Théorie de l’agrégation

Principaux résultats

Plan

• Contexte• Définitions• Résultats (+ exemples)• Possibilités et limites• Perspectives• Discussion

I.Contexte

Historique

• Economie (Ijiri, 1971) • Conservation des flux (O’Neill & Rust, 79)• Ecologie (Luckyanov, 81)• Contrôle optimal (Sinha & Kuszta, 83)

Quelques exemples

• Echelles spatiales différentes• Echelles temporelles différentes• Sous-groupes écosystème ~découplés

Exemple

x1 x2

a

I1I2

d

x1+x2I1+I2 k

Conditions d’agrégation parfaite :

- a = d

- x1(0)=x1() ou x2(0)=x2()

II.Définitions

Agrégation

X = (X1, … ,Xn)

Y = (Y1, …, Ym) =(g1(X1,…,Xn),…,gm(X1,…Xn)) m<n

X

Y

f(X)

F(Y)

f

F

g g ?~

Exemples

• Système différentiel : f(X)=dX/dt F(Y)=dY/dt• Système dynamique : f(X(0))=X(t) F(Y(0))=Y(t)

Agrégation parfaite

, F(Y)=F(g(X)) = (f(X))g~ g~?

III.Résultats

Cas linéaire

• Modèle linéaire :– Y=g(X) =BX ; – X’=f(X)=AX ;– Y’= F(Y)= DY = BAX ?

Théorème

AMn Pm(AT), B={Pm(i), i I} Mm,n

transformation linéaire agrégative (système ordre n système ordre m)

Séparabilité linéaire

• Définition : (x1,..,xp)->y1

• Théorème : possible s’il existe des colonnes linéairement dépendants, de A.

Algor. de séparabilité linéaire

• Trouver la matrice la plus ‘proche’ qui permette l’agrégation parfaite

• Calcul itératif

Cas non linéaire

• f, g “quelconques” (non linéaires) dérivables• Même principe • Théorème

– Bjk = gj/ Xk ; Ajk= [l Bjl fl] / xk

– Cjl= Fj/ Yl ; agrégation parfaite ssi AB+B=A X– Si (deg(B)=m) ! C=AB+

Agrégation approchée

• hj(X)= i (gj/ Xi)fi(X)

• U={X, ||g(X)-Y||< }

= ||F(g(X))-Fm||2w(X)dX / ||h(X)-hm||2w(X)dX

• F(Y) = lim 0 U h(X)w(X)dX / U w(X)dX

Schéma

x1

x2

h(X)

F(Y)

Y=g(X)

X0

F(g(X0))

Agrégation approchée : erreur

= || dY/dt(X)agreg-dY/dt(X)micro||2w(X)dX = || Y (t)agreg-Y (t)micro||2w(X0)dX0

= || <Y> agreg-<Y >micro||2w(X0)dX0

= || Y (t)agreg-Y (t)micro||2p(t)dt w(X0) dX0

Espace des phasesV1 ( 0) =(X(0),X’(0))1

V2 (0)

V3 (0)

V4 (0)

V5(0)

V1 (10)

V2 (10)V3 (10)

V4 (10)

V5 (10)

V1 (15)

Agrégation Approchée :limites

• ~Valable pour le voisinage défini par la fonction de pondération

• Peut modifier :– les points d’équilibre – la stabilité des points d’équilibre

Ajout d’un paramètre

• dY/dt=F(Y(t),a)• But :

– imposer les points d’équilibre– leur stabilité

Systèmes stochastiques

• dXi=fi(X)dt+k=1..pgik(X)dWk

• A(k)B+B= A(k)

• C(k) =A(k)B+

IV.Perspectives

Avantages

• Cadre rigoureux• Minimisation de l’erreur suivant un critère

choisi

Limites

• Dans quel cadre peut-il s’appliquer ?

• Contraintes (limites de l’outil mathématique)

Prolongements possibles

• Développer la partie mathématique• Autres domaines ?• Approche algorithmique ?

Références bibliographiques• LUCKYANOV, N.K. (1984). Linear aggregation and separability of models in

ecology. Ecological Modelling, 21(1-2):1-12.• O’NEILL, R.V. & RUST, B. (1979). Aggregation error in ecological models.

Ecological Modelling, 7(2):91-105.• IWASA, Y., ANDREASEN, V. & LEVIN, S. A. (1987) Aggregation in model

ecosystems :I.Perfect aggregation. Ecological Modelling, 37(3-4):287-302.• IWASA, Y., LEVIN S. A. & ANDREASEN, V. (1989). Aggregation in model

ecosystems : II. Approximate aggregation. IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 6:1-23.

• GARD, T.C. (1988). Aggregation in stochastic ecosystem models. Ecological Modelling, 44(1-2):153-164.

• N. Picard, Passage d’un modèle individuel à un modèle de distribution de la dynamique forestière. Application à une forêt dense tropicale humide de Guyane française. Mémoire de thèse, 1999.

V. Discussion