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  • Universit Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

    Langage mathmatiqueEric Dumas, Emmanuel Peyre et Bernard Ycart

    Ce chapitre vous explique la rgle du jeu mathmatique. Rien nest vraiment nou-veau ni compliqu. Pour donner des exemples dnoncs, nous ferons appel quelquesnotions de base sur les nombres entiers, que vous connaissez depuis longtemps.

    Table des matires1 Cours 1

    1.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2 Entranement 272.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Corrig du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Complments 523.1 La quantification des prdicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Ces longues chanes de raisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Le Docteur Illumin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Ramener linfini au fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5 Lettres une Princesse dAllemagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6 Froid dans le dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7 Le rve de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.8 La langue universelle de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.9 Les cardinaux infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.10 Ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.11 Dmonstrations non constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.12 Lensemble de tous les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    29 aot 2013

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    1 Cours1.1 Assertions

    On peut voir le langage mathmatique comme un jeu de construction, dont lebut est de fabriquer des noncs vrais. La rgle de base de ce jeu est quun noncmathmatique ne peut tre que vrai ou faux. Il ne peut pas tre presque vrai ou moiti faux . Une des contraintes sera donc dviter toute ambigut et chaquemot devra avoir un sens mathmatique prcis.Selon le cas, un nonc mathmatique pourra porter des noms diffrents. assertion : cest le terme que nous utiliserons le plus souvent pour dsigner uneaffirmation dont on peut dire si elle est vraie ou fausse. thorme : cest un rsultat important, dont on dmontre ou on admet quil estvrai, et qui doit tre connu par cur. proposition : nous utiliserons ce terme pour dsigner un rsultat dmontr, moinsimportant quun thorme. lemme : cest un rsultat dmontr, qui constitue une tape dans la dmonstrationdun thorme. corollaire : cest une consquence facile dun thorme ou dune proposition.

    Dans ce cours les dmonstrations se terminent par un carr blanc, plutt que par leclbre CQFD ( ce quil fallait dmontrer ). Pour crire formellement des noncsmathmatiques, on utilise des lettres reprsentant des concepts (nombres, ensembles,fonctions, vecteurs, matrices, polynmes. . . ) avec des symboles logiques et des relations.

    Le but de ce chapitre tant dillustrer la manipulation du langage, il ne comporteraaucune difficult mathmatique. Nous en resterons des noncs trs simples, que lonprendra soin de toujours traduire en langage courant pour bien les comprendre. Dans cequi suit les lettres m et n dsignent des entiers naturels (0, 1, 2, . . .). Nous nutiliseronsque les symboles de comparaison (,6,>) et de divisibilit ( | ). Rappelons quem |n ( m divise n ) si n est gal au produit km pour un certain entier k.

    n < 5 lentier n est strictement infrieur 5n > 3 lentier n est suprieur ou gal 3n | 12 lentier n divise 122 |n lentier n est divisible par 2 (il est pair)

    Pour combiner entre elles des assertions, on utilise les connecteurs de base suivants : la ngation ( non ), note la conjonction ( et ), note la disjonction ( ou ), note .

    Le tableau suivant est une table de vrit. Il dcrit leffet des connecteurs sur deuxassertions A et B, selon quelles sont vraies (V ) ou fausses (F ), en disant dans chacun

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    des 4 cas si lassertion compose est elle-mme vraie ou fausse.

    ngation conjonction disjonctionnon et ou

    A B A A B A BV V F V VV F F F VF V V F VF F V F F

    Le ou est toujours inclusif : A ou B signifie que lune au moins des deux assertionsest vraie (peut-tre les deux). Par opposition, le ou exclusif est vrai quand lunedes deux assertions est vraie mais pas les deux. Voici quelques assertions composes etleur traduction.

    (n < 5) lentier n nest pas strictement infrieur 5.(n < 5) (2 |n) lentier n est strictement infrieur 5 et divisible par 2.(2 |n) (3 |n) lentier n est divisible par 2 ou par 3.

    Observez lusage des parenthses qui permettent disoler des assertions simples au seindune assertion compose.

    partir des connecteurs de base, on en fabrique dautres, dont les plus importantssont limplication et lquivalence. Par dfinition, limplication A = B est vraie soitsi A est fausse soit si A et B sont vraies toutes les deux. Lcriture A = B est doncune notation pour (A)B ( non A ou B ). Lquivalence A B est une doubleimplication :

    ((A = B) (B = A)

    )( A implique B et B implique A ). Voici

    les tables de vrit des implications et de lquivalence entre deux assertions A et B.Constatez que lquivalence A B est vraie quand A et B sont toutes les deuxvraies, ou bien toutes les deux fausses.

    A B A = B B = A A BV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

    Limplication et lquivalence sont les outils de base du raisonnement mathmatique.Il est essentiel de bien les assimiler, et de comprendre toutes leurs formulations.

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    A = BA implique BA entrane B

    si A est vrai alors B est vraiB est vrai si A est vrai

    A est vrai seulement si B est vraipour que B soit vrai il suffit que A le soitA est une condition suffisante pour B

    pour que A soit vrai il faut que B le soitB est une condition ncessaire pour A

    Pour bien comprendre limplication, reprenez chacune des formulations en remplaantA par n > 3 et B par n > 2 .

    A BA est quivalent BA quivaut B

    A entrane B et rciproquementsi A est vrai alors B est vrai et rciproquement

    A est vrai si et seulement si B est vraipour que A soit vrai il faut et il suffit que B le soitA est une condition ncessaire et suffisante pour B

    Pour bien comprendre lquivalence, reprenez chacune des formulations en remplaantA par n > 3 et B par n > 2 .

    Les principales proprits des connecteurs sont rsumes dans le thorme suivant.

    Thorme 1. Soient A, B et C trois assertions. Les quivalences suivantes sont tou-jours vraies. Commutativit : (

    A B)

    (B A

    ). (1)

    A et B quivaut B et A .(A B

    )

    (B A

    ). (2)

    A ou B quivaut B ou A . Associativit : (

    A (B C))

    ((A B) C

    ). (3)

    A et (B et C) quivaut (A et B) et C .(A (B C)

    )

    ((A B) C

    ). (4)

    A ou (B ou C) quivaut (A ou B) ou C .

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    Distributivit : (A (B C)

    )

    ((A B) (A C)

    ). (5)

    A et (B ou C) quivaut (A et B) ou (A et C) .(A (B C)

    )

    ((A B) (A C)

    ). (6)

    A ou (B et C) quivaut (A ou B) et (A ou C) . Ngations : (

    (A)) A . (7)

    non (non A) quivaut A .((A B)

    )

    ((A) (B)

    ). (8)

    non (A ou B) quivaut (non A) et (non B) .((A B)

    )

    ((A) (B)

    ). (9)

    non (A et B) quivaut (non A) ou (non B) .

    Il est conseill de remplacer A, B et C par des assertions sur les nombres entierspour bien comprendre les noncs de ce thorme (par exemple A par (n 6 6), B par(2 |n), C par (3 |n)).Dmonstration : Pour dmontrer lquivalence de deux assertions, nous navons pasdautre moyen pour linstant que de vrifier que leurs tables de vrit concident : lesdeux assertions sont quivalentes si elles sont toujours soit toutes les deux vraies soittoutes les deux fausses. Voici la vrification pour (5).

    A (B C) (A B) (A C) .Lquivalence est vraie car dans la table ci-dessous, les colonnes correspondant auxdeux assertions sont identiques.

    A B C (B C) A (B C) (A B) (A C) (A B) (A C)V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F FF V V V F F F FF V F V F F F FF F V V F F F FF F F F F F F F

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    Nous laissons au lecteur le soin de vrifier de mme chacune des autres quivalences. Rares sont les dmonstrations mathmatiques qui utilisent explicitement les tables

    de vrit. Une dmonstration typique est un enchanement dimplications ou dquiva-lences, partant des hypothses pour aboutir la conclusion. Ces enchanements utilisentla transitivit de limplication et de lquivalence.

    Proposition 1. Soient A, B et C trois assertions. Lnonc suivant est toujours vrai.((A = B) (B = C)

    )= (A = C) . (10)

    Si A implique B et B implique C, alors A implique C.

    On en dduit facilement la transitivit de lquivalence :

    Corollaire 1. Soient A, B et C des assertions, lnonc suivant est toujours vrai.((A B) (B C)

    )= (A C) .

    Si A quivaut B et B quivaut C, alors A quivaut C.

    Dmonstration : Nous utilisons (une dernire fois) les tables de vrit, pour vrifierque quelles que soient les valeurs de vrit de A, B et C, limplication (10) est vraie.Notons I1 lassertion A = B, I2 lassertion B = C, I3 lassertion A = C.

    A B C I1 I2 I1 I2 I3 (I1 I2) = I3V V V V V V V VV V F V F F F VV F V F V F V VV F F F V F F VF V V V V V V VF V F V F F V VF F V V V V V VF F F V V V V V

    Nous utiliserons des enchanements dquivalences pour dmontrer le rsultat sui-

    vant, qui dcrit le comportement de limplication par rapport la ngation.

    Proposition 2. Soient A et B deux assertions. Les quivalences suivantes sont tou-jours vraies.

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    1. ((A = B)

    )

    (A (B)

    ). (11)

    Limplication A = B est fausse si et seulement si A est vrai et B est faux .2. (

    A = B)

    (B = A

    ). (12)

    A implique B est quivalent non B implique non A .

    Dmonstration : Nous pourrions dmontrer ces quivalences directement laide destables de vrit (nous conseillons au lecteur de le faire). Nous allons plutt les dduiredu thorme 1. Voici la dmonstration de la premire quivalence.

    (A = B) ((A) B) par dfinition de limplication (A) B par (8) A B par (7).

    Voici la dmonstration de la seconde quivalence.(A = B

    )

    ((A) B

    )par dfinition de limplication

    (

    (A) ((B)))

    par (7)

    (

    ((B)) (A))

    par (2)

    (

    (B) = (A))

    par dfinition de limplication.

    Lquivalence (11) est la mthode habituelle que lon utilise pour dmontrer quune

    implication est fausse : il suffit dexhiber une situation o A est vraie et B fausse pourinfirmer limplication A = B. Par exemple, limplication (n 6 3) = (n | 3) estfausse, car on peut trouver un entier n tel que (n 6 3) soit vrai et (n|3) soit faux : 2 estinfrieur ou gal 3 mais ne divise pas 3. On appelle cela trouver un contre-exemple .

    Lquivalence (12) est aussi une technique de dmonstration classique. Limplication (B) = (A) ( non B implique non A ) sappelle la contrapose de limplicationA = B. Par exemple, la contrapose de (n > 3) = (n > 2) est (n 6 2) =(n 6 3) . Il est parfois plus facile pour dmontrer une implication de dmontrer sacontrapose, nous y reviendrons.

    1.2 EnsemblesUn ensemble peut tre vu comme une collection dobjets mathmatiques, appels

    lments, comme lensemble N des entiers naturels. Contentez-vous pour linstant delide intuitive dun paquet dlments possdant une proprit commune, sur lequel on

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    a mis une tiquette rappelant cette proprit. Un ensemble nest bien dfini que si onpeut dire sans ambigut si un lment appartient ou non lensemble. Les sommetsdes Alpes ne forment pas un ensemble (comment dcider quun endroit particulier estun sommet ?). Par contre lensemble des sommets cots sur une carte donne est biendfini. Deux ensembles sont gaux si et seulement si ils contiennent les mmes lments.

    Le fait quun lment x appartienne un ensemble A se note x A, et son contrairex / A ( x nappartient pas A ). Par exemple 2 N (2 appartient N) et 2 /N (racine de 2 nappartient pas N). Certains ensembles souvent utiliss ont unenotation propre, comme lensemble N des entiers naturels, lensemble R des nombresrels, lensemble C des nombres complexes. Pour les autres, on utilise une dfinition,que lon crit entre accolades pour dire quil sagit de lensemble des lments vrifiantcette dfinition. On peut crire un ensemble en extension, en donnant la liste de seslments. Voici deux dfinitions de lensemble des entiers naturels strictement infrieurs 5.

    {n N ; n < 5 } = { 0, 1, 2, 3, 4 } .Cet nonc se lit ensemble des n appartenant N tels que n < 5 ou ensemble desentiers strictement infrieurs 5 . Voici deux dfinitions de lensemble des diviseursde 12.

    {n N ; n | 12 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } .On peut aussi dfinir des ensembles en extension par une liste infinie. Le plus souvent,celle-ci se dduit de N. Par exemple lensemble des entiers suprieurs ou gaux 5 :

    {n N ; n > 5 } = {n+ 5 ; n N } ,et lensemble des entiers pairs :

    {n N ; 2 |n } = { 2n ; n N } ,Les ensembles que nous dfinirons seront des sous-ensembles ou parties dun ensembleplus grand (comme lensemble des entiers N dans les exemples prcdents).

    Dfinition 1. On dit quun ensemble A est un sous-ensemble ou une partie dunensemble E si tout lment de A est aussi lment de E.

    Si A et E sont deux ensembles, on note E \A lensemble form des lments de Equi ne sont pas dans A.

    E \ A = {x E ; x 6 A } .Lorsque A est un sous-ensemble de E, on dit que E \ A est le complmentaire de Adans E. On le note aussi cA lorquil ny a pas dambigut.

    Si E est lensemble de rfrence (lensemble des entiers dans nos exemples), len-semble des parties de E se note P(E). Il contient toujours E lui-mme, ainsi quelensemble vide, not . Si A est un sous-ensemble (une partie) de E, on dit aussi queA est inclus dans E, et on note A E. On note aussi E A pour E contient A .

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    Voici lcriture en extension de P({0, 1, 2}), qui est lensemble des parties de lensemble trois lments {0, 1, 2}.

    P({0, 1, 2}) ={, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}

    }.

    Un ensemble qui ne contient quun seul lment, comme {0}, est un singleton. Len-semble P({0, 1, 2}) contient 8 lments, dont chacun est lui-mme un ensemble.Il est frquent (et souvent utile) de passer dun ensemble A lassertion x A (vraieou fausse). Les connecteurs logiques entre assertions ( non , et , ou ) se tra-duisent par des oprations ensemblistes : complmentaire, intersection, runion. Nousutiliserons cette correspondance comme dfinition des oprations ensemblistes.

    ensembles assertionsA,B (x A), (x B)

    complmentaire ngation ( non )cA x cA (x A) x / A

    intersection ( inter ) conjonction ( et )A B (x A B)

    ((x A) (x B)

    )runion ( union ) disjonction ( ou )

    A B (x A B)(

    (x A) (x B))

    Au travers de ce dictionnaire limplication

    (x A) = (x B), soit ((x A)) (x B) ,devient x (cA B). Elle est toujours vraie si et seulement si le complmentaire de(cAB), est vide, cest--dire si A est inclus dans B. Les proprits (x A) et (x B)sont quivalentes si les deux inclusions A B et B A sont vraies, cest--dire si lesdeux ensembles contiennent les mmes lments. On dit quils sont gaux, et on notesimplement A = B. Pour dmontrer que deux ensembles sont gaux, on doit montrerque chacun est inclus dans lautre (tout comme pour dmontrer une quivalence, ondoit montrer les deux implications).

    On dduit du thorme 1 les proprits suivantes des oprations ensemblistes. Lesdmonstrations constituent un bon exercice de traduction, que nous laissons au lecteur.Nous conseillons aussi de remplacer A par {n N ; n 6 6}, B par {n N ; 2 |n} et Cpar {n N ; 3 |n} et dcrire en extension tous les ensembles du thorme.Thorme 2. Soient A, B et C trois ensembles. Les galits ensemblistes suivantessont toujours vraies. Commutativit : (

    A B)

    =(B A

    ). (13)(

    A B)

    =(B A

    ). (14)

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    Associativit : (A (B C)

    )=(

    (A B) C). (15)(

    A (B C))

    =(

    (A B) C). (16)

    Distributivit : (A (B C)

    )=(

    (A B) (A C)). (17)(

    A (B C))

    =(

    (A B) (A C)). (18)

    Complmentaires : soient A et B des parties dun ensemble E. Alors :E \ (E \ A) = A , (19)

    E \ (A B) = (E \ A) (E \B) , (20)E \ (A B) = (E \ A) (E \B) . (21)

    Nous nous placerons toujours dans le cas o tous les ensembles considrs sontdes parties dun ensemble de rfrence E. Le complmentaire dune partie A est alorsimplicitement dfini comme lensemble des lments de E qui nappartiennent pas A.Moyennant cette convention, le rsultat dune opration ensembliste quelconque sur desparties de E est encore une partie de E. Il est commode de visualiser E par un rectangleet les sous-ensembles de E par des patates hachures dessines dans ce rectangle.Le rsultat sappelle un diagramme de Venn, plutt quun sac de patates (figure 1).Nous conseillons au lecteur de visualiser les galits ensemblistes du thorme 2 surdes diagrammes de Venn.

    complmentaire

    A

    E

    B

    intersection

    A

    E

    B

    runion

    A

    E

    Figure 1 Diagrammes de Venn pour le complmentaire, lintersection et la runion.

    Il existe dautres manires utiles de combiner des ensembles entre eux pour enformer de nouveaux. Nous utiliserons plusieurs fois le produit cartsien.

    Dfinition 2. Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartsien de A parB et on note AB lensemble des couples forms dun lment de A et un de B.

    AB = { (a, b) ; a A et b B } .

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    Le produit cartsien de A par lui-mme se note A2. On le gnralise plus de deuxcopies de A en dfinissant An comme lensemble des n-uplets forms dlments de A.

    An = { (a1, . . . , an) , (a1 A) . . . (an A) } .

    Attention, dans un n-uplet, certaines coordonnes peuvent tre identiques et lordreest important. Par exemple, si a et b sont deux lments distincts de A, les triplets(a, b, a) et (a, a, b) sont des lments distincts de A3.

    1.3 QuantificateursLes quantificateurs sont les deux symboles quel que soit et il existe . On

    les utilise pour des noncs du type :

    n N , m N ; n < m . (22)

    Cette formule se lit : quel que soit n appartenant N, il existe m appartenant N telque n < m. Soit encore : pour tout entier n, il existe un entier m strictement plus grandque n. Il est crucial de retenir que dans ce cas lentier m peut dpendre de lentier n.Cette assertion est vraie : pour tout n, le nombre m = n+ 1 vrifie bien n < m.

    Lordre dans lequel on crit les quantificateurs est trs important. Echangeons dans(22) les deux quantificateurs.

    m N ; n N , n < m .

    Cette assertion se lit : il existe un entier m tel que tout entier n vrifie n < m (ce quiest faux).

    Pour crire la ngation dune assertion comportant des quantificateurs on changeles en et les en , puis on crit la ngation de lassertion qui suit la liste desquantificateurs. Ceci est tout fait conforme lintuition. La ngation de tout les xvrifient A est bien il existe un x qui ne vrifie pas A . La ngation de il existeun x qui vrifie A est bien aucun x ne vrifie A soit encore tous les x vrifientA . Ecrivons par exemple la ngation de lassertion (22).

    n N ; m N , (n > m) .

    Il existe un entier n suprieur ou gal tout entier m (ce qui est faux).Attention, les quantificateurs ne sont pas toujours distributifs par rapport et et

    ou . Par exemple, il existe un entier suprieur 7 et infrieur 6 (faux) nestpas quivalent il existe un entier suprieur 7 et il existe un entier infrieur 6 (vrai). De mme tout entier est infrieur ou gal 6, ou bien suprieur ou gal 7 (vrai) nest pas quivalent tout entier est infrieur ou gal 6 ou tout entierest suprieur ou gal 7 (faux).

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    Nous commettrons souvent labus de notation consistant regrouper des quantifi-cateurs de mme nature. Par exemple :

    n N , m N , m+ n N ,

    que lon pourrait aussi crire

    (n,m) N2 , m+ n N ,

    sera plutt crit :n,m N , m+ n N .

    (La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.)Ou encore,

    n N , m N ; n+m < 10 ,deviendra :

    n,m N ; n+m < 10 .(Il existe deux entiers dont la somme est infrieure 10.)

    Constatez en la lisant haute voix que la formule suivante dfinit bien la divisibilit.

    m,n N , (m |n) (k N ; n = km

    ).

    1.4 ApplicationsLes fonctions et les applications sont des correspondances entre ensembles. Pour

    dfinir une fonction f , il faut dabord un ensemble de dpart E (la source) et unensemble darrive F (le but). Il faut ensuite un sous-ensemble du produit cartsiende E F , cest--dire un ensemble de couples (x, y) o x E et y F . Lensemble sappelle le graphe de la fonction. La rgle de base est quun lment de E ne peut pascorrespondre deux lments de F . Ceci scrit :(

    ((x, y) ) ((x, z) ))

    = y = z .

    La donne de lensemble de dpart, de lensemble darrive et du graphe dfinit lafonction f . Si (x, y) , on dit que y est limage de x : y = f(x). La notation standardpour une fonction est la suivante.

    fE Fx 7 f(x)

    Elle se lit fonction f de E vers F qui x associe f(x) .

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    On utilise le plus souvent fonction et application comme des synonymes. En touterigueur une application est une fonction telle que tout lment de lensemble de dpartadmet une image (et une seule). Pour une fonction, le sous-ensemble de lensemble dedpart form des lments qui ont effectivement une image sappelle le domaine dedfinition. Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux applications.

    Dfinition 3. Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F .1. Soit A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f et on note f(A)

    lensemble des images des lments de A.

    f(A) = { y F ; x A , f(x) = y } .2. Soit B un sous-ensemble de F . On appelle image rciproque de B par f et on

    note f1(B) lensemble des lments de E dont limage appartient B.

    f1(B) = {x E ; f(x) B } .Attention la notation f1 : elle ne signifie pas que f est inverse. Cest une

    convention pour dsigner un sous-ensemble de lespace de dpart. Un lment x de Etel que f(x) = y sappelle un antcdent de y. Daprs la dfinition 3, lensemble desantcdents de y est f1({y}).

    Soit E = {0, 1, 2, 3} et F = {0, 1, 2}. Considrons lapplication qui un nombreassocie le reste de sa division euclidienne par 2 : 0 sil est pair, 1 sil est impair. Legraphe de cette application est :

    = { (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, 1) } .Il est parfois commode de reprsenter un graphe par un ensemble de flches entredeux diagrammes de Venn (figure 2). Limage de {0, 2} est le singleton {0}. Limagerciproque de {1} est {1, 3}. Limage rciproque de {2} est lensemble vide.

    Soient E, F , etG trois ensembles, f une application de E vers F et g une applicationde F vers G. On dfinit la compose de f par g , note g f , comme lapplication deE vers G qui x associe g f(x) = g(f(x)). Attention lordre des applications danslcriture g f : cest lordre inverse des flches dans le schma ci-dessous.

    f gE F Gx 7 f(x) 7 g f(x) = g(f(x)) .

    Dfinition 4. Soient E et F deux ensembles et f une application de E vers F . On ditque f est :

    1. injective si tout lment de lensemble darrive possde au plus un antcdentdans lensemble de dpart.

    x1, x2 E ,(f(x1) = f(x2)

    )= x1 = x2 .

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    1

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    2

    3

    1

    0

    Figure 2 Reprsentation graphique dune application de {0, 1, 2, 3} vers {0, 1, 2}.

    2. surjective si tout lment de lensemble darrive possde au moins un antcdentdans lensemble de dpart.

    y F , x E ; f(x) = y .

    3. bijective si tout lment de lensemble darrive possde exactement un antc-dent dans lensemble de dpart.

    Une application bijective, ou bijection, est donc la fois injective et surjective (voirfigure 3).

    injection

    surjection

    bijection

    Figure 3 Reprsentations graphiques dune injection, dune surjection et dune bi-jection.

    Voici comment les applications injectives, surjectives et bijectives se comportentvis--vis de la composition. La dmonstration de cette assertion est laisse au lecteur titre dexercice.

    Proposition 3. Soient E, F , et G trois ensembles, f une application de E vers F etg une application de F vers G.

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    1. Si f et g sont injectives alors g f est injective.2. Si f et g sont surjectives alors g f est surjective.3. Si f et g sont bijectives alors g f est bijective.4. Si g f est injective alors f est injective.5. Si g f est surjective alors g est surjective.Si une application de E vers F est bijective, tout lment de F a un antcdent et

    un seul. On peut alors dfinir lapplication rciproque de f , note f1 :

    f(x) = y x = f1(y) .Si f est bijective, la compose de f par son application rciproque f1 est lappli-

    cation qui x associe x, de E vers E. On lappelle application identique, ou identit.

    f f1

    E F Ex 7 f(x) 7 f1 f(x) = f1(f(x)) = x .

    Les notations pour lapplication rciproque et pour limage rciproque dune partie delensemble darrive F sont lies par la relation :

    f1({y}) = {f1(y)} .On prendra garde au fait que si limage rciproque dune partie est dfinie pour touteapplication, lapplication rciproque, quant elle, nest dfinie que pour une applicationbijective.

    1.5 CardinauxNous allons utiliser la notion de bijection pour dfinir le cardinal dun ensemble fini.

    Intuitivement, deux ensembles ont le mme nombre dlments si et seulement si onpeut dfinir une bijection entre ces ensembles. Les dfinitions qui suivent formalisentcette intuition.

    Dfinition 5. Soient E et F des ensembles. On dit que E et F ont le mme cardinalsil existe une bijection de E sur F .

    Soient E un ensemble et n un entier. On dit que E est de cardinal n si E et{1, . . . , n} ont le mme cardinal.

    Soit E un ensemble. On dit que E est fini sil existe un entier n tel que E soit decardinal n.

    Proposition 4. Soient m et n des entiers. Sil existe une injection

    f : {1, . . . ,m} {1, . . . , n} ,alors m 6 n.

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    Dmonstration : On raisonne par rcurrence sur m. Si m = 0, la conclusion est vrifie.Supposons le rsultat vrai pour m 1. Soit

    f : {1, . . . ,m} {1, . . . , n} ,une application injective. Comme f est injective, on a

    i {1, . . . ,m}, i 6= m f(i) 6= f(m) .On peut donc dfinir

    g : {1, . . . ,m 1} {1, . . . , n 1}i 7

    f(i) si f(i) < f(m),f(i) 1 si f(i) > f(m).Lapplication ainsi dfinie est injective. Donc, par hypothse de rcurrence, m 1 6n 1. Do m 6 n. Corollaire 2. Soient m et n des entiers. Sil existe une bijection de {1, . . . ,m} sur{1, . . . , n}, alors m = n.

    Dmonstration : Notons f une telle bijection. Alors f et f1 sont injectives et onapplique la proposition prcdente.

    Ce corollaire montre que si E est un ensemble de cardinal m et de cardinal n, alorsm = n. En effet, dans ce cas il existe une bijection f de E sur {1, . . . ,m} et g de Esur {1, . . . , n} et g f1 fournit une bijection de {1, . . . ,m} sur {1, . . . , n}.Dfinition 6. Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de E et on note Card(E)lunique entier n tel que E soit de cardinal n.

    Exemple 1. Si a, b Z, avec a 6 b, alorsCard({a, a+ 1, . . . , b 1, b} = b a+ 1 .

    En effet lapplication

    f : {a, . . . , b} {1, . . . , b a+ 1}x 7 x a+ 1

    est bijective.

    Proposition 5. Soit E un ensemble fini et X une partie de E. Alorsa) Lensemble X est fini ;b) Card(X) Card(E) ;c) Si Card(X) = Card(E), alors X = E.

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    Dmonstration : Soit n le cardinal de E. Il existe donc une bijection de E sur{1, . . . , n}. Lapplication obtenue par restriction X :

    X (X)x 7 (x) ,

    est galement bijective. Quitte remplacer X par (X), il suffit de traiter le cas oE = {1, . . . , n}.

    On raisonne alors par rcurrence sur le cardinal de E. Si n = 0, alors E = X = et le rsultat est valide. Supposons le rsultat dmontr pour les ensembles de cardinaln 1, et montrons le pour E = {1, . . . , n}. Si X = E, alors Card(X) = Card(E) et lesassertions a), b) et c) sont vrifies. Si X 6= E, il nous suffit de montrer que X est finide cardinal infrieur ou gal n 1. Mais dans ce cas, il existe i {1, . . . , n} tel quei 6 X. On considre alors lapplication

    f : {x E ; x 6= i} {1, . . . , n 1}x 7

    x si x < i,x 1 si x > i.f est bijective, donc Card({x E ; x 6= i}) = n 1 et par hypothse de rcurrence Xest fini et

    Card(X) 6 n 1 < Card(E).ce qui montre les assertions dans ce cas.

    Corollaire 3. Soient E et F des ensembles et f : E F une application.Si F est fini et si f est injective, alors

    a) E est fini ;b) Card(E) Card(F ) ;c) f est bijective si et seulement si Card(E) = Card(F ).

    Si E est fini et si f est surjective, alorsa) F est fini ;b) Card(F ) Card(E) ;c) f est bijective si et seulement si Card(E) = Card(F ).

    Dmonstration : Si f est injective, on considre lapplication

    g : E f(E)x 7 f(x)

    g est bijective. Donc E et f(E) ont mme cardinal. Donc Card(E) = Card(f(E)) 6Card(F ). Lapplication f est bijective si et seulement si f(E) = F ce qui est quivalent Card(E) = Card(F ) par ce qui prcde.

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    Supposons f surjective, cest--dire telle que

    y F, x E, f(x) = y.

    Donc il existe une application g : E F telle que

    y F, f(g(y)) = y.

    La compose f g est lappication identique de F , donc g est injective. On appliquealors le cas injectif g.

    Rappelons la dfinition du complmentaire. Soient A et B deux ensembles. On noteA \B lensemble des lements de A qui nappartiennent pas B.

    A \B = {x A ; x 6 B } .

    Si B A, A \B est appel le complmentaire de B dans A.Proposition 6. Si A est fini et B A, alors

    Card(A) = Card(B) + Card(A \B).

    Dmonstration : Par la proposition 5, on sait que B et A \ B sont finis. Notons p lecardinal de B et q le cardinal de A \B. Il existe donc des bijections

    1 : B {1, . . . , p}

    et2 : A \B {p+ 1, . . . , p+ q}

    Lapplication : A {1, . . . , p+ q}

    x 71(x) si x B,2(x) si x A \B

    est bijective donc Card(A) = p+ q.

    Proposition 7. Soient A un ensemble fini, r un entier et (Ai)i{1,...,r} une famille departies de A telle que

    i. A = A1 Ar ;ii. i, j {1, . . . , r}, i 6= j Ai Aj =

    AlorsCard(A) =

    ri=1

    Card(Ai).

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    Dmonstration : On raisonne par rcurrence sur r.Si r = 1, A = A1 et le rsultat est vrai. Si cest vrai pour r 1, par hypothse de

    rcurrence, applique lensemble A1 Ar1, on a

    Card(A1 Ar1) =r1i=1

    Card(Ai).

    Mais Ar = A \ (A1 Ar1). Donc

    Card(A) = Card(Ar) +r1i=1

    Card(Ai)

    ce qui prouve le rsultat pour r.

    Dfinition 7. Soit E un ensemble fini et soit (e)eE une famille de nombres rels (oucomplexes) Soit : {1, . . . , n} E une bijection. La somme

    ni=1

    (i)

    ne dpend pas du choix de , on la note eE e.Exemple 2. Ainsi Card(E) = eE 1.

    On peut dfinir de mme le produit eE e.Corollaire 4 (Principe des bergers). Soient E un ensemble fini et F un ensemble. Soitf : E F une application, alors f(E) est fini et :

    Card(E) =

    yf(E)Card(f1({y})) .

    Dmonstration : Lapplication g : E f(E) dfinie par g(x) = f(x) pour tout x de Eest surjective. Par consquent, f(E) est fini. Soit m = Card(f(E)). On fixe donc unebijection

    : {1, . . . ,m} f(E).On applique alors la proposition la famille (f1({(i)}))i{1,...,n} de parties de E. Proposition 8. Soient E et F des ensembles finis, alors :

    a) Card(E F ) = Card(E)Card(F ) ;b) Card(EF ) = Card(E)Card(F ) ;c) Card(P(E)) = 2Card(E).

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    Dmonstration : Pour a), on considre lapplication surjective f : E F F quiapplique (x, y) sur y et on applique la proposition prcdente, en notant que pour touty de F , lapplication

    E f1({y})x 7 (x, y)

    est bijective.Pour b), on raisonne par rcurrence sur Card(F ) en considrant pour tout x F

    lapplicationEF EF{x}g 7 g|F{x}.

    Pour c), on vrifie que lapplication de P(E) sur {0, 1}E qui envoie une partie Asur lapplication

    IA : E {0, 1}x 7

    1 si x A,0 sinon.est bijective.

    1.6 RelationsDans ce cours, une relation R tablit une correspondance entre deux lments dun

    mme ensemble. Elle est dfinie par lensemble E sur lequel elle opre, et par songraphe , qui est un sous-ensemble du produit cartsien E E. Le fait quun couple(x, y) appartienne au graphe est not xRy (x est en relation avec y). Considronspar exemple la relation divise sur lensemble E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Son graphe est :

    = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6) } .

    Ses lments sont visualiss par des flches sur la figure 4.Les proprits intressantes que lon attend dune relation sont les suivantes.

    Dfinition 8. On dit quune relation R sur un ensemble E est :1. rflexive si tout lment est reli lui-mme

    x E , xRx ;2. symtrique si x reli y entrane que y est reli x

    x, y E , (xRy) = (yRx) ;3. anti-symtrique si x reli y et y reli x entranent x = y

    x, y E ,(

    (xRy) (yRx))

    = x = y ;

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    2

    3

    45

    6

    1

    Figure 4 Reprsentation graphique de la relation divise sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    4. transitive si quand x est reli y et y z alors x est reli z

    x, y, z E ,(

    (xRy) (yRz))

    = xRz .

    Les relations servent traduire mathmatiquement des comparaisons entre lmentsdun mme ensemble. Ces comparaisons peuvent tre de deux types. x a le mme . . . que y (la mme valeur, la mme image par une fonction. . . ) :cest une relation dquivalence. x est plus . . . que y (plus petit, plus grand, plus tt. . . ) : cest une relationdordre.

    Dfinition 9. Soit R une relation sur un ensemble E.1. On dit que R est une relation dquivalence si elle est la fois rflexive, sym-

    trique et transitive.2. On dit que R est une relation dordre si elle est la fois rflexive, anti-

    symtrique et transitive.

    Voici des exemples de chacun des deux types de relations.Notre premier exemple de relation dquivalence est la congruence des entiers. Soit

    p un entier strictement positif fix. Dfinissons la relation R sur N par :

    m,n N ,(mRn

    )

    (p | (m n)

    )On dit quem et n sont congrus modulo p et on note m n modulo p . Il est facile devrifier que la congruence modulo p est rflexive, symtrique et transitive. Les nombrespairs sont tous congrus 0 modulo 2, les nombres impairs sont congrus 1. Vrifiez survotre agenda, o les jours de lanne sont numrots, que tous les lundis sont congrusentre eux modulo 7.

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    Pour notre deuxime exemple de relation dquivalence, nous allons revenir sur lanotion de cardinal dun ensemble. Soit E un ensemble et P(E) lensemble de ses parties.Dfinissons la relation R sur P(E) qui relie deux parties A et B sil existe une bijectionde A vers B. Cette relation est : rflexive : lapplication identique est une bijection de E vers lui-mme, symtrique : si f est une bijection de A vers B alors lapplication rciproque f1est une bijection de B vers A, transitive : si f est une bijection de A vers B et g est une bijection de B vers C,alors g f est une bijection de A vers C.

    Le cardinal est la proprit commune que possdent deux parties relies par cetterelation dquivalence. Il caractrise leur classe dquivalence.

    Dfinition 10. Soit E un ensemble et R une relation dquivalence sur E. Pour toutlment x de E, la classe dquivalence de x pour R est lensemble, not clR(x) detous les lments de E auxquels x est reli.

    clR(x) = { y E , xRy } .

    Lensemble des classes dquivalence sappelle ensemble quotient de E par R, et il estnot E/R.Thorme 3. Deux classes dquivalence sont gales ou bien disjointes.

    Dmonstration : Soient x et y deux lments de E. Ces deux lments sont relis ouils ne le sont pas : nous distinguons les deux cas.

    1. Si x est reli y.Nous allons dmontrer que les deux classes sont gales. Soit z un lment declR(y). Par dfinition dune classe dquivalence, yRz. Comme xRy et yRz,daprs la transitivit, xRz. Nous venons de montrer que tout lment de clR(y)appartient aussi clR(x). Donc clR(y) clR(x). Comme la relation est sym-trique, y est reli x. Donc ce qui prcde sapplique en permutant x et y. DoncclR(x) clR(y). Comme les deux inclusions sont vraies, les deux classes sontgales.

    2. Si x nest pas reli y.Nous allons dmontrer que lintersection des deux classes est vide. Daprs latransitivit, pour tout z E, limplication suivante est vraie.(

    (xRz) (zRy))

    = (xRy) .

    Donc si xRy est fausse, alors lune des deux relations xRz, zRy est fausse. Doncun lment z de E ne peut pas appartenir la fois clR(x) et clR(y) : leurintersection est vide.

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    Tout lment de E appartient sa propre classe dquivalence car la relation est

    rflexive, et aucune autre daprs le thorme prcdent. On dit que lensemble desclasses dquivalences constitue une partition de E (figure 5).

    Dfinition 11. Soit E un ensemble et P P(E) un ensemble de parties de E. Ondit que P est une partition de E si tout lment de E appartient un et un seul deslments de P .

    Figure 5 Reprsentation graphique dune relation dquivalence. Partition en classesdquivalence.

    Considrons la relation de congruence modulo p sur Z. La classe dquivalence de0 est lensemble des multiples de p, la classe dquivalence de 1 est lensemble de tousles entiers n tels que n 1 est un multiple de p. . . :

    i {0, . . . , p 1} , clR(i) = {i+ np , n N} .

    Lensemble quotient est form de ces p classes dquivalence.Considrons maintenant la relation dquivalence R sur P(N) qui relie deux en-

    sembles dentiers sil existe une bijection de lun vers lautre. La classe dquivalence de{1, . . . , n} contient toutes les parties de N qui ont n lments. Pourm 6= n les classes de{1, . . . ,m} et {1, . . . , n} sont disjointes, car il nexiste pas de bijection entre {1, . . . ,m}et {1, . . . , n}. Lensemble quotient de P(N) par la relation R est en bijection avec N.

    Passons maintenant aux relations dordre. Lordre le plus naturel est celui desnombres entre eux. Observons que < et > ne sont pas rflexives. Par contre 6 et > sont bien des relations dordre. Si deux lments sont relis par unerelation dordre, on dit quils sont comparables. Si tous les lments sont comparablesdeux deux, on dit que lordre est total. Cest le cas pour 6 et > mais pas pourla relation divise sur N, qui est une relation dordre partiel. Si E est un ensemble,linclusion est une relation dordre partiel sur P(E).

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    Voici un autre exemple. Supposons que E soit un alphabet, pour lequel on a choisiun ordre total, not 6 : lalphabet latin dont les lettres sont ranges de A Z ,E = {0, 1} avec 0 6 1, etc. . . Les lments de En sont des n-uplets de lettres, doncdes mots de longueur n. Comment les ranger ? On peut bien sr dfinir une relationdordre coordonne par coordonne :

    (x1, . . . , xn)R(y1, . . . , yn) (

    (x1 6 y1) . . . (xn 6 yn)).

    Cest bien une relation dordre, mais il nest que partiel. On obtient un ordre total endonnant la prcdence la premire coordonne, puis la seconde en cas dgalit surla premire, etc. . .

    (x1, . . . , xn)R(y1, . . . , yn) ((x1 < y1) ((x1 = y1) (x2 < y2)) . . .

    ((x1 = y1) . . . (xn1 = yn1) (xn < yn))((x1 = y1) . . . (xn = yn))

    ).

    Lordre est maintenant total. Compliqu ? Pas tellement : cest lordre dans lequel lesmots sont rangs dans un dictionnaire : on lappelle ordre lexicographique.

    1.7 RaisonnementsIl ne sagit pas de proposer ici une thorie du raisonnement mathmatique. Nous

    allons simplement donner quelques exemples de dmonstrations, pour illustrer troistypes de raisonnements : par contrapose, par labsurde et par rcurrence.Raisonnement par contraposeIl consiste, plutt que de dmontrer limplication A = B, dmontrer sa contrapose(B) = (A). Il est difficile de donner une rgle gnrale dutilisation de ce raison-nement. Un bon conseil avant de se lancer dans la dmonstration dune implication,est dcrire dabord sa contrapose. Avec un peu dexprience, on arrive vite sentirlaquelle des deux est la plus facile dmontrer. Si le rsultat dsir est B, on chercheles consquences de B pour arriver aux bonnes hypothses. Notre premier exempleest un rsultat facile, mais trs utile.

    Proposition 9. Soit x un nombre rel tel que pour tout > 0, x 6 . Alors x 6 0.

    Dmonstration : Nous devons dmontrer limplication :( > 0 , x 6

    )= (x 6 0) .

    Ecrivons sa contrapose :

    (x > 0) =( > 0 ; x >

    ).

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    Si x est strictement positif, alors il existe > 0 tel que x > . Cest vrai : il suffitde choisir = x/2.

    Comme deuxime exemple, nous allons reprendre un des points de la dmonstrationdu thorme 3.

    Proposition 10. Soit R une relation dquivalence sur un ensemble E. Soient x et ydeux lments de E qui ne sont pas relis. Alors lintersection des deux classes dqui-valence de x et y est vide.

    Dmonstration : Limplication que nous devons dmontrer scrit formellement :

    (xRy) = (clR(x) clR(y) = ) .

    Sa contrapose est :(clR(x) clR(y) 6= ) = (xRy) .

    Soit z un lment de clR(x) clR(y) (il y en a au moins un car lintersection est nonvide. Par dfinition des classes dquivalence, x est reli z, et z est reli y. Partransitivit, x est reli y.

    Raisonnement par labsurdeIl consiste dmontrer une assertion en vrifiant que sa ngation conduit une contra-diction avec les hypothses. Dans certains cas il se distingue mal du raisonnement parcontrapose : si A dsigne la conjonction des hypothses et B la conclusion, nier Bet aboutir une contradiction, revient dmontrer A partir de B, ce qui est lacontrapose de A = B.Notre premier exemple est d Euclide.

    Proposition 11. Il existe une infinit de nombres premiers.

    Dmonstration : Supposons quil nen existe quun nombre fini, et soit N le plus granddentre eux. Considrons le nombre P = N ! + 1. Il est strictement suprieur N , doncil nest pas premier, par dfinition de N . Si on effectue la division euclidienne de Ppar un nombre quelconque entre 2 et N , le reste est 1, par dfinition de la factorielle(produit de tous les entiers de 1 N). Donc le nombre P nest divisible par aucunnombre entre 2 et N donc par aucun nombre premier : il est donc premier, do lacontradiction.

    Voici un autre rsultat classique.

    Proposition 12. Le nombre

    2 est irrationnel.

    Dmonstration : Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers ; un nombreirrationnel nest pas rationnel. Nous devons donc dmontrer que

    2 nest pas le quotient

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    de deux entiers. Supposons le contraire : il existe deux entiers p et q tels que

    2 = p/q.Quitte simplifier la fraction, nous pouvons supposer que p et q nont pas de facteurcommun. Multiplions par q et levons au carr :

    2q2 = p2 .

    Le nombre p2 = 2q2 est pair, donc p est galement pair. Mais si p est pair, alors p2 estmultiple de 4. Donc q2 est multiple de 2, donc q est pair. Mais alors 2 est un facteurcommun p et q, ce qui est une contradiction.

    Pour notre troisime exemple, nous revenons encore une fois sur :

    Deux classes dquivalence sont gales ou bien disjointes.

    Comparez la dmonstration qui suit avec celle du thorme 3 et de la proposition 10.Dmonstration : Lassertion A est lhypothse : R est une relation dquivalence.Lassertion B est la conclusion, que lon peut crire de manire formelle comme suit.

    x, y E , (clR(x) = clR(y)) (clR(x) clR(y) = ) .La ngation de B scrit :

    x, y E , (clR(x) 6= clR(y)) (clR(x) clR(y) 6= ) .Soit encore : il existe deux lments x et y tels que les classes clR(x) et clR(y) ne soientni gales ni disjointes. Si cest le cas, il existe un lment z qui est dans lune et pasdans lautre, et un lment t qui est dans les deux. Supposons que z soit dans clR(x),mais pas dans clR(y). Donc xRz, donc zRx, car R est symtrique. Mais aussi xRt ettRy car t appartient aux deux classes de x et y. Donc puisque R est transitive, zRy.Donc z est dans la classe de y, ce qui est une contradiction.

    Raisonnement par rcurrencePour dmontrer quune assertion H(n) dpendant dun entier n est vraie pour toutn N, on dmontre :

    1. H(0) initialisation ,2. n N , H(n) = H(n+ 1) hrdit .

    Lassertion H(n) est lhypothse de rcurrence. Il peut se faire quelle ne soit vraie quepour n > 1 ou n > 2, auquel cas, on la dmontre pour la plus petite valeur pourlaquelle elle est vraie. Voici la dmonstration dune formule connatre :

    Proposition 13. Pour tout entier n > 1, la somme des entiers de 1 n vaut n(n+1)/2.

    Dmonstration : Lhypothse de rcurrence est :

    H(n) :n

    k=1k = n(n+ 1)2 .

    25

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    1. Initialisation. Pour n = 1 :1

    k=1k = 1 = 1(1 + 1)2 .

    2. Hrdit. Soit n un entier quelconque. Supposons que H(n) est vraie. Ecrivons :

    n+1k=1

    k =(

    nk=1

    k

    )+ (n+ 1) .

    En appliquant H(n), on obtient(n

    k=1k

    )+ (n+ 1) = n(n+ 1)2 + (n+ 1) ,

    Le membre de droite scrit

    n(n+ 1)2 + (n+ 1) =

    (n+ 1)(n+ 2)2 ,

    Nous avons donc dmontr que

    n+1k=1

    k = (n+ 1)(n+ 2)2 ,

    cest--dire que H(n+ 1) est vraie.

    On peut tre amen, pour dmontrer H(n + 1) utiliser H(m) pour m {0, . . . , n},ce qui ne change rien au principe de la rcurrence.

    n N ,(

    (m {0, . . . , n} , H(m) ) = H(n+ 1)).

    Pour deviner quelle est la bonne hypothse H(n), on doit souvent essayer plusieursvaleurs successives de n : n = 0, puis n = 1, n = 2,. . . Cest parfaitement inutilepour la dmonstration. Attention, ce nest pas parce quune proprit est vraie pourquelques valeurs de n quelle est vraie pour tout n. Voici deux exemples.

    1. Les nombres 31, 331, 3 331,. . . , 33 333 331 sont tous premiers. Mais 333 333 331 =17 19 607 843 ne lest pas.

    2. Pour toutes les valeurs de n allant de 0 39, le nombre n2 + n+ 41 est premier.Mais le nombre 402 + 40 + 41 = 412 ne lest pas.

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    2 Entranement2.1 Vrai ou fauxVrai-Faux 1. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont faus-ses et pourquoi ?

    1. (2 < 3) (2 | 4).2. (2 < 3) (2 | 5).3. (2 < 3) (2 | 5).4. (2 < 3) ((2 | 5)).5. ((2 < 3)) (2 | 5).6.

    ((2 < 3) (2 | 4)

    ) (3 | 6).

    7. ((2 < 3) (2 | 4)

    ) (3 | 5).

    8. ((2 < 3) (2 | 4)

    ) (3 | 5).

    9. ((2 < 3) (2 | 5)

    )((3 | 6) (3 < 6)

    ).

    10. ((2 < 3) (2 | 5)

    )((3 | 6) (3 > 6)

    ).

    Vrai-Faux 2. Soit n un entier naturel quelconque. Parmi les implications suivantes,lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

    1. (n > 5) = (n > 3).2. (n > 5) = (n > 6).3. (n > 5) = (n 6 6).4. (n < 1) = (2 |n).5. (n < 1) = (n | 2).6. (n < 2) = (n2 = n).7. (n > 0) = (2n > n).8. (n > 0) = (2n > n).9. (n > 0) = ((n+ 1) > n).

    Vrai-Faux 3. Soit n un entier naturel quelconque. Parmi les quivalences suivantes,lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

    1. (n > 5) (n > 4).2. (n > 5) (n > 4).3. ((n > 5) (n | 12)) (n = 6).4. ((n > 6) (n | 12)) (n = 12).5. ((3 |n) (4 |n)) (12 |n).

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    6. ((3 |n) (4 |n)) (n | 12).7. ((n | 3) (n | 4)) (n | 12).

    Vrai-Faux 4. Parmi les assertions suivantes, portant sur un entier naturel n, lesquellessont des conditions suffisantes pour que n soit pair, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

    1. n 6 2.2. (n 6 2) ((n = 1)).3. 12 |n.4. n | 12.5. (n | 12) (n > 3).6. (n | 12) (n | 10).7. (n | 12) (n | 10).8. (n | 16) (n > 1).9. (n | 16) ((n2 = n)).

    Vrai-Faux 5. Soit n un entier quelconque. Parmi les phrases suivantes, lequelles tra-duisent correctement limplication

    (4 |n) = (2 |n) ,lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?

    1. Si 4 divise n alors 2 divise n.2. 2 divise n seulement si 4 divise n.3. Pour que 2 divise n il faut que 4 divise n.4. Pour que 2 divise n il suffit que 4 divise n.5. la condition 2 divise n est ncessaire pour que 4 divise n.6. la condition 4 divise n est ncessaire pour que 2 divise n.7. la condition 4 divise n est suffisante pour que 2 divise n.

    Vrai-Faux 6. Parmi les phrases suivantes, lesquelles traduisent correctement lquiva-lence

    ((3 |n) (4 |n)) (12 |n) ,lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?

    1. Si 3 et 4 divisent n alors 12 divise n et rciproquement.2. Pour que 12 divise n il faut que 3 et 4 divisent n.3. Pour que 12 divise n il faut et il suffit que 3 et 4 divisent n.4. Pour que 12 divise n il est ncessaire et suffisant que 3 et 4 divisent n.5. 12 divise n seulement si 3 et 4 divisent n.

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    6. 12 divise n si et seulement si 3 et 4 divisent n.

    Vrai-Faux 7. Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. Si je ne parle pas alors jemennuie. Je ne mennuie pas. Je peux en dduire que (oui ou non et pourquoi) :

    1. je parle.2. je ne parle pas.3. je ne bois pas.4. je ne mange pas.5. je ne bois pas et je ne mange pas.

    Vrai-Faux 8. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont faus-ses, et pourquoi ?

    1. Si Napolon tait chinois, alors 3 2 = 2.2. Soit Cloptre tait chinoise, soit les grenouilles aboient.3. Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont 4 pattes.4. Si lhomme est un quadrupde, alors il aboie.5. Les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs.6. Paris est en France ou Madrid est en Chine.7. La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines.8. Les poiriers ne donnent pas des melons, et Cloptre ntait pas chinoise.9. Il est faux que si les grenouilles naboient pas alors 3 2 = 7.10. Si les champignons sont des animaux ou le Cid tait espagnol, alors la longueur

    dune circonfrence est le double de son rayon.11. Une condition ncessaire et suffisante pour que dans un jeu de 40 cartes il y

    ait 45 as est que le cuir soit vgtal.

    Vrai-Faux 9. Soient A,B,C trois sous-ensembles dun ensemble E. Lensemble((A B) C) ((A B) cC) est-il (oui ou non et pourquoi) ?

    1. gal E.2. inclus dans A B.3. inclus dans A B.4. inclus dans A C.5. inclus dans A C.6. inclus dans (A C) B.7. inclus dans (A cC) B.8. gal (A B) (B C) (A C).

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    Vrai-Faux 10. Parmi les ensembles dentiers suivants, lesquels sont gaux au singleton{0}, lesquels sont diffrents et pourquoi ?

    1. {n N ; n 6 1 }.2. {n N ; n < 1 }.3. {n N ; (n 6 1) (2 |n) }.4. {n N ; 1 + n > 0 }.5. {n N ; 1 + n = 1 }.6. {n N ; m N , n 6 m }.7. {n N ; m N , n < m }.8. {n N ; m N , n |m }.9. {n N ; m N , m |n }.

    Vrai-Faux 11. Un entier est un nombre premier sil est non nul et divisible seulementpar 1 et par lui-mme. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont gaux lensembledes nombres premiers, lesquels sont diffrents et pourquoi ?

    1. {n N ; (n > 0) ((m |n) = (m = n)) }.2. {n N ; (m |n) = (m {1, n}) }.3. {n N ; (m |n) = (1 6 m 6 n) }.4. {n N ; m N , ((m = 1) (m = n)) ((m |n)) }.5. {n N ; m N , ((m = 1) (m = n)) ((m |n)) }.6. {n N ; m N , (1 < m < n) = ((m |n)) }.7. {n N ; m N , (n > 0) ((1 < m < n) = ((m |n))) }.

    Vrai-Faux 12. Soient E et F deux ensembles et f une application de E vers F . Parmiles affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

    1. Si f est injective alors tout lment de E a plus dune image dans F .2. Si f est injective alors tout lment de F a au plus un antcdent dans E.3. Si f est surjective alors tout lment de F a plus dun antcdent dans F .4. Si f nest pas bijective alors au moins un lment de F na pas dantcdent.5. Si f nest pas injective alors il existe deux lments distincts de E ayant la

    mme image.

    Vrai-Faux 13. Soient E et F deux ensembles finis et f une application de E versF . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses etpourquoi ?

    1. Si Card(E) > Card(F ) alors f est surjective.2. Si Card(E) > Card(F ) alors f nest pas injective.

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    3. Si Card(E) = Card(F ) alors f est bijective.4. Si Card(E) = Card(F ) et si f est surjective, alors f est bijective.5. Si Card(E) 6= Card(F ) alors f est injective ou surjective.6. Si Card(E) = Card(F ) et si f nest pas surjective, alors f nest pas injective.7. Si Card(E) = Card(F ) et si f nest pas injective, alors f nest pas surjective.

    Vrai-Faux 14. Soit E = {0, 1, 2}. Les graphes suivants dfinissent-ils une relation d-quivalence sur E (oui ou non et pourquoi) ?

    1. = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }.2. = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2) }.3. = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 2) }.4. = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) }.5. = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) }.

    Vrai-Faux 15. Soit E = {0, 1, 2}. Les graphes suivants dfinissent-ils une relation dor-dre sur E (oui ou non et pourquoi) ?

    1. = { (0, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 2) }.2. = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2) }.3. = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 2) }.4. = { (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2) }.5. = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2) }.

    Vrai-Faux 16. Soient E un ensemble fini non vide et x un lment fix de E. Lesrelations R dfinies par les assertions suivantes sont-elles des relations dquivalencesur P(E) (oui ou non et pourquoi) ?

    1. A,B P(E) , ARB A = B.2. A,B P(E) , ARB A B.3. A,B P(E) , ARB (A B = ).4. A,B P(E) , ARB

    ((A B = ) (A B 6= )

    ).

    5. A,B P(E) , ARB (x A B).6. A,B P(E) , ARB

    ((x A B) (x cA cB)

    ).

    Vrai-Faux 17. Soient E un ensemble fini contenant au moins deux lments, et x unlment fix de E. Les relations R dfinies par les assertions suivantes sont-elles desrelations dordre sur P(E) (oui ou non et pourquoi) ?

    1. A,B P(E) , ARB A = B.2. A,B P(E) , ARB A B.

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    3. A,B P(E) , ARB (x (A cB)).4. A,B P(E) , ARB (x (A cB)).5. A,B P(E) , ARB

    ((A = B) (x A cB)

    ).

    Vrai-Faux 18. Soit H(n) un nonc dpendant de lentier n. Les assertions suivantesentranent-elles que H(n) est vraie pour tout n N (oui ou non et pourquoi) ?

    1. H(0) (n N , H(n) = H(n+ 1)

    ).

    2. H(1) (n N , H(n) = H(n+ 1)

    ).

    3. H(0) (n N , H(n+ 1) = H(n)

    ).

    4. H(0) (n N , H(n) = H(n+ 2)

    ).

    5. H(0) (n N , H(n) = H(n+ 2)

    )(n N , H(n+ 1) = H(n)

    ).

    6. H(0) (n N , H(n) = H(2n)

    )(n N , H(n+ 1) = H(n)

    ).

    7. (H(0)H(1))(n N , H(n) = H(2n)

    )(n N , H(n+1) = H(n)

    ).

    2.2 ExercicesExercice 1. Soient A,B,C trois assertions. Pour chacune des assertions suivantes :(

    A (B)) (

    A (B))

    (A (B C)

    ) (A (B C)

    )(A = (B)

    ) (A B

    )(

    ((A B)) = C) (

    (A B) (C))

    ((A (B)) = C

    ) (A (B) = (C)

    )1. Ecrire sa ngation.2. Traduire lassertion et sa ngation en langage courant, en remplaant A par je

    mange , B par je bois et C par je fume .

    Exercice 2. Soient A, B et C trois assertions. Dmontrer que les quivalences suivantessont toujours vraies, dabord laide des tables de vrit, ensuite en utilisant les opra-tions entre connecteurs logiques. Traduire chacune des assertions en langage courant,en remplaant A par je mange , B par je bois et C par je fume .

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    1.(A = (B = C)

    )

    ((A B) = C

    ).

    2.(

    (A B) = C)

    ((A = C) (B = C)

    ).

    3.(

    (A B) = C)

    ((A = C) (B = C)

    ).

    4.(A = (B C)

    )

    ((A = B) (A = C)

    ).

    5.(A = (B C)

    )

    ((A = B) (A = C)

    ).

    Exercice 3. On introduit un nouveau connecteur logique, dit barre de Scheffer, not |,dont la table de vrit est la suivante :

    A B A|BF F VF V VV F VV V F

    1. Donner une expression de A|B en utilisant les connecteurs usuels : , , .2. Montrer que tous les connecteurs peuvent tre remplacs par ce seul connecteur,

    en exprimant A, A B, A B et A = B en utilisant seulement la barre deScheffer et, si ncessaire, des parenthses.

    Exercice 4. On considre les quatre assertions suivantes : F : je fume, B : je bois, J : je mange du jambon, M : jai des moustaches.

    Exprimer sous forme symbolique les phrases suivantes :1. Je fume et je bois, mais je nai pas de moustache.2. Quand je fume, je ne bois pas.3. Chaque fois que je mange du jambon, je ne fume pas mais je bois.4. Si je mange du jambon ou si je bois, alors je ne fume pas.5. Il suffit que jaie des moustaches pour que je mange du jambon.6. Il faut que je mange du jambon et que je boive pour que je fume.7. Une condition ncessaire pour que je boive et que je fume est que je mange du

    jambon.8. Je fume et je bois, si et seulement si je mange du jambon ou jai des moustaches.9. De deux choses lune : soit je bois et je mange du jambon, soit si jai une moustache

    alors je ne fume pas.

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    En supposant que les valeurs de vrit respectives de F,B, J,M sont V, V, F, V , trouverles valeurs de vrit des phrases prcdentes.

    Exercice 5. Exprimer sous forme symbolique les raisonnements suivants et vrifierquils sont corrects.

    1. Si je vais Londres, jirai aussi Oxford. Soit je vais Londres, soit je dpensemon argent autre chose. Si je vais Oxford, je verrai John. Si je dpense monargent autre chose, je verrai John. Donc je verrai John.

    2. Si jai de largent ou si je bois du vin alors je chante en me rasant et je suiscontent. Donc je nai pas dargent ou bien je chante en me rasant.

    3. Soit je mange, soit je bois, et si je mange je ne fume pas. Comme je ne bois pas,je ne fume pas.

    4. Si Pierre est mari, alors Jean est mari, et si Jean est mari, alors Louis lestaussi. De plus, soit Jean est clibataire, soit il est mari et Louis est clibataire.Donc Pierre est clibataire.

    5. Si on ne danse pas, je masseois. Si je masseois, je bois et je fume. Si on danseje mamuse. Or je mennuie. Donc je fume.

    6. Si je ne masseois pas, je bois. Si je bois, on danse et de plus je fume. Si jemasseois, je mamuse. Or je mennuie. Donc je fume.

    7. Si je marche, je sue. Si je ne me fatigue pas, je ne sue pas. Or je ne me fatiguepas. Donc je ne marche pas.

    8. Si A dit la vrit, B ment. Si B ment, C ment. Si C ment, D dit la vrit. Dment ou bien E ment. A ne ment pas. Donc E ment.

    Exercice 6. Trois commerants habitent dans 3 maisons situes aux numros 21, 23et 25 de la mme rue. Le boucher habite dans la maison jaune, qui est ct de larouge mais qui nest pas ct de la verte. Lpicier, qui nest pas suisse, habite ctdu Franais. LItalien habite au numro 21 et sa maison nest pas jaune. Quelle est lanationalit du pharmacien, quelle est la couleur de sa maison, et o habite-t-il ?

    Exercice 7. Trois personnes, un policier un berger et un assassin, habitent dans 3maisons situes aux numros 19, 21 et 23 de la mme rue. Le policier habite au numro23 et sa maison nest pas rouge. La maison rouge est ct de la maison bleue mais pas ct de la maison jaune. LItalien habite dans la maison rouge. Le Franais, qui nestpas berger, habite ct de lassassin. Quelle est la couleur de la maison de lassassinet o habite-t-il ?

    Exercice 8. (Pour les courageux). Alice dit que si Bernard est coupable, Charles lest aussi. Bernard dit que Alice est coupable et que Charles ne lest pas. Charles dit quil nest pas coupable mais que au moins lun des deux autres lest.

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    Soit A (respectivement B, C) lassertion Alice (respectivement : Bernard, Charles)est coupable .

    1. Ecrire sous forme logique les affirmations de Alice, Bernard et Charles.2. On sait que chacune des trois personnes ment si et seulement si elle est cou-

    pable. Dduire de la question prcdente trois assertions vraies. Simplifier leurexpression.

    3. Contruire la table de vrit de chacune des trois assertions de la question prc-dente.

    4. Dduire de ces tables de vrit que Alice est innocente, Bernard et Charles sontcoupables.

    Exercice 9. Dfinir les ensembles suivants en extension.1. {n N ; (n > 3) (n 6 7) }.2. {n N ; (2 |n) (n 6 7) }.3. {n N ; (n | 12) (n > 7) }.4. {n N ; ((n | 12)) (n 6 7) }.5. {n N ; (n > 3) ((n | 12) (n 6 7)) }.6. {n N; (n|15)} {l N; (3 < l2) (l2 6 16)}.7. {n N; ((n+ 1)|20) ((n 1)|8)}.

    Exercice 10. Soient A, B et C trois sous-ensembles dun ensemble E. Ecrire en fonctionde A,B,C les ensembles correspondant aux assertions suivantes.

    1. x appartient aux trois.2. x appartient au moins lun dentre eux.3. x appartient deux dentre eux au plus.4. x appartient lun dentre eux exactement.5. x appartient deux dentre eux au moins.6. x appartient lun dentre eux au plus.

    Exercice 11. Soit E un ensemble. Soient A et B deux sous-ensembles de E. On appelle : diffrence de B dans A et on note A \B lensemble A cB, diffrence symtrique de A et B et on note AB lensemble (A \B) (B \ A).1. Ecrire sous forme logique les proprits x A\B et x AB laide des

    proprits x A et x B . Dmontrer les galits ensemblistes suivantes.2. A \ = A = A.3. A \ A = AA = .4. A (BC) = (A B)(A C).

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    5. (AB) (AC) = (A B C) \ (A B C).6. Donner une reprsentation sous forme de diagramme de Venn de tous les en-

    sembles dfinis dans cet exercice.

    Exercice 12. Soient A, B et C trois sous-ensembles dun ensemble E.1. Simplifier lexpression (A B C) (cA B C) cB cC.2. Dmontrer que (A cB) cC = A c(B C) = (A cC) cB.3. Dmontrer que (A B cC) (A C B) (A B) (C = ).

    Exercice 13. (Daprs Lewis Caroll). Parmi les combattants dune grande bataille, aumoins 70% ont perdu un il, au moins 75% une oreille, au moins 80% un bras, etau moins 85% une jambe. Quelle est la proportion minimale des combattants qui ontperdu les 4 ?

    Exercice 14. Un centre de langue propose des cours dAlbanais, de Bantou et de Chi-nois. Sur 93 lves, 54 tudient lAlbanais, 51 le Bantou ou le Chinois, 27 le Chinoismais pas le Bantou, 3 ni lAlbanais ni le Chinois, et 12 tudient les 3 langues.

    1. Combien dlves tudient la fois le Bantou et le Chinois ?2. Combien dlves tudient lAlbanais ou le Bantou mais pas le Chinois ?3. Combien dlves ntudient ni le Bantou ni le Chinois ?4. Combien dlves tudient une seule langue ?5. Combien dlves tudient exactement deux langues ?

    Exercice 15. Pour chacune des assertions suivantes : n N , m N ; (m |n), n N ; m N , (m |n), n N ; m N , (n |m), n N , m N ,

    ((m |n) (n |m)

    ),

    n N , m N ,(

    ((m |n) (n |m)) = (m = n)),

    n N , m N , k N ;(

    (n | k) (m | k)).

    1. Lire haute voix et comprendre.2. Dire si lassertion est vraie ou fausse et le dmontrer.3. Ecrire la ngation, lire haute voix et comprendre.

    Exercice 16. On note N lensemble des entiers naturels, A lensemble des nombres pairs,et B lensemble des nombres premiers. Exprimer sous forme symbolique les phrasessuivantes.

    1. Tout nombre pair est divisible par 2.

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    2. Aucun nombre impair nest divisible par 2.3. Il nexiste pas de nombre premier pair distinct de 2.4. Tout nombre premier distinct de 2 est impair.5. Il existe un nombre pair qui divise tout nombre pair.6. Tout nombre premier divise au moins un nombre pair

    Exercice 17. On note N lensemble des entiers naturels, A lensemble des nombrespairs, et B lensemble des nombres premiers. Ecrire en langage courant et comprendrela signification des expressions logiques suivantes.

    1. n A ; n B.2. n A , m B ; m |n.3. n N , n A =

    ((n / B) (n = 2)

    ).

    4. n A ,(

    (n = 2) ((m, p) AB ; n = mp

    )).

    5. n N ; (m, p) AB , (n 6= m) (n 6= p).6. n N ,

    (m A ; m |n

    )= (n A).

    7. n N , (n A) (m A ; m+ 1 = n

    ).

    Exercice 18. Reprsenter sur un diagramme de Venn les ensembles suivants. Ensemble Q des quadrilatres. Ensemble T des trapzes. Ensemble P des paralllogrammes. Ensemble R des rectangles. Ensemble L des losanges. Ensemble C des carrs.

    Exprimer sous forme logique, puis ensembliste, les phrases suivantes.1. Tout carr est un rectangle.2. Tout rectangle qui est aussi un losange est un carr.3. Il existe des paralllogrammes qui ne sont pas des rectangles.4. Si un losange est un rectangle alors cest un carr.5. Une condition ncessaire pour quun trapze soit un carr est que ce soit un

    rectangle.6. Pour quun trapze soit un rectangle il suffit que ce soit un carr.7. Il existe des quadrilatres qui ne sont ni des rectangles, ni des losanges.8. Il existe des paralllogrammes qui ne sont ni des rectangles, ni des losanges.

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    Exercice 19. Si n est un entier, on note nmodulo 5 le reste de la division euclidiennede n par 5. Les applications suivantes sont dfinies sur {0, 1, 2, 3, 4}, valeurs dans lui-mme. Reprsentez-les sur un diagramme. Sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?Reprsentez le diagramme de f f .

    1. f : n 7 n+ 1 modulo 5.2. f : n 7 n+ 3 modulo 5.3. f : n 7 n+ 10 modulo 5.4. f : n 7 2n modulo 5.5. f : n 7 3n modulo 5.6. f : n 7 10n modulo 5.

    Exercice 20. Si n est un entier, on note nmodulo 6 le reste de la division euclidiennede n par 6. Les applications f suivantes sont dfinies sur {0, 1, 2, 3, 4, 5}, valeursdans lui-mme. Reprsentez-les sur un diagramme. Sont-elles injectives ? surjectives ?bijectives ? Reprsentez le diagramme de f f .

    1. f : n 7 n+ 1 modulo 6.2. f : n 7 n+ 3 modulo 6.3. f : n 7 n+ 10 modulo 6.4. f : n 7 2n modulo 6.5. f : n 7 3n modulo 6.6. f : n 7 10n modulo 6.

    Exercice 21. On considre les applications suivantes, de N vers N. Sont-elles injectives ?surjectives ? bijectives ?

    1. f : n 7 n+ 1.2. f : n 7 2n.3. f : n 7 n2.4. f : n 7

    {n+ 1 si n est pair2n si n est impair.

    5. f : n 7{

    2n si n est pairn 1 si n est impair.

    6. f : n 7{n+ 1 si n est pairn 1 si n est impair.

    7. f : n 7{n/2 si n est pair(n 1)/2 si n est impair.

    Exercice 22. On considre les applications suivantes, de R vers R. Sont-elles injectives ?surjectives ? bijectives ?

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    1. f : x 7 x+ 1.2. f : x 7 2x.3. f : x 7 x2.4. f : x 7 x3.5. f : x 7

    |x|.

    6. f : x 7 x|x| si x 6= 0 , f(0) = 0.7. f : x 7 ex.8. f : x 7 x3 3x.%

    Exercice 23. Soit f lapplication de R dans R dfinie par f(x) = 2x1 + x2 .

    1. f est-elle injective ? surjective ?2. Montrez que f(R) = [1, 1].3. Montrez que la restriction

    g :[1, 1] [1, 1]x f(x)

    est une bijection.

    Exercice 24. On considre lapplication

    f : R2 R2(x, y) 7 (x+ y, xy)

    et lensemble A = {(x, y) R2 |x = 0 et y > 0}.1. Lapplication f est-elle injective ?2. Dterminez f1(A).3. Lapplication f est-elle surjective ?4. On considre maintenant lapplication dfinie sur C,

    g : C2 C2(x, y) 7 (x+ y, xy)

    Montrez que

    g(x, y) = (, ){

    y = xx2 x+ = 0

    Dduisez de cette quivalence la surjectivit de g.

    39

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    Exercice 25. Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

    1. f : R R2

    x 7 (x, 0)

    2. f :R R2

    x 7{

    4 2x2 si x < 1x+ 1 si x > 1

    3. f : R2 R

    (x, y) 7 (x+ y, x y)Exercice 26. Soit E un ensemble, f et g deux applications de E dans E.

    1. On suppose que f g = f f f et que f est injective. Montrer que x E, g(x) = (f f)(x).

    2. On suppose que g f = f f f et que f est surjective. Montrer que x E, g(x) = (f f)(x).

    On suppose maintenant que f est bijective. Dans lun quelconque des cas ci-dessus,montrer que g est bijective et calculer son inverse.

    Exercice 27. Soit E un ensemble et A un sous-ensemble de E. On appelle fonctionindicatrice de A et on note IA lapplication de E vers {0, 1} qui x E associe 1 six A, 0 si x / A. Soient A et B deux sous-ensembles de E. Dmontrer les assertionssuivantes.

    1. x E , IcA(x) = 1 IA(x).2. x E , IAB(x) = min{IA(x), IB(x)} = IA(x) IB(x).3. x E , IAB(x) = max{IA(x), IB(x)} = IA(x) + IB(x) IA(x) IB(x).

    Exercice 28. Soient E et F deux ensembles, f une application de E vers F . Soient Aet A deux sous-ensembles de E. Soient B et B deux sous-ensembles de F . Dmontrerles assertions suivantes.

    1. (A A) = (f(A) f(A)).2. (B B) = (f1(B) f1(B)).3. f(A A) = (f(A) f(A)).4. f1(B B) = (f1(B) f1(B)).5. f(A A) (f(A) f(A)).6. f1(B B) = (f1(B) f1(B)).7. f1(f(A)) A.8. f(f1(B)) B.9. f(A f1(B)) = (f(A) B).10. f(A f1(B)) (f(A) B).

    40

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    Exercice 29. Ecrire chacune des assertions suivantes comme une implication.Ecrire et dmontrer sa contrapose.

    1. Aucun nombre impair nest la somme de deux nombres impairs.2. Tout nombre premier strictement suprieur 2 est impair.3. Soient m et n deux entiers impairs tels que m divise 2n. Alors m divise n.4. Soient m et n deux entiers tels que m divise n. Alors m et n + 1 sont premiers

    entre eux (ils nont aucun diviseur commun autre que 1).5. Si le produit de deux entiers strictement suprieurs 1 est le carr dun entier

    alors chacun des deux est le carr dun entier ou bien ils ont un diviseur communautre que 1.

    Exercice 30. Dmontrer par rcurrence les assertions suivantes.

    1. n N ,n

    k=0(k + 1) = (n+ 1)(n+ 2)/2.

    2. n N ,n

    k=0k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)/6.

    3. n N ,n

    k=0k3 = n2(n+ 1)2/4.

    4. n N , 3|(n3 n).5. n N ,

    nk=0

    2k = 2n+1 1.

    6. n N ,n

    k=0k2k = (n 1)2n+1 + 2.

    7. n N, n 3 ,n

    k=3

    k2 4k

    = (n+ 2)!12n(n 1) .

    8. n N,n

    k=1(n+ k) = 2n

    nk=1

    (2k 1).

    Exercice 31. Soient E un ensemble fini non vide et x un lment fix de E. On considreles relations R dfinies par les assertions suivantes. A,B P(E) , ARB A = B. A,B P(E) , ARB

    ((A B = ) (A B 6= )

    ).

    A,B P(E) , ARB (

    (x A B) (x cA cB)).

    Pour chacune de ces relations.1. Montrer que R est une relation dquivalence sur P(E).2. Dcrire lensemble quotient P(E)/R.

    41

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    Exercice 32. Soit E un ensemble non vide et x un lment fix de E. On dfinit larelation R sur lensemble P(E) des parties de E par :

    A,B P(E) , ARB (

    (x A B) (x cA cB)).

    1. Montrer que R est une relation dquivalence.2. Montrer que la classe dquivalence de est P(E \ {x}) (ensemble des parties du

    complmentaire de {x} dans E).3. Montrer que lensemble quotient P(E)/R a deux lments :

    P(E)/R = {clR(), clR({x}) } .

    4. On dfinit lapplication fx, de P(E) vers P(E), qui un sous-ensemble A associeA {x}. Lapplication f est-elle injective ? surjective ?

    5. Vrifier que limage par fx dun lment de clR() appartient clR({x}).6. Montrer que tout lment de clR({x}) a un antcdent et un seul dans clR().7. En dduire que :

    Card(clR()) = Card(clR({x}))8. Dduire des questions prcdentes que :

    Card(P(E)) = 2Card(P(E \ {x})) .

    9. Dmontrer par rcurrence que le cardinal de lensemble des parties dun ensemble n lments est 2n.

    2.3 QCMDonnez-vous une heure pour rpondre ce questionnaire. Les 10 questions sont

    indpendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposes, parmi lesquelles 2sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vouspensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochesrapporte 2 points.

    Question 1.A

    ((4 < 2) (2 | 4)

    )((4 | 8) (4 < 8)

    ).

    B((4 < 2) (2 | 4)

    )((4 | 8) (8 < 4)

    ).

    C((4 < 2) (2 | 4)

    )((4 | 8) (4 < 8)

    ).

    D((4 < 2) (2 | 4)

    )((4 | 8) (4 < 8)

    ).

    E((8 < 2) (2 | 8)

    )((2 | 4) (4 < 2)

    ).

    Question 2. Soit n un entier naturel quelconque.

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    A (n2 = n) = (n < 2).B (n2 = 16) = (2|n).C (n 6 2) = (2n > n).D (n2 6 n) = (2n > n).E (2|n) = (2 < n).

    Question 3. Soit n un entier quelconque. Limplication (6 |n) = (3 |n), peut setraduire par :

    A Pour que n soit multiple de 3, il faut que n soit multiple de 6.B Pour que n soit multiple de 3, il suffit que n soit multiple de 6.C Lentier n est multiple de 3, seulement sil est multiple de 6.D Une condition ncessaire pour que n soit multiple de 6 est que n soit multiplede 3.

    E Une condition suffisante pour que n soit multiple de 6 est que n soit multiplede 3.

    Question 4. Si je mange, alors je bois. Si je bois, alors je ne parle pas et je suis content.Je ne suis pas content. Vous pouvez en dduire que :

    A je ne mange pas.B je parle.C je ne parle pas et je ne mange pas.D je mange.E je ne bois pas.

    Question 5. Soient A,B,C trois sous-ensembles quelconques dun ensemble E. Len-semble

    ((A cB) cC

    )((cA cC) B) est :

    A inclus dans cC B.B gal E.C disjoint de B.D gal cC (cA B).E inclus dans A B.

    Question 6. L ensemble A est gal au singleton {1}.A A = {n N , (n2 = n) }.B A = {n N , (m > n , n|m) }.C A = {n N , (n|3) }.D A = {n N , (n|2) (n|3) }.E A = {n N , (n|2) (n|3) }.

    Question 7.A n N , m N ; m 6 n.B n N , m N ; m 6 n.

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    C n N , m N ; n 6 m.D n N , m N ; m 6 n.E n N , m N ; n+m+ 1 = 0.

    Question 8. Soit E = {1, 2, 3, 4}. On note f lapplication de E dans E dont le graphe est le suivant.

    = { (1, 2) , (2, 3) , (3, 3) , (4, 1) } .A Lapplication f est surjective.B f({2, 3}) est un singleton.C f1({2, 3}) est un singleton.D Limage rciproque par f de tout singleton est non vide.E 4 na pas dantcdent pour f .

    Question 9. La relation R est une relation dquivalence sur N.A n,m N , nRm n|m.B n,m N , nRm n2 = m2.C n,m N , nRm n2 +m2 = 2nm.D n,m N , nRm n2 m2 = 2nm+ 2n.E n,m N , nRm n2 +m2 = 2nm.

    Question 10. Soit H(n) un nonc dpendant de lentier n. Lassertion entrane queH(n) est vraie pour tout n > 1.

    A H(1) (n > 1 , H(n) = H(n+ 1)

    ).

    B H(1) (n > 1 , H(n) = H(n+ 2)

    ).

    C H(1) (n > 2 , H(n) = H(n+ 1)

    ).

    D H(1) (n > 1 , H(n+ 1) = H(n)

    ).

    E H(1) (n > 1 , H(n) = H(2n)

    )(n > 4 , H(n) = H(n 1)

    ).

    Rponses:1CD2AB3BD4AE5AD6BE7AC8BE9BE10AE

    2.4 DevoirEssayez de bien rdiger vos rponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrig. Si

    vous souhaitez vous valuer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos rponses avecle corrig et comptez un point pour chaque question laquelle vous aurez correctementrpondu.Questions de cours : Soient E et F deux ensembles. Soit f une application de Edans F . Soit A un sous-ensemble de E et B un sous-ensemble de F .

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    1. Dfinir limage f(A) de A et limage rciproque f1(B) de B.2. Dmontrer que A f1(f(A)) et que f(f1(B)) B.3. Quand dit-on que f est injective ? surjective ?4. Dmontrer que si f est injective, alors A = f1(f(A)). Dmontrer que si f est

    surjective, alors B = f(f1(B)).5. Soit E = F = {1, 0, 1} et soit f lapplication de E dans F qui x associex2. Lapplication f est-elle injective ? surjective ? Soit A = {1} et B = {1, 1}.Ecrire en extension les ensembles f1(f(A)) et f(f1(B)).

    Exercice 1 : Soient A, B et C trois assertions.1. Ecrire la table de vrit de lassertion :

    (A B) = (A C) .

    2. Ecrire la table de vrit de lassertion :

    (A B) = (A C) .

    3. Utiliser les tables de vrit des deux questions prcdentes pour dmontrer quelquivalence suivante est toujours vraie.( (

    (A B) = (A C)) (A B) = (A C)

    ))

    (B = C

    ).

    4. En utilisant les assertions A : je suis une fille , B : je fais du sport et C : je garde la forme , exprimer en langage courant lquivalence de la questionprcdente.

    5. Soit E un ensemble, A,B,C trois sous-ensembles de E. Reprsenter dans troisdiagrammes de Venn diffrents les ensembles E,A,B,C, dans les trois cas sui-vants. B C. B 6 C, (A B) (A C), (A B) 6 (A C). B 6 C, (A B) 6 (A C), (A B) (A C).

    6. Dmontrer que lquivalence suivante est toujours vraie.( ((A B) (A C)

    ) (A B) (A C)

    ))

    (B C

    ).

    Exercice 2 :1. Soient A1 et A2 deux assertions. Ecrire laide des symboles ,, lassertion :

    de deux choses lune, soit A1 est vraie, soit A2 est vraie, mais pas les deux .On notera dsormais (A1 Xor A2) cette assertion.

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    2. Dmontrer laide des tables de vrit que limplication suivante est toujoursvraie. (

    A1 Xor A2)(A1

    )= A2 .

    3. On considre les propositions suivantes : B : je bois , C : je conduis , F : je vais voir un film , M : je marche , R : je vais au restaurant . Ecriresous forme symbolique les assertions suivantes.A1 : de deux choses lune, soit je conduis, soit je marche .A2 : de deux choses lune, soit je vais voir un film, soit je vais au restaurant, etdans ce cas je bois .

    A3 : si je conduis, alors je ne bois pas .A4 : je ne marche pas .

    4. On suppose que les assertions A1, A2, A3, A4 sont vraies. Dmontrer que lasser-tion F est vraie. Vous crirez votre raisonnement sous forme symbolique, et enlangage courant.

    Exercice 3 : Soit R la relation dfinie sur lensemble des rels R par :

    x, y R ,(xRy

    )

    (x2 y2 = x y

    ).

    Soit S la relation dfinie sur lensemble des rels R par :

    x, y R ,(xSy

    )

    (x2 y2 6 x y

    ).

    1. Montrer que R est une relation dquivalence.2. Dmontrer que pour tout x R,

    clR(x) = {x, 1 x} .

    3. Dmontrer que la relation S est rflexive, transitive, mais quelle nest ni sym-trique ni anti-symtrique.

    4. Soit I lensemble des rels suprieurs ou gaux 1/2. Soit S la relation dfiniesur I par :

    x, y I ,(xS y

    )

    (x2 y2 6 x y

    ).

    Montrer que S est une relation dordre sur I.5. Dmontrer que :

    x, y I ,(xS y

    )

    (x 6 y

    ).

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    2.5 Corrig du devoirQuestions de cours :1. Limage de A est lensemble des images par f des lments de A.

    f(A) = { f(x) , x A } = { y B , x A , y = f(x) } .

    Limage rciproque de B est lensemble des lments de E dont limage appartient B.

    f1(B) = {x E , f(x) B } .2. Soit x un lment quelconque de A. Posons y = f(x). Alors y f(A) car x A.

    Donc x est un lment de E dont limage par f appartient f(A). Par dfinitionde limage rciproque, x appartient f1(f(A)). Tout lement de A appartient f1(f(A)), donc A f1(f(A)).Soit y un lment quelconque de f(f1(B)). Par dfinition de limage, il existex f1(B) tel que f(x) = y. Puisque x f1(B), limage de x est dans B, doncy B. Tout lement de f(f1(B)) appartient B, donc f1(f(B)) B.

    3. On dit que f est injective si tout lment de F a au plus un antcdent danslensemble de dpart.

    x1, x2 E ,(f(x1) = f(x2)

    )= x1 = x2 .

    On dit que f est surjective si tout lment de lensemble darrive a au moins unantcdent dans lensemble de dpart.

    y F , x E ; f(x) = y .

    4. Nous allons montrer que si f est injective, alors f1(f(A)) A. Soit x un l-ment de f1(f(A)). Par dfinition de limage rciproque, f(x) f(A). Donc ilexiste un lment de A dont limage est gale celle de x. Mais comme f estinjective, cet lment ne peut tre que x lui-mme. Donc x A. Tout lment def1(f(A)) appartient A, donc f1(f(A)) A. Comme daprs la question 2,A f1(f(A)), nous avons bien dmontr que A = f1(f(A)), si f est injective.Nous allons maintenant montrer que si f est surjective, alors B f(f1(B)). Soity un lment de B. Comme f est surjective, il existe x E tel que f(x) = y. Pardfinition de limage rciproque, puisque y B, x f1(B), et donc y = f(x) f(f1(B)). Tout lment de B appartient f(f1(B)), donc B f(f1(B)).Comme daprs la question 2, f(f1(B)) B, nous avons bien dmontr queB = f(f1(B)).

    5. Le graphe de f est :{ (1, 1) , (0, 0) , (1, 1) } .

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    Lapplication f nest pas injective car 1 et 1 ont la mme image. Elle nest passurjective car 1 na pas dantcdent.

    f1(f(A)) = {1, 1} 6= A et f(f1(B)) = {1} 6= B .

    Exercice 1 :1. Notons I lassertion propose.

    I =(

    (A B) = (A C)).

    Voici sa table de vrit.

    A B C A B A C IV V V V V VV V F V V VV F V V V VV F F V V VF V V V V VF V F V F FF F V F V VF F F F F V

    2. Notons J lassertion propose.

    J =(

    (A B) = (A C)).

    Voici sa table de vrit.

    A B C A B A C JV V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F F VF V V F F VF V F F F VF F V F F VF F F F F V

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    3. Voici les tables de vrit des assertions I J et B = C.A B C I J I J B = CV V V V V V VV V F V F F FV F V V V V VV F F V V V VF V V V V V VF V F F V F FF F V V V V VF F F V V V V

    On constate que les tables de vrit des assertions I J et B = C sont lesmmes. Lquivalence entre les deux assertions est donc toujours vraie.

    4. (A B) = (A C) : Si je suis une fille ou je fais du sport, alors je suis unefille ou je garde la forme. (A B) = (A C) : Si je suis une fille et je fais du sport, alors je suis unefille et je garde la forme. B = C : Si je fais du sport, alors je garde la forme.De deux choses lune : soit je ne suis pas une fille, soit jen suis une. Si je nesuis pas une fille (A est faux), la premire implication dit que faire du sport estune condition suffisante pour garder la forme. La seconde implication dit quefaire du sport est une condition suffisante pour garder la forme, aussi pour lesfilles. Affirmer les deux premires implications revient dire que faire du sportest suffisant pour garder la forme, quon soit une fille ou non.

    5. Voir figure 6.

    A

    C

    B

    E EA

    BC

    E

    BC

    A

    Figure 6 Diagrammes de Venn de trois sous-ensembles.

    6. Notons respectivement A, B et C les assertions x A , x B et x C .Les inclusions de lnonc se traduisent comme suit.( (

    (A B) (A C))

    ( (A B

    )=

    (A C

    ) ),

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    ( ((A B) (A C)

    ) )

    ( (A B

    )=

    (A C

    ) ),(

    B C)

    (B = C

    ).

    Lquivalence demande est celle de la question 3.Exercice 2 :

    1.A1 Xor A2 =

    (A1 A2

    )(A1 A2

    ).

    2.

    A1 A2 A1 Xor A2(A1 Xor A2

    ) (A1)

    (A1 Xor A2

    ) (A1) = A2

    V V F F VV F V F VF V V V VF F F F V

    3. A1 : C Xor MA2 : F Xor (R B)A3 : C = (B)A4 : M

    4.

    (C Xor M) (M) = CC = (B)

    (B) =((R B

    )(F Xor (R B)

    )((R B)

    )= F .

    Soit je conduis, soit je marche. Puisque je ne marche pas, je conduis ; donc je nebois pas. Puisque je ne bois pas, je ne suis pas au restaurant en train de boire.Donc je vais voir un film.

    Exercice 3 :1. La relation R est : rflexive :

    x R , x2 x2 = x x , symtrique :

    x, y R ,(x2 y2 = x y

    )=

    (y2 x2 = y x

    ),

    50

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    transitive :x, y, z R ,

    ((x2y2 = xy

    )(y2z2 = yz

    ))=

    (x2z2 = xz

    ).

    Donc cest une relation dquivalence.2.

    x, y R2 , xRy (x2 y2 = x y

    ) (x y)(x+ y 1) = 0

    ((x y = 0) (x+ y 1 = 0)

    )

    ((y = x) (y = 1 x)

    ).

    3. La relation S est : rflexive :

    x R , x2 x2 6 x x , transitive :x, y, z R ,

    ((x2 y2 6 x y

    )(y2 z2 6 y z

    )=

    (x2 z2 6 x z

    ),

    non symtrique :02 22 6 0 2 mais 22 02 > 2 0 ,

    non anti-symtrique :02 12 6 0 1 et 12 02 6 1 0 .

    4. La relation S est rflexive et transitive, comme la relation S (car ce qui est vraisur R reste vrai sur un sous-ensemble de R). Nous devons dmontrer quelle estanti-symtrique. Soit I lensemble des rels suprieurs ou gaux 1/2.

    x, y I ,(xS y

    )(yS x

    )= x2 y2 = x y= (y = x) (y = 1 x) ,

    daprs la question 2. Or si x > 1/2, alors 1 x < 1/2, et si x = 1/2, alors1x = 1/2. Donc si x et y sont la fois lments de I et tels que

    (xS y

    )(yS x

    ),

    alors x = y : la relation S est anti-symtrique.5. Soient x et y deux lments de I. Si x = y = 1/2, on a la fois xS y et x 6 y. Si x

    ou y est strictement suprieur 1/2, alors x+ y 1 est strictement positif. Dansce cas :

    (x2 y2) 6 (x y) (x y)(x+ y 1) 6 0 x y 6 0 x 6 y .

    51

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    3 Complments3.1 La quantification des prdicats

    Voici ce quun lve de Hamilton crivait en 1846, au terme dun expos sur laquantification du prdicat.

    Nous ne pouvons pas finir, sans exprimer la vritable joie que nous ressen-tons (que la force de ce sentiment serve dexcuse notre tmrit) de ce quecette dcouverte a t faite dans notre pays et dans notre temps. Nous nousrjouissons de savoir quil sest lev un homme capable de comprendre etde complter le plan du grand architecte, Aristote, de placer la dernirepierre au monument dont les fondations taient poses depuis deux milleans, par la main puissante du philosophe de Stagire, et qui aprs les effortsde tant de gnrations douvriers. . .

    Sir William Stirling Hamilton (17881856) nest pas le Sir William Rowan Hamiltondes quaternions et du hamiltonien, et il est beaucoup moins clbre. Pour quelquuncens avoir complt le plan du grand architecte , nest-ce pas quelque peu injuste ?Et pour commencer, quelle est cette fameuse dernire pierre au monument ?Voici un nonc, suivi de sa dmonstration par contrapo