06/05/2011

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Mécanique des fluidesq

Guy Gauthier ing. Ph.D.

ÉSYS-823 - Été 2011

È

Comme en comptabilité, il faut que ça balance.Rien ne se perd, rien ne se créé…

LE BILAN MATIÈRE

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Le bilan matière

Équation de ce bilan :q

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

masse de liquidedans le réservoirà t t

masse de liquidedans le réservoirà t

masse de liquide entrant dans le réservoirde t à t t

masse de liquide sortant du réservoirde t à t t+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥−

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥Δ Δ Δ

V V F dt F dtt t t i

t t t t

ρ ρ ρ ρ+

+ +

− = −∫ ∫Δ

Δ Δ

Cours #1 - SYS-823 Page 3

t t

dVdt

F Fi

ρρ ρ= −

Le bilan matière [2]

Or :dVd

Vdd

dVd

ρ ρρ= +

Si la densité est constante :

dt dt dtρ

dVdt

dVdt

ρρ=

dV dV

Cours #3 - SYS-823 Page 4

Bilan : ρ ρ ρdVdt

F Fi= −dVdt

F Fi= −

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Équation différentielle linéaire ordinaire

Pour résoudre cette équation qdifférentielle:

Il suffit de connaître:Les entrées : F (t) et F(t);

dVdt

F Fi= −

Variable d’état

Entrées

Cours #1 - SYS-823 Page 5

Les entrées : Fi(t) et F(t);Le volume initial : V(0).

Solution

La solution de cette équation qdifférentielle est :

( )V F F d Vi

t

= − +∫ ( ) ( ) ( )τ τ τ0

0

Cours #1 - SYS-823 Page 6

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Exemple avec réservoir cylindrique

Pour un réservoir cylindrique : V = Ahy q

Si le débit de sortie est proportionnel à la i é d l h t d li id

dVdt

Adhdt

F Fi= = −

Cours #1 - SYS-823 Page 7

racine carrée de la hauteur de liquide:

F h= β

Équation différentielle non-linéaire

L’équation différentielle à résoudre qpour la hauteur est :

dhdt

FA A

hi= −β

Paramètres

Cours #1 - SYS-823 Page 8

Variable d’état

Entrée

Paramètres

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Solution – vidange d’un réservoir s’écoulant par gravité

La solution de cette équation est q(en supposant que Fi = 0) :

dhdt A

h

dh

= −β

βdh

dth t

∫ ∫= −β

Cours #1 - SYS-823 Page 9

dhh A

dt= −β h A

dth to o

∫ ∫

Solution (2)

Donc : ( )2 2h h t t− = − −β

Si to = 0 :

( )

( )

2 2

2

h hA

t t

h hA

t t

o o

o o= − −β

h h( ) ⎡ ⎤β 2

Cours #1 - SYS-823 Page 10

h t hA

to( ) = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

β2

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Ballon-tampon de gaz(Gas surge drum)

Soit:V : volume du ballon-tampon (m3);n : quantité de gaz (moles);MW : poids moléculaire du gaz (kg/mole);qi : débit molaire entrant (moles/s);q : débit molaire sortant (moles/s);

Ballon-tampon de gaz

La masse s’accumulant dans le ballon est:

Si id lé l i t t

( )Wi Wi W

d nMq M qM

dt= −

Si poids moléculaire constant:

idn q qdt

= −

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Loi des gaz parfaits

La relation pression-volume est pcaractérisée par la loi des gaz parfaits:

PV nRT=

Ainsi:PVnRT

=

Loi des gaz parfaits

Donc:( )( )

La température T (en kelvins) et le volume V (en m3) sont assumés

t t

( )( )i

d PV RTdn V dP q qdt dt RT dt

= = = −

constants.R est la constante des gaz parfaits (en J/(k.mole)).

8.314472 J/(k.mole).

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Bilan

Finalement: ( )idP RT q q= −

Le stockage de gaz dans un réservoir change la pression.

( )iq qdt V

Exemple:

Réservoir de 5 m3, Température de , p300 kelvins, Pression initiale du réservoir de 101300 Pa.Débit entrant de 10 moles/min; Pression en aval de 101300 Pa; coefficient d’écoulement de 0.35 mole/(Pa.min).

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Exemple:

n = 203.06 moles, quantité initiale , qde gaz – évalué à partir de la loi des gaz parfaits.

Puis: ( )idP RT q qdt V

= −

PVnRT

=

( )( )i av

dt VRT q P PV

β= − −

Exemple:

Avec les valeurs numériques:q

( )( )7

498.87 0.35 101300

498.87 174.60 1.77 10

i

i

dP q Pdt

q P

= − −

= − + ×

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Exemple:

Simulation:

Loi de Bernoulli

Équation correspondant à cette loi:q p

Fluide incompressible;Fl id f it ( i ité é li bl t

2

constante2v p zg gρ+ + =

Fluide parfait (viscosité négligeable et pas de pertes de charges).

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Exemple

Réservoir qui se vide par gravité:q p g

Exemple

Selon Bernoulli:2 21 1 2 2

1 22 2v p v pz zg g g gρ ρ+ + = + +

v1 = 0 m/s

p1 = 1 atm p2 = 1 atmp1 = 1 atm. p2 = 1 atm.

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Exemple

Ce qui mène à:22

1 2v z z h= − =q

Donc:

1 22z z h

g

2 2v gh=

Et: 2 2 2 2 2Q A v A gh= =

Exemple

Dans le réservoir: 2 1dhQ Ad

= −

Ce qui mène à:

2 1Qdt

2

1

2A ghdhdt A

= −

Car le réservoir se vide

Ressemble à: dh hdt A

β= −

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Exemple

Dans le réservoir: 2 1dhQ Ad

= −

Ce qui mène à:

2 1Qdt

2

1

2A ghdhdt A

= −

Car le réservoir se vide

Ressemble à: dh hdt A

β= −

Bilan énergétique d’une ligne de fluide

Énergie cinétique:g q

Énergie potentielle:

( )2 21 1 12 2c VE mv vρ= =

( )1z VE mgz gzρ= =

Énergie élastique:( )1

p VE pV p= =

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Loi de Bernoulli (fluide compressible)

Équation correspondant à cette loi:q p

Avec γ le rapport des capacités calorifiques du fluide donné par:

2

constante2 1v p zg g

γγ ρ

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

calorifiques du fluide donné par:

p

v

CC

γ =1.67 pour gaz monoatomique

1.40 pour gaz diatomique

Tableau de Cp et Cv pour divers gaz

Cp J/kg/k Cv J/kg/k

Air 1005 718

O2 917 653

N2 1038 741

Vapeur d’eau 1867 1406

He 5234 3140

Ne 1030 618

Propane (C H ) 1692 1507Propane (C3H8) 1692 1507