CHAPITRE 01 Réseau Electrique Monophasé

8/12/2019 CHAPITRE 01 Rseau Electrique Monophas

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CHAPITRE I : Rseau Electrique Monophas

1. Importance du rgime sinusodal

- La plus grande partie de lnergie lectrique est produite sous forme de courant alternatif sinusodal ;

- Les fonctions sinusodales sont simples manipuler mathmatiquement et lectriquement ;

- Toute fonction priodique de forme quelconque peut tre dcompose en une somme de signaux

sinusodaux.

2. Production du courant alternatif sinusodal

Toutes les centrales lectriques fonctionnent sur le principe de la loi de Faraday : une spire ou une

bobine conductrice tourne dans un champ magntique, un courant induit est produit dans la bobine et est

ensuite achemin vers les rseaux de distribution.

La figure ci-dessous illustre le schma de principe dun gnrateur de courant alternatif. Une bobine

(sur le dessin, on na dessin quune spire,N=1) tourne la vitesse angulaire dans un champ magntique

B. Le courant induit est achemin vers le circuit extrieur (ici lampoule) par un systme de bagues

collectrices et de balais.

On a :

cos cosBA BA t

max

sin

sin

dNBA t

dt

t

Avec :

A : section de la spire [m

2

] B : induction magntique [T] ;: flux magntique [Wb] : force lectromotrice induite [V].

3. Reprsentation des fonctions sinusodales

a) Dfinitions

Valeur instantane : Une tension sinusodale est une grandeur priodique et alternative pouvant

scrire sous la forme :

u(t)= UM sin(t+u)t est le temps en secondes (s) est la pulsation en radians par seconde (rad.s

-1) ;

max


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.t+u est la phase instantane en radians (rad) ;

u est la phase lorigine en radians (rad).

UM est la valeur crte du signal

Valeur crte ou amplitude UM : valeur maximale du signal (note aussi ou Umax)

Valeur moyenne : < u > =Umoy=

0

1( ) 0

T

u t dt T

car il s'agit d'une fonction alternative.

Valeur efficace : La valeur efficace d'une grandeur sinusodale est : 2

0

1( )

2

T

MUU u t dt T

La valeur efficace de nimporte quelle tension se mesure l'aide d'un voltmtre numrique, RMS

(Root Mean Square), en position AC + DC.

Priode : Une tension u est priodique de priode Tsi : u(t)= u(t+kT), avec k = 0; 1; 2; 3; ...

Ce qui conduit :2

T

Formule avec la frquence : Avec1

fT

b) Exemple : u(t)=14.142 sin(378t+0.52)

De cette quation on peut en dduire :

=378 rad/s ;f= /2=60 Hz T=1/f=16.66 ms

u =0.52 rad u =30.

UM =14.1422

MUU =10

4. Reprsentation de Fresnel

La reprsentation de Fresnel est une reprsentation vectorielle des grandeurs sinusodales.

a) Reprsentation dun vecteur

- En coordonnes cartsiennes il faut la position (x; y) deson extrmit par rapport son origine. ;U x y

- En coordonnes polaires, il faut sa longueur et l'angle

qu'il fait avec un axe d'origine. ; uU U

b) Reprsentation de Fresnel

Toute grandeur sinusodale (tension ou courant) sera reprsente par un vecteur de longueur sa valeur

efficace et dangle sa phase lorigine.

Considrons un dipleZtravers par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.

pour la tension : ( ) 2 sin( ) ;u uu t U t U U

Pour le courant : ( ) 2 sin( ) ; ii t I t I I

Umax

Ut

t

(t)


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Diffrence de phase : u i

D'o la reprsentation de Fresnel

ou

reprsentation vectorielle

Si on prend le courantI comme origine des phases la reprsentation se simplifie.

pour la tension : ( ) 2 sin( ) ;u t U t U U

Pour le courant : ( ) 2 sin( ) ;0i t I t I I

D'o la reprsentation de Fresnel

(phi) reprsente le dphasage de ipar rapport u.

En reprsentation de Fresnel, est langle allant de ivers u.

Remarque : il nest pas ncessaire de reprsenter la phase instantane (.t+) puisque dans un circuit

lectrique, toutes les grandeurs lectriques auront la mme pulsation . La seule partie qui change pour les

diffrents tensions et courants, ce sont la valeur efficace et la phase lorigine .

Remarque : le dphasage dpend du diple et de la pulsation .

c) Loi des mailles en reprsentation de Fresnel

Exemple :

Loi des mailles instantane : 1 2u u u

avec 1 1 1( ) 2 sin( )u t U t

et 2 2 2( ) 2 sin( )u t U t

Remarque : u la mme priode que u1 et u2.

Loi des mailles vectorielle : 1 2U U U

avec 1 1 1;U U

et 2 2 2;U U

Remarque : En aucun cas il ne faut faire la somme algbrique des valeurs efficaces U1 et U2. Udiffrent de U1 + U2 (voir la construction vectorielle ci-dessus).

Remarque : il en va de mme pour la loi des nuds.

Reprsentation vectorielle


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5. Utilisation de la notation complexe en rgime sinusodal

5.1 La notation complexe

La notation complexe remplace avantageusement la reprsentation de Fresnel puisqu'elle permet d'viter la

reprsentation graphique des vecteurs.

Dans l'ensemble des nombres rels, un vecteur plan se reprsente par deux coordonnes x et y.

,V x y

En complexe ce mme vecteur pourra tre reprsent par une quation mathmatique.

.V x j y

L'intrt d'une quation c'est qu'elle peut tre manipule pour faire des oprations : somme, produit, ...

Remarque: le symbole habituellement utilis en mathmatique pour reprsenter un imaginaire pur et la

lettre i.En physique, cette lettre est dj couramment utilise pour reprsenter un courant, d'o le

choix de la lettrej ;

2 1j

a) Reprsentation des nombres complexes

Soit un nombre complexe : .a j b forme algbrique

On peut le reprsenter avec des coordonnes polaires

.(cos .sin )z Z j forme trigonomtrique

Ou : . jZ e forme exponentielle

ModuleZ: 2 2Z z a b (longueur, norme)

Argument : ( )b

tga

Partie relle a : cos( )a Z Partie imaginaire b : sin( )b Z

y

x

y

x

V

y

x

Im

Re

V

b

a

Im

Re

Z

Z


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b) Valeurs remarquables

Si 0 alors cos(0) 1; sin(0) 0 Z et b=0 et a=Z: z est un rel pur

Si2

alors cos( ) 0; sin( ) 1

2 2

.j Z et a=0 et b=Z: est un imaginaire pur

Si 2

alors cos( ) 0; sin( ) 12 2

.z j Z et a=0 et b=-Z: est un imaginaire pur

Ce qui revient :. .

.0 2 21j j

je e j e j

c) Complexe conjugu

Si . . ja j b Z e

Alors le complexe conjugu de est : * . . jz a j b Z e

5.2 Manipulation des nombres complexes

a) Addition, soustraction :

On utilise de prfrence la notation cartsienne.

Soit deux nombres complexes : 1 1 1.x yu u j u et 2 2 2.x yu u j u

Soit le complexe : .x yu u j u tel que 1 2u u u

Alors : 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2= . .x y x y x x y yu u u u j u u j u u u j u u

Soit : 1 2x x xu u u et 1 2y yu u u

b) Inverse

On utilise de prfrence la notation polaire.

Soit le complexe . jY e tel que 1y Alors : 1 1 1..

j

jy Y e e

z Z e Z

On constate que : Module :1 1 1

YZ Z Z

argument :

c) Produit

On utilise de prfrence la notation polaire.

Soient les trois complexes : 11 1.jZ e , 22 2.Z e

, et tel que 1 2z z z

Alors : 1 2z z =1 2

1 2. .j jZ e Z e = 1 21 2. .

jZ Z e


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5.3 Reprsentation complexe des grandeurs lectriques

a) Tension

2 sin uu t U t . uju U e

Comme pour la reprsentation de Fresnel, le module est la valeur efficace Uet l'argument la phase

l'origine u.

b) Courant

Idem pour le courant : 2sin ii t I t . iji I e

c) Impdances

D'une manire gnrale, si on considre un diple d'impdancez.

L'impdance complexe s'exprime : .

j

Z e

en ohms ()

Zest l'impdance en ohms ()

est le dphasage provoque par le diple entre la tension aux bornes du diple et le courant qui le traverse

(en radians - rad).

Ce qui donne pour les diples R, L et C

Remarque : l'admittance Yest l'inverse de l'impdanceZ.


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6. Dphasage

6.1 Dfinition

Valeurs instantanes

2 sin uu t U t

2sin ii t I t

- UetIsont les valeurs efficaces de u et i.

- (.t+u) et (.t+i) sont les phases instantanes de u et i.

- u et i sont les dphasages par rapport l'origine.

Diffrence de phase : u i

est la diffrence de phase entre u et iou le dphasage de ipar rapport u.

si < 0, i est en avance sur u ; la charge est de nature capacitive.

si > 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.

si = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature rsistive.

On peut alors crire les grandeurs u et i dune des faons suivantes :

2 sin2sin

u t U t i t I t

ou

2sin2sin

u t U t i t I t

6.2 Dphasage en reprsentation de Fresnel

Sur le diagramme de Fresnel, est langle allant de vers .

7. Puissances en rgime sinusodal

a) Puissance instantane

La puissance lectrique est le produit de la tension par le courant.

2 sin et 2 sinu t U t i t I t


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2 sin 2 sin

2 sin sin

p u i

U t I t

UI t t

Pour rarranger les termes, on utilise la relation trigonomtrique ci-dessous :

1

sin sin cos( ) cos( )2a b a b a b

do cos cosp UI t t UI t t

Finalement : cos cos 2p UI UI t

On constate que la puissance instantane est la somme dun terme constant "U.I.cos" et dun terme

variant priodiquement "U.I.cos(2t+)".

b) Puissance active

La puissance active est la moyenne de la puissance instantane. La valeur moyenne du terme

priodique est nulle (cest une fonction priodique alternative). Il reste donc le terme constant.

cosP UI

U: valeur efficace de la tension (V) ;

I: valeur efficace du courant (A) ;

: dphasage entre u et i (rad).

Unit deP: le watt (W).

c) Puissance ractive

La puissance ractive est une invention mathmatique pour faciliter les calculs.

sinQ UI

Unit : le voltampre ractif (var)

d) Puissance apparente

La puissance apparente ne tient pas compte du dphasage entre u(t) et i(t).

S UI

Unit : le voltampre (VA).

e) Triangle de puissance

En observant les relations ci-dessus on constate que :

2 2 2S P Q


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Ce qui peut tre schmatis par le diagramme de Fresnel des puissances (triangle des puissance) :

Remarque : seule la puissance active une ralit physique. La puissance ractive ne correspond aucune puissance relle.

f) Autres relations :

Qtg

P et cos

P

S

8. Puissances complexe.

Considrons le produit : *s u i

En dveloppant on obtient : * . . . .u iu ijj j js u i U e I e U Ie U Ie

Soit finalement : . cos . sins U I jU I P jQ

9. Les diples passifs linaires

9.1 Loi d'Ohm

Impdance relle d'un diple

UZ

I

Units : Z (), U (V), I (A)

Admittance relle d'un diple

1 IY

Z U

Units : Y (S), U (V), I (A)

Loi d'Ohm

Les relations prcdentes conduisent aux relations suivantes :

U = Z I ou I = Y U


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9.2 Les diffrents cas

a) Conducteur ohmique

L'intensit i et la tension u sont en phase :

Impdance relle

Z = R

Dphasage

i/u = 0 ou u/i = 0

Construction de Fresnel

b) Bobine parfaite

L'intensit i est en quadrature retard sur la tension u ;

Impdance relle

Z = L

Dphasage

/ / ou2 2

i u u irad rad


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Constructions de Fresnel

c) Condensateur parfait

L'intensit i est en quadrature avance sur la tension u :

Impdance relle

1Z

C

Dphasage

/ / ou2 2

i u u irad rad

Constructions de Fresnel

d) Bobine relle ou diple R, L srie

La rsistance du fil de cuivre dont est compose la bobine nest en ralit pas ngligeable. Do la

modlisation dune bobine relle (Z) par une rsistance (r) en srie avec une inductance parfaite (L):

Zest limpdance de labobine (en Ohms ; ).

Il faut connatre lexpression deZen fonction de retL. 2 2( )Z r L , est la pulsation en rad.s-1


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Dphasage

L'intensit i est en retard sur la tension u = uR + uL

/ / ou tgi u u iL L

tgR R


e) Diple R, C srie

L'intensit i est en avance sur la tension u = uR + uC:

Impdance relle2

2 1Z RC

Dphasage : / /1 1

ou tgi u u itgRC RC


f) Condensateur rel ou diple R, C parallle


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La tension u est en retard sur l'intensit i = iR + iC:

Admittance relle

2

2

1Y C

R

Dphasage : / / ou tgi u u itg RC RC


9.3 Tableau rcapitulatif

Rsistance R Inductance L Capacit C

Schma

Equation fondamentale

Impdance Z ( )

Admittance Y (S)

Relation entre les

valeurs efficaces

Dphasage j (rad)

Reprsentation de

Fresnel

Puissance active

P (W)R absorbe P

Puissance ractive

Q (VAR) L absorbe Q C fournit Q


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10. Application des complexes en lectricit

Considrons le montage

a) Loi des mailles : 1 2 3 5 0e u u u u

b) Loi des nuds : 1 2 3i i i

c) Loi d'ohms

Avec les grandeurs dfinies de la faon suivantes : . jZ e . uju U e . iji I e

d) Loi d'ohm : u z i

On dveloppe :

. . . . . iu ijj jjU e Z e I e Z I e

Par comparaison termes termes...

...on peut dire que :

L'expression complexe de la loi d'ohm l'avantage de runir impdance et dphasage dans une expression

unique.


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e) Exemple : loi d'Ohm pour la rsistance

Ru z i

. .u ij

U e R I e

Ce qui permet d'crire : U R I 0u i R

10.2. Associations de diples

a) Principe

On gnralise aux impdances complexes ce que l'on connat dj pour la rsistance.

Si les diples sont en sries, l'impdance quivalente est la somme des impdances.

1 2 3z z z z

Si les diples sont en parallles, l'admittance quivalente est la somme des admittances.

1 2 3y y y y

b) Exemple : RL srie

L'impdance quivalente complexe est : R Lz z R jLw

L'impdance physique (celle que l'on mesure) est alors : 22Z z R Lw

Et :Lw

tgR


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c) Exemple : RLC srie

L'impdance quivalente complexe est : 1 1R L Cz z z z R jLw j R j LwCw Cw

L'impdance physique (celle que l'on mesure) est alors :

2

2 1Z z R LwCw

d) Exemple : RLC parallle

11. Facteur de puissance

11.1 Dfinition

Dfinition gnrale :P

k

S

(sans dimension)

Cas particulier du rgime sinusodal

coscos

P UIk

S UI

soit cosk

En rgime sinusodale le facteur de puissance est : cos()11.2 Importance du cos

Pour des raisons conomiques, une installation lectrique industrielle doit consommer le moins d'nergiepossible.

Il faut donc rduire les pertes. En particulier les pertes joules dpendent du courant.

Pertes joules :Pj=R I2

La tension Uest impose par le rseau (220V), la puissancePest impose par la charge (installation

lectrique qui absorbe la puissance) :

.cos

PI

U

PlusIest faible plus les pertes sont faibles. Il faut donc avoir cos le plus proche possible de 1.


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Ce qui revient aussi :2 2

cosP

P Q

Plus Q se rapproche de 0, plus cos se rapproche de 1.

Cest dire il faut relever le facteur de puissance.

Mthode : il faut joindre l'installation lectrique un composant pouvant modifier la puissance ractive

Q (et donc cos) sans modifier la puissance activeP(question d'conomie).

Ces composants sont soit le condensateur soit la bobine parfaite.

11.3 Relvement du facteur de puissance

Si linstallation lectrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC

0) de telle sorte que Q < Q + QL.

11.4 Mthode

Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage, ...).

Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallle un condensateur.

Lobjectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherch.

Sans le condensateur Avec le condensateur

Daprs les schmas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances.

Puissance active Puissance ractive Dphasageou facteur

de puiss.

Charge seule P .Q P tg On a cos

Condensateur seul 02

cQ C U - /2

Charge + condensateur P ' . 'cQ Q Q P tg On veut

cos

On en dduit la capacit du condensateur de la manire suivante :

2 'cQ C U Q Q 2 . ' .C U P tg P tg

2

( ')P tg tgC

U


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12. Thorme de Boucherot

1

N

T kP P et 1N

T kQ Q

1

N

T k

S S

2 2

T T TS P Q

Utilisation du thorme de Boucherot

Le tableau suivant rsume la situation.

On en dduit le facteur de puissance cos :

2 2cosT T

T T T

P P

S P Q

On en dduit aussi lintensit efficace :

cos

P SI

U U

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