MécaniqueSolides Chapitre 01

Partie I

Éléments de Mathématiques

Cette partie introduit les principaux outils mathématiques nécessaires à la mise en place des divers concepts utilisés en Mécanique des Solides Rigides. L'espace vectoriel 3 des vecteurs en est la base. Cet espace permet ensuite de formuler l'espace physique qui nous entoure, l'espace géométrique, et d'en formaliser ses propriétés. La stratégie de développement de cet ouvrage est fondée sur le formalisme des torseurs. Une attention particulière doit donc être portée à cette notion.

CHAPITRE 1

Espace vectoriel R3

1.1 DÉFINITION DE L'ESPACE VECTORIEL R3

1.1.1 Vecteurs

L'espace vectoriel 3 peut être défini comme étant l'espace des triplets (C1, C2, C3) où C1, C2, C3 sont trois réels rangés dans cet ordre. Les triplets ainsi définis sont appelés vecteurs et notés V . Soit :

( )1 2 3, , V C C C= . (1.1)

Les nombres réels C1, C2, C3 sont les composantes du vecteur V .

L'espace vectoriel 3 est ensuite muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe, définies ci-après.

1.1.2 Loi de composition interne ou somme vectorielle

La somme vectorielle associe aux vecteurs V et V ′ un vecteur somme noté

V V ′+ :

3 , V V ′∀ ∈

3V V ′+ ∈ .

Soit ( )1 2 3, , V C C C= et ( )1 2 3, , V C C C′ ′ ′ ′= les deux vecteurs de 3. La somme vectorielle est définie par la relation :

( )1 1 2 2 3 3, , V V C C C C C C′ ′ ′ ′+ = + + + . (1.2)

loi de composition interne

4 Chapitre 1 Espace vectoriel 3

L'élément neutre, noté 0 , est défini par :

( )0 0, 0, 0= . (1.3)

Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes : 1. La somme vectorielle est commutative :

1 2 2 1V V V V+ = + . (1.4)

2. La somme vectorielle est associative :

( ) ( )1 2 3 1 2 3V V V V V V+ + = + + . (1.5)

3. L'élément neutre est tel que :

0 .V V+ = (1.6)

4. À tout vecteur V , correspond un vecteur opposé, noté V− , tel que :

( ) 0V V+ − = . (1.7)

1.1.3 Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel

Cette loi est généralement appelée multiplication par un scalaire. Si α est un nombre réel et V un vecteur, la loi de composition externe associe à V un vecteur W noté Vα :

3, Vα∀ ∈ ∀ ∈

3W Vα= ∈ .

Le vecteur W est dit colinéaire au vecteur V . Si le vecteur V est défini par ses composantes ( )1 2 3, , V C C C= , le vecteur W est défini par :

( )1 2 3, , W C C Cα α α= . (1.8)

La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes : 1. Distributivité pour l'addition des scalaires :

( )1 2 1 2V V Vα α α α+ = + . (1.9)

2. Distributivité pour la somme vectorielle :

( )1 2 1 2V V V Vα α α+ = + . (1.10)

3. Associativité pour la multiplication par un scalaire :

( ) ( )1 2 1 2V Vα α α α= . (1.11)

loi de composition externe

1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 5

1.2 DÉPENDANCE ET INDÉPENDANCE LINÉAIRE BASE DE R3

1.2.1 Combinaison linéaire

Soit 1 2, , . . . , , . . . , ,i pV V V V p vecteurs de l'espace 3 . Considérons p

nombres réels : 1 2, , . . . , , . . . , i pα α α α . Les vecteurs 1 21 2, , . . . , ,iiV V Vα α α

. . . , ,ppVα sont des vecteurs de l'espace vectoriel 3 , ainsi que leur somme qui

définit le vecteur V :

1 21 21

. . . p

p ip ii

V V V V Vα α α α=

= + + + =∑ . (1.12)

Le vecteur V ainsi défini est appelé combinaison linéaire des vecteurs 1 2,V V , . . . , .pV

1.2.2 Dépendance, indépendance linéaire

1.2.2.1 Définition

Dans l'espace vectoriel 3 , p vecteurs 1 2, , . . . , ,pV V V sont linéairement indépendants si et seulement si l'égalité

1 21 21

. . . 0p

i pi pi

V V V Vα α α α=

= + + + =∑ (1.13)

entraîne obligatoirement :

1 20, 0, . . . , 0pα α α= = = . (1.14)

Tous les αi sont nuls. Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants.

1.2.2.2 Propriétés

a. Sur l'indépendance 1. Un vecteur V non nul est à lui seul linéairement indépendant. 2. Dans un système de vecteurs indépendants, aucun n'est le vecteur nul. En

effet, si l'on avait par exemple 0kV = , la relation (1.13) serait vérifiée avec 0kα ≠ .


3. Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous-ensemble prélevé sur ces vecteurs est indépendant.

b. Sur la dépendance 4. Si p vecteurs sont dépendants, au moins l'un d'entre eux est combinaison

linéaire des autres. Considérons en effet p vecteurs 1 2, , . . . , pV V V . Si ces vecteurs sont linéai-

rement dépendants, la relation :

1

0p

iii

Vα=

=∑ (1.15)

implique qu'au moins un des nombres réels αi n'est pas nul : α1 par exemple. La relation précédente s'écrit :

( )1 21 2 . . . ppV V Vα α α= − + + , (1.16)

et il est alors possible de diviser par α1 (différent de zéro) et d'exprimer 1V sous la forme :

11 2

1p

iii

V Vαα

=

= − ∑ . (1.17)

Nous disons alors que 1V dépend linéairement des vecteurs 2 3, , . . . , .pV V V

5. Si 1 2, , . . . , pV V V sont linéairement dépendants, les vecteurs 1 2,V V ,

1. . . , , , . . . , ,p p p rV V V+ + le sont aussi quels que soient les vecteurs 1 , . . . , .p p rV V+ +

6. Théorème Dans le sous-espace engendré par p vecteurs linéairement indépendants, tout

vecteur est représentable d'une façon unique comme combinaison linéaire de ces p vecteurs.

Soit 1 2, , . . . , ,pV V V p vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur V s'écrit donc de manière unique sous la forme :

1

p

iii

V Vα=

=∑ . (1.18)

De ce théorème est déduit le résultat important suivant : Une égalité vectorielle entre p vecteurs indépendants de la forme :

1 1

p p

i ii ii i

V Vα α= =

′=∑ ∑ (1.19)

1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 7

est équivalente à p égalités scalaires entre les nombres réels :

1 1 2 2, , . . . , p pα α α α α α′ ′ ′= = = . (1.20)

Cette propriété n'est plus vraie si les vecteurs sont dépendants.

1.2.3 Base de l'espace vectoriel R3

La recherche de systèmes de vecteurs indépendants dans l'espace vectoriel 3 se fait de la manière suivante.

Nous avons noté précédemment qu'un vecteur non nul est à lui seul linéairement indépendant. Nous choisissons donc un vecteur 1V non nul de 3 . Nous recherchons ensuite un vecteur 2V tel que 1V et 2V soient linéairement indépendants; puis un vecteur 3V tel que 1V , 2V , 3V soient linéairement indé-pendants; etc. Nous observons alors qu'il est possible de trouver un ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants (il existe une infinité de tels ensembles), et que si nous ajoutons un quatrième vecteur 4V , les quatre vecteurs 1V , 2V , 3V et

4V sont linéairement dépendants quel que soit le vecteur 4V . L'espace vectoriel 3 est ainsi un espace de dimension 3. Tout ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants est alors appelé base

de l'espace vectoriel 3 . Il résulte des propriétés énoncées précédemment :

1. Tout vecteur de 3 s'exprime (sous forme unique) comme une combinaison linéaire des 3 vecteurs de la base.

2. L'ensemble des combinaisons linéaires des 3 vecteurs de base engendre l'espace vectoriel 3 .

L'espace vectoriel 3 est donc entièrement déterminé par la donnée d'une base.

1.2.4 Composantes d'un vecteur

Soit 1 2 3, , e e e trois vecteurs de 3 linéairement indépendants. Leur

ensemble ( )1 2 3( ) , , b e e e= constitue une base de l'espace 3 . D'après ce qui pré-

cède, tout vecteur V de 3 s'écrit de manière unique suivant :

1 1 2 2 3 3V C e C e C e= + + . (1.21)

Les composantes (C1, C2, C3) sont alors appelées les composantes du vecteur relativement à la base (b). Ci est la composante suivant ie .


1.3 PRODUIT SCALAIRE

1.3.1 Définition

On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et W une loi de composition externe qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté V W⋅ : 3 , V W∀ ∈

V W ∈⋅ ,

ayant les propriétés suivantes :

( )2 21 1 ,V V W V W V W+ = +⋅ ⋅ ⋅ (1.22)

( ) ( ) ,V W V Wα α=⋅ ⋅ (1.23)

,V W W V=⋅ ⋅ (1.24)

0 si 0 .V V V> ≠⋅ (1.25)

Les deux premières propriétés expriment la linéarité du produit scalaire par rapport au vecteur .V En particulier 0 0V⋅ = .

La troisième propriété exprime que le produit scalaire est symétrique par rapport à V et à W . Il en résulte que le produit scalaire est aussi linéaire par rapport à .W

Ces propriétés peuvent être résumées en disant que le produit scalaire de deux vecteurs ,V W est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs V et .W

1.3.2 Intensité ou norme d'un vecteur

On appelle intensité ou norme du vecteur V , que nous noterons V , la racine carrée positive du produit scalaire du vecteur par lui-même.

Soit :

2

,V V V V= =⋅ (1.26) en notant :

2.V V V=⋅ (1.27)

En particulier, nous avons : V Vα α= , (1.28)

1 2 1 2 1 2V V V V V V− ≤ + ≤ + . (1.29)

Cette dernière inégalité est appelée inégalité triangulaire.

produit scalaire

1.3 Produit scalaire 9

1.3.3 Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque

Soit deux vecteurs V et .V ′ Leurs expressions dans la base ( )1 2 3, , e e e de

l'espace 3 sont : 1 1 2 2 3 3V C e C e C e= + + , (1.30)

1 1 2 2 3 3V C e C e C e′ ′ ′ ′= + + . (1.31)

Le produit scalaire des deux vecteurs s'écrit :

( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3V V C e C e C e C e C e C e′ ′ ′ ′= + + + +⋅ ⋅ . (1.32)

En utilisant les propriétés (1.22) à (1.24), l'expression précédente s'écrit :

( )( )( )( ) ( )( )

2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2

2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 .V V C C e C C e C C e C C C C e e

C C C C e e C C C C e e

′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + +′ ′ ′ ′+ + + +

⋅ ⋅⋅ ⋅

(1.33)

Cette relation exprime le produit scalaire des deux vecteurs V et V ′dans une base quelconque. Cette expression se simplifie en considérant des bases particulières que nous introduisons ci-après.

1.3.4 Vecteurs orthogonaux

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Soit : et orthogonaux 0.V W V W⇔ =⋅ (1.34)

Théorème : Si n vecteurs (n = 2 ou 3) non nuls sont deux à deux orthogonaux, ils sont linéairement indépendants. Si n = 3, les vecteurs constituent une base ortho-gonale de 3 .

1.3.5 Base orthonormée

Une base est orthonormée, si les vecteurs qui constituent cette base sont orthogonaux deux à deux (base orthogonale) et si leurs normes sont égales à 1 (base normée à 1).

Si la base ( )1 2 3, , e e e est orthonormée, nous avons donc :


1 2 2 3 3 10, 0, 0,e e e e e e= = =⋅ ⋅ ⋅ (1.35)

2 2 21 2 31, 1, 1.e e e= = = (1.36)

1.3.6 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Dans le cas d'une base orthonormée, l'expression (1.33) du produit scalaire se simplifie et se réduit à :

1 1 2 2 3 3V V C C C C C C′ ′ ′ ′= + +⋅ . (1.37)

Le produit scalaire est donc égal à la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs.

La norme d'un vecteur s'écrit :

2 2 21 2 3V C C C= + + . (1.38)

1.4 PRODUIT VECTORIEL

1.4.1 Définition

On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V et W une loi de composition interne dans 3 , qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté V W∧ et qui est bilinéaire antisymétrique :

3 , V W∀ ∈

3 .V W∧ ∈

De cette définition, il résulte que : 1. Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme

vectorielle : ( )1 2 1 2V V W V W V W+ ∧ = ∧ + ∧ , (1.39)

( )1 2 1 2V W W V W V W∧ + = ∧ + ∧ . (1.40)

2. Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un réel :

( ) ( ) ,V W V Wα α∧ = ∧ (1.41)

( ) ( ).V W V Wα α∧ = ∧ (1.42)

3. Le produit vectoriel est antisymétrique : ( )V W W V∧ = − ∧ . (1.43)

produit vectoriel

1.4 Produit vectoriel 11

La dernière propriété, appliquée au produit vectoriel d'un vecteur par lui-même, implique que :

( )V V V V∧ = − ∧ .

Il en résulte donc la propriété :

0V V∧ = . (1.44)

De cette propriété, nous déduisons le théorème suivant : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.

En effet : ( ) ( ) colinéaire à 0W V W V W V V V V Vα α α⇔ = ⇔ ∧ = ∧ = ∧ = .

1.4.2 Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque

Reprenons les expressions (1.30) et (1.31) des deux vecteurs V et V ′dans la base ( )1 2 3, , e e e . Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit :

( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3V V C e C e C e C e C e C e′ ′ ′ ′= + + ∧ + +∧ . (1.45)

En appliquant les propriétés de distributivité et d'associativité du produit vectoriel, nous obtenons :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3

3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3

.

V V C C e e C C e e C C e eC C e e C C e e C C e eC C e e C C e e C C e e

′ ′ ′ ′= ∧ + ∧ + ∧′ ′ ′+ ∧ + ∧ + ∧′ ′ ′+ ∧ + ∧ + ∧

∧

En utilisant la propriété d'antisymétrie, cette expression s'écrit sous la forme :

( )( ) ( )( )( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3

2 3 3 2 2 3 .V V C C C C e e C C C C e e

C C C C e e

′ ′ ′ ′ ′= − ∧ + − ∧′ ′+ − ∧

∧ (1.46)

Cette relation exprime le produit vectoriel de deux vecteurs dans une base quelconque. Nous introduisons ci-après des bases particulières permettant de simplifier cette expression.

1.4.3 Base directe

On appelle base directe, une base telle que :

1 2 3 2 3 1 3 1 2, , .e e e e e e e e e∧ = ∧ = ∧ = (1.47)

La base est dite orientée dans le sens direct.


Une base directe est donc telle que le produit vectoriel des deux vecteurs donne le troisième dans l'ordre 1, 2, 3, 1, 2, etc.

1.4.4 Expression du produit vectoriel dans une base directe

Dans le cas d'une base directe, l'expression (1.46) du produit vectoriel se réduit à :

( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3V V C C C C e C C C C e C C C C e′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − + −∧ . (1.48)

L'expression précédente se retrouve aisément en écrivant le produit vectoriel sous la forme d'un déterminant (d'un point de vue formalisme cette écriture est toutefois incorrecte) :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e eV V C C C

C C C

′ =′ ′ ′

∧ .

En développant ce déterminant suivant la 1ère ligne, nous retrouvons bien l'expression (1.48).

Par ailleurs, on montre sans difficulté à partir de l'expression (1.48) que : Le vecteur produit vectoriel de V et de V ′ est un vecteur orthogonal au vecteur V et au vecteur .V ′

1.4.5 Produit mixte

On appelle produit mixte de trois vecteurs 1 2 3, , ,V V V pris dans cet ordre, le nombre réel défini par :

( )1 2 3V V V∧⋅ . (1.49)

Il est facile de montrer que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs :

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2V V V V V V V V V∧ = ∧ = ∧⋅ ⋅ ⋅ . (1.50)

1.4.6 Propriété du double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs peut s'exprimer par la relation :

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 2 3V V V V V V V V V∧ ∧ = −⋅ ⋅ . (1.51)

1.5 Bases de l'espace vectoriel 3 13

Cette égalité se vérifie aisément en exprimant les composantes de ( )1 2 3V V V∧ ∧ , puis celles de ( ) ( )1 3 2 1 2 3V V V V V V−⋅ ⋅ , puis en vérifiant que ces composantes sont égales.

1.5 BASES DE L'ESPACE VECTORIEL R3

1.5.1 Base canonique

La base de l'espace 3 la plus utilisée est la base canonique définie comme l'ensemble des trois vecteurs :

( ) ( ) ( )1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 ,i j k= = = (1.52)

pris dans cet ordre. Nous vérifions sans difficulté que l'ensemble ( ), , i j k constitue une base

orthonormée directe : — base orthonormée :

0, 0, 0,i j j k k i= = =⋅ ⋅ ⋅ (1.53)

2 2 21, 1, 1,i j k= = = (1.54) — base directe : , , .i j k j k i k i j∧ = ∧ = ∧ = (1.55)

La démonstration suppose que la base est exprimée (1.52) dans une base elle-même orthonormée directe.

Par la suite, nous noterons X, Y, Z les composantes d'un vecteur V relati-vement à la base canonique :

V X i Y j Z k= + + . (1.56)

1.5.2 Changement de base

Dans ce paragraphe, nous explicitons, d'abord sur un exemple, les relations de changement de base dans l'espace 3 et dans le cas de bases orthonormées directes. Les relations obtenues seront ensuite généralisées.

1.5.2.1 Exemple de changement de base

Nous considérons la base orthonormée directe ( ) ( )1 1 1 1, , b i j k= et nous

construisons à partir de cette base l'ensemble des trois vecteurs ( )2 2 2, , i j k


définis de la manière suivante :

( )

( )

( )

2 1 1 1

2 1 1 1

2 2 2 1 1

1 2 ,6

1 ,3

1 .2

i i j k

j i j k

k i j j k

= − +

= − − +

= ∧ = − −

(1.57)

Nous vérifions aisément que l'ensemble (b2) de ces trois vecteurs constitue une base orthonormée directe.

Les relations (1.57) peuvent être écrites sous une forme pratique, dérivée de la notation matricielle, suivant :

2 1

2 1

2 1

2 1 16 6 61 1 13 3 3

1 102 2

i ij jk k

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (1.58)

ou sous forme contractée :

2 1

2 1

2 1

i ij jk k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A , (1.59)

en introduisant la matrice de changement de base :

2 1 16 6 61 1 13 3 3

1 102 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A . (1.60)

Nous trouvons aisément les propriétés suivantes de la matrice de changement de base :

— le déterminant de A est égal à 1 ; — si nous exprimons ( )1 1 1, , i j k en fonction de ( )2 2 2, , i j k à partir des

relations (1.57), nous obtenons :

matrice colonne de la base (2) matrice de

changement de base

matrice colonne de la base (1)

1.5 Bases de l'espace vectoriel 3 15

1 2

1 2

1 2

2 1 06 31 1 16 3 2

1 1 16 3 2

i ij jk k

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

. (1.61)

La matrice inverse de A est égale à la matrice transposée de A :

1 t− =A A . (1.62)

Cherchons maintenant les relations qui existent entre les composantes d'un vecteur V exprimées dans les deux bases considérées :

— dans la base (b1), nous avons :

(1) (1) (1)1 1 2 1 3 1V C i C j C k= + + , (1.63)

— dans la base (b2), nous avons :

(2) (2) (2)1 2 2 2 3 2V C i C j C k= + + , (1.64)

En reportant la relation (1.61) dans l'expression (1.63), nous obtenons :

(1) (1)1 2 2 2 2 2 2

(1)3 2 2 2

2 1 1 1 16 3 6 3 2

1 1 1 ,6 3 2

V C i j C i j k

C i j k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

soit :

(1) (1) (1)1 2 3 2

(1) (1) (1) (1) (1)1 2 3 2 2 3 2

2 1 16 6 6

1 1 1 1 1 .3 3 3 2 2

V C C C i

C C C j C C k

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

En comparant ce résultat avec l'expression (1.64), nous obtenons :

(2) (1) (1) (1)1 1 2 3

(2) (1) (1) (1)2 1 2 3

(2) (1) (1)3 2 3

2 1 1 ,6 6 61 1 1 ,3 3 3

1 1 .2 2

C C C C

C C C C

C C C

= − +

= − − +

= − −

(1.65)

En introduisant les matrices colonnes des composantes dans la base (b2) et dans la base (b1), l'expression (1.65) s'écrit donc :


(2) (1)1 1

(2) (1)2 2(2) (1)

3 3

C C

C C

C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A . (1.66)

De même, la relation inverse s'écrit :

(1) (2)1 1

(1) t (2)2 2(1) (2)

3 3

C C

C C

C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A . (1.67)

1.5.2.2 Généralisation

Les résultats établis dans le paragraphe précédent sur un cas particulier se généralisent et peuvent être explicités de la manière suivante.

Tout passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée directe est caractérisée par une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et telle que la matrice inverse soit confondue avec la matrice transposée. Récipro-quement toute matrice possédant ces propriétés représente un changement de bases orthonormées directes.

Si ( )1 1 1, , i j k et ( )2 2 2, , i j k sont deux bases orthonormées directes, le change-ment de base s'exprime sous la forme pratique :

2 1 1 2

t2 1 1 2

2 1 1 2

, .i i i ij j j jk k k k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A (1.68)

Entre les composantes d'un vecteur dans les deux bases, nous avons des expres-sions analogues :

(2) (1) (1) (2)1 1 1 1

t2 2 2 2

3 3 3 3

, .C C C CC C C CC C C C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A A (1.69)

EXERCICES

1.1 Trouver les vecteurs unitaires colinéaires à un vecteur donné. Application au cas du vecteur de composantes (2, –5, 3) dans la base canonique.

1.2 Déterminer le paramètre α, de manière que les vecteurs ( )1 5, 4, 3V = et ( )2 , 2, 1V α= − soient orthogonaux. Les composantes des vecteurs sont données

dans une base orthonormée.

Commentaires 17

1.3 Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés. Application au cas des vecteurs de composantes (2, –5, 3) et (–2, 1, –3) dans la

base canonique.

1.4 Développer le produit scalaire ( ) ( )1 2 1 2V V V V+ −⋅ ; puis le produit vectoriel ( ) ( )1 2 1 2V V V V+ ∧ − .

1.5 Un vecteur V a pour composantes (4, –9, 3) dans la base ( ) ( )1 1 11 , , i j k= . On

considère la base ( ) ( )2 2 22 , , i j k= déduite de (1) par les relations :

2 1 2 1 2 12 , 2 , i i j j k k= = = − .

Exprimer les composantes de V dans la base (2).

1.6 Les vecteurs 1V et 2V étant deux vecteurs connus, déterminer les vecteurs V tels que :

1 2 1V V V V∧ = ∧ .

Application au cas où : 1 4V i j= − et 2 5 6 2V i j k= + − .

COMMENTAIRES

L'espace vectoriel 3

est l'espace dont les vecteurs sont caractérisés par leurs trois composantes qui sont des nombres réels. L'espace vectoriel 3 est un espace mathématique de caractère abstrait qui ne peut être repré-senté de manière concrète. Par contre, sur cet espace sont définies diverses opérations que le lecteur devra maîtriser parfaitement : somme vectorielle, produit scalaire, produit vectoriel. Le produit scalaire conduit à la notion d'orthogonalité de deux vecteurs et le produit vectoriel à la notion de colinéarité. L'espace vectoriel 3 est généré à partir d'une base constituée de trois vecteurs linéairement indépendants. La base la plus utilisée est la base canonique qui est orthonormée directe. Toute autre base orthonormée directe est obtenue à partir de la base canonique à l'aide d'une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et dont la matrice inverse est la matrice transposée.

MécaniqueSolides Chapitre 01

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