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Bac blanc n°4 Mai 2014 Lycée Beaussier TS 1

BACCALAUREAT GENERAL

Bac blanc n°4

Mercredi 7 Mai 2014

MATHEMATIQUES

Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité ______

Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 7 ou 9

L’utilisation de la calculatrice est autorisée

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une

part importante dans l’appréciation des copies.

Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

Vous pouvez à tout moment admettre le résultat d’une question que vous n’auriez pas su

démontrer pour pouvoir continuer à traiter l’exercice en cours à condition de le mentionner

clairement sur votre copie.


Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre .

1. Interpréter sur le graphique la probabilité 2p X

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre .

3. On sait que 2 0,9531p X . Déterminer une valeur approchée de à 10−2

près.

Partie B

On pose désormais et pour toute la suite = 1,5.

1. Calculer 1p X , en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3

près par excès.

2. Calculer 2p X

3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : 1 2p X = 0,173 à 10−3

près.

4. Quelle est l’espérance de X ?

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des

cylindres et la valeur de réglage de la machine.

On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre = 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté.

Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans

80 % des cas.

Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3

près.

b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?

2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production.

On suppose que le nombre de cylindres est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage

successif avec remise.

a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?

b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?

𝒇:𝒙 → 𝝀𝐞 −𝝀𝒙


Exercice 1 (5 points) Pour les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

1. On considère l’équation notée 2: 3 7 10 nE x y où x et y sont deux entiers relatifs et n un entier naturel.

a. Déterminer un couple ;u v d’entiers relatifs tels que 3 7 1u v .

En déduire une solution 0 0;x y de l’équation E .

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs ;x y solutions de E .

2. On considère l’équation notée 2 2 2: 3 7 10 nG x y où x et y sont deux entiers relatifs et n un entier naturel.

a. Montrer que 100 2 7 .

b. Démontrer que si ;x y est solution de l’équation G alors 23 2 7nx .

c. Compléter sans justifier le tableau suivant :

3. a. Déterminer en fonction de l’entier naturel n le reste dans la division euclidienne par 7 de 2 n .

b. En déduire que l’équation G n’admet pas de solutions.

Reste de la division

euclidienne de x par 7 0 1 2 3 4 5 6


euclidienne de par 7


Exercice 2 (6 points)

Partie A

On considère la fonction f définie sur 0 ; par ln 1f x x x

1. Etudier les variations de f.

2. a. Montrer que 0x ,

1ln 1

ln1

x xf x x

x x

b. En déduire limx

f x

3. a. Dresser le tableau de variations complet de f sur 0 ;

b. Déterminer le signe de f x sur 0 ;

c. En déduire que 0 ;x et n , ln 1 n nx x

Partie B

On considère la suite nI définie pour tout entier naturel n par 1

0ln 1 dn

nI t t

1. a. Calculer 0I

b. Montrer que pour tout réel 0x , 0

ln 1 d 1 ln 1x

t t x x x

c. En déduire 1I

2. a. Montrer que 1, 0 n nn I I

b. En déduire que la suite nI converge.

3. a. En utilisant les résultats de la partie A, montrer que 1

,1

nn In

b. En déduire la limite de la suite nI

Partie C

On considère la fonction Yf définie par ln 1 si 0 ;1

0 sinonY

t tf t

1. Déterminer λ pour que Yf soit une densité de probabilité.

2. On considère la variable aléatoire Y de densité Yf .

a. On sait que 0,5Y , calculer la probabilité que 0,8Y .

b. On pose 2 21 2

: ln 12 4

t t tF t t

, montrer que F est une primitive sur 0 ;

de ln 1t t t puis en déduire E Y .


Exercice 3 Tous les résultats seront arrondis à 10-3

près (5 points)

On considère les notes à un même examen de deux groupes 1G et 2G .

Le groupe 1G contient 600 personnes

Le groupe 2G contient 400 personnes

Partie A

Etude des notes du premier groupe

Une étude statistique a démontré que les notes X obtenues dans le groupe 1G se répartissent suivant une loi

normale de paramètres et .

1. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le groupe 1G ait une note supérieure à 17 ?

2. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le groupe 1G ait une note inférieure à 7 ?

3. En citant un résultat du cours, donner sans aucun calcul la probabilité qu’une personne choisie au hasard

dans le groupe 1G ait une note comprise entre 7 et 12 ?

4. Quelle est la note maximale des 20 % des personnes ayant eu les plus mauvaises notes à l’examen ?

Partie B

Etude des notes du second groupe

Une étude statistique a démontré que les notes Y obtenues dans le groupe 2G se répartissent suivant une loi

normale de paramètres et inconnus.

On sait cependant que 50% des personnes de ce groupe ont eu une note inférieure à 11 et que 20% des membres

de ce groupe ont eu une note supérieure à 14.

1. Déterminer la valeur exacte de et une valeur approchée à 210 près de .

2. En utilisant les valeurs obtenues précédemment déterminer la proportion de personnes du groupe 2G ayant eu

une note comprise entre 7 et 12.

3. On choisit dans 2G une personne au hasard ayant eu une note supérieure à 11, quelle est la probabilité

qu’elle ait eu une note supérieure à 14 ?

Partie C

Réunion des deux groupes

On réunit les deux groupes précédents et on choisit au hasard une personne dans ce nouveau regroupement.

Quelle est la probabilité qu’elle ait eue entre 7 et 12 à l’examen ?


Exercice 4 (4 points)

1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur 0 ;1 .

a. Que vaut 0,75p X ?

b. On considère la variable aléatoire Y qui prend la valeur 1 si 0,75X et 0 sinon.

Quelle est la loi suivie par Y ?

2. a. Rappeler l’énoncé du théorème de Moivre-Laplace et donner ses conditions d’utilisation

dans la pratique.

b. La fonction Random() sous Algobox permet de choisir un nombre au hasard suivant la

loi uniforme sur 0 ;1 .

Quelle est la loi de la variable aléatoire S définie par l’algorithme ci-dessous ?

c. Estimer la probabilité que cet algorithme renvoie en sortie un résultat compris entre 1300 et 1530.

d. Déterminer un entier a tel que l’intervalle 1500 ;1500aI a a ait plus de 99% de chances de contenir

le résultat fourni par l’algorithme.

3. On a réalisé un algorithme faisant tourner 2000 fois l’algorithme précédent et on a pu constater que la

variable S affichée en sortie appartenait 1984 fois à l’intervalle 1450 ;1550 .

Montrer que ce résultat corrobore celui obtenu à la question 2.d.

(On a recopié en page suivante cet algorithme ainsi que son résultat)


Correction du bac blanc n°4

Exercice 1 Pour les candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. La probabilité 2p X s’interprète comme étant l’aire sous la courbe de la densité comprise entre les

droites x = 0, x = 2 et y = 0.

2. Comme la densité de X est la fonction définie sur [0 ; [, par e tf t , alors 0f .

Donc sur le graphique, le paramètre est l’ordonnée du point de la courbe de f d’abscisse 0.

3. On sait que si X E (λ) alors 0 , 1 e tt p X t .

Ici 2 2 2

2

2 1 e 0,9531 e 0,0469 ln e ln 0,0469p X

d’où finalement :

ln 0,0469

1,532

Partie B (Désormais, λ = 1,5)

1. 1,51 1 e 0,777p X

2. On sait que si X E (λ) alors 0 , e tt p X t .

D’où 1,5 2 32p X e e

3. On a 1 2 1 1 2pp X X p X

1,5 3 1,5 3

Questionsprécédentes

1 1 e e e e 0,173

(On aurait bien sûr pu écrire :

22

1,5 1,5

1 1

1 2 1,5 d e ...x xp X e x

mais le « en déduire » ne serait alors plus respecté)

4.

𝒑 𝑿 ≤ 𝟐

𝝀

Aire = 𝒑 𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟐


Partie C

1. a. {Cylindre accepté}p 0,777 0,173

1 0,8 1 2 0,915p X p X

b.

0,173 0,8

Accepté

0,915

Rectifié AcceptéRectifié 0,151

Accepté

pp

p

2. a. Comme on prélève de manière indépendante dix cylindres de la production, supposée suffisamment

importante pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise, la variable aléatoire Z qui

décompte le nombre de cylindres acceptés suit une loi binomiale : B 10 ; 0,915 .

On a donc 10 0 10

11

10{10 cylindres acceptés} 10 0,915 1 0,915 0,915 0,411

10p p Z

b.

10

10

{au moins un cylindre refusé} 1 aucun cylindre refusé 1 0,915 0,589

p cylindres acceptés

p p

Exercice 1 Pour les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

1. a. Remarquons que 3 2 7 1 1 ainsi le couple ;u v avec 2u et 1v convient.

Remarquons ensuite que 2

2 2 2

10

3 2 7 1 1 3 2 10 7 10 10n

n n n

,

ainsi le couple 0 0;x y avec 2

0 2 10 nx et 2

0 10 ny est solution de E

b. Soit maintenant un autre couple ;x y d’entiers relatifs solutions de E :

On a alors 2

0 0 0 03 7 10 3 7 3 7nx y x y x x y y

.

Comme 3 divise 03 x x , 3 divise 07 y y par égalité.

Or 3 et 7 sont premiers entre eux donc par le théorème de Gauss, 3 divise 0y y et par suite il existe un

entier relatif k tel que : 2

0

2

0 010

3 3 10 3n

n

yy y k y y k y k

.

En réinjectant ceci dans le problème de départ, on tire :

2 2 2 2 23 7 10 3 7 10 3 10 3 6 10 21 2 10 7n n n n nx y x k x k x k .

Les couples ;x y d’entiers relatifs solutions de E sont donc de la forme :

2 22 10 7 ; 10 3n nk k avec k .

𝑋 ≤ 1

(Cylindre accepté)

1 < 𝑋 ≤

(Rectification)

< 𝑋

(Cylindre refusé)

777

173

Cylindre

accepté

Cylindre

refusé

0,8

0,2


2. a. 100 2 7 100 2 0 7 98 0 7 ce qui est vrai car 7 divise 98 98 7 14

b. ;x y est solution de l’équation G équivaut à :

2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 7 2 7

0 0 7

3 7 10 3 7 10 3 7 100

n

nn

y

x y x y x y

23 2 7nx

c.

3. a. Calculons les restes des divisions par 7 des puissances de 2 :

02 1 1 7

12 2 2 7

22 4 4 7

32 8 1 7

On vient ainsi d’exhiber une boucle d’ordre 3 au niveau des restes, on en déduit que pour tout entier

naturel k :

3 32 1 7 Le reste de 2 dans la division par 7 est 1k k

3 1 3 12 2 7 Le reste de 2 dans la division par 7 est 2k k

3 2 3 22 4 5 Le reste de 2 dans la division par 7 est 4k k

b. On a vu en 2.b. que si ;x y est solution de l’équation G alors 23 2 7nx .

Or on a vu en 2.c. que, quel que soit le cas de figure envisageable 0 ;1; 2 ; 3; 4 ; 5 ou 6 7x

on a forcément 23 0 ; 3; 5 ou 6 7x et comme d’après la question précédente 2 1; 2 ou 4 7n

l’égalité 23 2 7nx ne peut donc être réalisée par incompatibilité des résultats.

L’équation G est par conséquent sans solutions.

Exercice 2

Partie A

1. f est dérivable sur 0 ; comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel x positif :

1 1

1 11 1 1

x xf x

x x x

. Or sur 0 ; : 1 0 et 0x x et donc 0f x .

On en déduit que f est décroissante sur 0 ;


euclidienne de x par 7 0 1 2 3 4 5 6


euclidienne de par 7 0 3 5 6 6 5 3

Boucle d’ordre 3


2. a. 0x ,

1ln 1

1ln 1

ln 11 ln ln 1 ln 1

xx

x xx x x x x f x

x x x

b.

1 1ln 1 ln 1

ln ln 1 lnlim 0 Cours ; lim lim 0 d'où lim 1 1

x x x x

x xx x

x x x x x

et finalement

1ln 1

lnlim lim 1

x x

x xf x x

x x

par produit de limites.

3. a. + b.

c. D’après la question précédente, pour tout réel X positif :

0 ln 1 0 ln 1f X X X X X (*).

Maintenant, si x est positif, alors n , nX x est positif et donc par (*) :

0 ;x et n , ln 1 n nx x

Partie B

On considère la suite nI définie pour tout entier naturel n par 1

0ln 1 dn

nI t t

1. a.

1 1

00

0 0

ln 2 1 0

ln 1 d ln 2 1d ln 2I t t t

b. Montrons que pour tout réel 0x , 0

ln 1 d 1 ln 1x

t t x x x .

La fonction : ln 1h x x est définie et continue sur 0 ; et par suite 0

: ln 1 dx

F x t t

est l’unique primitive de h qui s’annule en x = 0 par le théorème fondamental de l’intégration.

Il suffit donc pour démontrer l’égalité demandée de vérifier que : 1 ln 1k x x x x est

une primitive de h s’annulant en x = 0.

x

𝑓

+∞

−∞

𝑆𝑖𝑔𝑛𝑒

𝑓 𝑥

_ 1 + −


k est dérivable sur 0 ; comme produit et somme de fonctions dérivables et :

11

1

dérivée d'un produit

11 ln 1 1 1 ln 1

1

x

x

k x x x x h xx

donc k est une primitive de h et de plus

0 0 1 ln 0 1 0 ln 1 0k donc k s’annule bien en x = 0. C.Q.F.D.

c. D’après la question précédente :

1

21 1

0ln 1 d 1 1 ln 1 1 1 2ln 2 1 ln 2 1 ln 4 1I t t I

2. a. 1 1

10 ;1 et , 0 0 ;1 et , 1 1 1n n n nt n t t t n t t

et par

conservation de l’ordre par composition par ln croissante sur 0 ; , on obtient :

1

0

0 ;1 et , ln 1 ln 1 ln 1n nt n t t

et finalement par croissance de l’intégrale :

1 1 1

1

0 0 0

0 1

0 d ln 1 d ln 1 dn n

I In n

t t t t t

. Donc 1, 0 n nn I I

b. D’après la question précédente, nI est décroissante et minorée par 0, donc nI est convergente

3. a. D’après 3.c. de la partie A :

1 1

0 0Croissance de

11 1

1 10

1, 0 ;1 , ln 1 ln 1 d d

1

n n n nn

In nt

n n

n t t t t t t t In

b. On a vu en 2.a. de cette partie que , 0 nn I et donc en vertu de la question précédente :

1

, 01

nn In

. Maintenant, 1

lim lim 0 01n nn

et finalement lim 0n

nI

par théorèmes de

comparaisons (Théorème des gendarmes)

Partie C

1. Il faut déjà que

0 1

0 0est nullehors de 0 ;1 ln 4 11

par partie B1.c.

1lim d lim d ln 1 d 1

ln 4 1

B

Y YA BA fY

I

f t t f t t t t

Ainsi définie

1ln 1 si 0 ;1

ln 4 1:

0 sinon

Y

t tf t

est bien positive ou nulle sur , continue sauf

en t = 1 et l’aire totale sous la courbe de Yf est égale à 1 et par suite Yf est une densité de probabilité.


2. a.

0,8

0,5

0,5 1

0,5

est nulle au delàde1

1ln 1 d

0,8 0,5 ln 4 10,5 0,80,8

10,5 0,5ln 1 d

ln 4 1

Y

fY

t tp Y Y p Y

p Yp Y p Y

t t

Or d’après 1.b. de la partie B, : 1 ln 1k x t t t est une primitive de : ln 1h t t

d’où :

0,8

0,5

0,5 1

0,5

1 ln 1 1,8ln 1,8 0,8 1,5ln 1,5 0,50,8 0,539

2ln 2 1 1,5ln 1,5 0,51 ln 1Y

t t tp Y

t t t

b. 2 21 2

: ln 12 4

t t tF t t

est dérivable sur 0 ; comme produit et somme de fonction

dérivables et

1 1

2

1

21

2

1 1 1ln 1 2 2 ln 1

2 1 4

t t

t

t

tF t t t t t t

t

Donc F est bien une primitive de ln 1t t t sur 0 ;

Ensuite

0 1

est nulle0 0hors de 0 ;1

lim d lim d ln 1 dB

Y YA B fA Y

E Y t f t t t f t t t t t

12 2 2 2 2 2

0 ln 1 0

00

1

4

1 2 1 1 1 2 0 1 0 2 0ln 1 ln 1 1 ln 0 1

2 4 2 4 2 4

t t tt

D’où finalement 1

4E Y

Exercice 3

Partie A

X N

1. 17 − ≤ ≤ 17

− 1

2. ≤ 7 − 7 ≤ ≤

− 3 1 1

3. 7 ≤ ≤ 1 − ≤ ≤ +

− ≤ ≤ + 3 par le cours.

9,5 17

𝑝 𝑋 17

7

𝑝 𝑋 ≤ 7


4. On cherche le réel m tel que ≤

On obtient directement à la calculatrice : 7 3

La note maximale des 20 % des personnes ayant eu

les plus mauvaises notes à l’examen est environ 7,4

Partie B

Y N

1. On sait que 11 0,5p Y donc 2 11

Ensuite 14 0,2p Y ce qui équivaut par centrage et

réduction à 2 2

2 2

140,2

Yp

On pose 2

2

YZ

et 2

2

14m

et on a alors :

0,2p m Z avec Z N 1

Donc 0,8p Z m avec Z N 1 et la calculatrice

fournit 0,842m avec la fonction d’inversion de loi normale.

Au final 22

1122

14 30,842 3,56

0,842m

2. On sait désormais que Y N 11 3 et la calculatrice donne directement 7 ≤ ≤ 1

D’où une proportion de 48% de personnes du groupe 2 ayant eu une note comprise entre 7 et 12

3. On veut

11

14 11 14 0,5 11 1414

11 11 11Y

p Y Y p Y p Yp Y

p Y p Y p Y

et la calculatrice fournit alors 11

0,5 0,3 214 0,4

0,5 5Y

p Y

m

𝜇

𝑝 𝑌 1

1 11

𝑚


Partie C

A l’aide des données initiales de l’énoncé et des résultats obtenus en 3. de la partie A et en 2. de la partie B,

on peut monter l’arbre probabiliste suivant :

Et au final, la probabilité qu’une personne prise au hasard

dans la réunion des deux groupes ait eu une note comprise

entre 7 et 12 est égale à :

3 +

Exercice 4

1. a. X U 0 ;1 donc 0,75 0

0,75 0,751 0

p X

b. D’après ce qui précède et la définition de Y :

0 ;1Y , 1 0,75 et 0 1 0,75 0,25p Y p Y

Donc Y suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,75

2. a. Si nX B ;n p avec 0 ;1p alors la variable aléatoire

1

n n nn

n

X E X X npZ

X np p

vérifie que pour tous réels a et b avec a b :

lim nn

P a Z b P a Z b

où Z N 0 ;1

On remplace généralement la variable aléatoire nZ par Z lorsque 30 ; 5 et 1 5n np n p .

b. L’algorithme fourni simule 2000 réalisations d’une variable aléatoire Y suivant une loi de

Bernoulli de paramètre p = 0,75.

La variable S s’incrémente d’une unité à chaque fois que Y prend la valeur 1, par suite S décompte

le nombre de fois où Y prend la valeur 1 lors des 2000 entrées dans la boucle « pour ».

Donc S B 2000 ; 0,75

c. 2000

0,75

1300 1530 200 1500 301300 1530

375 375 3751 1 1 np

np S np np Sp S p p

np p np p np p

Et comme 2000 30 ; 1500 5 et 1 500 5n np n p , on peut écrire en vertu du théorème

de Moivre-Laplace que

10,33 1,55

200 301300 1530

375 375p S p Z

où Z N 0 ;1

La calculatrice fournit alors directement

10,33 1,55

200 301300 1530 0,94

375 375p S p Z

𝐺

7 ≤ 𝑋 ≤ 1

1

1

𝐺

7 ≤ 𝑌 ≤ 1

7 ≤ 𝑋 ≤ 1

7 ≤ 𝑌 ≤ 1

3

317


d.

1500 15001500 1500

1 1 1a

a np S np a npp S I p a S a p

np p np p np p

Théorème2000

de Moivre-Laplace0,75375 375 375 3751

anp

a S np a a ap S I p p Z

np p

où Z N 0 ;1

On pose 375

am , on cherche donc un réel m tel que 0,99p m Z m .

Le cours donne m 2,58 donc 2,58 375 49,96 50a a car a est entier et 1450 ;1550aI

Remarque : On aurait pu travailler sans le cours…

Recherche m tel que 0,99p m Z m où Z N 0 ;1 revient à déterminer m tel que

0,995p Z m et la calculatrice fournit bien m 2,58 par inversion de loi normale

centrée réduite.

3. On a vu à la question précédente que l’algorithme avait plus de 99% de chances de fournir un

résultat appartenant à l’intervalle 1450 ;1550aI .

On a obtenu 1984 réalisations de l’algorithme sur 2000 dans l’intervalle 1450 ;1550aI soit

de réalisations de l’algorithme dans aI ce qui est cohérent.

m - m

Aire = 0,99 + 0,005 = 0,995

Aire = 0,495

Aire = 0,99

Aire = 0,5-0,495 = 0,005


GRILLE DE CORRECTION

BAC BLANC n°4 TS

Barème Points élèves Barème Points élèves

Exercice 1 20 points Non Spé Exercice 2 24 points

A. 1. 1 A. 1. 2

2. 1 2. a. 1

3. 2 b. 1

B. 1. 2 3. a. 1

2. 2 b. 1

3. 2 c. 1

4. 2 B. 1. a. 2

C. 1. a. 2 b. 2

b. 2 c. 1

2. a. 2 2. a. 2

b. 2 b. 1

3. a. 2

Exercice 1 20 points Spé b. 1

1. a. 3 C. 1. 1

b. 4 2. a. 2

2. a. 1 b. 3

b. 2 Exercice 4 16 points

c. 3 1. a. 1

3. a. 4 b. 1

b. 3 2. a. 2

Exercice 3 20 points b. 4

A. 1. 2 c. 2

2. 2 d. 3

3. 2 3. 3

4. 3 Total / 80 :

B. 1. 4

2. 2

3. 2

C. 3

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