Mathématiques - vive-les-maths.netvive-les-maths.net/site/cours/CoursOS.pdf · 2 Le théorème...

Mathématiques

Option Spécifique

Stéphane Perret

Version 3.001

Table des matières

I Première année 1

1 Les principes de base de la logique 31.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Les implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 La réciproque d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Les équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Le contraire d’une expression bien formée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 La contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Trois méthodes pour démontrer des implications . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 La découverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Le théorème fondamental de l’arithmétique et sa preuve 112.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Le théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Existence de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Unicité de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Il y a une infinité de nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Première démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Deuxième démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Les anneaux 173.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 L’anneau des matrices de taille 2 fois 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Les anneaux de congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Les congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Les équations diophantiennes 234.1 Calcul du pgcd, algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Théorème de Bezout, algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 L’algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.3 Lemme de Gauss (généralisation du lemme d’Euclide) . . . . . . . 26

4.3 Les équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Annexe sur la relation entre les droites et les équations diophantiennes . 314.5 Annexe sur l’algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

Lycée cantonal de PorrentruyMathématiques : cours OS

Cours de Mathématiques

5 Systèmes de restes chinois 375.1 Un exemple de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Le ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 Résolution de systèmes de restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Les bases de la cryptographie et le code RSA 416.1 Introduction au principe de cryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Le système de cryptographie RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2.2 Sûreté du système RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2.3 Théorème RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2.4 Méthode de codage et de décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Fractals 457.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Fractalisation dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Les applications affines et les matrices . . . . . . . . . . . . . . . 467.2.2 Addition de transformations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2.3 Composition de transformations linéaires . . . . . . . . . . . . . . 487.2.4 Exemples de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 Création de fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3.1 Description d’une MCRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4 Le jeu du Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.4.1 Une surprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.4.2 Le jeu du chaos et les attracteurs des MCRM . . . . . . . . . . . 55

7.5 Dimension d’ensembles auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.5.1 Dimension des fractals auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Codes correcteurs d’erreurs 618.1 Introduction : Le sport-toto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Codes correcteurs d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2.1 La méthode des spécialistes du radar . . . . . . . . . . . . . . . . 638.3 Le code de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.4 Les codes ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.4.1 Le code ISBN-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4.2 Le code ISBN-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 Les colorations de Pólya 699.1 Groupes de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.3 Les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.4 Les théorèmes de Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

S. Perret page ii Version 3.001

Cours de MathématiquesMathématiques : cours OS

Lycée cantonal de Porrentruy

II Deuxième année 75

10 Nombres complexes 7710.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.2.1 Construction géométrique du nombre imaginaire . . . . . . . . . . 7810.2.2 Les deux façons de décrire un nombre complexe . . . . . . . . . . 8010.2.3 L’addition de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 8110.2.4 La multiplication de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . 8210.2.5 Le conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2.6 La division de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2.7 La formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.2.8 Les racines énièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . 84

10.3 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.1 Le théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.2 Résolution d’équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.3 Résolution d’équations du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . 8510.3.4 Résolution d’équations du troisième degré . . . . . . . . . . . . . 86

10.4 D’autres valeurs exactes de cosinus et de sinus . . . . . . . . . . . . . . . 8810.5 Une projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.6 Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.6.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.6.3 Isométries, similitudes et similitudes rétrogrades . . . . . . . . . . 9110.6.4 Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.6.5 Deux exercices avec leur corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11 L’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia 9711.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.1.1 Suites de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.1.2 Module et inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.1.3 Inégalité triangulaire renversée (ITR) . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.1.4 Boules centrées à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.1.5 Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.1.6 Notation pour les compositions de fonctions . . . . . . . . . . . . 98

11.2 L’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.2.1 Une première propriété de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . 9911.2.2 En route vers les représentations graphiques . . . . . . . . . . . . 10011.2.3 Algorithme en Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2.4 Représentations graphiques de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . 10211.2.5 Une autre propriété de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . 103

11.3 Les ensembles de (Gaston) Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.3.1 Représentations graphiques d’ensembles de Julia . . . . . . . . . . 104

12 Séries et développements de Taylor 10512.1 Les séries arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12.1.1 Le symbole somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.1.2 Séries arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.1.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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Lycée cantonal de PorrentruyMathématiques : cours OS


12.2 Une propriété fondamentale des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . 10612.3 Séries infinies et critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

12.3.1 Séries infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.3.2 La série géométrique infinie et sa convergence . . . . . . . . . . . 10612.3.3 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.3.4 Théorème fondamental sur les convergences de séries . . . . . . . 10712.3.5 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10812.3.6 Critère de la racine (ou de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10912.3.7 Critère du quotient (ou d’Alembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11012.3.8 Critère de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.3.9 Convergence des séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11212.3.10Le théorème de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.4 Séries entières et rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.5 Développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.5.1 Rappel : la tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . 11612.5.2 Théorème de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.5.3 Les séries de Maclaurin des fonctions exp, cos et sin . . . . . . . . 11812.5.4 Une autre façon d’exprimer le reste de Lagrange . . . . . . . . . . 11912.5.5 La série de Maclaurin de ln(x+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11912.5.6 Une dernière subtilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

13 Résolution numérique d’équations 12113.1 Méthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

13.1.1 La méthode de la bissection et son algorithme . . . . . . . . . . . 12213.1.2 Critère d’arrêt de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

13.2 La méthode du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12513.2.1 La méthode du point fixe et son algorithme . . . . . . . . . . . . 12513.2.2 La méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.2.3 Critère d’arrêt pour la méthode du point fixe . . . . . . . . . . . . 129

S. Perret page iv Version 3.001

Cours de MathématiquesMathématiques : cours OS


III Troisième année 131

14 L’intégration numérique 13314.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314.2 Définition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.2.1 Pour être sûr d’avoir l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13614.4 Le théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

14.4.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13814.4.2 Exemples de calcul d’intégrales avec ce théorème . . . . . . . . . . 138

14.5 Le point de vue numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13814.5.1 La méthode des approximations à droite . . . . . . . . . . . . . . 13914.5.2 La méthode des approximations à gauche . . . . . . . . . . . . . . 13914.5.3 La méthode du point médian (ou méthode des rectangles) . . . . 14014.5.4 La méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.5.5 Critères d’arrêts de ces méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.5.6 La méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

14.6 Formules de quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14614.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14614.6.2 Applications aux intégrales à une dimension . . . . . . . . . . . . 14814.6.3 Applications aux intégrales à deux dimensions . . . . . . . . . . . 148

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Première partie

Première année

1

Chapitre 1

Les principes de base de la logique

En mathématique, une expression bien formée ou proposition est une expression qui a dusens et qui peut être vraie ou fausse.

1.1 Le principe de non-contradiction

La logique (et donc les mathématiques) est basée sur le principe de non-contradiction.Ce principe dit qu’une expression bien formée ne peut pas être vraie et fausse à la fois.

1.2 Le principe du tiers exclu

Le principe du tiers exclu stipule que si une expression bien formée n’est pas vraie, alorselle est fausse (ou que si elle n’est pas fausse, alors elle est vraie).

Ce principe est vrai pour la plupart des expressions bien formées, bien qu’il y ait desexpressions qui ne vérifient pas le principe du tiers exclu (voir l’énigme du cyclope ci-dessous). Ces expressions très particulières se prononcent, en général, sur leur proprevaleur de vérité. Dans la suite du cours, on admettra que nos propositions vont satisfairece principe.

L’énigme du cyclope

Vous voilà enfermé dans une caverne en compagnie d’un cyclope qui veut votre mort.Il vous donne néanmoins un choix : soit vous dites une proposition vraie et vous serezbouilli ; soit vous dites une proposition fausse et vous serez roti.

Que dire ?

1.Onpeutdire:«Vousallezmerotir!»(ou«Vousn’allezpasmebouillir!»)

Sicettepropositionétaitvraie,alorsvousfiniriezbouillietainsicettepropositionseraitfausse;ils’agitd’unecontradiction,donccettepropositionnepeutpasêtrevraie.

Sicettepropositionétaitfausse,alorsvousfiniriezrotietainsicettepropositionseraitvraie;ils’agitd’unecontradiction,donccettepropositionnepeutpasêtrefausse.

Cettepropositionn’estdoncnivraie,nifausse.

2.Onpeutaussidire:«Jesuisentraindementir!»

Sicettepropositionétaitvraie,alorsvousseriezentraindedirelavéritéetainsicettepropositionseraitfausse;ils’agitd’unecontradiction,donccettepropositionnepeutpasêtrevraie.

Sicettepropositionétaitfausse,alorsvousseriezentraindementiretainsicettepropositionseraitvraie;ils’agitd’unecontradiction,donccettepropositionnepeutpasêtrefausse.

Cettepropositionn’estdoncnivraie,nifausse.

3.Onpeutaussidire:«Cettephraseestfausse!»

Réponse:ilyaplusieurspropositionspossibles.Voicideuxexemples.

3

Lycée cantonal de PorrentruyMathématiques : première année SAM


1.3 Les implications

Lorsqu’on a deux expressions bien formées P et Q, on écrit

P ⇒ Q

pour dire que l’expression P implique l’expression Q. Dans ce cas, P est l’hypothèse etQ est la conclusion.

Il y a différentes façons de lire P ⇒ Q. On peut dire :

Si P , alors Q Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q est vraie

Q si P La proposition Q est vraie si la proposition P est vraie

P seulement si Q La proposition P est vraie seulement si la proposition Q est vraie

Lorsque l’expression P n’implique pas l’expression Q, on note P 6⇒ Q. C’est le cas lorsqueQ est fausse quand P est vraie.

Remarques importantes

1. En mathématiques, on n’écrit jamais d’expressions bien formées fausses (sauf si ons’est trompé en toute bonne foi).

2. En mathématiques, lorsqu’on dit qu’une proposition (ou implication) est vraie, celasignifie qu’elle est toujours vraie (l’expression «l’exception qui confirme la règle»n’a pas sa place en mathématiques). Ainsi une proposition (ou implication) estfausse lorsqu’elle n’est pas toujours vraie.

Exemples d’implications

1. Jean a gagné au loto ⇒ Jean a joué au loto.

On lit : a) Le fait que Jean a gagné au loto implique le fait qu’il a joué au loto.

b) Si Jean a gagné au loto, alors il a joué au loto.

c) Jean a joué au loto, s’il a gagné.

d) Jean a gagné au loto seulement s’il a joué.

Cette implication est vraie, car on ne peut pas gagner sans jouer.

2. 2x = 6:2=⇒ x = 3.

Cette implication est vraie, car si le double d’un nombre x vaut 6, alors le nombrex est égal à 3 (on divise chaque côté de l’égalité par 2).

3. Si un enseignant vous dit : «Les cancres s’asseyent au fond de la classe», il penseque :

Un élève est un cancre =⇒ Il s’assied au fond de la classe

Non seulement cela ne signifie pas qu’il y a des cancres dans la classe, mais surtoutcela ne signifie en aucun cas que tous les élèves du fond de la classe sont des cancres.Ainsi, l’enseignant n’a pas affirmé que : «Ceux qui s’asseyent au fond de la classesont des cancres». D’ailleurs, même cet enseignant sera d’accord de penser que :

Un élève s’assied au fond de la classe =6=⇒ C’est un cancre

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Cours de MathématiquesMathématiques : première année SAM


1.4 La réciproque d’une implication

La réciproque d’une implication P ⇒ Q est l’implication P ⇐ Q.

Lorsque la réciproque n’est pas vraie, on trace l’implication : P 6⇐ Q.

Exemples Regardons les réciproques des deux premiers exemples précédents.

1. Jean a gagné au loto ⇐6== Jean a joué au loto.

En effet, il y a au moins une personne qui joue au loto et qui ne gagne pas.

2. 2x = 6·2⇐= x = 3.

En effet, si un nombre x vaut 3, alors son double vaut 6 (on multiplie chaque côtéde l’égalité par 2).

Moralité

La valeur de vérité de la réciproque d’une implication est indépendante de celle de l’im-plication.

En effet, la première implication de l’exemple est vraie, alors que sa réciproque est fausse.Tandis que la deuxième implication de l’exemple est vraie et que sa réciproque est vraie.

1.5 Les équivalences

Lorsqu’on a deux expressions bien formées P et Q telles que P ⇒ Q et P ⇐ Q, on écrit :

P ⇐⇒ Q

et on dit que la proposition P est équivalente à la proposition Q.

Lorsque la proposition P n’est pas équivalente à la propostion Q, on note P 6⇔ Q. C’estle cas lorsque P 6⇒ Q ou P 6⇐ Q.

Au lieu de dire que P est équivalent à Q, on peut aussi dire que

P si et seulement si Q

Exemples d’équivalence

1. Georges est le frère de Sophie si et seulement si Sophie est la sœur de Georges.

Il est évident que «Georges est le frère de Sophie» et «Sophie est la sœur de Georges»sont des propositions synonymes.

2. Jean a gagné au loto ⇐6=⇒ Jean a joué au loto.

En effet, l’implication ‘⇐’ est fausse, donc l’équivalence est fausse (malgré le faitque ‘⇒’ est vraie).

3. 2x = 6 ⇐⇒ x = 3.

En effet, les deux implications ‘⇐’ et ‘⇒’ sont vraies.

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1.6 Le contraire d’une expression bien formée

Si P est une proposition, alors sa proposition contraire est notée non P , ¬P ou ∼P .

Par exemple

Si P est la proposition «Il pleut», alors non P est la proposition «Il ne pleut pas» (etnon pas «Il fait beau», car il peut aussi neiger, grêler, etc.).

Remarques

1. Le principe de non-contradiction affirme que P et non P ne peuvent pas être vraiesen même temps. De même, elles ne peuvent pas être fausses en même temps.

2. Le principe du tiers exclu permet d’affirmer que :

P est vraie ⇐⇒ non P est fausseP est fausse ⇐⇒ non P est vraie

On voit l’importance du principe du tiers exclu, car les contraires des phrases del’énigme du cyclope, qui ne sont ni vraies, ni fausses, sont des phrases vraies.

1.7 La contraposée

La contraposée d’une implication P ⇒ Q est l’implication non Q ⇒ non P .

Théorème

La contraposée d’une implication I est une implication qui a la même valeur de véritéque l’implication I.

P ⇒ Q︸︷︷︸implication I

⇐⇒ non Q ⇒ non P︸︷︷︸contraposée de l’implication I

(⋆)

Interprétations

1. Le sens ‘=⇒’ de (⋆) signifie que

Si l’implication P ⇒ Q est vraie, alors sa contraposée non Q ⇒ non P est vraie.

2. Le sens ‘⇐=’ de (⋆) signifie que

Si la contraposée non Q ⇒ non P est vraie, alors l’implication P ⇒ Q est vraie.

3. La contraposée du sens ‘=⇒’ de (⋆) signifie que

Si la contraposée non Q ⇒ non P est fausse, alors l’implication P ⇒ Q est fausse.

4. La contraposée du sens ’⇐=’ de (⋆) signifie que

Si l’implication P ⇒ Q est fausse, alors sa contraposée non Q ⇒ non P est fausse.

Moralité

Quelque soit la valeur de vérité d’une implication, sa contraposée a exactement la mêmevaleur de vérité et inversement.




Exemples

1. La contraposée de l’implication

Jean a gagné au loto =⇒ Jean a joué au loto

estJean n’a pas joué au loto =⇒ Jean n’a pas gagné au loto

Comme la première implication est vraie, le théorème affirme que la deuxièmeimplication est aussi vraie.

2. La contraposée de la proposition

Jean a joué au loto =6=⇒ Jean a gagné au loto

estJean n’a pas gagné au loto =6=⇒ Jean n’a pas joué au loto

Comme la première proposition est vraie (l’implication «Jean a joué au loto ⇒ Jeana gagné au loto» est fausse), le théorème affirme que la deuxième proposition estaussi vraie (l’implication «Jean n’a pas gagné au loto ⇒ Jean n’a pas joué au loto»est fausse).

3. La contraposée de l’équivalence 2x = 6 ⇔ x = 3 est x 6= 3 ⇔ 2x 6= 6.

C’est la raison principale pour laquelle on résout rarement des équations où lesymbole ‘=’ est remplacé par le symbole ‘6=’.

Remarque

Si on contrapose la contraposée d’une implication, on retrouve cette implication.

Preuve du théorème

‘=⇒’ On suppose que P ⇒ Q est vraie. On doit montrer que non Q ⇒ non P est vraie,donc encore supposer que non Q est vraie, afin de montrer que non P est vraie.

On remarque que si P était vraie, alors l’implication P ⇒ Q nous permettraitd’affirmer que Q serait vraie, ce qui est impossible (principe de non contradiction)car Q est fausse (puisque non Q est supposé vraie (principe du tiers exclu)).

Par conséquent, P n’est pas vraie, donc non P est vraie (principe du tiers exclu).

On vient donc de montrer, grâce aux principes de non-contradiction et du tiersexclu, que : (

P ⇒ Q)=⇒

(non Q ⇒ non P

)

‘⇐=’ En refaisant le raisonnement ‘=⇒’ en remplaçant P par non Q et Q par non P ,on a :

(non Q ⇒ non P

)=⇒

(non (non P ) ⇒ non (non Q)

)⇐⇒

(P ⇒ Q

)




1.8 Trois méthodes pour démontrer des implications

Pour montrer que l’implication ci-dessous est vraie

P ⇒ Q

on peut utiliser l’une des trois méthodes ci-dessous.

1. La première est la méthode directe : on suppose que P est vraie et on essaie dedémontrer que Q est aussi vraie.

2. La deuxième façon utilise la contraposée, c’est la preuve par contraposée : on montrel’implication équivalente non Q ⇒ non P de manière directe. C’est-à-dire que l’onsuppose que non Q est vraie et on cherche à démontrer que non P est vraie.

3. La troisième façon de faire, c’est de procéder par l’absurde. Cela consiste à fairecomme si la conclusion Q était fausse et à essayer d’en dégager une contradiction(c’est-à-dire une proposition vraie et fausse en même temps). Par le principe de non-contradiction, cela signifie donc qu’il y a une erreur quelque part et, si la preuveest bien ficelée, que cette erreur ne peut être que le fait que Q est fausse. Ainsi, Qdoit donc être vraie (si Q satisfait le principe du tiers exclu).

Voici un exemple d’une preuve par l’absurde :

Montrons qu’il n’existe pas de nombre réel x tel que x2 = −1.

Par l’absurde, on suppose que la conclusion est fausse, c’est-à-dire qu’ilexiste un nombre réel x tel que x2 = −1. Or, grâce à la règle des signes,on sait que x2 > 0. Ainsi, on a −1 = x2 > 0.

On a une contradiction : −1 > 0.Donc, il n’existe pas de nombre réel x tel que x2 = −1.

1.9 Contre-exemples

Pour montrer que l’implication P ⇒ Q est fausse, il faut un contre-exemple, c’est-à-direun cas particulier pour lequel P est vraie et Q est fausse.

Exemple

On a :x est un nombre pair =6=⇒ x

2est un nombre pair

En effet, x = 2 fournit un contre-exemple, car 2 est un nombre pair et que 22= 1 n’est

pas un nombre pair. Ici, le nombre 2 est un contre-exemple.

Attention

On ne démontre pas une implication à l’aide d’un exemple.

En effet, x est un nombre pair 6⇒ x2

est un nombre pair. Pourtant, si on essaye avecx = 4, alors x

2= 4

2= 2 est bien un nombre pair.




1.10 La découverte des nombres irrationnels

À la fin du VIe siècle, les mathématiciens grecs, membres de l’école pythagoricienne,pensaient que deux grandeurs a et b étaient toujours commensurables, c’est-à-dire qu’ilexistait un nombre réel u (u comme unité) et deux nombres entiers m et n tels quea = mu et b = nu, donc que a

best une fraction (car a

b= mu

nu= m

n).

Ils furent troublés de découvrir qu’ils avaient tort en étudiant un objet pourtant trèssimple, la diagonale du carré de côté 1, qui se trouve aussi être l’hypoténuse du trianglerectangle isocèle dont les cathètes sont de longueur 1.

1

1

√2 car

√2 =

√12 + 12

(par le théorème de Pythagore)

En effet, il se trouve que 1 et√2 sont incommensurables, car

√21

=√2 n’est pas une

fraction. Puisque, pour les grecs, l’existence de tels nombres dépassait la raison, cesnombres furent appelés irrationnels.

Théorème

Le nombre√2 est un nombre irrationnel, c’est-à-dire

√2 6∈ Q.

Preuve

On note 2Z l’ensemble des nombres qui sont des multiples de 2.

1. Ingrédient : Soit n ∈ Z. Si n2 ∈ 2Z, alors n ∈ 2Z.

Il est équivalent de montrer la contraposée : si n 6∈ 2Z, alors n2 6∈ 2Z.

Si n n’est pas un multiple de 2, alors n s’écrit n = 2k + 1 avec k ∈ Z. On a

n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(

∈Z︷︸︸︷2k2 + 2k) + 1

Ainsi, n2 n’est pas un multiple de 2.

2. La preuve par l’absurde.

Par l’absurde, on suppose que√2 ∈ Q. Donc

√2 = a

bavec a, b ∈ Z et b 6= 0.

On peut encore supposer que ab

est irréductible.

On a ainsi : √2 =

a

b=⇒ 2 =

a2

b2=⇒ a2 = 2b2 (⋆)

Ainsi, on constate que a2 ∈ 2Z. Par l’ingrédient, on sait que a ∈ 2Z.

Par conséquent a = 2k avec k ∈ Z. En substituant ce résultat dans l’équation (⋆),on obtient

(2k)2 = 2b2 =⇒ 4k2 = 2b2 =⇒ b2 = 2k2

Ainsi, on constate que b2 ∈ 2Z. Par l’ingrédient, on sait que b ∈ 2Z.

Par conséquent, la fraction est réductible par 2. contradiction avecl’irréductibilité de a

b.

Donc√2 est un nombre irrationnel.


Chapitre 2

Le théorème fondamental de

l’arithmétique et sa preuve

2.1 Les nombres premiers

Lorsqu’on cherche à factoriser des nombres naturels le plus possible, certains nombres sedistinguent. Afin de mettre en évidence ce phénomène, factorisons quelques nombres.

12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 539 = 3 · 13 175 = 5 · 35 = 5 · 5 · 7187 = 11 · 17 67 = 1 · 67

On voit émerger certains nombres qui ne se factorisent pas : ce sont les nombres premiers.

Définition

Un nombre premier est un nombre p dont la seule factorisation possible est p = 1 · p.

Remarques

1. Convention : on déclare que le nombre 1 n’est pas un nombre premier.

2. Voici les 18 premiers éléments de l’ensemble des nombres premiers.

P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, . . .

2.2 Le théorème fondamental de l’arithmétique

Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout nombre naturel n plus grand que 1 se factorise de façon essentiellement unique enproduit de nombres premiers.

2.2.1 Existence de la décomposition

Proposition

Soit n ∈ N, n > 1.Le plus petit diviseur de n différent de 1 est un nombre premier.

11



Preuve

Par l’absurde, supposons que le plus petit diviseur de n différent de 1, noté d, n’est paspremier. Ainsi, n ne pourrait pas être premier non plus (car si n est premier, alors sonplus petit diviseur différent de 1 est lui-même) et le fait que d divise n se traduirait par

n = d ·m avec 1 < d 6 m < n

En effet, d étant le plus petit diviseur de n différent de 1, on a bien d 6 m. De plus,puisque d n’est pas premier, on a

d = a · b avec 1 < a, b < d

Ainsi, on auraitn = a · b ·m avec 1 < a, b < d 6 m

Ce qui montre que a et b seraient des diviseurs de n différents de 1 plus petits que d.C’est une contradiction avec le fait que d est le plus petit diviseur de n différent de 1.

Preuve de l’existence d’une décomposition en nombres premiers

Soit n ∈ N, n > 1.

Si n est premier, alors n est sa propre décomposition en nombres premiers et la preuveest finie.

Par contre, si n n’est pas premier, alors son plus petit diviseur différent de 1, noté p1 estpremier. Ainsi

n = p1 · n1 avec 1 < p1 6 n1 < n

Si n1 est premier, alors la décomposition en nombres premiers de n est

n = p1 · n1

et la preuve est finie.

Par contre, si n1 n’est pas premier, alors son plus petit diviseur différent de 1, noté p2est premier. Ainsi

n1 = p2 · n2 avec 1 < p2 6 n2 < n1

Si n2 est premier, alors la décomposition en nombres premiers de n est

n = p1 · p2 · n2

et la preuve est finie.

Par contre, si n2 n’est pas premier, alors son plus petit diviseur différent de 1, noté p3est premier. Ainsi

n2 = p3 · n3 avec 1 < p3 6 n3 < n2

. . .

On se rend compte que l’on ne peut pas continuer ainsi indéfiniment puisqu’on auraitconstruit une suite décroissante de nombres ni naturels tous plus grands que 1. Cette suitene pourrait pas être infinie, donc il existe forcément un moment où le nk sera premier etdans ce cas, la preuve sera finie.




2.2.2 Unicité de la décomposition

Le lemme d’Euclide

Soit a et b ∈ Z. Si p est un nombre premier qui divise ab, alors p divise a ou b.

Preuve

Cette preuve nécessite l’utilisation du théorème de Bezout (voir page 25). On distingue :

1. p divise a. Dans ce cas, c’est démontré !

2. p ne divise pas a. Dans ce cas, il faut démontrer que p divise b. Comme p est premieret que p ne divise pas a, alors pgcd(p, a) = 1. Par le théorème de Bezout, il existedeux nombres entiers x et y tels que x · p+ y · a = 1.

En multipliant cette équation par b, on obtient :

x · p · b︸︷︷︸divisible par p

+ y · a · b︸︷︷︸divisible par p, car p divise ab

= b

Donc b est divisible par p.

Remarque

Soit p et q deux nombres premiers. Si p divise q, alors p = q.

Preuve

Si p divise q, alors il existe m ∈ N tel que q = p ·m. Comme q est premier et que p 6= 1(car 1 n’est pas premier), on a m = 1 et p = q.

Preuve de l’unicité de la décomposition en nombres premiers

Soit n ∈ N, n > 1.On suppose que n admet deux décompositions

n = p1 · · · pm = q1 · · · qm′ avec m 6 m′ (m,m′ ∈ N \ 0)On va montrer qu’à une permutation près, on retrouve les mêmes nombres premiers etqu’il y en a autant (c’est-à-dire m = m′).

On voit que p1 divise q1 · · · qm′ . Par le lemme d’Euclide, p1 divise un des qi. Sans nuire àla généralité, on peut supposer que p1 divise q1. Par la remarque, on a donc p1 = q1.

En simplifiant par p1 l’équation ci-dessus, on trouve

p2 · · · pm = q2 · · · qm′

Sans nuire à la généralité, on montre comme précédemment que p2 = q2, p3 = q3, etc.Finalement, il va rester

pm = qm · · · qm′

Cela signifie en même temps que pm = qm et que m = m′, car aucun nombre premiern’est égal à 1.

Remarque

Ce sont les “sans nuire à la généralité” qui sont la cause du mot “essentiellement” qui setrouve dans l’énoncé du théorème fondamental de l’arithmétique.




2.3 Il y a une infinité de nombres premiers

Le théorème fondamental de l’arithmétique nous permet de montrer qu’il existe uneinfinité de nombres premiers.

2.3.1 Première démonstration

Cette très belle preuve inventée par Euclide, s’est retrouvée dans un poème de Brian D.Beasley, adapté de Robert Frost.

Stopping By Woods Stopping by Euclid’s Proofon a Snowny Evening of the Infinitude of Primesby Robert Frost by Brian D. Beasley

Whose woods these are I think I know. Whose proof this is I think I know.His house is in the village though ; I can’t improve upon it, though ;He will not see me stopping here You will not see me trying hereTo watch his woods fill up with snow. To offer up a better show.

My little horse must think it queer His demonstration is quite clear :To stop without a farmhouse near For contradiction, take the mereBetween the woods and frozen lake n primes (no more), then multiply ;The darkest evening of the year. Add one to that. . .the end is near.

He gives his harness bells a shake In vain one seeks a prime to tryTo ask if there is some mistake. To split this number — thus, a lie !The only other sound’s the sweep The first assumption was a leap ;Of easy wind and downy flake. Instead, the primes will reach the sky.

The woods are lovely, dark and deep. This proof is lovely, sharp, and deep.But I have promises to keep, But I have promises to keep,And miles to go before I sleep, And tests to grade before I sleep,And miles to go before I sleep. And tests to grade before I sleep.

Démonstration d’Euclide

On suppose par l’absurde qu’il y a un nombre fini de nombres premiers, disons n nombrespremiers. Dans ce cas, l’ensemble P s’écrit

P = p1, p2, p3, . . . , pn

On examine le nombre

N = p1 · p2 · p3 · · · pn + 1

Comme N > 1, il existe, grâce au théorème fondamental de l’arithmétique, un nombrepremier pk (avec k ∈ 1, 2, . . . , n) qui divise N . Or, ce nombre premier divise aussip1 · p2 · p3 · · · pn.

Par conséquent, pk divise 1 car 1 = n− p1 · p2 · p3 · · · pm. Mais le seul nombre naturel quidivise 1 est 1. De ce fait, on a pk = 1. C’est une contradiction (avec le fait que 1 n’estpas un nombre premier).




2.3.2 Deuxième démonstration

Cette démonstration a l’élégance de ne pas être une démonstration par l’absurde.

Notation

On noten! = 1 · 2 · 3 · · · (n− 1) · n

Par exemple, 1! = 1 ; 2! = 1 · 2 = 2 ; 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

Théorème

Il existe une infinité de nombres premiers.

Preuve

Il suffit de démontrer que, pour tout nombre entier n > 3, il existe un nombre premierentre n et n!.

En effet, si c’est le cas, on sait qu’il y a un nombre premier entre 3 et 3!, un autre entre3! et (3!)!, encore un autre entre (3!)! et ((3!)!)!, etc.

Montrons donc cette affirmation :

Dans ce but, on considère le nombre n!− 1. Puisque n > 3, on a n!− 1 > 1.

Par conséquent, ce nombre s’écrit de manière essentiellement unique comme produit denombres premiers (grâce au théorème fondamental de l’arithmétique). On peut doncprendre un nombre premier p qui divise n!− 1.

Montrons par l’absurde que ce nombre premier p satisfait : p > n.

Par l’absurde, on suppose que p 6 n. Dans ce cas p divise n! = 1 · · ·p · · ·n.

Par conséquent, comme p divise n! et n!−1, p divise leur différence qui vaut 1.Or le seul nombre entier positif qui divise 1 est 1 lui-même. Cela voudrait direque p = 1. C’est impossible, car 1 n’est pas premier.

Ainsi p est un nombre premier entre n et n! (en effet, puisque p divise n! − 1, on ap 6 n!− 1 < n! et on vient de montrer que p > n).


Chapitre 3

Les anneaux

3.1 Définitions

Définition

Un anneau 1 est un ensemble A muni de deux opérations internes, notées ⊕ et ⊙. Unanneau est donc un triplet (A,⊕,⊙).

L’opération ⊕ satisfait les propriétés suivantes 2.

1. À chaque paire d’éléments de A, notés a1 et a2, on associe un unique élément del’anneau A, noté a1 ⊕ a2. En d’autres termes, ⊕ est une application bien définie

⊕ : A×A → A; (a1; a2) 7→ a1 ⊕ a2

2. Quelque soit a1, a2 et a3 dans A, on a (a1 ⊕ a2)⊕ a3 = a1 ⊕ (a2 ⊕ a3).

3. Il existe un élément spécial de A, appelé neutre additif et noté 0 tel que

a⊕ 0 = 0⊕ a = a quelque soit a ∈ A

4. Pour chaque a ∈ A, il existe un opposé, noté −a tel que a⊕−a = 0.

5. Pour chaque paire d’éléments de A, notés a1 et a2, on a a1 ⊕ a2 = a2 ⊕ a1.

L’opération ⊙ satisfait les propriétés suivantes 3.

6. Il existe un élément spécial de A, appelé neutre multiplicatif et noté 1 tel que

1⊙ a = a et a⊙ 1 = a quelque soit a ∈ A

7. Quelque soit a1, a2 et a3 dans A, on a (a1 ⊙ a2)⊙ a3 = a1 ⊙ (a2 ⊙ a3).

Il y a encore deux règles de compatibilité entre les opérations ⊕ et ⊙. Il s’agit des règlesde distributivité ou de mise en évidence.

a1 ⊙ (a2 ⊕ a3) = a1 ⊙ a2 ⊕ a1 ⊙ a3

(a2 ⊕ a3)⊙ a1 = a2 ⊙ a1 ⊕ a3 ⊙ a1

1. Dans ce cours, il s’agit en fait d’un anneau unitaire.2. Le couple (A,⊕) est d’un groupe additif commutatif (donnée par le cinquième axiome).3. Ces propriétés sont proches de celles que l’on trouve dans les axiomes d’espaces vectoriels. Elles

font penser à une action de groupe.

17



Définition

Un anneau (A,⊕,⊙) est dit commutatif si la propriété suivante est satisfaite.

Pour chaque paire d’éléments de A, notés a1 et a2, on a a1 ⊙ a2 = a2 ⊙ a1.

Conséquences

Des règles ci-dessus, on peut en déduire les trois règles suivantes

0⊙ a = 0 a⊙ 0 = 0 (−1)⊙ a = −a

La deuxième règle n’est pas superflue si l’anneau n’est pas commutatif. Pour la troisièmerègle, l’élément −1 est l’opposé du neutre multiplicatif, c’est-à-dire −1⊕ 1 = 0.

Preuve

Montrons d’abord que pour chaque élément de l’anneau, il n’y a qu’un opposé possible(les règles disent a priori qu’il y a en au moins un).

Pour cela, supposons que si on prend deux opposés d’un élément a ∈ A, appelés a1 et a2,alors ils sont forcément égaux, c’est-à-dire a1 = a2.

En effet, puisque a1 et a2 sont des opposés de a, par définition, on a

a1 ⊕ a = 0 = a2 ⊕ a

Ainsi, on aa1 ⊕ a = a2 ⊕ a

En faisant −a de chaque côté, on trouve a1 = a2 (on a le droit car l’application ⊕ estbien définie et tout élément de l’anneau possède un opposé).

Déduisons maintenant les trois règles énoncées ci-dessus.

1. Soit a ∈ A, on a

0⊙ a ⊕ a = 0⊙ a ⊕ 1⊙ a = (0⊕ 1)⊙ a = 1⊙ a = a

En faisant −a de chaque côté, on trouve 0⊙a = 0 (on a le droit car l’application ⊕est bien définie et tout vecteur possède un opposé).


a⊙ 0 ⊕ a = a⊙ 0 ⊕ a⊙ 1 = a⊙ (0⊕ 1) = a⊙ 1 = a

En faisant −a de chaque côté, on trouve 0⊙a = 0 (on a le droit car l’application ⊕est bien définie et tout vecteur possède un opposé).


(−1)⊙ a ⊕ a = (−1)⊙ a ⊕ 1⊙ a =((−1)⊕ 1

)⊙ a = 0⊙ a = 0

Donc, par unicité de l’opposé, on a (−1)⊙ a = −a pour tout a ∈ A.




Exemples d’anneaux

1. Les nombres entiers (Z,+, ·), les nombres rationnels (Q,+, ·), les nombres réels(R,+, ·) et les nombres complexes (C,+, ·) sont tous des anneaux commutatifs. Leneutre additif est le 0 et le neutre multiplicatif est le 1.

2. Les fonctions réelles, dont le domaine de définition et le domaine d’arrivée est R,forment un anneau commutatifs pour les opérations + et · conventionnelles. Leneutre additif est la fonction 0 : R → R; x 7→ 0 (c’est la fonction qui vaut 0 quelquesoit la valeur de x) et le neutre multiplicatif est la fonction 1 : R → R; x 7→ 1 (c’estla fonction qui vaut 1 quelque soit la valeur de x).

3. Les fonctions réelles, dont le domaine de définition et le domaine d’arrivée est R,forment un anneau non commutatif pour les opérations + et (composition defonctions) conventionnelles. Le neutre additif est la fonction 0 : R → R; x 7→ 0(c’est la fonction qui vaut 0 quelque soit la valeur de x) et le neutre multiplicatifest la fonction id : R → R; x 7→ x (c’est la fonction qui dont l’image est la mêmeque l’élément de départ).

Les nombres naturels ne forment pas un anneau

En effet, dans N muni de l’addition et de la multiplication usuelles, aucun nombre nonnul n’admet d’opposé (dans N). Ce qui contredit la propriété 4.

Définitions

Soit (A,⊕,⊙) un anneau.

1. Un élément a de A est dit inversible s’il existe b dans A tel que a⊙b = 1 et b⊙a = 1.Dans ce cas, on dit que b est l’inverse de a et on note b = a−1.

2. On note A× l’ensemble des éléments inversibles de A.

3. On dit que A est un anneau intègre si pour tout élément a, b dans A, on a

a⊙ b = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0

Définition

Un corps est un anneau A tel que A× = A \ 0. C’est-à-dire lorsque tout élément nonnul est inversible.

Théorème

Tout anneau A fini et intègre est un corps.

Preuve

On doit montrer que tout élément non nul de l’anneau est inversible. Soit a ∈ A tel quea 6= 0. Disons que A possède exactement n éléments différents (c’est possible puisque Aest supposé fini). Ainsi

A = a1, . . . , anRegardons l’ensemble

B = a⊙ a1, . . . , a⊙ anCet ensemble a n éléments distincts (en exercice). Ainsi A = B et par conséquent, il existeai ∈ A tel que a⊙ai = 1. Cela signifie que a est inversible, ce qu’on voulait montrer.




3.2 L’anneau des matrices de taille 2 fois 2

Considérons un nouvel objet mathématique appelé matrice. Pour simplifier, on ne vaétudier que les matrices à coefficients réels de taille 2 fois 2. Voici l’ensemble de tellesmatrices.

M2(R) =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

): ai,j ∈ R

On définit l’addition de deux matrices de la manière suivante.(

a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)+

(b1,1 b1,2b2,1 b2,2

)=

(a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2

)

On définit la multiplication de deux matrices de la manière suivante. Elle est effectuéeligne par colonne.

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)·(

b1,1 b1,2b2,1 b2,2

)=

(a1,1b1,1 + a1,2b2,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2a2,1b1,1 + a2,2b2,1 a2,1b1,2 + a2,2b2,2

)

Les matrices sont très importantes en mathématiques et sont utilisées dans beaucoup desujets de mathématiques appliquées (le moteur de recherche de Google, la programmationlinéaire, les stratégies de jeux (en tandem avec la théorie des probabilités), les modèleséconomiques, l’imagerie par ordinateur, les modèles de populations animales, . . . ).

3.3 Les anneaux de congruences

3.3.1 Division euclidienne

On considère deux entiers a, b de l’anneau des nombres entiers (Z,+, ·). Si b n’est pas nul,on peut effectuer une division euclidienne de a par b. Cela permet d’obtenir un quotient qet un reste r tels que :

a = b · q + r

Afin d’avoir l’unicité pour le quotient et pour le reste, on va toujours choisir le plus petitreste positif possible ! Cela signifie que l’on impose r > 0 et r < |b|.

Exemple

Si on veut distribuer 20 pièces de 5 centimes à 7 personnes, on va donner 2 pièces àchacune et il en restera 6. La division euclidienne de 20 par 7 livre donc un quotient de 2et un reste de 6.

20 = 7 · 2 + 6

3.3.2 Les congruences

Soit a et b deux nombres entiers et m un nombre naturel positif. Si la division euclidiennede a par m donne le même reste que celle de b par m, on dit que a est congru à b modulom et on note

a ≡ b (mod m)

Exemple. L’exemple ci-dessus montre que 20 ≡ 6 (mod 7).




Proposition

On a l’équivalence : a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a− b est divisible par mAutrement dit : a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a− b ≡ 0 (mod m)

Preuve

On effectue la division euclidienne de a par m et celle de b par m. On obtient :

a = mqa + ra avec 0 6 ra < m et b = mqb + rb avec 0 6 rb < m

Ainsi, on a a− b = m(qa − qb) + ra − rb (♠) avec −m < ra − rb < m (♣).

Remarquons que ra − rb n’est pas forcément le reste de la division euclidienne de a − bpar m. En effet, on n’a pas forcément 0 6 ra − rb < m, puisque ra − rb peut être négatif.

Ainsi, on a : a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a et b ont les mêmes restes de division par m

⇐⇒ ra = rb ⇐⇒ ra − rb = 0(♣)⇐⇒ ra − rb est divisible par m

(♠)⇐⇒ a− b est divisible par m

Proposition

Si a ≡ α (mod m) et b ≡ β (mod m). Alors :

a) a+ b ≡ α + β (mod m) b) a · b ≡ α · β (mod m)

Preuve

Par la proposition précédente, on sait que a− α et b− β sont divisibles par m. Ainsi, ilexiste ka et kb dans Z tels que :

a− α = kam et b− β = kbm

a) Il faut s’assurer que a + b− (α + β) soit divisible par m. C’est bien le cas car :

a+ b− (α + β) = a− α + b− β = kam+ kbm = (ka + kb)m

b) Il faut s’assurer que a · b− (α · β) soit divisible par m. Ici c’est un peu plus subtil.On a

a = kam+ α et b = kbm+ β

Doncab = (kam+ α) · (kbm+ β) = kakbm

2 + αkbm+ βkam+ αβ

Ce qui est équivalent à dire que ab− αβ est bien divisible par m, car

ab− αβ = (kakbm+ αkb + βka)m

Remarque

On vient de montrer que l’on peut utiliser l’addition et la multiplication des nombres en-tiers dans le contexte des congruences. Cela permet de simplifier les calculs. Par exemple,on a :

49 ≡ 5 (mod 11)118 ≡ 8 (mod 11)

=⇒

49 + 118 ≡ 5 + 8 ≡ 13 (mod 11)49 · 118 ≡ 5 · 8 ≡ 40 (mod 11)

Et ceci sans avoir eu à calculer les valeurs de 49 + 118 et de 49 · 118 dans Z.




Principe

Lorsqu’on calcule des congruences, on s’arrange toujours pour inscrire le plus petit nombrepositif ou nul possible. Par exemples :

c) 125 ≡ 0 (mod 5) d) 591 ≡ 0 (mod 3) e) 50 ≡ 2 (mod 4)

f) 53 ≡ 4 (mod 7) g) −20 ≡ 1 (mod 3) h) −44 ≡ 6 (mod 10)

Définition

Pour chaque m ∈ N, on définit :

Zm = 0, 1, 2, . . . , m− 1En suivant le principe ci-dessus, l’addition et la multiplication de Z permet de mettreune structure d’anneau sur cet ensemble.

L’anneau (Zm,+, ·) est appelé l’anneau des restes de division modulo m. Lorsqu’on calculedans un tel anneau, on utilise le symbole ≡ au lieu de =.

Utilités de tels anneaux

Ces anneaux apparaissent naturellement :

1. Les heures sont comptées modulo 24.

2. Les jours sont comptés modulo 7.

3. Les noms des notes naturelles (do, ré, mi, fa, sol, la, si) obéissent à une règle decalcul modulo 7.

Vision géométrique

Alors que les nombres entiers sont placés sur la droite réelle.

R−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Les congruences modulo m sont représentés sur un cercle. Voici par exemple une repré-sentation de Z7 et de Z12.

Z7

0dimanche

do

1lundiré

2

mardim

i

3 mercredi fa

4

jeudi

sol

5ve

ndre

dila

6samed

isi

Z12

01

23

4

56

7

89

10

11

Remarque

On peut démontrer que : Zm est un anneau intègre ⇐⇒ m est un nombre premier


Chapitre 4

Les équations diophantiennes

Les nombres réels sont très utiles, mais parfois on préfère résoudre des problèmes quinécessitent des solutions à valeurs entières. Voici deux problèmes nécessitant l’utilisationd’outils spécifiquement élaborés pour résoudre des problèmes sur les entiers.

1. Un cinéma vend deux sortes de tickets : ceux à 12 CHF et ceux à 17 CHF.

Un soir, la caissière constate qu’elle a encaissé 285 CHF, mais elle ne se souvientpas du nombre de billets de chaque sorte qu’elle a vendus.

Est-il possible de le lui dire ? Et si le ticket le plus cher valait 18 CHF ?

2. On dispose de deux sabliers : un à 4 minutes, l’autre à 7 minutes. Comment fairepour déterminer un temps de 9 minutes ?

4.1 Calcul du pgcd, algorithme d’Euclide

Définition

Soit a et b deux nombres entiers.

On définit le plus grand commun diviseur de a et b, noté pgcd(a, b), comme étant le plusgrand nombre positif qui divise à la fois a et b.

Exemples

1. On a pgcd(12, 14) = 2.

En effet, l’ensemble des diviseurs de 12 est D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 et l’ensemble desdiviseurs de 14 est D14 = 1, 2, 7, 14. L’ensemble des diviseurs commun à 12 et à14 est donc D12 ∩D14 = 1, 2. Ainsi, le plus grand commun diviseur est 2.

2. On a aussi pgcd(2, 3) = 1.

3. Ou encore pgcd(7,−21) = 7.

4. On a pgcd(0, b) = b si b 6= 0, car 0 est divisible par tout nombre. On utilise laconvention pgcd(0, 0) = 0 pour respecter la règle précédente (voir aussi le théorèmede Bezout en page 25).

Définition. Deux nombres a et b tels que pgcd(a, b) = 1 sont dit premiers entre-eux.

23



Résultat

Soit a et b deux nombres entiers avec b 6= 0. En effectuant la division euclidienne de apar b, on obtient un quotient q et un reste r tels que a = qb+ r (et 0 6 r < |b|). Alors

pgcd(a, b) = pgcd(b, r)

Preuve

1. pgcd(b, r) 6 pgcd(a, b).

Pour montrer cela, il suffit de montrer que pgcd(b, r) divise a et b. Ainsi, il sera bienplus petit ou égal au plus grand commun diviseur de a et de b, noté pgcd(a, b).

Or, il est évident que pgcd(b, r) divise b et r (par définition). Ainsi il divise aussiqb et r, donc pgcd(b, r) divise a = qb+ r.

2. pgcd(a, b) 6 pgcd(b, r).

Pour montrer cela, il suffit de montrer que pgcd(a, b) divise b et r. Ainsi, il sera bienplus petit ou égal au plus grand commun diviseur de b et de r, noté pgcd(b, r).

Or, il est évident que pgcd(a, b) divise a et b (par définition). Ainsi il divise aussi aet qb, donc pgcd(a, b) divise r = a− qb.

On a ainsi montré que pgcd(b, r) 6 pgcd(a, b) 6 pgcd(b, r). Il est donc évident quepgcd(a, b) = pgcd(b, r).

4.1.1 L’algorithme d’Euclide

Soit a et b deux nombres entiers non nuls. Grâce au résultat précédent, on peut eneffectuant des divisions euclidiennes successives calculer pgcd(a, b).

comme b 6= 0, a = bq1 + r1, pgcd(a, b) = pgcd(b, r1), 0 6 r1 < |b|si r1 6= 0, b = r1q2 + r2, pgcd(b, r1) = pgcd(r1, r2), 0 6 r2 < r1

si r2 6= 0, r1 = r2q3 + r3, pgcd(r1, r2) = pgcd(r2, r3), 0 6 r3 < r2

· · ·si rn−1 6= 0, rn−2 = rn−1qn + rn, pgcd(rn−2, rn−1) = pgcd(rn−1, rn), 0 = rn < rn−1

si rn = 0, pgcd(rn−1, rn) = pgcd(rn−1, 0) = rn−1

On a ainsi construit une suite d’égalité

pgcd(a, b) = pgcd(b, r1) = pgcd(r1, r2) = · · · = pgcd(rn−2, rn−1) = pgcd(rn−1, rn) = rn−1

où le premier reste nul est rn. Dans ce cas pgcd(a, b) est égal au dernier reste non nul.Comme les restes forment une suite de nombres naturels strictement décroissante, il estcertain qu’il y aura un premier reste nul (noté ici rn).




Voici l’algorithme d’Euclide en JavaScript et en Python respectivement.

function euclide(a,b)

while ( b != 0 )

reste = a % b

a = b

b = reste

return a

def euclide(a,b) :

while ( b != 0 ) :

reste = a % b

a = b

b = reste

return a

4.2 Théorème de Bezout, algorithme d’Euclide étendu

4.2.1 Théorème de Bezout


Alors, il existe deux nombres entiers x et y tels que ax+ by = pgcd(a, b).

Preuve

L’algorithme d’Euclide étendu décrit ci-dessous permet de trouver les entiers x et y.

4.2.2 L’algorithme d’Euclide étendu

Cet algorithme consiste à compléter l’algorithme d’Euclide.

Algorithme (la preuve est en annexe en page 32)

Il s’agit d’un tableau à quatre colonnes : la première colonne correspond à l’algorithmed’Euclide ; la dernière colonne est celle des quotients. Dans les deux colonnes au milieu,on place (de gauche à droite et de haut en bas) les nombres 1, 0, 0, 1. On peut choisirde remplir le tableau colonne par colonne en commençant par la première et la dernièrecolonne, on peut aussi remplir le tableau ligne par ligne. Les trois premières colonnes seconstruisent de manière similaire : on calcule le nombre suivant (en gris clair) à l’aidedes deux nombres qui se trouvent juste en dessus et le quotient (en gris), comme montréci-dessous. L’algorithme est terminé lorsqu’on a rempli la ligne du reste nul, notée (♦).

a ba 1 0 quotientsb 0 1 q1

r1 = a− bq1 1− 0q1 0− 1q1 q2· · · · · · · · · · · ·ri−1 si ti qiri ui vi qi+1

ri+1 = ri−1 − riqi+1 si − uiqi+1 ti − viqi+1 qi+2

· · · · · · · · · · · ·(♥) rn−1 = pgcd(a, b) sn tn qn(♦) rn = 0 un vn

On trouve à la ligne (♥) la combinaison de Bezout et un bonus à la ligne (♦).

(♥) : a · sn + b · tn = pgcd(a, b) et (♦) : a · un + b · tn = 0




Exemple

On cherche la combinaison de Bezout pour a = 28 et b = 6.

28 628 1 0 quotients6 0 1 44 1 −4 1

(♥) pgcd(28, 6) = 2 −1 5 2(♦) 0 3 −14

Ainsi, on a : Bezout (♥) : 28 · (−1) + 6 · 5 = 2

(♦) : 28 · 3 + 6 · (−14) = 0

Remarque

À chaque ligne, on retrouve le terme de gauche en écrivant la combinaison avec les deuxtermes du milieu.

a ba 1 0 quotientsb 0 1

· · · · · · · · ·r s t

· · · · · · · · ·

Autrement dit, quelque soit la ligne, on a :

r = a · s+ b · t

Cette propriété, démontrée en page 34, permet de repérer les éventuelles erreurs de calcul.

4.2.3 Lemme de Gauss (généralisation du lemme d’Euclide)


Si c est un nombre tel que pgcd(c, a) = 1 et tel que c divise ab, alors c divise b.

Preuve

Par le théorème de Bezout, il existe deux nombres entiers x et y tels que

c · x+ a · y = 1

En multipliant cette équation par b, on obtient :

c · x · b︸︷︷︸divisible par c

+ a · y · b︸︷︷︸divisible par c, car c divise ab

= b

Donc b est divisible par c.




4.3 Les équations diophantiennes

Définition

Soit a, b et c trois nombres entiers. L’équation ax+by = c est une équation diophantiennesi les solutions cherchées x et y sont des nombres entiers.

Résultat d’existence d’une solution

Soit a et b deux nombres entiers. On a l’équivalence :

ax+ by = c admet (au moins) une solution entière ⇐⇒ pgcd(a, b) divise c

Preuve constructive

“⇒” Il est évident que pgcd(a, b) divise ax et by, donc pgcd(a, b) divise leur somme quivaut c (car x et y sont solutions entières de l’équation ax+ by = c).

“⇐” Par le théorème de Bezout, il existe deux nombres entiers m et n tels que :

am+ bn = pgcd(a, b)

Ces deux nombres entiers m et n se trouvent grâce à l’algorithme d’Euclide étendu !

Par hypothèse, il existe k ∈ Z tel que pgcd(a, b)k = c (⇔ k = cpgcd(a,b)

). Ainsi enmultipliant l’équation ci-dessus par k, on obtient :

a(mk) + b(nk) = pgcd(a, b)k = c

De ce fait, le couple (x; y) = (mk;nk) est une solution de ax+ by = c.

Remarque importante

Avant de résoudre une équation diophantienne, on vérifie toujours si elle admet unesolution en utilisant ce résultat d’existence. En effet, si l’équation n’admet pas de solution,alors le problème est clos. Alors que si elle possède une solution, il va falloir travaillerpour toutes les trouver !

Recherche d’une solution particulière d’une équation diophantienne

Dans le cas où l’existence d’une solution est vérifiée, on peut commencer à chercher lessolutions de l’équation diophantienne.

La méthode de recherche d’une solution particulière se trouve dans la preuve constructivedu résultat d’existence d’une solution à l’équation diophantienne.

1. Grâce à l’algorithme d’Euclide étendu, on trouve une solution particulière (m;n)de l’équation ax+ by = pgcd(a, b).

2. Pour trouver une solution particulière (x0; y0) de l’équation ax+by = c, on multipliem et n par c

pgcd(a,b). Ainsi

(x0; y0) =(m · c

pgcd(a,b);n · c

pgcd(a,b)

)




Théorème de résolution d’une équation diophantienne

Soit l’équation diophantienne (ED) : ax + by = c et (x0; y0) une solution particulière.Soit aussi l’équation homogène associée (EH) : ax+ by = 0. On a

1. Si (xh; yh) est une solution de (EH), alors (xh+x0; yh+y0) est une solution de (ED).

2. Si (x; y) est une solution de (ED), alors (x− x0; y − y0) est une solution de (EH).

Autrement dit, à travers la solution particulière (x0; y0), à chaque solution de (ED)correspond une unique solution de (EH) et réciproquement.

Preuve

On suppose qu’on connaît une solution particulière (x0; y0) de l’équation (ED).On doit montrer :

1. Si (xh; yh) est une solution de (EH), alors (x; y) = (xh+x0; yh+y0) est une solutionde (ED).

Il suffit de vérifier (ED) pour (x; y).

ax+ by = a(xh + x0) + b(yh + y0) = axh + byh︸︷︷︸= 0 car (xh; yh) est solution de (EH)

+

= c car (x0; y0) est solution de (ED)︷︸︸︷ax0 + by0 = c

Ainsi, (x; y) est bien une solution de l’équation diophantienne (ED).

2. Si (x; y) est une solution de (ED), alors (xh; yh) = (x− x0; y− y0) est une solutionde (EH).

Il suffit de vérifier (EH) pour (xh; yh).

axh + byh = a(x− x0) + b(y − y0) = ax+ by︸︷︷︸= c car (x; y) est solution de (ED)

−(

= c car (x0; y0) est solution de (ED)︷︸︸︷ax0 + by0

)= 0

Ainsi, (xh; yh) est bien une solution de l’équation homogène (EH).

Solution générale de l’équation diophantienne

Lorsque pgcd(a, b) divise c, les solutions de l’équation diophantienne ax+ by = c sont

x = x0 − b

pgcd(a, b)k

y = y0 +a

pgcd(a, b)k

, k ∈ Z

Solution particulière

(voir page précédente)

Solution générale de l’équation homogène

(voir preuve page suivante)

Slogans

1. À chaque solution correspond un unique k (le même pour les deux équations).

2. À chaque nombre entier k correspond une unique solution.




Preuve

Le théorème de résolution permet d’énoncer la solution générale de l’équation diophan-tienne dès qu’on connaît une solution particulière et la solution générale de l’équationhomogène. Ci-dessous, on démontre que la solution générale de l’équation homogèneax+ by = 0 est bien celle précitée.

1. D’abord, on montre que les solutions entières de ax+ by = 0 s’écrivent comme

x = − b

pgcd(a, b)k et y =

a

pgcd(a, b)k avec k ∈ Z

Pour cela, on distingue :

(a) Si a 6= 0 et pgcd(a, b) = 1.

Dans ce cas, on a −ax = by, ainsi a divise by, mais comme pgcd(a, b) = 1, parle lemme de Gauss, on sait que a divise y (ou que y est un multiple de a).

Par conséquent, y = ak avec k ∈ Z et ainsi :

ax+ by = 0y = ak

subst.⇐⇒

ax+ bak = 0y = ak

⇐⇒

a(x+ bk) = 0y = ak

a6=0⇐⇒

x+ bk = 0y = ak

⇐⇒

x = −bky = ak

On a donc les solutions désirées, puisque dans ce cas, on a pgcd(a, b) = 1.

(b) Si a 6= 0 et pgcd(a, b) 6= 1.

On se ramène au cas précédent en divisant l’équation ax+by = 0 par pgcd(a, b).

ax+ by = 0:pgcd(a,b)⇐⇒ a

pgcd(a, b)x+

b

pgcd(a, b)y = 0

On se trouve bien dans le cas précédent car pgcd(

apgcd(a,b)

, bpgcd(a,b)

)= 1. Donc,

il existe k ∈ Z, tel que

x = − b

pgcd(a, b)k et y =

a


(c) Dans le cas où a = 0, c’est b qui est non nul, et on effectue les raisonnementssymétriques (en échangeant les rôles de a et b).

2. Il faut encore montrer que les valeurs

x = − b

pgcd(a, b)k et y =

a


sont solutions de ax+ by = 0 et ceci quelque soit la valeur de k ∈ Z.

C’est bien le cas, car

a ·(− b

pgcd(a, b)k

)+ b ·

(a

pgcd(a, b)k

)= − abk

pgcd(a, b)+

abk

pgcd(a, b)= 0




Remarques

1. Puisque pgcd(

apgcd(a,b)

, bpgcd(a,b)

)= 1, le pgcd des solutions de l’équation homogène

est la valeur absolue de k.

Par conséquent, si on a des solutions dont le pgcd vaut 1, alors ces solutions sontx = − b

pgcd(a,b)et y = a

pgcd(a,b), ou x = b

pgcd(a,b)et y = − a

pgcd(a,b)(k = ±1).

2. Les deux dernières lignes de l’algorithme d’Euclide étendu sont très importantes.

a ba 1 0 quotientsb 0 1 q1· · · · · · · · · · · ·

(♥) pgcd(a, b) m n qn(♦) 0 ± b

pgcd(a,b)∓ a

pgcd(a,b)

À la ligne (♥), on trouve une solution (m;n) de l’équation ax + by = pgcd(a, b).Ainsi (x0; y0) = (m · c

pgcd(a,b);n · c

pgcd(a,b)) est une solution particulière de l’équation

diophantienne ax+ by = c.

À la ligne (♦), on trouve (au signe près) les coefficients de k de la solution généralede l’équation homogène ax+ by = 0. Pour démontrer que c’est bien le cas, il suffitde combiner la remarque précédente avec la conséquence du bas de la page 35.

Exemple

On désire résoudre l’équation diophantienne 34x+ 16y = 14.

1. On commence par vérifier si l’équation admet au moins une solution.

C’est bien le cas car pgcd(34, 16) = 2 divise 14.

2. Pour trouver la solution générale, on va calculer les lignes (♥) et (♦) de l’algorithmed’Euclide étendu.

34 1634 1 0 quotients16 0 1 2

(♥) 2 1 −2 8(♦) 0 −8 17

Ainsi (1;−2) est une solution particulière de l’équation 34x + 16y = pgcd(34, 16),puisque la ligne (♥) dit que 34 · 1 + 16 · (−2) = 2.

Donc (7;−14) est une solution particulière de 34x+16y = 14. En effet, on la trouveen multipliant par 7 = 14

pgcd(34,16)la solution de l’équation 34x+16y = pgcd(34, 16).

En utilisant la ligne (♦), on peut directement donner la solution générale de l’équa-tion diophantienne 34x+ 16y = 14, qui est

x = 7 − 8ky = −14 + 17k

, k ∈ Z




4.4 Annexe sur la relation entre les droites du plan et

les équations diophantiennes

1. Dans le plan R2

Soit a, b, c ∈ Z. L’équation ax + by = c est l’équation d’une droite d dans leplan R2. Une solution particulière P0(x0; y0) est un point P0 de cette droite. Dansle chapitre de géométrie du cours DF, il est démontré que le vecteur

(−ba

)est un

vecteur directeur de cette droite. On donne ainsi une représentation paramétriquede la droite

d :

x = x0 − bky = y0 + ak

, k ∈ R

2. Dans le réseau Z2

Soit a, b, c ∈ Z. Le réseau Z2 est l’ensemble des points à coordonnées entières dansle plan R2. Lorsque pgcd(a, b) divise c, on vient de voir que l’ensemble de solutionsde l’équation diophantienne ax+ by = c est décrit par

x = x0 − b

pgcd(a,b)k

y = y0 + apgcd(a,b)

k, k ∈ Z

En fait, les vecteurs(−b

a

)et

(− bpgcd(a,b)

apgcd(a,b)

)sont parallèles, mais le deuxième est, au

signe près, le vecteur parallèle à(−b

a

)à composantes entières le plus court.

Exemple

Ci-dessous, on voit la droite d1 : 2x+4y = 9, qui ne passe par aucun point du réseau Z2,puisque pgcd(2, 4) = 2 ne divise pas 9. On voit aussi la droite d2 : 2x+4y = 4, qui passepar une infinité de point du réseau Z2 car pgcd(2, 4) = 2 divise 4. Son vecteur directeurà composantes entières le plus court est, au signe près,

(−21

).

y

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

2x+ 4y = 92x+ 4y = 4x




4.5 Annexe sur l’algorithme d’Euclide étendu

Cet algorithme consiste à reproduire l’algorithme d’Euclide en n’oubliant pas les quotientsde chaque étape.

Pour établir cet algorithme, la notation et la multiplication des matrices de taille 2 fois2 sont essentielles.

Etape 1 : pgcd(a, b) = pgcd(b, r1). On effectue la division euclidienne a = bq1 + r1 avec0 6 r1 < |b|. Ainsi, on a r1 = a− bq1 et à l’aide de la notation matricielle, on peut écrirel’expression suivante. (

b

r1

)=

(0 11 −q1

)(a

b

)

Etape 2 : pgcd(b, r1) = pgcd(r1, r2). On effectue la division euclidienne b = r1q2 + r2avec 0 6 r2 < r1. Ainsi, on a r2 = b− r1q2 et à l’aide de la notation matricielle, on peutécrire l’expression suivante.

(r1r2

)=

(0 11 −q2

)(b

r1

)

Etape n : pgcd(rn−2, rn−1) = pgcd(rn−1, rn). On effectue la division euclidienne rn−2 =rn−1qn + rn avec 0 = rn < rn−1. Ainsi, on a rn = rn−2 − rn−1qn et à l’aide de la notationmatricielle, on peut écrire l’expression suivante.

(pgcd(a, b)

0

)=

(rn−1

rn

)=

(0 11 −qn

)(rn−2

rn−1

)

On retrouve la multiplication matricielle 1

Grâce aux étapes 1 et 2, on peut exprimer r2 à l’aide de a et b (rappelons que le but del’algorithme est d’exprimer rn−1 (qui est égal au pgcd) en fonction de a et b (voir l’énoncédu théorème de Bezout)).En effet, on a r1 = a− bq1 et r2 = b− r1q2. Donc

r2 = b− r1q2 = b− (a− bq1)q2 = b− aq2 + bq1q2 = −q2a+ (1 + q1q2)b

Ce qui matriciellement donne l’expression suivante.(r1r2

)=

(1 −q1

−q2 1 + q1q2

)(a

b

)

Cette matrice s’obtient grâce à la multiplication matricielle suivante.(

0 11 −q2

)(0 11 −q1

)=

(1 −q1

−q2 1 + q1q2

)

On peut donc utiliser le produit matriciel suivant.(r1r2

)=

(0 11 −q2

)(b

r1

)=

(0 11 −q2

)(0 11 −q1

)(a

b

)

1. Le lecteur avancé ne sera pas surpris de ce fait. En effet la multiplication matricielle correspond àla composition d’applications.




Les matrices produits

Maintenant que l’on a vu que des produits matriciels apparaissent, on va apporter unenouvelle notation. Pour chaque i ∈ 1, 2, . . . , n, on définit la matrice ci-dessous qui esten fait le produit des i premières matrices ayant le quotient comme coefficient.

Mi =

(si tiui vi

)=

(0 11 −qi

)· · ·(

0 11 −q2

)(0 11 −q1

)

Réécrivons nos étapes sous cette notation. Voici l’étape 1.(b

r1

)=

(0 11 −q1

)(a

b

)= M1

(a

b

)

Voici l’étape 2.(r1r2

)=

(0 11 −q2

)(b

r1

)=

(0 11 −q2

)M1

︸︷︷︸M2

(a

b

)= M2

(a

b

)

Voici l’étape i+ 1

(riri+1

)=

(0 11 −qi+1

)(ri−1

ri

)=

(0 11 −qi+1

)Mi

︸︷︷︸Mi+1

(a

b

)= Mi+1

(a

b

)

Et voici l’étape n (la dernière).

(pgcd(a, b)

0

)=

(rn−1

rn

)=

(0 11 −qn

)· · ·(

0 11 −q2

)(0 11 −q1

)

︸︷︷︸Mn

(a

b

)= Mn

(a

b

)

Ainsi, à la dernière étape, on voit la combinaison voulue dans le théorème de Bezout.(pgcd(a, b)

0

)=

(rn−1

rn

)= Mn

(a

b

)=

(sn tnun vn

)(a

b

)=

(sn · a + tn · bun · a + vn · b

)(⋆)

Procédure itérative

Comme on vient de le voir, il faut trouver les coefficients de la matrice Mn pour trouverla combinaison voulue dans le théorème de Bezout.

La méthode la plus simple pour calculer Mn est itérative (penser à une démonstrationpar récurrence (aussi appelée démonstration par induction)). On connaît la matrice M1.

M1 =

(s1 t1u1 v1

)=

(0 11 −q1

)puisque

(b

r1

)= M1

(a

b

)

On peut aussi considérer une étape 0 qui fait intervenir une matrice M0 (qui est l’identitécar il s’agit de l’élément neutre de la multiplication).

M0 =

(s0 t0u0 v0

)=

(1 00 1

)puisque

(a

b

)=

(1 00 1

)(a

b

)




Si on connaît la i-ième matrice Mi, on peut trouver la matrice Mi+1. En effet, en se basantsur l’étape i+ 1 vue ci-dessus, on voit que :

(si+1 ti+1

ui+1 vi+1

)

︸︷︷︸Mi+1

=

(0 11 −qi+1

)(si tiui vi

)

︸︷︷︸Mi

=

(ui vi

si − uiqi+1 ti − viqi+1

)

On constate que la première ligne de Mi+1 est égale à la deuxième ligne de Mi. Il se passele même phénomène avec les vecteurs issus de l’algorithme d’Euclide.

Etape i Etape i+ 1

Mi =

(si tiui vi

)

(ui vi


)= Mi+1

(ri−1

ri

)

︸︷︷︸vecteur de l’étape i

(riri+1

)

︸︷︷︸vecteur de l’étape i+ 1

Algorithme

Dans cet algorithme, on place les vecteurs dans la première colonne, les matrices Mi dansles deux colonnes centrales et dans la dernière colonne, on écrit les quotients.

a ba 1 0 quotientsb 0 1 q1· · · · · · · · · · · ·ri−1 si ti qiri ui vi qi+1

ri+1 = ri−1 − riqi+1 si − uiqi+1 ti − viqi+1 qi+2

· · · · · · · · · · · ·rn−1 = pgcd(a, b) sn tn qnrn = 0 un vn

On trouve à l’avant-dernière ligne la combinaison de Bezout cherchée et un bonus à ladernière ligne (voir formule (⋆)) : pgcd(a, b) = sna+ tnb et 0 = una+ tnb.

Remarque

À chaque ligne, on retrouve le terme de gauche en écrivant lacombinaison avec les deux termes du milieu.

Quelque soit la ligne, on a r = s · a + t · b. Cette propriétépermet de repérer une éventuelle erreur de calcul.

Cette propriété est issue des matrices Mi précédentes.En effet, à chaque étape i, on a bien(ri−1

ri

)= Mi

(a

b

)=

(si tiui vi

)(a

b

)=

(si · a + ti · bui · a + vi · b

)

a ba 1 0 quotientsb 0 1

· · · · · · · · ·r s t

· · · · · · · · ·




Proposition 1

Pour tout i ∈ N, les coefficients de Mi =

(si tiui vi

)satisfont la propriété sivi−tiui = ±1.

Preuve par récurrence

1. Ancrage pour i = 0 :

Les coefficients de M0 =

(1 00 1

)satisfont la propriété qui est : 1 · 1− 0 · 0 = 1.

2. Pas de récurrence simple :

on suppose que c’est vrai pour i et on montre que c’est vrai pour i+ 1.

L’algorithme d’Euclide étendu dit que :

Mi+1 =

(si+1 ti+1

ui+1 vi+1

)=

(ui vi


)

où si, ti, ui et vi sont les coefficients de la matrice Mi.

La propriété peut se simplifier ainsi :

si+1vi+1 − ti+1ui+1 = ui(ti − viqi+1)− vi(si − uiqi+1)

= uiti − visi = −(sivi − tiui)HR= − (±1) = ∓1

Proposition 2

Soit a et b deux nombres entiers. S’il existe deux nombres entiers x et y tels que

ax+ by = ±1

Alors a et b sont premiers entre-eux (c’est-à-dire que pgcd(a, b) = 1).

Preuve

Soit d un diviseur positif de a et de b. Alors d divise ax et by, donc d divise ax + by.Comme ax + by = ±1, on sait donc que d divise ±1. Or, le seul diviseur positif de ±1est 1, donc d = 1.

Par conséquent, le seul diviseur positif commun à a et à b est 1. Cela signifie que a et bsont premiers entre-eux.

Conséquence des propositions 1 et 2

Les nombres qui sont inscrits à chaque ligne dans les colonnes centrales de l’algorithmed’Euclide étendu sont premiers entre-eux !

a ba 1 0 quotientsb 0 1 q1· · · · · · · · · · · ·rn−1 = pgcd(a, b) sn tn qnrn = 0 un vn


Chapitre 5

Systèmes de restes chinois

5.1 Un exemple de problème

Trois pilotes d’avion aimeraient à l’occasion dîner ensemble à Paris. Ils se concertent undimanche par SMS et constatent que :

1. André se rendra à Paris le mardi suivant et y retournera tous les 5 jours.

2. Bernard se rendra à Paris le mercredi suivant et y retournera tous les 8 jours.

3. Cloé se rendra à Paris le jeudi suivant et y retournera tous les 13 jours.

Quand est-ce qu’ils pourront se retrouver pour dîner ?

5.2 Le ppcm

Définition


On définit le plus petit commun multiple de a et b, noté ppcm(a, b), comme étant le pluspetit nombre positif qui est multiple à la fois de a et de b.

Exemples

1. On a ppcm(12, 14) = 84.

En effet, l’ensemble des multiples positifs (ou nul) de 12 est

M12 = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .et l’ensemble des multiples positifs (ou nul) de 14 est

M14 = 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, . . .L’ensemble des multiples positifs (ou nul) commun à 12 et à 14 est donc M12∩M14 =0, 84, 168, 252, . . .. Ainsi, le plus petit commun multiple est 84.

2. On a aussi ppcm(2, 3) = 6.

3. Ou encore ppcm(7,−21) = 21.

Le cas particulier du zéro

Lorsqu’un des deux termes est nul (ou les deux), on est obligé d’admettre la valeur 0pour le ppcm. Autrement dit, on a ppcm(0, b) = 0 pour tout b ∈ Z.

37



Résultat

Soit a et b deux entiers. Alors ppcm(a, b) · pgcd(a, b) = |ab|.

Preuve

On va montrer que |ab|pgcd(a,b)

= ppcm(a, b). On a :

|ab|pgcd(a, b)

=±|a|

pgcd(a, b)· b = ±|b|

pgcd(a, b)· a où

±|a|pgcd(a, b)

et±|b|

pgcd(a, b)∈ Z

on constate ainsi que |ab|pgcd(a,b)

est un multiple de a et de b. C’est le plus petit possible,puisqu’on ne peut pas diviser a et b par un nombre plus grand que pgcd(a, b).

5.3 Résolution de systèmes de restes chinois

Le théorème des restes chinois

Soit a1 et a2 deux nombres entiers. Soit m1 et m2 deux nombres naturels.

Le système suivant possède une solution si et seulement si a1 ≡ a2 (mod pgcd(m1, m2)).

x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)

De plus, si une solution existe, elle est unique modulo ppcm(m1, m2).

Preuve

Il existe k1 et k2 ∈ Z tels qu’on a les équivalences :


⇐⇒

x = a1 + k1m1

x = a2 + k2m2

subst.⇐⇒

x = a1 + k1m1

a1 + k1m1 = a2 + k2m2⇐⇒

x = a1 + k1m1

k1m1 − k2m2 = a2 − a1

Ainsi le système de restes chinois admet une solution si et seulement si l’équationdiophantienne k1m1 − k2m2 = a2 − a1 (d’inconnues k1 et k2) admet une solution. Ordans le résultat d’existence, on a vu que c’est le cas si et seulement si pgcd(m1, m2)divise a2 − a1. Autrement dit a1 ≡ a2 (mod pgcd(m1, m2)).

Pour l’unicité, prenons deux solutions x1 et x2 du système de restes chinois et montronsqu’elles sont égales modulo ppcm(m1, m2).

Puisque x1 ≡ a1 et x2 ≡ a1 modulo m1, on a x1 ≡ x2 (mod m1). De même, on a x1 ≡ x2

(mod m2). Ainsi, on a x1 − x2 = k1m1 avec k1 ∈ Z et x1 − x2 = k2m2 avec k2 ∈ Z.On obtient ainsi une équation diophantienne k1m1 − k2m2 = 0. Les solutions de cetteéquation homogène sont (voir pages 28 et 29) :

k1 =m2

pgcd(m1, m2)k et k2 =

m1

pgcd(m1, m2)k avec k ∈ Z

Doncx1 − x2 =

m1m2

pgcd(m1, m2)k = ppcm(m1, m2)k

C’est-à-dire que x1 ≡ x2 (mod ppcm(m1, m2)).




Pour la résolution

Lorsqu’on veut résoudre un système chinois à deux équations, on suit le principe de ladémonstration en utilisant l’équivalence établie dans la preuve ci-dessus.


⇐⇒

x = a1 + k1m1

k1m1 − k2m2 = a2 − a1 «équation diophantienne»

Il faut ainsi chercher k1 (et k2) en résolvant l’équation diophantienne à l’aide de l’algo-rithme d’Euclide étendu. On aura ainsi l’équivalence suivante (démontrée dans la preuveci-dessus) où k1 est la solution trouvée :


⇐⇒ x ≡ a1 + k1m1 (mod ppcm(m1, m2))


Chapitre 6

Les bases de la cryptographie et le code

RSA

6.1 Introduction au principe de cryptographie

Le but de la cryptographie est de cacher le contenu d’un message. Il y a pour celadifférentes possibilités. Voici deux méthodes utilisées (parmi tant d’autres) :– Cacher le message (dans une image, par exemple) : stéganographie.– Rendre le message incompréhensible en transformant un texte clair en un crypto-

gramme : chiffrement.

Deux exemples de chiffrement

1. Le carré de Polybe est la clé qui a permis de créer le premier système de chiffrementpolygraphique connu.

ր 1 2 3 4 5

1 a b c d e

2 f g h ij k

3 l m n o p

4 q r s t u

5 v w x y z

Ainsi, le mot secret sera codé par 43 15 13 42 15 44. Pour coder et décoder, il fautque celui qui envoie le message et que celui qui le reçoit aient tous les deux la mêmeclé (ici, le carré de Polybe).

2. La machine Enigma était la clé du cryptage allemand durant la deuxième guerremondiale (le film «U571» s’est inspiré du fait qu’une machine Enigma a été dérobéeaux Allemands durant l’assaut d’un de leur sous-marin, fournissant ainsi aux Alliésla clé pour décoder les messages allemands).

Les deux systèmes de cryptographie ci-dessus utilisent une clé unique qui appartient aucodeur et au décodeur. Si une tierce personne parvient à s’emparer de la clé, elle seraiten mesure d’intercepter et de décoder les messages, ou même d’usurper l’identité d’unedes deux autres personnes.

41



Ces méthodes sont dites à clé privée. Elles sont symétriques, car celui qui reçoit le messageutilise la même clé que celui qui l’envoie.

messageoriginal

: acryptage−−−−−−→clé privée

messagecrypté

: αdécryptage−−−−−−→clé privée

messagedécrypté

: a

On voit qu’en utilisant la même clé, celui qui reçoit le message peut envoyer une réponse !

Vers la fin des années 1960, on a découvert des systèmes cryptographiques à clé publique.Ce système utilise deux clés : l’une privée, l’autre publique. La clé publique peut êtreconnue de tout le monde, tandis que la clé privée n’est connue que d’une personne (doncelle est plus facile à protéger que dans les méthodes à clé privée vue précédemment).

Deux utilités des systèmes à clé publique

1. Tout le monde peut envoyer un message qui ne pourra être lu que par celui qui ala clé privée.

messageoriginal

: acryptage−−−−−−−−→

clé publiquemessagecrypté

: αdécryptage−−−−−−→clé privée

messagedécrypté

: a

2. Tout le monde peut recevoir un message qui n’a pu être écrit que d’une seulepersonne (authentification de l’auteur, signature électronique).

messageoriginal

: acryptage−−−−−−→clé privée

messagecrypté

: αdécryptage−−−−−−−−→clé publique

messagedécrypté

: a

Bien évidemment, on peut combiner ces deux utilités pour avoir un message qui ne peutêtre lu que par une seule personne et qui n’a pu être écrit que par une unique personne !

6.2 Le système de cryptographie RSA

Le plus célèbre et le premier des systèmes de cryptographie à clé publique est le systèmeRSA (Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman). Entre autres, ce système est àla base des méthodes de paiements par Internet !

6.2.1 Mise en place

1. On choisit deux nombres premiers distincts p et q suffisamment grands. On calculele produit n = pq. Généralement, on utilise des nombres premiers d’environ 300chiffres (en 1024 bits, on forme des chaînes de longueur 21024 ∼= 1.79 · 10308).

2. On choisit un nombre e premier à ϕ(n), c’est-à-dire que pgcd(e, ϕ(n)) = 1.

3. On cherche un nombre d ∈ N qui correspond à l’inverse de e modulo ϕ(n). Autre-ment dit, on cherche d ∈ N tel que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)).

Le nombre d existe, car e est premier à ϕ(n).




La clé privée

La clé privée est composée des nombres p, q et d.

La clé publique

Les nombres n et e sont mis à disposition dans un annuaire. Les nombres p, q et d sontgardés secrets.

6.2.2 Sûreté du système RSA

Les informations données dans la clé publique ne permettent pas de retrouver la cléprivée, car il est actuellement impossible de trouver p et q si on connaît le nombre n enun temps raisonnable (pour autant que n soit suffisamment grand). Or, pour trouver d,il faut connaître ϕ(n) qui ne peut être connu qu’à l’aide de p et de q.

En 2005, il y avait une récompense de 200′000$ pour celui qui réussissait à factoriser unnombre n relativement grand. En 2009, les récompenses ne sont plus que de 10′000$ pourun nombre de 32-bits. La dernière factorisation a été réussie en 2007 (pour un nombre àpeine plus petit) et a nécessité environ 1757 jours de calculs. Pour plus de précision (etaussi des nouvelles plus fraîches), le lecteur consultera le site http://www.rsa.com sousl’onglet «historical», puis sous la rubrique «cryptographic challenges».

6.2.3 Théorème RSA

Soit p et q deux nombres premiers distincts et n = pq. Si e est un nombre premier à ϕ(n)et si d est son inverse modulo ϕ(n), alors pour tout entier a (a < n), on a :

(ae)d ≡ (ad)e ≡ a (mod n)

Preuve

Puisque p et q sont des nombres premiers distincts, on sait que n = ppcm(p, q). Ainsi,pour montrer que ade ≡ a (mod pq), il suffit de montrer que ade est solution du systèmechinois suivant

x ≡ a (mod p)x ≡ a (mod q)

En effet, dans ce cas ade serait solution du système, au même titre que a. Par unicité dela solution modulo pq, on saurait que ade ≡ a (mod pq).

On ne va démontrer que ade ≡ a (mod p), car pour l’autre, on reprend les mêmes argu-ments en échangeant les rôles de p et de q.

Par hypothèse, on sait que de ≡ 1 (mod ϕ(n)). Ainsi, il existe k ∈ Z tel que

de = 1 + k ϕ(n) = 1 + k(p− 1)(q − 1)

Donc, comme ap−1 ≡ 1 (mod p) grâce au théorème de Fermat, on obtient

ade = a1+k(p−1)(q−1) = a1 · ak(p−1)(q−1) = a · (ap−1)k(q−1) ≡ a · 1 ≡ a (mod p)


http://www.rsa.com



6.2.4 Méthode de codage et de décodage

Le processus de codage et de décodage se déroule en plusieurs étapes.

1. Préparation du message à encoder.

Le message doit être éventuellement décomposé en blocs. À chaque bloc, on vaassocier un nombre strictement compris entre 1 et n. Ce sont ces nombres que l’onva encoder à l’aide du système RSA.

La façon dont on associe des nombres à chaque bloc est très variable. Cela peutsuivre une démarche assez simple (comme on le verra en exercice) ou un procédébien plus complexe où un autre cryptage pourrait être utilisé.

2. Encodage avec RSA

Le message est maintenant une suite de nombres strictement compris entre 1 et n.Pour coder ce message on élève chacun des nombres le composant à la puissance dou à la puissance e selon si on veut encoder avec la clé privée ou publique.

3. Décodage avec RSA

Le message est maintenant une suite de nombres strictement compris entre 1 et n.Pour décoder ce message on élève chacun des nombres le composant à la puissancee ou à la puissance d selon si on veut décoder avec la clé privée ou publique.

Bien sûr, si le message a été encodé avec la clé privée, il faut le décoder avec la clépublique, et vice-versa.

On retombe bien sur les nombres qu’on avait avant l’encodage, puisque le théorèmenous dit que (ae)d ≡ (ad)e ≡ a (mod n).

4. Reconstitution du message original.

Il faut effectuer la démarche inverse de celle effectuée lors de la préparation dumessage à encoder.

Remarque banale mais importante

Lors de la préparation du message, il ne faut pas associer chaque lettre à un nombre (encode ASCII, entre 1 et 255), car une simple analyse de fréquences permettra de casserle code (bien sûr, si le message est suffisamment long pour qu’une telle analyse soitpertinente).


Chapitre 7

Fractals

L’introduction ci-dessous est inspirée du livre «Introducing Fractal Geometry» de NigelLesmoir-Gordon, Will Rood et Ralph Edney.

7.1 Introduction

La plupart des formes de la nature sont dynamiques, elles se distinguent de la géométriefixe et statique de l’Homme dans la mesure où elles se développent et évoluent dans letemps. Ces structures en développement sont apparemment dictées par le chaos, commepar exemples les turbulences (prévisions météorologiques, simulation de courants marins,fumée de cigarettes), la forme d’un éclair, la structure d’un arbre, d’une fougère, de nospoumons, de notre système sanguin, le cours d’une action à la bourse, les mouvementsbrowniens, les feux de forêts, la structure des flocons de neige. Des paysages imaginairespeuvent aussi être créés à l’aide de fractals.

Les fractals sont des objets mathématiques très variés tous construits à partir d’un pro-cessus itératif. Ils sont utilisés à des fins de simulations pour tenter de comprendre et defaire des prévisions à propos des structures en développement citées ci-dessus.

Dans un avenir proche ces modèles pourraient permettre de réduire les risques de crisescardiaques, de détecter un cancer (comme les cancers du sein) ou la fin de la périoded’incubation du virus du SIDA 1. Des modèles basés sur les fractals sont déjà utiliséspour soigner les os fragiles. La géométrie fractale est utilisée efficacement pour trouverdes objets créés par l’Homme à partir de photos prises depuis les satellites (comme dessous-marins). Les tremblements de terre possèdent une signature fractale, tout commeles épidémies. Les images peuvent aussi être compressées en utilisant des fractals.

Le chou romanesco est un exemple classique de structure fractale se trouvant dans lanature.

1. Beaucoup de malades du SIDA restent séropositifs une dizaine d’années avant que le virus seréveille.

45



7.2 Fractalisation dans le plan

Pour créer des fractals tels que l’ensemble de Cantor, la courbe de Von Koch, les fractalsde Sierpinski, on a besoin d’effectuer des transformations dans le plan.

Transformations affines du planTransformations linéaires Transformations non linéaires

Similitudes Les rotations Les homothéties Les translationsLes symétries

Les projections Les étirements

Les transformations linéaires sont effectuées grâces à des matrices 2.

7.2.1 Les applications affines et les matrices

On dit que f : R2 → R2 est une transformation linéaire si :

1. f(~v1+~v2) = f(~v1)+f(~v2) pour tout vecteurs ~v1, ~v2 dans R2.

2. f(λ~v) = λf(~v) pour tout vecteur ~v ∈ R2 et tout λ ∈ R.

Dans le reste du cours, on utilisera la base canonique ~e1, ~e2.

y

1

−1

1−1 ~e1

~e2x

Ces vecteurs de base nous permettent de décrire chaque vecteur du plan comme uniquecombinaison linéaire de ~e1 et ~e2. Par exemple, le vecteur

−→OP reliant l’origine O(0; 0) au

point P (x; y) est décrit de la manière suivante.

−→OP = x~e1 + y~e2

notation=

(x

y

)

Considérons maintenant le vecteur ~v = λ1~e1 + λ2~e2, aussi noté ~v =(λ1

λ2

), et regardons

comment une transformation linéaire f agit sur ce vecteur. Par linéarité on a :

f(~v) = λ1f(~e1) + λ2f(~e2)

Ainsi, il suffit de connaître f(~e1) et f(~e2) pour pouvoir connaître l’image de n’importequel vecteur par la fonction f . Or f(~e1) et f(~e2) sont des vecteurs qui s’écrivent aussidans la base canonique ~e1, ~e2. Disons que

f(~e1) = a1,1~e1 + a2,1~e2notation=

(a1,1a2,1

)et f(~e2) = a1,2~e1 + a2,2~e2

notation=

(a1,2a2,2

)

Regardons comment on peut écrire le vecteur f(~v) dans la base canonique.

f(~v) = λ1f(~e1) + λ2f(~e2)notation= λ1

(a1,1a2,1

)+ λ2

(a1,2a2,2

)=

(a1,1λ1 + a1,2λ2

a2,1λ1 + a2,2λ2

)

2. Le programme de troisième année reviendra en détail sur le sujet.




Ainsi, un vecteur est décrit par deux nombres et une application linéaire par quatrenombres. Une idée géniale a été d’utiliser une notation matricielle pour décrire les trans-formations linéaires.

Notation vectorielle ~v f f(~v)

Notation matricielle ~v =

(λ1

λ2

)A =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)A~v =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)(λ1

λ2

)

Cela permet de définir la multiplication matrice-vecteur.

f(~v)notation= A~v =

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

)(λ1

λ2

)=

(a1,1λ1 + a1,2λ2

a2,1λ1 + a2,2λ2

)

On remarque qu’avec cette notation, on a

A =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)=

(f(~e1) f(~e2)

)

Cela nous permet d’énoncer la règle pour la construction de la matrice A associée à latransformation f :

Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base

7.2.2 Addition de transformations linéaires

Soit f et g deux transformations linéaires du plan. Notons A et B les matrices associéesrespectivement à f et à g.

A =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)et B =

(b1,1 b1,2b2,1 b2,2

)

La matrice associée à la transformation f + g est donnée par l’addition des matrices Aet B :

A +B =

(a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2

)

Preuve

En effet, comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, il suffitde calculer les images de ~e1 et de ~e2 par l’application f + g. Grâce à la règle pour laconstruction des matrices A et B, on a :

f(~ei)notation= A~ei =

(a1,ia2,i

)et g(~ei)

notation= B~ei =

(b1,ib2,i

)

Par conséquent, l’image du i-ième vecteur de base est :

(f + g)(~ei) = f(~ei) + g(~ei)notation=

(a1,ia2,i

)+

(b1,ib2,i

)=

(a1,i + b1,ia2,i + b2,i

)

On reconnaît ainsi les colonnes de A+B.




7.2.3 Composition de transformations linéaires

Soit f et g deux transformations linéaires du plan. Notons A et B les matrices associéesrespectivement à f et à g.

A =

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)et B =

(b1,1 b1,2b2,1 b2,2

)

La matrice associée à la transformation f g est donnée par la multiplication des matricesA et B :

AB =

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

)(b1,1 b1,2b2,1 b2,2

)=

(a1,1b1,1 + a1,2b2,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2

a2,1b1,1 + a2,2b2,1 a2,1b1,2 + a2,2b2,2

)

Preuve

En effet, comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, il suffitde calculer les images de ~e1 et de ~e2 par l’application f g. Par hypothèse, on a

(f g)(~ei) = f(g(~ei)

) notation= A

(B~ei)

Grâce à la règle de construction des matrices, on constate que B~ei est la i-ième colonnede B. Cela permet de continuer le calcul, puisqu’on sait multiplier une matrice et unvecteur.

A(B~ei)=

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)(b1,ib2,i

)=

(a1,1b1,i + a1,2b2,ia2,1b1,i + a2,2b2,i

)

On reconnaît ainsi les colonnes de AB.

7.2.4 Exemples de matrices

On utilise la règle pour la construction de la matrice A associée à la transformation fdésirée.

Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base

Matrice identité

Voici la matrice associée à la transformation qui ne fait rien.

I =

(1 00 1

)

Matrice de rotation d’un quart de tour

Voici la matrice R associée à la rotation d’angle π2.

R =

(0 −11 0

)




Matrice associée à une homothétie de facteur 2

Voici la matrice H associée à une homothétie de facteur 2.

H =

(2 00 2

)

Matrices de symétrie

Voici la matrice Sx associée à la symétrie selon l’axe des x.

Sx =

(1 00 −1

)

Voici la matrice Sy associée à la symétrie selon l’axe des y.

Sy =

(−1 00 1

)

Matrice d’étirement

On peut considérer un étirement d’un facteur 2 selon l’axe des x et d’un facteur 3 selonl’axe des y. Voici sa matrice associée.

E =

(2 00 3

)

Matrices de projection

On peut effectuer une projection orthogonale sur l’axe des x.

P =

(1 00 0

)

On peut aussi projeter tout le plan sur l’origine.

O =

(0 00 0

)




7.3 Création de fractals

Quelques fractals célèbres comme les napperons de Sierpinski, le flocon de von Koch, lafougère de Barnsley sont obtenus en utilisant des machines à copies réduites multiples(MCRM). Ces machines consistent à prendre une image et à la transformer en un collagede plusieurs images obtenues à l’aide de transformations affines contractantes 3 de l’imageprécédente. Pour simplifier une telle étape sera appelée fractalisation.

Mathématiquement, si A est une image (un sous-ensemble du plan), sa fractalisation seranotée W (A). Si on utilise n transformations affines contractantes, notée w1, . . . , wn, alorson a

W (A) = w1(A) ∪ w2(A) ∪ · · · ∪ wn(A)

Si A0 est l’image de départ, A1 = W (A0) sera sa première fractalisation, A2 = W (A1) serasa deuxième fractalisation. Ainsi de suite, Ak = W (Ak−1) sera sa k-ième fractalisation.

Dans A1 on retrouve n copies de A0. Dans A2 on retrouve n copies de A1, donc n2 copiesde A0. Ainsi, on voit que Ak contient nk copies de A0.

Théorème du point fixe de Banach-Hausdorff

Si, dans Rn, on a n transformations affines contractantes3 w1, . . . , wn et l’opérateur deHutchinson

W (A) = w1(A) ∪ w2(A) ∪ · · · ∪ wn(A) avec A ⊂ Rn

Alors, il existe une seule image (compacte 4, non vide) qui est solution de l’équation

W (X) = X

De plus cette image est la limite des fractalisations de n’importe quel ensemble bornénon vide dans Rn. Pour cette raison, cette image est notée A∞ et appelée l’attracteurassocié à la machine à copies réduites multiples.

7.3.1 Description d’une MCRM

Pour décrire une MCRM, on utilise des modèles : il s’agit d’une image non symétriquequi montre les transformations affines contractantes utilisée à chaque fractalisation.

Voici le modèle qui sera utilisé dans ce cours.

3. Une fonction est dite contractante si la distance entre deux points quelconques diminue lorsquel’on applique la fonction.

4. Dans Rn, les parties compactes sont les parties fermées et bornées. Une partie est fermée si toutesuite convergente contenue dans la partie converge vers un point de la partie (par exemple, l’intervalle]0, 1] n’est pas fermé car la suite ( 1

n)n>1 converge vers 0 et que 0 6∈ ]0, 1]).




Le napperon de Sierpinski

Voici la MCRM qui permet d’obtenir le napperon de Sierpinski. Afin d’obtenir une imagefinale inscrite dans un triangle équilatéral, on donne des dimensions légèrement différentesau modèle (bien que seul les applications affines contractantes comptent, elles sont plusfacilement discernables avec ce modèle).

W−→

Voici l’attracteur d’une telle MCRM.

La courbe de von Koch

Voici la MCRM qui permet d’obtenir la courbe de von Koch associée à un angle de 60.

W−→


Cet attracteur est une courbe continue (pas une fonction !) qui n’est dérivable en aucunpoint ! ! !




Le tapis de Sierpinski

Voici la MCRM qui permet d’obtenir le tapis de Sierpinski.

W−→


L’ensemble de Cantor

L’ensemble de Cantor s’obtient en enlevant à la ligne [0, 1] son tiers médian, puis à chaqueligne restante on enlève le tiers médian, et ainsi de suite... Voici la MCRM qui permetd’obtenir ce fractal.

W−→

On peut voir l’ensemble de Cantor dans le tapis de Sierpinski (prendre l’intersection dutapis de Sierpinski avec la droite horizonzale passant par le milieu du carré (d’équationy = 1

2). On peut aussi la voir comme la droite verticale passant par le milieu du carré,

ou encore comme l’une ou l’autre des diagonales.




La fougère de Barnsley

Voici la MCRM qui permet d’obtenir la fougère de Barnsley.

W−→

L’attracteur d’une telle MCRM est informatiquement pénible à obtenir à l’aide de laMCRM. Voici la huitième fractalisation qui, sur un Pentium 4 cadencé à 3.2 GHz, anécessité plus de 72 secondes. Cette fractalisation à été obtenue en prenant un carré videcomme image de départ.

Cherchons combien de temps cela prendrait-il pour avoir une image de taille de 1000pixels par 1000 pixels (les photos numériques de haute qualité ont plus de pixels quecela) avec une fougère en haute résolution. Le plus grand côté du grand modèle à lapremière fractalisation est le 85% du côté correspondant sur le modèle initial. Le nombreN de fractalisations nécessaire satisfait donc l’équation suivante (puisqu’il faudrait quela taille du grand modèle soit de 1 pixel carré afin d’avoir une image haute définition).

1000 · 0.85N ∼= 1 ⇐⇒ 0.85N ∼= 0.001 ⇐⇒ N ∼= log0.85(0.001)∼= 42.50

Il faudrait ainsi un minimum de 43 fractalisations. Si on note M le nombre de rectanglesqu’il faut dessiner (et dont il faut calculer les coordonnées), on a

M = 1 + 4 + 42 + 43 + · · ·+ 4N =4N+1 − 1

3

Pour N = 43, on a M ∼= 1.03 · 1026 rectangles. En se basant sur le fait que le pentiumci-dessus à pris 72 secondes pour dessiner 87′381 rectangles (M = 8) et en supposant quele temps nécessaire est proportionnel, on aurait besoin plus de 8.50 · 1022 secondes, ce quifait plus de 9.8380 ·1017 jours. En se basant sur le fait qu’une année astronomique prendsenviron 365, 2422 jours, le calcul prendrait plus de 2.69 ·1015 années. Ce qui est un tempsplus grand que l’âge de l’Univers !




7.4 Le jeu du Chaos

7.4.1 Une surprise

On prend un triangle isocèle et l’on numérote les sommets. Considérons le jeu de hasardsuivant. On prend un point du plain et on choisit aléatoirement (en lançant un dé parexemple) un nombre parmi 1, 2 ou 3. Le point suivant sera au milieu du segment dontles sommets sont le point précédent et le sommet du triangle associé au choix aléatoire.

Voici deux exemples où le point de départ z0 est le même et où on a joué 6 fois.

1 2

3

z0

1 2

3

z0

On peut se convaincre aisément qu’une fois qu’un point arrive dans le triangle il n’ensort plus. Mis à part cette remarque, on a l’impression que les points peuvent se déplacern’importe où et qu’il n’y a pas d’intérêt à étudier ce jeu de manière plus attentive.

Voici deux exemples où le point de départ z0 est le même et où on a joué 50 fois. Pourun meilleur aspect seul les 10 premiers points ont été reliés.

1 2

3

z0

1 2

3

z0

Maintenant on constate que le milieu du triangle contient relativement moins de points.Ainsi, il se passe peut-être quelque chose d’intéressant.

Voici ce qui se passe si on joue 10′000 fois (à gauche) et 100′000 fois (à droite).

1 2

3

z0

Ohh... On voit apparaître un fractal : le napperon de Sierpinski !




7.4.2 Le jeu du chaos et les attracteurs des MCRM

Rappelons qu’une MCRM est composée de n transformations affines contractantes, notéew1, . . . , wn et que l’attracteur est obtenu en itérant l’opérateur de Hutchinson suivantsur une image bornée quelconque.


Le jeu du chaos associé consiste à choisir un point du plan et à lui appliquer itérativementune seule transformation affine contractante choisie au hasard parmi les n possibles. Si lepoint choisi est un point de l’attracteur, alors tous les points suivants seront aussi dansl’attracteur. Mieux : pour chaque point de l’attracteur, il y a une probabilité non nulled’avoir un point de cette suite d’itérations qui sera autant proche que l’on veut du pointde l’attracteur. En langage mathématique cela se traduit par le théorème suivant.

Théorème

Si, dans Rn, on a n transformations affines contractantes w1, . . . , wn et des nombresréels positifs p1, . . . , pn tels que

∑ni=1 pi = 1 (ce sont les probabilités de choisir les

transformations correspondantes).

Notons (si)i>1 la suite de nombres aléatoires choisis entre 1 et n avec les probabilitésassociées ci-dessus.

Soit z0 un point de l’attracteur de la MCRM associée aux transformations, notée A∞(on peut prendre n’importe quel point fixe d’une des transformations (car ce point estforcément dans l’attracteur)).

On considère la suite aléatoire z = (zi)i∈N telle que zk = wsk(zk−1) pour tout k > 1.

Alors

1. Tous les points de la suite z sont dans l’attracteur A∞.

2. Cette suite remplit presque sûrement 5 de manière dense 6 l’attracteur A∞.

Remarque

Si le point z0 n’est pas dans l’attracteur, on a tout de même une excellente approximation,en effet plus on avance dans la suite plus on se trouve dans une fractalisation proche del’attracteur.

En effet, on applique le théorème du point fixe de Banach-Hausdorff avec la partie A0 =z0. Soulignons le fait que le i-ième élément de la suite z se trouve dans la i-ièmefractalisation Ai.

Idée de la preuve

Le point 1 provient de l’invariance de l’attracteur par l’opérateur de Hutchinson, c’est-à-dire

W (A∞) = A∞

5. Cela signifie que la probabilité pour que cela ne soit pas le cas est nulle.6. Un ensemble est dit dense dans un autre si tout point de l’autre ensemble admet un point arbi-

trairement proche dans le premier ensemble.




Rappelons que cet opérateur est défini comme suit.


Le point 2 est plus délicat à montrer. On va regarder ce qu’il se passe sur le napperon deSierpinski et on va remplacer la difficulté de la démonstration due à la densité en pensantà ce qu’il se passe lors du dessin (résolution de l’image).Voici les premières fractalisations du napperon de Sierpinski (en prenant des trianglesvides comme image de base).

W−→

w1(A) w2(A)

w3(A) W−→ W−→

Imaginons que la résolution du dernier dessin soit suffisante (si ce n’est pas le cas, alorsil suffit de continuer un peu la fractalisation).

On doit tirer au hasard une suite de nombres entre 1 et 3 (puisqu’il y a exactement troistransformations affines contractantes pour le napperon de Sierpinski).

Imaginons que l’on ait s1 = 2, s2 = 1, s3 = 1, s4 = 3, s5 = 2 et s6 = 1 pour les sixpremiers termes de la suite aléatoire. Prenons le coin en bas à gauche pour z0. Ainsiles quatre premiers termes de la suite z sont z0, w2(z0), w1(w2(z0)), w1(w1(w2(z0))) etw3(w1(w1(w2(z0)))). Ci-dessous, on noircit les triangles de la fractalisation dans lequel setrouve les éléments de la suite z (dans le cas où le point se trouve sur un coin, on noircitle triangle dont le coin est en bas à gauche).

w2−→ w1−→ w1−→

Comme on a supposé avoir atteint la résolution minimale, on va imaginer la fractalisationsuivante, mais seulement noircir le triangle dans la résolution minimale.

w3−→ w2−→ w1−→

Maintenant qu’on a vu ce qu’il se passe sur la résolution minimale, il faut démontrerque tous les triangles de cette fractalisation seront remplit lorsque l’on avance le long dela suite aléatoire. Or, dans notre exemple il y a 27 triangles (puisqu’on s’est arrêté à latroisième fractalisation et qu’il y a 3 transformations). Le premier triangle noirci ci-dessusdans la résolution minimale correspond aux valeurs (2, 1, 1) de la suite, le triangle noircidans l’image suivante correspond aux valeurs (1, 1, 3), le suivant correspond à (1, 3, 2),le suivant correspond à (3, 2, 1). Ainsi on voit que si dans la suite aléatoire, toutes lescombinaisons apparaissent, alors tous les triangles seront noircis (il y a bien 27 triplets denombres choisis entre 1 et 3). Or en choisissant à chaque étape un nombre au hasard parmi1, 2 ou 3, on a une probabilité non nulle de trouver tous les 27 triplets cités ci-dessus.




La fougère de Barnsley

Grâce au jeu du chaos, on peut dessiner la fougère de Barnsley dans un temps beaucoupplus réaliste.




7.5 Dimension d’ensembles auto-semblables

Définitions

1. Une similitude est une transformation affine qui n’est composée que de rotations,d’homothéties, de symétries et de translation.

2. Une partie est semblable à une autre partie s’il existe une similitude qui transformela partie en l’autre partie.

3. Un ensemble est auto-semblable s’il peut être partitionné en morceaux arbitraire-ment petits qui sont tous semblables à l’ensemble lui-même.

Remarques

1. Il existe des ensembles auto-semblables qui ne sont pas des fractals, tels qu’unsegment, un carré et un cube.

2. Le napperon et le tapis de Sierpinski, l’ensemble de Cantor et la courbe de vonKoch sont auto-semblables. La fougère de Barnsley n’est pas auto-semblable (il y ades étirements dans les transformations affines).

Dimension d’un segment, d’un carré et d’un cube

Un segment, un carré et un cube sont des ensembles auto-semblables puisqu’on peut lespartitionner en utilisant des réductions.

Voici une partition sur le cube associée à un facteur de réduction de 13.

Le tableau suivant indique combien de morceaux correspondent à une partition associéeà un facteur de réduction donné.

Objet nombre de morceaux facteur de réduction dimension de l’objet

segment 3 1/3segment 9 1/9 1segment n 1/n

carré 9 1/3carré 81 1/9 2carré n2 1/n

cube 27 1/3cube 729 1/9 3cube n3 1/n

Si on note n pour le nombre de morceaux, r pour le facteur de réduction et D pour ladimension, on remarque la relation suivante.

n =1

rD⇐⇒ ln(n) = D ln

(1

r

)⇐⇒ D =

ln(n)

ln(1/r)




7.5.1 Dimension des fractals auto-semblables

Théorème

Pour tout ensemble auto-semblable, le nombre D = ln(n)ln(1/r)

est le même quelque soit lapartition en n morceaux pour un (unique) facteur de réduction r.

Ce nombre D est appelé la dimension auto-semblable.

Dimension de la courbe de von Koch

nombre de morceaux facteur de réduction

4 1/316 1/94k 1/3k

Regardons ce qu’il se passe si on reprend la formule précédente.

D =ln(n)

ln(1/r)=

ln(4k)

ln(3k)=

k ln(4)

k ln(3)=

ln(4)

ln(3)∼= 1.2619

Dimension du napperon de Sierpinski


3 1/29 1/43k 1/2k


D =ln(n)

ln(1/r)=

ln(3k)

ln(2k)=

k ln(3)

k ln(2)=

ln(3)

ln(2)∼= 1.5850

Dimension de l’ensemble de Cantor


2 1/34 1/92k 1/3k


D =ln(n)

ln(1/r)=

ln(2k)

ln(3k)=

k ln(2)

k ln(3)=

ln(2)

ln(3)∼= 0.6309


Chapitre 8

Codes correcteurs d’erreurs

8.1 Introduction : Le sport-toto

Le sport-toto est un jeu (de hasard !) où il faut deviner le score des matchs de football.

Imaginons un sport-toto à 4 matchs. Pour chaque match, on note 1 pour une victoire del’équipe qui joue à domicile, 2 pour une victoire de l’équipe invitée et x pour un matchnul.

On remplit une grille pour les 4 matchs. Par exemple on peut jouer la colonne suivante.

1er match 12e match 23e match x4e match 1

On peut se poser les questions suivantes.

1. Combien de grilles doit-on remplir pour être sûr de gagner (une grille a les 4 bonsrésultats) ?

2. Combien de grilles doit-on remplir pour être sûr d’avoir 3 matchs sur 4 avec lesbons résultats ?

Les réponses sont les suivantes.

1. Cette réponse est facile, il y a possibilités et une seule combinaison estgagnante. Il faut donc jouer grilles.

2. Ici, c’est plus subtil, mais possible. Pour cela, on peut jouer les 9 colonnes suivantes.

x x x 1 1 1 2 2 2x 1 2 x 1 2 x 1 2x 1 2 1 2 x 2 x 1x 1 2 2 x 1 1 2 x

En effet, pour chaque grille parmi toutes celles possibles (que l’on supposera être lerésultat des 4 matchs), si on regarde combien de points on réalise avec chacune des9 colonnes ci-dessus (un point pour un match juste), on verra que l’on a toujoursune colonne ci-dessus qui livre 3 ou 4 points. C’est bien sûr une démonstrationlongue et ennuyeuse. Il y a une démonstration plus rapide.

61



Preuve

Créons un peu de vocabulaire. Disons que la sphère d’influence centrée en unegrille est l’ensemble des colonnes qui ont au plus une différence avec cette grille. Ilest facile de constater que chaque sphère d’influence a exactement 9 colonnes (lacolonne au centre et les 8 colonnes qui ont exactement 1 différence (4 endroits et 2possibilités)).

Regardons uniquement les sphères d’influence des 9 colonnes qui nous intéressent.Ces neufs colonnes ont la propriété essentielle suivante.

Il y a toujours 3 différences entre deux colonnes choisies parmi les 9.

Cela signifie que les 9 sphères d’influence sont disjointes.

On a donc 9 sphères d’influence disjointes contenant chacune 9 éléments. Ainsi ces 9sphères contiennent au total 9 ·9 = 81 grilles. Il s’agit de toutes les grilles possibles.

Ainsi, chaque grille (parmi les 81 possibles) se trouve à l’intérieur d’une seule sphèred’influence centrée en une grille parmi les 9 colonnes ci-dessus. La colonne corres-pondante est celle qui donne 3 ou 4 points.

Bien évidemment les créateurs sont maintenant au courant de cette astuce et proposentdes sport-toto à plus de 13 matchs (il y a aussi une technique similaire permettantd’assurer 12 points sur 13 matchs, mais elle coûte plus cher qu’elle ne rapporte).

8.2 Codes correcteurs d’erreurs

Contrairement aux codes en cryptographie (qui consistent à camoufler un message), lescodes correcteurs d’erreurs ont été inventés pour pouvoir détecter et éventuellement cor-riger des erreurs qui s’y seraient glissées (de manière accidentelle). Voici une méthodebien connue des spécialistes du radar.

Voici le schéma à avoir en tête lorsqu’on pense aux codes correcteurs.

message àtransmettre

codage

messagecodé

transmission

(risque d’erreurs)

messagetransmis

estimation mot du codele plus proche

déco

dage

messagereçu




8.2.1 La méthode des spécialistes du radar

Si lors d’une transmission horizontale, une vingtaine de caractères consécutifs sont perdus,il peut être très difficile de les retrouver !

Souvent, pour s’amuser, les hommes d’équipage

Prennent des albatros, vastes oiseaux des mers,

Qui suivent, indolents compagnons de voyage,

Le navire glissant sur les gouffres amers.

A peine les ont-ils déposés sur les planches,

Que ces rois de l’azur, maladroits et honteux,

******************** leurs grandes ailes blanches

Comme des avirons traîner à coté d’eux.

Ce voyageur ailé, comme il est gauche et veule!

Lui, naguère si beau, qu’il est comique et laid!

L’un agace son bec avec un brûle-gueule,

L’autre mime, en boitant, l’infirme qui volait!

Le Poête est semblable au prince des nuées

Qui hante la tempête et se rit de l’archer;

Exilé sur le sol au milieu des huées,

Ses ailes de géant l’empêchent de marcher.

Charles Baudelaire (Les fleurs du mal)

Par contre, si on transmet le texte verticalement, c’est un jeu d’enfant de retrouver vingtcaractères consécutifs perdus.

Souvent, pour s’amu**r, les hommes d’équipage

Prennent des albatr**, vastes oiseaux des mers,

Qui suivent, indole**s compagnons de voyage,

Le navire glissant *ur les gouffres amers.

A peine les ont-ils*déposés sur les planches,

Que ces rois de l’a*ur, maladroits et honteux,

Laissent piteusemen* leurs grandes ailes blanches

Comme des avirons t*aîner à coté d’eux.

Ce voyageur ailé, c*mme il est gauche et veule!

Lui, naguère si bea*, qu’il est comique et laid!

L’un agace son bec *vec un brûle-gueule,

L’autre mime, en bo*tant, l’infirme qui volait!

Le Poête est sembla*le au prince des nuées

Qui hante la tempêt* et se rit de l’archer;

Exilé sur le sol au*milieu des huées,

Ses ailes de géant *’empêchent de marcher.

Charles Baudelaire *Les fleurs du mal)

Malheureusement, cette méthode ne fonctionne pas pour des messages composés dechiffres ou de lettres disposées de manière apparemment aléatoire (penser aux documentsnumériques : images, sons, musiques, vidéos).




8.3 Le code de Hamming

En 1947, Richard W. Hamming avait accès à un ordinateur de l’armée seulement pendantles week-ends. Les ordinateurs de l’époque étaient très grands (voir photo ci-dessous) etextrêmement lents par rapport à ceux d’aujourd’hui.

Cette photo provient de l’armée américaine et est dans le domaine publique.

L’ordinateur sur lequel Hamming travaillait avait un code détecteur d’erreur, appelé2-sur-5. On disposait les nombres de 0 à 9 sur des rampes de 5 lampes dont 2 étaientallumées et 3 étaient éteintes.

1 1 1 0 0 02 1 0 1 0 03 0 1 1 0 04 1 0 0 1 05 0 1 0 1 06 0 0 1 1 07 1 0 0 0 18 0 1 0 0 19 0 0 1 0 10 0 0 0 1 1

On voit que toutes les combinaisons possibles de deux lampes allumées sont représen-tées. Ainsi, si on voit qu’il n’y a pas exactement deux lampes allumées, on sait qu’uneerreur s’est produite. Les opérateurs pouvaient retrouver l’erreur (en examinant ce qu’ils’était passé avant), mais ils n’étaient pas présent le week-end et l’ordinateur devait êtreredémarré (en perdant beaucoup de temps).

Après qu’un calcul a été stoppé de cette manière deux week-ends consécutifs, Hammingétait frustré et ennuyé et il s’est demandé pourquoi si l’ordinateur pouvait détecter, il nepouvait pas trouver sa position et la corriger.




Il inventa ainsi le premier code correcteur de l’Histoire en 1947.

Il s’est placé dans l’anneau Z2 = 0, 1 avec les règles d’addition suivantes.

0 + 1 = 1 = 1 + 0 0 + 0 = 0 1 + 1 = 0

Si on écrit les nombres de 0 à 9 en base 2, on a besoin de 4 lampes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 1 0 1 0 1 0 1 0 12 0 0 1 1 0 0 1 1 0 04 0 0 0 0 1 1 1 1 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Et il eu l’idée d’écrire le tableau suivant.

a b a + bc d c + d

a + c b+ d a+ b+ c+ d

Cela donnait une application de codage où chaque chiffre était représenté par un mot(a, b, c, d) avec a, b, c et d ∈ Z2. On y associait le mot codé

(a, b, c, d, a+ b, c+ d, a+ c, b+ d, a + b+ c+ d︸︷︷︸caractères de contrôle

)

Si un des neufs éléments de ce mot est changé (un 1 en un 0 ou l’inverse), alors onpeut dire qu’il y a une erreur et on peut même situer où elle se trouve. Ainsi faisant, ons’aperçoit (comme Hamming) qu’on peut se passer du caractère de contrôle a+ b+ c+ d.Ainsi, on a besoin de 8 lampes pour corriger une erreur (4 pour le chiffre auxquelles onen ajoute 4 pour les caractères de contrôle).

Mais Hamming a réussi à faire encore mieux, grâce à l’idée suivante (Leonhard Euler aeu l’idée d’utiliser les diagrammes de Venn).

a b

c

d

a + b+ d

a+ c + d b+ c+ d

On a donc l’application de codage suivante (ordre alphabétique).

(a, b, c, d) 7→ (a, b, c, d, a + b+ d, a + c+ d, b+ c+ d︸︷︷︸caractères de contrôle

)

Ce code plus astucieux permet de corriger une erreur et de n’utiliser que 7 lampes. Il aété démontré qu’on ne peux pas corriger une erreur avec moins de 7 lampes.




Proposition

S’il existe un code binaire 1-correcteur d’erreur de longueur n systématique sur les rpremières positions (cela signifie que sur les r premières positions on retrouve le messageà coder : le code de Hamming ci-dessus est de longueur 7 et systématique sur les 4premières positions). Alors

2n > (n + 1)2r

Preuve

Il y a 2r mots du code (un par message à coder) et 2n mots de longueur n (potentiellementrecevable après la transmission et ses multiples erreurs possibles).

Si le code est 1-correcteur, cela signifie que les sphères d’influence des mots du code sontdisjointes (rappelons que la sphère d’influence d’un mot du code contient tous les motsqui ont au plus une différence par rapport au mode du code).

Comme on parle de code binaire de longueur n, chaque sphère d’influence d’un mot ducode contient (n+ 1) mots (n modifications possibles d’un zéro ou d’un un et le mot ducode lui-même).

On a ainsinombre de mots de longueur n︷︸︸︷

2n > 2r︸︷︷︸nombre de sphères d’influences centrées en les mots du code

(n + 1)︸︷︷︸nombre de mots dans chaque sphère︸︷︷︸

nombre de mots dans toutes les sphères

On remarque, en bonus, qu’on a l’égalité lorsque tout mot de longueur n se trouve dansune unique sphère d’influence centrée en un mot du code.

Cas d’égalité

L’égalité de l’équation de la proposition se produit pour

1. n = 3 et r = 1.

Il s’agit du code 1-correcteur élémentaire donné par l’application de codage

(a) 7→ (a, a, a)

En effet, si on triple l’information, on a un code qui corrige une erreur.

2. n = 7 et r = 4.

C’est le code de Hamming vu précédemment.

3. n = 15 et r = 11.

Il existe un tel code qui a été utilisé à l’époque dans les transmissions US.

4. n = 31 et r = 26.

Il est théoriquement possible qu’un tel code existe, mais pour en avoir la certitude,il faudrait l’exhiber. Or même s’il existait, un tel code ne serait pas si utile car ilne permettrait que de corriger une erreur sur les 31 positions possibles.

5. Pour tous les nombres n entre 2 et 31 qui n’apparaissent pas ci-dessus, la valeurde r n’est pas entière. On est donc sûr qu’il n’y a pas de codes binaires de ceslongueurs n.




8.4 Les codes ISBN

En 1972, on a commencé à assigner un numéro ISBN (International Standard BookNumber) aux livres (certaines informations y sont cachées, comme la zone linguistique,etc). En 2007, le code ISBN-13 est apparu pour principalement deux raisons : augmenterla capacité de numérotation des ouvrages et s’aligner avec les codes barres.

8.4.1 Le code ISBN-10

On note N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 l’ensemble des chiffres. Le code ISBN-10 est uncode de longueur 10 sur l’alphabet A = N ∪ X.L’application de codage est la suivante.

(x1, . . . , x9) 7→ (x1, . . . , x9, x10︸︷︷︸caractère de contrôle

)

Le caractère de contrôle x10 est le reste de division par 11 du nombre9∑

i=1

i · xi.Autrement dit :

x10 ≡9∑

i=1

i · xi (mod 11)

On écrit X à la place de x10 si x10 vaut 10. Ainsi, seul le 10-ième caractère peut être un X.

Le code ISBN permet de coder 109 livres.

8.4.2 Le code ISBN-13

On note N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 l’ensemble des chiffres. Le code ISBN-13 est uncode de longueur 13 sur l’alphabet N .

L’application de codage est la suivante.

(x1, . . . , x12) 7→ (x1, . . . , x12, x13︸︷︷︸caractère de contrôle

)

Le caractère de contrôle x13 est le reste de division par 10 du nombre −∑i impairi 6= 13

xi − 3∑i pair

xi.Autrement dit : ∑

i impair

xi + 3∑

i pair

xi ≡ 0 (mod 10)

Le code ISBN permet de coder 1012 livres.

Compatibilité en ISBN-10 et ISBN-13

Pour passer d’un code ISBN-10 à un code ISBN-13, on enlève le caractère de contrôle, onajoute 978 (pour la plupart des ouvrages) et avec le code à 12 chiffres obtenus, on calculele caractère de contrôle en suivant la méthode du code ISBN-13. Par exemple, on a

ISBN-10 étape 1 étape 2 ISBN-13047144779X 047144779 978047144779 9780471447795

2980859737 298085973 978298085973 9782980859731

On ne peut pas faire la démarche à l’envers, car certains nouveaux ouvrages n’ont pas978 au début de leur code ISBN-13.


Chapitre 9

Les colorations de Pólya

9.1 Groupes de permutations

Permutations : de l’intuitif au formalisme

On permute cinq objets appelés a, b, c, d et e.

avant permutation a b c d e

après permutation b a e d c

On voit que l’objet a quitte la première position pour aller en deuxième position. Lesautres objets vont aussi bouger (même s’il se trouve que d reste à la même place).

Symboliquement, on peut représenter le déplacement ainsi.

position d’un objet avant le déplacement 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓ σ

position du même objet après le déplacement 2 1 5 4 3

On voit qu’une permutation de 5 objets est une fonction bijective d’un ensemble de 5objets dans lui-même. Les mathématiciens utilisent une notation encore meilleure enreprésentant la permutation σ de la manière suivante.

σ = (12)(35)(4)

L’ensemble de toutes les permutations de 5 objets est appelé Sym(5) ou S5. Lorsqu’il ya n objets, on note Sym(n) ou Sn (on dit « Symétrique n »).

Composition de permutations

Mathématiquement parlant, composer deux permutations revient à faire une permuta-tion, puis une deuxième. Pour voir ce qu’il se passe, superposons deux permutations σ1

et σ2.

position d’un objet avant la permutation 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓ σ1

position du même objet après la première permutation 2 1 5 4 3↓ ↓ ↓ ↓ ↓ σ2

position du même objet après la deuxième permutation 3 5 1 2 4

69



On voit que la permutation composée est

position d’un objet avant la permutation 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓ σ2 σ1

position du même objet après les deux permutations 3 5 1 2 4

C’est en fait une composition de fonctions 1 (d’où la notation σ2 σ1).Quand on travaille avec des permutations, on omet le symbole et on a

σ2 σ1 = σ2 σ1 = (15)(234) (12)(35)(4) = (15)(234)(12)(35)(4) = (13)(254)

Lorsque l’on compose des permutations, il faut lire de droite à gauche (à cause de lacomposition de fonctions).

Vocabulaire

1. Dans Sym(n), la permutation (1)(2)(3) · · · (n) est appelée id (comme identité).

2. Dans une permutation σ écrite en notation simplifiée, une parenthèse contenantn objets est appelée un n-cycle.

3. Si une permutation σ est écrite en notation simplifiée et qu’aucun nombre n’apparaîtplusieurs fois, on dit que la permutation σ est écrite en produit de cycles disjoints.

4. Le type d’une permutation σ ∈ Sym(n) est défini par

(t1, t2, . . . , tn)

où ti est le nombre de i-cycles dans la permutation lorsqu’elle est écrite en produitde cycles disjoints.

Remarque On n’est pas obligé d’écrire les 1-cycles.

Formule intéressante

Si (t1, t2, . . . , tn) est le type d’une permutation, alors on a la formule évidente suivante.

t1 + 2t2 + 3t3 + · · ·+ ntn = n

1. Rappelons que (g f)(x) = g(f(x)). On applique la fonction f à l’élément x, puis la fonction g àl’élément f(x) résultant de la première opération.




9.2 Groupes

Les permutations forment ce qu’on appelle aujourd’hui un groupe.

Définition

Un groupe est un ensemble G muni d’une opération, appelée loi de composition et notéeici ⋆, qui satisfait les propriétés suivantes.

1. Pour chaque paire d’éléments de G, notés g1 et g2, il existe un unique élément g1⋆g2.

2. Quelque soit g1, g2 et g3 dans G, on a (g1 ⋆ g2) ⋆ g3 = g1 ⋆ (g2 ⋆ g3).

3. Il existe un élément spécial de G, appelé neutre et noté e tel que g ⋆ e = e ⋆ g = g.

4. Pour chaque g ∈ G, il existe un inverse, noté g−1 tel que g ⋆ g−1 = g−1 ⋆ g = e.

Exemples de groupes

1. Les nombres entiers Z, les nombres rationnels Q, les nombres réels R et les nombrescomplexes C sont tous des groupes dont la loi de composition est l’addition. Leneutre est le zéro et les inverses sont les opposés.

2. Les fonctions réelles bijectives, dont le domaine de définition et le domaine d’arrivéesont R, forment un groupe dont la loi de composition est la composition de fonctions.Le neutre est l’application id : R → R; x 7→ x. Les inverses sont les fonctionsréciproques (c’est pour cette raison que les fonctions ont besoin d’être bijectives).

3. Les permutations de n éléments, noté Sym(n), forment un groupe à n! élémentspour lequel la loi de composition est la composition (de fonctions).

4. On découvrira en exercices les groupes de rotations et de symétries des polygonesà n côtés (appelés aussi n-gones) et les groupes de rotation des cinq solides plato-niciens.




9.3 Les actions de groupes

Une action d’un groupe G sur un ensemble E est une application

G×E −→ E(g; x) 7−→ g · x

qui satisfait les propriétés suivantes.

e · x = x pour tout x ∈ E (e est l’élément neutre de G)

g · (h · x) = (gh) · x pour tout g, h ∈ G et x ∈ E

Exemples d’actions de groupes

1. Le groupe multiplicatif R \ 0 agit sur les vecteurs du plan par multiplication.

R \ 0 × R2 −→ R2

(λ;~v) 7−→ λ~v

2. Les groupes de rotations et de symétries agissent sur les ensembles dont ils sont legroupe de rotations et de symétries.

Définitions

Lorsqu’on a une action d’un groupe G sur un ensemble E, on peut définir deux ensembles.

1. Soit x ∈ E. L’orbite de x est l’ensemble

Orb(x) = g · x : g ∈ G

2. Soit g ∈ G. L’ensemble des points fixes par g est l’ensemble

Fix(g) = x ∈ E : g · x = x

Remarques fondamentales

1. Lorsqu’un groupe G agit sur un ensemble E, chaque élément g de G permute leséléments de E.

En effet, une action associe à chaque g ∈ G, une bijection de E dans E.

2. Les orbites partitionnent l’ensemble E (en d’autres termes les orbites sont des en-sembles disjoints dont la réunion est l’ensemble E).

Notation

Si E est un ensemble, on note |E| le nombre de ses éléments.

Théorème de Burnside (sans preuve)

La moyenne du nombre de points fixes est égale au nombre d’orbites n de l’action.

Autrement dit :

n =1

|G|∑

g∈G|Fix(g)|




9.4 Les théorèmes de Pólya

L’indicateur des cycles

On considère un ensemble E à m éléments sur lequel un groupe G agit. Par cette ac-tion, chaque élément g de G permute les éléments de E avec une permutation de type(t1, t2, . . . , tm).

On peut ainsi définir l’indicateur des cycles de cette action de la manière suivante.

Z(z1, z2, . . . , zm) =1

|G|∑

g∈Gzt11 z

t22 · · · ztmm

Le théorème de Pólya 1

Le nombre de colorations inéquivalentes d’un ensemble E de m objets (sous l’action d’ungroupe G) à l’aide de k couleurs est Z(k, . . . , k).

Le théorème de Pólya 2

On cherche à colorier un ensemble E de m objets (sous l’action d’un groupe G) à l’aidede k couleurs.

Le coefficient xj11 x

j22 · · ·xjk

k du polynôme

Z( x1 + x2 + · · ·+ xk , x21 + x2

2 + · · ·+ x2k , . . . , xm

1 + xm2 + · · ·+ xm

k )

est égal au nombre de colorations inéquivalentes de E qui utilisent j1 fois la couleur x1,j2 fois la couleur x2, . . . , et jk fois la couleur xk.

Preuve du théorème de Pólya 1

On considère l’ensemble 2 C de toutes les colorations de E. L’action de groupe de Gsur l’ensemble E induit une action de groupe de G sur l’ensemble C dont le nombre decolorations inéquivalentes est exactement le nombre d’orbites de cette action.

Par la formule de Burnside, le nombre d’orbites cherché est égal à

1

|G|∑

g∈G|Fix(g)|

Or, Fix(g) est l’ensemble des colorations de E qui sont fixes par l’élément g ∈ G. Unecoloration est fixe si et seulement si dans chaque cycle de g, les éléments de E ont lamême couleur. Par conséquent, si on note (t1, t2, . . . , tm) le type de la permutation de g,l’ensemble Fix(g) contient exactement kt1+t2+···+tm = kt1kt2 · · · ktm éléments (on a k choixde couleurs pour chaque cycle).

Ainsi le nombre de colorations inéquivalentes est

Z(k, . . . , k) =1

|G|∑

g∈Gkt1kt2 · · ·ktm

2. Il s’agit de l’ensemble des applications de E dans 1, 2, 3, . . . , k. Chacune de ces applicationsassigne à un élément de E, une couleur représentée par un nombre.




Exemple

On a deux sortes de perles : les blanches et les noires. On cherche le nombre de colliersà trois perles que l’on peut construire. Afin de faire apparaître un groupe de symétriepour représenter les différents mouvements que l’on peut faire subir à un tel collier, on lereprésente à l’aide d’un triangle régulier dont les sommets sont les perles.

3

2

1

L’action du groupe de rotations et de symétries du triangle sur ses sommets permet detenir compte des colorations inéquivalentes des perles.

Établissons l’indicateur des cycles de cette action.

Élément du groupe permutation associée type de la permutationidentité id (3; 0; 0)

rotation de 2π3

(123) (0; 0; 1)rotation de 4π

3(132) (0; 0; 1)

symétrie de sommet 1 (23) (1; 1; 0)symétrie de sommet 2 (13) (1; 1; 0)symétrie de sommet 3 (12) (1; 1; 0)

Ainsi, l’indicateur est

Z(z1, z2, z3) =1

|G|∑

g∈Gzt11 z

t22 z

t33 =

1

6

(z31 + 2z3 + 3z1z2

)

Astuce : il y a deux moyens pour vérifier que l’indicateur n’a pas l’air d’être faux.

1. La somme des coefficients de chaque monôme doit faire |G| (car Z(1, . . . , 1) = 1).Ici : 1 + 2 + 3 = 6.

2. On retrouve la formule t1+2t2+3t3+ · · ·+mtm = m concernant le type de chaquepermutation sur chaque monôme. Ici, on a bien 1 · 3 = 3 pour z31 , 3 · 1 = 3 pour z13et 1 · 1 + 2 · 1 = 3 pour z11z

12 .

Par Pólya 1, le nombre de colorations à deux couleurs est donné par

Z(2, 2, 2) =1

6

(23 + 2 · 2 + 3 · 2 · 2

)=

1

6· 24 = 4

En appliquant Pólya 2, on établit l’inventaire des figures.

Z(x1 + x2, x21 + x2

2, x31 + x3

2) = 16

((x1 + x2)

3 + 2(x31 + x3

2) + 3(x1 + x2)(x21 + x2

2))

= · · · = x31 + x2

1x2 + x1x22 + x3

2

Si x1 correspond aux perles blanches et x2 aux perles noires. On lit sur l’inventaire desfigures qu’il y a 1 collier avec 3 perles blanches et 0 perles noires, 1 collier avec 2 perlesblanches et 1 perles noires, 1 collier avec 1 perles blanches et 2 perles noires et 1 collieravec 0 perles blanches et 3 perles noires.

3

2

1 3

2

1 3

2

1 3

2

1


Deuxième partie

Deuxième année

75

Chapitre 10

Nombres complexes

10.1 Introduction

Les nombres complexes ont été introduits durant la renaissance au XVIe siècle par lesmathématiciens italiens Girolamo Cardano (Jérome Cardan pour les français), RaphaëlBombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d’exprimer les solutionsdes équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan ainsi queles solutions des équations du quatrième degré (méthode de Ferrari).

En mathématiques, les nombres complexes sont utilisés dans le traitement du signal dansles séries de Fourier ; dans le calcul intégral avec les intégrales par résidus ; dans les fractalspour définir le magnifique ensemble de Mandelbrot représenté ci-dessous.

En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d’oscilla-teurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme.

En économie, les nombres complexes mettent en évidence des phénomènes d’oscillationsrencontrés dans des problèmes de cycle et de stabilité des équilibres.

Les zéros d’un polynôme du troisième degré (sans preuve)

On considère l’équation ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c et d sont des nombres réelsavec a 6= 0. Comme pour les équations du deuxième degré, mais avec plus de difficulté,on peut définir un discriminant donné par

∆ = 18abcd− 4b3d+ b2c2 − 4ac3 − 27a2d2

Si ∆ > 0, l’équation a trois solutions réelles ; si ∆ = 0, l’équation n’a qu’une solutionréelle (en fait, elle est équivalente à a(x − x0)

3 = 0 où x0 est le zéro réel) ; si ∆ < 0,l’équation a exactement une solution réelle et deux solutions complexes.

77

Lycée cantonal de PorrentruyMathématiques : deuxième année SAM


10.2 Les nombres complexes

10.2.1 Construction géométrique du nombre imaginaire

Jean-Robert Argand, né le 18 juillet 1768 à Genève et mort le 13 août 1822 à Paris, étaitun mathématicien suisse.

En 1806, alors qu’il tient une librairie à Paris, il publie une interprétation géométriquedes nombres complexes, dans un texte intitulé «Essai sur une manière de représenter lesquantités imaginaires par des constructions géométriques». Pour cette raison, le plan, vucomme ensemble des nombres complexes, est parfois appelé le plan d’Argand.

Néanmoins, le plan complexe est plus souvent appelé plan de Gauss, ou aussi pland’Argand-Gauss.

Les images ci-dessous sont issues du film «Dimensions» de Jos Leys, Étienne Ghys etAurélien Alvarez, que l’on peut gratuitement visualiser ou télécharger en plusieurs languessur http://www.dimensions-math.org/.

Dans son essai, Jean-Robert Argand a observé le phénomène suivant sur la droite réelle.

Lorsque qu’on multiplie 1 par −1 on effectue une rotation d’un demi-tour.

En multipliant deux fois par −1 on effectue une rotation d’un tour complet.

On a donc 1 · (−1) · (−1) = 1 ⇐⇒ (−1)2 = 1.

On dit que 1 est le carré de −1, et que −1 est une racine carrée de 1.

Lorsqu’on multiplie deux fois par −2, on obtient 4.

On a donc 1 · (−2) · (−2) = 4 ⇐⇒ (−2)2 = 4.

On dit que 4 est le carré de −2, et que −2 est une racine carrée de 4.


http://www.dimensions-math.org/

Cours de MathématiquesMathématiques : deuxième année SAM


On sait que les carrés sont des nombres positifs ou nuls,et donc que −1 n’a aucune racine carrée.

L’idée de Jean-Robert Argand est la suivante.

Il imagine un point en dehors de la droite réelle.Pour aller sur ce point, on effectue une rotation d’un quart de tour.

Si on effectue deux fois ce quart de tour, on arrive sur le nombre −1.

Ainsi, on a réussi à créer géométriquement une racine carrée de −1

Ce nouveau nombre, qui n’est pas un nombre réel,a été appelé nombre imaginaire, et noté i.

Cela a permis de créer un nouvel ensemble : les nombres complexes,représentés ainsi dans le plan d’Armand-Gauss.

Ri

b

b

b

b

z1 = 3 + i

z2 = −3 + 4i

z3 = −2− 3i

z4 = 2− 2i

Ri

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4i

−3i

−2i

−i

i

2i

3i

4i

R

On en tire un fait important : dans le plan de Gauss, la multiplication par le nombre icorrespond à une rotation de 90 dans le sens trigonométrique.

L’ensemble des nombres complexes est défini à l’aide du nombre i et des nombres réelsde la façon suivante.

C = a+ b i : a, b ∈ R avec i2 = −1




10.2.2 Les deux façons de décrire un nombre complexe

On considère le nombre complexe z. On peut représenter les nombres complexes par despoints dans le plan de Gauss et les décrire des deux manières différentes suivantes.

forme cartésienne forme trigonométrique

a

bi b

z = a + bi

rϕ

b

z = r cis(ϕ)

Définitions

1. La forme cartésienne d’un nombre complexe est donnée par z = a+ bi où

- le nombre a s’appelle la partie réelle du nombre complexe z, notée Re(z) ;

- le nombre b s’appelle la partie imaginaire du nombre complexe z, notée Im(z).

2. La forme trigonométrique d’un nombre complexe est donnée par z = r cis(ϕ) où

- le rayon r du cercle sur lequel z se trouve est appelé le module de z, noté |z| ;- l’angle trigonométrique ϕ qui définit z est appelé l’argument de z, noté arg(z).

Pour passer de la forme cartésienne à la forme trigonométrique

1. Par Pythagore, on a r =√a2 + b2.

2. Par «tan-opp-adj», on a ϕ = tan−1(ba

)si z est dans le premier cadran. S’il n’est

pas dans le premier cadran, on calcule tan−1∣∣ ba

∣∣ et on fait un schéma pour savoircomment corriger l’angle trouvé pour avoir l’argument ϕ.

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme cartésienne

1. Par définition de cos(ϕ) et un facteur d’homothétie r, on a a = r cos(ϕ).

2. Par définition de sin(ϕ) et un facteur d’homothétie r, on a b = r sin(ϕ).

On comprend maintenant que z = a+ bi = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)i = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

)se

note simplement z = r cis(ϕ) (c pour cos, i pour i et s pour sin).

La notation avec l’exponentielle

En travaillant avec les développements de Maclaurin (se référer au cours OS sur le siteweb www.vive-les-maths.net), on peut démontrer que

r cis(ϕ) = reiϕ

où e est le nombre d’Euler qui vaut environ 2.71828.


www.vive-les-maths.net



Voici le plan de Gauss avec une superposition des repères cartésien et trigonométrique,et quelques nombres complexes donnés sous leur forme cartésienne ou trigonométrique.

Ri

b

b

b

b

b

b

z1 = 2− 3i

z2 = 3 + i

z3 = −1− 3i

z4 = cis(π3

)z5 = 2 cis

(π4

)

z6 = 3 cis(7π6

)

−3 −2 −1 1 2 3

−3i

−2i

−i

i

2i

3i

R

10.2.3 L’addition de deux nombres complexes

La bijection C → R2; a + bi 7→(ab

)permet de voir les nombres complexes comme des

vecteurs du plan (attachés à l’origine).

C

a

bi b a + bi

R2

a

b

(a

b

)

On additionne géométriquement les nombres complexes comme les vecteurs du plan R2.On a ainsi la correspondance

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

(a

b

)+

(c

d

)=

(a+ c

b+ d

)




10.2.4 La multiplication de deux nombres complexes

On considère les nombres complexes z1 = a + bi = r1 cis(α) et z2 = r2 cis(β). On peutreprésenter les nombres complexes par des points dans le plan de Gauss ou même desvecteurs en reliant les points depuis l’origine.

z1

r1

a

bα

z2

r2

β

Grâce au calcul suivantz1 z2 = (a+ bi) z2 = a z2 + b z2 i

on voit que cette multiplication revient à additionner a fois le nombre complexe z2 etb fois le nombre complexe z2 tourné d’un quart de tour. On peut illustrer cette situationainsi

z1z2

a z2

b z2

b z2 i

z1 z2

·iγ

α

β

On voit ainsi que |z1 z2| = |z1| · |z2|. En effet, par Pythagore dans le grand triangle bleu,la longueur de z1 z2 vaut

√a2 + b2 fois la longueur de z2 (et

√a2 + b2 correspond à la

longueur de z1).

On voit aussi que arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2). En effet, le grand triangle bleu estsemblable au triangle construit à partir de z1, on a donc γ = α + β.

Ainsi, on a la formuler1 cis(α) · r2 cis(β) = r1r2 cis(α + β)

Elle se résume ainsi : «quand on multiplie deux nombres complexes, leurs modules semultiplient et leurs arguments s’additionnent».

Ce qui donne naturellement pour la notation exponentielle

r1eiα · r2eiβ = r1r2 · ei(α+β)




10.2.5 Le conjugué d’un nombre complexe

Si z est un nombre complexe, son conjugué, noté z, est le point symétrique par l’axe réeldans le plan de Gauss.

r

a

bi

ϕ

b

z = a+ bi= r cis(ϕ)

r

−bi

−ϕ

b

z = a− bi= r cis(−ϕ)

10.2.6 La division de deux nombres complexes

L’idée fondamentale sous-jacente à la division de deux nombres complexes est

«Pour calculer z1z2

, on amplifie la fraction par le conjugué de z2»

Avec la forme cartésienne : si z1 = a + bi et z2 = c+ di, on a

z1z2

=a+ bi

c+ diidée=

fond.

(a+ bi)(c− di)

(c+ di)(c− di)=

ac− bdi2 + bci− adi

c2 − (di)2

i2=−1=

ac+ bd+(bc− ad

)i

c2 + d2

=ac+ bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i

Avec la forme trigonométrique : si z1 = r1 cis(α) et z2 = r2 cis(β), on a

z1z2

=r1 cis(α)

r2 cis(β)

idée=

fond.

r1 cis(α) · r2 cis(−β)

r2 cis(β) · r2 cis(−β)

quand on multiplie deux nombres complexes,leurs modules se multiplient et leurs arguments s’additionnent

=r1r2 cis

(α+ (−β)

)

r2r2 cis(β + (−β)

) =r1 cis(α− β)

r2 cis(0)=

r1r2

cis(α− β)

car on a cis(0) = cos(0) + i sin(0) = 1 + 0i = 1

Ainsi : «quand on divise deux nombres complexes, leurs modules se divisent et leursarguments se soustraient».


r1eiα

r2eiβ=

r1r2

· ei(α−β)




10.2.7 La formule de Moivre

Le mathématicien français Abraham de Moivre (1667-1754) a trouvé la formule trigono-métrique suivante.

(cos(ϕ) + i sin(ϕ)

)n= cos(nϕ) + i sin(nϕ) pour tout n > 1

⇐⇒ (cis(ϕ))n = cis(nϕ) pour tout n > 1


(eiϕ)n = einϕ pour tout n > 1

10.2.8 Les racines énièmes d’un nombre complexe

Lorsqu’on considère une équation sur les nombres complexes, on préfère noter l’inconnue z(plutôt que de la noter x comme on le ferait pour une équation sur les nombres réels).

Définition

Soit z0 un nombre complexe.Les solutions de l’équation zn = z0 sont appelées racines n-ième du nombre complexe z0.

Attention

Un nombre complexe non nul admet n racines n-ièmes complexes et cela soulève unecontradiction si on continue d’utiliser la notation n

√pour les racines énièmes.

1 =√1 =

√(−1) · (−1) =

√−1 ·

√−1 =

(√−1)2

= −1

Dans les nombres complexes, i et −i sont deux racines carrées de −1. Dans la ligneci-dessus,

√−1 représente une fois i et une fois −i, car le calcul ci-dessous est juste.

1 =√1 =

√(−1) · (−1) = i · (−i) = −i2 = 1

Il n’y a donc plus unicité pour les racines énièmes (dans le cas des nombres réels, n√a

représente l’unique solution de xn = a, qui est la solution positive ou nulle lorsqu’il y adeux solutions réelles). Dans les nombres complexes, les relations < et > perdent leursens, et ainsi on ne doit plus utiliser la notation n

√(sauf si elle a un sens dans les

nombres réels, ce qui n’est pas le cas de√−1 par exemple).

Résultat (démonstration en exercice grâce à de Moivre)

Soit z0 un nombre complexe non nul. Alors z0 possède n racines n-ième distinctes.

Du point de vue de l’informatique.

La plupart des logiciels ou calculatrices font le choix suivant pour l’argument.

1. Si la partie imaginaire de z0 est positive ou nulle, alors z0 = reiϕ avec ϕ ∈ [0, π].

2. Si la partie imaginaire de z0 est négative, alors z0 = re−iϕ avec ϕ ∈ ]0, π[.

De cette façon lorsque l’on active la fonction ou la touche de la racine n-ième, ils livrentla solution z0 avec le plus petit argument. Le lecteur profitera de l’occasion pour regardercomment sa calculatrice calcule la racine cubique de −1.




Sur l’extraction de racines carrées avec la forme cartésienne

Lorsqu’on cherche les racines carrées du nombre complexe a+ bi, cela revient à chercherà résoudre l’équation z2 = a+ bi. En posant z = x+ yi, cette équation s’écrit

(x+ yi)2 = a+ bi ⇐⇒ x2 − y2 + 2xyi = a + biunicité de⇐⇒l’écriture

x2 − y2 = a

2xy = b

On peut se contenter de résoudre ce système de deux équations à deux inconnues dansles nombres réels, mais il existe une manière de simplifier cette résolution.

On utilise la propriété du module qui dit que |z2| = |z|2 pour écrire

|z2| = |a+ bi| ⇐⇒ |z|2 = |a+ bi| z=x+yi⇐⇒ |x+ yi|2 = |a+ bi| ⇐⇒ x2 + y2 =√a2 + b2

En ajoutant cette équation au système d’équations précédent, on obtient un système detrois équations à deux inconnues extrêmement facile à résoudre et l’équation 2xy = b nesera alors utile que pour dire si x et y sont de signes opposés ou de même signe.

Sur l’extraction de racines énièmes avec la forme trigonométrique

On démontre, en exercice, que les racines n-ièmes de z = r cis(ϕ) sont données par

n√r · cis

(ϕ

n+

2πk

n

)= n

√r · ei(ϕ

n+ 2πk

n ) pour k ∈ 0, 1, 2, . . . , n− 1

10.3 Résolution d’équations

10.3.1 Le théorème fondamental de l’algèbre

L’intérêt principal de l’ensemble des nombres complexes réside dans le théorème suivant.

Théorème

Tout polynôme p(z) de degré n > 1 et à coefficients dans C admet n racines (nonnécessairement distinctes) dans C.

10.3.2 Résolution d’équations du premier degré

Il y a aucune différence par rapport aux résolutions d’équation du premier degré dans lesnombres réels.

10.3.3 Résolution d’équations du deuxième degré

Il y n’a qu’une seule subtilité qui différentie la résolution des équations du deuxième degrédans les nombres réels de la résolution dans les nombres complexes : le symbole

√∆

ne s’utilise que lorsque ∆ > 0 (ce qui signifie implicitement que ∆ ∈ [0,+∞] ⊂ R).Si ∆ 6∈ [0,+∞], alors ses racines carrées existent, mais ne peuvent pas être notées enutilisant le symbole

√. Il faut donc nommer, par exemple r, une racine carrée de ∆

(dans ce cas, la deuxième racine carrée de ∆ est −r) et la formule de Viète devient

az2 + bz + c = 0 ⇐⇒ z =−b± r

2aLe lecteur désirant comprendre cette formule est prié de se référer au chapitre 4, section 3du cours de discipline fondamentale se trouvant sur www.vive-les-maths.net.


www.vive-les-maths.net



10.3.4 Résolution d’équations du troisième degré

Pour résoudre les équations du troisième degré de manière générale, il faut passer par lesnombres complexes.

Première étape

On transforme l’équation az3 + bz2 + cz + d = 0 avec a 6= 0 en équation de la forme

y3 + py + q = 0

Pour cela, on pose z = y − b

3a(remarquer que l’on peut diviser par a puisque a 6= 0).

En effet, lorsqu’on effectue la substitution, l’équation devient

az3 + bz2 + cz + d = ay3 +

(c− b2

3a

)y +

(2b3

27a2+ d− bc

3a

)= 0

= a

(y3 +

(c

a− b2

3a2

)y +

(2b3

27a3+

d

a− bc

3a2

))= 0

L’équation est donc bien équivalente à une équation de la forme

y3 + py + q = 0 avec p =c

a− b2

3a2et q =

2b3

27a3+

d

a− bc

3a2

Deuxième étape

On trouve une formule permettant de résoudre toutes les équations du troisième degréde la forme

y3 + py + q = 0

Comme on sait déjà résoudre cette équation lorsque p ou q sont nuls, on va supposer parla suite, qu’ils ne sont pas nuls.

L’idée, très astucieuse, consiste à transformer cette équation en un système d’équations àdeux inconnues. Pour cela, on utilise la substitution y = u+ v et on ajoute la condition

3uv = −p qui est là pour simplifier l’expression obtenue lorsqu’on remplace y par u+ v.Ainsi, on a

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0

3uv = −p⇐⇒

u3 + v3 = −q3uv = −p

⇐⇒

u3 + v3 = −q

u3 · v3 = −p3

27

3uv = −p

En effet, en développant la première équation et en remplaçant p par −3uv, on trouve

u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 − 3u2v − 3uv2 + q = 0

On peut ensuite simplifier cette expression qui devient

u3 + v3 + q = 0




La deuxième équivalence est obtenue en élevant la deuxième équation au cube. On estobligé de conserver l’équation que l’on a élevé au cube, car dans les nombres complexes,la fonction f(z) = z3 n’est pas bijective.

Cette idée nous a permis d’introduire deux nombres complexes u et v tels que leur cubesatisfait

u3 + v3 = −q

u3 · v3 = −p3

27

et 3uv = −p

On constate ici, que u3 et v3 sont solutions de l’équation du deuxième degré suivante.

(x− u3)(x− v3) = x2 − (u3 + v3)x+ u3 · v3 = x2 + qx− p3

27= 0

Afin d’avoir un discriminant qui soit plus facile à mémoriser, on modifie très légèrementcette équation en la divisant par 2.

1

2x2 +

q

2x− p3

2 · 27 = 0

Le discriminant de cette équation est

∆ =q2

4+

p3

27=(q2

)2+(p3

)3

En notant r pour une des deux racines carrées de ∆ (rappelons que la deuxième racinecarrée est −r), on arrive à exprimer u3 et v3 en fonction de p et de q en résolvant cetteéquation.

u3 = −q

2+ r

(et v3 = −q

2− r)

où r est une racine carrée de ∆ =(q2

)2+(p3

)3

Pour trouver u, on extrait les trois racines cubiques de u3, appelées u1, u2 et u3. A chaquevaleur de u va correspondre une unique valeur de v donnée par la relation

3uv = −p

On appellera respectivement v1, v2 et v3 ces valeurs. Remarquons qu’on est obligé d’uti-liser cette façon pour trouver les racines cubiques de v associées à u (car si elles étaientindépendantes, il aurait neuf combinaisons possibles pour u+ v).

Les solutions y sont données par

y1 = u1 + v1 y2 = u2 + v2 y3 = u3 + v3

On revient à z pour avoir les solutions de l’équation de départ.

z1 = u1 + v1 −b

3az2 = u2 + v2 −

b

3az3 = u3 + v3 −

b

3a

La méthode de Cardan

En 1545, Cardan a publié cette méthode trouvée par Scipione del Ferro et Tartaglia dansun cas plus particulier.

Lorsque p et q sont des nombres réels, et que ∆ > 0, alors l’équation n’a qu’une solutionréelle qui est donnée par

3

√

−q

2+

√(q2

)2+(p3

)3+

3

√

−q

2−√(q

2

)2+(p3

)3




10.4 D’autres valeurs exactes de cosinus et de sinus

Cette idée provient de Paul Jolissaint (qui était professeur de mathématiques au lycéecantonal de Porrentruy). On va calculer d’abord la valeur exacte de cos

(2π5

). Ce qui nous

permettra grâce aux formules trigonométriques suivantes, vraies pour 0 6 α 6 π2, de

trouver les valeurs exactes de sin(2π5), cos(π

5) et de sin(π

5).

sin(α) =√

1− cos2(α) et cos(α) =

√1 + cos(2α)

2

1. Calcul de la valeur exacte de cos(2π5

)et de sin

(2π5

).

Posons z0 = cos(2π5) + i sin(2π

5) = e

2iπ5 . Ce z0 satisfait l’équation z5 − 1 = 0.

Or, puisqu’on a la factorisation z5 − 1 = (z4 + z3 + z2 + z+1)(z− 1) et que z0 6= 1,alors z0 satisfait les équations équivalentes suivantes.

z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0:z2⇐⇒ z2 + z + 1 +

1

z+

1

z2= 0

⇐⇒(z2 +

1

z2

)+

(z +

1

z

)+ 1 = 0

astuce⇐⇒(z2 + 2 +

1

z2

)+

(z +

1

z

)− 1 = 0

⇐⇒(z +

1

z

)2

+

(z +

1

z

)− 1 = 0

Or,x0 = z0 +

1

z0= e

2iπ5 + e−

2iπ5 = 2 cos

(2π

5

)

Ainsi, x0 est un nombre réel qui satisfait les équations équivalentes suivantes.

x2 + x− 1 = 0 ⇐⇒ x =−1 ±

√5

2

Or, comme 2π5< π

2, on sait que x0 > 0 et donc que x0 =

−1+√5

2. Ainsi

cos

(2π

5

)=

√5− 1

4et sin

(2π

5

)=

√10 + 2

√5

4

en utilisant la formule qui permet de trouver le sinus à partir du cosinus.

2. Calcul de la valeur exacte de cos(π5

)et de sin

(π5

).

On utilise une des formules citées en rappel pour obtenir l’expression suivante.

cos(π5

)=

√1 + cos(2π

5)

2=

√1 +

√5−14

2=

√3 +

√5

8=

√1 + 2

√5 + 5

16

En repérant une identité remarquable, on obtient

cos(π5

)=

√5 + 1

4et sin

(π5

)=

√10− 2

√5

4

en utilisant la formule qui permet de trouver le sinus à partir du cosinus.




10.5 Une projection stéréographique

Voici une projection stéréographique p de la sphère de Riemann, notée S2 \ N où Nest le pôle nord, sur le plan de Gauss C. Cette projection étant bijective, elle admet unefonction réciproque notée p−1.

Les descriptions de ces deux applications sont

p : S2 \ N → C

P (x; y; z) 7→ x+ yi

1− z

etp−1 : C → S2 \ N

a+ bi 7→ P(

2aa2+b2+1

; 2ba2+b2+1

; a2+b2−1a2+b2+1

)

Cette projection stéréographique envoie l’hémisphère nord sur l’extérieur du cercle trigo-nométrique, l’hémisphère sud sur l’intérieur du cercle trigonométrique et l’équateur surle cercle trigonométrique.

Cette projection stéréographique consiste a prendre la droite passant par le pôle nord Net un autre point de la sphère P . La projection de ce point est l’intersection entre cettedroite et le plan de Gauss (calcul de géométrie spatiale).

Voici une représentation graphique où les points oranges sont sur la sphère de RiemannS2 \ N, le point blanc est le pôle nord N et les points bleus sont sur le plan de Gauss.




10.6 Les fonctions complexes

A partir de maintenant, la lettre D représente un domaine ou sous-ensemble de l’ensembledes nombres complexes C. Il est possible que le domaine D soit égal à l’ensemble desnombres complexes, on aurait ainsi D = C.

10.6.1 Définition

Une fonction complexe f est une fonction qui associe à un nombre complexe z (faisantpartie d’un domaine D) un nombre complexe f(z) (dépendant généralement de z).

Notation mathématique.

f :D→ C

z 7→ f(z)ou f : D → C; z 7→ f(z)

10.6.2 Représentation graphique

Contrairement aux fonctions réelles f : D → R (où D est un domaine de R), on ne peutpas dessiner de graphes pour les fonctions complexes.Rappelons ce qui se passe pour les fonctions réelles. L’ensemble des nombres réels estreprésenté par une droite, appelée la droite réelle, qui est un objet mathématique dedimension 1.

R

4 3 2 1

0 1 2 3 4

e

1

On représente le graphe d’une fonction réelle dans le plan, qui est un objet mathématiquede dimension 2, de la manière suivante.

R

R

4 3 2 1

1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

b

(x; f(x))

Ainsi, comme le plan de Gauss est un objet mathématique de dimension 2, si l’on tenaità représenter les fonctions complexes de la même manière, il faudrait travailler avec unobjet mathématique de dimension 4 ! Ceci n’étant pas possible, on préfère faire autrement.




Pour décrire graphiquement une fonction complexe, on dessine deux plans complexes,l’un représentant le domaine D de départ et l’autre représentant l’ensemble d’arrivée quiest le plan de Gauss.

R

R i

4 3 2 1

1 2 3 4

4i

3i

2i

i

i

2i

3i

4i

b

z

1

b

z

2

b

z

3

f−→R

R i

4 3 2 1

1 2 3 4

4i

3i

2i

i

i

2i

3i

4i

b

f(z

1

)

b

f(z

2

)

b

f(z

3

)

On peut aussi n’utiliser qu’un seul plan de Gauss, à condition de mettre des couleurs afinde distinguer les ensembles de départ et d’arrivée de la fonction.

10.6.3 Isométries, similitudes et similitudes rétrogrades

Transformations simples

Grâce aux représentations graphiques vues ci-dessus, on peut voir une fonction complexecomme une transformation du plan de Gauss. Les transformations les plus simples sont

1. Les translations.

2. Les homothéties.

3. Les rotations.

4. Les symétries.

Définitions et résultats

Définitions

1. La composition d’un nombre fini de translations et de rotations est une isométrie.

2. La composition d’un nombre fini d’isométries ou d’homothéties est appelée simili-tude directe ou similitude.

Deux figures, images l’une de l’autre par similitude, sont dites semblables.

3. La composition d’une similitude directe et d’une symétrie axiale est appelée simi-litude rétrograde.

Premiers résultats

1. Toute isométrie s’écrit f(z) = az + b avec a, b ∈ C tels que |a| = 1.

2. Toute similitude s’écrit f(z) = az + b avec a, b ∈ C.

3. Toute similitude rétrograde s’écrit f(z) = az + b avec a, b ∈ C.




Deuxièmes résultats

1. Une similitude directe ou rétrograde envoie une droite sur une droite et un cerclesur un cercle.

2. Une similitude directe conserve les angles (l’image par une similitude directe d’unangle droit est donc un angle droit) et envoie un triangle sur un triangle semblable(de même orientation).

3. Une similitude rétrograde inverse les angles (l’image par une similitude rétrograded’un angle de π

6est un angle de −π

6) et envoie un triangle sur un triangle presque

semblable (dont l’orientation est inversée).

10.6.4 Points fixes

Définition

Soit f une fonction complexe. On dit que z0 est un point fixe de f si f(z0) = z0.

10.6.5 Deux exercices avec leur corrigé

z Exercice 1

On considère la similitude rétrograde f : z 7→ f(z) = −2 i z + 1 + i.Décrire f , puis décrire l’image par f des sous-ensembles de C caractérisés par les condi-tions suivantes.

a) |z| = 1 b) 12< Im(z) < 2 c) Re(z)2 = Im(z)2

z Exercice 2

Soit f : D → C; z 7→ f(z) =z − 1

z + 1.

1. Déterminer le plus grand domaine de définition D possible.

2. Quelle est l’image de l’axe réel ?

3. Quelle est l’image de l’axe imaginaire ?

4. Quel est l’ensemble des z tels que f(z) soit purement imaginaire ?

5. Quels sont les points fixes de f ?

6. Calculer f f .




Correction de l’exercice 1

La similitude est une symétrie par rapport à l’axe réel, suivie d’une rotation de 90 autourde 0, puis d’une homothétie de facteur −2 et finalement d’une translation de 1 + i.

a) L’ensemble z ∈ C : |z| = 1 représente le cercle de rayon 1 centré en 0.

R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

f−→R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

Son image par f est le cercle de rayon 2 centré en 1 + i, décrit par l’ensemblez ∈ C : |z − (1 + i)| = 2.

b) L’ensemble z ∈ C : 12< Im(z) < 2 représente une bande horizontale passant

entre 12i et 2i.

R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

f−→R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

Son image par f est une bande verticale passant entre −3 et 0, décrit par l’ensemblez ∈ C : −3 < Re(z) < 0.

c) L’ensemble z ∈ C : Re(z)2 = Im(z)2 représente les deux diagonales qui traversentle plan de Gauss.

R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

f−→R

R i

3 2 1

1 2 3

3i

2i

i

i

2i

3i

Son image par f est encore deux diagonales, mais décalées de sorte que leur inter-section se trouve au point 1 + i. L’ensemble correspondant est décrit comme ceci :z ∈ C : (Re(z)− 1)2 = (Im(z)− 1)2.




Correction de l’exercice 2

1. Comme on ne peux pas diviser par 0, alors D = C \ −1.2. L’axe réel est décrit par l’ensemble λ : λ ∈ R ⊂ C. Retirons λ = −1 pour se

retrouver dans le domaine de définition de f . Il faut donc examiner les valeurs pos-sible de f(λ) avec λ ∈ R\−1. Ces valeurs correspondent à l’image de l’applicationréelle f : R \ −1 → R;λ 7→ λ−1

λ+1dont le graphe est

y

4 3 2 1

1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

On voit que tous les nombres réels différents de 1 sont dans l’image. Ainsi l’imagede l’axe réel par f est z ∈ R : z 6= 1 ⊂ C.

3. Calculons f(λi) avec λ ∈ R, on a

f(λi) =λi− 1

λi+ 1=

−(1− λi)

1 + λi· 1− λi

1− λi=

−(1− λi)2

1 + λ2=

−(1 − 2λi+ λ2i2)

1 + λ2

=λ2 + 2λi− 1

λ2 + 1=

λ2 − 1

λ2 + 1+

2λ

λ2 + 1i

On remarque que |f(λi)| = 1 quelque soit λ ∈ R. En effet, on a

|f(λi)| = (λ2 − 1)2 + (2λ)2

(λ2 + 1)2=

λ4 − 2λ2 + 1 + 4λ2

λ4 + 2λ2 + 1= 1

Ainsi, les nombres complexes f(λi) vivent dans le cercle de rayon 1 centré en 0.Mais cela ne permet pas de conclure que tous les points du cercle sont dans l’image.

Afin de déterminer quels points du cercle sont dans l’image de l’axe imaginaire,regardons les graphes des applications réelles.

g : R → R;λ 7→ λ2 − 1

λ2 + 1h : R → R;λ 7→ 2λ

λ2 + 1

λ

g(λ) = Re(f(λi))

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

λ

h(λ) = Im(f(λi))

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1




On a les valeurs suivantes.

λ → −∞ −1 0 1 → +∞f(λi) → 1 −i −1 i → 1

Puisqu’on sait que f(λi) est sur le cercle trigonométrique et que les fonctions get h sont continues, l’image par f de l’axe imaginaire est exactement le cercletrigonométrique complexe sans le point 1. Autrement dit :

f(Ri) = z ∈ C : |z| = 1 et z 6= 1

4. Commençons par calculer f(x+ iy), on a

f(x+ iy) =x+ iy − 1

x+ iy + 1=

(x+ iy − 1)(x− iy + 1)

(x+ 1)2 + y2

=x2 − ixy + x+ ixy + y2 + iy − x+ iy − 1

(x+ 1)2 + y2=

x2 + y2 − 1 + 2iy

(x+ 1)2 + y2

=x2 + y2 − 1

(x+ 1)2 + y2+

2y

(x+ 1)2 + y2i

On cherche les nombres complexes z = x + iy tels que la partie réelle de f(z) soitnulle, en d’autres termes, on veut que

x2 + y2 − 1

(x+ 1)2 + y2= 0

On a donc l’équation x2+y2 = 1, cela signifie que les nombres complexes recherchéssont tous de module 1. Ainsi, l’ensemble des z tels que f(z) soit purement imaginaireest le cercle de rayon 1 centré en 0 moins le point −1 qui n’est pas dans le domainede définition. En termes ensemblistes : z ∈ C : |z| = 1 et z 6= −1.

5. On cherche à résoudre l’équation f(z) = z que l’on peut écrire

z − 1

z + 1= z

En multipliant par z + 1 de chaque côté de l’équation, on obtient

z − 1 = z2 + z

En simplifiant par z, on a z2 = −1. Les solutions de cette équation sont i et −i. Cesont les points fixes de f .

6. À calculer : (f f)(z) = f(f(z)).On a

f(f(z)) =f(z)− 1

f(z) + 1=

z−1z+1

− 1z−1z+1

+ 1=

z−1−(z+1)z+1

z−1+(z+1)z+1

=−2

2z= −1

z


Chapitre 11

L’ensemble de Mandelbrot et

les ensembles de Julia

11.1 Préliminaires

11.1.1 Suites de nombres complexes

Une suite de nombres complexes est une liste ordonnée de nombres complexes, notéez = (zn)n∈N = (z0, z1, z2, . . . , zn, . . .).

11.1.2 Module et inégalité triangulaire

Soit z = x+iy un nombre complexe. On définit le modulede z par

|z| =√x2 + y2

Il s’agit de la distance du nombre z à l’origine dans leplan complexe. Ainsi |z| est un nombre réel positif ounul, qui n’est nul que pour z = 0. Cette définition pro-longe celle de la valeur absolue.

R

R i

√x2 + y2

C

b z = x+ iy

Inégalité triangulaire

La formule ci-dessous s’appelle l’inégalité tri-angulaire.

|z1 + z2| 6 |z1|+ |z2| pour tout z1, z2 ∈ C

Cela signifie qu’il est toujours plus courtd’aller directement à z1 + z2 que de passerd’abord par z1 (ou z2). Cela revient au mêmelorsque les points sont alignés !

R

R i

|z 1|

|z2|

|z1+z2|

C

bz1

bz2

b z1 + z2

11.1.3 Inégalité triangulaire renversée (ITR)

On a |z1| = |z1 + z2 − z2| 6 |z1 + z2|+ |z2| grâce à l’inégalité triangulaire. Ainsi

|z1 + z2| > |z1| − |z2|

Il s’agit de l’inégalité triangulaire renversée.

97



11.1.4 Boules centrées à l’origine

L’ensemble des nombres complexes dont la distanceà l’origine est plus petite ou égale à un rayon donnér est noté B6r(0).

Notation ensembliste

B6r(0) = z ∈ C : |z| 6 r

Ci-contre, les boules B61(0), B62(0) et B63(0) sontreprésentées dans le plan complexe.

R

R i

−3 −2 −1 1 2 3

−3i

−2i

−i

i

2i

3i

11.1.5 Suites bornées

Une suite de nombres complexes (zn)n∈N est bornée s’il existe un rayon r pour lequel tousles éléments de la suite sont dans B6r(0), c’est-à-dire zn ∈ B6r(0) pour tout n ∈ N.

Autrement dit, une suite n’est pas bornée si et seulement si

|zn| −→ +∞ lorsque n → +∞C’est-à-dire, une suite est bornée si et seulement si elle ne s’éloigne pas irrémédiablementde l’origine (ou de tout autre point).

11.1.6 Notation pour les compositions de fonctions

Soit f : C → C une fonction complexe. On note f (n) pour la fonction f f f · · · f(avec n fois la fonction f).

Autrement ditf (n)(z) = (f f f · · · f)︸︷︷︸

n fois la fonction f

(z) = f(f(· · ·f(z)))︸︷︷︸n fois la fonction f

Par défaut, on pose f (0)(z) = z («si on n’applique aucune fois la fonction f à z, onobtient z, c’est-à-dire que l’on ne fait rien»).

11.2 L’ensemble de Mandelbrot

Pour chaque c ∈ C, on se donne la fonction

fc : C → C; z 7→ z2 + c

Pour définir l’ensemble de Mandelbrot, on examine les suites de la forme

sc =(f (n)c (0)

)n∈N =

(0, fc(0), fc(fc(0)), . . . , f (n)

c (0), . . .)

Deux cas exclusifs se produisent.

1. La suite sc est bornée.

2. La suite sc n’est pas bornée.

L’ensemble de Mandelbrot, noté M , est l’ensemble des nombres complexes c ∈ C pourlesquels les suites sc sont bornées. En termes mathématiques

M = c ∈ C : sc est bornée




11.2.1 Une première propriété de l’ensemble de Mandelbrot

On va montrer que l’ensemble de Mandelbrot est contenu dans la boule de rayon 2 centréeà l’origine. Mais pour établir ce résultat, on a besoin d’un lemme. Ce lemme servira parla suite à établir un critère permettant de dessiner l’ensemble de Mandelbrot sur unordinateur.

Lemme

Soit c ∈ C.Supposons qu’il existe un terme, appelé z, de la suite sc qui satisfait

H1 : |z| > |c| et H2 : |z| > 2

Alors, la suite sc n’est pas bornée.

Preuve

Posons α = |z| − 1. Par H2, on a α > 1.

Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N, on a∣∣f (n)

c (z)∣∣ > αn|z| > |z| > |c|

Ancrage : c’est évident pour n = 0, car on a

|z| > |z| > |z|H1

> |c|

Pas de récurrence : on montre si c’est vrai pour n, alors c’est vrai pour n+ 1.

∣∣∣f ((n+1))c (z)

∣∣∣ =∣∣∣fc(f(n)c (z)

)∣∣∣ =

∣∣∣∣(f(n)c (z)

)2+ c

∣∣∣∣

ITR>

∣∣∣∣(f(n)c (z)

)2∣∣∣∣− |c|

HR

>

∣∣∣∣(f(n)c (z)

)2∣∣∣∣−∣∣∣f (n)

c (z)∣∣∣ =

∣∣∣f (n)c (z)

∣∣∣2

−∣∣∣f (n)

c (z)∣∣∣

=( ∣∣∣f (n)

c (z)∣∣∣− 1

) ∣∣∣f (n)c (z)

∣∣∣

HR>(|z| − 1

) ∣∣∣f (n)c (z)

∣∣∣ = α∣∣∣f (n)

c (z)∣∣∣

HR

> α · αn|z| = αn+1|z|

α>1

> |z|H1

> |c|

Donc|f (n)

c (z)| > αn|z| −→ +∞ lorsque n → +∞

Par conséquent, |f nc (z)| −→ +∞ lorsque n → +∞.

Cela montre que la suite sc = (0, fc(0), . . . , z, . . . , f(n)c (z), . . .) n’est pas bornée.




Propriété 1

L’ensemble de Mandelbrot est contenu dans la boule de rayon 2 centrée à l’origine.En d’autres termes :

M ⊂ B62(0)

Preuve

Par contraposée, on suppose que c 6∈ B62(0) et on montre que c 6∈ M . Autrement dit, onmontre que chaque suite sc, avec c ∈ C tel que |c| > 2, est non bornée.

Soit donc c ∈ C tel |c| > 2. On a

sc = (0, c, fc(c), . . .)

Le deuxième terme, c, satisfait les hypothèses du lemme (H1 : |c| > |c| est banal etH2 : |c| > 2 est l’hypothèse de départ de cette propriété).

Ainsi, par le lemme, la suite sc n’est pas bornée !

11.2.2 En route vers les représentations graphiques

Afin de savoir si, pour chaque nombre complexe c ∈ C, la suite sc est bornée ou non, onva établir un critère permettant de savoir si une suite va être bornée ou non.

La première propriété nous dit qu’aucune suite sc avec |c| > 2 ne sera bornée. Cela nesuffit pas pour trouver un bon critère, mais cela peut nous en donner une idée.

Critère pour que sc ne soit pas bornée

Soit c ∈ C. On calcule chaque terme de la suite sc un à un. Si à un moment donné, onobtient un élément de la suite sc qui est à distance plus grande que 2 de l’origine, alorsla suite sc ne sera pas bornée.

Preuve

Deux cas se présentent.

1. |c| > 2.

Dans ce cas, le deuxième terme de la suite sc est c qui satisfait |c| > 2. On appliquele lemme pour z = c afin de montrer que sc n’est pas bornée.

2. |c| 6 2.

Notons z le premier élément de la suite sc qui satisfait |z| > 2. Dans ce cas, on a

|z| > 2 > |c|

Ainsi, z satisfait les hypothèses du lemme et, par conséquent, la suite sc n’est pasbornée.

Remarque évidente

La réciproque est vraie puisque si la suite sc n’est pas bornée, alors il existera un élémentde la suite qui est à distance plus grande que 2 de l’origine.




11.2.3 Algorithme en Python

Voici le programme Python qui permet de créer les images se trouvant dans la suitede ce document (à quelques détails près pour la palette de couleur). Il commence parl’importation des modules Image et ImageDraw qui nécessitent la libraire PIL.

import Image, ImageDraw

def mandelbrot(c,lim) :

z = 0

compteur = 0

while ( abs(z) <= 2.0 and compteur < lim ) :

z = z**2 + c

compteur = compteur + 1

return compteur

def dessineMandelbrot(largeur,hauteur,lim) :

im = Image.new("RGB", (largeur, hauteur))

draw = ImageDraw.Draw(im)

deltaR = complex((zB.real - zA.real)/largeur, 0)

deltaRi = complex(0, (zB.imag - zA.imag)/hauteur)

for y in range (0, hauteur):

for x in range (0, largeur):

nb = int(255 - 2.55*mandelbrot(zA + x*deltaR + y*deltaRi, lim))

draw.point((x, hauteur-1-y), (nb,nb,nb))

im.save("mandelbrot.png", "PNG")

### Programme principal ###

zA = complex(-2.0,-2.0)

zB = complex( 2.0, 2.0)

largeur = 500

hauteur = 500

lim = 100

dessineMandelbrot(largeur,hauteur,lim)

Dans le programme principal, on trouve la définition du cadre donné par le coin inférieurgauche zA et le coin supérieur droit zB. La résolution de l’image est donnée par hauteuret largeur.

La fonction mandelbrot calcule (à l’aide du compteur) le nombre de termes de la suitesc qui sont à distance plus petite ou égale à 2 de l’origine. Bien sûr, si la suite est bornée,le critère indique que la suite reste dans la boule B62(0). Dans ce cas, le compteur iraà l’infini. Or, un ordinateur ne pouvant pas effectuer une infinité de calculs, il faut fixerune limite lim à partir de laquelle on ne calcule pas le terme suivant de la suite sc.

Puis la commande dessineMandelbrot va découper le cadre en morceaux. Dans chaquezone, un nombre complexe c sera choisi et le compteur sera calculé pour ce nombre. Lazone correspondante sera ainsi coloriée selon la valeur du compteur. Plus vite la suitequitte la boule B62(0), plus la couleur sera claire. Un carré noir ne signifie pas que lasuite correspondante au nombre c choisi dans ce carré sera bornée, cela signifie qu’avantla limite fixée (ici : lim = 100), la suite sera toujours dans la boule B62(0).




11.2.4 Représentations graphiques de l’ensemble de Mandelbrot

Voici plusieurs représentations effectuées à l’aide du programme précédent. En gris clair,on voit la boule B62(0).

avec une résolution de 50 sur 50 avec une résolution de 500 sur 500

avec une résolution de 5000 sur 5000




11.2.5 Une autre propriété de l’ensemble de Mandelbrot

Propriété 2 (sans preuve)

Les nombres réels contenus dans l’ensemble de Mandelbrot sont exactement les nombresde −2 à 1/4. Autrement dit :

M ∩ R =[−2, 1

4

]

Cette propriété répond aux incertitudes soulevées dans le premier exercice.

Remarque

Les représentations graphiques sont des approximations de l’ensemble de Mandelbrot.Selon le choix du cadre, l’ensemble [−2, 1

4] pourrait ne pas apparaître pas comme il le

devrait. C’est le cas, par exemple, si on prend zA = −2 − 1.9i et zB = 2 + 2i avec unerésolution de 500.

11.3 Les ensembles de (Gaston) Julia

Ces ensembles sont construits d’une manière similaire à celui de Mandelbrot.

Pour chaque c ∈ C, on se donne la fonction

fc : C → C; z 7→ z2 + c

Il y a un ensemble de Julia pour chaque nombre complexe c ∈ C. Pour définir l’ensemblede Julia correspondant au nombre c, on examine, pour chaque z ∈ C, les suites de laforme

sc(z) =(f (n)c (z)

)n∈N =

(z, fc(z), fc(fc(z)), . . . , f (n)

c (z), . . .)

Deux cas exclusifs se produisent.

1. La suite sc(z) est bornée.

2. La suite sc(z) n’est pas bornée.

L’ensemble de Julia associé au nombre complexe c, noté Jc, est l’ensemble des nombrescomplexes z ∈ C pour lesquels les suites sc(z) sont bornées. En termes mathématiques

Jc = z ∈ C : sc(z) est bornée

Pour représenter ces ensembles, on utilise le même critère que pour l’ensemble de Man-delbrot (il faut tout de même adapter les preuves, mais ceci est une autre histoire...).

Voici l’algorithme permettant de calculer le compteur pour les ensembles de Julia sousPython.

def julia(z0,c,lim) :

z = z0

compteur = 0

while ( abs(z) <= 2.0 and compteur < lim ) :

z = z**2 + c

compteur = compteur + 1

return compteur

La programmation de la fonction dessineJulia est laissée au lecteur. Il s’agit simplementde réadapter la fonction dessineMandelbrot donnée précédemment.




11.3.1 Représentations graphiques d’ensembles de Julia

c = −0.123 + 0.745i c = i

c = −0.85 + 0.25i c = −0.5− 0.6i

Le lecteur désirant visualiser ces ensembles (ou de manière quasi instantanée, ce qui estpratique pour faire des zooms successifs) peut se rendre sur le site suivant où se trouveune sympathique applet Java.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/explorer.html

L’auteur y définit l’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia à l’aide de lafonction fc(z) = z2 − c, cela a pour effet de produire une symétrie sur notre ensemble deMandelbrot, mais cela ne le change pas outre mesure.

Il y a aussi le chapitre 6 (7′15′′) du merveilleux documentaire qui se trouve sur le site

http://www.dimensions-math.org/Dim_reg_F.htm


Chapitre 12

Séries et développements de Taylor

12.1 Les séries arithmétiques et géométriques

Il s’agit d’un résumé du chapitre 3 du cours DF (http://www.vive-les-maths.net).

12.1.1 Le symbole somme

Le symbole∑

permet de condenser l’écriture de grandes sommes.n∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n−1∑

k=0

ak+1

12.1.2 Séries arithmétiques

Définition

Une série arithmétique est une somme finie de termes a1

+ry

+ a2

+ry

+ a3

+ry

+ · · ·+ry

+ an pourlaquelle il existe un nombre r, r 6= 0, appelé raison, qui satisfait ak+1 = ak + r .

Théorème

Si a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an est une série arithmétique de raison r. Alors, on a :

a1

+ry

+ a2

+ry

+ a3

+ry

+ · · ·+ry

+ an =n−1∑

k=0

(a1 + r k

)= n · a1 + an

2

12.1.3 Séries géométriques

Définition

Une série géométrique est une somme finie de termes a1

·ry

+ a2

·ry

+ a3

·ry

+ · · ··ry

+ an pourlaquelle il existe un nombre r, r 6= 1, appelé raison, qui satisfait ak+1 = ak · r .

Théorème

Si a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an est une série géométrique de raison r. Alors, on a :

a1

·ry

+ a2

·ry

+ · · ··ry

+ an =n−1∑

k=0

(a1 · rk

)= a1 ·

n−1∑

k=0

rk = a11− rn

1− r

105

http://www.vive-les-maths.net



12.2 Une propriété fondamentale des nombres réels

Soit (ak)k>k0 une suite 1 de nombres réels. S’il existe un rang K > k0 tel que

1. (ak)k>K est monotone croissante (ak+1 > ak pour tout k > K) ;

2. (ak)k>K est majorée (il existe M ∈ R tel que ak 6M pour tout k > K).

Alors, la suite (ak)k>k0 est convergente dans R (il existe a ∈ R tel que limk→+∞

ak = a).

12.3 Séries infinies et critères de convergence

12.3.1 Séries infinies

Soit (ak)k>k0 une suite de nombres réels. On définit une série infinie comme étant la limitede ses sommes partielles (si cette limite existe). On dit que ak est le terme général decette série. ∑

k>k0

ak =

+∞∑

k=k0

ak

︸︷︷︸ce sont deux façons de noter la même somme

définition= lim

n→+∞

n∑

k=k0

ak

︸︷︷︸somme partielle

12.3.2 La série géométrique infinie et sa convergence

Soit z ∈ C (z = 1 compris). La série géométrique infinie de raison z est∑

k>0

zk = 1 + z + z2 + z3 + · · ·

Théorème

1. Si |z| < 1, alors la série converge dans C et vaut∑

k>0

zk =1

1− z.

2. Si |z| > 1, alors la série ne converge pas dans C.

Preuve

1. Si |z| > 1, on a limk→+∞ zk 6= 0 et par la contraposée du théorème fondamental dela page suivante, la série ne converge pas (dans C).

2. Si |z| < 1, les sommes partielles sont des séries géométriques finies

∑

k>0

zk = limn→+∞

n∑

k=0

zksérie

géométrique= lim

n→+∞

1− zn+1

1− z

Comme limn→+∞

zn = 0, on a∑k>0

zk =1

1− z.

Un cas particulier

Voici une série géométrique infine (cas z = 12).

+∞∑

k=0

1

2k= lim

n→+∞

n∑

k=0

1

2k= lim

n→+∞

1− (12)n+1

1− 12

=1

1− 12

= 2

1. Dans ce chapitre, toutes les suites sont indicées par un sous-ensemble des nombres naturels (k0 ∈ N).




12.3.3 La série harmonique

Voici une série infinie qui diverge. C’est la série harmonique

+∞∑

k=1

1

k= +∞

En effet, supposons par l’absurde que la série harmonique converge vers un nombre s ∈ R.Notons sn la somme partielle

∑nk=1

1k. Ainsi, la suite (sn)n>1 converge vers s, tout comme

la sous-suite (s2n)n>1. Autrement dit

limn→+∞

sn = limn→+∞

s2n = s

Considérons la suite (s2n − sn)n>1. Par les propriétés des limites, on a

limn→+∞

(s2n − sn) = limn→+∞

s2n − limn→+∞

sn = s− s = 0 (⋆)

Mais on a, pour n > 1,

s2n − sn = 1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

2n−(1 +

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

)=

2n∑k=1

1

k−

n∑k=1

1

k

=1

n + 1+

1

n + 2+ · · ·+ 1

2n− 1+

1

2n︸︷︷︸n fractions

=2n∑

k=n+1

1

k

Or si k est un nombre tel que k 6 2n, alors 1k> 1

2n, donc

s2n − sn =2n∑

k=n+1

1

k>

2n∑

k=n+1

1

2n=

n

2n=

1

2

On vient de voir que chaque terme de la suite (s2n − sn)n>1 est plus grand ou égal à 12.

Cette suite ne peut donc pas converger vers 0, ce qui contredit (⋆).

12.3.4 Théorème fondamental sur les convergences de séries

Soit∑

k>k0ak une série avec ak ∈ C. Si cette série converge dans C, alors son terme

général tend vers zéro. Autrement dit∑

k>k0

ak = s =⇒ limk→+∞

ak = 0

Preuve

Notons sn la somme partielle∑n

k=k0ak. Par les propriétés des limites, on a

limn→+∞

an = limn→+∞

(sn − sn−1

)= lim

n→+∞sn − lim

n→+∞sn−1 = s− s = 0

La réciproque du théorème fondamental est fausse

En effet, la série harmonique fournit un contre-exemple.




12.3.5 Critère de comparaison

Soit (ak)k>k0 et (bk)k>k0 deux suites de nombres réels tels que, à partir d’un rang K > k0,on a 0 6 ak 6 bk pour chaque k > K, alors :

1. Si∑k>k0

bk converge dans R, alors∑k>k0

ak converge dans R.

2. Si∑k>k0

ak diverge, alors∑k>k0

bk diverge.

Preuve

1. Puisque∑k>k0

bk converge, il existe t ∈ R tel que∑k>K

bk = t.

Notons sn la somme partiellen∑

k=K

ak et tn la somme partiellen∑

k=K

bk.

Comme ak > 0 et bk > 0 pour tout k > K, il est évident que les suites des sommespartielles (sn)n>K et (tn)n>K sont monotones croissantes.

Comme pour tout k > K on a ak 6 bk, on sait que sn 6 tn 6 t pour tout n > K(car (tn)n>K est monotone croissante).

Ainsi, (sn)n>K est une suite monotone croissante majorée. Par la propriété fonda-mentale des nombres réels vue en page 106, on conclut que la suite des sommespartielles (sn)n>K est convergente et qu’ainsi

∑k>k0

ak converge.

2. Il s’agit de la contraposée du point 1.

Application du critère de comparaison

On va comparer la série∑k>1

1

k2à la série convergente suivante.∑

k>1

2

(k + 1)(k + 2)= 1

On démontre la convergence de cette dernière série grâce à une somme télescopique.

limn→+∞

n∑

k=1

2

(k + 1)(k + 2)= lim

n→+∞

n∑

k=1

( 2

k + 1− 2

k + 2

)= lim

n→+∞

(1− 2

n+ 2

)= 1

De plus, on a, pour k > 4

0 61

k2<

2

(k + 1)(k + 2)⋆

En effet, on a

f(k) =2

(k + 1)(k + 2)− 1

k2=

2k2 − (k + 1)(k + 2)

k2(k + 1)(k + 2)=

k2 − 3k − 2

k2(k + 1)(k + 2)

Le seul zéro positif est k = 3+√17

2∼= 3.56, ainsi, après k = 4, la fonction ne changera plus

de signes. Comme f(4) > 0, on a bien f(k) > 0 pour k > 4.

Grâce au critère de comparaison, ⋆ montre que∑k>1

1k2

converge puisque∑k>1

2(k+1)(k+2)

converge (sa limite est 1).

Remarque. Ce n’est pas facile, mais on peut montrer que∑

k>1

1

k2=

π2

6.




12.3.6 Critère de la racine (ou de Cauchy)

On considère la série infinie∑k>k0

ak avec ak > 0 pour tout k > k0.

Si limk→+∞

k√ak = c (si cette limite existe) et

c < 1, alors la série converge dans R

c = 1, alors il y a doutec > 1, alors la série diverge

Preuve

On suppose que la limite existe et vaut c. On distingue trois cas :

1. c < 1.

Soit r ∈ ]c, 1[. Puisque limk→+∞

k√ak = c < 1, à partir d’un certain rang K > k0, on a

k√ak 6 r < 1 pour tout k > K

De plus, comme ak > 0 pour tout k > k0, on sait que c > 0. Donc r ∈ [0, 1[.

Ainsi, on a∑k>K

ak = aK + aK+1 + aK+2 + aK+3 + · · ·

=(K√aK)K

+(K+1√aK+1

)K+1+(K+2√aK+2

)K+2+(K+3√aK+3

)K+3+ · · ·

6 rK + rK+1 + rK+2 + rK+3 + · · ·

= rK · (1 + r + r2 + r3 + · · · ) r∈[0,1[= rK · 1

1− r=

rK

1− r

On a ainsi montré que la suite des sommes partielles est majorée.

n∑

k=k0

akak>0

6

+∞∑

k=k0

ak =

K−1∑

k=k0

ak +

+∞∑

k=K

ak 6

K−1∑

k=k0

ak +rK

1− r

Donc∑

k>k0ak converge, puisque la suite des sommes partielles est monotone crois-

sante (ak > 0) et majorée.

2. c > 1.

Puisque limk→+∞

k√ak = c > 1, à partir d’un certain rang K > k0, on a

k√ak > 1 ⇐⇒ ak > 1k = 1 pour tout k > K

Ainsi le terme général ne tend pas vers 0. Donc, par la contraposée du théorèmefondamental sur les convergences de séries, la série ne converge pas (dans C).

3. c = 1.

La série harmonique∑

1k

ne converge pas et la série∑

1k2

converge, pourtant pources deux séries, on a c = 1. En effet, pour m = 1 et m = 2, on a

c = limk→+∞

k

√1

km= lim

k→+∞

k√

eln(1

km) = lim

k→+∞e−

m ln(k)k = e− lim m ln(k)

kHosp.= e− lim m

k = e0




12.3.7 Critère du quotient (ou d’Alembert)

On considère la série infinie∑

k>K0

ak avec ak > 0 pour tout k > k0.

Si limk→+∞

ak+1

ak= c (si cette limite existe) et

c < 1, alors la série converge dans R

c = 1, alors il y a doutec > 1, alors la série diverge

Preuve

On suppose que la limite existe et vaut c. On distingue trois cas :

1. c < 1.

Soit r ∈ ]c, 1[. Puisque limk→+∞

ak+1

ak= c < 1, à partir d’un certain rang K > k0, on a

ak+1

ak6 r < 1 pour tout k > K

De plus, comme ak > 0 pour tout k > k0, on sait que c > 0. Donc r ∈ [0, 1[.

Ainsi, avec un peu d’astuce, on a∑k>K

ak = aK + aK+1 + aK+2 + aK+3 + · · ·

= aK ·(1 +

aK+1

aK+

aK+2

aK+1· aK+1

aK+

aK+3

aK+2· aK+2

aK+1· aK+1

aK+ · · ·

)

6 aK · (1 + r + r2 + r3 + · · · ) r∈[0,1[= aK · 1

1− r=

aK1− r

On a ainsi montré que la suite des sommes partielles est majorée.

n∑

k=k0

akak>0

6

+∞∑

k=k0

ak =K−1∑

k=k0

ak ++∞∑

k=K

ak 6

K−1∑

k=k0

ak +aK1− r

Donc∑

k>k0ak converge, puisque la suite des sommes partielles est monotone crois-

sante (ak > 0) et majorée.

2. c > 1.

Puisque limk→+∞

ak+1

ak= c > 1, à partir d’un certain rang K > k0, on a

ak+1

ak> 1 ⇐⇒ ak+1 > ak pour tout k > K

Ainsi, la série finissant par être monotone croissante, son terme général ne tend pasvers 0. Donc, par la contraposée du théorème fondamental sur les convergences deséries, la série ne converge pas (dans C).

3. c = 1.

La série harmonique∑

1k

ne converge pas et la série∑

1k2

converge, pourtant pources deux séries, on a c = 1. En effet, pour m = 1 et m = 2, on a

c = limk→+∞

1(k+1)m

1km

= limk→+∞

km

(k + 1)m= 1




12.3.8 Critère de l’intégrale

On considère la série infinie∑

k>k0ak où (ak)k>k0 est une suite décroissante avec ak > 0

pour tout k > k0. Supposons qu’il existe un rang K > k0 et une fonction décroissantedéfinie sur [K,+∞[ telle que f(k) = ak (pour k > K). Alors

1. si l’intégrale converge dans R, alors la série converge dans R, et réciproquement ;

2. si la série diverge, alors l’intégrale diverge, et réciproquement.

Preuve du critère de l’intégrale

Les hypothèses nous placent dans une situation graphique semblable aux dessins suivants.y

b

b

bb

b b

aK

aK+1

aK+2aK+3aK+4aK+5

K K+1 K+2 K+3 K+4x

y

b

b

bb

b b b

aK

aK+1

aK+2aK+3aK+4aK+5

K K+1 K+2 K+3 K+4x

On en déduit les chaînes d’inégalités suivantes pour tout n > K + 1 (n = K + 5 sur lesschémas).

0 6

n∑

k=K+1

ak 6

∫ n

K

f(x) dx 6

n−1∑

k=K

ak

Donc, comme la suite(∫ n

Kf(x) dx

)n>K+1

et la suite des sommes partielles sont monotonescroissantes, on a les majorations suivantes.

∫ n

K

f(x) dx 6

+∞∑

k=K

ak etn∑

k=K+1

ak 6

∫ +∞

K

f(x) dx

Par conséquent, on peut démontrer les points 1 et 2.

1. si la série est convergente, la suite( ∫ n

Kf(x) dx

)est monotone croissante et majorée,

donc converge ! Pour la réciproque, si l’intégrale est convergente, la suite(∑n

k=k0ak)

est monotone croissante et majorée, donc converge.

2. Ce sont les contraposées des deux propositions du point précédent. Elles sont doncaussi vraies.

Application du critère de l’intégrale

On peut très facilement retrouver les résultats démontrés aux pages 107 et 108 grâce àce critère. Les fonctions utilisées ci-dessous satisfont bien les hypothèses du critère.

+∞∫

1

1

xdx diverge =⇒

∑

k>1

1

kdiverge

+∞∫

1

1

x2dx converge dans R =⇒

∑

k>1

1

k2converge dans R




12.3.9 Convergence des séries alternées

Définition

Une série est dite alternée si elle peut s’écrire de la manière suivante.∑

k>k0

(−1)kak avec ak > 0

Théorème des séries alternées

Une série alternée est convergente dans R si, pour tout k > k0, on a

ak+1 6 ak︸︷︷︸la suite ak est monotone décroissante

et limk→+∞

ak = 0︸︷︷︸

le terme général de la série tend vers 0

Preuve

On considère la suite des sommes partielles (sn)n>k0 où sn =∑n

k=k0(−1)kak. On considère

encore les sous-suites de sommes partielles (cn)n>k0 et (dn)n>k0 définies par

cn = s2n+1 et dn = s2n

Ces suites satisfont les propriétés suivantes.

1. (cn) est monotone croissante. En effet, on a

(cn) est monotone croissante ⇐⇒ cn+1 > cn ⇐⇒ s2n+3 > s2n+1

⇐⇒2n+3∑k=k0

(−1)kak >2n+1∑k=k0

(−1)kak ⇐⇒2n+3∑k=k0

(−1)kak −2n+1∑k=k0

(−1)kak > 0

⇐⇒2n+3∑

k=2n+2

(−1)kak > 0 ⇐⇒ a2n+2 − a2n+3 > 0 ⇐⇒ a2n+2 > a2n+3

⇐⇒ (an) est monotone décroissante

2. (dn) est monotone décroissante. En effet, on a

(dn) est monotone décroissante ⇐⇒ dn+1 6 dn ⇐⇒ s2n+2 6 s2n

⇐⇒2n+2∑k=k0

(−1)kak 62n∑

k=k0

(−1)kak ⇐⇒2n+2∑k=k0

(−1)kak −2n∑

k=k0

(−1)kak 6 0

⇐⇒2n+2∑

k=2n+1

(−1)kak 6 0 ⇐⇒ −a2n+1 + a2n+2 6 0 ⇐⇒ a2n+2 6 a2n+1

⇐⇒ (an) est monotone décroissante

3. (dn − cn) converge vers 0. En effet, on a

dn − cn =

2n∑

k=k0

(−1)kak −2n+1∑

k=k0

(−1)kak = −(−1)2n+1a2n+1 = a2n+1n→+∞−→ 0

On peut affirmer (en exercice) que les suites (cn) et (dn) convergent vers la même valeurl ∈ R et que cn 6 l 6 dn pour tout n > k0. Ainsi la suite des sommes partielles convergeaussi vers cette valeur l.

Bonus de la preuve. La limite l satisfait s2n+1 6 l 6 s2n pour tout n > k0.




La réciproque du théorème des séries alternées est fausse

Si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série alternée diverge (c’est la contraposéedu théorème fondamental sur les convergences de séries). Cependant, voici deux exemplesde séries alternées où la condition de décroissance n’est pas respectée : la première sérieest convergente dans R ; la deuxième ne l’est pas.

Exemple 1

On considère la série alternée∑

k>1

(−1)k+1ak où ak =

1k2

si k est pair2k2

si k est impair

Autrement dit, on a∑

k>1

(−1)k+1ak =2

12− 1

22+

2

32− 1

42+

2

52− 1

62+− · · ·

Soit k > 4, k pair, alors on a ak < ak+1. En effet

1

k2<

2

(k + 1)2k>0⇐⇒ (k + 1)2 < 2k2 ⇐⇒ k2 − 2k − 1 > 0

k>0⇐⇒ k > 1 +√2 ∼= 2.41

Donc la suite (ak)k>1 n’est pas monotone décroissante. Pourtant, on a

∑

k>1

(−1)k+1ak =1

12− 1

22+

1

32− 1

42+

1

52− 1

62+− · · ·

︸︷︷︸convergente par le théorème des séries alternées

+

série croissante et majorée par∑

k>11k2

, donc convergente︷︸︸︷1

12+

1

32+

1

52+ · · ·

Donc cette série alternée converge 2.

Exemple 2

On considère la série alternée∑

k>1

(−1)k+1ak où ak =

1k

si k est pair2k

si k est impair

Autrement dit, on a∑

k>1

(−1)k+1ak =2

1− 1

2+

2

3− 1

4+

2

5− 1

6+− · · ·

Soit k > 2, k pair, alors on a ak < ak+1. En effet

1

k<

2

k + 1

k>0⇐⇒ k + 1 < 2k ⇐⇒ k > 1

Donc la suite (ak)k>1 n’est pas monotone décroissante. Pourtant, on a

∑

k>1

(−1)k+1ak =

(1

1− 1

2

)+

(1

3− 1

4

)+

(1

5− 1

6

)+ · · ·

︸︷︷︸>0

+1

1+1

3+1

5+ · · · >

diverge par lecritère de l’intégrale

+∞∫0

12x+1

dx = +∞︷︸︸︷1

1+

1

3+

1

5+ · · ·

Donc cette série alternée diverge2.

2. Il faudrait montrer cela formellement avec les suites partielles afin d’être certain d’éviter la subtilitévue en page 120.




12.3.10 Le théorème de la convergence absolue

Définition

Soit une série infinie∑

k>0 ak avec ak ∈ C.

On dit que cette série converge absolument si∑

k>0 |ak| converge dans R.

Théorème des séries absolument convergentes

Si une série converge absolument, alors elle converge dans C.

Autrement dit∑

k>0

|ak| converge dans R =⇒∑

k>0

ak converge dans C

Preuve (dans le cas où ak ∈ R)

On crée les suites (a+k )k>0 et (a−k )k>0 en posant 3

a+k = max(ak, 0) et a−k = max(−ak, 0)

Ainsi,

si ak est positif, on a a+k = ak et a−k = 0

si ak est négatif, on a a+k = 0 et a−k = −ak

si ak = 0, on a a+k = 0 et a−k = 0

=⇒ Dans tous les cas, on a ak = a+k − a−k

Il est donc évident que0 6 a+k 6 |ak| et 0 6 a−k 6 |ak|

Puisque la série converge absolument (∑

k>0 |ak| converge), le critère de comparaisonaffirme que les séries

∑k>0 a

+n et

∑k>0 a

−n sont convergentes.

Par conséquent, la série∑

k>0 ak est convergente. En effet∑

k>0

ak =∑

k>0

(a+k − a−k

)=∑

k>0

a+k −∑

k>0

a−k

La réciproque du théorème des séries absolument convergentes estfausse

En effet, la série harmonique alternée∑

k>0

(−1)k1

k + 1= 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+− · · ·

est une série convergente (grâce au théorème des séries alternées), mais qui n’est pasabsolument convergente, car la série harmonique

∑

k>0

1

k + 1= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+ · · ·

est une série divergente.

3. Cette manière de faire ne fonctionne pas dans C.




12.4 Séries entières et rayon de convergence

Définition

Soit (ak)k>0 une suite de nombres (qui pourraient être complexes). On considère unevariable x (qui peut aussi s’écrire z si on travaille dans les nombres complexes).

La série S(x) =∑

k>0 akxk est appelée série entière et les coefficients ak sont appelés

coefficients de la série.

Conséquences du critère du quotient

En étudiant la convergence absolue de la série entière S(x) =∑

k>0 akxk, c’est-à-dire la

convergence de la série∑

k>0 |ak| · |x|k, à l’aide du critère du quotient, on obtient

c = limk→+∞

|ak+1| · |x|k+1

|ak| · |x|k= lim

k→+∞

|ak+1||ak|

· |x|

Posons R = limk→+∞

|ak||ak+1|

. On distingue trois cas.

1. c < 1 ⇐⇒ |x| < R.

La série S(x) converge absolument, donc converge.

2. c = 1 ⇐⇒ |x| = R.

Il y a doute : il faut étudier la convergence de S(x) pour chaque x tel que |x| = R.

3. c > 1 ⇐⇒ |x| > R.

La série S(x) ne converge pas absolument ; mais a priori elle pourrait converger.

Théorème (sans preuve)

Si c > 1, c’est-à-dire si |x| > R, alors la série S(x) diverge !

Définition

R est appelé rayon de convergence de la série entière. Il est possible que R = +∞.

Exemple

On considère la série entière réelle S(x) =∑k>0

kxk.

1. Recherche du rayon de convergence.

On étudie la convergence absolue de la série grâce au critère du quotient. Après unpetit calcul, on trouve que le rayon de convergence est R = 1.

2. Étude de la convergence de la série pour |x| = R.

(a) Pour x = 1, la série S(1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · diverge évidemment.

(b) Pour x = −1, la série S(−1) = (−1)+2︸︷︷︸=1

+ (−3)+4︸︷︷︸=1

+ (−5)+6︸︷︷︸=1

+ · · · diverge.

En conclusion, cette série converge absolument lorsque x ∈ ]−1, 1[ et ne converge paslorsque x 6∈ ]−1, 1[.




12.5 Développements de Taylor

12.5.1 Rappel : la tangente à une courbe en un point

Si f : D → A est une fonction réelle dérivable, alors on sait que l’équation de la tangenteà f en un point x0 ∈ D est

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

On peut donc approximer la fonction f autour de x0 par la fonction affine

d(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Cette fonction satisfait les propriétés d(x0) = f(x0) et d′(x0) = f ′(x0).

y

b

f

approximation affine

approximation quadratique

1

2

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4x

Si on cherche une approximation par une fonction quadratique p(x), on va vouloir quecette fonction satisfasse :

p(x0) = f(x0) et p′(x0) = f ′(x0) et p′′(x0) = f ′′(x0)

Une telle fonction existe et vaut

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2(x− x0)

2

12.5.2 Théorème de Taylor

Théorème de Taylor

Soit n ∈ N, n > 0. Soit f : [a, b] → R une fonction que l’on peut dériver n + 1 fois etdont toutes les dérivées jusqu’à l’ordre n+ 1 sont continues. Soit x et x0 ∈ [a, b]. Alors ilexiste ξ entre x et x0 tel que

f(x) =

n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k

︸︷︷︸approximation de f par un polynôme de degré n

+f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− x0)

n+1

︸︷︷︸Reste de Lagrange

Il s’agit du développement limité de Taylor d’ordre n en x0 de la fonction f . Lorsquex0 = 0, on parle de développement limité de Maclaurin d’ordre n de f .

Si on note pn(x) le polynôme de degré n ci-dessus et qu’on déplie la somme, on a :

pn(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2(x− x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

Ce polynôme satisfait les propriétés suivantes.

pn(x0) = f(x0) , p′n(x0) = f ′(x0) , . . . , p(m)n (x0) = f (m)(x0) , . . . , p(n)n (x0) = f (n)(x0)




Preuve

Idée : on fixe x ∈ [a, b] et on considère la fonction en une nouvelle variable y suivante.

px(y) = f(y) + f ′(y)(x− y) +f ′′(y)

2(x− y)2 + · · ·+ f (n)(y)

n!(x− y)n

Puis, on considère la fonction ϕ en y suivante.

ϕ(y) = f(x)− px(y)

Avec cette façon de noter, px(x0) est l’approximation de f par un polynôme de degré net on trouve une formule équivalente à la formule de l’encadré du théorème de Taylor.

f(x) = px(x0) +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1 ⇐⇒ f(x)− px(x0) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

Ainsi, il faut montrer qu’il existe ξ entre x et x0 tel que ϕ(x0) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1.

La fonction ϕ satisfait :

i) ϕ′(y) = −f (n+1)(y)

n!(x− y)n ii) ϕ(x) = 0

En effet i) s’obtient en dérivant directement par rapport à y (somme télescopique) etii) s’obtient grâce au fait que px(x) = f(x).

Le terme ξ apparaît grâce au théorème de Rolle. Pour pouvoir appliquer le théorèmede Rolle, il faut trouver une fonction continue F qui s’annule en x0 et en x. Rolle nouspermettra ainsi d’affirmer qu’il existe ξ entre x et x0 tel que F ′(ξ) = 0. L’astuce finaleconsiste à bien choisir F ! Voici cette fonction :

F (y) = ϕ(y)(x− x0)n+1 − ϕ(x0)(x− y)n+1 =

∣∣∣∣ϕ(y) (x− y)n+1

ϕ(x0) (x− x0)n+1

∣∣∣∣

On a F (x) = ϕ(x)(x − x0)n+1 ii)

= 0 et évidemment F (x0) = 0. Donc, par Rolle, il existeξ entre x et x0 tel que F ′(ξ) = 0. Or, la dérivée de F par rapport à y est :

F ′(y) = ϕ′(y)(x− x0)n+1 − ϕ(x0)(n+ 1)(x− y)n(−1)

i)= −f (n+1)(y)

n!(x− y)n(x− x0)

n+1 + ϕ(x0)(n + 1)(x− y)n

Donc

0 = F ′(ξ) = −f (n+1)(ξ)

n!(x− ξ)n(x− x0)

n+1 + ϕ(x0)(n + 1)(x− ξ)n

En simplifiant par (x− ξ)n, on obtient ce qu’on voulait

0 = −f (n+1)(ξ)

n!(x− x0)

n+1 + ϕ(x0)(n + 1) ⇐⇒ (n+ 1)ϕ(x0) =f (n+1)(ξ)

n!(x− x0)

n+1

⇐⇒ ϕ(x0) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1




Conséquence

Le reste de Lagrange permet d’estimer l’erreur commise par l’estimation à l’aide dudéveloppement limité. En effet, on a

|f(x)− pn(x)| =∣∣∣∣f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

∣∣∣∣ 6|x− x0|n+1

(n+ 1)!· maxξ entre x0 et x

|f (n+1)(ξ)|

Définition

Si lorsque n → +∞, le développement limité de Taylor d’ordre n en x0 de la fonction fs’approche de f (il faut pour cela que le reste de Lagrange tende vers 0 et que la sérieconverge), on a

f(x) =∑

k>0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k

C’est la série de Taylor de f . Lorsque x0 = 0, c’est la série de Maclaurin de f .

12.5.3 Les séries de Maclaurin des fonctions exp, cos et sin

1. Pour f(x) = ex, le reste de Lagrange tend vers 0 lorsque n → +∞. De plus, lasérie de Maclaurin suivante est convergente pour tout x ∈ R (même x ∈ C).

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+ · · · ⇐⇒ ex =

∑

k>0

xk

k!

Comme f(1) = e, on a une nouvelle formule pour calculer le nombre e :

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+

1

6!+

1

7!+ · · · ⇐⇒ e =

∑

k>0

1

k!= lim

n→+∞

n∑

k=0

1

k!

Cette formule est bien plus efficace que e = limk→+∞

(1 + 1

k

)k.

2. Pour f(x) = cos(x), le reste de Lagrange tend vers 0 lorsque n → +∞. De plus, lasérie de Maclaurin suivante est convergente pour tout x ∈ R (même x ∈ C).

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!− x10

10!+− · · · ⇐⇒ cos(x) =

∑

k>0

(−1)kx2k

(2k)!

3. Pour f(x) = sin(x), le reste de Lagrange tend vers 0 lorsque n → +∞. De plus, lasérie de Maclaurin suivante est convergente pour tout x ∈ R (même x ∈ C).

sin(x) = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

x9

9!− x11

11!+− · · · ⇐⇒ sin(x) =

∑

k>0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!

On peut ainsi montrer que

eix = cos(x) + i sin(x) avec x ∈ R

En effet, on a

eix = 1 + ix− x2

2!− i

x3

3!+

x4

4!+ i

x5

5!− x6

6!− i

x7

7!+

x8

8!+ i

x9

9!− x10

10!− i

x11

11!+ · · ·

En posant x = π, on obtient une des plus extraordinaires relations des mathématiques.

eiπ + 1 = 0 car eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1 + 0 = −1




12.5.4 Une autre façon d’exprimer le reste de Lagrange

Si f est continue sur [a, b] et si ses (n+ 1) dérivées successives sont continues, alors

f(x)− pn(x) =

x∫

x0

f (n+1)(t)

n!(x− t)ndt

Cette formule se démontre facilement par récurrence : pour n = 0, on retrouve le théorèmefondamental du calcul intégral ; pour le pas de récurrence, on écrit l’intégrale ci-dessus dedeux manière : la première à l’aide de l’hypothèse de récurrence ; la deuxième en intégrantpar parties.

12.5.5 La série de Maclaurin de ln (x+ 1)

Pour la fonction f(x) = ln(x+ 1), la série de Maclaurin est la suivante.

ln(x+ 1) = S(x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4+

x5

5− x6

6+

x7

7− x8

8+ · · · =

∑

k>1

(−1)k+1xk

k

Étudions la convergence de cette série entière.

1. Recherche du rayon de convergence : on étudie la convergence absolue de la sériegrâce au critère du quotient (ou d’Alembert).

|x|+ |x|22

+|x|33

+|x|44

+|x|55

+|x|66

+|x|77

+|x|88

+ · · ·

On calcule la valeur du nombre c utilisé dans le critère du quotient

c = limk→+∞

|x|k+1

k+1

|x|kk

= limk→+∞

|x| k

k + 1= |x|

Donc, par le critère du quotient, si |x| < 1, la série converge absolument et si |x| > 1,la série ne converge pas absolument. Ainsi, le rayon de convergence est R = 1.

2. Étude de la convergence de la série pour |x| = R = 1.

(a) Pour x = −1, on a

S(−1) = −(1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

)

Donc −S(−1) est la série harmonique, donc diverge.

(b) Pour x = 1, la série est la série harmonique alternée, donc converge par lethéorème des séries alternées.

En conclusion, cette série ne converge que pour x ∈ ]−1, 1] (elle ne converge absolumentque pour x ∈ ]−1, 1[).

On peut facilement montrer que si x ∈[−1

2, 1], alors le reste de Lagrange tend vers 0.

C’est bien moins facile pour x ∈]−1,−1

2

[.




12.5.6 Une dernière subtilité

On a donc trouvé la valeur de la série harmonique alternée.

ln(2) = ln(1 + 1) = 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+

1

9− 1

10+ · · ·

Regardons ce qu’il se passe si on change l’ordre dans lequel on additionne les termes decette série.

1− 1

2︸︷︷︸= 1

2

−1

4+

1

3− 1

6︸︷︷︸= 1

6

−1

8+

1

5− 1

10︸︷︷︸= 1

10

− 1

12+

1

7− 1

14︸︷︷︸= 1

14

− 1

16+

1

9− 1

18︸︷︷︸= 1

18

− 1

20+ · · ·

=1

2− 1

4+

1

6− 1

8+

1

10− 1

12+

1

14− 1

16+

1

18− 1

20+ · · ·

=1

2

(1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+

1

9− 1

10+ · · ·

)

= 12ln(2)

Ainsi, si on change l’ordre dans lequel l’addition est effectuée, alors on change la valeurde la série.

C’est pour cette raison qu’il ne faut jamais oublier qu’une série est une limite de sommespartielles. Le changement d’ordre ci-dessus change complètement les sommes partielleset la série n’a donc rien à voir avec la série de départ !


Chapitre 13

Résolution numérique d’équations

But

Utiliser des méthodes numériques (programmes informatiques) pour trouver les zérosd’une fonction f continue, c’est-à-dire les nombres x tels que f(x) = 0.

On va pour cela découvrir deux méthodes parmi de nombreuses méthodes existant sur lemarché.

13.1 Méthode de la bissection

Cette méthode utilise le théorème de Bolzano.

Théorème de Bolzano

Soit a et b deux nombres réels tels que a < b.

Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle [a, b] satisfaisant la condition suivantequi est équivalente à dire que f(a) et f(b) sont de signes opposés.

f(a) · f(b) < 0

Alors, il existe (au moins un) x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) = 0.

Illustration

La fonction suivante est continue sur R et satisfait f(1) · f(4) < 0. Elle admet bien unzéro dans l’intervalle ]1, 4[.

y

1

2

−1

−2

1 2 3 4−1

a bx0

b

b

x

121



La fin d’un rêve

Les mathématiciens ont toujours cherchés des formules explicites pour trouver les zérosdes équations. Ils furent heureux d’en trouver pour résoudre les équations polynomialesde degré 1, 2 (Viète), 3 (Cardan) et 4 (Ferrari). Néanmoins, Galois a montré qu’il n’yavait aucune formule explicite permettant de résoudre celles de degré 5 ou plus.

Il existe aussi des fonctions dont les zéros nepeuvent pas être exprimé par une formule expli-cite. Par exemple, c’est le cas pour la fonctiond’expression f(x) = xex − (x+ 1) dont on voit legraphe ci-contre.

On a f(−2) ∼= 0.729329, f(0) = −1. Donc, par lethéorème de Bolzano, on a un zéro dans ]−2, 0[.De même, comme f(0) = −1 et f(1) ∼= 0.718282,il y a un zéro dans ]0, 1[.

y

1

2

−1

1−1−2−3−4x

Approche méthodologique

Pour trouver les zéros d’une fonction, on va développer des méthodes itératives, c’est-à-dire construire des suites (xn)n>1 qui vont converger vers un zéro, noté x0.En d’autres termes :

x0 = limn→+∞

xn

13.1.1 La méthode de la bissection et son algorithme

Soit a, b ∈ R tels que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] qui change designe entre a et b, c’est-à-dire qui satisfait :

f(a) · f(b) < 0

Le théorème de Bolzano nous permet d’affirmer que f admet un zéro entre a et b. Voiciun algorithme permettant de construire une suite (xn)n>1 qui converge vers ce zéro.

Principe A chaque itération, on coupe l’intervalle contenant un zéro en deux partieségales et on choisit celle où la fonction s’annule.

Algorithme On pose α1 = a, β1 = b et x1 = α1+β1

2(x1 est le milieu de l’intervalle

[a, b] = [α1, β1]). Puis, on distingue les trois cas suivants :

1. f(x1) = 0 (ou f(α1)f(x1) = 0). Ainsi, x1 est un zéro. On peut arrêter de chercher.

2. f(α1)f(x1) < 0. Ainsi, par Bolzano, on sait qu’un zéro se trouve entre α1 et x1. Onchoisit la partie gauche de l’intervalle coupé en deux en x1. Le nouvel intervalle est[α2, β2] où α2 = α1 et β2 = x1.

3. f(α1)f(x1) > 0. Cela signifie que le signe de f(α1) est le même que celui de f(x1).Par conséquent, il y a un changement de signe entre x1 et β1. Par Bolzano, un zérose trouve donc dans la partie droite de l’intervalle coupé en deux en x1. Le nouvelintervalle est [α2, β2] où α2 = x1 et β2 = β1.

Puis, on recommence avec l’intervalle [α2, β2] que l’on coupe en deux en x2 = α2+β2

2.

Etc. . .




Interprétation graphique Appliquons cet algorithme à f(x) = xex − (x + 1) pourtrouver quelques décimales du zéro se trouvant dans l’intervalle [−2, 0]. On prend a = −2et b = 0. On a bien f(a)f(b) < 0.

y

1

2

−1

1−1−2−3−4

x1

x2

x3

x4x

On coupe l’intervalle [α1, β1] = [−2, 0] en x1 = −1. On a f(−2)f(−1) < 0, on choisitdonc la moitié de gauche qui est l’intervalle [α2, β2] = [−2,−1].

On coupe l’intervalle [α2, β2] = [−2,−1] en x2 = −1.5. On a f(−2)f(−1.5) > 0, on choisitdonc la moitié de droite qui est l’intervalle [α3, β3] = [−1.5,−1].

On coupe l’intervalle [α3, β3] = [−1.5,−1] en x3 = −1.25. On a f(−1.5)f(−1.25) < 0, onchoisit donc la moitié de gauche qui est l’intervalle [α4, β4] = [−1.5,−1.25].

On coupe [α4, β4] = [−1.5,−1.25] en x4 = −1.375. On a f(−1.5)f(−1.375) > 0, on choisitdonc la moitié de droite qui est l’intervalle [α5, β5] = [−1.375,−1.25].

On a ainsi x5 = −1.3125.En continuant, l’algorithme va choisir les moitiés de la manière suivante : gauche ; gauche ;droite ; droite ; gauche ; gauche ; droite ; droite ; gauche ; gauche ; droite ; droite ; droite ;droite ; droite ; droite ; droite ; gauche ; gauche ; gauche ; gauche ; droite ; droite ; droite ;gauche. Ce qui nous donnera x30 = −1.34997649.

Remarque

Cet algorithme ne permet de trouver qu’un zéro dans l’intervalle de départ [a, b]. Si onveut trouver un zéro précis, il faut s’arranger pour choisir a et b de telle manière que seulun zéro se trouve dans cet intervalle (ce que l’on peut facilement faire en regardant legraphe de la fonction).




13.1.2 Critère d’arrêt de l’algorithme

Puisqu’on calcule les éléments d’une suite (xn)n>1 un par un, il faut décider d’un critèred’arrêt qui respecte une précision désirée (à moins que, par un coup de chance extraor-dinaire, l’algorithme s’arrête car il existe i tel que f(xi) = 0).

Définition

Si (xn)n>1 est une suite qui converge vers x0. L’erreur (absolue) au pas n est définie par :

en = |xn − x0|

Théorème

Si on effectue la méthode de la bissection sur une fonction f continue sur l’intervalle [a, b](où f(a)f(b) < 0). Alors :

en <b− a

2npour tout n > 1

Preuve

La longueur de l’intervalle de départ [a, b] est égale à b − a. Donc l’erreur au pas 1 estforcément plus petite que la moitié de cet intervalle. Autrement dit :

e1 <b− a

2

Comme, à chaque itération de l’algorithme, on divise la longueur de l’intervalle (danslequel le zéro cherché se trouve) par 2, la formule du théorème devient évidente (il faudraitla démontrer par récurrence pour être pédant). Précisons tout de même que dans le casoù il existe i tel que f(xi) = 0, alors l’erreur au pas i vaut zéro. Ce qui reste compatibleavec la formule.




13.2 La méthode du point fixe

Définition

Soit g : D → A une fonction et x0 ∈ D. On dit que x0 est un point fixe de g si g(x0) = x0.

Autrement dit, les points fixes de g sont les solutions de l’équation g(x) = x.

Remarque fondamentale

Chercher un zéro x0 d’une fonction f (c’est-à-dire résoudre l’équation f(x) = 0) revientà chercher un point fixe x0 d’une fonction g bien choisie (c’est-à-dire résoudre l’équationg(x) = x). Pour que la fonction g soit bien choisie, il faut que :

f(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = x

La méthode du point fixe ne fonctionnera que si la fonction g est continue autour dupoint fixe cherché (qui est le zéro de f).

Exemples de fonction g bien choisie

Reprenons la fonction f(x) = xex− (x+1). On a différents choix de fonctions g possible.

1. Premier choix possible : g1(x) = xex − 1. En effet, on a :

f(x) = 0 ⇐⇒ xex − (x+ 1) = 0 ⇐⇒ xex − 1︸︷︷︸g1(x)

= x

2. Deuxième choix possible : g2(x) = (x+ 1)e−x. En effet, on a :

f(x) = 0 ⇐⇒ xex − (x+ 1) = 0 ⇐⇒ xex = x+ 1 ⇐⇒ x = (x+ 1)e−x

︸︷︷︸g2(x)

13.2.1 La méthode du point fixe et son algorithme

On construit de manière itérative une suite (xn)n>1 qui converge vers un zéro x0 de f .

1. On transforme l’équation l’équation f(x) = 0 en g(x) = x avec g continue (auvoisinage de x0).

2. On choisit x1 moralement proche de x0.

3. On calcule successivement les éléments de la suite (xn)n>1 à l’aide de la relation derécurrence xn+1 = g(xn) pour tout n > 1.

La suite a donc l’allure suivante.

(x1 , g(x1)︸︷︷︸

x2=g(x1)

, g(g(x1))︸︷︷︸x3=g(x2)

, g(g(g(x1)))︸︷︷︸x3=g(x2)

, . . .)




Théorème de convergence

Si la suite (xn)n>1 définie précédemment converge, alors elle converge vers un point fixe x0

de g qui sera un zéro de f (voir remarque fondamentale).

Démonstration

On suppose que la suite (xn)n>1 converge vers un nombre appelé x0. Il faut montrer quex0 est un point fixe de la fonction g (qui est supposée continue au voisinage de x0).

Or, dire que xn tend vers x0 lorsque n tend vers +∞ est équivalent à dire que la distanceentre x0 et xn tend vers 0 quand n tend vers +∞. En d’autres termes :

xn converge vers x0 ⇐⇒ |x0 − xn| n→+∞−→ 0

En utilisant l’inégalité triangulaire (|x+ y| 6 |x|+ |y|), on montre que :

|x0 − g(x0)| = |x0 − xn+1 + xn+1 − g(x0)|6 |x0 − xn+1|+ |xn+1 − g(x0)|

= |x0 − xn+1|︸︷︷︸n→+∞−→ 0

+ |g(xn)− g(x0)|︸︷︷︸n→+∞−→ 0 car g est continue

Donc |x0 − g(x0)| = 0, c’est-à-dire que x0 − g(x0) = 0 ou encore que g(x0) = x0.

Exemple

On reprend la fonction f(x) = xex − (x+1) avec les deux choix de g précédemment vus.

1. Avec g1(x) = xex − 1.

Si on prend x1 = −5, on a x2 = g1(x1) ∼= −1.03369, puis x3 = g1(x2) ∼= −1.36768,x4

∼= −1.34834, x5∼= −1.35012, . . . , x10

∼= −1.34998, . . . , x20∼= −1.34998.

On trouve ainsi le zéro de gauche.

Si on prend x1 = 0.8, on a x2 = g1(x1) ∼= 0.78043, puis x3 = g1(x2) ∼= 0.70323,x4

∼= 0.42071, x5∼= −0.35924, . . . , x10

∼= −1.34997, . . . , x20∼= −1.34998.

C’est de nouveau le zéro de gauche !

Si on prend x1 = 0.85, on a x2 = g1(x1) ∼= 0.98870, puis x3 = g1(x2) ∼= 1.65737,x4

∼= 7.69367, x5∼= 166882.1, x6 > 10499.

On voit que la suite diverge et on ne trouve pas le zéro de droite.

2. Avec g2(x) = (x+ 1)e−x.

Si on prend x1 = 0.8, on trouve x2 = g2(x1) ∼= 0.80879, puis x3 = g2(x2) ∼= 0.80563,x4

∼= 0.80677, x5∼= 0.80636, . . . , x10

∼= 0.80647, . . . , x20∼= 0.80647.

C’est le zéro de droite.

Si on prend x1 = −1.3, on trouve x20∼= 0.80647. C’est de nouveau le zéro de droite !

Si on prend x1 = −1.4, on trouve x6 < −10499. On voit que la suite diverge et onne trouve pas le zéro de gauche.

Moralité la fonction g1 permet de trouver le zéro de gauche, mais pas celui de droite,tandis que la fonction g2 permet de trouver le zéro de droite, mais pas celui de gauche.




Théorème de sélection

Soit g : R → R une fonction dont la dérivée est continue. Supposons que g admet unpoint fixe x0 qui satisfait |g′(x0)| < 1.

Alors, si on choisit x1 suffisamment proche de x0, la suite des approximations successivesxn+1 = g(xn) converge vers x0.

Interprétation graphique

cas g′(x0) < 1 cas g′(x0) > 1y

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7x

y

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7x

Moralité Le choix de la fonction g est très important !

Définition

Soit I un intervalle dans R. Une fonction g : I → I est dite contractante si pour tout x,y dans I, il existe un nombre k ∈ [0, 1[ (indépendant de x et de y) qui satisfait :

|g(x)− g(y)|︸︷︷︸distance entre g(x) et g(y)

6 k |x− y|︸︷︷︸distance entre x et y

Moralement : Cela signifie que la fonction resserre tous les points de I.

Théorème du point fixe de Banach 1

Soit I un intervalle fermé de R et g : I → I une fonction contractante. Alors g admet ununique point fixe dans l’intervalle I.

Remarque La démonstration fait appel aux suites de Cauchy.

Proposition

Soit I un intervalle fermé et g : I → I une fonction contractante. Alors pour n’importequel point x1 ∈ I, la suite des approximations successives xn+1 = g(xn) converge (doncconverge vers un point fixe de g (voir théorème de convergence)).

1. Ce théorème se généralise aux espaces Rn et permet ainsi d’appliquer le même théorème à laconstruction des fractals par MCRM. Dans ce contexte, le théorème est rebaptisé : théorème de Banach-Hausdorff.




Preuve de la proposition

Par le théorème du point fixe de Banach, on sait que la fonction g admet un unique pointfixe dans I, que l’on note x0. Soit x1 un point quelconque de l’intervalle I et montronsque la suite (xn)n>1, définie par xn+1 = g(xn) pour tout n > 1, converge vers ce pointfixe x0.

C’est le cas, car l’erreur 2 au pas n, donnée par en = |xn −x0|, diminue de la même façonà chaque itération de l’algorithme du point fixe. En effet :

en+1 = |xn+1 − x0| = |g(xn)− g(x0)|g contractante

6 k|xn − x0| = k en

On a ainsi la relation en+1 6 kne1 avec k ∈ [0, 1[ (le nombre k provient de la définitionde fonction contractante).

Donc, lorsque n → +∞, on a kn → 0 (car 0 6 k < 1) et ainsi en+1 → 0. Comme l’erreurtend vers 0, la suite converge vers x0.

Idée de preuve du théorème de sélection

Soit I un intervalle fermé de R et g : I → I une fonction dont la dérivée est continue etsatisfait la condition ⋆ : |g′(x)| 6 k < 1 pour tout x ∈ I.

Alors, on peut montrer (grâce au théorème des accroissements finis) que g est contrac-tante. Ainsi, grâce à la proposition précédente, la suite des approximations successivesxn+1 = g(xn) converge vers un point fixe x0 ∈ I.

Le lecteur attentif aura remarqué que dans le théorème de sélection, on ne parle ni d’unintervalle fermé noté I, ni de la condition ⋆.

En effet, c’est pour s’assurer l’existence d’un tel intervalle fermé I que l’on se doit de choi-sir x1 suffisamment proche de x0 (x0 ∈ I). De même, la condition⋆ est automatiquementsatisfaite pour des x proches de x0 si on a |g′(x0)| < 1.

13.2.2 La méthode de Newton-Raphson

Il s’agit d’une des méthodes les plus utilisées pour trouver les zéros d’une fonction. Lathéorie de la méthode du point fixe est reprise telle quelle. L’astuce de Newton-Raphsonest d’avoir réussi à trouver une fonction g qui fonctionne toujours !

On suppose que la fonction f dont on cherche les zéros satisfait les conditions : f ′′ estcontinue et le zéro cherché x0 est simple (c’est-à-dire que f ′(x0) 6= 0). Remarquons, quedans la pratique, la méthode fonctionne même si le zéro cherché n’est pas simple. On a :

f(x) = 0 ⇐⇒ x− f(x)

f ′(x)= x

On prend donc g(x) = x− f(x)

f ′(x). On a :

g′(x) = 1− (f ′(x))2 − f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2=

f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2

Comme g′(x0) = 0 (car f(x0) = 0), le théorème de sélection s’applique et ainsi pour x1

suffisamment proche de x0, la suite des approximations successives xn+1 = g(xn) convergevers x0.

2. Il s’agit de la même définition que celle se trouvant dans la méthode de la bissection.




Interprétation graphique : la méthode de la sécante

L’idée de Newton et de Raphson est deconstruire une suite (xi)i>1, à partir d’unnombre x1 moralement proche de x0, demanière à ce que xi+1 soit le zéro de latangente à la fonction f en xi.

L’équation de la tangente en xi est

y = f(xi) + f ′(xi)(x− xi)

Si la pente de la tangente n’est pas nulle(c’est-à-dire si f ′(xi) 6= 0), on peut calculerson zéro xi+1.

0 = f(xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi)

⇐⇒ xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi)

Ainsi, on reconnaît un algorithme équi-valent à la méthode du point fixe pour

g(x) = x− f(x)

f ′(x)

x

y

bx0

bx1

b

(x1; f(x1))

bx2

b

(x2; f(x2))

b

x3

13.2.3 Critère d’arrêt pour la méthode du point fixe

Lorsque la fonction g satisfait les hypothèses du théorème de sélection, on a vu (dansla preuve de la proposition) que l’erreur au pas n, donnée par en = |xn − x0|, diminueà chaque itération de l’algorithme du point fixe (ou de Newton-Raphson qui est un casparticulier de la méthode du point fixe). En effet, dans la preuve de cette proposition, ontrouvait la ligne suivante :

en+1 = |xn+1 − x0| 6 k|xn − x0| = k en avec k ∈ [0, 1[

Par conséquent, l’erreur entre deux termes successifs de la suite des approximations suc-cessives xn+1 = g(xn) devient de plus en plus petite. En effet, cette erreur s’exprime dela manière suivante grâce à l’inégalité triangulaire :

|xn+1−xn| = |xn+1−x0+x0−xn| 6 |xn+1−x0|+ |x0−xn| 6 en+1+ en 6 ken+ en < 2en

Donc, comme en → 0 de manière strictement décroissante, on a |xn+1 − xn| → 0 demanière strictement décroissante.

Par conséquent, on choisit le critère d’arrêt suivant pour l’algorithme. Dès que la différenceentre deux éléments consécutifs de la suite des itérés est plus petite qu’une certainetolérance (fixée à l’avance), on stoppe l’algorithme.


Troisième partie

Troisième année

131

Chapitre 14

L’intégration numérique

14.1 Définition intuitive

L’intégrale de la fonction f entre les bornesa et b est l’aire signée entre la fonction, l’axedes x et les axes verticaux x = a et x = b.

y

a b

A

f

2

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x

14.2 Définition formelle

Commençons par supposer que a < b.Pour calculer cette aire, on découpe l’intervalle [a, b] en n intervalles.

y

b

b

b

b

x0=

2

x1=

4

x2=

6

x3=

8

x4=

10

a b

f

n = 4

2

4

x

y

b

b

b bb

b

bb

x0=

2

x1=

3

x2=

4

x3=

5

x4=

6

x5=

7

x6=

8

x7=

9

x8=

10

a b

f

n = 8

2

4

x

y

b

b

b

b

bb b b b

bb

bb

bb

b

x0=

2.0

x1=

2.5

x2=

3.0

x3=

3.5

x4=

4.0

x5=

4.5

x6=

5.0

x7=

5.5

x8=

6.0

x9=

6.5

x10=

7.0

x11=

7.5

x12=

8.0

x13=

8.5

x14=

9.0

x15=

9.5

x16=

10.0

a b

f

n = 16

2

4

−2

x

y

bbbbbbbbbbb b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

x0=

2.0

x2=

2.5

x4=

3.0

x6=

3.5

x8=

4.0

x10=

4.5

x12=

5.0

x14=

5.5

x16=

6.0

x18=

6.5

x20=

7.0

x22=

7.5

x24=

8.0

x26=

8.5

x28=

9.0

x30=

9.5

x32=

10.0

a b

f

n = 32

2

4

−2

x

Ainsi, lorsque n → +∞, alors la somme des aires des rectangles tend vers l’intégrale A.

133

Lycée cantonal de PorrentruyMathématiques : troisième année SAM


Formellement, on procède ainsi :

1. On commence par subdiviser l’intervalle [a, b] en n intervalles [xi−1, xi] aveci ∈ 1, . . . , n. Cela permet d’approcher l’aire cherchée en calculant l’aire des nrectangles dont le coin droit touche le graphe de la fonction, donc la hauteur dui-ième rectangle est f(xi).

L’aire du i-ième rectangle est donnée par la célèbre formule “hauteur fois base”,ainsi

Aire du i-ième rectangle = f(xi) ·b− a

n

De ce fait, l’aire de tous les rectangles vaut :

n∑

i=1

Aire du i-ième rectangle︷︸︸︷(f(xi)︸︷︷︸hauteurdu i-èmerectangle

· b− a

n︸︷︷︸base

du i-èmerectangle

)

y

b

xi−

1

xib−a

n

f(xi)

i-iè

me

rect

angl

e

a b

f

2

4

x

2. On fait ensuite tendre n vers l’infini (et par conséquent la longueur des intervallesde la subdivision vers 0), l’aire totale de tous les rectangles va tendre vers l’aire Acherchée.

On peut donc écrire :

A = limn→+∞

(n∑

i=1

(f(xi) ·

b− a

n

))

Comme la longueur de chaque intervalle de la subdivision tend vers 0 lorsque n tend versl’infini, on peut la remplacer par ∆x (le lecteur se rappellera le chapitre de la dérivée où∆x symbolisait un nombre étant sensé être très petit). Autrement dit, la formule devient

A = limn→+∞

(n∑

i=1

f(xi) ·∆x

)si on note ∆x =

b− a

n

Notation

De nos jours, on note l’aire sous le graphe de la fonction f entre les points a et b de lafaçon suivante.

A =

b∫

a

f(x) dxa, b bornes d’intégrationx variable d’intégration

Il s’agit de l’intégrale (définie) de la fonction f de a à b.

C’est une transformation visuelle de l’écriture ci-dessus, on remplace ∆x par dx et lalimite de la somme par un S déformé en

∫. On bascule aussi les bornes a et b en dessous

et en dessus de ce symbole afin de ne pas les oublier.


Cours de MathématiquesMathématiques : troisième année SAM


Conséquence importante de la définition

Lorsque la fonction change de signe, l’intégrale ne donne pas l’aire entre le graphe etl’axe horizontal. En effet, l’aire sur chaque morceau sera comptée avec un signe. On a undeuxième changement de signe lorsque a > b (au lieu de a < b).

y

a b

++

− −+ +

sens de parcours f

x

y

b a

−−

+ +

− −

sens de parcours f

x

14.2.1 Pour être sûr d’avoir l’aire

Si on désire vraiment calculer la surface entre le graphe et l’axe, on utilise la valeurabsolue pour passer tout le graphe au dessus de l’axe horizontal.

y

a b

|f |

x

On peut réaliser cela grâce à la valeur absolue 1. Il faut donc calculer

b∫

a

|f(x)| dx

et s’assurer que a est bien plus petit que b.

1. On peut aussi intégrer sur chaque morceau et tenir compte des signes ‘à la main’.




14.3 Exemples

Aire sous une parabole

Calculons l’aire sous la parabole f(x) = x2 entre 0 et b > 0.

On commence par subdiviser l’intervalle [0, b] en n morceaux (ci-contre, l’intervalle [0, 3] est subdivisé en 3, puis en 6 morceaux).

Les xi sont ici donnés par xi =bn· i pour i ∈ 1, . . . , n. Ainsi,

le i-ième rectangle est de hauteur f(xi) et de base bn. On calcule

l’aire de tous les rectangles, notée An, comme suit :

An =n∑

i=1

(f(xi) ·

b

n

)=

n∑

i=1

(x2i ·

b

n

)

En substituant xi, on obtient :

An =n∑

i=1

((b

n

)3

i2

)=

(b

n

)3 n∑

i=1

i2

=

(b

n

)3 (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

)

On peut faire progresser le calcul en utilisant la formule (quipeut se démontrer par récurrence) suivante :

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n · (n+ 1) · (2n+ 1)

6

Ainsi, on a :

An =

(b

n

)3

· n · (n+ 1) · (2n+ 1)

6

=b3

6· n · (n+ 1) · (2n+ 1)

n · n · n

=b3

6

(1 +

1

n

)(2 +

1

n

)

y

b

b

b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−11 2 3−1

x

y

b

b

b

b

b

b

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−11 2 3−1

x

Lorsqu’on fait tendre le nombre de tranches n vers l’infini, on obtient l’aire suivante

A = limn→+∞

An = limn→+∞

b3

6

(1 +

1

n

)

︸︷︷︸→1

(2 +

1

n

)

︸︷︷︸→2

=b3

3

Ainsi, on a montré que : ∫ b

0

x2 dx =b3

3




Aire sous une exponentielle

Calculons l’aire sous l’exponentielle f(x) = ex entre 0 et b > 0.

On commence par subdiviser l’intervalle [0, b] en n morceaux (ci-contre, l’intervalle [0, 3] est subdivisé en 3, puis en 6 morceaux).

Les xi sont aussi donnés par xi =bn· i pour i ∈ 1, . . . , n. Ainsi,

le i-ième rectangle est de hauteur f(xi) et de base bn. On calcule

l’aire de tous les rectangles, notée An, comme suit :

An =

n∑

i=1

(f(xi) ·

b

n

)=

n∑

i=1

(exi · b

n

)

En substituant xi, on obtient :

An =n∑

i=1

(e

bni b

n

)=

b

n

n∑

i=1

ebni

=b

n

(e

bn +

(e

bn

)2+(e

bn

)3+ · · ·+

(e

bn

)n)

= ebn

b

n

(1 +

(e

bn

)+(e

bn

)2+ · · ·+

(e

bn

)n−1)

Il s’agit d’une progression géométrique dont la formule est

1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rn−1 =rn − 1

r − 1

(=

1− rn

1− r

)

Ainsi, on a :

An = ebn

b

n·(e

bn

)n − 1

ebn − 1

= ebn

b

n· e

b − 1

ebn − 1

y

b

b

b

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

1 2 3−1x

y

b

b

b

b

b

b

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

1 2 3−1x

Pour obtenir l’aire sous la courbe, on utilise le théorème de l’Hospital pour calculer lalimite de l’aire An lorsque le nombre de tranches n tend vers l’infini (ici, n est la variable).

A = limn→+∞

An = limn→+∞

ebn

b

n· e

b − 1

ebn − 1

= limn→+∞

(eb − 1) ebn ·

bn

ebn − 1

= (eb − 1) · limn→+∞

ebn

︸︷︷︸→1

· limn→+∞

bn

ebn − 1

Hospital= (eb − 1) · lim

n→+∞

− bn2

ebn ·(− b

n2

)

= (eb − 1) · limn→+∞

1

ebn︸︷︷︸

→1

= eb − 1

Ainsi, on a montré que : ∫ b

0

ex dx = eb − 1




14.4 Le théorème fondamental du calcul intégral

Ce théorème permet de calculer une intégrale (sous certaines hypothèses) en passant parle calcul différentiel. La preuve se trouve dans le cours de discipline fondamentale.

14.4.1 Théorème

Soit f une fonction réelle continue définie sur l’intervalle [a, b].Alors on a

b∫

a

f(x) dx = F (x)∣∣∣b

aoù F (x)

∣∣∣b

a

Notation

= F (b)− F (a)

où F est une primitive quelconque de f (c’est-à-dire une fonction telle que F ′ = f).

14.4.2 Exemples de calcul d’intégrales avec ce théorème

Reprenons les intégrales effectuées précédemment à l’aide de la définition.

1. Si f(x) = x2, alors F (x) = x3

3est une primitive de f et on a :

∫ b

0

x2 dx = F (x)∣∣∣b

0= F (b)− F (0) =

b3

3− 03

3=

b3

3

2. Si f(x) = ex, alors F (x) = ex + 2 est une primitive de f et on a :

∫ b

0

ex dx = F (x)∣∣∣b

0= F (b)− F (0) = eb + 2− (e0 + 2) = eb − 1

14.5 Le point de vue numérique

Le théorème fondamental du calcul intégral n’est pas toujours applicable, car il existedes fonctions continues sur R qui n’admettent pas de primitives explicites. La fonctionci-dessous est une telle fonction qui joue un rôle très important en statistique car ellepermet de décrire la densité de la loi normale.

f(x) = e−x2

Il est alors nécessaire de revenir à la définition même de l’intégrale. Mais cette dernièreétant plus technique, il devient nécessaire d’utiliser un ordinateur pour calculer une ap-proximation de cette intégrale (le passage à la limite discuté dans la définition devientdélicat à cause des erreurs d’arrondi).

Les numériciens ont ainsi cherché de nouvelles façons pour faire de meilleures approxi-mations. La première méthode, la méthode des approximations à gauche, est celle de ladéfinition donnée dans ce cours. De manière équivalente, il y a aussi la méthode des ap-proximations à droite. On présentera ensuite la méthode du point médian (aussi appeléeméthode des rectangles) et la méthode des trapèzes. Puis, on parlera brièvement de laméthode de Simpson.




14.5.1 La méthode des approximations à droite

On subdivise l’intervalle [a, b] en n intervalles [xi−1, xi] (avec i ∈ 1, . . . , n) de mêmelargeur. On a ainsi l’approximation suivante :

∫ b

a

f(x) dx ≈ Dndéfinition

=b− a

n·

n∑

i=1

f(xi)xi est la borne de droite

du i-ème intervalle

y

a b

f

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6x

y

a b

f

x0x1

x2x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x11

x12x

Exemple

Si on cherche à estimer l’intégrale∫ 6

0x2 dx = 63

3= 72, on obtient D6 = 91 et D12 = 81.25.

(D6 = 1 · (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) = 91).

14.5.2 La méthode des approximations à gauche


∫ b

a

f(x) dx ≈ Gndéfinition

=b− a

n·

n∑

i=1

f(xi−1)xi−1 est la borne de gauche


C’est la méthode présentée dans la définition.

y

a b

f

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6x

y

a b

f

x0x1

x2x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x11

x12x

Exemple


0x2 dx = 63

3= 72, on obtient G6 = 55 et G12 = 63.25.

(G6 = 1 · (02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52) = 55).




14.5.3 La méthode du point médian (ou méthode des rectangles)


∫ b

a

f(x) dx ≈ Mndéfinition

=b− a

n·

n∑

i=1

f(xi−1 + xi

2

) xi−1+xi

2est le milieu


y

a b

f

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6x

y

a b

f

x0x1

x2x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x11

x12x

Exemple


0x2 dx = 63

3= 72, on a M6 = 71.5 et M12 = 71.875.

(M6 = 1 · (0.52 + 1.52 + 2.52 + 3.52 + 4.52 + 5.52) = 71.5).

14.5.4 La méthode des trapèzes

On subdivise l’intervalle [a, b] en n intervalles [xi−1, xi] (avec i ∈ 1, . . . , n) de mêmelargeur. On a ainsi l’approximation suivante :∫ b

a

f(x) dx ≈ Tndéfinition

=b− a

n·

n∑

i=1

f(xi−1) + f(xi)

2

f(xi−1)+f(xi)2

est la hauteurmoyenne du i-ème trapèze

y

a b

f

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6x

y

a b

f

x0x1

x2x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x11

x12x

Exemple


0x2 dx = 63

3= 72, on a T6 = 73 et T12 = 72.25.

(T6 = 1 · (022+ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62

2) = 73).

Remarque. Cette méthode consiste à utiliser la méthode des rectangles sur une inter-polation linéaire de la fonction au-dessus des intervalles de la subdivision.




14.5.5 Critères d’arrêts de ces méthodes

Chaque méthode nous donne une suite d’approximations qui converge vers la valeurexacte de l’intégrale. On va donc utiliser le critère d’arrêt basé sur l’erreur absolue aun-ième pas de la suite par rapport à la valeur exacte (ce critère est le même que celuiutilisé dans le chapitre sur les résolutions d’équations numériques).

Définition

Si (xn)n>1 est une suite qui converge vers x0. L’erreur (absolue) au pas n est définie par :

en = |xn − x0|

Théorème

Pour les méthodes des approximations à gauche et à droite, on a les majorations del’erreur au pas n suivantes :

|e(G)n | 6 (b− a)2

2n· maxx∈[a,b]

|f ′(x)| et |e(D)n | 6 (b− a)2

2n· maxx∈[a,b]

|f ′(x)|

Pour les méthodes du point médian (méthode des rectangles) et la méthode des trapèzes,on a les majorations de l’erreur au pas n suivantes :

|e(M)n | 6 (b− a)3

24n2· maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| et |e(T )n | 6 (b− a)3

6n2· maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|

Cela signifie que les méthodes des approximations à gauche et à droite sont exactes pourdes fonctions constantes (dont la dérivée est nulle). Tandis que les méthodes du pointmédian et des trapèzes sont exactes pour des fonctions affines (dont la dérivée secondeest nulle).

Ingrédients pour la démonstration du théorème

Le développement de Taylor

On va utiliser le développement de Taylor d’ordre n en x0 d’une fonction f dont les n+1premières dérivées sont supposées continues. Le nombre ξ ci-dessous est entre x et x0.

f(x) = f(x0)+f ′(x0)1!

(x−x0)+f ′′(x0)

2!(x−x0)

2+ · · ·+ f (n)(x0)

n!(x−x0)

n+f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x−x0)

n+1

Il est important de bien souligner le fait que ξ dépend de la valeur de x0 et de x.

L’inégalité triangulaire

Cette inégalité permet d’écrire :

∣∣∣x1 + x2 + · · ·+ xn

∣∣∣ 6 |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| ou

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

xi

∣∣∣∣∣ 6n∑

i=1

|xi|




Démonstration de la formule concernant la borne d’erreur pour la méthodedes approximations à gauche

On peut commencer à estimer l’erreur en utilisant les définitions, les notations précédenteset l’inégalité triangulaire,

|e(G)n | =

∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx−Gn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

∫ xi

xi−1

f(x) dx −n∑

i=1

f(xi−1)∆x

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(∫ xi

xi−1

f(x) dx − f(xi−1)∆x

)∣∣∣∣∣ 6n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1


∣∣∣∣

Prenons F une primitive de f (F existe car f est continue). Par le théorème fondamentaldu calcul intégral, on a : ∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1)

On utilise le développement de Taylor d’ordre 1 en xi−1 de la fonction F pour simplifiercette intégrale :

F (x) = F (xi−1) + f(xi−1)(x− xi−1) +f ′(ξi)

2(x− xi−1)

2 (ξi est entre xi−1 et x)

En évaluant ce développement en xi, on trouve :

F (xi) = F (xi−1) + f(xi−1)∆x+f ′(ξ∗i )

2(∆x)2 (ξ∗i est entre xi−1 et xi)

Ainsi : ∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1) = f(xi−1)∆x+f ′(ξ∗i )

2(∆x)2

Par conséquent, on a :

|e(G)n | 6

n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1


∣∣∣∣ =

n∑

i=1

∣∣∣∣f′(ξ∗i ) ·

(∆x)2

2

∣∣∣∣

De plus, on peut simplifier cette expression grâce à la dernière majoration suivante :

|f ′(ξ∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′(x)| car ξ∗i ∈ [a, b]D’où :

|e(G)n | 6

n∑

i=1

∣∣∣∣f′(ξ∗i ) ·

(∆x)2

2

∣∣∣∣ =n∑

i=1

|f ′(ξ∗i )| ·(∆x)2

26

n∑

i=1

maxx∈[a,b]

|f ′(x)| · (∆x)2

2

En utilisant le fait que ∆x = b−an

, on obtient la majoration annoncée :

|e(G)n | 6 n · max

x∈[a,b]|f ′(x)| · (∆x)2

2=

(b− a)2

2n· maxx∈[a,b]

|f ′(x)|

A propos de la démonstration de la formule concernant la borne d’erreur pourla méthode des approximations à droite

La démonstration est quasiment la même. On utilise bien sûr Dn au lieu de Gn et ondevra utiliser le développement de Taylor d’ordre 1 en xi de la fonction F (au lieu dudéveloppement en xi−1).




Démonstration de la formule concernant la borne d’erreur pour la méthodedu point médian

Notons xi− 12

le milieu de l’intervalle [xi−1, xi]. On peut commencer à estimer l’erreur enutilisant les définitions, les notations précédentes et l’inégalité triangulaire,

|e(M)n | =

∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx−Mn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

∫ xi

xi−1

f(x) dx −n∑

i=1

f(xi− 12)∆x

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(∫ xi

xi−1

f(x) dx − f(xi− 12)∆x

)∣∣∣∣∣ 6n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1

f(x) dx − f(xi− 12)∆x

∣∣∣∣

Prenons F une primitive de f (F existe car f est continue). Par le théorème fondamentaldu calcul intégral, on a : ∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1)

On utilise le développement de Taylor d’ordre 2 en xi− 12

de la fonction F pour simplifiercette intégrale. Il existe ξi entre xi− 1

2et x tel que :

F (x) = F (xi− 12) + f(xi− 1

2)(x− xi− 1

2) +

f ′(xi− 12)

2(x− xi− 1

2)2 +

f ′′(ξi)

3!(x− xi− 1

2)3

En évaluant ce développement en xi, il existe ξ∗i entre xi− 12

et xi tel que :

F (xi) = F (xi− 12) + f(xi− 1

2)

(∆x

2

)+

f ′(xi− 12)

2

(∆x

2

)2

+f ′′(ξ∗i )

3!

(∆x

2

)3

En évaluant ce développement en xi−1, il existe ξ∗∗i entre xi− 12

et xi−1 tel que :

F (xi−1) = F (xi− 12)− f(xi− 1

2)

(∆x

2

)+

f ′(xi− 12)

2

(∆x

2

)2

− f ′′(ξ∗∗i )

3!

(∆x

2

)3

Ainsi :∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1) = f(xi− 12)∆x+

f ′′(ξ∗i )

48(∆x)3 +

f ′′(ξ∗∗i )

48(∆x)3

On peut maintenant simplifier |e(M)n |, puis on utilise l’inégalité triangulaire et les majo-

rations suivantes

|f ′′(ξ∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| et |f ′′(ξ∗∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|

afin de trouver :

|e(M)n | 6

n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1

f(x) dx − f(xi− 12)∆x

∣∣∣∣ =

n∑

i=1

∣∣∣∣f′′(ξ∗i ) ·

(∆x)3

48+ f ′′(ξ∗∗i ) · (∆x)3

48

∣∣∣∣

6

n∑

i=1

(|f ′′(ξ∗i )| ·

(∆x)3

48+ |f ′′(ξ∗∗i )| · (∆x)3

48

)

6

n∑

i=1

(maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3

48+ max

x∈[a,b]|f ′′(x)| · (∆x)3

48

)

= n · maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3

24=

(b− a)3

24n2· maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| car ∆x =b− a

n




Démonstration de la formule concernant la borne d’erreur pour la méthodedes trapèzes

Notons xi− 12

le milieu de l’intervalle [xi−1, xi]. On peut commencer à estimer l’erreur enutilisant les définitions, les notations précédentes et l’inégalité triangulaire,

|e(T )n | =

∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx− Tn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

∫ xi

xi−1

f(x) dx −n∑

i=1

f(xi−1) + f(xi)

2∆x

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

(∫ xi

xi−1

f(x) dx − f(xi−1) + f(xi)

2∆x

)∣∣∣∣∣

6

n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1

f(x) dx −(f(xi−1) + f(xi)

)· ∆x

2

∣∣∣∣

On va transformer chacun des deux termes qui se trouvent dans la valeur absolue.

1. Prenons F une primitive de f (F existe car f est continue). Par le théorème fon-damental du calcul intégral, on a :

∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1)

En effectuant le même calcul que pour la méthode du point médian, on a :

∫ xi

xi−1

f(x) dx = F (xi)− F (xi−1) = f(xi− 12)∆x+

f ′′(ξ∗i )

48(∆x)3 +

f ′′(ξ∗∗i )

48(∆x)3

2. On utilise le développement de Taylor d’ordre 1 en xi− 12

de la fonction f . Ainsi, ilexiste ζi entre xi− 1

2et x tel que :

f(x) = f(xi− 12) + f ′(xi− 1

2)(x− xi− 1

2) +

f ′′(ζi)

2(x− xi− 1

2)2

En évaluant ce développement en xi, il existe ζ∗i entre xi− 12

et xi tel que :

f(xi) = f(xi− 12) + f ′(xi− 1

2)

(∆x

2

)+

f ′′(ζ∗i )

2!

(∆x

2

)2

En évaluant ce développement en xi−1, il existe ζ∗∗i entre xi− 12

et xi−1 tel que :

f(xi−1) = f(xi− 12)− f ′(xi− 1

2)

(∆x

2

)+

f ′′(ζ∗∗i )

2!

(∆x

2

)2

Ainsi :

(f(xi−1) + f(xi)

)· ∆x

2= f(xi− 1

2)∆x+

f ′′(ζ∗i )

16(∆x)3 +

f ′′(ζ∗∗i )

16(∆x)3




Par conséquent, on a :

|e(T )n | 6

n∑

i=1

∣∣∣∣∫ xi

xi−1

f(x) dx −(f(xi−1) + f(xi)

)· ∆x

2

∣∣∣∣

=

n∑

i=1

∣∣∣∣f ′′(ξ∗i )

48(∆x)3 +

f ′′(ξ∗∗i )

48(∆x)3 − f ′′(ζ∗i )

16(∆x)3 − f ′′(ζ∗∗i )

16(∆x)3

∣∣∣∣

En utilisant l’inégalité triangulaire, on a :

|e(T )n | 6

n∑

i=1

( |f ′′(ξ∗i )|48

(∆x)3 +|f ′′(ξ∗∗i )|

48(∆x)3 +

|f ′′(ζ∗i )|16

(∆x)3 +|f ′′(ζ∗∗i )|

16(∆x)3

)

Grâce aux majorations suivantes

|f ′′(ξ∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| et |f ′′(ξ∗∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|

|f ′′(ζ∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| et |f ′′(ζ∗∗i )| 6 maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|

on obtient :

|e(T )n | 6

n∑

i=1

maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3 ·(

1

48+

1

48+

1

16+

1

16

)

= n · maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3 ·(

1

24+

1

8

)

= n · maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3 ·(

1

24+

3

24

)

= n · maxx∈[a,b]

|f ′′(x)| · (∆x)3 · 4

24

En utilisant le fait que ∆x = b−an

, on obtient la majoration de l’erreur annoncée :

|e(T )n | 6 n · max

x∈[a,b]|f ′′(x)| · (∆x)3 · 1

6=

(b− a)3

6n2· maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|

14.5.6 La méthode de Simpson

On peut facilement montrer que la méthode des trapèzes satisfait la relation Tn = Gn+Dn

2.

Il s’agit de la moyenne entre la méthode des approximations à gauche avec celle desapproximations à droite.

On définit la méthode de Simpson par la formule Sn = Tn+2Mn

3. C’est une moyenne

pondérée entre la méthode des trapèzes et celle du point médian qui compte double.

Théorème Il existe une constante C > 1 telle que : |e(S)n | 6 (b− a)5

C · n4· maxx∈[a,b]

|f (4)(x)|

La méthode de Simpson donne des résultats exacts pour tous les polynômes de degré 6 3.




14.6 Formules de quadratures

Dans cette section, on va découvrir un nouveau point de vue qui permet de retrouver lesméthodes d’intégrations numériques précédentes et de pouvoir généraliser ces méthodesdans le cas du calcul des intégrales de fonctions à deux variables.

14.6.1 Généralités

Soit Ω un domaine borné de Rn (dans ce cours, on se restreint à n = 1 ou n = 2). Soitf : Ω → R; x = (x1, x2, . . . , xn) 7→ f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) une fonction continue de nvariables à valeur réelle.

Le but des formules de quadratures est de pouvoir estimer les intégrales suivantes :∫

Ω

f(x1, x2, . . . , xn) dx1dx2 · · · dxn =

∫

Ω

f(x) dx

Dans ce but, on choisit N points a1, a2, . . . , aN de Ω auxquels on associe des poids wk > 0tels que :

N∑

k=1

wk = Vol(Ω) où Vol(Ω) est le volume de Ω

On obtient ainsi une formule de quadrature, notée J(f) et définie par :

J(f) =N∑

k=1

wkf(ak)

Théorème 1

Sous ces notations, on a la majoration suivante pour l’erreur commise E :

E =

∣∣∣∣∫

Ω

f(x) dx− J(f)

∣∣∣∣ 6 VΩ(f) · Vol(Ω) oùVΩ(f) = supx∈Ω f(x)− infy∈Ω f(y)

est l’écart maximal de f sur Ω

Preuve du théorème 1

On a : E =

∣∣∣∣∫

Ω

f(x) dx− J(f)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∑Nk=1wk

Vol(Ω)

∫

Ω

f(x) dx−N∑

k=1

wkf(ak)

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

N∑

k=1

wk

Vol(Ω)

∫

Ω

f(x) dx−N∑

k=1

wk

Vol(Ω)

∫

Ω

f(ak) dx

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

N∑

k=1

wk

Vol(Ω)

∫

Ω

(f(x)− f(ak)

)dx

∣∣∣∣∣ 6N∑

i=1

wk

Vol(Ω)

∫

Ω

|f(x)− f(ak)| dx

La dernière majoration provient de l’inégalité triangulaire et du fait que les poids wk sontpositifs ou nuls.

Or, par définition de VΩ(f), on a |f(x)− f(ak)| 6 VΩ(f). Donc :

E 6

N∑

k=1

wk

Vol(Ω)

∫

Ω

VΩ(f) dx =

∫

Ω

VΩ(f) dx = VΩ(f) · Vol(Ω)




La technique de la partition

On peut aussi faire une partition du domaine Ω en M domaines appelés Ωi. Ces domainesΩi doivent alors satisfaire les conditions suivantes :

a)M⋃i=1

Ωi = Ω b) Les Ωi sont d’intérieurs disjoints

Pour chaque domaine Ωi, on choisit Ni points aik et des poids associés wik > 0 qui vérifient :

Ni∑

k=1

wik = Vol(Ωi)

En notant Ji(f) la formule de quadrature associée sur Ωi, on peut définir une formule dequadrature J∗(f) sur Ω de la manière suivante :

J∗(f) =M∑

i=1

Ji(f) =M∑

i=1

(Ni∑

k=1

wikf(a

ik)

)

Bien que les notations sont plus complexes, cette façon de procéder est équivalente auxformules de quadrature décrites sur la page précédente. Il y a tout de même un subtileavantage.

Théorème 2

Sous ces notations, on a la majoration suivante pour l’erreur commise E∗ :

E∗ =

∣∣∣∣∫

Ω

f(x) dx− J∗(f)

∣∣∣∣ 6 maxi

VΩi(f) · Vol(Ω)

Preuve du théorème 2

On a : E∗ =

∣∣∣∣∫

Ω

f(x) dx− J∗(f)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

M∑

i=1

∫

Ωi

f(x) dx−M∑

i=1

Ji(f)

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

M∑

i=1

(∫

Ωi

f(x) dx− Ji(f)

)∣∣∣∣∣ 6

M∑

i=1

∣∣∣∣∫

Ωi

f(x) dx− Ji(f)

∣∣∣∣

Thm 16

M∑

i=1

VΩi(f) · Vol(Ωi) 6

M∑

i=1

maxi

VΩi(f) · Vol(Ωi)

= maxi

VΩi(f) ·

M∑

i=1

Vol(Ωi)

︸︷︷︸=Vol(Ω)

= maxi

VΩi(f) · Vol(Ω)

Moralité

Plus la partition du domaine Ω est fine, plus le terme maxi

VΩi(f) deviendra petit, donc

plus l’approximation sera bonne !

En effet, la fonction f étant continue, plus les domaines Ωi seront petits, plus l’écartmaximal de f sur Ωi sera petit.




14.6.2 Applications aux intégrales à une dimension

Dans la section précédente, on a subdivisé l’intervalle [a, b] en n intervalles [xi−1, xi] (aveci ∈ 1, . . . , n) de même largeur ∆x = b−a

net avec xi = a + i ·∆x (x0 = a et xn = b).

Sous les notations de cette section, on a Ω = [a, b] et Ωi = [xi−1, xi].

Cette technique permet de retrouver les méthodes déjà vues comme le montre le tableaude la page 151.

14.6.3 Applications aux intégrales à deux dimensions

Soit Ω un domaine borné du plan R2.

On peut toujours estimer Ω par une partition derectangles. Pour chaque rectangle, on peut effec-tuer un changement de variables pour le ramenerau carré universitaire Ω = [0, 1]2.

Ainsi, on se ramène à calculer des intégrales dela forme :∫

Ω

f(x, y) dxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

f(x, y) dx

)dy

On peut généraliser les méthodes précédentes entravaillant d’abord sur l’intégrale associée à lavariable x, puis sur celle associée à y.

Regardons ce que donne cette généralisation pour la méthode du point médian si ondécoupe l’intervalle [0, 1] (sur l’axe des x et des y) en n morceaux.

Le cas n = 1 donne la formule suivante :∫

Ω

f(x, y) dxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

f(x, y) dx

)dy ∼=

∫ 1

0

f(12, y)dy ∼= f(1

2, 12)

Le cas n = 2 donne la formule suivante :

∫

Ω

f(x, y) dxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

0

f(x, y) dx

)dy ∼=

∫ 1

0

12

(f(1

4, y) + f(3

4, y))dy

∼= 12

(12

(f(1

4, 14) + f(3

4, 14)))

+ 12

(12

(f(1

4, 34) + f(3

4, 34)))

= 14

(f(1

4, 14) + f(3

4, 14) + f(1

4, 34) + f(3

4, 34))

Le cas général donne la formule suivante :

∫

Ω

f(x, y) dxdy ∼= 1

n2

n∑

i=1

n∑

j=1

f(

i− 12

n,j− 1

2

n

)

On reconnaît des formules de quadrature !




Vision schématique des poids

Pour la méthode généralisée à partir du point médian

Cas n = 1

1

112

12

b1

Cas n = 3

1

116

36

56

16

36

56

b b b

b b b

b b b

19

19

19

19

19

19

19

19

19

On a la formule de quadrature suivante si on subdivise l’intervalle [0, 1] en n parties.

M (2)n =

1

n2

n∑

i=1

n∑

j=1

f(

i− 12

n,j− 1

2

n

)=

1

n2

n∑

i=1

n∑

j=1

f(

2i−12n

, 2j−12n

)

Pour la méthode généralisée à partir des trapèzes

Cas n = 1

1

1b b

b b

14

14

14

14

Cas n = 3

1

1b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

136

236

236

136

236

436

436

236

236

436

436

236

136

236

236

136


T (2)n =

1

4n2

(f(0, 0) + f(1, 0) + f(0, 1) + f(1, 1) + 4

n−1∑

i=1

n−1∑

j=1

f(

in, jn

)

+ 2

n−1∑

k=1

(f(

kn, 0)+ f(

kn, 1)+ f(0, k

n

)+ f(1, k

n

)) )




Pour la méthode généralisée à partir de Simpson

Cas n = 1

1

112

12

b

b

b

b

b

b

b

b b

136

136

136

136

1636

436

436

436

436

Cas n = 3

1

116

36

56

16

36

56

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b

b b b b b b b

1324

4324

2324

4324

2324

4324

1324

4324

16324

8324

16324

8324

16324

4324

2324

8324

4324

8324

4324

8324

2324

4324

16324

8324

16324

8324

16324

4324

2324

8324

4324

8324

4324

8324

2324

4324

16324

8324

16324

8324

16324

4324

1324

4324

2324

4324

2324

4324

1324


S(2)n =

1

36n2

(f(0, 0) + f(1, 0) + f(0, 1) + f(1, 1)

+ 2

n−1∑

k=1

(f(kn, 0)+ f(kn, 1)+ f(0, k

n

)+ f(1, k

n

))

+ 4

n∑

k=1

(f(2k−12n

, 0)+ f(2k−12n

, 1)+ f(0, 2k−1

2n

)+ f(1, 2k−1

2n

))

+ 8

n−1∑

i=1

n∑

j=1

(f(in, 2j−1

2n

)+ f(2j−12n

, in

))

+ 4

n−1∑

i=1

n−1∑

j=1

f(in, jn

)+ 16

n∑

i=1

n∑

j=1

f(2i−12n

, 2j−12n

) )

Remarque. Cette généralisation est issue de la formule de quadrature de la méthodede Simpson en dimension 1 qui se trouve sur la page suivante ; malheureusement, on perdla relation que l’on avait avec les méthodes unidimensionnelles :

S(2)n 6= T

(2)n +2M

(2)n

3

Pire, S(2)n ne plus s’exprimer comme une moyenne pondérée de T

(2)n et de M

(2)n . En effet,

S(2)n a des poids qui n’apparaissent nullement dans T

(2)n et dans M

(2)n (contrairement au

cas unidimensionnel).


Cours

de

Math

ématiq

ues

Math

ém

atiq

ues

:tro

isièm

eannée

SA

MLycée

cantonalde

Porrentruy

méthode sur [0, 1] sur Ωi sur Ω

approximationsà gauche

0 1b

1

xi−1 xib

∆x

x0 x1 x2 x3 xn−1 xnb b b b b

∆x ∆x ∆x ∆x ∆x

f(0) Ji(f) = ∆x · f(xi−1) J∗(f) = ∆x ·n∑

i=1

f(xi−1)

approximationsà droite

0 1b

1

xi−1 xib

∆x


∆x ∆x ∆x ∆x ∆x

f(1) Ji(f) = ∆x · f(xi) J∗(f) = ∆x ·n∑

i=1

f(xi)

point médian

0 1b

12

1

xi−1 xib

xi− 1

2

∆x


x 1

2

∆x

x 3

2

∆x

x 5

2

∆x

xn− 1

2

∆x

f(12) Ji(f) = ∆x · f(xi− 1

2) J∗(f) = ∆x ·

n∑i=1

f(xi− 12)

des trapèzes

0 1b b12

12

xi−1 xib b

∆x2

∆x2

x0 x1 x2 x3 xn−1 xnb b b b b b

∆x2 ∆x ∆x ∆x ∆x

∆x2

f(12) Ji(f) =

∆x2

(f(xi−1) + f(xi)

)J∗(f) = ∆x

2

(f(x0) + 2

n−1∑i=1

f(xi) + f(xn)

)

de Simpson

0 1b b b

12

16

46

16

xi−1 xib b b

xi− 1

2

∆x6

4∆x6

∆x6

x0 x1 x2 x3 xn−1 xnb b b b b b b b b b b

∆x6

x 1

2

4∆x6

2∆x6

x 3

2

4∆x6

2∆x6

x 5

2

4∆x6

2∆x6

2∆x6

xn− 1

2

4∆x6

∆x6

f(0)6 +

f( 1

2)

6 + f(1)6 Ji(f) =

∆x6

(f(xi−1) + 4f(xi− 1

2

) + f(xi))

J∗(f) = ∆x6

(f(x0) + 4

n∑i=1

f(xi− 1

2

) + 2n−1∑i=1

f(xi) + f(xn)

)

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3.001page

151S.

Perret

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