Résumé de Mécanique des structures

Pierre Lorne François de la Barre

13 mai 2013

Table des matières

1 Tenseur contrainte, contraintes principales et critères de plastification 3

1.1 Tenseur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Etat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Traction et Compression 6

3 Traction plastique 7

3.1 Un seul matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Deux matériaux 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Flexion plane 8

4.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Section symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Section non symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 Acier et béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Flexion plastique plane 10

5.1 Section à deux axes (y et z) de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 Section à un seul axe (y) de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Section composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4 Loi moment-courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.6 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Torsion uniforme 12

6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.2 Section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

6.3 Section massive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.1 Elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3.2 Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3.3 Sections fermées à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3.4 Sections ouvertes à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3.5 Section composée de deux matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.3.6 Sections composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Contraintes dues à l’effort tranchant 15

7.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.2 1er cas : poutres massives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.3 2eme cas : poutres à parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Travaux virtuels 18

8.1 Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.2 Théorème de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.3 Théorème de réciprocité de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.4 Théorème de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9 Déformée des poutres (flexion simple) 20

9.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9.2 Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9.3 Résolution de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10 Calcul des déplacements 22

11 Analyse limite : hyperstaticité 23

12 Flambement 25

12.1 Flambement par divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.2 Flambement par bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.3 Elancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

1 Tenseur contrainte, contraintes principales et critères de plastification

1.1 Tenseur contrainte

σ =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

=

σI 0 0

0 σII 0

0 0 σIII

=

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

σ selon les axes x, y, z σ selon les axes 1, 2, 3 σI ≥ σII ≥ σIII on ne sait pas quelle

contrainte est la plus

grande/petite/milieu

σ selon les axes principaux

=

σ0 0 0

0 σ0 0

0 0 σ0

+

σ11 − σ0 σ12 σ13

σ21 σ22 − σ0 σ23

σ31 σ32 σ33 − σ0

=

σ0 0 0

0 σ0 0

0 0 σ0

+

SI 0 0

0 SII 0

0 0 SIII

tenseur volumétrique tenseur déviatorique SI = σI − σ0

SII = σII − σ0

SIII = σIII − σ0

1.2 InvariantsIσ = trσ

IIσ = 12 (σiiσjj − σijσji)

IIIσ = detσ

i 6=j

Iσ = σx + σy + σz = σI + σII + σIII

2IIσ = σxσy + σyσz + σzσx − τ2xy − τ2

yz − τ2zx = σIσII + σIIσIII + σIIIσI

IIIσ = σIσIIσIII

Equation caractéristique :

−λ3 + Iσλ2 − IIσλ+ IIIλ = 0

⇒ les solutions de λ

permettent de trouver

σI , σII , σIII⇒ (σij − λδij)ni = 0

En remplaçant λ par

σI

σII

σIII

, on trouve les composantes

nIx, nIy, nIz

nIIx, nIIy, nIIz

nIIIx, nIIIy, nIIIz

de la direction principale

I

II

III

1.3 Etat plan de contrainte

σz = τxz = τzx = τyz = τzy

σ =

σ1 0

0 σ2

=

σx τxy

τyx σy

=

σx τxy 0

τyx σy 0

0 0 0

Critère de plastification de von Mises : σ∗ =

√σ2x + σ2

y − σxσy + 3τ2xy

3

I1 = σx + σy = σ1 + σ2

II2 = σxσy − τ2xy = σ1σ2

σ1 =σx+σy

2 +

√(σx−σy

2

)2

+ τ2xy

σ2 =σx+σy

2 −√(

σx−σy

2

)2

+ τ2xy tan (αJ) =

τxy

σJ−σy= σJ−σx

τxy

tan (α1) tan (α2) = −1avec J = 1, 2, αJ l’angle entre l’axe x et la direction principale J .

σx′ = σx cos2 α+ σy sin2 α+ τxy sinα cosα

τx′y′ = 2(σy − σx) sinα cosα+ τxy(cos2 α− sin2 α)

⇒ contraintes dans les directions x′ et y′ : rotation des

axes d’un angle α

1.4 Cercle de Mohr

τmax = ±σ1−σ2

2 = r

avec r : rayon du cercle de Mohr

τmax : contrainte tangentielle maximum

σ1, σ2 : contraintes principales

∗ Critère de Mohr-Coulomb

FMohr−Coulomb = |τ |+ σ tan (φ)− c = 0 (courbe intrinsèque)

c : cohésion

φ : angle de frottement interneet c = 1

2

√σCσT

sinφ = σC−σT

σC+σT

4

∗ Critère de von Mises : σ∗ = 1√2

√(σI − σII)

2+ (σII − σIII)

2+ (σIII − σI)

2

FvonMises = σ∗ − σe =

< 0 ni plasticité ni rupture /intérieur

= 0 plasticité (ou rupture) /surface

> 0 impossible /extérieur

→

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

τe = 0.577σe cisaillement pur

σ∗ =√σ2x + σ2

y − σxσy + 3τ2xy état plan de contrainte σ∗ =

√σ2 + 3τ2 poutre à plan moyen (von Mises)

σ∗ =√σ2 + 4τ2 poutre à plan moyen (Tresca)

Sécurité : γ = σe

σ∗

5

2 Traction et Compression

Effort normal/contrainte Dilatation Allongement

Section constanteN = σA↔ σ = N

A

σ = Eεε = u

L = σE u = NL

EA

Section variable σ(x) = N(x)A(x) ε(x) = N(x)

EA(x) u(x) =∫ L

0N(x)EA(x)dx

Deux matériaux 1 et 2

N = N1 +N2 = σ1A1 + σ2A2

= E1εA1 + E2εA2

= ε(E1A1 + E2A2)

ε = ε1 = ε2

= NE1A1+E2A2

u = NLE1A1+E2A2

Cas particulier : acier-

béton. Coefficient

d’équivalence : n = Ea

Eb

(rapporté à l’acier)

N = σaAa + σbAb

= σaAa + σa

n Ab

= σa(Aa + Ab

n

)= σaAa

::

ε = εa = εb

= σa

Ea= σb

Eb

⇒ σb = σa

n

u = NLEaAa::

Aa::

:

aire équivalente

rapportée à

l’acier

Anneau de rayon r et

d’épaisseur t ≤ r10 , q :

force répartie radiale

N = qr ⇔ σcir = qrA

ε = qrEA

r : rayon de l’anneau

urad = qr2

EA

urad : allongement du

rayon r

Cylindre (épaisseur t,

rayon r , t ≤ r10 ), p :

pression intérieure

N = pr ⇔ σcir = prt

A = lt = t (l : longueur unité)

σcir = 0

εrad = prEt

εlon = −ν prEt

urad = pr2

Et

ulon = −ν prLEt

Cylindre de longueur

infinie (ou indéfor-

mable)

σcir = prt , σlon = νσcir

ν =

0.3 acier

0.15 béton

voir état plan de contrainte

Récipient cylindrique σcir = prt , σlon = 1

2σcriεlon = σlon−νσcir

E

εcir = σcir−νσlon

E

ulon = σlonL

ucir = σcirr

Température σ = −Eα∆T εth = α∆T uth = αL∆T

Hypothèse : élasticité (on est dans le domaine élastique d’un matériau)

6

3 Traction plastique

Critère de plasticité :

σ∗ < σe domaine élastique

σ∗ = σe domaine plastique

Hypothèses :

N < Ne : domaine élastique

Ne ≤ N < Npl : domaine élasto-plastique

N = Npl : domaine plastique

3.1 Un seul matériau

Charge limite : Npl = Ne = Aσe

Ne : effort normal élastique maximal

Npl : effort normal plastique

3.2 Deux matériaux 1 et 2

Coefficient d’équivalence : n = E1

E2

Ne : un seul matériau plastifie (matériau déterminant)

Npl : les deux matériaux plastifient (charge limite)

Calcul élastique (Ne) Calcul plastique (Npl)

Matériau 1 déterminant Matériau 2 déterminant Charge limite atteinte

σ1 = σe1 = Ne

A1:;σ2 < σe2 σ1 < σe1;σ2 = σe2 = Ne

A2:σ1 = σe1; σ2 = σe2

Ne = σe1A1::

= σe1A1 + A2

n Ne = σe2

(nA1

::

)= σe2 (nA1 +A2) Npl = σe1A1 + σe2A2

Gain (plastification de la section droite) : Npl

Ne(≥ 1)

Décharge élastique : εdec,1 = εdec,2

Contraintes résiduelles :σred,1 = σe1 − Npl

A1:

σred,2 = σe2 − Npl

nA1:

Cas acier-béton : Matériau 1 = acier (a), Matériau 2 = béton (b) (Le béton est déterminant)

7

4 Flexion plane

z : axe neutre : - contenu dans le plan neutre ε = 0

σ = 0

- passe par le centre géométrie

4.1 Divers

N : effort normal

V : effort tranchant

M : moment de flexion

σ : contrainte normale

ε : dilatation de la fibre étudiée

E : module d’élasticité

y : distance de l’axe neutre à la fibre étudiée

S : moment statique

I : moment d’inertie

W : module de flexion

A : aire de la section

8

4.2 Section symétrique

Principe d’équivalence : Cinématique : N =∫AσxdA

M =∫AyσxdA (autour de z)

ε = −yr(ε < 0 : compression, ε > 0 : traction)

⇓ ↓ N = −Er Sz = 0 Sz =∫AydA

M = Er Iz Iz =

∫Ay2dA

−→Loi constitutive : σ = Eε = −Eyrσ = −MIz y (Navier)

⇒ pour trouver la position du plan neutre et le rayon de courbure ⇓

⇓ σ = ±MW ;W =

∣∣∣ Izy ∣∣∣Courbure : 1r = M

EIz· σinf = −MIz yinf ; Winf =

∣∣∣ Izyinf

∣∣∣· σsup = −MIz ysup; Wsup =

∣∣∣ Izysup

∣∣∣4.3 Section non symétrique

M = Mz =∫AyσxdA

My =∫AzσxdA = −Er Iyz

Iyz =∫AyzdA

4.4 Acier et béton

Courbure : 1r = M

EaIa+EbIb

Moment statique équivalent : Sa::

= Sa + Sb

n

Moment d’inertie équivalent : Ia:

= Ia + Ibn

Coefficient d’équivalence rapporté à l’acier : n = Ea

Eb

Contraintes : σa = Eaε = −MIa: y

σb = Ebε = − MnIa:

y

Flexion oblique : σ(y, z) = NA −

Mz

Izy +

My

Iyz

9

5 Flexion plastique plane

5.1 Section à deux axes (y et z) de symétrie

Me = Eσe = I|ymax|σe ψ = Me

EI εe = σe

E

Mpl = Zσe z = 2Sdemi = 2∫A/2|y|dA ye = − εeψ

σrad = ±(σe − M

W

)

5.2 Section à un seul axe (y) de symétrie

Me = I|ymax|σe

N =∫AσdA = 0 A2 = A1 = A

2

= σe(A2 −A1) = 0

Mpl = Zσe Z = A2 (|y1|+ |y2|)

G1,2 : centre géométrique

de l’aire 1,2

N = 0 : permet de

trouver l’axe p-p

y1,2 : distance entre l’axe

p-p et le point G1,2

A2 : aire de chaque côté de

l’axe p-p

5.3 Section composée

N =

∫AσdA∑iAiσei

= 0

Mpl = −∑iAiσeiyi

5.4 Loi moment-courbure

MMe

= f(ψψe

)α =

Mpl

Me= Z

W : gain (plastification de la section droite)

10

5.5 Exemples

· Section rectangulaire :

W = bh2

6 Sdemi = bh2

8 Z = bh2

4

Me = bh2

6 σe Mpl = bh2

4 σe

MMe

= ψψe

MMe

=Mpl

Me

[1− 1

3

(ψe

ψ

)2]

MMe→ Mpl

Me= 1.5

· Section âme-semelle bisymétrique :MMe

= ψψe

(1− bh2

8

)+ bh2

4W

[1− 1

3

(ψe

ψ

)2]

→ âme élastique, semelle partiellement plastiqueMMe

=Mpl

Me− twh

2

12W

(ψe

ψ

)2

→ semelle plastique, âme partiellement plastique

5.6 Notations

Me : moment élastique maximal

Mpl : moment plastique

ψ = 1r : courbure

ψe : courbure élastique maximale

εe : dilatation élastique maximale

ye : distance de l’interface élastique/plastique à l’axe neutre n− n

n− n : axe neutre élastique

p− p : axe neutre plastique (confondu avec n− n si la section est bisymétrique)

Z : module plastique

α : gain

11

6 Torsion uniforme

6.1 Généralités

T = −∫AτxyzdA+

∫AτxzydA

Torsion (ou moment de torsion) → T = 0 au bord de la poutre : τn = 0 (bord libre)

T = GχJ ⇒

χ = dθx

dx angle de torsion par unité de longueur

G module de glissement

J constante de torsion

θx =

∫ L

0χdx =

∫ L0

TGJ dx

torsion

section

variable(s)

χL = TLGJ torsion et section constates

angle de torsion total (L : longueur de la poutre)

6.2 Section circulaire

Hypothèses :

– symétrie de révolution

– linéarisation géométrique

– conservation des sections planes

– élasticité (loi de Hooke)

– principe d’équivalence

γ = rχ angle de glissement (r : rayon (variable))

J = Ip =∫Ar2dA = πR4

2 = π(a4−b4)2

cylindre plein cylindre creux

(rayon R) b : rayon intérieur

a : rayon extérieur

T = GχIp χ = TGIp

G = TLθxIp

= E2(1+ν) (ν : coefficient de Poisson (matériaux isotropes))

τ = γG = TIpr τmax = T

IpR τ ≤ τe = σe√

3τ ≤ τu

γ∗

γ∗ : coefficient de sécurité

τu : voir la courbe intrinsèque

matériaux ductiles matériaux raides

6.3 Section massive

6.3.1 Elliptique

T = JGχ

J = πa3b3

a2+b2 = A4

4π2Ip, A : aire = πab

Ip = 4(a2+b2)πab

12

6.3.2 Rectangulaire

T = αbc2τa = βbc2τB

τA = τmax τB = Tβbc2

= Tαbc2

= TJ

(γα

)c

J = γbc3

6.3.3 Sections fermées à parois minces

A

B

b

c

b ≥ 10t

Tension et contrainte tangentielle : T = GχJ , τ = T2Ωt

J = 4Ω2∮dst

=

2πtR3 tube4Ω2tLΩ

(t=cste)Flux de cisaillement : f = τt = T

2Ω = cste

Ω : aire de la cellule

LΩ : périmètre de la cellule (ligne moyenne)

6.3.4 Sections ouvertes à parois minces

T = GχJ

J = 13bt

3 J = 13

∑bit

3i

τmax = TJ t = 3T

bt2 τmax,i = TJ ti

b est pris à la ligne moyenne

13

6.3.5 Section composée de deux matériaux

Coefficient d’équivalence : m = Ga

Gb

(6= n = Ea

Eb

)Section ouverte Section fermée

Ja::

= Ja + 1mJb (GJ

::)a = GaJa

::ta:

= 1m tb (GJ

::)a = GaJa

::

τmax,a = TJa:ta τmax,b = T

mJa:tb Ja

::= 4Ω2∮

Sa

dsta

+m∮Sb

dstb

6.3.6 Sections composées

Deux élémentsT = T1 + T2

χ = χ1 = χ2

J = J1 + J2

⇒ T1 = J1

J T

T2 = J2

J T

G = G1 = G2 G1 6= G2

même matériau matériaux différents

Section fermée à paroi d’épaisseur modéréeT = Tf + T0

τ = τf + τ0

J = Jf + J0

⇒ Tf =

JfJ T

T0 = J0

J T

14

7 Contraintes dues à l’effort tranchant

7.1 Hypothèses

– élasticité linéaire (loi de Hooke)

– poutre prismatique (axe droit, section constante)

– contraintes selon les axes principaux d’inertieEffort tranchant Résultante des σdA Effort rasant Contrainte normale Contrainte tangentielle

V = −dMdx H = MI S dR = dH = (−V )S

I dx σ = −MyIz

τ = (−V )SIt

7.2 1er cas : poutres massives

∗ Section rectangulaire

τ = 3V2A

[1− 4y2

h2

]avec A = b · h

τmax = 3V2A approximation pour h

b ≥ 1

τmax = α 3V2A sinon

hb α erreur

2 1.028 3%

1 1.105 11%

0.5 1.330 33%

7.3 2eme cas : poutres à parois minces

∗ Section fermée (cas général) :

τ = (−V )SIt

cz = TV position du centre de torsion cT par rapport à G

flux de cisaillement : f = τt = (−V )SI [N.m−1]

∗ Poutre tubulaire (cas symétrique) :

L’effort tranchant V agit dans un plan de symétrie. Les contraintes τ sont nulles sur ce plan. On calcule la distribution

des contraintes en effectuant une coupe à l’n des points (ici, A ou B) où la section traverse le plan de symétrie.

15

∗ Section ouverte (cas général) :

τ = (−V )SIt = (−V )

It

∫ S0y(s)t(s)ds en B

(−V )I = cste et S

t = vable

cz = TV position du centre de torsion cT par rapport à

G

Si les lignes moyennes de la section convergent en un point A⇔ ct = A

∗ Poutre âme-semelles/profilés

τmax =∣∣∣ V SIztw

∣∣∣S

Iz

tw

⇒ dans les tables

cz = 0⇔ cT = G (double symétrie)

∗ Poutre en U :

- dans les ailes : τ = V st2I avec 0 ≤ s ≤ b

→ contrainte linéaire

F =∫ A

0τdA = τbtb

2 = V tb2h4I

→ résultante des contraintes dans l’aile

16

- dans l’âme : τ = V h2

8I

[1− 4y2

h2

]+ V tbh

2± tw︸ ︷︷ ︸=τa

→ contrainte

parabolique

I = h3tw12 + bth2

2

τmax = V h2

8I + V tbh2Itw

τm = VAw

= Vhtw

contrainte moyenne dans l’âme

Fw = V résultante des contraintes dans l’âme

Fw = (2τmax + τa) · htw3 → ailes non horizontales

cz = tb2h2

4I + d position du centre de torsion cT par rapport à G

τa = τbttw

∗ Section composée de deux matériaux :

n = Ea

Ebcoefficient d’équivalence

Sa::

= Sa + 1nSb moment statique équivalent

f =(−V )Sa:

Ia:flux de cisaillement

⇓

τa = fta

=(−V )Sa:

Ia: ta

τb = ftb

=(−V )Sa:

Ia: tb

17

8 Travaux virtuels

8.1 Général

Forme différentielle (forte)

Equilibre Cinématique∂σij

∂xi+ bj = 0 (= ρaj) njσij = tj εij = 1

2

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)u : champ de déplacement

bj = 0⇔ autocontrainte ! ! respecter les conditions homogènes d’appui

⇓ Forme intégrale (faible) ⇓

Equilibre Cinématique∫Vσij

12

(∂wi

∂xj+

∂wj

∂xi

)dV =

∫VεijwijdV =∫

VbiwidV +

∫AtiuidA

∫A

(njwji)uidA−∫V∂wij

∂xjuidV

⇒ conditions aux limites incluses w : champ scalaire/vectoriel de pondération

⇓ Principes ⇓

Déplacements virtuels : wi = δui Forces virtuelles : wij = δσij

compatible en équilibre∫Vσijδεij =

∫VbiδuidV +

∫AtiδuidA

∫Vδσijεij =

∫VδbiuidV +

∫AδtiuidA

résultat : équilibre résultat : comptabilité cinématique

δWint = δWext δW ∗int = δW ∗ext

(travail virtuel intérieur) (travail virtuel extérieur) (travail virtuel (travail virtuel

complémentaire intérieur) complémentaire extérieur)

∗ exprime l’équilibre ∗ exprime la comptabilité cinématique

∗ forces et contraintes réelles ∗ déplacements et déformations réels

8.2 Théorème de Clapeyron

U =

12

∫VσijεijdV

12

[∫VbiuidV +

∫AtiuidA

]12

∑Fu

⇒ énergie (potentielle) de déformation d’un matériau élastique linéaire

8.3 Théorème de réciprocité de Betti

∫Vσijε

′ijdV =

∫Vσ′ijεijdV ⇔

∑Fiu′i =

∑F ′iui ⇔

∫Vbiu′idV +

∫Atiu′idA =

∫Vb′iuidV +

∫At′iuidA

18

8.4 Théorème de Maxwell

Cas particulier du théorème de réciprocité de BettiF1 = 1 F ′1 = 0

F2 = 0 F ′2 = 1

u1 = uAA u′1 = uAB

u2 = uBA u′2 = uBB

⇒F1u

′1 + F2u

′2 = F ′1u1 + F ′2u2

→ uAB = uBAA,B : lieu d’application de F

A,B : lieu du déplacement

19

9 Déformée des poutres (flexion simple)

9.1 Hypothèses

– Flexion simple et plane

– Axe de la poutre rectiligne

– Linéarisation géométrique

– Effets de M et V dissociés

9.2 Equations d’équilibre

dMdx = −V dV

dx = −q d2Mdx2 = q

9.3 Résolution de la déformée

– écrire l’équation de la déformée v(x)

– utiliser les conditions limites

vtot = vM + vV

vM (moment de flexion) vV (effort tranchant)

En général, on ignore la déformée due à l’effort tranchant

→ v(x) déformée → v(x) déformée

→ dvdx = θ(x) rotation → dv

dx = β = VGB glissement M

EI : polynôme de degré p en x

v(x) : polynôme de degré p+ 2

avec G : module de glissement

B : aire réduite

B = I2∫a

(S2

t2

)dA

→ d3vdx3 = − V

EI → d2vdx2 = − 1

GBd2Mdx2

→ d4vdx4 = q

EI Si G et B sont constants, si les conditions aux

limites sont identiques pour la flexion et l’effort

tranchant, alors :

v(x) = −M(x)GB

Si la courbure est trop difficile à calculer :

théorème de la force unité

Mmax 1 1.5 6

vmax 1 5 50

20

Section droite

(effort tranchant

V selon l’axe y)

Aire réduite B 56A

2732A

512A

12A ∼ Aw ∼ 0.8Aw

21

10 Calcul des déplacements

Principe des déplacements virtuels Principe des forces virtuelles

δWint = δWext∫L

(Nδε+ V Sβ +Mδψ)dx =∑FδuF +

∑RδuR

δW ∗int = δW ∗ext∫L

(δNε+ SV β + δMψ)dx =∑δFuF +

∑δRuR

équilibre statique : statique réelle, comptabilité géométrique : statique virtuelle,

cinématique virtuelle cinématique réelle

→ trouver le jeu des forces → calcul des déplacements

Ces expressions : - sont valables pour toutes poutres droites ou courbes

- sont indépendantes de tous types de lois constitutives

- ne sont pas une conséquence du principe de superposition

Cas particuliers : - flexion pure → δW ∗int =∫LδMdθ

δWint =∑Nδu

- treillis → δW ∗int =∑δNu

δWext =∫Lqδuqdx (charge répartie)

Principe des forces virtuelles ⇒ théorème de la force unité

∗ Pour calculer :

– la variation de distance entre deux points

– la rotation dans un angle de structure

– la rotation relative dans un angle de poutre

– la rotation en bloc dans une barre de treillis

∗ Hypothèses simplificatrices :

– N et V négligés dans les poutres (sauf âme mince, h/L grand (V ), arc surbaissé (N), cellules triangulaires (N))

– on ne néglige pas N dans les barres

– EI constant ⇒ tables∫ L

0Mmdx ; sinon intégration

∗ Théorème : déplacement (point choisi, direction donnée, soumis à une force virtuelle associée) = t.v.c interne

(structure) - t.v.c externe (réactions d’appui)

1uA =∫

poutres(N1ε+ V1β +M1ψ)dx−

∑R1uR

⇒ 1, N1, V1,M1, R1 connus/calculables ; ε, β, ψ connus ; uR connu ; uA inconnu.

– 1uA =∫LN1

NEAdx+

∫LV1

VGBdx+

∫LM1

MEI dx−

∑R1uR (loi de Hooke : matériau élastique linéaire)

– 1uA =∫LN1αT0dx (variation uniforme de la température)

– 1uA =∫LN1αT0dx+

∫LM1

(−α∆T

h

)dx (variation linéaire de la température)

avec

h = ysup − yinf ; ysup > 0, yinf < 0

∆T = Tsup − TinfT0 =

ysupTinf−yinfTsup

h

– 1uA =∑bN1NLEA +

∑bN1αT0L−

∑r R1uR (treillis)

– 1θA = 1EI

∫poutres

Mmdx (structures hyperstatiques : 1er théorème de réduction : on coupe pour obtenir une

structure isostatique)

22

11 Analyse limite : hyperstaticité

Données : structure hyperstatique de degré h

Hypothèses :

– plasticité (Mpl = Zσe)

– loi constitutive M = f(θ)

– formation d’une rotule ⇒ -1 degré d’hyperstaticité

On cherche à calculer le multiplicateur limite λlim (charge limite réelle Qlim)∑Mplθ =

∑Fu

⇒ seules les zones plastiques travaillent

⇒ travail interne=travail aux rotules

Loi constitutive : M = f(θ) :

– rigide parfaitement plastique

– condition statique de plasticité : −Mpl ≤M ≤Mpl

– condition cinématique de plasticité : τint = Mplθ > 0

⇒

θ = 0 si −Mpl < M < Mpl

θ > 0 si M = Mpl

θ < 0 si M = −Mpl

théorème combiné : λ− ≤ λlim ≤ λ+

statique licite :

- équilibre satisfait

- Mpl ≥M ≥ −Mpl

théorème → plasticité : calcul par équilibre

statique : → sécurité assurée

λ− ≤ λlim → valable pour tout

cinématique licite :

- mécanisme correct

- chaque Mplθ > 0

théorème → plasticité : calcul par mécanisme

cinématique : → méthode simple

λlim ≤ λ+ → sécurité non-assuréeDans la pratique, on utilise la méthode cinématique :

– calcul des λ+ (mécanismes de ruine les plus probables)

– choix du λ+ le plus petit

– vérification de −Mpl ≤M ≤Mpl

Gains : α =Mpl

Me= Z

WQlim

Qe

(plastification) (redistribution des efforts dans la poutre)

– Mécanisme de ruine :

– formation de la h+ 1 rotule

– effondrement sous charge constante

– redistribution des efforts intérieurs (réserve de résistance)

– déterminer la sécurité vis-à-vis de la charge limite

– Ruine partielle : ruine d’une portion de la structure

– Ruine plus que complète : pour certaines structures symétriques, apparition de plus que h+ 1 rotules

23

– Domaine de validité de l’analyse limite :

– loi élastique parfaitement plastique

– ductilité : zones propices aux rotules plastiques (moments les plus importants)

– Mpl caractéristique de la section : non affecté par N ni V

– croissance proportionnelle du chargement extérieur

– linéarité géométrique

– pas d’instabilité (donc pas de flambement)

– assemblages dimensionnés pour Mpl

– pas de fatigue

– Les autocontraintes ne modifient que Qe (diminution voire annulation), pas Qlim

24

12 Flambement

Instabilité des structures

compression → flambement (ou flambage)

→ flexion → déversement

torsion → voilement

Courbure initiale traction → convergence (la courbure diminue) → stabilité

compression → divergence (la courbure augmente) → instabilité

12.1 Flambement par divergence

– flexion (très fréquent)

– torsion (rare)

– mixte (fréquence moyenne)

• théorie non linéaire (second ordre) :

– configuration déformée

– rotations modérées (<0,1 rad)

• problème flexionnel :

∣∣∣∣∣∣∣∣cinématique : 1

r = v′′

loi constitutive (Hooke) : 1r = M

EI

statique : M = M(v, F, ...)

⇒ v′′ = M(v,F,...)EI

1. Poutre droite comprimée excentriquement

∗ M = −F (r + v) ∗ k =√

FEI ∗ Fcr = EI

(πL

)2 ∗ v(x) = e

[cos (kx)

cos (kL2 )− 1

]∗ a = vmax = e

[1

cos (kL2 )− 1

]2. Poutre droite comprimée légèrement courbe

∗ M = −F (v0 + v) ∗ v0(x) = a0 sin(πxL

)∗ Fcr = EI

(πL

)2 ∗ v(x) =[a0k

2L2

π2−k2L2

]sin(πxL

)∗ a = vmax = a0F

Fcr−F

3. Généralisation

∗ Fcr = K EIL2 ∗ a ≈ alin 1

1− FFcr

∗ M ≈Mlin1

1− FFcr

∗ atot = a01

1− FFcr

cette fraction est le facteur d’amplification du second ordre (voir tableau p. 326)

∗

alin

Mlin

⇒ calculés dans la configuration initiale (non déformée)

12.2 Flambement par bifurcation

∗ charge critique d’Euler : Fcr = EI(πL

)2∗ cas fondamental d’Euler : Fcr = EI

(πLK

)2

12.3 Elancement

∗ Fcr = EI(

πLK

)2

charge critique

∗ σcr = Fcr

A = EIA

(πLK

)2

= E(iπLk

)2

= E(πλ

)2 contrainte critique

25

∗ i =√

IA rayon d’inertie de la section

∗ λ = LK

i = LK

√AI élancement (sensibilité du flambement)

si λ < 20→ plus de risque de flambement

B

• Poutre à travées multiples

• Cadres

• EI variables

• N variable

2

0 0 0 0

f ft tk

k k p k k

M MM M TU N N Tdx dx dx dxP EF P GI P EI P GF P

KGwww w w

w w w w w³ ³ ³ ³

" " " "

k

Théorème de Menabrea

1 2 3

0; 0; 0;.....; 0; k

U U U UR R R Rw w w w

w w w w

Chapitre 12 : Flambage des poutre droites

2

20

cEIN S

"

; 2 2 2 2

2 2 2 20 0 0 /cEI Ei E EF i

S S S SV2

2O " " "

;

/p pEO S V ; ( )c BC BC pp

OV V VO

V

2

2 2

0 0 0

1 1; ' ; ''2 2 2

fc

MU EN t y dx U dx yt EI

³ ³ ³" " "I dx

Chapitre 13 : Analyse des états de contrainte et de déformation

Janvier 2005 page3/6

(EI = cste, remplacer l0 par LK)

12.4 Remarques

• Tout ce qui précède concerne les pièces de structure sans défaut

• Réalité industrielle : existence d’imperfections :- poutres non rectilignes (avec courbure initiale)

- forces appliquées excentrées

- section variable

géométriques

- contraintes résiduelles

- hétérogénéité des matériaux

matérielles

• Imperfections géométriques ⇒ flambement par divergence

• Imperfections matérielles ⇒ sections fragilisées (plastification prématurée)

26