Mathématiques financières COURScours- · PDF...

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    Mathmatiques financires

    COURS

    Exercices corrigs correspondants sur cours-assurance.org

    http://www.cours-assurance.org/

  • 2

    Sommaire

    Bibliographie ........................................................................................................................................... 3

    Introduction ............................................................................................................................................ 5

    Chapitre 1 : Intrts simples ................................................................................................................ 13

    Chapitre 2 : Intrts composs ............................................................................................................ 16

    Chapitre 3 : Actualisation, VAN et Indice de Profitabilit dun investissement. ................................ 17

    Chapitre 4 : Taux de rentabilit interne (TRI) et dure de rcupration ............................................ 21

    Chapitre 5 : TRIG, VANG et IPG ............................................................................................................ 24

    Chapitre 6 : Emprunts Indivis ............................................................................................................... 28

    Chapitre 7 : Emprunts obligataires ....................................................................................................... 33

  • 3

    Bibliographie

    Cet enseignement est entirement bas sur les sources suivantes :

    Cours, Franck DUFAUD http://math93.com/

    Cours, Michelle LAUTON http://gl.ml.free.fr/ML/COURS/080117_Transp-INTSIM_COMP.doc

    Introduction aux mathmatiques financires, Aymric KAMEGA http://www.ressources-actuarielles.net/EXT/ISFA/fp-

    isfa.nsf/0/FE8AD6D32B953971C125773300703808/$FILE/AK_MFA1.pdf?OpenElement

    Calculs bancaires, Herv LE BORGNE ISBN : 978-2-7178-4606-5

    http://math93.com/http://gl.ml.free.fr/ML/COURS/080117_Transp-INTSIM_COMP.dochttp://www.ressources-actuarielles.net/EXT/ISFA/fp-isfa.nsf/0/FE8AD6D32B953971C125773300703808/$FILE/AK_MFA1.pdf?OpenElementhttp://www.ressources-actuarielles.net/EXT/ISFA/fp-isfa.nsf/0/FE8AD6D32B953971C125773300703808/$FILE/AK_MFA1.pdf?OpenElement

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    COURS

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    Introduction

    1. Prambule sur les mathmatiques financires

    a. Dfinition

    On peut dfinir globalement les mathmatiques financires comme lapplication des

    mathmatiques aux oprations financires non instantanes (cest--dire faisant intervenir le

    temps). Cette discipline fait intervenir principalement des outils issus de l'actualisation, de la thorie

    des probabilits, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul diffrentiel.

    b. Histoire des mathmatiques financires et primtre du cours

    L'actualisation et l'utilisation des intrts composs et des probabilits remontent plusieurs sicles.

    Harpagon : Cest fort mal fait. Si vous tes heureux au jeu, vous en

    devriez profiter et mettre honnte intrt largent que vous gagnez afin

    de le trouver un jour. Je voudrais bien savoir, sans parler du reste, quoi

    servent tous ces rubans dont vous voil lard depuis les pieds jusqu la

    tte, et si une demi-douzaine daiguillettes ne suffit pas pour attacher un

    haut-de-chausses ? Il est bien ncessaire demployer de largent des

    perruques, lorsque lon peut porter des cheveux de son cru qui ne cotent

    rien. Je vais gager quen perruques et rubans il y a du moins vingt pistoles ;

    et vingt pistoles rapportent par anne dix-huit livres six sols huit deniers,

    ne les placer quau denier douze. (Molire - LAvare I.4 1668)

    Au denier douze signifie 1 denier dintrt pour 12 prts, cest--dire

    8,33% !

    Cela dit Louis Bachelier, par sa thse intitule "Thorie de la spculation" en 1900, est considr

    comme le fondateur des mathmatiques financires appliques aux marchs. Par ailleurs, la thorie

    moderne des marchs financiers remonte au MEDAF et l'tude du problme d'valuation des

    options et autres contrats financiers drivs dans les annes 1950-1970.

    Dans ce cours, nous nous contenterons d'explorer les bases des mathmatiques financires qui

    peuvent tre qualifies de "calculs bancaires", c'est dire permettant d'effectuer les oprations

    simples auxquelles un banquier pourrait tre confront. De ce fait, nous n'introduirons dans nos

    rflexions que les dimensions temps et argent, laissant ainsi de cot le hasard et la thorie des

    probabilits.

  • 6

    c. Deux notions fondamentales : intrt et taux d'intrt

    i. La notion d'intrt

    Il s'agit de la somme due par lemprunteur au prteur ou reue de lemprunteur par le prteur en

    plus du capital prt.

    Exemples :

    Monsieur X emprunte 12 000 sa banque pour lachat dune automobile. Il rembourse ce prt en faisant 36 paiements mensuels de 365 . Un calcul rapide permet de dterminer que lintrt vers est 36 365 12 000 = 1 140 .

    Madame X place 4 500 pour 3 ans. Au bout des 3 annes, son capital est de 5 445 . Lintrt vers Madame X est donc : 5 445 4 500 = 945 .

    ii. La notion de taux dintrt :

    Le taux d'intrt mesure la rmunration d'un prteur ou d'un investisseur qui se spare

    temporairement d'une unit montaire pendant une priode. Il sexprime en gnral sous forme de

    pourcentage des sommes prtes ou places pour un an.

    Exemple : Un taux annuel de 6% signifie que pour 1 emprunt, il sera rembours 1,06 au bout dun an.

    Par ailleurs, il est possible de classer les taux d'intrt dans diffrentes catgories :

    Taux fixes/Taux variable :

    le taux fixes dsigne un taux d'intrt fix lors de la signature du contrat. Il ne variera pas,

    quoi qu'il arrive.

    le taux variable dsigne un taux non dfinitivement fix, qui volue la hausse comme la

    baisse. Il s'agit par exemple du taux du livret A.

    Taux nominal / Taux rel :

    Le taux nominal est le taux d'intrt qui est fix lors de l'opration d'emprunt ou de prt. Il est inscrit

    dans le contrat qui lie emprunteur et prteur et sert calculer les intrts dus.

    Le taux rel est le taux nominal aprs dduction du taux de l'inflation. Cette dfinition n'est valable

    que si le taux d'inflation est faible, sinon il faut utiliser l'quation :

    1 + taux d'intrt nominal = (1 + taux d'intrt rel) x (1 + taux d'inflation)

    En priode de forte inflation (par exemple durant les "Trente glorieuses"), les taux d'intrt rel

    peuvent tre ngatifs, ce qui incite emprunter.

  • 7

    2. Notions gnrales de mathmatiques

    Fractions :

    Formules Exemples

    ab

    + cb

    = a + c

    b

    1% + 0,3 = 1

    100 +

    30100

    = 31

    100 = 31 % = 0,31

    1 + t % = 100100

    + t

    100 =

    100 + t100

    1 + 19,6% = 119,6100

    = 1,196

    ab

    cd

    = a cb d

    1 000 3% = 1 000 3

    100 = 30

    ab

    cd

    = ab

    d

    c 105

    23

    = 105 32

    = 315

    2 = 157,5

    Puissances :

    a tant un nombre rel (aIR) et n un entier non nul (nIN*) :

    La puissance n de a est le produit : an = aaaa..a (avec n facteurs) n est l'exposant.

    Formules Exemples

    Par convention a0 = 1 ; a1 = a ;

    a -1 = 1

    a et a-n =

    1

    an

    1

    1 + i = (1 + i) 1

    1

    (1 + i) n = (1 + i) n

    1 000 1,05 - 6 = 1 0001,05 6

    746,22 10-2 prs

    an ap = a n+p 1,025 1,026 = 1,0211

    pas de formule pour : 1,025 1,036

    ( )an p = a np

    mme si n et p sont des rels, pourvu que a soit positif

    strictement

    ( )1,05 4 = 1,058 1,477 10-3 prs Exemple important

    Si x5 = 2,48832 alors ( )x5 1/5 = ( )2,48832 1/5

    soit x = 1,2 car ( )x5 1/5 = x 5/5 = x1

    an

    ap = a n-p

    1,025 1,026

    = 1,02 5 - 6 = 1,02 - 1 = 1

    1,02

    (ab)n = an bn ( )1,01 1,2 3 = 1,01 3 1,2 3

    a

    b

    n

    = a n

    b n

    100

    1,01 4

    = 100 4

    1,01 4

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    Racines carres :

    Dfinition : a tant un nombre positif ou nul (aIR+),

    a est le nombre positif (ou nul) qui lev au carr donne a. a a = ( )a = a

    Remarque : a = a 1/2

    Donc toutes les rgles des puissances sappliquent aux racines carres (de nombres positifs).

    Mises en facteurs : Factoriser cest transformer une somme en produit.

    Pour cela on identifie dans une expression, un lment multiplicateur commun TOUS les termes de la somme.

    Exemples :

    S = 1,02 + 1,02 + 1,023

    S = 1,02 1 + 1,02 1,02+ 1,02 1,02

    S = 1,02 [ ]1 + 1,02 + 1,02

    S = 1

    (1 + i) +

    1 (1 + i)

    + 1

    (1 + i)3

    S = 1

    (1 + i) 1 +

    1 (1 + i)

    1

    (1 + i) +

    1 (1 + i)

    1

    (1 + i)

    S = 1

    (1 + i)

    1+

    1 (1 + i)

    + 1

    (1 + i)

    Les approximations : 1) Calculs classiques. Les calculs que nous effectuons sont en gnral des approximations. Il est essentiel de toujours prciser lissue dun calcul quelle est lerreur commise.

    Exemple :

    Le calcul 1 5001 550

    effectu par la calculatrice nous donne 0.9677419355 sur lcran. Il faut savoir

    que le nombre de chiffres peut tre rgl mais ne dpasse pas 12 sur les calculatrices conventionnelles. On convient alors de donner une approximation du rsultat 2 chiffres, 3chiffres aprs la virgule. Par exemple ici on crira :

    1 5001 550

    0,97