomtres

constitue une mesure de cette humidit.

Les phnomnes intervenant dans le psychromtre sont clairement diffrents de

ceux intervenant dans le processus de saturation adiabatique dcrit la section

prcdente. Toutefois, au voisinage des conditions de pression et de temprature

atmosphriques, on constate que les tempratures de thermomtre humide et de

saturation adiabatique sont quasiment gales.

En premire approximation, on peut donc calculer lhumidit en supposant que la

temprature de thermomtre humide est la temprature adiabatique de saturation.

Pour plus de prcision, il faut recourir au diagramme dtalonnage du psychromtre.


20 mars 2003 Le diagramme psychromtrique 341

12.5 Le diagramme psychromtrique

Bien que les transformations de lair humide puissent se calculer analytiquementcomme on la vu dans les exemples prcdents, on prfre souvent en pratiqueutiliser un diagramme psychromtrique.

Le diagramme psychromtrique classique reprsente un ensemble de propritsthermodynamique de lair humide une pression donne en fonction de latemprature de thermomtre sec en abscisse et de lhumidit absolue en ordonne.On y trouve (voir exemple ci-aprs) des courbes iso-humidit relative, calcules partir de la relation (12.17)

=MvMa

psatp psat

des isothermes humides, assimiles des iso-temprature de saturationadiabatique, dont lquation est donne par (12.19)

(hv(T ) hl(Ts)) = (p, psat(Ts))L(Ts) (ha(T ) ha(Ts))



Comme hv(T ) hl(Ts) L(Ts) hv(Ts), ces courbes sont pratiquement desdroites.

des iso-enthalpie par kg dair sec. Comme, si lon nglige lenthalpie du liquide qui

est vapor, le processus de saturation adiabatique est un processus enthalpie

par kg dair sec constant (voir (12.19)), il sagit de droites qui se superposent aux

isothermes humides.




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