MMC lectures LoisComportement -...

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  • Lois de ComportementMMC

    Thomas Gomez

    LML

    2017-2018

    // [email protected] 1/51

    Outline I

    1 Loi de comportement

    2 Comportements de base

    3 Les constantes lastiques

    4 Au del du comportement lastique

    5 Loi de rhologie pour les fluidesFluides de StokesFluides NewtoniensFluides non Newtonien

    // [email protected] 2/51

    Loi de comportement

    Dfinition lien entre les grandeurs cinmatiques (vecteurs dplacements,tenseur des dformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indformable : la donne des efforts extrieurs dterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide dformable : bp plus dinconnues ! vecteur dplacement,tenseur des dformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture

    Loi de comportement// [email protected] 3/51

    Problme de fermeture

    DfinitionInconnues : Densit , Dplacements ui, Dformations ij etContraintes ijLois universelles :

    Conservation de la masse

    @t+ @j(vj) = 0

    Lois dquilibre :

    Conservation de la quantit de mouvement

    i = fi + @j(ij)

    Conservation de lnergieDfinition des dformations (HPP) :

    ij =12(@jui + @iuj)

    La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinmatiques

    f(ij , ui, ij , ...) = 0

    Loi de comportement// [email protected] 4/51

  • Comportements de base

    Elasticit

    Comportements de base// [email protected] 5/51

    Comportements de base

    Viscosit1687 : Isaac Newton voque les liquideset les coulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = dydtCoefficient de viscosit Newtonien :

    (1643-1727)

    Comportements de base// [email protected] 6/51

    Comportements de base

    Viscosit

    Comportements de base// [email protected] 7/51

    Principaux comportements

    Plasticit

    Comportements de base// [email protected] 8/51

  • Comportements de base

    Comportements mixtesElastoplasticitViscoplasticitElastoviscoplasticit...

    Exemple : Viscoelasticite - Modle de Maxwell

    x = xressort +xpatin =F

    k+

    F

    =) F (t) = kZ t

    1exp

    k(t s)

    x ds = L

    0st(x)

    Gnralisable au 3D : (x, t) = L0st,y20

    ((y, s))

    Comportements de base// [email protected] 9/51

    Comportements : Pb modles

    Comportements de base// [email protected] 10/51

    Comportements de base : Non Newtonien

    Comportements de base// [email protected] 11/51

    Les essais

    PlasticitLes essais de base

    Matriaux dont le comportement est insensible la vitesse de

    sollicitation

    Essai de traction, ou essai dcrouissage.Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue.

    Matriaux dont le comportement est sensible la vitesse de

    sollicitation

    Essai contrainte constante, ou de fluage.Essai dformation constante ou de relaxation.

    Autres essaisEssai sous chargement multiple

    Traction/torsion

    Pression interne ou externe

    Essais en flexion

    Essais de fissuration

    Comportements de base// [email protected] 12/51

  • Les essais : Traction

    Comportements de base// [email protected] 13/51

    Les essais : Compression

    Comportements de base// [email protected] 14/51

    Les essais : Observations

    ZonesDformations rversiblesDformations irrversiblesFonction de la nature dumatriau

    Comportements de base// [email protected] 15/51

    Comportement lastique

    DfinitionUn milieu est dit lastique si ltat de contrainte actuel est entirementdtermin par le gradient de la transformation linstant actuel et non par sonhistoire passe

    (x, t) = L0

    (F (X, t))

    PropritsLe comportement ne dpend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dpend priori de la configuration de rfrence choisie0.

    Comportements de base// [email protected] 16/51

  • Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    PropritsCas Hypothse des Petites Perturbations (HPP) :

    (x, t) = L(E(X, t))

    Elasticit classique : Relation linaire entre contraintes et dformations Existence dun potentiel lastique w

    ij [email protected]

    @ij

    Comportement lastique homogne sil est indpendant du point despace

    = 0 + : E ,

    Tenseur des modules dlasticit.0 Tenseur des contraintes rsiduelles.

    + Effets thermiques (linaires) = 0 + : E+RRRT

    0 .

    Comportements de base// [email protected] 17/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Loi de HookeSans contraintes rsiduelles ni effet thermique

    = : E

    Notation indicielleij = ijklkl

    Tenseur dordre 4 : 81 coefficients pour les matriaux anisotropes.

    Robert Hooke1678 : dveloppe sa "True Theory of elasticity" = E avec E module dYoung (Rigidit)

    (1634-1703)

    Comportements de base// [email protected] 18/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    SymtrieSymtrie des tenseurs des dformations et des contraintes

    ijkl = ijlk et ijkl = jikl

    Se rduit 36 coefficientsHypothse thermodynamique - Le tenseur dlasticit est symtrique

    ijkl = klij

    =) Notation de Voigt : 21 coefficients indpendants0

    [email protected]

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    [email protected]

    11 12 13 14 15 1612 22 23 24 25 2613 23 33 34 35 3614 24 34 44 45 4615 25 35 45 55 5616 26 36 46 56 66

    1

    CCCCCCA

    0

    [email protected]

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Comportements de base// [email protected] 19/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Cas orthotropeDfinition : les proprits lastiques prsentent une symtrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais linverse nest pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indpendants

    0

    [email protected]

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    [email protected]

    11 12 13 0 0 012 22 23 0 0 013 23 33 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 55 00 0 0 0 0 66

    1

    CCCCCCA

    0

    [email protected]

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Comportements de base// [email protected] 20/51

  • Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Cas isotropeDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.Cas isotrope : 2 coefficients indpendants

    0

    [email protected]

    112233233112

    1

    CCCCCCA=

    0

    [email protected]

    11 12 12 0 0 012 11 12 0 0 012 12 11 0 0 00 0 0 44 0 00 0 0 0 44 00 0 0 0 0 44

    1

    CCCCCCA

    0

    [email protected]

    112233

    23 = 22331 = 23112 = 212

    1

    CCCCCCA

    Coefficients de Lam : et

    11 = + 2 , 12 = , 44 =

    Comportements de base// [email protected] 21/51

    Cas linaire, lastique, homogne et isotrope

    Termes de rigidit lastiqueDfinition : proprits du matriau sont supposes identiques dans toutesles directions de lespace.

    ij = ijkk + 2ij

    avec kk = trace(E).Cette loi sinverse pour obtenir les dformations partir des contraintes(souplesses lastiques)

    kk = (3+ 2)kk =) ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij

    Les coefficients de Lam (Pa) ont une signification physiqueMesurables partir dessais spcifiques (traction, ...)

    Comportements de base// [email protected] 22/51

    Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    Les constantes lastiques// [email protected] 23/51

    Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    Dfinition : On dfinit le module dYoung et le coefficient de Poisson

    E =

    Let = T

    L

    Daprs la loi de comportement lastique

    ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij

    =)(L =

    12

    2(3+2) =

    +(3+2)

    T = 2(3+2)

    Les constantes lastiques// [email protected] 24/51

  • Les constantes lastiques

    Essai de traction simple

    =

    0

    @ 0 00 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @L 0 00 T 00 0 T

    1

    A

    On en dduit :Module dYoung

    E =(3+ 2)

    +

    Coefficient de Poisson

    =

    2(+ )

    Les constantes lastiques// [email protected] 25/51

    Les constantes lastiques

    Essai de glissement simple

    =

    0

    @0 0 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @0 /2 0

    /2 0 00 0 0

    1

    A

    Les constantes lastiques// [email protected] 26/51

    Les constantes lastiques

    Essai de glissement simple

    =

    0

    @0 0 0 00 0 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @0 /2 0

    /2 0 00 0 0

    1

    A

    Dfinition : On dfinit le module de Coulomb (de cisaillement) par

    G =

    Loi de comportement lastique

    ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij =) /2 = 1/2

    Module de CoulombG =

    Les constantes lastiques// [email protected] 27/51

    Les constantes lastiques

    Essai de compression hydrostatique

    =

    0

    @ 0 00 00 0

    1

    A ()Loi de comportement

    EEE =

    0

    @ 0 00 00 0

    1

    A

    Dfinition : On dfinit le module de compressibilit par

    K =

    3

    Loi de comportement lastique

    ij =1

    2ij

    2(3+ 2)kkij =) 3K = 3+ 2

    Les constantes lastiques// [email protected] 28/51

  • Les constantes lastiques

    En rsum

    E =(3+ 2)

    + , =

    2(+ ), 3K = 3+ 2 , G =

    = G =E

    2(1 + ), =

    E

    (1 2)(1 + ) , 3K =E

    1 2Lois de comportement

    ij =1 +

    Eij

    Ekkij () ij = ijkk + 2ij

    Les constantes lastiques// [email protected] 29/51

    Equations de Navier / Beltrami

    Problme de mcanique des solides dformables (cas lastique dformable)

    (ui,ij)

    8>>>>>>>>>>>>>:

    ij =12 (@jui + @iuj)

    @[email protected]

    fi @ij

    @xj= 0 , 8M 2 0

    ij = ijkk + 2ij , 8M 2 0TTT = n = td , 8M 2 @tduuu = ududud , 8M 2 @u

    + Conditions initialesSolutions analytiques trop complexes =) traitement numrique2 schmas possibles selon les variables retenues

    En dplacements si on limine les contraintes - Equations de NavierEn contraintes si on limine les dplacements - Equations de Beltrami

    Les constantes lastiques// [email protected] 30/51

    Equations de Navier / Beltrami

    Problme de mcanique des solides dformables (cas lastique dformable)Formulation en dplacement - Equations de Navier

    (+ )@i(@juj) + @2jjui + fi = @

    2ttui

    Formulation en contrainte - Equations de Beltrami

    @2kkij +1

    1 + @[email protected] +

    1 @kfkij + (@ifj + @j fi) = 0

    avecfi = fi

    @[email protected]

    Les constantes lastiques// [email protected] 31/51

    Modules dlasticit

    Les constantes lastiques// [email protected] 32/51

  • Synthse des lois de comportements

    Les constantes lastiques// [email protected] 33/51

    Constantes dlasticit

    Les constantes lastiques// [email protected] 34/51

    Au del du comportement lastique

    Comportement non linaireComportement plastiqueComportement visco-lastiqueRponse rhologique non-linaire

    = f( |{z}plasticit

    ,d

    dt|{z}viscosit

    )

    Au del du comportement lastique// [email protected] 35/51

    Fluides de Stokes

    HypothsesTenseur des contraintes ij

    Fonction continue du tenseur des taux de dformation Sij et de ltatthermodynamique local.

    Indpendant de la translation et de la rotation de llment : ie. proprits

    du fluide identiques pour tous les observateurs, qques soient les systmes

    daxes qui les transportent.

    Le fluide est sans lasticit, ie aucun effet mmoire.Le fluide est homogne : ij ne peut dpendre explicitement descoordonnes.Le fluide est isotrope : mmes proprits dans toutes les directions.

    Les directions principales des contraintes et des dformations concident.

    La loi de comportement peut scrire dans un repre principal

    ij = f(S11, S22, S33)ij avec f symtrique par rapport aux deux derniresvariables.

    En absence de taux de dformation Sij = 0, le tenseur des contraintes serduit celui cr par une pression hydrostatique, cd

    11 = 22 = 33 = f(S11, S22, S33) = p, lorsque S11 = S22 = S33 = 0.

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides de Stokes/ [email protected] 36/51

  • Loi de rhologie

    Fluides Newtonien = Fluide de Stokes linaireHypothses pour les Contraintes visqueuses ij

    Dpendance linaire et isotrope avec Sij :

    = / = cstePas de dissipation dans une compression isotrope (hypothse de Stokes)

    Seuls les gaz et les liquides ayant une structure chimique suffisamment

    simple.

    Taux de dformation pas trop importants.

    Tenseur des contraintes

    ij = pij + ij = pij +2

    [email protected] + 2Sij

    Tenseur des taux de dformations : Sij = 12 (@iuj + @jui)Viscosit dynamique (resistance au cisaillement) :

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides Newtoniens/ [email protected] 37/51

    Loi de rhologie

    FluidesNewtonien : eau, huile, airNon Newtonien : Mayonnaise, Polymres, Crmes, Sang ...

    Seuil de contrainte : il faut exercer une contrainte minimale pour que la

    mayonnaise scoule.

    Effet Weissenberg(1893-1976) : Polymres (longues chaines de

    macromolcules)

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 38/51

    Loi de rhologie

    Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance

    Rho-paississant / n avec n > 1Produits alimentaires base damidon, ...

    Rho-fluidifiant / n avec n < 1Ketchup, Peintures

    Viscosit apparante = / = m()n1

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 39/51

    Loi de rhologie

    Non Newtonien : Mesures exprimentales

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 40/51

  • Loi de rhologie

    Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 41/51

    Loi de rhologie

    Non Newtonien : Modle dOstwald de Waele en loi de puissance

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 42/51

    Loi de rhologie

    Non Newtonien : Rho-paississant

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 43/51

    Exemple dapplication des coulements non Newtoniens

    Les coulements sanguinsConsidr comme Newtonien dans les vaisseaux de diamtre assez large(Artres).Vaisseaux de petite taille (< 1mm) taille des globules rouges =) nest plus constante.Fluide rhofluidifiant : viscosit dcroit quand le taux de cisaillementaugmente

    Taux de dformation

    =p

    2(tr(Sij))2

    Viscosit

    f () = kn1 , n < 1

    o k et n sont des caractristiques biologiques du sang.Contraintes

    ij = 2f ()Sij

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 44/51

  • Exemple dapplication des coulements non Newtoniens

    Autres type de modle pour le sangFonction de pondration avec 0 = 0.056Pa.s et 1 = 0.00345Pa.s.

    (, 1, 0) =() 1(0) 1

    Autres exemples de fonction de pondration

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 45/51

    Exemple dapplication des coulements non Newtoniens

    Les coulements sanguins

    MultiphysiqueInteraction fluide/structurePulsGomtrie complexeMulti-chelleViscolasticit (mmoire) : la viscosit dpend aussi de la dformation

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 46/51

    Application des coulements non Newtoniens

    Rduction de tranePetite quantit de polymre dans un fluide NewtonienCoefficient de frottement de Fanning

    f =1

    4

    D

    L

    p

    v2/2

    D diamtre de la conduite, p gradient de pression, L longueur, v vitessemoyenneRe 105 + concentration de 5ppm (parts per million) =) rduction de40% du nombre de Fanning.

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 47/51

    Application des coulements non Newtoniens

    Effet Weissenberg

    Effets centrifugesContraintes centriptes dues au cisaillement

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 48/51

  • Application des coulements non Newtoniens

    Siphon sans tube

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 49/51

    Application des coulements non Newtoniens

    Contraction

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 50/51

    Application des coulements non Newtoniens

    Extrusion

    Comprim de faon lastique dans le direction radiale"Mmoire" de lhistorique de la dformationLe cisaillement produit une contrainte lastique de traction dans ladirection axiale (longues chaines molculaires).

    Loi de rhologie pour les fluides/Fluides non Newtonien/ [email protected] 51/51