Université Paris VI

Master de Mathématiques et Applications

Parcours Ingénierie Mathématique

MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

FLUIDES

Arnault Monavon

21 mars 2011

Table des matières

1 Principes 11.1 État et variables d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Potentiels thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Entropie 72.1 Production d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Écoulements isentropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Équation d’état 113.1 Fluide divariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

Chapitre 1

Principes

1.1 État et variables d’état

1.1.1 États d’équilibre parfaits

Parmi tous les états d’équilibre dans lequel un système peut se trouver sont les étatsd’équilibre parfaits. Ces états particuliers se distinguent des autres par le fait que l’état dusystème est indépendant du temps et uniforme dans l’espace.

Considérons maintenant deux systèmes identiques et réunissons les. En général, lesparamètres d’état se rangent en deux catégories :

– Les paramètres extensifs, notés X = X1, X2, . . ., dont la valeur double. Exemples :masse, énergie, entropie, etc. . .

– Les paramètres intensifs, notés Y = Y1, Y2, . . ., dont la valeur ne change pas.Exemples : pression, température, concentration, etc. . .

Les paramètres extensifs X présentent la spécificité d’être définis quel que soit l’étatdu système et, à ce titre, on peut toujours les retenir en tant que coordonnées d’état.

Les équations de la thermodynamique font également intervenir impérativement lesparamètres intensifs Y (ou Z) qui, contrairement aux paramètres extensifs, ne sont pasdéfinis quel que soit l’état du système. Les paramètres intensifs, qui supposent l’homogé-néité du système, ne sont définis que pour les états d’équilibre parfait.

1.1.2 État d’équilibre local

La condition d’équilibre parfait impose l’uniformité des paramètres intensifs sur latotalité du système ce qui est très restrictif. Sous réserve de se limiter à l’étude de systèmesdont l’état local ne s’écarte que « faiblement » d’un équilibre « tangent », elle peut êtrerelaxée. Plus précisément, il suffit de ne l’imposer qu’à une portion limitée de l’espaceen admettant que les gradients des paramètres ne jouent aucun rôle explicite. Ainsi, onénoncera : Un système en état hors équilibre peut toujours être considéré comme la réunionde sous-systèmes en état d’équilibre.

Autrement dit, chaque particule fluide peut être considérée comme approximativementen équilibre du point de vue thermodynamique, car le temps caractéristique de retour àl’équilibre du système thermostatique constitué par la particule perturbée par le mou-vement est supposé petit devant le temps caractéristique de l’évolution cinématique etdynamique du milieu.

1

1.1. ÉTAT ET VARIABLES D’ÉTAT 2/16

1.1.3 Paramètres extensifs

Parmi les paramètres extensifs et en se limitant à des systèmes électriquement neutres,on en distingue deux qui jouent un rôle spécifique :

Énergie interne : U . Entropie : S.

On les utilise pour définir la représentation du système :

• représentation énergétique : U = U(S, X) ;• représentation entropique : S = S(U, X).

Plus précisément, U(S, X) et S(U, X) sont des fonctions continues, uniformes et homo-gènes d’ordre un de leurs arguments, définies uniquement pour les états d’équilibre.

Une fonction homogène d’ordre p vérifie : f(λx) = λpf(x). On voit, par exemple, quepour appliquer cette définition à U , il faut poser λ =M/M0 (ou λ = V/V0), où M etM0 sont respectivement la masse du système et l’unité de masse. Alors, on a :

U(S, X) = U(λM0

S

M, λM0

X

M

)=

M

M0

U(M0

S

M, M0

X

M

).

Ensuite, on définit les grandeurs spécifiques : s = S/M , x = X/M et u = U/M .On reconnaît alors la définition de l’énergie massique (énergie d’un système de masseunité, soit M0) :

u(s, x) =1

M0

U(M0s, M0x) =⇒ U(S, X) =M u(s, x).

1.1.4 Paramètres intensifs

Il est associé à ces paramètres extensifs deux ensembles de paramètres intensifs notésY (resp. Z), conjugués de X par rapport à l’énergie interne U (resp. l’entropie S) :

Y = ∇XU, Z = ∇XS, T = ∂U/∂S et Y = −TZ . (1.1)

D’après leur définition, les paramètres intensifs sont des fonctions continues et homogènesd’ordre zéro des paramètres extensifs : Y = Y (U, X) et Z = Z(S, X), c’est-à-dire qu’ilssont indépendants de l’extension du système. Des équations de ce type sont des équationsd’état et il suffit d’éliminer un paramètre entre deux d’entre elles pour en obtenir uneautre. Incidemment, on peut définir ici les paramètres intensifs standards pour un systèmeouvert 1, en l’absence de phénomènes électromagnétiques :

Température : T = ∂U/∂S ,

Pression : p = −∂U/∂V ,

Potentiel chimique : µ = ∂U/∂M ,

(1.2)

où V et M représentent respectivement le volume et la masse du système. La fonction µse nomme également fonction de Gibbs et s’identifie à l’enthalpie libre g.

1. Un système thermodynamique est dit « fermé » si sa masse est constante et « ouvert » si elle estvariable.

CHAPITRE 1. PRINCIPES 3/16

1.2 Premier principe

1.2.1 Relation de GIBBS

Selon le théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, l’énergie interne U s’écrit 2 :

U = TS + Y ·X = TS − pV + µM . (1.3)

Un état d’équilibre et les valeurs des paramètres extensifs associés étant donnés, cetterelation montre que les paramètres intensifs ne sont pas indépendants. On appelle varianced’un système le nombre de paramètres indépendants qu’il faut fixer pour déterminer sonétat d’équilibre.

Notons au passage que la relation (1.3) fournit une définition thermodynamique de lapression :

p = T s− u+ ρµ = ρ(Ts− u+ µ) , (1.4)

où ρ =M/V est la masse volumique du fluide 3.La relation d’Euler conduit également à deux formes différentielles fondamentales de

la thermodynamique 4 :

Relation de Gibbs : T dS = dU − Y · dX ; (1.5)

Relation de Gibbs-Duhem : S dT +X · dY = 0 . (1.6)

La relation de Gibbs-Duhem exprime, à l’échelle infinitésimale, que les paramètresintensifs ne sont pas indépendants. La relation de Gibbs, ou équation fondamentale de lathermodynamique, traduit une identité différentielle qui procède des propriétés d’homo-généité des paramètres d’état. Elle résume le comportement du système lorsqu’il est enéquilibre, sous réserve de disposer d’une de ses représentations.

1.2.2 Énoncé

On appelle énergie totale d’un système la quantité E = U+K où U est l’énergie interneet K est l’énergie cinétique. Le premier principe pose que la variation d’énergie totale estégale à la somme des travaux et des quantités de chaleur transférés au milieu extérieur :

E2 − E1 =W +Q . (1.7)

Convention de signe Les transferts énergétiques sont comptés positivementpar rapport au système de sorte que, dans l’expression ci-dessus, les indices« 1 » et « 2 » se réfèrent respectivement aux états initial et final.

Il convient d’insister sur l’objectivité ou invariance par changement de repère des loisthermodynamiques. Adjointe à l’hypothèse d’équilibre local (absence de gradients), ellenous autorise à exprimer toutes les formes différentielles de la thermodynamique dans unréférentiel matériel où le système est au repos, c’est-à-dire à nous débarrasser de toutes lesquantités qui ne sont pas intrinsèques au système. Par suite, dans ce référentiel, l’énergiecinétique disparaît et l’expression (1.7) devient :

U2 − U1 =W +Q , (1.8)

2. Il suffit de dériver l’expression U(λS, λX) = λU(S, X) par rapport à λ, puis de poser λ = 1.3. Le symbole «ˇ» désigne une quantité volumique.4. La première étant tout de même plus fondamentale que la deuxième.

1.3. SECOND PRINCIPE 4/16

forme sur laquelle nous nous appuyons dans ce qui suit. Sous forme différentielle, elles’écrit :

dU =deW +deQ , (1.9)

où la différentielle « de » représente un transfert élémentaire entre le système et le milieuextérieur ; elle est utilisée pour mettre l’accent sur la nature des transferts et sur le faitqu’il ne s’agit pas de différentielles totales exactes.

1.3 Second principe

1.3.1 Inégalité de CLAUSIUS

Soit un système thermodynamique D défini par l’espace d’états d’équilibre E et, ce quirevient au même, la représentation entropique S = S(U, X). Considérons une transforma-tion élémentaire quelconque, complètement incluse dans E ; il s’agit donc d’une successiond’états d’équilibre. L’inégalité de Clausius s’écrit :

T dS ≥ deQ . (1.10)

Si T dS =deQ, la transformation est dite réversible, sinon, elle est dite irréversible. À toutinstant, i.e. quel que soit l’état intermédiaire de la transformation, l’entropie est calculableau moyen de la représentation S = S(U, X), ce qui nous autorise à noter sa variation parla différentielle totale dS, définie par la relation de Gibbs associée.

L’énoncé de Clausius suggère de découper la variation d’entropie en deux parties :une partie dont l’origine est le transfert de chaleur avec le milieu extérieur, soit deS, et unepartie créée par les irréversibilités internes au système, soit diS. Alors, on a :

dS =deS +diS ,

deS = deQ/T : variation d’origine externe ;

diS ≥ 0 : irréversibilités internes.(1.11)

La production d’entropie diS est inconnue à ce stade et dépend de la structure microsco-pique du système. En combinant l’énoncé (1.11) avec le premier principe voir reln. (1.9)et la relation de Gibbs voir relation. (1.5), on obtient :

deW = Y · dX + TdiS ≥ Y · dX ,

expression qui justifie le nom de travail réversible donné à la quantité :

deWr = Y · dX . (1.12)

L’autre terme, qui représente un travail complémentaire dû aux irréversibilités internes,porte le nom de travail irréversible :

dWi = TdiS =deW − deWr . (1.13)

Sans entrer dans le détail, on constate que si le système est moteur (deW < 0), le travailirréversible (dWi > 0) apparaît comme un manque à gagner vis-à-vis du travail net produit(deW ). Pour des raisons qui restent à illustrer, les irréversibilités peuvent être considérées

CHAPITRE 1. PRINCIPES 5/16

comme des pertes. Dans le cas d’un fluide en écoulement, elles ont pour cause les forces defrottement visqueux internes et pariétales 5 ainsi que le transport de chaleur par conduction.

Il reste à identifier, dans la liste des variables d’état, quelles sont celles qui contribuentau travail réversible mais rien dans ce qui a été présenté ci-dessus ne permet de faire cechoix. Nous nous limitons à donner le résultat en ce qui concerne les fluides simples dontil est question plus loin :

deWr = Y · dX = −p dV. (1.14)

Il y a lieu de noter qu’il n’intervient dans cette définition aucune quantité non objective(i.e. dépendant du repère) ni aucun gradient (comme, e.g. une fonction du tenseur desdéformations ou un gradient de température).

Dans le cas d’une transformation réversible, la relation de Gibbs peut être identifiéeterme à terme à la forme différentielle du premier principe car nous avons :

deW =deWr = −p dV , deQ =deQr = T dS et diS = 0 .

Pour autant, deW et deQ ne sont pas des différentielles totales.

1.3.2 Cas d’un système continu

Le système D est au contact d’une distribution continue de sources de chaleur 6 répartiessur sa périphérie ∂D : il s’agit simplement du milieu continu environnant. Soit −q · n ladensité de flux de chaleur qui entre dans D en traversant ∂D ; soit T la température de Det par suite celle de ∂D. Enfin, limitons-nous au cas d’un système à masse constante, cequi signifie qu’il n’y a pas de transport d’entropie par diffusion de matière. Écrivons alorsl’inégalité de Clausius (1.10) pour le système D :

dS

dt=

d

dt

∫

D

ρs dV ≥ −

∮

∂D

q · n

TdA .

L’application de la conservation de la masse, du théorème de la divergence puis du lemmefondamental permettent de transformer cette expression globale en expression locale :

ρds

dt= σ − div

q

T, σ ≥ 0 , (1.15)

où la quantité σ est le taux volumique de production d’entropie dont la définition permetde s’affranchir formellement de l’inégalité et d’exhiber un pseudo-bilan. C’est ainsi que larelation (1.15) permet de montrer que la densité de flux diffusif d’entropie s’identifie à ladensité de flux de chaleur divisé par la température :

j(ρs) = q/T . (1.16)

La Thermodynamique des Phénomènes Irréversibles permet d’établir que la productiond’entropie se structure comme une forme bilinéaire des flux (ou processus) et des forces(ou affinités) :

σ =∑

J(A) ·A > 0 ,

5. C’est la raison pour laquelle, dans l’expression (1.13), le travail irréversible n’est pas présenté commeun transfert avec l’extérieur.

6. On ne tient pas compte du rayonnement.

1.4. POTENTIELS THERMODYNAMIQUES 6/16

où, typiquement, un processus (ou flux) est associé à un transport microscopique, commeun flux de chaleur (flux d’énergie cinétique) ou une contrainte (flux de quantité de mouve-ment), tandis qu’une affinité (ou force) est représentative de la cause, comme le gradientde température ou les taux de déformation. Il est clair que la positivité de σ constitue uncadre pour la détermination des lois de comportement J(A) dont il est question plus loin.

1.4 Potentiels thermodynamiques

1.4.1 Définitions

On appelle potentiels thermodynamiques un ensemble de fonctions d’état dont l’impor-tance est considérable pour l’étude des transformations d’un système astreint à rester aucontact d’un ou plusieurs réservoirs (atmosphère, thermostat, etc), c’est-à-dire, à évoluersous une contrainte du type Yj = cste (isotherme, isobare, etc).

De façon générale, les potentiels sont obtenus par transformation de Legendre de lareprésentation énergétique ; dans le cas des fluides neutres, les plus utilisés sont indiquésdans le tableau 1.1.

Table 1.1 – Potentiels thermodynamiques d’un système thermoélastique divariant.

Potentiel Définition Forme différentielle

Énergie dU = T dS − p dV

Énergie libre† F= U − TS dF = −S dT − p dV

Enthalpie H= U + p V dH = T dS + V dp

Enthalpie libre‡ G= H − TS dG = −S dT + V dp

Grand potentiel Ω= G− µM dΩ = −µ dM

† Fonction de Helmholtz

‡ Fonction de Gibbs

D’un point de vue géométrique, la transformation de Legendre est une trans-formation ponctuelle qui, aux coordonnées x1, x2 d’un point d’une courbe planef(x1, x2) = 0, fait correspondre les nouvelles coordonnées ξ1, ξ2 du même point dela même courbe plane ϕ(ξ1, ξ2) = 0, définies de la façon suivante :

ξ1=

(dx2dx1

)

f

et ξ2= x2 − ξ1x1 .

La transformation inverse est également une transformation de Legendre, ce quiétablit que la donnée d’un potentiel est équivalente à la représentation énergétique(ou entropique).

Chapitre 2

Entropie

2.1 Production d’entropie

Le point de départ de l’analyse du bilan entropique est donné par l’inégalité de Clau-

sius, obtenue à partir de l’expression du second principe :

ρds

dt=∂(ρs)

∂t+ div(ρsv) = σ − div

q

T, σ ≥ 0 . (2.1)

dont on rappelle la forme globale :

dS

dt=

d

dt

∫

D

ρs dV ≥ −

∮

∂D

q · n

TdA .

La correspondance avec les formules génériques s’établit de la manière suivante :

• ψ → ρs : entropie volumique ;

•+

ψ →+

s = σ : taux volumique de création d’entropie ;

• J(ψ)→ J(ρs) = q/T : densité de flux d’entropie.

Sous la forme (2.1), l’origine des irréversibilités (σ > 0) n’est pas explicite et il convientd’éliminer le taux de variation de l’entropie au moyen d’un de la relation de Gibbs :

ρTds

dt= ρ

du

dt+ p div v = σT − T div(q/T ) ,

soit, compte tenu des lois de comportement et de l’expression de la puissance des effortsintérieurs :

σT = 2µ

D :

D+ k(∇T )2/T ≥ 0 . (2.2)

Ce résultat montre clairement que la puissance des forces de frottement et le flux de chaleursont des phénomènes irréversibles.

La diffusion de masse n’apparaît pas car elle a été ignorée dans la liste des modes detransport de l’entropie, lors de la construction de l’inégalité de Clausius.

7

2.2. ÉCOULEMENTS ISENTROPIQUES 8/16

2.2 Écoulements isentropiques

2.2.1 Vitesse du son

Un écoulement isentropique est tel que l’entropie du fluide reste constante sur unetrajectoire :

ds/dt = 0 =⇒ s = s(p, ρ) = cste. (2.3)

D’après l’expression (2.2) de la production d’entropie, une condition nécessaire et suffisanteest que les forces de frottement visqueux et les flux de chaleur par conduction soientnégligeables. Il s’agit en fait de la définition d’un fluide parfait. De façon plus radicale, onpourra poser µ = 0 et k = 0.

La relation (2.3) montre que l’écoulement est barotrope, ce qui signifie que l’état ther-modynamique du fluide est déterminé par une seule variable d’état. On montre alors quela vitesse du son a s’identifie au coefficient thermoélastique :

a2 =(∂p∂ρ

)s,

et il s’ensuit, puisque s = cste, que :

dp

dt=

(∂p∂ρ

)s

dρ

dt+(∂p∂s

)ρ

ds

dt= a2

dρ

dt.

2.2.2 Relation de CROCCO

Pour obtenir cette relation, partons de l’équation d’Euler :

∂v

∂t+ rotv ∧ v +∇

(1

2v2

)= f −

1

ρ∇ p .

En combinant la relation de Gibbs à la différentielle de la définition de l’enthalpie, onétablit que :

∇ p/ρ = ∇ h− T ∇ s ,

dont il découle la relation de Crocco :

∂v

∂t+ rotv ∧ v +∇hi = f + T ∇ s , (2.4)

qui est donc une forme particulière de la conservation de la quantité de mouvement.En règle générale, cette équation est appliquée à des problèmes de Dynamique des

Gaz pour lesquels les vitesses sont suffisamment élevées pour que les forces à distance (lapesanteur) puissent être tenues pour négligeables. Si, de plus, l’écoulement est stationnaire,l’équation de Crocco se ramène à :

rotv ∧ v +∇hi = T ∇ s .

Puisque l’entropie est supposée constante sur une ligne de courant, son gradient est ortho-gonal à la vitesse, soit :

∇ s · v = 0 =⇒ ∇ hi · v = 0 .

CHAPITRE 2. ENTROPIE 9/16

Il s’ensuit que l’écoulement est isoénergétique.Dans le cas où l’enthalpie d’arrêt est la même pour toutes les lignes de courant, on a

alors ∇ hi = 0 et la relation de Crocco s’écrit :

rotv ∧ v = T ∇ s ,

qui montre que le gradient d’entropie est orthogonal au plan formé par la vitesse et sonrotationnel. En outre, il s’avère que dans un écoulement irrotationnel, l’entropie est uni-forme.

2.2. ÉCOULEMENTS ISENTROPIQUES 10/16

Chapitre 3

Équation d’état

3.1 Fluide divariant

3.1.1 Représentation énergétique

Un fluide divariant est un milieu dont l’état thermodynamique est entièrement dé-terminé par deux paramètres ; il peut aussi bien gazeux que liquide. En se limitant à lareprésentation énergétique, ce fluide est défini par la donnée de la relation :

u = u(s, v) , (3.1)

où u, s et v = 1/ρ sont respectivement son énergie interne massique, son entropie massiqueet son volume massique (ρ est la masse volumique). La définition des paramètres intensifss’en déduit :

Température : T = (∂u/∂s)v , (3.2a)

Pression : p = −(∂u/∂v)s . (3.2b)

L’élimination de s entre ces deux relations fournit la relation qu’il est convenu de nommerl’« équation d’état » :

ρ = ρ(p, T ) . (3.3)

En règle générale, les potentiels thermodynamiques sont connus en tant que fonctionsde la pression, de la température et du volume. En raison de la structure des équations dela Mécanique des Fluides, il est indiqué d’étudier les deux fonctions suivantes qui inter-viennent très fréquemment :

Énergie interne : u = u(T, v) , (3.4a)

Enthalpie : h = h(T, p) , (3.4b)

en s’intéressant surtout à leur différentielle :

du = T ds− p dv , (3.5a)

dh = T ds+ v dp . (3.5b)

11

3.1. FLUIDE DIVARIANT 12/16

3.1.2 Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

Pour faire apparaître les variables indépendantes T , p et v, il faut développer la diffé-rentielle T ds :

dq = T ds = cv dT + l dv , (3.6a)

dq = T ds = cp dT +m dp . (3.6b)

Manifestement, cv et cp sont les chaleurs massiques du gaz. Les coefficients l et m s’in-terprètent de façon analogue. L’ensemble de ces coefficients cv, cp, l et m s’appèlent lescoefficients calorimétriques 1. Après avoir reporté les relations (3.6) dans (3.5), il vient :

du = cv dT + (l − p) dv , (3.7a)

dh = cp dT + (m+ v) dp . (3.7b)

Les chaleurs spécifiques se déduisent des potentiels :

Chaleur massique à volume constant : cv =

(∂u

∂T

)

v

, (3.8a)

Chaleur massique à pression constante : cp =

(∂h

∂T

)

p

. (3.8b)

Les deux autres coefficients sont un peu plus long à obtenir ; considérons le cas de l.D’après la différentielle totale de s déduite de (3.6a), on a :

l = T

(∂s

∂v

)

T

.

Par ailleurs, la condition d’intégrabilité de la différentielle de l’énergie libre s’écrit :(∂s

∂v

)

T

=

(∂p

∂T

)

v

,

ce qui nous permet de calculer l en fonction d’une dérivée partielle de l’équation d’état.Tous calculs faits, on obtient pour l et m :

l = T

(∂p

∂T

)

v

, (3.9a)

m = −T

(∂v

∂T

)

p

=T

ρ2

(∂ρ

∂T

)

p

. (3.9b)

Ces deux relations sont connues sous le nom de relations de Clapeyron.Les dérivées partielles de l’équation d’état sont nommées coefficients thermoélastiques.

Plus précisément :

Coefficient de dilatation : α =1

v

(∂v

∂T

)

p

= −1

ρ

(∂ρ

∂T

)

p

, (3.10a)

Coefficient d’augmentation de pression : β =1

p

(∂p

∂T

)

v

, (3.10b)

Coefficient de compressibilité isotherme : χT = −1

v

(∂v

∂p

)

T

=1

ρ

(∂ρ

∂p

)

T

. (3.10c)

1. Il est clair qu’il est possible d’en définir d’autres en examinant toutes les combinaisons des variablesp, v, et T prises deux à deux.

CHAPITRE 3. ÉQUATION D’ÉTAT 13/16

Après avoir reporté ces définitions dans les relations (3.9), les formes différentielles (3.7),nous obtenons une formulation assez fréquemment utilisée en pratique :

du = cv dT − (1− βT )p dv , (3.11a)

dh = cp dT + (1− αT )v dp . (3.11b)

Identifions les deux formes de dq en calculant, par exemple, la différentielle dv enfonction de celles des deux autres variables à partir de l’équation d’état, nous obtenons larelation de Mayer :

cp − cv = T

(∂p

∂T

)

v

(∂v

∂T

)

p

= −T

ρ2

(∂p

∂T

)

v

(∂ρ

∂T

)

p

. (3.12)

Enfin, examinons le cas particulier d’une transformation isentropique, i.e. telle que :ds = 0. La comparaison des relations (3.6) permet de définir le coefficient de compressibilitéisentropique χs :

dv

dp=

(∂v

∂p

)

s

=cvcp

m

l=

1

γ

(∂v/∂p)T(∂p/∂T )v

= −vχs , (3.13)

où on a posé :

γ = cp/cv .

D’après des propriétés classiques des formes différentielles à deux variables, on a aussi :(∂p

∂T

)

v

(∂T

∂v

)

p

(∂v

∂p

)

T

= −1 et, par exemple,

(∂v

∂p

)

T

=

[(∂p

∂v

)

T

]−1

,

si bien que :

χT = γχs . (3.14)

Cette relation, connue sous le nom de formule de Reech, montre que les coefficientsde compressibilité isotherme et isentropique sont dans le même rapport que les chaleursmassiques.

3.2 Gaz parfait

Le modèle du gaz parfait est celui vers lequel tendent tous les gaz réels pour des pres-sions suffisamment basses. Dans ces conditions, les interactions moléculaires deviennentnégligeables (car la distance moyenne qui les sépare devient très grande devant leur dia-mètre) et les molécules sont assimilables à des points matériels sans volume propre.

3.2.1 Définition

Un gaz parfait suit les deux lois de Joule, c’est-à-dire :

Première loi de Joule :

(∂u

∂v

)

T

= 0 =⇒ du = cv(T ) dT , (3.15a)

Deuxième loi de Joule :

(∂h

∂T

)

T

= 0 =⇒ dh = cp(T ) dT . (3.15b)

3.2. GAZ PARFAIT 14/16

Dans un premier temps, exprimons la différentielle de la définition h = u+ pv, soit :

(cp − cv) dT = d(pv) .

Les lois de Joule déterminent les coefficients calorimétriques l = p et m = −v. Par suite,la relation de Mayer s’écrit : cp − cv = pv/T , ce qui permet de mettre la différentielleci-dessus sous la forme :

dT

T=

d(pv)

pv=⇒ pv = CT ,

où C est une constante d’intégration qui ne peut dépendre que de la masse du système.Il faut alors faire appel à la loi d’Avogadro-Ampère qui pose que, dans les mêmes

conditions de température et de pression, les masses moléculaires (ou molaires) de tousles gaz occupent le même volume. Soit v le volume molaire du gaz, et désignons par R lavaleur universelle de la constante, il vient pour une mole :

pv = RT , (3.16)

où R = 8, 3149 J/mole.deg. On obtient la formulation de cette loi pour l’unité de masseen divisant par la masse molaire M du gaz, soit :

p/ρ = rT avec r = R/M . (3.17)

Par exemple, pour de l’oxygène : M = 32 g et r = 260 J/kg.K tandis que pour de l’azote :M = 28 g et r = 297 J/kg.K. Il convient donc, dans une formulation massique qui est cellepréférée en Mécanique des Fluides, de prendre garde au fait que la constante r dépend dela nature chimique du gaz.

Un gaz qui n’est pas parfait est dit « réel ». Il va de soi que tous les gaz sont réels etque le modèle du gaz parfait ne constitue qu’une approximation dont il faut apprécier leslimites, relativement aux exigences de précision d’une application.

3.2.2 Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

La thermodynamique est incapable de donner les valeurs des chaleurs spécifiques et ilfaut donc se référer à des tables. Par exemple, la chaleur massique à pression constante del’air à 20 C est cp = 1, 012 kJ/kg.K, tandis que γ = 1, 4. On peut cependant mentionnerla forme prise par la relation de Mayer, très utile en Dynamique des Gaz :

cp(T )− cv(T ) = r . (3.18)

Il convient de noter que si la différence des chaleurs spécifiques est indépendante de latempérature, il n’en va pas de même pour le rapport γ. Il est souvent pratique d’exprimerles chaleurs spécifiques en fonction de r et γ :

cv =r

γ − 1, cp =

γr

γ − 1.

En revanche, les coefficients thermoélastiques se calculent directement à partir del’équation d’état et, quand bien même le comportement du gaz s’éloignerait quelque peude celui du gaz parfait, ils constituent un bon ordre de grandeur :

Coefficient de dilatation : α = 1/T , (3.19a)

Coefficient d’augmentation de pression : β = 1/T , (3.19b)

Coefficient de compressibilité isotherme : χT = 1/p . (3.19c)

CHAPITRE 3. ÉQUATION D’ÉTAT 15/16

3.3 Liquide

Tout ce qui a été établi pour un fluide divariant est applicable au cas des liquides.Cependant, il convient de mentionner certaines particularités qui conduisent à des simpli-fications usuelles.

Contrairement aux gaz, le comportement des liquides est déterminé par les forces d’in-teraction moléculaires, en raison de la proximité des molécules. Ainsi, ce sont ces forcesqui empêchent les molécules d’un liquide de s’échapper de la surface libre et de diffuserdans le gaz de couverture et qui sont à l’origine de la tension superficielle. Les liquidessont beaucoup plus denses et moins compressibles que les gaz, mais cette distinction n’arien d’absolu, car, au voisinage du point critique, il n’y a aucune discontinuité entre l’étatliquide et l’état gazeux. Dans ce qui suit, nous supposons que les liquides sont pris à destempératures très inférieures à la température critique.

3.3.1 Masse volumique

Un des premiers point à mettre en évidence est le rapport des masses volumiques desliquides et des gaz qui est de l’ordre de 1000. Par exemple, à 20 C et 1 b, la masse volumiquede l’eau est de 998 kg/m3 tandis que celle de l’air est de 1, 16 kg/m3.

3.3.2 Coefficient de compressibilité isotherme χT

Alors que χT ∼ 1/p dans le cas des gaz voir reln. (3.19c), il est environ 10.000 foisplus petit pour les liquides, soit 5.10−5 atm−1 pour de l’eau liquide 2.

3.3.3 Coefficient de dilatation α

Le coefficient de dilatation α d’un gaz est de l’ordre de 1/T voir reln. (3.19a), tandisque celui d’un liquide est environ 10 fois plus petit ; ainsi, α = 2, 1.10−4 K−1 pour de l’eauliquide à 20 C.

3.3.4 Coefficient d’augmentation de pression β

Il est extrêmement difficile de faire des mesures à volume constant pour un liquide eton préfère calculer les coefficients correspondants ; ainsi :

β = α/(χTp) .

En utilisant les valeurs indiquées pour l’eau, nous obtenons β = 4, 2 K−1. Les valeurs prisespar le coefficient β dans le cas des liquides sont nettement supérieures à celles qu’il prenddans le cas des gaz.

3.3.5 Chaleurs spécifiques

Les chaleurs spécifiques des liquides dépendent parfois de façon significative de la tem-pérature, cependant, pour des applications ne requérant pas une grande précision ou nemettant en jeu écarts de température « suffisamment » petits, il est possible de les assimilerl’une à l’autre et de les tenir pour constantes.

2. 1 atm = 1013 mb.

3.3. LIQUIDE 16/16

Les mesures s’effectuent à pression constante, ce qui donne cp et cv se déduit parapplication de la relation de Mayer :

cp − cv = αβ Tp/ρ = α2T/(χTρ) .

Considérons derechef l’exemple de l’eau : à la température de 20 C et sous une pression de1 b, cp = 4, 182 kJ/(kg.K) tandis que cp − cv = 0, 024 kJ/(kg.K) (calculé).

3.3.6 Premier principe

Exprimons la forme différentielle (3.11a) en variables (T, p) :

du =[cv − α(1− βT )

p

ρ

]dT + χT (1− βT )

p

ρdp ,

et considérons un liquide usuel (comme de l’eau) à la température de 20 C et sous lapression de 1 b. Envisageons alors un écoulement dans lequel les variations de températureet de pression sont respectivement de l’ordre de |dT | ∼ 10 K et |dp| ∼ 105 Pa. Ces valeurssont typiques des écoulements rencontrés dans les échangeurs de chaleur usuels. Avec lesvaleurs des coefficients thermoélastiques indiquées précédemment, on peut vérifier qu’il estpossible d’écrire avec un bon degré d’approximation :

du = cv(T ) dT et dρ = 0 . (3.20)

3.3.7 Transformation isentropique

Il se rencontre également une autre catégorie d’applications dans lesquelles les trans-formations du fluide sont tellement rapides que la diffusion de la chaleur n’a pas le tempsd’induire des effets significatifs et qui peuvent donc être assimilées à des transformationsisentropiques. Compte tenu de la relation de Reech (3.14), l’équation (3.13) de la trans-formation peut être réécrite :

dρ

ρ=χT

γdp ,

et intégrée en admettant que χT et γ sont constants :

ρ/ρ0 = exp[(χT/γ)(p − p0)

].

En pratique, on préfère utiliser une relation semi-empirique connue sous le nom de loi deTait :

p+B

p0 +B=

( ρρ0

)nB = 3000 atm , p0 = 1 atm ,

n = 7 , ρ0 = 1000 kg/m3 .(3.21)