Mathématiques au cycle 3

Les divisions15 avril 2011- G. Kérouanton

Auto-Evaluation

1. Résoudre des problèmes multiplicatifs permet de donner du sens à la multiplication et à la division.

2. La technique opératoire de la division est indispensable pour résoudre des problèmes de division.

3. Les problèmes de proportionnalité ne sont pas des problèmes qui se résolvent en cycle 2, de toutes les façons ce ne sont pas des problèmes multiplicatifs.

4. Plusieurs procédures de résolution sont recevables pour un problème multiplicatif donné.

5. Il y a quatre catégories de problèmes multiplicatifs rencontrés à l’école élémentaire .

Sommaire1- Les programmes2. Rappel mathématique rapide à

usage des enseignants A - Le champ multiplicatif B- Typologie de problèmes multiplicatifs C- Les divisions

3- Qu’est-ce qu’enseigner la division au cycle 3 ?

A- Améliorer le sens B- Améliorer la technique

1.Les Programmes 2008Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du

programme,

l’élève enrichit ses connaissances,

acquiert de nouveaux outils,

continue d’apprendre à résoudre des problèmes.

Il renforce ses compétences en calcul mental.

Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

Nombres et calculsLe calcul mental

Tables d’addition et de multiplication.

L’entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.

Nombres et calculsLe calcul posé

La maîtrise d’une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable.

Nombres et calculsLe calcul à la calculatrice

La calculatrice fait l’objet d’une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves.

Résolution de problèmes

La résolution de problèmes liés à la vie courante permet

•d’approfondir la connaissance des nombres étudiés,

•de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations,

•de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

ProgressionsSeules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans

chaque colonne.Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la

classe antérieure sont à consolider.

CE2 CM1 CM2

Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre.

Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre .Division euclidienne de deux entiers.Division décimale de deux entiers.

Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. Division euclidienne de deux entiers.Division décimale de deux entiers.Division d’un nombre décimal par un nombre entier.

Le socle commun des connaissances et des compétences

•Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ;•Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ;•Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ;•Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ;•Utiliser une calculatrice ;•Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas.

2.Rappel mathématique rapide à usage des

enseignants

A- le champ multiplicatif La question de la division s’inscrit dans

un champ conceptuel (défini par Vergnaud) plus vaste qui est le champ multiplicatif.

Il recouvre l’ensemble des situations dont le traitement requiert l’utilisation de la multiplication ou de la division.

La multiplication ou la division sont des notion à être interprétées dans le cadre de la proportionnalité.

B- Typologie de problèmes multiplicatifs

Selon la typologie de Vergnaud

1. Problème quaternaire

Multiplication

Division-quotition

Division-partition

Quatrième de proportionnelle

2. Problème ternaire

n fois plus ou n fois moins

Produit cartésien AxB

Configuration rectangulaire

Problème quaternaireDans les cas où un des nombre est égal à 1 Les problèmes de multiplication J’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de

14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ? Les problèmes de division-partition (recherche de la

valeur d’une part) J’ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y

a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ?

 Les problèmes de division-quotition (recherche du nombre de parts)

J’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ?

Dans le cas où aucun des nombres n’est pas égal à 1

6 mètres de tissu coûtent 21€ . Quel est le prix de 9 mètres du même tissu ?

Problème ternaire

n fois plus ou n fois moins

Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que lui. Quel âge a son père ?

Produit cartésien AxBJe possède 3 vestes et 4 pantalons. Combien puis-je former de tenues différentes ?

Configuration rectangulaireUne feuille de cahier a 12 carreaux sur sa largeur et 21 carreaux sur sa longueur. Combien y a-t-il de carreaux sur la feuille ?

C. Les divisions

•La division euclidienne dans l’ensemble des naturels N a = (b x q) + r

appelée division avec reste

•La division dans l’ensemble des rationnels positifs Q a:b = a/b

appelée division sans reste

Vocabulaire et symbolisme

•Quotient entier : ÷

•Quotient euclidien

2. Qu’est-ce qu’enseigner la division au cycle 3?

Améliorer le sens

Pour les élèvesDivision avec ou sans reste

•Division euclidienne ou division avec reste–La potence–L’égalité caractéristique–Quotient euclidien

•Division sans reste–Les deux points–L’égalité caractéristique–Quotient

La division euclidienne

•La division quotition: recherche du nombre de parts.

Le jardinier a 167 tomates. Il prépare des caisses de 36 tomates. Combien de caisses remplit-il?

•La division partition: recherche de la valeur d’une part.

Le voisin a 167 tomates. Il les distribue équitablement entre ses 8 enfants. Combien de tomates aura chaque enfant?

Les grandeurs en jeu

Des cardinaux Des longueurs Des prix Des ordinaux (cases numérotées,

repères sur un segment)

Améliorer la technique opératoire

Les procédures•Niveau 1: simulation de l’action

•Matériel, dessins, représentations

•Niveau 2: calculs

•Additifs, soustractifs, multiplicatifs, mixtes

•Niveau 3: expert

•Recherche des meilleurs multiples du diviseur T1

•Partage des groupements de numération du dividende T2

•Calcul mental

•Calcul instrumenté

Les deux techniques opératoires usuelles de la division euclidienne

Donner du sens à la technique pour permettre aux élèves de bien la comprendre, avant de l’utiliser de manière automatique. Ceci nécessite une contextualisation souvent indispensable.

•T1 Recherche des meilleurs multiples

•T2 Partage des groupements de numération

T1 Recherche des meilleurs multiplesSituations de division quotition et partition.

1. Recherche d’un encadrement du quotient euclidien par une puissance de dix.

2. Construction de tableaux de multiples (complets ou partiels. Utilisant les propriétés de linéarité.)

3. Calculs avec poses des soustractions

4. Écriture de l’égalité caractéristique.

Exemple T1

6658 billes à partager entre 27 enfants.

Quelle est la part de chacun? 6658 billes à ranger dans des sachets

de 27 billes.

Quel est le nombre de sachets?

T2 Partage des groupements de numération

Situations de division partition

Recherche du nombre de chiffres du quotient euclidien

Recherche des chiffres successifs du quotient euclidien

Écriture de l’égalité caractéristique

Exemple T2

Un groupe de 27 enfants va à la loterie. Ensemble ils ont gagné 6658 points. Ils se les répartissent. Quelle est la part de chacun?

Choix

Introduire la division euclidienne dans des situations de type quotition à chaque niveau.

Étendre rapidement à d’autres contextes. Enseigner la technique T1 en CE2. En CM1 les deux techniques peuvent

coexister. Enseigner T2 pour introduire la division décimale de deux entiers.

En CM2 enseigner T2 pour introduire la division d’un nombre décimal par un nombre entier.

Dispositif d’apprentissage

1. Approche2. Construction

1. Familiarisation2. Appropriation3. Apprentissage4. Institutionnalisation

3. Consolidation1. Entraînement2. Réinvestissement

…

Exploitation des manuels scolaire sur la division euclidienne- Période- Titre- Nombre de séances- Objectif- Situation retenue pour la construction- Sens- Procédures envisagées

Retour aux programmes et au cycle 2

Compétences à acquérir au cycle 2

Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000

Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre.

Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier).

Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5

Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples

Résoudre des problèmes très simples relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication.

Observer et décrire pour mener des investigations

Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements, pour des nombres inférieurs à 100

4- La progression dans les différents niveaux d’approche du concept de

division au cycle 2 L’enseignement de la division est bien envisagé

depuis le début du cycle 2 (et même depuis la fin de l’école maternelle), puisque dès ce moment de la scolarité, les élèves sont confrontés à des situations de partage ou de distribution qu’ils résolvent par des solutions personnelles qui évoluent en même temps que les connaissances élaborées par les élèves.

C’est une progressivité des apprentissages qui est à l’œuvre, avec « le souci d’asseoir le sens et la structuration des notions sur les expériences et les savoirs capitalisés antérieurement. »

La place des « concepts quotidiens »

Les élèves ne s’approprient pas les concepts arithmétiques à partir de rien.

Avant tout enseignement des opérations arithmétiques, ils sont susceptibles de résoudre un grand nombre de problèmes à l’aide des seuls concepts quotidiens d’ajout, de retrait, de partage, de groupement qui, pour l’essentiel, trouvent leur origine dans l’action sur les objets.

Ils progressent dans la résolution de ces problèmes à l’aide de ces seuls concepts quotidiens. Une partie du progrès s’effectue donc en continuité avec le progrès des connaissances “ quotidiennes ” des enfants.

Passer à des concepts mathématiques

En revanche, envisager l’appropriation des concepts arithmétiques dans cette seule continuité des concepts quotidiens, c’est sous-estimer les ruptures nécessaires à la conceptualisation arithmétique. En effet, à strictement parler, enseigner une opération arithmétique, c’est créer des situations pédagogiques favorisant la prise de conscience de l’équivalence entre procédures qui fonde cette opération et c’est introduire les écritures appropriées pour symboliser cette équivalence

(“a x b” pour la multiplication et “a : b” pour la division).

Conséquences pédagogiques

Les séquences pédagogiques correspondantes représentent une rupture parce que leur enjeu n’est pas d’obtenir la solution d’un problème mais de prendre conscience que l’introduction d’un nouveau symbole, un « signe opératoire », va offrir la possibilité, selon le contexte, d’obtenir cette solution de diverses manières.

Il s’agit moins d’y résoudre des problèmes que de théoriser leur résolution.

Conséquences pédagogiques Il faut souligner l’importance du moment où le maître

commence à enseigner l’équivalence entre le partage et le groupement et où il enseigne la symbolisation de cette équivalence en introduisant le mot “division” et l’écriture correspondante.

C’est ce moment qui, en toute rigueur, est le point de départ de l’enseignement mathématique de la division à l’école.

Sans enseignement de l’équivalence entre le partage et le groupement et sans symbolisation et verbalisation de cette équivalence ( avec l’écriture “a:b” et le mot “division”), il n’y a pas de conceptualisation de la division.

Introduction et mise en œuvre de la technique opératoire de la division euclidienne

Elle est introduite au CE2, avec un chiffre au diviseur et elle est mise en œuvre dans le cadre de situations variées; de partage et de quotition.

Elle est consolidée au CM1. La division décimale est introduite.