1

Mathématique 306 Chapitre 4 LES FONCTIONS

Section 4.1

Les modes de représentations

Section 4.2

Les relations, les réciproques et les

fonctions

Section 4.3

Le calcul des règles des fonctions

Section 4.4

Les types de fonctions

Sections 4.5

La fonction de variation inverse

Section 4.6

La modélisation

Nom : ___________________________________

Groupe : 31 32 33 34

Cahier des

tâches

Janvier

2016

2

4.1 Les modes de représentations

Il existe différentes façons de représenter une situation.

La description verbale

Exemple : La longueur d’un serpent est de 35 mm

à sa naissance et, par la suite, elle augmente

de 5 mm/semaine.

La table de valeurs

- Titre

- Variables identifiées avec les

unités

- Les variables :

___________________________

___________________________

Exemple :

Le graphique

Permet de visualiser rapidement une

situation.

- Titre

- Identifier les axes avec les

unités

- Graduer par pas constants

- 0

- Relier les coordonnées

- Les variables :

_______________________

_______________________

Exemple :

Croissance d’un serpent

Temps (semaines) 0 1 2 3 4 5

Longueur (mm) 35 40 45 50 55 60

3

La règle

Une règle est une équation qui traduit

une régularité entre des variables.

Exemple

:

Exercices :

Une carte de membre de la piscine coûte 10$ et chaque visite en coûte 4$. Trouve la règle et

construis le graphique. On commence toujours par faire la table des valeurs.

l 5t 35

Variable représentant la longueur du serpent. V.D.

Coefficient indiquant que la longueur du serpent augmente de 5 mm/semaine. Taux de variation

Constante

indiquant que la longueur du serpent à la naissance est de 35 mm.

Variable représentant le temps. V.I.

4

4.2 Les relations, les réciproques et les fonctions

Les relations, la variable indépendante et la variable dépendante

Un lien entre deux variables est appelé une relation. Généralement, dans une relation entre

deux variables :

– celle dont la variation entraîne (influence) la variation de l’autre est appelée variable

dépendante (v.d.) ;

– celle dont la variation réagit (dépend) à la variation de l’autre est appelée variable

indépendante (v.i.).

Exemple : Le temps de cuisson d’un poulet dépend de sa masse. Dans cette situation,

la masse du poulet correspond à la variable indépendante et le temps de cuisson,

à la variable dépendante.

Dans la représentation graphique d’une fonction, on associe la variable indépendante à

l’axe des abscisses ( x) et la variable dépendante à l’axe des ordonnées (y).

Dans la table de valeurs d’une fonction, on associe généralement la variable indépendante à

la première rangée ou colonne de la table de valeurs selon que celle-ci est représentée à

l’horizontale ou à la verticale.

Exercices :

Pour chaque paire de variables, indique celle qui correspond logiquement à la variable :

1) indépendante ; 2) dépendante.

a)

Le temps nécessaire pour effectuer des travaux sur un chantier et le nombre d’ouvriers présents sur ce chantier.

b)

La taille d’une personne et sa masse.

1

)

1

)

2

)

2

)

c

)

La distance qui sépare une planète

du Soleil et la température à la

surface de cette planète.

d

)

La quantité d’essence qui reste dans

le réservoir d’une voiture et la

distance parcourue par cette voiture.

1

)

1

)

2

)

2

)

5

Les réciproques et les fonctions

Une fonction est une relation entre deux variables selon laquelle, à chaque valeur de la

variable indépendante (v.i.) correspond une seule valeur de la variable dépendante (v.d.).

Exemple :

Exercices : Dans chaque cas, encercle la lettre lorsque la relation est une fonction.

a) x y

11 2

3 3

2 6

7 3

3 5

b)

c)

d)

e)

f) x y

30 1

10 2

300 3

10 4

50 5

g)

h)

6

Une réciproque s’obtient en inversant le x et le y de chaque coordonnée de la fonction.

Exemple :

La relation est la réciproque de la relation et vice versa. Le point (1, 3) est devenu (3, 1),

le point (9, 2), (2, 9), et le point (6, 9), (9, 6).

La relation est une fonction. La relation n’est pas une fonction.

Exercices :

#1) Dans chaque cas :

1) remplis la table de valeurs associée à la réciproque de la relation ;

2) indique si cette réciproque est une fonction.

a) x y

0 3

1 6

2 9

3 12

4 15

b) x y 3 0 2 1 1 3 2 1 3 0

c) x y 3 0 2 1 1 3

2 1

3 0

d) x y

20 105

30 43

70 66

90 21

110 7

1) x y

1) x y

1) x y

1) x y

2) 2) 2) 2)

B A

A B

7

#2) Dans chaque cas :

1) représente graphiquement la réciproque de la relation donnée ;

2) indique si cette réciproque est une fonction.

a)

1)

2)

b)

1)

2)

8

#3) Voici la représentation graphique de deux fonctions :

a) Trace la réciproque de chacune de ces fonctions. Que remarques-tu ?

b) Émets une conjecture sur la propriété géométrique que doit avoir une fonction pour être

identique à sa réciproque.

9

La règle d’une fonction f, où x est la variable indépendante et y, la variable dépendante, peut

s’écrire :

y (une expression algébrique en x) ou f (x) (une expression algébrique en x).

Exemple : L’épaisseur d’un pneu neuf est de 195 mm. Son épaisseur diminue de 0,004 mm

à chaque kilomètre parcouru. En désignant la fonction par f, la distance parcourue

(en km) par d et l’épaisseur (en mm) par e ou f (d ) , la règle peut s’exprimer :

e 0,004d 195 ou f (d ) 0,004d 195.

Exemple : La masse d’une baleine varie en fonction du temps. À sa naissance, elle pèse 600 kg

et sa masse augmente de 175 kg/mois.

La règle est :

_____________________________ou_____________________________

Si on cherche à 23 mois, quelle sera sa masse, on remplace le temps (en mois) dans la règle par

23, et on calcule sa masse (en kg).

Donc : _____________________________________________________________________

Exercices :

Voici les règles de plusieurs fonctions :

f (x) x 3

g(x) 3x2 h(t ) 3 t

i (n) 2n

j (r ) 4

Calcule :

a) a) f (2) b) g

5

2

c) h(8) d) i (4) e) j (104)

10

4.3 Le calcul des règles des fonctions

Pour une fonction linéaire, la règle s’écrit :

Le taux de variation

Dans une relation entre deux variables, un taux de variation (a) est la comparaison entre

deux variations correspondantes de ces variables.

Taux de variation te indépendan v ariable la de ante correspond v ariation

dépendante v ariable la de v ariation

Étapes pour calculer le taux de variation :

________________________________

________________________________

________________________________

Exemple : #1) Trouve le taux de variation de cette droite

1. Trouver 2 coordonnées :

2. Les nommer (x1, y1) et (x2, y2) :

3. Calculer le taux de variation :

#2)Soit une droite passant par (0,200) et (4,120), trouve le taux de variation :

1. Trouver 2 coordonnées :

2. Les nommer (x1, y1) et (x2, y2) :

3. Calculer le taux de variation :

#3) Selon la table de valeurs suivantes, trouve le taux de variation :

x 0 5 10 15 20

y 200 150 100 50 0

1. Trouver 2 coordonnées :

2. Les nommer (x1, y1) et (x2, y2) :

3. Calculer le taux de variation :

Taux de variation x

y

_________

11

Exercices :

Chaque paire de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale

de degré 1. Dans chaque cas, détermine le taux de variation de cette fonction.

a) (1, 1) et (3, 4). b) (5, 4) et (2, 9). c) (1, 10) et (5, 8).

d) (0, 0) et (11, 13). e) (0, 5) et (4, 0). f) (4, 3) et (11, 9).

La constante

Dans la règle y = ax + b , la constante (b) représente la valeur de la variable dépendante

(V.D.), lorsque la variable indépendante est nulle. C’est la valeur de la variable

indépendante, la valeur initiale. On l’appelle aussi l’ordonnée à l’origine.

Étapes pour calculer la constante :

Remplacer dans la règle y = ax + b,

le a par le taux de variation

le x et le y par un des couples (x1, y1) ou (x2,y2)

Trouver le b.

Exercices :

Dans chaque cas, on donne le taux de variation ainsi qu’un couple appartenant

à une fonction polynomiale de degré 1. Détermine la valeur initiale de chacune

de ces fonctions.

a) 3 et (2, 0). b)

4

1 et (2, 4).

c) 6 et (5, 7).

12

Recherche d’une règle :

Une fois le taux de variation et la valeur initiale trouvée, il ne reste qu’à écrire la règle finale

y = ax + b en remplaçant le a par le taux et le b par la valeur initiale (constante).

Exemples :

#1) La droite passe par (3,28) et (7,72), quelle est la règle de cette droite?

#2) Le taux de variation est de -3 et la droite passe par (14,6). Quelle est la règle de cette

droite?

13

Exercices :

Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

a)

b)

c)

14

4.4 Les types de fonctions

La fonction polynomiale de degré 0 :

La fonction de variation nulle

f (x) a , où a est une constante.

Exemple : Soit une fonction de variation nulle.

Description verbale Règle Table de valeurs Graphique

Peu importe la variation de la variable x, la valeur de y est toujours la même, soit 3.

y 3 x y 2 3 1 3

0 3

1 3

2 3

La fonction polynomiale de degré 1 :

La fonction de variation directe

– La règle s’écrit f (x) a , où a 0.

– Sa représentation graphique est

une droite oblique qui passe par

l’origine du plan cartésien, donc

lorsque x vaut 0, y vaut aussi 0.

– Elle traduit une situation de

proportionnalité.

Exemple : y 3x

Table de valeurs Graphique

x y

2 6

1 3

0 0

1 3

2 6

La fonction de variation partielle

– La règle s’écrit f (x) a, où a 0

et b 0.

– Sa représentation graphique est

une droite oblique qui ne passe

PAS par l’origine du plan cartésien,

donc lorsque x vaut 0, y ne vaut

pas 0.

– Elle ne traduit PAS une situation

de proportionnalité.

Exemple : y 2x 1

Table de valeurs Graphique

x y

2 3

1 1

0 1

1 3

2 5

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

3

3

3

3

1

1

1

1

2

2

2

2

15

Exercices :

#1) Représente graphiquement chacune des fonctions suivantes. Indique de quel est le type de

fonction.

a) f (x) 2x b) g(x) 3x 1 c) h(x)

5

3x 2

d) i (x)

3

1x 4

e) j (x)

7

3x

7

22

f) k(x) 7x 17

Fonction ___________________ Fonction ___________________

Fonction ___________________

Fonction ___________________

Fonction ___________________ Fonction ___________________

16

#2) À la suite d’une coupure de courant, le système

de chauffage d’une maison cesse de fonctionner.

Le graphique ci-contre montre l’évolution

de la température dans cette maison après

cette interruption.

a) Si x représente le temps (en min) et y, la température

(en °C), quelle est la règle de cette fonction ?

Réponse :

b) Quelle est la température dans cette

maison après 30 min ?

c) Après combien de temps la température

dans cette maison est-elle de 9 °C ?

Réponse :

Réponse :

d) Quelle est le type de fonction : ______________________________________________

Modifier les paramètres :

Si on modifie la constante (b) de la règle,

on modifie : ______________________________________________________________________________________________________________________________________

Si on modifie le taux de variation (a) de la règle,

on modifie : ______________________________________________________________________________________________________________________________________

Un taux de variation négatif = droite _______________________

Un taux de variation positif = droite ________________________

Un taux de variation nul = fonction ________________________

17

En ne considérant pas le signe, plus le taux de variation est grand, plus l’inclinaison de la droite est

grande.

4.5 La fonction de variation inverse

Une relation entre deux variables dont le produit des valeurs de chacun des couples est

constant et non nul est une fonction de variation inverse.

Par exemple :

le prix à payer par personne dans un taxi par rapport au nombre de personnes

dans le taxi.

le montant d’une dette à rembourser par jour en fonction du nombre de jour.

le prix à payer par personne pour un cadeau en fonction du nombre de personne

qui contribuent.

La règle d’une fonction de variation inverse s’écrit :

f (x)

, où x 0 et a 0.

Dans cette règle, correspond au produit des valeurs de chacun des couples (x, y) de la

fonction.

La représentation graphique d’une fonction de variation inverse montre une courbe

décroissante dont les extrémités se rapprochent de plus en plus lentement des axes sans

jamais les toucher.

Exemple :

Description verbale Règle Table de valeurs Graphique

Le produit des valeurs

de chacun des couples de

la fonction est 20.

y x

20

x y

1 20

2 10

4 5

5 4

10 2

20 1

Pour trouver la règle, il suffit de trouver la valeur du a :

=

1 20 20

2 10 20

4 5 20

5 4 20

10 2 20

20 1 20

18

Exercices :

Complète chacune des tables de valeurs suivantes sachant qu’elle est associée

à une fonction de variation inverse.

a) x y

20

12

15 4

2

b) x y

1

0,1 100

1000

0,001

c) x y

0,2

1

1

4 0,25

d) x Y

3 4

6

24

0,25

Représente graphiquement la fonction dont la règle est donnée ci-dessous.

a) y x

12

b) y

x

20

c) y x

60

d) y x

100

1

2

19

Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

a)

b)

c)

Réponse :

Réponse :

Réponse :

d)

e)

f)

Réponse :

Réponse :

Réponse :

Le temps nécessaire à un ordinateur pour

accomplir une tâche dépend du nombre de processeurs qu’il contient. Le graphique ci-contre représente cette situation.

a) Si n représente le nombre de processeurs et t, le temps (en s) nécessaire pour accomplir la tâche, quelle est la règle de cette fonction ?

b) Combien de temps cet ordinateur prend-il pour accomplir la tâche s’il contient 5 processeurs ?

c) Combien de processeurs l’ordinateur doit-il contenir pour accomplir la tâche en moins de 0,3 s ?

Réponse :

Réponse :

3

4

20

4.6 La modélisation

Les données d’une table de valeurs, ou le nuage de points associé à une situation faisant

intervenir deux variables, ne montrent pas toujours une régularité systématique ou des points

disposés selon une tendance parfaite. On tente alors de déceler si le lien entre les deux variables

peut être décrit par un modèle mathématique, c’est-à-dire par une fonction dont le

comportement est à la fois connu et prévisible.

Un modèle mathématique adéquat permet d’obtenir une courbe bien ajustée, c’est-à-dire

une courbe qui est représentative de la majorité des points du nuage.

La modélisation à l’aide d’une fonction polynomiale de degré 0 ou 1

Démarche Exemple

1. Déceler une tendance dans le nuage de points.

Les points de ce nuage sont relativement bien alignés, caractéristique graphique d’une fonction polynomiale de degré 1.

2. Tracer une droite qui est représentative de la majorité des points en tenant compte des critères suivants :

l’inclinaison de la droite est celle suggérée par le nuage de points ;

si possible, autant de points sont situés de part et d’autre de la droite.

La droite tracée est représentative de l’ensemble des points du nuage.

3. Établir la règle du modèle mathématique. Deux des points de la droite ont pour coordonnées (2, 50) et (12, 5).

a 212

505

10

45

4,5

La règle du modèle mathématique est donc :

y 4,5x 59

y ax b

y 4,5x b

50 4,5 2 b

b 59

21

La modélisation à l’aide d’une fonction de variation inverse

La table de valeurs qui représente une situation faisant intervenir deux variables comporte parfois

des couples dont le produit des valeurs montre une certaine constance. Pour modéliser une telle

situation, on peut utiliser la démarche suivante.

Démarche Exemple

1. Déceler une tendance dans le nuage de points.

Ce nuage de points montre une tendance qui correspond à celle d’une fonction de variation inverse.

2. Chercher unerégularité dans la table de valeurs.

x y

5 242

10 136

15 80

20 70

25 46

30 44

35 32

40 26

Pour chacun des couples, le produit des valeurs est sensiblement le même, une caractéristique propre à une fonction de variation inverse.

3. Établir la règle de la fonction servant de modèle mathématique à la situation selon le nuage de points et la table de valeurs.

La moyenne des produits des valeurs de chacun des couples est de :

8

10401120132011501400120013601210 1225

La règle du modèle mathématique peut donc être

y x

1225 et la courbe ainsi obtenue est représentative

de l’ensemble des points du nuage.

5 242 1210

10 136 1360

15 80 1200

20 70 1400

25 46 1150

30 44 1320

35 32 1120

40 26 1040

22

Exercices :

Pour chacune des tables de valeurs ci-dessous :

1) trace le nuage de points ainsi que la courbe représentative de l’ensemble des points ;

2) détermine la règle de la fonction qui peut servir de modèle.

a) x y

0,8 1,7

1,6 2,9

3 4

4,5 4,9

5,6 6,3

7,1 7,1

8 8

b) x y

2 10

2,4 7,6

3,3 5,4

4,2 3,7

5,7 2,5

7,9 2,1

10 2

c) x y

0 930

1 840

2 645

3 410

4 280

5 75

6 10

1)

1)

1)

2)

2) 2)

1

23

d) x y

0,7 9,8

1 8

1,4 6,2

2,3 3,4

3,3 1,9

6,1 0,9

9,1 1

e) x y

3,4 4,6

2,3 3,1

1 2,6

0,4 1,8

1 0,6

2,2 1,6

3,6 2,9

f) x y

0,2 9,6

0,4 7,2

0,7 2,7

1,8 0,8

3,7 0,6

5,9 0,4

8,8 0,2

1)

1)

1)

2)

2) 2)

24

Un élève de 3e secondaire fait une expérience sur le débit d’écoulement

d’un liquide. Cette expérience consiste à vider un même récipient plusieurs fois à l’aide d’un tuyau de diamètre de plus en plus gros et à mesurer le temps nécessaire pour que le récipient soit complètement vide.

Voici les données recueillies par cet élève :

Expérience sur le débit d’écoulement d’un liquide

Numéro du tuyau 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diamètre du tuyau (mm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Temps nécessaire (s) 22,01 13,39 9,9 7,94 6,82 5,81 5,07 4,41 4,03

a) Représente ces données par un nuage de points.

b) Quel type de fonction constituerait un modèle adéquat pour cette situation ? Explique ta réponse.

c) Trace la courbe représentative de l’ensemble des points.

d) Détermine la règle de la fonction associée à cette courbe.

Réponse :

e) D’après ce modèle :

1) en combien de temps ce récipient se vide-t-il si l’on utilise un tuyau de 60 mm de diamètre ?

Réponse :

2) quel devrait être le diamètre du tuyau utilisé si l’on désire vider le récipient en moins de 2 s ?

Réponse :

2

25

À l’aide d’un logiciel, on a tracé la droite la mieux ajustée à quelques nuages

de points. Voici ces nuages de points :

a) Pour quel nuage de points le modèle utilisé te semble-t-il :

1) le plus fiable ?

2) le moins fiable ?

b) Explique le raisonnement qui te permet de juger du degré de fiabilité du modèle utilisé.

3