MECANIQUE GENERALE Chapitre X : Théorie du choc

MECANIQUE GENERALE

CHAPITRE X : THEORIE DU CHOC

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ-P. BROSSARD

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1994

S-Q-MOTAI-R-E

1ERE. PARTIE

CHOC ET PERCUSSIONS : THEOREMES GENERAUX

10.1.1. IMPULSION D'UNE FORCE - DEFINITION 768

A. Impulsion élémentaire

B. Impulsion intégrée

C. Dimension de l'impulsion

D. Remarques

1-0.1.2. FORME IMPULSIVE DE LA LOI FONDAMENTALE 771

10.1.3. DEFINITION D'UN PHENOMENE DE CHOC 771

A. Caractéristiques d'un phénomène de choc 771

B. Résultats complémentaires 773

10.1.4. THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL 773

A. Théorème de la somme géométrique 774

B. Théorème du moment cinétique en un point fixe ou au 774

centre d'inertie

10.1.5. CHOIX DES REPERES EN THEORIES DU CHOC 775

10.1.6. UN MODELE CAPITAL EN THEORIE DU CHOC. CHOC DE DEUX SPHERES 778

A. Définition du choc direct 778

B. Application des théorèmes généraux 778


C. Indétermination du problème 779

D. Analyse du phénomène de choc 779

E. Levée de l'indétermination. Coefficient de restitution 780

F. Valeurs de € 782

G. Perte d'énergie cinétique dans le choc (cas général) 783

H. Percussion de liaison 784

10.1.7. ETUDE DU PHENOMENE DE CHOC COMME UNE PHASE DE MOUVEMENT 786

ORDINAIRE. THEORIE DE HERTZ

A. Etude du contact : Loi de Hertz 786

B. Etude du mouvement 787

10.1.8. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE 792


2EME PARTIE

CHOC SANS FROTTEMENT ENTRE SOLIDES

10.2.1. ANALYSE GENERALE DU CHOC ENTRE DEUX SOLIDES LORSQ'ON

SUPPOSE LE FROTTEMENT NEGLIGEABLE 794

A. Effet d'une percussion sur un solide 794

B. Indétermination du problème de choc de deux solides 796

C. Etude du contact entre deux solides au cours d'un choc 797

D. Contact géométrique. Contact mécanique 797

E. Différents types de contact 798

F. Vitesse de pénétration 798

G. Les différentes phases du choc 799

H. Différents cas possibles 800

I. Calcul de la perte d'énergie cinétique au cours du choc 802

10.2.2. METHODE D'ETUDE D'UN PROBLEME COMPORTANT UN CHOC 804

A. Les trois phases d'étude 804

B. Exemple 804

10.2.3. UN PROBLEME CLASSIQUE : CHOC SUR UN CORPS TOURNANT AUTOUR

D'UN AXE FIXE 811

A. Schéma adopté 811

B. Mise en équation 813

C. Cas particulier remarquable : centre de percussion 814

D. Application : calcul du centre d'inertie d'une plaque 819


3EME PARTIE

CHOC AVEC FROTTEMENT ENTRE SOLIDES

10.3.1. CHOC D'UNE PLAQUE PLANE SUR UNE AUTRE PLAQUE PLANE MOBILE 821

A. Théorèmes généraux de la théorie du choc 822

B. Application des théorèmes généraux 823

C. Relations entre les composantes X et Y et les dérivées

&L et de la vitesse *VT (I) . 824dt dt S

D. Discussion 826

!.. La vitesse de glissement initiale est positive 8262. La vitesse de glissement initiale est négative 8353. La vitesse de glissement initiale est nulle 840

10.3.2. METHODE GENERALE 842

A. Théorèmes généraux du choc 843

B. Lois supplémentaires 845

1. Loi de fin de choc2. Lois de Coulomb

C. Théorèmes généraux des forces finies 846

D. Expression de V f(I) 847ib

E. Relation entre la vitesse de glissement et les composantesde *rs-

8481. Etude du cas où il y a glissement 848

2. Etude du cas où il y a roulement sans glissement 849

F. Discussion du problème de choc 849


IERE P A R T I E

C H O C S E T P E R C U S S I O N S

T H E O R E M E S G E N E R A U X


- 767 -

INTRODUCTION

Dans de nombreux cas pratiques les actions mécaniques mises en jeuagissent pendant un temps très court tout en ayant une grande amplitude. Soit

->une actions F. Ses composantes X, Y, Z ont alors lfallure suivante :

Du point de vue de la loi fondamentale de la mécanique il n'y a pas dechangement de nature. Par contre du point de vue pratique la différence est fon-damentale : du point de vue physique il est très difficile de mesurer effective-ment ces actions mécaniques. Aussi dans certains cas a-t-on été conduit à uneformulation qui pour l'étude des mouvements permet de se passer de la connaissan-ce effective de ces actions. C'est la théorie classique du choc. Nous verrons parailleurs qu'il y a une conséquence mathématique importante. Il y aura au cours

de cette phase [ti> to1 une brusque variation de vitesses que nous traiterons

mathématiquement corme des discontinuités. Pour trouver le mouvement à l'issuede cette phase, nous aurons à résoudre des systèmes de Cramer où les inconnuesseront les variations de vitesse au lieu d'avoir à trouver la solution d'équa-tions différentielles du second ordre, ce qui explique le fait historique que lathéorie du choc ait été développée très tôt. De nos jours il y a un renouveaud'intérêt pour la théorie du choc du fait de l'accroissement des vitesses desmoyens de locomotion et des brusques variations qui peuvent survenir. C'est unethéorie importante dans toutes les questions de sécurité.


- 768 -

10.1.1. IMPULSION D'UNE FORCE - DEFINITION

A. Impulsion élémentaire d'une force

Soit une force F agissant sur un système quelconque. On appelle->•

impulsion élémentaire du vecteur F le vecteur

"dT= F dt

B. Impulsion intégrée

On appelle impulsion intégrée au vecteur F pendant l'intervallede temps t^-t l'intégrale vectorielle+ f'2 *I = F dt

S

C. Dimension de l'impulsion-2 -1

La dimension de l'impulsion est MLT T = MLT ; c'est le produitd'une force par un temps. En mécanique une autre notion se présente sous uneforme comparable : c'est le travail

dW = F.dSr

2 -2C'est un scalaire. Il a la dimension ML T

Le travail peut être nul sans que l'impulsion le soit.

-*• -*Exemple : Supposons F orthogonal à V

f 2 + + +F.V dt = 0 + W = 0

J tl

1*2 + +F d t ^ O -» 1^0J tl

D. Remarques

Remarque 1 : le travail est un scalaire alors que l'impulsion est un vecteur.

Remarque 2 : l'impulsion a une signification bien précise. Reprenons notre fi-guration de la force très grande qui agit pendant un temps très court :


Le vecteur I a pour projectionfco C9

f 2 f 2I - X dt ; I - Y dt ;•"t •'t

1 1

xz - J(* z dt

rc2L'intégrale X dt est l'aireJ tl

hachurée.

L'intervalle de temps pendant lequel la force agit est très court mais la forceest très grande de telle sorte que l'intégrale

X dtJ tl

restera une quantité finie.

Remarque 3 : Dans d'autres branches de la physique on rencontre le même problèiaussi a-t-on créé un modèle mathématique en introduisant ce qu'on appelle maintnant la fonction de Dirac ô(t) définie de la façon'suivante :

6(t) = 0 pour t ï 0

6(t)-*» pour t « 0

6(t) dt = 1'o

On peut encore la définir de lafaçon suivante

6(t) = 0 t < 0

6(t) - -i- 0 < t < e e + 0

ô(t) = 0 t > e


C'est une courbe classique (courbe en cloche de la fonction d'erreur).

On sait que l'aire limitée par la courbe et l'axe des t>0 est égaleà l'unité :

I X (t) dt = 1* P

Autrement dit quel que soit a l'aire limitée hachurée ne cesse d'être égaleà l'unité. Il en est en particulier toujours aussi si a-K). Le maxi de X tendalors vers l'infini. A la limite pour a=0 X sera nulle en tout point sauf pourt=0 où elle sera infinie. Elle coïncide donc avec 6(t). La force X est physi-quement concevable.

- 770 -

On peut donc représenter une quantité devenant très grande pendant un tempstrès court à l'aide de la fonction de Dirac. Par exemple si une force devienttrès grande pendant un temps très court nous pouvons envisager de figurer lephénomène à l'aide de ces fonctions. On pourra écrire par exemple

X = XQ ô(t)

pour une force qui devient très grande à partir de t=0 pendant un intervallede temps très court.

Il faut essayer maintenant de comprendre comment ce modèle peut recou-vrir la réalité physique car il n'existe pas dans la nature de telles actionsmécaniques.

Considérons une action mécanique qui serait donnée par l'expression

tiX --L e"a2

a/rT


- 771 -

Remarque 4 : En fait 6 ne représente pas véritablement une fonction. C'est unequantité qu'on a le droit, lorsqu'il s'agit d'intégration, de traiter comme unefonction. En fait plus exactement 6 est ce qu'on appelle maintenant une distri-bution.

10.1.2. FORME IMULSIVE DE LA LOI FONDAMENTALE->-

Soit F la force agissant sur P. La loi fondamentale s'écrit :

-* ->eF -.J* (P) m

Multiplions par dt les deux membres de cette équation

F dt = m dg Vg (P)

C* •"•!&],-[*»],!I - m A Vg(P)

Théorème : La variation de la quantité de mouvement d'un point matériel pendantun intervalle de temps quelconque est égal à l'impulsion relative à cet inter-valle.

10.1.3. DEFINITION D'UN PHENOMENE DE CHOC

Soit une force F agissant sur un élément matériel de masse dm. La loifondamentale donne

F - J8(P) dm

Si F devient grand pendant un intervalle de temps très court, il en sera de->g

même pour J (P). Il y aura donc une variation très rapide de la vitesse. Préci-sons ce dernier point.

A. Caractéristique d'un phénomène de choc

'•• Çêl£Hl-âê_iâ_Yâ£ÎêJ:i2ïï e vites;seNous allons renoncer à suivre la variation de F pendant ce court

intervalle mais nous caractérisons son action par l'impulsion intégrée

r'2 -I = F dtJtl

La loi fondamentale donne sous forme impulsive

| 2 F dt = m f(vg(P))2 - (vg(P) )2 1


- 772 -

D'après le théorème de la moyenne on peut écrire

Ven. (t2-',)-»[(vg(P))2-(v

8(P)),J

~* ~*

Supposons que F devienne très grand de manière que F devienne de l'ordre

de c'est-à-dire que ce vecteur soit de la forme :vt' - -

F = —!!— TJ- étant un vecteur de module non nulmoyen to~ti

on a donc

* = m [(vg(P))2 -(v8(P)),]

La différence des vitesses est donc un vecteur fini. Il y a une brusque varia-tion de vitesse, ce qui nous conduit naturellement à la traiter comme une dis-continuité.

2* tê«E2Ëi]ÈÎ2S^y-E2ÎS£«£^SÊ-£Îîâ2Êê-Erati2uement Eas l°rs de cetteklH£2H£«YêIîâ£Î2B-^£_YÎ£ê££ê

Dans l'intervalle {t t le vecteur Vg(P) reste naturellement

un vecteur "compris" entre les vecteurs / V8(P)] et ( Vg(P)j .

Le déplacement élémentaire du point P est

"dT= V8(P) dt d'où

— r2 -P1P2 * V8(P) dt

tl

P P = Ct - t } Vrlr2 ^2 cl; moyen

Vmoyen est un vecteur "compris" entre / V8(P) 2 et /Vg(P) \} . C'est donc un

vecteur fini.


- 773 -

Par suite si (t -t ) est "petit11 il en est de même de ^j^o"

Nous avons analysé ce qui se passe au cours du phénomène. On pourradonc prendre comme critère de choc le résultat limite :

Lorsqu'il y a discontinuité âe vitesse sans variation de position* on dit que lepoint a subi un choc ou une percussion caractérisée par le vecteur

+ ft2 +TT = F dt

S

Dans le cas du choc on emploie le terme de percussion à la place de celui d'im-pulsion.

B. Résultats complémentaires

1 • E£!£H£5i22_ lH2ê_!2!££--!isiêUne force qui n'est pas instantanée, c'est-à-dire qui reste

finie pendant l'intervalle t -t donne une percussion

•* ->P = F (to-t.)

moyen 2 Y-*•

Mais comme F est finie la percussion est infiniment petite avec (t -t ).moyen. r 2 1

Elle peut être négligée devant les percussions finies.

2' ?êE£HS5Î22« £-iîâiS25On admettra que les lois du frottement sont les mêmes pour les

forces de percussion que pour les forces "finies".

3. Perçussionsjgxtérieure s^Percussions_interieures

- On considère que le postulat de l'action et de la réaction estvrai également pour les percussions.

- Comme pour les forces on peut énoncer le théorème : les per-cussions intérieures forment un torseur nul.

10.1.4. THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL EN THEORIE DES PERCUSSIONS

On part des théorèmes généraux de la mécanique ou l'on part directementde la loi fondamentale. La première méthode est plus rapide.


- 774 -

A. Théorème de la somme géométrique

+ d8 a8 •"F = —^—. F somme des forces extérieuresex dt ex

F dt « d a8ex

ÇJ-*-M.-M.? +

mais F = , L, F.ex k=l k

( 2 n r- v —i p-> -i

t «, v"-[°8]2- [«*],cl

ou encore : t»

|t|JA«-p]2-p],t2

J, |t] \--[sg]2-[°

8],

k=i ^k = a ? "" a i ^\F Percussi°n ue à la force F,

'-•pj.-roThéorème : La somme géométrique des percussions extérieures est égale à la varia-

tion de la quantité de mouvement.

B. Théorème du moment cinétique en un point fixe ou au centre d'inertie

Prenons un point fixe C (nous reviendrons sur cette question).Le théorème du moment dynamique donne :

£(« - i (c)»

M (C) dt = dyg(C)ex

ïT(0 dt = [vg(0 J2 - [vg(O J j• c l


- 775 -

t, t

f — f — *Mais M (C) dt - Z CP, A F, dtJ ex J k k

1 1

que l'on peut encore écrire ..2

f'2 _*. * — f „.Mext(C) dt - k^l CPk A J Fk dt

J tl Cl

n ^ —*-- , 2 CR A P.

k=l k k

n __^ ^ +Posons , Z CP, A P, = M (C) moment des percussions extérieures en C

k=l k k ex

Mex(C) - [>(C)]2- [ (C)],

Théorème :

Le moment des percussions extérieures en un point fixe est égal à lavariation du moment cinétique en ce point.

Remarque :

L'utilisation d'un point fixe n'est pas nécessaire car pendant le chocil n'y a pas variation de position.

l.l.5. CHOIX DES REPERES EN THEORIE DU CHOC

Nous allons voir que le choix des repères n'est pas aussi strict pourétudier une phase de choc que pour étudier un mouvement continu.

La loi fondamentale s'écrit

•* -*oF = Jg(P)

Soit (R,) un repêre en mouvement quelconque par rapport au repère galliléen

J8(P) - Jk(P) -»• J,g (P) + 2 n ,g A Vk(P)K. K.

JT(P) = J~H> + TT A°? + "? A ("? A °?}

la loi fondamentale peut s'écrire

F - Jk8 (P) m - 2 J 8 A Vk(P) m = Jk(P)


- 776 -

Multiplions par dt les deux membres et intégrons entre t. et t?t '

f 2 -*" f+e 1 r+e 1 ft2 + e +kF dt - m I Vk

g (P) J2 - I Vkg (P) J j - 2 m ^ g A V*(P) dt

Jtl Jtl

= m (vk(P)) 2 - (vk(P)) j

L'intégrale :

f 2 + g -*kk ^ V dt est Pet^te car le mouvement dans (Rk)

Jticomme dans (R ) est tel que la vitesse a une variation finie. Cette intégrale

Ct2 +sera négligeable devant une intégrale telle que F dt qui est finie.

JtiOn peut donc écrire

m A V P) = TT - m A V,8 (P)&

A signifiant comme d'habitude variation.

Cette formule est absolument générale. Supposons maintenant que le mouvement

de (R, )/(R ) soit continu, c'est-à-dire que (R, ) ne subit pas de brusque varia-

tion de vitesse pendant t -t . Alors

A Vfc8 (P) = 0 d'où

-M, -*

m A V (P) = P

m{pk(P)j2-pk(P)]l) =?

ce qui signifie qu'on peut appliquer la loi fondamentale relative au choc dans

(R, ) comme dans (R ) .o

D'où le théorème :

II existe une infinité de repères où l'on peut appliquer la loi fonda-mentale concernant le choc. Us sont tous en mouvement continu par rapport àun repère galilêen.


Soit R_ un repère d'origine G centre d'inertie du système et en translation parrapport à (R ) (repère de Koënig).

o

Nous avons pour chaque percussion appliquée en P.

£. = m. A V ft)+ m. A V8 (P.)J J J J g* J

mais V8 (P.) - V8(G) ¥ (P.) : (R *) est en translation/(R )g* J J g 8

TT. « m. A V8 (p.) + m. A V8(G)

CP. A ÏT. « CP. A m. A V8 (P.) + C?T A m. A V8(G)

Pour le système nous avons :

jl, CT A î. - .?, 3: A .. i^Cj) + jl, S] A -j 4 (G)

Kx(C) - [»l\2 - ["C*J, + jl, "j * * Î*<V

^ 1- * -I f-"^^fe -j ^ —^

Mex<C) ' [«(G) J2 - [/(C) J 1 * MCG A A VS<G>

S 1 C i G ^<G>-[?«=)]2 -[?(«],.

- 777 ~

Remarque : pour ce qui est du théorème du moment cinétique, qui sera déduitde la loi fondamentale les possibilités d'application sont en fait plus larges


- 778 -

10.1.6. UN MODELE CAPITAL EN THEORIE DU CHOC. CHOC DE DEUX SPHERES

Ce problème a joué un rôle considérable en théorie du choc et même plusgénéralement en mécanique. Il nous permettra de comprendre les problèmes qui seposent en théorie du choc. Mieux, il nous permettra de préciser notre proposinitial à savoir que la théorie du choc est une théorie destinée à palier notreignorance des actions mécaniques. En effet dans ce cas nous pouvons étudier lephénomène de choc comme un mouvement ordinaire car la théorie de Hertz nous per-met de connaître la nature des actions au contact de deux sphères.

A. Définition du choc direct

Soient deux sphères homogènes S et Sf de masse m et m1 qui vien-

nent se heurter à l'instant t . Le choc est appelé direct quand à cet instant t

leur vecteur rotation est nul et que les vitesses de leurs centres G et G* sont

dirigées suivant la ligne des centres.

Pendant l'intervalle de choc la ligne GtG0 peut être considérée-> I 2.comme immobile. Nous la prendrons comme axe O.X

Posons (v°(s))j • vj X0 ( VP(SI))1 - V'jlÇ à l'instant initial nous

supposerons que les liaisons sont parfaites.

B. Application des théorèmes généraux

1. Tl}§2Eê5fË-.ËH.S25£S£«c^n^^i3Më à_chacjue sghère en G

* â (S) M~DG> ' <W°G)9 - (^°G).——•""—•—"—- ex z. i

0 = Î G «V2 ~ (^1

comme (fl°S) j = 0 —*~ (ft°s)2 = 0

Le mouvement qui était à t une translation reste à la fin du choc t un

mouvement de translation.

* à (S') le résultat est identique.


- 779 -

En conclusion on peut donc poser

(V° 1 = V X / V° ^ = V X\V S )2

V2 *0 V S'/2 2 A0

2. Theorème_de_la_sonme_geomètrique

La somme des percussions extérieures est égale à la variationde la quantité de mouvement. En projection

0 - m (V2-V,) + m' (Vf2-V

fj )

ce qui exprime encore que la vitesse du centre de gravité n'a pas varié.

C. Indétermination du problême

La théorie générale des percussions nous donne seulement une équa-tion entre deux inconnues V-V et V -V .

Il faudrait une équation supplémentaire pour lever l'indétermina-tion. Et il faut pour cela faire une hypothèse sur la nature des corps comme yinvite l'expérience qui montre que le rebondissement varie avec la nature descorps (matière).

D. Analyse du phénomène de choc

Pour cela examinons d'abord d'une manière générale la façon dontévolue la distance GG' = & pendant l'intervalle t -t . Il faut en effet aban-

donner la mécanique du solide indéformable pour expliquer le phénomène. On peutdistinguer 2 phases

# ** phase t <t^t t < t2

Les actions Fs/st et FQ'/Q augmentent, il y a déformation locale : la

distance £ diminue.

* phase t <t£t

Les actions F-, , et F f . diminuent et par suite £ augmente ensuite

légèrement par suite de l'élasticité plus ou moins parfaite de la matière.

La distance £ passe alors par un minimum. Ce qui implique que la vitesseS

relative Vct est nulle ; en effetD

?.<GI>=!£ o = °


- 780 -

Les vitesses des centres d'inertie sont égales

•?'*?0 - *? -~s

= (Vf - V) XQ * vf = V

E. Levée de l'indétermination. Coefficient de restitution

1• t£s.£2EEs-Ë2St Eâlla £eSen£-S2Hs

On dit que les corps sont parfaitement mous quand ils restent encontact après le choc. Ce qui signifie que la seconde phase n'existe pas :

t = t . On a donc alors Vf = V , en tenant compte de m (V2"vi) + mf(Vf -Vf ) =0

m V2 + mfV2 = m Vj + m Vj

f

m V + m'VV = Vf = L2 2 A fm + m

2• të£-£2IEË«Ë22£-E§Elâî££5£2£»£lâS£Î2HëË

On dit que les corps sont parfaitement élastiques lorsque dansla seconde phase du choc les corps reprennent exactement leur forme initiale,la puissance développée par les forces intérieures étant nulle.

On a alors :

«SI. ndt °

T2 - Tj - 0

soit encore ylm V£2 + m'V^2] - y I m V 2 + m'V[2| = 0

ce qui peut s'écrire

m (V22-Vj2) + m' (V2

2 - Vj2) = 6

m (V2 - Vj) (V2 + Vj) + m' (V'2 - V'j ) (V'2+ V, ) = 0

En tenant compte de la relation générale :

m (V2-Vj) + m'CV^-V'j ) = 0 on a

V2 + Vl = V2 + V'l

V2 " V 2 = V'l " Vl Soit


- 781 -

(v2-v'2) = - (Vj-v'j )

ce qui donne vectoriellement

tf'\ '-(<),

Au cours du choc le module du vecteur vitesse relative nfest pas modifié maisil y a changement de sens.

On peut parfaitement déterminer V ' et V' car nous avons les relations

m V2 + mfVf

2 = m Vj + m'V'j

v- - vf = vf - vV2 V 2 V 1 Vl

ce qui donne

V - V f

i lV = V - 2 — —•2 ' i +

m1

V - VV 2 = v i + 2 TTÊT

m

£2£«r£2?2£!2H5èl££

a) m = m1

V « vf

2 1

Vf = VV2 Vl

II y a échange des vitesses : chaque sphère possède après le choc la vitessequ'avait l'autre avant le choc.

b) m' °Q y.1 = 0

C'est le cas d'une balle rigide heurtant une paroi fixe V9 = - V

La balle rebondit sans perte de vitesse.


- 782 -

3 • ^§Ë.Ê§2êlêii-SZE2£îîâË£«^Ê_ïïê]ï£2S

Dans le cas réel les corps ne sont ni parfaitement élastiquesni parfaitement mous.

La vitesse relative des deux sphères change de sens. Sa valeurabsolue est multipliée par un coefficient e moindre que l'unité appelé coeffi-cient de restitution.

V2 ~ V2 = " £ (V1 " V'l ) °U enc°re (Vs') = " £ ( Vs' )

Remarquons que l'on retrouve les cas précédents :

- les corps mous correspondent à e = 0

- les corps parfaitement élastiques correspondent à e = 1

Cette relation supplémentaire nous permet de déterminer V et V' . Pour cela ona maintenant le système :

m V2 + m'V'2 = (m V} + m'V'j )

y - vf = - e (V - V1 )V2 V2 ^ 1 1 ;

qui donnem V + m'V1 - e m1 (V - V )

V - ' * ; '

2m + m1

De mêmem V + m'V1 + e m (V - V )

V* = ] ! i 1_2

m + m'

F. Valeur de g

On détermine expérimentalement la valeur de e :

billes de verre e = TZ1 D

8billes d'ivoire e " "o

billes d'acier e « —

billes de liège "e = "o

billes de bois e = y


- 783 -

Dans tous les cas nous avons suppléé à notre ignorance de la nature exacte duphénomène physique par une hypothèse portant non sur les actions mécaniquesmais sur les vitesses. Nous constatons par ailleurs que nous avons simplement àen résoudre des systèmes de Cramer.

G- Perte d'énergie cinétique dans le choc (cas général)

T2-T. = ïm<v22 -v2) +I m(v-2-v; 2 )

mais on peut écrire

T2 - T j = 1 m [V2 + V, ]£V2 - V j ] + I m' [>'2 + V',] [V2 - V',1

Mais on a en outre la relation fondamentale

m (V2 - V^ + m'(V'2 - V'j ) - 0

VT, ' î m (V2 + Y (V2 - V - I m'(V2 + V'l } £ (V2-V,)

T2-Tj - I m (V2 - Vj) (V2 - V'2 + Vj - V'j ) mais

d'après la loi de Newton V_ - V = - e (V -V )

T2 " Tl = I m (V2 " Vl) ° ~ e) (Vi ~ V'j >

m V + m'V ,v2 - v, - ' ' - -ï-S- (v, - »• ) - v,

m + m m + m

m V •»• m'V1 - m V - m'V e mf

V2 - Vl = — 7-7— U —-T (V1 - V'l }m + m m •*• m

tn'(V - V ) ,v - v ! L_ - _E_ (V - v' )

m + m1 m + m1


- 784 -

V2- V1 =-^ (1+£) (V1 -V

Donc ____________«__^

T - T = - - mlm Ci - e2) (v - Vf )2L2 Ll 2 m+m' U £ ; Vl V 1 ;

II y a toujours perte d'énergie cinétique dans le choc donc finalement perted'énergie mécanique. Deux cas particuliers sont remarquables.

1. Corgs parfaitement mous : e = 0

T - T - - - mm> (y - V )2L2 • 1 2 m+m' ^Vl V i ;

2. Corps^garfaitement^elastigues : e = 1

T2 - Tj - 0

On retrouve bien là un résultat conforme à la définition du choc parfaitementélastique.

H. Percussion de liaison

Nous allons voir que si l'on peut déterminer la percussion deliaison cette méthode ne pourra pas par essence nous fournir l'action de contactet le temps de choc.

Nous pouvons facilement calculer la percussion de liaison. Posons :

ss' = ffss' xo

avec Vs = Vs xo\

"ss' + Vs = 0

Appliquons le théorème de la somme géométrique à (S) seul :

Vs ' "^ -^ ] .-> - - » • - * - -•iïgls = m [V2 - Vj J mais

V 2 - V 1 = - ^ ( l + e) (Vj-V,)

vs - - iw-< 1 + e > ( vrvV>


- 785 -

Prenons par exemple e = 1

m - 1 kg

m1 = 1 kg

Vj = 5 m/s

V'j = - 5 m/s

Vs = - 10

Mais la façon dfaborder le problème ne nous permet pas de connaître le tempsde choc.

Désignons par F , l'action de (S') sur (S): *~-»~ ->

FS'S = XS'S X0

Entre la force et la percussion nous avons la relation

,'2

Vs- xs'sdtJ tl

La percussion est connue bien que ni la force ^ccf n^ ^e terr%>s de choc ne soientconnus.

Si nous connaissions la durée du choc il serait facilement possible d'évaluerl'action moyenne au cours du choc.

En effet on peut écrire

VS = [XS's] ' Ve!*- -1 moyen

A titre purement indicatif pour montrer l'extrême importance du rôle de la durée

du choc nous allons dans l'exemple précédent calculer X-f<J en fonction det _t . L Jmoy: C2 cl __«______

t0 - t. |XnfJ en N2 1 I S'S(moyen

0,01 1 000

0,001 10 000

mais nos équations ne nous fournissent aucun moyen pour calculer t -t .


- 786 -

10.1.7. ETUDE DU PHENOMENE DE CHOC COMME UNE PHASE DE MOUVEMENT ORDINAIRE. THEORIE

DE HERTZ.

Nous allons voir que dans le cas des sphères, il est en fait possiblede connaître Xoof en fonction du rapprochement des centres des sphères et par

bb

suite mettre en équation complètement le problème.

A. Etude du contact. Loi de Hertz

Appliquons à Sf uneaction

P = - P XQ P>0

avec ^-> rr t *Y - bbr o - lrr f IX0 " A £ " |GG I

à lféquilibre :

îss, + PJ= o +

?ss' = p xo

Posons

a = R + R' - £

a est le rapprochementdu centre des sphères.

La théorie de Hertz indique qu'entre a et P on a la relation

a ^LJL. (K+K')2 ff.p2

16 R R

. i t E> E?> modules d'élasticitév - l "" v ÏT» = ] " v

TT E K TT Ef f „. . ^ ,, .

v, v, coefficients de Poisson

On sait par ailleurs que la pression est maxi au centre de l'aire de déformation(cercle de rayon a) et vaut

3 Pp « j j avec

Tra

• - v-v- <«•) & . pNous pouvons exprimer P en fonction de a sous la forme

P -\f~ï* ~ » 3/2r -y 5- . p.pi • T a

9* R+R (K+K')2


- 787 -

P est donc de la forme

3/2P = n a avec

./Te R R 1 1n -y =• . j

9 ir R+R' (K+Kf)

Si entre (S) et (S1) agissait un ressort élastique linéaire on aurait

iC'i = ka

B. Etude du mouvement

OG - XG X0

Ô? = XG, XQ

GG' = H XQ

c t = R + R'-£ a>0 £ Q= R+R1

1. Actions_mécanigues_agissant_sur_^S)^_et_j(S^)

"*" !/2 en » ^ GGFss, = -na (£-£Q) Tggr|

-»• 3/2 •*Fss' = n a xo

on a aussi

~* 3/2 *Fs's = - n a xo


- 788 -

2 • §31îat 2BS_ËH-52HYêS£S£«i§ll/i§i

Appliquons le théorème de la somme géométrique à S et Sf entenant compte du fait que l'on néglige les forces ordinaires :

iÇs, = m' JV

FTs = » J~

Ce-T cette fois Fqqt e^ ^qrq Qont connus.

j" = X»(G) 1Ç

JV- X"(G') X^

m x"(G) = - n a3/2

m' x"(G) = n a372

*"c - - l

«"a- - £ »3'2

X"G, - *" = „ S-t-il a. 3/2

G m m—>• -*•

mais GGf = £ X

XG* " XG = £

x l fr l - x" = £f! mais

(y (y

a = R + R' -A

a" = - (x"G, - x"G)

on a donc

fl A m-fm1 3/2a" + n f a = 0yii)!))

Equation différentielle du second ordre non linéaire.


- 789 -.

3 - Ï2£ÉSEâiê-.ErS5îIïê-.Ë£-rêEEï2£ÎîêSËSJÈ-5§2ï

Multiplions les deux membres de l'équation par a1

f lf A m+mf 3/2 f na a + n y- a af = 0mm

L'intégration est immédiate

a'2 A m+m' 2 5/2_— + n —_ — . a = cte2 mm 5

Mais pour t=t début du choc nous connaissons les conditions initiales

• a = 0

• a'1 - - £'

a' = - fx' - x! 1l G' cJ

a» » - [V - V]

a» = - fv f - V 1a 1 L I 1J

posons W « V - Vf

a'i = wien portant ces deux conditions dans l'intégrale première

1 ,2 2 m+m' 5/2 1 T7 2T ex + T n —r- a = -7 W/ 3 mm z 1

1 / ,2 TT2 , 2 m+m' 5/2•7 (a' - W. )=-•=• n ,-• a• 1 3 mm

,2 TT2 4 m+m' 5/2 ,a = Wl ~ 5 nîS^" a }

Lorsque la vitesse s'annule le rapprochement est maximum et nous pouvons lecalculer. Désignons le par a*

* /II mm't u2 \ 1 Ia " V 4 n m+m' Wl / 5 J

4. 2§termination_du_tem£S_de_choc

A partir de l'intégrale première on peut écrire

£ - ,Vw,2 - ï» «: «5/2 .. ±,


- 790 -

* *a) Phase du mouvement t •* t t. « t < t

pour t=t, (4r) i "• W >0 donc £ > 01 dt I

on a donc

dot .O 4 ^ m + i n y 5 / 2 , f .T~ -V^, " T n P" * a d'oùdt * 1 5 mm

dotdt = —

+ r~2 4 m+mT T/TVW. - T- n ;- aY 1 5 mm'

Posons *'(X da

yV2 - i n 2^1 a5/2

•* Y 1 5 mm1

o

Posons — = x pour a = 0 -> x = 0a * x

a = a -> x = 1

• f \

t*-t = dx

1 "• IxT^on trouve pour l'intégrale

1 dx = 1,47

V, - x5'2

^ O

îfc *b) 2ème phase t>t t £ t^ t

fl* m+mf *3/2mais a = - n y- a

i^iii

a" < 0 -»• a1 décroit

MFdonc connue a1 = 0 a' est négatif.

On a

da x/jTi 4 m+m' ï/ïdt = - V W j - j ^r a

dt = - da —V^2 . 4 «Haï a5/2^ 1 5 mm


- 791 -

fO

da«2 . «• . . ______>,2 - * & °5/2

•'a

0

t - t* - - SL. dx

2 wi x/ vTyi - x•J i

Nous pouvons déterminer maintenant la durée du choc

t2-t, = t2 - t* + t* - t](i

t2 - t, - 2 £ ta1 jo VTT77

s

t 2 - t 1 = 2 , 9 4 ^

5. 5§£ËI2ÎSê£Î2S-^ê«Iâ-l2££Ê-âH-£2!iïS-.du-choc

„ ^ .. ^ __ 3/2 , or nousNous savons que Fsgl = Xsgf XQ avec Xggf = n a

pouvons connaître à tout instant en fonction de t en intégrant lféquation :

da */ T72 4 m+mf 5/2dl'^V Wj -In-1=r. a

En particulier nous pouvons facilement connaître (X f) maxiss*3/2

^SS^maxi = n a

^« 2âl£iîI-. S«Ilâ££§IâEâ£îSB-£êI§£ÎYê

Lfaccélération relative peut aussi être connue à tout instant*En effet :

«.....„ 2 1 a3/2^ |i

Nous pouvons calculer sa valeur maxi

l V l i m-*-mf *3/2aff . » n . a1 'maxi mmf


- 792 -

L'accélération est souvent prise comme critère pour caractériser un choc.

7. Calcul de la percussion TT f__«____.._.._.._ ____....___ ^

Nous pouvons calculer la percussion comme dans la théorie duchoc ou par intégration (théoriquement)

wss- '. [ xss' dtJ tl

Nous constatons donc SUT cet exemple que si les forces sont connues parfaitementau contact la théorie spéciale des percussions n'a plus qu'un intérêt de simpli-cité. La théorie des percussions au fond revient à remplacer les lois sur lanature des actions mécaniques par une hypothèse portant sur l'état des vitesses.

8. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE

La loi fondamentale pour les percussions donne pour un point matériel^ ' _^ rt

d-iï = dm (v°(P)j2 - (.V°(P) } avec dir = dF dt

J tî

que l'on écrira pour simplifier l'écriture

dïï - dm (V2 - V )j -> ->

Multiplions les deux membres de la relation fondamentale par y (V + V ). D'où-** •*•

. ^ V + V— 2 1 1 "*" 2 •*" 2dir . 2

J = 1 (V^ - V j ) dm

soit en intégrant pour le système

1 f +2 \ \ +2 \ *2 * 1 -y V2 dm - ~ Vj dm = - -5—- dTT (1)

Jpes Jpes Jpes

Théorème :

La variation d'énergie cinétique pendant un choc est égale au travailqui serait développé pour les actions de percussion si le point d'application dechacune d'elle avait pour vitesse la vitesse moyenne arithmétique entre~* "*"77 et V • vitesses en début et fin de choc.

J. Ci


- 793 -

5£ïS£2Hê_!

La formule établie en (1) nous permet de donner une expression intéres-sante du calcul du travail effectué par les actions mécaniques au cours du choc.

Le théorème de l'énergie cinétique donne

Çy = TT i& étant la puissance développée par toutes les actionsmécaniques.

On a donc ft -T2 "" Tl = §f dt

J tl

avec Up= V(P).dF

Jpes

{•LL'intégrale C3r dt est le travail par les actions mécaniques entre les

J tiinstants t et t..

En comparant cette expression et celle obtenue à l'aide des percussions on a

W12 - f ^2 - d7

J 2P6S

5£2?2£2H£- «

II existe d'autres théorèmes énergétiques en théorie du choc mais leuremploi est en général restreint par suite des hypothèses d'applications trèsstrictes. Ainsi en est-il du théorème de Carnot.


2EME P A R T I E

C H O C S A N S F R O T T E M E N T

E N T R E S O L I D E S


- 794 -

10.2.1. ANALYSE GENERALE DU CHOC ENTRE DEUX SOLIDES LORSQU'ON SUPPOSE LE FROTTEMENT

NEGLIGEABLE

A. Effet d'une percussion sur un solide libre

Soit une percussion TT appliquée en A6(S). Posons TT = TT u

Les théorèmes généraux des percussions appliquées à (S) donnent :

Théorème de la somme géométrique :

Î-. K co),-(?<«),)

posons ÂV = (vî(G))2 - (v G)),

( )2-*2( ~G),= ',

-> —*•TT = m AV

Théorème du moment cinétique en A :

ÔTA î - (PT(G))2 - (y7(G))1

- > • - > • - > •

Désignons par (G, Xg, Yg, Z ) le repère principal d'inertie

7(G) = TG ti*l

= ]"A o o~avec I- = 0 B 0

LO o c JRS


- 795 -

( y°7c))2 - ( 17(6)) j = TG Afl°s en posant

^s - < ° V 2 - < â î > i

Donc ^ _ —*-GA A TF = I • A£2°s d'où

II1 GA A î -' Aft°cb b

~j_ o o

V- • i «-° ° HRs

Nous allons montrer que l'on peut relier la percussion ir à la projection de

V° (A) sur la direction ir

V° (A) = V^G) + fl° A ~GAb

• >

Projetons ce vecteur sur u

V°(A).u - \F7c).u + (Q°0 A GA) ub

Posons V°(A).u. = W°b

La projection du vecteur vitesse de A sur y est

; " = w°s «W^ - '( V A). u) . u

Pendant le choc y et GA sont fixes.

AW°C » Âv".u + (GA A u) AÎ2°0b b

AW°. = - . ~ÏÏ + (GTA~Û) . î "' (GA A u) . irD m

AW°S . î- - - u + TT (GA A u î "' GA Au) u

Soit encore+ -> ^ __ ^

AW°0 - - + (GA .A u) . ï "] (GÂ A u) Tb m


- 796 -

r * "^ ->-Posons GA A u = m

.°kon peut donc écrire

+ + n2 2 2^c = 1 + î ( JL. + SL + S_ )

S m A B C

-»• , fl2 2 2

«•s-< = *£*¥*%•>'On peut donc écrire

AW°C = K2 mb

Remarque : Si G 6 l'axe (A,u) on a GA AÛ*= 0. D'où £ = 0, m = 0 , n = 0

à-t-i*

B. Indétermination du problème de choc de deux solides

Faisons le bilan des équations et des inconnues.

Equations : on peut appliquer les théorèmes généraux à chacun des deux solides(S) et (S1). Au total nous aurons 12 équations.

Inconnues :

paramètres inconnus : les positions de chacun des solides ne varientpas au cours du choc. Il suffit donc seulement de connaître l'état des vitessesaprès choc, c'est-à-dire finalement les dérivées des 12 paramètres.

inconnues dynamiques : c'est la percussion de contact ir , = - ^ c i c -DD b b

II suffit de connaître sa valeur algébrique. Il y a donc une inconnue dynamique.

Au total il y a donc 13 inconnues dynamiques alors que les théorèmesgénéraux nous fournissent seulement 12 équations. Le problème est donc indéter-miné du fait que jusqu'ici aucune hypothèse n'est faite sur la nature du contact.


- 797 -

C. Etude du contact entre deux solides au cours d'un choc

Soient deux solides libres (S) et (Sf).

La mécanique du solide invariable suppose invariables les distancesdes éléments mais ceci est difficilement compatible avec le phénomène de chocoù les déformations locales ont une grande importance. La mécanique classique ysupplée de la manière suivante en supposant que les déformations ne sont sensi-bles qu'au voisinage des contacts. On suppose que chaque solide est formé dedeux parties

"- un noyau (N) parfaitement rigide limité par une surface (a)

- une pellicule de masse négligeable qui subit seule la déformation. Elle estcomprise entre (a) et (Z).

D. Contact géométrique. Contact mécanique

- Contact géométrique : II est réalisé lorsque les deux surfaces (a) et (af)viennent en contact.

- Contact mécanique : II est réalisé lorsque les deux surfaces externes (Z)et (Zf) viennent en contact.

Cette façon de voir correspond à l'observation du problème d'une part et d'autrepart à une façon de voir généralement adoptée :

Par exemple si deux solides (S) et (S'sont liés par un ressort on ne consi-dère pas qu'il s'agit d'une liaison ausens de la géométrie ou de la cinéma-tique car chacun des solides peut dupoint de vue géométrique se déplacersans être gêné.


- 798 -

->• ->Dès que le contact mécanique est réalisé il existe une action F f

= "" FQÎQ et

comme il n'y a pas de frottement elle est dirigée suivant la normale commune II1.

E- Différents types de contact

1°) Pendant la durée du choc t-t les deux corps sont en contact

géométrique : alors la liaison est dite permanente ou de première espèce.

2°) Pendant la durée du choc le contact mécanique est réalisé etle contact géométrique n'est réalisé que pendant une partie de l'intervalle. Laliaison est dite non permanente. On peut alors distinguer 3 cas.

a) le contact géométrique est réalisé seulement pour t=t . La liaison est ditede seconde espèce.

b) le contact géométrique est réalisé seulement pour t-t-., la liaison est ditede troisième espèce.

c) le contact géométrique est réalisé pendant une partie de l'intervalle maisni au début ni à la fin. La liaison est dite de quatrième espèce.

Cette distinction a une grande importance : dans le cas d'une liaisonde 2e, 3e ou 4ème espèce; chaque solide est libre de se mouvoir indépendamentde l'autre du point de vue de la géométrie. Au contraire dans le cas d'une liai-son de 1ère espèce le mouvement des deux solides ne peut être indépendants. Enparticulier nous verrons que toute transformation virtuelle compatible devras'effectuer de manière à respecter cette liaison géométrique.

F. Vitesse de pénétration


- 799 -

Soient 0 et 0:| deux points appartenant aux noyaux de (S) et de (S1) et situéssur la normale commune ; posons

-> _ 00f

\ÔO'\

Soient deux points P. et P? appartenant aux noyaux. D'après la cinématique du

solide invariable

v|,(P2) - .(p,).+ 0*. Ap- 2

v|,(P2).n - v|,-(Pj).n

Ce n'est autre que le théorème de 1'équiprojectivité ; tous les points situés surla normale commune ont même projection sur cette normale commune.

S i S -> \ ->Posons W f * IVctCP,)-

1 1/ n soit encoreb \ b 1 /

' -w|, - w|t. . n avec w|, = v|, (Pj).n

^ - (^<P,) . -E- )-Srb v . joo'l / |oo'.|

w5, - —p-j (v (P).Ôo"') . ÔO7S (OO1)2 V S - 1 /

sW , est appelé vitesse de pénétration de (Sf)/(S).

S- Les différentes phases du chocs- Il y a d'abord une phase de compression pendant laquelle W0,b

est dirigée vers (S). Les deux corps se rapprochent, les pellicules se déforment.

Q ^- La vitesse relative W t s'annule pour t=t e^t., t^C

et elle change de sens.

- Ensuite les pellicules reprennent plus ou moins leur formeprimitive. C'est la phase de restitution.


- 800 -

H- Différents cas possibles

'• iês-£2EE£_£2E£-EêE£êi£Ê2e5£_22H£Seule la première phase existe. La déformation subsiste

t~s\\Wct J = 0 soit encore\ S /2

w|f(P).n - 0

(w°7(P) ~ V*7P)) n - 0\ b b /

2 • Lê5.£2EES.<Ë2S£«E5Elêî£Ê5îëïîi-iiâ5£Î3îiëSOn dit que les corps sont parfaitement élastiques s'ils repren-

nent après choc leur forme initiale, le travail développé par les forces inté-rieures étant nul.

Nous allons voir que cette hypothèse conduit au fait que la com-posante normale de —^

W;?,(P)

change de sens pendant le choc sans changer de valeur absolue.

* 1e méthode : utilisation de la formule qui permet d'évaluer le travail desactions mécaniques.

T2 " Tl = ^^élastique + ^liaison

comme W10 . . = 0 on doit avoir12 élastique

(W12^1iaison ' °_ _ _

-*. [v;,<p>].2 +[v;,(p)]j ^ Ev;(p)]2 + [v;(p)l,

W]2 = TTgg, _ +TrS'S-

soit encore comme ir , + Tr0 ,c * 0DO ^ D D ^

^ [vg,(p)]2*rv|.w]1= irss- 1 ;

mais v|,(P) = V ,(P).n n + n A V g , ( P ) A n

Vg,(P) - Wg,.n + n A v|,(P) A n

Comme TTOOI = itcc, n (liaison parfaite)DO OO

(wp2+(w^,)1CM •) = * b z b *

kW12;L SS' 2


- 801 -

(W _) = 0 entraîne donc comme TCC, 01Z. JL oD

S / S \( Ws,)2 = -( Wgf )j soit encore

(?.);<?,),

* %ème méthode :

f '2+ + r^( W 12>L- ^ S ' S ^ ( P ) d t + ^SS '^ ' ( P ) d t

J t '

^^ ^s-s + ?ss' = ° avec Fss' = Fss""

Vg(P) = (Vg.n) n + n A V°s A n

V° , (P ) = (Vg,.n) n + n A V°, A n

Posons W°g = Vg .ï W°s, = V°, . n

\2 f*( W 12 ) L = FS'S-W°S dt + FSS'-WV dt

J t l J ' i

^2(W12}L = FSS' WS' dt mais

Jtl

g 2 —*~AWgf = k ïïg , ce qui donne ici

AWs' = fc2 ss'

mais : C- "è ' " Fss' =dT ss'

F = J- A wsSS' k2 dfc

WS'

2(W.2> ' . d WSS,

Jt!


- 802 -

On a donc finalement

,fc2

WS' d WS' = °

J tl

Kl - MO, ' •

[K,>2*^,),][(»ss,>2-<»*,)] = o

soit (H*,) = - (WJJ,)

Remarque : La démonstration a été faite dans le cas de solides libres mais ellesubsiste dans le cas où il y aurait des liaisons qui donneraient un travail nul.

3. Cas^general_£_cor£S__2uelcongues

Les solides ne sont jamais ni parfaitement mous ni parfaitementélastiques. On adopte alors l'hypothèse de Newton.

On pose (w;f) =-S (w )2 1

si £-0 les corps sont mous

6=1 les corps sont élastiques

I. Il y a toujours perte d'énergie cinétique dans le choc sauf si lescorps sont parfaitement élastiques

On a T2 - T, - (W, + (W,

(4) -'( .)

T2-Tl=7fSS' ——2 l

mais on a ( W°f ) - ( W^f ) = k TF^,

(^2 H?), ' k' Vs

( )2-( .jj • (^2>k'2) ,

>


- 803 -

ce qui donne î~ ""?"" v

( WS ) - ( WS

—*~ = \ V '2 V S' ;1î f oo» 2 2

&b k^ + k'^

( w s ' ) 2 - ( w s S ' ) i*SS' " k2 + k'2

On a donc F ? ?"

T2 " T l -î 2 ] 2 (WS< ) ' (WS')2 ' Z k2 + k f 2 L 2 1 .

Compte tenu de l'hypothèse de Newton

T - T = - — (l - 'G2) * CWS )212 ij 2 U ; k2 + f2 ^ S?;1

La perte d'énergie cinétique est maximum pour €=0, elle est nulle pour £=1.

Remarque 1 : G et G' appartiennent à la normale

, 2 1 . ,2 1k » — k = T

m m

T - T « - 1 n - s2) mmt rws y12 l\ 2 U ; m+mf ^^\

et l'on retrouve une formule connue.

Remarque 2 ; La percussion est deux fois plus grande lorsque le corps estparfaitement élastique au lieu d'être parfaitement mou.

("? ) - (?)—*~ s* 2 s> ]"rïqq» ~ o obb k2 + k'

cSi les corps sont parfaitement mous (wc,)0'« 0

o ^ ^(w ),^SS^M = - k2 + k,2

C C

Si les corps sont parfaitement élastiques (wc,)0 = - (w , )b £ O 1

( , iM(7rssi>E"" k2 + k'2

(irSS'}E= 2

(irSS'}M

Ceci a une grande importance dans le choix des matériaux constituant les corpssubissant des chocs,

\


- 804 -

10.2.2. METHODE D'ETUDE D'UN PROBLEME COMPORTANT UN CHOC

A. Les trois phases d'étude

Un problème de mécanique comportant un choc s'étudie en 3 étapes.

1e phase : le mouvement avant le choc : C^/>> *yl

L'étude du mouvement avant choc permet de connaître position et vitesseen début de choc c'est-à-dire les conditions initiales du choc.

2e phase : le choc proprement dit : £t7., t~\

L'étude à l'aide de la théorie du choc permet de connaître l'état desvitesses en fin de choc. Comme la position du système n'a pas varié, la positionest connue. On connaît donc les conditions initiales pour la phase suivante.

3& phase : le mouvement après choc

II s'étudie comme la première phase avec comme conditions initiales lesconditions de fin de choc. C'est cette fin qui sera très importante pour l'étudedes sollicitations du système.

B. Exemple : nous allons traiter ainsi un exemple classique : la tractionpar choc lorsque le choc est mou

La masse (S9) tombe sur

(S ) d'une hauteur h.

' • §£H ê- H_S2HYê5?êB£

§YâS£.£Îî2£Elle est élémentaire ici.Donnons simplement lesrésultats fin de 1e phase:


- 805 -

—*~ * "*"position définie par OA' = z Zn

Solide (S) .''"" ->• . -)•

vitesse V = V Z avec V = / 2 gh

—+~ * +position définie par OA = z Z~

Solide (S') ^ +vitesse V = V ZQ avec Vfj = 0

Mais cette étude peut être elle même un problème complet.

2. Etude_de la^E^âSê.de^choc^^Vitesses^en^fin_de_choc

Le choc crée une brusque variation de vitesse sans variation deposition.

-»-Le théorème de la somme géométrique en projection sur Z donne

m (V2 - V j ) + M (V'2 - V f j ) = 0

mais V1 = 0 (corps initialement immobile)

V = V2 (choc inélastique)

m[V2 - V^ + MV2 - 0

v = m V2 M + m 1

maisV} = V2 gh

V = —2— \/2 ahV2 M+m V z 8n

^ • l3Hâ£Î£2-^H-E2HY£2Ê2JÈ-. £-.ilêSSêSfeIê-â£lIS-£Îî2£

F^ -»• P - (M+m) J°(G)R

- K (z- ZQ) + (M-i-m) g « (M+m) z"

^ •—mais z= z + z avec

zn longueur sans contrainte

z longueur dans la position d'équilibre statique

z déplacement à partir de la position d'équilibre

On a - K (z - ZQ) + mg = 0V


- 806 -

L'équation différentielle peut s'écrire

- K (z* + z" - ZQ) + (M+m) g = (M+m) z"

- K "z + mg = (M+m) "z"

L'équation peut donc s'écrire

(M+m) z" + K z = mg soit encore

p. + -L. I . JÏÏLM+m M+m

L'équation sans second membre a pour solution

z = A cos Œt + B sin flt avec

" = V^

La solution de l'équation avec second membre est

~~ - mS M+mZ ~ M+m K

I = MK

z" = A cos Qt + B sin Jît + K

II suffit maintenant de déterminer A et B d'après les conditions intiiales(fin de choc)

t = t2.= ° I 2 = M^ V ^ r

R - m \/9~Il, \/M*™B - ï5ï • V2 gh V-R-•" nig ^ m v 2 gh ^ / M+m . ^ mez - - -f cos fit + -—&- V — sin fit H- J

__ m \/2 ghz = ^ (1 - cos Qt) + — — sin ftt

VK (M+m)

^' Flëche^maxijwjm^ou^flèche dYSa5ji3uê

Le déplacement maxi est z . tel quemaxi H

% r* 2 i TT|- | = V 2 g_ + 2 m gh + Ei.' maxi ! K2 K (M+m) K

= 2£ + V ( EÊ ) + 2 2& ^2-. hK V V K ; Z K M+m n

2~ est la flèche qui serait due à la masse m (flèche statique)K


- 807 -

Û .) - f +Vf 2 + 2 f h -2-maxi s T s s M+m

on peut encore écrire

(7 . ) = f ( 1 ••• Y 1 + 2 •£• —^ )maxi s y f s j + M /

m

On appelle coefficient dynamique

"• "\/'*2£ 771m

Nous allons voir que les flèches en dynamique seront infiniment plus grandesqu'en statique.

5• AEElÎ£âM25_5H!?ÊïîSHê J22Hgrandeur

Prenons les données suivantes

M = 0

h = 0,25 mA *>t = 2 m * z

E = 2.1011 N/m2

m= 8 kg

a) Calcul de la flèche maxi

fd = fs + V/fs2. + 2h.fs

fd - fs n avec

n = 1 +Y 1 + 2 j-s

b) Calcul de fcoA£ PLa loi de Hookedonne n»E— avec n = —A/ D

l-Ef sou P.f«

ESD'où par identification K = —

A»

v _ 2.1011 x 4.10~4K -2

K = 4.107 N/m


- 808 -

• meLa flèche statique est f = -r~

fs = - r = 2.10"6 m soit 2 yS 4.107

c) Calcul de n coefficient dynamique

n. 1+Vi+^^2.10 •

n = 1 + \l + 25. 104

n - 5.1-02

Lfamplification est donc considérable.

d) Calcul de la flèche dynamique

— f\ _of, = 2.10 * 500 = 10 m soit 1 mmd

e) Calcul de la force maximum de traction

La flèche totale est

M e M aftd = ¥ + f d = ¥*v ( r i )

= (m+M ) g + X / f 2 + 2 f h-H-td K g V r

s rs n M +m

La force maximum de tension de la barre

'-* [=1-• *V*.2 ***.-H^ ]

F.K[=^L gtV(f,\2f fcjjSj]

FMXi = <mtM > 8 + V w ^ a m g k h j j i j

'«!-•«•*.-. ( i * V i + 2^ HTS )

F . = Mg + mg.nmaxi 6 6

F . = g F M + n m lmaxi & L J


- 809 -

F . = mgnmaxi •= .8. 10.500

F .' « 40 000 Nmaxi

La force est considérable.

6. 5î2i2H î22- Ë-Iâ- 2E£Ê«5ê5ÎPour réduire F . il faut réduire le second terme qui est pré-

maxipondérant, c'est-à-dire réduire n. On peut y parvenir :

- en augmentant M (on ajoute une masse)

- en augmentant fs (c'est-à-dire en diminuant k, par exemple en ajoutant

un ressort en série avec la barre précédente.

Illustrons cette méthode par une application numérique.

Modifions le système de la manièresuivante :

- on ajoute une masse M = 16 kg

- on ajoute un ressort de raideur

jK. = -r- en série avec la barre

précédente.

Le nouveau coefficient d'identification est

»' • ' * V. + * £ TT —s + 1

m

La nouvelle raideur est Kf telle que

JL..! + _L F. - *' K - KK' K Kj -* KH-K " 3

La nouvelle flèche statique f' est telle ques

fl . i . 3f K1 J

s

f - 2.10~6 x 3s

-•--V,4^.i„• .

On a divisé l'amplification dynamique par 3.


- 810 -

La nouvelle force maxi est

F1 . = m1g + mg n f

maxi 6 6

F' . = 16.10 + 8.10 . •—.maxi 3

= 160 + Ai^OO

„ 40 000 N 4_MO d > N = 1333d<N

Remarque : Le fait d'éjouter une masse M augmente certe F . de M g maismax i

diminue considérablement r\.

7• A££licationsLes applications des principes mis en oeuvre dans la traction par

choc sont très nombreuses soit directement soit indirectement.

a) Application directe

Exemple : l'arrache moyeu à inertie

Pour désolidariser (2) de (1) on lance la masse pour lui communiquer une vitesseV . On peut obtenir une "force" d'arrachement considérable.

b) Applications indirectes

Elles sont très nombreuses par exemple en isolation contre les chocsde nombreux dispositifs de sécurité. Citons :

- conception (et modèle) des automobiles (habitacle rigide entredeux parties déformables)

- ceinture de sécurité en automobile.

- fixation de sécurité en ski.

- emballage des produits fragiles.


- 811 -

10.2.3. UN PROBLEME CLASSIQUE : CHOC SUR UN CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE FIXE

A. Schéma adopté

II est le même que celui qui est utilisé pour étudier le mouvementautour d'un axe fixe

- en 0 la liaison est sphérique parfaite

- en A la liaison est fsphérique parfaite(prismatique parfaite

On a désigné par :

M la masse du solide

G le centre d'inertie

I le tenseur d'inertie

A (SQ) on lie le repère (RQ) (0, XQ, YQ, ZQ)-+Z porté par l'axe de la rotation de sens arbitraire->X vertical ascendant

?0 = Z0 A *0

A (Sj) on lie le repère (Rj) (0, Xj, Yj, Zj)-*• -»•Zl = Z0-*

X arbitraire

?i- Jr AVOn repère la rotation de (R )/(Rn) par

e = (XQ, x^

Le centre d'inertie est défini par

ÔG - |a, b, c|1

Le tenseur d'inertie est défini par sa matrice dans (R.)

" A -F -E~|T0 = -F B -D

-E -D CjRl

On applique au solide un torseur de percussion défini par

9ft(0) = |> y' zV

W = f x' \ ] R,


- 812 -

II y a en outre un torseur de forces données

w>-[VVMJ*,F = FF , F , F~L

L x y ZJR!

La contribution de ce torseur sera nulle pour la phase de choc car il donnerades percussions négligeables.

Les liaisons en 0 et A conduiront a priori à des percussions de liaisonsdont les éléments sont :

- en 0 : comme la liaison est sphërique parfaite

_ [ÏPl* 1 —($1 \ = 6p\ & i est une percussion de liaison

£P2zL JR!

" 0 "

Mj(0) = 0

L » J R l" en -A : comme la liaison sphërique parfaite se double d'une liaison

prismatique parfaite\

[^2x1sr?*\ ^^ {J75 _ est une percussion de liaisont/ 2 ~ gT2y J L

L ° J,,

r o "M2(A) = 0

L°J.,


- 813 -

B. Mise en équation par les théorèmes généraux

1 • ï-£2Iê!?£-. £-iê-S2™!!ê-.S^2inÊ£lismê

éî +&2 +Sp= (°0)2 •

(°0)iavec a° = M V°(G)

V°(G) =~n ] A OG

~ 0 ~ ] f a "0 A b6 ' R L c J p-R, >- -JR,

|~~ be r

V°(G) = + a6 f

L «J.,

On posera 0f = ça vitesse angulaire du solide (S ) .

Le théorème de la somme géométrique en projection sur les axes donnent :

é^x + x

+ C - -*> < - 2 - » i > (1)

é/V^2y + = - M a ^ - . , ) ^ (2)

£?1Z+^ ' ° ^

ça et o)« désignant les vitesses angulaires respectivement au début et en fin

de choc.

2 • ï!î§2Eë5ë_îi^525?êSJË_£iïîê£i2yë-êS-2

M7o)+ôTA^| = [^0)]2 - lV(0>]i

- A r°i rîOA A^ = 0 A ^>2y

. * JR] . ° JRi

ï-^y]QA A^2 - l.£f>2x

L ° -I.,


- 814 -

7(0) -~0.^

."A -F -E~| F o-F B -D 0

_ -E -D c J L 0 ' -

•["- Hé1""y°(0) - - D0f 0' = u)

C0f -

Posons en outre C=I moment dfinertie par rapport à l'axe pour être en accordavec la notation généralement employée.

En projection sur les axes on aura :

Mx " £^2y = " E (u)2 " V (4)

My + A(P2x = - D (u>2 - to,) (5)

MZ = C (u>2 - MJ) (6)

Nous avons 6 équations pour déterminer 6 inconnues. A savoir

- la différence de vitesse u« ~ u).

- les composantes des percussions de liaison

#,• y> . ' fcy '

Le problème peut donc être résolu dans ce cas. Notons encore à propos de cetexemple que nous avons à résoudre un système d'équations algébriques et noncomme cela arrive avec des actions finies un système d'équations différentielles.Il n'y a pas à introduire de relation supplémentaire.

C. Cas particulier remarquable. Centre de percussion

Pour continuer l'étude il faut se donner le torseur des percussionsextérieures qui variera pour chaque exemple traité. A titre d'exemple prenonsle cas qui se rencontre fréquemment où le torseur des percussions extérieures seréduit à une percussion unique ir appliquée en p tels que

* h~ - \a 'ïï = TT OP = g

*Z Y IL ZJR L JR1 1


- 815 -

* • î?i£Ê»£S-É2HâJÈîon

Dans ces conditions on a :

&- [""'*/ yTT

'M(0) = "ÔP" A î

a F 7FX

= 6 A • iry

. Y J r« .-girz - Yiry"

- Yïï - (XïïX Z

aïï - giry X T?L JR,

Les équations 1-2-3-4-5-6 deviennent donc

^x+^L + *x - - . ^ ( « 2 - » , ) ( ')

éP\j*02j+*j = **.<»2-»J (2)

fàz + \ = ° (3)

BTTZ - Y^y - £^2y . - E (o>2 - <o , ) (A)

Yirx " a7rz + £ ^2x = " D (a)2 ~ "^ (5)

air,r ~ BTTV - I (w, - ai.) (6)y x ^ i

•2* Ç2S^î£Î2S-E2H£-âï2ÎE-^êS-EêE£HSSÎ2SS«SlliIêS-£lè£«iIâ2êNous avons vu que les chocs conduisent à des forces instantanées

mais très grandes. Si on ne prend aucune précaution en 0 et A nous aurons donc desforces de liaison qui risquent de détruire les paliers. Il est donc d'une impor-tance capitale de rechercher à quelles conditions les percussions en 0 et A peu-vent être nulles. Elles donneront alors pendant le choc des forces nulles.

-> ->La condition cherchée se traduit par ffl - 0 P? =

£P,x-° ^2*-°

é/V° #V°^j.-Û


- 816 -

Les équations deviennent :

ïï = - Mb (a)- - a),) 1x 2 1

ïï = -Ma (u)« "03 . ) 2

ïï - 0 3z

3ïï - YÏÏ = - E (o)0 - a).) 4z y z I

yïï - aïï = ~ D (ca9 " a) r) 5x z ^» i

aïï - gïï = 1 (a>9 - a).) 6y x A. i

Nous allons interpréter de façon concrète ces résultats en montrant que la per-

cussion est alors un vecteur glissant dont le support est parfaitement déter-miné.

a) la percussion doit être orthogonale au plan passant par (0, Z..)et contenant G.

L'équation (3) donne Jt = 0 ce qui signifie que la percussion est orthogonale

à l'axe (0, ZQ). En outre les équations (1) et (2) peuvent s'écrire :ïï

U2 ~ "l = " ÛTb

ÎTm — m — *

2 1 M.a

ce qui se traduit par

ïï a + ïï b = 0x y

Mais ce résultat a une signification simple. Calculons le produit scalaire

Ôclïïïï

+ x

OG.ïï •* £a,b,cj ïï

ïïz

= ïï a + ïï bx y

On a donc OG.ïï = 0+ "*" " "En conclusion ïï orthogonal à (0,Zn) et OG est perpendiculaire au plan formé

par ces deux vecteurs.

-* •**b) Le plan contenant ïï et orthogonal à (0, ZQ) coupe cet axe en un

point K où l'axe (0,ZO) est principal d'inertie.


- 817 -

Compte tenu de l'équation (3) les équations (4) et (5) s'écrivent

- y-tf = - £ (0*2 ~ 0). )

y-rr « - D •(<*)' - œ )x ^ i

Mais en éliminant TT et TT grâce à (1) et (2) on a après simplification parx y

œ2 -eu,

E = Y Ma

D = y Mb

Nous savons que cela signifie (voir cours de géométrie des masses) que pour—» -> -+

le point K tel que OK = Y Z l'axe (0,Z ) est axe principal d'inertie.

Le point K est parfaitement défini

Ey s= —r Ma

-»•

c) La distance à l'axe (0,Zfi) du point 0' où le support de la percussion

ïï rencontre le plan (0, Zn, OG) est égale à la longueur du pendule simple synchro-

ne du pendule composé.

Pour finir de déterminer la position du support de TT il nous suffitde calculer a et g. Mais il sera plus profitable de calculer la distance du pointOf à lfaxe de rotation afin de retrouver une notion remarquable de dynamique.

Dans l'équation (6) remplaçons TT et TT par leur valeur tirée dex y

(1) et (2). On a après simplification par o)2 - a)

I = (aa + gb) M

Désignons par :->

d. la distance de G à (0, Z0)

->•d la distance de P à (0, ZQ)

•+r la distance de 0' à (0, Z )

On a immédiatement

dj - J7T7

a2 = Va2 + e2


- 818 -

->-

En outre soit p le rayon de giration relatif à l'axe (G,Z ). On peut écrire2 2

I = M p + Md (Théorème de Huyghens).

La relation I = (aa + gb) M devient

p2 + d 2 = (aa + gb)

Ceci n'est au fond qu'un simple changement d'écriture.

Désignons par h la distance PO'. On a immédiatement

2 2 n2 ,2r = a + 6 - h

-»•Calculons la distance PO' qui est la distance de P au plan passant par (0,ZQ)

et contenant G. Soit M un point courant de ce plan :

°" = [x'y'z]R]L'équation de ce plan est l'équation d'un plan dont un vecteur normal est

ïï =[jr , TT , 0"J et qui passe par 0. Son équation est donc

ôïT. t = oX.7Tx + y.7Ty = 0

ce qui donne en éliminant TT et TT grâce àx Y

TT = - Mb (o)9 - ça )2\. JL 1

TT = Ma (u>2 - o>j)

- xb + ya = 0

La distance de P telle que OP = [a, 6, yJR à ce plan est h telle que :

h2 = (- qb + ag)2

a + b

On peut donc calculer r

r2 _ a2 t 62 _ (- db * a6>2

a •«• b

2 2 2 2- a a + b B + -2 ab a g

"v2 - (aa+ bg)2

" ^,2

aa -H bg Ir = di = M d i


- 819 -

car la quantité qui est au numérateur est positive d'après la relation

I = (aa + gb) M ou

2 2p + dj (aa + Bb)

En éliminant aa + $b

2 2p + d = rd d'où

' - *,+ §7On a là un résultat bien connu. En effet nous avons la disposition suivante dansle plan passant par l'axe et contenant G.

Le résultat s'écrit encore

p2 = d1 (r - dj)->• ->

Cela signifie que les axes (0,Z0) et 0',Z ) sont les axes réciproques du pendule

composé. Le point O1 est appelé centre de percussion.

Il y a donc 3 conditions pour obtenir le résultat souhaité. Les résultats ci-dessus ont une grande importance pratique.

D. Application : Calcul du centre d'inertie d'une plaque planetournant autour d'un de ses côtés


- 820 -

1° Détermination de Y______— _^ _^Prenons comme plan (0, Z , X ) le plan de la plaque. Pour qu'au point

"* ->*K appartenant à (0, Z ) l'axe (0, Z ) soit principal d'inertie on doit avoir

E = 0 (E = xzdm)

Jpes

D = 0 (D = yzdm)

Jpes

La deuxième intégrale est nulle car pour tout point M de (S.) la cote y est

nulle. Pour que la première soit nulle, il faut et il suffit que K soit l'axe-*" *

de symétrie (G,X ). C'est le point K .

Remarque : On aurait pu obtenir ce résultat de la manière suivante :

EY = Ml

iia ~ 2

o o1 3E = o + M 4

H'*l£3 1y . _ _

£3Y " 2

2° Détermination du centre de percussion à l'axe de percussion2

On a r = d + Vd

ou encore r = —Md

Le moment d'inertie par rapport à l'axe 0,Z est :2

!-l£1 3

K12 1r"~ ' 77

-I'2


- 820 bis -

3EME P A R T I E

C H O C A V E C . . F R O T T E M E N T

A U C O N T A C T D E D E U X S O L I D E S


- 821 -

Nous allons d'abord étudier le problème en détail dans le cas d'unsystème plan et ensuite faire une étude générale.

10.3.1. CHOC D'UNE PLAQUE PLANE SUR UNE AUTRE PLAQUE PLANE MOBILE

-* -*•

La plaque (S) est mobile dans le plan (X ,Y ).-> -> u u

(!,XQ,YO) est un repère utilisable pour la théorie du choc.

Yn normale extérieure à (Sn)

Z~ normale au plan de la plaque"**XQ choisie de manière que si l'on désigne par £a,b,Cf] les coordonnées

de G on ait ab > 0 (coordonnées de même signe).

En I l'action de contact est F « [Xnc, Ync, oT ou pour simplifier(Jo u Ub Ub -1 K .

l'écriture F = [X,Y,Z JR . Elle donne lieu à percussion :

^os =LV wy» \1On posera V°(G) = £a,e, 0 JRQ

V^Tl) = [u, v, OjRQ


- 822 -

La vitesse de glissement de (S)/(Sn) est le vecteur V° (I) lorsque l'on supposeU k>

la vitesse de déformation v nulle. C'est donc

~V*"= n A "v A ng S

\mt*> -o, O:IRO

A. Théorèmes généraux de la théorie du choc

' • Zîîê2ll5ê-^ê-iâ«S25E?Ê-Ê§2mË£ïi31îê

TTX = M (a2 - O j ) (1)

7ry = M (e2 - 3 j ) (2)

2. Theorème_du_moment_cinetigue^en^G

^^s-f^-K),

-a ïï

^"A "os = ~b %0 0

i- JoL J o

0

= 0

- air + bir. y x- J o

7(0 - "G .

[ A -F o 1 f o "y°(G) - -F B 0 0

0 ° c J L w .

2On posera C = Mp p étant le rayon de gyration.

Donc : 9

- air + bïïx = Mp (a>2 - Wj . ) (3)

Le problème serait parfaitement résoluble si l'on connaissait :

* les lois qui régissent la percussion de contact (loi de Coulomb. Mais ilfaut pour cela connaître l'état de la vitesse de glissement).

* la condition de fin de choc. Nous prendrons provisoirement celle deDARBOUX

V2 = - e Vj (4)


- 823 -

Les lois qui régissent l'action de contact et donc aussi celle de la percussion

de contact seront connues lorsque l'on connaîtra Vg donc en étudiant ce qui se

passe pendant l'intervalle Cti'toII l'aide des théorèmes généraux pour les

forces finies.

B. Application des théorèmes généraux

' • ïîî^2rëinê ^lë-.Ia Ëoime_Êê2Së£!ÎSHë

M£ - X (5)

M || - Y (6)

2. Théorème dujnoment d^namicjue

Mp2 â| = bX - aY (7)

Pour résoudre le problème il faut connaître par les lois de Coulomb la relationentre X et Y donc connaître la vitesse de glissement.

3. Calcul de V* (I)— ———————•!- k

v°s(i) - v^(G) + n^" A GI

" a "' " ° 1 "-a"

g + 0 A -b

. 0 j L w. J L °

a + bco

= 3 ~ aa)

L o JRQ

Donc : u « a + ba) (8)

v « .g - aa>

La vitesse de glissement est rappelons le

Vg « (a •+- ba)) XQ ou

\T"= u . XAg 0


- 824 -

Remarque : On peut passer des équations (5), (6), (7) aux équations (1), (2),(3) par intégration par rapport au temps et en négligeant les percussions duesaux forces finies (il n'y en a pas ici) et en admettant qu'il n'y a pas varia-tion de position

Mda - X dt

Mdg * Y dt

Mp2 dû)= b X dt - a Y dt

.HM [<x2 ~ ŒJ] - X dt

Jtl(t

M[62-e,]= ^ dtJ tl

2 ( 9 ( 9Mp^ [o>2 - o)j J - b

ZX dt - a Z Y dt

11 ^ t

t \ 'f f

mais X dt = TT ; Y dt = irx y

J tl \

et l'on retrouve bien les équations du choc.

C. Relation entre les composantes X,Y et les dérivées ~nr et ~r~ dhela vitesse V°£ (I)

(8) et (9) donnent

du _ da , da)dt " dt dt

dv _ dg da)dt = dt "" a dt

en tenant compte de (5) et (6) on aura

, v bX - aYÉi = 1 + K 5—dt M Mp

dv Y bX - aYdt " 5 " * —^2~ S01t enC°re

g.J^ (p2 + b2)x.J^Tdt _. 2 zMp Mp

^•-^X^(^a2)ï© [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 825 -

—"- et -— s'expriment linéairement en fonction de X et Y sous forme matricielle

r j -T r 2 u2 u ~) r ~\du p + b ab Y

" Mp2 ~Mp2

(8)2 2

dv ab p + a Y

dt "' 2 _. 2 Y

J |_ Mp Mp J L

On désignera par QG] la matrice de (8).

2 A 2 u~ - p + a - ab

On pourra poser encore f = - f0 = — r-1 ab z 2 , .z

p + b

Remarque :f ? ? 9 '? f1 - (P + a2) (p + b^) ^ £ l > > 1

f2 (ab)2 f2

On peut ainsi écrire :

O O

du _ p -f b F ab 1d t"~V~ LX"7T7 J

g.. j* r pi-aï Y . x ]dt Mp2 L ab J

^-^['-^«J ^>Mp L J

1 = L [", _ "] ,dt Mp2 L f i Y X J ( 7 )

On peut naturellement exprimer X,Y en fonction de -7 -, T par la transformationdt dt

inverse :

Le déterminant de la matrice [G] est

. P2 + a2 . b2

4—T7~~ 2 2p + a ab

2 2 o """5"rr T-'l . M p Mp Mpt J " 2 2 ?

p . + a + b

2 2ab p + b

Mp2 Mp2


- 826 -

D f o ù

" Y 1 F M P 2 * a2 M ab 1 \ duX M - y - 2 2 2 2 . 2 d t

p + a + b p + a + b

(9)2 2

M ab p + b dvY 2 2 , 2 M 2 2 ,_2 d t

p + a + b p + a + b

X'et Y s'expriment linéairement en fonction de — et — .dt dt

D. Discussion

Elle se fait en fonction de la vitesse de glissement et en particu-lier de sa valeur initiale u . Trois circonstances peuvent se présenter :

Uj < 0 Uj > 0 Uj = 0

on suit l'évolution de la vitesse de glissement en cherchant le lieu de l'extré-

mité du point M, tel que OM = £u,v,oj . La courbe décrite est l'hodographe duchoc.

1. La vitesse de glissement initiale est u. > 0

La composante tangentielle X est donc négative au début du choc

|X| - f|Y| donc

X = - f |Y| mais Y>0 (choc). Donc

X = - f Y

Les relations (6f) et (7') donnent alors :

£ • - « *v * <"»Mp

£•*£«**,>'avec Y > 0

La relation (10) montre donc que u est une fonction décroissante du temps.

En faisant le rapport membre à membre de (11) et (10)

f+ f,

£r--f2 l (12)du 2 (f+f2)

dvDonc — est constant,du


- 827 -

La trajectoire du point M est donc une droite d'équation :

f + flv~ vi =~ f2 T^~r2 (u"ui}

(v1 est négatif du fait même qu'il y a choc).

Cette équation est valable depuis t = t jusqu'à un certain temps t 6 Jt , t^ [

^ = - P *2b (f + f 2 ) Y a v e c Y > 0

M p

u est une fonction décroissante. Par suite les circonstances suivantes peuventse présenter :

- u ne s'annule pas pendant la phase du choc et reste donc positive jusqu'à lafin du choc.

- u s'annule. Deux éventualités peuvent se présenter :

- u reste nul jusqu'à la fin du choc

- u reprend une valeur non nulle jusqu'à la fin du choc.

Remarquons tout d'abord que jamais u ne peut redevenir positive sielle s'est annulée.

En effet s'il y a glissement positif on a toujours :

2 2ÉE . - P * b (f + f ydt u 2

(f + V Y

M p

La fonction u ne peut être que décroissante. Si elle a la valeur zéro elle gardedonc la valeur zéro. On a donc à envisager les éventualités suivantes :

- u ne s'annule pas et reste positive jusqu'à la fin du choc

- u s'annule et reste nulle jusqu'à la fin du choc

- u s'annule et devient négative jusqu'à la fin du choc.


- 828 -

On peut représenter graphiquement ceci de la manière suivante :

a) 1e hypothèse u>0 jusqu'à t = t


-829-

Nous allons maintenant chercher quelle condition doivent vérifiern et v pour que les conditions de l'hypothèse soient remplies pour une po-

sition de choc).

Pour être dans ces circonstantes il faut et il suffit que le chocsoit terminé lorsque u est toujours positif (ou éventuellement nul).

Lféquation de l'hodographe donne :

f + fiV2~ V1 = " f2 TT-fJ- (U2 'V

(1+e) vi =f2 T^T2 (U2-V

f + f2u = u + (1 + e) v

f2'(f + f,)- '

u9 doit être positif ou nul

ui + f 2 (f*v c + o v*o v i = - hlf l + f 2ui ^ " f2 (f1 + f)

(1 + e) vif, + f2ui * f — ( f + f ) c + e^ l v j l soit enc°re

u f +f

l^pïT^0'0

autrement dit il faut que u. soit suffisamment grand par rapport à |v | .

Si l'on est dans ces circonstantes les équations sont valables dudébut à la fin du choc. Nous pouvons maintenant déterminer complètement le pro-blème.

DêteTïïrLnation des inconnues

Les inconnues du problème sont ou, 39, ou , TT , TT . Pour les déter-& £ z. x y

miner nous avons :

- les équations du mouvement :

\ " M (02 ' V

% - M «2 - 61}


- 830 -

2bïï - a-rr = M p (co - a) )

X y *. J

Remarquons qu'au lieu de déterminer a7 et g« il est suffisant de déterminer u~

et v« pour connaître l'état du mouvement après choc. En effet :

( u = a + ba)

v = g - aa>

- la condition de fin de choc

v2 = - e v,

- en outre s'ajoute maintenant la loi de Coulomb dont nous venons de préciser les conditions d'application : il y a glissement du début à la fin de chocet glissement positif.

|u |= f [IF |I Xl I yl j

TT = - f 7Tx y

ce qui nous fournit la relation supplémentaire qui nous manquait. Nous avonsmaintenant 5 inconnues. On peut remplacer dans les équations du mouvement lestermes en a,3 par des epxressions correspondantes en u, v :

a2 " al = U2 " ul " b ^2 " ^1^

B2 " P j = V2 " vl + a ^2 " ^1^

% = M [ U2 "

u j " b (a)2 "'"i^

7F = M [ v2 - V j + a (o>2 - o ) j ) ]

or TT = - firx y

2- (bf + a) TT = M p (co2 - ça ) d 'où

M p2 ' ,% = "TTbf (a)2 " w i }

\=!Tbf f (Q)2 " t t l >

M 2

M [v2-v1+a(W .2-co1)]-—Sçj (o)2. - co,) soit

^2 " w l = 2 a Vf u. ( 1 . + £) V la + p + abf


- 831 -

.„ ---JL^ (I + e ) v ,y a 4- $ + abf

V-IT^l - f < 1 + £ ) V ,x & + ç + abf '

M 2-j 1 f (o>2 ~ u > j ) - M [ u2 - U j - b (u>2 - c ù j ) ]a + p + abf

b 2U 2 ~ u i = b + r£bT '^-"V

ab + b2f + Q2f ,. _,_ ,U2 = U 1 +~2 2 T T ( 1 + E ) V la + p + abf

2 2a b + b f + p f , . N , a + b f ,, Na -a = —5 ^ K— (1 +e) v - b -= » (1 + e) va + Q + abf a + p + abf

2a_-a. =-5—£-5 f (1 + e) v^ ' aZ + p + abf J

P2-e, - - (1+e) v + a 2 a 2 bf (l+e)v

a + p + abf

269- $, = 7 " % (1+e) vL ' a^ + pZ + abf '

En résumé le mouvement en fin de choc est défini par :

2a2 = ai +T—T f (1 + £) vi

a + p + abf

239 = 6, ~ j P

? (1 +e) v.^ ] * + p^ + abf '

«o2 - a), + a.* bf (1 +«) va + p + abf

La percussion de liaison est entièrement déterminée par :

M n2

V" + ~T—S f (1 + e> viX a + ç + abf '

.y-'-rTV-— <•*•)',7 a + p + abf


- 832 -

f 1 + f2b) %e hypothèse Uj < - (1 + e) -—(f + f ) vi

La vitesse de glissement s'annule pour t = t ^Jt,t2[ et reste

nulle pendant un certain intervalle de temps.

On a £ = 0ut

A 2 t 2

du p + b r v r v ~lcomme — = — Lx ~ Y J

M p

X - f2Y = 0 Y > 0

or dans la phase précédente nous avions :

X = - f Y Y > 0

La composante tangentielle devient subitement positive X = f^Y. L'action de* . .

contact est donc discontinue pour t = t . Le non glissement exige d'autre part :

|X| < f.Y

Le roulement sans glissement se poursuit donc si :

f2Y < fY donc si

£ 2 < £

§k_< f2 ^ K2

P + b

Les conditions de déroulement du choc étant connues nous pouvons maintenantdéterminer a,^, 32, <o2, v^9 TT .

o) 3e hypothèse

La vitesse de glissement qui s'était annulée pour t=t. devientnégative.

La vitesse de glissement étant forcémentnégative on a

|X| = f|Y|

X = + fY

On avait précédemment X = - fY.

Il y a donc ici aussi discontinuité.

du _ 2^,2

dF £-V-[f- f2l YM p


- 833 -

t

Comme u doit aller en décroissant on a donc nécessairement pour quelhypothèsesoit réalisée

f - f 2 < 0

f <f2

f < _JÏÎ>2 /u2p + b

On a en outre

dv ._ ab r _ -i- Y

^~Mp2 L ' J

*et l'on va pouvoir préciser l'hodographe du choc dans sa partie M M

, f, -fdv ab _Jdu= 2

+ b2 £'f2

-f liH2 f-f2

eavec f < f2 (3 hypothèse toujours vérifiée)

Vf,f<Vfi

* 1 /' *X X * ONv - v = f2 . f _ f (u-u ) (Uj = 0)

)tSur la partie M M nous avions

f + fiv ~ v l = " f2 f T f J < u - u i >

ou encore comme la droite pase par M

* f + fi < ^v'v =- f2 TTIJ (u'u >

Nous avons donc à comparer la position des deux droites :f + f iy j -y = - f 2 f + f x (arc MjM )

fr fy2 - y = - f 2 j~f x (arc M M£)


- 834 -

(le changement de notation étant fait pour éviter les confusions)

r f + f ! y f iy, -y2. • - f2 f + f 2 ~ f2 f 2 - f x

(f + f > ( f - f ) - (f + f > (f - f )y l " y 2 = ~ f 2

(f + f2) ( f 2 - f )

f2 - f lv - v = - ? f £ vyl y2 "2 ( f + £2) ( f 2 - f ) X

Or dans la phase qui nous intéresse nous avons toujours f <f < f x<0

f , - f 2y l " y 2 = 2 f ' f 2 (f + f2) (f2-f) X

donc y < y - pour x < 0

et nous avons donc la disposition suivante :


- 835 -

2. La vitesse de glissement initiale est négative : u < 0

La composante tangentielle X est donc positive au début duchoc

X = f Y

Les équations

*L = P + b fx - f Y~ldt M(?2 LX f2Yj

— - - - r f Y - x idt M p 2 L ' J

deviennent alors

&• = g2 + b2 ff - f 1 Ydt M 2 r r2J YM p

fr-A [«;-<]*M p

La trajectoire du point M est donc définie par

A U f , - fdv ab _JdU%2+b

2 f- f2

, f, -fdv = f J f <fdu *2 f-f2

f2 fl

f -£v"vi = f2 f TJ (u"ui} ui < 0

équation valable au départ.

C'est la position de f par rapport à f et f qui va permettre de conduire la

discussion.

a) Ie hypothèse f<f0Ci

On aura donc la disposition suivante :

'«««".('«TV )*L = P + b Tf - f 1 Ydt M 2 Lr ±2J

M p


- 836 -

La vitesse de glissement est donc décroissante, le glissement négatif se pour-suit donc jusqu'à la fin du choc. On a donc le diagramme suivant :

b) 2e hypothèse /2</</I

La vitesse de glissement est négative mais croissante. Elle peut doncs'annuler ou non avant la fin du choc.


- 837 -

a) Ç£BïîîJ:î22_E2Hï_SBË_l§J£iJÈê£Ëê_^On doit avoir tu < 0 en partant de la formule valable depuis le

départ.f r f

~ e v i " vi = f2 T=~T2 ( U2"U1}

- 0 + e ) vi - f2 Fhç (U2-V

f - fU2 = ul - (1 + e) f2 (fj-f)

Vl

La condition est donc

u, - (1 + £) f2 (f/J) v, > 0

On peut faire porter la condition sur f

u,-f2 (f,-f) - (1+e) (f-f2) Vj > 0

- f ^f2Uj + ( 1 + 8 ) v, 1 + [u,f2f I + ( 1 + 8 ) f 2 v l > 0

u f + (1 + e ) - V ,f < ' ' L f

f 2 U j + (l + e ) V j r2

On peut facilement démontrer que le second membre est compris entre f et f .

Soit x ce second membre, calculons x - f„ et f -x

Ujfj + (1 +e) V,X " f2 = f2 f2Uj + (J +e) Vr " f2

x _ f _£2(

fi-V"i2 f2Uj +• (1 +e)Vj

Comme u et v < 0 —*- x -• f- > 0

f,>f2

f 2 < x


- 838 -

u ] f j + (1 + e) V jf l ~ X = f l ~ U , f 2 + ( 1 + e ) v, f2

(1 + E ) v (f -f )f - x = ' ' L

*2 X U , f 2 + (1 + E) V j

_ u, et v, < 0Coinme 1 1 _ f Q

f l > f2

X < f l

3) Conditionj3our_que_la_vitesse_de Êiî£sêSêB£_EHi5Ëê_£l§n2HiëE

f - f 2u. - (1+e) -—7T——rr v < 0 ou encore

1 r ^ v l - j " " ' / !

u-f. + (1 + e) v-f > l J L f

f2Uj + (1 + e) Vj 2

Nous allons montrer qu'alors la vitesse de glissement reste toujours nullepar la suite :

- si u reprenait des valeurs négatives on aurait nécessairement — < 0 . Or

dans le cas du glissement négatif on doit avoir comme au début

— - p * b Tf - f 1 Ydt w 2 Lr r2-lM p

mais f> f9 dans l'hypothèse envisagée. La fonction u ne peut être que crois-

sante. Elle ne peut donc devenir négative en partant de zéro.

- si u prenait des valeurs positives on devrait avoir — > 0 on aurait

| X | = £ | Y |

X « - f Y

soit ^--^r- "'V ï > 0

la fonction ne peut être que décroissante pour u>0.

Par suite si la vitesse de glissement s'annule on doit avoir obligatoirementu = 0 de t = t* à t = t2.

Vérifions alors que les lois de Coulomb pour le roulement sans glissement sonttoujours vérifiées.

On doit avoir |x| < f|Y|


- 839 -

mais -•— = 0 (u E 0)

X - f2Y - 0

X = f 2Y

or dans cette hypothèse f9<f

donc X < fY

e) 3e hypothèse /> f

On a donc la disposition suivante

f2 < f, < f2 2

du _ P + b /f_ f } y du _ _ab_ . _ .dt M 2

(f f2; Y dt ~ 2 (f 1 f) YM p M p

f -fV~V1 = f2. f fj (U"U1}

— > 0 la vitesse de glissement est croissante. L'hodographe a

l'allure suivante :

La vitesse de glissement s'annule donc nécessairement. Nous allons montrer quepar la suite elle restera toujours nulle.

- Supposons qu'elle reprenne des valeurs négatives, alors cela exigerait :

du .— < 0 mais si u est négatif on a

JËH. . P * b (f - f ) y > odt M (f f2) Y > 0


- 840 -

- La fonction u ne peut être que croissante.

- Supposons qu'elle prenne des valeurs positives. On doit avoir nécessairement

pour cela — > 0 ; mais si u > 0 on a :

S'- &L-"*f2>* <°M p

u ne peut être que décroissante.

En conclusion u reste toujours nulle. Vérifions que la loi de Coulombrelative au roulement sans glissement est vérifiée.

Si U E O - |£ = odt

donc X - f 2 Y = 0

X - f 2 Y

mais f < f

donc X < fY

3. La vitesse de glissement intiiale est nulle u. = 0

Trois cas peuvent se produire après l'instant intitial

u reste nul

u devient positif

u. devient négatif

a) u peut-il rester nul ?

S'il en est ainsi nous aurons

du r\ • j-rr = 0 ce qui donne

X - f2 Y = 0

or la loi de Coulomb dans le casdu non glissement indique

W < f|Y|

X < fY

Pour qu'il y ait roulement sans glissement du début à la fin on doit donc avoir :

f2 < f


°) u peut-il devenir positif ?

Pour cela on doit avoir — > 0 maisdt

si u est positif — est donné par :

jg - - p2 *f (f + f2) Y c'est-à-direM p

3 Î T < °

u ne peut donc devenir positif si sa valeur initiale u est nulle.

En résumé si u est nul deux cas peuvent se produire suivant la

valeur relative de f et f9 :

- 841 -

b) u peut-il devenir négatif ?

Pour cela on doit avoir — < 0dt

mais pour u négatif on a

£-4^(f-£')YM p

si f > f9v c'est impossible : glissement nul jusqu'à la fin du choc

si f < f? c'est possible. On retrouve un cas connu : il y a glissement

persistant jusqu'à la fin du choc.


- 842 -

^2 < * il y a roulement sans glissement du début à la fin

%2 > * il y a glissement négatif jusqu'à la fin du choc.

10.3.2. METHODE GENERALE

—^ Soient deux solides (S) et (Sf) en contact au moment du choc au point I.Z est la normale extérieure à :

ÏG"- [a, b, C]RQ

î?~= |a', b', c' |R0

avec a,b,c,a',b',c?, croissant au cours du choc. On posera en outre :

V (G) -[«, B, y] Ô^ - [p,q, rjRQ

V-i(G') -[a', 3', y'] , . [p'f q'f r']


- 843 -

A. On applique les théorèmes généraux du choc à (S) et (S1)

Posons que la percussion est TT _ f -jjr ,TT , TT~]SS x y z

D'après le principe de l'action et de la réaction applicable aux percussions

*ss' + Vs = °

1. Théorèmes^generaux du choc à S)

* V s = M (V°7c))2 - (V (G))1

- TTX = M (a2 - a,) (1)

- iry - M (g2 - 3 j ) (2)

- irz = M (Y2 - Y,) (3)

* ^A vs= (^4 - (^4Pour le corps (S)

7B = î^

" " A -F -E"] I" p ~« -F B -D q

m~E -D C J m r ^

Ap «Fq -Cr ""

» -Fp +Bq -Dr

__-Ep -Dq +Cr _

- a "1 F -TT—+~ ^ xGl A TI , - b A—rr

SS y- C -TTL. J L. z J

bîT - CTTz y= C7T - aTT

X Zé

air - bîrL y z JRo


- 844 -

birz - C7ry = A ( P 2 - P , ) - F ( q 2 ~ q l } " E ( r 2 ~ r i } (4)

• CTTX - airz = -F (p 2 - P ] ) + B (q 2 - q ] ) - D ( r 2 - r j ) (5)

aïïy ~ bïïx = ~E ^2~Pl^ ~ D ( q 2~V + C ( r 2 ~ r i ) (6)

2 • ïîîê2E^HÏÈS_SêS§EêH5_âEBli3H§£_ê_i§li

• ÏS- •"' [( (G- H V)),]

On obtient donc des équations comparables à 1,2,3

TTX = M' (a'2 - o'j ) (7)

iry = M' (g«2 - g'j ) (8)

7r_z = M' (y'2 - y', ) (9)

*^TA^S, = (7;,) 2 - (7"G,) iII s'agit du moment cinétique du solide (S1). On obtient des équations compara-

bles à 4,5,6 :

- bTrz + CTTy = A ' (p ' 2 - p ' j ) - F'(q'2- q ' j ) - E'(T^- r ' j ) (10)

- C1ry + .a i r z = - F '(p '2- p ' j ) + B'(q'2- q', ) - D'(r '2 - r', ) (11)

- airy + bTrx = - E'(p'2- p ' j ) - D ' (q '2- q ' j ) + C'(r '2- r ' j ) (12)

On constate qu'il y a alors :

12 équations

15 inconnues : <*2, 62> y2» P2» 2 r2 ; a2 ' B2 f Y2 ' P2 ' q?2 5 r?2 ;

TT ,7T ,7T .x y z


- 845 -

B. Lois supplémentaires

1. La_loi_de fin_de choc

Elle s1exprime par exemple sous la forme de Darboux par

K')2--.*(4)iws-=-^7 PCP) -^I)~:

ws- "( '(prV- (zo}

v^ = v° - v°S'(P) S'(P) S(P)

gV(P) • Y1 - Y

ws' = (Y' - K

on a donc y^ ~ Y2 * " € (V\ "" Yj)

2- îfêS«l2ÎS«Ëê £°y 2mfe

- Elles dépendent comme on le sait de la vitesse de glissement.Comme il peut y avoir des phases de glissement ou de non glissement qt^i corres-pondent chacune à une forme appropriée des lois de Coulomb. Posons : gsf(l)vitesse de glissement de (Sf)/(S).

S "*" S "*"g ,(I) = n A V f A n c'est-à-dire icis s

J(I) -^ A vff A n

* Si gSf(I) 0 : il y a glissements

V u 2 + T T 2 = f k Ix y ' z1

* Si g f ( I ) = 0 : il y a roulement sans glissements

\ /T r 2 + T t 2 < f lir Ix y ' z '

i\ V^ ^y"^'"?^1) < ° ~ (7A ^' A ) ' 7' < °

avec^;, = w x X 0 + 1ry YQ + ^


- 846 -

L'application des lois de Coulomb exige la connaissance à tout instantde la vitesse de glissement. (Il faut donc pour cela suivre le mouvement a cha-que instant de l'intervalle de choc et non plus globalement).

Pour préciser les circonstances du choc on procède comme précédemment :

- on écrit les théorèmes généraux pour les forces finies.

- on calcule la vitesse de glissement en fonction de l'état de mouvement dechaque solide.

- enfin on exprime les dérivées des composantes de la vitesse de glissement enfonction des actions de contact.

C. Théorèmes généraux de la dynamique des forces finies

On a immédiatement en posant F f = [*X,Y,Z JZO

1 • £2HE_iê_£°IîÉê_de_(S)

- X = H^ (!')

- Y = M j£ (2')dt

- Z - M|* (3')

bZ-cï,A£-F£-E£ (tl)

cX-aZ,-F £.„£-„£ (5.>

aï . bx , . E g . „ da t c * (6.,

2' E2HE_Iê_S°IiËi_i§ll

X . M' - (7')

Y = M' - (8')

Z = M' 4£. (9.)


- 847 -

dp' dq' dr'_ b z + CY = A. __ F__- E_ (,()')

dp' dq' dr'

-c^az = - p —+B —-D-dT- (11>)

dp' dq' dr'- aY + bx „ - E _ _ „ __ + C —- (12')

D. Expression de V^,(I)

v ,(i) = v°,(i) -"v O

v°s, (I) = v°s ,(G') + fi1' A Gi

-*• -*- fP'l f"a>"Q°, A GI = q' A -b'

r' -c'R0 R0

" - q'c1 + r'b' "

= - a'r' + c'p'

.- p'b' + a'q' JR0

[ a' + b'r' - c'q' "

V°,(I) = 0'- + c'p' - a'r'

|_ y' + a'q1 - p'b' JR0

de mime

a + br - cq

V°g (I) = g + cp - ar

_ Y + aq - bp JR0

donc

_^ Fa' + b'r' - c'q' - a - br + cq "

Vg,.(I) = 6' + c'p' - a'r' - 6. - cp + ar

. Y1 + a'q' - p'b' - y - aq + bp JRQ


- 848 -

E. Relation entre la vitesse de glissement et les composantes de FSS§

"T fu~Posons V f (I) = v et en donnant u, v, w, par rapport au temps.

L»J«odu da' f dr' t dq

f da , dr ^ dq_ ss -— + K ' _ — p » ^ — — — K — + p —-L

dt dt dt dt dt dt dt

EL = M1+ r- JË£l_ fl. Éll- .Ë£ r dp drdt dt dt dt dt c dt dt

dW-dxL+.dll-h'dp^ _ dy _ dq dpdt " dt 3 dt b dt dt 3 dt b dt"

Les équations (!'), (21),...(12') permettent d'exprimer :

da dB à%_ dp dq drdt' dt' dt ' dt' dt ' dt

dot' dp' dy' . dp' dq' dr'dt ' dt ' dt ' dt ' dt ' dt

en fonction de X, Y, Z (système de 12 équations à 12 inconnues). On peut doncécrire :

d T = a i l X + a , 2 Y + a l 3 Z

ÏÏT=a21X+a22Y+a23Z

dw^ = a3]X + a32Y + a33Z

mais X, Y, Z ne sont pas indépendantes mais assujetties aux lois de Coulomb.

o

1. La vitesse de glissement est g f(I) 0s

gs.m-ui^ + vi;X Y —*~— = — = K K<0 [composante tangentielle de F , opposéeu v J —^ bb

U V ,(I).

D'autre part :

VX2 + Y2 = f|z| mais Z > 0 (choc)

I ? 5 5~V K (u + v ) = f Z or


- 849 —

- K\yu2 + v2 = f Z

K=--^-

\/^7On a donc finalement

1 - I - " f z

U = V~\/T7Tyu +v

c2. La vitesse de glissement g ,(I) =0 u = 0 v = 0s

On aura — = 0 , — = 0dt dt

ce qui donnea l l X + a l 2 Y + a l 3 Z = °

a21X + a22Y + a23Z = °

en outre \/X2 + Y2 < f Z Z > 0

F. Discussion du problème de choc

^ Posons jM = [ u,v,w]Rn. Le point M est donc l'extrémité du vecteur

vitesse V f(I). Pendant le choc ce point décrit dans [0, Xn, YO, Zn]une trajec-

toire appelée hodographe du choc. La^connaissance de cette courbe nous renseigneS

parfaitement sur l'état du vecteur V f(I).o

* S'il y a glissement nous avons

X _ Y _ _ f Z

u v \n~~2y u + v

* S'il y a roulement sans glissement l'équation de la trajectoire est

U = ° c'est l'axe (0,~z7)v = 0 j U


- 850 -

1. Etude_du_cas_où_il_2_a_glissement

Pour trouver la trajectoire on a les équations

X _ Y _ _ f . Zu" v" \r^~TY u + v

£ = a l l X + a 1 2 Y + a 1 3 Z

H ' 321X + a22Y + a23Z

I? ' a31X + a32Y + a33Z

On peut facilement éliminer X,Y,Z de la façon suivante :

|f = - ... f.Z —"— - a ] 2 f.Z v + a.,Zdt U v/1 2 12 V/l 2 13

Vu + v Vu +vy «

£. Z £ ( -a , ,u -a , 2 v*! | l V7^U^=

Vu + v

7 ' \dv -7f ± 23 \ / 2 ^ 2 I 1TT— - Zf I - a. u - a0.v + -7- Vu + v jdt y 21 22 f \ / 2 ~ 2

Vu + v

t..(.v.v.*m).^ce qui peut s'écrire sous la forme :

du i _ dv _ dw

anu -H a I 2v- -13- >/u2-hv2 a21u + a^v - ^V^~7 a31u + a32v - -^V^+v2

C^st l'équation différentielle de l'hodographe du choc ; le point figuratif Ma pour coordonnées u,v,w.

L'intégration ne présente pas de difficulté. Elle est très souvent facilitée pardes simplifications propres à chaque problème. S'il n'y a pas de simplificationa priori on pourra procéder de la manière suivante en passant en coordonnéespolaires.


On a donc u - g cos 0

v = g sin 0

L'équation différentielle de l'hodographe s'écrit donc :

dg cos 6 •- g sin 0 d0 dg sin 0 + g cos 0 d0 dw'. ' ' •"un SS ni 5= m

a!3 a23 a33al j. cos 0 + aJ2 sin 0 - •—~ a2J cos 0 + a22 sin 0 - -—- a cos 0+ a 2 sin 0 —

C ' est une relation de la forme :

dg cos 0 - g sin 0 d0 dg sin 0 + g cos 0 d0 _ dwP = Q R

a!3P » a cos 0 -»• a 2 sin 0 - ——

a23Q » a2J cos 0 + a22 sin 0 —

a33R * a3J cos 0 + a 2 sin 0 7—

Les deux premiers rapports donnent :

Q dg cos 0 - g Q sin 0 d0 - P sin 0 d g - P g cos 0 d0 - 0 ou

dg (Q cos 0 - P sin 0) - g (Q sin 0 + P cos 0) d-6 « 0

dg P cos 0 + Q sin 0 ,.g '" de6 Q cos 0 - P sin 0


- 852 -

C'est l'équation différentielle, en coordonnées polaires à la traj edoîre de m

projection de M sur (I, X~, Y~).

Cette relation n'est valable bien sur que si l'on est tout au long du choc dansles mêmes conditions d'application pour les lois de Coulomb, c'est-à-dire si lemouvement a toujours lieu avec glissement.

Si au départ il y a roulement sans glissement ou si celui-ci survient au coursdu mouvement alors il faut reprendre l'étude.

2 • l£U£lê«Ëy«£§S_2H-.îi«Z-£-.E2yIêSfêSJÈ SaSs_SliSSêmêS^

u = 0n soit au début du choc soit en cours de choc,

v = 0On a alors :

-jT- = 0 5 "rr = 0 pendant toute la phase de roulement sans glissement

d'oùall X+ a!2Y+ a!3Z= °

a21X + a22Y + a23Z = 0

On peut exprimer X et Y en fonction de Z :

" 313 a!2 all ~ a!3- a23 a22

a21 ~ a23

X = Z ; Y = — Zall a!2 all a!2a21 322 S21 a22

x = a!2323 " a!3a22 z . y =

a2la!3 " alia23 zalla22 " 312a21 ' alla22 " a12S21

mais pour qu'il y ait roulement sans glissement nous devons avoir :

\ /~2 2~V X + Y - ï : f Z ou encore

X2 + Y2 < f2Z2 soit

(a!2 S23 " a!3 S22)2 + (S21 a.13 " all a23)2 f2

(a,, a22 - a]2 a2])2


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ce qui donne la valeur du coefficient de frottement nécessaire pour qu'il yait roulement sans glissement. Dans ces conditions la partie .correspondantede l'hodographe est l'axe des z.

Si au contraire

f2 . U12 a23 " 313 S22)2 + (a21 «13 " *1 1 a23^

( ï2U l l a22 " a!2 S21;

II y a glissement et on recommence une phase régie par l'hodographe déjà étudié.


MECANIQUE GENERALE Chapitre X : Théorie du choc

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