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Vibrations dans les poutres.

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Vibrations dans les poutres.

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Introduction et hypothèses :

Vibrations des poutres : Introduction

Les méthodes systèmatiques sont liées à la nature particulière des ensembles on en distingue 4 cas :

Les poutres : La matière est répartie le long d’une ligne moyenne

Les plaques : La matière est répartie le long d’une surface plane moyenne

Les coques : La matière est répartie le long d’une surface moyenne dans l’espace tridimensionnel.

Les corps à géométrie quelconque.

1. Hypothèses de la MMC pour les poutres :

Définition :

Une poutre est un solide t.q. 2 de ses dimensions sont petites devant une 3ème, d’où la notion de longueur, section droite et ligne moyenne autour de laquelle la matière est répartie.

La ligne moyenne est le lieu des centres de gravités des sections droites.

G1

G2

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3. Contraintes et torseur des forces internes de liaison.

1e

2e

3e

2e

G

P⊗

poutre

Section droite

G : centre de gravité de la section et P : un point courant de cette section.

32 ezeyGP +=

Hyp : On a un état plan des contraintes et des forces de cohésion, on fait par exemples, le choix suivant

( ) forces desplan , 21 ee

moments. des axe : 3e

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2. Hypothèses de la MMC.

Hyp 1. : Petites vibrations autour de la position d’équilibre stable qui correspond à des petites déformations dans le domaine élastique. Remarquons qu’on peut avoir de grands déplacements et petites déformations, exples : déformations d’ailettes d turbines, éoliennes…

Hyp 2. : (Navier-Bernouilli)

Quand la poutre se déforme toute section droite reste droite (perpendiculaire) à la ligne moyenne et inaltérée (aucune déformation ne s’effectue dans son plan : contour inchangée)

La section tourne en un seul bloc et se comporte comme un solide rigide.

G1

G2

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3.1. Contraintes en un point.

Notons σ Le tenseur des contraintes :

( ) normales scontrainte des tenseur : eP 111

σ ( ) lles tangentiescontrainte des tenseur : eP 212

σ

( )P11σ

G

( )P12σ

P

Rq : Par hypothèses les contraintes tangentielles et normales ne dépendent que de la variable x.

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3.2. Torseur des forces en un point.

N

T

P

GM

Solide 1Solide 2

Les actions du solide 2 sur le solide 1 sont MTN et ,

∫∫ σ=S

212 e dsT ∫∫ σ=

S111 e ds

N ( ) 3S

11S

e dsy dsPGP ∫∫∫∫ σ−=∧= τM

Où l’on noté : ( ) 1esuivant Pen scontrainte desVecteur : Pτ

Remarque : ( ) 33 epar porté )e).Ppar causé((moment : τM

à cause de l’hypothèse des contraintes planes

( ) forces desplan , 21 ee

moments. des axe : 3e

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4. Déplacements et vitesses des pts d’une même section (Cinématique)

4.1. torseur des déplacements et torseur des vitesses (Exercice).

Ecrire le torseur des déplacements à partir des des déplacements

( )( ) salt transverdéplacemen : t;xv

allongitudint déplacemen : t;xu

4.2. Déformations : tenseur, torseur et loi de comportement (Exercice).

4.3. Etablissement des équations de la dynamique pour la poutre. (Exercice).

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5. Equations aux dérivées partielles.

5.1. Equations.

Hypothèses : Il n y a que des forces réparties : ( ) 2esuivant t,xp

2e ( ) t,xp

1e

dxx

NN

∂∂+

dxx

TT

∂∂+

dxx

MM

∂∂+

( )xM- ( )xN-

( )xT-

( )xG 0* *( )dxxG 0 +

dx

( )2

2

1t

t,xuA

x

N : eSur

∂∂ρ=

∂∂

( ) ( )2

2

2t

t,xvAt,xp

x

T : eSur

∂∂ρ=+

∂∂

( )2

2

3t

t,xIT

x

M : eSur

∂θ∂ρ=+

∂∂

x

u

EA

N

∂∂=ε=

xEI

M

∂θ∂=χ=

θ−∂∂=γ=x

v

GA

T

'

6 équations

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5.2. Vibrations libres longitudinales.

Hyp : ( ) 0t,xp = ( )2

2

t

t,xuA

x

N

∂∂ρ=

∂∂

2

2

x

uEA

x

N

x

u

EA

N

∂∂=

∂∂⇒

∂∂=

ondel' de vitesseE

coù ;0x

uc

t

u

2

22

2

2

ρ==

∂∂−

∂∂⇒

!!!! Il faut 2 conditions initiales (t=0) et 2 conditions aux limites (généralement les extrémités)

Application : N N

lBarre libre dont les extrémités sont soumises à des vibrations longitudinales.

x

uEANcar limn cond' xen et 0xen 0N

∂∂=⇒=== ( ) ( ) t 0t

x

ut

x

u

x0x

∀=

∂∂=

∂∂⇒

==

La solution est alors donnée par : ( )

π+

π

π= ∑

=

tck

sinBtck

cosAxk

costx,u kk1k

( ) ( ) ( )( )tsinBtcosAxc

costx,upar encoreou kkkk1k

k ω+ω

ω= ∑

=

ck si k

π=ω

et

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5. Vibration longitudinale( traction-compression barres)

5.1. Solution théorique exacte.

Pendant la vibration longitudinale chaque élément de longueur dx de la barre (ou de la poutre) est soumis alternativement à une traction et à une compression. Si la barre est suffisamment mince pour qu’il soit possible de négliger les forces d’inertie transversales, les forces internes sont alors essentiellement axiales. La loi de Hooke reliant la

contrainte σ à la déformation ε peut s’écrire :

et la seconde loi de Newton relative à un élément de volume dV et de masse volumique ρ :

à partir de ces deux lois, on obtient la condition d’équilibre d’un élément de longueur dx compris entre deux sections droites :

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Et si la barre a une section constante :

Si, de plus, à une extrémité libre, on fixe une masse M la force d’inertie de M et la force élastique s’équilibrent pour x=l ‘ (où l désigne la longueur de la barre)

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Exemples de vibrations longitudinales.

Barre de section variable soumise à des vibrations longitudinales

Barre de section constante soumise à des vibrations longitudinales et ayant une masse M à son extrémité libre

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5.2. Vibrations libres transversales.

( ) ( )2

2

2t

t,xvAt,xp

x

T : eSur

∂∂ρ=+

∂∂

( )2

2

3t

t,xIT

x

M : eSur

∂θ∂ρ=+

∂∂

2

2

x

vEI

xEIM

xEI

Met

∂∂=

∂θ∂=⇒

∂θ∂=χ=θ=

∂∂⇒θ−

∂∂=γ=

x

v

x

v

GA

T

'

( ) ⇒= 0tx,p( )

2

2

t

t,xvA

x

T

∂∂ρ=

∂∂

⇒=∂

θ∂0

t 2

20T

x

M =+∂∂

Loi de comportement

or3

3

x

vEI

x

MT

∂∂−=

∂∂−= en dérivant une fois il vient alors :

( ) ( )0

x

t,xv

A

EI

t

t,xv4

4

2

2

=∂

∂ρ

+∂

Hyp : Poutre non chargée, cisaillement négligé et l’énergie cinétique de la rotation de la poutre est faible devant celle de la translation

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5.2. Vibrations libres transversales (2)

On cherche des solutions à variables séparées de l’équation ( ) ( )0

x

t,xv

A

EI

t

t,xv4

4

2

2

=∂

∂ρ

+∂

( ) ( ) ( )tqxt,xv φ=( ) vibrationde propre forme :xoù φ ( ) du tempsfonction une :tqet

( )( )

( )( ) xt, ,t

q

q

EI

Ax 4

24

∀α=ρ−=φ

φ⇒ et t x/cste=α

0qA

EI

dt

qdet

dx

d 42

24

4

4

α+φα=φ⇒

Les solutions : ( ) ( ) :caract éql' den sol' s avec Bexet tA

EIcosAtq sx2 =φ

ϕ−

ρα=

( ) α±=α±=⇒=α− isou s0esB sx44

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xchAxshAxcosAxsinAx 4321 α+α+α+α=φ⇒

initiales conditions lespar déterminéssont et A ϕ

limitesaux conditions lespar déterminéssont Aet A,A,A 4321

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