Math F 112 Mathématiques pour les bacheliers en Bio...

Math F 112 — Mathematiquespour les bacheliers en

Bio-ingenieur, Biologie, Chimie, Geographie, Geologie,Informatique, Sciences (polyvalente)

Julie de Saedeleer, Dimitri Leemans1, Michele D’Adderio

Annee academique 2019 — 2020

[email protected] 6/30 Module T Math F 112 Annee academique 2019 — 2020 1 / 50

Soit f : A→ B une fonction.

f est surjective si tout element de B est l’image d’au moins unelement de A ;

f est injective si deux elements distincts de A ont des imagesdistinctes ;

f est bijective si f est a la fois injective et surjective.

Remarque

Une fonction est injective si et seulement si toute droite horizontale coupeson graphe en maximum un point !

Cours 6/30 Module T Math F 112 Annee academique 2019 — 2020 2 / 50

Soit f : A→ B une fonction. L’ensemble image de f , note Im(f ) ou f (A),est l’ensemble {f (x) | x ∈ A}.L’ensemble image de la fonction. . .

f : R→ R : x 7→ x2 est R+

f : R→ R : x 7→ x3 est R


Le graphe de [0, 2]→ R : x 7→ x2 et son ensemble image

0

1

2

3

4

5

1 2

y

x

y = x2


Injectivite, surjectivite et graphe

On peut voir les antecedents d’un nombre y sur le graphe de f entracant une droite horizontale a hauteur y : les antecedents sont lesabcisses des points d’intersection.

1

2

3

4y

−2 −1 1 2x

Une fonction est injective si et seulement si tout element dans sonensemble d’arrivee admet au maximum un antecedent.Une fonction est surjective si et seulement si tout element dans sonensemble d’arrivee admet au moins un antecedent.Cours 6/30 Module T Math F 112 Annee academique 2019 — 2020 5 / 50

Classes de fonctions

Fonctions polynomiales

Definition

Les fonctions polynomiales sont des fonctions de la forme

x 7→ a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

ou a0, . . . , an sont des constantes reelles, et n est un entier.L’entier n est le degre de la fonction (si an 6= 0).



Fonctions racines

Example

Les fonctions racine carree et racine cubique sont :

R+ → R+ : x 7→√x et R→ R : x 7→ 3

√x

Example

Plus generalement, pour n naturel pair, nous avons une fonction racinenieme :

R+ → R+ : x 7→ n√x

et pour n naturel impair, similairement avec un autre domaine :

R→ R : x 7→ n√x .



1

2

3

4y

1 2 3 4x

La fonction racine carree est en rouge. En noir, c’est la fonction x 7→ x2.



−1

1

2y

−2, 5 2, 5x

3√x

2√x



Croissance et decroissance

Definition

Soit f une fonction reelle et A ⊂ dom(f ). Cette fonction est

croissante sur A si pour tout x , y dans A : x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) ;

decroissante sur A si pour tout x , y dans A : x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y) ;

strictement croissante sur A si pour tout x , y dans A :x < y ⇒ f (x) < f (y) ;

strictement decroissante sur A si pour tout x , y dans A :x < y ⇒ f (x) > f (y).



x 7→ x2 est decroissante sur R− et croissante sur R+ :

1

2

3

4y

−2 −1 1 2x

Sur R, elle n’est ni croissante ni decroissante ; on dit qu’elle n’est pasmonotone.


Les fonctions exponentielles et logarithmes

Exponentielles

Definition

Les fonction exponentielles sont les fonctions du type

f : R→ R : x 7→ ax

pour un certain reel positif a > 0, appele la base de l’exponentielle.

Definition

La fonction exponentielle, c’est la fonction exponentielle dont la base esta = e, ou e ' 2.7182818 . . . est une constante appelee. . . le nombre e.

Remarque

Domaine = R Image = R+0 = ]0,∞].

Si a > 1, l’exponentielle est croissante !

Si 0 < a < 1, l’exponentielle est decroissante !



Graphe

La ligne rouge est la ligne interessante pour l’instant :



Logarithme

Question

Quel est le nombre x tel que 100000000 = 10x ?

Definition

Le logarithme de y en base a est le nombre x tel que ax = y ! On le noteloga(y).

loga(y) = x ⇐⇒ ax = y

Remarque

En d’autres termes, le logarithme de y en base a est l’antecedent de ypour la fonction x 7→ ax



Graphe

Revenons aux graphes :



Les fonctions logarithmes sont definies sur le domaine R+0 et ont pour

ensemble image R.Il y a quelques fonctions logarithmes fort utilisees :

le logarithme decimal, en base 10, souvent note simplement log,

le logarithme en base e, souvent note ln, et

le logarithme en base 2, note log2.



Identites importantes

Proposition

Pour a, b > 0 et x , y ∈ R.

exp(ln a) = a et ln(exp x) = x ,

exp(0) = 1 et ln 1 = 0,

exp(x + y) = exp x exp y et ln(ab) = ln(a) + ln(b),

ln(ax) = x ln a

loga(b) = ln(b)ln(a) .


Equations et systemes

Definition

Une equation est une egalite faisant intervenir une ou plusieurs quantitesinconnues.Resoudre une equation revient a determiner l’ensemble des valeurspossibles pour la quantite inconnue de sorte que l’egalite soit verifiee. Cesvaleurs sont les solutions de l’equation.

Dans une de ses formes les plus simples, une equation fait intervenir uneunique quantite inconnue : un nombre reel. La quantite inconnue (ousimplement inconnue) est souvent nommee x , mais ce nom n’a rien demagique.



Example

L’equation 2x − 3 = 1 a pour seule solution : x = 2.

L’equation t2 − 1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions : t = 1et t = −1. On peut ecrire que l’ensemble des solutions estS = {−1, 1}.L’equation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est forme del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ | k ∈ Z}.L’equation x2 + 1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres reels, cartout reel pris au carre est positif, donc x2 + 1 ne peut jamais etre egala 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peut noter S = ∅.



Une equation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas, unesolution est la donnee d’une valeur pour chaque inconnue.

Example

L’equation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0, 0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une equation, deux inconnues, maisune seule solution. C’est rare. Generalement une seule equation ne permetpas de determiner les deux inconnues.

Example

L’equation x + y2 = 0 possede une infinite de solutions : pour chaquenombre reel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution. Onpeut noter S = {(r ,−r2) | r ∈ R}.


Equations et systemes Systemes d’equations

Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait egalementplusieurs equations. On parle alors de systeme d’equations.

Example

Considerons le systeme d’equations suivant, dont les inconnues sont (x , y): {

x + y = 1

x − y = 3

Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.


Equations et systemes Systemes d’equations

Example

Considerons le systeme d’equations suivant, dont les inconnues sont (x , y): {

x − y2 = 1

x + y2 = 3

En resolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Des lors il y a deux possibilites :

Soit x = 2 et y = 1,

soit x = 2 et y = −1.

Il y a donc ici deux solutions !


Equations et systemes Lien avec les equations cartesiennes

Equation cartesienne

Une droite passant par p dans la direction −→v est l’ensemble des points(x1, x2) verifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2, b = −v1, c = p2v1 − p1v2, c’est-a-dire

a(x1 − p1) + b(x2 − p2) = 0

pour a = v2, b = −v1, ou encore

a(x1 − p1) + b(x2 − p2) = 0

ou de maniere equivalente ⟨−→n , x− p⟩

= 0

pour −→n = (a, b) = (v2,−v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit vecteurnormal) a la droite.



Equation vectorielle

Un plan passant par le point p dans les directions des vecteur −→v et −→w estl’ensemble des points de la forme

p + t−→v + s−→w

lorsque s, t ∈ R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeur.

Equations parametriques

Un plan est l’ensemble des points (x1, x2, x3) de la forme

x1 = p1 + tv1 + sw1

x2 = p2 + tv2 + sw2

x3 = p3 + tv3 + sw3

pour certains reel s et t.



Equation cartesienne

Un plan consiste en les points (x1, x2, x3) verifiant

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0

pour certaines constantes a, b, c , d . De maniere equivalente :

a(x1 − p1) + b(x2 − p2) + c(x3 − p3) = 0

ou p = (p1, p2, p3) est un point du plan.

Equation cartesienne, version 2

Un plan est l’ensemble des points x = (x1, x2, x3) verifiant⟨x− p,−→n

⟩= 0

pour un certain vecteur −→n = (a, b, c) : le vecteur normal (pour direperpendiculaire).

Proposition

Si −→v = (v1, v2, v3) et −→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur produitvectoriel est un vecteur normal.


Produit vectoriel

Definition

La mesure de l’angle entre deux vecteurs est le nombre θ entre 0 et π tel

que cos θ =〈−→v ,−→w 〉‖−→v ‖‖−→w ‖


Produit vectoriel

Definition

Si −→a ,−→b ∈ R3, on definit leur produit vectoriel

−→a ×−→b := (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · : R3 × R3 → R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a ×−→b .


Produit vectoriel

Proposition

Le produit vectoriel verifie les identites suivantes :−→a ×−→b ⊥ −→a et −→a ×−→b ⊥ −→b ;∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥2

+∣∣∣⟨−→a ,−→b ⟩∣∣∣2 =

∥∥−→a ∥∥2∥∥∥−→b ∥∥∥2

;∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ =∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ sin θ ;

−→a ×−→b = −−→b ×−→a (anti-symetrique) ;

(α−→a + α′−→a′ )×−→b = α−→a ×−→b + α′

−→a′ ×−→b

pour tout α, α′ ∈ R et −→a ,−→a′ ,−→b ∈ R3, et ou θ est l’angle forme par les

vecteurs −→a et−→b .

Preuve.

Tous ces points se prouvent a partir de la definition. (exercice)

Dans l’egalite∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ =

∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ sin θ, le sinus est toujours positif car

l’angle θ est, par definition, entre 0 et π.


Produit vectoriel Distances

Distances point-droite et point-plan

Nous savons que la distance entre deux points p et q est la norme‖q− p‖. Notons d(p,q) cette quantite.

Definition

La distance entre deux sous ensembles E ,F ⊂ Rn est donnee par

min{d(p,q) | p ∈ E ,q ∈ F}.



Proposition

La distance entre le point p et la droite passant par q de vecteur directeur−→v est donnee par

‖q− p‖2 − (⟨(p− q),−→v

⟩)2∥∥−→v ∥∥2.

Le point de la droite realisant ce minimum est donne par la projection p′

de p sur la droite :

p′ = q +

⟨(p− q),−→v

⟩∥∥−→v ∥∥2−→v .

Preuve.

Trouver le minimum de la distance revient a trouver le minimum du carrede la distance et puis a en prendre la racine carree ; donc il faut trouver leminimum de f definie par f (t) =

∥∥(q + t−→v )− p∥∥2

, ou q + t−→v est unpoint quelconque de la droite. Or

f (t) = ‖q− p‖2 + 2t⟨(q− p),−→v

⟩+ t2

∥∥−→v ∥∥2

est un polynome du second degre en t dont le minimum est connu.



Proposition

La distance entre le point p et la droite passant par q de vecteur normal−→n est donnee par ∣∣⟨−→n , (p− q)

⟩∣∣∥∥−→n ∥∥ .

En d’autres termes, si la droite a pour equation

ax + by + c = 0

la distance entre cette droite et le point p est

ap1 + bp2 + c√a2 + b2



Proposition

La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a, b, c)passant par q est donnee par ∣∣⟨−→w , (p− q)

⟩∣∣∥∥−→w ∥∥ .

En d’autres termes, si le plan a pour equation

ax + by + cz + d = 0

la distance entre cette droite et le point p est

ap1 + bp2 + cp3 + d√a2 + b2 + c2



Preuve.

Le vecteur ⟨−→w ,p− q⟩∥∥−→w ∥∥2−→w

est le projete de p− q sur la droite normale au plan, des lors sa longueurest la distance recherchee.


Produit vectoriel Triedres orientes

Definition

Un triedre oriente est la donnee d’une sequence de trois vecteurs−→u ,−→v ,−→w , tous issus d’un meme point p. L’ordre a son importance.

Definition

Considerant votre main droite,

si p represente votre poignet,−→u votre pouce et−→v votre index,

on dira que le triedre est droit si le vecteur −→w est du cote du majeur.Dans le cas contraire, le triedre n’est pas droit (parfois gauche).


Produit vectoriel Triedres orientes

Proposition

Le triedre forme de vecteurs −→v , −→w et −→v ×−→w est de meme orientationque le triedre de base −→e1 ,

−→e2 ,−→e3 .

(On choisit generalement un systeme d’axes avec une orientation positive.)

Preuve.

Non-faite.


Produit vectoriel Systemes de coordonnees

On connait le systeme de coordonnees cartesiennes du plan, c’est unebijection

(x , y) : plan→ R2 : p 7→ (x(p), y(p))

D’autres systemes de coordonnees existent : chaque bijection entre le planet (une partie de) R2 peut servir de systeme de coordonnees.



Coordonnees polaires.

Pour definir des coordonnees polaires du plan, on se choisit

une origine o (un point) et

une demi-droite issue de ce point.

Un point P est alors repere dans le plan par deux coordonnees, souventnotees (r , θ), ou

r correspond a la distance entre o et P, et

θ correspond a l’angle oriente entre la demi-droite choisie et lademi-droite issue de o passant par P.

On choisit generalement θ ∈ [0; 2π[.



P

θr



Si P possede des coordonnees cartesiennes (x , y) et des coordonneespolaires (r , θ), elles sont reliees par les relations :{

x = r cos(θ),

y = r sin(θ).

Remarque

Il n’est pas possible d’ecrire aisement θ en terme de x et y , par contre parle theoreme de Pythagore on obtient r =

√x2 + y2, ce qui permet d’ecrirecos(θ) = x√

x2+y2,

sin(θ) = y√x2+y2

.



Exemples : coordonnees d’un cercle centre en l’origine en coordonnees

cartesiennes x2 + y2 = R2

polaires r = R

Le cercle (x − 1/2)2 + y2 = 1/4, vu en coordonnees polaires :

r = cos(θ)



Coordonnees logarithmiques.

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

150

ce qu’on comprend en prenant le logarithme (en base 10) de tout cela :

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

2.176 . . .

Cette seconde droite graduee est liee a la premiere de la maniere suivante :

10−4 = 0.0001, 10−3 = 0.001, . . . , 103 = 1000, 104 = 10000,

et bien evidemment : 102.176 = 150.



Arcsinus

La fonction sin : [−π2,π

2]→ [−1, 1] possede une reciproque notee :

arcsin : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Figure: Graphes de sin et arcsin


Produit vectoriel Fonctions trigonometriques reciproques

Reciproque

Definition

Une fonction f : A→ B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f (x)) = x ∀x ∈ A et f (g(y)) = y ∀y ∈ B.

La fonction g est appelee l’inverse ou la fonction reciproque de f , et senote f −1.

Attention a ne pas confondre f −1(x) avec f (x)−1 := 1/f (x) ! Parexemple, les fonctions

f : R0 → R0 : x 7→ x et g : R0 → R0 : x 7→ 1

x

verifient f (x)−1 = g(x) pour tout x ∈ R0, par contre f −1 = f et g−1 = g(exercice facile).



Proposition

1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.

2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g . En d’autres termes,(f −1)−1

= f .

Preuve.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f est

injective car f (x) = f (y) implique x = g(f (x)) = g(f (y)) = y .

surjective car si z ∈ B, alors g(z) est un antecedent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivite) unique(injectivite) antecedent.



Graphe de la reciproque

Si f : A→ B est bijective, alors le graphe de sa reciproque f −1 : B → Apeut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par une symetriebilaterale d’axe x = y . En effet,

Γf −1 = {(y , f −1(y)) ∈ R2 | y ∈ B} = {(f (x), x) ∈ R2 | x ∈ A}



Arcsinus

La fonction sin :[−π

2,π

2

]→ [−1, 1] possede une reciproque notee :

arcsin : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2



Arccosinus

La reciproque de cos : [0, π]→ [−1, 1] est

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3



Arctangente

La reciproque de tg :]−π

2,π

2

[→ ]−∞,∞[ est

arctg : ]−∞,∞[→]−π

2,π

2

[

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

2

3

On peut aussi definir la reciproque de cotg : ]0, π[→ ]−∞,∞[.



Diagrammes de Venn

Si A et B sont des ensembles, on definit les trois operations :

Intersection A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}Union A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Difference A \ B = {x | x ∈ A et x /∈ B}On peut representer les operations sur des diagrammes appeles diagramesde Venn.



Exercice

Voici deux diagrammes de Venn :

A B

A B

C

Que representent-ils ?

Reponse : A ∩ B et A \ (B ∪ C )


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