Mécanique des fluides géophysiques (partim I)

J JI⇐⇒

Mécanique des fluides géophysiques(partim I)MECA053

Jean-Marie Beckers

[email protected] http://modb.oce.ulg.ac.be/GHER/Beckers.html

Universite de Liege, GHER Sart-Tilman B5, 4000 Liege, Belgique

Mécanique des fluides géophysiques – p. 1

http://www.ulg.ac.be

http://modb.oce.ulg.ac.be/GHER/Beckers.html

J JI⇐⇒

Navigation dans le document et dans le WWW

• J : Table des matières

• J : Page +1

• I : Page -1

• ⇐ : Page précédente

• ⇒ : Page suivante

• : Plein écran/fenêtre

• http://modb.oce.ulg.ac.be : url extérieur

• Un lien : liens sélectionnables

• equation (351) : renvoi et lien avec une equation

• 2 : un copyright d’images trouvées sur le WWW

• Certaines images sont des animations qui se mettent en routequand on les sélectionne



http://modb.oce.ulg.ac.be

J JI⇐⇒

Informations pratiques



J JI⇐⇒

Mercredis 10:30-12:30, Salle 3/14 Physique B5a• Introduction géophysique, fluides homogènes

• Fluides non-homogènes 22/9 2h

• Approximation de Boussinesq, équilibre hydrostatique 29/9 1h+1h

• Energie, vorticité, stratification 6/10 1h+1h

• Ondes internes 13/10 1h+1h

• Ondes internes (suite) 20/10 1h+1h

• Géostrophie 27/10 1h+1h

• Couches limites 3/11 1h+1h

• Ekman pumping, upwellings et circulations 10/11 1h+1h

• Echelles, nombres sans dimension (Ekman, Rossby, Burger) 17/11 1h+1h

• Instabilités 24/11 1h+1h

• Instabilités, conditions intégrales 1/12 1h+1h

• Turbulence 8/12 1h+1h

• Turbulence géophysique 15/12 1h+1h

• Séance exercices récapitulatifs 22/12 2h

• Examen Janvier (10/1-31/1) ou Juin (23/5-2/7)



J JI⇐⇒

Approche

• 1h cours théorique + 1 h présentation et correction d’exercicesfaits en groupe en avance

• Examen écrit 40%, Examen oral 60% (une question parmi uneliste + suppléments sur l’écrit)

• Bonus pour les meilleurs participants des exercices (+2, +1)

• Bonus pour la détection d’erreurs dans les notes de cours

• Questions si possibles via email [email protected]

• Informations et supports sont disponibles viahttp://modb.oce.ulg.ac.be/courses.html

• Les ⊕commentaires additionnels⊕sont donnés à titre illustratif et ne font pas partie de la matièredu cours



mailto:[email protected]

http://modb.oce.ulg.ac.be/courses.html

J JI⇐⇒

Exercices

• Enoncés distribués après le cours

• A préparer en groupes pour le mercredi suivant

• A rendre en format .ps ou .pdf en indiquant une estimationde la difficulté a posteriori :

? E :élémentaire,? F :facile,? N :normal,? D :difficile,? TD :très difficile? TD+ :trop difficile

• Présentation orale en 5 minutes de la démarche

• Pas de pénalisation



J JI⇐⇒

Introduction



J JI⇐⇒

L’objet

21



J JI⇐⇒

Objet alternatif

14



J JI⇐⇒

Jupiter

14



J JI⇐⇒

Et pourquoi pas

14



J JI⇐⇒

Objectif

• Application des concepts appris en mécanique des fluides etmilieux continus aux fluides géophysiques.

• Explication des processus observés sur la terre en fonction del’importance relative

? de la rotation de la terre? de la stratification? des échelles verticales par rapport aux échelles

horizontales? des forces dissipatives

• Introduire les notions de stabilité d’écoulements et deturbulence



J JI⇐⇒

Processus étudiés

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

mélange

accoustiques

temps caractéristique (s)

longueurcaractéristique

(m)

microturbulence

1 seconde 1 minute 1 heure 1 an1 jour

tourbillonsgéostrophiques

fronts

circulation

circulationthermo-haline

houle

tempêtes

[8]



J JI⇐⇒

Processus atmosphériques

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

onde

s acco

ustiq

ues

planétaires

Ondes

Cyclones

Cluster denuages



(m)

microturbulence


Tempêtesorages

Cumuluset convection

Turbulencede la couche

limite

[8]



J JI⇐⇒

Rappels "Mécanique des fluides" et notations

14



J JI⇐⇒

Notations matricielles, algébriques

i nombre imaginaire pur, i 2 = −1a est un vecteur, ei les vecteurs unitaires des axes, · le produitscalaire et Λ le produit vectoriel.A est un tenseur d’ordre 2A est une matrice(A)ij ou Aij désigne l’élément ij de la matrice A ou du tenseur A

x est une matrice colonneA

? est la transposée conjugée (ou matrice adjointe) de la matrice A

A est la conjuguée et AT la transposée de la matrice A

A-1 est l’inverse de la matrice carrée A

I est la matrice "identité"

ei· a = ai (1)

ei· (ab)· ej = aibj (2)

ei· A· ej = Aij (3)



J JI⇐⇒

Notations différentielles

v est un vecteur vitesse.Dans un système cartésien

v = v1e1 + v2e2 + v3e3 (4)

∇ opérateur "Nabla", en coordonnées cartésiennes:

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3(5)

Exemple d’écriture:

∇·v =∑

i

∂vi

∂xi= ∂vi

∂xi(6)

Si des indices sont répétés, le signe∑

i est généralement omis



J JI⇐⇒

Opérations sur tenseurs

(∇· A)· ei =∑

j

∂Aji

∂xj(7)

ei· (∇a)· ej =∂aj

∂xi(8)

(b· ∇a)· ei =∑

j

bj∂ai

∂xj(9)

∇· (ab) = (∇· a)b + a· ∇b (10)

T:∇v =∑

i

∑

j

Tij∂vj

∂vi(11)



J JI⇐⇒

Théorèmes intégraux∫

V∇· adV =

∫

Sn· adS (12)

∫

V∇· A dV =

∫

Sn· A dS (13)

∫

V∇c dV =

∫

Snc dS (14)

∫

V∇Λa dV =

∫

SnΛadS (15)

∫

Sn· (∇Λa) dS =

∫

Γ

a· ds (16)

V désigne le volume, S la surface et Γ la courbe délimitant le domaine d’intégration avecle vecteur normal n vers l’extérieur. s le vecteur tangent le long de Γ dans le sens de larègle classique du tire-bouchon ou de la main droite.



J JI⇐⇒

Notion de milieu continu

Objectif: Ne pas devoir calculer les interactions entre molécules.Moyen: Considérer comme volume "infinitésimal" un volume detaille finie suffisamment petit pour justifier la notion de dérivée, maissuffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules.

µ I?6* Ij

I*j

K¾µ

Rµ*jR

Rj-

UR 1

ÁIY

¸+*

111 * Y

*

K6

1j*

Volume "infinitésimal" sur lequel on définit les variables macroscopiques



J JI⇐⇒

Conservation de la masse

Volume fixe

dm = (m + dmin) − (m + dmout) = dmin − dmout (17)

mdmin

dmout- q t

t + dtmdmin

dmout

- -

Variation de masse pour un système à masse variable



J JI⇐⇒

Conservation de masse milieu continu

Densité ρ du fluide (en kg m−3):

∂

∂t

∫

Vρ dV = −

∫

Sρv· n dS = −

∫

V∇· (ρv) dV (18)

Puisque le volume est quelconque et fixe

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0 (19)

-

-

-V

S µnv

6-



J JI⇐⇒

Autres formes de la conservation de la masse

Formalisme dérivée matérielle

Dρ

Dt+ ρ∇·v = 0 (20)

D

Dt=

∂

∂t+ v· ∇ (21)

Propriété

∂

∂t(ρF ) + ∇· (ρvF ) = ρ

DF

Dt(22)



J JI⇐⇒

Loi de Newton masse variable

Système inertiel.Variation de quantité de mouvement = entrées - sorties + impulsionappliquéeSystème à masse variable ( cours de mécanique [4])

dNx = uindmin − uoutdmout +∑

fxdt (23)



J JI⇐⇒

Loi de Newton milieu continu

Les tensions de surface t sont données par n· T

∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

Sρv v· n dS +

∫

Vρ f dV +

∫

Sn· T dS

-

-

-V

S µnv

6-

jftª



J JI⇐⇒



∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

Sρv v· n dS +

∫

Vρ f dV +

∫

Sn· T dS

T tenseur des tensions



J JI⇐⇒



∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

V∇· (ρv v) dV +

∫

Vρ f dV +

∫

V∇·T dV

T tenseur des tensions



J JI⇐⇒



∂

∂t

∫

Vρv dV = −

∫

V∇· (ρv v) dV +

∫

Vρ f dV +

∫

V∇·T dV

T = −pI + Tv

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρv v) = −∇p + ρ f + ∇·Tv

Tv tenseur des tensions visqueuses. p pression



J JI⇐⇒

Energie interne e

Variation d’énergie totale= Entrées/sorties advectifs, flux de chaleurpar conduction et éventuellement radiation q, sources de chaleurlocales Qe et travail des forces appliquées,e énergie spécifique (en J/kg) doit satisfaire:

∂

∂t

(ρe + 1

2ρ v· v

)+ ∇·

(ρe v + 1

2ρ v· v v

)=

−∇·q + ρQe + ρ f · v + ∇· (T· v)(24)



J JI⇐⇒

Travail mécanique

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρv v) = ρ f + ∇·T

Quantité de mouvement



J JI⇐⇒

Travail mécanique

ρDv

Dt= ρ f + ∇·T




J JI⇐⇒

Travail mécanique

1

2ρD(v· v)

Dt= ρ f · v + v· ∇·T

Quantité de mouvement · v



J JI⇐⇒

Travail mécanique

1

2ρD(v· v)

Dt=

∂

∂t

(1

2ρ v· v

)+ ∇·

(1

2ρ v· v v

)= ρ f · v + v· ∇·T



J JI⇐⇒

Energie interne

Energie totale:

∂

∂t

(ρe + 1

2ρ v· v

)+ ∇·

(ρe v + 1

2ρ v· v v

)=

−∇·q + ρQe + ρ f · v + ∇· (T· v)

Travail mécanique (équation déduite de Newton)

∂

∂t

(1

2ρ v· v

)+ ∇·

(1

2ρ v· v v

)= ρ f · v + v· ∇·T

Par soustraction, on obtient une équation pour l’énergie interne

∂

∂t(ρe) + ∇· (ρe v) = −∇·q + ρQe − p∇·v + Tv:∇v (25)



J JI⇐⇒

Entropie s

Entropie spécifique s doit également satisfaire une loi de ce type:

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (26)

où Qs représente le taux de production (destruction) d’entropie (parunité de masse) et ds le flux moléculaire d’entropie.Production d’entropie: chaleur apportée (ou exportée), par radiationet d’autres transformations irréversibles (contribution positive ounulle)



J JI⇐⇒

Résumé équations de base indépendantes

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0 (27)

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρv v) = −∇p + ρ f + ∇·Tv (28)

∂

∂t(ρe) + ∇· (ρe v) = −∇·q + ρQe − p∇·v + Tv:∇v (29)

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (30)

Il faut des équations constitutives et d’état dont quelques exemplesvont suivre.



J JI⇐⇒

Système en rotation

Axes liés à la terre en rotation 6= système de référence inertielPosition du point: r. Position du système d’axes liés à la terre: r0

µ

6Ω

µI

rM7

λR

r0

Ye3



J JI⇐⇒

Equation de mouvement système en rotationuniforme

dabs

dt=

drel

dt+ ΩΛ (31)

Si l’on repère la position du point par r,

vrel =drelr

dt(32)

vabs = vrel + ΩΛr (33)

aabs = arel + 2ΩΛvrel + ΩΛ (ΩΛr) (34)



J JI⇐⇒

Force de Coriolis, gravité

Force de Coriolisf c = −2ΩΛvrel (35)

Force centrifuge (r ∼ r0)

fr = −ΩΛ (ΩΛr0) (36)

permet d’écrire la loi de Newton dans un système d’axes liés à laterre:

ρDrelvrel

Dt= ρf + ρf c + ρfr (37)

Dans la suite, on n’écrira plus rel



J JI⇐⇒

Force de Gravité

On définit g comme la gravité apparente mesurée pour un point aurepos sur la surface de la terre et γ accélération due à la gravité sila terre ne tournait pas.En première approximation, le terre sphérique est symétrique et gne varie que par la force centrifuge. g a déformé en réalité lasurface du globe.

6Ω

ª®-γ

g

λR

-−ΩΛ (ΩΛr)

Y



J JI⇐⇒

Gravité apparente

g = γ − ΩΛ (ΩΛr) ∼ γ − ΩΛ (ΩΛr0) (38)

En bonne approximation

g = γ − Ω2R cos2(λ), γ =GM

R2, G = 6.67 10−11 m3s−2kg−1 (39)

pour une planète de rayon R et de masse M .Sans autres forces internes la loi de Newton devient:

ρDv

Dt+ 2ρΩΛv = ρg + ∇·T = ρg − ∇p + ∇·Tv (40)

Les surfaces perpendiculaires à g sont des surfaces géopotentielleset g = ∇Φ



J JI⇐⇒

Animations

6

Sans rotation Sur une table tournante



J JI⇐⇒

Animations

25 26

Système en rotation table tournante (sens horlogique)



J JI⇐⇒

Fluide Newtonien classique

Fluide soumis à la seule gravité

f = g (41)

Tv = (ρλ∇·v) I + 2ρνD (42)

D =1

2

(∇v + (∇v)

T)

(43)

traceD = ∇·v (44)

Formule de Stokesλ + 2

3ν = 0 (45)

qui fait en sorte que traceTv = 0



J JI⇐⇒

Flux de chaleur

Flux de chaleur par conduction:

q = −k∇T (46)

k conductivité supposée isotrope (autrement, il faudrait remplacer lescalaire par un tenseur de conduction K)Flux par radiation: terme additionnel de ∇· i où le rayonnement i

doit faire l’objet d’une modélisation propre. Le plus simple dans unenvironnement qui atténue l’intensité I de la lumière est une loi dutype

dI

dz= −κI (47)

où κ est le coefficient d’atténuation.



J JI⇐⇒

Autres fluides: Non-Newtoniens

⊕ Maxwell: simple effet de memoire de la tension:

Tv =1

τ

(−1

ρTv + 2νD

)(48)

tend vers la version Newtonienne si 1/τ ”grand” pour les fluidesincompressibles.Autre modele lineraire: tenseur depend de l’histoire de la deformation

Tv(x, t) =

∫ t

−∞G(t − t′)D(x, t′)dt′ (49)

G est generalement defini positifLois non-lineaires:

µ = µ (|D|) (50)

⊕



J JI⇐⇒

Autres fluides: Conducteurs

⊕ Force de Lorentz

f =1

ρJΛB (51)

ou J est la densite de courant

J = γv + σ (E + vΛB) (52)

• γ: charge electrique du fluide

• σE: courant par loi d’Ohm

• vΛB: champ electrique induit.

⊕



J JI⇐⇒

Autres fluides: Ferro-magnétiques

⊕ Force magnetique dans le vide

fm = µ0H ∇· H, = ∇· Tm Tm = µ0H H − 1

2µ0H

2I (53)

Fluide compressible non-lineaire avec effet de memoire

Tm = H B − pmI pm = −µ0

∫ H

0

(M − ρ

∂M

∂ρ

)dH − 1

2µ0H

2 (54)

M magnetisation definie par B = µ0(H + M).⊕



J JI⇐⇒

Equation d’état

Même si tous les flux sont connus en fonction des variables d’état, ily a plus d’inconnues que d’équations et il faut compléter le systèmepar les équations d’état

ρ = ρ(e, s, p, ...) (55)

Pour un gaz parfait, p = ρRT et e = cvT .On y reviendra dans le cadre des fluides géophysiques réels



J JI⇐⇒

Particularités fluides géophysiques

• Dynamique? Large spectre d’échelles? Rotation de la terre? Rapport d’aspect? Stratification? Topographie et topologies

• Observations et modélisations? Données incomplètes? Pas de contrôle sur expériences, ni répétitions? Système difficile à isoler



J JI⇐⇒

Echelles dans les océans

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

mélange

accoustiques



(m)

micro

turbulence



fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempêtes

[8]



J JI⇐⇒

Echelles dans l’atmosphère

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10 -2

10 -2 100 102 104 106 1081010

onde

s acco

ustiq

ues

planétaires

Ondes

Cyclones

Cluster denuages



(m)

microturbulence


Tempêtesorages

Cumuluset convection

Turbulencede la couche

limite

[8]



J JI⇐⇒

Différences océan-atmosphère

• échelles (le mouvement de l’océan étant généralement pluslent et plus confiné)

• côtes latérales pour les océans

• capacité de stockage de chaleur

• présence de vapeur et changements de phase dansl’atmosphère

• présence de glace et de sels dans les océans

• forçages (radiation pour l’atmosphère vs vent, flux de chaleuret potentiel de marée pour l’océan)



J JI⇐⇒

Effet de rotation et stratification

27



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Milieu continu

• Volume de contrôle, bilans

• Lois constitutives

• Force de Coriolis

• Gravité apparente

• Particularités fluides géophysiques



J JI⇐⇒

Utilité

Outils de base de la modélisation de milieux continus fluides.



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Volume de contrôle en mouvement [TD]

Distinguer la vitesse du fluide v et la vitesse vV à laquelle bouge levolume de contrôle, distinguer

D

Dt=

∂

∂t+ v· ∇ (56)

d

dt=

∂

∂t+ vV · ∇ (57)

Théorème de Reynolds

d

dt

∫

V(t)

F (x, t) dV =

∫

V∂F

∂tdV +

∫

SF (x, t)n· vV dS (58)



J JI⇐⇒

Volume de contrôle en mouvement (suite)

Le volume se déplace à une vitesse vV et la dérivée ddt désigne la

dérivée quand on se déplace à la vitesse vV . Si vV = v alors on suitune particule fluide et on obtient une approche lagrangienne.Pour la démonstration du théorème de Reynolds, on utilise

d

dt(dV) = ∇·vV dV (59)

dont on essaiera de donner une interprétation.Note: si le volume ne bouge pas à la vitesse du fluide, il y a lieu detenir compte des flux advectifs à travers le volume (faire apparaîtrevV − v)



J JI⇐⇒

Analyse d’importance de la force de Coriolis [N]En sachant que l’on a observé la tache rouge de Jupiter depuis 300ans et que ses dimensions sont de l’ordre de 20000 km, est-ce quela rotation de Jupiter autour de lui-même (un jour jupitérien dure 9.9heures) doit être prise en compte dans l’étude de cette tache? Onsuppose que les vitesses du courant sont de l’ordre de 100 m/s

En connaissant le rayon de Jupiter (448600 km) et l’accélération degravité mesurée à l’équateur g = 26.4 m s−2, que peut-on dire de laforce centrifuge?

15



J JI⇐⇒

Le Thalys et la rotation de la terre [F]

Est-ce que, à votre avis, les ingénieurs qui ont construit la ligneTGV Liège-Bruxelles (max 300 km/h) ont dû tenir compte de larotation de la terre? Pourquoi?Suggestion:Comparer la force aux autres forces en jeu.



J JI⇐⇒

Energie potentielle [N]

Soit un lac allongé de longueur Lx, de largeur Ly et de profondeurconstante h. On suppose que l’eau du lac est de densité constanteet qu’un vent a soufflé pendant un certain temps aboutissant à créerune surélévation du niveau d’eau de hauteur d à l’extrémité x = Lx

du bassin. Si l’on suppose que l’on peut approximer la forme de lasurface libre par un plan incliné dans la direction x, calculezl’augmentation de l’énergie potentielle par rapport à la situation derepos initiale où l’élévation était nulle partout. On suppose que la

quantité d’eau a été conservée. Chiffrez le résultatpour ρ = 1000 kg/m3, Lx = 15 km, Ly = 2 km, h = 50 m d = 30 cm etestimez le temps qu’il faudrait à une centrale nucléaire pour fournircette énergie.



J JI⇐⇒

Vorticité [D]

Etablir loi d’évolution de la vorticité ω = ∇Λv en l’absence deviscosité. Passer ensuite à la vorticité totale 2Ω + ∇Λv etdémontrer que

∂

∂t

(2Ω + ∇Λv

ρ

)+v· ∇

(2Ω + ∇Λv

ρ

)=

(2Ω + ∇Λv

ρ

)· ∇v+

(∇ρ)Λ(∇p)

ρ3

(60)



J JI⇐⇒

Production d’énergie interne [N]

Démontrer que, pour un fluide newtonien, la production d’énergieinterne par friction vaut

Tv:∇v = 2ρνD:D

où D est le tenseur de déformation.



J JI⇐⇒

Fluides non-homogènes



J JI⇐⇒

Notion de milieu continu non-homogène

n constituants ca, a ∈ [1, n]

ρa =∑

i mi

δV : densité du constituant a ( kg par unité de volume dumélange)

Quantité de mouvement associé au constituant ρava =∑

i miwi

δV

(∑

i: somme sur toutes les molécules/particules du constituant a duvolume)

...................................................................................................................................

I

Y

Y

9

6

¸ ¸ Á

µ µµ7 ¸

µ

- µ

*-

?1MY

¾6



J JI⇐⇒

Masse et quantité de mouvement du mélange

• la masse (par unité de volume) du fluide

ρ =∑

ρa (61)

• la quantité de mouvement (par unité de volume) du fluide

ρv =∑

ρava (62)

• la concentration (masse par unité de masse du fluide)

ca =ρa

ρ(63)



J JI⇐⇒

Constituants, commentaires

•∑

ca = 1



J JI⇐⇒


•∑

ca = 1

• Si le composant a = 1 est l’eau pure contenu dans l’eau demer (ou la combinaison azote/oxygène (de rapport fixe),dominant dans l’air), c1 ∼ 1



J JI⇐⇒


•∑

ca = 1


• Si deux (ou plusieurs) constituants sont toujours présentsdans le même rapport, une seule variable d’état suffit pourdéfinir l’état du système.



J JI⇐⇒


•∑

ca = 1


• Si deux (ou plusieurs) constituants sont toujours présentsdans le même rapport, une seule variable d’état suffit pourdéfinir l’état du système.

• Si la composition est homogène, on n’est pas obligé dedistinguer les différents constituants



J JI⇐⇒

Conservation de la masse d’un constituant

∂

∂t

∫

VρadV =

∫

VρQadV −

∫

Sρava· ndS

où Qa désigne le taux de production (destruction, lorsqu’il estnégatif) du constituant a par unité de masse du fluide et où n est levecteur unitaire selon la normale à S (pointant vers l’extérieur)



J JI⇐⇒

Conservation de la masse d’un constituant

∂

∂t

∫

VρcadV =

∫

VρQadV −

∫

Sρcava· ndS (64)

où Qa désigne le taux de production (destruction, lorsqu’il estnégatif) du constituant a par unité de masse du fluide et où n est levecteur unitaire selon la normale à S (pointant vers l’extérieur)



J JI⇐⇒

Conservation locale

∫

V

[∂ρca

∂t+ ∇· (ρcava) − ρQa

]dV = 0



J JI⇐⇒

Conservation locale

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcava) = ρQa



J JI⇐⇒

Conservation locale

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcava) = ρQa (65)

La vitesse du constituant 6= vitesse du mélange:

ρcava = ρcav + ρcama + da (66)

où ma désigne la vitesse de migration et da le flux de diffusion



J JI⇐⇒

Bilan pour un constituant en mouvement relatif

S

V

ρcama

da

ρcav

Qa

• migration/sédimentation: mouvement organisé. Devra êtrespécifié ou calculé par dynamique propre du constituant

• diffusion: mouvement relatif désorganisé. Modélisé par un fluxde diffusion



J JI⇐⇒

Conservation locale d’un constituant

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcav) = ρQa − ∇· (ρcama) − ∇·da (67)

Sous forme originale:

∂ρa

∂t+ ∇· (ρava) − ρQa = 0 (68)

en additionnant sur tous les constituants avec∑

Qa = 0:

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0 (69)



J JI⇐⇒

Loi de Newton du mélange

∂

∂t(ρv) + ∇· (ρvv) = −∇p + ρf + ∇·Tv (70)

pour un fluide géophysique, par exemple, rapporté à des axes enrotation (Ω)

ρf = −2ρΩΛv + ρg (71)

où p est la pression. Les forces astronomiques, comme les forcesde marées dérivent d’un potentiel et on peut considérer qu’ellessont implicitement contenues dans p



J JI⇐⇒

Energie interne e du mélange

Nous avons également l’équation pour l’énergie interne e :

∂

∂t(ρe) + ∇· (vρe) = −∇·q − p∇·v + Tv:∇v + ρQe (72)

où

• Tv est le tenseur de tensions visqueuses par unité de massedu mélange

• Qe la chaleur produite par les réactions chimiques internes et

• q le flux de chaleur pouvant éventuellement inclure l’effet deradiation



J JI⇐⇒

Entropie s du mélange

∂

∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (73)

où Qs représente le taux de production (destruction) d’entropie (parunité de masse) et ds le flux moléculaire d’entropie.La production d’entropie est due à la chaleur apportée (ouexportée) par radiation et à l’ensemble des transformationsirréversibles se produisant au sein du fluide. Cette secondecontribution, toujours positive ou nulle en vertu du second principede la thermodynamique, peut se mettre sous la forme d’une sommede produits de flux moléculaires et d’affinités associées.



J JI⇐⇒

Equations constitutives

Flux= combinaison linéraire des affinités. La version la plus simpleet isotrope:

• la loi de Fick d’un constituant a

da = −ρλa∇ca (74)

• la loi de Fourierq = −ρcpλ

T ∇T (75)

cp étant la chaleur spécifique à pression constante et T latempérature

• la loi de Stokes pour les fluides newtoniens

Tv = −ρν(∇v + (∇v)

T − 2

3∇·v I

)(76)



J JI⇐⇒

Equation d’état du mélange ρ = ρ(p, s, cα)

Ici, cα désigne l’ensemble des concentrations de tous lesconstituants moins 1 (variables d’état indépendants).Si l’entropie est la variable d’état, la température doit être donnéepar

T = T (p, s, ca). (77)

Cette dernière est souvent donnée : -soit sous forme différentielle

dT =

(∂T

∂p

)

s,ca

dp +

(∂T

∂s

)

p,ca

ds +∑

a

(∂T

∂ca

)

p,s,c6adca, (78)

-soit sous forme plus classique

cpdT =αT

ρdp + Tds − T

∑

a

sadca, (79)



J JI⇐⇒

Equation d’état

•

α ≡ −1

ρ

(∂ρ

∂T

)

p,ca

= −ρ

(∂s

∂p

)

T,ca

(80)

est le coefficient d’expansion thermique

• cp est la capacité thermique à pression et compositionconstantes :

cp ≡ T

(∂s

∂T

)

p,ca

=

(∂e

∂T

)

p,ca

+ p

(∂v

∂T

)

p,ca

(81)

• et où

sa ≡ ∂s

∂ca− ∂s

∂cn. (82)

(cn étant la variable éliminée en vertu de∑

ca = 1).



J JI⇐⇒

Entropie-Température

C’est la température qui est observable. L’équation de Gibbs :

de = Tds − pdv +∑

a

µadca (83)

v = ρ−1 et µa = − 1T

∂s∂ca le potentiel chimique du constituant a.

Le long d’une trajectoire:

De

Dt= T

Ds

Dt− p

ρ∇·v +

∑

a

µaDca

Dt, (84)

ce qui fournit, à l’aide de l’équation différentielle d’état (79),

De

Dt= cp

DT

Dt− αT

ρ

Dp

Dt+ T

∑

a

saDca

Dt− p

ρ∇·v +

∑

a

µaDca

Dt, (85)



J JI⇐⇒

Entropie-Température

De

Dt= cp

DT

Dt− αT

ρ

Dp

Dt+ T

∑

a

saDca

Dt− p

ρ∇·v +

∑

a

µaDca

Dt, (86)

en utilisant finalement l’équation pour l’énergie interne (72):

cpDT

Dt− αT

ρ

Dp

Dt= Qe − 1

ρ∇·q +

1

ρTv:∇v. (87)

Effets d’augmentation de température par le travail des forcesvisqueuses, de la radiation et de la compression. Le travail desforces visqueuses est négligeable en mer et seules la radiation et lacompression doivent être retenues:

DT

Dt− αT

ρcp

Dp

Dt= − 1

ρcp∇·q +

Qe

cp. (88)



J JI⇐⇒

Température potentielle

L’équation indique que, si l’on déplace une masse d’eau de façonadiabatique (pas d’échange de matière et de chaleur avec sonenvironnement : Qe = 0, q = 0, Tv:∇v = 0), elle sera plus chaude sion l’amène vers des zones plus profondes. Ceci est dû à une faiblecompressibilité de l’eau ou à la compressibilité de l’air.Notion de température potentielle θ: par définition, c’est latempérature que l’eau aurait si on l’amenait de son niveau depression donné à la surface de façon adiabatique. La températurepotentielle s’obtient par intégration l’équation différentielle suivante(déduite de (88)) :

cpdT − αT

ρdp = 0 (89)

entre le niveau de pression de l’eau in situ p à la température T estla surface ou la température cela par définition la températurepotentielle

θ = T −∫ p

0

αT

ρdp (90)



J JI⇐⇒

Etat de référence, gradient adiabatique

Etat de référence 0 : repos, composition homogène et sanséchanges de chaleur. Dans ce cas

dp0

dz= −ρ0g (91)

et le système adiabatique dθ = 0 est caractérisé par (en utilisant(79)) (

∂T0

∂z

)

θ,ca

= −αT0g

cp= −Γ (92)

Γ est appellé gradient adiabatique de température

• Pour l’air αT0 ∼ 1 et Γ = O(10−2 Cm−1)

• Pour l’eau de mer Γ = O(10−4 Cm−1)



J JI⇐⇒

Température potentielle

L’utilisation de la température potentielle permet alors également detravailler avec une équation de conservation plus classique

Dθ

Dt= − 1

ρcp∇·q +

Qe

cp. (93)

1

ρcp∇·q ∼ ∇·

(λT ∇θ

)(94)

où λT est le coefficient de diffusion thermique.En pratique, choisir la température potentielle θ ou la température insitu T dans le terme de diffusion/conduction importe peu.



J JI⇐⇒

Equation d’état de l’eau de mer

Dans l’océan, les différents sels dissous se rencontrent quasimenttoujours dans les mêmes proportions ( table ) et on peut ainsi lesregrouper en une seule variable d’état: la salinité S.

ρ = ρT (T, S, p). (95)

ρT (T, S, p) =ρT (T, S, 0)

1 − p/K(T, S, p)(96)

où ρ(T, S) et K(T, S, p) sont des fonctions polynomiales en T ,√

S

ρT (T, S, 0) = a0 + a1T + a2T2 + a3T

3 + a4T4 + a5T

5

+S(b0 + b1T + b2T

2 + b3T3 + b4T

4)

+S3/2(c0 + c1T + c2T

2)

+ S2d0

(97)



J JI⇐⇒

Coefficients de l’équation d’état

a0 = 999.842594 a1 = 6.7939520 10−2

a2 = −9.0952900 10−3 a3 = 1.0016850 10−4

a4 = −1.1200830 10−6 a5 = 6.5363320 10−9

b0 = 8.2449300 10−1 b1 = −4.0899000 10−3

b2 = 7.6438000 10−5 b3 = −8.2467000 10−7

b4 = 5.3875000 10−9 c0 = −5.7246600 10−3

c1 = 1.0227000 10−4 c2 = −1.6546000 10−6

d0 = 4.8314000 10−4

Quelques valeurs typiques sont

• ρ(5, 0, 0) = 999.96675 kg/m3

• ρ(5, 35, 0) = 1027.6755 kg/m3



J JI⇐⇒

Composition de l’eau de mer

Ion Pourcentage en poids de tous les sels dissousCl− 55.04Na+ 30.61SO−−

4 7.68Mg++ 3.69Ca++ 1.16K+ 1.10



J JI⇐⇒

Equation d’état simplifiée

ρ = ρ0 (1 − α(T − T0) + β(S − S0)) (98)

• α =∼ 1.7 10−4 (C)−1

• β =∼ 7.6 10−4

Notation classique:

σt = ρ − 1000 (99)



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Fluide non-homogène

• Loi de conservation d’un constituant

• Lois d’évolution du mélange

• Equation d’état incluant des constituants

• Salinité pour l’eau de mer



J JI⇐⇒

Utilité

• Modélisation de milieux légèrement chargés en constituants

• Etude de dispersion de polluants

• Réacteurs chimiques

• Charriage de sédiments

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Modélisation [N]

En observant la flamme d’un brûleur, imaginer quels "ingrédients"un modèle décrivant ce processus devrait contenir et quels effetssont probablement négligeables

En particulier comment interviendraient les facteurs suivants:

• Composants chimiques

• Thermodynamique

• Inertie

• Gravité

• CoriolisMécanique des fluides géophysiques – p. 86


J JI⇐⇒

Diffusion de sel [F]En considérant que l’océan peut être représenté par une massed’eau au repos, homogène horizontalement, dont la salinité initialeest donnée par

S = S0 − ∆S cos(π

z

H

)(100)

et qui ne diffuse pas de sel à travers le sol et la surface.Quel signe devrait avoir ∆S si la température est uniforme?Calculer comment le sel est diffusé verticalement dans un systèmeau repos, si le coefficient de diffusion moléculaire est λS .Combien de temps faut-il pour que la différence de salinité ∆S entrela surface et le fond soit réduite de moitié?Chiffrer pour H = 1000 m, λS = 10−9 m2/s

Est-ce un modèle réaliste pour l’évolution de la salinité dans lesocéans?Suggestion:Chercher une solution du type S = S0 + a(t) cos

(π z

H

)



J JI⇐⇒

Equation d’état [F]

Soient deux bassins au repos, de même profondeur (1000m) et demême niveau d’eau, séparés par un détroit fermé. Le bassin 1possède une salinité nulle (du type lac) et une température de 15degrés.L’autre bassin est de température constante de 20 degrés , mais sasalinité vaut 37.Lors d’un tremblement de terre, le détroit s’ouvre sur une hauteur de100m. Quelle est la différence de pression dans le détroit entre lesdeux bassins a) en surface b) sur le seuil? A quelle hauteur d’unecolonne d’eau pure correspond cette différence de pression?Décrivez sans calculs ce qui se passera après l’ouverture du détroit.Note: pour le calcul de la densité, on négligera l’effet de pressionsur la densité.Pour le calcul de la densité, on peut utiliserhttp://gaea.es.flinders.edu.au/ mattom/Utilities/density.html



http://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/Utilities/density.html

J JI⇐⇒


Comment doit-on calculer l’énergie potentielle d’un fluide dont ladensité n’est pas constante?Quelle est la valeur de l’énergie potentielle (par rapport au niveaude référence z = 0) dans le cas de la figure d’un bassin carré (voirfigure) où dans chaque couche, la densité est constante et que lesgradients horizontaux sont nuls?Dans ce dernier cas, analyser si le fait de mélanger de l’eau qui eststratifiée (de l’eau plus lourde en dessous de l’eau plus légèreρ1 < ρ2 ) augmente ou diminue l’énergie potentielle.Suggestion:Calculer l’energie potentielle en ajoutant les contributionsindividuelles des masses d’eau de densite ρ(x, t)

ρ1

ρ2

6ez 6

?6?6

h

h

-¾ L



J JI⇐⇒

Sédimentation [N]

Comment pourrait-t-on évaluer la vitesse de sédimentation d’untraceur constitué de particules sphériques de densité ρs de rayon ren supposant que les particules sédimentent de façon lente parrapport au fluide en mouvement (écoulement de Stokes)?Comment pourrait-t-on modifier l’équation d’état de l’eau de merpour tenir compte de ce traceur en supposant qu’il ne modifie pas lastructure moléculaire du mélange mais remplace seulement lemélange d’eau?Est-ce que l’utilisation d’une vitesse de migration pourrait êtrejustifiée si la concentration du traceur devient comparable aucontenu en eau ?



J JI⇐⇒

Approximations fluides géophysiques



J JI⇐⇒

Approximation de Boussinesq

∂ρ

∂t+ ∇· (ρv) = 0



J JI⇐⇒


∂ρ

∂t+ ρ∇·v + v· ∇ρ = 0

ρ = ρ0 + ρ′

|ρ′| ¿ ρ0



J JI⇐⇒


∂ρ′

∂t+ (ρ0 + ρ′)∇·v + v· ∇ρ′ = 0



J JI⇐⇒


∂ρ′

∂t︸︷︷︸+ (ρ0 + ρ′)∇·v︸︷︷︸+ v· ∇ρ′︸︷︷︸ = 0

U

Lρ′ ¿ ρ0

U

LÀ U

Lρ′

∇·v = 0 (101)

Attention: ne pas utiliser ensuite

∂ρ

∂t+ ρ∇·v=0

+ v· ∇ρ = 0 ⇒ ∂ρ

∂t+ v· ∇ρ = 0



J JI⇐⇒

Quantité de mouvement, approx. deBoussinesq

ρDv

Dt+ 2ρΩΛv = −∇p + ρg + ∇·

ρν

(∇v + (∇v)

T)



J JI⇐⇒


ρ0Dv

Dt+ 2ρ0ΩΛv = −∇p + ρg + ∇·

ρ0ν

(∇v + (∇v)

T)



J JI⇐⇒


Dv

Dt+ 2ΩΛv = − 1

ρ0∇p +

ρ

ρ0g + ∇· (ν∇v)



J JI⇐⇒


Dv

Dt+ 2ΩΛv = − 1

ρ0∇p +

ρ

ρ0g + ∇· (ν∇v)

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = − 1

ρ0∇p +

ρ

ρ0g + ∇· (ν∇v)



J JI⇐⇒

Pression réduite q et poussée b

ρg = ρ0g + (ρ − ρ0)g = ρ0g − ρ0b (102)

b = −ρ − ρ0

ρ0g (103)

|b| ¿ g

q ≡ p

ρ0+ gx3, (104)



J JI⇐⇒

Elimination de la pression de référence

ρ

ρ0g − 1

ρ0∇p =

− ρ

ρ0ge3 −

1

ρ0∇p =

−ge3 + be3 −1

ρ0∇ (ρ0q − ρ0gx3)

−ge3 + ge3 + be3 − ∇q = be3 − ∇q

= b − ∇q

(105)



J JI⇐⇒

Illustration ρ et b

1022 1025

-800

-600

-400

-200

ρ

z

0.01 0.02 0.03

-800

-600

-400

-200

b

z

-5 -3

-800

-600

-400

-200

log N2

z

Profils typiques de ρ, b et ∂b∂z = N2



J JI⇐⇒

Illustration p et q

5000000 10000000

-800

-600

-400

-200

p

z

-8000 -4000

-800

-600

-400

-200

ρ0q

z

5000000 10000000

-800

-600

-400

-200

−ρ0gz

z

Profils de p, ρ0q et −ρ0gz associés



J JI⇐⇒

Conservation des traceurs

loi de conservation d’un composant (67) et loi constitutive dediffusion (74) fournissent

∂ρca

∂t+ ∇· (ρcav) = ρQa − ∇· (ρcama) + ∇· (ρλa∇ca) (106)

∂ca

∂t+ ∇· (cav) = Qa − ∇· (cama) + ∇· (λa∇ca) (107)

Pour la salinité S de l’eau de mer (l’augmentation de la salinité a lieupar évaporation et est inclue dans les conditions aux limites):

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)(108)



J JI⇐⇒

Equation pour la température

DT

Dt− αT

ρcp

Dp

Dt= − 1

ρcp∇·q +

Qe

cp(109)

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt= ∇·

(λT ∇T

)+

Qe

cp(110)



J JI⇐⇒

Equation pour la densité• si on néglige les sources de chaleur: Qe = 0

• et linéarise l’équation d’état

• et suppose que la diffusion de chaleur et de sels sontidentiques (non moléculaires mais turbulents) (λT = λS)

• et néglige les effets de compressibilité

la combinaison des équations des constituants (S) etthermodynamiques (T ) donne:

∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT ∇b

)(111)

Ce n’est pas équivalent à la conservation de la masse, même si ondéduit :

∂ρ

∂t+ ∇· (vρ) = ∇·

(λT ∇ρ

)(112)



J JI⇐⇒

Fréquence de Brünt-Väisälä

Pour un fluide incompressible et un déplacement adiabatique:

6e3

ρ(z0)z0



J JI⇐⇒

Fréquence de Brünt-Väisälä

Pour un fluide incompressible et un déplacement adiabatique:

6e3

ρ(z0)

z0

6s ?

ρ(z0 + s)

F

F = − (ρ(z0) − ρ(z0 + s)) ge3



J JI⇐⇒

Fréquence de Brunt-Väisälä N

ρ(zo) dV s = (ρ(z0 + s)g − ρ(z0)g) dV (113)

En supposant que les variations de densité sont faibles, nous avons

ρ(z0 + s)g − ρ(z0)g ∼ ∂ρ

∂z

∣∣∣∣∣z0

g s = −ρ0∂b

∂zs (114)

N2 =∂b

∂z(115)

ρ(zo) s = −ρ0N2 s (116)

En accord avec l’approximation de Boussinesq, cela se réduit à

s = −N2 s (117)



J JI⇐⇒

Stratification

12



J JI⇐⇒

Stratification

6



J JI⇐⇒

Stratification

16

"Flottabilité": poussée d’Archimède "Depuis Archimède, les bateaux flottent" (d’un bac français 2001)



J JI⇐⇒

Interprétation N 2

• Pour une stratification (statiquement) stable (N2 > 0), lafréquence de Brunt-Väisälä est la fréquence à laquelle laparcelle d’eau va osciller autour de sa position d’équilibre.

• Dans le cas d’une stratification instable (N2 < 0), la parcelles’écartera d’avantage de sa position d’équilibre.

• Le force de rappel (poussée d’Archimède) rendra possible lapropagation d’ondes.



J JI⇐⇒

Stratification

16



J JI⇐⇒

Mesure de l’importance relative de lastratification

6e3

z0

-¾

6

?D

2L



J JI⇐⇒

Mesure de l’importance relative de lastratification

6e3

z0

-¾

6

?D

2L

:



J JI⇐⇒

Nombre de Froude FrSi le déplacement à vitesse horizontale U sur une distance L suit latopograpie, on aura donc un déplacement vertical de δz ∼ D.Comme nous devons déplacer une masse d’eau de hauteur ∼ D,cela induit une perturbation dans le champ de densité et depression:

δp = (ρ(z0) − ρ(z0 + δz))gD ∼ ρ0N2δzD

de sorte que le rapport du terme d’advection et du gradient depression est (pour δz ∼ D)

U2/L

δp/ρ0L= Fr2, (118)

si l’on définit le nombre de Froude comme

Fr =U

ND(119)



J JI⇐⇒

Nombre de FroudeSi le nombre de Froude Fr ¿ 1 , alors l’inertie n’est pas suffisante

pour vaincre l’obstacle (car le gradient de pression adverse seraittrop grand) et en réalité, la vitesse verticale n’est pas W ∼ D

LU mais

sera donnée par l’égalité entre la force d’inertie et le gradient depression associé à la perturbation dans le champ de densité:

δp

ρ0L∼ U2

L→ ρ0N

2δzD

ρ0L∼ U2

L(120)

soit δz = U2

N2D, de sorte que la vitesse verticale associée est

W ∼ δz UL

W /D

U/L= Fr2 (121)

et une forte stratification réduit la vitesse verticale.



J JI⇐⇒

Rapport d’aspect

?

6

-¾

D

L

6

?

h

6η 6-

ez

ex

D ¿ L



J JI⇐⇒

Analyse d’échelles cinématiques

∇·v = 0 =∂u

∂x︸︷︷︸+

∂v

∂y︸︷︷︸+

∂w

∂z︸︷︷︸= 0 (122)

U

L

U

L

W

D

W ≤ D

LU ¿ U (123)

On peut aussi remplacer ∇2 par ∂2

∂z2



J JI⇐⇒

Analyse d’échelles dynamiques

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v) . (124)

Dans le plan tangent : f = 2Ω sinλ et f? = 2Ω cos λ

6Ω = f

2 e3 + f?

2 e2

I

λ0

3o e3

e2



J JI⇐⇒


Quantité de mouvement selon la verticale :

∂w

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vw)︸︷︷︸− f?u︸︷︷︸ = − ∂q

∂z︸︷︷︸+ b︸︷︷︸ + ∇· (ν∇w)︸︷︷︸ (125)

W

T

WU

Lf?U ?

δρ

ρg

νW

D2

Par l’analyse précédente W ≤ DL

U; si T = L/U, les estimationsdeviennent

U2D

L2

U2D

L2f?U ?

δρ

ρg

νU

DL



J JI⇐⇒


∂w

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vw)︸︷︷︸− f?u︸︷︷︸ = − ∂q

∂z︸︷︷︸+ b︸︷︷︸ + ∇· (ν∇w)︸︷︷︸ (126)

U2D

L2

U2D

L2f?U ?

δρ

ρg

νU

DL

Pour un écoulement typique en anticipant l’effet de la turbulence(ν → diffusion turbulente O(10−2 m2 s−1)) (en ms−2 pour un rapportd’aspect D/L = 0.01 et U ∼ 0.1 − 1 m/s):

10−4 − 10−2

L

10−4 − 10−2

L10−5 − 10−4 ?

1 − 10

100010

0.1 − 1

L2



J JI⇐⇒

Equilibre hydrostatiquePour D ¿ L, on a donc en première approximation:

∂q

∂z= b (127)

• Il s’agit de l’équilibre hydrostatique des perturbations parrapport à l’état de référence ρ0.

• Les variations de densité (b) vont induire des gradients depression.

• L’équation dynamique pour la vitesse verticale est remplacéepar une équation diagnostique pour la pression. La contrainted’indivergence (∇·v = 0) devient une équation diagnostiquepour la vitesse verticale

• Comme W ¿ U et pour que le force de Coriolis ne travaillepas il faut supposer f? = 0 quand on utilise l’équilibrehydrostatique



J JI⇐⇒

Changement dû à l’approximationhydrostatique

⊕ Au depart:

∂w

∂t+ ... = −∂q

∂z+ b... → w

∇· v = 0 → q

Apres approximation hydrostatique :

0 = −∂q

∂z+ b → q

∇· v = 0 → w

⊕



J JI⇐⇒

Résumé éq. Boussinesq

∇·v = 0 (128)

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v) (129)

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt= ∇·

(λT ∇T

)+

Qe

cp(130)

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)(131)

∂ca

∂t+ ∇· (cav) = Qa − ∇· (cama) + ∇· (λa∇ca) (132)

ρ = ρ(T, S, p, ...) (133)



J JI⇐⇒

Résumé éq. Boussinesq grandes échelles

∇·v = 0 (134)

∂u

∂t+ ∇· (vu) + fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)(135)

∂q

∂z= b (136)

∂T

∂t+ ∇· (vT ) − αT

ρ0cp

Dp

Dt=

∂

∂z

(λT ∂T

∂z

)+

Qe

cp(137)

∂S

∂t+ ∇· (vS) =

∂

∂z

(λS ∂S

∂z

)(138)

v = u + we3, ∇ = ∇h + e3∂

∂z(139)



J JI⇐⇒

Conditions aux limites

• Frontières imperméables fixes:? v· n = 0

? n· ∇ca = 0 (aussi pour la température)

• En surface (similairement au fond):

? Tensions visqueuses = tensions du vent: ρ0ν∂u∂x = τx

? Flux de chaleur et de sels imposés

6η6

?

h

6e3

ªn



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Approximation de Boussinesq (ρ → ρ0)

• Ordre de grandeur pour l’eau ρ0 ≈ 103 kg/m3 et pour l’airρ0 ≈ 1 kg/m3

• Poussée b = −ρ−ρ0

ρ0g

• Pression réduite q = pρ0

+ gz

• Fréquence de Brunt-Väisälä N2 = ∂b∂z

• Rapport d’aspect

• Equilibre quasi-hydrostatique



J JI⇐⇒

Utilité

• Méthodologie générale de simplification des équationsgénérales

• Caractérisation de la stratification (N2)

• Equations de base pour l’étude théorique de la dynamiquegéophysique



J JI⇐⇒

Equations déduites

• En principe, il suffit de "résoudre" les équations (ditesprimitives) pour prédire le système

• La solution n’est toutefois pas toujours aisée ni "explicative"

• Des équations déduites des équations primitives peuvent êtreutiles (cfr. intégrales premières)

Candidats en mécanique des fluides: Bilans énergétiques et devorticité (ou circulation)

∇·v = 0 (140)

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v) (141)

∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT ∇b

)(142)



J JI⇐⇒

Vorticité

∂v

∂t+ v· ∇v + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v).



J JI⇐⇒

Vorticité

∂v

∂t+ ∇

(v· v

2

)− vΛ(∇Λv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v).

En définissant la vorticité relative ω par

ω ≡ ∇Λv,



J JI⇐⇒

Vorticité

∂v

∂t+ ∇

(v· v

2

)− vΛω + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v). (143)



J JI⇐⇒

Vorticité

on arrive (en prenant le rotationnel et en supposant la viscositéconstante) à

∂ω

∂t+ ∇Λ(ω + 2Ω)Λv = (∇b)Λe3 + ν∇2w. (144)

Nous pouvons alors définir la vorticité absolue $ par

$ ≡ ω + 2Ω, (145)



J JI⇐⇒

Vorticité

pour trouver l’équation d’évolution suivante

∂$

∂t+ ∇Λ($Λv) = (∇b)Λe3 + ν∇2$, (146)

que l’on peut aussi écrire

∂$

∂t+ v· ∇$ = $· ∇v + (∇b)Λe3 + ν∇2$, (147)

en utilisant le fait que ∇· $ = 0. Cette équation montre que lavorticité absolue est changée par des effets baroclines (variationsde densité horizontales) et le "vortex stretching" $· ∇v.



J JI⇐⇒

Vorticité potentielle d’Ertel

Si φ est une propriété du fuide qui est conservée le long d’unetrajectoire, nous pouvons utiliser (146) pour écrire que, en l’absencede friction,

∇φ·∂$

∂t+ ∇φ· ∇Λ($Λv) = e3· (∇φ)Λ(∇b), (148)

à l’aide des formules (516) et (510). On a alors

∇φ·∂$

∂t− ∇· (∇φ)Λ($Λv) = e3· (∇φ)Λ(∇b), (149)

Sachant que φ est conservé, nous avons alors



J JI⇐⇒

Vorticité

(∇φ)Λ($Λv) = $ v· ∇φ − v(∇φ)· $ = −$∂φ

∂t− v(∇φ)· $ (150)

ce qui nous permet d’arriver finalement à

∇· ((∇φ)Λ($Λv)) = −$·∂∇φ

∂t− v· ∇ ((∇φ)· $) (151)

puisque ∇· v = 0, ∇· $ = 0. Nous obtenons donca

dΠ

dt= e3· (∇φ)Λ(∇b) = J (φ, b) (152)

où nous avons tout naturellement défini la vorticité potentielle Π

a J (α, β) ≡ ∂α∂x

∂β∂y − ∂α

∂y∂β∂x



J JI⇐⇒

Vorticité

Π ≡ (∇φ)· (2Ω + ∇Λv). (153)

Si φ = φ(b), alors nous avons une conservation de la vorticitépotentielle Π le long d’une trajectoire

∂Π

∂t+ v· ∇Π = 0. (154)

En particulier, si la poussée n’est pas diffusée, on a par exempleφ = b/g.



J JI⇐⇒

Vorticité potentielle: interprétation

................................................................................................................................ ~

............................ ....... ........ ......... ......... .................. .................. ......... ................ ..........................

..............

............................... ......... .......... .......... .......... ...................

Figure 1 : Conservation de la masse+ conservation du moment cinetique = con-

servation de Π



J JI⇐⇒

Moment cinétique

28



J JI⇐⇒

Conservation du moment cinétique• Conservation de m → ρhr2 est constant

• Pour une rotation solide de vitesse angulaire ω le momentcinétique Jω est conservé. J est le moment d’inertie autour del’axe vertical.

• Pour un cylindre de masse m, de rayon r et hauteur h :J = mr2

2 .

• Comme m est conservé (ρhr2 conservé) la conservation dumoment cinétique Jω induit que ω

h est conservé.

• Pour un système en rotation , la vitesse de rotation de laparcelle d’eau = vitesse de rotation relative + vitesse derotation du système : f/2.

• Le vecteur de Poisson de la rotation relative est 1

2(∇Λv)

• ⇒ la conservation du moment cinétique selon ez s’écrit

f + (∇Λv) · ez

h= Cte (155)



J JI⇐⇒

Généralisation milieu stratifié

-¾∆ρ6ez

-ρ

h1

h2

h3

ρ1

ρ2 = ρ1 + ∆ρρ3 = ρ2 + ∆ρρ4 = ρ3 + ∆ρ

Un stratification uniforme peut-être idéalisée par une succession decouches de hauteur variable avec un saut de densité entre lescouches de ∆ρ (positif vers le bas).

ρ(z + h) = ρ(z) +∂ρ

∂zh → h =

−∆ρ∂ρ∂z

(156)



J JI⇐⇒

Généralisation

6ez z

ρ + ∆ρ

ρ

Figure 2 : Conservation de la masse+ conservation du moment cinetique = con-

servation de Π

Pour un système continu, on imagine que le tube entre deuxisopycnes est conservé (conservation de la masse ayant unedensité entre ρ et ρ + ∆ρ) et que sa hauteur est h−1 = − 1

∆ρ∂ρ∂z ∝ ∂b

∂z

Π =1

g(∇b)· (2Ω + ∇Λv). (157)



J JI⇐⇒

Energie

Finalement, nous pouvons nous intéresser à l’énergie du système.Nous pouvons en effet définir les énergies cinétiques et potentiellessuivantes

KE ≡ 1

2

∫

Vρ0v· v dV, (158)

PE1 ≡∫

Vρ0gx3 dV, (159)

PE2 ≡∫

Vρ0(−b)x3 dV, (160)

PE = PE1 + PE2 ≡∫

Vρgx3 dV. (161)



J JI⇐⇒

Energie

Il est aisé de montrer que PE1 contient une contribution due à latopographie. Etant donné que celle-ci reste constante dans letemps et que le potentiel n’est, de toute façon, défini qu’à uneconstante près, nous pouvons alors remplacer PE1 par

PE1 =

∫

Sρ0g

η2

2dS, (162)

où η désigne la hauteur du niveau d’eau,S la surface de la mer,V le volume étudié.

Nous pouvons à présent calculer la loi d’évolution de ces énergies,ceci en utilisant notamment le fait que

v3 =dx3

dt, (163)



J JI⇐⇒

Energie

∇·v = 0 (164)

v·∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v) (165)

−x3·∂b

∂t+ ∇· (vb) = ∇·

(λT ∇b

)(166)



J JI⇐⇒

Energie

∂

∂t

(v· v

2

)+ ∇·

(v

v· v

2

)=

−∇· (vq) + ∇· (νv· ∇v) − ν∇v:∇v + bv3.(167)

∂(−bx3)

∂t+ ∇· (−vbx3) =

−bv3 + λT ∂b

∂x3+ ∇· (−x3λ

T ∇b),

(168)



J JI⇐⇒

Energie

En intégrant ces équations sur le volume étudié, on obtient

dKEdt

= PE2KE + PE1KE − DKE + SKE, (169)

dPE2

dt= −PE2KE − DPE + SPE, (170)

dPE1

dt= −PE1KE (171)

avec les définitions du transfert d’énergie , et des dissipations D∗

DPE ≡ ρ0

∫

V−λT ∂b

∂x3dV, (172)

DKE ≡ ρ0

∫

Vν∇v:∇vdV ≥ 0, (173)

PEKE ≡ ρ0

∫

Vbv3dV (174)



J JI⇐⇒

Energie

Les termes sources S∗, quant à eux, s’obtiennent en intégrant, parle théorème de Gauss, les termes en divergence. Si le domaine estfermé (sans friction aux côtes) et sans flux de poussée, sanstension de vent et sans variations de la pression atmosphérique ensurface, on montre que les termes sources sont nuls.

SKE ≡ ρ0

∫

V∇· (νv· ∇v) dV, = ρ0

∫

Sv· tdS (175)

où t est la tension du fluide sur S. En l’absence de friction t = 0.



J JI⇐⇒

Transfert d’énergie PE 1

PE1KE = −ρ0

∫

V∇· (v q) dV = −ρ0

∫

Sn· v q dS, (176)

qui devient, en sachant que q = gη en surface,

PE1KE = −ρ0

∫

Sgηn· v dS. (177)



J JI⇐⇒

Energie

On verra à titre d’exercice que la condition cinématique de lasurface d’eau permet de calculer

n· v =∂η

∂t, (178)

et nous voyons que

PE1KE = −dPE1

dt. (179)

Ceci permet de constater que l’énergie totale du système resteconservée s’il n’y a pas de dissipation et qu’il y a un transfertd’énergie entre les énergies potentielles et cinétiques par lesmouvements verticaux.



J JI⇐⇒

Transferts d’énergie

PE2

KE PE1

?

SKE

¼

¸

PE1KE

PE2KE

N

SPE

DKEDPE26º

ª

Echanges entre les énergies potentielles et cinétique



J JI⇐⇒

Approximation du plan β

• Equations en coordonnées sphériques

• Définition de coordonnées locales quasi-cartésiennescentrées en (φ0, λ0):

x = R(φ − φ0) cos λ0, (180)

y = (λ − λ0)R, (181)

z = r − R, (182)

• On peut travailler comme en coordonnées cartésiennes si

|λ − λ0| ¿ 1, (183)

z ¿ R. (184)

parce que la profondeur des océans et la hauteur de l’atmosphère(O(10 km)) sont faibles par rapport au rayon de la terre R ∼ 6400 km



J JI⇐⇒


e1

e2e3

φ

R x

y z

λ0

λ0

Ω



J JI⇐⇒


• On peut travailler en coordonnées cartésiennes locales avec

2ΩΛv → fe3Λv + f?e2Λv, (185)

f ≡ 2Ω sinλ = 2Ω sin(λ0 +

y

R

)∼ f0 + βy,

f? = 2Ω cos λ ∼ f?0 + β?y,

β =df

dy=

2Ω cos λ0

R,

β? =df?

dy= −2Ω sin λ0

R,

f?0 β? + f0β = 0.

(186)

Si on pose β? = β = 0 on parle de l’approximation du plan f .



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Conservation d’énergie

• Vorticité potentielle et son interprétation

• Approximation du plan β



J JI⇐⇒

Utilité

• Intégrales premières: Vérifification de solutions, solutions sanscalcul explicite des transitoires ou de la structure des solutions

• Estimation d’ordres de grandeur d’énergies (utilisation pourproduire de l’énergie, estimation des énergies à dissiper surune construction, ...)

• Compréhension de processus (mécanismes d’échanged’énergie ou d’adaptation de vorticité)

• Identification de processus non-conservatifs(mesure/diagnostique de Π)

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Brunt-Väisälä pour un gaz parfait [N]

Démontrer que pour un gaz parfait adiabatique, l’oscillation autourd’une position d’équilibre dans un environnement stratifié a lieu àune fréquence N donnée par

N2 =g

T

(dT

dz+

g

cp

)(187)

Interpréter en termes de température potentielle.



J JI⇐⇒

Equation pour la densité [N]

En utilisant l’équation d’état linéarisée pour l’eau de mer autour deT0 et S0, comment écrit-on la loi d’évolution pour la densité ensupposant que la radiation de l’insolation (en surface I0 (en W/m2))pénètre verticalement dans les océans avec un coefficientd’atténuation k ?



J JI⇐⇒

Ondes acoustiques [F]

A votre avis, les équations utilisant l’approximation de Boussinesqpermettent-elles la prise en compte d’ondes acoustiques?



J JI⇐⇒

Conservation d’énergie [N]

Analyser l’équation du travail mécanique dans le cadre del’approximation hydrostatique et de Boussinesq. En particulier, quese passerait-il si on n’avait pas poséf? = 0 dans l’équation de laquantité de mouvement horizontal?



J JI⇐⇒

Conditions aux limites cinématiques [N]

Démontrer que les conditions aux limites de la vitesse verticales’écrivent

∂η

∂t+ u

∂η

∂x+ v

∂η

∂y= w en z = η (188)

−u∂h

∂x− v

∂h

∂y= w en z = −h, (189)

en supposant que le fond z = −h(x, y) ne bouge pas, tandis que leniveau d’eau z = η varie dans le temps.



J JI⇐⇒

Equation du bilan thermique [N]

Si on suppose que Γ = αTgcp

est constant et que la pression est

dominée par la composante hydrostatique, démontrez que la loid’évolution pour la température peut s’écrire

D

Dt(T + Γx3) = ∇·

(λT ∇T

)+

Qe

cp(190)



J JI⇐⇒

Ondes internes

14



J JI⇐⇒

Approche

Pourquoi ? Identifier

• les modes propres et échelles inhérentes du système

• les mécanismes de propagation

Comment:

• Simplification des équations:? Effets diffusifs/visqueux négligeables? Perturbation par rapport à une situation de repos

(linéarisation)? Equation d’état linéarisée

• Simplification des conditions auxiliaires? Domaine à géométrie simplifiée? Pas de forçage extérieur? Pas de conditions initiales (solutions périodiques)



J JI⇐⇒

f ? et situation de référence

• 2ΩΛv → fe3Λv + f?e2Λv

• Pour l’approximation hydrostatique f? doit être considéré nul(sinon incompatibilité énergétique). De toute façon, dans cecas f? est multiplié par w dans l’équation pour u.

• Parfois on néglige f? également pour un écoulementnon-hydrostatique

• Utilisation d’une équation pour b (111) en lieu et en place deséquations pour T et S

Etat de référence: repos et stratification ∂b0∂z = N2 uniforme dans un

domaine infini

6ez

b = N2z

Figure 3 : Section verticale a travers le champ de densite de referenceMécanique des fluides géophysiques – p. 159


J JI⇐⇒

Premier essai: ondes hydrostatiques (avecf ? = 0)

Etat de référence : repos et stratification ∂b0∂z = N2 uniforme. Les

champs sont alors donnés pas v = 0 + v′, b = b0 + b′, q = q0 + q′ desorte que si l’on utilise l’approximation hydrostatique (136) et leshypothèses :

∇·v′ = 0

∂u′

∂t+ ∇· (v′u′) + fe3Λu′ = −∇h (q0 + q′) +

∂

∂z

(ν

∂u′

∂z

)

∂ (q0 + q′)

∂z= b0 + b′

∂(b0 + b′)

∂t+ ∇· (v′(b0 + b′)) =

∂

∂z

(λ

∂(b0 + b′)

∂z

)



J JI⇐⇒




∇·v′ = 0

∂u′

∂t+ fe3Λu′ = −∇h (q0 + q′)

∂ (q0 + q′)

∂z= b0 + b′

∂b′

∂t+ w′ ∂b0

∂z= 0



J JI⇐⇒




∇·v′ = 0

∂u′

∂t+ fe3Λu′ = −∇hq′

∂q′

∂z= b′

∂b′

∂t+ w′N2 = 0

comme ∂q0

∂z = b0 et que l’écoulement de base au repos demande∇hq0 = 0.



J JI⇐⇒

Premier essai: Ondes hydrostatiques

Etat de référence : repos et stratification ∂b0∂z = N2 uniforme. On

obtient donc en laissant tomber les ′:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (191)

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x, (192)

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y, (193)

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0. (194)

b: perturbation de la poussée par rapport à l’état stratifié b0.



J JI⇐⇒

Elimination de variables

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂z ˙

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x,

∂∂z ˙

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y,

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂2u

∂z∂t= f

∂v

∂z− ∂

∂x

(∂q

∂z︸︷︷︸

),

∂2v

∂z∂t= −f

∂u

∂z− ∂

∂y

(∂q

∂z︸︷︷︸

),

︷︸︸︷∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂t ˙

∂2u

∂z∂t= f

∂v

∂z− ∂b

∂x,

∂∂t ˙

∂2v

∂z∂t= −f

∂u

∂z− ∂b

∂y

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂3u

∂z∂t2= f

∂2v

∂t∂z− ∂

∂x

(∂b

∂t︸︷︷︸

),

∂3v

∂z∂t2= −f

∂2u

∂t∂z− ∂

∂y

(∂b

∂t︸︷︷︸

),

︷︸︸︷∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂z ˙

∂3u

∂z∂t2= f

∂2v

∂t∂z+ N2 ∂w

∂x

∂∂z ˙

∂3v

∂z∂t2= −f

∂2u

∂t∂z+ N2 ∂w

∂y



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

︷︸︸︷∂w

∂z

= 0

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2+ N2 ∂

∂x

(∂w

∂z︸︷︷︸

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2+ N2 ∂

∂y

(∂w

∂z︸︷︷︸

)



J JI⇐⇒

Elimination de variables: fin

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2− N2 ∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2− N2 ∂

∂y

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)

Equation de dispersion pour un domaine infini:

(u, v) = (U ,V)ei (kxx+kyy+kzz−ωt) (195)

Système linéaire homogène pour U ,V:

(−k2z)(−ω2)U = f(−i ω)(−k2

z)V − N2(i kx) (i kxU + i kyV)

(−k2z)(−ω2)V = −f(−i ω)(−k2

z)U − N2(i ky) (i kxU + i kyV)



J JI⇐⇒

Equation de dispersion

Solution non nulle seulement si∣∣∣∣∣

ω2k2z − N2k2

x −(N2kxky + iωfk2

z

)

−(N2kxky − i ωfk2

z

)ω2k2

z − N2k2y

∣∣∣∣∣ = 0 (196)

soit

ω2 = f2 + N2k2

x + k2y

k2z

(197)

• ω2 ≥ f2

• ω2 → ∞ si kz → 0 ?

Approximation hydrostatique invalide si k2x + k2

y À k2z ou si ∂w

∂t estimportant!



J JI⇐⇒

Ondes internes non-hydrostatiques

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (198)

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x, (199)

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y, (200)

∂w

∂t+

∂q

∂z= b, (201)

∂b

∂t+ N2w = 0. (202)

b: perturbation de la poussée par rapport à l’état stratifié b0. Ongarde f? = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂z ˙

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x,

∂∂z ˙

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y,

∂w

∂t+

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂2u

∂z∂t= f

∂v

∂z− ∂

∂x

(∂q

∂z︸︷︷︸

),

∂2v

∂z∂t= −f

∂u

∂z− ∂

∂y

(∂q

∂z︸︷︷︸

),

︷︸︸︷∂q

∂z= b − ∂w

∂t,

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂t ˙

∂2u

∂z∂t= f

∂v

∂z− ∂b

∂x+

∂2w

∂x∂t,

∂∂t ˙

∂2v

∂z∂t= −f

∂u

∂z− ∂b

∂y+

∂2w

∂y∂t

∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂3u

∂z∂t2= f

∂2v

∂t∂z− ∂

∂x

(∂b

∂t︸︷︷︸

)+

∂3w

∂x∂t2,

∂3v

∂z∂t2= −f

∂2u

∂t∂z− ∂

∂y

(∂b

∂t︸︷︷︸

)+

∂3w

∂y∂t2,

︷︸︸︷∂b

∂t+ N2w = 0.



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

∂∂z ˙

∂3u

∂z∂t2= f

∂2v

∂t∂z+ N2 ∂w

∂x+

∂3w

∂x∂t2,

∂∂z ˙

∂3v

∂z∂t2= −f

∂2u

∂t∂z+ N2 ∂w

∂y+

∂3w

∂y∂t2,



J JI⇐⇒


∂u

∂x+

∂v

∂y+

︷︸︸︷∂w

∂z

= 0

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2+

[N2 ∂

∂x+

∂3

∂x∂t2

](∂w

∂z︸︷︷︸

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2+

[N2 ∂

∂y+

∂3

∂y∂t2

] (∂w

∂z︸︷︷︸

)



J JI⇐⇒

Elimination de variables: fin

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2−

[N2 ∂

∂x+

∂3

∂x∂t2

](∂u

∂x+

∂v

∂y

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2−

[N2 ∂

∂y+

∂3

∂y∂t2

](∂u

∂x+

∂v

∂y

)


(u, v) = (U ,V)ei (kxx+kyy+kzz−ωt) (203)

Système linéaire homogène pour U ,V:

(−k2z)(−ω2)U = f(−i ω)(−k2

z)V −[N2(i kx) + i kx(−ω2)

](i kxU + i kyV)

(−k2z)(−ω2)V = −f(−i ω)(−k2

z)U−[N2(i ky) + i ky(−ω2)

](i kxU + i kyV)



J JI⇐⇒

Equation de dispersion

Solution non nulle seulement si∣∣∣∣∣

ω2k2z − (N2 − ω2)k2

x −((N2 − ω2)kxky + iωfk2

z

)

−((N2 − ω2)kxky − i ωfk2

z

)ω2k2

z − (N2 − ω2)k2y

∣∣∣∣∣ = 0

(204)

(par rapport à la version hydrostatique N2 − ω2 au lieu de N2), soit

ω2 =f2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

(205)



J JI⇐⇒

Discussion• ω2 ∈ [f2, N2] (en général N2 À f2).

• ω ne dépend que de l’angle formé entre k et un planhorizontal: ω2 = f2 sin2 θ + N2 cos2 θ

• ω ne dépend pas de ‖k‖.

• Pour chaque onde dans une direction, la même onde dans ladirection opposée est aussi une solution

• Cas limite θ → 0: Ondes de gravité internes

• Cas limite θ → π/2: Ondes/oscillations d’inertie

• Pour les ondes de faible rapport d’aspect(θ ∼ π/2, k2

z À k2x + k2

y , "ondes longues"), la relation dedispersion est cohérente avec la celle des ondeshydrostatiques (197)

ω2 =f2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

Mais si non hydrostatique, maintenir f? ? A faire en exercice.Mécanique des fluides géophysiques – p. 173


J JI⇐⇒

Oscillation d’inertie

Si kx, ky → 0, ω ∼ f

∂u

∂t= fv (206)

∂v

∂t= −fu (207)

Progressive vector diagram d’un vecteur de vitesse mesuréCeci montre que la force de Coriolis joue le rôle de la force de rappel



J JI⇐⇒

Onde de gravité

Si kz → 0,∂w

∂t+

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.

se réduit à∂w

∂t= b,

∂b

∂t+ N2w = 0.

et∂2w

∂t2= −N2w (208)

montre que la force de rappel est due à la poussée (voirfréquence de Brunt-Väisälä )



J JI⇐⇒

Mécanisme de propagation

Ondes de gravité (f = 0, u = U0 sin (kxx + kzz − ωt)w = −kx/kzU0 sin (kxx + kzz − ωt) ,b = N2ω−1kx/kzU0 cos (kxx + kzz − ωt) )

1M

N

M

6

- ex

ez

k



J JI⇐⇒

Onde de gravité: animation

A gauche b, à droite b + b0 et (u, w).



J JI⇐⇒

Ondes longues dans le plan β

Ici, on réutilisera l’ hypothèse d’un rapport d’aspect faible , maisavec f=f0 + βy. On ne peut donc plus a priori chercher une solutiondu type onde dans cette direction:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (209)

∂u

∂t= (f0 + βy)v − ∂q

∂x, (210)

∂v

∂t= −(f0 + βy)u − ∂q

∂y, (211)

∂q

∂z= b,

∂b

∂t+ N2w = 0. (212)



J JI⇐⇒

Elimination

∂4u

∂z2∂t2= f

∂3v

∂t∂z2− N2 ∂

∂x

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)

∂4v

∂z2∂t2= −f

∂3u

∂t∂z2− N2 ∂

∂y

(∂u

∂x+

∂v

∂y

)


(u, v) = (U(y),V(y))ei (kxx+kzz−ωt) (213)

k2zω2U = i fk2

zωV − i N2kx

(i kxU +

dVdy

)

k2zω2V = −i fk2

zωU − N2 d

dy

(i kxU +

dVdy

)



J JI⇐⇒

Equation différentielle

L’élimination de(k2

zω2 − k2xN2

)U mène à

−ω2N2 d2Vdy2

+(ω2(f2 − ω2)k2

z + ω2N2k2x + βkxωN2

)V = 0 (214)

Ici on peut supposer à présent f = f0 et une solution du typeV(y) = ei kyy nous fournit la relation de dispersion

ω(k2y + k2

x) + ω(f2 − ω2)N−2k2z + βkx = 0 (215)

Equation cubique: pour β = 0, nous retrouvons lesondes internes hydrostatiques . Les deux solutionscorrespondantes seront peu perturbées par β. La troisième racines’écrit alors ω = 0 + O(β) et satisfait ω2 ¿ f2



J JI⇐⇒

Ondes de Rossby: discussion

ω =−βkx

k2x + k2

y + k2zf2N−2

(216)

• Onde lente (β faible): cohérent avec approximationhydrostatique (ω2 ¿ N2 et ω2 ¿ f2)

• Vitesse de phase négative selon ex: ondes se déplacent versl’ouest

• Vitesse de groupe: cg = ex∂ω∂kx

+ ey∂ω∂ky

+ ez∂ω∂kz

cg· ex =β

(k2

x + k2y + k2

zf2N−2)2

(k2

x − k2y − k2

zf2N−2)

(217)



J JI⇐⇒

Ondes de Rossby: discussion

• Un paquet d’ondes transporte l’énergie vers l’ouest sik2

x < k2y + k2

zf2N−2, alors que pour des ondes plus courtesk2

x > k2y + k2

zf2N−2, l’énergie se propage vers l’est.

• Nous pouvons distinguer les ondes de Rossby barotropes(kz ∼ 0, w ∼ 0, b ∼ 0) et baroclines (k2

x + k2y ¿ k2

zf2N−2 ).

• Réflexions/réductions d’échelles aux bords ouest: ondeslongues vers l’ouest, mais ondes plus courtes atténuées plusfacilement

• Pour ω2 ¿ f2: équilibre entre gradient de pression et Coriolis

• Conservation de la vorticité totale f + ∂v∂x − ∂u

∂y

(2Ω + ∇Λv) ∼(

f +∂v

∂x− ∂u

∂y

)ez (218)



J JI⇐⇒

Propagation

29

Diagramme de Hovmöller des perturbations de surface en Pacifique



J JI⇐⇒

Mécanisme de propagation: ondes de Rossby

H L

L H

?

6 -

¾

¾

? -

6

¾ 6 6 -

?¾-

?

6∇f?



J JI⇐⇒


H L

L H

?

6 -

¾

¾

? -

6

¾ 6 6 -

?¾-

?

6∇f?

6



J JI⇐⇒


H L

L H

?

6 -

¾

¾

? -

6

¾ 6 6 -

?¾-

?

6∇f?

6

6



J JI⇐⇒


H L

L H

?

6 -

¾

¾

? -

6

¾ 6 6 -

?¾-

?

6∇f?

6

6/



J JI⇐⇒


H L

L H

?

6 -

¾

¾

? -

6

¾ 6 6 -

?¾-

?

6∇f?

6

6/

¾

¾



J JI⇐⇒

Animations

6

ondes internes (avec réflexions et interférences), fréquence plusélevée et réponse impulsionnelle



J JI⇐⇒

Animations suite

12

Les ondes se propagent de la source avec un angle imposé par lafréquence de forçage. Si la fréquence de forçage est plus élevéeque la fréquence de Brunt-Väisälä, il n’y a pas d’ondes



J JI⇐⇒

Animations suite

12

Phase du fond à droite vers haut à gauche, vitesse de groupe d’enhaut à droite vers le fond à gauche (image de gauche). Fréquenceprès de la surface proche de la fréquence de Brunt-Väisälä (droite).



J JI⇐⇒

Animations

20

Onde interne atmosphérique



J JI⇐⇒

Animation ondes de Rossby

10

Ondes de Rossby vues par altimétrie



J JI⇐⇒

Eaux mortes

8



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Ondes de gravité-inertie internes (fréquence entre celle desondes gyroscopiques (f ) et celle des ondes degravité internes (N ))

• Ondes de Rossby , mécanisme de propagation parconservation de Π

• Effet de l’approximation hydrostatique (ondes longues)



J JI⇐⇒

Utilité

• Identification des relations de dispersion et domaines derésonances possibles

• Oscillations d’interfaces au sein de l’océan (ou de lacs)responsables de remontées de sels nutritifs

• Mélanges associés au défèrlement d’ondes internes

• Transport d’énergie

• Eaux mortes

• Détections de sous-marins

• Influence sur le cycle du CO2

• Dimensionnement de structures "offshore"

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Oscillation d’inertie [F]

En observant une oscillation dans l’enregistrement d’uncourantomètre d’une période de 15 h et une rotation du vecteurvitesse dans le sens antihorlogique, que peut-on dire de l’endroit oùse trouve le courantomètre?



J JI⇐⇒

Vitesse de groupe des ondes internes [F]

Démontrer que la vitesse de groupe et la vitesse de phase desondes de gravité-inertie (non-hydrostatiques) sont perpendiculairespour f = f0



J JI⇐⇒

Ondes non-hydrostatiques avec f ? 6= 0 [N]

Démontrer que dans le cas des ondes non-hydrostatiques avecf? 6= 0, la relation de dispersion est (négliger les variations de f etf?)

ω2 =

((2Ω· k

)2

‖k‖2+

k2x + k2

y

‖k‖2 N2

). (219)



J JI⇐⇒

Conditions sur une surface libre [N]

Démontrer que pour des petites perturbations par rapport à un étatde référence au repos, la condition dynamique en surface s’écrit

∂q

∂t= gw en z = 0 (220)



J JI⇐⇒

Ondes internes, domaines fermés



J JI⇐⇒

Ondes internes, domaines bornés

Une dépendence en z et/ou y ne permet plus a priori une solutionbasée sur des fonctions du type ekyy+kzz.Premier essai: entre deux couches en z = −h et z = 0imperméables, maintenues à la même poussée (perturbation b nulleaux parois).Recherche de solutions du type

(u, v, q) = (U(y),V(y),Q(y)) ei (kxx−ωt) cos(kzz) (221)

(w, b) = (W(y),B(y)) ei (kxx−ωt) sin(kzz) (222)

avec kz = nπh pour satisfaire les conditions aux limites.



J JI⇐⇒

Dans le plan f

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (223)

∂u

∂t= fv − ∂q

∂x, (224)

∂v

∂t= −fu − ∂q

∂y, (225)

∂w

∂t+

∂q

∂z= b, (226)

∂b

∂t+ N2w = 0. (227)

b: perturbation de la poussée par rapport à l’état stratifié b0.



J JI⇐⇒

Dans le plan f

i kxU +dVdy

+ kzW = 0 (228)

−i ωU = fV − ikxQ (229)

−i ωV = −fU − dQdy

(230)

−kzQ = B (231)

−i ωB + N2W = 0 (232)



J JI⇐⇒

Domaine infini en y

Solution du type ei kyy donnera l’équation de dispersion du plan f

ω2 =f2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

(233)

mais où les valeurs admises de kz forment un spectre discret.

ω2n =

f2(

nπh

)2+ N2(k2

x + k2y)

k2x + k2

y +(

nπh

)2 (234)

Si en y=0, on introduit une côte, la solution reste valable et lacondition aux limites V(y) = 0 en y = 0 imposera simplement laréflexion de l’onde sur cette côte.



J JI⇐⇒

Modes d’oscillations

16



J JI⇐⇒

Solution particulière

Lors de l’élimination des variables, multiplication par(k2

zω2 − k2xN2

). Quid si ce terme est nul au départ?

k2zω2U = i fk2

zωV − i N2kx

(i kxU +

dVdy

)

k2zω2V = −i fk2

zωU − N2 d

dy

(i kxU +

dVdy

)

La première équation nécessite alors V = 0, alors que la secondese réduit à

dUdy

= − fωk2z

N2kxU (235)



J JI⇐⇒

Onde de Kelvin interne non dispersiveLa solution est

U(y) = U0e− fωk2

zN2kx

y(236)

Il faut que ω/kx ≥ 0, ce qui veut dire que l’onde se déplace la côte àdroite. Comme de plus k2

zω2 = k2xN2, ceci peut s’écrire (kz = nπ/h)

U(y) = U0e− y

Rn , (237)

Rn =hN

nπf(238)

Rayon de déformation de Rossby interne. Pour le mode defondamental (n = 1) : RI = hN

πf

cn =ωn

kx=

Nh

nπ(239)



J JI⇐⇒

Mode de propagation

u = U0e− y

Rn cos(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] (240)

w =kx

kzU0e

− yRn sin

(nπ

z

h

)sin [kx(x − cnt)] (241)

b = −N2kx

ωkzU0e

− yRn sin

(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] (242)

q =N2kx

ωk2z

U0e− y

Rn cos(nπ

z

h

)cos [kx(x − cnt)] (243)

b > 0 indique une descente d’eau légère (perturbation de poussée).Equilibre entre la force de pression et la force de Coriolis dans ladirection y.



J JI⇐⇒

Section verticale

Equilibre entre la force de pression et la force de Coriolis dans ladirection y. (Voir aussi vent thermique )

6¾ey

ez



J JI⇐⇒

Mécanisme

¾

-

-6

¾

6

¾ -6

-?

u

w

-6ez

ex



J JI⇐⇒

Mécanisme



J JI⇐⇒

Animations

12

ondes internes sans rotation (gauche) et onde de Kelvin interne dueà la rotation (droite)



J JI⇐⇒

Echelles

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

mélange

accoustiques



(m)

microturbulence



fronts

circulation


houle

tempêtes

[8]



J JI⇐⇒

Commentaires fenêtre spectrale

• Relations de dispersion limitées par diffusion, échellestopographiques (bassins) etc.

• Echelle inhérente Nhf .



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Onde de Kelvin (côte à droite dans l’hémisphère nord ) etson mécanisme de propagation

• Rayon de déformation hNf

• Spectres discrets (modes) pour domaines fermés



J JI⇐⇒

Utilité

• Voir avant

• Propagation de marées internes et effets côtiers marqués

• Estimation de la largeur des ces effets

• El Niño



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Vitesse de groupe verticale [F]

Pour les ondes d’inertie gravité dans un domaine infini du plan f ,calculez la vitesse de groupe verticale et comparez à la vitesse dephase verticale.



J JI⇐⇒

Onde interne générée par une marée [N]

Une onde interne est générée par une marée M2 de période 12.42heures. Si la fréquence de Brunt-Väisälä N vaut 10−3 s−1, dansquelles directions l’énergie des ondes internes peut-elle êtrepropagée si l’on suppose la rotation de la terre négligeable?Suggestion:Calculer la vitesse de groupe qui est perpendiculaire a lavitesse de phase.



J JI⇐⇒

Lee waves [D]Soit une topographie cosinusoïdale h = H cos(kxx) de nombred’onde kx. Un vent uniforme de vitesse U souffle au dessus dans unenvironnement stratifié uniformément. En négligeant la rotation dela terre, calculez les ondes générées au dessus de la topographieen supposant que les variations de h sont faibles. Distinguer le casN2 ≥ U2k2

x et N2 ≤ U2k2x. Suggestion:Reformuler le probleme par un

deplacement uniforme de referentiel dans lequel le fond bouge a unevitesse −U et y appliquer la condition d’impermeabilite pour la vitesseu dans le nouveau systeme d’axes. Negliger la friction et appliquer seulla condition d’impermeabilite. Simplifier la condition d’impermeabiliteen utilisant le fait que les variations de h sont faibles de sorte que l’onpeut negliger les termes en u· ∇ h.

6-ex

ez

-----

UN

?

62H

-¾ 2πkx



J JI⇐⇒

Ondes internes sans restriction d’amplitude [N]

Démontrer qu’une onde plane seule (satisfaisant la relation dedispersion) dans le plan f est solution des équations non-linéaires:

∂b

∂t+ v· ∇ (b0(z) + b) = 0 (244)

∇·v = 0 (245)

∂v

∂t+ v· ∇v + fe3Λv = −∇q (246)

ω2 =f2k2

z+N2(k2x+k2

y)

k2x+k2

y+k2z



J JI⇐⇒

Energie d’une onde de gravité-inertie interne[D]

Pour les ondes d’inertie gravité dans un domaine infini du plan f ,calculez l’énergie cinétique moyenne (sur une longueur d’onde).Pour calculer l’énergie potentielle moyenne associée à une onde,constatez que le déplacement vertical η d’une isoligne de densitépermet de calculer la variation d’énergie potentielle associée.Que se passe-t-il en absence de rotation f = 0 ?Suggestion:Etablir que w = ∂η

∂t et que l’energie potentielle locale est

proportionnelle a N2η2



J JI⇐⇒

Relation de dispersion avec surface libre [TD]

Pour f? = 0, β = 0 et une hauteur d’eau h, établir la relation dedispersion

tanh(γh)

γh=

ω2 − f2

gh(k2x + k2

y)(247)

γ =

√(k2

x + k2y)(ω2 − f2)(N2 − ω2)

ω2 − f2(248)

Analysez ce qui se passe pour γ imaginaire et |γ|h À 1

D’autre part, analysez le mode de plus basse fréquence etdémontrez qu’il disparaît quand on utilise une condition aux limitesw = 0 en surface (rigid lid). Démontrez aussi que ce mode(barotrope) possède une vitesse horizontale qui ne s’annule nullepart sur la verticale (pour cette partie, supposez que ky = 0).



J JI⇐⇒

Ondes équatoriales [D]

Etablir la relation de dispersion pour les ondes internes d’un fluidestratifié uniformément près de l’équateur en supposant f? = 0 etf = βy. Démontrer que l’équation pour la composante sud-nord dela vitesse se réduit à

ω(ω2 − N2

) d2Vdy2

+[(

ωk2x(N2 − ω2) + βkx(N2 − ω2) + ωk2

z(β2y2 − ω2))]

V = 0.

(249)

La relation de dispersion s’obtient alors en imposant que la solutionde cette équation (des fonctions paraboliques cylindriques) estbornée à l’infini (et est alors liée aux polynômes d’Hermite).



J JI⇐⇒

Géostrophie



J JI⇐⇒

Equations pour les grandes échelles

Comme déjà montré aux grandes échelles, seule laviscosité/diffusion verticale importe (rapport d’aspect). Ici, cela serala diffusion turbulente ν, car le nombre de Reynolds moléculaire UL

ν

montre que les fluides géophysiques sont toujours turbulents. Avecv = u + wez, nous avons

∇·v = 0 (250)

∂u

∂t+ ∇· (vu) + fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)(251)

∂q

∂z= b, b = −ρ − ρ0

ρ0g (252)



J JI⇐⇒

Analyse ordre de grandeur

La vitesse verticale ne dépasse pas W ∼ DL

U ( rapport d’aspect ).

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸



J JI⇐⇒


La vitesse verticale ne dépasse pas W ∼ DL

U ( rapport d’aspect ).

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸

U

T

U2

LfU

Q

L

νU

D2

où U est une vitesse horizontale de référence, L l’échellehorizontale, D l’échelle verticale et T une période caractéristiqued’évolution



J JI⇐⇒


En comparant les termes par rapport à la force de Coriolis:

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · 1

fT

U

fL1

Q

fUL

ν

fD2



J JI⇐⇒

Nombres sans dimensions

• Nombre de Rossby Ro

Ro =U

fL(253)

• Nombre de Rossby temporel Rot

Rot =1

fT(254)

• Nombre d’Ekman Ek

Ek =ν

fD2(255)



J JI⇐⇒


En fonction des nombres sans dimensions:

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · 1

fT

U

fL1

Q

fUL

ν

fD2



J JI⇐⇒


En fonction des nombres sans dimensions:

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · Rot Ro 1Q

fULEk

On peut estimer ces nombres sans dimensions pour les échellesobservées



J JI⇐⇒

Equilibre géostrophique

Si Ro ¿ 1, Rot ¿ 1 et Ek ¿ 1, alors l’équation de la quantité demouvement se réduit à ( q = p/ρ0 + gz )

fe3Λu = −∇hq = − 1

ρ0∇hp (256)

∂q

∂z= b (257)

Ceci est l’équilibre géostrophique.



J JI⇐⇒

Carte météo

Prévision du 20/10/2002 pour le 23/10/2002 13:00 et copie journal"le Soir" du 23/10/2002



J JI⇐⇒

Equilibre géostrophique: commentaires

Cette équation d’équilibre géostrophique

• ne permet pas de satisfaire des conditions aux limites:apparition de couches limites.

• ne permet pas de satisfaire des conditions initiales

• suppose que l’on connaisse le champ de densité b (mesuresfaciles) ou de pression: diagnostique !

• ne permet pas de déterminer le champs de pressioncomplètement à partir de la densité

• indique que le scaling pour la pression dynamique estρQ ∼ ρfUL, nettement plus faible que la pressionhydrostatique ρgD



J JI⇐⇒

Circulations

.......................................................................................................................

L

L

Cyclones Anticyclones

H

H

¾

-

6?

-

?66

-

?¾

6

¾

?-

6

¾

S6-?¾NE EquateurW



J JI⇐⇒


Pour f constant et une vitesse géostrophique

fv =∂q

∂x(258)

fu = −∂q

∂y(259)

nous avons

∂u

∂x+

∂v

∂y=

1

f

(− ∂

∂x

(∂q

∂y

)+

∂

∂y

(∂q

∂x

))= 0 (260)

de sorte que ∂w∂z = 0. La vitesse verticale sur une verticale est donc

constante et nulle si le fond ou la surface libre est horizontal.



J JI⇐⇒

Le champ de pression

Si le champ de densité est connu,

∂q

∂z= b (261)

permet de calculer

q =

∫ z

zref

b dz + qref (262)

et on doit connaître la pression à une profondeur de référencedonnée. Cette constante d’intégration qref peut être différente enchaque point (x, y).



J JI⇐⇒

Vent thermique

Pour éviter le problème de la pression inconnue qref , on peutcalculer:

−fv = − ∂q

∂x(263)

fu = −∂q

∂y(264)



J JI⇐⇒

Vent thermique

Pour éviter le problème de la pression inconnue qref , on peutcalculer:

−f∂v

∂z= − ∂

∂x

(∂q

∂z︸︷︷︸

)(265)

f∂u

∂z= − ∂

∂y

(∂q

∂z︸︷︷︸

)(266)

︷︸︸︷∂q

∂z= b



J JI⇐⇒

Vent thermique

f∂v

∂z=

∂b

∂x= − g

ρ0

∂ρ

∂x(267)

f∂u

∂z= − ∂b

∂y=

g

ρ0

∂ρ

∂y(268)

• Un gradient horizontal de densité crée un cisaillement verticaldu courant.

• En absence de gradient horizontal de densité, les courantsgéostrophiques sont uniformes selon z.

• Cette relation ne nous donne pas la vitesse absolue maisseulement le cisaillement (constantes d’intégrations sur (u, v))



J JI⇐⇒

Vent thermique près d’un front atmosphérique

Les airs froids et plus denses ont tendance à glisser en dessousdes airs chauds. Par la force de Coriolis, ils sont déviés, un ventthermique apparaît et toute l’énergie potentielle n’est pas libérée.



J JI⇐⇒

Vent thermique , relation de Margules

S’il s’agit de deux masses de densité uniforme ρ1 et ρ2, on obtient larelation de Margules

∂v

∂z= − g

ρ0f

∂ρ

∂x(269)

si l’on suppose le front uniforme selon y.

6-ex

ezρ2

ρ1v1

v2

∆x∆z



J JI⇐⇒

Vent thermique , relation de Margules

S’il s’agit de deux masses de densité uniforme ρ1 et ρ2, on obtient larelation de Margules

v1 − v2 = − g

ρ0f(ρ2 − ρ1)

∆z

∆x(270)

si l’on suppose le front uniforme selon y.

6-ex

ezρ2

ρ1v1

v2

∆x∆z



J JI⇐⇒

Ajustement, sans rotation

12 Ajustement: sans rotation, eau légère au dessus d’eau dense.Vue latérale (gauche) et d’en haut (droite).



J JI⇐⇒

Ajustement, avec rotation

12 Ajustement: avec rotation, eau légère au dessus d’eau dense.Vue latérale (gauche) et d’en haut (droite).



J JI⇐⇒

Détermination du champ de pression en zref

Par mesure de la pression pmes à une profondeur donnée ?

q =

∫ z

zref

b dz +pmes

ρ0+ gzref (271)

En atmosphère OK, en mer KO:Les mesures en mer utilisent la mesure de la pression pourdéterminer la profondeur et on ne connait pas à la fois pmes et zref .



J JI⇐⇒

Détermination du champ de pression en zref

En utilisant comme niveau de référence la surface de la merpuisqu’on y connait la pression (atmosphérique) ?

q =

∫ z

η

b dz +patm

ρ0+ gη (272)

Non, car sur un bateau on ne connait pas la position de la surfacede la mer avec la précision requise (quelques centimètres).N.B.: Pour un océan homogène,

q =patm

ρ0+ gη (273)

et à une haute pression dans l’océan correspond un niveau d’eauplus élevé



J JI⇐⇒

Détermination du champ de pression inconnu• Altimétrie pour déterminer le niveau de la surface libre η et

l’utilisation de

q =

∫ z

η

b dz +patm

ρ0+ gη (274)

• Mesures du champ de vitesse à un niveau donné etintégration de l’équation du vent thermique . Le champ devitesses mesuré devrait être indivergenciel

• Hypothèse d’une pression uniforme pref à un niveau donné:level of no motion !

q =

∫ z

zref

b dz +pref

ρ0+ gzref (275)



J JI⇐⇒

Hauteur dynamique ηd

Si l’on utilise l’hypothèse du level of no motion:

q =

∫ z

zref

b dz +pref

ρ0+ gzref (276)

de sorte que l’on définit la hauteur dynamique par rapport au niveaude référence zref par

g ηd =

∫ 0

zref

b dz (277)

C’est donc (à une constante indépendante de x, y près et sans tenircompte de la pression atmosphérique) la position de la surface librequi assure qu’à la profondeur zref , la pression est constante dans leplan. On a évidemment négligé

∫ η

0b dz devant le reste de l’intégrale.



J JI⇐⇒

Détermination de la position de la surface libre

Altimétrie par satellites (précision de quelques centimètres,problème du géoïde)



J JI⇐⇒

Circulation générale

Comparer l’indication de la surface libre avec la circulation généraleen constatant que près de la surface

q =

∫ z

η

b dz +patm

ρ0+ gη (278)



J JI⇐⇒

Circulation générale

Comparer l’indication de la surface libre avec la circulation généraleen constatant que près de la surface

q =patm

ρ0+ gη (279)

fv =∂q

∂x(280)

fu = −∂q

∂y(281)

Dans l’hémisphère nord, circulation dans la sens antihorlogiqueautour d’une basse pression (niveau d’eau plus bas) et horlogiqueautour d’une haute pression (niveau d’eau plus élévé).



J JI⇐⇒

Topographie de la surface de l’océan

10



J JI⇐⇒

Circulation de surface



J JI⇐⇒

Topex et circulation



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Nombres de Rossby (Ro = UfL

et Rot = 1fT

),

• Nombre d’Ekman (Ek = νfD2 )

• Equilibre entre la force de Coriolis et le gradient de pression

• Vent thermique

• Indétermination d’une pression sur un niveau de référence(hypothèse du level of no motion et hauteur dynamiqueassociée)

• Indivergence du courant géostrophique

• Maintien de fronts (et de l’énergie potentielle associée) par laforce de Coriolis



J JI⇐⇒

Utilité

• Diagnostique simple des courants marins

• Equilibre de base aux grandes échelles

• Calcul de flux (changements globaux)

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Flux d’eau à travers une sectionhydrographique [N]

En supposant qu’une mesure hydrographique sur une section droitefournit un profil de densité que l’on peut approximer par

ρ = ρ0

(1 − N2

x

gx − N2

gz

)

et que par mesure satellitaire altimétrique, on sache que la positionde la surface d’eau peut être approximée par η = d

Lx

-6

ez

ex6η

?

6

h

-¾L

..................................................

...........................................................................

...............................................................................................

...................................................................................................

..................................................................................

.........................................................

.......................

..............................



J JI⇐⇒

Flux d’eau (suite)

Calculez le débit d’eau à travers la section. Chiffrer pour unelatitude de 40 nord, N2

x = 10−7 s−2, N2 = 10−5 s−2, d = 0.1 m,L = 100 km, h = 200 m.Suggestion:Constater que selon la direction y, aucune informationn’est necessaire si l’on calcule l’equilibre geostrophique de gradient depression selon x.



J JI⇐⇒

Deux mesures ponctuelles [F]

Supposons que deux profils verticaux de densité ont été mesurés

en deux endroits différents: ρ1 = ρ0(1 − ε1zh ) et ρ2 = ρ0(1 + ε2

(zh

)2)

(z = 0 en surface et négatif vers le bas). En supposant qu’à uneprofondeur de z = −h, il existe un level of no motion, quelledifférence du niveau d’eau observera-t-on entre les deux points?



J JI⇐⇒

Gyre océanique [N]

Un gyre observé de rayon R et de profondeur h possède unestructure de densité que l’on peut approximer par

ρ = ρ0

(1 + ε tanh(r2 − z)

)

z = z/h, R2r2 = x2 + y2. Quelle sera la forme de la surface libre, sil’on suppose qu’à une profondeur de 10h, il n’y a plus demouvement? Quelle est la circulation en surface? Chiffrer pourd = 100 m, R = 50 km, ε = 0.01



J JI⇐⇒

Vent thermique [N]

Un observateur sur la mer Caspienne constate que la températurede l’air à la surface de la mer diminue de 1, tous les 20 km, vers lenord. Si l’on suppose que ce gradient ne change pas avec l’altitudeet qu’il n’y a pas de vent à la surface de la mer, quel est le vent àune altitude de 2 km ? On pourra en première approximationnégliger l’effet du gradient de pression horizontal dans le calcul dugradient horizontal de densité. Comment pourrait-on néanmoinstenir compte de ce gradient de pression?



J JI⇐⇒

Géostrophie dans l’atmosphère [N]

En utilisant l’équilibre géostrophique et hydrostatique sans utiliserl’approximation de Boussinesq

ρfezΛug = −∇hp

∂p

∂z= −ρg

démontrer que le courant géostrophique s’écrit

ug =g

fezΛ∇hZ

où ∇hZ est le gradient horizontal de la position verticale Z d’uneisobare, autrement dit la pente des isobares.Suggestion:Utiliser un changement de coordonnees qui utilise lapression comme coordonnee verticale x = x, y = y, z = p(x, y, z)



J JI⇐⇒

Couches limites



J JI⇐⇒

Dérive des banquises

Observation de Nansen sur le FRAM (1893) en Arctique: labanquise ne dérive pas dans la direction du vent mais entre 20 et40 vers la droite. Explication d’Ekman: effet de la force de Coriolis(1905).



J JI⇐⇒

Dérive, hémisphère nord

6τ

-

6

x

y

t=0h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

6u

t=1h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

6u

-F c

t=1h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

6u

-F c

ºτ + F c

t=1h



J JI⇐⇒

Dérive, mise en route

6τ

-

6

x

y

6u

t=1h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

u±

t=2h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y F c

u±

q

t=2h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

u±

t=2h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

u7

t=3h



J JI⇐⇒


6τ

-

6

x

y

u7

sF c

t=3h



J JI⇐⇒

Situation finale: hémisphère nord

Dans l’hémisphère nord, le déplacement est perpendiculaire à latension du vent et vers la droite par rapport à la direction du vent(voir aussi équilibre géostrophique ).

6τ

-

6

x

y

u

F c?

-



J JI⇐⇒

Effet d’une friction au fond

Une friction τ f = −αu au fond de la banquise diminue l’angle entrele vent et le transport d’Ekman:

6τ

-6

x

y

µ

RF c

ªτ f

u

Si en lieu et en place de la glace nous avons des couchesindividuelles d’eau: apparition d’une spirale



J JI⇐⇒

Traitement mathématique des couches limites

L’ équilibre géostrophique était valable loin des frontières. Près desfrontières, soit L, soit D, devient très petit, car la solution auxéquations complètes doit satisfaire des conditions aux limites.

.....................

.....................

6-ez

ex

?6

6?δE

δE



J JI⇐⇒

Traitement mathématique des couches limites

• La dérivée dans la direction normale à la frontière estbeaucoup plus importante que les dérivées le long de lafrontière

• La solution en sortant de la couche limite doit correspondre àla solution au large qui ne tient pas compte de la couche limite(matching)

• Comme les couches limites sont minces δE , une distance dequelques δE est semblable à ∞ pour la solution dans lacouche limite.



J JI⇐⇒

Couche limite de surface

La vitesse géostrophique ne satisfait pas la condition aux limitesimposée par la tension du vent τ . Analyse des ordres de grandeurdes termes en fonction des nombres sans dimensions:

∂u

∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸︷︷︸+ fe3Λu︸︷︷︸ = −∇hq︸︷︷︸+

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

︸︷︷︸

fU · Rot Ro 1Q

fULEk

Dans la couche limite, le nombre d’Ekman (Ek) ne sera plusnégligeable, car la hauteur δE de la couche limite est faible et lenombre d’Ekman associé Ek ∼ ν

fδ2E

n’est plus petit. En fait, νfδ2

E∼ 1

pour pouvoir satisfaire les conditions aux limites de surface (d’oùδE ∼

√νf−1).



J JI⇐⇒

Tension du vent• La tension τ du vent (N par m2 de surface de l’océan) est

proportionnelle au carré de la vitesse V du vent et à la massevolumique de l’air ρair (en kg/m3)

• Direction de la force= Direction du vent

• Le coefficient de drag cd est un coefficient de friction,l’équivalent du coefficient cx des voitures, qui dépend de l’étatde la mer (vagues) et de la stabilité de la colonne d’air(cd ∼ 10−3).

τ = cdρair ‖V ‖ V (282)



J JI⇐⇒


Ici, w ∼ 0 en surface (car on suppose que la couche de mélange desurface est homogène horizontalement et stationnaire) et par lacontinuité , w = 0 partout. En toute hypothèse, si l’on supposew ¿ δEf , alors le terme advectif est négligeable. On suppose queRot ¿ 1 et Ro ¿ 1

∂u

∂t+ ∇· (vu) + fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)



J JI⇐⇒



∂u

∂t+ u∇h· u + w

∂u

∂z+ fe3Λu = −∇hq +

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)



J JI⇐⇒



fe3Λu = −∇hq +∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)

6-

ez

ex

?6δE

...........................................

---

-

----

---

ug



J JI⇐⇒

Equilibre hydrostatique dans la couche limite

∂q

∂z= b

soit∂

∂z

(∂q

∂x

)=

∂b

∂x∼ 0 (283)

∂

∂z

(∂q

∂y

)=

∂b

∂y∼ 0 (284)

de sorte que, dans la couche limite, le gradient de pression peutêtre considéré constant selon z.Il en va alors de même avec la vitesse géostrophique (ug, vg)

associée

ug = − 1

f

∂q

∂y, vg =

1

f

∂q

∂x(285)



J JI⇐⇒

Réécriture des équations

−f(v − vg) =∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)(286)

f(u − ug) =∂

∂z

(ν

∂v

∂z

)(287)

soit en analysant l’écart par rapport à la vitesse géostrophiqueu′ = u − ug, v′ = v − vg:

−fv′ =∂

∂z

(ν

∂u′

∂z

)(288)

fu′ =∂

∂z

(ν

∂v′

∂z

)(289)



J JI⇐⇒

Condition en surface

Tension dans le fluide = tension de surface appliquée par la vitessedu vent V : (Tv· n)

ρ0ν∂u

∂z= τ = cdρair ‖V ‖ V (290)

Comme la vitesse géostrophique peut-être considérée commeconstante dans la couche limite, nous avons

ρ0ν∂u′

∂z= τx (291)

ρ0ν∂v′

∂z= τy (292)

en surface.



J JI⇐⇒

Solution hémisphère nord

Pour ν constant, nous obtenons une solution du type eλz avec

λ4 = − f2

ν2 . En gardant la solution bornée pour z → −∞, nous avons

u = ug +

√2

ρ0fδEe

zδE

[τx cos

(z

δE− π

4

)− τy sin

(z

δE− π

4

)](293)

v = vg +

√2

ρ0fδEe

zδE

[τx sin

(z

δE− π

4

)+ τy cos

(z

δE− π

4

)](294)

où

δE =

√2ν

f(295)

est la profondeur de la couche limite (profondeur d’Ekman).



J JI⇐⇒

Propriétés de la solution

‖u′ ‖=√

2 ‖τ ‖ρ0fδE

ez

δE

Décroissance exponentielle en zδE

vers les profondeurs

v′

u′ =τy − τx

τy + τx, pour z → 0

Vitesse de surface à 45 de la tension du vent et rotation du vecteurvitesse vers les couches plus profondes.



J JI⇐⇒

Spirale d’Ekman de surface, hémisphère nord

τ

u′

Spirale d’Ekman en surface. En rouge, le courant en surface, puissuccessivement des courants à des profondeurs plus élevées.



J JI⇐⇒

Transport d’eau associée à la spirale d’Ekman

Intégration de la solution (pour ν constant) fournit également

V =

∫ 0

−∞v′dz = − τx

fρ0(296)

U =

∫ 0

−∞u′dz =

τy

fρ0(297)

puisque∫ 0

−∞eξ cos(ξ + α)dξ = 1

2(sinα + cos α)



J JI⇐⇒

Transport d’eau associée à la spirale d’EkmanIntégration de l’équation (valable pour tout ν) pour obtenir letransport (U,V) (en m2/s):

−fV = −f

∫ 0

−∞v′dz =

∫ 0

−∞

∂

∂z

(ν

∂u′

∂z

)dz =

τx

ρ0

fU = f

∫ 0

−∞u′dz =

∫ 0

−∞

∂

∂z

(ν

∂v′

∂z

)dz =

τy

ρ0

U =τy

ρ0f, V = − τx

ρ0f(298)

Le transport d’eau associée à la couche limite estperpendiculaire à la tension du vent τ



J JI⇐⇒

Transport d’Ekman stationnaire: remarque

• On peut aussi étudier directement le déplacement moyen de lacouche de surface, si l’on néglige la friction à la base de lacolonne d’eau déplacée. On doit alors considérer une couchesuffisamment grande (quelques dizaines de mètres, À δE), endessous de laquelle l’effet direct du vent et du mélangeassocié est négligeable. Dans ce cas, on analyse une couchedans son ensemble, sans regarder les détails intérieurs et onconsidère le déplacement moyen de cette masse d’eau à unevitesse u, vitesse responsable du transport d’eau.

• Par l’équilibre des forces sur la colonne d’eau, on retrouvealors le transport d’Ekman

*τ

*-6zxy



J JI⇐⇒

Transport d’eau moyen

Dans l’hémisphère nord, le transport d’eau (transport d’Ekman) estperpendiculaire à la tension du vent et vers la droite par rapport à ladirection du vent.

6τ

-

6

x

y

U

F c?

-



J JI⇐⇒

Hémisphère sud

Dans l’hémisphère sud, le transport d’eau (transport d’Ekman) estperpendiculaire à la tension du vent et vers la gauche par rapport àla direction du vent.

6τ

-

6

x

y

U

F c?

¾



J JI⇐⇒

Couche de surface résumé



J JI⇐⇒

Spirale d’Ekman: expérience

τ ←

6

Vue latérale Vue d’en haut



J JI⇐⇒

Ekman pumping de surface

Si le transport d’Ekman n’est pas uniforme, nous pourrions être enprésence d’un mouvement vertical. En prenant la conservation de lamasse dans la couche limite (avec la vitesse géostrophique qui estindivergencielle)

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0



J JI⇐⇒



∂u′

∂x+

∂ug

∂x+

∂vg

∂y+

∂v′

∂y+

∂w

∂z= 0



J JI⇐⇒



∂u′

∂x+

∂v′

∂y+

∂w

∂z= 0 (299)

et en intégrant de la surface jusqu’en dehors de la couche limite(c.a.d z → −∞), nous avons:

∂U

∂x+

∂V

∂y+ 0 − wE = 0 (300)

soit

wE =1

ρ0f

(∂τy

∂x− ∂τx

∂y

)=

1

fρ0ez· (∇Λτ ) (301)



J JI⇐⇒


.

..

.

. .

.

.

τ s

ez

ez

L

L

Les vents cycloniques génèrent une remontée d’eau au centre ducyclone.



J JI⇐⇒

Ekman pumping par bilan

Si le vent souffle seulement selon y: le bilan d’eau donne

U(x) − U(x + ∆x) + w∆x = 0 (302)

Soit à l’aide du transport d’Ekman

1

ρ0f(τy(x) − τy(x + ∆x)) + w∆x = 0 (303)

Pour ∆x → 0, on retrouve la relation précédente

6-ex

ezτy(x) τy(x + ∆x)

- -

6w

U(x) U(x + ∆x)



J JI⇐⇒

Couche limite du fond

Ici, w = 0 au fond et par la continuité aux grandes échelles, w = 0partout. De toute façon, si l’on suppose w ¿ δEf , alors le termeadvectif est négligeable. On applique la même approche queprécédemment avec les conditions aux limites

(u, v) = (0, 0) z → 0 soit (u′, v′) = −(ug, vg), z → 0

(u, v) = (ug, vg) z À δE soit (u′, v′) = (0, 0) z À δE

-6

ex

ez

?6

6δE............................................... -----------

ug



J JI⇐⇒

Couche limite au fond, hémisphère nord

La solution est alors (u = 0 au fond et en sortant de la couche limite("z → +∞") raccord avec la vitesse géostrophique):

u − ug = e−zδE

[−ug cos

z

δE− vg sin

z

δE

](304)

v − vg = e−zδE

[ug sin

z

δE− vg cos

z

δE

](305)

Près du fond, z → 0, (u, v) → zδE

(ug − vg, ug + vg) (à 45 du courantgéostrophique (ug, vg)).



J JI⇐⇒

Spirale d’Ekman au fond

ey

exu

Spirale d’Ekman au fond pour une vitesse géostrophique ug = Uex.En rouge, courant sur le fond, puis successivement des courants àdes distances plus élevées du fond.



J JI⇐⇒

Transport d’Ekman

Ici, le transport associé à la couche d’Ekman est (pour ν constant):

U =

∫ ∞

0

(u − ug)dz = −δE

2(ug + vg) (306)

V =

∫ ∞

0

(v − vg)dz =δE

2(ug − vg) (307)

Ce qui signifie qu’il y a un transport dans la directionperpendiculaire (−vg, ug) ‖ug ‖−1 par rapport à la direction ducourant géostrophique (ug, vg)

U⊥ =δE ‖ug ‖

2(308)

vers la gauche du courant géostrophique dans l’hémisphère nord.



J JI⇐⇒

Ekman pumping au fond

Le transport latéral associé à la couche d’Ekman peut induire uneremontée d’eau:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (309)

Intégrée du fond jusqu’en dehors de la couche limite (c.a.d z → ∞)(la vitesse géostrophique est indivergencielle):

∂U

∂x+

∂V

∂y+ wE = 0 (310)

soit

wE =δE

2

(∂vg

∂x− ∂ug

∂y

)=

δE

2ρ0f∇2pg =

δE

2ez· (∇Λug) (311)



J JI⇐⇒

Ekman pumping au fond

.

..

.

.

.

.

.

ez

ez ugL

L

Une circulation océanique cyclonique au fond induit une remontéehors de la couche d’Ekman.



J JI⇐⇒

Spirale d’Ekman du fond

9

Couche d’Ekman pour un écoulement cyclonique (gauche) etanticyclonique (droite). La circulation est créée en accélérant oudécélérant légèrement la plaque tournante à partir d’une rotationsolide. Trois tâches d’un colorant violet sont déposées sur le fond.



J JI⇐⇒

Vérification a posteriori

Est-ce que nous obtenons des vitesses verticales suffisammentpetites pour pouvoir justifier notre élimination de w ∂u

∂z ?

• au fond , W ∼ δEUL

et en comparant le terme d’advectionverticale par rapport à la force de Coriolis:

δEUL

UδE

fU∼ U

fL= Ro ¿ 1 (312)

• en surface , W ∼ τfρ0L

et comparant le terme d’advectionverticale par rapport à la diffusion

τρ0fL

UδE

τρ0δE

∼ U

fL= Ro ¿ 1 (313)



J JI⇐⇒

Remarques

La paramétrisation de la turbulence par une diffusion turbulente νconstante n’est pas très réaliste. En réalité,

• en surface ν ∼ u?δE

• au fond ν ∼ u?z

où u? est la vitesse de friction définie par ρ20 u2

? =‖τ ‖, et z, ladistance du fond. Cela indique notamment que la couche limite desurface aura plutôt une épaisseur donnée par

ν

fδ2E

∼ u?

fδE∼ 1, (314)

soit δE ∼ 0.4u?

f , où le facteur multiplicatif est obtenu par lesmesures.



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Notion de couche limite

• Spirale d’Ekman dans les couches limites

• Transport d’Ekman de surface perpendiculaire au vent (àdroite par rapport au vent dans l’hémisphère nord)

• Transport d’Ekman du fond avec composante perpendiculaireau courant géostrophique (à gauche par rapport au courantdans l’hémisphère nord)

• Mécanisme de l’Ekman pumping (transport horizontal variablecompensé par remontée/descente d’eau)

• Limitation de l’approfondissement de l’effet du vent (et de lafriction du fond) par la rotation de la terre



J JI⇐⇒

Utilité

• Dérive d’objets perdus en mer (futs, bouées)

• Dynamique biologique de la couche de mélange

• ....



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Vent atmosphérique [N]

Supposons qu’un champ de vents dans un cyclône de rayon R dansl’atmosphère peut être approximé par

τ = cdρairU2 re−(r−1)2 eθ (315)

en coordonnées cylindriques situées au centre du gyre avec r = rR .

Quelle est l’intensité de la remontée d’eau au centre de ce cycloneatmosphérique à une latitude de 30N , si l’on suppose que lecoefficient de drag est cd = 10−3, que la vitesse U = 10 m/s, que laviscosité turbulente vaut ν = 10−2 m2/s et que le rayon R = 100 kmSuggestion:Utiliser les formules des coordonnees cylindriques



J JI⇐⇒

Marc de café [N]

Expliquer pourquoi au fond d’une tasse de café, en ayant tournéavec une cuillère, les graines du café moulu se concentrent aucentre, indépendamment du sens de la rotation.Suggestion:Supposer que la rotation du fluide est une rotation solide.Travailler dans un systeme d’axes en rotation a cette vitesse. Pour unpoint donne, refaire les calculs d’une couche limite au fond, mais avecune condition aux limites qui assure que, sur le fond de la tasse, lavitesse absolue s’annule.



J JI⇐⇒

Dépot de déchets en profondeur [N]

Supposons que vous voulez déposer des déchets à une profondeurde 3000 m à une latitude de 30N dans une région connue pour êtredominée par une circulation océanique cyclonique de rotationuniforme à la vitesse angulaire de 10−5 s−1. Combien de tempsfaudrait-il pour que les déchets remontent en surface, en supposantqu’ils aient la même densité que l’eau? La viscosité turbulente vautν = 10−2 m2/s



J JI⇐⇒

Vents dans le Pacifique [N]

Les vents dominants entre 15N et 45N dans le Pacifique sont lesalizes et les westerlies qui exercent une friction à la surface duPacifique que l’on peut modéliser par

τ = τ0 sin(πy

2L

)ex, −L ≤ y ≤ L (316)

En prenant la fréquence de Coriolis correspondant à 30N, calculerla vitesse verticale de l’Ekman pumping pour τ0 = 0.15 N/m2 etL = 1670 km. Calculer le débit d’eau qui remonte dans le pacifique(largeur 8700 km) en Sverdrup (1Sv=106 m3/s).



J JI⇐⇒

Alizés à l’équateur [F]

Les vents dominants à l’équateur sont les alizés soufflant de l’estvers l’ouest: sans faire de calcul, expliquer si cette situation estfavorable à une remontée ou à une descente d’eau à l’équateur?Note: la force de Coriolis devient importante, dès que l’on s’écarted’une centaine de kilomètres de l’équateur.

.......................................................................................................................

¾ ¾ ¾

¾ ¾ ¾

6-?¾N

SE EquateurW

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

10N

10S



J JI⇐⇒

Ekman pumping, circulation et upwellings



J JI⇐⇒

Gyre anticyclonique hémisphère nord

La géostrophie permettait de calculer la vitesse en fonction de lastructure de densité mais n’expliquait pas l’origine de celle-ci.

6-

ee

ex

Figure 4 : Structure avec densite variable et exageration de la structure verticale

pres de la surface. Si la pression est uniforme dans le fond la presence

d’eau plus legere au centre doit etre compensee par un niveau d’eau plus

eleveMécanique des fluides géophysiques – p. 305


J JI⇐⇒

Génération du gyre par pompage d’Ekman

6-

ee

ex

τ

- ¾¾U?

?

?

wEδE

ug

Figure 5 : Vent de surface generant un transport d’Ekman en surface, une

surelevation au centre et une vitesse verticale en dessous de la couche

d’Ekman. Comme a l’interieur geostrophique ∂w∂z

= 0 cette vitesse ver-

ticale deforme les interfaces tres loin et genere la circulation anticy-

clonique profonde



J JI⇐⇒

Grands gyres

L’effet du vent n’agit directement que dans une couche mince où letransport associé est perpendiculaire au vent ( transport d’Ekman ).C’est le champ de pression modifié qui crée la circulationgéostrophique profonde et qui peut persister après l’arrèt du vent(équilibre géostrophique)

31



J JI⇐⇒

Comparaison des vents dominants avec lacirculation générale



J JI⇐⇒

Observations satellitaires

Golfe du Mexique

Chlorophylle SST



J JI⇐⇒

Seawifs et température atlantique, composite



http://seawifs.gsfc.nasa.gov/

J JI⇐⇒

Essai d’explication

• Températures basses locales (pas dues au flux de chaleurlocal)

• Productivité de phytoplancton accrue

Signaux cohérents avec la présence d’une remontée d’eauxprofondes:

• les eaux profondes sont généralement plus froides (voirmasses d’eau et stratifications )

• elles sont chargées en sels nutritifs ("engrais") (alimentationde la photosynthèse )

Vérification de cette hypothèse? Mesures in situ !



J JI⇐⇒

Vérification par mesures in situ 1

Vérification par une campagne en mer, section verticale (Namibie):

Température Salinité

Phosphates Nitrates (db ∼ m)



J JI⇐⇒

Pourquoi une remontée d’eau?

• Des températures basses, une activité biologique et desconcentrations élevées en nutriments indiquent desremontées d’eaux profondes

Mais:

• Les eaux profondes sont plus lourdes que les eaux de surface

Pourquoi les eaux profondes remontent-elles à la surface?



J JI⇐⇒

Mécanismes

Pour mettre en mouvement une masse d’eau, des forcessont nécessaires.

Forces en jeu pour ce processus:

• Effet de la tension du vent



J JI⇐⇒

Mécanismes

Pour mettre en mouvement une masse d’eau, des forcessont nécessaires.

Forces en jeu pour ce processus:

• Effet de la tension du vent

• Force de Coriolis



J JI⇐⇒

Remontée le long d’une côte: vue 3D

Tension du vent τ le long d’une côte:

1 τ

-61

xy

z



J JI⇐⇒

Remontée le long d’une côte, hémisphère nord

1 τ

-61

xy

z

• Action du vent (τ )



J JI⇐⇒


1 τ

-61

xy

z

-U-


• Déplacement (U) des masses d’eau vers le large



J JI⇐⇒


1 τ

-61

xy

z

-U-

-

-



• Compensation par un écoulement du fond, continuité del’écoulement et présence des côtes



J JI⇐⇒

Hémisphère sud, côte à gauche

1 τ

-61

xy

z




J JI⇐⇒


1 τ

-61

xy

z

U¾¾





J JI⇐⇒


1 τ

-61

xy

z

U

~~

¾¾

~R


• Déplacement (U) des masses d’eau vers la côte

• Compensation par un écoulement vers le fond, continuité del’écoulement et présence des côtes



J JI⇐⇒

Hémisphère nord, côte à droite

τ

-61

xy

z

)




J JI⇐⇒

Hémisphère nord, côte à droite

τ

-61

xy

z

U

~~

¾¾

~R

)


• Déplacement (U) des masses d’eau vers la côte

• Compensation par un écoulement vers le fond, continuité del’écoulement et présence des côtes



J JI⇐⇒

Hémisphère sud, côte à droite

τ

-61

xy

z

-U-

-

-)



• Compensation par un écoulement du fond, continuité del’écoulement et présence des côtes



J JI⇐⇒

Effets de la remontée

• Puisque les masses d’eau sont stratifiées, l’eau qui remonteen surface sera plus froide que les eaux habituellementtrouvées en surface (signal thermique)

• et l’apport (par la remontée) de sels nutritifs activera laphotosynthèse (signal Seawifs).

Schéma d’upwelling avec courant de surface



J JI⇐⇒

Estimation de la vitesse verticale

En supposant que les remontées sont uniformes sur une distance Lde la côte, la quantité d’eau qui sort par le transport d’Ekman (U)doit être égale à la quantité d’eau qui remonte (W L). D’oùl’estimation:

W =cD

Lf

ρair

ρeauV 2 (317)

..............................

..............................

......................................................

6666666

-------

:9

l

-¾ L

-*6x

yz

U

W

Détermination de L par observation ou calculs plus détaillés



J JI⇐⇒

Estimation de la vitesse verticale

W =cD

Lf

ρair

ρeauV 2 (318)

Pour V = 10 m/s ρair ∼ 1 kg/m3, ρeau ∼ 1000 kg/m3, f = 10−4 s−1,L = 10 − 100 km cD = 10−3, on obtient

W = 10−5 − 10−4 m/s (319)

(càd quelques mètres par jour) pour un vent de 10 m/s. Même si lavitesse verticale est faible, elle est essentielle pour les océans.



J JI⇐⇒

Implications

• Ecologiques, biologiques

? Productivité accrue, abondance de poissons



J JI⇐⇒

Implications



• Climat, temps local? Brouillard? Côte désertique? Moins de cyclones tropicaux (ouragans etc.)



J JI⇐⇒

Implications




• Economiques (Zone économique exclusive 200 miles)



J JI⇐⇒

Implications




• Economiques (Zone économique exclusive 200 miles)

• Liens avec le changement climatique? Stockage de CO2 par production primaire et export vers

les profondeurs mais émission de CO2 par apport deseaux profondes

? Modification de l’endroit et de l’intensité des upwellings ?



J JI⇐⇒

Grands upwellings

• Nous observons les remontées

• Nous avons une explication par un processus physique

Pour vérifier notre modèle de l’upwelling: comparer lesimages Seawifs (ou les mesures in situ) avec lesvents dominants .



J JI⇐⇒

Vents dominants (été boréal)



J JI⇐⇒

Vents dominants (hiver boréal)



J JI⇐⇒

Calvi: plus petite échelle



J JI⇐⇒

Pompage d’Ekman par cyclones (Isabel)

Figure 6 : Cyclone Isabel



J JI⇐⇒

Pompage d’Ekman par cyclones (Isabel)

21



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Effet de la rotation et de la friction : le transport d’Ekman dû auvent est perpendiculaire au vent

? vers la droite dans l’hémisphère nord? vers la gauche dans l’hémisphère sud

• Si le vent souffle et que ce transport d’Ekman pousse l’eauvers le large, une remontée d’eau le long de la côte estobservée.

• Génération de la circulation générale par le vent et lepompage d’Ekman

Attention

• Le vent doit souffler suffisamment longtemps dans la memedirection pour que la force de Coriolis aie le temps de devier lesmasses d’eau.

• Les directions sont toujours definies par rapport a la directiondans laquelle souffle le vent.



J JI⇐⇒

Utilité

• Cycle biogéochimique

• Pêches

• Tourisme

• Changement climatique

• ...



J JI⇐⇒

Informations additionelles upwelling



J JI⇐⇒

Masses d’eau

Figure 7 : Masses d’eau des oceans

24



J JI⇐⇒

Stratification

Distribution de température, section verticale sud-nord dans l’Atlantique



J JI⇐⇒

Photosynthèse

Croissance des algues/phytoplancton par photosynthèse nécessite

• de l’eau

• de la lumière

• des sels nutritifs

• du CO2

Dans la mer:

• la photosynthèse doit avoir lieu proche de la surface (lumière!).

• cela épuise les sels nutritifs et ralentit la croissance

• l’apport de sels nutritifs du fond va réalimenter la croissance.

Pourquoi la concentration en sels nutritifs est élevée dans le fond?

• Chute des détritus organiques

• et reminéralisation ("compostage").



J JI⇐⇒

Seawifs Pacifique

2

Productivité importante au large du Pérou.



J JI⇐⇒

Côte somalienne: été boréal

2



J JI⇐⇒

Côte somalienne: hiver boréal

2



J JI⇐⇒

Côte californienne

Observation: corrélation forte entre la concentration de plancton (àgauche) et la température de surface (à droite) (continent en noir).



J JI⇐⇒

Seawifs instantané: chlorophylle

2 Afrique du sud-est



J JI⇐⇒

Grands upwellings

• Benguela (sud équatorial)

• Californie

• Pérou

• Etat de Washington/Oregon

• Afrique du nord-ouest

• Kuroshio

• Mer de Chine (effets de Mousson d’été)

• Somalie

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Estimation de l’apport de nitrates par upwelling[N]

A l’aide des images du cours et une intensité du vent dominant aularge de l’Afrique du Sud de V = 10m/s, estimer la quantité denitrates qui remontent en surface par l’upwelling Suggestion:Estimerla taille de l’upwelling a partir de l’image SeaWifs et la concentrationen nitrates du fond a partir de la section hydrographique.



J JI⇐⇒

Vent thermique lors d’un upwelling [N]

Remontée d’une interface de densité. Expliquer pourquoi onobserve un cisaillement vertical de la vitesse tangentielle à la côteet dans quelle direction le cisaillement a lieu.

6ez



J JI⇐⇒

Friction à la base de la couche de surface [F]

Si l’on tenait compte d’une friction à la base de la couche demélange, est-ce que cela augmenterait ou diminuerait l’upwelling?



J JI⇐⇒

Upwelling le long d’une banquise arctique [N]En supposant que

• le transport d’Ekman en surface est à 90 par rapport à ladirection du vent sur les surfaces sans glace,

• le transport d’Ekman en surface est à 90 par rapport audéplacement de la glace en dessous de la glace,

• la glace dérive à 20 par rapport au vent,

• la tension sur l’eau en dessous de la glace est deux fois plusimportante qu’en dessous de l’air,

déterminer quelles directions du vent par rapport au bord de labanquise sont favorables à une remontée d’eau?

6*-

¼

τ

) ¾



J JI⇐⇒

Echelles



J JI⇐⇒

Fluide homogène purement géostrophique

Condition aux limites d’imperméabilité au fonD:

w = u· ∇h, z = −h

L’équation de continuité pour un écoulement purementgéostrophique impose:

∂w

∂z= 0

et pour un écoulement géostrophique, la vitesse verticale est nulle(si elle est nulle en surface: rigid-lid ), de sorte que l’écoulement aufond suivra les lignes de h constant: u· ∇h = 0. Comme enl’absence de stratification et donc de vent thermique ∂u

∂z = 0, il s’ensuite que l’écoulement en surface suit également les lignes de hconstant.



J JI⇐⇒

Taylor Column

Pour un écoulement au-dessus d’un obstacle situé sur le fond, toutse passe pour l’écoulement géostrophique comme si l’obstacle étaitune colonne virtuelle qui s’étend du fond à la surface. L’écoulementgéostrophique contourne l’obstacle sur toute la hauteur de lacolonne d’eau (Taylor columns).

6-

ez

ex

-6 ex

ey

:-

-

-

-Áµ

js

1



J JI⇐⇒

Expérience

9



J JI⇐⇒

Vitesse verticale quasi-géostrophique

L’ équilibre géostrophique a été obtenu en négligeant les termes enEk, Ro et Rot. En réalité, nous avons donc

fv =∂q

∂x+ fU O (Ro, Rot, Ek) (320)

fu = −∂q

∂y+ fU O (Ro, Rot, Ek) (321)



J JI⇐⇒

Vitesse verticale quasi-géostrophique

Comme sur le plan f , ∂∂x

(1f

∂q∂y

)− ∂

∂y

(1f

∂q∂x

)= 0, nous avons

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (322)

0 +U

LO (Ro, Rot, Ek) +

∂w

∂z= 0 (323)

de sorte que l’échelle correcte pour W n’est pas DL

U mais

W /D

U/L= Ro ¿ 1 (324)

si l’on suppose Rot ≤ Ro et Ek ≤ Ro. La tendance géostrophiqueévite donc les vitesses verticales.



J JI⇐⇒

Dominance géostrophique

Pour des faibles valeurs de Rossby

W /D

U/L= Ro ¿ 1

et l’écoulement contournera les obstacles de rapport d’échelle D/L

puisquew = u· ∇h

∂w

∂z= −∂u

∂x− ∂v

∂y∼ Ro

U

L

w ∼ u· ∇h ∼ RoU

LD ⇒ u· ∇h ∼ Ro ‖u‖‖∇h‖

et l’écoulement est quasi perpendiculaire aux gradients detopographie, c’est-à-dire quasi parallèle aux lignes de niveau.



J JI⇐⇒

Ecoulement forcé au dessus d’un obstacle

Si l’on force l’écoulement au-dessus d’une topographie tropimportante, le système ne peut pas rester géostrophique et lenombre de Rossby augmente: effets non-linéaires et déviations ducourant

6-

ez

ex-------

-----

-6ex

ey

--------

zzzzzzzz



J JI⇐⇒

Nombres sans dimensions connues

• Nombre de Rossby : Ro = UfL

: inertie/Coriolis

• Nombre de Rossby temporel : Rot = 1fT

:instationnarité/Coriolis

• Nombre d’ Ekman : Ek = νD2f : viscosité/Coriolis

• Nombre de Reynolds ULν : inertie/viscosité

Mesure de l’importance relative de la stratification N2?



J JI⇐⇒

Mesure de l’importance de la stratification

6e3

z0

-¾

6

?D

2L



J JI⇐⇒

Mesure de l’importance de la stratification

6e3

z0

-¾

6

?D

2L

:



J JI⇐⇒

Nombre de FroudeSi le nombre de Froude Fr ¿ 1 , alors l’inertie n’est pas suffisantepour vaincre l’obstacle (car le gradient de pression adverse seraittrop grand) et en réalité, la vitesse verticale n’est pas W ∼ D

LU mais

sera donnée par l’égalité entre la force d’inertie et le gradient depression associé à la perturbation dans le champ de densité:

δp

ρ0L∼ U2

L→ ρ0N

2δzD

ρ0L∼ U2

L(325)

soit δz = U2

N2D, de sorte que la vitesse verticale associée est

W ∼ δz UL

W /D

U/L= Fr2 (326)

et une forte stratification réduit la vitesse verticale.



J JI⇐⇒

Contournement des obstacles

4



J JI⇐⇒


4

Si l’écoulement est forcé à passer au-dessus de l’obstacle onobserve des effets non-linéaires importants.



J JI⇐⇒


9



J JI⇐⇒

En laboratoire, contrôle hydraulique

8



J JI⇐⇒

En laboratoire

8



J JI⇐⇒

Mesure stratification/rotation ?

• Froude: inertie/stratification

• Rossby: inertie/rotation

• stratification/rotation: RoFr

RoFr

=U

fL

ND

U=

ND

fL(327)

Bu =N 2D2

f2L2=

(RI

L

)2

(328)

nous retrouvons le rayon de déformation interne RI = NDf .

Mouvements intéressants quand à la fois la rotation et lastratification sont impliquées. Notamment, onde de Kelvin interneoù L ∼ RI !



J JI⇐⇒

Nombre de Burger par onde interne

Pour les ondes internes , la relation de dispersion est

ω2 =f2k2

z + N2(k2x + k2

y)

k2x + k2

y + k2z

(329)

• Si k2zf2 À N2(k2

x + k2y), les ondes sont surtout influencées par

la rotation

• Si k2zf2 ¿ N2(k2

x + k2y), les ondes sont surtout influencées par

la stratification

• Si k2zf2 ∼ N2(k2

x + k2y), les ondes sont mixtes.



J JI⇐⇒

Nombre de Burger par onde interne

En termes d’échelles k2x + k2

y ∼ L−2 et k2z ∼ D−2 le critère devient

avec

Bu =N 2D2

f2L2=

(RI

L

)2

• Si Bu ¿ 1, les ondes sont surtout influencées par la rotation

• Si Bu À 1, les ondes sont surtout influencées par lastratification

• Si Bu ∼ 1, les ondes sont mixtes.

Comme en général N2 À f2 et D2 ¿ L2, tous les régimes sontpossibles.



J JI⇐⇒

Energie potentielle disponible

Energie potentielle utile ? Sans mélange, le déplacement qui libèreun maximum d’énergie potentielle donne lieu à une stratificationhorizontalement uniforme: la différence entre l’énergie potentiellede la situation de départ et l’énergie potentielle de la situation de lastratification uniforme est appelée l’énergie potentielle disponible.

6ez

j



J JI⇐⇒

Calcul d’une énergie potentielle disponible APE

Comment calculer l’énergie potentielle disponible associée à unefaible perturbation du champ de densité (ρ + ρ′)? Si l’on supposeque la densité est stratifiée uniformément au repos b = b0(z), undéplacement des masses d’eau fournira, par définition, une énergiepotentielle disponible.

6-

ez

ex



J JI⇐⇒

Calcul d’une énergie potentielle disponible APE

Comment calculer l’énergie potentielle disponible associée à unefaible perturbation du champ de densité (ρ + ρ′)? Si l’on supposeque la densité est stratifiée uniformément au repos b = b0(z), undéplacement des masses d’eau fournira, par définition, une énergiepotentielle disponible.

6-

ez

ex

66η



J JI⇐⇒

Energie potentielle individuelle

Différence d’énergie potentielle considérée:

ρ(z − η/2)gη

2− ρ(z + η/2)g

η

2= −g

∂ρ

∂z

η2

2=

ρ0

2N2η2

et nous pouvons calculer l’énergie potentielle disponible APE

APE =ρ0

2

∫

Vη2N2dV,

où η est le déplacement de chaque isoligne de densité. Comme ledomaine est considéré fermé, la position moyenne de l’interface nebouge pas, puisque les masses d’eau sont conservées et nousavons dans ce cas: ∫

SηdS = 0 (330)



J JI⇐⇒

Calcul du déplacement η et APE

b′ = − ρ′

ρ0g = −ρ(z − η/2) − ρ(z + η/2)

ρ0g ∼ −N2η

APE =ρ0

2

∫

Vb′2

N2dV (331)

Pour un volume fixe et ferme:

dAPEdt

= −ρ0

∫

Vb′w′dV (332)

puisque pour des perturbations de poussée (b = b0 + b′) sansmélange

∂b′

∂t+ N2w′ = 0



J JI⇐⇒

Energie cinétique des perturbations

Comme au départ le système est au repos, seule l’énergie cinétiqueassociée aux mouvements générés par la perturbation du champ dedensité doit être prise en considération. Comme on s’intéresse auxmouvements dans lesquels la force de Coriolis domine, on peutdonc utiliser l’équation du vent thermique pour calculer

∥∥∥∥∂u′

∂z

∥∥∥∥2

=1

f2‖∇b′ ‖2 (333)

de sorte que l’énergie cinétique KE se comporte comme

KE =ρ0

2

∫

V‖u′ ‖2 dV ∼ ρ0

2

∫

VD2

∥∥∥∥∂u′

∂z

∥∥∥∥2

dV ∼ ρ0

2

∫

VD2 b′2

f2L2dV

(334)



J JI⇐⇒

Interprétation

Nous constatons que le rapport de l’énergie cinétique géostrophiquepar rapport à l’énergie potentielle disponible associée à uneperturbation du champ de densité se comporte comme

KEAPE

∼ D2N2

f2L2∼ Bu (335)

• Si Bu ¿ 1, une grande partie de l’énergie potentielle associéeaux fronts n’est pas transformée en énergie cinétique et lefront est maintenu avec une grande APE par la force deCoriolis

• Dans le cas contraire, Bu À 1, l’énergie potentielle est petitepar rapport à l’énergie cinétique. Peu d’énergie potentiellepeut encore être libérée et l’échelle L du front est grande parrapport au rayon de déformation RI = ND

f



J JI⇐⇒

Echelles

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couche

de

mélange

accoustiques



(m)

micro

turbulence



fronts

circulation

circulation

thermo-haline

houle

tempêtes

[8]



J JI⇐⇒

Au-delà des ondes internes

• Pour les échelles plus grandes que celles des ondes internes:système essentiellement géostrophique. Les dynamiques

seront différentes selon la valeur de Bu et l’importance del’effet β aux très grandes échelles elles devront être étudiéespar des modèles particuliers ("quasi-géostrophiques").

• Pour les échelles plus petites, les non-linéarités deviennentimportantes et nous devons introduire la notion de turbulenceet d’instabilité.



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Définition et signification du nombre de Froude: Fr = UND

• Définition et signification du nombre de Burger:

Bu =N 2D2

f2L2=

(RI

L

)2

• Notion d’énergie potentielle disponible APE

• Effet de bloquage par rotation et stratification



J JI⇐⇒

Utilité

• Diagnostique rapide du régime de la balance des forces



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Energie potentielle vs APE [N]

Soit un système au repos de densité uniforme. Si nous refroidissonsune région isolée dans une couche de surface, comment vont êtremodifiées l’énergie potentielle habituelle et la APE? Qu’en est-il sinous chauffons à la place de refroidir? Suggestion:On considere quela situation est 2D dans un plan vertical et que L = 2l

6ez

-¾ l

L -¾

6

?

?6d

h

L

ρ1

ρ2



J JI⇐⇒


Pour la situation suivante, dans laquelle un fluide plus dense dedensité ρ2 se trouve en dessous d’un fluide plus léger de densité ρ1,calculer l’énergie potentielle en fonction de la pente ε = d/L. Laposition de l’interface est donnée par η = d

Lx Pour quelle valeurl’énergie potentielle est-elle minimale? Que vaut l’énergie potentielledisponible en fonction de ε? On distinguera les cas d ≤ h et d > h.Suggestion:On considere que la situation est 2D dans un plan vertical

-

6ez

ex 6η

ρ1

ρ2

-¾

6

?

6

?h

h

L



J JI⇐⇒

Instabilités



J JI⇐⇒

Stabilité d’un écoulement

16



J JI⇐⇒

Perturbations des écoulements

4



J JI⇐⇒

Equilibres

Equilibres mécaniques classiques stables et instables [4]. Etude dela stabilité par méthode des perturbations autour de la situationd’équilibre.

6ez



J JI⇐⇒

Mécanique rationnelle

Si le système possède une intégrale première du type:

r2 + V (r) = E

et si la position d’équilibre est donnée par l’endroit r0 où ∂V∂r = 0, la

stabilité peut alors être étudiée autour de cet état d’équilibre r0:

r = r0 + ε

ε2 + V (r0 + ε) = E

que l’on peut développer en série

ε2 + V (r0) + ε∂V

∂r

∣∣∣∣∣r0

+ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= E



J JI⇐⇒

Stabilité

De sorte que si le système par perturbation possède une énergieE = V (r0) + δE, δE ≥ 0, la perturbation satisfait

ε2 + V (r0) + ε∂V

∂r

∣∣∣∣∣r0

+ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= E



J JI⇐⇒

Stabilité


ε2 +ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= δE



J JI⇐⇒

Stabilité


ε2 +ε2

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

= δE

et la situation est stable si ∂2V∂r2 > 0 au point d’équilibre, puisque

ε + m2ε = 0 m2 =1

2

∂2V

∂r2

∣∣∣∣∣r0

• Si m2 > 0: oscillation de fréquence m autour de l’étatd’équilibre

• Si m2 < 0 : le système s’écarte avec un taux de croissance del’instabilité m



J JI⇐⇒

Mécanique des fluides

Approche similaire, mais

• la situation de référence est un écoulement (qui pourraitmême être instationnaire)

• les perturbations sont des champs 3D

• on analysera le comportement de toutes les perturbationspossibles

• si au moins une seule perturbation croît avec le temps,l’écoulement est instable

• l’instabilité observée sera celle de la perturbation instable quicroît le plus rapidement



J JI⇐⇒

Stabilité d’un écoulement

16



J JI⇐⇒

Etude formelle

• Décomposer l’écoulement en l’écoulement de base 0, dont onétudie la stabilité et une perturbation ′:

v = v0 + v′

• Exprimer que cet écoulement satisfait les lois d’évolution

• Exploiter le fait que l’écoulement de base satisfait aussi leslois d’évolution

• Supposer que les perturbations sont faibles au départ et quel’on peut négliger les produits des perturbations par rapportaux perturbations elles-mêmes.



J JI⇐⇒

Situation étudiée: écoulement stratifié etcisaillé

On travaille à plus petite échelle (f = 0) et sans diffusion/viscosité:

∇·v = 0

∂v

∂t+ v· ∇v = bez − ∇q

∂b

∂t+ v· ∇b = 0

6-

ez

ex

--

¾¾

U(z)ex ρ0(z)



J JI⇐⇒

Ecoulement de base

On étudiera le cas d’un écoulement selon ex:

v = U(z)ex + v′ (336)

b = −ρo(z) − ρref

ρrefg + b′ = b0 + b′ (337)

q = q0(z) + q′,dq0

dz= b0 (338)

On vérifie sans peine que l’écoulement de base (v′ = 0, b′ = 0,q′ = 0) est une solution stationnaire du système. (ρref désigne ladensité de référence habituellement désignée par ρ0)



J JI⇐⇒

Perturbations

Pour ce qui est de l’écoulement perturbé, il satisfait également leséquations de conservation de la masse et de quantité demouvement et on obtient en tenant compte de l’écoulement de base

∇·v′ = 0 (339)

∂v′

∂t+ v′· ∇v′ + Uex· ∇v′ + v′· ∇Uex = b′ez − ∇q′ (340)

∂b′

∂t+ Uex· ∇b′ + v′· ∇b0 + v′· ∇b′ = 0 (341)



J JI⇐⇒

Linéarisation

Comme indiqué dans l’introduction, l’analyse de la stabilité parpetites perturbations suppose que l’on peut négliger les produits deperturbations devant les termes d’ordre un en les perturbations.Ceci rend les équations linéaires en les perturbations et nouspouvons à présent supposer une perturbation du type onde:

b′ = B(z)ei k(x−ct) (342)

q′ = P(z)ei k(x−ct) (343)

v′ = (U(z)ex + W(z)ez) ei k(x−ct) (344)



J JI⇐⇒

Equations pour les perturbations

Ce qui précède mène aux équations suivantes pour lesperturbations

i kU +dWdz

= 0 (345)

i k(U − c)U + W dU

dz= −i kP (346)

i k(U − c)W = B − dPdz

(347)

i k(U − c)B + W db0

dz= 0 (348)

En éliminant B entre les deux dernières et U entre les deuxpremières, on obtient



J JI⇐⇒


i kU +dWdz

= 0

i k(U − c)U + W dU

dz= −i kP

i k(U − c)W = B − dPdz

i k(U − c)B + W db0

dz= 0

Eliminant B entre les deux dernières et U entre les deux premières



J JI⇐⇒


i kU = −dWdz

−(U − c)dWdz

+ W dU

dz= −i kP (350)

i k(U − c)W +dPdz

= B

−k2(U − c)2W + i k(U − c)dPdz

+ W db0

dz= 0

et finalement, en éliminant P, on obtient



J JI⇐⇒

Taylor-Gouldsmith

(U − c)

(d2Wdz2

− k2W)

+

(N2

U − c− d2U

dz2

)W = 0 (351)

C’est l’équation de Taylor-Gouldsmith pour un fluide de Boussinesqavec un écoulement de base v = U(z)ex et de stratification

N2 =db0

dz

Entre deux parois rigides en z = 0 et z = h:

W(0) = 0, W(h) = 0 (352)

(Sans écoulement de base et à stratification uniforme et stable, le problème aux valeurs

propres aboutit à la problématique des ondes de gravité internes )



J JI⇐⇒

Etude des valeurs propres

• Problème linéaire avec conditions aux limites homogènes

• Valeurs propres déterminent les valeurs de c admises

• Si c est réel, seules des ondes sont propagées et on obtientleur vitesse de propagation (relation de dispersion)

• Si c est complexe, son complexe conjugé c? constitueégalement une solution pour la fonction W?.

• Si c est complexe, l’écoulement est instable. La partie réellede c donne alors la vitesse de propagation de la perturbationinstable et la partie imaginaire son taux de croissance



J JI⇐⇒

Exemple: Kelvin-Helmholtz deux couches

On considère un écoulement cisaillé, uniforme dans chaque couchehomogène. On désigne par ρ0 la densité de référence habituelle (àne pas confondre avec la densité de l’écoulement de base ρo(z)

qui vaut ρ2 pour z < 0 et ρ1 pour z > 0). On cherchera alors unesolution dans chaque couche et imposera des conditions deraccord.

-6ex

ez ρ1, U1

ρ2, U2

-------

------- 6

?6

?

6

h

h



J JI⇐⇒

Kelvin-Helmholtz deux couches

Comme (351) se simplifie dans chaque couche,

(U − c)

(d2Wdz2

− k2W)

+

(N2

U − c− d2U

dz2

)W = 0



J JI⇐⇒

Kelvin-Helmholtz deux couches

Comme (351) se simplifie dans chaque couche,

d2Wdz2

− k2W = 0

la solution la condition d’imperméabilité est

• Couche 1W1 = A1 sinh (k(z − h)) (353)

• Couche 2W2 = A2 sinh (k(z + h)) (354)

Raccord entre les deux solutions à l’interface ?



J JI⇐⇒

Raccord cinématique

w1 =∂η′

∂t+ u1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ u2

∂η′

∂xen z = η′

6η′

ρ1, u1

ρ2, u2

6-

ez

ex



J JI⇐⇒

Condition cinématique linéarisée

w1 =∂η′

∂t+ u1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ u2

∂η′

∂xen z = η′

6η′

ρ1, u1

ρ2, u2

6-

ez

ex



J JI⇐⇒


w1 =∂η′

∂t+ (U1 + u′

1)∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ (U2 + u′

2)∂η′

∂xen z = η′

6η′

ρ1, u1

ρ2, u2

6-

ez

ex



J JI⇐⇒


w1 =∂η′

∂t+ U1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ U2

∂η′

∂xen z = η′



J JI⇐⇒


w1 =∂η′

∂t+ U1

∂η′

∂xen z = η′

w2 =∂η′

∂t+ U2

∂η′

∂xen z = η′

Comme F ′(η′) = F ′(0) +O(η′F ′H−1), on peut appliquer la conditionde raccord en z = 0. L’interface est aussi de la forme

η′ = Eei k(x−ct)

et la condition de raccord est

W1(0) = i k(U1 − c)E , W2(0) = i k(U2 − c)E en z = 0 (361)

soit la première condition de raccord pour la solutionW1

U1 − c=

W2

U2 − cen z = 0 (362)



J JI⇐⇒

Condition dynamique

En négligeant la tension superficielle:

• Par continuité de la pression (pression absolue en z = η et nonen z = 0). (349) et (355) et q = q0 + q′

− i (U1 − c)

k

dW1

dz+

i

k

dU1

dzW1 −

ρ1

ρrefgE =

− i (U2 − c)

k

dW2

dz+

i

k

dU2

dzW2 −

ρ2

ρrefgE

(363)

• En intégrant l’équation de Taylor-Gouldsmith à travers l’endroitde la "discontinuité"

(U − c)

(d2Wdz2

− k2W)

+

(N2

U − c− d2U

dz2

)W = 0



J JI⇐⇒

Condition dynamique

En négligeant la tension superficielle:

• Par continuité de la pression (pression absolue en z = η et nonen z = 0). (349) et (355) et q = q0 + q′

− i (U1 − c)

k

dW1

dz+

i

k

dU1

dzW1 −

ρ1

ρrefgE =

− i (U2 − c)

k

dW2

dz+

i

k

dU2

dzW2 −

ρ2

ρrefgE

(364)

• En intégrant l’équation de Taylor-Gouldsmith à travers l’endroitde la "discontinuité"

d

dz

((U − c)

dWdz

− dU

dzW

)+

(N2

U − c− (U − c)k2

)W = 0



J JI⇐⇒

Intégration à travers une discontinuité

∫ ε/2

−ε/2

[d

dz

((U − c)

dWdz

− dU

dzW

)+

(N2

U − c− (U − c)k2

)W

]dz = 0

Sur la discontinuité N2 = limd→0ρ2−ρ1

d ρrefg

...........................................................................................................

...........................................................................................................

?6

6

?

εd-6

ex

ez



J JI⇐⇒

Intégration à travers la discontinuité

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+

∫ ε/2

−ε/2

(N2

U − c− (U − c)k2

)Wdz = 0

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+

∫ ε/2

−ε/2

N2

U − cWdz−

∫ ε/2

−ε/2

(U−c)k2Wdz = 0

Pour ε suffisamment petit mais ε ≥ d:

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+

∫ d/2

−d/2

ρ2 − ρ1

d ρrefg

WU − c

dz

−εk2 ((U1 − c)W1(ε/4) + (U2 − c)W2(−ε/4))

2= 0



J JI⇐⇒

Condition de raccord dynamique

[(U − c)

dWdz

− dU

dzW

]ε/2

−ε/2

+ dρ2 − ρ1

d ρrefg1

2

W1

U1 − c

∣∣∣∣∣d/4

+W2

U2 − c

∣∣∣∣∣−d/4

−εk2 ((U1 − c)W1(ε/4) + (U2 − c)W2(−ε/4))

2= 0

Soit finalement pour ε → 0 et d → 0 et en tenant compte de (355):

(U1 − c)dW1

dz− dU1

dzW1 +

ρ2 − ρ1

ρrefg

W1

U1 − c= (U2 − c)

dW2

dz− dU2

dzW2

ce qui est la deuxième condition de raccord pour la solution . Apartir d’ici ρ0 sera à nouveau utilisé pour désigner la densité deréférence ρref



J JI⇐⇒

Solution du problème à deux couches

A1

A2= − U1 − c

U2 − c

(U1 − c)kA1 cosh(kh) − ρ1g

ρ0

( −A1

U1 − c

)sinh(kh) =


ρ0

(A2

U2 − c

)sinh(kh)



J JI⇐⇒

Solution du problème à deux couches

A1

A2= − U1 − c

U2 − c


ρ0

( −A1

U1 − c

)sinh(kh) =

− (U2 − c)2

U1 − ckA1 cosh(kh) − ρ2g

ρ0

( −A1

U1 − c

)sinh(kh)

Soit la relation donnant c:

(U1 − c)2 + (U2 − c)2 = g′htanh(kh)

kh

g′ =(ρ2 − ρ1)g

ρ0(365)



J JI⇐⇒

Discussion

(U1 − c)2 + (U2 − c)2 = g′h tanh(kh)kh

N2? h2 = g′h, N2

? =(ρ2 − ρ1)g

hρ0, g′ =

(ρ2 − ρ1)g

ρ0(366)

• Sans cisaillement (U1 = U2) et avec stratification stable(ρ2 ≥ ρ1):

c = U ± N?h√2

√tanh(kh)

kh

et c ∼ U ± N?h√2

∼ U ±√

g′h2 pour les ondes internes longues



J JI⇐⇒

En laboratoire

8



J JI⇐⇒

Discussion

(U1 − c)2 + (U2 − c)2 = g′htanh(kh)

kh

N2? h2 = g′h, N2

? =(ρ2 − ρ1)g

hρ0, g′ =

(ρ2 − ρ1)g

ρ0

• Sans cisaillement et avec stratification instable : situationtoujours instable et perturbation advectée par le courant:

c = U ± i|N?|h√

2

√tanh(kh)

kh(367)

Le taux de croissance de l’instabilité kci est d’autant plusimportant que les ondes sont courtes.



J JI⇐⇒

Cas général

U21 + U2

2 − 2(U1 + U2)c + 2c2 = N2? h2 tanh(kh)

kh, N2

? =(ρ2 − ρ1)g

hρ0

Solution

c =U1 + U2

2± 1

2

√2N2

? h2tanh(kh)

kh− (U1 − U2)2 (368)

• si N2? ≤ 0, l’écoulement est toujours instable et la perturbation

est advectée à la vitesse moyenne

• si N2? ≥ 0, l’écoulement est toujours instable s’il y a un

cisaillement pour des ondes très courtes k → ∞ , mais laperturbation pour les ondes courtes est concentrée près del’interface (solution en sinh(k(z ± h)) ).



J JI⇐⇒

Cas général

U21 + U2

2 − 2(U1 + U2)c + 2c2 = N2? h2 tanh(kh)

kh, N2

? =(ρ2 − ρ1)g

hρ0

Solution

c =U1 + U2

2± 1

2

√2N2

? h2tanh(kh)

kh− (U1 − U2)2

• si N2? ≥ 0, l’écoulement devient instable pour des ondes plus

courtes que celles données par

kh

tanh(kh)=

2(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2



J JI⇐⇒

Cas général

Solution

c =U1 + U2

2± 1

2

√2N2

? h2tanh(kh)

kh− (U1 − U2)2

• le mode instable se déplace à la vitesse U1+U2

2 (voirextraction d’énergie )

• l’écoulement devient instable quand la vitesse relative(U1 − (U1 + U2)/2) par rapport à la vitesse moyenne dépasse

la vitesse de propagation des ondes internes N?h√2

√tanh(kh)

kh



J JI⇐⇒

Illustration de la solution

kh = 1.5. A gauche pour g′h = 2.5(U1 − U2)2, à droite

g′h = (U1 − U2)2



J JI⇐⇒

Illustration de la solution instable

kh = 1.5 et g′h = 0.77(U1 − U2)2



J JI⇐⇒

Stratification instable et K-H

Evolution non-linéaire de l’instabilité

5

A gauche: instabilité statique sans courant, à droite instabilité deKelvin-Helmholtz (en rouge fluide plus dense)



J JI⇐⇒

Stratification instable: cisaillement etconvection

Evolution non-linéaire de l’instabilité

5

A gauche: instabilité dominée par cisaillement, à droite instabilitédominée par convection. En rouge fluide plus dense.



J JI⇐⇒

Dans la nature



J JI⇐⇒

En laboratoire

12



J JI⇐⇒

Perturbation non-localisée

c =U1 + U2

2± 1

2

√2(ρ2 − ρ1)gh

ρ0

tanh(kh)

kh− (U1 − U2)2

Comme la solution se concentre près de l’interface sur une distance1/k, il faudrait kh ∼ 1 pour qu’une instabilité soit présente dans toutle domaine, ce qui demande

(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2≤ O(1) (369)

Pour des stratifications plus importantes, les instabilités possiblessont de longueurs d’ondes plus courtes et donc localisées près del’interface.



J JI⇐⇒

Bilan d’énergie domaine fini

Est-ce qu’un mélange complet est possible?

• Conservation de la poussée moyenne: ρ = ρ1+ρ2

2

• Conservation de la quantité de mouvement: U = U1+U2

2

-6ex

ez ρ1, U1

ρ2, U2

-------

-------

6

?6

?

6

h

h?

6

2hρ, U

--------------

j



J JI⇐⇒

Bilan d’énergie

Si la stratifcation est stable, le mélange demande une augmentationd’énergie potentielle (par unité de surface horizontale) de

∫ h/2

−h/2

ρgzdz −∫ 0

−h/2

ρ2gzdz −∫ h/2

0

ρ1gzdz =(ρ2 − ρ1)gh2

8

D’un autre côté, la perte d’énergie cinétique vaut

∫ 0

−h/2

1

2ρ0U

21 dz+

∫ h/2

0

1

2ρ0U

22 dz−

∫ h/2

−h/2

1

2ρ0U

2dz =(U1 − U2)

2ρ0 h

8



J JI⇐⇒

Condition nécessaire de mélange complet

Le mélange complet (augmentation de l’énergie potentielle) n’estpossible que si l’énergie cinétique est suffisante pour augmenterl’énergie potentielle, ce qui demande

(ρ2 − ρ1)gh

ρ0(U1 − U2)2≤ 1, (370)

que l’on peut comparer à (369)



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Stabilité d’un écoulement

• Méthode des perturbations

• Transformation d’énergie cinétique en énergie potentielle dansle cas d’une stratification stable

• Valeur critique de (ρ2−ρ1)ghρ0(U1−U2)2

pour une nombre d’onde k donné



J JI⇐⇒

Utilité

• Méthode générale de petites perturbations

• Nombre sans dimensions et valeurs critiques



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Kelvin-Helmholtz [N]

Analyser la stabilité d’un écoulement en deux couches comme dansle cours , mais où la deuxième couche est très profonde (infinie) etau repos.

U2 = 0

-6ex

ez ρ1, U1

?∞

------- 6

?

h

ρ2



J JI⇐⇒

Ecoulement cisaillé [N]

En utilisant des arguments énergétiques, démontrer que le mélangecomplet d’un écoulement cisaillé de vitesse u = (z − h/2)M = et depoussée b = (z − h/2)N2 entre deux parois en z = 0 et z = h pour Met N constants n’est possible que si

N2

M2≤ Ricr

et déterminer la valeur critique Ricr. On néglige la force de Corioliset on suppose que le mélange conserve la densité moyenne et laquantité de mouvement moyenne.



J JI⇐⇒

Instabilités, théorèmes intégraux



J JI⇐⇒

Limitations de l’approche aux valeurs propres

• La plupart des écoulements de base ne permettent pas unerésolution explicite du problème aux valeurs propres entermes de fonctions analytiques

• La recherche de solutions numériques des problèmes auxvaleurs propres qui peuvent devenir complexes n’est pastoujours facile (est-on sûr de ne pas avoir "raté" une solution?)

• Des approches intégrales permettent de cerner le domainestabilité/instabilité



J JI⇐⇒

Condition suffisante de stabilité

La substitution W =√

U − c φ dans (351) nous permet d’obtenir uneéquation pour la nouvelle variable φ:

(U − c)

(d2Wdz2

− k2W)

+

(N2

U − c− d2U

dz2

)W = 0



J JI⇐⇒




(U − c)

(d2

√U − c φ

dz2− k2

√U − c φ

)+

(N2

U − c− d2U

dz2

)√U − c φ = 0



J JI⇐⇒




d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ = 0 (371)

M2 =

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣2

(372)

M2 est le carré de la fréquence de Prandtl N.B.:Dans le cas général, on définit

M2 = ∇v:∇v (373)



J JI⇐⇒


Si nous multiplions l’équation par le complexe conjugué de φ: φ?

(méthode de Rayleigh),

φ? d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ?φ = 0

que nous intégrons ensuite sur le domaine:

∫ h

0

φ? d

dz

((U − c)

dφ

dz

)dz =

∫ h

0

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz



J JI⇐⇒




φ? d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ?φ = 0


∫ h

0

φ?d

((U − c)

dφ

dz

)=

∫ h

0

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz



J JI⇐⇒




φ? d

dz

((U − c)

dφ

dz

)−

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)φ?φ = 0


(U − c)φ? dφ

dz

∣∣∣∣∣

h

0

−∫ h

0

(U − c)dφ?

dz

dφ

dzdz =

∫ h

0

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz



J JI⇐⇒


Nous obtenons donc à l’aide des conditions aux limites (352):

−∫ h

0

(U−c)

∣∣∣∣dφ

dz

∣∣∣∣2

dz =

∫ h

0

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2+ k2(U − c)

)|φ|2dz

(374)

soit en définissant la quantité réelle et positive

I =

∣∣∣∣dφ

dz

∣∣∣∣2

+ k2|φ|2 (375)

−∫ h

0

(U − c)Idz =

∫ h

0

(1

4M2 − N2

U − c+

1

2

d2U

dz2

)|φ|2dz (376)



J JI⇐⇒


En supposant que c = cr + i ci,

−∫ h

0

(U−cr−i ci)Idz =

∫ h

0

(1

4M2 − N2

|U − c|2 (U − cr + i ci) +1

2

d2U

dz2

)|φ|2dz

(377)

et en prenant la partie imaginaire de cette équation nous obtenons

ci

∫ h

0

Idz = ci

∫ h

0

(1

4M2 − N2

|U − c|2)|φ|2dz (378)



J JI⇐⇒


Puisque cette égalité ne peut pas être vraie si M2 < 4N2 (car, dansce cas, le membre de gauche est de signe opposé au membre dedroite), nous avons une condition de stabilité suffisante que l’onexprime à l’aide du nombre de Richardson:

Ri =N2

M2(379)

Si Ri > 1

4partout dans le fluide, alors l’écoulement est stable. A

l’inverse, pourqu’une instabilité soit possible, il faut au moins queRi < 1

4quelque part dans le domaine.

Le nombre de Richardson mesure donc l’effet stabilisant de lastratification (si N2 est positif) par rapport à l’effet déstabilisant ducisaillement.



J JI⇐⇒

Kelvin-Helmholtz: animation

en blanC:fluide plus dense



J JI⇐⇒

Théorème de Howard

Un autre changement de variable fournit une deuxième propriétéintéressante: W = (U − c) ψ substitué dans (351) fournit:

(U − c)

((U − c)

d2ψ

dz2+ 2

dU

dz

dψ

dz+

d2U

dz2ψ − k2(U − c)ψ

)

+

(N2 − d2U

dz2(U − c)2

)ψ = 0

(380)

d

dz

((U − c)2

dψ

dz

)+

(N2 − k2(U − c)2

)ψ = 0 (381)

Comme précédemment, on multiplie par le complexe conjugué ψ? etpuis on intègre entre les deux parois pour obtenir



J JI⇐⇒

Théorème de Howard

∫ h

0

(U − c)2Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (382)

Où

J =

∣∣∣∣dψ

dz

∣∣∣∣2

+ k2|ψ|2 (383)

et avec c = cr + i ci:(384)

∫ h

0

(U2 − 2(cr + i ci)U + (cr + i ci)

2)Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (385)



J JI⇐⇒

Howard

Si une instabilité est présente, nous devons obtenir c = cr + i ci,ci 6= 0. Dans ce cas, la partie imaginaire de l’équation donne

∫ h

0

UJdz = cr

∫ h

0

Jdz (386)

alors que sa partie réelle demande que

∫ h

0

(U2 − 2Ucr + c2

r − c2i

)Jdz =

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (387)

soit en tenant compte de (386)

∫ h

0

U2Jdz = (c2r + c2

i )

∫ h

0

Jdz +

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz (388)



J JI⇐⇒

Demi-cercle

En désignant par Umin et Umax les valeurs minimales et maximalesque la fonction U(z) prend sur l’intervalle [0, h] considéré:

0 ≥∫ h

0

(U − Umin)(U − Umax)Jdz (389)

qui devient en utilisant (386) et (388)

0 ≥(c2r + c2

i − (Umin + Umax)cr + UminUmax

)︸︷︷︸

∫ h

0

Jdz +

∫ h

0

N2 |ψ|2 dz

(390)

et le terme multiplicatif ︸︷︷︸ doit être négatif si nous sommes en

présence d’une instabilité.



J JI⇐⇒

Demi-cercle de Howard

Et si une instabilité existe pour N2 ≥ 0, elle aura lieu quand c estcompris dans le cercle défini par

[cr − 1

2(Umin + Umax)

]2+ c2

i ≤[

1

2(Umax − Umin)

]2(391)

6

-

1

ci

cr..........................................

1

2(b − a)

1

2(a + b)

b = Umaxa = Umin

c



J JI⇐⇒

Demi-cercle de Howard

• L’instabilité n’est donc possible que si le nombre complexe ctombe dans le demi-cercle de Howard (la partie inférieure ducercle correspond à une situation stable, car il y adécroissance exponentielle des perturbations).

• Notons que le rayon est plus faible en réalité, étant donné leterme en N2.

• cr ∈ [Umin, Umax] : l’onde instable est quelque-part stationnairepar rapport au mouvement du fluide: ceci permet l’extractionde l’énergie cinétique (critical layer )

• Le critère de Howard permet de limiter les recherchesnumériques à un domaine bien défini



J JI⇐⇒

En laboratoire

8



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Stabilité d’un écoulement

• Méthode des perturbations

• Transformation d’énergie cinétique en énergie potentielle pourune stratification stable

• Fréquence de Prandtl M : M2 = ∇v:∇v

• Nombre de Richardson Ri = N2

M2



J JI⇐⇒

Utilité

• Détermination de seuils de stabilité

• Compréhension de l’origine d’instabilités

• Dimensionnement de structures pour rester en régime stable(laminaire)

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Critères globaux [N]

Sur la seule base de critères globaux (sans calculer la solution auxvaleurs propres), que peut-on dire de la stabilité de l’écoulement(entre deux parois rigides en z = ±h) suivant:

u = u0

(1 − (z/h)2

)

b = N2z

Suggestion:On suppose que l’ecoulement est 2D, sans viscosite et sansdiffusion et on neglige la force de Coriolis



J JI⇐⇒

Profils typiques de couche de mélange [N]Sur base du nombre de Richardson Ri, que peut-on dire de lastabilité de la colonne d’eau dont le profil de température et desalinité est donné par (z = 0 en surface et négatif dans l’eau)

T = T0 + ∆T ez/δE ,

S = S0 + ∆S ez/δE

alors que le profil de vitesse est donné par

u = −u0 ez

δE sin

(z

δE− π

4

)(392)

v = u0 ez

δE cos

(z

δE− π

4

)(393)

On utilisera l’approximation de l’équation d’état linéarisée et lesvaleurs suivantes: δE = 20 m, ∆S = −1, ∆T = 8, u0 = 0.1 m/s



J JI⇐⇒

Turbulence



J JI⇐⇒

Processus à petite échelle

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

mélange

accoustiques



(m)

microturbulence

1 seconde1 minute 1 heure 1 an1 jour


fronts

circulation


houle

tempêtes

[8]Comment les petites échelles influencent-elles les grandes ?Peut-on les filtrer ou négliger?



J JI⇐⇒

Route vers la turbulence

16



J JI⇐⇒

Simulation directe de la turbulence

Convection simulée



J JI⇐⇒

A plus grande échelle

15



J JI⇐⇒

Elimination des processus à petite échelle

• Lorsque on étudie la circulation générale, on n’est pasintéressé par le détail des structures 3D à microéchelle

• On ne connait pas de solution explicite deséquations de Boussinesq

• On ne peut calculer une solution numérique résolvant lesmicroéchelles dans le calcul de circulations générales (1018

points de calcul dans une grille 3D)

• On ne peut donc calculer une moyenne d’une solution

On essaiera de filtrer les équations pour obtenir deséquations qui décrivent l’évolution du processus à grandeéchelle



J JI⇐⇒

Séparation: écoulement moyen/fluctuations

On décompose chaque champ a en sa moyenne 〈a〉 et sesfluctuations a′

a = 〈a〉 + a′ (394)

Propriétés des moyennes 〈〉 pour deux champs a, b et un paramètreλ (non perturbé)

• 〈a + λb〉 = 〈a〉 + λ 〈b〉• 〈a 〈b〉〉 = 〈a〉〈b〉• 〈〈a〉〉 = 〈a〉• 〈a′〉 = 0

•⟨

∂a∂t

⟩= ∂〈a〉

∂t

•⟨

∂a∂xi

⟩= ∂〈a〉

∂xi



J JI⇐⇒

Moyennes

• Moyenne d’ensemble

〈a〉 =1

N

N∑

i=1

a(t, x, Πi), N → ∞

• Moyenne temporelle

〈a〉 =1

T

∫ t+T/2

t−T/2

a(t, x) dt

• Moyenne spatiale

〈a〉 =1

LxLyLz

∫ z+Lz/2

z−Lz/2

∫ y+Ly/2

y−Ly/2

∫ x+Lx/2

x−Lx/2

a(t, x, y, z) dxdydz



J JI⇐⇒

Moyennes• Seule la moyenne d’ensemble satisfait les

propriétés souhaitées de l’opérateur 〈〉.• En pratique, on ne peut répéter les expériences en

géophysique

• On ne peut que répéter les observations à des intervallesréguliers fins

16

• L’utilisation d’une moyenne spatiale ou temporelle nécessite laprésence d’une vallée énergétique pour pouvoir séparer leséchelles



J JI⇐⇒

Vallée énergétique

Si le spectre d’énergie possède des maxima bien séparés, on peutessayer de filtrer les hautes fréquences en utilisant une échelle Tpour les moyennes temporelles

-

6E

ω-¾

processus filtrésécoulement moyen

1Tf

1T

1Ts



J JI⇐⇒

Opérateur de moyenne vs dérivée

Si un signal φ est composé d’une composante rapide φf et d’unecomposante lente φs: φ = φf + φs, nous pouvons calculer

⟨∂φ

∂t

⟩=

1

T

∫ t+T/2

t−T/2

∂φ

∂tdt =

φ(t + T/2) − φ(t − T/2)

T(395)

-¾

-¾

T

Tsφs(t)

φs(t) + φf (t)

-¾

Tf



J JI⇐⇒

Opérateur de moyenne vs dérivée

⟨∂φ

∂t

⟩=

φf (t + T/2) − φf (t − T/2)

T+

φs(t + T/2) − φs(t − T/2)

T

(396)En moyenne les composantes φf s’annihileront si T est plus grandque le temps caractéristique des fluctuations Tf :

⟨∂φ

∂t

⟩≈ φs(t + T/2) − φs(t − T/2)

T(397)

-¾

-¾

T

Tsφs(t)

φs(t) + φf (t)-¾Tf



J JI⇐⇒

Opérateur de moyenne vs dérivée⟨

∂φ

∂t

⟩≈ φs(t + T/2) − φs(t − T/2)

T(398)

Si T est nettement plus faible que le temps caractéristique Ts de φs

mais supérieur au temps caractéristique Tf des fluctuations, on peutremplacer le second membre par une dérivée et nous pouvonsalors écrire ⟨

∂φ

∂t

⟩≈ ∂ 〈φ〉

∂t(399)

-¾

-¾

T

Tsφs(t)

φs(t) + φf (t)-¾Tf



J JI⇐⇒

Moyennes et fluctuations

Signal complet (à gauche) et signal filtré (à droite)



J JI⇐⇒

Données réelles profils, moyenne spatiale

-20

-15

-10

-5

8.85 8.86 8.87 8.88

z / m

T / degC

T

-20

-15

-10

-5

8.85 8.86 8.87 8.88

T / degC

〈T 〉

-20

-15

-10

-5

-0.005 0 0.005

T / degC

T ′

7



J JI⇐⇒

Paramétrisation turbulence classique

• Nous allons établir des équations pour les variables d’états"moyennes": 〈v〉, 〈T 〉, 〈S〉, 〈ca〉. L’écoulement dépendra ausside la pression 〈q〉

• L’équation d’état est généralement non-linéaire mais onconsidère les fluctuations locales relativement faibles :

〈ρ〉 ≈ ρ(〈T 〉 , 〈S〉 , 〈p〉) (400)

• Les autres paramètres des équations (coefficients de diffusionmoléculaire, conductivité moléculaire etc) sont considérésconstants ou non soumis à des fluctuations rapides.



J JI⇐⇒


∇·v = 0

∇· (〈v〉 + v′) = 0

Application de l’opérateur 〈〉:

∇· (〈〈v〉〉 + 〈v′〉) = 0

Utilisation des propriétés des moyennes

∇· 〈v〉 = 0 (401)

et, par conséquent, nous avons également

∇·v′ = 0 (402)



J JI⇐⇒

Problème de fermetureConservation du sel

∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)

En décomposant v = 〈v〉 + v′ et S = 〈S〉 + S′:

∂ 〈S〉∂t

+∂S′

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + v′ 〈S〉 + 〈v〉S′ + v′S′) =

∇·(λS∇ 〈S〉

)+ ∇·

(λS∇S′)

En appliquant l’opérateur de moyenne

∂ 〈〈S〉〉∂t

+∂ 〈S′〉

∂t+ ∇· (〈〈v〉〈S〉〉 + 〈v′ 〈S〉〉 + 〈〈v〉S′〉 + 〈v′S′〉) =

∇·(λS∇ 〈〈S〉〉

)+ ∇·

(λS∇ 〈S′〉

)



J JI⇐⇒


∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)


∂ 〈S〉∂t

+∂S′

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + v′ 〈S〉 + 〈v〉S′ + v′S′) =

∇·(λS∇ 〈S〉

)+ ∇·

(λS∇S′)


∂ 〈〈S〉〉∂t

+∂ 〈S′〉

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + 〈v′〉〈S〉 + 〈v〉〈S′〉 + 〈v′S′〉) =

∇·(λS∇ 〈〈S〉〉

)+ ∇·

(λS∇ 〈S′〉

)



J JI⇐⇒


∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)


∂ 〈S〉∂t

+∂S′

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + v′ 〈S〉 + 〈v〉S′ + v′S′) =

∇·(λS∇ 〈S〉

)+ ∇·

(λS∇S′)


∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉 + 〈v′S′〉) = ∇·(λS∇〈S〉

)



J JI⇐⇒


∂S

∂t+ ∇· (vS) = ∇·

(λS∇S

)


∂ 〈S〉∂t

+∂S′

∂t+ ∇· (〈v〉〈S〉 + v′ 〈S〉 + 〈v〉S′ + v′S′) =

∇·(λS∇ 〈S〉

)+ ∇·

(λS∇S′)


∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉) = −∇· (〈v′S′〉) + ∇·(λS∇〈S〉

)



J JI⇐⇒

Flux turbulent

∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉) = −∇· (〈v′S′〉) + ∇·(λS∇〈S〉

)(403)

∂〈S〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈S〉) = −∇· (jS) + ∇·(λS∇〈S〉

)(404)

Flux turbulent du sel jS :jS = 〈v′S′〉 (405)

Fermeture turbulente: exprimer jS en fonction des seuls paramètresde l’écoulement moyen.



J JI⇐⇒


Même approche:

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v)

∂ 〈v〉∂t

+ ∇· (〈vv〉) + 2ΩΛ 〈v〉 = −∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇· (ν∇〈v〉)

〈vv〉 = 〈v〉〈v〉 + 〈v′ 〈v〉〉 + 〈〈v〉v′〉 + 〈v′v′〉 = 〈v〉〈v〉 + 〈v′v′〉 (406)

∂ 〈v〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈v〉) + 2ΩΛ 〈v〉 =

−∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇· (ν∇〈v〉) − ∇· (〈v′v′〉)(407)



J JI⇐⇒

Déviations

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v)

∂ 〈v〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈v〉) + 2ΩΛ 〈v〉 =

−∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇· (ν∇〈v〉) − ∇· (〈v′v′〉)

Par soustraction de la moyenne on obtient une équation pour lesfluctuations:

∂v′

∂t+ ∇· (vv − 〈v〉〈v〉 − 〈v′v′〉) + 2ΩΛv′ =

−∇q′ + b′ + ∇· (ν∇v′)



J JI⇐⇒

Déviations

∂v

∂t+ ∇· (vv) + 2ΩΛv = −∇q + b + ∇· (ν∇v)

∂ 〈v〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈v〉) + 2ΩΛ 〈v〉 =

−∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇· (ν∇〈v〉) − ∇· (〈v′v′〉)

Par soustraction de la moyenne on obtient une équation pour lesfluctuations:

∂v′

∂t+ ∇· (v′v′ + v′ 〈v〉 + 〈v〉v′ − 〈v′v′〉) + 2ΩΛv′ =

−∇q′ + b′ + ∇· (ν∇v′)

On ne calculera évidemment pas v′, mais on aura besoin deconnaître des termes en 〈v′v′〉.



J JI⇐⇒

Equations pour le tenseur de corrélations?

On essaye de calculer 〈v′v′〉 (tenseur des tensions de Reynolds):

∂v′

∂t+ ∇· (v′v′ + v′ 〈v〉 + 〈v〉v′ − 〈v′v′〉) + 2ΩΛv′ =

−∇q′ + b′ + ∇· (ν∇v′)

Equation d’évolution pour un terme v′iv′j ?

∂vi′

∂t+

∂

∂xl(vl

′vi′ + vl

′ 〈vi〉 + 〈vl〉 vi′ − 〈vi

′vl′〉) + 2εimlΩmvl

′ =

− ∂q′

∂xi+ b′δi 3 +

∂

∂xl

(ν

∂vi′

∂xl

)

εijk est le pseudo-tenseur de rotation et δij le symbole deKronecker.



J JI⇐⇒

Evolution du tenseur de Reynolds

vj′ ∂vi

′

∂t+ vj

′ ∂

∂xl(vl

′vi′ + vl

′ 〈vi〉 + 〈vl〉 vi′ − 〈vi


′vj′ =

−vj′ ∂q′

∂xi+ vj

′b′δi 3 + vj′ ∂

∂xl

(ν

∂vi′

∂xl

)



J JI⇐⇒

Evolution du tenseur de Reynolds

vj′ ∂vi

′

∂t+ vj

′ ∂

∂xl(vl

′vi′ + vl

′ 〈vi〉 + 〈vl〉 vi′ − 〈vi


′vj′ =

−vj′ ∂q′

∂xi+ vj

′b′δi 3 +∂

∂xl

(ν vj

′ ∂vi′

∂xl

)− ν

∂vi′

∂xl

∂vj′

∂xl

vi′ ∂vj

′

∂t+ vi

′ ∂

∂xl(vl

′vj′ + vl

′ 〈vj〉 + 〈vl〉 vj′ − 〈vj

′vl′〉) + 2εjmlΩmvl

′vi′ =

−vi′ ∂q′

∂xj+ vi

′b′δj 3 +∂

∂xl

(ν vi

′ ∂vj′

∂xl

)− ν

∂vi′

∂xl

∂vj′

∂xl

Comme ∂vl′

∂xl= 0 et ∂〈vl〉

∂xl= 0 la somme de ces deux équations

donne



J JI⇐⇒

Somme

∂(vi′vj

′)

∂t+

∂

∂xl(vl

′vi′vj

′) + vi′vl

′ ∂ 〈vj〉∂xl

+ vj′vl

′ ∂ 〈vi〉∂xl

+∂

∂xl(vi

′vj′ 〈vl〉) − vi

′ ∂

∂xl(〈vj

′vl′〉) − vj

′ ∂

∂xl(〈vi

′vl′〉)

+2Ωm(εjmlvl′vi

′ + εimlvl′vj

′) + 2ν∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl=

−vi′ ∂q′

∂xj− vj

′ ∂q′

∂xi+ vi

′b′δj 3 + vj′b′δi 3 +

∂

∂xl

(ν

∂(vi′vj

′)

∂xl

)

Il faut encore appliquer l’opérateur de moyenne 〈〉 pour obtenirune équation pour 〈v′v′〉



J JI⇐⇒

Tenseur des tensions de Reynolds 〈v′v′〉

∂ 〈vi′vj

′〉∂t︸︷︷︸

+∂

∂xl〈vl

′vi′vj

′〉 + 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vj〉∂xl

+ 〈vj′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+

︷︸︸︷∂

∂xl(〈vi

′vj′〉〈vl〉)

+2Ωm(εjml 〈vl′vi

′〉 + εiml 〈vl′vj

′〉) + 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩=

−⟨

vi′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δj 3〉 + 〈vj′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν

∂ 〈vi′vj

′〉∂xl

)

• ︸︷︷︸: Variation locale du tenseur des tensions de Reynolds

• ︷︸︸︷: Advection par le courant moyen 〈v〉• : Diffusion moléculaire du tenseur de Reynolds



J JI⇐⇒

Interprétations

∂ 〈vi′vj

′〉∂t

+∂

∂xl〈vl

′vi′vj

′〉 + 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vj〉∂xl

+ 〈vj′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl︸︷︷︸

+∂

∂xl(〈vi

′vj′〉〈vl〉)

+︷︸︸︷2Ωm(εjml 〈vl

′vi′〉 + εiml 〈vl

′vj′〉)+2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩=

−⟨

vi′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δj 3〉 + 〈vj′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν

∂ 〈vi′vj

′〉∂xl

)

• ︸︷︷︸: Interaction entre les tensions de Reynolds et le tenseur

de déformation de l’écoulement moyen

• ︷︸︸︷: Redistribution du tenseur par rotation

• : Corrélation entre pression et fluctuations de vitesses

• : Travail des forces de poussées



J JI⇐⇒

Fermeture

Problème: Comment calculer

• triple corrélation: 〈vi′vj

′vl′〉

• corrélation densité/fluctuations de vitesses:⟨v′b′⟩

• corrélation pression/vitesses: −⟨vi

′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩

• Dissipation:

εij = 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩(408)

Le fait d’écrire des équations d’évolution pour ces tenseursfera apparaître des tenseurs d’ordre supérieur encore.Problème de fermeture.



J JI⇐⇒

Problème général de fermeture

Si L[ ] est un opérateur linéaire qui permute avec l’opérateur demoyenne 〈〉

∂X

∂t+ L[XX] = 0 (409)

permet de calculer

∂ 〈X〉∂t

+ L[〈XX〉] =∂ 〈X〉

∂t+ L[〈X〉〈X〉] + L[〈X ′X ′〉] = 0 (410)

∂X ′

∂t+ L[X ′X ′] + 2L[X ′ 〈X〉] − L[〈X ′X ′〉] = 0 (411)

L’équation d’évolution pour 〈X ′X ′〉 fera apparaître des termes en〈X ′X ′X ′〉. L’équation d’évolution pour 〈X ′X ′X ′〉 fera apparaître destermes en 〈X ′X ′X ′X ′〉 etc...



J JI⇐⇒

Paramétrisation

Le problème de fermeture nécessite de formuler les processusnon-résolus en fonction des seules variables que l’on calculeexplicitement. Cette fermeture devra faire appel à la connaissanceet l’observation des processus modélisés/paramétrisés.

Nécessité de caractériser la turbulence



J JI⇐⇒

Laminaire-turbulent

8



J JI⇐⇒

Dissipation petites échelles

8



J JI⇐⇒


8



J JI⇐⇒

Isotropie et "perte de mémoire"

16



J JI⇐⇒

Effet du nombre de Reynolds

16



J JI⇐⇒

Turbulence: caractéristiques observées

• Caractère aléatoire des fluctuations à petites échelles

• Processus 3D

• Vorticité importante

• Forte diffusion

• Forte dissipation des petites échelles

• Forte non-linéarité

• Large spectre d’échelles

• Isotropie aux petites échelles, anisotropie aux grandeséchelles

• Perte de mémoire des fluctuations par rapport au mécanismequi les a générées



J JI⇐⇒

Citation de Richardson

(Richardson 1922)

the big whirls have little whirls that feed on theirvelocities, and little whirls have lesser whirls and so on toviscosity - in the molecular sense



J JI⇐⇒

Comment la turbulence mélange efficacement ?

16

La turbulence mélange toujours par diffusion moléculaire mais lesgradients augmentent (échelles plus petites) et les surfaces de"contact" deviennent plus importantes ( instabilités )

7



J JI⇐⇒

Turbulence paramétrisation

La microturbulence agit comme le mélange moléculaire mais plusefficacement.⇒ La paramétrisation sera analogue aux équations constitutives dela diffusion et la friction moléculaire, mais où l’on remplace lesvaleurs moléculaires par des coefficients de diffusion turbulente etles gradients des champs par les gradients des champs moyens:

jS = 〈v′S′〉 = −λS∇ 〈S〉 (412)

et de même pour la température et les traceurs biochimiques pourlequels on considère que le coefficient de diffusion est égalementλS , car il s’agit du même processus de mélange.



J JI⇐⇒

Paramétrisation des tensions de Reynolds

〈v′v′〉 = −ν(∇ 〈v〉 + (∇ 〈v〉)T

)+ 2

3k I (413)

k = 1

2〈v′· v′〉 (414)

〈v′T ′〉 = −λT ∇ 〈T 〉 (415)

〈v′S′〉 = −λS∇ 〈S〉 (416)

〈v′b′〉 = −λb∇ 〈b〉 (417)

⟨v′ca′⟩ = −λa∇ 〈ca〉 (418)

En général, on choisit λT = λS = λa = λb



J JI⇐⇒

Coefficients de diffusion turbulente

Comment déterminer ν et λS ?

Par une analyse de la manière dont les grands tourbillons passentleur énergie aux plus petits à travers la "cascade de Kolmogorov"



J JI⇐⇒

Extraction d’énergie

Etablissement d’un bilan d’énergie des fluctuations et del’écoulement moyen: On calcule l’énergie cinétique(E = 1

2〈v〉 · 〈v〉 en m2/s2) de l’écoulement moyen à partir de (407)

que l’on multiplie scalairement par 〈v〉:

∂ 〈v〉∂t

+ ∇· (〈v〉〈v〉) + 2ΩΛ 〈v〉 =

−∇ 〈q〉 + 〈b〉 + ∇· (ν∇〈v〉) − ∇· (〈v′v′〉)



J JI⇐⇒





〈v〉 ·∂ 〈v〉∂t

+ 〈v〉 · ∇· (〈v〉〈v〉) + 2 〈v〉 · (ΩΛ 〈v〉) =

−〈v〉 · ∇ 〈q〉 + 〈v〉 · 〈b〉 + 〈v〉 · ∇· (ν∇〈v〉) − 〈v〉 · ∇· (〈v′v′〉)



J JI⇐⇒





1

2

∂ 〈v〉 · 〈v〉∂t

+ 1

2∇· (〈v〉〈v〉 · 〈v〉) =

−〈v〉 · ∇ 〈q〉 + 〈v〉 · 〈b〉 + 〈v〉 · ∇· (ν∇〈v〉) − 〈v〉 · ∇· (〈v′v′〉)



J JI⇐⇒





1

2

∂ 〈v〉 · 〈v〉∂t

+ 1

2∇· (〈v〉〈v〉 · 〈v〉) =

−∇· (〈q〉〈v〉) + 〈w〉〈b〉 + 〈v〉 · ∇· (ν∇〈v〉) − 〈v〉 · ∇· (〈v′v′〉)



J JI⇐⇒





1

2

∂ 〈v〉 · 〈v〉∂t

+ 1

2∇· (〈v〉〈v〉 · 〈v〉) =

−∇· (〈q〉〈v〉) + 〈w〉〈b〉 + ∇· (ν 〈v〉 ·∇〈v〉)−ν∇〈v〉:∇〈v〉 − 〈v〉 · ∇· (〈v′v′〉)



J JI⇐⇒





1

2

∂ 〈v〉 · 〈v〉∂t

+ 1

2∇· (〈v〉〈v〉 · 〈v〉) =

−∇· (〈q〉〈v〉) + 〈w〉〈b〉 + ∇·(ν 1

2∇(〈v〉 · 〈v〉)

)

−ν∇〈v〉:∇〈v〉 − ∇· (〈v〉 · 〈v′v′〉) + 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉



J JI⇐⇒

Energie de l’écoulement moyen

∂E

∂t︸︷︷︸+ ∇· (〈v〉E)︸︷︷︸ =

︷︸︸︷−∇· (〈v〉〈q〉) +〈b〉〈w〉 + ∇· (ν∇E)

+ 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉 − ˜∇· (〈v〉 · 〈v′v′〉) ,

(419)

• ︸︷︷︸: dérivée matérielle par rapport à l’écoulement moyen

• ︷︸︸︷: travail des forces de pression

• : travail dû aux forces de poussée (échange avec PE )

• : diffusion moléculaire de l’énergie (négligeable)

• : échange avec les fluctuations

• : dissipation visqueuse due aux gradients de l’écoulementmoyen (généralement négligeable)

• ˜: redistribution par des fluctuations



J JI⇐⇒

Energie des fluctuations k = 12 〈v′· v′〉

Equation pour k, soit en multipliant l’équation pour les fluctuationsscalairement par v′, soit en contractant les indices (calcul de latrace) de l’équation pour les tenseurs des tensions de Reynolds

∂ 〈vi′vj

′〉∂t

+∂

∂xl〈vl

′vi′vj

′〉 + 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vj〉∂xl

+ 〈vj′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+∂

∂xl(〈vi

′vj′〉〈vl〉) + 2Ωm(εjml 〈vl


′vj′〉) + 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vj′

∂xl

⟩=

−⟨

vi′ ∂q′

∂xj

⟩−

⟨vj

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δj 3〉 + 〈vj′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν

∂ 〈vi′vj

′〉∂xl

)



J JI⇐⇒



∂ 〈vi′vi

′〉∂t

+∂

∂xl〈vl

′vi′vi

′〉 + 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+ 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+∂

∂xl(〈vi

′vi′〉〈vl〉) + 2Ωm(εiml 〈vl


′vi′〉) + 2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vi′

∂xl

⟩=

−⟨

vi′ ∂q′

∂xi

⟩−

⟨vi

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 〈vi

′b′δi 3〉 + 〈vi′b′δi 3〉 +

∂

∂xl

(ν

∂ 〈vi′vi

′〉∂xl

)



J JI⇐⇒



2∂k

∂t+

∂

∂xl〈vl

′vi′vi

′〉 + 2 〈vi′vl

′〉 ∂ 〈vi〉∂xl

+ 2∂

∂xl(k 〈vl〉)

+2ν

⟨∂vi

′

∂xl

∂vi′

∂xl

⟩=

−2

⟨vi

′ ∂q′

∂xi

⟩+ 2 〈w′b′〉 + 2

∂

∂xl

(ν

∂k

∂xl

)



J JI⇐⇒

Equation d’évolution pour k

∂k

∂t+ ∇· (〈v〉 k)

︸︷︷︸=〈b′w′〉 + ∇· (ν∇k) − 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉

− ν 〈∇v′:∇v′〉 − ˜∇·⟨( 1

2v′· v′ + q′)v′⟩ .

(420)

• ︸︷︷︸: dérivée matérielle par rapport à l’écoulement moyen

• : travail du aux forces de poussée (échange avec APE )

• : diffusion moléculaire de k (généralement négligeable)

• : échange avec l’écoulement moyen

• : dissipation visqueuse ε due aux gradients de l’écoulementmoyen (pas négligeable)

• ˜ : redistribution par des fluctuations



J JI⇐⇒

Transfert d’énergie

∂E

∂t+∇· (〈v〉E) = −∇· (〈v〉〈q〉) + 〈b〉〈w〉 + ∇· (ν∇E)

+ 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉 − ∇· (〈v〉 · 〈v′v′〉) ,

(421)

∂k

∂t+ ∇· (〈v〉 k) = 〈b′w′〉 + ∇· (ν∇k) − 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉

− ν 〈∇v′:∇v′〉 − ∇·⟨( 1

2v′· v′ + q′)v′⟩ .

(422)



J JI⇐⇒

Transfert d’énergie

La paramétrisation choisie assure que l’énergie passe de E versk, puisque:

〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 =(−2νD + 2

3k I

):∇ 〈v〉 (423)

Comme ∇· 〈v〉 = 0, cela se réduit à

〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 = −2νD:D (424)

où nous utilisons le tenseur de déformation de l’écoulement moyen

D =1

2

(∇ 〈v〉 + (∇ 〈v〉)T

)(425)

Si ν est positif, le transfert d’énergie extrait donc l’énergie cinétiquede l’écoulement moyen pour alimenter l’énergie cinétique desfluctuations.



J JI⇐⇒

Exemple du tube

Ecoulement homogène, stationnaire et périodique dans un tubeforcé par une différence de pression.

∂E

∂t+∇· (〈v〉E) = −∇· (〈v〉〈q〉) + 〈b〉〈w〉 + ∇· (ν∇E)

+ 〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉 − ∇· (〈v〉 · 〈v′v′〉) ,(426)

-ex

U1, p1 U2, p2

-¾L

S



J JI⇐⇒

Exemple du tube

Ecoulement homogène, stationnaire et périodique dans un tubeforcé par une différence de pression. Intégration sur le tube:

0 = − 1

ρ0

∫

S〈U2〉〈p2〉dS +

1

ρ0

∫

S〈U1〉〈p1〉dS

+

∫

V(〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ν∇ 〈v〉 :∇ 〈v〉) dV

(427)

-ex

U1, p1 U2, p2

-¾L

S



J JI⇐⇒

Exemple du tube

Ecoulement homogène, stationnaire et périodique dans un tubeforcé par une différence de pression. Intégration sur le tube:

1

ρ0

∫

S〈U1〉〈p1〉dS− 1

ρ0

∫

S〈U2〉〈p2〉dS =

∫

V(ν+ν)

(∂ 〈u〉∂r

)2

dV (428)

L’équation pour k se réduit à

∫

Vε dV =

∫

Vν

(∂ 〈u〉∂r

)2

dV (429)

-ex

U1, p1 U2, p2

-¾L

S



J JI⇐⇒

Dissipation visqueuse ε

ε = ν 〈∇v′:∇v′〉 (430)

∂k

∂t+ ∇· (〈v〉 k) = 〈b′w′〉 + ∇· (ν∇k)

−〈v′v′〉 :∇ 〈v〉 − ε − ∇·⟨( 1

2v′· v′ + q′)v′⟩ .

(431)

La dissipation devra être paramétrisée. Pour les autres termes del’équation de k, modélisation classique:

∂k

∂t+ ∇· (〈v〉 k) = −λb ∂ 〈b〉

∂z+ ∇· (ν∇k) + 2νD:D − ε + ∇· (ν∇k)

∂k

∂t+ ∇· (〈v〉 k) = −λbN2 + 2νD:D − ε + ∇· ((ν + ν)∇k) (432)



J JI⇐⇒

Dissipation à petite échelle

A un tourbillon de vitesse de rotation u et d’échelle l ∼ k−1 estassocié un turnover time de ts = l/u = 1/(ku) ou une fréquenceω = t−1

s = u/l = ku.

• Si le nombre de Reynolds d’un tourbillon est grand, il ne peutdissiper son énergie en un temps comparable à son turnovertime l/u.

• Les grands tourbillons tirent leur énergie de l’écoulement etsont anisotropiques

• Seuls les petits tourbillons dissipent l’énergie quand leurnombre de Reynolds vaut O(1).

• La dissipation visqueuse ε (en m2s−3) doit in fine dissiperl’énergie extraite de l’écoulement moyen et la transformer enchaleur



J JI⇐⇒

Cascade• La viscosité dissipe/lisse quand ∂

∂t = ν∇2, ce qui indique quela fréquence de dissipation ωv se comporte comme ωv ∼ νk2

v

• Si un tourbillon a une vitesse de rotation ω = ku À νk2 (c.a.d.ul À ν), il ne sera pas amorti

• Ces tourbillons ne peuvent donc dissiper et transmettentl’énergie à des plus petits tourbillons

• Seuls les plus petits tourbillons vont finalement dissiperl’énergie (dans le "puits visqueux")

• L’énergie à dissiper ε est donc "conservée" dans la cascade

• ω ne peut alors être fonction que de ε et k , car la viscosité n’apas le temps d’agir et l’écoulement aux grandes échelles a étéoublié. Par une analyse dimensionnelle

ω ∼ ε1/3k2/3 (433)



J JI⇐⇒

Temps caractéristiqueTant que ω À νk2, la cascade continue. Dans la partie noninfluencée par la viscosité ω ∼ ε1/3k2/3, alors que la viscositéintervient quand en k = kv où νk2 ∼ ε1/3k2/3, soit kv ∼ ε1/4ν−3/4

kkv

ωνk2

ε1/3k2/3



J JI⇐⇒

Puits dissipatif

• Quand il y a dissipation effective, ∂∂t = ν∇2 et dans le puits

visqueux, ωv ∼ νk2v (uvlv ∼ ν)

• L’échelle de la dissipation visqueuse est donnée par

ε = ν∇v′:∇v′ ∼ νu2

v

l2v∼ ν

(ν/lv)2

l2v(434)

à un nombre de Reynolds uvlvν ∼ 1 soit kv ∼ l−1

v ∼ ε1/4ν−3/4.La longueur de Kolmogorov lv correspond à la taille destourbillons qui vont dissiper l’énergie

lv ∼ ε−1/4ν3/4 (435)

• Le temps caractéristique de la dissipation visqueuse est alorstv ∼ ω−1

v ∼ ε−1/2ν1/2



J JI⇐⇒

Cascade de Kolmogorov

La densité d’énergie Ek est telle que l’énergie totale contenue entredeux longueurs d’ondes k−1

a et k−1b vaut

∫ kb

ka

Ekdk (436)

et que la dissipation vaut ε ∼ ω(kEk). On doit donc avoir (433) dansune certaine plage de la cascade

Ek ∼ ε2/3k−5/3 (437)

⊕ ∫ kv

k0

Ekdk =2

3ε2/3k

−2/30

(1 −

(kv

k0

)−2/3)

∼ 2

3u2

0 (438)

⊕



J JI⇐⇒

Cascade de Kolmogorov

Ek ∼ ε2/3k−5/3 (439)

6

-log(k)

log(Ek)

®

jε

log(kv)log(k0)



J JI⇐⇒

Dissipation

Coupure de la cascade dans le modèle en l0, les plus petiteséchelles n’étant pas résolues: il faut remplacer ν par ν de sorte quela dissipation (modélisée) aux échelles l0 soit cohérente avec letransfert réel vers la cascade de Kolmogorov:

• il faut dissiper à cette longueur:

u0l0ν

∼ 1 ⇒ ν ∼ u0l0 (440)

• il faut s’assurer que dans l’écoulement moyen, on extrait ε

ε ∼ νu2

0

l20∼ u3

0

l0(441)

et l0lv

=(

u0l0ν

)3/4



J JI⇐⇒

Analogie

La diffusion moléculaire est liée à la déviation standard des vitessesdes molécules

√〈u2〉 et leur libre parcours moyen 〈l〉 à la fin duquel

elles rentrent en collision avec une autre molécule et interagissent.La turbulence au sein du fluide agit similairement: les tourbillons àmacro-échelle l0 font en sorte que des parcelles de fluide serencontrent et interagissent rapidement.

3

6

]+j 7

Àk

µ R

ÀIR

µ

ª

l0

u0

ν ∼√

〈u2〉〈l〉 ν ∼ u0l0



J JI⇐⇒

Détermination de u0 et l0

Comme l’énergie des tourbillons est surtout dans les grandeséchelles (voir densité d’énergie de la cascade )

u20 ∼ k (442)

La longueur l0 et la dissipation ε sont reliées par (441)

ε ∼ u30

l0(443)

et pour fermer le système, il faut encore déterminer l0 ou ε puisque

ν ∼ l0u0 ∼ l0√

k ∼ k2

ε(444)



J JI⇐⇒

Longueur de mélange

• donnée a priori et ν ∼ l0u0 ∼ l0√

k

• par une équation d’évolution modélisée et ν ∼ l0u0 ∼ l0√

k

• à partir d’une équation pour ε en utilisant ensuite (443) c.à.d.finalement

ν ∼ l0u0 ∼ k2

ε(445)

16



J JI⇐⇒

Equation pour ε

On peut écrire une équation d’évolution pour ε en utilisant l’évolutiondes fluctuations et des hypothèses de fermeture plus sévères quepour k.Equation typique:

∂ε

∂t+∇· (〈v〉 ε) =

ε

k

(−c3ε λbN2 + c1ε νM2 − c2ε ε

)+∇·

(( 1

σεν + ν)∇ε

)

(446)c1ε ≈ 1.44, c2ε ≈ 1.92, c3ε ∈ [−0.6, 0.3], σε ≈ 1.1

N2 = ∂〈b〉∂z est le carré de la fréquence de Brünt-Väisälä de

l’écoulement moyen. M2 = 2D:D est le carré de la fréquence dePrandtl de l’écoulement moyen. Ensuite, il reste à remplacer lesautres ∼ par une égalité et un facteur numérique obtenu par desmesures. C’est ici que l’équation de la dissipation montre le plus deproblèmes de calibration.



J JI⇐⇒

Turbulence en équilibre

Si la turbulence est en équilibre et est relativement homogène,l’équation de k (en l’absence de stratification) se réduit à

ε = 2νD:D ∼ u30

l0(447)

commeν = u0l0 (448)

On obtient

2u0l0D:D ∼ u30

l0→ ν ∼ u0l0 ∼ l20M (449)

ce qui n’est rien d’autre que le modèle de Prandtl de la turbulenceavec M =

√2D:D. Dans ce cas, on ne calcule plus k par une

équation d’évolution et on doit se donner l0.



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Ecoulement moyen vs fluctuations

• Cascade et transferts d’énergie

• Dissipation ε

• Problème de fermeture

• Energie cinétique turbulente k

• Longueur de mélange l0



J JI⇐⇒

Utilité

• Paramétrisation de la turbulence

• Nécessaire pour la calcul du mélange de constituants

• Ailes d’avion

• Navette

• Turbulence atmosphérique et observations astronomiques

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Modèle de Prandtl [D]En utilisant u0 = l0

∂u∂z et l0 = κz (κ = 0.4) pour calculer la viscosité

turbulente ν = l0u0, établir que dans une couche limite au fond enl’absence de rotation de la terre u(z) = C1 ln(C2z),en supposant quel’équation de la quantité de mouvement se réduit à la seule actionde la viscosité turbulente:

∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)= 0 (450)

Déterminer les constantes pour que la vitesse soit nulle en z = z0 etvaut U en z = h. Que vaut la tension dans la couche limite enfonction de U ?

6ez

-Uh

z0

--

--



J JI⇐⇒

Diffusion du sel en mer [F]

En utilisant comme valeur pour la diffusion turbulenteν = 5 10−4 m2/s, refaire l’exercice sur la diffusion verticale du sel



J JI⇐⇒

Turbulence géophysique



J JI⇐⇒

Prise en compte de la microturbulence

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

mélange

accoustiques



(m)

microturbulence



fronts

circulation


houle

tempêtes

[8]Comment paramétriser la microturbulence dans les fluidesstratifiés à faible rapport d’aspect ?



J JI⇐⇒

Stratification et rapport d’aspect

Par la suite on omettra l’indication de la moyenne 〈〉 pour désignerles écoulements à macroéchelle pour lesquels on a filtré lesfluctuations à microéchelle.Adaptations des paramétrisations de la turbulence proprement diteen exploitant le fait que l’écoulement des fluides géophysiquesmoyen possède un rapport d’aspect faible :

2D =

2∂u∂x

∂u∂y + ∂v

∂x∂u∂z + ∂w

∂x∂v∂x + ∂u

∂y 2∂w∂y

∂v∂z + ∂w

∂y∂w∂x + ∂u

∂z∂w∂y + ∂v

∂z 2∂w∂z



J JI⇐⇒

Stratification et rapport d’aspect

Par la suite on omettra l’indication de la moyenne 〈〉 pour désignerles écoulements à macroéchelle pour lesquels on a filtré lesfluctuations à microéchelle.Adaptations des paramétrisations de la turbulence proprement diteen exploitant le fait que l’écoulement des fluides géophysiquesmoyen possède un rapport d’aspect faible :

2D =

0 0 ∂u∂z

0 0 ∂v∂z

∂u∂z

∂v∂z 0

2D:D ∼(

∂u

∂z

)2

+

(∂v

∂z

)2

=

∥∥∥∥∂u

∂z

∥∥∥∥2

= M2

u étant la composante horizontale du courant moyen.



J JI⇐⇒

Autres effets du rapport d’aspect

Les paramétrisations se simplifient (en incorporant ∇k dans legradient de pression)

∇· (〈v′v′〉) = − ∂

∂z

(ν

∂u

∂z

)(451)

∇· 〈v′T ′〉 = − ∂

∂z

(λT ∂T

∂z

)(452)

et, de façon similaire, pour les autres scalaires. Il s’agit de la formeque nous avons déjà utilisée lors de l’étude des couches limites .



J JI⇐⇒

Stratification

16



J JI⇐⇒

Effet de la stratification

• Inhibition des instabilités

• Tenseurs et gradients de densité simplifiés par lerapport d’aspect .

• Dans la cascade de Kolmogorov, si N2 ∼ M2 où N2 ≥ M2 lastratification peut interagir avec la cascade, car la générationde turbulence a lieu par interaction avec l’écoulement moyenprès de la fréquence ω = u0

l0∼ M et la dissipation à plus haute

fréquence ωv

• La stratification réduit à la fois la taille de l0 et l’énergie desfluctuations.

Modification des équations par rapport à la paramétrisation de laturbulence classique isotrope: dépendance des paramètresturbulents en Ri ou N2 et M2



J JI⇐⇒

Modèle k − ε de la couche de mélange

En omettant les signes de 〈〉, (432) et (446) s’écrivent:

∂k

∂t+ ∇· (vk) = νM2 − λbN2 − ε +

∂

∂z

((ν + ν)

∂k

∂z

)

∂ε

∂t+∇· (vε) =

ε

k

(−c3ε λbN2 + c1ε νM2 − c2ε ε

)+

∂

∂z

(( 1

σεν + ν)

∂ε

∂z

)

M2 ≡∥∥∥∥

∂u

∂z

∥∥∥∥2

(453)

N2 ≡ ∂b

∂z(454)



J JI⇐⇒

Fermeture

⊕

ν = (c0µ)3cµ

k2

ε, (455)

ainsi que

λT = (c0µ)3c′µ

k2

ε. (456)

Les facteurs de proportionnalite sont en realite affectes par lastratification et le cisaillement, et une parametrisation courante est :

cµ =s0 + s1αN + s2αM

1 + d1αN + d2αM + d3α2N + d4αNαM + d5α2

M

, (457)

c′µ =s4 + s5αN + s6αM

1 + d1αN + d2αM + d3α2N + d4αNαM + d5α2

M

, (458)

⊕



J JI⇐⇒

Fermeture

⊕

αM = (c0µ)6

k2

ε2M2, (459)

et

αN = (c0µ)6

k2

ε2N2. (460)

s0 s1 s2 s4 s5 s6

0.7311 5.5528 -0.0386 0.7655 1.4414 0.2805

d1 d2 d3 d4 d5 c0µ

11.9251 1.3405 18.9086 11.3796 -0.0735 0.527

11 ⊕



J JI⇐⇒

Réalisme des modèles

7

Dissipation ε (en couleur) en fonction de la profondeur et du tempsmodélisé (à gauche) et observé (à droite). Courbes de niveau de ladensité superposées



J JI⇐⇒

Réalisme des modèles, variables primaires

7

Température, salinité et courants en fonction de la profondeur et dutemps modélisés et observés.



J JI⇐⇒

Influence des processus à plus grande échelle

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

mélange

accoustiques



(m)

microturbulence



fronts

circulation


houle

tempêtes

[8]Comment les échelles intermédiaires influencent-elles lesgrandes? Peut-on paramétriser leurs effets?



J JI⇐⇒

Paramétrisations de plus grandes échelles

Que se passe-t-il si l’on veut résoudre seulement lesgrandes échelles ?

• problème de fermeture,

• mais les processus sont de moins en moins aléatoires etchaotiques. Ils sont même souvent très structurés,

• de plus, ils peuvent alimenter en énergie un écoulement à plusgrande échelle (alors que les paramétrisations classiquessupposent unflux d’énergie des grandes échelles vers les plus petites ).

Nécessité d’adapter les paramétrisations classiques de laturbulence



J JI⇐⇒

Effet de la rotation sur mélange

9

A gauche: sans rotation, à droite avec rotation (effet de ∂u∂z = 0, voir

colonnes de Taylor )



J JI⇐⇒

Structuration par rotation

2

Simulation de tourbillons géostrophiques et observations



J JI⇐⇒

Instabilité convective, forte rotation

↑ Vue d’en haut ← vue latérale, vue du bas↑

12



J JI⇐⇒

Instabilité convective, faible rotation

↑ Vue d’en haut ← vue latérale, vue du bas↑

12



J JI⇐⇒

Vorticité

Rotation forte à gauche, sans rotation à droite



J JI⇐⇒

Turbulence de grande échelle

Décomposer le signal en trois échelles

• Microéchelles, turbulence proprement dite avec moyenne àmicroéchelles 〈〉1. Fluctuations de vitesses à microéchelle:v′ de moyenne 〈v′〉1 = 0

• Moyenne à macroéchelle 〈〉0. Processus filtrés ou nonrésolus v avec moyenne à macroéchelle 〈v〉0 = 0

• Processus d’intérêt 〈v〉

-

6

ω1T1

1T0

v′v〈v〉

Eω



J JI⇐⇒

Turbulence à grande échelle

v = 〈v〉 + v + v′ (461)

〈v〉1 = 〈v〉 + v (462)

〈v〉0 = 〈v〉 (463)

comme 〈v′〉1 = 0 et 〈v〉0 = 0



J JI⇐⇒

Tenseur des tensions

Version 1: D’abord, moyenne sur fluctuations rapides; ensuite,moyenne sur macroéchelle

〈vv〉1 = (〈v〉 + v)(〈v〉 + v) + 〈v′v′〉1 (464)

〈〈vv〉1〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈vv〉0 + 〈〈v′v′〉1〉0 (465)

Version 2: Moyenne directe sur la macroéchelle:

〈vv〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈(v + v′)(v + v′)〉0 (466)

〈vv〉0 = 〈v〉〈v〉 + 〈vv〉0 + 〈vv′〉0 + 〈v′v〉0 + 〈v′v′〉0 (467)



J JI⇐⇒

Tenseur des tensionsComme il faut que les tensions de Reynolds permettent le calcul de〈v〉0, il faudrait que 〈〈vv〉1〉0 = 〈vv〉0, ce qui suppose que :

〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉0 (468)

〈v′v〉0 + 〈vv′〉0 = 0 (469)

Si l’on veut en plus utiliser les fermetures turbulentes de lamicroéchelle en fonction des gradients de l’écoulement à trèsgrande échelle, il faut de plus

〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉1 (470)

c’est-à-dire que la micro-turbulence n’est pas modulée à uneéchelle T0. Dans ce cas, on peut utiliser la fermeture classique pourles termes en 〈v′v′〉1, mais il faut encore paramétriser 〈vv〉0



J JI⇐⇒

Tension de Reynolds à macroéchelle

〈vv〉0 (471)

Les fluctuations v sont des fluctuations à plus grande échelle detemps et d’espace. Les vitesses sont soumises au rapport d’aspectfaible et les tensions de Reynolds associées engendrent des fluxquasi-horizontaux:

〈vv〉0 ∼ 〈uu〉0 exex + 〈vv〉0 eyey + 〈uv〉0 (exey + eyex) (472)



J JI⇐⇒

Paramétrisations des différents processus

• Instabilités à petite échelle (type Kelvin-Helmholtz ):paramétrisations en termes de diffusion dépendante de N2,M2, k et ε

• A plus grande échelle, instabilités d’écoulementsgéostrophiques cisaillés et stratifiés ( instabilités baroclines ):paramétrisations comme diffusion isopycnale et advectionqui diminue l’intensité de fronts

• Effets de marées structurées sur circulation générale: calculexplicite du tenseur des tensions de Reynolds par un modèlede marée.

• Mélange associé aux gyres quasi-horizontaux:diffusion horizontale

• ...



J JI⇐⇒

Paramétrisations en fonction de la fenêtrespectrale

Pour chaque processus étudié dans une fenêtre spectrale donnée,il faudrait en principe paramétriser correctement les processusd’échelle inférieure. Les processus d’échelles plus grandesinterviennent alors via les conditions aux limites et initiales.

100010 10010

1 cm

1 m

1 km

1000 km

108

106

104

102

100

10-2

10-2

100

102

104

106

108

1010

marées

ondes

ondes

ondes

inertielles

internes

couchede

mélange

accoustiques



(m)

microturbulence

1 seconde1 minute1 heure 1 an1 jour


fronts

circulation


houle

tempêtes

[8]



J JI⇐⇒

Sur d’autres planètes

15



J JI⇐⇒

Chaos vs turbulence

Chemin classique du chaos

• instabilité

• bifurcation

• complexifications

• comportement aléatoire

Pour la turbulence nous observons le même phénomène mais

• comportement aléatoire à petite échelle seulement

• il y activation/création de nouveaux modes (élargissement del’espace d’état) pour dissiper l’énergie (parfois via desstructures semi-cohérentes)

• ces nouveaux modes évitent le chaos dans les grandeséchelles



J JI⇐⇒

Concepts à retenir

• Notion de fenêtre spectrale

• Paramétrisations des processus non-résolus

• Influence de la stratification et du rapport d’aspect

• Difficultés croissantes de paramétrisation pour des échellesplus grandes

15



J JI⇐⇒

Utilité

• Paramétrisations dans les modèles de circulation générale

• Modélisation des changements climatiques

• Etude de dispersion à long terme

• ...



J JI⇐⇒

Exercices



J JI⇐⇒

Turbulence en équilibre [N]

En supposant que la production de l’énergie cinétique turbulente esten équilibre avec la dissipation ε et l’extraction par la poussée,analyser comment le modèle de Prandtl doit être modifié quand ontient compte de la stratification. On suppose que la diffusionturbulente des scalaires λb est proportionnelle à la viscositéturbulente ν

λb =ν

σb(473)

On appelle σb le nombre ou coefficient de Schmidt turbulent; il peutdépendre de la stratification et du cisaillement, mais il est engénéral > 1



J JI⇐⇒

Suite: Mécanique des fluides géophysiques

Partim II (MECA053b)



J JI⇐⇒

Contenu MECA053b

• Ondes dans les eaux peu profondes

• Modèles à deux couches, modes baroclines

• Approximation quasi-géostropique

• Ajustement géostrophique

• Instabilité barocline

• Modèles à gravité réduite

• Upwellings

• Ondes équatoriales et El Niño

• Guides d’ondes internes

• Théorie de Sverdrup

• Doigts de sel



J JI⇐⇒

Exercices récapitulatifs



J JI⇐⇒

Gulf Stream [N]

Au large de la côte américaine est, le Gulf stream à 40N prend unedirection de l’ouest vers l’est. Sur une section sud-nord, on peutreprésenter la structure schématique de densité associée de lafaçon suivante (on suppose la salinité constante S = S0):

T = T0 +∆T

2[1 + tanh (1 + z/d − tanh(y/L)) ] ; ∆T > 0 (474)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

6

-

ez

ey NS

Gulf stream

eaux atlantiques



J JI⇐⇒

Gulf Stream (suite)

Si l’on suppose que l’écoulement est géostrophique, en équilibre hydrostatique et sansturbulence,

• calculer la pression réduite q en supposant que vers les profondeurs z → −∞,cette pression est constante, constante que l’on choisira nulle.

• en déduire l’expression de la surface libre

• calculer l’expression de la vitesse géostrophique selon l’axe ex en tout point etindiquer la structure du courant sur un dessin

• calculer le nombre de Rossby (basé sur la largeur L) en fonction de y, z et savaleur en (y, z) = (0, 0). Chiffrer pour d = 300 m, L = 100 km,

T0 = 4C, ∆T = 20C

• quel est dans ce dernier cas la différence de niveau d’eau entre les deux côtésdu courant

• sans calculer des intégrales mais en utilisant une estimation grossière de lavitesse dans le courant principal et de son étendue dL, estimer le débit associéau Gulf Stream.

Suggestion:On utilisera l’equation d’etat linearisee.



J JI⇐⇒

Couche limite d’Ekman turbulente [D]

On suppose que près du fond ν = κz2 u0

h , où κ est un paramètreconstant sans dimensions. Chercher la forme de la couche limited’Ekman du fond en supposant un équilibre entre la frictionturbulente et la force de Coriolis. On néglige la viscosité moléculaireet admet que la vitesse s’annulle en z = z0, alors qu’elle peut croitreen z et qu’elle vaut Uex en z = h.On notera le facteur hf

κu0= a où f est la fréquence de Coriolis.

Démontrer que la solution tourne avec les z croissants. Que vaut letransport entre z = z0 et z = h ?

6ez

z0

h



J JI⇐⇒

Couche limite d’Ekman turbulente (suite)

Suggestion: On cherchera la solution en utilisant la variable complexew = u + i v. Les solutions d’une equation du type

z2 d2φ

dz2+ b z

dφ

dz+ cφ = 0,

avec b, c constants, s’obtient en cherchant une solution du type zα, ouα doit prendre des valeurs particulieres a determiner pour quel’equation soit satisfaite pour tout z. Pour chaque valeur de α, onobtient alors une solution de l’equation que l’on combinera ensuite poursatisfaire la condition w(z0) = 0 et w(h) = U



J JI⇐⇒

Solution

En analysant l’écart par rapport à la vitesse géostrophiqueu′ = u − ug, v′ = v − vg:

−fv′ =∂

∂z

(ν

∂u′

∂z

)(475)

fu′ =∂

∂z

(ν

∂v′

∂z

)(476)

avec ν = κz2 u0

h et w′ = u′ + i v′ on doit résoudre:

ifw′ =d

dz

(ν

dw′

dz

)(477)



J JI⇐⇒

Solution

On doit résoudre

κu0

hz2 dw′

dz2+ 2κ

u0

hzdw′

dz− i fw = 0, (478)

en cherchant une solution type zα avec hfκu0

= a

α(α − 1) + 2α − i a = 0 (479)

et deux valeurs sont possibles pour α: α+ et α−

2α+ = −1 +√

1 + 4i a, 2α− = −1 −√

1 + 4i a (480)



J JI⇐⇒

Solution

La condition aux limites est w′(z0) = −U, w′(h) = 0 et la solution

w′ = −U

(z

z0

)α+

[1 −

(zh

)(α−−α+)]

[1 −

(z0

h

)(α−−α+)] (481)



J JI⇐⇒

Gyre océanique [N]

Un gyre (tourbillon) océanique idéalisé possède la structure dedensité suivante

ρ = ρ0

(1 − εez e−r2

)

ε est un nombre sans dimension positif et ε ¿ 1. r = r/R, z = z/d.On notera g′ = εg. Le gyre est centré sur r = 0 et z = 0 encoordonnées cylindriques.

6

-

ez

er

d?

6

-¾R ρ0

ρ0(1 − ε)



J JI⇐⇒

Gyre océanique (suite)

• Calculer le champ de pression réduite hydrostatique q (à uneconstante près) en sachant qu’en profondeur, il n’y a pas decourant.

• Déterminer ensuite le niveau d’eau (à une constant près)

• Calculer la vitesse du courant géostrophique

• Evaluer le nombre de Rossby en chaque point et calculer savaleur maximale (en valeur absolue)

• Calculer l’énergie cinétique totale (limité au volume z ≤ 0)

• Calculer∫S

∫ 0

−∞(ρ − ρ0)gzdzdS et en donner la signification

• Calculer le rapport de cette dernière intégrale et de l’énergiecinétique

• Calculer le débit d’eau (volume/unité de temps) à travers lasection z < 0, x > 0, y = 0. Commenter notamment la directionde ce débit



J JI⇐⇒

Courant de fond [N]

Un courant de fond peut être schématisé comme suit

ρ = ρ0 + ρ0ε

2

[1 − tanh

(z − d(1 − y/L)

δ

) ]

où ε est un nombre sans dimension positif et ε ¿ 1.

-6

ez

eyρ0 + ερ0

ρ0



J JI⇐⇒

Courant de fond (suite)

Si l’on suppose que l’écoulement est géostrophique, en équilibrehydrostatique et sans turbulence en dehors des couches limites

• calculer la pression réduite q en supposant qu’en hauteurz → ∞, cette pression est constante, constante que l’onchoisira nulle.

• calculer l’expression de la vitesse géostrophique selon l’axe ex

en tout point et indiquer la structure du courant sur un dessin

• calculer le nombre de Rossby (basé sur la largeur L) enfonction de y, z et sa valeur en (y, z) = (0, 0)

• Calculer le transport d’Ekman dans la couche limite du fond ensupposant que la viscosité turbulente est constante. Dansquelle direction ce transport est-il dirigé? Est favorable à unedescente ou une montée d’eau? Quel effet cela aura-t-il sur lemaintien du courant de densité?



J JI⇐⇒

SolutionLa poussée vaut

b = − ε

2g

[1 − tanh

(z − d(1 − y/L)

δ

) ](482)

La pression réduite avec la constante nulle en z = +∞

q =

∫ z

+∞b dz =

ε

2g

(−2z + δ ln

[e(

2d(L−y)δL )+e(

2zδ )

])(483)

Equilibre géostrophique selon y:

u = − 1

f

∂q

∂y=

εgd

Lf

1

1 + e(z−d(1−y/L)

δ )(484)

en (0,0) le nombre de Rossby vaut

u

fL=

εgd

L2f2

1

1 + e(−dδ )

(485)



J JI⇐⇒

Solution

Transport d’Ekman au fonD:Selon y

V =δE

2u, z → 0 (486)

V =εgdδE

2Lf

1

1 + e(−d(1−y/L)

δ )(487)

Positif: tendance de descente le long de la côte et remontée aularge par convergence divergence. Loin des côtes on peut aussicalculer la vitesse vertical due à l’Ekman pumping

w = −δE

2

∂u

∂y, z = 0 (488)

w = δEεgd2

δfL2

1

e(− 2dyδL ) + e(− 2d

δ )(489)



J JI⇐⇒

Meddy [N]

Les masses d’eau méditerranéennes qui se déversent en Atlantiqueforment des "meddies", masses d’eau salées et chaudes dans unenvironnement plus froid et moins salé. La forme de cette masseressemble à un "smartie" et sa structure peut être représenté par

ρ = ρ0

(1 − ε1z + ε2ze−(r2+3z2)

)(490)

z = z+DD , r = r/R -3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0



J JI⇐⇒

Meddy (suite)En supposant qu’il n’y ait pas de courant à une profondeur z = −10D et ε1 = 0.01,ε2 = 0.005

• Calculer le champ de pression réduite hydrostatique q (à une constante près)

• Déterminer ensuite le niveau d’eau (à une constante près)

• Calculer la vitesse du courant géostrophique en négligeant 1 devant e10

• Calculer l’énergie cinétique totale en supposant que le domaine est infini danstoutes les directions



J JI⇐⇒

Solution

q =

∫ z

−10D

b dz = −40Dε1g−1

6Dε2ge−243−r2

+1

6Dε2ge57−r22−3z2

+ε1gz+ε1gz2/2

(491)Niveau d’eau

η = q(z = 0)/g =1

6De−243−r2

(e240−1)ε2+Cte ∼ 1/6ε2De−3−r2

(492)

vθ =1

fR

∂q

∂r=

Drε2g

3fR2e−r2−3z2

(−1 + e3(z2−81)) ∼ −Drε2g

3fR2e−r2−3z2

(493)

K = π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞ρ0v

2θrdzdr = πρ0

D3ε22g2

144f2

√π/6 (494)



J JI⇐⇒

Le monstre du Loch Ness [N]

Une explication de l’observation du monstre du Loch Ness est laprésence d’ondes internes dans le lac rendues visibles par uneréfraction de lumière particulière. On voudrait tester lavraisemblance de cette hypothèse et l’on suppose que le monstreest du type sinusoïdal.

-¾

6

?

2 h

ρ1

ρ2

?

6h

L



J JI⇐⇒

Loch Ness (suite)

Si l’on suppose que la taille du monstre observé vaut L = 30 mètres,à quelle vitesse se déplacerait-il si le lac a une profondeur de2h = 200m à l’endroit où l’on observe le monstre, et qu’unestratification de ρ2 − ρ1 = 10 kg/m3 est présente.Cela vous semble-t-il une vitesse réaliste?Suggestion:Exploiter l’etude de l’instabilite d’un ecoulement a deuxcouches. Discuter et analyser aussi le fait d’utiliser une vitesse dephase ou de groupe pour l’estimation de la vitesse observee.



J JI⇐⇒

Courant côtier [N]

Un courant côtier d’eau fraîche est observé en surface le long d’unecôte et le profil de salinité peut être approché par

S = S0 −∆S

2

[1 + tanh

(z + d(1 − x/L)

δ

)]

alors que la température est uniforme T0 dans le domaine. Onsuppose que le courant est géostrophique et hydrostatique

6

-

ez

ey

?

6

-¾?6

d

δ

L

S0

S0 − ∆S



J JI⇐⇒

Courant côtier (suite)

• Calculer le champ de pression réduite hydrostatique q (à uneconstante près) en sachant qu’en profondeur z = −10d, il n’y apas de courant.

• Déterminer ensuite le niveau d’eau (à une constante près)

• Calculer la vitesse du courant géostrophique

• Evaluer le nombre de Rossby (basé sur L) en chaque point etcalculer sa valeur en (0, 0)

• Calculer le nombre de Richardson minimal rencontré dans cesconditions



J JI⇐⇒

Ocean hypothétique au repos [N]

En supposant que l’océan est en équilibre hydrostatique selon laverticale, démontrer à l’aide de l’équation de la quantité demouvement (dans un système en rotation), que le fluide ne peutêtre au repos que si la densité est uniforme horizontalement.Suggestion:Ne pas utiliser l’equilibre geostrophique a priori, maissupposer que les forces de frictions sont nulles en l’absence demouvement



J JI⇐⇒

Couche d’Ekman en dessous de la glace [N]

Calculer la structure de la couche d’Ekman en dessous d’unecouche de glace fixe en supposant que

• l’écoulement géostrophique en dehors de la couche limite estdirigé selon ey

• la viscosité turbulente ν est constante dans la couche limite

• la condition aux limites impose que la vitesse totale soit nulleau contact de la glace

• l’on soit dans l’hémisphère nord

Dans quelle direction sera le transport d’Ekman?Si l’écoulement géostrophique est uniforme, qu’observera-t-on aubord d’une banquise: une remontée ou une descente d’eau ?Justifier.

glace6

ez

ug

glace

6?

?



J JI⇐⇒

Relation de dispersion, fluide discontinu dansun plan f [TD]

Soit un fluide entre deux parois rigides en z = 0 et z = −h. Un sautde densité est présent en z = −d avec l’eau moins dense (ρ1 < ρ2)au dessus. Etablir que la relation de dispersion est

ω =

√g

hn(ρ2 − ρ1)

ρ2 coth

[ω

(h − d)√ghn

]+ ρ1 coth

[ω

d√ghn

]−1

(495)

hn =ω2 − f2

g(k2x + k2

y)(496)

On suppose que f? = 0 et β = 0. Comment se simplifie cetterelation si d = h/2 et ρ2 ∼ ρ1 pour les ondes longues?



J JI⇐⇒

Annexes



J JI⇐⇒

Glossaire

• Sea Surface Temperature: température de surface de la mer.

• Image composite: image obtenue en superposant plusieursimages (habituellement successives dans le temps) afin deproduire une vue moyenne qui élimine également lesproblèmes de couverture nuageuse.

• Diagramme de Hovmöller: lignes de niveau dans un espace(x, t). A partir de la pente des isolignes, on peut facilementidentifier le sens et la vitesse de propagation d’un signal lelong de l’axe x.

• εijk: vaut 0, si deux ou plus d’indices sont identiques, 1 quandles indices sont dans un ordre cyclique, -1 sinon



J JI⇐⇒

Surface libre vs. rigid-lid

• Ridig-liD:w = 0 en surface. "Toit rigide" au-dessus de l’eau. Lapression de surface devient l’inconnue

• Surface libre (free-surface): w = ∂η∂t + u· ∇hη en surface. La

position de la surface libre est l’inconnue et la pression desurface est la pression atmosphérique (en négligeant latension superficielle).

6

-ex

ez

6ηrigid-lid1

1-

-



J JI⇐⇒

Diffusion isopycnale

⊕ Comme les fluctuations sont plus aisees quand elles ne doivent pasvaincre une stratification, on suppose que les fluctuations sontessentiellement dirigees le long des surfaces d’egale densite (isopycnes).Si la parametrisation du tenseur des fluctuations associees est du type”diffusion”, on tourne l’operateur de diffusion:

∇·⟨v′ca′⟩

0= ∇· (AK∇ ca) (497)

(ρ2x + ρ2

y + ρ2z)K =

ρ2y + ρ2

z −ρxρy −ρxρz

−ρxρy ρ2x + ρ2

z −ρyρz

−ρxρz −ρyρz ρ2x + ρ2

y

(498)

ρxi= ∂ρ

∂xiet A est un coefficient de diffusion À ν. ⊕



J JI⇐⇒

Diffusion horizontale

Quand la stratification est faible, les fluctuations sontquasi-horizontales et une paramétrisation courante est

∇·⟨v′ca′⟩

0= ∇· (AK∇ca) (499)

K = Aexex + Aeyey (500)



J JI⇐⇒

Cyclône tropical

15



J JI⇐⇒

Références WWW

1 : http://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/IntroOc/ 2 : http://seawifs.gsfc.nasa.gov/ 3 : http://www.ulg.ac.be 4 : http://www.Lehigh.EDU/~fluids/tjp3/flowpics.html 5 : http://fluid.stanford.edu/~fringer/movies/movies.html 6 : http://www.po.gso.uri.edu/demos/ 7 : http://www.io-warnemuende.de/homepages/burchard 8 : http://www.engineering.uiowa.edu/~cfd/referenc/ 9 : http://paoc.mit.edu/labweb/ 10 : http://topex-www.jpl.nasa.gov/gallery/videos.html 11 : http://www.gotm.net 12 : http://dennou-k.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/library/gfd_exp 13 : http://bd.casterman.com/serie/castchat/ 14 : http://eol.jsc.nasa.gov/ 15 : http://nix.nasa.gov/nix.cgi



http://gaea.es.flinders.edu.au/~mattom/IntroOc/

http://seawifs.gsfc.nasa.gov/


http://www.Lehigh.EDU/~fluids/tjp3/flowpics.html

http://fluid.stanford.edu/~fringer/movies/movies.html

http://www.po.gso.uri.edu/demos/

http://www.io-warnemuende.de/homepages/burchard

http://www.engineering.uiowa.edu/~cfd/referenc/

http://paoc.mit.edu/labweb/

http://topex-www.jpl.nasa.gov/gallery/videos.html

http://www.gotm.net

http://dennou-k.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/library/gfd_exp

http://bd.casterman.com/serie/castchat/

http://eol.jsc.nasa.gov/

http://nix.nasa.gov/nix.cgi

J JI⇐⇒

Références WWW

16 : http://www.britannica.com/ 17 : http://www.educnet.education.fr/obter 18 : http://www.noaa.gov/ 19 : http://www.solarviews.com/french/earth.htm 20 : http://cimss.ssec.wisc.edu/goes 21 : http://svs.gsfc.nasa.gov/ 22 : http://www.gfdl.noaa.gov/products/vis/gallery/ 23 : http://www.gvsu.edu/videticp 24 : http://isitv.univ-tln.fr/%7Elecalve/oceano/plan.htm 25 : ttp://radlab.soest.hawaii.edu/ocn620/coriolis/ 26 : http://ww2010.atmos.uiuc.edu/(Gh)/guides/mtr/pw/ 27 : http://www.ioccg.org/ 28 : http://www.brookscole.com 29 : http://www.soc.soton.ac.uk/JRD/SAT/Rossby 30 : http://astrosurf.com/lombry/ 31 : http://www.univ-brest.fr/lpo/

Document préparé par LATEX et Prosper



http://www.britannica.com/

http://www.educnet.education.fr/obter

http://www.noaa.gov/

http://www.solarviews.com/french/earth.htm

http://cimss.ssec.wisc.edu/goes

http://svs.gsfc.nasa.gov/

http://www.gfdl.noaa.gov/products/vis/gallery/

http://www.gvsu.edu/videticp

http://isitv.univ-tln.fr/%7Elecalve/oceano/plan.htm

ttp://radlab.soest.hawaii.edu/ocn620/coriolis/

http://ww2010.atmos.uiuc.edu/(Gh)/guides/mtr/pw/

http://www.ioccg.org/

http://www.brookscole.com

http://www.soc.soton.ac.uk/JRD/SAT/Rossby

http://astrosurf.com/lombry/

http://www.univ-brest.fr/lpo/

http://www.dante.de

http://prosper.sourceforge.net/

J JI⇐⇒

References

[1] J.-M. Beckers. La Méditerranée Occidentale: de la modélisation mathématique à lasimulation numérique. Collection des Sciences Appliquées ULG N136, 1992. Ph.DThesis 350pp.

[2] J.-M. Beckers. Mécanique des fluides géophysiques. GHER, pages 1–216, 2000.revised version; first edition 1991.

[3] B. Cushman-Roisin. Introduction to Geophysical fluid dynamics. Prentice Hall, 1996.

[4] E. Delhez and J.C.J. Nihoul. Mécanique Rationnelle - Modèle mathématique deNewton. Etienne Riga éditeur, 1996.

[5] P. H. LeBlond and L.A. Mysak. Waves in the ocean. Elsevier, New York, 1978. 602pp.

[6] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l’environnement. é. t. a. b.é. t. y. p. Liège, 1977.

[7] J. Pedlosky. Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1979.

[8] H. von Storch and F. Zwiers. Statistical analysis in climate research. CambdridgeUniversity Press, 1999.



J JI⇐⇒

Questions d’examen1. Melange de constituants, equations de bilan de a inclu

2. Notion d’approximation de Boussinesq, de poussee et de pression reduite:

de a inclu (energie interne et thermodynamique exclu)

3. Rapport d’aspect et approximation hydrostatique de a inclu

4. Ondes internes: poser le probleme et ensuite de a inclu

5. Onde de Kelvin interne de a

6. Equilibre geostrophique, niveau de reference, vent thermique de a

7. Couche d’Ekman de surface de a

8. Ekman pumping et couche limite du fond de a

9. Upwellings cotiers de a

10. Etablissement de l’equation de Taylor-Gouldsmith de a

11. Etude de l’instabilite de Kelvin-Helmholtz 2 couches (Taylor-Gouldsmith

donne) de a

12. Condition de stabilite suffisante Ri > 1/4, interpretations de a

13. Probleme general de fermeture turbulente (moyenne, fluctuations), de a

(sans les calculs)

14. turbulence: phenomenologie et transferts d’energie de a

15. Probleme de la turbulence geophysique de aMécanique des fluides géophysiques – p. 583


J JI⇐⇒

Cumulus

19

Figure 8 : CumulusMécanique des fluides géophysiques – p. 584


J JI⇐⇒

Convection

20



J JI⇐⇒

Ondes internes

Figure 9 : Onde interne a Gibraltar



J JI⇐⇒

Structures frontales

Figure 10 : Fronts au large de l’Afrique du sud



J JI⇐⇒

Géostrophie

Figure 11 : Tourbillon geostrophique



J JI⇐⇒

Ondes inertielles



J JI⇐⇒

Vagues



J JI⇐⇒

Turbulence atmosphérique

14



J JI⇐⇒

Orages

30

Figure 12 : Orages



J JI⇐⇒

Cluster de nuages



J JI⇐⇒

Onde planétaire atmosphérique

19

Figure 14 : Le jet stream peut donner lieu a des ondulations (les ondes planetaires)



J JI⇐⇒

Jet stream

19

Figure 15 : Le jet stream



J JI⇐⇒

Cellules de Hadley

19

Figure 16 : Cellules schematiques



J JI⇐⇒

Ondes de choc

Figure 17 : Vol supersonique



J JI⇐⇒

Cyclones

18



J JI⇐⇒

Vent catabatique

20



J JI⇐⇒

Turbulence

Figure 18 : Turbulence



J JI⇐⇒

Tempêtes

Figure 19 : Tempetes



J JI⇐⇒

Couche de mélange

Figure 20 : Cellules de Langmuir



J JI⇐⇒

A plus petite échelle: Cellules de Langmuir

23



J JI⇐⇒

Courants de surface

17

Figure 21 : Courants de surface de la circulation generale



J JI⇐⇒

Conveyor belt

Figure 22 : Conveyor belt



J JI⇐⇒

Contrôle hydraulique

Conservation du transport U :

U = u(x) [h(x) + η(x)] (501)

Conservation de l’énergie (Bernouilli)

Φ =u(x)2

2+ g η(x) (502)

6e3

6η

66

?h



J JI⇐⇒

Bifurcation

Conservation du transport U :

η(x) =U

u(x)− h(x) (503)

Conservation de l’énergie (Bernoulli)

η(x) =Φ

g− u(x)2

2g(504)

Equation cubique en u. Point critique quand le point tangent donnépar ∂η

∂u est identique pour les deux courbes:

− U

u2= −u

g→ u2 = g (h + η) Fr = 1 (505)



J JI⇐⇒

Bifurcation

Pour un débit faible et un h(x) donné, deux racines sont possibles.Si le courant doit passer par des hauteurs variables h, la courbe(503) se déplace et le couple (η, u) également. Si le courant passepar un point où h est minimum et tel que u2 = g (h + η) Fr = 1, lecouple (η, u) peut suivre deux chemins possibles après cet endroit.De plus, pour un h avec un minimum donné, le débit maximal quel’on peut faire passer pour un niveau d’énergie donné, correspond àla situation où h est minimum quand u2 = g (h + η) Fr = 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Figure 23 : Relations (503) (rouge clair et rouge fonce) et (504) (jaune). Pour une

valeur critique de h, une seule racine existe.



J JI⇐⇒

Geoïde

Figure 24 : Geoıde



J JI⇐⇒

Géopotentiel

Φ =

∫ z

g dz (506)

dΦ = g dz = g dZ (507)

On utilise Z (hauteur géopotentielle) comme coordonnée verticaleque l’on notera z. L’origine sera choisie à l’endroit du geoïde (unegéopotentielle particulière).



J JI⇐⇒

PVD (Progressive Vector Diagram)

6

-ex

ey

(x0, y0)

7

*6-

6 q6

w

(u(t)∆t, v(t)∆t)x(t), y(t)

(x(t + ∆t), y(t + ∆t))

Progressive Vector Diagram

Formellement: intégration de

Dx

Dt= u(x0, y0, t),

Dy

Dt= v(x0, y0, t) (508)

ce qui est une bonne estimation des trajectoires

Dx

Dt= u(x(t), y(t), t),

Dy

Dt= v(x(t), y(t), t) (509)

si le champ de vitesses est suffisamment homogène.



J JI⇐⇒

Hodographe

6

-ex

ey(u(t), v(t))

7

(u(t + ∆t), v(t + ∆t))> * :

Hodographe

Vecteurs vitesse en fonction du temps (ou de la coordonnéeverticale)



J JI⇐⇒

Formulaire

∇Λ(∇c) = 0 (510)

∇· (∇Λa) = 0 (511)

∇2c = ∇· (∇c) (512)

∇2a = ∇(∇· a) − ∇Λ(∇Λa) (513)

∇· (ca) = (∇c)· a + c(∇· a) (514)



J JI⇐⇒

Formulaire

∇Λ(ca) = (∇c)Λa + c∇Λa (515)

∇· (aΛb) = b· (∇Λa) − a· (∇Λb) (516)

∇Λ(aΛb) = b· (∇a) − a· (∇b) + a(∇· b) − b(∇· a) (517)

∇(a· b) = b· (∇a) + a· (∇b) + bΛ(∇Λa) + aΛ(∇Λb) (518)

a· ∇a = ∇(a· a

2

)− aΛ(∇Λa) (519)



J JI⇐⇒

Coordonnées cylindriques

v = vrer + vθeθ + vzez (520)

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z (521)

-

6

ex

ey

ez

] *er

eθ

r

θK



J JI⇐⇒

Coordonnées cylindriques

∇a =∂a

∂rer +

1

r

∂a

∂θeθ +

∂a

∂zee (522)

∇·v =1

r

∂(rvr)

∂r+

1

r

∂vθ

∂θ+

∂vz

∂z(523)

∇Λv =

(1

r

∂vz

∂θ− ∂vθ

∂z

)er

+

(∂vr

∂z− ∂vz

∂r

)eθ +

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)ez

(524)



J JI⇐⇒

Equations en coordonnées cylindriques

1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂vθ

∂θ+

∂w

∂z= 0,(525)

∂vr

∂t+

∂

∂r

(v2

r + v2θ

2

)− vθ

r

∂

∂r(rvθ) −

∂vr

∂θ

+ w

∂vr

∂z− fvθ = −∂q

∂r,(526)

∂vθ

∂t+

1

r

∂

∂θ

(v2

r + v2θ

2

)+

vr

r

∂

∂r(rvθ) −

∂vr

∂θ

+ w

∂vθ

∂z+ fvr = −1

r

∂q

∂θ.(527)



J JI⇐⇒

Rotation solide

v = Ωreθ (528)

∇Λv =1

r

(∂(rvθ)

∂r

)ez = 2Ωez (529)

-

6

ex

ey

ez

KKKK

r

ΩtK

v = ΩrK

K

Rotation solide à vitesse angulaire Ω



J JI⇐⇒

sinh(k(z − h))

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

z/h

sinh(k(z−h))sinh(−kh)

( sinh(k(z−h))sinh(−kh) , z/h) pour kh =1 (presque linéaire), 5, 10 et 20 (couche

limite prononcée).



J JI⇐⇒

tanhxx

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

x

tanh xx



J JI⇐⇒

Intégrales

∫ b

−∞(1 + tanh(a + ξ)) dξ = 2b + ln

(e2a + e−2b

)



J JI⇐⇒

Phytoplancton/Algues

13



J JI⇐⇒

Le Nord

13



J JI⇐⇒

Point central

13



J JI⇐⇒

Marées

13



J JI⇐⇒

Forêts

13Mécanique des fluides géophysiques – p. 626


J JI⇐⇒

Niveau d’eau

13



J JI⇐⇒

WWW

13



J JI⇐⇒ Mécanique des fluides géophysiques – p. 629


Mécanique des fluides géophysiques (partim I)

Documents

Transcript of Mécanique des fluides géophysiques (partim I)