Mathématiques en 30 Secondes PDF

Mathmatiques en30 secondes

Les 50 plus grandes thoriesmathmatiques, expliquesen moins dune minute

Richard Brown

CollaborateursRichard BrownRichard ElwesRobert FathauerJohn HaighDavid PerryJamie Pommersheim

Mathmatiques en 30 secondesCopyright 2012,

ditions Hurtubise inc.pour ldition franaise en Amrique du Nord

Titre original de cet ouvrage :30-Second Maths

Direction de cration :Peter Bridgewater

dition :Jason Hook et Jamie Pumfrey

Direction de publication :Caroline Earle

Direction artistique :Michael WhiteheadDesign et maquette :

Ginny ZealIllustration :Ivan Hissey

Rdaction des textes des profils :Viv Croot

Rdaction des textes des glossaires :Steve Luck

Traduction de langlais :Eulalie Steens

Montage de la couverture :Genevive Dussault

dition originale produiteet ralise par :

Ivy Press210 High Street, Lewes

East Sussex BN7 2NS, R.-U.

Copyright 2012, Ivy Press LimitedCopyright 2012, Le Courrier du Livre

pour la traduction franaise

ISBN 978-2-89647-979-5Dpt lgal : 2e trimestre 2012

Bibliothque et Archivesnationales du Qubec

Bibliothque et Archives Canada

Diffusion-distribution au Canada :Distribution HMH

1815, avenue De LorimierMontral (Qubec) H2K 3W6

www.distributionhmh.com

Tous droits rservs. Aucune partie de cette publication ne peut tre reproduite, stocke dans quelque mmoire que ce soit ou transmisesous quelque forme ou par quelque moyen que ce soit, lectronique, mcanique, par photocopie, enregistrement ou autres, sans

lautorisation pralable crite du propritaire du copyright.

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DANS LA MME COLLECTION:

Psychologie en 30 secondes (2012)Christian Jarret

Philosophies en en 30 secondes(2011)Barry Loewer

Politique en 30 secondes (2011)Steven L. Taylor

Thories conomiques en 30 secondes (2011)Donald Marron

Thories en 30 secondes (2010)Paul Parsons

SOMMAIRE

Introduction

Nombres & calculGLOSSAIREFractions & dcimalesNombres rationnels & irrationnelsNombres imaginairesBases de calculNombres premiersLes nombres de FibonacciLe triangle de PascalBiographie : Blaise PascalThorie des nombres

Faire travailler les nombresGLOSSAIREZroInfiniAddition & soustractionMultiplication & divisionExponentielles et logarithmesFonctionsBiographie : Gottfried LeibnizCalcul infinitsimal

La chance est une belle choseGLOSSAIREThorie des jeuxCalculer la coteBiographie : Girolamo CardanoLa loi des grands nombresLide fausse du joueur : loi des probabilitsLide fausse du joueur : doublementLalatoireLe thorme de Bayes

Algbre & abstractionGLOSSAIRELespace rserv variableLquationquations polynomiales

Biographie : Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-KhwarizmiAlgorithmesEnsembles & groupesAnneaux et champs

Gomtrie & formesGLOSSAIRElments dEuclidePi, constante du cercleLe nombre dorBiographie : PythagoreTrigonomtrieQuadrature du cercleLignes paralllesGraphiques

Une Autre DimensionGLOSSAIRESolides platoniquesTopologieLes briques dEulerLe ruban de MbiusBiographie : Archimde de SyracuseFractalesGomtrie de lorigamiLe Rubiks CubeLa thorie des nuds

Preuves & thormesGLOSSAIRELe dernier thorme de FermatBiographie : Pierre de FermatLe problme de la carte en quatre couleursLe programme de HilbertLe thorme dincompltude de GdelLa conjecture de PoincarLhypothse du ContinuumLhypothse de Riemann

APPENDICESSourcesNotes propos des contributeursIndexRemerciements

INTRODUCTIONRichard Brown

On dit que les mathmatiques sont lart de la raison pure. Quelles sont, dans notre ralit, lastructure logique de tout ce qui existe et de tout ce qui nexiste pas. Loin des simples calculs destins quilibrer notre comptabilit et nos affaires quotidiennes, elles nous aident organiser et comprendre la vritable notion de tout ce que nous pouvons imaginer. linstar de la musique, delart et du langage, les symboles et les concepts essentiels des mathmatiques dont la plupart sontprsents dans cet ouvrage nous incitent nous exprimer dans des voies incroyablementenchevtres et dfinir des structures inimaginables, belles et complexes. Certes, les utilisationspratiques des mathmatiques sont nombreuses ; pourtant, ce qui constitue leur magie est leur lganceet leur beaut, hors de toute application. Nous prsentons les concepts mathmatiquement parce quilsont un sens et nous aident ordonner notre existence. Mais, hors de la signification que nousappliquons ces lments de maths, ils nexistent pas rellement sauf dans notre imagination.

Les sciences naturelles et les sciences sociales utilisent les mathmatiques dans le but de dcrireleurs thories et de structurer leurs modles. Larithmtique et lalgbre nous permettent de conduirenos affaires et nous enseignent comment penser. Au-del de ces applications pratiques, la vraienature de la discipline se dvoile ; les mathmatiques sont lossature fournissant les rgles delengagement pour le systme entier de la pense structure.

lgante gomtrie

Les mathmaticiens voient souvent les objets mathmatiques comme des quations, en faisantusage de la gomtrie. Ceci est une preuve visuelle du clbre thorme de Pythagore : a2 + b2 =

c2.Ce livre est un aperu du monde quotidien tel que le voit un mathmaticien. Il prsente un ensemble

dlments basiques et fondamentaux de ce domaine, accompagn de dfinitions, dun peu dhistoire,et dune initiation la nature de nombreux concepts mathmatiques de base.

Cet ouvrage rassemble cinquante essais, chacun centr sur un thme important des mathmatiques.Ils ont t classs en sept catgories dfinissant leur contexte. Dans Nombres et calculs, nousexplorerons les bases nous permettant dnumrer ce qui nous entoure. Nous tudierons certainesoprations et structures sur les nombres dans Faire travailler les nombres. Nous y dcrirons la basedu systme arithmtique nous aidant utiliser les mathmatiques dans notre vie quotidienne. Dans Lachance est une belle chose, nous dtaillerons certaines ides et consquences de lutilisation desmathmatiques pour comprendre les vnements alatoires et les coups de chance. Ensuite, nousexpliquerons les structures les plus complexes des nombres dans Algbre & abstraction. Cest ici quedbute le chemin vers les hautes sphres des mathmatiques. Dans Gomtrie et formes nousanalyserons les aspects les plus visuels des relations mathmatiques. Puisque labstractionmathmatique est une pure imagination, nous explorerons ce qui survient lextrieur des troisdimensions au chapitre Une autre dimension. Preuves et thormes nous fera discuter des ides et desfaits les plus profonds o notre chemin mathmatique nous a conduit.

Pris individuellement, chaque essai aborde rapidement une ide centrale, belle et importante, desmathmatiques actuelles. Tous les sujets suivent un format identique visant faciliter la lecture. Lecondens en 3 secondes offre le panorama le plus court ; la thorie en 30 secondes approfondit lesujet ; la rflexion en 3 minutes amorce le processus de considration des connexions entre lide etson importance dans le monde. Nous esprons que, pris ensemble, ces lments vous aideront comprendre vraiment les arcanes des mathmatiques.

Pris comme rfrence, ce livre en fournira les bases. Lu dans sa totalit, il vous ouvrira vers unautre monde, aussi riche et significatif que celui dans lequel vous vivez : le monde desmathmatiques.

Beaut dimensionnelle

Il nexiste que cinq manires pour construire un solide en 3D en utilisant des polygones rguliers.Il nest pas bien difficile de voir pourquoi. Cela les rend-t-il particuliers ? Les mathmaticiens

pensent que oui.

NOMBRES & CALCUL

NOMBRES & CALCULGLOSSAIRE

algbre Une des branches des mathmatiques pures tudiant les oprations et les relations entre desnombres. Lalgbre lmentaire tudie les rgles de larithmtique par des formules impliquant desvariables. Lalgbre suprieur implique ltude de ces oprations et relations sur des objets et desconstructions mathmatiques autre que les nombres.

binaire (base 2) Systme de calcul o les nombres sont 1 ou 0. Dans notre systme base 10, il y aune colonne des units (10 = 1), une colonne des dizaines (101) et la colonne des centaines (102) etainsi de suite ; en base 2, il y a une colonne des units (20), une colonne des 2 (21 = 1), une colonnedes 4 (22), et ainsi de suite. Par exemple : la version binaire de 7 scrit 111, soit : 1 1 + 1 2 + 1 4.

coefficient Un nombre utilis pour multiplier une variable ; dans lexpression 4x = 8, 4 est lecoefficient, x est la variable. Bien que les nombres usuels, les symboles, comme a peuventreprsenter les coefficients. On appelle coefficients constants ou termes constants les coefficientssans variables.

entier Tout nombre naturel (servant compter : 1, 2, 3, 4, 5, etc.), 0 ou les nombres ngatifs naturels.

facteur Un de deux ou plusieurs nombres divisant exactement un troisime. Par exemple, 3 et 4 sontles facteurs de 12, de mme 1, 2, 6 et 12.

droite des nombres rels Reprsentation visuelle de tous les nombres rels sur une chellehorizontale, avec les valeurs ngatives se dployant de faon infinie vers la gauche et celles positivesvers la droite, divise par zro. La plupart des lignes de nombre montrent les entiers positifs etngatifs espacs rgulirement.

nombre algbrique Tout nombre qui est une racine dun polynme non nul (non-zro) et qui a descoefficients entiers. En dautres termes, les nombres algbriques sont des solutions aux quationspolynomiales (voir ici), tel que x2 2 = 0, l o x = 2. Tous les nombres rationnels sontalgbriques, les nombres irrationnels en revanche peuvent tre algbriques ou non. Un des nombresalgbriques les plus connus est le nombre dor (1,6180339), que lon crit gnralement .

nombre complexe Tout nombre comprenant des composants de nombres rels et imaginaires, commea + bi, o a et b reprsentent tout nombre rel et i reprsente 1. Voir nombre imaginaire.

nombre entier Connus aussi sous le vocable de nombre naturel ou nombre de compte. Un nombreentier est un nombre entier positif sur une droite de rels ou un continuum. Les opinions varient poursavoir si oui ou non 0 est un nombre entier.

nombre figuratif Tout nombre que lon peut reprsenter en une forme gomtrique rgulire :triangle, carr, hexagone.

nombre fractionnaire (fraction) Tout nombre reprsentant une partie dun ensemble. Les fractionsles plus courantes sont appeles fractions ordinaires o le nombre infrieur, le dnominateur, est unentier non nul (non-zro) montrant combien de parties forment lensemble ; tandis que le nombresuprieur, le numrateur, reprsente le nombre de divisions gales retenues de lensemble. Lesfractions propres ont une valeur infrieure 1 (par exemple ). Les fractions impropres sont dunevaleur suprieure 1 (par exemple 3/2 ou 4/3).

nombre imaginaire Un nombre qui, au carr, donne un rsultat ngatif. Comme aucun nombre rel aucarr ne peut produire un rsultat ngatif, les mathmaticiens dvelopprent le concept de nombreimaginaire i ; ainsi i i = 1 ou bien : i = 1. Avoir un nombre imaginaire reprsentant 1 aide rsoudre les quations insolubles et permet des applications pratiques dans plusieurs domaines.

nombre irrationnel Tout nombre sur une droite de rels qui ne peut pas sexprimer sous la forme duquotient dentiers. Les exemples les plus clbres de nombres irrationnels sont et 2. Le meilleurmoyen pour identifier un nombre irrationnel est de vrifier si son expansion dcimale ne se rptepas. La plupart des nombres rels sont des nombres irrationnels.

nombre rationnel Tout nombre sur une droite de rels qui peut sexprimer sous la forme du quotientdes entiers. Plus simplement, tout nombre pouvant tre crit comme une fraction, y compris lesnombres entiers. On peut identifier les nombres rationnels par des dcimales finies ou se rptant.

nombre rel Tout nombre exprimant une quantit le long dune droite de rels ou dun continuum. Lesnombres rels incluent tous les nombres rationnels et irrationnels.

nombre transcendant Tout nombre ne pouvant sexprimer comme la racine dun polynme non nul(non-zro) avec des coefficients entiers ; en dautres termes, les nombres non algbriques. Le nombretranscendant le plus connu est . Il ne peut satisfaire lquation 2= 10. La plupart des nombresrels sont transcendants.

polynme Une expression utilisant les nombres et les variables, qui ne permet que les oprationssuivantes : addition, multiplication et les exposants entiers positifs. Par exemple : x2 (voir aussi Lesquations polynomiales).

FRACTIONS & DCIMALESthorie en 30 secondes

Les nombres entiers 0, 1, 2, 3 forment le fondement des mathmatiques. Nous les utilisonsdepuis des millnaires. Toutefois, on ne peut tout mesurer grce aux nombres entiers. Si 7 fermiers separtagent 15 hectares de terrain, chacun aura 15/7 (ou 2+1/7) dhectare. Les nombres non entiers lesplus simples peuvent sexprimer sous forme de fraction comme celle-ci. En ce qui concerne lesautres nombres, comme , cest peu commode ou impossible. Avec le dveloppement des sciences, ildevint ncessaire de subdiviser les quantits avec plus de justesse. Le systme dcimal apparut, unemthode base sur la colonne utilisant des chiffres dorigine indienne et arabe. Ici, le nombre 725 atrois colonnes : 7 pour la centaine, 2 pour la dizaine, 5 pour lunit. En ajoutant une virgule dcimaleaprs les units, avec une colonne supplmentaire sur sa droite, on peut aisment aller vers desnombres plus petits quune unit. Ainsi, 725,43 : 7 pour la centaine, 2 pour la dizaine, 5 pour lunit,4 diximes (dune unit) et 3 centimes. En incorporant plus de colonnes gauche ou droite, lesnombres, grands ou petits, peuvent scrire aussi prcisment que ncessaire. Chaque nombre entreles nombres entiers peut sexprimer en tant que dcimale (mais non en fraction). Cela nous donne lesystme de nombre rel .

CONDENS EN 3 SECONDESLe point de dpart des mathmatiques est celui des nombres entiers, 0, 1, 2, 3 mais beaucoup dechoses tombent entre les intervalles : il existe deux voies pour les mesurer.

RFLEXION EN 3 MINUTESPasser des fractions aux dcimales nest pas toujours direct. Il est facile de reconnatre 0,25 ou 0,5ou 0,75 comme respectivement 1/4, 1/2 et 3/4. Lquivalent dcimal de 1/3 est 0, 333333, o lasuite de la colonne des 3 ne se termine jamais et celui de 1/7 est 0,142857142857142857 sur unmodle de rptition infinie. Il apparat que tous les nombres fractionnaires (fractions) suivent unmodle de rptition par dcimale, tandis que les nombres non fractionnaires comme ont desdcimales qui ne se rptent pas. Il sagit des nombres rels irrationnels.

THORIES LIESNOMBRES RATIONNELS & IRRATIONNELSBASES DE CALCULZRO

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESABU ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMIenv. 790850

ABUL HASAN AHMAD IBN IBRAHIM AL-UQLIDISIenv. 920980

IBN YAHYA AL-MAGHRIBI AL-SAMAWALenv. 11301180

LEONARDO PISANO (FIBONACCI)env. 11701250

TEXTE EN 30 SECONDESRichard Elwes

Les nombres entiers peuvent se subdiviser en fractions, les dcimales noncent plus prcismentces divisions.

NOMBRES RATIONNELS & IRRATIONNELSthorie en 30 secondes

Les nombres rels sont ceux positifs, ngatifs et le 0. Il est possible de catgoriser ces valeurs dediffrentes faons. La plus fondamentale est de distinguer les nombres rels que lon peut exprimer enune fraction de deux entiers (par exemple : 1/2 ou 7/3), que lon appelle nombres rationnels, deceux qui ne le peuvent pas (les nombres dits irrationnels). Les anciens Grecs pensaient que tous lesnombres taient rationnels, jusqu ce quun disciple de Pythagore prouve que 2 ne ltait pas. Vouspouvez affirmer si un nombre est rationnel ou non en regardant son expansion dcimale si les chiffresse rptent, le nombre est rationnel (pensez que 3/11 = 0,272727). Les expansions dcimales desnombres irrationnels (par exemple = 3,14159265) sont composes de chiffres qui ne se rptentpas. Mais il y a plus. Les nombres rationnels, et beaucoup de nombres irrationnels, ont quelque choseen commun : ils sont algbriques, cest--dire que ce sont des solutions aux quations polynomialesavec des coefficients entiers. Par exemple, 2 rsout x2 2 = 0 (voir Les quations polynomiales).Mais beaucoup plus de nombres irrationnels ne sont pas algbriques : en est un exemple. Lesnombres non algbriques se nomment transcendants Seuls les nombres irrationnels peuvent ltre.

CONDENS EN 3 SECONDESLes nombres rels servant exprimer des quantits et reprsentables via une expansiondcimale sont soit rationnels soit irrationnels. Mais certains nombres irrationnels sont plusexceptionnels que dautres.

RFLEXION EN 3 MINUTESLa philosophie des anciens Grecs supposait que toutes les choses mesurables sont, au pire, le nombredor des nombres entiers. Une anecdote raconte que les pythagoriciens taient si angoisss que londcouvre que 2 tait irrationnel quils assassinrent Hippase de Mtaponte afin dempcher quil nedivulgue cette vrit au monde. Un nombre comme est peut-tre plus intuitivement irrationnel,pourtant cela ne fait que 250 ans que cela fut prouv. Un autre sicle passa avant que ne soitconsidr comme transcendant.

THORIES LIESFRACTIONS & DCIMALESEXPONENTIELLES & LOGARITHMESQUATIONS POLYNOMIALESPI LE CERCLE CONSTANTPYTHAGORE

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES

HIPPASE DE MTAPONTEactif au ve sicle av. J.-C.JOHANN LAMBERT17281777

CHARLES HERMITE18221901

FERDINAND VON LINDERMANN18521939

TEXTE EN 30 SECONDESDavid Perry

tant rels, les nombres sont rationnels sils peuvent tre crits comme une fraction. Sinon, ilssont irrationnels.

NOMBRES IMAGINAIRESthorie en 30 secondes

Au fur et mesure des annes, les mathmaticiens ont agrandi plusieurs fois le systme desnombres. Dabord, on intgra les nombres ngatifs. Par exemple, dans le monde du business, si + 4est un profit de 4 units, 4 reprsente 4 units en dbit. Larithmtique ngative possde uneproprit surprenante. Multipliez un nombre positif par un ngatif, vous obtiendrez un rsultat ngatif: par exemple, 4 3 = 12. Mais multipliez un nombre ngatif par un autre, et vous aurez unrsultat positif : 4 (3) = 12. Ainsi, aucun nombre (positif ou ngatif), multipli par lui-mme, nedonne de rponse ngative. Cela signifie que certaines quations simples, telle que x2 = 1, nepeuvent tre rsolues. Ceci est un obstacle pour rsoudre des quations plus compliques, mmequand des solutions existent. Ceci est corrig par un nouveau nombre imaginaire i, lequel est laracine carre de 1 ; donc i X i = 1. Cela engendra une controverse car on considra quilsagissait dune tricherie. Descartes inventa le mot imaginaire comme terme drogatoire. Au fildu temps, il fut accept linstar de tout autre type de nombre. De nos jours, les mathmaticiensprfrent le terme de nombres complexes , comprenant les quivalents 2 + 3i, ou 1/2 1/4i, ouplus gnralement a + bi, o a et b sont des nombres rels .

CONDENS EN 3 SECONDESLes mathmaticiens contemporains travaillent sur un systme numral dvelopp, incluant un nouveaunombre imaginaire i, la racine carre de 1.

RFLEXION EN 3 MINUTESLes nombres complexes admettent des solutions aux quations comme x x = 1. On pourrait sedemander sil y a des solutions pour x x = i, ou sil faudrait dvelopper encore le systme. Enloccurrence, les nombres complexes renferment des solutions toutes les quations polynomialespossibles. Ce qui signifie quelles sont toutes indispensables. Ce fait merveilleux est connu comme lethorme fondamental de lalgbre.

THORIES LIESFRACTIONS & DCIMALESQUATIONS POLYNOMIALESHYPOTHSE DE RIEMANN

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESNICCOL FONTANA (TARTAGLIA)15001557

GIROLAMO CARDANO

15011576

RAFAEL BOMBELLI15261572

CARL-FRIEDRICH GAUSS17771855

AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY17891857


Les entiers positifs et ngatifs ntaient pas suffisants pour certains mathmaticiens : ils eurentbesoin de nombres imaginaires.

BASES DE CALCULthorie en 30 secondes

Lorsque nous comptons au-del de 9, nous avons lhabitude dcrire un 1 dans la colonnesuivante en rutilisant les symboles. Nous utilisons donc une base 10, appele systme dcimal. Cettebase 10 ne fut pas toujours le systme prfr. Les anciens Babyloniens comptaient grce une base60 (systme sexagsimal). Au lieu darrter 9 et daller sur la colonne suivante, ils terminaient 59. Des restes de ce systme se retrouvent dans lutilisation des 60 minutes pour diviser une heure, etdes 360 dun cercle. Une base 12, dite systme duodcimal, nous donne les concepts de la douzaineet des douze douzaines (une douzaine de douzaine). La base 20, ou systme vicsimal, tait couranteaux premiers temps de lEurope (voir le clbre discours de Gettysburg prononc par AbrahamLincoln en 1863 *). Les ordinateurs modernes utilisent la base 2, ou systme binaire : 0 ou 1. Il futais de produire des systme primitifs pour compter quand seulement deux tats sont utiles, commeouvrir ou fermer un circuit lectrique. Dans toute base, laddition et la multiplication sont biendfinies et on peut faire usage de lalgbre. Essayez, la prochaine fois que quelquun vous demanderala valeur de 1 + 1. La rponse est videmment 10 (dans une arithmtique binaire) !

CONDENS EN 3 SECONDESUne base fait rfrence au nombre de chiffres uniques quun systme de calcul utilise pourreprsenter des valeurs numriques.

RFLEXION EN 3 MINUTESLes Mayas dAmrique Centrale utilisaient une base 20 pour le compte long de leur calendrier.Toutefois, ils corrigeaient leur troisime colonne partir du normal 400 = 20 20 partie de 18 20 = 360 ; et ce, sans doute afin de reflter le nombre approximatif de jours dans lanne. Nous, nousprfrons une base 10 : sans doute parce que nos doigts sont de bons calculateurs. Peut-on penser queles Mayas considraient la valeur de leurs orteils sortant de leurs sandales ?

THORIES LIESZRO

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESGOTTFRIED LEIBNIZ16461716

GEORGE BOOLE18151864

TEXTE EN 30 SECONDESRichard Brown

Le systme de base 10 est celui le plus communment adopt les Babyloniens pensaient plusgrand avec 60 chiffres. Le code des ordinateurs, lui, se contente de deux chiffres.

* Le dbut du texte est difficilement transposable en franais : le discours du 19 novembre 1863 deLincoln dura deux minutes. Lincoln dit : Il y a 87 annes que nos anctres ont fond sur le sol de cecontinent une nation conue dans la libert []. Pour dire 87, il employa les termes anciens : fourscore and seven years , cest--dire 4 20 (score) + 7 ans (N.D.T.).

NOMBRES PREMIERSthorie en 30 secondes

La plupart des nombres entiers peuvent se diviser en plusieurs parties. Par exemple, 100 = 4 25.100 = 20 5 est aussi exact. Si nous divisons encore en plus petites divisions, nous arrivons lafactorisation premire de 100 : 100 = 2 2 5 5. Nous ne pouvons dcomposer au-del : ce sontdes nombres premiers, divisibles seulement par 1 ou eux-mmes. Lorsque les mathmaticienscommencrent faire la liste des nombres premiers, ils recherchrent sans succs un schma. Ilssinterrogrent : cette liste tait-elle finie ou pourrait-on trouver des nombres premiers plus grands ?Dans ses lments, Euclide livra la preuve quil existe une infinit de nombre premiers. 17 463 991229 est un grand nombre premier. Comment savons-nous quil est premier ? Essayons de diviser cetentier par dautres entiers plus petits : nous ne trouverons rien dautre que 1. Il est donc premier.Ceci est peu rapide et il existe dautres faons. Les plus grands nombres premiers connus ont plus de10 000 000 chiffres et des mthodes plus intelligentes sont ncessaires pour les tablir comme tels. Ilpeut sembler frivole de chercher des grands nombres premiers. Pourtant, dans les annes 70, une idervolutionnaire cra une technique pour effectuer des communications scurises en utilisant unsystme ncessitant la gnration de grands nombres premiers. Cette technique sintroduisit dansinternet, nous permettant dacheter en ligne en toute scurit.

CONDENS EN 3 SECONDESUn nombre premier est un entier positif, divisible seulement par 1 ou lui-mme. Les nombrespremiers ne peuvent tre mietts et sont aux entiers ce que les lments sont la matire.

RFLEXION EN 3 MINUTESLorsque nous prenons des factorisations premires de nombres, il semble vident que nousobtiendrons toujours les mmes nombres premiers jusqu la fin. Or, plus on tudie les nombres,moins ce fait est vident. Il est vrai, et trs important, que ceci porte le titre de thorme fondamentalde larithmtique. Bien quaucune formule ne gnrera chaque nombre premier tour de rle, lethorme des nombres premiers nous donne une ide de la proportion de nombres entiers premiers.

THORIES LIESTHORIE DES NOMBRESLEMENTS DEUCLIDE

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESEUCLIDE DALEXANDRIEactif vers 300 av. J.-C

CARL FRIEDRICH GAUSS17771855

JACQUES HADAMARD18651963

CHARLES JEAN DE LA VALLE-POUSSIN18661962


Seulement divisibles par 1 ou eux-mmes, les nombres premiers ont fascin pendant des siclesles mathmaticiens. La dcouverte des grands nombres premiers a, aujourdhui, des

applications pratiques.

LES NOMBRES DE FIBONACCIthorie en 30 secondes

Dans la suite de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, chaque chiffre est lasomme des deux prcdents. Le rsultat, lequel jour un rle spcifique dans la thorie des nombres,possde de nombreuses et curieuses proprits numriques. Si vous ajoutez les chiffres dans la suitede Fibonacci jusqu un certain point, la somme est toujours 1 de moins que le nombre Fibonacci ;par exemple : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 fait 1 de moins que le 21 Fibonacci. Ajoutez les carrs de cesnombres produit deux nombres Fibonacci : 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 8 13. Et 1 : 1, 2 : 1, 3 : 2, 5 :3, 8 : 5 permet dapprocher le nombre dor 1,618. Gomtriquement parlant, les carrs dont lescts sont des nombres Fibonacci en longueur sajustent ensemble pour former une spirale dor. Bienlongtemps avant que les tres humains soient fascins par ces modles, les plantes avaient dcouvertlconomie des nombres Fibonacci. Les feuilles ou les bourgeons de nombreuses plantes structureen spirale comme les ananas, les tournesols et les artichauts prsentent une paire de nombresFibonacci conscutifs. Si vous observez un ananas, vous verrez 8 rangs de spirales dans une directionet 13 dans lautre. Dans le rgne animal, une abeille possde, chaque gnration, un nombreFibonacci danctres.

RFLEXION EN 3 SECONDESUne simple rgle, ajoutant les deux termes prcdents pour obtenir le terme suivant, produit une dessuites favorites de nombres de Mre Nature.

RFLEXION EN 3 MINUTESEn 1202, dans son uvre Liber Abaci, Leonardo Pisano, connu sous le nom de Fibonacci, posa unenigme relative la reproduction des lapins. Fibonacci nona, peut-tre de manire irraliste, quchaque mois pass, chaque paire de lapins adultes produit une paire de lapereaux. Or, il faut un mois un petit pour devenir adulte. Si vous dmarrez en janvier avec une seule paire de lapereaux, vousobtiendrez 144 paires en dcembre !

THORIES LIESTHORIE DES NOMBRESLE NOMBRE DOR

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESLEONARDO PISANO (FIBONACCI)env. 1770-env. 1250

TEXTE EN 30 SECONDESJamie Pommersheim

La suite de Fibonacci apparat dans un arbre gnalogique dabeilles. Chaque abeille mle aseulement un parent femelle, tandis que chaque femelle a deux parents, un mle et un femelle.

LE TRIANGLE DE PASCALthorie en 30 secondes

Quy a-t-il aprs cette suite : (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1), (1 4 6 4 1) ? Cette nigme est unimportant problme dalgbre, connu sous le nom de parenthses en expansion . Commencez aveclexpression (1 + x) et multipliez-la par elle-mme. Cela donne (1 + x)2 = 1 + 2x + 1x2. Lamultiplication de trois parenthses donne (1 + x)3 = 1 + 3x + 3 x2 + 1x3. Quatre produit (1 + x)4 = 1 +4x + 6x2 + 4x3 + 1x4. Ici, la difficult ne rside pas dans lalgbre mais dans les nombres. La formulesuivante donnera quelque chose comme ceci : (1 + x)5 = 1 + ? x + ? x2 + ? x3 + ? x4 + 1x5. Mais, ici,par quels nombres exacts doit-on complter ? Pascal dsirait une rponse rapide et il la trouva grce son triangle. Il commence par 1. En-dessous, il y a encore deux 1. Pascal eut la perspicacit de voirque le processus pouvait continuer : chaque nombre provient des deux au-dessus de lui, additionnsensemble. (Cette pense fut antrieurement labore par dautres, tel lIndien Pingala, plus de milleans auparavant.) Ce processus est simple raliser : il suffit dune petite addition et non dalgbrecomplique. Chaque ligne donne la rponse un problme de parenthse en expansion. Ainsi, pourtrouver (1 + x)5, lisez les nombres sur la sixime ligne : 1, 5, 10, 10, 5, 1.

CONDENS EN 3 SECONDESLe clbre triangle de Pascal ne contient pas seulement des schmas numriques fascinants, il estaussi un outil essentiel en algbre.

RFLEXION EN 3 MINUTESLe triangle de Pascal contient de nombreux schmas fascinants. La premire diagonale est une lignede 1, et la seconde dcompte : 1, 2, 3, 4 Mais la troisime comporte ce qui est connu comme desnombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15 Si vous dsirez disposer des boules lintrieur duntriangle (au dbut dun jeu dargent, par exemple), ce sont les nombres qui marchent. Les nombresFibonacci sont aussi cachs dans ce triangle, telle une succession de diagonales superficielles .Regardez si vous les trouvez !

THORIES LIESNOMBRES FIBONACCILESPACE RSERV VARIABLEQUATIONS POLYNOMIALES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESPINGALAenv. 200 av. J.-C.ABU BEKR IBN MUHAMMAD IBN AL-HUSAYN AL-KARAJI

9531029

YANG HUI12381298

BLAISE PASCAL16231662

ISAAC NEWTON16431727


Le triangle de Pascal contient de nombreux schmas mathmatiques et fournit une solutionnette certains problmes dalgbre.

BLAISE PASCAL

Pascal souffrait de migraines chroniques, dinsomnie et de dyspepsie : il vivait le plus souventaccompagn de douleurs. Sa vie fut courte mais productive. Malgr cela, il devint un minentmathmaticien, physicien, philosophe et thologien. Il travailla (et se querella) avec les plus grandsesprits de son poque. Orphelin de mre lge de 6 ans, il fut scolaris la maison. Son pre luiayant interdit dtudier les mathmatiques, il sy adonna en secret ; mais quand son fils eut 12 ans, cedernier se laissa amadouer : le jeune Pascal tudia plus ardemment, au point de fabriquer unemachine calculer. Son percepteur de pre en fut grandement aid. Dnomme la Pascaline , cettecalculatrice ne fut pas la premire. Elle fut fabrique 50 exemplaires et demeura un checcommercial. Toutefois, son fonctionnement exercera une grande influence sur Gottfried Leibniz.

Durant sa vie adulte, Pascal eut de rgulires prises de bec avec le philosophe Descartes au sujetde lexistence (ou non) du vide. Descartes estimait (faussement) quune telle chose ne pouvait exister,ce qui conduisit Pascal un ouvrage sur lhydrostatique. Il trouva aussi le temps de dvelopperlide du triangle de Pascal (voir ici), et dtablir les principes de la thorie des probabilits, encorrespondant avec Pierre de Fermat. Il nous faut remercier ici le joueur invtr Chevalier de Mr.Il senquit auprs de Pascal de savoir comment diviser une cagnotte si deux joueurs de comptencegale dcidaient de quitter la table en milieu du jeu. En 1646, lorsque le pre de Pascal tombamalade, il fut soign par les frres jansnistes du monastre de Port-Royal. Pascal et sa sur,Jacqueline, en furent grandement influencs et embrassrent la religion des jansnistes. la fin de savie, Pascal se consacra la rconciliation de la foi et de la raison. Ses attentes se refltent dans le pari de Pascal exprim dans les Penses, ouvrage inachev, rassemblant des considrationsphilosophiques. Le pari concernait lexistence de Dieu et si lon doit miser sur elle. Pascal pariaitsur lexistence de Dieu : sIl existe, votre place est assure au ciel ; sIl nexiste pas, vous ne perdrezrien.

19 juin 1623Naissance Clermont-Ferrand

1631Sinstalle Paris avec sa famille

1639Auteur de Essai pour les coniques ; dmnage avec sa famille Rouen

16421645Construit la Pascaline, une machine calculer mcanique

1647

Rencontre Descartes et publie Expriences nouvelles touchant le vide

1650Se convertit au jansnisme

1653Reprend des tudes scientifiques

1653Publie Traits de lquilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de lair (qui explique saloi de la pression)

1654Correspond avec Fermat

1655Impression de la mthode du triangle de Pascal . Il rencontre Antoine Arthaud, philosophe chef defile des jansnistes.

16561657Rdige Les Provinciales, qui dfend les jansnistes

1658crit Traits relatifs la cyclode

1668Commence travailler sur Les Penses, un ensemble dessais philosophiques et thologiques

19 August, 1662Meurt Paris

1670Les Penses sont publies titre posthume

1779Publication de lEssai pour les coniques

THORIE DES NOMBRESthorie en 30 secondes

La thorie des nombres est ltude des proprits intressantes que possdent les nombres. Parexemple, choisissez un nombre premier impair et divisez-le par 4. Le reste sera soit 1, soit 3. Il estpossible de prouver que si le reste est 1, vous pouvez trouver deux nombres au carr ajouter aunombre premier. Par exemple, divisez 73 par 4, vous obtiendrez 18, avec 1 pour reste. Aprs unepetite recherche, vous pouvez dterminer que 73 = 9 + 64 = 32 + 82. Dun autre ct, un reste de 3signifie que, quoique vous fassiez, il est impossible de trouver deux nombres au carr additionner ce nombre premier (essayez avec 7 ou 59). La question se pose : pourquoi ? Les mathmaticiens nesont jamais satisfaits de cette sorte de comportement ; ils veulent prouver que ces proprits sonttoujours vraies. Les mathmaticiens de la Grce antique commencrent par explorer les proprits dedivisibilit des entiers : cest ce qui les mena tudier les nombres premiers. Ils se plaisaient aussi tudier les nombres figurs et leurs relations mutuelles. Si vous possdez un nombre de pierres quevous pouvez disposer en un triangle quilatral, un carr ou un pentagone, vous tes en prsence dunnombre figur. Euclide labora une formule sur deux carrs sajoutant un troisime carr. Cest enconjecturant sur diverses quations, que Pierre de Fermat en vint laborer son fameux dernierthorme .

CONDENS EN 3 SECONDESLa thorie des nombres est une discipline voue ltude des proprits et du comportement desdiffrentes classes de nombres.

RFLEXION EN 3 MINUTESCarl Friedrich Gauss dclara que, parmi les sciences, celle des mathmatiques en tait la reine. Etque la thorie des nombres tait la reine des mathmatiques. Il y a 70 ans, G. H. Hardy fit cho cetteopinion, trouvant du plaisir aux mathmatiques uniquement pour la beaut surprenante des vritsdcouvertes, non souilles par lapplication pratique. Plus tard, lorsque la thorie des nombresdboucha sur la cryptologie, peu pensrent que la beaut de la reine des mathmatiques en futdiminue.

THORIES LIESNOMBRES PREMIERSANNEAUX & CHAMPSLMENTS DEUCLIDELE DERNIER THOREME DE FERMAT

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES

PYTHAGORASenv. 570-495 av. J.-C.EUCLIDactif autour de 300 av. J.-C.PIERRE DE FERMAT16011665

CARL FRIEDRICH GAUSS17771855

G. H. HARDY18771947


Les nombres figurs forment une branche de la thorie des nombres des nombres pouvant treexprims en une figure gomtrique.

FAIRE TRAVAILLER LES NOMBRES

FAIRE TRAVAILLER LES NOMBRESGLOSSAIRE

algbre de Boole (calcul boolen) Une forme de lalgbre dans laquelle les propositions logiquessont reprsentes par des quations algbriques, dans laquelle la multiplication et l addition (et les ngatives) sont remplaces par et et ou (ou non ), et o les nombres 0 et 1reprsentent respectivement faux et vrai . Lalgbre de Boole joua (et joue encore) un rlesignificatif dans le dveloppement des programmations pour ordinateurs.

associative Proprit dune opration sur des nombres o lordre des deux occurrences (ou plus) napas dimportance. Par exemple, la multiplication des nombres est dite associative puisque (a b) c= a (b c).

commutative Proprit dune opration sur les nombres o lordre est invers mais o le rsultat estidentique. Par exemple, une multiplication de nombres est dite commutative lorsque 3 5 = 5 3.

coordonnes cartsiennes Nombres reprsentant la position dun point spcifique sur un graphiqueou une carte, grce un systme semblable un quadrillage. Les coordonnes sont donnes parvaleurs reprsentant la distance la fois sur laxe horizontal (x) et laxe vertical (y), partir dunpoint de rfrence, en gnral le point de croisement des axes.

droite des rels Reprsentation visuelle de tous les nombres rels sur une chelle horizontale, avecles valeurs ngatives allant indfiniment vers la gauche et les valeurs positives vers la droite, divisepar zro. La plupart des lignes de nombres montrent habituellement les entiers positifs et ngatifsespacs rgulirement.

quation diffrentielle Une quation impliquant une fonction inconnue et certaines de ses drives.Les quations diffrentielles sont les premiers outils utiliss par les scientifiques afin de modeler lesprocessus physique et mcanique en physique et en ingnierie.

exposant Le nombre de fois par lequel un autre nombre, connu sous le nom de nombre de base, estmultipli par lui-mme. Dans lexpression 43 = 64, lexposant est 3 et la base est 4. Lexposant estappel aussi puissance.

expression algbrique Expression mathmatique dans laquelle on utilise des lettres et autressymboles pour remplacer des nombres. Les expressions algbriques peuvent aussi reprsenter leschiffres arabes et tous les signes dune opration telle que + (addition), (multiplication), (racinecarre), etc. Peu importe la complexit de lexpression algbrique : elle reprsente toujours unevaleur unique.

fonction Applique une quantit, connue comme lentre, une fonction rsulte en une autre quantit,connue comme la sortie. On crit souvent lexpression dune fonction f(x). Par exemple, la fonction ftelle que f (x) = x2 est une fonction dans laquelle pour chaque valeur dentre de x vous obtenez une

valeur de sortie de x2, ainsi f(5) = 25, f(9) = 27, etc. La collection de toutes les entres et sorties peuttre pense comme un ensemble individuel : une fonction relie chaque lment de lensemble desentres un autre lment de lensemble des sorties.

mcanique quantique Branche de la physique dans laquelle les formules mathmatiques jouent unrle central en dcrivant le mouvement et linteraction des particules subatomiques, incluant, parexemple, la dualit onde-particule.

monadologie Gottfried Leibniz a expos sa philosophie mtaphysique dans Monadologie (1714).Elle est base sur le concept des monades, substances simples que Leibniz appelle les substancesindividuelles ; chacune dentre elles est programme pour se comporter dune certaine faon.

multiplicateur Quantit par laquelle un nombre, connu sous le nom de multiplicande, sera multipli.Dans 3 9 = 27, le multiplicateur est 9 et le multiplicande, 3.

nombre rel Tout nombre exprimant une quantit le long dune droite de nombres ou continuum. Lesnombres rels incluent tous les nombres rationnels (nombres pouvant tre exprims comme un taux ouune fraction ; incluant les entiers positifs et ngatifs et les dcimaux), les nombres irrationnels (cesnombres qui ne peuvent tre crits comme une vulgaire fraction telle que 2), et les nombrestranscendants (comme ).

variable Quantit pouvant changer sa valeur numrique. On les exprime souvent par des lettrescomme x ou y. On les utilise souvent comme des espaces rservs dans les expressions et lesquations telles que 3x = 6, o 3 est le coefficient, x est la variable, et 6 la constante.

ZROthorie en 30 secondes

Les anciens peuples, possdant un systme de numration, comme les Babyloniens, les Grecs(seulement les astronomes !) et les Mayas utilisrent le zro comme un espace rserv. LInde fit demme, pays o naquit notre systme moderne de nombres. En 628, Brahmagupta rdigea le premierouvrage qui traitait du zro en tant que nombre et non plus seulement comme un espace rserv. Ildonna ainsi des rgles larithmtique avec le zro et des nombres ngatifs. En 820, Al-Khwarizmiintroduisit le systme indien dans le monde islamique. En 1202, Fibonacci fit de mme en Europegrce son livre Liber Abaci. Il y popularisa aussi la notion de zro. Zro est le seul nombre rel ningatif, ni positif. Tout nombre qui nest pas zro se nomme non-zro . Zro est lidentit additive,par exemple a + 0 = a, o a reprsente tout nombre rel. Lui additionner zro le laisse inchang. Enoutre, a 0 = 0 et 0/a = 0 pour un a non-nul. Si lon pense quun nombre rel divis par zro estlinfini, cela na pas rigoureusement de sens. Ainsi, les mathmaticiens disent seulement que ladivision par zro est non dfinie. Parce quil est divisible par 2, 0 est mme un nombre. Dailleurs, silexposant est 0, la rponse est toujours 1 ; par exemple a0 = 1, pour tout nombre rel a autre que 0.En conclusion, certains mathmaticiens prfrent dbuter un compte par 0 au lieu de 1.

CONDENS EN 3 SECONDESZro, dont le symbole est 0, est labsence de quantit. Les synonymes sont : nant, rien, nul, choublanc.

RFLEXION EN 3 MINUTESDans le calcul boolen, 0 signifie faux ; en lectricit 0 est une notation stnographique pour off(ferm). En physique, le zro absolu est la temprature minimum thorique. Infrieur zro indique des nombres (ou des quantits) ngatifs. Zro sajuste la valeur zro. Et un zro est unterme souvent utilis pour qualifier une personne (ou une chose) insignifiante et pour lun de nosnombres rels les plus importants et les plus versatiles !

THORIES LIESBASES DE CALCULINFINIADDITION & SOUSTRACTIONMULTIPLICATION & DIVISIONEXPONENTIELLES & LOGARITHMES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESBRAHMAGUPTA

598-670 env.ABU ABDALLAH MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI780 env.-850 env.LEONARDO FIBONACCI11701250

TEXTE EN 30 SECONDESRobert Fathauer

Beaucoup de bruit pour rien zro est un entier part entire.

INFINIthorie en 30 secondes

Il est facile de voir que les nombres naturels sont infinis. Dclarez que tout nombre est le plushaut et vous pourrez toujours en ajouter un de plus. Il est aussi vrai, mais un peu plus rus, quentre 0et 1 il existe un nombre infini de nombres. Depuis des millnaires, les mathmaticiens sont fascinspar le concept dinfini. Znon dle, un Grec adepte du stocisme, tudia lide travers une sriede paradoxes. Son plus fameux nonce que tout mouvement est impossible : aller dun point A unpoint B ncessite de passer par un nombre infini de points intermdiaires. Or, chacun prenant untemps positif pour aller de lun au prochain, et puisque un nombre infini de nombres positifs doiventtre ajouts linfini, on ne peut aller nulle part en un temps fini. Nous savons maintenant o il setrompa (un nombre infini de nombres positifs peut avoir une somme finie !), mais cette penseprovoqua de nombreuses tudes. Aujourdhui, lide centrale, derrire le calcul infinitsimal,implique linfinit. Les taux moyens de changement usant dune squence infinie dintervalles detemps positifs de plus en plus petits (nous disons infiniment petit ) nous aident dfinir ce tauxinstantan. Ceci fonctionne comme le compteur dune voiture enregistrant votre vitesse ; votredistance parcourue au-dessus dun intervalle de temps positif trs petit. Sans linfini, nous nepourrions, peut-tre, vraiment aller nulle part !

CONDENS EN 3 SECONDESToutes les bonnes choses ont une fin, sauf en mathmatiques.

RFLEXION EN 3 MINUTESBuzz Lightyear, le fameux hros de lespace de la srie Toy Story des studios Pixar, proclamefirement : Vers linfini et au-del ! Mais comme la fin de la droite des nombres rels, etlhorizon pour les marins intrpides, quelle que soit la faon dont nous voyageons, nous ne nous enrapprochons jamais autant que lorsque nous en tions partis. Mme le nombre total de particulessubatomiques de lunivers, estim bien moins que 10 100, nest pas plus proche de linfini que lestle 1. Pour aller au-del de linfini, on doit dabord latteindre. Znon dle aurait apprci cela.

THORIES LIESNOMBRES RATIONNELS & NOMBRES IRRATIONNELSCALCUL INFINITSIMALLHYPOTHSE DU CONTINUUM

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESZNON DLEenv. 490-env. 430 av. J.-C.

GEORG CANTOR18451918

TEXTE EN 30 SECONDESRichard Brown

Y aura-t-il jamais une fin tout cela ? Pas selon les mathmaticiens.

ADDITION & SOUSTRACTIONthorie en 30 secondes

Ds 2 000 ans avant J.-C., les civilisations anciennes, telles celles des gyptiens et desBabyloniens, maniaient laddition et la soustraction. En Inde, le systme dcimal, qui se prte lui-mme plus aisment aux oprations darithmtique, fut adopt en Europe grce louvrage deFibonacci : Liber Abaci. Aux VIe et VIIe sicles, Aryabhata et Brahmagupta apportrent une grandecontribution aux mathmatiques indiennes. En 1489, les symboles + et apparurent dans un ouvrageimprim d Johannes Widmann. En addition, les nombres ajouts sappellent des seconds nombreset le rsultat, une somme. Une retenue est indispensable lorsque la somme dune colonne de secondsnombres va au-del de 9. Une addition est dite commutative lorsquelle signifie a + b = b + a etassociative dans le cas de (a + b) + c = a + (b + c). Si on ajoute zro un nombre, on obtient le mmenombre, faisant de zro une identit additive. Par exemple : a + 0 = a. La soustraction est linverse deladdition. Dans une soustraction, par exemple a b, a est le diminuende et b le diminuteur. Encontraste avec laddition, la soustraction nest jamais ni commutative, ni associative. De mmequune retenue est requise quand on ajoute une colonne de nombres, un emprunt est ncessairelorsque lon soustrait. Le symbole (lu plus ou moins ) dnote une incertitude ou une paire devaleurs, par exemple les deux racines dune quation quadratique (du second degr).

CONDENS EN 3 SECONDESLaddition est une combinaison de deux nombres ou plus. La soustraction donne la diffrence entredeux nombres.

RFLEXION EN 3 MINUTESDes nombres en quantit infinie peuvent tre ajouts ou soustraits dans une suite infinie. Une suiteavec une limite finie est dite convergente. Un simple exemple est la suite : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 += 1. Pour visualiser cela, imaginez que vous traversez la moiti dune pice puis la moiti de ladistance restante (1/4 du total), puis le reste (1/8), etc. Certaines suites infinies prsentent desrsultats tonnants. Par exemple, 1 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13 1/15 = /4.

THORIES LIESFRACTIONS & DCIMALESBASES DE CALCULZROMULTIPLICATION & DIVISION

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESARYABHATA

476550

BRAHMAGUPTA598670/668

LEONARDO FIBONACCI11701250

JOHANNES WIDMANNc. 1462c. 1498


La somme de toutes les choses addition et soustraction font partie de notre quotidien depuisles temps les plus anciens.

MULTIPLICATION & DIVISIONthorie en 30 secondes

Multiplier et diviser reprsentaient un dfi lorsque lon utilisait les systmes primitifs denumrotation nemployant pas de notation positionne. Ctait le cas chez les gyptiens, les Grecs oules Romains. Le systme numral et arithmtique adopt par la suite en Europe fut dvelopp en Inde,ds le VIe et le VIIe sicle. Dans la multiplication a b = c, a est le multiplicateur, b le multiplicandeet c le produit. On appelle aussi a et b des facteurs. La notation pour la multiplication de deuxnombres a et b est a b, a b, (a)(b) et ce que prfrent les mathmaticiens : ab. Similaire laddition, la retenue est ncessaire quand le produit dune colonne de chiffres vaut plus que 9. Danslexemple a 1 = a, 1 est lidentit multiplicative. a b = b a est une multiplication ditecommutative. (a b) c = a (b c) est une multiplication dite associative. La division nest nilune ni lautre. Dans la division a b = c, a est le dividende, b le diviseur et c le quotient. Lesmathmaticiens prfrent la notation a/b plutt que a b. La division longue est une divisionalgorithmique qui pose dans un tableau : le dividende (le montant diviser), le diviseur (le nombreque vous divisez) et le quotient (la rponse). Pour les mathmaticiens, la division de tout nombre parzro est indtermine parce quelle na pas de sens.

CONDENS EN 3 SECONDESLa multiplication est laddition rpte dun premier nombre un second nombre spcifique de fois. Ladivision dtermine combien de fois une quantit est contenue dans une autre.

RFLEXION EN 3 MINUTESGrce aux logarithmes, la multiplication et la division peuvent tre excutes en utilisantrespectivement laddition et la soustraction. Ceci est possible par le fait que les nombresmultipliables et divisibles sexpriment comme des puissances dune base commune pouvant treaccomplie en ajoutant ou en soustrayant les exposants. Avant lavnement des calculatrices, desrgles calculer marques avec des axes logarithmiques taient communment employes afin defaciliter le calcul arithmtique.

THORIES LIESFRACTIONS & DCIMALESTHORIE DES NOMBRESADDITION & SOUSTRACTIONEXPONENTIELLES & LOGARITHMES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESARYABHATA

476550

BRAHMAGUPTA598670/668

LEONARDO FIBONACCI11701250


La multiplication prend un nombre et le rpte par un second nombre de fois. La division estloppos : elle dcompose un nombre en portions gales.

EXPONENTIELLES & LOGARITHMESthorie en 30 secondes

Si, chaque semaine, jajoute 1 euro dans ma tirelire et que jobserve le montant que jaccumule,je peux tablir un graphique de laugmentation de ce montant ( taux constant). Si, chaque semaine,jajoute 1 euro sur un compte en banque avec intrts, le montant augmentera de faon exponentielle( un taux qui augmente avec le montant lui-mme, puisque des intrts commencent se produire surles prcdents, comme un effet boule de neige en cascade). Si une banque gnreuse me donnait 100% dintrts, je devrais gagner 1 euro dintrt sur leuro original investi. Aprs une anne, jaurais 2euros. Si je najoute jamais dargent mais laisse ce montant saccrotre, il doublera chaque anne, medonnant 8 euros aprs trois annes, car 2 2 2 = 23 = 8. Aprs quatre ans, jaurais 16 euros, etc.Dans lexpression 23 = 8, nous appelons base le multiplicateur 2 constant ; lexposant 3 est le nombrede fois que nous multiplions la base par elle-mme. Il est naturel de vouloir renverser ce calcul. Si jeconnais le taux dintrt, combien dannes faudra-t-il avant que 1 euro ne devienne 8 ? Unlogarithme renverse lexponentiation : nous crirons log2 8 = 3. En gnral, la fonction log2 me ditquel est lexposant pour lever 2 afin dobtenir x. Dans lexemple de la banque, o mon argentdouble chaque anne, il me dit combien dannes il faudra pour obtenir x euros.

CONDENS EN 3 SECONDESLexponentiation est une notation stnographique concernant la rptition dune multiplication. Unlogarithme est lexponentiation ce que la division est la multiplication : un moyen mathmatiquede lannuler.

RFLEXION EN 3 MINUTESAu XVIe sicle, le mathmaticien John Napier fut le premier utiliser le terme logarithme dans le butde montrer linverse dune exponentiation. Il composa des tables de valeur pour calculer leslogarithmes. Sur votre calculatrice, vous avez sans doute vu les boutons log10(x) et In(x), renvoyantau logarithme nprien . Sa base est un nombre situ entre 2 et 3 que lon appelle e, un nombrespcial, comme , que lon aperoit frquemment dans les formules de physique, en biologie et dansles sciences conomiques.

THORIES LIESNOMBRES RATIONNELS & IRRATIONNELSMULTIPLICATION & DIVISIONFONCTIONS

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESJOHN NAPIER

15501617

LEONARD EULER17071783


Tandis que la croissance logarithmique diminue nergiquement, la croissance exponentielleexplose.

FONCTIONSthorie en 30 secondes

Si lon trouve assez prcocement des fonctions dans les annales historiques, le concept modernede la fonction mathmatique apparat tardivement. Dans sa forme la plus basique, une fonction est unerelation crant une valeur de sortie unique pour une valeur dentre unique. Le symbole f(x) est utilispour dnoter une fonction de la variable x. Par exemple, f(x) = x2 est lexpression dune fonction pourlaquelle une valeur de sortie de 9 (32) est obtenue pour une valeur dentre de 3. Au XIVe sicle, letravail dOresme proposa lide de variables dpendantes et de variables indpendantes. Galilebtit des formules qui dressrent un plan dun ensemble de points vers un autre. Descartes introduisitle concept de construction dune courbe partir dune expression algbrique. Le terme de fonction fut invent par Leibniz, la fin du XVIIe sicle. Lensemble de toutes les entres dune fonction senomme domaine, tandis que lensemble de toutes les sorties se nomme image. Les fonctions duneseule variable (ou argument) sont souvent insres dans lutilisation des coordonnes cartsiennes,o x est labscisse (axe horizontal) et f(x) est lordonne (axe vertical). Par exemple, pour f(x) = 2x +3, un graphique de f montrerait une droite forme de points dont les coordonnes (x ; y), satisfontcette quation. Ceci inclut (1 ; 5), puisque 5 = 2 1 + 3 et (2 ; 7) puisque 7 = 2 2 + 3. Les fonctionsdes deux variables peuvent tre compltes avec f(x, y) comme axe vertical et x-y en axe horizontal.

CONDENS EN 3 SECONDESUne fonction mathmatique est une relation qui associe chaque lment dun ensemble avec unlment dun autre ensemble.

RFLEXION EN 3 MINUTESOn emploie largement le concept de la fonction dans les sciences physiques et lingnierie. Dans cecas, la fonction et ses arguments correspondent usuellement des quantits physiques mesurablescomme la temprature, le volume et lattraction gravitationnelle. Les fonctions sont utilises aussi ensciences conomiques et dans le business, o des variables peuvent tre requises : temps, intrt,profit, etc. En effet, tudier les relations fonctionnelles entre deux entits ou plus est au centre de lacomprhension du processus mathmatique de la nature et du business. Et aussi des travaux pourcomprendre la population, pourquoi pas ?

THORIES LIESEXPONENTIELLES & LOGARITHMESLQUATIONLA TRIGONOMTRIEGRAPHIQUES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESNICOLE DORESME1320 env.-1382

REN DESCARTES15961650

GOTTFRIED LEIBNIZ16461716


Lorsque toute valeur x est insre dans lquation 1,7x3 5x2 0,3x + 1, le rsultat obtenu peuttre lev sur un graphique, nous donnant une reprsentation visuelle de la fonction.

Ce diagramme montre la valeur de f(x) sur lintervalle [-2 ; 1,2]. Par exemple, x = 1, le rsultatest 6. Un des points tablissant la courbe est dcrit par les coordonnes (1, 6).

GOTTFRIED LEIBNIZ

Ce surdou polymathe de la fin du XVIIe sicle et du dbut du XVIIIe, constitua une uvrecompose de traits, de notes, darticles dans des revues savantes et de correspondances. Leibnizsouffrit de lanathme de linitiateur. Cela se reflte dans sa carrure dintellectuel. De nombreusesides de Leibniz prfigurent la thorie et la pense moderne en physique, technologie, biologie,mdecine, gologie, psychologie, linguistique, politique, loi, thologie, histoire, philosophie etmathmatiques. Il amliora la machine calculer de Pascal (en anticipant sur les travaux de Babbageet Lovelace), dveloppa la thorie binaire qui taie la technologie numrique moderne, dveloppa ceque nous connaissons sous le nom dalgbre de Boole et la logique symbolique, esquissa les grandeslignes du concept de feedback qui inspira Norbert Wiener.

Enfant prodige et fils dun professeur duniversit, Leibniz connaissait le latin lge de 12 ans, etatteint son diplme de premier degr 16. Puis, une fois diplm en mathmatiques, philosophie etdroit, il vita lAcadmie et rejoignit la Maison de Brunswick. Il vcut et travailla Leipzig, Paris,Londres, Vienne et Hanovre. Il rencontra et correspondit avec les plus grands scientifiques etphilosophes de son temps. Sa thorie philosophique probablement la plus connue est la monadologie(les monades tant les units indivisibles les plus petites de la pense philosophique).Malheureusement, sa mort, ce grand intellectuel ne fut pas reconnu sa juste valeur au point que satombe resta anonyme durant un demi-sicle. En 1711, surgit la controverse entre Leibniz et Newtonsur le fait de savoir lequel des deux inventa le calcul infinitsimal. Elle nest toujours pas close.Leibniz connaissait Newton, membre de la Royal Society, car il rsida Londres au mme momento ce dernier dveloppait son calcul infinitsimal. Lorsque Leibniz proposa sa propre version, laplupart des mathmaticiens soutinrent Newton en diffamant Leibniz. Que Leibniz ait vol ou nonlide et la prsenta comme la sienne, ou quils parvinrent ensemble aux mmes conclusions, entravaillant chacun de leur ct, ne sera jamais connu. Aujourdhui, on leur octroie tous deux lapaternit de cette invention.

1 juillet 1646N Leipzig

1662Il devient bachelier s arts de philosophie, luniversit de Leipzig

1664Obtient le degr de matre en philosophie

1665Il est bachelier s arts en droit puis docteur

1673

lu membre de la Royal Society. Appoint comme conseiller auprs du duc de Brunswick

November 1675Achve sa dcouverte sur le calcul infinitsimal

1677Appoint comme conseiller priv de la justice la Maison de Brunswick

1684Publie ses notes sur le calcul infinitsimal

1686Publie Discours de mtaphysique

1710Publication des Essais de Thodice

1711Accus de plagiat

17121714crit Monadologie

14 November 1716Meurt Hanovre

CALCUL INFINITSIMALthorie en 30 secondes

De nombreuses spcialits scientifiques tudient les objets en mouvement et leur changement aucours du temps. Par exemple, lorsquune balle dvale une pente, sa position change. La vitesse de laballe est le taux du changement de sa position. Bien sr, cela peut se modifier. On appelleacclration le taux du changement de la vitesse. La question est la suivante : si vous avez uneformule mathmatique dcrivant la position de la balle, pouvez-vous calculer sa vitesse et sonacclration ? Le problme gomtrique dmarre avec une ligne courbe sur le plan et dterminecomment est linclinaison en tout point donn. Si la courbe est un graphique de la position de la ballecontre le temps, alors sa pente reprsente la vitesse de la balle. Ceci avait t compris ds lpoquedArchimde, mais on ne connaissait alors que des mthodes approximatives pour la calculer. lafin du XVIIe sicle, Isaac Newton et Gottfried Leibniz dvelopprent chacun de leur ct le calculinfinitsimal, un ensemble magnifique de rgles dcrivant la pente des graphiques et les ides qui ysont relies. Ce sujet se divisait en deux branches. En partant dune courbe, un calcul infinitsimaldiffrentiel vous donnera sa pente. Un calcul infinitsimal intgral dcrit la zone bloque au-dessousdelle. Cependant, il sagit de deux procds opposs dnomms le thorme fondamental du calculinfinitsimal.

CONDENS EN 3 SECONDESLe calcul infinitsimal est une branche des mathmatiques dcrivant comment les systmes et autresconstructions mathmatiques changent travers le temps et lespace.

RFLEXION EN 3 MINUTESLa dcouverte du calcul infinitsimal par Newton et Leibniz est un des moments les plus importantsde lhistoire des mathmatiques. De la climatologie aux sciences conomiques, de la mcaniquequantique la thorie de la relativit, il existe un immense champ dapplications des mathmatiquesau monde physique sexprimant par les termes d quations diffrentielles , lesquelles sonttudies par le calcul infinitsimal. Les scientifiques et les mathmaticiens doivent se mesurer unimmense dfi technique lorsquils doivent rsoudre ces sortes dquations.

THORIES LIESLQUATIONGRAPHIQUES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESARCHIMDEc.287212 BCE

ISAAC NEWTON

16431727

GOTTFRIED LEIBNIZ16461716

AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY17891857

KARL WEIERSTRASS18151897


Dune balle en mouvement, le calcul infinitsimal peut nous donner sa vitesse et sonacclration. Dune colline, le calcul infinitsimal produit le plan tangent qui dtermine la

pente de cette colline.

LA CHANCE EST UNE BELLE CHOSE

LA CHANCE EST UNE BELLE CHOSEGLOSSAIRE

cote La cote exprime la probabilit que quelque chose arrive en mesurant les modes darrive,contre celles qui narriveraient pas. Si la probabilit quun vnement survienne est p et saprobabilit quil ne survienne pas est 1 p, ainsi la cote en faveur de la survenue est p/(1 p). La cote contre la survenue est (1 p)/p. Par exemple, la probabilit dobtenir un 4 avec un dstandard est de 1/6. La probabilit de ne pas obtenir un 4 est 5/6. La cote en faveur dun 4 seraalors de (1/6)/(5/6), ou 1/5. En utilisant la manire usuelle, nous devrions dire que la cote dobtenirun 4 est de 1 : 5. La cote de ne pas obtenir un 4 est de 5 : 1. Cela signifie quil existe cinq faons deperdre pour une de gagner .

courbe en cloche Dans la thorie des probabilits, ce nom est donn pour dcrire la forme dungraphique lisse reprsentant une distribution standard normale. Le sommet de la courbe reprsente lamoyenne ; delle descend deux cts pentus, de formes gales, reprsentant toutes les variationspossibles et tombant rapidement avant son aplatissement.

quilibre Dans la thorie des jeux, lquilibre dcrit le point dans un jeu o tous les joueursemploient des stratgies qui garantissent quaucun joueur a une chance plus importante de gagner.

faux positif Nom donn une erreur, par exemple dans un test mdical. Les faux positifs apparaissent cause de limprcision du protocole de tests entranant une lecture ou un rsultat positif, alors quenralit la lecture ou le rsultat devraient tre ngatifs. cause de loccurrence des faux positifs dansnombre de milieux ambiants tests, il est impossible de dterminer avec prcision la probabilit dequelque chose ou de quelquun test positif jusqu ce quil y ait suffisamment de donnes pourcalculer la probabilit pralable (voir probabilit pralable et positif vrai).

frquence Le nombre de fois quun vnement spcifique survient pendant une priode de temps ouun ensemble plus grand dessais dune exprience. Plus le nombre doccurrences sera lev, plushaute sera la frquence.

probabilit La probabilit est une faon dexprimer la vraisemblance quun vnement spcifiquesurvienne en le comparant contre tous les rsultats possibles. Cest le taux du nombre de rsultatsdsirs par rapport au nombre de rsultats possibles qui est alors crit comme un nombre entre 0(zro vraisemblance) et 1 (certitude). Par exemple, lorsque lon pioche une carte dans un paquetcomplet, la probabilit de choisir le cur est de 13/52 ou 1/4. Donc la probabilit davoir le curest de 0,25.

probabilit pralable En statistiques, la probabilit quun vnement se produise avant une nouvelledonne ou une vidence est teste afin de calculer dautres probabilits. La probabilit pralablejoue un rle crucial dans le thorme de Bayes.

squence binaire En informatique, une suite de 0 et de 1 reprsentant respectivement off (ferm)et on (ouvert). Les squences binaires permettent de proposer des instructions lordinateur.

thorme central limite (appel aussi thorme de la limite centrale) Dans la thorie desprobabilits, ce thorme tablit que, si une variable galement alatoire, comme un coup de ds, estrenouvele un nombre de fois suffisant, la moyenne tendra vers la normale ; et les rsultats, sils sontdresss sur un graphique, dcriront une courbe en cloche.

vrai positif Un rsultat positif exact obtenu, par exemple dans un test mdical. Les vrais positifsdiffrent des faux positifs en ce que, vu quun vrai positif est vraiment exact, un faux positif et unrsultat positif inexact qui survient cause dune inexactitude ou dun insuccs dans le protocole detest. Voir faux positif.

THORIE DES JEUXthorie en 30 secondes

Depuis des millnaires, toutes les civilisations ont ador les jeux de stratgie, du morpion auxchecs, en passant par les dames. Certains dentre eux sont plus faciles que dautres. Par exemple, aumorpion, il est ais de formuler une bonne stratgie. Avec un peu de pratique, vous ne devriez jamaisperdre. La thorie des jeux est ltude mathmatique de ces stratgies. Prenez un jeu comme ciseaux, papier, pierre . Quelle est la stratgie la meilleure pour gagner ? Si vous dcidez de jouerciseaux plus souvent que papier ou pierre, votre adversaire peut exploiter cela en augmentant lenombre de fois quil joue pierre. moins que vous ne dcouvriez une tactique chez lui, la meilleurestratgie long terme est de piocher chaque fois parmi les trois options et ce, de faon alatoire. Enjouant ainsi, vous gagnerez, perdrez ou serez galit. Cest ce que lon appelle l quilibre dujeu, puisque si les deux joueurs agissent de mme, personne ne gagnera plus que lautre. Une picematresse de la thorie des jeux est la garantie, prouve par John Nash, quune varit norme de jeuxpossdent un quilibre.

CONDENS EN 3 SECONDESLes stratgies utilises dans les checs peuvent tre analyses du point de vue mathmatique. Ellesapparaissent dans une large gamme de sujets scientifiques.

RFLEXION EN 3 MINUTESLa thorie des jeux sest dplace au-del de ltude des jeux, avec des applications concernant aussibien la science politique que lintelligence artificielle. Mais les jeux posent encore des dfis. En2007, le professeur canadien Jonathan Schaeffer et ses collgues dvelopprent une stratgieinfaillible du jeu de dames. Leur programme ne perdait jamais. Alors que les ordinateurs peuventbattre aux checs leurs adversaires humains, une stratgie parfaite comme celle des dames reste unlointain rve. Lobstacle rside dans les myriades de faons de jouer aux checs que lon peutdvelopper, plus nombreuses que les atomes dans lunivers.

THORIES LIESLA LOI DES GRANDS NOMBRESLES IDES FAUSSES DU JOUEUR LOI DES PROBABILITSLES IDES FAUSSES DU JOUEUR DOUBLEMENTTHOREME DE BAYES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESJOHN VON NEUMANN19031957

CLAUDE SHANNON19162001

JOHN NASH1928

JOHN CONWAY1937


Ciseaux, papier, pierre : avez-vous une stratgie ? Les mathmaticiens, oui.

CALCULER LA COTEthorie en 30 secondes

Si vous jetez un d, la cote dobtention dun 6 est de 5 contre 1 . Cela signifie quil y a au totalsix rsultats, tous galement probables. Cinq seront infructueux ; un sera gagnant. Un mathmaticienexprimera la mme ide par une fraction, en affirmant que la probabilit dobtenir 6 est de 1/6.Un rsultat gagnant pour six possibilits au total. De mme, la cote de tirer las de pique dun jeu decartes complet est de 51 contre 1, ou 1/52. Aussi longtemps que les rsultats sont probables galit(que les ds ou les cartes sont neutres), cette cote peut tre calcule en comptant les rsultats heureuxet malheureux. La science des probabilits attribue des nombres aux vnements, dans le but dedcrire leur vraisemblance de survenue. Ces nombres se situent toujours entre 0 et 1, avec 0correspondant aux vnements impossibles et 1 aux certains. Les vnements improbables ont desprobabilits basses : si vous jetez dix fois une pice, la chance dobtenir dix piles est de 1/1024(1023 contre 1). Dun autre point de vue, les vnements probables ont de hautes probabilits (et debonnes cotes) : si vous piochez une carte dans un paquet, la chance dviter las de pique est de51/52 (ou 1 contre 51). Bon pari, non ?

CONDENS EN 3 SECONDESOn peut mesurer sur une chelle les vnements probables et improbables. Dans le langage desbookmakers ce sont des cotes, dans celui des mathmaticiens des probabilits.

RFLEXION EN 3 MINUTESLes bookmakers offrent plus de cotes (et plus dargent) sur des vnements dont la survenue estimprobable. Cest pourquoi ils utilisent le mot contre . Une forte cote signifie que lvnement estimprobable ; soyez prudent en pariant sur un cheval 40 contre 1 : personne dautre ne pense quilsera gagnant. Cest possible mais sa probabilit de gagner est de 1/41. Dun autre ct, une faiblecote comme 2 contre 3, aide dfinir le favori (3/5 de probabilit quil soit le gagnant). Le paiementsera faible, mais au moins vous aurez jou un coup presque sr .

THORIES LIESLA LOI DES GRANDS NOMBRESLIDE FAUSSE DU JOUEUR LOI DES PROBABILITSLALATOIRETHORME DE BAYES

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESPIERRE DE FERMAT16011665

BLAISE PASCAL16231662

CHRISTIAAN HUYGENS16291695

ANDREY KOLMOGOROV19031987


Lorsque vous jetez un d, la vraisemblance dobtenir un nombre impair est de 3/6, donc la coteest de 1 contre 1 ou pari avec enjeu gal trois possibilits de perdre et trois possibilits de

gagner.

GIROLAMO CARDANO

Cardano fut lincarnation de lhomme de la Renaissance : mdecin, mathmaticien, gologue,spcialiste des sciences naturelles, alchimiste, astrologue, astronome, inventeur ( lexception delart). Il se montra aussi le miroir noir de Leonardo da Vinci, un ami de sa famille avec qui ilcollabora parfois (ses dtracteurs affirment quil le plagia). Tous deux furent les fils illgitimesdhommes de loi, tous deux montrrent un talent exceptionnel. Vinci connut la gloire et la renomme,tandis que Cardano, cause de sa personnalit dsagrable et ses critiques permanentes, neut pascette chance. Bien que fort demand pour son intelligence, il tait dtest partout o il se rendait.La mdecine fut sa premire carrire. Il fut un excellent clinicien, consult par les plus grands, bienque mprisant ses collgues. Manquant de compassion envers les malades, sa pratique mdicale Sacco ne spanouit pas, bien quon le compara plus tard Vesalius. Il devint professeur demdecine luniversit de Pavie, son alma mater.Puis, il sintressa aux mathmatiques, quil avait tudies avec son pre. Il fut lauteur de deuxouvrages dont lun, Ars magna (1545), est un texte-clef de la Renaissance relatif au sujet desquations du troisime degr et du quatrime degr (voir ici). De nouveau, il alla au devant despolmiques. Il publia la preuve de la rsolution des quations du troisime degr de NiccolTartaglia, qui la lui avait explique contre la promesse quil se tairait pendant six ans. Dcouvrantque Tartaglia navait pas dit toute la vrit, Cardano prit les devants et rendit public le procd : ilsattira de nombreux ennemis dont Tartaglia. 1560 fut lanne du dsastre. Alors que sa carriremdicale se rveillait, son fils an assassina son pouse adultre. Il passa devant la justice et futcondamn mort. Cet vnement dvasta Cardano et le ruina professionnellement. Il emmnagea Rome, dpouill de ses titres de professeur. Puis il fut emprisonn brivement pour hrsie car ilavait dress lhoroscope de Jsus-Christ.Durant sa carrire si controverse, Cardano souffrait dune addiction aux jeux dargent : il tait sibon, quil finit par rdiger un livre, Liber de Ludo ( Livre du jeu de hasard ), le premier ouvrage traiter des probabilits en termes mathmatiques. Il se base sur ce qui survient lorsque lon fait roulerles ds. Certains puristes sen moquent mais il a encore les faveurs des joueurs et des patrons decasinos car il contient une section sur la tricherie. Aprs une longue vie chaotique, Cardano mourut le21 septembre 1576. On raconte quil prdit le jour de sa mort. Mais on dit aussi quil se suicida aumoment prvu dans le but de prouver quil avait raison.

1501N le 24 septembre, Pavie, en Italie

1520Engag luniversit de Pavie

1525Obtient son doctorat en mdecine (universit de Pavie) ; sollicite son entre au Collge de mdecinede Milan mais en est rejet en 1539

1526Rdige Liber de ludo aleae ( Livre du jeu de hasard ), publi titre posthume en 1663

1536crit De malo recentiorum medicorum usu libellus (sur la mdecine)

1539crit Practica arithmetice et mensurandi singularis (sur les mathmatiques)

1545crit Artis magnae, sive de regulis algebraicis, ou : Ars magna ( Le grand art ou les rglesalgbriques )

1545Dresse lhoroscope de Jsus-Christ, quil publie

1550Invente la grille de Cardan, une mthode de cryptographie

1570Accus dhrsie

1570crit Opus novum de proportionibus (sur la mcanique)

1576Meurt le 21 septembre Rome

1576De vita propria (autobiographie) publie son dcs

LA LOI DES GRANDS NOMBRESthorie en 30 secondes

Faites lexprience des rsultats chanceux en jetant un ballon dans un panier de basket-ball ou enlanant une pice de monnaie. Rptez autant de fois que vous le dsirez. La probabilit de faire unesrie de pile est petite : un vnement improbable comme celui-ci survient une fois de temps entemps. Mais, long terme, le pourcentage de loccurrence des cts pile reviendra sa probabilitdoccurrence. Cest ce que lon appelle la loi des grands nombres. Il sagit du principe que, longterme, la probabilit quun vnement survienne dtermine son ventuelle frquence de venue. La loides grands nombres ne se restreint pas aux vnements chanceux. Disons que vous dsireriezconnatre la taille moyenne des femmes vivant en France. En tudiant une large population, plus grandsera lchantillon, meilleure sera la moyenne de lchantillon reprsentant la moyenne de lapopulation. La prcision de votre estimation dune moyenne augmentera seulement avec la racinecarre de la taille de lchantillon. Et, pour une bonne estimation, vous aurez besoin dun chantillonplus grand lorsque ce que vous tes en train de mesurer aura une variabilit plus leve. Cette loinous assure quavec suffisamment de donnes, nous pourrons toujours obtenir une estimation aussiexacte que celle dont nous aurons besoin.

CONDENS EN 3 SECONDESAvec suffisamment dessais, la frquence dun vnement chanceux est trs proche de la probabilitde sa survenue.

RFLEXION EN 3 MINUTESLa premire tape significative de la dmonstration dune relation entre la probabilit et la frquenceest due Jacob Bernoulli en 1713. Ses travaux furent tays, 150 ans plus tard, par ceux dIrne-Jules Bienaym et de Pafnuty Tchebychev. Et, cerise sur le gteau, le fait que les estimations seraientaussi bonnes que nous le dsirerions, vient de mile Borel en 1909.

THORIES LIESLIDE FAUSSE DU JOUEUR LA LOI DES PROBABILITS

BIOGRAPHIES EN 3 SECONDESJACOB BERNOULLI16541705

IRNE-JULES BIENAYM17961878

PAFNUTY CHEBYCHEV18211894

MILE BOREL18711956

TEXTE EN 30 SECONDESJohn Haigh

Quelles sont les chances de faire 3 paniers sur 10 pendant une priode de temps donn ? longterme, passablement les mmes.

LIDE FAUSSE DU JOUEUR LOI DES PROBABILITSthorie en 30 secondes

Quand une srie de dix lancs de pices de monnaie vous donne chaque fois un rsultat pile, ilest tentant de penser que, la prochaine fois, le rsultat sera probablement face. Les gens disent : Laloi des probabilits indique que pile ou face sont galit, face peut rattraper le coup. Absurdit !Peu importe les rsultats prcdents, les chances que pile ou face tombent la prochaine fois sont galit 50 %. Il en est de mme avec la roulette ou la loterie. Le fait que zro napparaisse paspendant 100 tours naugmente pas la chance quil arrivera la prochaine fois. Dans la loterie italienne,le 53 nest pas apparu pendant deux ans. Cela provoqua des faillites et des suicides. Les pices demonnaie, le plateau tournant de la roulette et les boules de la loterie sont des objets inanims quinont pas la possibilit de garder en mmoire les rsultats prcdents et donc den ajuster lafrquence. Les frquences se dterminent long terme leurs diffrentes probabilits : et cela peutprendre beaucoup de temps ! Toute authentique loi des probabilits est strictement une paraphrasede la loi des grands nombres et ne peut tre utilise pour que les rsultats du pass influencent ceuxdu futur immdiat.

CONDENS EN 3 SECONDESDans les jeux de chance, faire usage de performances antrieures pour parier lavenir est unestratgie perdante.

RFLEXION EN 3 MINUTES chaque essai, pices de monnaie, ds et roulette ont des rsultats galement probables. Des essaisimprobables peuvent survenir : dix pile daffile, douze 7 , aucun nombre au-dessus de 30 parmi les 20 rotations, etc. Il existe tant de choses rares pouvant arriver que certaines peuventsurvenir ( les vnements rares apparaissent souvent ! ). Mais ils ne peuvent en aucune faonaffecter nos performances futures ou nos prdictions.

THORIES LIESLA LOI DES GRANDS NOMBRESLIDE FAUSSE DU JOUEUR DOUBLEMENT

BIOGRAPHIE EN 3 SECONDESGIROLAMO CARDANO15011576


chaque fois que vous jetez une pice de monnaie, les chances dobtenir pile ou face restent lesmmes : mme si vous obtenez plusieurs pile ou face conscutifs.

LIDE FAUSSE DU JOUEUR DOUBLEMENTthorie en 30 secondes

Une roulette europenne est divise en 37 cases, 18 rouges et 18 noires. Une est de couleur verte :le 0. Les paris sur le rouge ou le noir payent enjeu gal. Mettons quun joueur se rsout pariertoujours sur le rouge puis double sa mise aprs une perte. Puisque la chance de rouge est non-zro chaque tournoiement, il est invitable que le rouge surgisse parfois ; peut-tre que le premier rougearrivera la quatrime tentative : il a des pertes de 1, 2 et 4 (total 7), puis un profit de 8, rsultantdun profit net de 1 unit. Cette unit 1 de profit arrive toujours, peu importe combien de temps ilfaudra pour que le premier rouge arrive. Le joueur argumentera quil gagne 1 unit chaque fois que lerouge apparat. Malheureusement pour le joueur, cest faux. Tous les casinos imposent un enjeumaximum, en gnral 100 fois le minimum. Ainsi, aprs sept pertes de valeur 1, 2, 4, 8 16, 32, 64(total 127), les rgles du casino empchent lenjeu demand de 128 units, mme si le joueur possdele capital ncessaire pour faire le pari ! Le joueur peut utiliser ce systme et gagner 1 unit plusieursfois, mais il est invitable qu certaines tapes la valeur que la mise de son systme demande ne soitpas permise ; ses pertes liquideront ses gains.

CONDENS EN 3 SECONDES la roulette, doubler vos mises aprs chaque perte sur un pari noir/rouge est une stratgie perdanteet non gagnante.

RFLEXION EN 3 MINUTESLes roulettes amricaines ont un double zro en plus, mais le versement de la cote est le mme.Dans un cas comme dans lautre, lavantage du casino sur un pari est petit, mais rel. Afin detriompher de cet avantage, il nexiste aucune faon de combiner des diffrents paris sur untournoiement, ou de combiner des paris sur diffrentes rotations. Si le plateau de la roulette est intact,avec tous les rsultats alatoires chaque fois et quun maximum de mises est impos, long terme,le joueur perdra.

THORIES LIESLA LOI DES GRANDS NOMBRESLIDEE FAUSSE DU JOUEUR LA LOI DES PROBABILITS

BIOGRAPHIE EN 3 SECONDESGIROLAMO CARDANO15011576


Ne pariez pas en doublant votre mise : cest un jeu perdu.

LALATOIREthorie en 30 secondes

Imaginez deux longues squences de pile (P) et de face (F), chacune commenant par PPFPFPUne est vritablement alatoire : le rsultat dun lanc rptitif dune pice de monnaie neutre.Lautre ne lest pas : elle est soigneusement choisie par une personne. Existe-t-il une faon de direlaquelle lest, laquelle ne lest pas ? Un simple test dit, qu long terme, pile et face apparatrontsouvent galit dans une squence alatoire. Mais cela nest pas suffisant. Il se pourrait que chaquepaire de rsultats apparaissent (PP, PF, FP et FF), en moyenne, galit aussi souvent que chaqueautre. Et pareillement pour chaque squence triple, quadruple ou plus longue. Mais toutes ne sont passuffisantes, puisquil est encore possible de rencontrer ces conditions artificiellement. La squence laplus simple est PPPPPP Elle est manifestement non alatoire. Mais il y a un autre paramtre : ellepeut tre facilement compresse. La phrase un million de pile dcrit cette squence trssuccinctement et permet quiconque de la communiquer et de la recrer avec une exactitude parfaite.Les squences vraiment alatoires ne peuvent pas tre compresses du tout. La seule faon decommuniquer une squence alatoire quelquun dautre est de lcrire en entier. Il sagit dunedcouverte importante et rcente : lalatoire et lincompressibilit sont essentiellement la mmechose.

CONDENS EN 3 SECONDESCe qui est alatoire est un point central de la science, mais bien difficile dcelermathmatiquement.

RFLEXION EN 3 MINUTESInternet fonctionne sur une squence binaire : longues suites de valeur 0 et de valeur 1 que lesordinateurs peuvent traduire dans tous les programmes et fichiers que nous souhaitons utiliser. Pourune efficacit maximum, ces suites sont compresses autant que possible en utilisant un logiciel decompression de fichiers. Lorsquune srie a t compresse, en en dpouillant tout modle prdictifou rptitif, elle est devenue non distinguable dune squence purement alatoire. Linformationparfaitement compresse est ainsi mathmatiquement identique ce qui est alatoire.

THORIES LIESLA LOI DES GRANDS NOMBRESTHORME DE BAYESALGORITHMESTHORME DINCOMPLTUDE DE GDEL

BIOGRAPHIE EN 3 SECONDES

EMILE BOREL18711956

ANDREY KOLMOGOROV19031987

RAY SOLOMONOFF19262009

GREGORY CHAITIN1947

LEONID LEVIN1948


Quelle squence est alatoire ? Mme les mathmaticiens ne peuvent rpondre.

LE THEORME DE BAYESthorie en 30 secondes

Supposez quun test pour une certaine maladie soit exact 90 %. Maintenant, imaginez que Bob,choisi au hasard, soit test positif. Quelle est la probabilit pour que Bob soit rellement malade ?Vous ne pouvez rpondre cette question ! Vous avez besoin dune information complmentaire,cest--dire de savoir si la maladie est courante. Vous avez besoin de connatre la probabilitpralable quune personne choisie au hasard soit malade. Supposons que 1 % de la population ait lamaladie. Le thorme de Bayes nous indique comment trouver la probabilit davoir une maladiedonne, avec un test positif. Dans un groupe de 1 000 individus, une moyenne de 10 aura la maladie(1 %) et 9 seront tests positifs (vrais positifs). Le reste 990 na pas la maladie et 10 % dentre eux,ou 99, resteront tests positifs ( faux positifs ). Les faux positifs surpassent en nombre les vraispositifs par 99 contre 9, ainsi la cote sera de 11 : 1 contre Bob ayant la maladie. Un vnement peuprobable reste peu probable en dpit de lvidence produite par le test exact !

CONDENS EN 3 SECONDESLe thorme de Bayes vous aide trouver la probabilit quun vnement donne toutes les vidences,mais seulement si vous connaissez la probabilit pralable de lvnement.

RFLEXION EN 3 MINUTESLe nom du rvrend Thomas Bayes, un presbytrien de lAngleterre du XVIIIe sicle, a donn son nomau thorme de Bayes. Son travail ne fut publi que sept ans aprs sa mort. Le thorme de Bayessoulve les questions philosophiques sur la vritable nature des probabilits. En particulier,lapparition de la probabilit pralable dans le thorme de Bayes suggre que vous ne pouvezsignificativement assigner des probabilits un vnement sans dabord faire des essais rpts afinde dterminer la frquence de lvnement.

THORIES LIESCALCULER LA COTELIDE FAUSSE DU JOUEUR LOI DES PROBABILITSLALATOIRE

BIOGRAPHIE EN 3 SECONDESTHOMAS BAYES1702 env.-1761

TEXTE EN 30 SECONDESJamie Pommersheim

La cote quun vnement survienne est le taux du nombre de vrais positifs (9) par rapport auxnombres de faux positifs (99).

ALGBRE & ABSTRACTION

ALGBRE & ABSTRACTIONGLOSSAIRE

associative Proprit dune opration sur des nombres : quand une expression implique deuxoccurrences ou plus de cette opration, lordre dans lequel lopration seffectue na pasdimportance. Par exemple, une multiplication de nombres est associative puisque (a b) c = a (b c).

coefficient Un nombre utilis pour multiplier une variable ; dans lexpression 4x = 8, 4 est lecoefficient, x est la variable. la place de nombres usuels, on peut utiliser des symboles comme apour reprsenter les coefficients. Les coefficients sans variable sappellent coefficients constants outermes constants.

commutative Proprit dune opration sur des nombres : quand lordre est invers, le rsultat estidentique. Par exemple, la multiplication des nombres est commutative puisque 3 5 = 5 3.

constante Un nombre, lettre ou symbole qui reprsente une valeur fixe. Par exemple, dans lquation3x 8 = 4, 3 est le coefficient, x est la variable, tandis que 8 et 4 sont les constantes.

entier Tout nombre entier qui est un nombre de comptage 1, 2, 3, 4, 5, etc., 0, ou les nombres entiersngatifs.

quation diffrentielle Une quation impliquant une fonction inconnue et certaines de ses drives.Les quations diffrentielles sont les outils de base utiliss par les scientifiques pour modeler, enphysique et en ingnierie, les processus physiques et mcaniques.

exposant Le nombre de fois par lequel un autre nombre, connu comme le nombre de base, semultiplie par lui-mme. Dans lexpression 43 = 64, lexposant est 3 et la base est 4. Lexposant estaussi connu sous le nom de puissance.

gomtrie algbrique Branche des mathmatiques qui combine la gomtrie avec lalgbre ; ceciimplique ltude des formes gomtriques cres partir de graphiques de solutions aux quationspolynomiales algbriques.

identit Un lment dans un ensemble qui, combin avec un autre lment dans une opration binaire,a pour rsultat le second lment restant le mme. Par exemple, dans lensemble dentiers positifs olopration est laddition, lidentit est 0. Dans le mme ensemble o lopration est unemultiplication, lidentit est 1.

intersection Dans la thorie des ensembles, nom de lensemble contenant seulement les lmentscommuns deux (ou plus) autres ensembles. Par exemple, dans deux ensembles A et B donns,lintersection dcrit lensemble des entits qui appartiennent prcisment la fois A et B.

nombre rel Tout nombre exprimant une quantit sur une droite des rels ou continuum. Les nombres

rels incluent tous les nombres rationnels (nombres pouvant tre exprimer comme un taux ou unefraction, incluant les entiers positifs et ngatifs et les dcimaux), les nombres irrationnels (cesnombres qui ne peuvent tre crits comme une fraction, comme 2), et les nombres transcendants(comme ).

opration Tout ensemble formel de rgles qui produit une nouvelle valeur pour toute valeur dentreou ensemble de valeurs. Les quatre oprations les plus courantes en arithmtique sont : laddition, lamultiplication, la soustraction, la division.

opration inverse Opration qui inverse leffet dune autre opration. Par exemple, linverse duneaddition est la soustraction, et vice versa, tandis que linverse de la multiplication est la division, etvice versa.

polynme Expression utilisant des nombres et des variables, permettant seulement laddition, lamultiplication et les exposants entiers positifs, par exemple x2 (voir aussi quations polynomiales).

polynme quintique quation polynomiale dans laquelle lexposant le plus haut de loccurrencedune variable est 5.

proprit Une caractristique ou un attribut pouvant tre appliqu une entit. Les proprits nontpas tre physiques en nature ; par exemple les nombres 2, 4, 6, 8 partagent la proprit dtre desnombres pairs.

thorme dincompltude Thorme propos par Kurt Gdel dans lequel il tablit que tout systmede rgles mathmatiques incluant des rgles darithmtique ne peut tre complet. Cela signifie quil yaura toujours des noncs mathmatiques qui ne peuvent tre prouvs ou rfuts en utilisant juste lesrgles du systme.

variable Une quantit pouvant changer sa valeur numrique. Les variables sont souvent exprimespar des lettres comme x ou y, et sont souvent utilises comme espaces rservs dans des expressionset des quations telles que 3x = 6, o 3 est le coefficient, x la variable et 6 la constante.

LESPACE RSERV VARIABLEthorie en 30 secondes

Les scientifiques sont toujours en train de discuter des nombres, mais ils veulent souvent agir sansdfinir exactement leurs valeurs exactes. Par exemple, disons que, dans une pice, il y ait deux foisautant dhommes que de femmes. Il est possible dexprimer cette relation entre les deux nombres sansconnatre leurs valeurs, en utilisant un symbole despace rserv tel que x. Si le nombre dhommes(encore inconnu) dans la pice est x, alors le nombre de femmes est 2 fois x (abrg en gnral par2x). Plus tard, si nous tablissons que x = 7, nous pouvons alors substituer cette valeur dans le butdobtenir le nombre de femmes : 2x = 14. Cette approche abstraite et algbrique est utile en sciences.Si une voiture voyage une vitesse constante v, sur une distance d, pendant un temps t, alors unecertaine relation existe entre les nombres v, d et t, quelles que soient leurs valeurs spcifiques. savoir, la vitesse doit tre gale la distance divise par le temps : v = d/t. Ceci est une loi gnrale,mais, substitue en valeur numrique, elle admet des calculs dans des

Mathématiques en 30 Secondes PDF

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