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Université A. MIRA, Béjaïa Année universitaire 2006-2007 Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 5ème Année. Module : Méthode des Eléments Finis

EPREUVE DE MOYENNE DUREE (DUREE : 02H00)

Questions de cours (3 pts)

1) Pourquoi utilise-t-on la forme intégrale faible dans les équations d’éléments finis.

2) Quelle est la différence entre un problème de valeurs initiales et un problème de valeurs aux limites. Lequel des deux qui s’apprête bien pour un traitement en éléments finis.

3) Quelle est la différence entre l’interpolation nodale et l’interpolation polynomiale. Problème Une poutre console, de longueur Lp = 3 m et de section carrée Ap = 30×30 cm2, est encastrée à une extrémité et chargée à l’autre extrémité par une force verticale F = 75 KN. La poutre est en béton de module d’élasticité Eb = 32000 MPa.

Partie 1 : Console seule (2.5 pts)

1) Calculer la matrice de rigidité Kp de la poutre et écrire le système d’équations matriciel élémentaire en respectant la numérotation de la figure ci-contre.

2) Appliquer les conditions d’encastrement et résoudre le système réduit. Vérifier les efforts à l’encastrement.

Partie 2 : Console et barre (8.5 pts)

On fixe à l’aide de deux articulations (rotules), à l’extrémité libre de la poutre et au sol, une barre en acier inclinée tel que montré sur la figure. La section de la barre est Ab = 25 cm2 et le module d’élasticité de l’acier est Es = 200000 MPa.

1) Calculer la matrice de rigidité Kb de la barre inclinée avec prise en compte des degrés de liberté de déplacement transversal et de rotation.

2) Introduire le déplacement axial dans la matrice de rigidité Kp de la poutre.

3) Assembler les deux matrices Kb et Kp en respectant la numérotation des nœuds donnée dans la figure et écrire le vecteur force global (pour tous les nœuds de la structure).

4) Appliquer les conditions aux limites et écrire le système d’équations à résoudre.

5) Résoudre le système et donner les déplacements et les rotations des nœuds.

6) Calculer la force axiale dans la barre et la poutre. NB : Les expressions des matrices élémentaires sont données dans la partie 3

Partie 3 : Programmation (6 Pts)

Compléter le programme MATLAB de la page 2 qui permet de calculer les déplacements aux nœuds.

Bonne chance A. Seghir

4 m

3 m

75 K

N

Barre

2 Poutre

3 m

1

3

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Eb = 3.2e10; Ea = 2.0e11; % Modules d'élasticité du béton et de l'acier

L = 3.0; h = 0.3; % Longueur de la poutre et hauteur (largeur) de sa section

Ap = h^2....; % Section de la poutre

I = ..h^4/12.........; % Moment d’inertie de la poutre

Ab = 25e-4; % Section de la barre

Lb = 5.0.....; % Longueurs de la barre

% Matrice de rigidité flexionnelle de la poutre Kf = Eb*I/L^3*[ 12 6*L -12 6*L 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 -12 -6*L 12 -6*L 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];

% Matrice de rigidité axiale de la poutre

Ka = Eb*Ap/L*[ 1 -1 ; -1 1 ];

% Comportement mixte de la poutre : axial - flexionnel

Kp([ 2 3 5 6 ] , [2 3 5 6 ]) = Kf;

Kp([1 4], [1 4 ]) = Ka;

% Introduction du déplacement vertical et de la rotation dans la matrice de rigidité de la barre

Kb = zeros(6);

Kb([1 4 ], [1 4]) = Ea*Ab/Lb*[ 1 -1; -1 1]

c = 3/5; s = 4/ 5; % matrice de rotation

r = [ c s 0 % rotation pour un noeud

-s c 0

0 0 1];

R = kron(eye(2) , r ); % rotation pour les deux noeuds

Kb = (R)’ * Kb * R; % rotation de la patrice de rigidité

% Assemblage des deux éléments poutre et barre

K = zeros(9);

K(1:6 , 1:6 ) = K(1:6 , 1:6) + Kp;

K(4:9 , 4:9 ) = K(4:9 , 4:9) + Kb;

% Application des conditions aux limites

i = [1, 2, 3, 7, 8, 9]; % DDLs à supprimer

K(:,i) = [];

K(i,:) = [];

F = [0 ; 75e3 ; 0 ]; % Vecteur force

U = K\F ; % solution

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Solution du problème Partie 1 1) Matrice de rigidité élémentaire de la poutre en flexion

44−4

10⋅756=12

= mhI .

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

46−1226−4612−612

=

2

22

3

LsymLLLLLL

LIEK b

p

Kp = [ 9.6 14.4 -9.6 14.4 14.4 28.8 -14.4 14.4 -9.6 -14.4 9.6 -14.4 14.4 14.4 -14.4 28.8] MN/m Système d’équation : Kp U = F ; Avec F = [ 0 0 75000 0 ]T

2) Application des conditions d’encastrement : nœud 1 bloqué ; le système se réduit à :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

075000

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧θ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡828414−414−69

106v

....

;

v = −3.125 cm

θ = −1.563 10−2 rad Vérification des efforts : Fe = Kp*Ue = [ 9.6 14.4 -9.6 14.4] [0 ] [75 ] [ 14.4 28.8 -14.4 14.4] [0 ] [225] [ -9.6 -14.4 9.6 -14.4] * [-3.125 ] = [-75] 1E3 [ 14.4 14.4 -14.4 28.8] [-1.563 ] [0 ] On retrouve les réactions d’appuis : Rz = 75 KN et My = 225 KNm (75KN × 3m)

Partie 2 1) Matrice de rigidité de la barre avec prise en compte du déplacement transversal et de la rotation : Barre horizontale :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000000000001001−000000000000001−001−

=′b

abe L

EAK

Avec : mMNLEAb

ab /100=

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Matrice de rotation de la barre Cosinus et sinus de l’angle : c = 3/5 =0.6 et s = 4/5 = 0.8 R = [ 0.6 0.8 0 0 0 0 -0.8 0.6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 0 -0.8 0.6 0 0 0 0 0 1 ] La matrice de rigidité de la barre inclinée : RKRK e

Tb ′=

Kb = [ 36 48 0 -36 -48 0 48 64 0 -48 -64 0 0 0 0 0 0 0 -36 -48 0 36 48 0 -48 -64 0 48 64 0 0 0 0 0 0 0 ] MN/m 2) Introduction du déplacement axial dans la matrice de rigidité de la poutre La matrice de rigidité axiale de la poutre : Ka = Eb*Ap/L*[ 1 -1 -1 1 ]; Ka = 960[ 1 -1 -1 1] MN/m La matrice de rigidité combinant la rigidité axiale et flexionnelle Kp = [ 960 0 0 -960 0 0 0 9.6 14.4 0 -9.6 14.4 0 14.4 28.8 0 -14.4 14.4 -960 0 0 960 0 0 0 -9.6 -14.4 0 9.6 -14.4 0 14.4 14.4 0 -14.4 28.8 ] MN/m 4) Assemblage des deux éléments et vecteur force global K = [ 960 0 0 -960 0 0 0 0 0 0 9.6 14.4 0 -9.6 14.4 0 0 0 0 14.4 28.8 0 -14.4 14.4 0 0 0 -960 0 0 996 48 0 -36 -48 0 0 -9.6 -14.4 48 73.6 -14,4 -48 -64 0 0 14.4 14.4 0 -14.4 28,8 0 0 0 0 0 0 -36 -48 0 36 48 0 0 0 0 -48 -64 0 48 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] MN/m F = [ 0 0 0 0 -75e3 0 0 0 0]T

Remarque : la dernière équation du système donne 0=0 peut être supprimée et le système se réduit à 8×8 6) Application des conditions aux limites : Suppression des DDLs : [1 2 3 7 8 9] K = [ 996 48 0 48 73.6 -14.4 0 -14.4 28.8 ] MN/m F = [ 0 -75e3 0 ]T

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6) Résolution du système U = [0.0564 mm -1.1703 mm -0.5851 e-3 rad] 7) Réactions et efforts : Poutre Fp = Kp * [0 0 0 0.0564 -1.1703 -0.5851 ]T = Fp = [-54.1435 2.8087 8.4261 54.1435 -2.8087 0]T

La force axiale est une compression de 54.14 KN Barre Fe = Kb * [0.0564 -1.1703 -0.5851 0 0 0]T

Fe = [-54.1435 -72.1913 0 54.1435 72.1913 0] L’efforts dans la barre F = c*Fe(1)+s*Fe(2) = -90.24 KN C’est une compression