M.E.D.A.L.

M.E.D.A.L.M.E.D.A.L.

Module d’Enseignement à Distance Module d’Enseignement à Distance pour l’Architecture Logiciellepour l’Architecture Logicielle

Alain VAILLYDiapositive n° 1 IUP MIAGE - Université de NANTES

IUP-MIAGE 1ère année

Les réseaux de PETRI (1)

MEDALMEDAL

Alain VAILLYDiapositive n° 2

Cours magistral

Contexte

Auto-évaluation

Exercices

Corrigés des

exercices

RéférencesEvaluation

IUP MIAGE - Université de NANTES


Etudes de cas

comportements



Cours magistral

- le modèle E-A-P

- les modèles de traitement de Merise

informations

fonctions

- le modèle relationnel

1) Introduction

2) Notions de base

3) Utilisation des Réseaux de PETRI

4) Extensions intéressantes

5) Conclusion

PLAN

- les réseaux de PETRI



Cours magistral

1) Introduction

2) Notions de base



5) Conclusion

PLAN



Cours magistral

PLAN

1) Introduction

2) Notions de base



5) Conclusion



Cours magistral1) Introduction

PLAN

2) Notions de base



5) Conclusion




PLAN



5) Conclusion

2) Notions de base




PLAN


5) Conclusion

2) Notions de base





PLAN5) Conclusion

2) Notions de base






PLAN

5) Conclusion

2) Notions de base4) Extensions intéressantes




Cours magistral

5) Conclusion

PLAN

4) Extensions intéressantes2) Notions de base

4.1) Arcs inhibiteurs4.2) Réseaux colorés

3.1) Modélisation3.1.1) Logique sous-jacente3.1.2) Modélisation3.1.3) Erreurs à éviter3.2) Vérification de propriétés3.2.1) Définitions complémentaires3.2.2) Vérification de propriétés3.2.3) A propos de l’équation d’état

2.1) Arcs, places et transitions2.2) Jetons, poids et marquages2.3) Notions complémentaires2.4) Dynamique des RdP

1) Introduction

5) Conclusion



1) Introduction



• Modèle du comportement,

• Formalisme ancien, très utilisé,

• Formalisme qui repose sur une théorie mathématique,

• Spectre d’utilisation large, des systèmes d’information aux protocoles de réseaux, en passant par les algorithmes d’allocation de ressources...

• Formalisme étudié dans le seul contexte des systèmes d’information, pour décrire la dynamique du système.

On va pouvoir faire des On va pouvoir faire des calculs !calculs !


1) Introduction



Il y a deux façons d’aborder la présentation des réseaux de PETRI, par la formalisation et par le pragmatisme. La

première approche amène à parler de graphe, de matrice… La seconde nous conduira à utiliser une représentation graphique.

Selon nous, il faut les deux, surtout dans la mesure où le principal intérêt de ces réseaux de PETRI réside dans la

possibilité de faire faire « à la machine » des calculs … pour vérifier des propriétés, pour faire évoluer le réseau …

Un réseau de PETRI, informellement, c’est :



2) Notions de base

- un ensemble de quatre notions,

- un marquage,

- un ensemble de règles déterminant l’évolution de ce marquage,

- un moniteur pour mettre en application ces règles.

RRéseau dde PPETRI

RdPRdP

des jetons dans des placesdes jetons dans des places

des placesdes places

des transitionsdes transitions

des arcsdes arcs

des jetonsdes jetons

Un réseau de PETRI correspond à un graphe bi-parties, les arcs reliant une place à une transition ou une transition à une place, mais

jamais une place à une place ou une transition à une transition :



2) Notions de base2.1) Arcs, places et transitions

P = {P1, P2, …, Pn}

T = {Ta, Tb, …, Tx}

A P x T T x P

Ensemble fini de places

Ensemble fini de transitions

Ensemble fini d’arcs

Px

Py

Ta

Tb

P1

Ta

placeplace

transitiontransition

arcarc

Chaque place peut contenir des objets appelés jetonsjetons. A priori, la capacité d’une place est infinie.



2) Notions de base2.2) Jetons, poids et marquages

Le marquage, à un instant t, du réseau correspond au nombre de jetons dans

chaque place.P1

contient 2 jetons.

M1 = [0, 1, …, 3, 0, …, 1]

P1

M : P N

P2

P2 contient 1

jeton.

M2 = [1, 1, …, 0, 0]

Ces jetons « voyagent » dans le réseau, de place en place, en utilisant les arcs. Ce voyage se fait en solitaire ou en groupe, ceci

étant indiqué par la fonction poids ainsi définie :




Par défaut, le poids d’un arc est de 1. Ces poids sont mentionnés sur le réseau, à côté des arcs, la valeur par défaut étant omise.

W : A N+

a1 : P1 Ta

a2 : Ta P2

a3 : Ta P3

a4 : P3 Ta

P1

Ta

P2 P3

2

3

W (a1) = 2

W (a2) = 3

W (a3) = 1

W (a4 ) = 1

A un certain moment :




C’est le moniteur qui dit C’est le moniteur qui dit quand et qui va choisir quand et qui va choisir l’ordre de « départ » l’ordre de « départ »

(s’il y en a un).(s’il y en a un).

P1

Ta

P2 P3

2

3

Il existe des règles qui fixent Il existe des règles qui fixent les modalités et les contraintes.les modalités et les contraintes.

- 2 jetons « quittent » P1 pour Ta,

- 3 jetons « quittent » Ta pour P2,

- 1 jeton « quitte » Ta pour P3,

- 1 jeton « quitte » P3 pour Ta.

L’arc reliant P2 à T1 a un poids de 2, comme celui reliant T2 à P5 ;

les autres ont un poids de 1.




P1

T1

2

2

- 5 places, {P1, P2, P3, P4, P5}

- 2 transitions, {T1, T2}

- 8 arcs.

P2

P3

P4

P5

T2




P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

M2 = [0, 1, 3, 0, 1]

M1 = [1, 1, 0, 0, 0]



2) Notions de base2.3) Notions complémentaires

Un réseau dans lequel le poids affecté à chaque arc est égal à 1 est un réseau élémentaireélémentaire.

W : A N+

P1

Ta

P2 P3

2

3

P1

Ta

P2 P3

W : A {0, 1}

réseau non élémentaire réseau élémentaire




Une place est en entréeen entrée d’une transition s’il y a un arc reliant la place à la transition. Une place est en sortieen sortie d’une transition s’il y a un arc reliant la transition à la place.

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

P1 est en entrée de T1 et T2 et en sortie de T1.

P2 est en entrée de T1.

P3 est en entrée de T2 et en sortie de T1.

P4 est en entrée de T2.

P5 est en sortie de T2.




On appelle entréeentrée d’une transition l’ensemble des places situées en

entrée de la transition. On appelle sortiesortie d’une transition l’ensemble des places situées en sortie de la

transition.

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

E (T1) = {P1, P2}E (T2) = {P1, P3, P4}

S (T1) = {P1, P3}S (T2 ) = {P5}




Une transition-puitpuit est une transition ayant une sortie vide. Une transition-sourcesource est une

transition ayant une entrée vide.

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2T0 est une transition-source.

T3 est une transition-puit.

T3

T0




Un circuit élémentairecircuit élémentaire est un chemin orienté qui part d’un sommet du graphe (qu’il s’agisse d’une place ou d’une transition) et qui y revient, sans jamais passer plus d’une fois par le même sommet.

P1

T7

P2P5

P4

T1

T6

P3

P7

T2

T3

P6

T4

T5

CE n° 1 : {T4, P5, T3, P6, T4}

CE n° 2 : {T1, P2, T7, P3, T6, P4, T1}

CE n° 3 : {T1, P2, T2, P5, T3, P6, T4, P7, T6, P4, T1}

CE n° 4 :{T1, P2, T2, P5, T3, P6, T5, P7, T6, P4, T1}

y-en-a d’autres …y-en-a d’autres …




Une boucleboucle est un circuit élémentaire constitué d’une seule

place et d’une seule transition.

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

Un réseau sans boucle est dit purpur.

Le RdP ci-contre contient une boucle.



2) Notions de base2.4) Dynamique des RdP

moniteur d’exécution

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

politique

réseau + marquage initial

règles

- de choix

- de déclenchement

- de production

- de consommation

La dynamique des RdP est prise en charge par

divers éléments :




Une transition est déclenchabledéclenchable si chacune des places en entrée de la transition contient au moins autant de jetons que le poids

affecté à l’arc reliant la place à la transition.

P1

T1

2

P2

P3

déclenchable non déclenchable

P1

T1

2

P2

P3

tirabletirable

franchissablefranchissable




Le déclenchement d’une transition va avoir un effet sur le nombre de jetons contenus dans les places en entrée et en sortie de la

transition. Il y a :

Combien ?Combien ?

1) consommation de jetons en entrée ;

2) production de jetons en sortie.

Ce sont les poids qui le disent !

Dans les réseaux « standards », il ne s’écoule aucun temps entre

consommation et production. Il y a des réseaux temporisés.




Le déclenchement d’une transition consomme autant de jetons dans les places en entrée de la transition qu’il est indiqué par les

poids affectés aux arcs reliant ces places à la transition.

Règle de consommationRègle de consommation

Déclenchement de T1

P1

T1

2

P2

P3

P1

T1

2

P2

P3




Le déclenchement d’une transition produit autant de jetons dans les places en sortie de la transition qu’il est indiqué par les poids

affectés aux arcs reliant la transition aux places.

Règle de productionRègle de production

Déclenchement de T1

P1

T1

2

P2

P3

P1

T1

2

P2

P3




Marquage avant déclenchementP1

T1

2

P2

P3

M0 = [1, 2, 0]




En t0, il y avait 3 jetons dans le réseau ; en t0 + ∆t, il y en a 2.

Marquage avant déclenchementP1

T1

2

P2

P3

Marquage après déclenchement

M0 = [1, 2, 0]

M1 = [1, 0, 1]

Il n’y a pas de principe de conservation des jetons. Le nombre de jetons produits n’est pas lié au nombre de jetons consommés.




L’évolution du réseau va se traduire par l’évolution des

jetons dans le réseau.

(0,0,0,0,0,0)

(1,0,0,0,0,0)

(1,1,0,0,0,0)

P1P2

P3P4

P5

P6

T1

T2

2

2T3




(0,0,0,0,0,0)

(1,0,0,0,0,0)

(1,1,0,0,0,0)

(0,0,2,0,0,0)

T1

(0,0,2,1,0,0)



P1P2

P3P4

P5

P6

T1

T2

2

2T3




(0,0,0,0,0,0)

(1,0,0,0,0,0)

(1,1,0,0,0,0)

(0,0,2,0,0,0)

T1

(0,0,2,1,0,0)

T2

(0,0,1,0,1,2)



P1P2

P3P4

P5

P6

T1

T2

2

2T3

et ainsi de suite




L’application des règles précédentes à un RdP permet de faire évoluer le marquage initial et d’obtenir un marquage M1. La ré-application de ces règles « sur » M1 fournit un autre marquage,

M2.Le système modélisé « vit » ainsi par à-coups, selon un algorithme

assez simple :

Tant qu’il y a des transitions déclenchables fairechoisir une transition déclenchabledéclencher la transition

fintantque




Le moniteur d’exécution travaille donc en pas-à-pas, une transition après l’autre. Ce travail séquentiel n’empêche bien entendu pas des

choix. A certains moments, en effet, plusieurs transitions sont déclenchables.

Le moniteur sélectionne la transition à déclencher, selon une politique.

Il est possible de « programmer » le moniteur pour qu’il travaille en parallèle, en déclenchant toutes les

transitions déclenchables.

- première trouvée,

- plus proche du but,

- plus forte priorité,

- ...




T1 et T2 sont déclenchables.

[2, 5, 1, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

Hypo H1 : le moniteur choisit T1




T1 et T2 sont déclenchables.


[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2




T1 et T2 sont encore déclenchables.

On peut continuer sur cette « branche ».

[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2





[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2






[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0]





[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0]

Revenons un pas en arrière.




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0]





[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]





[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]

Revenons deux pas en arrière.




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]





[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]


[1, 5, 0, 3, 2]




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]

[1, 5, 0, 3, 2]

Continuons sur cette dernière branche.

Seule, T1 est déclenchable.

T1




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]

[1, 5, 0, 3, 2]



T1

[1, 3, 1, 3, 2]

C’est le même vecteur !C’est le même vecteur !




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]

[1, 5, 0, 3, 2]



T1




[2, 5, 1, 4, 0]

[2, 3, 2, 4, 0]

T1 T2

T1 T2

[2, 1, 3, 4, 0] [1, 3, 1, 3, 2]

[1, 5, 0, 3, 2]

C’est le graphe des marquages accessiblesgraphe des marquages accessibles.

On a finalement un graphe. Il correspond à tous les marquages

obtenus à partir du marquage initial.

T1

P1

T1

2

2

P2

P3

P4

P5

T2




Le graphe des marquages accessibles permet de visualiser rapidement toutes les alternatives, repérer les boucles, les

situations de blocage, les points de passage obligés...

01001

00101

01011 11000

T2

T3

T4

T1

00111

01021 11010

T2

T3

T4

T1

10100

T2

T3T4

00121

01031 11020

T2

T3

T4

T1

10110

T2

T3T4

T2 T2

------- etc -------

abcde (a+1)bc(d-1)(e-1)T4

a(b-1)(c+1)de

abc(d+1)e (a+1)bcd(e-1)

T2

T3

T4

T1

(a+1)(b-1)(c+1)(d-1)(e-1)

T2

T3T4



A suivre :

- vérification de propriétés,

- équation d’état,

- arcs inhibiteurs,

- réseaux colorés,

- utilisation des réseaux,

- logique sous-jacente,

- ...

entracte


Bibliographie (sommaire)



Pour compléter la formation ...

la référence :-)

• P. ANDRE, A. VAILLY, « Conception des systèmes d’information ;Panorama des méthodes et des techniques », Editions Ellipses, janvier 2001,ISBN 2-7298-0479-X

• G. W. BRAMS, « Réseaux de PETRI : théorie et pratique », Editions MASSON, 1983

M.E.D.A.L.

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