MATHS L1 L2 L1 L2 L1/L2 Algèbre - Furet

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François Cottet-Emard 20 fiches Résumés de cours 103 exercices corrigés Méthodologie et conseils L1 L2 MATHS Algèbre Des polynômes aux applications linéaires

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François Cottet-Emard 20 fi ches Résumés de cours 103 exercices corrigés Méthodologie et conseils

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ISBN : 978-2-8073-1586-0

www.deboecksuperieur.comPrix TTC : 16 €

DANS LA MÊME COLLECTION

Chaque fi che contient :

> des rappels de cours : défi nitions,

théorèmes, formules importantes ;

> des points de méthodologie et des

conseils ;

> des exemples détaillés pour illustrer

les notions ou apprendre à résoudre

les questions ;

> des exercices et leurs corrigés détaillés.

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AlgèbreDes polynômes auxapplications linéaires

Cet ouvrage présente l’algèbre depuis les polynômes jusqu’aux applications linéaires. Il contient les aspects pratiques via les systèmes linéaires et toute la présentation théorique de l’algèbre linéaire. Les démonstrations sont intégralement données, soit dans les fi ches soit en fi n de volume, et l’ouvrage est un tout cohérent et complet.

AlgèbreDes polynômes aux applications linéaires

François Cottet-Emarda enseigné l’algèbre, l’analyse et les probabilités à l’Université de Paris XI dans chacun des 4 semestres des années L1 et L2 mathématiques - informatique - physique. Il a écrit de nombreux ouvrages pour le LMD en mathématiques chez De Boeck Supérieur.

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Algèbre

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DANS LA MÊME COLLECTION

Sup en poche est une collection destinée aux étudiants du 1er cycle, essentiellement en Licence 1 et 2. Son objectif est de permettre à l’étudiant de réviser et s’entraîner en vue de réussir ses examens. Chaque ouvrage est composé de fiches proposant des cours résumés suivis d’exercices corrigés pas à pas.

François Cottet-Emard 16 fiches Résumés de cours 94 exercices corrigés Méthodologie et conseils

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François Cottet-Emarda enseigné l’algèbre, l’analyse et les probabilités à l’Université de Paris XI dans chacun des 4 semestres des années L1 et L2 mathématiques – informatique – physique. Il a écrit de nombreux ouvrages pour le LMD en mathématiques chez De Boeck Supérieur.

ISBN : 978-2-8073-1589-1

www.deboecksuperieur.comPrix TTC : xx €

DANS LA MÊME COLLECTION

Cet ouvrage expose les fonctions réelles de la variable réelle et les suites, en commençant par une présentation des propriétés fines des nombres réels. L’aspect pratique est présent avec les algorithmes de résolution des équations f(x)=0. Les démonstrations sont intégralement données, soit dans les fiches soit en fin de volume, et l’ouvrage forme un tout cohérent et complet.

Chaque fiche contient :

> des rappels de cours : définitions, théorèmes,

formules importantes ;

> des points de méthodologie et des conseils ;

> des exemples détaillés pour illustrer les notions ou

apprendre à résoudre les questions ;

> des exercices et leurs corrigés détaillés.

AnalyseDes fonctions réelles aux suites

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AnalyseDes fonctions réelles aux suites

Analyse Des fonctions réelles aux suitesF. Cottet-Emard

Toutes les maths pour bien commencer sa licenceF. Cottet-Emard

AlgèbreDes polynômes aux

applications linéaires

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Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

© De Boeck Supérieur s.a., 2018 Rue du Bosquet, 7 – B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partielle-ment ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Dépôt légal :Bibliothèque Nationale, Paris : avril 2018 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2018/13647/050 ISBN 978-2-8073-1586-0

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Sommaire V

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Polynômes : divisibilité et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Polynômes sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Techniques de résolution d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . 48

6 Les matrices comme tableaux de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Famille de vecteurs de Kn, l’idée de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Les matrices comme familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9 Espaces vectoriels : définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . 107

10 Base d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 123

11 Sous-espace vectoriel : idées vraies et fausses . . . . . . . . . . . . . 138

12 Équations d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

14 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

15 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

16 Projections et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

17 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

18 Annexe Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

19 Annexe Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

20 Problèmes récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

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IntroductionVI

Introduction

Cet ouvrage présente sous une forme novatrice et attrayante une pre-mière partie de l’algèbre enseigné en L1L2 dans les Universités. Après les généralités et les rappels des structures algébriques, il présente les po-lynômes, puis l’algèbre linéaire jusqu’aux applications et formes linaires. Les polynômes donnent des exemples concrets et riches pour travailler sur les espaces vectoriels, et sont donc présentés en début de volume. Un second volume de la collection exposera les déterminants, la réduc-tion des endomorphismes et l’algèbre bilinéaire.

L’ouvrage est composé de fiches, chacune présentant une partie bien délimitée, avec les mots clés, les définitions, les théorèmes, de nombreux exemples et des exercices corrigés. Chaque fiche est écrite dans un for-mat relativement court, de l’ordre d’une quinzaine de pages, avec des encadrés et des couleurs mettant en valeur tous les points importants. Les démonstrations les plus courtes, et qui doivent sauter à l’œil, sont écrites au cœur des fiches, alors que les démonstrations plus longues, et souvent les plus fondamentales, sont présentées en fin de volume, dans la partie Annexe Démonstrations du livre. Mais les démonstrations de tous les théorèmes énoncés sont faites, l’ensemble est parfaitement rigoureux et ne masque rien. Le lecteur se destinant à des études de mathématiques doit lire et comprendre toutes ces démonstrations ; celui cherchant simplement le rappel des résultats fondamentaux peut éven-tuellement ne les regarder qu’en seconde lecture.

Certains paragraphes ou exercices sont précédés du sigle ASPL , qui signifie « A Sauter en Première Lecture ». Il s’agit de notions importantes mais qui sont, généralement, plutôt étudiées en fin de L1L2, et qui peuvent être normalement ignorées en début de Licence.

La partie consacrée aux exercices, au nombre d’une centaine, représente environ un tiers de l’ouvrage, tous sont soigneusement corrigés. Par ail-leurs, des problèmes récapitulatifs sont donnés en fin de volume, ils re-couvrent l’ensemble des notions exposées dans les fiches.

Cet ouvrage est léger, agréable à lire, tout ce qui est important saute aux yeux et est donc aisément mémorisable. Des «  Points méthodolo-gie  » fréquents expliquent de façon claire ce qu’il faut faire ou ne pas faire, et sont une introduction précise aux méthodes de résolution ou à la compréhension. En fin de volume, un formulaire de trois pages rappelle

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Introduction VII

toutes les formules importantes de calcul, entre autre de trigonométrie, indispensables et à bien maîtriser même en algèbre.

Cet ouvrage présente une partie des notions indispensables qui doivent être abordées pendant les années L1L2 de Licence, et il sera suivi de quatre ou cinq autres volumes de la même collection, écrits dans le même esprit. Ils recouvreront l’algèbre linéaire et générale, l’analyse, les proba-bilités, la géométrie et la théorie des graphes, entre autre. L’ordre abordé ne correspond à aucun critère obligatoire, chaque Université et même chaque Enseignant suit l’ordre qui lui convient le mieux : cet ouvrage suit l’ordre mathématique qui me paraît le plus cohérent. Ce premier tome de la collection présente une partie de l’algèbre de Licence, et il formera avec les volumes suivants l’ensemble des connaissances à apprendre en L1L2, indépendamment de l’ordre du cours que chaque lecteur suivra.

L’éternelle adéquation de la sortie du Lycée et de l’entrée en Licence réside dans l’épineuse question des prérequis pour bien démarrer en L1, quand on sort du bac. Dans la même collection, l’ouvrage Toutes les maths pour bien commencer sa licence comble ce trou, et est conseillé pour bien débuter en Licence.

A notre époque, il est indispensable de savoir maîtriser certains algo-rithmes classiques, et savoir les programmer, même si cela est fait dans nombre de logiciels de calcul formel. Ils ne sont pas oubliés ici, la réfé-rence étant le logiciel Xcas, qui se télécharge gratuitement, et qui a des possibilités très complètes. Les exemples donnés dans l’ouvrage ont été écrits avec lui.

Cet ouvrage, comme tous les précédents, est dédicacé à Alice, Audrey et Emilie, qui sauront se reconnaître.

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COURS

Cours2

1[ MOTS-CLÉS : Quantificateurs, application, restriction, image directe, réciproque, injection, surjection, bijection, Cantor-Bernstein ] 

Ensembles et applications

Quantificateurs1◆ On est souvent confronté, dans un ensemble E à l’une des deux si-

tuations « pour tout élément x de E, alors » ou « il existe au moins un élément x de E tel que ».

Exemple 1  : la proposition « pour tout réel x, on a x2 3 0+ >   » s’écrit ( )( )∀ ∈ + >x x

2 3 0 .

Exemple 2  : «  il existe au moins un réel x tel que 3 45 4672x x− >   » s’écrit ( | )∃ ∈ − >x x x 3 45 4672 ou bien ( )( )∃ ∈ − >x x x 3 45 4672 . Le trait vertical | se lit « tel que ». La seconde écriture est a priori moins détaillée, mais elle est pratique lorsque l’expression suivant « tel que » est longue et compliquée.

Les deux expressions « pour tout » et « il existe au moins » s’appellent quantificateurs. Le premier s’appelle quantificateur universel et s’écrit " ; le second s’appelle quantificateur existentiel et se note $.

Point MéthodoAu lieu de « pour tout », on dit aussi « quel que soit ». On se contente souvent de dire « il existe » au lieu de « il existe au moins ». Mais ce « au moins » est toujours sous-entendu.

E et F sont deux ensembles non vides quelconques. Une application f de E dans F est un procédé quelconque associant à tout élément de E un unique élément de F. Rappelons que N désigne l’ensemble des entiers naturels, Z celui des entiers relatifs, Q celui des rationnels (quotients de deux entiers), R les nombres réels et C les nombres complexes.

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Fiche 1 : Ensembles et applications 3

◆ Les quantificateurs sont souvent « imbriqués » :Exemple 3  : «  pour tout x > 0 , il existe au moins un réel y > 0 tel que xy < 1   » s’écrit  : ( )( | )∀ > ∃ > <x y xy0 0 1 ou bien ( )( )( )∀ > ∃ > <x y xy0 0 1 .

Exemple 4  : la propriété «  la fonction f x x x: sin + 7 est minorée sur [ , ]1 5   » signifie  : il existe un réel m (dont ne connaît a priori pas la valeur) tel que, pour tout x Î [ , ]1 5 on ait f x m( ) ³ . Cela se quantifie en ( )( [ , ])( ( ) )∃ ∈ ∀ ∈ ≥m x f x m 1 5 .

Exemple 5  : on rencontrera dans les limites de fonctions l’expression compliquée ( )( )( , )( ( ) )∀ > ∃ > ∀ ∈ − + − < 0 0 0 0α α α εx x x f x l et qui est la définition mathématique de « la fonction f tend vers l quand x tend vers x0 . » Il s’agit de la formulation compliquée suivante : « pour tout intervalle de centre l et de rayon e , il existe un intervalle de centre x0 et de rayon a tel que, pour tout x de ce second intervalle, alors f x( ) est dans le premier intervalle. »

◆ Attention à l’ordre des quantificateurs, quand ils sont imbriqués  : ( )( )( ( , ))∀ ∈ ∃ ∈x E y E P x y signifie que pour tout x EÎ on peut trou-ver au moins un y EÎ (dépendant a priori de x) tel que la propriété P x y( , ) soit vraie. Mais ( )( )( ( , ))∃ ∈ ∀ ∈y E x E P x y signifie qu’il existe au moins un y EÎ tel que la propriété P x y( , ) est vraie pour tout x EÎ . C’est totalement différent.

◆ Cependant ( )( )( ( , ))∀ ∈ ∀ ∈x E y E P x y est la même chose que ( )( )( ( , ))∀ ∈ ∀ ∈y E x E P x y , et on peut aussi écrire ( , )( ( , ))∀ ∈x y E P x y .

Point MéthodoLes symboles " et $ sont des raccourcis mathématiques au même titre que les signes = ou £.

Point MéthodoDans une telle écriture, le « y » en seconde position dépend du « x » en première position.

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Cours4

Quantificateurs et négation2◆ La négation (ou contraire) de « pour tout x de E, la propriété P est

vraie  » est évidemment «  il existe au moins un élément x de E tel que P est fausse ». Le contraire de « il existe au moins un élément x de E tel que P est vraie » est « pour tout x de E, la propriété P est fausse ».

Exemple 6 : la négation de ( )( )∀ ∈ − + ≥x x x

2 3 2 0 est :

( | )∃ ∈ − + <x x x

2 3 2 0ou encore ( )( )∃ ∈ − + <x x x

2 3 2 0 .

Exemple 7 : la négation de ( | )∃ ∈ + =x x

2 1 0 est :

( )( )∀ ∈ + /=x x

2 1 0◆ Ces deux exemples et la logique courante montrent que Le contraire

de " est $ et réciproquement .

Restriction d’une application à une partie de E3

Point Méthodo finalLa quantification ( )( ( ))∀ ∈x E P x traduit que la propriété P est vraie pour tout élément de E. La quantification ∃ ∈x E P x| ( ) , qui s’écrit aussi ( )( ( ))∃ ∈x E P x traduit qu’il existe au moins un élément de E pour lequel la propriété P est vraie.

La négation de ( )( ( ))∀ ∈x E P x est ( | ( ))∃ ∈x E P xNon .La négation de ( | ( ))∃ ∈x E P x est ( )( ( ))∀ ∈x E P xNon .

Point MéthodoLe fait que l’on est dans l’ensemble E ne se remet pas en cause lors de la négation.

Si A EÌ est une partie non vide de E, la restriction de f à A est l’application de A dans F définie par x A f xÎ ( ) .

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Fiche 1 : Ensembles et applications 5

Exemple 8  : soit E F= = , et f définie par f x x( ) | |= −2 1 . La res-triction de f à A = −[ , ]1 1 est l’application de A dans R  définie par x x 1 2- .

Image directe, image réciproque d’une partie4◆ Soit f une application de E dans F.

◆ Soit A une partie de l’ensemble E de départ.

Exemple 9 : soit f : ® définie par f x x( ) = 2 . Pour A = [ , ]0 3 , on a f A( ) [ , ]= 0 9  ; pour A = −[ , ]2 3 ou A = −[ , ]3 1 , on a toujours f A( ) [ , ]= 0 9 , comme le montre une étude rapide de la fonction carré sur R.

Exemple 10 : dire que f A( ) est réduit à un unique élément de F signifie que f est constante sur A. Dire que f E F( ) = signifie que tout élément de F est l’image d’au moins un élément de E, ce qui sera développé dans le paragraphe 7.

◆ Soit B une partie de l’ensemble d’arrivée F.

Point MéthodoLa restriction de f à A se note souvent fA| Il ne serait pas correct de continuer à la noter f.

L’ensemble des f a( ) lorsque a décrit A s’appelle image de A par f : c’est une partie de F. On note f A f a a A( ) { ( )| }= ∈ .

L’image réciproque de B par f est la partie f B-1( ) de l’ensemble E de départ formée des x tels que f x B( ) Î  : f B x E f x B− = ∈ ∈1( ) { | ( ) } .

Danger de la notationLa notation f B-1( ) n’a rien à voir avec le fait que f soit ou non une bijection de E sur F, notion qui sera détaillée à partir du paragraphe 8.

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3 EXERCICES

Exercices34

Exercice 1

On cherche tous les polynômes non nuls de K[X ] vérifiant la relation ( ) ( ) ( ).X P X XP X+ = +4 11. Trouver quatre racines entières négatives de P, et en déduire la forme de P.

2. Montrer qu’un polynôme Q tel que Q X Q X( ) ( )+ =1 est constant : on pourra regarder le polynôme Z X Q X Q( ) ( ) ( )= − 0 .

3. En déduire P.

Exercice 2

Soit :

A X X X X X

B X X X X

= − + − + −

= − + − +

2 6 3 4 2

3 2 2

5 4 3 2

4 3 2

1. Calculer le reste R de la division euclidienne de A par B, puis le reste R1 de la division euclidienne de B par R, puis le reste de la division eu-clidienne de R par R1 .

2. Montrer, sans aucune nouvelle division, que R1 divise B et A.

3. Effectuer les divisions de A et B par P R= 1 3/ . Trouver, à l’œil et sans calcul, une factorisation de A dans R[X ].

Exercice 3

1. Montrer qu’il n’existe aucun polynôme non constant divisant à la fois ( )x - 1 2 et x 3 1+ .

2. Soit U x x023 1= + − et V x0 5 3= − , calculer :

( ) ( )x U x V− + +1 120

30

3. En déduire un polynôme P vérifiant les deux conditions (i) x = 1 est racine multiple de P (ii) le reste de la division euclidienne de P par x 3 1+ est égal à 4.

Exercice 4

Montrer que sur K quelconque, un polynôme de degré 3 qui est réduc-tible admet au moins une racine. Mais donner aussi un exemple de poly-nôme de degré 3 sur Q qui est irréductible.

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Fiche 3 : Polynômes : divisibilité et racines 35

Exercice 5

Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2, et a bq r= + la divi-sion euclidienne de a par b dans N. Montrer (sans faire de division) que le reste de la division euclidienne de Xa - 1 par Xb - 1 est égal à Xr - 1 .

Exercice 6

On définit une famille de polynômes par T x T x x0 11( ) , ( )= = et ensuite

T x xT x T xn n n+ −= −1 12( ) ( ) ( ) , pour n ³ 1 .

1. Calculer T T T2 3 4, , .

2. Montrer que, pour tout n ³ 1 , Tn est de degré n, que tous ses coef-ficients sont des entiers relatifs et que son coefficient directeur est égal

à 2 1n- .

3. Étudier la parité des polynômes { }Tn . Que vaut Tn ( )1 , et Tn ( )-1 ?

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Corrigés46

4 CORRIGÉS

Exercice 1

1. On a a b a ib a ib a ib2 2 2 2+ = − = − +( ) ( )( ) . On en déduit :

P X X i X X i= − + − − + +( )( )2 21 1

2. Le développement de ( )a ib+ 2 donne les deux premières relations. On a ensuite w w2 2

3 4= = − − i , soit a b2 2 5+ = . La résolution donne a2 1= et b2 4= , soit a b= ± = ±1 2, . La condition ab = −2 donne par exemple a b= = −1 2, et w = −1 2i . Ensuite, on change i en -i pour avoir ′ = +w 1 2i .

3. Le discriminant de X X i2 1− + + vaut - -3 4i . Les ra-cines de l’équation du second degré X X i2 1 0− + + = sont donc, avec les formules classiques et w = −1 2i , x i i x i i1 21 1 2 2 1 1 1 2 2= + − = − = − − = −[ ( )] / , [ ( )] / . Celles de X X i2 1− + − sont donc 1 + i et i. Dans C[X ], on a donc P X X i X i X i X i( ) ( )( )( )( )= − + − + − −1 1 . En effectuant les produits conjugués, on obtient :

P X X X X X= + − + = + − +( )(( ) ) ( )( )2 2 2 21 1 1 1 2 2dans R[X ].

Exercice 2

1. a - Une réduction au dénominateur q5 donne 2 2 4 2 05 4 3 2 2 3 4 5p p q p q p q pq q− − + − + = . On peut l’écrire p p p q p q pq q q( )2 2 4 24 3 2 2 3 4 5− − + − = − . L’entier p divise 2 5q et est premier avec q (et donc avec q5 ) : il divise 2 et ses valeurs possibles sont ± ±1 2, . On procède de la même façon en isolant q, sans oublier que q est positif. Les racines rationnelles possibles sont ± ± ±1 2 1 2, , / . Le calcul montre que l’on a seulement P( / )1 2 0= .

2. P est donc divisible par X - 1 2/ ou mieux par 2 1X - , la divi-sion est plus facile à faire, car elle est en nombres entiers. Elle donne

P X X X= − − −( )( )2 1 24 2 . Les racines de l’équation t t2 2 0− − =

sont clairement t = −1 et t = 2 . Les racines complexes de X X4 2 2- -

vérifient donc z2 1= − ou z2 2= , ce qui donne ± ±i, 2 .

3. Dans C[X ], on a P X X i X i X X= − − + − +( )( )( )( )( )2 1 2 2 .

Dans les réels, on a P X X X X= − + − +( )( )( )( )2 1 1 2 22 . Dans les

rationnels, il vient P X X X= − + −( )( )( )2 1 1 22 2 puisque 2 est irra-tionnel.

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47Fiche 4 : Polynômes sur R ou C

Exercice 3

1. On a P X pX qX r X a X b X c= + + + = − − −3 2 ( )( )( ) . Le déve-

loppement donne P X a b c X ab bc ca X abc= − + + + + + −3 2( ) ( ) . On a donc q ab bc ca= + + . On retrouve que la somme des racines est -p et leur produit -r.

2. On a ( ) ( )a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + +2 2 2 2 2 , ce qui donne ab bc ca+ + = 1 . La question précédente nous donne

p q r= − = = −3 1 5, , et le polynôme X X X3 23 5− + − .

Exercice 4

Comme x = 1 n’est pas racine du polynôme, on divise par ( )x n- 1 , et

on se ramène à l’équation ( )x

xn+

−=

1

11 , à savoir

x

xei k n+

−=

1

12 p/ . La va-

leur k = 0 est impossible, puisque ( ) / ( )x x+ −1 1 ne peut pas être égal à 1 : il reste les n - 1 valeurs pour 1 1≤ ≤ −k n , ce qui est cohé-rent avec le fait que P est de degré n - 1 seulement. Il vient

xe

ek

i k n

i k n=

+

2

2

1

1

p

p

/

/. En mettant eik np/ en facteur en haut et en bas, et en

simplifiant, puis en utilisant les formules d’Euler, il vient x ik n

k nk = −cos /

sin /

pp

,

pour 1 1≤ ≤ −k n . Pour n pair, 0 est l’unique racine réelle. Pour n impair, il n’y a pas de racine réelle.

Exercice 5

La formule de Taylor entre a et x donne P xx a

kP ak

k

nk( )

( )

!( )( )=

=∑

0

. Pour

x a> , on a une somme de termes positifs ou nuls, dont au moins

( ) ( ) / !( )x a P a nn n- est strictement positif, puisque P a n ann

( )( ) / ! = /= 0 est le coefficient directeur de P : on a P x( ) > 0 .

9782807315860_Algèbre.indb 47 21/02/2018 07:15:43

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