Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités ...

Exercices et problèmes corrigés

pour l’agrégation de mathématiques

•Analyse,probabilités,algèbre etgéométrie•Desexercicesetproblèmes originaux•Touslescorrigésdétaillés

AGRÉGATION INTERNE

& EXTERNE MATHÉMATIQUES

Exer

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I

Exercices et problèmes corrigés pour l’agrégation de mathématiques

Cet ouvrage rassemble plus de 100 exercices et problèmes complets en analyse, algèbre, probabilités et géométrie.

Il pourra être utilisé de façon indépendante ou bien complémentaire aux deux livres de Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités (J.-F. Dantzer) et de Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrie (J.-É. Rombaldi) publiés dans la même collection.

Intégralement corrigés, les exercices proposés ici peuvent servir de développement pour les leçons d’oral de l’agrégation interne ou externe. Les problèmes seront particulièrement utiles pour l’entraînement aux épreuves écrites.

SommaireI. Exercicesetproblèmesd’analyseetdeprobabilités

1. Espaces normés2. Suites et séries numériques3. Suites et séries de fonctions4. Fonctions convexes5. Intégration6. Transformées de Fourier et de Laplace7. Équations fonctionnelles

8. Fonctions de plusieurs variables réelles 9. Dénombrements et probabilitésII.Exercicesetproblèmesd’algèbre

etdegéométrie10. Groupes, anneaux, corps11. Polynômes12. Algèbre linéaire et bilinéaire13. GéométrieBibliographie

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9 782807 315624

ISBN : 978-2-8073-1562-4

Agrégé de mathématiques, Jean-étienneRombaldi est professeur à l’université Grenoble-Alpes, institut Fourier. Préparateur à l’agrégation interne de cette même université ainsi que pour le CNED, Il a été membre du jury du CAPES externe et de l’agrégation interne de mathématiques et responsable de la préparation à l’agrégation interne de l’université de Grenoble.

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LES PLUSp Tous les exercices et problèmes

sont intégralement corrigés

p Des énoncés de problèmes direc-tement inspirés de sujets posés à l’agrégation interne et externe

JEAN-éTIENNE ROMBALDI

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Ouvrage complémentaire

Dantzer J.-F., Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités Rombaldi J.-É., Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrie

Chez le même éditeur (extrait du catalogue)

Aebischer B., Introduction à l’analyse Aebischer B., Analyse. Fonctions à plusieurs variables et géométrie analytique Aebischer B., Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne et introduction à la géométrie projective Aslangul C., Des mathématiques pour les sciences. Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes BelhaJ S., Mathématiques pour l’économie et la gestion BelhaJ S., Ben Aissa A., Mathématiques pour l’informatique Briane M., Pagès G., Analyse. Théorie de l’intégration – 7e édition Burg P., Mathématiques. Les fondamentaux en Licence 1 Canon É., Analyse numérique Carassus L., Pagès G., Finance de marché. Modèles mathématiques à temps discret Carton O., Langages formels. Calculabilité et complexité Choulli M., Analyse fonctionnelle. Équations aux dérivées partielles Commenges D., Jacqmin-Gadda H., Modèles bio statistiques pour l’épidémiologie Cortella A., Algèbre. Théorie des groupes Cottet-Emard F., 36 problèmes corrigés pour le CAPES de mathématiques Cottet-Emard F., Probabilités et tests d’hypothèses Cottet-Emard F., Algèbre linéaire et bilinéaire Cottet-Emard F., Analyse Depauw J., Statistiques Mansuy R., MneimnÉ R., Algèbre linéaire. Réduction des endomorphismes Pagès G., 101 quizz qui banquent. Mathématiques et finances sont-elles indépendantes ? Stoltz G., Rivoirard V., Statistique mathématique en action WasseF P., Algèbre. Arithmétique pour l’informatique

En couverture : Coupe d’un nautile © AdrianHancu/Getty ImagesMaquette & mise en pages de l’auteur Maquette de couverture : Primo&PrimoCouverture : Linda Skoropad/PrescriCom Dépôt légal :Bibliothèque royale de Belgique : 2018/13647/071Bibliothèque nationale, Paris : mai 2018ISBN : 978-2-8073-1562-4 Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie)partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de donnéesou de le communiquer au public, sous quelque forme ou de quelque manière que ce soit. © De Boeck Supérieur SA, 2018 - Rue du Bosquet 7, B1348 Louvain-la-NeuveDe Boeck Supérieur - 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris

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“ExercicesAgregVersionFinale08Avril18” — 2018/4/12 — 21 :25 — page iii — #1

Sommaire

Avant-propos ix

I Exercices et problèmes d’analyse et de probabilités 1

1 Espaces normés 3

2 Suites et séries numériques 31

3 Suites et séries de fonctions 71

4 Fonctions convexes 121

5 Intégration 145

6 Transformées de Fourier et de Laplace 185

7 Équations fonctionnelles 227

8 Fonctions de plusieurs variables réelles 263

9 Dénombrements et probabilités 285

II Exercices et problèmes d’algèbre et de géométrie 343

10 Groupes, anneaux, corps 345

11 Polynômes 383

12 Algèbre linéaire et bilinéaire 407

13 Géométrie 439

Bibliographie 469

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Table des matières

Avant-propos ix

I Exercices et problèmes d’analyse et de probabilités 1

1 Espaces normés 3Exercice 1.1. Normes ∥·∥p sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exercice 1.2. Normes ∥·∥p sur C0 ([a, b] ,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Exercice 1.3. Norme d’une application linéaire en dimension finie . . . . 7Exercice 1.4. Norme d’une forme linéaire continue sur ℓ∞ . . . . . . . . 8Exercice 1.5. Normes d’applications linéaires continues sur C0 ([0, 1] ,R) 9Exercice 1.6. Norme d’une application linéaire continue sur un espace

préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Problème 1.1. Normes sur R [x] et sur ℓ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Suites et séries numériques 31Exercice 2.1. Suites définies par xn+1 = λxn (1− xn) . . . . . . . . . . . 31Exercice 2.2. Suites définie par xn+1 = sin (αxn) . . . . . . . . . . . . . 36Exercice 2.3. Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Exercice 2.4. Série non commutativement convergente . . . . . . . . . . 40Exercice 2.5. Série alternée de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exercice 2.6. Une formule pour π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Exercice 2.7.+∞∑n=0

un et+∞∑n=0

f (un) convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 47

Exercice 2.8. Un développement asymptotique den∑k=1

1

k. . . . . . . . . . 50

Exercice 2.9. Restes d’une série alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Problème 2.1. Développement de sin (z)

zen produit infini . . . . . . . . 54

3 Suites et séries de fonctions 71

Exercice 3.1. Étude de+∞∑n=1

einx

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Exercice 3.2. Un théorème de Berstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Exercice 3.3. Un théorème de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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vi Table des matières

Exercice 3.4. Une caractérisation des fonctions analytiques réelles . . . . 84Exercice 3.5. Le théorème des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Exercice 3.6. Série trigonométrique et série de Fourier . . . . . . . . . . 89Exercice 3.7. Série entière et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exercice 3.8. Développements en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . 91Exercice 3.9. Série de Fourier et équation différentielle . . . . . . . . . . 94Exercice 3.10. Inégalité de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Exercice 3.11. Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Problème 3.1. Formule sommatoire de Poisson. Fonction P

de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Fonctions convexes 121Exercice 4.1. Les inégalités de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exercice 4.2. Fonctions mid-convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Exercice 4.3. Fonctions logarithmiquement convexes . . . . . . . . . . . 124Exercice 4.4. Comparaison de la longueur de deux courbes . . . . . . . . 127Problème 4.1. Théorème de Bohr-Mollerup et fonction gamma . . . . . 129

5 Intégration 145

Exercice 5.1. Calcul élémentaire de+∞∑n=0

(−1)n

αn+ 1pour ℜ (α) > 0 . . . . . . 145

Exercice 5.2. Une condition nécessaire d’intégrabilité . . . . . . . . . . . 146Exercice 5.3. L’intégrale de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Exercice 5.4. Intégrales de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Exercice 5.5. Calcul de∫ +∞

0

sin (x)

eαx − 1dx pour ℜ (α) > 0 . . . . . . . . . 151

Exercice 5.6. Calcul de∫ +∞

0

xαe−βx

1− e−xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Exercice 5.7. La méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Exercice 5.8. Volume de la boule unité de l’espace euclidien Rn . . . . . 155

Exercice 5.9. Calcul de∫ π

2

0

ln (sin (t)) dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Exercice 5.10. Comparaison série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Exercice 5.11. Aire du domaine délimité par une courbe simple . . . . . 171Problème 5.1. Produit de convolution et un théorème de Titchmarsh . . 173

6 Transformées de Fourier et de Laplace 185Exercice 6.1. Théorème de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 185Exercice 6.2. Transformation de Fourier et produit de convolution . . . 187Exercice 6.3. Transformation de Laplace et intégrale de Dirichlet . . . . 192Exercice 6.4. Transformées de Laplace et de Fourier. Intégrales

de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Exercice 6.5. Transformation de Laplace et équations différentielles

linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Problème 6.1. Quelques propriétés de la transformation de Laplace . . . 203

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Table des matières vii

7 Équations fonctionnelles 227Exercice 7.1. Exemples d’équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . 227Exercice 7.2. Équation fonctionnelle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 229Exercice 7.3. Caractérisation des fonctions cos et ch par l’équation

fonctionnelle f (x+ y) + f (x− y) = 2f (x) f (y) . . . . . . . . . . . 232Exercice 7.4. L’équation fonctionnelle f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) . . . . . . 234Exercice 7.5. Fonction Γ et équation fonctionnelle f (x+ 1) = xf (x) . . 237Exercice 7.6. Fonction théta de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Problème 7.1. Équation fonctionnelle de Guichard . . . . . . . . . . . . 242

8 Fonctions de plusieurs variables réelles 263Exercice 8.1. Fonctions implicites et développements limités . . . . . . . 263Exercice 8.2. Points fixes et fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . 265Exercice 8.3. Un résultat de continuité des valeurs propres . . . . . . . . 266Exercice 8.4. Théorème des extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Exercice 8.5. Extrema liés et inégalité arithmético-géométrique . . . . . 272Problème 8.1. Différentiabilité d’une distance et d’une norme . . . . . . 273

9 Dénombrements et probabilités 285Exercice 9.1. Dérangements d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . 285Exercice 9.2. Dénombrement des surjections d’un ensemble fini

sur un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Exercice 9.3. Nombres de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Exercice 9.4. Fonction indicatrice d’Euler et probabilités . . . . . . . . . 293Exercice 9.5. Un théorème de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Exercice 9.6. Fonction ζ de Riemann et probabilités . . . . . . . . . . . 301Exercice 9.7. L’aiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Exercice 9.8. Marche aléatoire sur une droite . . . . . . . . . . . . . . . 305Exercice 9.9. Preuve probabiliste du théorème de Weirstrass . . . . . . . 310Problème 9.1. Une approche stochastique de la fonction gamma . . . . . 312

II Exercices et problèmes d’algèbre et de géométrie 343

10 Groupes, anneaux, corps 345Exercice 10.1. Involutions dans Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Exercice 10.2. Action de GLn (K) sur Mn,m (K) par translation . . . . . 347Exercice 10.3. Action de GLn (K)×GLm (K) sur Mn,m (K)

par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Exercice 10.4. Action de GLn (K) sur Mn (K) par conjugaison . . . . . 356Exercice 10.5. Action de GLn (K) sur Sn (K) par congruence . . . . . . . 360Exercice 10.6. Théorème de Lamé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Problème 10.1. Sous-groupes additifs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 364

11 Polynômes 383Exercice 11.1. pgcd de Pn = (X + 1)

n+1 −Xn+1 − 1 et P ′n . . . . . . . . 383

Exercice 11.2. Une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton . . . 384Exercice 11.3. Polynômes d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . 385

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viii Table des matières

Exercice 11.4. Nombres réels algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Problème 11.1. Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . 389

12 Algèbre linéaire et bilinéaire 407Exercice 12.1. Matrices de Pascal et de Hankel . . . . . . . . . . . . . . 407Exercice 12.2. Matrices compagons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409Exercice 12.3. Matrices de permutation et matrices circulantes . . . . . 414Exercice 12.4. Matrice de Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Exercice 12.5. Diagonalisation et puissances d’une matrice . . . . . . . . 420Exercice 12.6. Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422Exercice 12.7. Séries matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Exercice 12.8. Exponentielle de matrice et système différentiel . . . . . . 426Problème 12.1. det

(In + CC

)≥ 0 pour C ∈Mn (C) . . . . . . . . . . . 427

13 Géométrie 439Exercice 13.1. Coniques et quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Exercice 13.2. Nombres complexes et géométrie du triangle . . . . . . . 441Exercice 13.3. Un théorème de Ptolémée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Exercice 13.4. Puissance d’un point par rapport à une sphère . . . . . . 448Problème 13.1. Ellipsoïdes de Rn. Théorèmes de F. John et C. Loewner 451

Bibliographie 469

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Avant-propos

Ce livre est un complément sous forme d’exercices et problèmes aux livres deJean-François Dantzer (mathématiques pour l’agrégation, analyse et probabilités)et de l’auteur (mathématiques pour l’agrégation, algèbre et géométrie) publiésdans la même collection.

On pourra se reporter à ces ouvrages pour les notions de cours utilisées dans larésolution des exercices et problèmes.

Les exercices proposés peuvent servir de développement pour les leçons d’oralde l’agrégation interne ou externe et les problèmes peuvent être utiles commeentraînements aux épreuves écrites. Certains énoncés de problèmes sont en faitinspirés de problèmes d’agrégation interne ou externe.

Le choix des thèmes abordés est limité par le nombre de pages de ce volumeque l’on a voulu de taille raisonnable.

En vue des épreuves écrites d’agrégation, une façon efficace d’exploiter ces pro-blèmes consiste à les rechercher et rédiger sa propre solution de façon détaillée,puis à confronter les résultats aux solutions proposées.

Je tiens enfin à remercier les éditions De Boeck et en particulier Alain Luguetpour la confiance qu’ils m’accordent.

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Première partie

Exercices et problèmesd’analyse et de probabilités


Chapitre 1

Espaces normés

Exercice 1.1. Normes ∥·∥p sur Rn

Pour tout entier n ≥ 2, tout réel p > 0 et tout x = (xi)1≤i≤n ∈ Rn, on

note ∥x∥p =

(n∑i=1

|xi|p) 1

p

. Pour p ≥ 1, ∥·∥p est une norme sur Rn.

1. Montrer que ∥·∥p ne définit pas une norme pour p ∈ ]0, 1[ .

2. Montrer que limp→+∞

∥x∥p = ∥x∥∞ = max1≤i≤n

|xi| pour tout x ∈ Rn.

3. Pour tout p ∈ [1,+∞] , on désigne par Bp ={x ∈ R2 | ∥x∥p ≤ 1

}la

boule unité de R2 pour la norme ∥·∥p et par Ap l’aire de Bp. Montrerque l’application A est croissante sur [p,+∞[ . Déterminer ses bornesinférieure et supérieure. Calculer Ap pour tout p ≥ 1.

Solution. On désigne par (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn.1. Pour p ∈ ]0, 1[ , l’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée. Par exemple, on a∥e1 + e2∥p = 2

1p > ∥e1∥p + ∥e2∥p = 2. Sur la figure 1.1, on a représenté les

ensembles Bp pour p =1

2, p = 1, p = 2 et p = +∞. On constate que B 1

2n’est

pas convexe et en conséquence, x 7→ ∥x∥ 12

n’est pas une norme.2. Pour x ∈ Rn et tout entier i compris entre 1 et n on a |xi|p ≤ ∥x∥p∞ . Il en

résulte que ∥x∥p ≤ n1p ∥x∥∞ . D’autre part il existe un entier k compris entre 1

et n tel que ∥x∥∞ = |xk| et avec |xk|p ≤n∑i=1

|xi|p , on déduit que ∥x∥∞ ≤ ∥x∥p .

On a donc ∥x∥∞ ≤ ∥x∥p ≤ n1p ∥x∥∞ pour tout x ∈ Rn, ce qui montre au

passage que les normes ∥·∥∞ et ∥·∥p sont équivalentes et par transitivité quepour tous réels p ≥ 1 et q ≥ 1 les normes ∥·∥p et ∥·∥q sont équivalentes sur Rn.Avec lim

p→+∞n

1p = 1 pour tout entier n ≥ 1 on déduit que lim

p→+∞∥x∥p = ∥x∥∞ .

3. La croissance de A provient des inclusions :

∀q > p ≥ 1, Bp ⊂ Bq ⊂ B∞


4 Exercices et problèmes d’analyse et de probabilités

B 12

B∞

B2

B1

Figure 1.1 – Boules Bp pour p = 1

2, 1, 2, +∞

ce qui peut se montrer comme suit. Pour tout x ∈ Bp, on a |x1|p + |x2|p ≤ 1,donc |x1| ≤ 1 et |x2| ≤ 1, soit ∥x∥∞ ≤ 1 et x ∈ B∞. On a donc Bp ⊂ B∞

pour tout p ≥ 1. Pour q > p ≥ 1 et x ∈ Bp, on a |x2| ≤ (1− |x1|p)1p avec

|x1| ∈ [0, 1] . Il nous suffit donc de montrer que (1− tp)1p ≤ (1− tq)

1q pour

tout t ∈ [0, 1] (pour t = |x2| , cela donne |x2| ≤ (1− |x1|p)1p ≤ (1− |x1|q)

1q et

∥x∥q ≤ 1), ce qui équivaut à (1− u)qp ≤ 1−u

qp pour tout u ∈ [0, 1] (l’application

t 7→ u = tp est bijective de [0, 1] sur lui même). Il s’agit donc de montrer que :

∀r > 1, ∀u ∈ [0, 1] , (1− u)r

≤ 1− ur

ce qui résulte de :

∀r > 1, ∀u ∈ [0, 1] , (1− u)r

≤ 1− u ≤ 1− ur

(pour r > 1, on a 0 ≤ vr ≤ v pour 0 ≤ v ≤ 1). On en déduit que :

∀p ≥ 1, A1 = 2 ≤ Ap ≤ A∞ = 4

Par symétrie, on a :

Ap = 4

∫ 1

0

(1− xp1)1p dx1 =

4

p

∫ 1

0

(1− t)1p t

1p−1dt =

4

pB

(1

p+ 1,

1

p

)où B désigne la fonction définie par :

∀x > 0, ∀y > 0, B (x, y) =

∫ 1

0

(1− t)x−1ty−1dt

Sachant que B (x, y) =Γ (x) Γ (y)

Γ (x+ y), où la fonction Γ est définie par :

∀x > 0, Γ (x) =

∫ +∞

0

tx−1e−tdt


Espaces normés 5

on a la formule Ap =4

p

Γ(

1p + 1

)Γ(

1p

)Γ(

2p + 1

) et avec Γ (x+ 1) = xΓ (x) , on obtient

Ap =2

p

Γ(

1p

)2Γ(

2p

) . Sachant que Γ (1) = 1 et Γ

(1

2

)=√π, on vérifie que A2 = π.

En écrivant que Ap = 4Γ(

1p + 1

)2Γ(

2p + 1

) et en utilisant la continuité de Γ en 1, on

en déduit que limp→+∞

Ap = 4 = A∞ et A∞ est bien la borne supérieure de A.

Exercice 1.2. Normes ∥·∥p sur C0 ([a, b] ,R)

Pour tout réel p ≥ 1 et toute fonction f ∈ C0 ([a, b] ,R) , on note :

∥f∥p =

(∫ b

a

|f (x)|p dx

) 1p

1. Montrer que pour toute fonction f ∈ C0 ([a, b] ,R) on a :

limp→+∞

∥f∥p = ∥f∥∞ = supx∈[a,b]

|f (x)|

2. Soient f et g deux fonctions dans C0 ([a, b] ,R) , la fonction g étant àvaleurs strictement positives. Calculer lim

p→+∞

∥∥∥fg 1p

∥∥∥p.

3. Pour toute fonction f ∈ C0 ([0, 1] ,R) , on note ∥f∥ = ∥f∥∞ + ∥f∥1 .

(a) Montrer que l’application f 7→ ∥f∥ définit une norme surC0 ([0, 1] ,R) , que les normes ∥·∥ et ∥·∥∞ sont équivalentes, puisque

(C0 ([0, 1] ,R) , ∥·∥

)est un espace de Banach.

(b) Montrer que l’ensemble F ={f ∈ C0 ([0, 1] ,R) | f (0) = 0

}est un

sous-espace vectoriel fermé de(C0 ([0, 1] ,R) , ∥·∥

).

(c) Montrer que ∥1− f∥ > 1 pour tout f ∈ C0 ([0, 1] ,R) , puis qued (1, F ) = inf

f∈F∥1− f∥ = 1, cette distance n’étant pas atteinte.

Solution.

1. On suppose f non identiquement nulle. Pour tout réel p ≥ 1, on a :

(∀x ∈ [a, b] , 0 ≤ |f (x)| ≤ ∥f∥∞) ⇒(0 ≤ ∥f∥p ≤ ∥f∥∞ (b− a)

1p

)La fonction f étant continue sur le compact [a, b] , il existe un réel x0 ∈ [a, b]tel que |f (x0)| = ∥f∥∞ . Pour ε > 0 donné, il existe un réel η > 0 tel que0 ≤ |f (x0)|− |f (x)| < ε pour tout x ∈ I0 = [a, b]∩ [x0 − η, x0 + η] . On a alors,



en notant α la longueur de l’intervalle I0 :∫ b

a

|f (x)|p dx ≥∫I0

|f (x)|p dx ≥∫I0

(|f (x0)| − ε)p dx ≥ α (∥f∥∞ − ε)p

Ce qui donne pour tout réel ε > 0, (∥f∥∞ − ε)α1p ≤ ∥f∥p ≤ ∥f∥∞ (b− a)

1p .

Comme limp→+∞

(∥f∥∞ − ε)α1p = ∥f∥∞ − ε et lim

p→+∞∥f∥∞ (b− a)

1p = ∥f∥∞ , on

déduit qu’il existe un entier p0 tel que :

∀p ≥ p0, ∥f∥∞ − 2ε ≤ ∥f∥p ≤ ∥f∥∞ + 2ε

On a donc ainsi prouvé que limp→+∞

(∥f∥p

)= ∥f∥∞ .

2. La fonction g étant continue à valeurs strictement positives sur le compact [a, b] ,on a M = sup

x∈[a,b]

g (x) ≥ m = infx∈[a,b]

g (x) > 0 et avec m |f |p ≤ g |f |p ≤ M |f |p ,

on en déduit que m1p ∥f∥p ≤

∥∥∥g 1p f∥∥∥p≤ M

1p ∥f∥p , puis en utilisant le résultat

de la question précédente, on obtient limp→+∞

∥∥∥fg 1p

∥∥∥p= ∥f∥∞ .

3.

(a) Il est clair que ∥·∥ est une norme sur C0 ([0, 1] ,R) . Avec ∥f∥∞ ≤ ∥f∥ ≤2 ∥f∥∞ pour tout f ∈ C0 ([0, 1] ,R) , on déduit que les normes ∥·∥ et ∥·∥∞sont équivalentes. Enfin, sachant que

(C0 ([0, 1] ,R) , ∥·∥∞

)est complet, on

en déduit que(C0 ([0, 1] ,R) , ∥·∥

)est un espace de Banach.

(b) Pour tout f ∈ C0 ([0, 1] ,R) , on a |f (0)| ≤ ∥f∥∞ ≤ ∥f∥ , donc la formelinéaire φ : f 7→ f (0) est continue et F = ker (φ) = φ−1 {0} est un sous-espace vectoriel fermé de

(C0 ([0, 1] ,R) , ∥·∥

).

(c) Pour toute fonction f ∈ F, on a |1− f | ̸= 0 (puisque f (0) = 0) la fonction

|1− f | étant continue, donc ∥1− f∥1 =

∫ 1

0

|1− f (t)| dt > 0 et :

∥1− f∥ = supt∈[0,1]

|1− f (t)|+∫ 1

0

|1− f (t)| dt

> supt∈[0,1]

|1− f (t)| ≥ |1− f (0)| = 1

Il en résulte que d (1, F ) = inff∈F∥1− f∥ ≥ 1. Pour tout réel ε ∈ ]0, 1[ , on

désigne par fε la fonction affine par morceau et continue définie par :

fε (0) = 0, fε est affine sur [0, ε] , fε (t) = 1 pour tout t ∈ [ε, 1]

On a fε ∈ F et ∥1− fε∥ = 1+

∫ ε

0

(1− 1

εt

)dt = 1+

ε

2≥ d (1, F ) . Faisant

tendre ε vers 0, on en déduit que d (1, F ) ≤ 1 et d (1, F ) = 1. Comme∥1− f∥ > 1 pour tout f ∈ F, cette distance n’est pas atteinte.


Espaces normés 7

Exercice 1.3. Norme d’une application linéaire en dimension finie

Soient E,F deux espaces vectoriels réels de dimensions respectives n ≥ 1,m ≥ 1, B = (ei)1≤i≤n une base de E, B′ = (e′i)1≤i≤m une base de F, u ̸= 0une application linéaire de E dans F et A = ((aij))1≤i≤m

1≤j≤nsa matrice dans

les bases B et B′.

1. En munissant ces espaces de la norme ∥·∥∞ , montrer que :

∥u∥∞ = max1≤i≤m

n∑j=1

|aij |

2. En munissant ces espaces de la norme ∥·∥1 , montrer que :

∥u∥1 = max1≤j≤n

m∑i=1

|aij |

Solution.

1. Pour tout x ∈ E, on a :

∥u (x)∥∞ = max1≤i≤m

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

aijxj

∣∣∣∣∣∣ ≤ max

1≤i≤m

n∑j=1

|aij |

∥x∥∞donc ∥u∥∞ ≤ α = max

1≤i≤m

n∑j=1

|aij | . On désigne par k un entier compris entre 1

et m tel que α =

n∑j=1

|akj | =n∑j=1

akj sgn (akj) , en notant pour tout réel t :

sgn (t) =

{ t|t| si t ̸= 0

0 si t = 0(signe de t)

Comme u est non nul, on a α > 0, donc le vecteur x =

n∑j=1

sgn (akj) ej est

unitaire et en notant y = u (x) , on a ∥y∥∞ = ∥u (x)∥∞ ≤ α avec :

|yk| =

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

akjxj

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣n∑j=1

akj sgn (akj)

∣∣∣∣∣∣ =n∑j=1

|aij | = α

donc ∥u (x)∥∞ = α et ∥u∥∞ = α.



2. Pour tout x ∈ E, on a :

∥u (x)∥1 =

m∑i=1

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

aijxj

∣∣∣∣∣∣ ≤m∑i=1

n∑j=1

|aij | |xj | =n∑j=1

(m∑i=1

|aij |

)|xj |

≤

(max1≤j≤n

m∑i=1

|aij |

)∥x∥1

donc ∥u∥1 ≤ α = max1≤j≤n

m∑i=1

|aij | . En notant k un entier compris entre 1 et n

tel que α =

m∑i=1

|aik| , on a α = ∥u (ek)∥1 ≤ ∥u∥1 (colonne k de A) et ∥u∥1 = α.

Exercice 1.4. Norme d’une forme linéaire continue sur ℓ∞

On désigne par ℓ∞ l’espace des suites réelles bornées, on se donne unesuite φ = (φn)n∈N ̸= 0 telle que la série

∑φn soit absolument convergente

et u est la forme linéaire définie par :

∀x ∈ ℓ∞, u (x) =+∞∑n=0

xnφn

1. En munissant ℓ∞ de la norme x 7→ ∥x∥∞ = supn∈N|xn| , montrer que u est

continue de (ℓ∞, ∥·∥∞) dans (R, |·|) , avec ∥u∥∞ =

+∞∑n=0

|φn| , cette borne

supérieure étant atteinte.2. On désigne par E le sous-espace de ℓ∞ formé des suites convergentes

vers 0 et par v la restriction de u à E. Montrer que v est continue de

(E, ∥·∥∞) dans (R, |·|) , avec ∥v∥∞ = supx∈E∥x∥=1

∥v (x)∥ =+∞∑n=0

|φn| , puis que,

dans le cas où φn > 0 pour tout n ∈ N, cette borne supérieure n’est pasatteinte.

Solution.

1. Pour tout x = (xn)n∈N ∈ ℓ∞ et tout n ∈ N, on a |xnφn| ≤ ∥x∥∞ |φn| avec∑|φn| < +∞, ce qui entraîne l’absolue convergence de

∑xnφn, donc u (x)

est bien défini et |u (x)| =

∣∣∣∣∣+∞∑n=0

xnφn

∣∣∣∣∣ ≤(

+∞∑n=0

|φn|

)∥x∥∞ , d’où la continuité

de l’application linéaire u avec ∥u∥∞ ≤ α =

+∞∑n=0

|φn| . La suite x définie par

xn = sgn (φn) pour tout n ∈ N est dans E et comme φ est non nulle, il existe


Espaces normés 9

au moins un indice n tel que φn ̸= 0, donc ∥x∥∞ = 1 et :

u (x) =

+∞∑n=0

xnφn =

+∞∑n=0

sgn (φn)φn =

+∞∑n=0

|φn| = α

donc ∥u∥∞ = α, cette borne supérieure étant atteinte.2. Une suite convergente étant bornée, E est bien un sous-espace de ℓ∞ et la

restriction v de u à F est continue avec ∥v∥∞ ≤ α =

+∞∑n=0

|φn| .

Le calcul fait à la question précédente n’est pas valable pour E car la suite xdéfinie par xn = sgn (φn) n’est pas dans E. On utilise plutôt la suite

(x(k)

)k∈N

d’éléments de E définie par :

∀k ∈ N, ∀n ∈ N, x(k)n =

{sgn (φn) si 0 ≤ n ≤ k0 si n ≥ k + 1

(on a bien limn→+∞

x(k)n = 0 pour tout k ∈ N). Pour k ∈ N assez grand, on a∥∥x(k)∥∥∞ = 1 puisque φ est non nulle et on a :

∣∣∣v (x(k))− α∣∣∣ = ∣∣∣∣∣+∞∑n=0

(x(k)n φn − |φn|

)∣∣∣∣∣ =+∞∑

n=k+1

|φn| →k→+∞

0

donc limk→+∞

∣∣v (x(k))∣∣ = limk→+∞

v(x(k)

)= α, avec

∣∣v (x(k))∣∣ ≤ ∥v∥∞ ∥∥x(k)∥∥∞ =

∥v∥∞ , ce qui nous donne α ≤ ∥v∥∞ et en conséquence, ∥v∥∞ = α.Supposons que φn > 0 pour tout n ∈ N. S’il existe une suite x ∈ E telle∥x∥∞ = 1 et |v (x)| = ∥u∥∞ , quitte à changer x en −x, on peut supposer que

v (x) ≥ 0 et on a v (x) =

+∞∑n=0

xnφn =

+∞∑n=0

φn. S’il existe un entier m tel que

xm < 1, on a alors :

v (x) = xmφm +

+∞∑n=0n ̸=m

xnφn < φm +

+∞∑n=0n ̸=m

φn = v (x)

ce qui est impossible. On a donc xn ≥ 1 pour tout n ∈ N, ce qui est incompatibleavec lim

n→+∞xn = 0.

Exercice 1.5. Normes d’applications linéaires continues surC0 ([0, 1] ,R)

E = C0 ([0, 1] ,R) est l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R.



1. On se donne une fonction φ ∈ E \ {0} et u est la forme linéaire définiesur E par :

∀f ∈ E, u (f) =∫ 1

0

f (t)φ (t) dt

(a) En munissant E de la norme f 7→ ∥f∥∞ = supx∈[0,1]

|f (x)| , montrer

que u est continue de (E, ∥·∥∞) dans (R, |·|) , avec :

∥u∥∞ =

∫ 1

0

|φ (t)| dt

(b) En munissant E de la norme f 7→ ∥f∥1 =

∫ 1

0

|f (t)| dt, montrer

que u est continue de (E, ∥·∥1) dans (R, |·|) , avec :

∥u∥1 = ∥φ∥∞ = supt∈[0,1]

|φ (t)|

(c) En munissant E de la norme f 7→ ∥f∥2 =

√∫ 1

0

f2 (t) dt, montrer

que u est continue de (E, ∥·∥2) dans (R, |·|) , avec ∥u∥2 = ∥φ∥2 .(d) On suppose φ est à valeurs positives et on se donne un réel p > 1.

Munissant E de la norme f 7→ ∥f∥p = p

√∫ 1

0

|f (t)|p dt, montrer

que u est continue de(E, ∥·∥p

)dans (R, |·|) , avec ∥u∥p = ∥φ∥q ,

où q > 1 est tel que 1

p+

1

q= 1.

2. On se donne une fonction continue φ : [0, 1]2 → R et u ∈ L (E) est

défini par :

∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1] , u (f) (x) =

∫ 1

0

f (t)φ (x, t) dt

Montrer que u est continue avec ∥u∥∞ = supx∈[0,1]

∫ 1

0

|φ (x, t)| dt.

Solution.

1.

(a) Pour tout f ∈ E, on a :

|u (f)| =∣∣∣∣∫ 1

0

f (t)φ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ (∫ 1

0

|φ (t)| dt)∥f∥∞


Espaces normés 11

donc u est continue avec ∥u∥∞ ≤ α =

∫ 1

0

|φ (t)| dt = ∥φ∥1 .

On désigne par (fk)k∈N la suite de fonctions continues définie par :

∀k ∈ N, ∀t ∈ [0, 1] , fk (t) =φ (t)

|φ (t)|+ εk

où (εk)k∈N est une suite de réels strictement positifs telle que limk→+∞

εk = 0.

Pour tout k ∈ N et tout t ∈ [0, 1] , on a |fk (t)| =|φ (t)|

|φ (t)|+ εk< 1, soit

∥fk∥∞ ≤ 1 et :

|u (fk)− α| =∣∣∣∣∫ 1

0

(φ2 (t)

|φ (t)|+ εk− |φ (t)|

)dt

∣∣∣∣ = εk

∫ 1

0

|φ (t)||φ (t)|+ εk

dt ≤ εk

donc limk→+∞

|u (fk)| = limk→+∞

u (fk) = α et avec |u (fk)| ≤ ∥u∥∞ ∥fk∥∞ ≤∥u∥∞ , on déduit que α ≤ ∥u∥∞ et ∥u∥∞ = α.Si la fonction φ est de signe constant, prenant f = 1 pour φ à valeurspositives, ou f = −1 pour φ à valeurs négatives, on a ∥f∥∞ = 1 et :

|u (f)| = u (f) =

∫ 1

0

|φ (t)| dt = ∥u∥∞

donc la borne supérieure ∥u∥∞ est atteinte.Si φ n’est pas de signe constant, cette borne supérieure n’est pas nécessai-rement atteinte. Considérons par exemple le cas d’une fonction φ telle queφ (t) < 0 pour tout t ∈ [0, α[ , φ (α) = 0 et φ (t) > 0 pour tout t ∈ ]α, 1] ,

où 0 < α < 1. S’il existe f ∈ E telle ∥f∥∞ = 1 et |u (f)| =∫ 1

0

|φ (t)| dt,

quitte à changer f en −f, on peut supposer que u (f) ≥ 0 et on a :

u (f) =

∫ 1

0

f (t)φ (t) dt =

∫ 1

0

|φ (t)| dt =∫ 1

α

φ (t) dt−∫ α

0

φ (t) dt

soit : ∫ 1

α

(1− f (t))φ (t) dt =

∫ α

0

(1 + f (t))φ (t) dt

avec∫ 1

α

(1− f (t))φ (t) dt ≥ 0 et∫ α

0

(1 + f (t))φ (t) dt ≤ 0 puisque −1 ≤

f (t) ≤ 1 pour tout t ∈ [0, 1] , donc :∫ 1

α

(1− f (t))φ (t) dt =

∫ α

0

(1 + f (t))φ (t) dt = 0

ce qui équivaut à (1− f (t))φ (t) = 0 sur ]α, 1] et (1 + f (t))φ (t) = 0 sur[0, α[ , soit à f (t) = 1 pour tout t ∈ ]α, 1] et f (t) = −1 pour tout t ∈ [0, α[ ,ce qui est impossible pour t continue en α.



(b) Pour tout f ∈ E, on a :

|u (f)| =∣∣∣∣∫ 1

0

f (t)φ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∥φ∥∞ ∫ 1

0

|f (t)| dt = ∥φ∥∞ ∥f∥1

donc u est continue avec ∥u∥1 ≤ α = ∥φ∥∞ . La fonction φ étant continuesur le segment [0, 1] , est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc t0 ∈[0, 1] tel que |φ (t0)| = ∥φ∥∞ . En se donnant une suite de réels strictementpositifs (εk)k∈N telle que lim

k→+∞εk = 0, par continuité de φ en t0, on peut

trouver, pour tout entier naturel k, un réel ηk > 0 tel que :

∀t ∈ [ak, bk] = [0, 1] ∩ [t0 − ηk, t0 + ηk] , |φ (t)− φ (t0)| < εk

On désigne alors par fk : [0, 1]→ R+ une fonction affine par morceaux et

continue qui est nulle en dehors de ]ak, bk[ et telle que∫ bk

ak

fk (t) dt = 1

(voir la figure 1.2) et on a :

ak bk

Figure 1.2 – graphe de fk

|u (fk)− φ (t0)| =

∣∣∣∣∣∫ bk

ak

fk (t) (φ (t)− φ (t0)) dt

∣∣∣∣∣ ≤ εk∫ bk

ak

fk (t) dt = εk

donc limk→+∞

|u (fk)| = |φ (t0)| = α. Avec |u (fk)| ≤ ∥u∥1 ∥fk∥1 = ∥u∥1 , onen déduit que α ≤ ∥u∥1 et ∥u∥1 = α.

(c) Pour tout f ∈ E, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :

|u (f)| =∣∣∣∣∫ 1

0

f (t)φ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∥φ∥2 ∥f∥2donc u est continue avec ∥u∥2 ≤ ∥φ∥2 . Avec :

u (φ) =

∫ 1

0

φ2 (t) dt = ∥φ∥22 ≤ ∥u∥2 ∥φ∥2

on déduit que ∥φ∥2 ≤ ∥u∥2 et l’égalité.


Espaces normés 13

(d) En utilisant l’inégalité de Hölder, on a pour tout f ∈ E :∣∣∣∣∫ 1

0

f (t)φ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ 1

0

|f (t)| |φ (t)| dt ≤ ∥f∥p ∥φ∥q

donc u est continue avec ∥u∥p ≤ ∥φ∥q . De 1

p+

1

q= 1, on déduit que :

∥φ∥qq =∫ 1

0

φq (t) dt =

∫ 1

0

(φq (t))1p+

1q dt =

∫ 1

0

φqp (t)φ (t) dt

= u(φ

qp

)≤ ∥u∥p

∥∥∥φ qp

∥∥∥p

avec∥∥∥φ q

p

∥∥∥pp=

∫ 1

0

φq (t) dt = ∥φ∥qq , donc ∥φ∥qq ≤ ∥u∥p(∥φ∥q

) qp et :

(∥φ∥q

)q− qp

=(∥φ∥q

)q(1− 1p )

= ∥φ∥q ≤ ∥u∥p

ce qui nous donne l’égalité.2. La fonction (x, t) 7→ f (t)φ (x, t) étant continue sur [0, 1]

2 et l’intégration sefaisant sur un segment, on déduit que pour toute fonction f ∈ E, la fonctionu (f) est continue sur [0, 1] . De la linéarité de l’intégrale, on déduit que u estlinéaire. Pour tout f ∈ E et tout x ∈ [0, 1] , on a :

|u (f) (x)| =∣∣∣∣∫ 1

0

f (t)φ (x, t) dt

∣∣∣∣ ≤ (∫ 1

0

|φ (x, t)| dt)∥f∥∞

≤

(supx∈[0,1]

∫ 1

0

|φ (x, t)| dt

)∥f∥∞

donc u est continue avec ∥u∥∞ ≤ α = supx∈[0,1]

∫ 1

0

|φ (x, t)| dt.

La fonction Φ : x 7→∫ 1

0

|φ (x, t)| dt étant continue sur le segment [0, 1] , elle

est bornée et atteint ses bornes, il existe donc un réel x0 ∈ [0, 1] tel que α =supx∈[0,1]

Φ(x) = Φ (x0) . On utilise la suite de fonctions continues (fk)k∈N définiepar :

∀k ∈ N, ∀t ∈ [0, 1] , fk (t) =φ (x0, t)

|φ (x0, t)|+ εk

où (εk)k∈N est une suite de réels strictement positifs telle que limk→+∞

εk = 0.

Pour tout k ∈ N et tout t ∈ [0, 1] , on a |fk (t)| =|φ (x0, t)|

|φ (x0, t)|+ εk< 1, soit

∥fk∥∞ ≤ 1 et :

limk→+∞

u (fk) (x0) = limk→+∞

∫ 1

0

φ2 (x0, t)

|φ (x0, t)|+ εkdt =

∫ 1

0

|φ (x0, t)| dt = α

avec |u (fk) (x0)| ≤ ∥u (fk)∥∞ ≤ ∥u∥∞ ∥fk∥∞ ≤ ∥u∥∞ , donc α ≤ ∥u∥∞ et enconséquence, ∥u∥∞ = α.



•Analyse,probabilités,algèbre etgéométrie•Desexercicesetproblèmes originaux•Touslescorrigésdétaillés

AGRÉGATION INTERNE

& EXTERNE MATHÉMATIQUES

Exer

cice

s et

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orri

gés

pour

l’ag

réga

tion

de

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hém

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JEAN

-éTI

ENNE

ROM

BALD

I

Exercices et problèmes corrigés pour l’agrégation de mathématiques

Cet ouvrage rassemble plus de 100 exercices et problèmes complets en analyse, algèbre, probabilités et géométrie.

Il pourra être utilisé de façon indépendante ou bien complémentaire aux deux livres de Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités (J.-F. Dantzer) et de Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrie (J.-É. Rombaldi) publiés dans la même collection.

Intégralement corrigés, les exercices proposés ici peuvent servir de développement pour les leçons d’oral de l’agrégation interne ou externe. Les problèmes seront particulièrement utiles pour l’entraînement aux épreuves écrites.

SommaireI. Exercicesetproblèmesd’analyseetdeprobabilités

1. Espaces normés2. Suites et séries numériques3. Suites et séries de fonctions4. Fonctions convexes5. Intégration6. Transformées de Fourier et de Laplace7. Équations fonctionnelles

8. Fonctions de plusieurs variables réelles 9. Dénombrements et probabilitésII.Exercicesetproblèmesd’algèbre

etdegéométrie10. Groupes, anneaux, corps11. Polynômes12. Algèbre linéaire et bilinéaire13. GéométrieBibliographie

Conc

eptio

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aphi

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o&Pr

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9 782807 315624

ISBN : 978-2-8073-1562-4

Agrégé de mathématiques, Jean-étienneRombaldi est professeur à l’université Grenoble-Alpes, institut Fourier. Préparateur à l’agrégation interne de cette même université ainsi que pour le CNED, Il a été membre du jury du CAPES externe et de l’agrégation interne de mathématiques et responsable de la préparation à l’agrégation interne de l’université de Grenoble.


LES PLUSp Tous les exercices et problèmes

sont intégralement corrigés

p Des énoncés de problèmes direc-tement inspirés de sujets posés à l’agrégation interne et externe

JEAN-éTIENNE ROMBALDI

9782807315624_CV.indd Toutes les pages 12/04/2018 16:56

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