Mathématiques 4 -...

Mathématiques 4e

Livret de corrigés

Rédaction :

Nicole CantelouSophie HuveyHélène Lecoq

Fabienne MeilleFrançoise RaynierPhilippe Nadeau

Jean-Denis Poignet

Coordination :

Jean-Denis Poignet, responsable de formation

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— © Cned, mathématiques 4e�

cc Séquence 1

SÉQUENCE 1Séance 1

CALCUL NUMÉRIQUECe que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de la 5e1) ® 2® 4® – 4˛ – �

�) ® 1,7˛ – 7,1® 1 : 7,1˛ le nombre qui ajouté à 7,1 donne 0

3) ˛ – 1,1® – 10,7® 1,1® 10,7

4) ® 5® – 5® – 12˛ 1�

1)

• On peut essayer successivement les différentes réponses puis conclure :

3 + (–4) = –1

En effet, les nombres 3 et –4 sont de signes contraires.

Comme 4 > 3 , le nombre 3 + (–4)

. a le signe « – »

. sa distance à zéro est 4 – 3 soit 1.

D’où le résultat –1.

• On pouvait également raisonner ainsi :

Le nombre qui ajouté à 3 donne 1 est la différence de 1 et 3 soit 1 – 3 c’est-à-dire – 2.2)On rappelle que deux nombres sont opposés quand leur somme est égale à 0.7,1 + (–7,1) = 0 donc 7,1 et – 7,1 sont opposés.

3) Les nombres 4,8 et – 5,9 sont de signes contraires. Comme 5,9 > 4,8 le nombre 4,8 + (– 5,9) a :• pour signe « – »• pour distance à zéro 5,9 – 4,8 soit 1,1.Si tu ne sais plus comment ajouter deux nombres relatifs, reporte-toi à la séance 3 de la séquence 8 du cours de 5e.On rappelle que la distance à zéro de 3,8 (par exemple) est 3,8 et celle de – 7,8 est 7,8.

4) Rappel : pour soustraire un nombre, on ajoute son opposé. L’opposé de – 3,5 est 3,5On conclut donc que : 8,5 – (– 3,5) = 8,5 + 3,5 = 12.Si tu ne sais plus comment faire une soustraction de deux nombres relatifs, reporte-toi à la séance 6 de la séquence 8 du cours de 5e.


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ccSéquence 1

Exercice 11)Lindsay peut écrire : (– 5,�) × � (– 5,2) + (– 5,2) = – 10,4Lindsay doit trouver – 10,4.�)a) (– 5,2) + (– 5,2) + ( –5,2) = – 15,6 (– 5,�) × 3 = – 15,6b) (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) = – 20,8 (– 5,�) × 4 = – �0,8c) (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) + (– 5,2) = – 36,4 (– 5,�) × 7 = – 36,43)Tous ces produits sont négatifs.4) a) 8 × (– 3) = – �4 b) (– 7) × 9 = – 63c) 3,5 × (– 5) = – 17,5

Les commentaires du professeur :1) Lorsqu’on ajoute deux nombres de même signe, • on obtient un nombre de même signe, • la distance à zéro du résultat s’obtient en ajoutant les distances à zéro des deux nombres.

A la place de la somme (– 5,2) + (– 5,2), Lindsay peut écrire au choix : (– 5,2) × 2 ou 2 × (– 5,2).2) On fait un raisonnement analogue à celui fait dans le 1).3) On constate que les quatre produits de signes contraires que nous avons calculés sont négatifs.4) En suivant le raisonnement observé aux questions précédentes, on peut en déduire que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Cela explique pourquoi les résultats sont négatifs.

Exercice 2A = 4 × (– 7)

A = – �8

B = (– 0,3) × 0,5

B = – 0,15On applique le dernier « Je retiens ». Attention ! 0,3 et 0,5 ont chacun un chiffre après la virgule. Le résultat de 0,3 × 0,5 compte donc 1 + 1 soit 2 chiffres après la virgule.

C = 6,2 × (– 7)

C = – 43,4

D = (– 2,9) × 6

D = – 17,4

Exercice 31) �)On retrouve les mêmes nombres dans chacune des deux zonesbleues (mais pas disposés de la même manière).3)a) ((– 2) + 2) × (– 3) = 0 × (– 3) = 0b) (– 2) × (– 3) + 2 × (– 3) = (– 2) × (– 3) + (– 6)c) On a vu dans le a) que ((– 2) + 2) × (– 3) = 0et dans le b) que ((– 2) + 2) × (– 3) = (– 2) × (– 3) + (– 6).

D’où : (– 2) × (– 3) + (– 6) = 0Noémie a donc raison.Les nombres (– �) × (– 3) et (–6) sont opposés, d’où : (– �) × (– 3) = 6

-3

-3

- 2

-2

-1

-1

× 1

1

2

3

2 3

1 2 3

3 2 1

2 4 6

6 4 2

3 6 9

9 6 3

-1 -2 -3

-3 -2 -1

-2 -4 -6

-6 -4 -2

-3 -6 -9

-9 -6 -3


— © Cned, mathématiques 4e4

cc Séquence 1

4) • Justification du résultat de (−1) × (−2)((– 1) + 1) × (– 2) = 0 × (− 2) = 0 et ((– 1) + 1) × (– 2) = (– 1) × (– 2) + 1 × (– 2) = (– 1) × (– 2) + (– 2)D’où : (– 1) × (– 2) + (– 2) = 0(– 1) × (– 2) est donc l’opposé de (– 2) soit 2. • Justification du résultat de (−3) × (−3)( (– 3) + 3 ) × ( – 3 ) = 0 × ( – 3 ) = 0 et ( (– 3) + 3 ) × ( – 3 ) = (– 3) × (– 3) + 3 × (– 3) = (– 3) × (– 3) + (– 9)D’où : (– 3) × (– 3) + (– 9) = 0(– 3) × (– 3) est donc l’opposé de (– 9) soit 9.5) voir tableau

Les commentaires du professeur : 1) On applique la propriété du signe d’un produit : « le produit de deux nombres de signes contraires est négatif » pour compléter les deux parties bleues.3) a) La somme de deux nombres opposés est égale à 0.b) Il suffisait de calculer le produit de 2 par – 3. On obtenait – 6 étant donné que : • 2 et – 3 ont des signes contraires • le produit de 2 par 3 est égal à 6.

Exercice 4a) (– 3) × (– 5) = 15Justification :

((– 3) + 3) × (– 5) = 0((– 3) + 3) × (– 5) = (– 3) × (– 5) + 3 ( 5)× −

−15

D’où : (– 3) × (– 5) + (– 15) = 0(– 3) × (– 5) est donc l’opposé de – 15, c’est donc 15.b) (– 9) × (– 4) = 36c) (– 2,5) × (– 8) = �0d) 6 × 7 = 42

Remarque : On aurait pu écrire ((–3) + 3) × (–5) plus simplement de la façon suivante : (–3 + 3) × (–5).

Exercice 5A = (– 0,7) × (– 0,4) = 0,�8B = (– 13) × (– 1) = 13C = 0,6 × (– 0,05) = – 0,03

Pour trouver le signe du résultat, on applique les propriétés du signe d’un produit.

Attention, pour le calcul de A et de C, au nombre de chiffres après la virgule !

Remarque importante : on peut se passer des parenthèses autour du premier facteur :

(– 0,7) × (– 0,4) peut s’écrire : – 0,7 × (– 0,4)

(– 13) × (– 1) peut s’écrire : – 13 × (– 1)

Par contre, on ne peut pas se passer de la deuxième paire de parenthèses, car on n’écrit jamais un signe « – » juste après un signe « × ».

Exercice 61) 4,8 × 6,7 = 3�,16�)A = (– 4,8) × (– 6,7) = 3�,16B = (– 4,8) × 6,7 = – 3�,16C = 4,8 × (– 6,7) = – 3�,16

2) On applique les propriétés du signe d’un produit pour trouver le signe du résultat.



ccSéquence 1

Exercice 7A = – 2 + 3 = 1

B = – 2 × 3 = – 6

C = – 2 + (– 3) = – 5

D = – 2 × (– 3) = 6

fl On calcule la somme de – 2 et de 3.On peut également écrire cette somme : (– 2) + 3Comme 2 < 3 le résultat est positif.3 – 2 = 1 ; d’où : – 2 + 3 = 1

fl B s’écrit également : (– 2) × 3On applique la propriété du signe d’un produit.fl On calcule la somme de – 2 et de – 3.On peut également écrire cette somme : (– 2) + (– 3)fl D s’écrit également : (– 2) × (– 3)On applique la propriété du signe d’un produit.

Exercice 8La température à Paris à minuit est : (– 2) × 3 = – 6 soit – 6° C.– 6 > – 10 donc Hugo se trompe. La température à Paris était supérieure à – 10° C à minuit.

De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Séance �Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 91)a) 75 : 5 = 15 Elle aurait perdu en moyenne 15 € sur une semaine. Hugo avait donc raison. Vérification : 15 × 5 = 75.b) 15 : 7 ≈ 2,14 (arrondi au centième)Elle aurait perdu en moyenne environ �,14 € sur une journée.

�)a)(–15) × 5 = –75Le nombre qui multiplié par 5 donne – 75 est – 15.

b) −75

5 doit être par définition le nombre qui

multiplié par 5 donne – 75.

− = −755

15

1)a) On divise 75 par le nombre de semaines.

On obtient la valeur exacte de 15 €.

b)Puis tu divises ces 15 euros par 7 et tu arrondis ce quotient au centième, soit deux chiffres après la virgule, donc au centime près.

Il faut choisir 2,14 et non 2,15 car le chiffre après le 4 était 2, qui est inférieur à 5 ; donc ce quotient était plus proche de 2,14 que de 2,15.

2)a) Le produit (-75) est négatif et le facteur 5 positif, donc, d’après la règle des signes d’un produit : « Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif. », le nombre cherché est négatif.De plus, 75 : 5 = 15D’où : (–15) × 5 = –75.b) On ne connaît pas encore la définition du quotient de deux nombres relatifs, mais il paraît logique que cette définition prolonge celle que l’on connaissait sur les nombres décimaux (vue en 5e).

Il paraît donc logique de définir −755

comme le nombre qui multiplié par 5 donne – 75.

Dans ce cas, on a vu que : −

= −755

15



cc Séquence 1

Exercice 10−

=6

100,6−

−−

=35

75

11

1−= 11−

0

4−= 0

−−

=23

123

−−

=2,4

21, 2

• −610

est le nombre qui multiplié par 10 donne –6.

10 × (–0,6) = – 6 donc − = −6

100 6,

• −−357

est le nombre qui multiplié par –7 donne –35.

(–7) × 5 = – 35 donc −−

=357

5

• 111−

est le nombre qui multiplié par –1 donne 11.

(–1) × (–11) = 11 donc 111

11−

= −

•04− est le nombre qui multiplié par –4 donne 0.

(–4) × 0 = 0 donc 04

0−

=

• −−231

est le nombre qui multiplié par –1 donne –23.

(–1) × 23 = –23 donc −−

=231

23

• −−2 42,

est le nombre qui multiplié par –2 donne –2,4.

(–2) × 1,2 = –2,4 donc −−

=2 42

1 2,

,

Exercice 111)

−7

11 est par définition le nombre qui multiplié par 11 donne – 7.

D’après la propriété du signe d’un produit : un produit n’est négatif que lorsque ses facteurs sont de signes différents.−7

11 et 11 sont donc de signes différents.

−7

11 est donc négatif.

�)

• 7

11− est par définition le nombre qui multiplié par –11 donne 7.

D’après la propriété du signe d’un produit : un produit n’est positif que lorsque ses facteurs sont de même signe.

7

11− et –11 sont donc de même signe.

7

11− est donc négatif.

• −−

7

11 est par définition le nombre qui multiplié par –11 donne –7.

D’après la propriété du signe d’un produit : un produit n’est négatif que lorsque ses facteurs sont de signes différents.−−

7

11 et –11 sont donc de signes différents.

−−

7

11 est donc positif.

Les commentaires du professeur :

On voit que l’on peut déduire le signe d’un quotient de la propriété du signe d’un produit. Il suffit pour cela de revenir à la définition du quotient.



ccSéquence 1

Exercice 12

A ≈ – 0,71

B ≈ 0,16

C ≈ – 0,33

On utilise sa calculatrice.

Etudions le calcul de 57−

:

La calculatrice affiche – 0.7142857143.

La valeur approchée par défaut au centième de 57−

est donc – 0,71.

Remarque : on pouvait ne calculer que 5 : 7 à l’aide de la calculatrice, et précéder d’un signe « – » le résultat obtenu. En effet, d’après la propriété du signe d’un quotient, on sait que

57−

est négatif.

Exercice 13

1)

– 305 ≈ – 300 et 98 ≈ 100

donc : A ≈ −300

100 soit A ≈ –3.

4,8 ≈ 5 et – 2,3 ≈ – 2,5

donc : B ≈ – �.

(– 15,8) ≈ – 16 et (– 7,3) ≈ – 8

donc : C ≈ �.

�)

A ≈ – 3,11

B ≈ – �,09

C ≈ �,16

3)

–3,� < A < –3,1

–�,1 < B < –�,0

�,1 < C < �,�

1) Pour donner des ordres de grandeur des quotients, on choisit des ordres de grandeur du numérateur et du dénominateur qui permettent de calculer de tête les quotients.

On choisit par exemple – 300 et 100 car le quotient −300100

se calcule de tête.Si on avait choisi –310 et 95, le calcul aurait été impossible de tête.Pour déterminer le signe de chacun de ces quotients, on applique la propriété de la règle des signes pour un quotient.

2) Pour ranger dans l’ordre croissant deux nombres négatifs, on compare leurs distances à zéro : celui qui a la plus grande est inférieur à l’autre (ce qui explique pourquoi A < B).A ≈ – 3,112... . comme 2 < 5 : A ≈ –3,11B ≈ – 2,086... . comme 6 > 5 : B ≈ –2,09C ≈ 2,164… . comme 4 < 5 : C ≈ 2,16

3) On utilise les réponses du 2 et on fait attention pour les nombres relatifs négatifs. On peut s’aider avec une droite graduée.



cc Séquence 1

Exercice 14

1)

• Je simplifie les deux fractions :

− = × −×

= −8

6

2 4

2 3

4

3

( )

12

9

3 4

3 3

4

3−= − × −

− ×= −( ) ( )

( )Les deux fractions simplifiées sont égales. Les

fractions −8

6 et

12

9− sont donc égales.

La méthode de Noémie est correcte.

• Je peux aussi écrire les deux fractions avec le même dénominateur 6 × (– 9).

− = − × −× −

8

6

8 9

6 9

( )

( )

12

9

12 6

9 6

12 6

6 9−= ×

− ×= ×

× −( )

Pour comparer −8

6 et

12

9− , il suffit donc de

comparer (–8) × (–9) et 12 × 6.

(–8) × (–9) = 72 12 × 6 = 72.

Ces deux produits sont égaux donc −8

6 et

12

9−

sont égales.

La méthode d’Hugo est correcte.

�) 7

5

1410

=

7 × 10 = 70 5 × 14 = 70

3) Hugo a raison.

5 < 9 donc : 5

9 < 1 11 > 7 donc :

11

7 > 1

5

9 et

11

7 ne peuvent donc pas être égaux.

A l’aide des produits en croix :

5 × 7 = 35 9 × 11 = 99

Les quotients ne sont donc pas égaux.

1)• On sait simplifier des fractions de numérateurs et dénominateurs positifs depuis la 6e. En fait, on va admettre par la suite que cela reste vrai avec des nombres relatifs, à savoir :

a a kb kb

=××

pour a, b et k nombres relatifs (b et k différents de 0).

On pourrait démontrer cette égalité comme on l’a fait en 5e (séquence 6, séance 2), à l’aide de la définition du quotient.

On trouve deux fractions égales.

• On écrit les deux fractions −86

et 129−

au même dénominateur.

6 × (– 9) est un dénominateur adapté.

Il suffit d’écrire : − =− × −

× −8

68

6( )( )

99

et 129−

=×

− ×12 6

9 6.

Pour comparer ces deux fractions qui ont le même dénominateur, on compare leurs numérateurs (–8) × (–9) et 12 × 6.

Pourquoi appelle-t-on ces produits « produits en croix » ?

Si l’on regarde les deux fractions, ces produits sont obtenus « en diagonales »,ce qui fait penser à une croix comme dansla figure ci-contre.

On voit dans cette question que prouver que deux quotients sont égaux revient à prouver que les deux produits en croix sont égaux.

2) Il y une infinité d’autres fractions égales à 75

. Par exemple :

−−

=−−

= = =14 7

575

1410

282010

Comparer les produits en croix 7 × 10 et 5 × 14 revient à comparer

les numérateurs de 7 105 10××

et de 1410 5

××5 , soit 7 × 10 et 5 × 14.

3) Il suffit de voir qu’une fraction est plus grande que 1 et que l’autre est plus petite que 1 pour savoir qu’elles ne peuvent pas être égales.

On utilise une propriété vue en 5e : « la comparaison d’une fraction à 1 » (séance 4, séquence 6 du cours de 5e).

8

6

− 12

9−



ccSéquence 1

Exercice 15

a)

(– 9) × (– 16) = 144 6 × 24 = 144

Les produits en croix sont égaux donc les quotients −9

6 et

24

16− sont égaux.

Vérification :

− × −×

= =9

6

3 3

3 2

( ) 32

−

24

16

8 3

8 2−= ×

× −=

( )

32−

b)

15 × (– 42) = – 630 25 × (– 21) = – 525

Les produits en croix ne sont pas égaux donc les quotients 15

25 et

−−

21

42 ne sont pas égaux.

Vérification :

15

25

5 3

5 5= ×

×= 3

5

−−

= −− ×

=21

42

21

21 2( )

12

c)

10 × 21 = 210 35 × 8 = 280

Les produits en croix ne sont pas égaux donc les quotients 10

35 et

8

21 ne sont pas égaux.

Vérification :

10

35

5 2

5 7= ×

×= 2

7

8

21 est irréductible.

Exercice 16

1)

Le chiffre des unités du produit 432 × 763 est 6 car : 2 × 3 = 6.

�)

Le chiffre des unités du produit 769 × 427 est 3 (car 9 × 7 = 63 et le chiffre des unités de 63 est 3).

Les produits 43� × 763 et 769 × 4�7 ne sont pas égaux.

D’où : 432

769

427

763≠ .

1)

2)

On utilise dans cet exercice la propriété d’égalité des produits en croix dans le sens : « Si les produits en croix sont différents, alors les quotients sont différents ».

Pour cela, on n’a pas besoin de calculer exactement les produits en croix : comme leurs derniers chiffres sont différents, c’est donc que les produits en croix sont différents.



cc Séquence 1

Séance 3Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Exercice 17

A = − × − = − × −

×=15

7

2

11

15 2

7 11

( ) 3077

B = 3

10

7

5

3 7

10 5×

−=

× −×

=( ) 21

50

−

C = − ×−

=−

×−

=− × −

×=5

7

4

5

1

7

4

5 7

1 4

( ) 35

4

On utilise la méthode de Lindsay : « pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ».

On sait depuis la 5e que cette propriété est vraie avec des entiers.

On va admettre dans la suite de ce cours qu’elle est encore vraie avec des nombres relatifs.

Pour calculer A, B et C, il faut faire attention à bien multiplier entre eux numérateurs et dénominateurs.

Étudions par exemple l’expression A :

Le numérateur obtenu est – 15 × (–2).

Cette expression peut aussi s’écrire (– 15) × (– 2).

On sait depuis la séance 1 que : (– 15) × (– 2) = 30.

Exercice 18

A7

3

7

3= − × −

−= − × −

× −=5

8

5

8

( )

( )

3524−

B13 13

= −−

× −−

= − × −− × −

=11 3

2

11 3

2

( )

( )

3326

C =−

× − = × −− ×

= =5

2

5

7

5 5

2 7

( ) 2514

2514

−−

D = × − = × − = × −×

=42

3

4

1

2

3

4 2

1 3

( ) 83

−

On applique la propriété du produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. On n’oublie pas d’essayer de simplifier au maximum la fraction obtenue.

fl D’après la règle du signe d’un quotient : −−

=2514

2514

.

On peut également se dire : −−

=× −× −

=2514

25 114 1

2514

( )( )

fl On pense à écrire 4 comme une fraction : 41

.

On utilise alors la propriété du produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Exercice 19

1) − × = − ×

=2

33

2

33 2−

Or le nombre qui multiplié par 3 donne – 2 est −2

3.

D’où : − = −23

23

�) − × − = − × −

=2

33

2

33( ) ( ) −(−2) == 2

Or le nombre qui multiplié par (– 3) donne 2 est :

23−

.

D’où : − =−

23

23

On utilise ici l’égalité : = − ×

23

3 323

− ×

On utilise ici l’égalité : − × − = − ×

−

23

3( ) ( )23

3

On vient de voir sur un exemple que : − =−

=−

23

23

23

.

À partir de maintenant, on essaiera toujours d’écrire une

fraction sous la forme −ab

ou ab

, où a et b sont des

nombres positifs : on verra plus tard que c’est plus pratique.



ccSéquence 1

Exercice 20

a) 4

5

2

7

4 2

5 7× − = − ×

×= 8

35−

b) − ×

−= ×

×=6

11

5

7

6 5

11 7

3077

c) 54

9

5

1

4

9

5 4

1 9× − = × − = − ×

×= 20

9−

On applique la méthode décrite dans le « Je comprends la méthode » précédent. On commence donc (et une fois pour toute) par régler la question des signes en utilisant les propriétés sur les signes d’un quotient et d’un produit.Si le résultat est négatif, on écrit le signe « – » devant la barre de fraction.Ensuite, on ne travaille plus qu’avec des nombres positifs.

Exercice 211)

Hugo a reçu 2

7 de la somme gagnée.

Il reste alors 12

7− soit

5

7 de la somme.

Noémie reçoit 2

5 de ce qu’il reste, soit :

2

5

5

7× de la somme.

2

5

5

7

2 5

5 7

2

7× = ×

×= Noémie reçoit

27

de la

somme gagnée.

Hugo et Noémie ont reçu la même somme.

�)

1 22

71

4

7

7

7

4

7

3

7− × = − = − =

Il reste à Lindsay 37

de la somme.

3)

Hugo : 2

798

2 98

7

2 7 14

728× = × = × × = soit �8 €.

Noémie a reçu la même somme qu’Hugo, soit �8 €.

Lindsay : 3

798

3 98

7

3 7 14

742× = × = × × =

soit 4� €.

1) On calcule la fraction des 98 € qu’a reçue Hugo, et celle qu’a reçue Noémie.

Ce qui est compliqué, c’est que Noémie a reçu les 25

de ce qu’il

reste. Il reste : 127

77

27

57

− = − = .

2) On applique la règle a

bk

a k

b× =

× ou on considère que 2

est la fraction 21

et on utilise la propriété du produit de fractions.

3) On pense à simplifier la fraction 27×98 car 98 = 7 × 14.

Sinon, il est plus difficile (mais tout aussi juste) de calculer le

quotient 1967

.

Ceci étant, il n’était pas évident de savoir que 98 = 7 × 14 !

Vérification : 28 + 28 + 42 = 98

Exercice 22

A = − × = − ××

= − × ×× ×

= − =248

14

7

124

248 7

14 124

124 2 7

2 7 124

1

1

248

14

1−

B = ×−

= − ××

= − × ×× ×

=22

6

8

11

22 8

6 11

11 2 8

3 2 11

22

6

83

−

C = × − × = − × ×× ×

=2

3

3

4

4

5

2 3 4

3 4 5

25

−

On applique le « Je comprends la méthode » précédent.

L’important est de se souvenir qu’il vaut mieux simplifier au maximum avant d’effectuer les produits car après, les nombres sont grands et il est souvent difficile de voir les simplifications.


— © Cned, mathématiques 4e1�

cc Séquence 1

Exercice 23

1)

4

5

36

100

4 36

5 100

4 36

5 4 25

36125

× =××

×× ×

= =

36

125 des élèves ont été reçus avec mention.

�)

On calcule le total des mentions « bien » et « assez bien » :

13

18

1

6

13

18

3

18

16

18

2 8

2 9

8

9+ = + = =

××

=

Il reste donc pour les « très bien » :

18

9

9

9

8

9

1

9− = − =

1

9 des mentions sont des mentions « très bien ».

3)

36

100 des élèves ont eu une mention donc

64

100n’en ont pas obtenu.

64

100 =

4 16

4 25

16

25

××

=

16

25 des élèves n’ont donc pas eu de mention.

1

9

36

100

36

9 100

4 9

9 4 25

1

25× =

×=

×× ×

=

1

25 des élèves ont eu la mention « très bien ».

1)On pense à écrire 100 sous la forme du produit 4 × 25, ce qui permet de faire des calculs simples et d’obtenir directement la

fraction irréductible 36125

.

2) Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

Comme 18 = 6 × 3, en appliquant la propriété :a

b

k a

k b=

×

×, on pouvait faire le calcul demandé.

3) On pense toujours à vérifier si on peut simplifier les résultats ou décomposer en produit de facteurs les numérateurs et dénominateurs lors de produits de fractions.



ccSéquence 1


Exercice 241)

8 0,25 - 100 - 5 0,1 6 - 0,443

-157

0,75 10 - 0,01 - 0,2- 2,5 4- 715

0,125 16

�)

2 1× =12

( )− × =5 115−

( ) ( )− × − =1 1 1

3)

On ne peut pas compléter l’égalité 0 × ….. = 1 car un nombre multiplié par 0 donne toujours 0 !


1) 8 × 0,125 = 1 ; 43

0 75 1× =, ; – 100 × (– 0,01) = 1

Il semble que le produit des nombres reliés soit égal à 1.

0,25 × 4 = 1 ; – 5 × (– 0,2) = 1 ; − ×−

=157

715

1 ; 616

1× = ; – 0,4 × (– 2,5) = 1

Aide-toi de ta calculatrice et de sa touche fraction pour t’aider si nécessaire.

Exercice 25

1)

L’inverse de 0,001 est 1 000.

L’inverse de – 0,04 est – �5.

L’inverse de – 1 est – 1.

�)

– 0,003 1�5 × (– 3�0) = 1 donc – 0,003 1�5 et – 3�0 sont inverses.

1) On pouvait utiliser la calculatrice.Pour déterminer l’inverse de 0,001, on divise 1 par 0,001.On trouve 1 000.Pour déterminer l’inverse de – 0,04, on divise 1 par – 0,04.

On trouve –25.

Pour déterminer l’inverse de –1, on pouvait bien sûr utiliser la calculatrice, mais aussi faire le calcul de tête :

Le nombre qui multiplié par – 1 donne 1 est – 1 d’après la propriété du signe d’un produit.

2) On pouvait procéder de plusieurs façons :

• multiplier les deux nombres pour voir si leur produit est égal à 1 : c’est bien le cas.

• diviser 1 par – 320 et voir si le résultat obtenu est – 0,003 125

• diviser 1 par – 0,003 125 et voir si le résultat obtenu est – 320.



cc Séquence 1

Exercice 26

1) a)

L’inverse de 0,5 est � L’inverse de – 4 est – 0,�5

L’inverse de −1

12 est – 1� L’inverse de 64 est 0,015 6�5 L'inverse de – 0,004 est – �50.

b)0,5 × 2 = 1 – 4 × (– 0,25) = 1

− × − =1

1212 1( ) 64 × 0,015 625 = 1 (– 0,004) x (– 250) = 1

�) L’inverse de 6 est le nombre qui multiplié par 6 donne 1. C’est donc 16

. 1

6≈ 0,17

L’inverse de 13 est le nombre qui multiplié par 13 donne 1. C’est donc 113

. 1

13≈ 0,08

L’inverse de –15 est le nombre qui multiplié par – 15 donne 1. C’est donc 115−

. 1

15−≈ 0,07−

Exercice 271r

est le nombre qui multiplié par r donne 1.

C’est donc l’inverse de r.

Par définition, l’inverse de r est le nombre qui multiplié par r donne 1.

Par définition du quotient, le nombre qui multiplié par r donne

1 est 1r

.

Remarque :

On peut retrouver cela à l’aide d’un produit de fractions :

rr

rr

rr

rr

× = × =××

= =1

11 1

11

r et 1r

sont effectivement inverses.

Exercice 28

1) L’inverse de 2

3 est le nombre qui multiplié par

23

donne 1.

3

2

2

3

3 2

2 31× = ×

×= donc 3

2 est l’inverse de 2

3.

11

7

7

11

11 7

7 111

−× − = × −

− ×=( )

( ) donc

117−

est l’inverse de −711

.

− ×−

= − ×× −

=8

13

13

8

8 13

13 81

( ) donc

−813

est l’inverse de 138−

.

�) b

a

a

b

b a

a b× = ×

×=1 donc b

a est l’inverse de a

b.

Les commentaires du professeur : On voit dans cet exercice que pour obtenir l’inverse d’une fraction, il faut « intervertir » numérateur et dénominateur.



ccSéquence 1

Exercice 29

nombre 4 –53

7

11

5

−2

7

1

0 25− ,

1

8

inverse1

4

1

5−73

5

11

7

2−– 0,25 8

opposé – 4 5 − 37

−11

5

2

7

1

0 25,–

1

8

Exercice 30

Quentin effectue une longueur de piscine en :

1 : 11

7 minutes soit

7

11 minutes.

Si Quentin veut parcourir 44 longueurs, il va donc

mettre : 447

11

44 7

11

4 11 7

114 7× = × = × × = ×

soit �8 minutes.

On pouvait également écrire que Quentin fait une longueur en

(1 : 117

) minute, donc 44 longueurs en (44 : 117

) minutes.

On pouvait également utiliser un tableau de proportionnalité :

temps en minutes

44

1 ?

nombre de longueurs parcourues117 7

11x

Exercice 31

1)

a) 15

0 25, = 60

151

0 25×

, = 60

151

0 25

15

1

1

0 25

15 1

1 0 25

15

0 25× = × =

××

=, , , ,

b)

− × =−

× =− ×

×=

−13

1

5

13

1

1

5

13 1

1 5

13

5

�) a

b

a

b

a

b

a

b× = × =

××

=1

1

1 1

1

ab

×1

et a

b sont deux nombres égaux.

3) Diviser un nombre décimal relatif non nul par un autre nombre décimal relatif non nul revient à le multiplier par son inverse.

1)a)La calculatrice affiche 60 pour les deux calculs.

On peut prouver que les deux expressions sont égales en utilisant la propriété du produit d’écritures fractionnaires.b)Ce que l’on a vu dans le a) est également vrai avec un nombre négatif (ici, – 13).

2)Ce raisonnement est en fait vrai pour tous les décimaux relatifs a et b (b ≠ 0).

3) Ce que l’on a vu dans la question précédente se traduit par le fait que : « Diviser un nombre décimal relatif non nul par un autre nombre décimal relatif non nul revient à le multiplier par son inverse ».



cc Séquence 1


Exercice 321)

Je ne trouve pas de nombre entier, ni de nombre

décimal, qui multiplié par 2

3 donne

5

7.

J’ai cherché également une fraction, mais je n’ai pas trouvé !

�)

2

3

15

14

2 15

3 14

2 3 5

3 2 7

5

7× = ×

×= × ×

× ×=

Quentin a raison : 15

14 multiplié par

2

3 donne

5

7.

3) 2

7

5

7

3

3

× ×× ×

=5

2 d’où :

2

3

3

7

5

7× ×

×=5

2

1)

Il ne paraît pas évident, a priori, de trouver un nombre qui

multiplié par 23

donne 57

.

Si on cherche le nombre qui multiplié par 2 donne 5, on trouve 2,5.

23

2 5 57

× =,?

Il est impossible d’écrire ? sous la forme d’un décimal car ? est

le nombre qui multiplié par 3 donne 7, c’est-à-dire 73

.

73

n’est pas un décimal ( 73

2 333= , ...)

Comment allons-nous faire ?

2) On calcule le produit de 23

et de 154

.

On trouve 57

.

C’est donc le nombre cherché !

Comment Quentin a-t-il fait pour trouver ?

3) Pour « se débarrasser » du facteur 2 au numérateur, on le fait apparaître en tant que facteur de ?

Ainsi, si l’on multiplie 23

par 5 37 2

××

, on peut simplifier par 2 et

par 3 et obtenir alors 57

.

On se rend alors compte que le nombre cherché est :

5 37 2

××

c’est-à-dire : 57

32

23

×

inverse

de

‚



ccSéquence 1

4)

Et si ce que l’on a vu sur l’exemple précédent était toujours valable ?

Dans ce cas, on aurait :

8

3

11

5

8 5

3 11

40

33: = ×

×=

Vérifions pour voir si c’est juste :

40

33

11

5

40 11

33 5

8 5 11

3 11 5

8

3× = ×

×= × ×

× ×=

Le quotient de 8

3 par

11

5 est donc bien

40

33.

5)

Si c’est le cas, on devrait avoir :

a

b

c

d

a

b

d

c: = ×

Vérifions-le :

a

b

d

c

c

d

a

b

d

c

c

d

a d c

b c d

a

b×

× = × × = × ×× ×

=

D’où a

b

d

c× est bien le nombre qui multiplié par

c

d donne

a

b.

Conclusion : a

b

c

d

a

b

d

c: = ×

a

b

c

d

a

b

d

c

a

b cd

: = × = × 1

Diviser un nombre relatif en écriture fractionnaire par un nombre relatif non nul en écriture fractionnaire revient à le multiplier par son inverse.

4)

On essaie de voir si cela marche encore avec un autre exemple.

Dans ce cas, le nombre cherché serait 83

511

115

×

inverse

de

‚

soit 4033

.

On vérifie en faisant le produit de 4033

et de 115

.

On essaie alors de généraliser :

Le quotient de ab

et de cd

serait-il égal à :

ab

dc

inverse decd

×

‚

On a réussi à démontrer que le quotient de ab

et de cd

est bien

le produit de ab

et de l’inverse de cd

.

?



cc Séquence 1

Exercice 33 On peut commencer par calculer Aou B.Calculons par exemple A :A est le nombre qui multiplié par

34

donne 97

. C’est donc par

définition 97

: 34

.

97

: 34

= 97

9 47 3

3 3 47 3

127

×43

=××

=× ××

=

On continue ainsi de suite …

Exercice 34

A =−

= × −= −××

=7

13

2

5

7

13

5

2

7 5

13 2:

35

26−

B =−

−=

−×

−=

××

=4

3

9

5

4

3

5

9

4 5

3 9:

20

27

On applique la propriété du quotient de deux relatifs en écriture fractionnaire.

Exercice 35

C = = × = ××

= × × ×× ×

=49

25

7

10

49

25

10

7

49 10

25 7

7 7 5 2

5 5 7:

145

D = − = − × = − ××

= −× ×

= −4

58

4

5

1

8

4 1

5 8

4

5 2 4:

110

E =

−

= × − = − ××

= − × ××

=

4723

4

7

3

2

4 3

7 2

2 2 3

2 7

67

−

F = = × = ××

=452

4

1

2

5

4 2

1 5

85

On applique la propriété du quotient de deux relatifs en écriture fractionnaire.

L’inverse de 8 est 18

On pense, une fois que l’on s’est ramené à un produit, à essayer de simplifier au maximum, avant d’effectuer le produit.



ccSéquence 1

Exercice 36Le nombre choisi par Ali est le nombre qui

multiplié par 4

5 donne 52.

D’où : N = 5245

525

4

52 5

4

4 13 5

465= × = × = × × =

Le nombre choisi par Ali est 65.

On a utilisé la définition du quotient de 52 par 45

.

On peut également écrire que N est égal à 52 : 45

.

Exercice 37

1) Je calcule le volume maximum d’eau que peut contenir cet aquarium.5

9 multiplié par ce volume est égal à 250.

Ce volume est donc : 25059

2509

5

250 9

5

5 50 9

5= × = × = × ×

soit 450 L

Hugo se trompe : il ne peut pas mettre au moins 500 L d’eau dans cet aquarium.

�)

a)

Si hM est la hauteur d’eau maximale en dm que peut contenir l’aquarium et VM le volume maximal d’eau en dm3 qu’il peut contenir, on a :

VM = 15 × 5 × hM soit VM = 75 × hM

Comme : VM = 450 dm3 (car 1 L = 1 dm3)

450 = 75 × hM soit hM = 450

75 d’où : hM = 6 dm.

La hauteur maximale d’eau est 6 dm.

b)

Si h est la hauteur d’eau en dm qu’il y a actuellement et V le volume d’eau correspondant en dm3 :

V = 75 × h d’où : 250 = 75 × h

D’où : h = = ××

=250

75

25 10

25 3

10

3La hauteur d’eau qu’il y a actuellement est de

10

3 dm, soit environ 3,3 dm (valeur arrondie au

cm près).

1) Le volume maximal d’eau que peut contenir l’aquarium est

le quotient de 250 par 59

.

On pouvait aussi écrire ce volume sous la forme d’un quotient,

c’est-à-dire sous la forme : 250 : 59

.

On pouvait utiliser d’autres méthodes, par exemple :

19

de l’aquarium correspond à 50 L donc 99

correspondent à

9 × 50 soit 450 L.

2)

On utilise la formule du volume d’un pavé droit.

Si L, l et h sont les dimensions d’un pavé droit, son volume V est :

V = L × l × h

b) Si un résultat ne peut être donné sous forme décimale, pense à utiliser les fractions et à simplifier le résultat pour répondre aux questions.


— © Cned, mathématiques 4e�0

cc Séquence 1


Exercice 381)

a)

Il semble que Noémie se trompe, car la calculatrice ne donne pas 1 comme résultat.

Je sais que sa méthode n’est pas correcte puisque

si Noémie avait voulu par exemple calculer 1

2

1

2+ ,

elle aurait trouvé 2

4 (donc

1

2) avec sa méthode,

ce qui est faux puisque le résultat est 1.

b)

Multiples de 25 :

�5 ; 50 ; 75 ; 100 ; 1�5.

Multiples de 10 :

10 ; �0 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80.

Plus petit multiple commun à 25 et 10 : 50.

A = 32

25

3

10

32 2

25 2

3 5

10 5

64

50

15

50

64 15

50+ = ×

×+ ×

×= + = +

A = 7950

Attention à ne pas confondre les propriétés :

• Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

• Pour additionner deux nombres en écriture fractionnaire, il ne faut pas ajouter leurs numérateurs et leurs dénominateurs.

Il suffit, comme le dit Ali, de mettre les écritures fractionnaires au même dénominateur.

On parvient à la fin de cette question à ajouter les fractions

3225

et 310

en exprimant ces deux fractions à l’aide du même

dénominateur, le plus petit possible : 50.On aurait également pu ne pas réfléchir, et chercher à exprimer les deux fractions à l’aide du même dénominateur 25 × 10 soit 250.

Ainsi : 3225

310

32 1025 10

3 2510 25

320250

75250

395250

+ =××

+××

= + =

Ensuite, on aurait simplifié : 395250

5 795 50

7950

=××

= .

Les deux méthodes sont justes, mais la première est plus rapide car il n’y a pas de « gros » calculs à faire.

�)

M = +3

4

5

6

M =××

+××

3 3

4 3

5 2

6 2

M = +9

12

10

12

M =+9 10

12

M1912

=

N =−

+−7

3

5

6

N =− ×

×+

−7 2

3 2

5

6

N =−

+−14

6

5

6

N =− + −14 5

6

( )

N19

6= −

P

P

P

P

= −−

=××

−−

= −−

=− −

7

3

3

67 2

3 2

3

614

6

3

614 3

6

( )

P17

6==

Les commentaires du professeur : Le plus petit multiple commun à 4 et 6 est 12.




© Cned, mathématiques 4e — �1

ccSéquence 1

Exercice 39

A

A

A

A

A35

18

= − + −

= − ××

+ − ××

= − + −

= − + −

4

9

3

24 2

9 2

3 9

2 98

18

27

188 27

18

( )

=

A3518

=

−

−

B

B

B

B

B

= − −

= +

= ××

+

= +

= +

3

8

5

163

8

5

163 2

8 2

5

166

16

5

166 5

16

B1116

=

C

C

C

C

C

= − −

= +

= ××

+

= +

= +

54

55

1

4

55 5

1 5

4

525

5

4

525 4

5

C295

=

D

D

D

D =6

12

= − +−

+

= − − +

= − ××

− ××

+ ××

− − +

1

2

2

3

3

41

2

2

3

3

41 6

2 6

2 4

3 4

3 3

3 48

12

9

1126 8 9

125

12

D

D

= − − +

= −

D =55

1122−

Exercice 40

F

F

F

= − +

= − +

= − +

2

5

3

52

5

3

52 3

5

F15

=

G

G

G

G

= − − −

= − +

= − ××

+ ××

= − +

4

7

3

54

7

3

54 5

7 5

3 7

5 720

35

21

35

G135

=

Calcul de F :

Attention : il ne faut pas calculer 25

35

+ puis ensuite calculer l’opposé du nombre obtenu.

En effet, on ne cherche pas à calculer : − 25

35

+

mais à

calculer − +2

535

et ce n’est pas la même chose.

Le résultat du calcul de F n’est donc pas – 1.

Calcul de G :

Pour soustraire −35

, on ajoute son opposé : 35

.

Exercice 41

K

K

K

= +

= ××

+ ××

= +

5

6

4

95 3

6 3

4 2

9 215

18

8

18

K2318

=

L

L

L

= −

= ××

− ××

= −

13

12

4

913 3

12 3

4 4

9 439

36

16

36

L2336

=

2 L K= × = × = ××

= =223

36

2 23

36

2 23

2 18

23

18×

Lorsqu’on demande de montrer qu’une expression est par exemple le double d’une autre, on commence par essayer de simplifier les deux expressions.

Ensuite, on peut par exemple essayer de calculer le double de l’une des expressions et essayer de retrouver l’autre.

Ici, en calculant 2 × L , on arrive à retrouver K.


— © Cned, mathématiques 4e��

cc Séquence 1


Exercice 421)

A = ×

+

3

2

4

9

5

7

1

4:

A = ××

+ ×

3 4

2 9

5

7

4

1

A = × ×× ×

+ ××

3 2 2

2 3 3

5 4

7 1

A = +2

3

20

7

A = ××

+ ××

2 7

3 7

20 3

7 3

A = +14

21

60

21

A7421

=

La troncature au dixième de 74

21 est 3,5 donc le

résultat du calcul est supérieur à 3.

�)

B est le produit du quotient de 53

par 27

par la

somme de 43

et de 3.

1)

Lorsqu’on effectue un calcul contenant des parenthèses, on commence par calculer « l’intérieur » des parenthèses.

On commence donc par effectuer le produit de 32

par 49

, ainsi

que le quotient de 57

par 14

.

On calcule ensuite la somme de 23

et de 207

.

Remarque : la somme de 32

4

9× et de 5

7

1

4: pouvait s’écrire

sans parenthèses (revoir éventuellement la règle de priorité n°2 vue en 5e).

2)

B est un produit dont les facteurs sont 53

:27

et 43

+

3 .

Le premier est le quotient de 53

par 27

.

Le deuxième est la somme de 43

et de 3.



ccSéquence 1

Exercice 43

S = ×

+ −

4

5

3

25

8

3

S = ××

+ −

4 3

5 2

5

1

8

3

S = × ××

+ ××

−

2 2 3

5 2

5 3

1 3

8

3

S = + −

6

5

15 8

3

S = +6

5

7

3

S = ××

+ ××

6 3

5 3

7 5

3 5

S = +18 35

15

S5315

=

�)

D est le quotient de la somme de 47

et de 23

par

le produit de 4 par 311

.

Il est écrit que S est la somme de …S est donc une somme dont les termes sont décrits dans la fin de la phrase :

• « du produit de 45

par l’inverse de 23

» : 45

×

32

• « et de la différence de 5 et de 83

» : 5 −

83

S = ×

+ −

43

83

32

5

Le plus petit multiple non nul commun à 5 et 3 est 15.On écrit donc les deux fractions avec le même dénominateur 15.

On essaie de simplifier la fraction 5315

mais on n’y parvient pas.

Exercice 44

1)

C = ×

−

= ××

− ×

= −1

3

4

7

3

117

1 4

3 7

3

11

1

7

4

21

3

7:

77

4 11

21 11

3 3

77 3

44

231

9

231

35

231

7 5

7 33= ×

×− ×

×= − = = ×

×= 5

33

�)

Ce calcul est le produit de la différence de 35

et 23

et de la somme de 5 et de 78

.



cc Séquence 1

3)

13

4

20

9+ ×

= 1+ 3 4 5

4 3 3

× ×× ×

= 1 + 5

3 =

3

3

5

3+ =

8

3

4

5

3

10: =

4

5

10

3× =

4 5 2

5 3

× ××

= 8

3 Il est exact que : 1

3

4

20

9+ ×

= 4

5

3

10: .


1) Il est écrit que C est la différence entre …

C est donc une différence dont les termes sont décrits dans la suite de la phrase. Les termes de C sont :

• « le tiers de » 47

: 13

× 4

7

• « le quotient de 311

par 7» : 3

11:7

C = ×

−

13

747

311

:

Pense à mettre les termes entre parenthèses !

Exercice 45

1)

a)

147

− représente la fraction du budget qu’il lui

reste après le 1er investissement.

b) 2

31

4

7× −

représente la fraction de son

budget qu’elle a perdue à cause du �e investissement.

c) 4

7

2

31

4

7+ × −

représente la fraction totale

de son budget qu’elle a perdue avec ses deux investissements.

a) Le budget de Lindsay est représenté par la fraction 1.

Lindsay perd ensuite 47

de son budget en faisant son premier

investissement. Il lui reste donc : 1 −47

de son budget.

b) On utilise la question précédente : Lindsay perd ensuite les

23

de ce qui lui restait, soit : 23

47

× −

1 .

c) On utilise de nouveau la question précédente car on calcule la somme des pertes, soit :

47

1+ × −

23

47



ccSéquence 1

�)a) 1

4

7− =

7

7

4

7− =

37

b) 2

31

4

7× −

= 2

3

3

7× =

2 3

3 7

××

= 27

c) 4

7

2

31

4

7+ × −

= 4

7

2

7+ =

67

16

7− =

7

7

6

7− =

17

Il reste à Lindsay un septième de son budget.

3) Comme il lui reste deux euros, 2 € représentent

1

7 de son budget.

2 × 7 = 14.

Le budget fixé par Lindsay pour acheter des actions en bourse était de 14 €.

Pour le calcul des expressions des questions b) et c), on n’oublie pas de calculer d’abord ce qui se trouve à l’intérieur des parenthèses.

Exercice 46

a) 14

127

× = 1 12

4 7

××

= 4 3

4 7

××

= 37

b) 3259

3 25

3 3× = ×

×= 25

3

c) 41

3

12

3

1

3

13

3+ = + =

La moitié de 413

+

est 1

2

13

3× soit

136

.

d) 55

4

20

4

5

4

15

4− = − =

Le double de 554

− est donc :

215

4

2 15

2 2× = ×

×= 15

2

a) On n’oublie pas d’écrire que 12 = 4 × 3 afin de simplifier la fraction avant d’effectuer les produits.

b) On effectue ce type de calcul depuis la 6e. On pense à simplifier la fraction en écrivant : 9 = 3 × 3.

c) On veut calculer la moitié de 4 +13

.On peut alors :

• soit commencer par calculer 4 +13

puis on multiplie le

résultat obtenu par 12

(ou on le divise par 2).

• soit écrire l’expression complète : 12

412

133

136

× +

= × =13

d) On applique la même méthode que pour la question précédente.

Pour calculer 2154

× , on pense à écrire que : 4 = 2 × 2.



cc Séquence 1

Exercice 471)

1 1A

a b= ×

1B a b= ×

1C a b= +

1 1D

a b= +

La somme des inverses de a et de b

L’inverse de la somme de a et de b

L’inverse du produit de a et de b

Le produit des inverses de a et de b

�)

A

A

= ×−

= − ××

1

5

1

31 1

5 3

A115

= −

B =× −

1

5 3( )

B115

−=

C =+ −

1

5 3( )

C12

=

D

D

= +−

= −

1

5

1

33

15

5

15

D2

15−=

3)

A

A

= ×

= ××

1

4

8

34 2

4 3

A23

=

B

B

=×

=

1

438

132

B23

=

C

C

C

=+

=+

=

1

438

1328

38

1358

C835

=

D

D

= +

= +

1

4

8

33

12

32

12

D3512

=

4) L’inverse d’un produit est le produit des inverses de ses facteurs.En effet :le produit des inverses de a et b est

1 1

a b× .

1

a b× est l’inverse du produit de a et de b.

1 1 1 1 1

a b a b a b× = ×

×=

×L’inverse du produit a × b est donc égal au produit des inverses de ses facteurs a et b.

On utilise dans cette démonstration la propriété du produit de deux écritures fractionnaires.On parle ici de deux nombres relatifs a et b différents de 0, car l’inverse de 0 n’existe pas.

Remarque : Cette règle n’est pas vraie pour une addition, c’est-à-dire que la somme des inverses de deux nombres non nuls n’est pas égale à l’inverse de la somme de ces nombres.



ccSéquence 1

Exercice 48

AABCAC HB= × =

×=

××

2

163

154

2

16 153 4

2

AABC =

× × ×× =

4 33 44 5

2

20

2 soit AABC = 10 cm2.

AABCBC AK AK

= × =×

2

254

2

On a donc :

254

210

×=

AK

25

420× =AK

AK = = × = × = × ××

=20254

204

25

20 4

25

4 5 4

5 5

16

5

AK = 165

cm

L’aire d’un triangle est la moitié du produit de la longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.On peut donc calculer l’aire de ABC à l’aide de AC et HB.On trouve 10 cm².

On peut aussi calculer l’aire du triangle ABC à l’aide de AK et BC.On sait que cette aire est égale à 10 cm².

254

× AK est le nombre qui divisé par 2 donne 10.

254

× AK est donc égal à 2 × 10 soit 20.

AK est le nombre qui multiplié par 254

donne 20. C’est donc,

par définition, le quotient 20254

c’est-à-dire 20425

× .



cc Séquence 1


Exercice 491)

A = − ×5

3

4

3

11

7

A = − ××

5

3

4 11

3 7

A = ××

−5 7

3 7

44

21

A = −35

21

44

21

A = − 9

21

A = 37

−

Quentin a raison.

�)

B = × −4

6

1

3

15

27

B = × −2

3

1

3

5

9

B = −2

9

5

9

B = − 3

9

B13

= −

1)

La multiplication a priorité par rapport à la soustraction donc

on doit d’abord effectuer le produit de 43

et de 117

.

Pour soustraire deux fractions, on les écrit à l’aide du même dénominateur.

Noémie a effectué la soustraction en premier, voilà pourquoi son résultat est faux.

2) On commence par essayer de simplifier les fractions qui peuvent l’être.

46

23

= et 1527

59

=

Ensuite, on effectue le produit 23

1

3× .

On calcule la différence des deux fractions obtenues.

On simplifie au maximum la fraction.

Exercice 50

A = − × −

2

3

5

32

3

5

A = − × −

2

3

5

3

10

5

3

5

A = − ×2

3

5

3

7

5

A = −2

3

7

3

A = −5

3

A53

= −

B = − ×

3 42

3

1

12:

B = −

×9

3

8

3

12

1

B = ×1

3

12

1

B12

3=

B 4==

C = + + ×1

3

1

6

1

3

1

6

C = + +1

3

1

6

1

18

C = + +6

18

3

18

1

18

C = 10

18

C59

=



ccSéquence 1

D = −

−2

3

5

18

2 2

D = −4

9

25

18

D = −8

18

25

18

D = − 1718

E = − ×9

12

4

8

5

6

E = − ×3

4

1

2

5

6

E = −3

4

5

12

E = −9

12

5

12

E = 4

12

E13

=

F =+

−

278

1811

F =+

−

168

78

1111

811

F =

238311

F = ×23

8

11

3

F25324

=

Exercice 51

A désigne l’aire en cm2 de la surface bleue.

A = × × + × + ×1

2BG AG AF FE BC BE

A = × × + × + × +

1

2

5

6

3

5

2

3

3

5

4

7

5

6

2

3

A = × ×× × ×

+ ××

+ × +

1 5 3

2 3 2 5

2 3

3 5

4

7

5

6

4

6

A = + + ×1

4

2

5

4

7

9

6

A = + + × × ×× ×

1

4

2

5

2 2 3 3

7 2 3

A = + +1

4

2

5

6

7

A = + +35

140

56

140

120

140

A = 211140

L’aire de la surface bleue est égale à 211140

cm�.

L’aire totale est la somme de l’aire du triangle rectangle ABG, du rectangle AGEF, et du rectangle BCDE.

La multiplication a priorité par rapport à l’addition.

On pense à décomposer les facteurs pour avoir les fractions avec des termes les plus petits possibles.

Pour calculer cette somme, on effectue le produit des trois dénominateurs pour obtenir le dénominateur commun aux trois fractions.

La fraction finale n’est pas simplifiable car 211 n’est divisible ni par 5, ni par 2 (et donc ni par 4), et ni par 7 (140 étant égal à 4 × 5 × 7).



cc Séquence 1

Exercice 52

A =+

−=

××

+ ××

××

− ××

=+

−

13

34

54

73

1 43 4

3 34 3

5 34 3

7 43 4

412

912

1512

2812

A = − = × − =

131213

12

13

12

12

131−

A est un entier relatif.

Pour démontrer que A est un entier relatif, on calcule A.

On effectue les calculs au numérateur et au dénominateur, comme s’ils étaient entre parenthèses, car ils sont prioritaires.

Rappel :

13

34

54

73

13

34

54

73

13

34

54

73

+

−=

+

−

= +

−

:

1312

1213

13 1212 13

1×−

= −××

= −

Exercice 53

A = + +3

7

5

6

5

14

A = ××

+ ××

+ ××

3 6

7 6

5 7

6 7

5 3

14 3

A = + +18

42

35

42

15

42

A = 68

42

A =3421

B = − −3

7

5

6

5

14

B = − −18

42

35

42

15

42

B = − 32

42

B = − 1621

C = ×3

7

5

6

5

14:

C = × ×3

7

5

6

14

5

C = × × ×× × ×

3 5 2 7

7 2 3 5

C = 1

D = ×

3

7

5

6

5

14:

D =

3

7

25

84:

D = ×3

7

84

25

D = × ××

3 7 12

7 25

D = 3625

Exercice 54

A = ++

= + = + =11

212

1152

12

5

75

A = 1,4

BA

= ++

+

= ++

= ++

= + = + =11

21

212

11

11

1

175

11

125

15

12

1712

B ≈ 1,41

CB

= ++

++

= ++

= ++

= + = + =11

21

21

212

11

11

1

11712

112912

112

29

4129

C ≈ 1,414

Les commentaires du professeur : L’astuce pour ne pas avoir des calculs interminables dans cet exercice consiste à réutiliser les résultats des calculs précédents.

L’astuce par exemple pour calculer B consiste à voir que 21

212

++

est égal à 1 11

212

+ ++

et donc à 1 + A. On remplace

ensuite A par 75

.



ccSéquence 1


Exercice 55

A = 22

25300

9

10200

19

2080× + × + ×

A = 22 300

25

9 200

10

19 80

20

× + × + ×

A = 22 25 12

25

9 20 10

10

19 4 20

20

× × + × × + × ×

A = 264 + 180 + 76 = 520

La masse d’eau dans cette salade est de 520 g.

La masse de la salade est 300 + 200 + 80 soit 580 g.

520

580

52

58

2 26

2 29= = ×

× =

26

29

La masse d’eau dans cette salade représente 2629

de la masse totale.

On ne peut dans un premier temps que calculer la masse d’eau contenue dans la salade, ce qui correspond à l’expression A.

On simplifie chacune des trois fractions au maximum.

Dans chaque cas, on obtient un nombre entier.

On obtient la masse d’eau contenue dans cette salade.

On calcule ensuite la fraction de la masse d’eau par rapport à la masse totale de cette salade.


— © Cned, mathématiques 4e3�

cc Séquence 1

Exercice 56

1) 10100

59

100100

10100

+ × −

�) 110100

59

100100

10100

− + × −

3) M = 110100

59

100100

10100

6− + × −

:

1) Tu dois écrire la somme des fractions du versement à la commande et du versement à la livraison.

Le prix à la commande est 10100

du prix total.Le reste à verser après la commande était de 100 % – 10 % soit :

100100

10100

−

Le prix à la livraison est 59

de ce reste, soit :

59

100100

10100

× −

La somme des deux est donc : 10100

59

100100

10100

+ × −

2) La fraction totale du prix est 1, soit l’intégralité du prix, donc il fallait soustraire à 1 l’expression trouvée à la question précédente, sans oublier de mettre des parenthèses pour respecter l’ordre des opérations.

3) Comme il y a 6 mensualités, on divise l’expression trouvée à la question précédente par 6.

4)

M = − + ×

= − + ×

1

10

100

5

9

90

1006 1

1

10

5

9

9

10: : 66 1

1

10

5

106 1

6

106= − +

= −

: :

M = −

= −

= −

= × = ×× ×

=16

106 1

3

56

5

5

3

56

2

5

1

6

1

5 3

2

2: : :

11

15

Chaque mensualité représente 115

du prix total.



ccSéquence 1

Exercice 57

Noémie a perdu 1

3 de son capital en janvier, il lui

en reste donc 2

3 à la fin janvier.

Au mois de février, elle gagne un quart du capital qui lui restait à la fin janvier.

Elle gagne donc : 2

3

1

4× de son capital initial.

Fin février, elle possède donc : 2

3

2

3

1

4+ ×

2

3

2

3

1

4

2

3

2 1

3 4

2

3

2 1

3 2 2

2

3

1

6

4

6

1

6

5

6+ × = + ×

×= + ×

× ×= + = + =

On a : 5 < 6 donc : 5

6 < 1

Noémie a donc perdu de l’argent.

Il reste à Noémie 23

de son capital à la fin du mois de janvier

car 113

23

− =

Comme elle gagne à nouveau de l’argent au mois de février, il s’ajoute à l’argent qu’il lui restait à la fin du mois de janvier.

Exercice 58

1)

A= 11

4

3

4

3

51

1

4

3 3

4 51

1

4

9

20− + ×

= − + ××

= − +

A = 20

20

5

20

9

20

20

20

14

20

6

20− +

= − = = 310

�)

Ali consomme un quart de son forfait de téléphone la première semaine. Ensuite, il utilise les trois cinquièmes du reste de son forfait. Quelle fraction de son forfait lui reste-t-il à la fin du mois ?

1) On commence par les calculs entre parenthèses, puis on applique la priorité de la multiplication par rapport à l’addition. Ensuite, on met toutes les fractions au même dénominateur et on effectue en commençant par le calcul entre parenthèses.On pense à simplifier le résultat, 6 et 20 étant tous les deux des nombres pairs.

2) On peut trouver une infinité de problèmes dont la résolution peut s’effectuer grâce au calcul précédent.

Pour le problème, on peut remarquer que 3

4 est le reste d’une

quantité de laquelle on a enlevé 1

4 car : 3

414

1+ = .

Exercice 59La fraction S de la somme empruntée que Lindsay doit encore rembourser le 3e mois est :

140

100

4

5

40

100− − ×

S = − − × = − − × ××

= − − =140

100

4

5

40

1001

40

100

4 8

1001

40

100

32

100

100

100

5

5−− −40

100

32

100

S28

100=

Le 3ème mois, il reste à Lindsay �8 % de la somme totale empruntée à rembourser.



cc Séquence 1

Je m’évalue1) ®

8

3 ®

−8

3® 6 ˛ – 6

�) ˛ – � ® – 5

® 5 ® 2

3) ® – 9 ®

23

3® − 23

3 ˛ 9

4) ˛

13

® 2

3

® 77

45 ®

13

28

5) ® 24,50 ®

9

11

˛ 16,�5 ® 13

24

6) ® 1 ˛

94

˛ 32

2

®

6

6

7) ®

−7

12 ®

12

7

˛ 712

® 2

7

1) L’expression que l’on cherche à calculer est :

− × = − × = −×

= −× ×

= −4123

432

4 32

2 2 32

6

2) On calcule l’expression proposée.

4 4 5 2

3 7 2 4

16 10

21 8

26

132

× −( ) − ×− × −( ) + × −( ) = − −

−= − = −

3) A = − × −

+ = × + = =55

3

2

3

5 5

3

2

3

27

39

Pour calculer − × −

55

3, on peut commencer par chercher

le signe de ce produit. Il est positif car les deux facteurs sont négatifs.

On effectue ensuite le produit 55

3× .

4) On calcule le produit de 10

9 et de 3

5 puis on le divise par 2.

5) Calculons la fraction de la somme de départ qu’il reste à Noémie après avoir acheté les bonbons et fait des tours de manège :

11

3

1

8

24

24

8

24

3

24

13

24− − = − − =

13

2430

13 30

24

13 6 5

6 4

65

416 25× = × = × ×

×= = ,

6) 32

3

3

2

3

2

9

42 = × =

On peut écrire : 32

3

2

3

2

2

× =

.

7) On souhaite calculer la somme des inverses de – 2, – 1, de 1, de 2, de 3 et de 4. On calcule donc :

1

2

1

1

1

1

1

2

1

3

1

4

1

2

1

1

1

1

1

2

1

3

1

4−+

−+ + + + = − − + + + +

1

3

1

4

4

12

3

12

7

12+ = + =



ccSéquence 1

8) ® a = 4 et b = 2 ® a = – 2 et b = 4

˛ a = � et b = 4 ® a = 1 et b = 3

9) ®

2

9 ®

4

5

˛ 415

® 2

3

10) ˛ oui ® non

8) Pour chacun des 4 cas, on peut faire un test de l’égalité :a b

3 5

2

15+

−= −

Pour aller plus vite, on pouvait transformer le membre de gauche :

a b a b a b a b

3 5 3 5

5

3 5

3

5 3

5 3

15+

−= − = ×

×− ×

×= −

On cherche ensuite pour quelles valeurs de a et b on a :5a – 3b = –2.

9) Cette question est difficile. Elle ressemble beaucoup à l’exercice 48.

L’aire du triangle est

13

49

2

× soit

4272

.

Elle est aussi égale à :

59

2

× h

D’où : 59

4

27× =h

h est donc le quotient : 42759

427

95

415

= × = d’où h

42759

427

95

415

= × =

10) Le carré du quotient de a par b est : a

b

2

.

Le quotient des carrés de a et de b est : a

b

2

2.

Les deux expressions sont-elles égales ?

a

b

a

b

a

b

a

b

= × =2 2

2 La réponse est oui !



cc Séquence 2


TRIANGLE : MILIEUX ET PARALLELESCe que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de la 5e1) ˛ E est le milieu de [AC]˛ (DB) est la médiatrice de [AC]® (AC) est la médiatrice de [BD]® ABCD est un losange

2) ˛

IJ

BC

O

˛

I J

A

BC

37°

® I J

BC

˛ I

J B

C

(d)

1)

• E est le milieu de [AC] et (DB) est perpendiculaire à (AC) en E, donc (DB) est bien la médiatrice de [AC].

• On ne sait pas si E est le milieu de [BD] (il n’y a pas de codage), donc on ne peut pas affirmer que (AC) est la médiatrice de [BD].

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c’est un losange. On ne sait pas si E est le milieu de [DB] donc on ne peut pas en déduire que ABCD est un losange. En revanche, ABCD est un cerf-volant car une diagonale est la médiatrice de l’autre.

2)• Les diagonales du quadrilatère IJBC se coupent en leur milieu donc IJBC est un parallélogramme.

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.

(IJ) est donc parallèle à (CB).

• Les angles correspondants AIJ et ACB∑ sont égaux donc les droites (IJ) et (CB) sont parallèles.

• On ne sait pas si IJBC est un rectangle (il faudrait qu’il ait un angle droit de plus) donc on ne peut pas prouver que (IJ) et (BC) sont parallèles.

• Les droites (IJ) et (CB) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (d). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. (IJ) est donc parallèle à (CB).



ccSéquence 2

3) ˛

10 20 15

6 12 9®

24 4 26

18 3 20

4)

˛ ABAC

35

=

® AC

AB=

3

5

® AB = 3 cm et AC = 5 cm

˛ AB = 3

5 AC

3)

• Le premier tableau est un tableau de proportionnalité car on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le même nombre 0,6 :

610

1220

915

0,6= = =

• En revanche, le deuxième tableau n’est pas un tableau de

proportionnalité car : 1824

34

0 75= = , mais 2026

0 75≠ , .

4)

• AB = 3 × AI et AC = 5 × AI donc : ABAC

35

35

=××

=AIAI

• 35

AC =3

AI = 3 AI = AB5

5× × × donc : AB =35

AC

Attention :

ABAC

35

= ne signifie pas que AB = 3 cm et AC = 5 cm.

En effet, si par exemple AB = 6 cm et AC = 10 cm, on a bien :

ABAC

610

35

= = .

Exercice 11) (IJ) semble parallèle à (CB) sur chaque figure.

2) Sur chaque figure, il semble que :

IJ = BC

2

3) Sur ma figure, il semble à nouveau que :• (IJ) soit parallèle à (CB)

• IJ = BC

2.

4) Non, Noémie a tort. Il faut faire une démonstration pour être sûr que c’est toujours vrai.

1) 2) 3)

Pour ces questions, on observe et on dit ce qu’on voit, ce qui nous semble vrai (sans le démontrer). Ceci s’appelle « faire une conjecture ».

On peut écrire : IJBC2

= ou bien : BC = 2 × IJ

4)

Une conjecture n’est pas toujours vraie. Pour pouvoir affirmer qu’une conjecture est toujours vraie, il faut faire une démonstration !

C’est ce que nous allons faire dans l’exercice 3.

Exercice 22)

a) Les droites (IJ) et (BC) semblent toujours être parallèles.

b) IJ semble toujours être la moitié de BC.

A l’aide de Geocned, on voit que la conjecture semble être toujours vraie, car déplacer les points A, B, et C revient à construire des centaines et des centaines de triangles sur une feuille de papier. On est donc de plus en plus convaincu que la conjecture est toujours vraie, mais on ne peut toujours pas l’affirmer : il faut faire une démonstration !

C’est ce que nous allons faire dans l’exercice suivant.



cc Séquence 2

Exercice 31)

A

M

B

JI

C

2)On sait que : • J est le milieu de [AC].• J est le milieu de [IM] (car M est le symétrique de I par rapport à J).Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.On en déduit que AICM est un parallélogramme.3)On sait que : AICM est un parallélogramme.Or, un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.On en déduit que (AI) est parallèle à (MC) et comme A, J et B sont alignés, on conclut que (IB) est parallèle à (MC).4)On sait que : AICM est un parallélogramme.Or, un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur.On en déduit que : AI = MC.Comme AI = IB, on conclut : IB = MC.5)On sait que : IB = MC et que (IB) est parallèle à (MC).Or, si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.On en déduit que : IBCM est un parallélogramme.

Pour rédiger une démonstration, on peut suivre la démarche suivante :• On écrit la partie : « On sait que ». Elle correspond aux données de l’énoncé que l’on va « utiliser ».• On écrit la propriété ou le théorème ou la définition utilisé(e).• On écrit la conclusion en utilisant les lettres de la figure.

• On utilise une propriété qui permet de caractériser un parallélogramme (vue en 5e).

• On réutilise dans cette question le résultat prouvé dans la question précédente (AICM est un parallélogramme).La conclusion de la partie précédente devient la partie « on sait que » de cette question.

Il faut penser au fur et à mesure de l’exercice à coder la figure.Par exemple, à la fin de la question 4, on doit rajouter le codage qui correspond aux égalités de longueurs : AI = MC et IB = MC.

Une astuce pour rendre ta figure plus claire consiste à repasser en couleur les deux parallélogrammes AICM et IBCM.



ccSéquence 2

6)On sait que : IBCM est un parallélogramme.Or, un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.On en déduit que : (IM) est parallèle à (BC) et que : IM = BCComme J est le milieu de [IM], on peut conclure que : • (IJ) est parallèle à (BC)

• IJ = IM

2 = BC

2 On vient donc de démontrer la conjecture établie dans l’exercice 1 puis dans l’exercice 2.

Exercice 41) Le quadrilatère IJCK est-il un parallélogramme ?

A

B C

I

K

J

2) Le quadrilatère IJCK semble être un parallélogramme.

3) On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

On en déduit que : (IJ) est parallèle à (BC).

4)

On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et K est le milieu de [BC].


On en déduit que : (IK) est parallèle à (AC).

5)

On sait que (IJ) est parallèle à (BC) et que (IK) est parallèle à (AC).

Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

On en déduit que : IJCK est un parallélogramme.

1)

Soigne ta figure et pense à mettre les codages correspondant aux données de l’énoncé.

3) Dans cette question, le point K n’intervient pas dans la démonstration.

4)

Dans cette question, le point J n’intervient pas dans la démonstration.

5)

« En déduire » signifie qu’il faut te servir des résultats que tu viens de démontrer pour répondre à cette question.

Ici, on a montré que (IJ) est parallèle à (BC) et que (IK) est parallèle à (AC), et à partir de ces deux informations on démontre que IJCK est un parallélogramme.



cc Séquence 2

6)

Voici une autre idée :

J’aurais pu prouver que : (IJ) // (BC)

et que : IJ = BC

2 en utilisant les propriétés 1 et 2.

Comme K est le milieu de [BC],

on a : KC = BC

2On a également : IJ =

BC

2 donc KC = IJ.

Le quadrilatère non croisé IJCK a donc deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c’est donc un parallélogramme.

6)

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc d’après les propriétés 1 et 2 :

(IJ) // (BC) et IJ = BC2

On utilise ensuite une « propriété de reconnaissance » d’un parallélogramme.

On aurait également pu prouver que : (IK) // (AC) et

IK = AC2

.

Exercice 5

1)

2)

On sait que : Dans le triangle BCD, M est le milieu de [CD] et N est le milieu de [BC].

Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

On en déduit que : MN BD

2= = 8

2 soit MN = 4 cm.

A

B C

M

N

D

8 cm

3 cm

xy

z



ccSéquence 2


B C

M

D

8 cm

3 cm

x

La construction du rectangle n’est pas immédiate.On peut commencer par tracer un segment [BC] de 3 cm puis une demi-droite [Cx) perpendiculaire à (BC) en C.

On cherche à construire D sur [Cx) tel que : BD = 8 cm.Comme BD = 8 cm, D est sur le cercle de centre B de rayon 8 cm.D est donc le point d’intersection de ce cercle et de [Cx).

Le point A est le point d’intersection de deux demi-droites :• une demi-droite [By) perpendiculaire à (BC) en B• une demi-droite [Dz) perpendiculaire à (DC) en D.

A

B C

D

3 cm

x y

z

Le quadrilatère ainsi construit a trois angles droits, on sait donc d’après une propriété vue en 5e que c’est un rectangle.

2)On applique la propriété 2.


Exercice 61)

A

B C

I J

J semble être le milieu de [AC].2) J semble toujours être le milieu de [AC].

On remarque que cette figure n’est pas la même que celles qui illustrent les propriétés 1 et 2 :

On sait que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC), et on ne sait pas où se trouve J sur le segment [AC].

Le point J semble être le milieu de [AC].

Attention : on ne peut pas prouver que J est le milieu de [AC] à l’aide des propriétés 1 et 2. On ne peut d’ailleurs même pas les appliquer car il faudrait pour cela que nous connaissions les milieux de deux segments, ce qui n’est pas le cas ici.

On va, dans la suite de ce cours, admettre ce résultat.

Exercice 71)Je peux démontrer que (IJ) est parallèle à (AC) à l’aide de la propriété 1.

Je peux démontrer que : IJ AC=2

à l’aide de la propriété 2.

2)

Je peux démontrer que (LK) est parallèle à (EF) à l’aide de la propriété 1.

Je peux démontrer que : LK EF= =2

62

soit

LK = 3 cm, à l’aide de la propriété 2.

1)

On repère les codages de la figure : on connaît le milieu de deux côtés d’un triangle. La propriété 1 nous permet de démontrer que la droite passant par ces deux milieux, soit (IJ), est parallèle au troisième côté, c’est à dire à [AC].

La propriété 2 nous permet de démontrer que IJ est la moitié de AC.

2)

Pour la deuxième figure, on connaît le milieu de deux côtés d’un triangle : on peut utiliser la propriété 1 ou 2, suivant ce que l’on veut démontrer.



cc Séquence 2

3)

Je peux démontrer que I est le milieu de [PM] à l’aide de la propriété 3.

Je peux ensuite démontrer que : IJ MN=2

à l’aide de la propriété 2.

3)

On remarque que (MN) est perpendiculaire à (PN) et que (IJ) est aussi perpendiculaire à (PN).

On utilise la propriété suivante vue en 6ème : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles».

On en déduit que (IJ) et (MN) sont parallèles.

On connaît donc le milieu d’un segment et des droites parallèles, on peut utiliser la propriété 3 pour montrer que I est le milieu de [PM].

Une fois que l’on a démontré que I est le milieu de [PM], on peut en appliquant la propriété 2 démontrer que IJ est la moitié de MN.

Exercice 8

1)

IK

J A

C

B

AC = 4 cm AB = 7 cm BC = 5 cm

2)

On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC] et K est le milieu de [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est

parallèle au troisième côté.

On en déduit que : (IK) est parallèle à (AB).

3)

On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC] et (IJ) est parallèle à (AC).

Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un

second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

On en déduit que : J est le milieu de [AB].

4)

On sait que : Dans le triangle ABC, J est le milieu de [AB] et K est le milieu de [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est

parallèle au troisième côté.

On en déduit que : (JK) est parallèle à (BC).

I K

A

C

B

I

JA

C

B

K

J A

C

B



ccSéquence 2

5)D’après l’énoncé et la question 2 :On sait que : (IJ) est parallèle à (AC) et (IK) est parallèle à (AB).Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.On en déduit que : IJAK est un parallélogramme.De même pour IJKC, on sait d’après l’énoncé et la question 4 que (IJ) est parallèle à (KC) et (JK) est parallèle à (BC). IJKC est donc un parallélogramme.6)On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [BC] et J est le milieu de [AB].Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

On en déduit que : IJAC

2 = = 4

2 soit IJ = 2 cm.

7) I est le milieu de [BC] donc BIBC

2 = soit BI = 2,5 cm. On montrerait de même que le milieu J de

[AB] vérifie : BJ = 3,5 cm. p = IJ + BI + BJ = 2 + 2,5 + 3,5 soit p = 8 cm.


Cet exercice ne comporte aucune difficulté réelle, chaque question se démontre en une seule étape. Pense à coder la figure au fur et à mesure.

5) Il est inutile de refaire la démonstration pour le quadrilatère IJKC. C’est exactement la même démarche.

Donc, on écrit juste : « De même pour le quadrilatère IJKC … ».

Exercice 91)

A

D C

BI

J

K

2)On sait que : • (IJ) est perpendiculaire à (AB) car (IJ) est la médiatrice de [AB]. • (BK) est aussi perpendiculaire à (AB) car ABCD est un rectangle.Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.On en déduit que : (IJ) est parallèle à (BK).

1)Dans l’énoncé, on ne précise pas les longueurs AB et AD. On peut donc tracer le rectangle de son choix. Cependant, en règle générale, il est préférable de ne pas tracer une figure « trop particulière » (ici un carré) afin d’éviter certaines confusions.Par exemple, si on te demande de tracer un triangle ABC, il vaut mieux éviter de construire un triangle isocèle ou rectangle ou équilatéral.

2)

Dans cette question, on utilise une propriété vue en 6ème. On ne peut pas utiliser le théorème 1 des milieux car on ne sait pas si J est le milieu de [AK] ; c’est justement ce que l’on va montrer à la question 3.



cc Séquence 2

3)On sait que, dans le triangle ABK :• I est le milieu de [AB] car c’est le point d’intersection de [AB] avec sa médiatrice.• (IJ) est parallèle à (BK).Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.On en déduit que : J est le milieu de [AK].

4)On sait que, dans le triangle ABK :• J est le milieu de [AK].• (JC) est parallèle à (AB) car les côtés opposés [DC] et [AB] du rectangle le sont.Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.On en déduit que : C est le milieu de [BK].

3)Dans cette question, on considère le triangle ABK, et on applique la propriété 3.

AB

I

J

K

4)On montre que C est le milieu de [BK], en utilisant la propriété 3.

C

BA

J

K


Exercice 101)

AO

B

C

D

C'

4 cm

3 cm


Pour placer le point C, on trace un arc de cercle de centre B et de rayon 3 cm.

Il y a donc deux possibilités pour placer le point C. Sur la figure, on les a notées C et C’.



ccSéquence 2

2) On sait que, dans le triangle ABD :• O est le milieu de [AB] car O est le centre du cercle de diamètre [AB].• C est le milieu de [BD] car D est le symétrique de B par rapport à C.Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.On en déduit que : (OC) est parallèle à (AD).3)On sait que : Dans le triangle ABD, O est le milieu de [AB] et C est le milieu de [BD].Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.On en déduit que : AD = OC × 2 OC = 4 cm car [OC] est un rayon du cercle.D’où : AD = 4 × 2 soit AD = 8 cm.4)[AB] est un diamètre d’un cercle de rayon 4 cm.AB = 4 × 2 soit AB = 8 cm. Comme AD = 8 cm, on déduit que AB = AD.ABD est donc un triangle isocèle en A.

2)

La difficulté de cet exercice vient du fait que les milieux ne sont pas explicites.

Il faut donc traduire l’énoncé :

• O est le centre du cercle : cela signifie que O est le milieu de [AB].

• D est le symétrique de B par rapport à C : cela signifie que C est le milieu de [BD].

3)

La longueur OC n’est pas donnée dans l’énoncé, il faut donc penser que [OC] est un rayon du cercle et conclure qu’il mesure 4 cm.

4)

Quand on parle de triangle isocèle, on précise toujours en quel sommet il est isocèle.

Ici, ABD est isocèle en A car : AB = AD.

Exercice 111)

A

J

K

L

I

B

C

D

Le quadrilatère IJKL semble être un parallélogramme.2)Le quadrilatère IJKL semble toujours être un parallélogramme (même lorsque le quadrilatère ABCD est croisé).3)a) Je pense utiliser une des propriétés 1, 2, ou 3 car il y a des milieux de segments, mais je n’y arrive pas !

1) On peut placer les points I, J, K et L à l’aide du compas et d’une règle en utilisant la méthode de construction de la médiatrice des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

2)On rappelle qu’un quadrilatère est croisé lorsque deux de ses côtés opposés se coupent. On voit à l’aide de Geocned que si le quadrilatère ABCD est croisé, IJKL semble être encore un parallélogramme.3)a)Cet exercice n’est pas facile tant que l’on a pas pensé à décomposer ABCD en deux triangles ABC et ACD.



cc Séquence 2

b) On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.On en déduit que : (IJ) est parallèle à (AC).On pourrait démontrer de la même façon, en considérant le triangle ACD, que : (LK) // (AC).On a donc : (IJ) // (AC) et (LK) // (AC) d’où : (IJ) // (LK).

c)On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

On en déduit que : IJ AC2

=

On sait que : Dans le triangle ACD, L est le milieu de [AD] et K est le milieu de [CD].


On en déduit que : LK AC2

=

IJAC

2 = et LK

AC

2 = donc IJ = LK.

d)On sait que :• (IJ) // (LK)• IJ = LKOr, un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.On en déduit que : le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.4)Lindsay a raison.Le périmètre du parallélogramme est 2 × LK + 2 × JK.

On a montré que LKAC

2 = donc 2 × LK = AC.

On pourrait montrer que JKBD

2 = en appliquant

la propriété 2 au triangle BCD.On a donc : 2 × JK = BDLe périmètre du parallélogramme est donc : AC + BD.Il est bien égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère ABCD !

b) Une fois que l’on voit le triangle ABC, on pense à utiliser la propriété 1.

A

J

I

B

D

C

c) On pense cette fois à utiliser la propriété 2.

On regarde maintenant de près le triangle ACD.

A

K

L

C

D

d) On utilise dans cette partie les résultats démontrés dans les questions b) et c).

On a réussi à prouver que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.

4) On sait qu’un parallélogramme a deux côtés opposés de même longueur. Le périmètre de IJKL est donc 2 × LK + 2 × JK.

En effet, si LK est égal à la moitié de AC, alors 2 × LK est égal à AC.



ccSéquence 2


Exercice 12

B

C

DEA

1 m

1)[BE] est vertical et [AD] est horizontal donc :(BE) ⊥ (AD).On sait que : (BE) est perpendiculaire à (AD) et (CD) est perpendiculaire à (AD).Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.On en déduit que : (BE) est parallèle à (CD).2)On sait que : Dans le triangle ADC, (BE) est parallèle à (CD) et B est le milieu de [AC].Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. On en déduit que E est le milieu de [AD].3)On sait que : Dans le triangle ADC, B est le milieu de [AC] et E est le milieu de [AD].Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.On en déduit que : CD = 2 × BE = 2 × 1 = 2La hauteur maximale à laquelle peuvent s’élever les enfants est de 2 m.

La figure de l’énoncé représente la bascule quand un enfant est à terre. L’autre est alors à la hauteur maximale (représentée par la longueur CD).La planche [AC] est posée en son milieu sur le support [BE], autrement dit : B est le milieu de [AC].(BE) est perpendiculaire à (AD) car [BE] est vertical et [AD] est horizontal.Remarque : Il ne faut pas croire que [CD] est la trajectoire du point C. La trajectoire de C quand les enfants jouent est un arc de cercle de centreB et de rayon [BC].En effet, C est toujours à la mêmedistance de B.

1)On utilise une propriété vue en 6e pour prouver que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.

2) Maintenant que l’on a montré que les droites (BE) et (CD) sont parallèles, on a les données qui permettent d’appliquer la propriété 3.On peut alors en déduire que E est le milieu de [AD].

3)

Maintenant que l’on a démontré que E est le milieu de [AD], on a les données qui permettent d’appliquer la propriété 2.

B

C



cc Séquence 2

Exercice 13A

B F

GC2,6 m

1,5 m

La bôme [CG] et la barre [BF] sont horizontales donc : (BF) // (CG)On sait que : Dans le triangle ACG, F est le milieu de [AG] et (BF) est parallèle à (CG).Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.On en déduit que B est le milieu de [AC].On sait que : Dans le triangle ACG, B est le milieu de [AC] et F est le milieu de [AG].Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

On en déduit que : BF = CG

2

2 6

2= , soit BF = 1,3 m.

La barre horizontale mesure 1,3 m.

La difficulté de cet exercice vient du fait que la figure donnée ne comporte ni lettre, ni codage.

On schématise donc la situation concrète du voilier par la figure ci-contre.

Il faut également traduire certaines informations en langage mathématique :

• la bôme et la barre sont horizontales donc : (BF) // (CG)

• AG = 3,3 – 0,3 soit AG = 3 m

• la bôme mesure 2,6 m : CG = 2,6 m.

• la barre horizontale est fixée à égale distance de la bôme et du haut du mât : AF = FG.

On utilise la propriété 3 afin de prouver que B est le milieu de [AC].

On utilise ensuite la propriété 2 pour calculer la longueur BF.

Exercice 14• Je trace la droite parallèle à la droite (AC) passant par le milieu I de [AB]. J’appelle J le point d’intersection de cette droite avec (BC).On sait que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et (IJ) est parallèle à (AC).Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.On en déduit que J est le milieu de [BC].

• Je mesure ensuite la longueur BJ sur la carte et je trouve : BJ ≈ 2,8 cm.J est le milieu de [BC] donc [BC] mesure environ 2,8 × 2 soit 5,6 cm.D’après l’échelle de ma carte, 1 cm sur la carte représente en réalité 20 km.J’obtiens donc le tableau de proportionnalité ci-contre :5,6 × 20 = 112.La distance séparant l’île de Ua Pou de celle d’Hiva Oa est d’environ 112 km.

F ∈ [AG]

B ∈ [AC]

?

5,6

20

1distance sur la carte en cm

distance réelleen km

x 1,5x 20



ccSéquence 2


L’exercice consiste à trouver une construction dans la carte et d’en déduire BC. On élimine donc la solution qui consiste à prolonger (AC) et (BC) à l’extérieur de la carte et à mesurer ensuite [BC].

• Étudions la remarque d’Hugo : Pour connaître la distance entre les deux îles, il faut tenir compte de l’échelle de la carte. Ici, 1 cm représente en réalité 20 km.

3,6 × 20 = 72

J’en déduis que la distance entre Ua Huka et Ua Pou est d’environ 72 km. Le calcul d’Hugo est juste mais inutile pour répondre à la question posée. Cependant il nous rappelle qu’il faudra tenir compte de l’échelle de la carte et effectuer un calcul similaire pour déterminer la distance réelle entre Ua Pou et Hiva Oa.

• Étudions la remarque d’Ali : la construction d’Ali fait apparaître une situation où on peut utiliser la propriété 3.

Comme le milieu J est sur la carte, on va pouvoir mesurer BJ, puis ensuite calculer BC.

C’est la solution présentée au début de la page.

Il y a avait une autre façon de procéder.

• Étudions pour cela la remarque de Noémie :

Je trace la droite parallèle à la droite (BC) passant par le milieu

I de [AB]. J’appelle K le point d’intersection de cette droite avec (AC).

On peut prouver à l’aide de la propriété 3 que K est le milieu de [AC].

Ensuite, d’après la propriété 2, BC est le double de IK.

On mesure IK. On trouve environ 2,8 cm.

BC mesure donc environ 5,6 cm.

On déduit donc de ce qui précède que la distance séparant l’île

de Ua Pou de celle d’Hiva Oa est d’environ 112 km.

Remarque générale : Cet exercice est basé sur des mesures, il est donc possible que tu n’aies pas trouvé la même longueur que dans ce corrigé. Tu as pu mesurer par exemple 2,9 cm pour BJ ou IK. Ce n’est pas une erreur. Ce qui est important, c’est d’avoir utilisé une des deux méthodes présentées ici, et d’avoir bien justifié ce que tu faisais.


Exercice 15L’intrus est le cas 4. Dans chacun des cas 1, 2 et 3, le triangle de droite s’obtient en multipliant ou divisant les longueurs de chacun des trois côtés du triangle de gauche par un même nombre. Le triangle de droite et de gauche ont « la même forme » : leurs angles semblent égaux.


Cas 1 : chaque côté du triangle de droite est deux fois plus long que son côté correspondant du triangle de gauche.

Cas 2 : chaque côté du triangle de droite est trois fois plus long que son côté correspondant du triangle de gauche.

Cas 3 : chaque côté du triangle de droite est quatre fois moins long que son côté correspondant du triangle de gauche.

Dans ces trois cas, les longueurs des côtés correspondants des deux triangles sont proportionnelles.

On dit dans ce cas que le plus grand triangle est un agrandissement du petit, et que le petit est une réduction du plus grand.

Cas 4 : les longueurs des côtés correspondants des deux triangles ne sont pas proportionnelles : un des côtés du triangle de droite n’est visiblement pas deux fois plus long que son côté correspondant de gauche. Le triangle de droite n’est pas un agrandissement du triangle de gauche.

20 km

A

IK

BC

Ua Huka

Ua Pou

Hiva Oa



cc Séquence 2

Exercice 161)

cas 1 cas 2

AF = 1,5 AE = 3 FE = 2,25 AF = 1 AE = 2 FE = 1,5

AC = 3 AB = 6 CB = 4,5 AC = 3 AB = 6 CB = 4,5

2)

cas 3 cas 4

AF = 0,75 AE = 1,5 FE = 1,125 AF = 6 AE = 12 FE = 9

AC = 3 AB = 6 CB = 4,5 AC = 3 AB = 6 CB = 4,5

3) Les tableaux des cas 1, 2, 3 et 4 sont des tableaux de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité du cas 1 est 2, celui du cas 2 est 3, celui du cas 3 est 4 et celui du cas 4 est 1

2 soit 0,5.

Dans les trois premiers cas, le triangle AEF est une réduction du triangle ABC. Dans le 4ème cas, le triangle AEF est un agrandissement du triangle ABC.

4)

Les quatre tableaux que j’obtiens à l’aide de Geocned sont des tableaux de proportionnalité.


1) a)

On n’a pas besoin de faire des mesures. Il suffit de bien lire les données et d’appliquer les propriétés 2 et 3 des milieux. On en déduit que :

• AF = 3 : 2 soit AF = 1,5 cm • AE = 6 : 2 soit AE = 3 cm • FE = 4,5 : 2 soit FE = 2,25 cm

1) b) et 2)

Tu n’as peut être pas été précis dans tes mesures, et dans ce cas tu as peut-être trouvé que certains tableaux n’étaient pas des tableaux de proportionnalité. Dans ce cas, vérifie sur ta figure que les longueurs proposées dans les tableaux semblent être les bonnes.

Une fois cet exercice terminé, on peut se poser la question suivante : « Suffit-il que F soit sur [AC), que E soit sur [AB), et que les droites (FE) et (CB) soient parallèles, pour que le triangle AEF soit un agrandissement ou une réduction du triangle ABC ? »

On va admettre dans la suite de ce cours que la réponse à cette question est OUI !

Exercice 17On sait que :

• S est un point de [TR)

• U est un point de [TV)

• (SU) est parallèle à (RV)

On en déduit que : les longueurs des côtés correspondants des triangles TSU et TRV sont proportionnelles.

Le tableau TS TU SU

TR TV RV est donc

un tableau de proportionnalité.

Comme TV = 3 × TU, le coefficient de proportionnalité est 3.

RV = 3 × 2,6 soit RV = 7,8 cm.

On applique la propriété vue précédemment.

On écrit les données.

On peut résumer ceci à l’aide du tableau de proportionnalité suivant :

Le triangle TVR est un agrandissement du triangle TUS. Le coefficient d’agrandissement est 3.Remarque : on pouvait également écrire le tableau « dans l’autre sens ». Cela revient au même !

TR

6

RV

TS

2 2,6

x 3

TR 6 RV

TS 2 2,6

x 3



ccSéquence 2


• F est un point de [CB)

• E est un point de [CA)

• (EF) est parallèle à (AB) car ces deux droites sont perpendiculaires à (BC).

On en déduit que : les longueurs des côtés correspondants des triangles ABC et EFC

sont proportionnelles.

Par conséquent, le tableau CE CF EF

CA CB AB, qui s’écrit encore

CE 1,7 1,7

CA 136 AB

est un tableau de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est 136

1,7.

On a donc : AB = 136

1,7×1 7, soit AB = 136.

La hauteur de la pyramide est environ 136 m, Thalès avait donc raison !


On pouvait aussi raisonner différemment : le triangle EFC est rectangle isocèle en F donc l’angle ECF∑ mesure 45°.

Le triangle ABC est donc rectangle et a un angle de 45°. Le dernier angle est donc le complémentaire de 45°. Il mesure donc également 45°.

Le triangle ABC a donc deux angles de 45° : on a vu en 6e que ce triangle est donc isocèle en B.

D’où : AB = BC. Comme BC = 134,4 + 1,7 = 136 on a AB = 136 m.

Exercice 19Comme le tableau est un tableau de proportionnalité, les nombres de la 1ère ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la ligne du

dessous par un même nombre, ici 2

3.

On a donc : 2

3× =b a

2

3 est le nombre qui multiplié par b donne a,

c’est donc a

b. On a donc :

a

b= 2

3.

On utilise la définition d’un tableau de proportionnalité.

On obtient une égalité qui est en fait la définition du quotient de a par b : le nombre qui multiplié par b donne a.

On pourrait montrer de la même manière, que si le tableau de proportionnalité comportait une autre colonne de deux nombres

e et f tels que : f ≠ 0, on aurait : ab

cd

ef

= =

A

E

B C F

134,3 m 1,7 m



cc Séquence 2


• E est un point de [AB)

• F est un point de [AC)

• (EF) est parallèle à (BC)

On en déduit que : les longueurs des côtés correspondants des triangles ABC et AEF sont proportionnelles.

Le tableau AE AF EF

AB AC BC est donc

un tableau de proportionnalité.

D’après le « Je retiens » précédent, on a donc :

AE

AB

AF

AC

EF

BC= = .

On commence par appliquer la propriété de la proportionnalité des côtés des triangles.

Ensuite, on va utiliser le « Je retiens » précédent.

On traduit donc le fait que le tableau soit un tableau de proportionnalité à l’aide d’égalités de quotients.On vient de démontrer une propriété appelée « propriété de Thalès », en l’honneur du mathématicien dont on a parlé dans l’exercice de la pyramide.


Exercice 211)

AE AB EB

AD AC DC

• E est un point de [AD)• B est un point de [AC)• (EB) // (DC)J’applique la propriété de Thalès :

AE

AD

AB

AC

EB

DC= =

2

7

AB

AC

1

DC= =

2

7

1

DC=

2 × DC = 1 × 72 × DC = 7

DC = 7

2 soit DC = 3,5 cm

Les commentaires du professeur :On demandait d’utiliser la propriété de Thalès, on pouvait donc utiliser les méthodes 1 ou 2.On ne pouvait pas utiliser la méthode 2 car DC était au dénominateur.On utilise donc la méthode 1.

2)

CD CB DB

CE CA EA

• D est un point de [CE)• B est un point de [CA)• (AE) // (DB)J’applique la propriété de Thalès :

CD

CE

CB

CA

DB

EA= =

4

CE

3

7

DB

EA= =

4

CE

3

7=

4 × 7 = CE × 328 = CE × 3

CE = 283

Les commentaires du professeur :On utilise également la méthode 1.



ccSéquence 2

3)

CD CB DB

CE CA EA

• D est un point de [CE)

• B est un point de [CA)

• (DB) // (EA)

J’applique la propriété de Thalès :

CD

CE

CB

AC

DB

EA= =

CD

7,5

6,5

9

DB

EA= =

CD

7,5

6,5

9=

CD6,5

9= × = = ×

×7 5

48 75

9

3 16 25

3 3,

, ,

CD16 25

3= ,

cm

3) Les commentaires du professeur :

On peut utiliser les méthodes 1 et 2.

Les points A, B et C sont alignés donc :

AC = AB + BC = 2,5 + 6,5 = 9

CD est le nombre qui divisé par 7,5 donne 6,59

.

C’est donc 7 56,59

, ×

CD est environ égal à 5,42 (arrondi au centième).

Exercice 22

A

C

BE

F

2 cm

6 cm

5 cm

5,5 cm

Dans le triangle ABC :

• E est un point de [BA)

• F est un point de [BC)

• (EF) est parallèle à (AC)

On applique la propriété de Thalès :

BE

BA

BF

BC

EF

AC= =

2

6 5 5 5= =BF EF

,

2

6 5= BF

Dans cet exercice, la figure n’est pas donnée. On ne nous demande pas de la construire. En revanche, on ne pourra pas raisonner sans.

On a deux solutions : la construire en vraie grandeur ou faire une figure à main levée.

Dans les deux cas il est indispensable de noter sur la figure tous les renseignements que l’on connaît d’après l’énoncé (longueurs, codages …). Il sera nettement plus facile ainsi de raisonner et de faire les calculs.

Lorsqu’on fait une figure en vraie grandeur, on peut vérifier au fur et à mesure de l’exercice que les longueurs obtenues par le calcul ont des chances d’être correctes.



cc Séquence 2

BF = 52

6

5

3× = BF ≈ 1,7 cm (au dixième près)

2

6 5 5= EF

,

EF = 5 52

6, × EF ≈ 1,8 cm (au dixième près)

BF est le nombre qui divisé par 5 donne 26

soit 526

× .

On demande d’arrondir les résultats au dixième près, c’est à dire de donner la valeur la plus proche des résultats avec un chiffre après la virgule.

EF est le nombre qui divisé par 5,5 donne 26

soit 5,526

× .

• On pouvait aussi appliquer la méthode 1 pour calculer BF :

À partir de l’égalité : 26

BF=

5, on écrit l’égalité des produits

en croix :

2 × 5 = 6 × BF d’où : 10 = 6 × BF.

BF est donc le nombre qui multiplié par 6 donne 10, c’est par

définition 106

.

• On pouvait aussi appliquer la méthode 3 :Une fois les données énoncées, on pouvait écrire :Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité.


13

= .

D’où : BF = 513

× soit BF = 53 .

Exercice 23

P

M

N

SR

6 cm

?

?

5 cm

4 cm

1 cm

Dans le triangle MPN :

• S est un point de [MN)

• R est un point de [MP)

• (RS) est parallèle à (PN)

La difficulté ici vient du fait que les données de l’énoncé ne nous permettent pas d’effectuer directement les calculs.

Par exemple, on ne connaît pas la longueur MR.Cependant, on connaît RP.On peut donc en déduire la longueur MR dont on a besoin pour la suite : MR = 4 – 1 soit MR = 3 cm.

De même, la propriété de Thalès ne permet pas de trouver directement la longueur SN. Elle permet de calculer MS.Cependant, une fois qu’on connaît MS, le calcul de SN est alors très simple.

2 BF AC

6 5

EF

x

BE BF AC

BA BC

EF

26



ccSéquence 2


MS

MN

MR

MP

SR

NP= =

MS RS

5

3

4 6= =

• calcul de RS :

3

4 6= RS

RS = 63

4× RS = 4,5 cm.

• calcul de MS :

MS

5

3

4=

MS = 53

4

15

4× = MS = 3,75 cm.

On en déduit : SN = 5 – 3,75 soit SN = 1,25 cm.

• On pouvait aussi appliquer la méthode 1 :

À partir de l’égalité : MS5

34

= , on écrit l’égalité des produits en croix :5 × 3 = 4 × MS d’où : 15 = 4 × MS.MS est donc le nombre qui multiplié par 4 donne 15, c’est par

définition 154

.



.

D’où : MS = 534

× soit MS = 154

.

Exercice 24

La copie de Manon :

Erreur : On ne sait pas si les droites (DF) et (CG) sont parallèles.

La copie de Noémie :

Erreur : Elle a oublié d’écrire les hypothèses de la propriété. De plus, elle a inversé les longueurs de la dernière fraction.

La copie de Quentin :

Erreur : Il s’est trompé dans les égalités : les longueurs AB et DE ne sont pas des longueurs de côtés des triangles CBD ou CAE.

La copie d’Hugo :

Erreur : Il a oublié d’expliquer pourquoi les droites (BD) et (AE) sont parallèles.

Démonstration bien rédigée :

CBD∑ et BAE∑ sont des angles correspondants égaux, donc les droites (BD) et (AE) sont parallèles.Dans le triangle ACE :

• B est un point de [CA)

• D est un point de [CE)

• (BD) // (AE)

J’applique la propriété de Thalès : CBCA

= =CDCE

BDAE

.

Dans cet exercice, on ne peut pas utiliser la propriété de Thalès directement car l’énoncé ne dit pas qu’on a des droites parallèles.Il faut d’abord démontrer que (BD) et (AE) sont parallèles.

Il est essentiel de vérifier que les hypothèses de la propriété sont vérifiées avant de l’utiliser.

On utilise les longueurs des côtés correspondants des triangles CBD et CAE, car ce sont elles qui sont proportionnelles.

Hugo a oublié de prouver que les droites (BD) et (AE) sont parallèles.Le reste de sa copie est bien rédigé.

MS 3 NP

5 4

SR

x

MS MR NP

MN MP

SR

34



cc Séquence 2


Exercice 25

On sait que : ABCD est un parallélogramme.

Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.

On en déduit que : (AB) et (DC) sont parallèles.De plus, F, D et C sont alignés donc : (AB) // (FC).

Dans le triangle AEB :

• C est un point de [EB).

• F est un point de [EA).

• (AB) et (FC) sont parallèles.


EC

EB

EF

EA

CF

BA= =

4

7 5= =

EF

EA

CF

4

7 5=

CF

CF = 54

7

20

7× =

CF ≈ 2,9 cm (arrondi au dixième)

Dans cet exercice, la figure est donnée. Il est cependant important de prendre le temps de bien l’observer et éventuellement de la coder.Il n’est pas dit dans l’énoncé que les droites (AB) et (DC) sont parallèles. On le démontre grâce à une propriété du parallélogramme.C’est seulement après avoir démontré ce parallélisme que l’on peut utiliser la propriété de Thalès.

On a proposé dans la colonne de gauche la méthode appelée méthode 2 dans la partie « Je comprends la méthode ».

EB = 3 + 4 soit EB = 7 cm.

CF est le nombre qui divisé par 5 donne 47

, c’est donc : 547

× .

• On pouvait aussi appliquer la méthode 1 :À partir de l’égalité :

47

CF=

5, on écrit l’égalité des produits en croix :

4 × 5 = 7 × CF d’où : 20 = 7 × CF.CF est donc le nombre qui multiplié par 7 donne 20, c’est par

définition 207

.



.

D’où : CF = 547

× soit CF = 207

4 EF5

7 EA

CF

x

EC EF BA

EB EA

CF

47



ccSéquence 2

Exercice 26On peut traduire l’exercice à l’aide de la figure ci-dessous :

A

B

C

D E10 m 20 m

5 m

?

AE = 10 + 20 soit AE = 30 m.Dans le triangle AEC :• B est un point de [AC).• D est un point de [AE).• (BD) et (CE) sont parallèles.On applique la propriété de Thalès :

AB

AC

AD

AE

BD

CE= =

ABAC CE

= =1030

5

1030

5=CE

10 × CE = 5 × 3010 × CE = 150

CE =150

10 soit CE = 15 m.

L’appartement de Thomas devra se situer à au moins 15 m de haut pour qu’il puisse apercevoir un bout de la plage.

On construit une figure géométrique correspondant à l’énoncé.BD correspond à la hauteur de la maison, c’est-à-dire 5 m.DE = 10 + 10 soit DE = 20 m.C correspond à l’endroit d’où Thomas regardera la plage.C, B et A sont donc alignés puisque cela correspond à la direction de la visée de l’œil de Thomas.On ne connaît pas la longueur AE mais elle se calcule très facilement à partir des longueurs AD et DE.

(BD) et (CE) sont parallèles car la maison et l’immeuble sont des constructions verticales.• On a appliqué dans la colonne de gauche la méthode 1.• On ne pouvait pas appliquer directement la méthode 2 car on n’aboutit pas à : « CE est le nombre qui divisé par 5 donne … » mais « 5 est le nombre qui divisé par CE donne … ». • On pouvait appliquer la méthode 3.Une fois les données énoncées, on pouvait écrire :Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est 3.D’où : CE = 3 5 15× = .

Dans l’énoncé, on nous dit : « pour que Thomas aperçoive un bout de la plage ».En réalité, si Thomas observe depuis le point C, il ne verra que la limite de la plage.Donc, dans notre phrase réponse, on dit que Thomas doit louer un appartement situé au moins à 15 m de haut.

Exercice 271)E est le milieu de [AC] donc (BE) est la médiane issue de B du triangle ABC.P est le milieu de [BC] donc (AP) est la médiane issue de A du triangle ABC.

2)Dans le triangle APC :On sait que : E est le milieu de [AC] et H est le milieu de [PC].Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.On en déduit que : (EH) est parallèle à (AP).

1) A

B PIC

E

H

B, P et C sont alignésP est bien le milieu de [BC] car PB = 2 × PI et PC = 2 × PI.

2) Comme la figure est composée de plusieurs triangles (par exemple ABP, APC, BEC, etc.), on précise la figure dans laquelle on se place pour appliquer une des propriétés des milieux.

AB 10CE

AC 30

5

x

AB AD CE

AC AE

BD

3



cc Séquence 2

3)

Dans le triangle BEH :

• G est un point de [BE).

• P est un point de [BH).

• (EH) // (GP)


BG

BE

BP

BH

GP

EH= =

On a donc :

BG

BE

BP

BH=

BG

BE

2

3

2

3

BI

BI=

××

=

D’où : BG

BE

2

3=

3)

On a maintenant toutes les données nous permettant d’appliquer la propriété de Thalès. On précise à nouveau le triangle car la figure est complexe.

Dans cet exercice, on ne peut ni calculer BG, ni calculer BE (on ne connait aucune distance). On peut par contre calculer le quotient de BG par BE.

Exercice 281)

E

A

C B

D

?3 cm

3 cm

9 cm

Les commentaires du professeur :1)On construit la figure en tenant compte des informations de l’énoncé. On note au fur et à mesure ces informations sur la figure.On remarque une situation de Thalès avec les triangles EAC et EDB.



ccSéquence 2

2)

On sait que : (AC) et (BD) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EB).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.

On en déduit que : les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Dans le triangle EBD :

• A est un point de [ED).

• C est un point de [EB).

• (AC) et (BD) sont parallèles.


EA

ED

EC

EB

AC

DB= =

EA

ED

AC= =6

9 3

6

9 3= AC

Donc on a : AC = 36

9

3 6

9

22

3 3

3 3× = × = × ×

×=

AC = 2 cm

2)On ne sait pas que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. On le démontre grâce à une propriété vue en classe de 6ème.C’est seulement après avoir démontré ce parallélisme qu’on a le droit d’utiliser la propriété de Thalès.

La difficulté, ici, vient du fait que certaines longueurs ne sont pas données explicitement. Cependant on les détermine assez facilement :CB = 3 cm car le cercle a 3 cm de rayon.EC = 9 – 3 soit EC = 6 cm.

AC est le nombre qui divisé par 3 donne 69

, c’est donc :

369

× .

• On pouvait aussi appliquer la méthode 1 :À partir de l’égalité :69

AC=

3, on écrit l’égalité des produits en croix :

6 × 3 = 9 × AC d’où : 18 = 9 × AC.AC est donc le nombre qui multiplié par 9 donne 18, c’est donc 2.• On pouvait aussi appliquer la méthode 3 :Une fois les données énoncées, on pouvait écrire :Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est : 69

3 23 3

23

=××

= .

D’où : AC = 323

× soit AC = 2 cm.

EA 63

ED 9

AC

x

EA EC DB

ED EB

AC

69



cc Séquence 2

Exercice 291)

A

F

E

G

BD

C

O

4 cm5 cm

1 cm

1)

Pour construire le losange, on construit deux triangles isocèles dont on connaît les dimensions.

Il n’y a donc qu’une seule construction possible.

On code la figure avec les informations de l’énoncé.

La difficulté ici vient du fait qu’on a deux « situations de Thalès »:

• avec les triangles DFE et DAB.

•avec les triangles DAO et DGB.

On va utiliser ici une situation différente pour répondre à chaque question.

Une autre difficulté vient du fait qu’il faille faire plusieurs étapes avant de pouvoir utiliser la propriété de Thalès :

•Montrer que les droites (AO) et (DB) sont perpendiculaires.

•Montrer que les droites (AO) et (GB) sont parallèles.

•Expliquer pourquoi O est le milieu de [DB].

•DE = 4 – 1 soit DE = 3 cm.



ccSéquence 2

2)Dans le triangle ADB :• F est un point de [DA).• E est un point de [DB).• (FE) et (AB) sont parallèles.


DF

DA

DE

DB

FE

AB= =

DF FE

5

3

4 5= =

3

4 5= FE

FE = 53

4

5 3

4

15

4× = × =

FE = 3,75 cm

3)• O est le centre du losange ABCD donc O est le milieu des diagonales [AC] et [DB].• Les diagonales du losange sont perpendiculaires.

(AO) et (GB) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DB). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.Donc les droites (AO) et (GB) sont parallèles.

Dans le triangle DBG :• O est le milieu de [DB].• (AO) est parallèle à (GB).Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.On déduit que : A est le milieu de [DG].

DA = 5 cm donc DG = 5 × 2 = 10DG = 10 cm

2)

On travaille ici avec les triangles DFE et DAB. Dans cette question, toutes les hypothèses de la propriété de Thalès sont vérifiées d’après l’énoncé.

A

F

E BD4 cm

1 cm

5 cm

DA = 5 cm car c’est un côté du losange.DE = 4 – 1 soit DE = 3 cm.

FE est le nombre qui divisé par 5 donne 34

, c’est donc 534

× .

On pouvait également utiliser les deux autres méthodes.

3)On travaille ici avec les trianglesDAO et DGB.

On démontre d’abord que O est

le milieu de [DB] et que (AO) et (GB) sont parallèles.

On est ici dans une configuration oùl’on peut utiliser une des propriétés des milieux.On prouve ainsi que A est le milieu de [DG] et on en déduit la longueur DG.

On aurait également pu utiliser la propriété de Thalès :• A est un point de [DG).• O est un point de [DB).• (AO) est parallèle à (GB).

On applique la propriété de Thalès : DADG

DODB

AOGB

= = .

5DG

24

AOGB

= =

On a : 5 × 4 = 2 × DG donc 20 = 2 × DGDG est donc le nombre qui multiplié par 2 donne 20, soit 10.

A

G

BD O

4 cm

2 cm

5 cm



cc Séquence 2

Exercice 301) et 3)

O B

M

N

A4 cm

C

2) N semble se déplacer sur un cercle de centre B.

3) Dans le triangle AMO :• N est un point de [AM).• B est un point de [AO).• (BN) // (OM) On applique la propriété de Thalès :

AN

AM

AB

AO

NB

MO= =

AN

AM

4

12

NB

3,6= =

4

12

NB

3,6=

NB4

12

1

3= × = × =3 6 3 6 1 2, , ,

BN est toujours égale à 1,2 cm, donc N se trouve sur le cercle de centre B et de rayon 1,2 cm.

2) Le point N semble en effet se déplacer sur un cercle de centre B de rayon plus petit que celui de C .

3) On voit que les données permettent d’appliquer la propriété de Thalès. On applique cette propriété.

NB est le nombre qui divisé par 3,6 donne 412

,

c’est donc 3,6 × 412

.

On pouvait utiliser les deux autres méthodes.

Nous avons donc prouvé que : NB = 1,2 cm.NB est donc toujours égal à 1,2 cm quand N se déplace.Ceci nous permet de dire que N est sur un cercle de centre B et de rayon 1,2 cm.En effet, on rappelle que le cercle de centre B et de rayon 1,2 cm est l’ensemble de tous les points situés à 1,2 cm de B.



ccSéquence 2


Exercice 31

1)

80°

100°

2 cm

5 cm

A

E

C B

F

6 cm

2)

On sait que : CEF∑ et FEA∑ sont des angles supplémentaires car les points A, E et C sont alignés dans cet ordre.

On a donc : CEF∑ + FEA∑ = 180°.

Or, CEF∑ = 100°

On en déduit que : FEA∑ = 180° – 100° = 80°.

Les angles BCE∑ et FEA∑ sont des angles correspondants et égaux. On en déduit donc que les droites (EF) et (CB) sont parallèles.Dans le triangle ACB :• E est un point de [AC).• F est un point de [AB).• (EF) et (CB) sont parallèles.On applique la propriété de Thalès :

AE

AC

AF

AB

EF

CB= =

2

5 6= =

AF

AB

EF

2

5 6=

EF

EF = 62

5

12

5× = soit EF = 2,4 cm.

Cet exercice est l’occasion de faire quelques révisions de ce que tu as appris en classe de 6ème (construction d’angles) et de 5ème (calculs d’angles).

1)On construit la figure en tenant compte des informations de l’énoncé. On note au fur et à mesure ces informations sur la figure.

2) Avant d’utiliser la propriété de Thalès, on commence par démontrer que les droites (EF) et (CB) sont parallèles.

Pour cela, on calcule l’angle AEF∑ et on utilise la propriété sur les angles correspondants.C’est seulement après avoir démontré ce parallélisme que l’on peut utiliser la propriété de Thalès.

EF est le nombre qui divisé par 6 donne 25

, c’est donc 6 × 25

.

On pouvait bien entendu utiliser les deux autres méthodes.



cc Séquence 2

Exercice 32

On peut traduire l’énoncé par la figure ci-dessous :

AEC

B

D

?500 m

450 m

770 m

DE = 2 700 – 2 200 soit DE = 500 m.AB = 1 220 – 450 soit AB = 770 m.

Dans le triangle AED :• B est un point de [AD).• C est un point de [AE).• (BC) et (DE) sont parallèles.On applique la propriété de Thalès :

AB

AD

AC

AE

BC

DE= =

770

1220 500= =

AC

AE

BC

770

1220 500=

BC

on a donc : BC = 500770

1220×

BC ≈ 316 m

2200 + 316 = 2516.

Les skieurs se trouvent donc à une altitude d’environ 2 516 m lorsqu’ils franchissent la fin de la zone d’élan.

Les données de cet exercice sont basées sur une course qui a eu lieu en 1992, lors de la première compétition internationale de ski de vitesse sur la piste de Chabrières, à Vars, dans les Alpes.

La difficulté de cet exercice est tout d’abord de traduire l’énoncé par une figure géométrique, d’inscrire les données, puis de calculer les longueurs dont on va avoir besoin, c’est à dire ici DE et AB.De plus, les triangles ne sont pas tracés dans l’énoncé.

DE correspond au dénivelé de la piste entre le départ et l’arrivée de la course, c’est-à-dire à la différence d’altitude entre le départ et l’arrivée, donc 2 700 – 2 200 soit 500 m.

BC est le nombre qui divisé par 500 donne 7701220

, c’est donc :

500 × 7701220

.

On donne une valeur approchée du résultat au mètre près, c’est à dire à l’unité.On pouvait bien entendu utiliser les deux autres méthodes.

La propriété de Thalès permet ici de calculer la longueur BC. Cependant, cette longueur ne répond pas à la question posée.BC correspond au dénivelé entre le point B et le point A.Pour avoir l’altitude au point B, il faut donc additionner l’altitude au point A et le dénivelé BC.



ccSéquence 2

Exercice 33

1)

On peut traduire l’énoncé par la figure ci-dessous :

L

C

A

D

P

B

J

LA = 0,6 mCA = 0,3 mPB = 6 m

Dans le triangle LBP :• C est un point de [LP).• A est un point de [LB).• (CA) et (PB) sont parallèles.On applique la propriété de Thalès dans le triangle LBP :

LA

LB

LC

LP

CA

PB= =

0 6 0 3

6

, ,

LB

LC

LP= =

0 6 0 3

6

, ,

LB=

On a : 6 × 0,6 = LB × 0,3

LB = 6 0 6

0 3

× ,

, soit LB = 12 m.

AB = 12 – LA = 12 – 0,6 soit AB = 11,4 m.

La largeur de la rivière est de 11,4 m.

Le bâton de Jacob définit trois directions : (LC), (LD) et (LA).

La largeur de la rivière correspond à la longueur AB de notre figure.

LA = 0,3 × 2 soit LA = 0,6 m car cette partie mesure 2 pieds de long.CA = 0,3 m car cette partie mesure 1 pied de long.PB = PJ : 2 = 12 : 2 soit PB = 6 m.

On utilise la propriété de Thalès dans les triangles LCA et LPB.On aurait pu raisonner de la même façon dans les triangles LAD et LBJ.

On suppose que la rivière est régulière donc les droites (CA) et (PB) sont parallèles.

LB est au dénominateur. On utilise l’égalité des produits en croix.

LB est le nombre qui multiplié par 0,3 donne 6 × 0,6, c’est

donc par définition 6 0 60,3× , .

Attention, LB ne correspond pas à la largeur de la rivière, il faut penser à lui retrancher la longueur LA du bâton de Jacob.



cc Séquence 2

2)

La méthode la plus simple pour calculer la hauteur du donjon consiste à reculer jusqu’à ce qu’on puisse viser le haut de la tour avec le bâton de Jacob, tout en gardant la perche de 2 pieds de long du bâton de Jacob bien verticale :

?A E

D

B

C

F

ce qui donne la figure géométrique :

A E

D

B

C

La perche de 2 pieds de long du bâton de Jacob doit rester bien verticale pour que les droites (DE) et (BC) soient parallèles. Ainsi, on peut appliquer la propriété de Thalès :

• D est un point de [AB) • E est un point de [AC) • (DE) et (BC) sont parallèles.

J’applique la propriété de Thalès : AD

AB

AE

AC

DE

BC= = .

AE = 0,6 m (c’est-à-dire 2 pieds)

AC correspond à la distance qui sépare Louis du donjon. Cette distance peut se mesurer facilement.

DE = 0,3 m (c’est-à-dire 1 pied)

A l’aide des trois longueurs précédentes (AE, AC et DE), on peut donc calculer la longueur BC. BC ne correspond pas à la hauteur du donjon : Il faut lui ajouter la taille de Louis (la longueur CF sur la figure).

Les remarques du professeur :La difficulté ici vient du fait que la démarche n’est pas guidée. Il faut donc trouver un moyen astucieux d’utiliser le bâton de Jacob, c’est-à-dire un moyen de placer le bâton de Jacob de façon à pouvoir calculer une longueur inaccessible grâce à la propriété de Thalès.Pour cela, on doit placer le bâton de Jacob de façon à faire apparaître des droites parallèles.On doit également s’assurer qu’on peut facilement calculer ou mesurer les trois longueurs nécessaires au calcul de la quatrième.

Ici, on peut connaître AE, AC et DE. Comme on a : AEAC

DE=

BC, on peut donc calculer BC.

Ici, on n’effectue pas de calculs, puisqu’on n’a pas les données. Ce qui nous intéresse, c’est de trouver une démarche qui permettrait de faire ces calculs.



ccSéquence 2

• Étudions la remarque d’Ali :Si l’on veut utiliser le bâton de Jacob pour calculer la hauteur du donjon, on doit viser le haut du donjon mais il faut également que la perche de 2 pieds de long soit verticale pour avoir des droites parallèles. ?

• Étudions la remarque de Quentin :Quentin a compris que Louis doit placer le bâton de Jacob de façon à faire apparaître des droites parallèles mais il se rend compte que sa démarche ne peut pas aboutir puisqu’il ne peut plus viser le haut de la tour ! ?

• Étudions la remarque de Manon :La démarche de Manon est juste mais plus longue que celle proposée en correction.On raisonne de la même façon en utilisant le théorème de Thalès dans les triangles ADE et ABC.On peut ainsi calculer la longueur BC.La différence vient ensuite : pour calculer la hauteur du donjon, on ajoute à la longueur BC la taille de Louis ainsi que la hauteur de l’escabeau : BJ = BC + CI + IJ.

?

AD

B

EC

J

I

• Étudions la remarque d’Hugo :Hugo a raison, la démarche de Manon est correcte mais si on considère une très grande tour, il faudra prendre un escabeau très grand ou bien penser à reculer jusqu’à ce qu’on puisse viser le haut de la tour tout en conservant les droites parallèles. On se rend alors compte que la démarche de Manon, tout en étant juste est plus longue et parfois peu judicieuse.

Exercice 34

1)

A

BC

ME

F

N

3 cm

2,5 cm

2)

(MC) et (EB) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.

Les droites (MC) et (EB) sont donc parallèles.

1)On construit la figure en tenant compte des informations de l’énoncé. On note au fur et à mesure ces informations sur la figure.

On remarque plusieurs situations de Thalès :• avec les triangles AMC et AEB.• avec les triangles ACN et ABF.• avec les triangles AMN et AEF.La difficulté dans cet exercice est de choisir une situation de Thalès qui va nous permettre de répondre à la question posée.

2)Avant d’utiliser la propriété de Thalès, on montre que les droites (MC) et (EB) sont parallèles.



cc Séquence 2

Dans le triangle ABE :

• M est un point de [AE).

• C est un point de [AB).

• (MC) et (EB) sont parallèles.


AM

AE

AC

AB

MC

EB= =

3 2 5

4AE

MC

EB= =,

3 2 5

4AE= ,

3 × 4 = 2,5 × AE

on a : AE = 3 4

2 5

×,

soit AE = 4,8 cm.

On choisit ici la configuration de Thalès avec les triangles AMC et AEB. C’est celle qui nous permet de calculer la longueur AE.

AM = 3 cm car [AM] est un rayon du cercle.

On utilise l’égalité des produits en croix.

AE est le nombre qui multiplié par 2,5 donne 3 × 4, c’est donc

3 42,5× .

Si on avait choisi les triangles AMN et AEF, on aurait obtenu :

AMAE

ANAF

MNEF

= = .

Or on ne connaît que les longueurs AM et AN. Cette configuration de Thalès ne permettait pas de trouver la longueur AE.

Exercice 35

1)

I J

K

PQ

R

S

2)

J’ai mesuré : IJ = 4 cm et IS = 1 cm.

Il semble que IJ soit quatre fois plus grand que IS.

Je suis d’accord avec Lindsay !

1)

La meilleure méthode pour construire Q et P est la méthode utilisant le compas. Si tu as mesuré les segments [KJ] et [KI] pour placer les milieux, c’est quand même correct, mais cette construction est moins précise.

On pense à noter les codages au fur et à mesure sur la figure.Comme R est le symétrique de Q par rapport à I, le point I est le milieu de [QR].

2)Il semble en effet que le segment [IJ] soit quatre fois plus grand que le segment [IS].On va essayer de voir dans la suite de l’exercice si cela est vrai.



ccSéquence 2

3)

I

J

K

P

Q

R

S

4)

Il semble que pour n’importe quel triangle KIJ, on ait :

IJ = 4 × IS.

5) a)

On sait que : Dans le triangle KIJ, Q est le milieu de [KI] et P est le milieu de [KJ].


J’en déduis que : (QP) // (IJ).

Comme I, S et J sont alignés, on a donc : (IS) // (QP).

b) On sait que : Dans le triangle RQP, I est le milieu de [QR] et (IS) est parallèle à (QP).

Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

J’en déduis que : S est le milieu de [RP].

On sait que : Dans le triangle RQP, I est le milieu de [QR] et S est le milieu de [RP].


J’en déduis que : QP = 2 × IS

c) On sait que : Dans le triangle KIJ, Q est le milieu de [KI] et P est le milieu de [KJ].


J’en déduis que : IJ = 2 × QP

D’où : IJ = 2 × QP = 2 × (2 × IS) = 4 × IS

IJ = 4 IS

3) On construit un triangle KIJ quelconque et on essaie de voir s’il semble que l’on ait encore : IJ = 4 IS.

Bien sûr, tu n’as pas construit la même figure que celle qui se trouve dans la colonne de gauche.

Dans notre cas, on a mesuré : IS = 0,6 cm et IJ = 2,4 cm.IJ semble donc être encore égale à quatre fois IS.

4) On a construit cette figure dynamique de telle sorte que lorsque tu déplaces les trois sommets du triangle IJK, P reste le milieu de [JK], Q de [IK], R le symétrique de Q par rapport à I, et S le point d’intersection de (RP) et [JI].On remarque que la longueur IJ semble toujours être quatre fois la longueur IS. Nous allons dans la suite de l’exercice essayer de prouver cette conjecture.5) a)

On applique une des propriétés des milieux dans le triangle KIJ. Comme la figure est complexe, on précise bien que l’on se place dans le triangle KIJ.

I J

K

PQ

b) Pour prouver que QP = 2 × IS, on démontre dans un premier temps que S est le milieu de [RP].Pour le démontrer, on utilise une des propriétés des milieux dans le triangle RQP.Remarque bien que cette fois, on ne raisonne pas dans le triangle KIJ, mais dans le triangle RQP.On démontre ensuite, toujours en raisonnant dans le triangle RQP, mais à l’aide d’une autre propriété des milieux, que QP = 2 × IS.

I

PQ

R

S

c)Pour conclure, on applique à nouveau une propriété des milieux, mais cette fois dans le triangle KIJ.

I J

K

PQ



cc Séquence 2

Exercice 36

On peut traduire l’énoncé par la figure ci-dessous.

B

E

C

A D

?

1 m

0,2 m

46 m

1)

AD = 50 – 4 soit AD = 46 m.

Dans le triangle ADC :

• B est un point de [AC).

• E est un point de [AD).

• (BE) et (CD) sont parallèles.


AB

AC

AE

AD

BE

CD= =

AB

AC CD= =

1

46

0 2,

1

46

0 2=

,

CD

1 × CD = 46 × 0,2

On a : CD = 9,2 m.

9,2 + 2 = 11,2 m.

On peut élever les gradins jusqu’à une hauteur maximale de 11,2 m.

2)

11,2 : 0,2 = 56.

On peut donc élever 56 rangées de gradins au maximum.

On traduit l’énoncé :• « la partie [BF] du haut-parleur est verticale » : Comme (CD) est aussi verticale, alors (BE) est parallèle à (CD).• « le son se diffuse de façon conique » : comme on travaille sur la vue de côté de la salle, on obtient donc un triangle ACD.La difficulté de cet exercice vient principalement du fait qu’on doit faire le tri dans l’énoncé parmi toutes les données afin de mettre en évidence celles dont on va avoir besoin pour utiliser la propriété de Thalès, celles qu’on va utiliser ensuite et celles qui sont inutiles (6 m).

1)Pour que le spectacle soit de bonne qualité pour tous les spectateurs, on ne doit pas élever les gradins plus haut que le point C.

D’après le schéma du haut-parleur :AE = 1 m BE = 0,4 : 2 soit BE = 0,2 m

Le calcul de AD se fait lui grâce aux dimensions de la salle (50 m de long auxquels on enlève les 4 m de l’estrade).

On a calculé la longueur CD, c’est à dire la hauteur des gradins à partir de l’estrade, donc il ne faut pas oublier de rajouter la hauteur de l’estrade à la fin de notre calcul.

Au delà de 11,2 m de haut, la qualité du son sera un peu moins bonne.2)20 cm = 0,2 m.

Question supplémentaire possible : quelle sera alors la largeur de chaque gradin ?50 – 4 – 6 = 40On élève donc les gradins sur une longueur de 40 m.40 : 56 ≈ 0,71 m de large.Donc, on pourra élever 56 gradins d’environ 0,71 m de large.



ccSéquence 2


Exercice 37

1)

a) b) c) d)

Justification : Dans le triangle ABG :

• E est un point de [AG)

• E’ est un point de [AB)

• (EE’) et (GB) sont parallèles.


AE

AG

AE

AB

EE

GB= =

' '

Or d’après la construction : AE = 3

5 AG

c’est-à-dire : AE

AG=

3

5.

On en déduit : AE

AB

'=

3

5.

Autrement dit, E’ est un point qui vérifie :

AE’ = 3

5 AB.

x

A B

C

D

E

F

G

C' D' E' F'

(d1) (d

2) (d

3) (d

4) (d

5)

Les commentaires du professeur :(Ax) et (AB) ne doivent pas être confondues car sinon, on ne peut plus construire les parallèles.On prend un écartement quelconque avec le compas et on reporte 5 fois la même longueur.Ainsi, on obtient les points C, D, E, F et G vérifiant :AC = CD = DE = EF = FG.

x

A B

x

A B

C

D

E

F

G

On trace la droite (GB).



cc Séquence 2

Les parallèles se construisent avec une règle non graduée et une équerre. En traçant les parallèles, on partage le segment [AB] en 5 segments superposables, ainsi :AC’ = C’D’ = D’E’ = E’F’ = F’B.On montre ces égalités grâce à la propriété de Thalès.

x

A B

C

D

E

F

G

E'

(d5)

Comme on a : AC = CD = DE = EF = FG, alors E est un point qui vérifie : AE AG=35

c’est-à-dire AEAG

=35

.

On se place dans les triangles AEE’ et AGB pour utiliser la propriété de Thalès. On en déduit : AE'AB

=35

soit AE' AB=35

.

On pourrait montrer de la même façon les égalités: • AC AB' =15

• AD AB' =25

• AF AB' =45

La propriété de Thalès nous permet de montrer qu’en faisant cette construction, on peut partager un segment de longueur quelconque en 5 segments superposables, sans avoir besoin de le mesurer, mais en utilisant uniquement un compas, une règle non graduée et une équerre.

2)x

A Y

M

C

B

Les commentaires du professeur :Le raisonnement et la construction sont les mêmes que ceux de la question précédente.Cette fois, on trace sur [Ax) 7 segments de longueurs égales à l’aide d’un compas.

Cette construction peut se généraliser au partage d’un segment en un nombre quelconque de parts égales.



ccSéquence 2

Je m’évalue1)

˛ (AB) // (DC)

˛ EF = FB

® AE = AB

˛ ABCD est un rectangle

2)® F est le milieu de [BC]

˛ (DE) // (BC)

® (EF) // (BA)

˛ BC = 2 cm

3) ˛ AB

7921=

® 1

6 2=

AB

® 9 12

6AB=

˛ 1510

4 5AB= ,

4) ®

AB

BC

ED

DC

BD

AE= =

˛

CB

CA

CD

CE

BD

AE= =

® BC

AC

DC

EC

AE

BD= = ˛

AC

BC

EC

DC

AE

BD= =

1)

• (AB) est parallèle à (DC) car (AB) et (DC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AE) (ou à la droite (AD)).

• On utilise la propriété 3 des milieux dans le triangle AEB pour montrer que F est le milieu de [EB], d’où : EF = FB.

• On n’a aucune information sur la longueur AB, donc il n’y a aucune raison pour que AB et AE soient égales.

• ABCD est un rectangle car c’est un quadrilatère qui a trois angles droits.

2)• On ne peut pas utiliser la propriété 3 des milieux car on ne sait pas si (FE) est parallèle à (AB).• On utilise la propriété 1 des milieux dans le triangle ABC pour montrer que (DE) est parallèle à (BC).• On ne peut pas utiliser la propriété 1 des milieux car on ne sait pas si F est le milieu de [BC].• On utilise la propriété 2 des milieux dans le triangle ABC.

3)

• AB est le nombre qui divisé par 7 donne 921

.

C’est donc 7921

× soit 3.

• AB = 13

• AB = 9 612

4,5×

=

• AB = 4 5 10

15, ×

soit AB = 3.

4)

ACBC

= =ECDC

AEBD

peut s’écrire aussi : CACB

= =CECD

AEBD

.

Cette relation est également vraie.

Si tu ne comprends pas, reporte-toi au « Je retiens » qui suit l’exercice 20.



cc Séquence 2

5)

® Figure 1

˛ Figure 2

® Figure 3

˛ Figure 4

6)

˛ BD = 4

® BD = 3

® BD = 9

® BD = 6

7)

® la propriété 1 des milieux

˛ la propriété 2 des milieux


˛ la propriété de Thalès

5)

Dans chaque figure, la relation de Thalès s’écrit :

CBCA

CDCE

BDAE

= =

• Figure 1 23

34 5

BDAE

= =,

: il manque la longueur AE.

• Figure 2 23

3CE

BD6

= =

• Figure 3 2CA

CDCE

BD6

= = : il manque la longueur CA.

• Figure 4 2CA

34 5

BD6

= =,

6)figure 2

On a : 23

BD6

=

BD est le nombre qui divisé par 6 donne 23

, c’est donc : 6 ×23

= 4

figure 4

34 5

BD6,

=

BD est le nombre qui divisé par 6 donne 3

4,5, c’est : 6 ×

34,5

= 4

7)

• On se place dans le triangle BIC :

D est le milieu de [IC] et (HD) est parallèle à (BC) car les côtés opposés du parallélogramme BCDE sont parallèles.

On applique la propriété 3 des milieux et on démontre que H est le milieu de [BI].

D est le milieu de [IC] et H est le milieu de [BI].

On applique la propriété 2 des milieux et on montre que :

HD = 2 cm

• On peut également utiliser la propriété de Thalès :

H est un point de [IB), D est un point de [IC) et les droites (HD) et (BC) sont parallèles.

En appliquant la propriété de Thalès, on obtient :

IHIB

IDIC

HDBC

= = .

On obtient : HD = 2 cm.



ccSéquence 2

8)




˛ la propriété de Thalès

9)




® la propriété de Thalès

10)

® Dans le triangle BIE

˛ Dans le triangle BIC

˛ Dans le quadrilatère BDIE

® Dans le triangle BID

8)

On utilise la propriété de Thalès dans les triangles ADE et ABF:

F est un point de [AE), B est un point de [AD) et les droites (FB) et (ED) sont parallèles.

En appliquant la propriété de Thalès, on obtient :

AFAE

ABAD

FBED

= = .

Donc : AFAE

1 54 5

FB4

= =,,

On obtient alors : FB ≈ 1,33 cm.

9)

D est le milieu de [CI] et G est le milieu de [CE] (car les diagonales du parallélogramme EBCD se coupent en leur milieu G).

En appliquant la propriété 1 des milieux dans le triangle CEI, on démontre donc que les droites (GD) et (EI) sont parallèles.

10)

• Si on se place dans le triangle BIC :

D est le milieu de [IC] et (HD) est parallèle à (BC) (car les côtés opposés du parallélogramme BCDE sont parallèles).

On applique la propriété 3 des milieux et on démontre que H est le milieu de [BI].

• Si on se place dans le quadrilatère BDIE :

On a démontré à la question 9 que (BD) et (EI) sont parallèles.

De plus, (BE) et (CI) sont parallèles. Donc BDIE est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles. C’est donc un parallélogramme.

Or, un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Donc H est le milieu de [BI].

• On ne peut pas se placer dans le triangle BID car on ne sait pas si les droites (HG) et (ID) sont parallèles.



cc Séquence 3


PUISSANCESCe que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise les acquis de la 5e1) ® 0 ˛ – 6® 9 ˛ (– 3) + (– 3)

2) ˛

13

˛ 26

® 2

4 ®

4

2

3) ® une somme ˛ un produit® un quotient ® une différence

4) ® 20 ® 40˛ 100 ® 5

5) ˛ l’opposé de (– 8)® l’inverse de (– 8)

6) ® x + x + x + x® 2 x˛ x × x

7) ® le triple de 5˛ le cube de 5® le carré de 5

8) ® 3 × a˛ a × a × a˛ a3

1)

La somme de (–3) et de (–3) est : (–3) + (–3) = (–6)

2)

Par définition, le nombre qui multiplié par 6 donne 2 est 26

.

26

2 12 3

13

=××

=

3)

L’écriture indique qu’on multiplie 7 par le nombre 15 – 3.

4)

Le carré de 10 est 10² soit 10 × 10 c’est-à-dire 100.

5)

8 + (–8) = 0 donc par définition 8 et (–8) sont opposés.

Cela peut aussi se dire – 8 est l’opposé de 8.

L’inverse de – 8 est 18− soit −

18

.

6)

L’aire d’un carré s’obtient en multipliant son côté par lui-même.

x + x + x + x = 4x est le périmètre d’un carré de côté x.

7)

Le triple de 5 est 3 × 5 soit 15.

Le cube de 5 est 53 soit 5 × 5 × 5 c’est-à-dire 125.

Le carré de 5 est 52 soit 5 × 5 c’est-à-dire 25.

8)

Le volume d’un cube d’arête a est a × a × a.

Ce nombre se note également a3.

3 × a est le triple de a : ce n’est pas le cube de a.



ccSéquence 3

Exercice 1• Noémie se trompe. Si on applique son raisonnement, après 3 formules « BIS », il y aurait 3 × 2 soit 6 souris.En fait, après une formule, il y en a 2.Après la 2e formule, il y en a 2 × 2 donc 4.Après la 3e formule, il y en a deux fois plus que précédemment, soit 2 × 4 donc 8.• Ali a raison : après 3 formules « BIS », on a 2 × 2 × 2 soit 8 souris. Il a bien calculé le nombre de souris après 3 formules, mais ensuite, il bloque.• Manon a raison : à chaque fois qu’Harry prononce « BIS », le nombre de souris est multiplié par 2.Après la 4e formule, on a donc 2 fois plus de souris qu’après la 3e, soit 2 × (2 × 2 × 2), c’est-à-dire :2 × 2 × 2 × 2.

Il y a en fait autant de fois 2 qu’il y a eu de formules « BIS » prononcées.Après la 5e formule : 2 × 2 × 2 × 2 × 2Après la 6e formule : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2Après la 7e formule : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2Après la 8e formule : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2…Après la 20e formule : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2J’utilise alors ma calculatrice (le calcul est très long à taper !). Je trouve 1 048 576 souris !

Les commentaires du professeur :Voici une façon de représenter comment évolue le nombre de souris lorsqu’on répète la formule magique « BIS » :

"BIS" 1e fois

"BIS" 2e fois

"BIS" 3e fois

2 souris

1 souris

8 souris

4 souris

x 2

x 2

x 2

Étudions la remarque de Noémie :Noémie se trompe, car elle ajoute 2 à chaque fois au lieu de multiplier par 2 (voir dessin ci-dessus).

Étudions la remarque d’Ali :Ali comprend ce qui se passe quand la formule a été prononcée peu de fois. Il n’a cependant pas compris le « mécanisme » qui permet de calculer le nombre de souris pour un grand nombre de formules magiques prononcées, à savoir qu’à chaque fois que l’on prononce la formule « BIS », le nombre de souris est multiplié par 2.

Étudions la remarque de Manon :Manon a compris le « mécanisme », mais pense que le résultat 1 048 576 est faux car il lui paraît trop grand.Ce résultat est pourtant le bon. Il faut retenir que lorsqu’on multiplie un nombre comme 2 un grand nombre de fois par lui même, le résultat obtenu devient vite très grand.

Remarque générale : À partir d’un certain nombre de formules prononcées, il devient difficile d’écrire le nombre de souris. On convient alors d’une écriture simple : 28

2 2 2 2 2 2 2 2= × × × × × × ×8 2facteurs égaux à

. Ce nombre se lit « 2 puissance 8 ». 8 est appelé « exposant de la puissance ».

Au bout de 20 formules magiques prononcées, le nombre de souris est donc 220.Cette notation est cohérente avec les notions de carré et de cube vues l’année dernière puisque : 22 = 2 × 2 et 23 = 2 × 2 × 2



cc Séquence 3

Exercice 2

nombre de fois où la formule « BIS » est prononcée

0 1 2 3 4 5

nombre de souris 1 2 4 8 16 32

nombre de fois où la formule « BIS » est prononcée

6 7 8 9 10 11

nombre de souris 64 128 256 512 1 024 2 048

Les commentaires du professeur :Il suffit, pour passer d’une case à celle qui se trouve juste à droite, de multiplier par 2 le nombre de souris. Le nombre de fois où la formule magique « BIS » a été prononcée correspond à l’exposant de la puissance de 2.

On a ainsi déterminé :22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1 024 211 = 2 048

Exercice 3

nombre de fois où la formule « TER » est prononcée

1 2 3 4 5 6 7

nombre de souris (sous forme de puissance)

32 33 34 35 36 37

nombre de souris 3 9 27 81 243 729 2 187

Les commentaires du professeur :Il suffit cette fois, pour passer d’une case à celle qui se trouve juste à droite, de multiplier par 3 le nombre de souris. Le nombre de fois où la formule magique « TER » a été prononcée correspond à l’exposant de la puissance de 3.

Exercice 41)

« TER » car on multiplie toujours par 3 qui est plus grand que 2.

2)

229 = 536 870 912

230 = 1 073 741 824

Harry doit prononcer 30 fois la formule « BIS ».

318 = 387 420 489

319 = 1 162 261 467

Harry doit prononcer 19 fois la formule « TER ».

1) Le nombre de souris grandit beaucoup plus vite quand on utilise la formule « TER ». Pour t’en rendre compte, il suffit de regarder les tableaux des exercices 2 et 3. Par exemple, pour 7 formules « BIS » prononcées, on obtient 128 souris, alors que pour 7 formules « TER », on en obtient 2 187 !

2)

On calcule les puissances de 2 pour un exposant de plus en plus grand (12 ; 13 ; 14, etc.) jusqu’à ce que l’on dépasse 1 000 000 000. Pour 29 formules « BIS » prononcées, on a moins d’un milliard, pour 30, on a plus d’un milliard.

On fait de même pour les puissances de 3. On trouve 19.Ce nombre est bien plus petit que 29, ce qui est normal, car comme on l’a vu dans la question 1, le nombre de souris grandit beaucoup plus vite quand on utilise la formule « TER ».



ccSéquence 3

Exercice 5« 2 puissance 7 » = 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128« 3 puissance 5 » = 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243« 2 puissance 3 » = 23 = 2 × 2 × 2 = 8« 7 puissance 4 » = 74 = 7 × 7 × 7 × 7 = 2 401« 10 puissance 5 » = 105 = 10 10 10

5 10

× × ×...facteurs égauxà

= 100 000

« (– 8) puissance 6 » = (– 8)6 = ( ) ( ) ... ( )( )

− × − × × −−

8 8 86 8facteurs égauxà

= 262 144

Les commentaires du professeur :On applique la définition de la puissance d’un nombre.

Exercice 603 = 0 × 0 × 0 = 033 = 3 × 3 × 3 = 2723 = 2 × 2 × 2 = 852 = 5 × 5 = 2514 = 1 × 1 × 1 × 1 = 143 = 4 × 4 × 4 = 64

3

7

3

7

3

7

2

= × = 949

(– 4)3 = (– 4) × (– 4) × (– 4) = – 640,23 = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 0,0032 = 0,003 × 0,003 = 0,000 009

On remarque trois choses dans cet exercice :

• pour un exposant plus grand ou égal à 2, une puissance de 0 est toujours nulle car c’est un produit dont les facteurs sont égaux à 0. exemple : 04 = 0 × 0 × 0 × 0.

• pour un exposant plus grand ou égal à 2, une puissance de 1 est toujours égale à 1 car c’est un produit dont les facteurs sont égaux à 1.

• une puissance d’un nombre plus petit que 1 semble être plus petite que le nombre. Par exemple :0,23 = 0,008 0,008 est plus petit que 0,20,0032 = 0,000 009 0,000 009 est plus petit que 0,003.

Exercice 726 = 6436 = 72974 = 2 4011,14 = 1,464 1(– 7)8 = 5 764 801

Si tu n’arrives pas à utiliser ta calculatrice, reporte-toi aux pages calculatrices à la fin de ton livret de cours.



cc Séquence 3


Exercice 81)104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000103 = 10 × 10 × 10 = 1 000108 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 0001012 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000 000 0002)Il semble que le nombre de zéros du résultat soit égal à l’exposant.


Le cas particulier des puissances de 10 est intéressant. Dans ce cas, l’exposant est égal au nombre de 0.

On peut donc donner l’écriture décimale de 102, 103, …, 1025, … sans faire aucun calcul !

Exercice 9cent : 100 =102

mille : 1 000 = 103

un million : 1 000 000 = 106

un milliard : 1 000 000 000 = 109 mille milliards : 1 000 000 000 000 = 1012 un milliard de milliards : 1 000 000 000 000 000 000 = 1018


On voit bien sur ces exemples l’intérêt de la notation puissance ; au lieu de perdre du temps à écrire les 18 zéros de l’écriture décimale de 1018, on écrira à partir de maintenant 1018.

Exercice 10100 < 256 < 1 000 soit 102 < 256 < 103

10 000 000 < 15 000 645 < 100 000 000 soit 107 < 15 000 645 < 108 1 000 < 7 891 < 10 000 soit 103 < 7 891 < 104

10 000 000 000 < 45 987 123 654 < 100 000 000 000 soit 1010 < 45 987 123 654 < 1011


Encadrer un nombre par deux puissances consécutives de 10 permet d’avoir un ordre de grandeur de ce nombre.

Exercice 111 dm = 102 mm 1 km = 105 cm1 MHz = 106 Hz 1GHz = 109 Hz


1 dm = 10 cm = 100 mm = 102 mm 1 km = 1 000 m = 100 000 cm = 105 cm

1 MHz = 1 000 kHz = 1 000 000 Hz = 106 Hz 1 GHz = 1 000 MHz = 1 000 000 000 Hz = 109 Hz



ccSéquence 3

Exercice 12A = 105 + 107 + 104 = 100 000 + 10 000 000 + 10 000 = 10 110 000B = 8 × 103 – 9 × 102 + 41 = 8 000 – 900 + 41 = 7 141C = 102 + 102 + 102 = 100 + 100 + 100 = 300D = 102 × 102 × 102 = 100 × 100 × 100 = 1 000 000


• On peut écrire l’expression 102 + 102 + 102 de la façon suivante : 3 × 102

(comme lorsqu’on écrit par exemple que x + x + x est égal à 3x)

• Il faut faire attention à ne pas confondre 102 + 102 + 102 qui est une somme de trois termes égaux à 102, et 102 × 102 × 102 qui est un produit de trois facteurs égaux à 102.

• On note que : 102 × 102 × 102 = 1 000 000 = 106.

On remarque que : 2 + 2 + 2 = 6.

Exercice 13Je n’arrive pas à trouver un nombre dont le carré est négatif.Le carré d’un nombre est le produit de ce nombre par lui-même.On sait que :• le produit de deux nombres positifs est positif• le produit de deux nombres négatifs est positifLe carré d’un nombre est donc positif.

Ce n’est pas étonnant, car il n’y en a pas !

On utilise la propriété du signe du produit de deux nombres relatifs, vue dans la séquence 1, séance 1 de ce cours.

Attention à ne pas confondre (– 3)2 et – 32.

(– 3)2 = (– 3) × (– 3) = 9

– 32 = – 3 × 3 = – 9

– 32 n’est pas le carré d’un nombre ; c’est l’opposé du carré de 3 ; ce n’est pas la même chose.

Exercice 141)A = 23 × 22 = 2 2 2 2 2× × × ×

2 23 2124 34

{

= 32A = 25

2)B = 34 × 32 = 3 3 3 3

4 3 2 3

× × × ×...facteurs égauxà facteurs égauxà

= 729B = 36

3)52 × 54 = 5 5 5 5 5 5

2 5 4 5 6

× × × × = × ×facteurs égauxà facteurs égauxà

... ...ffacteurs égauxà5

52 × 54 = 56

1)• On peut essayer de chercher si 32 est une puissance de 2, et donc faire des essais à l’aide d’une calculatrice.On peut par exemple calculer 26 (On trouve 64) et se dire : « il faut un exposant plus petit ». On finit par trouver que : 25 = 32.On peut aussi utiliser l’exercice 2.• On pouvait aussi, et c’était plus rapide et facile, ne pas repartir de 32, mais voir que A est le produit de 5 facteurs égaux à 2. A est par définition égal à 25.

2)• On pouvait de nouveau chercher à l’aide d’essais sur une calculatrice, si 729 est une puissance de 3.On pouvait aussi utiliser le tableau de l’exercice 3.• La meilleure solution était de voir que B est le produit de 4 + 2 soit 6 facteurs égaux à 3.

3)52 × 54 est le produit de 2 facteurs égaux à 5 et de 4 facteurs égaux à 5.C’est donc le produit de 2 + 4 soit 6 facteurs égaux à 5.D’où : 52 × 54 = 56



cc Séquence 3

Exercice 15A = 23 + 24

Je ne peux pas appliquer la propriété vue précédemment.A = 8 + 16 = 24

B = 52 × 53

Je peux appliquer la propriété vue précédemment.B = 52 × 53 = 52 + 3 = 55

C = 0,32 × 103

Je ne peux pas appliquer la propriété vue précédemment.C = 0,09 × 1 000 = 90

Expression ACette expression n’est pas un produit, mais une somme. On ne peut donc pas appliquer la propriété vue précédemment.

Expression BCette expression est sous la forme d’un produit de deux puissances de 5. On peut donc appliquer la propriété vue précédemment.

Expression CCette expression est un produit, mais les nombres qui sont élevés à la puissance ne sont pas les mêmes. On ne peut donc pas appliquer la propriété vue précédemment.

Remarque de vocabulaire :Lorsqu’on calcule 103, on dit qu’on élève 10 à la puissance 3.


Exercice 161)Ali a raison.On a bien : 32 = 30 × 32

On a donc : 9 = 30 × 930 est donc le nombre qui multiplié par 9 donne 9,

c’est donc 9

9 c’est-à-dire 1.

On vient donc de démontrer que : 30 = 1

2)

Noémie a écrit deux fois la même égalité.

Manon a bien appliqué la propriété, et elle est presque arrivée au résultat.

En effet, de : 33 = 31+2 = 31 × 32

on déduit : 27 = 31 × 9

31 est le nombre qui multiplié par 9 donne 27,

c’est donc 27

9 c’est-à-dire 3.

1)

Dans la suite du cours, on va admettre que la propriété vue précédemment, démontrée pour des exposants supérieurs ou égaux à 2 est toujours vraie pour des exposants supérieurs ou égaux à 0.

99 (qui est égal à 1) est le seul nombre qui multiplié par 9

donne 9.

On avait en fait déjà vu dans la 1ère séance, qu’il y avait une seule souris avant que le petit magicien Harry, n’ait prononcé la formule « TER » pour la 1ère fois.

On avait donc vu concrètement que : 30 = 1.

2)

279 (qui est égal à 3) est le seul nombre qui multiplié par 9

donne 27.

D’où on déduit de : 27 = 31 × 9 que : 31 = 3.

• On avait en fait déjà vu dans la 1ère séance, qu’il y avait 3 souris après que le petit magicien Harry eut prononcé la formule « TER » pour la 1ère fois.

On avait donc vu concrètement que : 31 = 3.

• Pour se rappeler cette égalité, il suffit de se dire que 31 est en fait un produit « d’un seul facteur égal à 3 » !



ccSéquence 3

Exercice 17A = (– 2)0 = 1

B = 71 = 7

C = 10 = 1

D = 01 = 0

E = 9990 = 1

F = 0,000 11 = 0,000 1

G = 05 = 0

H = 11 = 1

fl A est un nombre non nul à la puissance 0 : il est donc égal à 1. On utilise l’égalité : a0 = 1 ( a ≠ 0 )fl On applique l’égalité : a1 = a

fl On applique l’égalité : a0 = 1 ( a ≠ 0 )

fl On applique l’égalité : a1 = a

fl On applique l’égalité : a0 = 1 ( a ≠ 0 )

fl On applique l’égalité : a1 = a

fl Les puissances de 0 sont des produits dont les facteurs sont 0 : elles sont donc égales à 0.fl On applique l’égalité : a1 = a

Remarque générale : lorsqu’on calcule une puissance, il faut faire attention à bien regarder le nombre et l’exposant afin d’appliquer la bonne égalité !

Exercice 18Les cinq nombres sont égaux à 1 :

20 = 1

50 = 1

11 = 1

100 = 1

9990 = 1

On sait, d’après l’égalité : a0 = 1 ( a ≠ 0 ) que :20 = 50 = 100 = 9990 = 1.

On sait d’après l’égalité : a1 = a que : 11 = 1

Les 5 nombres sont donc égaux !

Exercice 193 928 = 3 × 1 000 + 9 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1

3 928 = 3 × 103 + 9 × 102 + 2 × 101 + 8 × 100

7 894 645 = 7 × 1 000 000 + 8 × 100 000 + 9 × 10 000 + 4 × 1 000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1

7 894 645 = 7 × 106 + 8 × 105 + 9 × 104 + 4 × 103 + 6 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100

Les commentaires du professeur :On peut écrire n’importe quel entier en base 10.

Exercice 20Une puissance d’un nombre positif est un produit de nombres positifs.

Un produit de nombres positifs est positif.

Une puissance d’un nombre positif est donc un nombre positif. Rappelons les deux règles suivantes vues dans la séquence 1.

• Le produit de deux nombres de même signe est positif.• Le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.



cc Séquence 3

Exercice 211)(– 2)1 = (– 2) (– 2)1 est négatif

(– 2)2 = ( 2) ( 2)− × −nombre positif

1 244 344

(– 2)2 est positif

(– 2)3 = ( 2) ( 2) ( 2)− × − × −nombre positif nombre négatif

(– 2)3 est négatif

(– 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)− × − × − × −nombre positif nombre positif

1 244 344 1 2444 344



1 244 344 1 2444 344

× −( 2) (– 2)5 est négatif


1 244 344 1 2444 344 1 244 344

× − × −( 2) ( 2)nombre positif


Lorsque l’exposant est pair, on peut regrouper les facteurs (– 2) par groupes de deux. Le résultat final est donc positif car c’est un produit de nombres positifs.

Lorsque l’exposant est impair, on peut regrouper les facteurs (– 2) par groupes de deux, mais il reste un facteur égal à (– 2) « tout seul ». Le résultat final est donc négatif car c’est le produit d’un nombre négatif (le nombre – 2 « tout seul) par un nombre positif (le reste des facteurs – 2 groupés par 2)(– 2)6 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)− × − × − × − × − × −

4 4 4

3 4facteurs égaux à

; le produit de 3 facteurs égaux à 4 est positif.

(– 2)6 est donc positif.

(– 2)7 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)− × − × − × − × − × −4 4 4

3 4

2

facteurs égaux à

× −( )

(– 2)7 est donc négatif.2)(– 11)8 est le produit de 4 facteurs égaux à (– 11) × (– 11).C’est donc le produit de 4 facteurs égaux à 121.(– 11)8 est donc positif.

(– 7)9 est le produit de 4 facteurs égaux à (– 7) × (– 7) et de (– 7).C’est donc le produit de 4 facteurs égaux à 49 et de (– 7).(– 7)9 est donc négatif.

Les commentaires du professeur :On vient donc de voir une méthode permettant de déterminer le signe d’une puissance d’un nombre négatif sans avoir à calculer cette puissance.

Exercice 22(– 11)9 est négatif car (– 11) est négatif et 9 est impair.105 est positif car 10 est positif.(– 3)8 est positif car (– 3) est négatif et 8 est pair.(– 0,15)6 est positif car (– 0,15) est négatif et 6 est pair.(– 10)11 est négatif car (– 10) est négatif et 11 est impair.

Les commentaires du professeur :On applique la propriété que l’on vient de voir.



ccSéquence 3

Exercice 23a)(– 5)2 = (– 5) × (– 5) = 25 – 52 = – 5 × 5 = – 25(– 5)2 n’est pas égal à – 52.

b)(– 2)4 = (– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) = 16 – 24 = – 2 × 2 × 2 × 2 = – 16(– 2)4 et – 24 ne sont pas égaux.

c)(– 2)3 = (– 2) × (– 2) × (– 2) = – 8 – 23 = – 2 × 2 × 2 = – 8(– 2)3 et – 23 sont égaux.

Exercice 24• (– 30)3 est négatif car (– 30) est négatif et 3 est impair.• (– 10)6 est positif car (– 10) est négatif et 6 est pair.• 04 est égal à 0.

D’où le rangement ci-dessous :(– 30)3 < 04 < (– 10)6

Pour résoudre cet exercice, on applique la règle du signe d’une puissance.

Parmi les trois nombres donnés, l’un est négatif, l’autre est égal à 0, et le dernier est positif. On peut donc facilement les ranger dans l’ordre croissant.

Exercice 251) Intuitivement, je pense que c’est vrai.

2)32 = 9(– 3)² = (– 3) × (– 3) = 9Les nombres 3 et (– 3) ont donc le même carré.Quentin a donc tort et Hugo raison.

1)On va voir dans le corrigé de la question 2 qu’il faut se méfier de son intuition !2)Les deux nombres 3 et – 3 ont le même carré 9.On peut se poser une question : y a-t-il d’autres nombres dont le carré est 9 ?La réponse est non.On va admettre dans la suite de ce cours que tout nombre positif (autre que 0) est le carré de deux nombres (ces nombres sont opposés). Ce résultat sera prouvé en classe de 3e.


Exercice 261)Le raisonnement d’Ali est correct.30 = 3–2 + 2 = 3–2 × 32

2) On sait que : 30 = 1 32 = 9L’égalité 30 = 3–2 × 32 devient : 1 = 3–2 × 93–2 est le nombre qui multiplié par 9 donne 1, c’est

donc l’inverse de 9, c’est-à-dire 19

.

1)

Ali applique ce que le professeur lui a dit de faire.

2)



cc Séquence 3

3)• 20 = 2–4 + 4

20 = 2–4 × 24 1 = 2–4 × 162–4 est l’inverse de 16 donc : 2 4− = 1

16

• 50 = 5–2 × 52

1 = 5–2 × 255–2 est l’inverse de 25 donc : 5 2− = 1

25

• (–5)0 = (– 5)–3 × (– 5)3

1 = (– 5)–3 × (– 125)(– 5)–3 est l’inverse de – 125 donc :

( )− =−

=−51

1253 1

125−

3) On applique ce que le professeur a dit à Ali et on procède de la même façon que Noémie.

Remarque : 2–4 = 1

24

Remarque : 5–2 = 1

52

Remarque : (–5)–3 = 1

( 5)3−

Exercice 27

A = 1

51= 1

5

B = 1

3

1

273( )−=

−= 1

27− −

C = 1

32= 1

9

D = 1

4–2 = 16

On applique le précédent « Je retiens ».

Exercice 28

A = 2 × 3–2 = 21

32× = 2

9

B = 5 4 51

4

5

41

1× − = ×

−=

−=−( )

( )

54

−

C = 7 3 71

37

1

9

63

9

1

92

2+ = + = + = + =− 64

9

Dans chaque cas, on commence par effectuer les puissances.

Exercice 29• Pour x = 2

A = 3 2 31

23

1

4

12

4

1

42

2+ = + = + = + =− 13

4

• Pour x = –3

A = 3 3 31

33

1

9

27

9

1

92

2+ − = +

−= + = + =−( )

( )

289

Dans chaque cas, on commence par effectuer les puissances.

On pouvait également, avant de calculer A pour différentes valeurs de x, essayer de l’écrire autrement :

A = + = +−3 3122

xx

(x ≠ 0)



ccSéquence 3

Exercice 30

K = − = = =− −( )5 3 21

23 3

3

18

L =

= × = ××

=2

3

2

3

2

3

2 2

3 3

249

M = + = + = + =−6 4 61

4

24

4

1

41 25

4

N = + = = =− −( )6 4 101

101 1 0,1

On commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Ensuite, on effectue les puissances.

Exercice 311)

A = = = =−101

10

1

1 0003

30,001

B = = = =−101

10

1

10 0004

40,000 1

C = = = =−101

10

1

1 000 0006

60,000 001

D = = = =−101

10

1

1002

20,01

E = = = =−101

10

1

101

10,1

2)Si l’exposant est –1, il y au total 1 zéro.Si l’exposant est –2, il y au total 2 zéros.Si l’exposant est –3, il y au total 3 zéros.…

1)

103 = 1 000 1

1000= 0,001

3 zéros 3 zéros

104 = 10 000 1

10 000= 0,000 1

4 zéros 4 zéros

2)

10–1 = 0,1 il y a bien au total 1 zéro.

10–2 = 0,01 il y a bien au total 2 zéros.

10–3 = 0,001 il y a bien au total 3 zéros.

Exercice 32

• un centième : 10–2 soit 0,01

• un milliardième : 10–9 soit 0,000 000 001

• l’inverse de 10 : 10–1 soit 0,1

• cent millièmes : 100 × 10–3 soit 102 × 10–3 donc

10–1 soit 0,1

• un millionième : 10–6 soit 0,000 001

• l’inverse de mille : 10–3 soit 0,001

• 1

100= 1

102= 10–2 ; on applique ensuite le « Je retiens »

précédent.

• un milliardième = 1

1000 000 000= 1

109= 10-9

• cent millièmes c’est 100 × 1

1000soit 102 ×

1

103

c’est-à-dire 102 × 10–3 soit 102 – 3



cc Séquence 3

Exercice 33• micro est un préfixe d’unité de mesure correspondant à 10–6 fois une unité.• nano est un préfixe d’unité de mesure correspondant à 10–9 fois une unité.• pico est un préfixe d’unité de mesure correspondant à 10–12 fois une unité.

1 micromètre s’écrit 1 μm. 1 μm =10–6 m1 nanomètre s’écrit 1 nm. 1 nm = 10–9 m1 picomètre s’écrit 1 pm. 1 pm = 10–12 m

Exercice 34

1 mm = 10–2 dm 1 cm = 10–5 km

1 m = 1012 pm 1 μg = 10–6 g

1 Hz = 10–6 MHz 1 Hz = 10–9 GHz

1 mm = 103 μm 1 kg = 1012 ng

• 1 mm = 1

10 cm =

1

100 dm

• 1 cm = 1

100 m et 1 m =

1

1000 km

donc 1 cm = 1

100 ×

1

1000 km = 1

100 000 km = 1

105 km

• 1 MHz se lit « 1 mégahertz » ; méga est un préfixe d’unité de mesure correspondant à un million de fois (soit 106 fois) une unité.D’où : 1 MHz = 106 Hz donc 1 Hz = 10–6 MHz.

• 1 GHz se lit « 1 gigahertz » ; giga est un préfixe d’unité de mesure correspondant à un milliard de fois (soit 109 fois) une unité.

1 GHz = 109 Hz donc 1 Hz = 1

109 GHz = 10-9 GHz


Exercice 35• 4 000 × 200 = 800 000Les commentaires du professeur :On peut calculer de tête en décomposant le produit 4 000 × 200 de la façon suivante :

4 000 × 200 = 4 × 1000 × 2 × 100 =(4 × 2) × (1 000 × 100)On obtient donc 8 × 100 000 soit 800 000.

•4 000 000 × 0,000 7 = 2 800Les commentaires du professeur : on peut utiliser plusieurs méthodes :• 1ère méthode :4 000 000 × 0,000 7= 4 × 1 000 000 × 7 × 0,000 1 = (4 × 7) × 1 000 000 × 0,000 1 = 28 × 100 = 2 800Rappel pour calculer 1 000 000 × 0,000 1 :Multiplier par 0,000 1 revient à diviser par 10 000. Chaque chiffre doit avoir une valeur « 10 000 fois inférieure ».1 000 000 × 0, 000 1 = 100 « le chiffre des dizaines de mille devient le chiffre des unités »• 2ème méthode :4 000 000 × 0,000 7 = 4 000 000 × 7 × 0,000 1 = 28 000 000 × 0,000 1 = 2 800Rappel : 28 000 000 × 0,000 1 = 2 800 « le chiffre des dizaines de mille devient le chiffre des unités »

On comprend en voyant les calculs ci-dessus que l’on a intérêt à utiliser les puissances de 10 pour ne pas avoir à écrire de nombreuses fois le chiffre 0. En effet, on peut également écrire :4 × 106 × 7 × 10–4 = (4 × 7) × (106 × 10–4) = 28 × 102 = 2 800 C’est beaucoup plus simple !



ccSéquence 3

Exercice 36

3,012 × 102 = 3,012 × 100 = 301, 2

42,3 × 10–1 = 42,3 × 0,1 = 4,23

5,2 × 105 = 5,2 × 100 000 = 520 000

– 5 × 103 = – 5 × 1 000 = – 5 000

630 × 10– 3 = 630 × 0,001 = 0,63

Pour multiplier par une puissance de 10, on se ramène à une multiplication par 10, 100, 1 000, … ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … .

Petit rappel :Pour calculer par exemple 3,012 × 100, on déplace « chaque chiffre de deux rangs vers la gauche », de façon à lui donner une valeur 100 fois supérieure.On obtient alors 301,2.

Pour calculer par exemple 42,3 × 0,1, on déplace « chaque chiffre d’un rang vers la droite », de façon à lui donner une valeur 10 fois inférieure.On obtient alors 4,23.

Exercice 37

0,07 × 105 = 7 000 0,07 × 10–1 = 0,007 6,7 × 102 = 670 – 6,7 × 10–2 = – 0,067

0,001 × 102 = 0,1 – 1 500 × 10–3 = – 1,5

Exercice 381-

Manon, Lindsay et Quentin ont raison, on a bien :

149 000 000 000 = 149 × 109

149 000 000 000 = 1,49 × 1011

149 000 000 000 = 1 490 × 108

2-

149 000 000 000 = 14,9 × 1010

149 000 000 000 = 149 000 000 × 103

3- La calculatrice affiche 1,49 × 1011

4- La calculatrice affiche :

• 9,123 × 1010

• 1,64 × 1017

• 5,89 × 10– 12

Il semble que la calculatrice affiche les grands nombres et les petits nombres sous la forme du produit d’un nombre compris entre 1 et 10 et d’une puissance de 10.

1)

On pouvait donner de nombreuses autres bonnes réponses, comme par exemple : 1 490 000 000 × 102.

3)La calculatrice choisit pour représenter ce grand nombre une écriture sous la forme d’un produit d’un nombre et d’une puissance de 10.4)

Les trois nombres décimaux qui précèdent la puissance de 10 sont compris entre 1 et 10.

Cette écriture (un nombre décimal compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10) est appelée « notation scientifique » ou « écriture scientifique ».

Exercice 39

4 500 = 45 000 × 10– 1 = 4 500 000 × 10– 3 = 45 × 102

0,047 1 = 0,471 × 10– 1 = 47,1 × 10– 3 = 0,000 471 × 102

– 0,68 = – 6,8 × 10– 1 = – 680 × 10– 3 = – 0,006 8 × 102

80 = 800 × 10– 1 = 80 000 × 10– 3 = 0,8 × 102



cc Séquence 3

Exercice 401)A = 1,2 × 105 B = 3,2 × 10–3 C = 3,02 × 100 D = – 5,71 × 10–4 E = 1 × 10–4

F = – 4 × 109 G = 6,9 × 10–5 Les commentaires du professeur :On pense à vérifier chaque résultat en faisant le calcul « à l’envers ».Par exemple : 1,2 × 105 = 120 000. On trouve bien 120 000.Pour G, on commence par écrire : G = 69 × 10–6.

Exercice 41A = 1,234 567 891 2 × 1010

La calculatrice affiche 1,234 567 891 × 1010

Il y a un problème : j’ai l’impression que la calculatrice se trompe !

En effet, la calculatrice n’affiche pas le bon résultat. La raison est simple : elle n’a pas assez de place pour afficher le résultat complet.En effet, l’affichage de la calculatrice se limite à 10 chiffres et le nombre 1,234 567 891 2 comporte 11 chiffres.Il faut donc parfois se méfier des résultats de la calculatrice !


Exercice 42

A = 7 7 7 7 77 7

2 3

× × × × ={

124 34

75

B = 71

7 7

1

7

7 7

7 72

3× = ×

× ×= = 7 1--

C = 1

66

6 6 6 66

65× = × × × × = 64

D = −( )−

=× −( )× −( )× −( )× −( ) =

−= −

−( )−( )

−4

4 4 4 4 4

1

44

4

45 44

( ) ( )( )

E = ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

(− × − =

−× − = −

−= × × × −− − −

−−3 3

1

33

3

3

33 3 33 43

44

3 33 3 3) ( ) ( )× ×=

− −3−

F = ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )− × − = − ×

−= × ×

× ×=− − −

− − −−4 4 4

1

4

4 4 4

4 4 43 3 3

31 = (−−4 0)

On savait déjà que pour calculer le produit de deux puissances d’un même nombre d’exposants positifs, il suffisait de faire la somme des exposants. Il en est de même pour des exposants entiers relatifs.Par exemple :

( ) ( ) ( ) ( )− × − = − −− − +3 3 3 33 4 3 4 1= = 3−

7 7 72 3 2 3× = =− − 7 1−

Exercice 43A = 102 × 103 = 102 + 3 = 105

B = 104 × 10 = 104 × 101 = 104 + 1 = 105

C = 10 × 10–2 = 101 × 10–2 = 101 – 2 = 10–1

D = 103 × 10–7 = 103 – 7 = 10–4

Les commentaires du professeur :On applique le précédent « Je retiens ».



ccSéquence 3

Exercice 441) La masse en kg d’un paquet de 6,022 × 1023 atomes est :6,022 × 1023 × 1,99 × 10–26 = 6 022 1 99 10 1023 26, ,× × × −

1 24 34

1 24 34

6,022 × 1023 × 1,99 × 10–26 = 11,983 78 × 1023 + (–26)

6,022 × 1023 × 1,99 × 10–26 = 11,983 78 × 10–3

La masse du paquet d’atomes est 0,011 983 78 kg soit 11,983 78 g.2) La masse arrondie au g près est 12 g.

Les commentaires du professeur :1) • masse en kg d’un paquet d’atomes = nombre d’atomes dans le paquet x masse en kg d’un atome• 1 kg = 103 g donc 0,011 983 78 kg = 0,011 983 78 × 103 g = 11,983 78 g

Exercice 45On peut écrire ces deux nombres à l’aide de puissances de 10 :A = 43 × 10–5 B = 215 × 10–6

Pour pouvoir les comparer, il faudrait que les exposants des deux puissances de 10 soient les mêmes.On peut chercher à écrire A sous la forme d’un nombre multiplié par 10–6.A = 430 × 10–1 × 10–5 = 430 × 10–1 + (–5) = 430 × 10–6

A = 430 × 10–6 ; B = 215 × 10–6 ; comme 430 > 215 , on a : 430 × 10–6 > 215 × 10–6 soit A > B.

Les commentaires du professeur :On pouvait traiter cet exercice de plusieurs façons :• à l’aide des écritures décimales de A et B :A = 0,000 43 B = 0,000 215C’est fastidieux ! On risque de faire une erreur en écrivant les nombres A et B.

• à l’aide d’une écriture fractionnaire de A et B : A = 43

100 000 B =

215

1000 000

A = 43

100 000 =

43 × 10

100 000 × 10 =

430

1000 000 ; 430 > 215 donc A > B

• à l’aide des puissances (voir ci-dessus)Il faut apprendre à utiliser cette méthode qui permet de travailler avec des nombres faciles à écrire.

Exercice 46a) C = 14,5 × 10–8 = 0,145 × 102 × 10–8 = 0,145 × 10–6

D = 0,73 × 10–6 0,145 < 0,73 donc : C < D.b)C = 0,000 051 × 10–3 = 5,1 × 10–5 × 10–3 = 5,1 × 10–8

D = 520 000 × 10–14 = 5,2 × 105 × 10–14 = 5,2 × 10–9 = 0,52 × 101 × 10–9 = 0,52 × 10–8

0,52 < 5,1 donc D < C.

Les commentaires du professeur :a) On applique le précédent « Je comprends la méthode ». On commence par exprimer C et D à l’aide d’une même puissance de 10 : par exemple 10-6.b) Les écritures de C et D comportent beaucoup de zéros. Aussi, on commence par écrire plus simplement C et D. Ensuite on applique le précédent « Je comprends la méthode ».



cc Séquence 3

Exercice 471)Vénus : 12,102 × 103 = 1,210 2 × 101 × 103 = 1,210 2 × 101 + 3 = 1,210 2 × 104

Terre : 127,56 × 102 = 1,275 6 × 102 × 102 = 1,275 6 × 102 + 2 = 1,275 6 × 104

Mars : 0,679 6 × 104 = 6,796 × 10–1 × 104 = 6,796 × 10–1 + 4 = 6,796 × 103

Mercure : 4 878 = 4,878 × 103

Voici les planètes classées de la plus petite à la plus grande : Mercure – Mars – Vénus – Terre.2)Vénus : 108 × 106 = 1,08 × 102 × 106 = 1,08 × 102 + 6 = 1,08 × 108

Terre : 15 000 × 104 = 1,5 × 104 × 104 = 1,5 × 104 + 4 = 1,5 × 108

Mars : 2 280 000 × 102 = 2,28 × 106 × 102 = 2,28 × 106 + 2 = 2,28 × 108

Mercure : 57 900 000 000 × 10–3 = 5,79 × 1010 × 10–3 = 5,79 × 1010 – 3 = 5,79 × 107

Voici les planètes classées de la plus éloignée du soleil à la plus proche : Mars –Terre – Vénus – Mercure.

Les commentaires du professeur :1) On compare facilement les nombres dont l’écriture scientifique s’écrit avec la même puissance de 10 :1,210 2 < 1,275 6 donc 1,210 2 × 104 < 1,275 6 × 104

On compare également facilement deux nombres positifs dont l’écriture scientifique ne s’écrit pas avec la même puissance de 10. Comparons par exemple 1,275 6 × 104 et 6,796 × 103.1 < 1,275 6 donc 1 × 104 < 1,275 6 × 104 soit 104 < 1,275 6 × 104

6,796 < 10 donc 6,796 × 103 < 10 × 103 soit 6,796 × 103 < 104

6,796 × 103 < 104 et 104 < 1,275 6 × 104 donc 6,796 × 103 < 1,275 6 × 104

Des deux nombres positifs 1,275 6 × 104 et 6,796 × 103 écrits en notation scientifique,, le plus grand est donc celui qui s’écrit avec la puissance de 10 qui a le plus grand exposant. On admettra qu’il en est toujours ainsi. Il est bon de s’en souvenir.

2) 2,28 > 1,5 > 1,08 donc 2,28 × 108 > 1,5 × 108 > 1,08 × 108

108 > 107 donc (d’après ce qui précède) 1,08 × 108 >5,79 × 107

Exercice 481)N = 537,9 × 1011 = 5,379 × 102 × 1011 N = 5,379 × 102 + 11 = 5,379 × 1013

2)1 < 5,379 < 10 donc : 1 × 1013 < 5,379 × 1013 < 10 × 1013

1013 < 5,379 × 1013 < 101 + 13

1013 < N < 1014

3)R = 0,006 5 = 6,5 × 10–3

1 < 6,5 < 10 donc : 1 × 10–3 < 6,5 × 10–3 < 10 × 10–3

10–3 < 6,5 × 10–3 < 101 + (–3)

10–3 < R < 10–2



ccSéquence 3

Exercice 491)a)1 < 5,973 6 < 10 donc : 1 × 1024 < 5,973 6 × 1024 < 10 × 1024

soit 1024 < 5,973 6 × 1024 < 101 + 24 c’est-à-dire 1024 < 5,973 6 × 1024 < 1025

b)1 < 2,8 < 10 donc : 1 × 10–6 < 2,8 × 10–6 < 10 × 10–6 soit 10–6 < 2,8 × 10–6 < 101 + (–6) c’est-à-dire 10–6 < 2,8 × 10–6 < 10–5

c) 232 × 106 = 2,32 × 102 × 106 = 2,32 × 108 1 < 2,32 < 10 donc : 1 × 108 < 2,32 × 108 < 10 × 108

soit 108 < 2,32 × 108 < 101 + 8 c’est-à-dire 108 < 2,32 × 108 < 109

d)1 < 6,5 < 10 donc : 1 × 109 < 6,5 × 109 < 10 × 109

soit 109 < 6,5 × 109 < 101 + 9 c’est-à-dire 109 < 6,5 × 109 < 1010

2) Ordre de grandeur de la masse en kg de la Terre : 6 × 1024

Ordre de grandeur de la longueur en cm d’une bactérie : 3 × 10–6

Ordre de grandeur de la date depuis laquelle les dinosaures sont apparus : 2 × 108

Ordre de grandeur de la population mondiale : 6 × 109

Les commentaires du professeur :2) 5,973 6 ≈ 6 donc 5,973 6 × 1024 ≈ 6 × 1024 2,8 ≈ 3 donc 2,8 × 10-6 ≈ 3 × 10-6

2,32 ≈ 2 donc 2,32 × 108 ≈ 2 × 108

6,5 ≈ 6 donc 6,5 × 109 ≈ 6 × 109 (On pouvait aussi écrire : 6,5 ≈ 7 donc 6,5 × 109 ≈ 7 × 109)


Exercice 50

a)

A = 2

22

1

22 2 2

5

35

35 3 2= × = × =−

B = 3

33

1

33 3

6

16

16 1= × = × =− 35

C = 4

44

1

44 4

5

35

35 3

−− − −= × = × = 4 8−

D = 7

77

1

77 7

2

32

32 3

− −= × = × = 75

E = ( )

( )( )

( )( ) ( )

−−

= − ×−

= − × − =−3

33

1

33 3

4

24

24 2 ( 3)2−

F = ( )

( )( )

( )( ) ( )

−−

= − ×−

= − × − =−

− − −5

55

1

55 5

3

23

23 2 ( 5) 5--−

a) Diviser par 23 revient à multiplier par son inverse.Revoir éventuellement le « Je retiens » qui suit l’exercice 26.Revoir éventuellement le premier « Je retiens » de la séance 6.

25 × 2− 3 = 25 − 3

36 × 3− 1 = 36 − 1

4− 5 × 4− 3 = 4−5 − 3

1

7 3− = 73

72 × 73 = 72 + 3

(− 3)4 × (− 3)− 2 = (− 3)4 − 2

(− 5)− 3 × (− 5)− 2 = (− 5)− 3 − 2



cc Séquence 3

G = ( )

( )( )

( )( ) ( )

−−

= − ×−

= − × − =− −

2

22

1

22 2

1

31

31 3 ( 2)4−

H = ( )

( )( )

( )( ) ( )

−−

= − ×−

= − × − =−

−−

−−2

22

1

22 2

3

23

23 2 ( 2) 1− −

b) On remarque que : A = 25 − 3 B = 36 − 1 C = 4−5 − 3

D = 72 − (− 3) E = (− 3)4 − 2 F = (− 5)−3 − 2

G = (− 2)1 − (− 3) H =(− 2)−3 − (− 2)

(− 2)− 3 × (− 2)2 = (− 2)− 3 + 2

b) Il semble que pour calculer dans le cas général le quotient de deux puissances d’un même nombre, il suffise de faire la différence des exposants.On pourrait démontrer ce résultat en faisant ce que l’on vient de faire sur des exemples, mais cette fois avec des lettres.

Exercice 51

A = 10

10

6

4 = 106 − 4 = 102

B = 10

10

6

4

−

= 10−6 − 4 = 10−10

C = 10

10

3

2− = 103 − (− 2) = 105

D = 10

10

5

5

−

− = 10−5 − (−5) = 100 = 1

On utilise le dernier « Je retiens ».

Exercice 52

D = 10 6 2 10

5 10

1 4

3

× × ××

−

D = 6 2

5

10 10

10

1 4

3

× × × −

D = 12

5

10

10

3

3×

−

D = 2,4 × 10−3 − 3

D = 2,4 × 10−6

E = 1 5 10 4 5 10

5 10

3 3

4

, ,× + ×× −

E = ( , , )1 5 4 5 10

5 10

3

4

+ ×× −

E = 6 10

5 10

3

4

×× −

E = 6

5

10

10

3

4× − = 1,2 × 103 − (−4)

E = 1,2 × 107

On nous demande d’écrire D sous la forme a × 10p où p est un entier relatif et a un nombre relatif dont la distance à zéro est supérieure ou égale à 1 et plus petite que 10.

On commence par regrouper les puissances de 10.

10

1010

3

33 3

−− −=

On remarque qu’on peut factoriser le numérateur par 103.

On est ramené à un exercice du même type que le précédent.

10

1010 10 10

3

43 4 3 4 7

−− − += = =( )



ccSéquence 3

Exercice 531) J’obtiens 1.2) 43 × 0,253 = (4 × 4 × 4) × (0,25 × 0,25 × 0,25)donc :43 × 0,253 = (4 × 0,25) × (4 × 0,25) × (4 × 0,25) d’où 43 × 0,253 = 1 × 1 × 1 = 1

fl On remarque que :43 × 0,253 = (4 × 0,25)3

On admettra que :72 × 52 = (7 × 5)2 ; 2− 3 × 4− 3 = (2 × 4) − 3…

Exercice 54A = 29 × 0,59 = (2 × 0,5)9 = 19 = 1

B = (− 50)3 × (− 2)3 = [(− 50) × (− 2)]3

B = 1003 = 1 000 000

C = 1,25−5 × 0,8−5 = (1,25 × 0,8) −5 = 1−5

C = 1

15 =

1

1 = 1

On applique le dernier « Je retiens ».

Exercice 55a)A = (102)3 = 102 × 102 × 102 = 106

B = (103)2 = 103 × 103 = 106

C = (10−2)4 = 10−2 × 10−2 × 10−2 × 10−2 = 10−8

b)A = 102 × 3 ; B = 103 × 2 ; C = 10(−2) × 4

10−2 × 10−2 × 10−2 × 10−2 =10−2− 2− 2− 2 = 10–8

On est amené à se demander si, dans le cas général, on a : (10m)n = 10m × n (m et n entiers relatifs)


Exercice 56

1)

• 8

5

8

5

8

5

8

5

8 8 8

5 5 5

3

= × × = × ×× ×

Donc : 85

512125

3

= =8

5

3

3

• 2

7

2

7

2

7

2

7

2

7

2 2 2 2

7 7 7 7

4

= × × × = × × ×× × ×

Donc : 27

162 401

4

= =2

7

4

4

2)

D’après ce qui précède :

• 8

5

3

= 8

5

3

3 • 2

7

4

= 2

7

4

4

Je peux donc exprimer les deux nombres sous la forme d’un quotient de deux puissances.



cc Séquence 3

Exercice 57

A = 1

10

3

= 110

3

3

B = −

=1

2

4( 1)

2

4

4

−

C = 3

2

4

−

=−3

( 2)

4

4


Exercice 58

A = 107 × 103 = 1010

B = 1015 × 10−1 = 1014

C = 10− 6 × 106 = 1

D = 10

10

8

2 = 106

E = 10

10

9

4

−

= 10−13

F = 1018 × 100 = 1018

G = 10−2 × 10−5 = 10−7

H = (105)4 = 1020

I = (10−3)−2 = 106

fl 107 × 103 = 107 +3

fl En effet : • 10− 6 est l’inverse de 106

• le produit de deux inverses est égal à 1. On pouvait également raisonner ainsi : 10− 6 × 106 = 10− 6 + 6 = 100 = 1

fl 10

1010 10

8

28 2 6= =−

fl 10

1010

9

49 4

−− −= = 10–13

fl 1ère méthode : 1018 × 100 = 1018 + 0

2ème méthode : 1018 × 100 = 1018 × 1 = 1018

fl (105)4 = 105 x 4 = 1020

fl (10− 3)− 2 = 10(− 3) x (− 2) = 106

Exercice 59• L’inverse de 10−4 est 104 (vrai)

• L’opposé de 103 est 10−3 (faux)L’opposé de 103 est –103.• L’opposé de l’inverse de 10−5 est –105 (vrai)

• Le résultat de 103 + 105 est 108 (faux)103 + 105 = 1 000 + 100 000 = 101 000108 = 100 000 000donc 103 + 105 ≠ 108

• (107)−2 = 10−14 (vrai)• Le résultat du produit 105 × 10 × 10−3 est 102 (faux)Le résultat du produit 105 × 10 × 10−3 est 103.

fl L’inverse de 10–4 est le nombre qui multiplié par 10–4 donne 1, soit 104.

fl 10− 3 est l’inverse de 103.

fl En effet : • l’inverse de 10−5 est 105

• l’opposé de 105 est − 105.

fl L’égalité : 103 × 105 = 108 est vraie, par contre.

fl En effet : (107)− 2 = 107 × (− 2) = 10–14

fl 105 × 10 × 10−3 = 105 × 101 × 10−3= 105 + 1 − 3 = 103



ccSéquence 3

Exercice 60a)

• 102 × 103 = 105

• 10

10

1

6

−

− = 105

• (10−5)−1 = 105

• 0,000 01 = 10−5

L’inverse de 0,000 01 est celui de 10−5, soit 105.

L’intrus est donc 600.

b)

• 1004 = (102)4 = 108

• (104)2 = 104 × 2 = 108

• 100 × (103)2 × 102 = 100 × 106 × 102 = 108

• 104 + 104 = 2 × 104 = 2 × 10 000 = 20 000

• 10 10

10

10

10

3

4

4

4

× =− − = 108

L’intrus est 104 + 104.

a)

fl 102 × 103 = 102 + 3 = 105

fl 10

1010 10 10

1

61 6 1 6 5

−

−− − − − += = =( )

fl 10 10 105 1 5 1 5− − − × −( ) = =( )

0 000 015

,zéros

b)

fl 10 102 4 2 4( ) = × = 108

fl 10 104 2 4 2( ) = × = 108 100 × 106 × 102 = 100 + 6 + 2

fl Attention ! 104 + 104 n’est pas égal à 108.

104 + 104 = 20 000

108 = 100 0000008 zé ros

Exercice 61

A = 0,002 7 × 105 × 10−7

A = 0,002 7 × 10−2

A = 0,000 027

B = − 59,2 × 10−1 × 103

B = − 59,2 × 102

B = − 5 920

C = 2,9 × 103 + 4 × 10−1

C = 2 900 + 0,4

C = 2 900,4

105 × 10–7 = 105 – 7 = 10–2

Lorsqu’on multiplie 0,002 7 par 10–2 (c’est-à-dire 0,01), le chiffre des unités 0 devient le chiffre des centièmes. En fait, on imagine les chiffres se déplacer de deux rangs vers la droite par rapport à la virgule.

nombre de départ × 10–1 × 10–2

000,002 7 00,000 27 0,000 027

10–1 × 103 = 10–1 + 3 = 102

Lorsqu’on multiplie 59,2 par 102 (c’est-à-dire 100), le chiffre des unités 9 devient le chiffre des centaines. En fait, on imagine les chiffres se déplacer de deux rangs vers la gauche par rapport à la virgule.

nombre de départ × 101 × 102

59,20 592,0 5 920



cc Séquence 3

D = 9 10 8 10

2 10

5 4

2 2

× − ×

× ( )D =

9 10 10 8 10

2 10

4 4

2 2

× × − ×

× ( )D =

90 10 8 10

2 10

4 4

2 2

× − ×

× ( )D =

( )90 8 10

2 10

4

4

− ××

D = 90 8

2

−

D = 82

2D = 41

10 10 102 2 2 2 4( ) = =×


Exercice 62

calcul de x :

• écriture scientifique

x = 3,7 × 1018 × 70 × 10−20 × 0,05

x

x

= × × × ×

= ×

−

−

3 7 70 0 05 10 10

12 95 10

18 20

2

, ,

,

1 244 344

1 24 34

x = 1,295 × 10 × 10−2 x = 1,295 × 10−1

• écriture décimale

x = 0,129 5

• écriture sous la forme a × 10p (a entier non divisible par 10)

x = 1 295 × 10−4

x est positif.

On rappelle que l’écriture scientifique de x est un nombre sous la forme m × 10s, où s est un entier relatif et m un nombre tel que : 1 ≤ m < 10.

On commence par écrire x sous la forme :

« un décimal » × « une puissance de 10 »

Pour cela, on regroupe les puissances de 10.

12,95 × 10−2 n’est pas l’écriture scientifique de x car 12,95 est plus grand que 10.

fl Pour trouver l’écriture décimale, on utilise l’expression obtenue juste au-dessus : x = 1,295 × 10−1

Multiplier par 10−1, c’est multiplier par 0,1.

« Le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes ».

On obtient 0,129 5.

fl Pour trouver l’écriture demandée, on peut utiliser l’expression obtenue juste au-dessus : x = 0,129 5

• On cherche à écrire :

x = 1 295 × « une puissance de 10 »

car 1 295 est bien un entier non divisible par 10.

0,129 5 ; 1,295 ; 12,95 ; 129,5 ne convenaient pas car ces nombres ne sont pas des entiers.

12 950 ; 129 500 ; 1 295 000 ; … ne convenaient pas car ces nombres sont divisibles par 10.



ccSéquence 3

calcul de y :

• écriture scientifique

y = − × × − ×

×

−5 10 59 10

25 10

15 39

20

( )

y = − × − × ×−5 59

25

10 10

10

15 39

20

( )

y = 5 59

5 5

10

10

24

20

××

×

y = 59

5104×

y = 11,8 × 104

y = 1,18 × 10 × 104

y = 1,18 × 105

• écriture décimale

y = 118 000

• écriture sous la forme a × 10p (a entier non divisible par 10)

y = 118 × 103

• On cherche ensuite la puissance de 10.

1 295 × 10 ? = 0,129 5

Le chiffre des milliers 1 devient le chiffre des dixièmes : il faut donc multiplier par 0,000 1 soit 10−4.

On trouve : x = 1 295 × 10−4.

On remarque que : (102)10 = 102×10

On essaie d’écrire y sous la forme :

« un décimal » × « une puissance de 10 »

fl On regroupe « les nombres qui ne sont pas des puissances de 10 » d’une part, et les puissances de 10 d’autre part.

fl 10−15 × 1039 = 10−15 + 39 = 1024 10

1010 10

24

2024 20 4= =−

fl 11,8 × 104 n’est pas l’écriture scientifique de y car 11,8 est plus grand que 10.

fl Attention : 10 × 104 = 105

Exercice 63

• a × b = 5 × 1013 × 2 × 10−7

a b

a b

× = × × ×

× = ×

−5 2 10 10

10 10

13 7

6

{1 24 34

a × b = 107

• a

b= ×

× −

5 10

2 10

13

7

a

b= × = ×−

− −5

2

10

102 5 10

13

713 7, ( )

a

b= 2 5 1020, ×

fl On commence par regrouper les puissances de 10.

On utilise l’égalité : 1013 × 10−7 = 1013 − 7

fl On n’oublie pas que : 101 × 106 = 101 + 6

fl On commence par regrouper les puissances de 10.

On utilise l’égalité : 10

1010

13

713 7

−− −= ( )



cc Séquence 3

Exercice 641) a = − 3

a2 + a3 = (− 3)2 + (− 3)3

a2 + a3 = 9 + (− 27)

a2 + a3 = − 18

2) a = 0,1 et b = 10

a2 − b−1 = 0,12 − 10−1

a2 − b−1 = 0,01 − 0,1

a2 − b−1 = − 0,09

3) On a : a = 1 et b = 30

(a + b)2 = (1 + 30)2 = 312 = 961

a2 + b2 = 12 + 302 = 1 + 900 = 901

Remarque : (a + b)2 ≠ a2 + b2

1)

Attention ! Le carré de − 3 se note (− 3)2 et non − 32.

10−1 = 0,1

3)

On a vu que : • (a × b)2 = a2 × b2 • a

b

a

b

=2 2

2 (b ≠ o)

mais (a + b)2 n’est pas égal à a2 + b2.

Il faut se méfier : ce n’est pas parce que des propriétés sont vraies qu’elles le sont toutes !

Exercice 65• Pour x = − 2

A = [3 – 2 × (− 2)]2 − (− 2)3

A = [3 − (− 4)]2 − (− 8)

A = 72 + 8 = 57

• Pour x = 1

3

A = 3 21

3

1

3

2 3

− ×

−

A = 32

3

1

27

2

−

−

A = 9

3

2

3

1

27

2

−

−

A = 7

3

1

27

2

−

A = 49

9

1

27−

A = 147

27

1

27−

A = 14627

On pouvait écrire : A = (3 – 2 × (− 2))2 − (− 2)3

Cependant, pour des raisons de lisibilité, quand des parenthèses en contiennent d’autres, on préfère les remplacer par des crochets.

fl On commence par effectuer les calculs à l’intérieur des crochets, en se souvenant que la multiplication a priorité par rapport à la soustraction.fl 3 – (– 4) = 3 + 4 = 7 (retrancher un nombre revient à ajouter son opposé)

fl Attention à bien écrire 1

3

3

et non pas 1

3

3

: c’est « toute la

fraction» 1

3 que l’on doit élever au cube et non juste le numérateur.

fl De même, il faut bien écrire 7

3

2

et non 7

3

2

:

7

3

7

3

7

3

2

= ×

7

3

7 7

3

2

= ×



ccSéquence 3

Exercice 66D’après la calculatrice,

A = 3,000 000 001

B = 3

Comme : 10−9 = 0 000 000 0019

,zéros

le premier résultat est exact.

10−10 = 0 000 000 000110

,zéros

D’où : 3 + 10–10 = 3,000 000 000 1

La calculatrice n’affiche donc pas la valeur exacte de B. Elle en affiche une valeur approchée.

3 000 000 000111

,chiffres

{La calculatrice ne peut afficher que 10 chiffres, elle ne peut donc pas afficher la valeur exacte de B !



cc Séquence 3

Je m’évalue1) ® –12˛ –64® 64˛ –43

2) ˛ –25® 25® –10® (–5)2

3) ˛ 72® (– 6)6

® 65

® – 72

4) ® – 49˛ l’inverse de 49® – 14

˛ 172

5) ® 827 × 10–5

® 8,27 × 105

˛ 8,27 × 10–3

6) ® 15 × 107

® 15 × 10–10

˛ 15 × 103

7) ® 100

® 108

˛ 10–5

1)Attention !(– 4)3 = (– 4) × (– 4) × (– 4) = – 64(– 4)3 n’est pas (– 4) × 3Si tu n’as pas compris, revois le « Je retiens » qui suit l’exercice 21 et l’exercice 23.– 43 = – 4 × 4 × 4 = – 64

2)–52 = –5 × 5 = –25Si tu n’as pas compris, revois l’exercice 23.

(–5)2 = (–5) × (–5) = 25

3)Dans un calcul comportant des puissances, on commence par effectuer les puissances.23 = 8 (– 3)2 = 9

4)Si tu n’as pas compris, revois éventuellement le « Je retiens » qui suit l’exercice 26 de cette séquence.Rappels : • deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.

• l’inverse d’un nombre non nul x est 1

x.

5)Si tu n’as pas compris, revois le « Je retiens » qui suit l’exercice 38.

6)5 10 3 10 5 3 10 102 5

15

2 5

103

× × × = × × ×− − {{

Si tu n’as pas compris, revois le « Je retiens » qui suit l’exercice 43.

7)D’après le « Je retiens » qui suit l’exercice 55, on a :(10–3)4 = 10–3 × 4

Ainsi :10 10

10

10 10

10

10

1010 10

2 3 4

5

2 12

5

10

510 5 10 5× = × = = =

−

−

−

−

−

−− − − − +( ) ( ) == −10 5



ccSéquence 3

8) ˛ 5 × 107

® 0,005® 5 000

9) ® 10–7 et 10–8

® 103 et 104

˛ 10–4 et 10–3

10) ® 22 + 32

˛ 52

® 13

8)On commence par donner l’écriture scientifique de0,005 13 × 1010.0,005 13 × 1010 = 5,13 × 10–3 × 1010

0,005 13 × 1010 = 5,13 × 107

On conclut :5,13 ≈ 5 donc : 0,005 13 × 1010 ≈ 5 × 107

9) Si tu n’as pas compris, revois le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 48.

10)On commence par effectuer les calculs entre parenthèses :(2 + 3)2 = 52 = 25.22 + 32 = 4 + 9 = 13.



cc Séquence 4


Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur

Je révise mes acquis1) ® vrai˛ faux

2) ® [AB]® [AC]˛ [BC]

3) ®

57

39

® 39

57˛ 57 – 39® 39 – 57

4) ® 12,5® 12,6® 12,56˛ 12,57

1)

9 × 9 = 81 – 9 × (– 9) = 81

Il y a donc au moins deux nombres qui ont pour carré 81 :

9 et – 9.

On admettra que ce sont les seuls.

2)

Le côté opposé à BAC

⟨

est celui qui est « en face » de BAC

⟨

.Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

3)

Le nombre qui ajouté à 39 donne 57 est 57 – 39.

5739

est le nombre qui multiplié par 39 donne 57.

4)

Pour trouver l’arrondi au centième de π × 4, on regarde le chiffre des millièmes de π × 4. C’est 6.

L’arrondi au centième de π × 4 est donc 12,56 + 0,01 soit 12,57.

Exercice 1a)Les cinq triangles rectangles de la figure sont ABC, ACD, AEC, CED et AFD.b)L’hypoténuse :• du triangle ABC est [AC]• du triangle ACD est [AD]• du triangle AEC est [AC]• du triangle CED est [CD]• du triangle AFD est [AD].

a) Attention de ne pas oublier le triangle ACD !

b)

Pour chacun des triangles rectangles de la figure, on regarde quel est le côté opposé à l’angle droit.



ccSéquence 4

Exercice 21)

AB = 3 cm AC = 4 cm BC = 5 cm DE = 2 cm DF = 4,8 cm EF = 5,2 cm GH = 2,4 cm GI = 4,5 cm HI = 5,1 cm

AB² = 9 AC² = 16 BC² = 25 DE² = 4 DF² = 23,04 EF² = 27,04 GH² = 5,76 GI² = 20,25 HI² = 26,01

2) a) Avec nos mesures : BC² = AB² + AC² ; EF² = DE² + DF² ; HI² = GH² + GI²Pour chacun des trois triangles rectangles, il semble que le carré de la longueur de l’hypoténuse soit égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.b) Dans un triangle rectangle quelconque, le carré de la longueur de l’hypoténuse est-il toujours égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés ?

Les commentaires du professeur :1) • Lorsque tu ne peux pas calculer de tête le carré d’un nombre, utilise ta calculatrice !• Attention à l’unité ! Les longueurs AB, AC, … sont exprimées en cm, mais le carré de ces longueurs ne s’exprime pas en cm. Ici, on a écrit les carrés de longueurs sans unité. En fait, ces nombres s’expriment en cm² (car par exemple AB² correspond à l’aire d’un carré de côté AB). 1) et 2)• Lorsqu’on effectue une mesure, on commet toujours une erreur. Si tu n’as pas obtenu les mêmes mesures que celles écrites dans le tableau, il se peut que tu ne trouves pas : BC² = AB² + AC² ou EF² = DE² + DF² ou HI² = GH² + GI² (tu remarques que tu obtiens tout de même des nombres relativement proches).

Exercice 32)Lorsqu’on déplace B et C sur les deux droites perpendiculaires, on remarque que BC² semble toujours égal à AB² + AC².

On ne peut pas affirmer que BC² est égal à AB² + AC². On peut seulement écrire que BC² semble être égal à AB² + AC². Le logiciel permet seulement d’afficher un nombre déterminé de chiffres à l’écran. De ce fait, les valeurs de BC² et AB² + AC² qui apparaissent à l’écran peuvent être des valeurs approchées de BC² et AB² + AC².

Exercice 41)a) Les quatre côtés du quadrilatère IJKL ont la même longueur c. Par définition, le quadrilatère IJKL est un losange.b) On sait que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Dans le triangle

ALI rectangle en A, on a donc : AIL ALI∑ ∑+ = °90 .

D’après l’énoncé, on sait que : ALI BIJ∑ ∂= .

On conclut que : AIL BIJ∑ ∂+ = °90 .Comme I ∈ [AB]

on a : LIJ AIL BIJ∂ ∑ ∂= ° − +( )180

soit LIJ∂ = ° − °180 90 d’où : LIJ 90=c) D’après ce qui précède, IJKL est un losange qui a un angle droit. D’après la propriété : « un losange qui a un angle droit est un carré », on peut conclure que IJKL est un carré.

b) Cette question est une question difficile.On rappelle que deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.

• Le triangle ALI est rectangle en A

donc les angles ALI

⟨

et AIL

⟨

sont complémentaires.

• Comme I est sur [AB], on a : AIB = 180° .

D’où le calcul de LIJ

⟨

.

A I

L

J

B

?



cc Séquence 4

2)• Justification de « mQSR est un carré »On sait que le quadrilatère MNOP est un carré

donc RMQ∑ est droit.

Q ∈ [MN] et SQN∑ est droit donc MQS∑ est droit.R ∈ [MP] et SRP∑ est droit donc MRS∑ est droit.Le quadrilatère MQSR a donc trois angles droits.D’après la propriété : « un quadrilatère qui a 3 angles droits est un rectangle », on déduit que MQSR est un rectangle.On sait, d’après l’énoncé que ses côtés consécutifs [SR] et [SQ] ont la même longueur a.D’après la propriété : « un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un carré », on conclut que MQSR est un carré.• Justification de « STOU est un carré »On utilise un raisonnement analogue à celui utilisé précédemment pour prouver que MQSR est un carré.3)a) • Les deux carrés ABCD et MNOP ont pour côté a + b. Ils ont donc la même aire que je nomme Acarré.• J’appelle Atriangle l’aire de chacun des triangles rectangles superposables que l’on a disposés sur les deux carrés.• On a :AIJKL = Acarré – 4 × Atriangle

AMQSR + ASTOU = Acarré – 4 × Atriangle

L’aire du carré IJKL est donc égale à la somme des aires des carrés MQSR et STOU.b) L’aire du carré IJKL est c².La sommes des aires des carrés MQSR et STOU est :

a² + b²On déduit donc de la réponse obtenue dans le a) que :

c² = a² + b²

2) On peut procéder de différentes manières pour prouver que MQSR est un carré.La méthode utilisée ci-contre.• On commence par montrer que

l’angle RMQ

⟨

est droit.

• On montre ensuite que les angles

MQS

⟨

et MRS

⟨

sont droits.

• MQSR a trois angles droits, c’est donc un rectangle.• MQSR est un rectangle qui a deux côtésconsécutifs de même longueur, c’est doncun carré. Une autre méthode :On peut aussi prouver que MQSR est un losange par un raisonnement sur les longueurs.On sait que RS = QS = a.R ∈ [MP] donc MR = MP – RP d’où MR = a + b – b soit MR = a.Un raisonnement analogue permet de prouver que MQ = a.Le quadrilatère MQSR est donc par définition un losange.

De plus, il a un angle droit : MRS

⟨

. On utilise alors la propriété suivante : « un losange qui a un angle droit est un carré ».

Les deux nombres AIJKL et AMQSR + ASTOU sont tous les deux

égaux au même nombre Acarré – 4 × Atriangle.

AIJKL et AMQSR + ASTOU sont donc deux nombres égaux.

On vient de démontrer que dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.Cette propriété porte le nom de « propriété de Pythagore ».On dit aussi « théorème de Pythagore ».On dit et on écrit « carré de l’hypoténuse », « carré des côtés ». On devrait dire : « carré de la longueur de l’hypoténuse », « carré de la longueur des côtés ».

M N

OP

RS

Q

M N

OP

RS

Q

M

R S

Q



ccSéquence 4


Exercice 5a) Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc appliquer la propriété de Pythagore.AC² = AB² + BC²b) Le triangle DEF n’est pas rectangle, on ne peut pas lui appliquer la propriété de Pythagore.c) La somme des mesures des angles du triangle GHI est égale à 180°, donc :IGH∑ = 180° – (37° + 53°) soit IGH∑ = 180° – 90° = 90°Le triangle GHI est donc rectangle en G. On peut, par conséquent, lui appliquer la propriété de Pythagore. IH² = GH² + GI²

a) Pour appliquer la propriété de Pythagore dans un triangle rectangle, on commence par repérer l’hypoténuse du triangle. C’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. b) Pour pouvoir appliquer la propriété de Pythagore, il faut que le triangle soit rectangle.

c) On commence par calculer la mesure de IGH

⟨

afin de déterminer si le triangle GHI est rectangle ou non.

fl mets-le en évidence sur ta figure en codant l’angle IGH

⟨

.

Exercice 6 r r ˛

E

F

G

EF

G

G

F

E


• Dans un triangle rectangle, d’après la propriété de Pythagore, c’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Le premier triangle ne convient donc pas car [EF] n’est pas l’hypoténuse. On peut par contre écrire : FG2 = FE2 + EG2.

• Pour pouvoir appliquer la propriété de Pythagore, il faut que le triangle soit rectangle ! Le deuxième cas ne convient donc pas.

Exercice 71) J’y arrive aussi :

b

ca

AB

DC

GF

E

1

2

3

45



cc Séquence 4

2) Voici ma conjecture : L’aire du carré bleu est égale à la somme des aires des carrés ABCD et CEFG.3) Démonstration de ma conjecture :L’aire du carré bleu est c². L’aire du carré ABCD est a². L’aire du carré CEFG est b².Comme le triangle BCE est rectangle en C, d’après la propriété de Pythagore, on a : c² = a² + b².L’aire du carré bleu est donc égale à la somme des aires des carrés ABCD et CEFG.Les commentaires du professeur :On ne pouvait pas affirmer dès la question 2 que l’aire du carré bleu était égale à la somme des aires des carrés ABCD et CEFG, car un découpage est toujours imprécis, et une observation n’est pas une preuve.

Exercice 8a) Même en s’appliquant, on commet toujours une erreur. Quentin ne peut donc affirmer que la longueur BC est égale à 9 cm.b) Manon ne peut pas conclure immédiatement que : BC = 8,99.Geocned pourrait très bien donner une valeur approchée (de la même façon que les calculatrices).c) Lindsay n’a pas terminé, mais son raisonnement est correct.Elle a appliqué la propriété de Pythagore au triangle ABC rectangle en A :BC² = AC² + AB²BC² = 6,51² + 6,2²BC² = 42,380 1 + 38,44BC² = 80,820 1d) 8,99² = 80,820 1 8,99 est donc le nombre positif dont le carré est 80,820 1. On déduit donc de ce qui précède que : BC = 8,99 cm

a) Une mesure est toujours imprécise.On va voir dans la suite de l’exercice que la longueur BC n’est pas égale à 9 cm.b) On fait la construction puis la mesure à l’aide du logiciel Geocned.Il s’affiche effectivement : BC = 8,99.Cependant, si BC était égal à :8,990 000 000 000 000 000 001 cm, Geocned afficherait quand même 8,99. On ne peut donc pas être sûr de ce résultat.c) Le triangle ABC est rectangle. Lindsay a eu une très bonne idée : penser à utiliser la propriété de Pythagore.

On a bien : BC² = 80,820 1. Mais comment trouver BC ?

d) BC est le nombre positif qui a pour carré 80,820 1.Si l’on prouve que le nombre positif 8,99 a pour carré 80,820 1 on pourra donc conclure que BC = 8,99.On commence donc par calculer 8,99².

On vient de déterminer à l’aide d’un raisonnement le nombre positif BC qui vérifie BC² = 80,820 1.

Exercice 9Le triangle KLM est rectangle en K. D’après la propriété de Pythagore, on a :LM² = KL² + KM²LM² = 6² + 8²LM² = 36 + 64LM² = 100Il y a deux nombres qui ont pour carré 100 : 10 et – 10.Comme LM est positif, on a : LM = 10 cm

fl On cite le triangle rectangle dans lequel on se place ainsi que la propriété que l’on utilise.fl On écrit l’égalité correspondant à la propriété de Pythagore en utilisant les lettres de la figure.fl On réécrit l’égalité précédente en utilisant les valeurs données dans l’énoncé.



ccSéquence 4

Exercice 101)Lorsqu’on applique la propriété de Pythagore au triangle EDF rectangle en D, on obtient :EF² = DE² + DF²EF² = 10² + 8²EF² = 100 + 64EF² = 164Lindsay cherche le nombre positif dont le carré est 164.Lindsay calcule 12,82 et 12,92 à l’aide de sa calculatrice. 12,82 = 163,84 (trop petit) 12,92 = 166,41 (trop grand)

Les commentaires du professeur :On cherche le nombre positif dont le carré est 164. Ce nombre est compris entre 12,8 et 12,9, mais on ne sait pas à quoi il est égal.Il paraît intéressant de regarder si ce nombre n’est pas « à mi-chemin » entre les nombres 12,8 et 12,9. C’est ce que l’on va faire dans la question 2).

12,8 12,9

12,82=163,84 12,92=166,41

2)• 12,852 = 165,122 5 (encore trop grand !) Le nombre que je cherche est donc compris entre 12,8 et 12,85.• 12,8252 = 164,480 625 (encore trop grand !) Le nombre que je cherche est donc compris entre 12,8 et 12,825.


12,85 est le nombre qui se trouve « à mi-chemin » entre

12,8 et 12,9. Comme 12,852 > 164, le nombre cherché

est entre 12,8 et 12,85.

Il n’est pas si facile de trouver le nombre qui se trouve juste

entre 12,8 et 12,85 On peut s’aider en écrivant des zéros

inutiles : 12,825 se trouve exactement à mi-chemin entre

12,800 et 12,850. Comme 12,8252 > 164, le nombre cherché

est entre 12,8 et 12,825.

3)Je teste le nombre 12,812 5 : 12,812 52 = 164,16… Ce nombre est encore trop grand !Je teste le nombre 12,806 25 : 12,806 252 = 164,000 03… Ce nombre est encore (un peu) trop grand !Je teste le nombre 12,803 125 : 12,803 1252 = 163,92… Ce nombre est trop petit !Je n’arrive toujours pas à trouver la valeur exacte du nombre qui multiplié par lui-même donne 164.

Les commentaires du professeur :Le plus difficile dans cette question, c’est de déterminer le nombre qui se trouve exactement entre 12,8 et 12,825 ; puis entre 12,825 et 12,812 5 ; etc.On peut représenter la réponse sur le schéma ci-dessous. Le nombre cherché se trouve dans la zone grise.

12,8 12,825 012,812 5

12,806 25

12,803 125

12,850

12,8 12,8512,825 12,9

12,82=163,84 12,8252=164,480 625

12,8 12,85 12,9

12,82=163,84 12,852=165,122 5



cc Séquence 4

4)Manon a raison : 12,806 249 n’est pas la valeur exacte en cm de EF.Lorsqu’on multiplie 12,806 249 par lui-même, on obtient un nombre décimal se terminant par un 1.12,806 249² n’est donc pas égal à 164.


Notre recherche est sans fin ! En effet, on pourrait montrer que EF n’est pas un nombre décimal. Cela veut dire qu’il s’écrit avec « une infinité de chiffres après la virgule », comme par exemple le nombre π.

On peut par contre donner des valeurs approchées de ce nombre…


Exercice 111)• Calcul de la longueur de [RS]Le triangle RIS est rectangle en I. D’après la propriété de Pythagore, on a : RS² = RI² + IS²RS² = 1,5² + 3²RS² = 2,25 + 9RS² = 11,25RS ≈ 3,4 cm (arrondi au dixième)

• Calcul de la longueur de [ST]Le triangle IST est rectangle en I. D’après la propriété de Pythagore, on a : ST² = SI² + IT²ST² = 2,5² + 3²ST² = 6,25 + 9ST² = 15,25ST ≈ 3,9 cm (arrondi au dixième)• Calcul de la longueur de [UT]Le triangle UIT est rectangle en I. D’après la propriété de Pythagore, on a : UT² = UI² + IT²UT² = 4,5² + 2,5²UT² = 20,25 + 6,25UT² = 26,5UT ≈ 5,1 cm (arrondi au dixième)• Calcul de la longueur de [UR]Le triangle UIR est rectangle en I. D’après la propriété de Pythagore, on a : UR² = UI² + IR²UR² = 4,5² + 1,5²UR² = 20,25 + 2,25UR² = 22,5UR ≈ 4,7 cm (arrondi au dixième)

Lorsqu’on tape 11.25 il s’affiche : 3.354101966(valeur approchée de RS en cm)Afin de pouvoir calculer de façon aussi précise que possible le périmètre de RSTU dans le 2) il serait bon de pouvoir réutiliser cette réponse. C’est possible. On la stocke « dans une petite case » de la calculatrice, appelée une mémoire. Les calculatrices disposent généralement de plusieurs mémoires désignées par les lettres A, B, C...On stocke par exemple le nombre 3.354101966 dans la mémoire A (pour voir comment on procède, se reporter aux pages consacrées à la calculatrice à la fin du livret de cours).

Lorsqu’on tape 15.25 il s’affiche : 3.905124838

(valeur approchée de ST en cm).Pour la même raison que précédemment, on stocke cette nouvelle réponse dans une autre mémoire de la calculatrice, par exemple la mémoire B.

Lorsqu’on tape 26.5 il s’affiche : 5.14781507(valeur approchée de UT en cm).On stocke cette nouvelle réponse dans une mémoire de la calculatrice, par exemple la mémoire C.

Lorsqu’on tape 22.5 il s’affiche :4.74341649(valeur approchée de UR en cm).On stocke cette nouvelle réponse dans une mémoire de la calculatrice, par exemple la mémoire D.



ccSéquence 4

2) Le périmètre du quadrilatère RUTS est :RS + ST + TU + UR.L’arrondi au dixième du périmètre en cm du quadrilatère RUTS est donc 17,2.

2) On obtient l’arrondi au dixième du périmètre en cm du quadrilatère RUTS en faisant afficher sur l’écran de la calculatrice le contenu total des mémoires A, B, C et D. On lit : 17.15045837. On en déduit l’arrondi cherché.

Attention !3,4 + 3,9 + 5,1 + 4,7 = 17,1 17,1 ≠ 17,2L’arrondi au dixième de RS + ST + TU + UR n’est donc pas égal à la somme des arrondis au dixième de RS, ST, TU et UR.

Exercice 12A l’aide d’un compas, je constate que :• le côté le plus long du triangle ABC est [AC].• le côté le plus long du triangle EDF est [EF].• le côté le plus long du triangle GHI est [IG].Pour ces trois triangles, le côté le plus long est l’hypoténuse.Je suis donc amené(e) à me poser la question : « dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est-elle toujours le plus long côté » ?a) Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la propriété de Pythagore : AC2 = AB2 + BC2

Comme AB2 est un nombre positif et différent de 0, on peut déduire de ce qui précède que :AC2 > BC2.b) En raisonnant comme précédemment, on peut conclure que : AC2 > AB2.c) On déduit donc des inégalités :• AC2 > BC2 • AC2 > AB2

que :• AC > BC • AC > AB

Pour pouvoir dire que dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus long côté (sous-entendu : est toujours le plus long côté) : il faut faire une démonstration.C’est ce que l’on va faire dans la question 2.

Attention, la propriété : « Si a et b sont deux nombres positifs tels que a2 > b2, alors a > b » n’est vraie qu’avec des nombres positifs :(–2) × (–2) = 4 (–3) × (–3) = 9On a : (– 3)2 >( – 2)2 mais – 3 < – 2.

Exercice 131) Le triangle KLM est rectangle en M. D’après la propriété de Pythagore, on a :KL² = ML² + MK²7,5² = 4² + MK²56,25 = 16 + MK²MK² = 56,25 – 16MK² = 40,25MK ≈ 6,34 mUne personne située en K est à environ 6,34 m de hauteur.2) Noémie s’est trompée. Elle n’a pas bien appliqué la propriété de Pythagore. Elle a oublié que dans un triangle rectangle, c’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

fl Attention ! C’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

fl MK² est le nombre qui ajouté à 16 donne 56,25 donc MK² est la différence de 56,25 et 16.

fl Pour déterminer le nombre positif MK dont on connaît le

carré, on utilise la touche de la calculatrice.

Dans l’égalité de Pythagore, ce n’est pas le carré de la longueur du côté manquant qui est égal à une somme de carrés, mais le carré de l’hypoténuse.



cc Séquence 4

Exercice 141)• Calcul de la longueur de [GJ]Le triangle GHJ est rectangle en G. D’après la propriété de Pythagore, on a : HJ² = GH² + GJ²10,2² = 9² + GJ²104,04 = 81 + GJ²GJ² = 104,04 – 81GJ² = 23,04GJ = 4,8 cm

• Calcul de la longueur de [HI]Le triangle JHI est rectangle en I. D’après la propriété de Pythagore, on a :HJ² = HI² + JI²10,2² = HI² + 7²104,04 = HI² + 49HI² = 104,04 – 49HI² = 55,04HI ≈ 7,4 cm (arrondi au dixième de HI en cm)

• Dans le triangle rectangle GHJ, on connaît les longueurs de deux des trois côtés. En utilisant la propriété de Pythagore, on peut donc calculer la longueur du troisième.

fl GJ² est le nombre qui ajouté à 81 donne 104,04 donc GJ² est la différence de 104,04 et 81

fl Pour déterminer le nombre positif GJ dont on connaît le

carré, on utilise la touche de la calculatrice.

• On utilise la même méthode que pour déterminer GJ.

Exercice 15

a) Le triangle ABC est rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, on a :BC² = AB² + AC²soit 6,5² = 5,6² + AC²c’est-à-dire 42,25 = 31,36 + AC²d’où AC² = 42,25 – 31,36soit AC² = 10,89d’où AC = 3,3 cmLe triangle ABC est une base du prisme.Le périmètre en cm de cette base est :5,6 + 6,5 + 3,3 = 15,4L’aire latérale en cm² du prisme est donc :15,4 × 10 = 154b) L’aire A en cm² du triangle ABC est :

AB AC×2

= 5 6 3 3

2

, ,× =

5 6

2

, × 3,3

A = 2,8 × 3,3 = 9,24

Le volume en cm3 du prisme est donc :9,24 × 10 = 92,4

a) aire latérale d’un prisme = périmètre d’une base × hauteurOn connaît la hauteur du prisme. Afin de calculer l’aire demandée, on commence par déterminer le périmètre d’une base.On ne connaît pas AC. On commence donc par calculer AC.Le triangle ABC est rectangle. On connaît la mesure de la longueur de deux de ses côtés. On peut donc trouver la mesure de la longueur du troisième en appliquant la propriété de Pythagore.

fl Attention ! C’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

fl On vérifie que la longueur qu’on trouve est plus petite que celle de l’hypoténuse.

On indique : AC = 3,3 cm sur la figure.

b) volume d’un prisme = aire d’une base × hauteurOn connaît la hauteur du prisme. Afin de calculer le volume demandé, on commence par déterminer l’aire d’une base.

A

A'

C

B

3,3 cm

5,6 cm



ccSéquence 4


Exercice 161) 2)

B

A

IC

(d)

3,5

cm

• A appartient à (d) la médiatrice du segment [BC], donc le point A est équidistant de B et de C.Le triangle ABC est donc isocèle en A.• Je cherche à savoir si le triangle ABC est équilatéral. Pour cela, je cherche à calculer AC.(d) est la médiatrice de [BC], donc (d) ⊥ (BC) et (d) coupe [BC] en son milieu, d’où :

IC = IB = BC

2 = 2 cm

Dans le triangle AIC rectangle en I, on a, d’après la propriété de Pythagore :AC2 = AI2 + IC2

AC2 = 3,52 + 22

AC2 = 16,25Si AC avait mesuré 4 cm, on aurait alors :AC2 = 16 et non : AC2 = 16,25.Le triangle ABC n’est donc pas équilatéral.

1)On commence par construire un segment [BC] de 4 cm. On prend ensuite un compas pour tracer (d) la médiatrice de [BC].On place I le point d’intersection de (d) et de [BC].

2)On construit ensuite un point A sur (d) à 3,5 cm du point I. On le construit à l’aide d’un compas. Il y a deux possibilités.On obtient alors un triangle ABC qui semble équilatéral. Qu’en est-il exactement ?

• On peut commencer par prouver que le triangle est isocèle en A : il suffit d’utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice : « la médiatrice de [BC] est l’ensemble des points équidistants de B et de C ».

Mets en évidence sur la figure ce qui vient d’être démontré.Le triangle AIC est rectangle en I, on pense donc à la propriété de Pythagore pour déterminer AC.

On peut également calculer une valeur approchée de AC, mais attention :Si on détermine l’arrondi au dixième de AC en cm, on trouve :AC ≈ 4 cm. On peut croire que le triangle est équilatéral, mais ce n’est pas le cas !L’arrondi au dixième n’est pas assez précis.Si on détermine la troncature au centième, on trouve 4,03 cm. Cela suffit pour conclure que le triangle n’est pas équilatéral car on sait que AC est plus grand que 4,03 cm.



cc Séquence 4

Exercice 171) 3)

A

BH

K

C3,6 cm

3 cm

2) a) Dans le triangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A, donc on a : (AH) ⊥ (BC).On déduit que le triangle ABH est rectangle en H. Dans le triangle ABC isocèle en A, d’après le cours, la hauteur [AH] issue de A est aussi médiane. On a donc H milieu de [BC].Comme BC = 3,6 cm on a :

BH = BC

2 =

3 6

2

, soit BH = 1,8 cm

Dans le triangle ABH rectangle en H, d’après la propriété de Pythagore, on a :AB² = AH² + HB²soit 3² = AH² + 1,8²c’est-à-dire 9 = AH² + 3,24donc AH² = 9 – 3,24soit AH² = 5,76d’où AH = 2,4 cm

b) L’aire en cm² du triangle ABC est :

BC AH×2

= 3 6 2 4

2

, ,× = 4,32

3) b) L’aire du triangle ABC est égale à AB CK×

2soit à

3

2

× CK.

Compte tenu de la réponse au 2) b), on a :

3

2

× CK = 4,32

donc 3 × CK = 2 × 4,32soit 3 × CK = 8,64

donc CK = 8 64

3

, soit CK = 2,88 cm

1) a) A

B C3,6 cm

3 cm

b) Rappel : Dans le triangle ABC, la hauteur [AH] issue de A est le segment qui vérifie :

(AH) ⊥ (BC) et H ∈ (BC)La longueur AH s’appelle aussi hauteur issue de A du triangle ABC.

2) a) AH est la longueur de l’un des côtés du triangle ABH. Compte tenu du rappel précédent, on peut prouver que le triangle ABH est rectangle en H. On connaît AB. Si l’on connaissait BH, en utilisant la propriété de Pythagore, on pourrait déterminer AH.On peut facilement déterminer BH. On sait en effet que dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane.

Résultat obtenu en utilisant la touche de la calculatrice. Pense à vérifier sur la figure que ton résultat a des chances d’être correct.

b) Aire d’un triangle = côté hauteur relative×

2

3) b) Pour déterminer CK, on commence par chercher à écrire une égalité dans laquelle CK est le seul nombre inconnu.

Si a

b = c (b ≠ 0) alors a = b x c.

Là encore, pense à vérifier sur ta figure que ton résultat a des chances d’être correct.



ccSéquence 4

Exercice 181) Le volume en cm3 du parallélépipède rectangle est :longueur × largeur × hauteur soit 15 × 20 × 4 donc 1 200.2) a) Toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles. La face EFGH est donc un rectangle.b) Dans un rectangle les côtés opposés ont la même longueur.Dans le rectangle EFGH on a donc : EH = FG = 20 cm On déduit du a) précédent que le triangle EFH est rectangle en E. D’après la propriété de Pythagore on a donc :HF² = EF² + EH²HF² = 15² + 20²HF² = 225 + 400HF² = 625HF = 25 cm

3) a) Le triangle DHF est rectangle en H. b) En raisonnant comme précédemment dans le 2) a) et au début du 2) b), on montrerait que • AEHD est un rectangle• HD = EA = 4 cm.Dans le triangle DHF rectangle en H, d’après la propriété de Pythagore, on a :DF² = HD² + HF²DF² = 4² + 625DF² = 16 + 625DF² = 641DF ≈ 25,3 cm (arrondi au dixième)

H G

FE 15 cm

20 cm

Résultat obtenu en utilisant la touche de la calculatrice.On aurait pu obtenir ce résultat en considérant le triangle FGH (après avoir démontré qu’il est rectangle en G).

fl Si cela ne te paraît pas évident, prend chez toi une boîte parallélépipédique et vérifie à l’aide d’une équerre qu’il semble en être ainsi.

D’après le 2) b) : HF2 = 625. Il est donc inutile d’écrire HF2 = 252

Résultat obtenu en utilisant la touche de la calculatrice.

Exercice 191)D’après l’énoncé, les segments [BE], [CF], [DG] sont verticaux. On en déduit que les droites (BE), (CF) et (DG) sont parallèles.• Calcul de BED’après l’énoncé : ∙ [AD] est horizontal ∙ B ∈ [AD] ∙ [BE] est verticalOn conclut donc que le triangle ABE est rectangle en B.



cc Séquence 4

D’après la propriété de Pythagore, on a :

AE² = AB² + BE²1² = 0,8² + BE²1 = 0,64 + BE²BE² = 1 – 0,64BE² = 0,36BE = 0,6 cmVoici la méthode de Lindsay :• Calcul de CFDans le triangle ACF on a : ∙ B ∈ [AC) ∙ E ∈ [AF) ∙ (BE) // (CF)On a d’après la propriété de Thalès :

AB

AC=

AE

AF=

BE

CF

Or AB

AC =

1

2

D’où : BE

CF=

1

2 donc CF × 1 = 2 × BE

D’où CF = 2BE. Or : BE = 0,6 cm

D’où : CF = 1,2 cm

• Calcul de DGDans le triangle ADG on a : ∙ B ∈ [AD) ∙ E ∈ [AG) ∙ (BE) // (DG)On a d’après la propriété de Thalès :

AB

AD=

AE

AG=

BE

DG

Or AB

AD =

1

3

D’où : BE

DG= 1

3. Donc DG × 1 = 3 x BE

soit DG = 3BE. Or BE = 0,6 cm d’où DG = 1,8 cm

A

E

B

1 m

0,8 m

On connaît les longueurs de deux des trois côtés du triangle rectangle ABE, on peut donc calculer la longueur du troisième en utilisant la propriété de Pythagore.

Les droites parallèles (BE), (CF) et (DG) nous suggèrent d’utiliser la propriété de Thalès.

On pouvait aussi appliquer la propriété de Pythagore :AF2 = AC2 + CF2

22 = 1,62 + CF2

4 = 2,56 + CF2

CF2 = 4 – 2,56CF2 = 1,44CF = 1,2 cm

On pouvait aussi appliquer la propriété de Pythagore :AG2 = AD2 + DG2

32 = 2,42 + DG2

DG2 = 9 – 5,76DG2 = 3,24DG = 1,8 cm

A

F

c

2 m

1,6 m

A

G

D

3 m

2,4 m



ccSéquence 4


Exercice 20a)

• Je calcule AH Le triangle AHC est rectangle en H. D’après la propriété de Pythagore, on a :AC² = AH² + HC²7,5² = AH² + 4,5²56,25 = AH² + 20,25AH² = 56,25 − 20,25AH² = 36AH = 6 cm• Je calcule BH Le triangle AHB est rectangle en H. D’après la propriété de Pythagore, on a :AB² = AH² + BH²6,5² = 36 + BH² (d’après ce qui précède)42,25 = 36 + BH²BH² = 42,25 − 36BH² = 6,25BH = 2,5 cm• H ∈ [BC] donc BC = BH + HC = 2,5 + 4,5soit BC = 7 cmLe périmètre en cm du triangle ABC est :AB + AC + BC = 6,5 + 7,5 + 7 = 21b) L’aire en cm² du triangle ABC est :

côté hauteur relative×2

= BC AH× = × =

2

7 6

221

a) Le périmètre du triangle ABC est :AB + AC + BC

On ne connaît pas BC. On commence donc par déterminer cette longueur.Pour cela, on cherche à calculer BH. Cela ne paraît pas difficile. On remarque en effet qu’on peut calculer AH puis BH en appliquant successivement la propriété de Pythagore aux triangles rectangles AHC et BHA.



cc Séquence 4

Exercice 211)

A B

C

D

5,6 cm

7,2

cm

3,2

cm

x

2) On peut trouver la valeur exacte de DC.Justification :

Le triangle ABD est rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, on a donc :DB² = AD² + AB²DB² = 3,2² + 5,6²DB² = 10,24 + 31,36DB² = 41,6Le triangle DBC est rectangle en D. D’après la propriété de Pythagore, on a donc :CB² = DC² + DB²7,2² = DC² + 41,6 (d’après ce qui précède)51,84 = DC² + 41,6DC² = 51,84 − 41,6DC² = 10,24DC = 3,2 cm

On commence par tracer le triangle ADB rectangle en A à l’aide d’une équerre.On trace ensuite une demi-droite [Dx) perpendiculaire à (DB) en D. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 7,2 cm qui coupe [Dx) en C.

Si on pense à la suite de l’exercice, on se dit : « Je vais avoir besoin de connaître DB2 pour calculer CD à l’aide de la propriété de Pythagore ».On commence donc par calculer DB2.

A-t-on besoin de calculer DB ? Non : connaître DB2 suffit !

Tu as peut-être cherché, comme Manon, une valeur approchée de DB.

DB ≈ 6,45 cmEnsuite, tu as peut-être écrit :

7,2² ≈ DC² + 6,452

C’est juste, mais c’est moins précis que d’écrire : 7,2² = DC² + 41,6

Cette méthode, qui mène à une valeur approchée de DC (DC ≈ 3,2 cm) est moins précise donc moins satisfaisante que celle proposée dans la colonne de gauche.



ccSéquence 4

Exercice 22• Je calcule KL2

Le triangle KLN est rectangle en K. D’après la propriété de Pythagore, on a :

LN² = KL² + KN²

5² = KL² + 2,5²

25 = KL² + 6,25

KL² = 25 – 6,25

KL² = 18,75

• Je calcule KM Le triangle KLM est rectangle en K. D’après la propriété de Pythagore, on a :LM² = KL² + KM²7² = 18,75 + KM²

49 = 18,75 + KM²KM² = 49 – 18,75KM² = 30,25KM = 5,5 cmComme N ∈ [KM] on a : NM = KM – KNsoit NM = 5,5 – 2,5 c’est-à-dire NM = 3 cmLe périmètre p en cm du triangle LNM est donc : 5 + 7 + 3 = 15

1) Pour calculer le périmètre du triangle LNM, il faudrait connaître la longueur du segment [NM].On remarque que si l’on connaissait KL, en appliquant la propriété de Pythagore au triangle KLM rectangle en K, on pourrait calculer KM puis en déduire NM.Or on peut déterminer facilement KL : dans le triangle KLN rectangle en K, on connaît les longueurs de deux côtés : [KN] et [LN].On commence donc par essayer de calculer KL.

fl Si, arrivé à ce niveau, on utilise la touche pour déterminer KL, il s’affiche 4.330127019On a donc : KL ≈ 4,3 cm. Ce résultat est inutile pour la suite de l’exercice : ce qui est important, c’est de connaître la valeur exacte de KL2 afin de déterminer ensuite KM aussi précisément que possible.

fl bien remarquer qu’à ce niveau, on n’a pas écrit :7² ≈ 4,3² + KM²

Ce ne serait pas faux. Cependant, si l’on veut déterminer KM aussi précisément que possible en appliquant la propriété de Pythagore au triangle LKM rectangle en K, il faut remplacer KL² par sa valeur exacte.

Lorsqu’on n’obtient pas à ce niveau la valeur exacte de p en cm, c’est souvent parce que l’on a remplacé KL par une valeur approchée, dans l’un des calculs précédents.


Exercice 23a) Si ABC est rectangle en A alors BC² = AB² + AC².b) Si BC² = AB² + AC² alors ABC est rectangle en A.

Les commentaires du professeur :La réciproque de la première propriété s’obtient en permutant ce qui était après Si et après alors dans la première propriété. A ce niveau du cours, on ne sait pas si la réciproque de la propriété de Pythagore est vraie.On va donc essayer de savoir si elle l’est.

B

CA



cc Séquence 4

Exercice 241)a)BC² = 3² = 9AB² + AC² = 1,8² + 2,4² = 3,24 + 5,76 = 9

b)BC² = 5,2² = 27,04AB² + AC² = 2² + 4,8² = 4 + 23,04 = 27,04

c)BC² = 6,5² = 42,25AB² + AC² = 3,3² + 5,6² = 10,89 + 31,36 = 42,25

2) Dans chaque cas, on a : BC² = AB² + AC²Chacun des triangles ABC semble rectangle en A.


Cet exercice nous conduit à penser que la réciproque de la propriété de Pythagore est peut-être vraie. Cependant, on ne peut pas affirmer qu’elle l’est tant qu’on ne l’a pas démontrée.

Exercice 25Je n’ai pas trouvé de points pour lesquels

BC² = AB² + AC² et CAB 90°≠ .Il semble donc que l’égalité BC² = AB² + AC² soit seulement vérifiée pour les points A, B et C tels

que : CAB = 90° .Les commentaires du professeur :

Cette activité nous laisse également penser que la réciproque de la propriété de Pythagore est peut-être vraie.

Exercice 26b) On sait que : (AD) ⊥ (AC). Le triangle ADC est donc rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, on a donc :CD² = AD² + AC²Or, d’après l’énoncé : AD = AB. On a donc :CD² = AB² + AC² .D’après l’énoncé : BC² = AB² + AC²On a donc : CD2 = BC2 soit CD² = CB².

c) D’après le b) on a : CD² = CB².

D’après l’énoncé, deux nombres positifs qui ont le même carré sont égaux.On conclut donc que les nombres positifs CD et CB sont égaux : CD = CB.D’après l’énoncé, on a : AD = AB

A

D

B

C

c) • Rappel : Si un point est équidistant de B et D alors il appartient à la médiatrice de [BD].• Pour prouver que (AC) est la médiatrice de [BD], il suffit de prouver que A et C sont équidistants de B et D.

fl Attention ! Le mot « positif » est essentiel ci-contre. Deux nombres qui ont le même carré ne sont pas nécessairement égaux. On a par exemple : (– 3)² = 3² = 9. Or : – 3 ≠ 3

3 cm

1,8 cm 2,4 cm

A

B C

5,2 cm

2 cm

4,8 cm

A

B C

6,5 cm

3,3

cm5,6 cm

A

B C



ccSéquence 4

On déduit donc de ce qui précède que les points A et C sont équidistants de B et D, d’où la droite (AC) est la médiatrice de [BD].d) (AC) est la médiatrice de [BD] donc D a pour symétrique B par rapport à (AC).A ∈ (AC) C ∈ (AC) donc par rapport à (AC)• A a pour symétrique lui-même • C a pour symétrique lui-même.Il résulte de ce qui précède, que par rapport à

(AC), l’angle DAC∑ a pour symétrique BAC∑ .

Comme DAC∑ est droit, BAC∑ l’est aussi.

d) Pour prouver que BAC

⟨

est droit, on va prouver que BAC

⟨

est le symétrique par rapport à (AC) d’un angle droit.On sait, en effet, d’après le cours de 6ème, que deux angles symétriques par rapport à une droite ont la même mesure.

On vient donc de démontrer la réciproque de la propriété de Pythagore :Si BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.On remarque qu’on peut encore énoncer cette propriété ainsi :Si le carré de l’un des côtés d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et admet ce côté comme hypoténuse (ce côté est donc le plus long des trois).

Exercice 27a) UV² = UW² + VW² donc le triangle UVW est rectangle en W.b) FG² = EF² + EG² donc le triangle EFG est rectangle en E.c) XY² = ZX² + YZ² donc le triangle XYZ est rectangle en Z.



a) UV² = UW² + VW² donc le triangle UVW est rectangle. Son hypoténuse est [UV].

b) FG² = EF² + EG² donc le triangle EFG est rectangle. Son hypoténuse est [FG].

c) XY² = ZX² + YZ² donc le triangle XYZ est rectangle. Son hypoténuse est [XY].

Exercice 28

1) Le côté le plus long est [KM].KM² = 15² = 225KL² + LM² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225On a donc : KM² = KL² + LM².D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L.

2) Le côté le plus long est [RS].RS² = 4² = 16ST² + RT² = 2,1² + 3,4² = 4,41 + 11,56 = 15,97On a donc : RS² ≠ ST² + RT².Si le triangle RST était rectangle, son hypoténuse serait [RS] et d’après la propriété de Pythagore on aurait : RS² = ST² + RT².Comme RS² ≠ ST² + RT², le triangle RST n’est pas rectangle.

1) [KM] est le côté le plus long.Par conséquent, si le triangle KLM est rectangle alors [KM] est son hypoténuse.fl On calcule le carré du côté le plus long.fl On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.fl On compare les résultats obtenus.fl On conclut en précisant la propriété que l’on utilise.

2) [RS] est le côté le plus long.Par conséquent, si le triangle RST est rectangle alors [RS] est son hypoténuse.fl On calcule le carré du côté le plus long.fl On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.fl On compare les résultats obtenus.fl On conclut en précisant la propriété que l’on utilise.Attention : on n’utilise pas ici la réciproque de la propriété de Pythagore, mais la propriété de Pythagore.Cette distinction est subtile : ne t’inquiète pas si tu ne la comprends pas tout de suite !Retiens juste que pour démontrer qu’un triangle, dont on connaît la longueur des trois côtés, n’est pas rectangle, on utilise la propriété de Pythagore.



cc Séquence 4

Exercice 29Si l’on prend comme unité la longueur séparant deux nœuds consécutifs, le triangle de corde a ses côtés qui mesurent 3 ; 4 ; 5.Dans le triangle ABC, le plus long côté est [AC].AC2 = 52 = 25CB2 + BA2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25AC2 = CB2 + BA2

D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.


On a démontré qu’un triangle dont les côtés mesurent respectivement en cm 3 ; 4 et 5 est un triangle rectangle. Il est bon de retenir ce résultat.


Exercice 30• Noémie se trompe. [LM] n’est pas le côté le plus long du triangle KLM. Elle n’a donc pas calculé séparément le carré du plus long côté et la somme des carrés des deux autres.• Le raisonnement de Lindsay est incorrect.Elle écrit : KM² = KL² + LM² avant d’avoir vérifié si cette égalité est vraie.• Ma solution :Dans le triangle KLM :le côté le plus long est [KM].KM² = 13² = 169LK² + LM² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169donc KM² = LK² + LM²D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L.

fl On applique le précédent « Je comprends la méthode ».

fl On n’oublie pas de préciser quelle propriété on utilise.

Exercice 311)

A

BH C2,4 cm

mc 4

4,8 cm

mc 2,3

3

45

A

BC



ccSéquence 4

2) Dans le triangle ABH :AB² = 4² = 16AH² + BH² = 3,2² + 2,4² = 10,24 + 5,76 = 16On a donc : AB² = AH² + BH².D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABH est donc rectangle en H.On a donc : (AH) ⊥ (BH).Comme d’après l’énoncé : H ∈ [BC], on déduit que : (AH) ⊥ (BC).La droite (AH) est donc la hauteur issue de A du triangle ABC.Je suis donc de l’avis de Lindsay.3) L’aire A en cm² du triangle ABC est :

A = côté hauteur relative×

2= ×BC AH

2 A = + × = × =( , , ) , , ,2 4 4 8 3 2

2

7 2 3 2

211,52


1)• On commence, par exemple, par tracer le triangle ABH dont on connaît la mesure des longueurs des trois côtés.• On trace le point C de [BH) tel que : HC = 4,8 cm.2) La hauteur issue de A du triangle ABC est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (BC).Voir si (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC revient donc à voir si le triangle ABH est rectangle en H.Pour cela, on applique le « Je comprends la méthode » de la séance 6.

Exercice 32BC² = 6² = 36OB² + OC² = 3,3² + 5² = 10,89 + 25 = 35,89On a donc : BC² ≠ OB² + OC².D’après la propriété de Pythagore, le triangle OBC n’est pas rectangle en O.Les diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme ABCD ne sont donc pas perpendiculaires.ABCD n’est donc pas un losange.

Voir si le parallélogramme ABCD de centre O est un losange revient à voir si ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires. Cela revient à voir si le triangle OBC est rectangle.Pour cela, on applique le « Je comprends la méthode » de la séance 6.

Exercice 331) Dans le triangle ABC on a :D ∈ [CA) E ∈ [CB) (DE) // (AB)D’après la propriété de Thalès, on a donc :

CE

CB

CD

CA

ED

BA= =

soit 2 2 5

2 5 5 5 4 8CB

ED=+

=,

, , ,

c’est-à-dire 2 2 5

8 4 8CB

ED= =,

,

2 2 5

8CB= ,

donc CB = 2 8

2 5

×,

CB = 6,4 cm

La donnée (DE) // (AB) nous fait penser à utiliser la propriété de Thalès.

Attention : on ne peut pas utiliser la propriété de Pythagore dans ABC car on ne sait pas si ABC est un triangle rectangle.

fl On peut calculer de tête le quotient 2 8

2 5

×,

si l’on se souvient

que 2,5 × 4 = 10. En effet : 2 8

2 5

2 8 4

2 5 4

64

106 4

× = × ××

= =, ,

,



cc Séquence 4

2) AC² = 8² = 64AB² + BC² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64On a donc : AC² = AB² + BC²D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle en B.3) 1ère méthode :D’après le 1), on a :

2 5

8 4 8

,

,= ED

donc

ED = 2 5 4 8

82 5

4 8

82 5 0 6

, ,,

,, ,

× = × = ×

ED = 1,5 cm

2ème méthode :On sait que : (DE) // (AB) et (CB) ⊥ (AB).D’après la propriété : si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, on déduit que : (CB) ⊥ (DE).D’après l’énoncé : E ∈ [CB].On a donc : (CE) ⊥ (DE)d’où le triangle CDE est rectangle en E.D’après la propriété de Pythagore, on a :CD² = CE² + ED²2,5² = 2² + ED²6,25 = 4 + ED²ED² = 6,25 – 4ED² = 2,25ED = 1,5 cm

2) On connaît la mesure des longueurs des trois côtés du triangle ABC. Pour voir si le triangle est rectangle, on utilise donc le « Je comprends la méthode » de la séance 6.

Mets-le en évidence sur ta figure.

3)

fl On peut calculer facilement de tête le produit 2,5 × 0,6 si l’on se souvient que 2,5 × 4 = 10. On déduit en effet de cette dernière égalité que 2,5 × 0,6 est le quart de 10 × 0,6.10 × 0,6 = 6Pour trouver le quart de 6, je cherche la moitié de 6, puis la moitié du résultat obtenu. La moitié de 6 est 3, celle de 3 est 1,5 donc le quart de 6 est 1,5 .On en déduit que : 2,5 × 0,6 = 1,5.

Mets-le en évidence sur ta figure.fl On connaît la longueur de deux des trois côtés du triangle CDE. En utilisant la propriété de Pythagore, on peut donc calculer la longueur du troisième.

fl Le nombre qui ajouté à 4 donne 6,25 est la différence de 6,25 et 4.

Exercice 341)

1 cm

1 cm

E K

LM G

F

EK = 7 cm ; KF = 4 cm ; FL = 2 cmGL = 3 cm ; MG = 4 cm ; EM = 6 cm

1) On pense à utiliser le « Je comprends la méthode» de la séance 6. Pour cela, on calcule le carré de la longueur de chacun des côtés du triangle EFG.



ccSéquence 4

• Calcul de EF²Dans le triangle EFK rectangle en K, d’après la propriété de Pythagore, on a :EF² = EK² + KF²EF² = 7² + 4²EF² = 49 + 16EF² = 65• Calcul de FG²Dans le triangle FLG rectangle en L, d’après la propriété de Pythagore, on a :FG² = FL² + LG²FG² = 2² + 3²FG² = 4 + 9FG² = 13• Calcul de EG²Dans le triangle EGM rectangle en M, d’après la propriété de Pythagore, on a :EG² = EM² + MG²EG² = 6² + 4²EG² = 36 + 16EG² = 52• On déduit de ce qui précède que :EF² = FG² + EG²D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en G.2) Noémie s’est trompée. Au lieu de comparer la valeur exacte de EF² avec celle de FG² + EG², elle a comparé une valeur approchée de ces deux nombres.

2) Attention ! L’erreur de Noémie est fréquente. On remarque, par ailleurs, que pour traiter cet exercice, il n’était pas utile de connaître les longueurs des côtés du triangle EFG.Connaître le carré de ces longueurs suffisait.


Exercice 351)

K

L M

N

1,5 cm

2,5 cm

2,1 cm

2,9 cm

2) Le triangle KLM est rectangle en M. D’après la propriété de Pythagore, on a :KL² = KM² +ML²2,5² = KM² + 1,5²6,25 = KM² + 2,25KM² = 6,25 – 2,25KM² = 4KM = 2 cm



cc Séquence 4

3) Voyons si la droite (KN) est perpendiculaire à (KM).Dans le triangle KMN, [MN] est le plus long côté.MN² = 2,9² = 8,41KN² + KM² = 2,1² + 4 = 4,41 + 4 = 8,41On a donc : MN² = KN² + KM²D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle KMN est rectangle en K.On a donc : (KN) ⊥ (KM)On sait que : (LM) ⊥ (KM) et (KN) ⊥ (KM)D’après la propriété : « Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles »,on conclut que : (LM) // (KN)


1) On construit successivement les triangles KLM et KMN.

3) On a : (LM) ⊥ (KM).

Si on avait : (KN) ⊥ (KM), on pourrait conclure que : (LM) // (KN). On regarde donc si on a : (KN) ⊥ (KM). Autrement dit, on regarde si le triangle KMN est rectangle en K.

Exercice 361)

A

C C

O O'

B

4,4 cm

4,4 cm

'

2) On sait que A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 4,4 cm.On a donc : OA = OB = 4,4 cmUn raisonnement semblable permet de déduire de l’énoncé que : O’A = O’B = 4,4 cmOn déduit de ce qui précède que : OA = OB = O’A = O’B

Par définition, un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Voir si AO’BO est un losange revient donc à voir si ses quatre côtés ont la même longueur.



ccSéquence 4

Le quadrilatère AO’BO a ses quatre côtés de même longueur. D’après la définition d’un losange, AO’BO est un losange.Ali a donc raison.Voyons si le triangle AOO’ est rectangle en A.Le plus long côté du triangle est [OO’].O’O² = 6,2² = 38,44OA² + O’A² = 4,4² + 4,4² = 19,36 + 19,36 = 38,72On a donc : O’O² ≠ OA² + O’A²D’après la propriété de Pythagore, le triangle OAO’ n’est pas rectangle en A.

OAO'∑ ≠ 90° donc le losange AO’BO n’est pas un carré.Manon a tort.

Si AO’BO était un carré ses quatre angles seraient droits.Qu’en est-il ?

Exercice 371) On sait que le triangle DEF est rectangle en D. D’après la propriété de Pythagore, on a donc : EF² = ED² + DF²EF² = 2,4² + 3,2²EF² = 5,76 + 10,24EF² = 16 EF = 4 cm2) Dans un prisme droit les faces latérales sont des rectangles. On en déduit que ADEB, CFDA et CFEB sont des rectangles. Le triangle ADE est donc rectangle en D et le triangle CEF est rectangle en F. Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur.Dans le rectangle CFDA, on a donc : AC = DF = 3,2 cm et AD = CF = 5 cm.• Calcul de AC²AC² = 3,2² = 10,24• Calcul de AE²Dans le triangle ADE rectangle en D, d’après la propriété de Pythagore, on a :AE² = AD² + DE²AE² = 5² + 2,4²AE² = 25 + 5,76AE² = 30,76• Calcul de CE²Dans le triangle CEF rectangle en F, d’après la propriété de Pythagore, on a :CE² = CF² + EF²CE² = 5² + 16CE² = 25 + 16CE² = 41• On déduit de ce qui précède que :CE² = AC² + AE²D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle AEC est rectangle en A.Quentin a donc raison.

Les commentaires du professeur :2) Pour voir si le triangle AEC est rectangle, on calcule le carré de chacun de ses côtés. On regardera ensuite si le carré de l’un des côtés du triangle est égal à la somme des carrés des deux autres.Attention ! On travaille avec des valeurs exactes des carrés des côtés.Avant d’appliquer la propriété de Pythagore à un triangle, on vérifie bien que le triangle est rectangle !Remarque : si l’on remarquait que : (CA) ⊥ (AB) et (CA) ⊥ (AD) , on pouvait voir que (CA) était perpendiculaire à la face ABED, puis conclure que : (CA) ⊥ (AE). On pouvait répondre sans calculer aucune longueur.



cc Séquence 4

Exercice 381)

A B

CD

E

F

6 cm

1,5

cm

6,5 cm

2) ABCD est un carré de 6 cm de côté donc : ∙ ses angles sont droits

EDC EAF FBC∑ ∑ ∑= = = °90

∙ AD = AB = BC = 6 cm.• calcul de EDE ∈ [AD] donc ED = AD − AEsoit ED = 6 − 1,5 c’est-à-dire ED = 4,5 cm• calcul de AFLe triangle FBC est rectangle en B. D’après la propriété de Pythagore, on a :

FC² = FB² + BC²6,5² = FB² + 6²42,25 = FB² + 36FB² = 42,25 − 36FB² = 6,25FB = 2,5 cmF ∈ [AB] donc : AF = AB − FBsoit AF = 6 − 2,5 c’est-à-dire AF = 3,5 cm• calcul de EC²Le triangle EDC est rectangle en D. D’après la propriété de Pythagore, on a :EC² = ED² + DC²EC² = 4,5² + 6²EC² = 20,25 + 36EC² = 56,25

2) Le triangle EFC paraît rectangle. L’est-il vraiment ?Pour le savoir, on va regarder si le carré du plus long côté de EFC est égal à la somme des carrés des deux autres.Calculer le carré de FC ne pose aucun problème. Par contre :• avant de calculer EC² (en utilisant le théorème de Pythagore), on va déterminer ED• avant de calculer EF² (en utilisant la propriété de Pythagore), on va déterminer AF.

Indique ces résultats sur ta figure.

On remarque que si l’on connaissait FB, on pourrait calculer AF. Or on peut calculer facilement FB en utilisant la propriété de Pythagore (on connaît les mesures de deux côtés du triangle FBC rectangle en B).

calcul de FB



ccSéquence 4

• calcul de EF²Le triangle EAF est rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, on a :EF² = EA² + AF²EF² = 1,5² + 3,5²EF² = 2,25 + 12,25EF² = 14,5• calcul de FC²FC² = 6,5² = 42,25• Des trois nombres EC², EF² et FC², c’est EC² le plus grand. [EC] est donc le plus long côté du triangle.EC² = 56,25EF² + FC² = 14,5 + 42,25 = 56,75On a donc : EC² ≠ EF² + FC²D’après la propriété de Pythagore, le triangle EFC n’est pas rectangle.

fl On admet que deux nombres positifs sont classés dans le même ordre que leur carré.

Attention ! Pour répondre à la question posée, il fallait comparer la valeur exacte de EC² avec celle de EF² + FC².


Exercice 391)

Je calcule ACLe triangle ABC est rectangle en B. D’après la propriété de Pythagore, on a :AC² = AB² + BC²AC² = 72 + 242

AC2 = 49 + 576AC2 = 625AC = 25 cmJe calcule AD.Dans le triangle ACD, on a :• E ∈ [CA) • F ∈ [CD) • (EF) // (AD)D’après la propriété de Thalès :

CE

CA

CF

CD

EF

AD= =

13

25 20

7 8= =CF

AD

,

13

25

7 8= ,

AD

13 × AD = 7,8 × 2513 × AD = 195

AD = 195

1315=

AD = 15 cm

1) On remarque que si l’on connaissait AC, on pourrait calculer AD à l’aide de la propriété de Thalès.On commence donc par calculer AC.Pour cela, on applique la propriété de Pythagore.

Les données permettent d’appliquer la propriété de Thalès.



cc Séquence 4

Le plus long côté du triangle ACD est [AC]AC2 = 625 (d’après ce qui précède)AD2 + DC2 = 152 + 202 = 225 + 400AD2 + DC2 = 625AC2 = AD2 + DC2

D’après la réciproque de la propriété Pythagore, le triangle ACD est rectangle en D.

2) Pour voir si le triangle ACD est rectangle, on regarde si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres.

Exercice 401) Le triangle ABC est rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, on a :BC² = AB² +AC²BC² = 1² + 1²BC² = 1 + 1BC² = 22) 1² = 1 ; 2² = 4 ; BC² = 2,donc 1 < BC < 23) a) Je suis d’accord avec Quentin.BC est compris entre 1 et 2, et il n’est ni égal à 1, ni égal à 2 : il s’écrit donc « 1 virgule quelque chose ».b)1,1² = 1,21 donc BC > 1,11,2² = 1,44 donc BC > 1,21,3² = 1,691,4² = 1,961,5² = 2,25Comme BC² = 2, on conclut que : 1,4 < BC < 1,5.Le chiffre des dixièmes de BC est donc 4.4) 1,41² = 1,988 1 1,42² = 2,016 4Comme BC² = 2, on conclut que : 1,41 < BC < 1,42.Le chiffre des centièmes de BC est donc 1. 5) Si BC était un nombre décimal,• son dernier chiffre non nul serait 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9,• le dernier chiffre non nul de BC² serait 1 ou 4 ou 9 ou 6 ou 5.

Comme BC² = 2, BC n’est donc pas un nombre décimal.

2) On admet que les nombres positifs sont classés dans le même ordre que leurs carrés.On peut ainsi déduire de 1² < BC² < 2² que 1 < BC < 2

fl BC est donc de la forme 1, 41...

5) Cette question est très difficile.

fl Si BC se terminait par un 1, BC² se terminerait par 1 x 1 soit 1,si BC se terminait par un 2, BC² se terminerait par 2 x 2 soit 4...

fl Si BC était un nombre décimal, BC² ne se terminerait pas par un 2.BC n’est pas un nombre décimal : il s’écrit avec une infinité de chiffres après la virgule.



ccSéquence 4

Je m’évalue1) ® 4,9 m® 4,5 m® 3,43 m˛ 3,5 m

2) ® 14 cm˛ 37 cm® 37,1 cm® 70 cm

3) ® 0,6 cm˛ 3 cm® 4,2 cm® 9,6 cm

4) ˛ 7,8 cm® 4,2 cm® 6,5 cm® 10,2 cm

5) ® est rectangle en S˛ est rectangle en U® est rectangle en T® n’est pas rectangle

6) ˛ vrai® faux

7) ® Il est rectangle en A.˛ Il est rectangle en B. ® Il est rectangle en C.® Il n’est pas rectangle.

8) ® une des propriétés des milieux˛ la réciproque de la propriété de Pythagore® la propriété de Pythagore® la propriété de Thalès

1) Si tu n’as pas compris, revois le « Je comprends la méthode » du début de la séance 3 ainsi que l’exercice 11.

2)Si tu n’as pas compris revois le deuxième « Je comprends la méthode » de la séance 3 et l’exercice 13.

3)

On se place dans le triangle ABD ou le triangle BCD.

Si tu n’as pas compris revois l’exercice 18 de la séance 4.

4) Si tu n’as pas compris revois l’exercice 18 de la séance 4.

5) Si tu n’as pas compris revois :• le « Je retiens » qui précède l’exercice 27,• l’exercice 27.

6)Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus long des trois côtés. Il n’est donc pas possible de construire un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 4,3 cm et AC = 4,5 cm.

7)Si tu n’as pas compris revois :• le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 28,• l’exercice 28.

8)Revois éventuellement le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 28.



cc Séquence 4

9) ® oui˛ non

10) ® la propriété des milieux˛ la propriété de Pythagore® la réciproque de la propriété de Pythagore® la propriété de Thalès

9)Si tu n’as pas compris revois :• le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 28,• l’exercice 28.

10)Si tu n’as pas compris revois le « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 28.


Mathématiques 4 -...

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