Maple - Puissance nième d'une matrice d'ordre 3

5/24/2018 Maple - Puissance ni me d'une matrice d'ordre 3

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Calcul de la puissance nime dune matrice dordre 3 laide de Maple

Essaidi Ali

21 juin 2014

1 Outils Maple ncessaires :

Remarque :

Les commandes Maple quon va utiliser sont regroupes dans le package LinearAlgebra. Pour le charger on tape :

with(LinearAlgebra) ;

Pour dfinir une matrice on utilise la commandeMatrix.

Exemple :

> Matrix( [ [ 1, 0, 2], [ 2, 1, 1 ] ] ) ; 1 0 22 1 1

Ou encore :

> Matrix( 2, 3, [ 1, 0, 2, 2, 1, 1 ] ) ; 1 0 22 1 1

La commandeMatrixMatrixMultiply( A, B )retourne le produit des deux matrices donnesA etB .

Exemple :

> A := Matrix( [ [ 1, 1 ], [ 1, 1 ] ] ), B := Matrix( [ [ 2, 2 ], [ 2, 2 ] ] ) ;

A:=

1 11 1

, B :=

2 22 2

> MatrixMatrixMultiply( A, B ) ; 4 44 4

La commandeMatrixInverse( A )retourne linverse dune matrice donneA siA est inversible.

Exemple :

> A := Matrix( [ [ 1, -1], [ 1, 1 ] ] ) ;

A:=

1 11 1

> MatrixInverse( A ) ;

1

2

1

2

1

2

1

2

La commandeJordanFormpermet de diagonaliser une matrice (retourner une matrice diagonale semblable) si elle lest dans

C, sinon elle la trigonalise (retourner une matrice triangulaire supprieure). Pour avoir la matrice de passage (La matrice des

vecteurs propres) on ajoute loptionoutput=Q.

Exemples :

> M := Matrix( [ [ -9 , -2 , 8 ] , [ 8 , 5 , -4 ] , [ -14 , -2 , 13 ] ] ) ;

M :=

9 2 88 5 414 2 13

1


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> JordanForm(M) ; 1 0 00 3 0

0 0 5

Le rsultat montre que la matrice est diagonalisable, ses valeurs propres sont 1, 3 et 5. Pour avoir la matrice des vecteurs propres

on tape :> JordanForm( M, output = Q) ; 5 3 15 6 1

5 3 2

> N := Matrix( [ [ 1 , 0 , -1 ] , [ -1 , 1 , -1 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ] ) ;

N :=

1 0 11 1 1

0 0 1

> JordanForm(N) ;

1 1 00 1 1

0 0 1

Le rsultat montre que la matrice est trigonalisable, elle admet 1 comme seule valeur propre. Pour avoir la matrice de passage

on tape :

> JordanForm( N, output = Q) ; 0 1 11 0 0

0 0 1

Pour crer une matrice diagonale, on utilise la commandeDiagonalMatrix:

Exemple :

> DiagonalMatrix(1,2,3) ; 1 0 00 2 0

0 0 3

Enfin, pour appliquer une fonctionfaux coefficients dune matrice on utilise la commandeMap:

Exemple :

> A := Matrix( [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ] ] ) ;

A:=

1 23 4

> f := x -> x^2 ;

f :=x x2

> Map( f, A ) ;

A:=

1 49 16

2 Cas dune matrice diagonalisable :

Pour calculer la puissance nime dune matrice diagonalisable A on suit les tapes suivantes :

Etape 01 : On dfinit dabord la matriceA laide de la commandeMatrix.

Etape 02 : On la diagonalise laide de la commandeJordanForm. On obtient alors une matrice diagonale Det une matrice

inversible P telles queA = P DP1

.Etape 03 : On calcul la puissance nime de la matrice D en appliquant la fonctionf(x) =xn ses coefficients laide de

la commandeMap.

Etape 04 : On calculAn =P DnP1 laide des commandesMatrixMatrixMultiplyet MatrixInverse.

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Exemples :

Exemple 01 :Calcul de la puissance nime de la matriceA =

3 1 12 0 12 2 3

:

> restart ; with(LinearAlgebra) :

> A := Matrix(3, 3, [[3, -1, -1], [2, 0, -1], [-2, 2, 3]]);

A:=

3 1 12 0 12 2 3

> Delta := JordanForm(A) ;

:=

1 0 00 2 0

0 0 3

> P := JordanForm(A, output = Q) ;

P :=

0 1 1

2

1

2 1

1

2

1

2 0

1

2

> Dn := Map( x -> x^n, U) ;

Dn :=

1 0 00 2n 0

0 0 3n

> An := MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(P, Dn), MatrixInverse(P)) ;

An:=

3

n 2n 3n 2n 3n

1 + 3n 1 + 2n 3n 2n 3n

1 3n 1 + 3n 3n

Exemple 02 :Calcul de la puissance nime de la matriceB =

3 1 11 3 1

1 1 3

:


> B := Matrix(3, 3, [[3, 1, 1], [1, 3, 1], [1, 1, 3]]) ;

B :=

3 1 11 3 11 1 3

> Delta := JordanForm(B) ;

:=

2 0 00 5 0

0 0 2

> P := JordanForm(B, output = Q) ;

P :=

1

3

1

3 1

1

3

1

3 0

2

3

1

3 1

> Dn := Map( x -> x^n, U) ;



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Dn :=

2

n 0 00 5n 00 0 2n

> Bn := MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(P, Dn), MatrixInverse(P)) ;

An:=

2

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

2

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

1

32n +

1

35n

2

32n +

1

35n

3 Cas dune matrice trigonalisable :

Pour calculer la puissance nime dune matrice trigonalisable A dordre 3 on suit les tapes suivantes :

Etape 01 : On dfinit dabord la matriceA laide de la commandeMatrix.

Etape 02 : On la trigonalise laide de la commandeJordanForm. On obtient alors une matrice triangulaire suprieure T

et une matrice inversibleP

telles queA

=P T P1

.Etape 03 : On construit la matrice diagonale D = diag(t11, t22, t33) laide de la commandeDiagonalMatrix.Etape 04 : On calcul la puissance nime de la matrice D en appliquant la fonctionf(x) =xn ses coefficients laide de

la commandeMap.

Etape 05 : On construit la matrice nilpotenteN=T D. On remarque quon a toujours N3 = 0.

Etape 05 : On calcul la puissance nime de T : Tn = Dn +nDn1N+ n(n 1)

2 Dn2N2 laide de la commande

MatrixMatrixMultiply.

Etape 06 : On calculAn =P TnP1 laide des commandesMatrixMatrixMultiplyet MatrixInverse.

Exemples :

Exemple 01 :Calcul de la puissance nime de la matriceA =

2 1 21 2 2

1 1 1

:> restart ; with(LinearAlgebra) :

> A := Matrix(3, 3, [[2, -1, 2], [-1, 2, -2], [-1, 1, -1]]) ;

A:=

2 1 21 2 21 1 1

> U := JordanForm(A) ;

U :=

1 1 00 1 0

0 0 1

> P := JordanForm(A, output = Q) ;

P :=

1 1 21 0 01 1 1

> Delta := DiagonalMatrix([seq(U[k, k], k = 1 .. 3)]) ;

:=

1 0 00 1 0

0 0 1

> N :=U-Delta ;

N :=0 1 00 0 0

0 0 0

> f := k -> Map(x -> x^k , Delta) ;



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f :=k LinearAlgebra :-Map(x x^k, Delta)

> Tn := f(n)+n*MatrixMatrixMultiply(f(n-1), N)+(n*(n-1)/2)*MatrixMatrixMultiply(f(n-2), N^2) ;

T n:=

1 n 00 1 0

0 0 1

> An := MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(P, Tn), MatrixInverse(P)) ;

An:=

1 + n n 2nn 1 + n 2nn n 1 2n

Exemple 02 :Calcul de la puissance nime de la matriceB =

3 3 12 2 1

0 1 2

:


> B := Matrix(3, 3, [[-3, 3, -1], [-2, 2, -1], [0, 1, -2]]) ;

B:=

3 3 1

2 2

10 1 2

> U := JordanForm(B) ;

U :=

1 1 00 1 1

0 0 1

> P := JordanForm(B, output = Q) ;

P :=

2 2 12 2 02 0 0

> Delta := DiagonalMatrix([seq(U[k, k], k = 1 .. 3)]) ;

:=

1 0 00 1 0

0 0 1

> N :=U-Delta ;

N :=

0 1 00 0 1

0 0 0

> f := k -> Map(x -> x^k , Delta) ;

f :=k LinearAlgebra :-Map(x x^k, Delta)

> Tn := f(n)+n*MatrixMatrixMultiply(f(n-1), N)+(n*(n-1)/2)*MatrixMatrixMultiply(f(n-2), N^2) ;

T n:=

(1)n n(1)(n1) 1

2n(n 1)(1)(n2)

0 (1)n n(1)(n1)

0 0 (1)n

> Bn := MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(P, Tn), MatrixInverse(P)) ;

Bn :=

n(n 1)(1)(n2) 2n(1)(n1) + (1)n 3n(1)(n1) + n(n 1)(1)(n2) n(1)(n1)

n(n 1)(1)(n2) 2n(1)(n1) 3n(1)(n1) + (1)n + n(n 1)(1)(n2) n(1)(n1)

n(n 1)(1)(n2) n(1)(n1) + n(n 1)(1)(n2) (1)n n(1)(n1)



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> map(simplify, Bn) ;

(1)n(n2 3n 1) n(4(1)(1+n) + n(1)n) n(1)n

n(1)n(n 3) 4(1)(1+n)n + (1)n + n2(1)n n(1)n

n(n 1)(1)n n(1)n(n 2) (1)n(1 + n)


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