Mathématiques préparation à la Terminale S

Mathématiques – préparation à la Terminale S – page 1/15

Mathématiques

préparation à la Terminale S

Le programme de Terminale S est chargéchargéchargéchargé et est la continuitécontinuitécontinuitécontinuité de celui de 1111èreèreèreère SSSS. Les nouvelles notionsnouvelles notionsnouvelles notionsnouvelles notions sont nombreusesnombreusesnombreusesnombreuses et le rythmerythmerythmerythme de progression est rapiderapiderapiderapide. Les bases de 1bases de 1bases de 1bases de 1èreèreèreère SSSS ne seront donc que très rapidement reprises au fil des chapitres. C’est pourquoi il est impératif d’être prêt prêt prêt prêt le jourle jourle jourle jour de la rentréede la rentréede la rentréede la rentrée. Pour faciliter le travail personneltravail personneltravail personneltravail personnel de révisionsde révisionsde révisionsde révisions en fin de vacances, ce fichier contient des résultats de courscourscourscours à compléterà compléterà compléterà compléter et à connaîtreet à connaîtreet à connaîtreet à connaître et des exercicesexercicesexercicesexercices d’applicationd’applicationd’applicationd’application. Une semaine avant la rentrée, une correction succincte des exercices sera mise en ligne sur l’ENT.

Lycée Bellevue - Toulouse


Notations

∀ signifie « pour tout »

∈ : « appartient à » , symbole utilisé entre un élément et un ensemble

⊂ : ……………………………… , symbole utilisé entre deux ensembles

∩ : ………………………………

∪ : ………………………………

Ensembles de nombres

∅ est l’ensemble vide

ℕ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………

ℤ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………

ℝ est l’ensemble des nombres ……………………………………………………………

ℝ∗ est l’ensemble des nombres …………………………………………………………

ℝ4 est l’ensemble des nombres …………………………………………………………

ℝ5∗ est l’ensemble des nombres ………………………………………………………

QCM

( plusieurs réponses possibles )

1°) ℕ ∩ 672; 2: ; …

� <2=

� <1; 2= � >0 ;1 ; 2@

� 60; 2:

2°) 73B ∈ …

� ℕ

� ℤ

3°) C73DB ∈ …

� ℕ

� ℤ

4°) Si E ∈ ℝ4 alors

� E ∈ ℕ

� E ∈ ℝ

5°) Si E ∈ ℝ4, alors

� E F 0

� E G 0

6°) H ∈ ℕ∗ signifie

� H entier positif

� H entier et H F 1

7°) Si E ∈ ℝ5∗, alors

� E I 0

� E J 71

8°) ℝ5 ∩ ℝ4 ; …

� ∅

� ℝ

� <0=

9°) ℕ ⊂ …

� ℤ � ℝ4∗

Fractions (écrire sous la forme d’une seule fraction )

Pour tous réels K, L, M et N non-nuls

KL O M

N ; ⋯

KL Q M

N ; ⋯

KL : M

N ; ⋯

KL O M ; ⋯

KL Q M ; ⋯

KL : M ; ⋯

KLMN

; ⋯

1KL; ⋯

KLM ; ⋯

KLM

; ⋯

Calculer sans calculatrice (puis vérifier à la calculatrice)

S ; 1 O 12 O13

T ; 3 U25 7 6

7Y Z ;123 7

123

[ ; 1 O 161 O 15

Puissances

Pour tous réels K et L non-nuls. Pour tous entiers naturels H et \.

K] ; ...

K^ ; ...

K5_ ; ⋯

K_ Q K` ; …

K_K` ; ⋯

CK_D` ; …

CK Q LD_ ; …

aKLb

_; ⋯

Vrai / Faux (sans calculatrice, cocher les égalités vraies)

�55B ; 0,05

�2 Q 105B O 3 Q 105c ; 0,023

�5c O 55d ; 55e

�5c O 55d ; 105e

�5c Q 55d ; 55e

�5c Q 55d ; 55B^

�C5cD5d ; 55B^

�C5cD5d ; 55e

� 5c

55d ; 5^]

� 5c

55d ; 55e

�5c O 2c ; 7c

�5c Q 2c ; 10c

� 5c2c ; U52Y

c

�C3 Q 4DB ; 3B Q 4B

�C3 O 4DB ; 3B O 4B

� 13e ; 73e



Valeur absolue

|E| ; h… siE …… siE …

Ecrire sans la valeur absolue (puis vérifier à la calculatrice)

S ; |77| ; T ; |j 7 1| ; Z ; k1 7 √2k

Compléter

|E| ; 5 ⇔ E ∈ …………… |E 7 0,1| ; 5 ⇔ E ∈ …………… |E| I 5 ⇔ E ∈ ……………

Formes d’une expression algébrique

Les identités remarquables

CK O LDB ; …

CK 7 LDB ; …

CK 7 LDCK O LD ; …

ne pas confondre

K Q CL O MD ; …

K Q CL 7 MD ; …

K Q CL Q MD ; …

ne pas confondre

E Q E Q E ; …

E O E O E ; …

Racines carrées

Pour tous K et L positifs

√K Q L ; …

siL n 0,oKL ; …

ne pas confondre

∀E ∈ … on a p√EqB ; …

∀E ∈ … on a √EB ; …

Donner la valeur exacte sans la racine carrée

S ; rC77DB ; … . ………… T ; rC5 7 jDB ; … . ………… Z ; rC6 7 2jDB ; … . …………

Ecrire sans la racine carrée au dénominateur puis simplifier (sans utiliser la calculatrice)

S ; 1√2 T ; 6 7 √2

3√2 Z ; 1 O 3√21 7 √2 [ ; 3√2 7 4

3√2 O 4

QCM pour tout K réel positif

1°) p√K O 1qB 7 p√K 7 1qB ; ⋯

� 4√K

� K

� 2

2°) p1 7 4√Kqp1 O 2√Kq ; ⋯

� 1 7 8√K

� 1 7 10√K

� 1 7 2√K 7 8K

3°) √3B O 4B O 5B ; ⋯

� 12

� 5√2

� 2√5

Equations

⇔ signifie « est équivalent à »

SCED Q TCED ; 0 ⇔ SCED ; 0 … TCED ; 0

SCED Q TCED n 0 ⇔ SCED n 0 … TCED n 0

SCEDTCED ; 0 ⇔ SCED… 0 … TCED… 0

Pour tout réel K

Si K I 0 alors l’équation EB ; K n’admet pas de

solution dans ℝ

Si K ; 0 alors l’équation EB ; K admet une solution

dans ℝ qui est E ; …

Si K G 0 alors l’équation EB ; K admet deux solutions

dans ℝ qui sont E ; … et E ; …

Résoudre dans ℝ les équations suivantes

1°) 5C2E 7 3D ; CE 7 1DC2E 7 3D 2°) 4EB 7 1 O EC2E O 1D ; 0

3°) EB 7 6E O 9 7 2CE 7 3D ; 0

Factoriser numérateur et dénominateur, puis résoudre dans ℝ l’équation suivante

EC3E 7 1D 7 EC2E O 3D16 7 EB ; 0



Signe d’une expression

QCM ( une seule bonne réponse )

1°) Le produit de deux facteurs négatifs est

� négatif

� positif

� ça dépend des facteurs

2°) Le produit de deux facteurs positifs est

� négatif

� positif


3°) Le produit de deux facteurs de signes

contraires est

� négatif

� positif


4°) La somme de deux termes négatifs est

� négative

� positive

� ça dépend des termes

5°) La somme de deux termes positifs est

� négative

� positive


6°) La somme de deux termes de signes contraires

est

� négative

� positive


Pour tous K et L réels avec K n 0 , l’expression uv O w s’annule pour E ; …

E − ∞ … + ∞

Signe de KE O L … 0 …

Pour tous K, L et M réels avec K n 0 , l’expression uvx O wv O y est appelé trinôme (polynôme) du 2nd degré

Son discriminant ∆ ; ……………………

• Si ……………. alors KEB O LE O M n’admet aucune racine et n’est pas factorisable

• Si ……………. alors KEB O LE O M admet une seule racine (double) et est factorisable

E] ; … KEB O LE O M ; …

• Si ……………. alors KEB O LE O M admet deux racines distinctes et est factorisable

E^ ; … EB ; … KEB O LE O M ; …

Si Δ ……

Si Δ ……

Si Δ ……

E − ∞ + ∞

Signe de KEB O LE O M …

E − ∞ … + ∞

Signe de KEB O LE O M … 0 …

E − ∞ … … + ∞

Signe de KEB O LE O M … 0 … 0 …

Ecrire sous la forme d’un quotient, puis factoriser éventuellement numérateur et/ou dénominateur,

puis étudier le signe du quotient

∀ E ∈ ℝ − <−1= , {CED = 4CE + 1DB − 9 ∀ E ∈ ℝ − <−2 ; 1= , |CED = E + 1

E + 2 − E − 2E − 1

Résoudre dans ℝ l’ inéquation suivante

73ECEB − 5E − 6DpEB − 2√3E + 3q ≥ 0



Fonctions de référence

Représentations graphiques

La fonction carré est représentée par la courbe …………

La fonction inverse est représentée par la courbe …………

La fonction cube est représentée par la courbe …………

La fonction racine carrée est représentée par la courbe …………

Sens de variation

Pour tous réels Ket L

Si 0 J K I L alors KB … LB car la fonction carré est str. …………………………… sur ……

Si K I L J 0 alors KB … LB car la fonction carré est str. …………………………… sur ……

Si K I L alors Kc … Lc car la fonction cube est str. …………………………… sur ……

Si 0 J K I L alors √K … √L car la fonction racine carrée est str. …………………………… sur ……

Si 0 I K I L alors ^} …

^~ car la fonction inverse est str. …………………………… sur ……

Si K I L I 0 alors ^} …

^~ car la fonction inverse est str. …………………………… sur ……

Utilisation du sens de variation des fonctions de référence

En procédant par étapes successives, comparer

�°D 73K 7 4 et73L 7 4 pourK I L I 4

2°) 1 7 2CK 7 3Dc et 1 7 2CL 7 3Dc pour K I L

3°) C6 7 3KDB et C6 7 3LDB pour 2 J K I L

4°) 72√K O 5 et 72√L O 5 pour 75 J K I L

Dérivation

Siletauxd�accroissement {C………D 7 {C… D… admetunelimitefiniequand�tendvers0

Alors la fonction { est dérivable en K et le nombre dérivé de la fonction { en K est le réel {�CKD tel que

{′CKD ; lim�→]{C………D 7 {C… D

…

Graphiquement, {’CKD est le ………………………………………….. de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation : ……………………………………………………

Remarque : le point de la courbe de { d’abscisse K a pour coordonnées ( ……… ; ……… )

Lecture graphique

Soit { la fonction définie et dérivable sur 674; 6: dont la représentation graphique �� est donnée ci-dessous.

Les droites �� , �x , �� et �� sont les tangentes à Z� aux points �, �, � et �.

Par lecture graphique, donner les équations réduites des droites �̂ , �B , �c et �e ainsi que les valeurs de

{C73D , {′C73D , {C0D , {′C0D , {C2D , {′C2D , {C4D et {′C4D.

T1

T2

T3

T4

Cf

2 3 4 5 6-1-2-3-4

2

3

4

-1

0 1

1

x

y

A

B

C

D



Fonctions de référence

Fonction { { est définie sur { est dérivable sur Fonction dérivée {�

{CED ; � avec � ∈ ℝ … … {�CED ; …

{CED ; E … … {�CED ; …

{CED ; EB … … {�CED ; …

{CED ; Ec … … {�CED ; …

{CED ; Ee … … {�CED ; …

{CED ; E_ avec H ∈ ℕ∗ … … {�CED ; …

{CED ; 1E … … {�CED ; …

{CED ; √E … … {�CED ; …

Opérations

Pour tous � et � deux fonctions dérivables sur un intervalle � et � un réel

C� O �D� ;…

C��D� ;…

C��D� ;…

C�BD� ;…

Si � ne s’annule pas sur �

U1�Y�;…

Si � ne s’annule pas sur �

a��b� ;…

Utilisation de la dérivée

Soit { une fonction dérivable sur un intervalle �.

La fonction { est croissante sur � ⇔ pour tout réel E de �, on a {�CED………

La fonction { est décroissante sur � ⇔ pour tout réel E de �, on a {�CED………

Pour chacune des fonctions � suivantes :

1. Donner son ensemble de définition et son ensemble de dérivabilité ( ens. de déf. de la dérivée �′ )

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f et de l’axe des abscisses

3. Déterminer �′CvD et étudier son signe

4. Dresser le tableau de variations de la fonction � sur son ensemble de définition

{CED ; 3EB 7 2E O 5

{CED ; Ec 7 6EB O 9E

{CED ; E O 1E

{CED ; C2 7 ED√E

{CED ; 2E 7 1E 7 3

{CED ; EB 7 3EE O 1

{CED ; 13EB 7 2E O 5

Fonction inconnue

Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ. Soit Z� sa représentation graphique. Soit {’ la fonction dérivée de { et Z�� sa représentation graphique. Z� passe par les points SC0; 74D et TC1; 0D. Z�� passe par les points ZC0; 3D et [C1; 4D. Déterminer les réels K, L, M et N tels que

{CED ; KEc O LEB O ME O N



Position relative de courbes

Pour étudier la position relative des courbes Z� et Z� de deux fonctions { et | définies sur un intervalle �,

on calcule pour tout réel E de �, la différence {CED 7 |CED puis on étudie son signe.

Z� est au-dessus de Z� sur � ⇔ ∀E ∈ � , {CED G |CED ⇔ ∀E ∈ � , {CED 7 |CED G 0

Z� est au-dessous de Z� sur � ⇔ ……………………………… ⇔ ………………………………………

Etude de fonction

Soit{lafonctiondéfiniepar{CED ; E 7 3EB O E O 4

Soit Z� la courbe représentative de la fonction { dans un repère donné. 1.1.1.1. Justifier que la fonction { est définie sur ℝ. 2. Etudier la position relative de Z� par rapport à l’axe des abscisses. 3.3.3.3. Calculer {’CED et étudier son signe sur ℝ. 4.4.4.4. Dresser le tableau de variations de la fonction . 5.5.5.5. Donner les coordonnées des points en lesquels Z� admet une tangente horizontale. 6.6.6.6. Déterminer l’équation réduite de la tangente � à Z� au point d’abscisse 75. 7. Etudier la position relative de Z� par rapport à la droite �. 8. Dans un repère orthogonal, avec en abscisses 1cm pour 1 unité et en ordonnées 10 cm pour 1 unité,

tracer la droite �, les tangentes horizontales à Z� déterminées à la question 5.5.5.5. puis tracer l’allure de

la courbe Z�.

9.9.9.9. Montrer que la fonction { admet un minimum et un maximum sur ℝ.

Trigonométrie

∀ E ∈ ℝ, … J cos E J … ; … J sin E J … ; Ccos EDB + Csin EDB = … ; pour cos E n 0 , tan E = …

cosCE + 2jD ; …

sinCE + 2jD ; …

cosC−ED = …

sinC−ED = …

cosCE + jD = …

sinCE + jD = …

cosCj − ED = …

sinCj − ED = …

Valeurs remarquables

cosC0D ; …

sinC0D ; …

cos aj6b ; …

sin aj6b ;…

cos aj4b ; …

sin aj4b ;…

cos aj3b ; …

sin aj3b ;…

cos aj2b ; …

sin aj2b ;…

cosCjD ; …

sinCjD ; …

Pour tous les réels K et L,

cosCK + LD = …………………………………………………………

sinCK + LD = …………………………………………………………

cosCK − LD = …………………………………………………………

sinCK − LD = …………………………………………………………

cosC2KD ; …………………

; …………………

; …………………

sinC2KD ; …………………

cos K = cos L ⇔ K ; ……………………………………… ou K ; ……………………………………… avec� ∈ …………

sin K = sin L ⇔ K ; ……………………………………… ou K ; ……………………………………… avec� ∈ …………



Suites

définitions

La suite C�_D est croissante ⇔ ∀ H ∈ ℕ, �_4^ − �_ ……

La suite C�_D est strictement décroissante ⇔ ∀ H ∈ ℕ, �_4^ − �_ ……

La suite C�_D est constante ⇔ ∀ H ∈ ℕ, �_4^ − �_ ……

La suite C�_D est monotone lorsqu’elle est soit ………………………… soit …………………………

La suite C�_D n’est pas monotone lorsqu’elle n’est ni ………………………… ni …………………………

Une suite C�_D est arithmétique ⇔ �] est donné et ∀ H ∈ ℕ, �_4^ = ……………… avec � une constante

Une suite C�_D est géométrique ⇔ �] est donné et ∀ H ∈ ℕ, �_4^ = ……………… avec � une constante

expression du terme général

C�_D est arithmétique de 1er terme �] et de raison � ⇔ ∀ H ∈ ℕ, �_ = ………………………

C�_D est géométrique de 1er terme �] et de raison � ⇔ ∀ H ∈ ℕ, �_ = ………………………

Somme de termes

∀ H ∈ ℕ, 1 + 2 + 3 + ⋯ + H = ………………………

avec � n 1, ∀ H ∈ ℕ, 1 + � + �B + ⋯ + �_ = ………………………

Exercice 1

Soit C�_D et C�_D les suites telles que ∶ ∀ H ∈ ℕ, �_ = 3 × 2_ − 4H + 32 et �_ ; 3 × 2_ + 4H − 3

2

1. Montrer que la suite C�_D n’est pas monotone et que la suite C�_D est croissante.

2. Soit C�_D et C�_D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, �_ = �_ + �_ et �_ ; �_ 7 �_

Montrer que la suite C�_D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

Montrer que la suite C�_D est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.

3. Soit CS_D et CT_D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, S_ = �] + �̂ + ⋯ + �_ et T_ ; �] O �̂ O ⋯ + �_

Exprimer S_ et T_ en fonction de H.

Exercice 2

Soit C�_D et C�_D les suites telles que ∶ �] ; 1 , �] ; 2 et ∀ H ∈ ℕ, �_4^ = �_ + 2�_3 et �_4^ ; �_ O 4�_

5

Soit C�_D et C�_D les suites telles que : ∀ H ∈ ℕ, �_ = �_ − �_ et �_ ; 3�_ + 10�_

1. Montrer que la suite C�_D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

2. Montrer que la suite C�_D est constante et préciser cette constante.



Exercice 3

SoitC�_Dlasuitetelleque ∶ �] ; 10et∀H ∈ 0,�_4^ ; 12�_ O

32

Partie A

1. Dans un repère orthonormé d’unité le centimètre, tracer les droites d’équations � ; E et � ; ^B E O c

B

puis construire les termes de la suite jusqu’à �e sur l’axe des abscisses.

2. Emettre une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite C�_D.

3. Calculer à la main �^, �B, �cet�e puis vérifier à la calculatrice.

Partie B

Soit C�_D la suite telle que : ∀H ∈ 0, �_ ; �_ 7 3

1. Montrer que la suite C�_D est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

2. En déduire �_ en fonction de H puis �_ en fonction de H.

3. Donner le sens de variation de la suite C�_D et en déduire celui de la suite C�_D.

4. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il détermine le rang à partir duquel �_ I 3,0001 et utiliser

le tableau de la calculatrice pour déterminer la valeur affichée par cet algorithme.

Initialisation

H prend la valeur ………

� prend la valeur ………

Traitement

Tant que � ……… 3,0001 faire

H prend la valeur ………………

� prend la valeur ………………

Fin tant que

Sortie

Afficher H

Partie C

Soit C�_D et C�_D les suites telles que : ∀H ∈ 0,�_ ; �] O �̂ O �B O⋯O �_ et �_ ; �] O �^ O �B O ⋯ O �_

1. Exprimer �_ en fonction de H.

2. En déduire �_ en fonction de H.

3. Expliquer ce que l’algorithme ci-dessous affiche.

Entrée

Lire H (entier naturel) Initialisation

� prend la valeur 0

� prend la valeur 10 Traitement

Pour � allant de 0 à H faire

� prend la valeur � O �

� prend la valeur ^B � O c

B

Fin Pour Sortie

Afficher �

4. On exécute cet algorithme en saisissant H ;2. Utiliser la question 3. de la partie A pour

compléter le tableau ci-dessous donnant

l’état des variables, sous forme décimale, au

cours du traitement de l’algorithme.

� � �

0



Quadrilatères

Pour montrer qu’un quadrilatère STZ[ est un parallélogramme,

il suffit de montrer une des propriétés ci-dessous

• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………

• les vecteurs ST ¡ et ……… sont …………………………………….

Pour montrer qu’un parallélogramme STZ[ est un rectangle,


• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………

• deux côtés consécutifs …………………………………………………………………………………………………………

Pour montrer qu’un parallélogramme STZ[ est un losange,


• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………


Pour montrer qu’un rectangle STZ[ est un carré,


• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………


Pour montrer qu’un losange STZ[ est un carré,


• les diagonales ……………………………………………………………………………………………………………………


Vecteurs

Dans un repère orthonormé, on considère les points S CE¢ ; �¢D et CE£ ; �£D , les vecteurs � ¡ aE�b et �¡ UE′

�′Y .

Le milieu � du segment 6ST: a pour coordonnées E¤ ; …………………………. et �¤ ; ………………………….

ST ¡ a b � ¡ O �¡ a b Soit � ∈ ℝ, �� ¡ a b

La norme du vecteur ST ¡ , notée ¥ST ¡¥ , est égale à la longueur ST ; …………………………………………………………

La norme du vecteur � ¡ est ‖� ¡‖ ; …………………………………………………………

Si E¢ n E£ alors le coefficient directeur de la droite CSTD est égal à …………………………………………………………

Deux vecteurs non-nuls � ¡ et �¡ sont colinéaires ⇔ il existe un réel � non nul tel que ……………………

Les points S, T et Z sont alignés ⇔ les vecteurs ST ¡ et SZ ¡ sont ………………………………

Les droites CSTD et CZ[D sont parallèles ⇔ les vecteurs ST ¡ et Z[ ¡ sont ………………………………

Pour tous points S, T et Z on a ST ¡ O TZ ¡ ; ……… Cette propriété porte le nom de ……………………………………

Equations de droite

L’axe des abscisses a pour équation ………… L’axe des ordonnées a pour équation …………

Une droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme ……………

Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme ……………

� ; §E O \ est l’équation ……………………… d’une droite non parallèle à l’axe des …………………………

KE O L� O M ; 0 avec CK; LD n C0; 0D est une équation ……………………………… de droite.

La droite CND d’équation KE O L� O M ; 0 a pour vecteur normal H ¡ a b

Si H ¡ a b est un vecteur normal à la droite CND alors CND a une équation de la forme KE O L� O M ; 0

Soit �¡ un vecteur directeur d’une droite CND et H ¡ un vecteur normal à CND. �¡ et H ¡ sont donc …………………………



Système

Résoudre par substitution

¨ E 7 4� ; 55E O 3� ; 721

Résoudre par combinaison linéaire

¨ 3E 7 2� ; 55E O 3� ; 21

Produit scalaire

Dans un repère orthonormé, si � ¡ aE�b et �¡ UE′

�′Y alors � ¡ • �¡ ; ……………………………

Soit � ¡ et �¡ deux vecteurs non-nuls. Soit S, T et Z trois points distincts.

� ¡ • �¡ ; ‖� ¡‖ Q ‖�¡‖ Q cosC� ¡; �¡D ST ¡ • SZ ¡ ; …………………………………….

Si ST ¡ et SZ ¡ sont colinéaires de même sens alors ST ¡ • SZ ¡ ; …………………….

Si ST ¡ et SZ ¡ sont colinéaires de sens contraires alors ST ¡ • SZ ¡ ; …………………….

ST ¡ • SZ ¡ ; ST ¡ • Sª ¡ avec ª projeté orthogonal du point …… sur la droite ………

� ¡ • �¡ ; 0 ⇔ ………………………………………… ; ST ¡ • SZ ¡ ; 0 ⇔ STZ triangle …………………………………

Avec le projeté orthogonal et les propriétés de calcul

1°) Soit STZ[ un rectangle direct de centre « tel que ST = 8 et S[ = 6. Calculer :

ST ¡ • SZ ¡ ST ¡ • S[ ¡ TS ¡ • «S ¡ ST ¡ • Z[ ¡

2°) On sait que ‖� ¡‖ ; 3 , ‖�¡‖ ; 4 , ‖¬ ¡‖ ; 5 , � ¡ • �¡ ; 72 , � ¡ et ¬ ¡ orthogonaux. Calculer :

77� ¡ • 2�¡ 2� ¡ • C7¬ ¡ 7 �¡D C� ¡ O 2�¡D • C3� ¡ 7 �¡D

C3� ¡ 7 2¬ ¡DB C� ¡ 7 �¡DB � ¡B 7 �¡B

Géométrie analytique

Dans un repère orthonormé, on considère SC72; 7D , TC2; 0D , ZC9; 4D , [C5; 11D , C0; 77D et ®C79; 3D. 1. Montrer que STZ est un triangle isocèle rectangle.

2. Montrer que STZ[ est un carré.

3. Soit � milieu du segment 6SZ:. Montrer que les points �, [ et ne sont pas alignés.

4. Montrer que les droites CTZD et C[®D sont parallèles.

5. Montrer que SZT® est un parallélogramme.

6. Calculer les longueurs TZ et T®, le produit scalaire TZ ¡ • T® ¡ ; en déduire cos ÆCBF , puis ÆCBF en radians.

7. Déterminer une équation cartésienne de la droite CND passant par et perpendiculaire à CSZD.

8. Construire le point ¯ tel que [¯ ¡ ; 2ST ¡ 7 cB SZ ¡ puis calculer les coordonnées de ¯.

9. Montrer, de deux façons différentes, que ¯ est le milieu de 6T®:.

Equation de cercle

Le cercle de centre �CE¤; �¤D et de rayon ° a pour équation CE 7 E¤DB O C� 7 �¤DB ; ………

QCM ( choisir la bonne réponse et la compléter ) L’ensemble des points ±CE; �D tels que

1°) EB O �B 7 4E O 6� O 13 ; 0 est :

� ∅

� le point �C…; … D � le cercle de centre �C…;… D et de rayon ° ; …

� la droite d’équation réduite ………………………

2°) EB O �B 7 2E O 10 ; 0 est :

� ∅



3°) 2E 7 3� 7 9 ; 0 est :

� ∅



4°) EB O �B O 3E O 4� O 6 ; 0 est :

� ∅





Géométrie dans l’espace

Dans l’espace,

un plan est défini par trois points ……………………………

Compléter les règles d’incidence ci-dessous

Deux plans de l’espace sont

soit sécants

soit …………………………………………

Deux plans parallèles de l’espace sont

soit …………………………………………

soit …………………………………………

L’intersection de deux plans sécants de l’espace

est ………………………………………

Deux droites de l’espace sont

soit coplanaires (dans un même plan)

soit non-coplanaires

Deux droites coplanaires de l’espace sont

soit sécantes

soit …………………………………………

Deux droites parallèles de l’espace sont

soit …………………………………………

soit …………………………………………

Deux droites non parallèles de l’espace sont

soit …………………………………………

soit …………………………………………

Un plan et une droite de l’espace sont

soit sécants

soit …………………………………………

Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est

soit ……………………………………

soit ……………………………………

L’intersection d’un plan et d’une droite sécants

est ………………………………………

QCM ( une seule bonne réponse par question )

Soit STZ[®¯ª un cube et ² le milieu de 6T®:

1°) Les plans CTZ®D et C[¯ªD sont

� strictement parallèles

� confondus

� sécants

2°) Les droites C[D et C®ZD sont

� parallèles

� sécantes

� non coplanaires

3°) Les droites C[®D et CZD sont

� parallèles

� sécantes

� non coplanaires

4°) Les droites CTD et Cª®D sont

� parallèles

� sécantes

� non coplanaires

5°) La droite Cª®D et le plan CSTD sont

� strictement parallèles

� sécants

� la droite en contenue dans le plan

6°) La droite Cª²D est

� strictement parallèle au plan C®T[D

� sécants au plan C®T[D

� contenue dans le plan C®T[D

7°) La droite C²¯D est

� strictement parallèle au plan CS[ªD

� sécants au plan CS[ªD

� contenue dans le plan CS[ªD

8°) Deux droites n’ayant pas de point commun

sont parallèles

� vrai

� faux, contre-exemple : …………………………

9°) Deux plans parallèles à un troisième plan

sont parallèles entre eux

� vrai


10°) Deux plans parallèles à une même droite

sont parallèles entre eux

� vrai




Probabilités

Soit A et B deux événements. Soit Aµ l’événement contraire de A.

¶CAµD ; ………………………………………………… ¶CA ∪ BD = …………………………………………………

Variable aléatoire

Soit · une variable aléatoire prenant H valeurs notées E^ , EB , … et E_.

L’espérance de · est C·D ; E^ Q ¶C· ; E^D O EB Q ¶C· ; EBD O ⋯ + E_ × ¶C· = E_D = ¸ E¹ × ¶C· = E¹D_

¹º^

La variance de · est �C·D ; a p· 7 C·DqB b ; ¸pE¹ 7 C·DqB Q ¶C· ; E¹D_

¹º^

; C·BD 7 pC·DqB ; ¸ E¹B Q ¶C· ; E¹D_

¹º^ 7 pC·DqB

L’écart-type de · est »C·D ; ………….

Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli de paramètre \ est une expérience aléatoire n’ayant que ……………. issues

possibles appelées …………………… et …………………… , notées � et �̅ avec ¶C�D ; \

On considère un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de H épreuves de Bernoulli de paramètres \

…………………………… et ……………………………

Soit · la variable aléatoire égale au nombre de succès.

On dit que · suit la loi …………………………………. de paramètres …… et …… , on note · ~ ℬCH ; \D

Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli à H épreuves, le nombre de chemins menant à � succès est appelé

……………………………………………… noté p_¿q qu’on lit ………………………….

¶C· ; �D ;……………………………………

L’espérance de · est C·D ; ……………… elle représente le nombre ……………………. de succès.

La variance de · est �C·D ; ………………………………

L’écart-type de · est »C·D ; ………………………………

La représentation graphique de la loi binomiale de paramètre H et \ est un ………………………………………………

avec en abscisses � allant de 0 à H et en ordonnées ¶C· ; �D.

Exercice 1

Une urne contient 6 billes vertes et 4 billes rouges, indiscernables au toucher.

On tire successivement, et avec remise, trois billes de l’urne.

1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.

2. Soit · la variable aléatoire égale au nombre de billes vertes obtenues.

a. Utiliser la question précédente pour dresser un tableau donnant la loi de probabilité de ·.

b. En déduire son espérance C·D, sa variance �C·D et son écart-type »C·D.

c. Donner une interprétation du résultat de C·D.

d. Représenter graphiquement la loi de · dans un repère orthogonal avec en abscisses 1 cm pour 1 bille

verte et en ordonnées 1 cm pour ^]

^BÀ ; 0,08

3.

a. Justifier que la variable aléatoire · suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres H et \.

b. Vérifier à la calculatrice la loi de probabilité établie à la question 2.a.

c. Retrouver les résultats de la question 2.b. en utilisant les formules pour · ~ ℬCH ; \D



Exercice 2

Chez un fabricant de calculatrices, une étude a montré que 10 % des produits ont un défaut.

Lors de la commande groupée, le lycée a commandé un lot de 150 calculatrices.

Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.

On définit la variable aléatoire · donnant le nombre de calculatrices défectueuses.

1. Justifier que · suit la loi binomiale de paramètres H ; 150 et \ ; 0,1.

2. C·D ; … � 10 � 13,5 � 15 � 67,5 � 75 � 150

QCM ( choisir la (les) bonne(s) réponse(s) et compléter les pointillés en arrondissant à 105e )

3. La probabilité qu’exactement 10 calculatrices

soient défectueuses est égale à …………………

� 0,1^]

� U15010 Y 0,1^]

� 0,1^] × 0,9^e]

� U15010 Y 0,1^] × 0,9^e]

4. ¶C· F 15D ≃ …………………

� 1 7 ¶C· I 14D

� 1 7 ¶C· J 15D

� 1 7 ¶C· J 14D

� 1 7 ¶C· I 15D

5. ¶C· G 20D ≃ …………………

� 1 7 ¶C· I 20D

� 1 7 ¶C· J 19D

� 1 7 ¶C· J 20D

� 1 7 ¶C· J 21D

6. La probabilité qu’au plus 10 calculatrices soient

défectueuses dans ce lot est égale à …………………

� ¶C· G 10D

� ¶C· I 10D

� ¶C· J 10D

� ¶C· F 11D

7. La probabilité qu’il ait plus de 10 calculatrices


� ¶C· G 10D

� ¶C· I 10D

� ¶C· J 10D

� ¶C· F 11D

8. La probabilité qu’il y ait de 11 à 18 calculatrices


� ¶C11 J · J 18D

� ¶C· J 18D 7 ¶C· J 11D

� ¶C· J 18D 7 ¶C· I 11D

� ¶C· J 18D O ¶C· F 11D

Exercice 3

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres de deux catégories : des conifères et des feuillus.

Le stock comporte 52,5 % de conifères. Les autres sont des feuillus.

On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie.

On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec

remise de 10 arbres dans le stock.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

Arrondir les résultats à 105c

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?

3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux feuillus ?



Intervalle de fluctuation de 2nde

On fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère dans une population est \.

On considère un échantillon de taille H.

On observe que le caractère est présent dans cet échantillon avec une fréquence égale à {.

Lorsque Ã F xÄ et Å, x J Æ J Å, Ç alors il y a environ 95% des échantillons de taille H qui sont tels que la

fréquence { appartient à un intervalle � de fluctuation au seuil de 95 % où

� ; È\ 7 …√… ; \ + …

√… É

Intervalle de fluctuation de 1ère S

Soit · la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant le caractère dans l’échantillon de taille H.

On peut considérer que · ~ ℬCH ; \D.

Un intervalle � de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 % est � ; È KH ; LH É

Avec K le plus petit entier tel que ¶C· J KD G ………… et L le plus petit entier tel que ¶C· J LD F …………

Prise de décision

Si { ∉ � alors on rejette l’hypothèse

Si { ∈ � alors on ne rejette pas l’hypothèse

Exercice

Un laboratoire pharmaceutique affirme que son nouveau médicament contre le mal des transports est

efficace sur les trois-quarts des malades habituels. Une association indépendante collecte des données

auprès de personnes habituellement malades. Sur 57 personnes, 50 n’ont pas été malades à la suite de la

prise du médicament. Que peut-on dire de l’affirmation du laboratoire pharmaceutique ?

avec l’intervalle de fluctuation de 2nde résultats à 105e

H = … … \ = … … … … { = … …… … ≃ … … … … … …

� = È… … … … − …√… … ; … … … … + …

√… … É ≃ 6… … … … … ; … … … … … :

{ … … � donc ………………………………………………………………………………………..

avec l’intervalle de fluctuation de 1ère S

On choisit au hasard et de façon indépendante 57 personnes habituellement malades ayant pris le

médicament. Soit · la variable aléatoire égale au nombre de personnes pas malades dans cet échantillon de

57 personnes. Sous l’hypothèse selon laquelle le médicament est efficace sur les trois-quarts des malades

habituels, on a · ~ ℬC… … ; … … … … D

A l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice,

le plus petit entier K tel que ¶C· J KD G …………… est K ; ………

le plus petit entier L tel que ¶C· J LD F …………… est L ; ………

donc � ; Ë… …… … ; … …

… …Ì

≃ 6… … … … … … ; … … … … … :

{ … … � donc ………………………………………………………………………………………..

Mathématiques préparation à la Terminale S

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