Mathématiques et Radiosité M. Leblond Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées...
-
Upload
mireio-jamet -
Category
Documents
-
view
110 -
download
3
Transcript of Mathématiques et Radiosité M. Leblond Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées...
Mathématiques et Radiosité
M. Leblond
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées
Laboratoire d’Informatique du Littoral
Université du Littoral Côte d’Opale
28 janvier 2002 GdR ALP 2
Cadre de mes travaux
• Thèse de mathématiques (juin 2001) : « Propriétés des matrices de la radiosité. Application à la résolution du système de la radiosité. »
• Deux domaines :– mathématiques appliquées : M. Prévost du LMPA
– informatique graphique : C. Renaud du LIL
• Articles :– « H-selfadjoint matrices. Application to radiosity. »
M. LeblondNumerical Linear Algebra with Applications (janvier 2002).
– « Hybridization techniques for fast radiosity solvers » M. Leblond, F. Rousselle, C. RenaudCGI 2000 Genève. Proceedings in IEEE Computer Society
28 janvier 2002 GdR ALP 3
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 4
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 5
Introduction : la radiosité classique
• Modèle simplifié d'illumination globale (Goral 1984) :– Simulation de tous les échanges d'énergie dans un milieu fermé
– Émission et réflexion sont les seuls phénomènes physiques pris en compte
– Énergie rayonnant de la surface d'un objet est diffuse
28 janvier 2002 GdR ALP 6
Introduction : la radiosité classique
• Discrétisation de la scène en n facettes
système linéaire
(90 % du temps)
• résolution
(10% du temps)
base de données
illumination
28 janvier 2002 GdR ALP 7
Introduction : le système de la radiosité
• Φ = I - RF est la matrice des interactions
• R = diag(1,…,n) avec i la réflectance de la ième facette
• F est la matrice des facteurs de forme • b est le vecteur des exitances énergétiques• x est le vecteur inconnu des radiosités• x, b et R dépendent de la longueur d'onde• F ne dépend pas la longueur d'onde. Elle est uniquement
déterminée par la géométrie de la scène• Résolution des systèmes pour plusieurs longueurs d'onde
I-RFx x b
28 janvier 2002 GdR ALP 8
Introduction : résolution numérique du système de la radiosité
• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)
– temps de calcul très long de F
Nombre defacettes
Temps moyen decalcul par ligne
Temps totalestimé
5000 0,43 s 40 mn10000 0,58 s 1h 40 mn50000 1,8 s 1 jour100000 3,3 s 4 jours1000000 1 mn 2 ans
Pentium II à 300 Mhz
28 janvier 2002 GdR ALP 9
Introduction : résolution numérique du système de la radiosité
• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)
– temps de calcul très long de F
– très grande quantité de mémoire pour stocker F
Nombre de facettes Mémoire requise5000 95,4 Mo10000 380 Mo50000 9,3 Go100000 37,3 Go1000000 3,6 To
28 janvier 2002 GdR ALP 10
Introduction : résolution numérique du système de la radiosité
• Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise)
– temps de calcul très long de F
– très grande quantité de mémoire pour stocker F
• Les algorithmes de radiosité progressive (Cohen 1988) :– à chaque itération une seule ligne de F est calculée
• La radiosité hiérarchique (Hanrahan 1991) :– discrétisation dynamique de la scène– réduction importante du nombre de facteurs de forme à calculer
28 janvier 2002 GdR ALP 11
Introduction : nos motivations
• Faire le point sur les propriétés des matrices de la radiosité
• Identifier des algorithmes efficaces pour résoudre le système de la radiosité quand F peut être stockée
• Applications possibles des résultats :– accélération de la méthode Group Accelerated Shooting Method
(F. Rousselle et C. Renaud EGRW’99)
– accélération des simulations de transferts radiatifs :(ex : simulation de la croissance des plantes)
• Préparer des travaux de recherche futurs
28 janvier 2002 GdR ALP 12
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 13
Matrices H-hermitiennes : introduction
• La prémultiplication de par H, s.d.p., donne symétrique
1
1
AAH diag , , et Hn
n
• Soit
ijA F A F et ρ F A F A Fi ij j ji i ij ij i ij j ji jii j • Pour
• Généralisation au cas complexe
28 janvier 2002 GdR ALP 14
Matrices H-hermitienne : espace H-hermitien
Soit H une matrice hermitienne définie positive :
• Produit scalaire H-hermitien : *
H, , Hnx y x y x y C
• H-norme vectorielle : HH,x x x
• H-norme matricielle : HH
0H
MM sup
x
x
x
• Ensemble H-orthonormal, M matrice H-orthonormale
28 janvier 2002 GdR ALP 15
Matrices H-hermitiennes : définitions et théorème
• La H-adjointe de , notée , est définie par : MàM n n nC
1 *, M , ,M M H M Hn
H Hx y x y x y  í í
Définitions :
Théorème fondamental :• M est H-hermitienne
• Ψ=HM hermitienne
• Θ=H½M H-½ est hermitienne
11P MP diag , , n
• M est diagonalisable par une matrice H-orthonormale P et ses valeurs
propres sont réelles :
• M est H-auto-adjointe ou H-hermitienne M M
28 janvier 2002 GdR ALP 16
Matrices H-hermitiennes : propriétés
• Théorème : extension du théorème de Courant-Fischer
• Proposition : soit HM : M M M MMn n  í í
M H-hermitienne HM M
M H-hermitienne maxH
min
(M)cond M
(M)
Si M est inversible où
plus grande et plus petite valeur propre
de
1 maxH H H
min
(M)cond M M M
(M)
max min(M) et (M)
MM í
• Corollaire :
28 janvier 2002 GdR ALP 17
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 18
Propriétés des matrices de la radiosité
• F, = I-RF, = H et = H½ H-½ sont irréductibles
symétrique est H-symétrique
est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles
et symétriques diagonalisables à valeurs propres réelles
, et sont des M-matrices
(éléments hors diagonaux 0, régulière, inverse non négative)
28 janvier 2002 GdR ALP 19
Propriétés des matrices de la radiosité (suite)
et M-matrices symétriques et matrices de Stieltjes et symétriques définies positives
• conditionnement :ni=1
MH 2 2
nMi=1
1 ρmax A
ρ1 ρcond ( ) cond ( ) cond ( )
1 ρ 1 ρmin A
ρ
ii
i
ii
i
En général, en radiosité : cond2 (Θ) cond2(Ψ)
28 janvier 2002 GdR ALP 20
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 21
Les algorithmes de relaxation
• Les approximations xk de la solution x* sont définies par : xk+1 = Gxk + c
• G est appelée matrice d’itération– Jacobi : G = J – relaxations successives (SR) et SOR ( > 1) : G = L
– Gauss-Seidel (GS) : G = L1
• Convergence (G) < 1. (G) rayon spectral de G
• Plus (G) est proche de 0, plus rapide est la convergence (nombre d’itérations)
28 janvier 2002 GdR ALP 22
Les algorithmes de relaxation :application à la radiosité
(L1) (J) < 1 – Gauss-Seidel converge plus vite que Jacobi
(L1) M – faible réflectance convergence rapide de GS
• 0 < 1 (L1 ) (L ) < 1 – GS converge plus vite que toute méthode SR avec 0 < < 1– parmi les méthodes SR seule une méthode SOR ( > 1) peut
améliorer la vitesse de convergence de GS
est une matrice de Stieltjes (théorème d’Ostrowski) méthode SOR avec 1< 2 converge
est une M-matrice [Nonnegative Matrices in
the Mathematical Sciences (Berman et Plemmons 1994)]
28 janvier 2002 GdR ALP 23
Méthode du gradient conjugué (GC)
• Préconditionnements du système de la radiosité : H x = H b x = c
H½ H-½x= H½b z = H½ b avec z = H-½x
et s.d.p. GC peut être utilisée (GC et GC )• Rappel : plus le 2-conditionnement de la matrice du
système est grand plus lente est la convergence de GC
• cond2( ) cond2( ) GC est plus lente que GC
• peu sensible aux fortes réflectances
GC moins affectée que GS par de fortes réflectances
M2
M
1cond
1
28 janvier 2002 GdR ALP 24
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 25
• Soit et deux suites convergeant vers
Leurs résidus sont notés
*x kx kx ' " et k k k kr b x r b x
Hybridation : la méthode (C. Brezinski et M. Redivo Zaglia (1994))
kkkkk xxx )1( kkkkkk xbrrr )1(
• Soit k R . Nous construisons une nouvelle suite :
kx
• But : minimiser la norme euclidienne du résidu kr
• Le bon choix :
kkkk
kkkk rr,rr
rr,rα
28 janvier 2002 GdR ALP 26
Hybridation : propriétés
kkk rrr ,min
28 janvier 2002 GdR ALP 27
Les algorithmes d'hybridation
• durée d'une itération de la méthode hybride = temps de calcul des itérés des deux méthodes + temps de calcul de l'hybride
• Soit T1, T2 les temps de convergence des méthodes 1 et 2 et soit T celui de la méthode hybridePeut-on avoir T < min(T1, T2) ? Difficile !
• Choisir deux méthodes itératives et hybrider leurs itérés
28 janvier 2002 GdR ALP 28
Hybridation : cas 1
• Soit {xk} une suite produite par une méthode itérative (par exemple GS)
• L'hybridation à l'étape k est réalisée avec 1 et k k k kx x x x
28 janvier 2002 GdR ALP 29
Hybridation : cas 2
• Choisir une méthode itérative (par exemple GS)
• À l'étape k :
– calculer xk avec cette méthode à partir de zk-1, l'hybridé obtenu à l'étape k-1
– hybrider ' "
1 et k k k kx z x x
28 janvier 2002 GdR ALP 30
Plan de l'exposé
• Introduction
• Aspects mathématiques :– Matrices H-hermitiennes
– Propriétés principales des matrices de la radiosité
• Application à la radiosité :– Méthodes itératives de résolution
– Accélération de la convergence
• Quelques résultats expérimentaux
• Conclusion et perspectives
28 janvier 2002 GdR ALP 31
Résultats expérimentaux : scènes tests
Scène (a) 480 ou 8544 facettes Scène (b) 680 facettes
28 janvier 2002 GdR ALP 32
Résultats expérimentaux : courbes
Scène (a) 480 facettes Processeur 300 Mhz, 2 Mo de mémoire cache, 2 Go de RamCritère d'arrêt : 1
1p pM
r e
28 janvier 2002 GdR ALP 33
Résultats expérimentaux : courbes
Scène (b) 680 facettes
28 janvier 2002 GdR ALP 34
Résultats expérimentaux : courbes
Scène (b) 680 facettes Scène (a) 8544 facettes
28 janvier 2002 GdR ALP 35
Conclusion
• Comparaison de la convergence des méthodes :– mathématiquement Gauss-Seidel est meilleure que Jacobi – la vitesse de convergence de GS est liée à la réflectance maximale – au contraire GC (GC) semble bien adaptée aux scènes ayant une
réflectance moyenne importante et de nombreuses occultations– SOR est meilleure que GS. Mais trouver le paramètre de relaxation
optimal est coûteux – HGS1, HGS2 et GC sont de bonnes alternatives à SOR
• Perspectives :– chercher une formule analytique pour le paramètre optimal de SOR– appliquer l’hybridation aux méthodes de radiosité progressive– entreprendre des travaux similaires dans le cadre de la radiosité non
classique.
28 janvier 2002 GdR ALP 36
Je vous remercie de votre attention