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Mathématiques pour la mécanique de la rupturesingularités, analyse asymptotique, calcul numérique

Grégory Vial

Institut Camille Jordan, École Centrale de Lyon

Colloque Inter’actions 2016

ENS Lyon, 23–27 mai 2016

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures

I Problématique

I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.

I Autour de l’initiation de la fissuration

I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?

I Autour de la propagation de la fissure

I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?

I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.


I Problématique

I Initiation de la fissuration.

I Propagation de la fissure.







I Problématique








I Problématique



I Sous quelle condition ?

I À quel endroit ?





I Problématique








I Problématique





I Quel parcours ?

I Quelle vitesse ?



I Problématique







Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)

!

"

#

•!(t)

I Géométrie de la fissuration connue

I Γ : courbe où se développe la fissure.

I `(t) : longueur de la fissure au temps t .

I Cadre énergétique

I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).

I Axiomes

I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.


!

"

#

•!(t)




I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.

I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).

I Axiomes



!

"

#

•!(t)




I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .

I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).

I Axiomes



!

"

#

•!(t)




I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).

I Axiomes



!

"

#

•!(t)





I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.

I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.


!

"

#

•!(t)





I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .

I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.


!

"

#

•!(t)





I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.


I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.

Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.

Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .

On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =

√−k/W ′(L).

I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .

I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .

I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .

On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.




Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k`

; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .


√−k/W ′(L).










√−k/W ′(L).










√−k/W ′(L).




On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes.

Il y a unicité.






√−k/W ′(L).







I Problème : W n’est pas convexe.

I Idée : définir `(t) comme solution de

`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.

I ` = 0 est solution pour t petit.

I ` = 0 est solution tant que

I W strict. convexe sur [`0, L].





`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.

`

W (`)

L








`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.

`

W (`)

L



t2W (0) ≤ t2W (`) + k`.






`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.

`

W (`)

L



W (`) ≥W (0)− kt2

`.






`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.

`

W (`)

W (0) •

•

`0

•L•



W (`) ≥W (0)− kt2

`.






`(t) = argmin`

P(t , `) + k` = argmin`

t2W (`) + k`.



W (`) ≥W (0)− kt2

`.


Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés

I Comment calculer l’énergie W (`) ?



I Cadre réaliste : élasticité linéaire 3DI ~u(x1, x2, x3) : vecteur déplacement (inconnue).

I ~f (x1, x2, x2) : vecteur chargement (connu).

I EDP : « L~u = ~f », avec L opérateur linéaire.I Conditions aux limites.



I Problème « jouet » (∆ = ∂2

∂x21

+ ∂2

∂x22

)

x1

x2

Ω

Γ `•0•

−∆u(x) = f (x) dans Ω,

u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,

∂u∂x2

(x) = 0 sur Γ,

etW (`) = −

∫Ω

|∇u|2.



I Problème « jouet » (∆ = ∂2

∂x21

+ ∂2

∂x22

)

x1

x2

Ω

Γ `•0•

−∆u(x) = f (x) dans Ω,

u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,

∂u∂x2

(x) = 0 sur Γ,

etW (`) = −

∫Ω

|∇u|2.

Question : relier W (`) au comportement de u en front de fissure ?

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques

I Constat :

I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.

I Réciproque ?

I Pas OK dans Ω en général.


I Constat : si u ∈ C k (Ω), alors f = −∆u ∈ C k−2(Ω).


I Réciproque ?



I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).


I Réciproque ?




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).


I Réciproque ?




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).


I Réciproque ?I OK dans Rd :




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Hk (Rd) =

u ∈ L2(Ω) ;

(1 + |ξ|2

) k2 u ∈ L2(Rd)

.




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Hk (Rd) =

u ∈ L2(Ω) ;

(1 + |ξ|2

) k2 u ∈ L2(Rd)

.

Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Hk (Rd) =

u ∈ L2(Ω) ;

(1 + |ξ|2

) k2 u ∈ L2(Rd)

.

Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et

F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Hk (Rd) =

u ∈ L2(Ω) ;

(1 + |ξ|2

) k2 u ∈ L2(Rd)

.

Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et

F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),

donc u ∈ H2(Rd).




Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).


I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•

Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√

r sin(θ2

),

et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•


r sin(θ2

),


∆u = η∆s + 2∇η · ∇s + ∆ηs



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•


r sin(θ2

),


∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•


r sin(θ2

),


∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).



Hk (Ω) =

u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).



Ω

ΓN

ΓD

θr

0•


r sin(θ2

),


∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).

Pourtant u /∈ H2(Ω).

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques

I Le problème mixte

Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de

−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN

satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .

I Remarque. Pour la fissure ω = π.


I Le problème de Dirichlet

I Dans un polygone

Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de

−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω

satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω

.

Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.







I Le problème de DirichletI Dans un ouvert régulier

Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω est de classe C 2, alors lasolution u ∈ H1(Ω) de


satisfait u ∈ H2(Ω).

I Dans un polygone




.








I Le problème de DirichletI Dans un polygone




.












.


Ω

θ

r

0•











.


Ω

θ

r

0•

Le gradient du déplacementn’est pas borné :

∇u'0

r−13












Ω

ΓN

ΓD

θr

0•







Ω

ΓN

ΓD

θr

0•

λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).







Ω

ΓN

ΓD

θr

0•

λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).

Lien avec le taux de restitution d’énergie :

W ′(`) = −λ2 π

4.

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques

I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.

I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.

I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑

j=1

αjφj .

I Comment choisir Hn et la base (φj) ?


Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.

I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


−∆u = f



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀v ∈ H −∆u v = f v



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀v ∈ H −∫

Ω

∆u v =

∫Ω

f v



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀v ∈ H −∫∂Ω

∂νu v +

∫Ω

∇u · ∇v =

∫Ω

f v



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀v ∈ H

∫Ω

∇u · ∇v =

∫Ω

f v (P)



j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀vn ∈ Hn

∫Ω

∇un · ∇vn =

∫Ω

f vn (Pn)


j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀vn ∈ Hn

n∑j=1

αj

∫Ω

∇φj · ∇vn =

∫Ω

f vn


j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀i = 1, . . . ,n,n∑

j=1

αj

∫Ω

∇φj · ∇φi =

∫Ω

f φi


j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀i = 1, . . . ,n,n∑

j=1

αjKi j =

∫Ω

f φi


j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


∀i = 1, . . . ,n,n∑

j=1

αjKi j = Bi


j=1

αjφj .



Ω

θ

r

0•


u = 0 sur ∂Ω.

H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.


Kα = B


j=1

αjφj .

Ki j =

∫Ω

∇φj · ∇φi Bi =

∫Ω

fφi .



I Méthodes des éléments finis

I Maillage du domaine

I Triangulation Tn :

Ω =⋃

K∈Tn

K

I Si K 6= L,

K ∩ L = arête ou sommet.

I Espace d’approximation et fonctions de base

I Hn =

v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1

.

I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .


I Méthodes des éléments finisI Maillage du domaine

I Triangulation Tn :

Ω =⋃

K∈Tn

K

I Si K 6= L,

K ∩ L = arête ou sommet.

I Espace d’approximation et fonctions de base

I Hn =

v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1

.

I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .


I Estimations d’erreur (cas régulier)

Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors

‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u

Calculs pour h ' 0.01




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un





‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un u − un

Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 9 · 10−4




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un u − un





‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un u − un

Calculs pour h ' 0.004 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 2.7 · 10−4




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un u − un





‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).

u un u − un

Calculs pour h ' 0.001 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 8 · 10−5


I Estimations d’erreur (cas singulier)

Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général

‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.

u





‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.

u un





‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.

u un u − un

Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 0.22




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.

u un u − un




‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).


‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).

avec α = πω

.

I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.

I Méthodes de raffinement de maillage.

I Méthodes d’adjonction de singularité.

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures

I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?

I Problème modèle :

Ωεε

0••0ε

−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,

uε(x) = 0 sur ∂Ωε

Pour ε > 0,

uε(x) = uεreg + λε√

rε sin(θε2

).

Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?

I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.


I Développement asymptotique

uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε

),

où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,

K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01



uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε

),


K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

K (X) 'X=01

b√|X− 01| sin

(θ

2

)

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01



uε(x) ' u0(x) + c b ε23

√∣∣∣xε− 01

∣∣∣ sin(θ1

2

),


K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

K (X) 'X=01

b√|X− 01| sin

(θ

2

)

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01



uε(x) ' u0(x) + c b ε23

√∣∣∣∣xε − 0εε

∣∣∣∣ sin(θ1

2

),


K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

K (X) 'X=01

b√|X− 01| sin

(θ

2

)

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01



uε(x) ' u0(x) + c b ε23−

12

√|x− 0ε| sin

(θε2

),


K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

K (X) 'X=01

b√|X− 01| sin

(θ

2

)

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01



uε(x) ' u0(x) + c b ε16

√|x− 0ε| sin

(θε2

),


K (X) = |X|23 sin

( 2θ3

)sur ∂Π∞.

K (X) 'X=01

b√|X− 01| sin

(θ

2

)

Ωεε

0• •0ε

Ω0

0•

Π∞

0•

•01


I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)

uε(x) ' u0(x) + c b ε16

√|x− 0ε| sin

(θε2

).

I Décomposition au voisinage de 0ε

uε(x) ' uεreg + λε

√|x− 0ε| sin

(θε2

).

I D’où l’asymptotique

λε = c b ε16 .

En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.

Ωεε

0••0ε


I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)

uε(x) ' u0(x) + c b ε16

√|x− 0ε| sin

(θε2

).

I Décomposition au voisinage de 0ε

uε(x) ' uεreg + λε

√|x− 0ε| sin

(θε2

).

I D’où l’asymptotique

λε = c b ε16 .

En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.

Ωεε

0• •0ε

Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine

Plan du cours

I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques

I Cours 2 : Méthodes numériques

I Cours 3 : études asymptotiques

Exercices

I Calcul de singularités et d’asymptotiques.

I Simulations éléments finis.

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