Mathématiques BTS industriels - decitre.fr · Nous avons ajouté enfin à partir de la page 247...

D E L A G R AV E

Mathématiques BTS INDUSTRIELS Groupements B, C et D

A. BenzidiaE. DanielS. GroetzL. LegryJ.-L. OlivierD. PavkovicE. Sebert-Cuvillier

BTS

PROGRAMMENOUVEAU

extra

it

DELAGRAVE


BTS

Sous la direction de Ludovic Legry, IA-IPR de mathématiques, académie d’Amiens

Abdelaziz Benzidia, professeur au lycée Henri Loritz, Nancy

Estelle Daniel, professeur au lycée Louis Thuillier, Amiens

Sylvain Groetz, professeur au lycée Jean Calvin, Noyon

Jean-Louis Olivier, professeur au lycée Marie Curie, Nogent-sur-Oise

Dragan Pavkovic, professeur au lycée Édouard Branly, Amiens

Emmanuelle Sebert-Cuvillier, professeur au lycée Pierre d’Ailly, Compiègneextra

it

Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf. : loi du 11 mars 1957, alinéas 2 et 3 de l’article 41.Une représentation ou reproduction sans autorisation de l’éditeur ou du Centre Français d’Exploitation du droit de Copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris) constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

ISBN 978-2-206-10053-1© Delagrave, 2014

Éditions Delagrave – 5, allée de la 2e DB – 75015 Pariswww.editions-delagrave.fr

Édition : Anne-Sophie DreyfusMaquette et couverture : Ici et AilleursMise en pages : Laser Graphie et Patrick DesgrezPhotos de couverture : Fotolia.comex

trait

Avant-propos

À la suite de la réécriture des programmes de mathématiques au niveau des classes de seconde, première et terminale du lycée, une évolution voit naturellement le jour en Sections de Techniciens Supérieurs.

Cet ouvrage veut prendre en compte ces nouvelles orientations et propose une appli-cation concrète du nouveau programme des BTS industriels, pour les groupements B, C et D.

➔ Nous avons ainsi toujours souhaité développer la part faite à l’intégration des TICE dans le cadre de l’enseignement des mathématiques. Il s’agit notamment d’user de ces technologies afin de développer le goût et la motivation pour la discipline. Cela doit se faire avec le souci de proposer des activités qui le justifient de façon per-tinente.

➔ De même, pour des élèves ayant fait le choix pour leur orientation de spécialités bien identifiées, nous souhaitons leur communiquer des exercices en relation avec leurs préoccupations professionnelles. Les mathématiques seront alors l’occasion de justifier par exemple l’usage de telle ou telle méthodologie dans telle ou telle situa-tion professionnelle. C’est le sens même de l’activité mathématique qui pourra ainsi être présenté.

➔ Afin de gérer l’hétérogénéité, nous avons fait le choix d’exercices de niveaux variés et vous les trouverez ainsi bien identifiés dans cet ouvrage. Cette organisation devrait vous permettre de travailler de façon progressive.

➔ Des situations typées Brevet de Technicien Supérieur permettront quant à elles de présenter les attendus des examens de fin d’études en mathématiques.

➔ Nous avons ajouté enfin à partir de la page 247 tous les corrigés des exercices des parties « Pour s’entraîner », ainsi que les corrigés indiqués pour ceux des par-ties « Pour maîtriser ». Ceci doit permettre un entraînement de façon autonome au rythme souhaité.

Une équipe d’auteurs enseignants en classes de lycées et dans le supérieur s’est ainsi acquittée d’un travail qui, je le souhaite, pourra correspondre aux préoccupations qui sont les vôtres. Leur but est qu’il vous guide efficacement pour l’obtention de votre diplôme.

Je leur adresse ici tous mes remerciements pour cette réalisation conséquente et per-tinente.

Ludovic Legryextra

it

SommaireANALYSE

Chapitre 1 – Fonctions

d’une variable réelle .....................................................7

Activités.............................................................................................81. Pour faire connaissance avec la fonction ln2. Pour comprendre la résolution d’une équation f(x) = constante

3. Pour faire connaissance avec les fonctions sinus et cosinus

4. Pour comprendre la notion de limite

L’essentiel ..................................................................................... 10

Exercices résolus ..................................................................... 14

Travaux pratiques ..................................................................... 18TP1. Comment rechercher une valeur approchée

d’une solution de l’équation f(x) = k par dichotomie ?

TP2. Comment étudier une fonction rationnelle et ses asymptotes avec Xcas ?

Exercices et problèmes ........................................................ 20

Chapitre 2 – Calcul intégral .............................. 27

Activités.......................................................................................... 281. Pour faire connaissance2. Pour calculer aires et valeurs moyennes3. Pour intégrer par parties

L’essentiel ..................................................................................... 31


Travaux pratiques ..................................................................... 36TP1. Comment approcher une intégrale par la

méthode des rectangles et par la méthode des trapèzes ?

TP2. Comment approcher une intégrale par la méthode de Monte-Carlo ?


Chapitre 3 – Suites numériques ..................... 43

Activités.......................................................................................... 441. Pour faire connaissance2. Pour comprendre la notion de suite géométrique3. Intérêts simples et intérêts composés

L’essentiel ..................................................................................... 46


Travaux pratiques ..................................................................... 51TP1. Comment approcher des nombres avec des

suites et des séries ?

TP2. Comment déterminer la convergence d’une

série de Riemann ? Exercices et problèmes ........................................................ 53

Chapitre 4 – Approximation locale

et globale d’une fonction. Courbes

paramétrées ......................................................................... 57

Activités.......................................................................................... 581. Pour faire connaissance2. Pour comprendre paramètre, variations conjointes et

tracé de courbe paramétrée3. Exemples d’approximation globale

de la fonction exponentielleL’essentiel ..................................................................................... 60Exercices résolus ..................................................................... 61Travaux pratiques ..................................................................... 63TP. Comment mettre en œuvre la méthode

d’Euler pour obtenir une approximation de la fonction exponentielle sur l’intervalle [– 5 ; 5] ?


Chapitre 5 – Fonctions d’une variable

réelle et modélisation du signal ..................... 69

Activités.......................................................................................... 701. Pour faire connaissance2. Pour comprendre la parité et la périodicité3. Pour comprendre les fonctions tangente et

arctangenteL’essentiel ..................................................................................... 72Exercices résolus ..................................................................... 73Travaux pratiques ..................................................................... 74TP1. Comment construire la courbe de

l’arctangente par la méthode d’Euler ?TP2. Autour de la fonction x ↦ arctan(tanx) Exercices et problèmes ........................................................ 75

Chapitre 6 – Séries de Fourier ........................ 79

Activité ............................................................................................ 80 Pour faire connaissance

L’essentiel ..................................................................................... 81Exercices résolus ..................................................................... 82Travaux pratiques ..................................................................... 84TP1. Comment démontrer les formules relatives aux

coefficients de Fourier ?TP2. Comment gérer un cas « pathologique » ?Exercices et problèmes ........................................................ 85

4

extra

it

Chapitre 7 – Équations différentielles .... 89

Activités.......................................................................................... 901. Pour faire connaissance2. Pour comprendre le premier ordre3. Pour comprendre le second ordre4. Le champ des tangentesL’essentiel ..................................................................................... 92Exercices résolus ..................................................................... 93Travaux pratiques ..................................................................... 94TP1. Comment utiliser un logiciel de calcul

formel pour résoudre une équation différentielle pas à pas ?

TP2. Comment déterminer une solution approchée d’une équation différentielle par la méthode d’Euler ?


Chapitre 8 – Transformation

de Laplace ............................................................................101

Activités........................................................................................1021. Pour faire connaissance2. Autour des fonctions par morceauxL’essentiel ...................................................................................103Exercices résolus ...................................................................104Travaux pratiques ...................................................................106TP1. Comment retrouver les théorèmes de

la valeur initiale et de la valeur finale et les appliquer ?

TP2. Comment démontrer les propriétés de la transformée de Laplace ?

TP3. Comment retrouver les signaux de sortie à partir d’une équation différentielle du second ordre ?

Exercices et problèmes ......................................................108

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

Chapitre 9 – Configurations

géométriques ....................................................................113

Activités........................................................................................1141. Pour faire connaissance avec les coordonnées

polaires2. Pour comprendre les coordonnées cartésiennes d’un

point dans l’espaceL’essentiel ...................................................................................115Exercices résolus ...................................................................117Travaux pratiques ...................................................................118TP1. Comment placer des points dans un repère

de l’espace et représenter un solide avec un logiciel de géométrie ?

TP2. Comment construire la section d’un cube par un plan ?


Chapitre 10 – Calcul vectoriel .......................125

Activités........................................................................................1261. Pour faire connaissance avec le barycentre2. Pour comprendre le barycentre de points pondérés3. Pour comprendre la décomposition d’un vecteur

dans une base de l’espace

L’essentiel ...................................................................................127

Exercices résolus ...................................................................129

Travaux pratiques ...................................................................130TP1. Comment déterminer le centre d’inertie d’un

assemblage de solides ?TP2. Comment déterminer le travail d’une force ?TP3. Comment déterminer le moment d’une force par

rapport à un point ?


Chapitre 11 – Modélisation

géométrique .......................................................................137

Activités........................................................................................1381. Pour faire connaissance2. Pour comprendre le modèle par vecteurs et

contraintes3. Pour comprendre le modèle par points de contrôle4. Pour comprendre l’algorithme de De Casteljau5. Pour comprendre le modèle de Riesenfeld

L’essentiel ...................................................................................140


Travaux pratiques ...................................................................142TP1. Comment tracer, à l’aide du logiciel Algobox,

des courbes de Bézier associées à un nombre p quelconque de points de contrôle ?

TP2. Comment construire de jolies figures ?


Chapitre 12 – Nombres complexes ................147

Activités........................................................................................1481. Pour faire connaissance2. Géométrie et nombres complexes

L’essentiel ...................................................................................149


Travaux pratiques ...................................................................153TP1. Comment déterminer des ensembles

de points à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ?

Sommaire

5

extra

it

TP2. Comment visualiser l’image d’une droite ou d’un cercle par une transformation géométrique d’écriture complexe z ↦ az + b/cz + d à l’aide du logiciel Xcas ?


Chapitre 13 – Calcul matriciel .......................159

Activités........................................................................................1601. Pour faire connaissance2. Systèmes et matricesL’essentiel ...................................................................................162Exercices résolus ...................................................................164Travaux pratiques ...................................................................166TP1. Comment utiliser les matrices pour trouver

la pertinence d’une page web ?TP2. Comment estimer une population et résoudre un

système avec Xcas ?Exercices et problèmes ......................................................168

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Chapitre 14 – Statistique descriptive .....171

Activités........................................................................................1721. Pour faire connaissance2. Pour tester la sensibilité des indicateurs aux

valeurs extrêmes3. Série statistique à deux variables L’essentiel ...................................................................................175Exercices résolus ...................................................................176Travaux pratiques ...................................................................178TP1. Comment comparer la qualité de deux

ajustements, interpoler et extrapoler ?TP2. Comment quantifier la qualité de

l’ajustement d’une distribution statistique par la droite de Henry ?

TP3. Comment interpréter l’existence d’une corrélation entre deux événements ?


Chapitre 15 – Probabilités 1 ............................185

Activités........................................................................................1861. Pour faire connaissance2. Pour découvrir la loi binomiale3. Pour découvrir loi uniforme et loi normaleL’essentiel ...................................................................................188Exercices résolus ...................................................................190Travaux pratiques ...................................................................192TP Comment approximer une loi binomiale par

une loi normale et y apporter une correction ?Exercices et problèmes ......................................................193

Chapitre 16 – Statistique inférentielle .....197

Activités........................................................................................1981. Pour faire connaissance2. Intervalle de confiance et incertitude de

mesuresL’essentiel ...................................................................................200Exercices résolus ...................................................................203Travaux pratiques ...................................................................205TP1. Comment évaluer des risques d’erreur ?TP2. Comment construire un test du khi-deux ?


Chapitre 17 – Probabilités 2 ............................213

Activités........................................................................................2141. Pour faire connaissance2. Pour comprendre une chaîne de Markov3. Pour comprendre une loi de PoissonL’essentiel ...................................................................................216Exercices résolus ...................................................................218Travaux pratiques ...................................................................220TP1. Comment déterminer les probabilités de

pannes d’une machine outils ?TP2. Comment déterminer la pertinence des

liens d’une page web ?Exercices et problèmes ......................................................221

Chapitre 18 – Fiabilité.............................................227

Activité ..........................................................................................228 Pour faire connaissance avec le taux d’avarieL’essentiel ...................................................................................229Exercices résolus ...................................................................231Travaux pratiques ...................................................................233TP1. Comment modéliser par une loi

exponentielle à l’aide de GeoGebra ?TP2. Comment modéliser par une loi de Weibull

à l’aide de GeoGebra ?Exercices et problèmes ......................................................234

Chapitre 19 – Plans d’expérience ..............237

Activité ..........................................................................................238Pour faire connaissanceL’essentiel ...................................................................................239Exercice résolu ........................................................................240Travaux pratiques ...................................................................242TP1. Comment choisir la formulation d’un

matériau ? TP2. Comment optimiser un courant d’électrolyse ?Exercices et problèmes ......................................................244

Corrigés des exercices ..........................................247

Sommaire

6

extra

it

CHAPITRE

Pour reprendre contactDans chaque cas, indiquer la bonne réponse.

Questions Réponse A Réponse B Réponse C

La tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction exponentielle a pour équation réduite :

= +y x 1 = −y x 1 = +y xe 1

Soit f la fonction défi nie pour tout t de R par f t t t( ) = − +2 3 2 et g la fonction défi nie pour tout t de R par ( ) = +g t t t22 :

( )′ − = −f 2 5 et ( )′ = −g 2 2

( )′ − = −f 2 14 et ( )′ =g 2 8

( )′ − =f 2 11 et ( )′ =g 2 6

( )+ =→

x xxlim ln 1

0

2 0 +∞ 1

− =→ xx

x

lime 1

0 0 1 +∞

Soit une fonction f défi nie sur R et # sa courbe représentative. La droite T d’équation = +y x1 est la tangente à # au point d’abscisse 0. On suppose que ( ) − −f x x1 0˘ si x 0¯ et que ( ) − −f x x1 0¯ si x 0˘ . La position

relative de # et T est schématisée par :

x

y

1O

1

x

y

1O

1

x

y

1O

1

1

2

3

4

5

4

Approximation locale et globale d’une fonction Courbes paramétrées

Objectifs du chapitre Déterminer, à l’aide d’un logiciel, un développement limité en 0 et à un

ordre donné d’une fonction.

Interpréter graphiquement un développement limité : donner l’équation

réduite de la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe

représentative de la fonction.

Tracer une courbe paramétrée.

Découvrir la notion d’approximation globale d’une fonction. Savoir qu’il

existe différentes approximations possibles pour une même fonction.

CHAP 4 Approximation locale et globale d’une fonction. Courbes paramétrées 57

extra

it

Activités

Dans cette activité, on souhaite approcher la fonction exponentielle par une fonction polynomiale Pn de degré n au voisinage de 0.

1 Première approche : approximation par une fonc-tion polynomiale P 0 constante (de degré 0). P0 doit vérifi er que ( ) ( )= =P 0 exp 0 10 puisque la courbe représentative de P0 et celle de exp doivent coïncider au point d’abscisse 0. Donc la fonction polynomiale P0 est défi nie pour tout x de R par ( ) =P x 10 . Tracer simul-tanément les courbes de exp et P0 sur [– 1 ; 1] à l’aide de la calculatrice.

2 Deuxième approche : approximation par une fonc-tion polynomiale P 1 (de degré 1), c’est-à-dire par une application affi ne. On parle alors d’approximation affi ne.

a. On doit trouver a et b tels que pour tout x de R :( ) = +P x ax b1 . On sait déjà que ( ) ( )= =b P 0 exp 01

puisque la courbe représentative de P1 et celle de exp doivent coïncider au point d’abscisse 0. Expliquer pourquoi ( ) ( )= ′ = ′a P 0 exp 01 . En déduire que la fonc-tion polynomiale P1 est défi nie pour tout x de R par

( ) = +P x x 11 .

b. Soit f la fonction défi nie par ( ) ( )= − −f x x xexp 1 . Calculer la dérivée de la fonction f . Étudier le signe de la dérivée. Dresser le tableau de variation de f et obte-nir son signe. En déduire la position de la droite d’équa-tion = +y x 1 par rapport à la courbe représentative de la fonction exponentielle.

c. Vérifi er ce dernier résultat en traçant simultanément les courbes de exp et P1 sur [– 1 ; 1] à l’aide de la calcu-latrice.

3 Troisième approche : approximation par une fonc-tion polynomiale P 2 (de degré 2). On doit trouver a, b et c tels que pour tout x de R : ( ) = + +P x ax bx c2

2 .

a. P2 est dérivable sur R. Déterminer sa dérivée P2 .P2 est dérivable sur R. On note P2 sa dérivée. Déterminer P2 .

b. Dans la logique précédente, on a les contraintes suivantes sur P2 : P2(0) = exp(0), P92(0) = exp9(0) et P02 (0) = exp0(0).

En déduire que a12

, b 1 et c 1 .

c. Tracer simultanément les courbes de exp et P2 sur [– 1 ; 1] à l’aide de la calculatrice.

4 Quatrième approche : approximation par une fonc-tion polynomiale P 3 (de degré 3). En raisonnant de manière similaire, déterminer a , b , c et d tels que pour tout x de R : ( ) = + + +P x ax bx cx d3

3 2 .

5 Cinquième approche : approximation par une fonc-tion polynomiale P 4 (de degré 4). Déterminer a , b ,c, d et e tels que pour tout x de R :( ) = + + + +P x ax bx cx dx e4

4 3 2 .

6 Vérifi er les résultats avec ceux fournis par Xcas.

On examine la réponse donnée par le logiciel lorsqu’on lui demande de renvoyer l’expression de la fonction polynomiale P3 avec la commande taylor. La traduc-tion mathématique de cette réponse est de la forme

( )+ + + + εx xx x x

6 21

3 23 , où est une fonction défi -

nie au voisinage de 0 qui vérifi e ( )ε =→

xxlim 0

0. Lorsque

l’on écrit ( ) ( )= + + + + εxx x

x x xexp6 2

13 2

3 , on dit que

l’on écrit le développement limité de la fonction exp au voisinage de 0 à l’ordre 3. La fonction polynomiale P3 est la partie régulière de ce développement limité. On l’obtient en convertissant ce développement en poly-nôme à l’aide de la commande convert(…,polynom). On a ensuite demandé au logiciel de tracer sur un même graphique les courbes représentatives des polynômes de Taylor de degrés 0, 1, 2, 3 et 4 et de la fonction expo-nentielle. Plus le degré du polynôme augmente et plus la courbe représentative du polynôme se rapproche de la courbe de la fonction exponentielle ; meilleure est donc l’approximation. Ainsi, on peut obtenir une expression de cette fonction sous la forme d’un polynôme de degré infi ni, ce que l’on appelle une série :

pour tout x R, ∑==

∞

exp( )!0

xxk

k

k

,

où k! = 1 2 3 … (k – 1) k si k 0 et 0! = 1.

Activité 1 Pour faire connaissance

58

extra

it

1 Interpolation de LagrangeCette première méthode consiste à chercher une fonc-tion polynomiale de degré n qui coïncide avec la fonc-tion exp en n + 1 points. On parle alors d’interpolation polynomiale. a. On souhaite dans cette question approcher la fonc-tion exponentielle par une fonction affi ne f (polynomialede degré 1) qui coïncide avec la fonction exponentielle aux points de coordonnées (5 ; exp(5)) et (– 5 ; exp(– 5)). Montrer que la fonction f qui à x associe :

− + +− −

xe e

10e e

2

5 5 5 5

répond à la question posée.

b. On souhaite dans cette question approcher la fonction exponentielle par une fonction g polynomiale de degré 2 qui coïncide avec la fonction exponentielle aux points de coordonnées (5 ; exp(5)), (0 ; 1) et (– 5 ; exp(– 5)). Montrer que la fonction g qui à x associe :

+ − + − +− −

x xe e 2

50e e

101

5 52

5 5

répond à la question

posée. On posera pour cela ( ) = + +g x ax bx c2 et on résoudra un système de trois équations à trois inconnues.c. Avec le logiciel Xcas, pour obtenir la fonction précé-dente, on aurait tapé les commandes :l:=lagrange([–5,0,5],[exp(–5),1,exp(5)]), puis expand (l) pour simplifi er l’expression renvoyée.À l’aide du logiciel Xcas, obtenir la fonction polynomiale h de degré 4 de la fonction exponentielle sur [– 5 ; 5] qui coïncide avec la fonction exponentielle aux points de

coordonnées (5 ; exp(5)), (2,5 ; exp(2,5)), (0 ; 1), (– 2,5 ; exp(– 2 ; 5)) et (– 5, exp(– 5)).d. Reconnaître dans la fi gure ci-dessous les graphes des fonctions exp, f, g et h.

2 Développement de TaylorComme on l’a vu dans la première activité, on peut approcher sur [– 5 ; 5] la fonction exponentielle à l’aide des polynômes de Taylor de degré n (partie régulière du développement limité de exp en 0 à l’ordre n). En s’ins-pirant de l’activité 1, obtenir avec le logiciel Xcas la partie régulière du développement limité de exp en 0 à l’ordre 10 et représenter simultanément sa courbe représenta-tive et celle de la fonction exponentielle sur [– 5 ; 5].

3 Comparaison des deux méthodes On veut comparer les fonctions polynomiales p de degré 10 obtenues dans chacune des deux méthodes. Visualiser les graphes de la fonction qui à chaque x de l’intervalle [– 5 ; 5] associe le nombre ( ) ( )−x p xexp . Commenter les deux graphes obtenus.Pour cela, on utilisera la commande suivante de Xcas : plot(exp(x)–p,x=–5..5).

t 0 0,5 1

( )x t

( )y t

2 Le point ( )( ) ( )N ;f t g t , où f et g sont deux fonc-tions défi nies sur [ ]0 ; 1 , décrit la courbe paramétrée lorsque le paramètre t varie dans l’intervalle [ ]0 ; 1 . f et g sont appelées les fonctions coordonnées. On suppose que l’on a le tableau de variations conjointes ci-dessous :

t 0 0,5 1

( )f t 0 2 – 1

( )g t 2 1 0

Proposer un tracé possible de la courbe .

1 Le point ( )( ) ( )x t y tM , , où x et y sont deux fonctions défi -nies sur [ ]0 ; 1 , décrit la courbe ci-contre lorsque t varie dans l’intervalle [ ]0 ; 1 . Lorsque t 0, le point M est en ( )A 1 ; 2 . Lorsque t 0,5 , le point M est en ( )B 0 ; 1 . Lorsque t 1 , le point M est en ( )C 1 ; 0 . Avec le logiciel GeoGebra, il est possible de voir le point M se déplacer lorsque l’on fait varier le paramètre t à l’aide du curseur. a. Préciser les variations de la fonction x sur l’inter-valle [ ]0 ; 0,5 et sur l’intervalle [ ]0,5 ; 1 .b. Préciser les variations de la fonction y sur l’inter-valle [ ]0 ; 1 .c. Compléter le tableau de variations conjointes ci-après :

x

y

0,2 1O

1 B

M C

At = 0,72

Activité 3 Exemples d’approximation globale de la fonction exponentielle

Activité 2 Pour comprendre paramètre, variations conjointes et tracé de courbe paramétrée


extra

it

L’essentiel

1. Approximation locale d’une fonction Développement limité en 0 d’une fonction

Soit f une fonction et Df son ensemble de défi nition. Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en 0 s’il existe des réels a a an, , , 0 1 et une fonction défi nie sur Df tels que pour tout x de Df : ( ) ( )= + + +…+ + εf x a a x a x a x x xn

n n0 1 2

2 avec ( )ε =→

xxlim 0

0.

Le polynôme + + +…+a a x a x a xnn

0 1 22 s’appelle partie régulière du développement limité à l’ordre

n en 0. La fonction fn défi nie par ( ) = + + +…+f x a a x a x a xn n

n0 1 2

2 constitue une approximation locale polynomiale de degré n de f pour x proche de 0. On note ( ) ≈ + + +…+f x a a x a x a xn

n.0 1 22

Propriété Si f admet un développement limité à l’ordre n 1˘ en 0, de partie régulière + + +…+a a x a x a xn

n0 1 2

2 , alors f est dérivable en 0 et la courbe représentative de f admet une tangente non verticale au point d’abscisse 0, d’équation réduite = +y a a x0 1 .

2. Courbes paramétrées Défi nition

Soit deux fonctions f et g défi nies sur un même intervalle I. L’ensemble # des points M(t) de coordon-nées ( )( ) ( );f t g t , où t appartient à I, est appelé courbe paramétrée. Une représentation paramé-

trique de cette courbe est ( )( )

==

⎧⎨⎩

x f ty g t

, avec t appartenant à I.

La variable t est appelée paramètre. Le point M(t) est appelé point de paramètre t. Si on munit le plan d’un repère orthonormal ( )i jO ; , , on a

� �� ( ) ( ) ( )= +t f t i g t jOM . f et g sont appelées fonctions

coordonnées.

PropriétéSoit ( )tM0 0 le point de # de paramètre t0 appartenant à I.Si f et g sont dérivables en t0 et si le vecteur ( ) ( )= ′ + ′v t f t i g t j( )0 0 0 n’est pas nul, alors la droite passant par le point ( )tM0 0 et de vecteur directeur ( )v t0 est la tangente à # au point tM ( )0 0 .

Variations conjointesPour tracer une courbe paramétrée, il est essentiel de décomposer l’intervalle d’étude en intervalles où chacune des fonctions coordonnées est monotone. Voici les quatre situations de référence.

t

Variations de f

Variations de g

Allure de la courbe #

La fl èche indique le sens de parcours de la courbe lorsque t varie en croissant.

3. Approximation globale d’une fonction• L’objectif est d’approcher sur un intervalle [ ]a b; une fonction f donnée par une fonction poly-nomiale de degré n, Pn , afi n de visualiser la fonction f (on a pour tout x de )[ ] ( ) ( )≈a b f x P xn; ,

ou d’obtenir des calculs approchés, par exemple, lors de calculs d’intégrales ∫ ∫( )( ) ( )≈d df x x P x xa

b

na

b.

On parle alors d’approximation globale (sur un intervalle) et non plus locale (au voisinage d’un point). Dans certains cas, la validité de l’approximation croît avec le degré du polynôme. On a ainsi l’espoir d’approcher la fonction sur un intervalle par un polynôme de degré infi ni, ce que l’on appelle une série. • Une même fonction donnée f peut avoir de nombreuses approximations polynomiales possibles.

L’essentiel

60

extra

it

Exercices résolus

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g défi nie ci-dessus au point d’abscisse 0.

2. Soit # la courbe représentative de g . Préciser la position de la tangente à # au point d’abscisse 0 par rapport à #.

B Exploiter un développement limité pour donner l’équation réduite de la tangente et préciser sa position par rapport à la courbe

RÉSOLUTION1. Comme pour tout réel x,

( ) ( )= + + εg x xx

x x6

34 avec ( )ε =

→x

xlim 0

0,

l’équation réduite de la tangente à la courbe repré-sentative de g au point d’abscisse 0 est y x .

2. Comme pour tout réel x,

( ) ( )= + + εg x xx

x x6

34 avec ( )ε =

→x

xlim 0

0,

( ) − ≈g x xx6

.3

La tangente traverse la courbe

au point d’abscisse 0. Comme 16

03 .a , la courbe est en dessous

de sa tangente à gauche de 0 et au-dessus à droite de 0. Le point d’abscisse 0 est un point d’infl exion.

Déterminer à l’aide d’un logiciel le développement limité en 0 à l’ordre 4 de la fonction g défi nie par :e e

2( ) = − −

g xx x

pour tout réel x .

A Déterminer, à l’aide d’un logiciel, un développement limité en 0 et à un ordre donné d’une fonction

RÉSOLUTION

Le développement limité en 0 à l’ordre 4 de la fonction g s’écrit donc :

( ) ( ) ( )= + + + ε = + + εg x xx

x x xx

x x6

06

34

34 avec ( )ε =

→x

xlim 0

0.

➜ Lorsque f est dérivable en 0 et que toutes ses dérivées successives le sont aussi, on uti-lise la commande ( ) =taylor , 0,f x x n( ) du logiciel Xcas, en spécifi ant l’expression f x( ) et la valeur de n.

➜ On traduit ensuite la réponse du logiciel sous la forme :

0 1 22f x a a x a x a x x xn

n n( ) ( )= + + +…+ + ε avec 0

0x

xlim ( )ε =→

.

➜ Attention au décalage dans l’exposant entre la réponse fournie par Xcas et la traduction mathématique : ( )order_sizex xk * se tra-duit par 1x xk ( )ε− .

Méthode

➜ Lorsque le développement limité de la fonction f en 0 à l’ordre n > 1 est connu, 0 1 2

2f x a a x a x a x x xnn n( ) ( )= + + +…+ + ε

avec 0

xxlim 0( )ε =→

, alors l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est 0 1y a a x= + .

➜ Si 0 1f x a a x a x x xkk k( ) ( )= + + + ε , avec k > 2 et ak 0, alors

la position de la courbe par rapport à la tangente est donnée par le signe de akxk puisque 0 1f x a a x a xx

k( ) − − ≈ . Attention, dans le cas où k est impair, si ak . 0, alors la courbe est en-dessous de la tangente à gauche de 0 et au-dessus à droite de 0, alors que si ak , 0, alors la courbe est au-dessus de la tangente à gauche de 0 et en-des-sous à droite de 0. On parle alors de point d’infl exion.

Méthode

1– 1– 2– 3 2 3

1

– 1

– 2

– 3

2

3

O x

y

#


extra

it

Exercices résolusExercices résolus

Soit # la courbe de représentation paramétrique 2 3

2

2

2{ = − += +

x t ty t t avec t appartenant à 2 ; 2 .[ ]−

Tracer la courbe #.

C Tracer une courbe paramétrée à partir de ses variations conjointes

RÉSOLUTIONSoit f la fonction défi nie pour tout t de R par 2 3 2( ) = − +f t t tet g la fonction défi nie pour tout t de R par ( ) = +g t t t22 .f et g sont dérivables sur R en tant que fonctions polynomiales et on a, pour tout t de R : 4 3( )′ = − +f t t et ( )′ = +g t t2 2 .

Variations de f et de gD’une part, 4 3 0.− +t si et seulement si

34

,t . D’autre part,

2 2 0.t si et seulement si 1.t .

f est donc croissante sur 2 ;34

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

et décroissante sur 34

; 2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

.

g est décroissante sur 2 ; 1[ ]− − et croissante sur 1 ; 2[ ]− .

Points particuliersD’après ce qui précède, ce sont les points de paramètre 2, 1,

34

, 2 .

D’une part : 2 14, 1 5, 34

98

1,125( ) ( )− = − − = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =f f f et 2 2( ) = −f .

D’autre part : 2 0, 1 1, 34

3316

2,062 5( ) ( )− = − = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =g g g et ( ) =g 2 8 .

On placera donc les points ( ) ( ) ( )− − −A 14 ; 0 , B 5 ; 1 , C 1,125 ; 2,062 5 et D 2 ; 8( )− . Vecteur directeur de la tangente à la courbe en ces pointsUn vecteur directeur de la tangente à # au point A est donc : 2 2 2 11 2( ) ( ) ( )− = ′ − + ′ − = −v f i g j i j . Un vecteur directeur de la tangente à # au point B est donc : 1 1 1 7( ) ( ) ( )− = ′ − + ′ − =v f i g j i . La tangente est horizontale. Un vecteur directeur de la tangente à # au point C est donc : ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =3

434

34

3,5v f i g j j .

La tangente est verticale. Un vecteur directeur de la tangente à # au point D est donc : 2 2 2 5 6� � � �� ( ) ( ) ( )= ′ + ′ = − +v f i g j i j . On tracera ces quatre tangentes.

Tableau de variations conjointes

t – 2 – 1 34

2

( )′f t 11 + 7 + 0 – – 5

( )′g t – 2 – 0 + 3,5 + 6

( )f t 9

8

– 5 – 14 – 2

( )g t0 8

3316 – 1

On voit apparaître trois zones où les fonctions f et g sont toutes les deux monotones. On tracera donc successive-ment trois morceaux de courbe : de A vers B (en bleu), de B vers C (en rouge) et de C vers D (en vert), en essayant d’épouser la forme de la tangente en ces points.

➜ Dresser le tableau des variations conjointes à « cinq étages », en faisant apparaître les lignes t f t g t f t g t, , , et( ) ( ) ( ) ( )′ ′ .

➜ Placer les points donnés dans le tableau. ➜ Tracer les tangentes en ces points. ➜ Tracer les morceaux de courbe les uns après

les autres, chaque morceau de courbe corres-pondant à une zone du tableau de variation où f et g sont toutes les deux monotones.

Méthode

x

y

1– 2– 4– 6– 8– 10– 12– 14 O

1

– 1

2

3

4

5

6

7

8

#

D

C

B

A

62

extra

it

Travaux pratiques

Comment mettre en œuvre la méthode d’Euler pour obtenir une approximation de la fonction exponentielle sur l’intervalle [– 5 ; 5] ?TP

Avec Xcas, la commande est la suivante :

D On décide de comparer la fonction polynomiale p1 de degré 10 obtenue par la méthode d’Euler avec les fonctions polynomiales de degré 10 p2 et p3 obte-nues respectivement par la méthode d’interpolation de Lagrange et par le développement de Taylor. Comparer les graphes des fonctions suivantes sur [– 5 ; 5].

x ∞ exp(x) – p1(x) (Méthode d’Euler)

x ∞ exp(x) – p2(x) (Interpolation de Lagrange)

x ∞ exp(x) – p3(x) (Développement de Taylor)

La fonction exponentielle est la fonction f défi nie sur R qui vérifi e ′ =f f et ( ) =f 0 1 .Comme f est dérivable sur R, on a pour tout réel a et pour tout réel h proche de 0 : ( ) ( ) ( )+ ≈ + ′f a h f a hf a (approximation affi ne). Comme ici ( ) ( )′ =f a f a , on obtient :( ) ( ) ( )+ ≈ +f a h f a hf a ,

soit ( ) ( )( )+ ≈ +f a h f a h1 .

A En utilisant l’approximation affi ne précédente avec a 0 et h 0,1 , on peut obtenir une valeur approchée de ( )f 0,1 : ( ) ( )≈ × +f 0,1 1 1 0,1 . Donc ( ) ≈f 0,1 1,1. On note ( )fa 0,1 cette valeur appro-chée. À partir de ( )fa 0,1 , on peut obtenir une valeur approchée de ( )f 0,2 , en prenant a 0,1 et h 0,1 : ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

= +≈ × +≈ × +

0,2 0,1 0,1

0,1 1 0,1

0,1 1 0,1 .

f f

f

fa

Donc ( ) ≈f 0,2 1,12 . On note ( )fa 0,2 cette valeur approchée. 1. Calculer de même ( ) ( ) ( )f f fa a a0,3 , 0,4 , 0,5 et ( )fa 1 . 2. Calculer l’erreur commise en prenant ( )fa 1 comme valeur approchée de 1 e( ) =f .3. Placer dans le plan muni d’un repère (unités gra-phiques 5 cm) les points de coordonnées ;( )( )x f xa , x prenant les valeurs successives 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 et 1. En déduire une première approximation de la courbe représentative de la fonction exponentielle sur l’inter-valle [0 ; 1].

B En raisonnant par récurrence, on peut montrer que pour tout entier naturel n , on a pour tout réel a :( ) ( )+ ≈ × +f a nh f a h n(1 ) , pour h suffi samment petit.

Soit un réel x. En prenant a 0 et hxn

, mon-trer que :

( ) ≈ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f x

xn

n

1 , pour n suffi samment grand.

C À l’aide de la calculatrice, tracer simultanément les courbes représentatives des fonctions qui à x associent

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

x x1

10, 1

100

10 100

, 11 000

1 000

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x (ce sont des

fonctions polynomiales de degrés respectifs 10, 100 et 1 000) et ( )xexp sur l’intervalle [– 5 ; 5].


extra

it

Exercices et problèmes

Approximation locale

1 ✶ Soit f la fonction défi nie sur R par :f x x x( ) ( )= − −1 5 e 2 . On note # sa courbe représenta-tive dans le plan muni d’un repère i j( )O ; , .Cette courbe est représentée sur le graphique ci- dessous.

1 2 3

1

x

y

Oei

ej

1. Un logiciel de calcul formel (Xcas) donne le dévelop-pement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonc-tion f :

Traduire la réponse du logiciel sous la forme ( ) ( )= + + +…+ + εf x a a x a x a x x xn

n n0 1 2

2 ,avec ( )ε =

→x

xlim 0

0.

2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe # au point d’abscisse 0. Représenter cette droite sur le graphique.

3. On veut justifi er qu’au voisinage du point d’abscisse 0, la courbe # est au-dessus de la droite T. Quelle justi-fi cation paraît exacte ?a. 12x² est positif au voisinage de 0.b. x² (x) est positif au voisinage de 0.c. 1 − 7x est positif au voisinage de 0.

2 ✶ Soit f la fonction défi nie sur R par :

f x xx( ) ( )= − +1 e12

cos .

On a tracé ci- contre sa courbe repré-sentative # dans le plan muni d’un repère orthonormal

i j( )O ; , .

1

1

x

y

Oei

ej

Un logiciel de calcul formel (Xcas) donne le développe-ment limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f :

( ) ( )= + ε12

– –3

4

22f x x

xx x , avec ( )ε =

→x

xlim 0

0.

1. En déduire une équation de la tangente T à la courbe # au point d’abscisse 0. Représenter cette droite sur le graphique.

2. Justifi er à l’aide du développement limité de f en 0 que T est au-dessus de # au voisinage du point d’abs-cisse 0.

3 ✶ Soit f la fonction défi nie sur [0 ; + [ par f x x x( ) ( )= −0,25 exp 0,125 2 . On désigne par # la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère i j( )O ; , .

1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, donner le déve-loppement limité à l’ordre 3 en 0 de f.

2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

3. Déterminer la position relative de # et de T au voisi-nage du point d’abscisse 0, pour x positif et illustrer la situation par un schéma.

4 ✶ Soit f la fonction défi nie sur R par f x xx x( ) ( )= − +e 1 e2 . On désigne par # la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère

i j( )O ; , .

1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, donner le déve-loppement limité à l’ordre 2 en 0 de f .

2. En déduire une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

3. Déterminer la position relative de # et de T au voisi-nage du point d’abscisse 0, pour x positif et illustrer la situation par un schéma.

5 ✶✶ On désigne par Pn la partie régulière du développement limité à l’ordre n en 0 de la fonction exponentielle. L’objet de cet exercice est de quantifi er l’erreur commise en remplaçant ( )xexp par ( )P xn sur l’intervalle [– 1 ; 1], pour n variant entre 0 et 4.

1. Dans cette question, on veut obtenir une majoration de l’erreur absolue. Pour cela, on a tracé à l’aide du logi-ciel Xcas les courbes représentatives (page suivante) de chacune des fonctions qui à x associent la valeur abso-lue de P x xn ( ) ( )− exp , pour n variant entre 0 et 4 (en noir pour n =0, en jaune pour n =1, en vert pour n =2, en bleu pour n =3 et en rouge pour n = 4).

Pour s’entraîner CORRIGÉS, p. 247

64

extra

it


Il apparaît à la lecture du graphique que l’erreur maxi-male est atteinte lorsque x 1 . Montrer par le calcul que cette erreur maximale est inférieure à 1,72 lorsque l’on approche exp par P0 , 0,72 lorsque l’on approche exp par P1 , 0,22 lorsque l’on approche exp par P2 , 0,06 lorsque l’on approche exp par P3 et 0,01 lorsque l’on approche exp par P4 .

2. On s’intéresse maintenant à l’erreur relative commise lorsque l’on remplace ( )xexp par ( )P xn sur l’intervalle [– 1 ; 1]. On a ajouté en pointillés noirs la courbe cor-

respondant à la fonction qui à x associe ( )x1

10exp .

Pour chaque valeur de n comprise entre 0 et 4, détermi-ner l’intervalle sur lequel l’erreur relative est inférieure à 10 %, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de x pour

lesquelles : P x x

xn ¯( ) ( )

( )− exp

exp1

10.

Courbes paramétrées

6 ✶ Associer à chaque tableau de variation, la courbe qui lui correspond (voir ci-après).

1. t – 1 0 1

f(t) 2 0 0

g(t)2 2 0

2. t – 1 0 1

f(t) 2 0 0

g(t) 2 0 0

3. t – 1 0 1

f(t)2 2 0

g(t)2 2 0

4. t – 1 0 1

f(t)2 2 0

g(t) 2 0 0

A. B.

1– 1 2

1

2

O x

y

A

C

1– 1 2

1

2

O x

y

A

C

C. D.

1– 1 2

1

2

O x

y

A

C

1– 1 2

1

2

O x

y

A

C

7 ✶ Une courbe plane # est défi nie par la représenta-

tion paramétrique x f ty g t

( )( )

==

⎧⎨⎩

avec t appartenant à

[0 ; 4]. Les variations de f et de g sont données dans le tableau de variation ci-dessous :

t 0 1 4

( )f t 2 3 1

( )g t 2 0


extra

it


2. Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à #

aux points t( )M de paramètres 2, 52

et 3.

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal i j( )O ; , où l’unité graphique est 8 cm. Construire les tangentes

à la courbe # aux points ( )M 2 , ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟M

52

et ( )M 3 .

4. Tracer la courbe #.

10 ✶✶ Soit # la courbe plane défi nie par la représentation

paramétrique x t f t t ty t g t t t( ) ( )( ) ( )

= = −= = − +

⎧⎨⎩

30 2512 12 3

2 3

2 avec t

appartenant à [ ]0 ; 1 . On note t( )M le point de # de coordonnées x t y t( )( ) ( ); .

1. Montrer que le tableau de variations conjointes des fonctions f et g sur [0 ; 1] est le suivant :

t 0 0,5 0,8 1

f t( )2 0 + 11,25 + 0 – – 15

f2(t)6,4

0 5g t( )2 – 12 – 0 + 12

g2(t)3 3

0

2. Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à #


et 1.

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal i j( )O ; , où l’unité graphique est 2 cm. Placer les points ( )M 0 ,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟M

12

et ( )M 1 . Construire les tangentes à la

courbe # aux points ( )M 0 , ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟M

12

et ( )M 1 .


11 ✶✶✶ Soit # la courbe plane défi nie par la représenta-

tion paramétriquex t f t ty t g t t t( ) ( )( ) ( )

= == = − + +

⎧⎨⎩

58 8 3

2

2 avec t

appartenant à [ ]0 ; 1 . On note t( )M le point de # coor-

données x t y t( )( ) ( ); .

1. Étudier les variations des fonctions f et g sur [1 ; 2] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

2. Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à #


et 1.

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal i j( )O ; , où l’unité graphique est 2 cm. Placer les points ( )M 0 ,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟M

12

et ( )M 1 . Construire les tangentes à la courbe #

aux points ( ) ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟M 0 , M

12

et M 1 .

4. Tracer la courbe # .

Dans chaque cas, proposer un tracé possible pour la courbe #, de sorte qu’elle vérifi e les conditions sui-vantes :

1. f g f g( ) ( ) ( ) ( )′ ≠ ′ = ′ ≠ ′ ≠0 0 ; 0 0 ; 4 0 ; 4 0.

2. f g f g( ) ( ) ( ) ( )′ = − ′ = − ′ ≠ ′ =0 1 ; 0 1 ; 4 0 ; 4 0 .

3. f g f g( ) ( ) ( ) ( )′ ≠ ′ ≠ ′ = ′ ≠0 0 ; 0 0 ; 4 0 ; 4 0.

8 ✶ On peut obtenir une équation cartésienne de la courbe plane défi nie par la représentation paramétrique

x t ty t t( )( )

= −= +

⎧⎨⎩

15 4

avec t appartenant à R, par élimination

du paramètre t. On reconnaît alors la droite d’équation cartésienne = −y x9 4 , que l’on sait facilement tracer.De même, on reconnaît dans la courbe plane défi nie par

la représentation paramétrique x t t

y tt

( )( )

= +

=+

⎧⎨⎪

⎩⎪

11

1 2

avec t

appartenant à R, la courbe représentative de la fonction

f défi nie par ( )( )

=+ −

f xx1

1 1 2 .

Obtenir une équation cartésienne des courbes planes défi nies par les représentations paramétriques sui-vantes :

1. x t ty t t( )( )

= += −

⎧⎨⎩

13 4

avec t appartenant à R.

2. x t ty t t( )( )

= += +

⎧⎨⎩

11 2


3. x t ty t t( )( )

= += +

⎧⎨⎩

11

2 avec t appartenant à R.

9 ✶✶ Soit # la courbe plane défi nie par la représentation

paramétrique : x t f t t t

y t g t t t

( ) ( )( ) ( )

= = − + −

= = − + −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 10 1112

2 1

2

2 avec t

appartenant à [ ]2 ; 3 . On note t( )M le point de # de coordonnées x t y t( )( ) ( ); .

1. Montrer que le tableau de variations conjointes des fonctions f et g sur [2 ; 3] est le suivant :

t 252

3

f t( )2 2 + 0 – – 2

f2(t)32

1 1

g t( )2 0 – – 1

g2(t)

1

78

12

66

extra

it


14 ✶✶ Soit f et g les fonctions défi nies par

f x x( ) = cos pour tout réel x et ( ) =−

g xx

11

pour

tout x appartenant à ] [−∞ ; 1 .

1. Visualiser à l’aide d’un logiciel les polynômes de Taylor de degrés 5, 15, 25 et 35 associés à la fonction f . La validité de l’approximation, qui croît avec le degré de ces polynômes, semble-t-elle pouvoir recouvrir R ?

2. Visualiser à l’aide d’un logiciel les polynômes de Taylor de degrés 5, 15, 25 et 35 associés à la fonction g. La validité de l’approximation semble-t-elle pouvoir

recouvrir ] [−∞ ; 1 ou se restreint-elle à un intervalle à préciser ?

15 ✶✶ Appliquer la méthode de Lagrange pour approximer sur [– 5 ; 5] la fonction f défi nie par

( ) =+

f xx

11 2

pour tout réel x , avec 5 points d’inter-

polation, puis 6, 7, 8, 9, 10 et 11. Visualiser sur une même fi gure le graphe de chacun des sept polynômes obtenus ainsi que le graphe de la fonction f . On constate que dès que le degré devient plus grand que 6, des oscillations, appelées oscillations de Runge, apparaissent et sont d’amplitude croissante avec le degré.

i Le phénomène de Runge décrit la situation suivante : la diff érence entre une fonction et son polynôme d’interpo-lation peut être grande, même si le nombre de points tend vers l’infi ni ; si l’on augmente le nombre de points connus, l’interpolation devrait être plus précise. Dans cet exercice, on remarque que ce n’est pas le cas. Plus on prend de points, plus la courbe oscille entre ces points. L’interpolation de Lagrange n’est donc pas toujours une méthode très effi cace. D’autres outils, comme l’interpolation par splines cubiques, donnent de meilleurs résultats : on approche la courbe par morceaux par des polynômes de degré faible pour éviter les oscillations.

12 ✶✶✶ Soit # la courbe plane défi nie par la représenta-

tion paramétrique x t f t t t

y t g t t t

( ) ( )( ) ( )

= = − +

= = − + −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 112

2 1

2

2 avec t

appartenant à [ ]1 ; 2 . On note t( )M le point de #

de coordonnées x t y t( )( ) ( ); .

1. Étudier les variations des fonctions f et g sur [1 ; 2] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

2. Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à # aux points t( )M de paramètres 1 et 2.

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal i j( )O ; , où l’unité graphique est 8 cm. Construire les tangentes à la courbe # aux points ( )M 1 et ( )M 2 .


Approximation globale

13 ✶✶ Soit la fonction f défi nie sur [ [+∞0 ; par ( ) ( )= +f x xln 1 .

1. À l’aide d’un logiciel, déterminer les approxima-tions polynomiales de degré 3 obtenues sur l’intervalle [0 ; 1,5] par la méthode d’interpolation de Lagrange et par le développement de Taylor de la fonction f .

2. Visualiser l’erreur commise en remplaçant f par chacun de ces deux polynômes sur [0 ; 1,5]. Donner la valeur de l’erreur maximale dans chacun des cas.

3. On se demande si l’erreur d’approximation sur [0 ; 1,5] diminue lorsqu’on augmente le degré des approxima-tions polynomiales dans chacune des deux méthodes. Reprendre la question précédente avec les approxima-tions polynomiales de degrés 6 et 12.

16 ✶✶ CORRIGÉS, p. 247 Soit la fonction f défi nie sur { }\ 1R par :

( ) =−

f xx

11

. On note # sa courbe représentative.

1. Dans cette question, on veut montrer que f admet un développement limité à tout ordre en 0.a. Soit x appartenant à R { }\ 1 . Quelle est la nature de la suite u défi nie pour tout entier naturel n par u xn

n ?b. Montrer que pour tout entier naturel n :

+ + +…+ =−

−−

+

x x xx

xx

nn

11

1 12

1

.

c. En déduire que pour tout entier naturel n , il existe une fonction défi nie sur R { }\ 1 , que l’on précisera, telle que :

( )−

= + + +…+ + εx

x x x x xn n1

11 2 ,

avec ( )ε =→

xxlim 0

0.

d. Préciser le développement limité à l’ordre 1 et à l’ordre 2 en 0 de f .

2. Déterminer l’équation réduite de la tangente à # en 0. Préciser la position de cette tangente par rapport à la courbe #.

Pour maîtriser


extra

it


1. Pour tout t appartenant à [ ]0 ; 1 , comparer d’une part ( )g t et ( )−f t1 , d’autre part ( )f t et ( )−g t1 . Quelle transformation du plan transforme t( )M en

t( )−M 1 ? Que peut-on en déduire pour # ?

2. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [ ]0 ; 1 .

3. Montrer que # admet une tangente en chacun de ses points et donner une équation de la tangente à # en chacun de ses points t( )M . On distinguera le cas de la tangente à # en ( )M 0 des autres cas. Préciser en parti-culier l’équation de la tangente à # en ( )M 1 .

4. Lorsque t ] [∈ 0 ; 1 , on note t( )A le point d’intersec-tion de la tangente en t( )M à # avec l’axe des abscisses et on note t( )B le point d’intersection de la tangente en

t( )M à # avec l’axe des ordonnées. Exprimer les coor-données de t( )A et de t( )B en fonction de t .

5. Vérifi er que ( ) ( )+ =OA · OB · 1� ��

t i t j .

6. Exprimer la norme du vecteur � ��

t t( ) ( )A B en fonction de t .

7. Tracer #.

20 ✶✶ On considère la fonction f défi nie sur R par ( ) ( )= −f x x xexp 2 et on note Pn le polynôme de Taylor en 0 de degré n associé à f . À l’aide d’un logiciel, déterminer la plus petite valeur de l’entier n telle que :

f x x P x xn ,∫ ∫( ) ( )−− −

d d 13

3

3

3.

17 ✶✶ Valeur approchée d’une intégrale

Soit f la fonction défi nie sur R par f xx

( ) = −2 e 3

2

. L’objectif de cet exercice est d’obtenir une valeur appro-

chée de l’intégrale f x x∫ ( )−

d0,5

0,5.

1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, obtenir le déve-loppement limité à l’ordre 2 en 0 de f .

2. Calculer x

x∫ −−

13

d2

0,5

0,5. On donnera la valeur exacte

et la valeur approchée arrondie à 10 4 du résultat.

3. Un logiciel de calcul formel donne :

∫ ( ) ≈−

d 0,971 5.0,5

0,5f x x

Évaluer l’erreur d’approximation commise en rempla-

çant f x x∫ ( )−

d0,5

0,5 par

xx∫ −

−1

3d

2

0,5

0,5. On précisera

l’erreur absolue et l’erreur relative.

18 ✶✶✶ Tracer la courbe plane défi nie par la représenta-

tion paramétrique x t t ty t t( )( )

= −=

⎧⎨⎩

3 3

2 avec t R .

19 ✶✶✶ CORRIGÉS, p. 247 Le plan est rapporté à un repère orthonormé i j( )O ; , . Soit # la courbe plane défi nie

par la représentation paramétrique f t t

g t t

( )( ) ( )

== −

⎧⎨⎩⎪ 1

2

2

avec t [ ]0 ; 1 . On note t( )M le point de coordonnées f t g t( )( ) ( ); .

Pour se préparer au BTS a. Vérifi er qu’une équation paramétrique de 3 est :

x t ty t t( )( )

==

⎧⎨⎩ 2

2


On souhaite tracer 3. Pour cela, tracer la parabole d’équa-

tion y x14

2 puis faire la symétrie de cette courbe

par rapport à la première bissectrice d’équation y x .b. On note Dt la tangente à 3 au point Mt de coordon-nées x t y t( )( ) ( ); . On note dt la perpendiculaire à Dt au point Mt. Montrer qu’une équation cartésienne de dt est y tx t t= − + + 23 .

c. Pour t 0 , dt coupe l’axe des abscisses en un point At et l’axe des ordonnées en un point Bt. On appelle It le milieu du segment [AtBt]. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point It. Quel est l’ensemble des points It lorsque t décrit R* ?

21 ✶✶✶ D’après BAC Asie 1998Le plan est rapporté à un repère orthonormé i j( )O ; , .

1. Soit # la courbe dont une représentation paramétrique

est x f t t

y g t t t

( )

( ) ( )

= = +

= = +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

12

( 2)

12

2

2

3


a. Pour tout t appartenant à R, comparer d’une part ( )f t et ( )−f t , d’autre part ( )g t et ( )−g t . En déduire

que # est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.b. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [ [+∞0 ; .c. Préciser la tangente au point de paramètre t 0 .d. Tracer la courbe #.

2. Soit 3 la courbe d’équation cartésienne y x4 .2

68

extra

it

extra

it

D E L A G R AV E


BTS

Cet ouvrage, conforme au programme de mathématiques publié en 2013, s’adresse aux étudiants de 1re et de 2e années des BTS industriels des groupements B, C et D. Il traite tous les modules concernés et a été conçu pour être un outil de travail simple et effi cace.

Les chapitres sont présentés selon la structure suivante :

◗ La page d’ouverture fi xe les objectifs d’apprentissage et propose un QCM

sur les prérequis du lycée.

◗ Les notions sont introduites à travers des activités de découverte, avec un usage

régulier des TICE.

◗ L’essentiel présente de façon synthétique les principales notions à retenir.

◗ Les exercices résolus facilitent l’acquisition des méthodes de résolution

de problèmes mathématiques.

◗ Les travaux pratiques proposent un réinvestissement des notions abordées.

◗ De très nombreux exercices, variés et gradués, permettent un entraînement

progressif vers l’examen.

ISBN : 978-2-206-10053-1

www.editions-delagrave.fr

PROGRAMMENOUVEAU

Mathématiques BTS industriels - decitre.fr · Nous avons ajouté enfin à partir de la page 247...

Documents

Transcript of Mathématiques BTS industriels - decitre.fr · Nous avons ajouté enfin à partir de la page 247...