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ÉC OLE POLY TEC H NIQU EFÉDÉRALE D E LAUSAN NE

Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS

Mécanique des structures et solides III

1 Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle

Révision de la torsion uniformeRévision de la torsion uniforme





Traction-compression

Loi constitutive (Hooke)

Cinématique

Déplacements

Contraintes-déformations

Constantes

Structure comparable

Analogies !Flexion Torsion

T GJ χ=

xTd dx

GJθ =

GJ

γτ ,

, , xT χ θ

xddxθ

χ =

TORSION pure en mécanique des structures

=dxduε

EA

εσ ,

, ,N uε

Ndu dxEA

=

N EAε=

Md dxEI

θ =

EI

εσ ,

, ,M ψ θ

1M EIr

=

1 dr dx

θψ = =





TORSION : types de section droite

Torsion uniforme domine(même si gauchissement empêché)

Sections massives

Torsion non uniforme domine(si gauchissement empêché)

ouvertes

Sections à parois minces

fermées

!!! Différence essentielle pour le

fonctionnement torsionnel

Torsion uniforme = gauchissement libre et équilibre par seules xy xzouτ τ





TORSION : sections - synthèse

2

p

T rI

T tJT

t

τ

Ω

⎧⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎪⎩

En torsionne jamais oublierl’importance de

la forme de la section !





TORSION : synthèse xdT GJ avecdxθχ χ= =

242

" "2

T G dst

Tet si t petit ctet t

φ χ

φτ τ

Ω= Ω =

= = ⇒ =Ω

∫

ferméesfermées

Sections à parois mincesSections à parois minces

2 2

8 4pt ta G

hφ χ= =⇔

3

max

3btT GJ avec J

Tet tJ

χ

τ

= =

=

ouvertesouvertes

4

max

R2p p

p p

T GI avec I

T Tet r avec RI I

πχ

τ τ

= =

= =

( , , )G f T b cτ γ αβγ= =

Sections massivesSections massives





TORSION : sections composées de type quelconque

a) Équilibre statique :

b) Cinématique (rotation en bloc) :

Hyperstaticité de d°1

c) Loi constitutive (Hooke) :

1 2T T T= +

21 χχχ ==

1 1 1 2 2 2T GJ T GJ T GJχ χ χ= = =





TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée

J = Jf + Jo

3bt31J =

24Jdst

Ω=

∫





TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée

Application à une section de pont en caisson creux

f oJ J J= +

24Jdst

Ω=

∫

313 i i

ib t∑ 31

3 i ii

b t∑





Centre de cisaillement ou centre de torsion

G

y

z

τ1

τ1

τ2

τ2

1 1y

z

VS

I tτ =

2 2y

z

VS

I tτ =

Sens des flux etτmax des semelles

Résultantesdes flux

F2

F1

y

F1

F2

H hz GVy

Situation

y

t

t

t

t

b b

GH hz Vy

1

2

2

22 2 2

1 1 1

2

1 1 1 12

2

1 1 1 12 2 2

Avec et

2 2

2

,

4

2 4

y y y

z z z

y y y

z z z

HS bt

V V VHF bt S bt bt b b tHI

hS bt

V V VhF bt S bt bt b b thI t

t I I

I Iτ

τ

=

=

=

= = =

=

=

= =





Centre de cisaillement ou centre de torsionRésultantes

des flux

F2

F1

y

F1

F2

H hz GVy

1 2

22

21 1

2 2

1

2

1

2

1 1 1 12 2

1 1 12 2 2 2 4

Avec et ,

4

2 2

y y y

z

y y y

z z

z z

z

HS bt

V V VHF bt

hS bt

V V VhF bt S bt bt bt b thI t I t

S bt bt bt b tHI t I t I

I

τ

τ

=

= = = =

=

= = = =2

22

1 12

21 ( )4

y

z

T F hV

T b tI

T F hH H⇒ = − = − = −

y

TT1 T2

z GVy

⇒

Systèmeéquivalent

CT

y

z G

cz

Vy

Equivalenceen rotation

⇔

TSi , 0 et C confondu avec Gzh H c= =

TSi , 0 et C à gauche de Gzh H c> <

T

etSi , 0 et C à droite de Gzh H c< >

2 22 21 1 ( )4z

y y z

c b tV

TTV I

HT h

⇒−

= = = −

1 2Equivalence en rotation : y zV c T T T= = −

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