MECA1321 : tout ce dont vous avez rêvé à propos des fluides newtoniens...

Equations de conservation et de comportement (VL)

Ecoulements et transferts laminaires (VL)

Théorie de la lubrification (VL)

Couches limites - convection forcée et naturelle (VL)

Ecoulements et transferts turbulents (GW)

Examen d’exercices à livre fermé sans aucun document ou formulaire !

Equipe enseignante :-)

La mécanique des milieux continus…

Construction d’un modèle pour prédire l’évolution

d’un milieu continu

Equations aux dérivées partiellesEquations de conservationEquations de comportement

Conditions aux limitesConditions frontièresConditions initiales

MASSE

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Dynamique moléculaire de l’air

Hypothèse du modèle continu

Construction d’un modèle pour prédire l’évolution

d’un milieu continu

3.5 litres d’air1023 molécules

Ordinateur

1010 opérations par seconde1013 secondes ou 100.000 années

juste pour référencer une fois chaque molécule

La prédiction avec la dynamique moléculaire est tout-à-fait

impossible pour des écoulements complexes

La densité obtenue comme une moyenne…

Essentiellementconstant

Non uniformité macroscopique

Fluctuationsmoléculaires

Point matériel

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Hypothèse des milieux

continus

Essentiellementconstant

Non uniformité macroscopique

Fluctuationsmoléculaires Echelle

Le comportement de nombreux systèmes est essentiellement le même que si on supposait qu’ils étaient parfaitement continus.

Expérimentalement, on observe bien une séparation des échelles, typiquement 1015

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1171 LOISD E CONSERVATION

O U D E B I L A N

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ENERGIE

Lois de conservation

Observateur

Apports extérieurs

Contenu : masse, quantité de mvt, énergie…

Contenant : volume matériel ou volume de controle

Lois de conservation, lois de comportement,conditions aux limites.

Lois de comportement

Lois de conservation

Conditions aux limites

Consevation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment de la quantité de mouvement et de l�énergie.

Formes globales de la conservation de la masse

Volume matérielEnsemble de points matériels en mouvement se déplaçant à une vitesse macroscopique v(x,t)

Volume de controleEnsemble de points eulériens

Forme globale

satisfaite pour une certaine classe de systèmes, à tout instant

Conservation de la masse

Forme locale

satisfaite en tout point et à tout instant

sous certaines conditionsde continuité..

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Toutes les lois de conservation, en un clin d�oeil…

Forme globale pour des volumes matériels

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DISSIPATIONV I S QU EU S E

PUISSANCE D E S EFFORTS INTERNEC

Conservation de l’énergie…

… sous 3 angles de vue !

Puissance des efforts internes

Energiepotentielle

Energiecinétique

Energieinterne

Puissance des forces à distance

Puissance des efforts internes

Puissance des efforts internes

Energiecinétique

Energieinterne

Formes globales

Forme locale non-conservative de la conservation de l’énergie interne

Forme locale non-conservative de la conservation de l’énergie cinétique

Comment retrouver

les équationslocales ?

…dont on peut déduire des formes locales

Forme localedite conservative

Forme localedite non-conservative

Trois nouveaux acteurs dans notre modèle !

Pression

Tenseur des extra-contraintes

Enthalpie

Un peu d’algèbre

Lois de conservation, lois de comportement,conditions aux limites.

Lois de comportement

Lois de conservation

Conditions aux limites

Second principe de la thermodynamique,Modèle du fluide visqueux newtonien

Les équations de comportement ne peuvent pas être écrites n’importe comment !Il faut respecter certaines règles !En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la

thermodynamique soit toujours satisfait.

Quelques jolis tenseurs pour construire notre modèle…

Tenseur des taux de déformation

Partie sphérique du tenseur des taux de

déformation

Partie déviatoire du tenseur des taux de

déformation

Modèle du fluide visqueux newtonien

Contraintes à respecter

pour satisfaire Clausius-Duhem

Viscosité de cisaillement

Viscosité de volume

Conductibilité thermique

L’équation de comportement pour l’entropie n’est utile que pour vérifier que le second principe est bien satisfait !

Quelques ordres de grandeur

Le compte est bon !

Remarque : si une équation de comportement pour l’enthalpie est donnée… on en déduit automatique l’énergie interne et vice-versa.

Un exempled’équation d’état pour la masse volumique

Modèle de gaz idéal

Ecoulements compressibles

Propagation des sons au sein de l’air : c’est un effet de la compressibilité de l’écoulement. Caractérisation par le nombre de Mach

Constante du gaz

Presque comme en thermo…

Constante du gaz

Masse volumique [kg/m3]

Concentration molaire [mole/m3]

Masse molaire[kg/mole]

Constante des gaz

Et la relation d’état pour l’enthalpie (1) ?

(1) ou l’énergie interne

Coefficient de dilatation thermique

Coefficient de compressibilité

Chaleur massique à pression constante

Chaleur massique à volume constant

Il s’agit donc de définirune équation d’état pour la chaleur massique à pression constante et …

Chaleur massique à pression constante

On ne peut pas écrire n�importe comment ces relations d�état !

Second principe de la thermodynamique

Il faut respecter certaines règles !En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la

thermodynamique soit toujours satisfait.

De tels gonflement de jets sont imprévisibles avec ce modèle newtonien

(Giesekus, Rheologica Acta, 68)

(Piau, JNNFM, 90)

La plupart de fluides réels NE SONT PAS des fluides newtoniens…

L’air et l’eau sont toutefois newtoniens et constituent les fluides les plus largement répandus…

!

I t t

Rhéologie : la science du monde magique des équations de comportement…

Contraintes du fluide visqueux

newtonien

Contraintes du solide élastique

PressionVitesse de dilatation-

compression

Vitesse de cisaillement

DéformationModèles viscoélastiques

petites déformationsgrandes déformations

coefficients de Lamé

viscosité de volume

viscosité de cisaillement

Evaluer la force de trainée à partir d’une mesure du profil de vitesses en aval…

Volume de controleEnsemble de points eulériens

Taneda 1956(from An Album of Fluid Motion, Van Dyke)

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D E FORCE D E TRA INEE

P A R U N I T E D E PROFONDEURD E L A CO LONN E

Simplifications usuelles…Ecoulement incompressible

Ecoulement incompressible et irrotationnelTransformations

adiabatiques

Hypothèses réalistes

Hypothèses irréalistes

Fluideparfait

Fluideincompressible

Fluide newtonien à paramètres matériels constants

Donc, simplifions…

Ecoulement incompressible

Les équations de continuité et de quantité de mouvement ne font pas intervenir la température : on peut résoudre la dynamique de l’écoulement sans tenir compte des aspects thermiques !

Ecoulement incompressible d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants.

Dans un écoulement incompressible, il n’y a pas de raison de distinguer chaleur spécifique à volume ou à pression constante. On écrit simplement le symbole c !

Ecoulements incompressibles stationnairesplans

Ecoulement incompressible stationnaire d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans forces de volume.

Ecoulements 3D – 2D –1D

Ecoulements établis :

• Une seule vitesse u• Pas de variations de u le long de l’axe de

la conduite (c’est-à-dire x)

Un écoulement établi est un écoulement dont le profil transversal de vitesse est le même quelle que ce soit la section transversale à l’écoulement.

La section doit évidemment être constante !

Ecoulements incompressibles stationnairesplansétablis

En imposant v=0 sur une des parois…

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Poiseuille

Couette

Ecoulements incompressibles stationnairesaxisymétriquesétablis

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