Mécanique des sols

(MDS)

2020

CH : 4

Calcul des contraintes dans

le sol

Daoud Ali

Département de Géographie et Aménagement du Territoire

Institut des Sciences de la Terre et de l’univers

CH : 4 Calcul des contraintes dans le sol

4.1. Notion de contrainte : vecteur contrainte 4.1.1 Rappel

Une contrainte est associée à une facette de normale unitaire𝑛 . La

contrainte est représentée par un vecteur 𝑒 dont on donne les

composantes normale (𝜎) et tangente à la facette (𝜏), dans le repère lié à

la facette (Figure).

Figure : Force intergranulaires et force de pression d’eau s’exerçant sur

une facette horizontale (à gauche), et représentation de l’état de contrainte ainsi créé dans l’hypothèse d’un milieu continu (à droite).

L’intensité d’une contrainte ou de ses composantes est exprimée en

Pascal (Pa = N/m2). L’unité la plus commode en géotechnique est le kPa

ou le MPa.

4.1.2 Notion de contrainte dans les sols :

Le sol est composé en général de trois phases (solide, liquide, gazeuse). Dans l’étude de problèmes géotechniques on considère souvent certaines parties du sol comme étant saturée, la composition du sol se réduit alors à

deux phases (solide et liquide, voire uniquement la phase solide si le sol est sec).

La notion de contrainte dans un sol saturé, mélange de deux phases, correspond à la valeur moyenne des forces intergranulaires, et des forces

de pression d’eau appliquées par unité de surface.

Convention de signe :

Positivement les contraintes normales 𝝈, correspondant à une

compression (se traduisant par un raccourcissement),

Négativement les contraintes normales 𝝈, correspondant à une traction (se traduisant par un allongement).

4.2. Séparation des contraintes : 4.2.1 Contrainte totale :

Soit une section unitaire SS’ dans un massif de sol. La résultante des forces qui s’exercent sur

cette section sous l’action des forces extérieures et du poids propre est la contrainte totale.

On peut la décomposer en - 𝝈 (contrainte normale à la facette

considérée),

- 𝝉 (contrainte tangentielle à la facette considérée).

4.2.2 Contrainte effective ou intergranulaire : – Postulat de Terzaghi :

Le comportement mécanique du sol est régit par des contraintes effectives qui sont transmises dans le squelette des grains solides du sol.

Les symboles correspondants sont : 𝝈′ et 𝝉′

4.2.3. Pression interstitielle : C’est la pression existant dans l’eau interstitielle. Il s’agit d’une contrainte hydrostatique (Contrainte normale sans cisaillement). Elle est

désignée par le symbole 𝒖.

*𝝈′ ne peut être mesurée mais seulement calculée par la relation

suivante :

𝝈′= 𝝈 – 𝒖

*La contrainte effective responsable de tassement et la résistance au cisaillement.

Remarque : - 𝝉′= 𝝉 puisque l’eau ne présente pas de résistance au cisaillement.

- Pour les sols secs 𝒖 = 0 et 𝝈 = 𝝈′

4.3. Contrainte sur une facette horizontale 𝝈V :

4.3.1 Cas d’un massif de sol homogène : Considérons un massif de sol sec

ou humide (non saturé) homogène de poids volumique 𝜸, à surface

libre horizontale et en équilibre

sous l’action de son propre poids (figure).

- Cas d’un sol sec ou humide : La contrainte qui s’exerce sur la facette horizontale à la profondeur h

(perpendiculaire à la facette) contient seulement l’action des grains est égale à :

𝝈V = 𝜸 h

Dans l’absence de l’action de l’eau (𝒖 = 0), la contrainte totale est égale à

la contrainte effective : 𝝈V = 𝝈′V

- Cas d’un sol saturé :

Dans le cas d’un sol saturé, si la nappe affleure à la surface du sol, le même raisonnement conduit à :

𝝈V = 𝜸sat h

L’eau est en équilibre hydrostatique et exerce une pression u sur la facette

égale à : u= 𝜸W h

La contrainte totale contient à la fois l’action de l’eau et l’action du

squelette granulaire. La contrainte effective transmise par le squelette granulaire est alors :

𝝈′V = 𝝈V - u = 𝜸sat h - 𝜸W h = (𝜸sat - 𝜸W) h = 𝜸′h

4.3.2 Cas d’un sol stratifié :

Dans le cas d’un terrain constitué de plusieurs couches de sol horizontales d’épaisseur hi et de poids volumiques 𝜸i (figure), la contrainte

qui s’exerce sur une facette horizontale en M a pour expression :

𝝈VM = 𝜸i hi

Cas de présence d’une nappe d’eau :

A la base de la coupe de sol donnée sur la figure ci-dessous : -la contrainte totale verticale a pour valeur : 𝝈VM = 𝜸h + 𝜸sat hW

-la pression interstitielle a pour valeur : uM = hW. 𝜸W

-la contrainte effective verticale a pour valeur : 𝝈′VM = 𝝈VM – uM = 𝜸h+ (𝜸sat - 𝜸W) hW = 𝜸h + 𝜸′𝒉W

4.4. Calcul des contraintes dues aux surcharges : 4.4.1. Effet d'une surcharge uniformément répartie p :

L'augmentation de contrainte est : ∆ 𝝈z = p quelle que soit la profondeur z

𝝈z = 𝜸. h + ∆ 𝝈z

𝜸.h : est la contrainte due au poids

propre du milieu à la profondeur h

∆ 𝝈z : est l’augmentation de contrainte due à la surcharge à la profondeur h

4.4.2. Cas d’une charge ponctuelle (concentrée) : On utilise la formule de Boussinesq qui donne

la contrainte verticale en tout point M d’un milieu élastique non pesant chargé par une

force ponctuelle verticale Q :

Cette relation peut encore s’écrire :

Avec :

4.4.3. Cas d’une charge rectangulaire uniforme : - Pour un rectangle fini ou infini. La contrainte z sous le coin d'un

rectangle (de longueur a et de largeur b) uniformément chargé par une

charge q est : z I.q ;

I=I (m,n) avec m=𝐁

𝐳 et n=

𝐋

𝐳 est un facteur d’influence sans

dimension donné dans l’abaque N°2 (Abaque de Steinbrenner)

*Point à l’intérieur du rectangle chargé :

La contrainte à la verticale d'un point quelconque est obtenue en construisant 4 rectangles

ayant chacun un sommet au point considéré. Si le point A est à l’intérieur du rectangle chargé:

z = (I1 + I2 + I3 + I4).q

*Point à l’extérieur du rectangle chargé : Si le point B est à l’extérieur du rectangle chargé :

I= I1 + I2 - I3 - I4

z = (I1 + I2 - I3 - I4).q

In= 1, 2, 3,4) : facteur d’influence du rectangle I

4.4.4. Cas d’une charge circulaire :

Dans l’axe d’une charge circulaire uniforme de rayon R, l’augmentation de contrainte verticale à la profondeur z est : z = J.q/100 ou z = I.q/100

(I est en % ou J %: facteur d’influence fonction de r/R et z/R). Donné par l’abaque N°3

R

R

r

4.4.5. Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai): La contrainte verticale sous le coin

d’une distribution de charges de longueur infinie en forme de remblai et

à la profondeur z est donnée par :

z = I.q

: Coefficient sans dimension donné dans

l’abaque N°4 (Abaque d'Österberg)

A noter :

Il s’agit bien d’une valeur de contrainte sous le coin d’une distribution de charge. Ainsi, lorsque le remblai à deux versants, ne pas oublier

d’additionner l’action de la partie de droite à celle de la gauche cf. le schéma ci-après :

TD : Calcul des contraintes dans le sol Exercice : 01

Soit le contenant de sol des figures 1 et 2, le poids volumique du sol est 𝛾 = 20 KN/m

3.

- Calculer les contraintes totales et les contraintes effectives ainsi

que la pression interstitielle ?

Solution : Figure : 1 TN

La contrainte totale : 𝝈 = 𝛾.z = 20×5 = 100kPa 𝛾 = 20 KN/m3 Z = 5m

La pression interstitielle :

Comme il n’y a pas de nappe d’eau : 𝒖 = 0

La contrainte effective : 𝝈′= 𝝈 – 𝒖 = 20×5 - 0 = 100kPa

Figure : 1 nappe

La contrainte totale : 𝝈 = 𝜸.z = 20×5 = 100kPa

La pression interstitielle : 𝛾 = 20 KN/m3 Z = 5m

𝛾w = 10KN/m3 : 𝒖 = 𝛾.z = 10×5 = 50 kPa

La contrainte effective : 𝝈′= 𝝈 – 𝒖 = 100 - 50 = 50kPa

Exercice : 2

En considérant les conditions montrées à la figure suivante : a) Calculer la contrainte effective dans le sol à 2 m de profondeur

c) Calculer la contrainte effective dans le sol à 4 m de profondeur

Solution : a) Calcul de 𝝈′= 𝝈 – 𝒖 à la profondeur z = 2m

𝜎 = 𝛾.z = 18×2 = 36kPa 𝛾 = 18 KN/m3 z =2m

𝑢 = 0

𝜎′= 𝜎 – 𝑢 = 36 – 0 = 36kPa

b) 𝑢 = 𝛾w.z = 10×2 = 20kPa 𝛾 = 20 KN/m3 z =2m

𝜎 = 𝛾1.z + 𝛾2.z = 18×2 + 20×2 = 76kPa

𝜎′= 𝜎 – 𝑢 = 76 – 20 = 56kPa

Exercice : 3 En considérant les conditions montrées à la figure suivante :

a) Calculer la contrainte effective dans le sol à 4 m de profondeur Solution : 𝜎′= 𝜎 – 𝑢

𝑢 = 𝛾w(zw+z) = 10×(2+2) = 40kPa eau z = 2m

𝜎 = 𝛾.z + = 𝛾w.z = 20×2 + 10×2 = 60kPa

𝜎′= 𝜎 – 𝑢 = 60 – 20 = 20kPa 𝛾 = 20 KN/m3 z = 2m

Exercice : 4 Soit le contenant du sol de la figure suivante. La masse volumique du sol

saturé est de 19,62 KN/m3. Calculer les contraintes totales et les

contraintes effectives ainsi que la pression interstitielle au niveau A

lorsque la nappe phréatique est au niveau A et lorsque la nappe phréatique est élevée au niveau B.

Solution : Contrainte totale : 𝜎 = 𝛾sat.h = 19,62× 5 = 98,1kPa

Pression interstitielle : 𝑢 = 𝛾w.z = 10×0 = 0

Contrainte effective : 𝜎′= 𝜎 – 𝑢 = 98,1 – 0 = 98,1kPa

Si on élève maintenant la nappe phréatique au niveau B, il se produit une

variation de contrainte effective au niveau A parce que le sol saturé devient submergé ou déjaugé.

Les contraintes engendrées au niveau A par le sol et l’eau se définissent comme suit :

Contrainte totale : 𝜎 = 𝛾sat.h + 𝛾w.z = 19,62×5 + 10×2 = 118,1kPa

Pression interstitielle :

𝑢 = 𝛾w(z + h) = 10(2+5) = 70kPa Contrainte effective au niveau de A :

𝜎′= 𝜎 – 𝑢 =( 𝛾sat.h + 𝛾w.z) - 𝛾w(z + h) = 118,1 – 70 = 48,1kPa

Exercice : 5

Calcul de contrainte sous une charge trapézoïdale (remblai) : Soit le remblai routier représenté à la figure ci-dessous. On suppose que

le poids volumique moyen du matériau est 𝛾 = 19,62KN/m3.

- Calculer la contrainte verticale sous le centre à des profondeurs de 3m et de 6m.

sol sol

Niveau A

Niveau B

zw = 2m

h = 5m

Saturé Déjaugé

Solution :

On évalue d’abord la contrainte superficielle q : q = 𝜸.h = 19,62KN/m

3×3 = 59 kPa

- On calcule ensuite la contrainte verticale pour z = 3m :

z = I.q

𝑎

𝑧 =

6

3 = 2

𝑏

𝑧 =

5

3 = 1,67

D’après l’abaque d'Österberg, I = 0,49 ce qui donne :

3 = I.q = 0,49×59kPa = 29kPa

Pour la moitie de remblai 3 = 29kPa,

Pour la totalité du remblai 3 = 2×29kPa = 58kPa

On calcule ensuite la contrainte verticale pour z = 6m : 𝑎

𝑧 =

6

6 = 1

𝑏

𝑧 =

5

6 = 0,83

D’après l’abaque d'Österberg, I = 0,44 ce qui donne :

6 = I.q = 0,44×59kPa = 26kPa

Pour la moitie du remblai 6 = 26kPa,

Pour la totalité du remblai 6 = 2×26kPa = 52kPa

b/z = 1,67

a/z = 2

I = 0,49

Exercice : 6 Calcul de contrainte sous une charge rectangulaire :

Soit une charge de q =100kPa uniformément distribuée sur une surface de 5×10 m. (figure ci-dessous).

- Trouver la contrainte à une profondeur de z = 5m sous le point A

de la figure ?

Solution :

La démarche à suivre est comme suit : - Numérotation des points qu’on y retrouve.

- On place les rectangles dans la séquence suivante : (+ pour les surfaces chargées et – pour les surfaces non chargée).

+A123 –A146-A573+A584=8672 - A partir de l’abaque de Steinbrenner, on établit les quatre facteurs

d’influence I pour chaque rectangle, pour z = 5m.

- On ajoute ou on soustrait la contrainte suivant le cas (+ ou -) z I.q ;

I=I (m,n) avec m=𝐁

𝐳 et n=

𝐋

𝐳

Le tableau ci-dessous donne les détails des calculs :

Aires

Facteur

+A123 –A146 -A573 +A584

B(m) 15 15 10 5

L(m) 10 5 5 5

z(m) 5 5 5 5

m=𝐁

𝐳 3 3 2 1

n= 𝐋

𝐳 2 1 1 1

I 0,238 0,209 0,206 0,180

z I.q (kPa) +23,8 -20,9 -20,6 +18

totale = +23,8 –20,9-20,6+18 = 0,3 kPa